Kiegyenlítő számítások

Átírás

1 Kegelítő sámítások ácst Lásló

2 ttárg célj és felt Mt tjk, geoé célj föl helmeghtároás, gs föl otok heléek meghtároás lmle koorátreserbe, s okk későbbekbe térkée törtéő ábráolás E célból Fölö ( felsíe, felsí ltt, ll felett) geoé méréseket égük geoé mérésekhe trtok leegőből reülőgéekről, ll műholkról késült felételeke égett mérések és kértékelések s geoé méréseket mérések ereméeel okmetáljk ereméek rögítése törtéhet lóg (mérés jegőkö), g gtáls (trögítő) formáb geoé mérések eremée külöböő meójúk Föl elmélet lkják megsmeréséhe m fk, m geometr rmétereket meg kell htáro meos geoé mkáb mérések eremée sög, ll táolságértékek klssks geoéáb sögek elhelekehetek ístes, ll függőleges síkb, eük megfelelőe ístes, ll mgsság (g et) sög ( ábr) táolságok elhelekehetek ístes, fere és függőleges síkb, eük megfelelőe ístes táolság, fere táolság, lmt mgsság, ll mgsságkülöbség ístes táolságok lehetek sík eréksögű kooráták, ll koorátkülöbségek s ábrá föl mérés ereméeket foglljk össe geoé műserek koorátreserébe (műser-, g hel koorátreser) ζ (hel függőleges) P f O (műserállásot) η h Z α ξ β H ζ (keőrá) η ξ P' (hel ístes sík) h P ábr: klssks geoé mérés eremée ábr jelölése: β - ístes sög, - ístes táolság, f - fere táolság, α - mgsság sög, Z - etsög, H - mgsságkülöbség, η, ξ, ζ- hel (állásot, műser-) kooráták, h (tt) műsermgsság

3 mgsság és etsög egmást 9 o -r egésítk k GPS (Globáls Helmeghtároó Reser) eőkkel eg fölfelsí állásotb kott mérés ereméekből (műhol-állásot táolságokból) s sögeket és táolságokt kk Eek lehetek állásotk térbel eréksögű koorátá WGS8 forgás ellso köéotjáb heleett koorátreserbe ( ábr: X, Y, Z), ll ee eréksögű koorátákkl sgorú függékcsoltb léő két sögérték, ll eg táolság (ϕ, λ, h) Z ellso ormáls P h P O N Z Egelítő síkj Y ϕ λ Y X P ábr jelölése: X, Greewch ábr: GPS eők mérés eremée - forgás ellso fél gtegele, b - forgás ellso fél kstegele, ellso ormáls és forgástegel metsésotj, N hrátráú görbület sgár P otb, X, Y, Z - ellso köéotú térbel eréksögű kooráták, ϕ - ellso sélesség, λ - ellso hossúság, h (tt) ellso mgsság tárgk geoé mérés ereméekek, ll ok hbák keeléséel fogllkok mérés ereméek, ll hbák keelésé o mtemtk műeletek össességét értjük, melek ereméekét mérések hbából ereő, elletmoásokkl terhelt mérés ereméek felhsálásál elletmoásmetes (kegelített) tresert hok létre, meghtárok elletmoásmetes treser megbíhtóságát jellemő mérősámokt otb égeő műeletek össességét kegelítések eeük treser m kegelített mérés ereméeket, m eekkel lmle függékcsoltb léő - e em mért - tokt s trtlm otb fogllt feltokkl geoé hbelmélet fogllkok két felt égrehjtás köbe em külöül el egmástól, kegelített tokkl egejűleg megbíhtóság mérősámokt s solgáltt kell

4 Már tt hgsúlok kell, hog kegelítés csk elletmoásokt sütet meg, mérés hbákt, termésetese, em Utóbbk - elletmoások megsütetéséel egejűleg - kegelítés ljál solgáló lmle előírt, ll elfogott mtemtk feltételek megfelelőe oslk meg kegelített treser eleme köött geoé felt megbíhtóság köetelméetől függőe kegelítés törtéhet: Sgorú móserrel ( geoé gkorlt tt legksebb égetek móserét résesít előbe); Köelítő móserekkel (kegelítés helett tt sokásos köelítő hbelostás eleeés s) kegelítés elsősorb sgorú móserekkel fogllkok, köelítő eljárásokt geoé mérésekkel foglkoó ttárgk résletese tárglják, tt csk röe térük mj k rájk Pél: H megmérjük eg síkbel háromsög mhárom sögét, elkerülhetetle mérés hbák mtt három mérés eremé össege 8 o -tól eltér eltérés értéke elletmoás kegelítés felt ekkor ol - kegelített - értékek sámítás három sögre, meleket össe, háromsög sögeek össege 8 o kegelítés ereméekét tehát elletmoás megsűk, e e em jelet t, hog kegelített sögértékeket em terhel mérés hb tóbbr otkoó formácóho kegelítés tá jtk Heleük el sík háromsöget eg sík eréksögű koorátreserbe ( ábr) háromsög csúcsk eréksögű koorátá és háromsög söge köött sgorú függékcsolt mtt sögek kegelítése eréksögű koorátákr, mt em mért tokr s elletmoásmetes értékeket solgáltt ( ábr) C C γ C O α β ábr jelölése: ábr: háromsög söge és csúcsotjk koorátá,,,, C, C - háromsög csúcsotjk koorátá,

5 α, β, γ - háromsög söge Vegük ésre, hog - mtemtkáb megsokott sík eréksögű koorátreserrel elletétbe - geoéáb tegel otí ágát tegel otí ágától jobbr, órmttó járásák megfelelő ráb kjk E koorátreser hsálták ok - többek köött - hgomáos semlélet, melek köetketébe geoéáb hsáltos sögmérő műsereke ístes söget órmttó járásál megegeő ráb olssk le, mert - mt jobboll kölekeést - et éreük termésetesek korserű elektroks - gtáls sögmérő műserek ltertí lehetőségkét trtlmák órmttó járásál elletétes ráb öekő fokbeostást s

6 Köetle és köetett mérések H geoé mérések köetleül mgkr keresett meségekre rálk, köetle mérésekről, h keresett meségekkel lmle (függé-) kcsoltb álló egéb meségekre, köetett mérésekről besélük Áltláos: Legeek,,, köetle mérés ereméek Ekkor tetsőleges b c leárs, g f(,,, ) em leárs függéek köetett mérések eremée él: föl helmeghtároás égső eremée áltláb eréksögű kooráták térkéeés sorá ee felül - reelkeésükre álló eskötártól függőe - köetleül hsálhtk olárs koorátákt, sögeket, táolságokt s H l eg mért ístes táolságot köetleül ábráolk térkée, köetle mérésről besélük Ekkor ob tk kell, hog ott táolságot mle ráb rjoljk rá térkére E tóbb eg - lmle semotból ktütetett - keőráho kéest értelmeett sög smeretét gél Vgs ekkor - köetle táolságmérés mellett - köetle sögmérést s kell ége ( ábr) ϕ - köetle sögmérés eremée, - köetle táolságmérés eremée köetle mérések ereméekét térkée megkjk C ot helét Keő rá ϕ C ábr: Pél köetle mérésekre H térkéeést eg egséges sík eréksögű koorátreserbe égeük, keőrá koorátreser tegeléel árhmos egees ( ábr) E esetbe C rásög smeretére sükség C rásöget köetleül em mérjük, e ott rásögű rá ljá C ϕ () függé sert sámíthtó Ekkor C értéke köetett mérés eremée Végehetjük térkéeést eréksögű kooráták, g otho soított koorátkülöbségek 5

7 ljá Ekkor koorátkülöbségek tekthetők köetett mérés ereméeek, gs ábr ljá: Keő rá C ϕ C C C cos C s C C ábr: Pél köetett mérésekre C C s cos C C () ermésetese, folmt megforíthtó, gs l () össefüggésekből C kfejehető: C rct () köetle és köetett mérések em rögíthetők egser s mekorr Külöböő mérés stácókb g mérés lehet köetle, g köetett s él: ábrá OPP' háromsög eréksögű H mérjük f fere táolságot és α mgsság söget, g Z etsöget, eek köetle mérések Eel sembe cos, g () sz ístes táolság köetett mérés eremée f él: és ábrák össeetéséből C C f C C s cos C C (5) 6

8 sík eréksögű kooráták sté köetett mérés ereméek 7

9 mérés ereméek fkcoáls és stochstks moellje Függetleül ttól, hog keresett meség köetle, g köetett mérés eremée, ott meségre otkoó sükséges mérése túl ú fölös (em fölösleges!) méréseket s égeük kell sükséges és fölös mérések össességét - mtemtk sttstk lógál - úg fogjk fel, hog ok eg lsokság töreékét, mtáját jeletk mt ljá köetketetük mj lsokság ol - geoéáb külööse ktütetett - rméterere, mt köéérték és sórás lsokság csk hotetks, e mtemtklg úg keelhető, mth létee mtemtk keelhetőség semotjából gs cs léeges külöbség eg léteő és eg hotetks lsokság köött, hse egket sem smerjük, mkettőre mérés ereméek ljá köetketetük Geoé mérés ereméek mtemtk felolgoáskor lsokságr otkoó hotést eg célserű és gkorlt tstltkk legkább megfelelő mtemtk moell formájáb foglmk meg úg, hog mél egserűbb, mél köebbe keelhető lege, s mél jobb megköelítse lóságot geoé mérés ereméekre rekíül sok téeő ht, okt rekíül sok htás ér htó téeők semotjából geoé mérés ereméek mtemtk moelljét két résre bot ják meg, úgmt: fkcoáls moell, stochstks moell ) fkcoáls (más ée etermstks) moellbe éréesülő htó téeők sám korlátoott, és, mt moell ee s mttj, fkcoáls (függéserűe) kmtthtó móo, omo köethetőe htároák meg (etermálják) mérés ereméét, moellbe elfogott hotésektől függőe htó téeők lehetek állók, ll hel és/g ő függéébe áltoók, e mekée smertek, ll megsmerhetők hotésekbe megfoglmott "elhgolások" ttosk, többre l feltételeéssel, hog elhgolás cs sámotteő htássl mérés ereméére, ll - mérés elégése tá s, l korrekcókét - fgelembe ehető hotések célj többre mérés moell, s eel sámítások egserűsítése fkcoáls moell fotos eleme moell éréesség trtomáák meghtároás fkcoáls moell hbás, lóságho rossl "lleskek", s m mérés, m felolgoás ereméet meghmsítj, h eg htó téeőt em ttos hgolk el, hem em smerjük E gs megkálo éréesség trtomá meghtároását, s eel mérés ereméek elfoghtóságák körét meg em smert htások mérés ereméek sbálos hbáho eetek él: köelítéssel gömbek tekthető Fölet síkkl helettesítjük Hotésük, hog gömbre otkoó geometr össefüggések helett mérés ereméek felolgoáskor jól egserűbbe megfoglmhtó és keelhető síkr érées össefüggéseket lklmk jk élál, hog gömbö értelmeett háromsög sögeek össege gobb 8 o -ál, míg síko otos 8 o kettő köött külöbség ε, ú gömb sögfölösleg ( ábr) elhgolás sáékos, ttos, feltételeésük, hog "elegeőe ks" gságú fölfelület eseté geoé mérések felolgoás sorá em köetük el eg előre meghtároott, megegeett értékél gobb hbát Hotésük lklmhtóságáho termésetese meg kell htárok t htárértéket ( "elegeőe ks" fölfelület gságát), mel felett elhgolás már em egehető meg Legeek α, β, γ C gömb háromsög söge, ekkor leeethető, hog 8

10 γ 8 gömb sögfölösleg sámíthtó sögmásoercbe o ε α β () F ε ρ R össefüggésből, hol F - gömb háromsög felülete, R - fölgömb sgr (mteg 67 km), ρ eg rá - ε kcsségét fgelembe ée - sögmásoercekbe kfejeett értéke: ρ 6 6,8 () R α γ C β F β C γ α ábr: Gömb sögfölösleg Látjk tehát, hog gömb sögfölösleg, mt fölgörbület okot - álló - htó téeő fkcoáls kfejehető, s sükség eseté, kár mérések elégése tá s, korrekcób ehető Mel ob ε értéke még F km eseté s csk mteg, lsógeoéáb elhgolhtó Ekkor felület mteg 8 km sgrú körek felel meg, fkcoáls moell éréesség trtomá tehát össes lsó-geoé mérésre kterje Felsőgeoé mérések eseté sot gömb sögfölösleg fgelembe em étele moellbe sbálos hbát oko él: geoé műserekkel égett méréseket heltől és őtől, esetekét egéb téeőktől (l ístes táolságtól) függőe befolásolják légkör ktáls hőmérséklete, légomás és rcáls áromás htó téeők össegett htás, refrkcó mtt műserállásotot ráott ottl össekötő ol (ráol) em egees, hem heltől és őtől függőe áltoó térbel görbe ol, refrkcó görbe rgoometr mgsságmérésél két ot mgsságkülöbségéek meghtároását ístes táolság smeretébe mgsság (g et-) sög mérésére eetk ss ( ábr) ábrá refrkcó görbét O ot függőleges síkjáb eső körek fogjk el (mgsság refrkcó) kör feltételeése s fkcoáls moell egk hotése! ábrá r - refrkcó görbe sgr, r - refrkcós korrekcó 9

11 etfüggőleges Z r ráol l V cotz P Z r refrkcógörbe H h P ábr: mgsság refrkcó htás r értékét lább egserű leeetésből khtjk meg ( ábr) P R γ s r γ ábr: refrkcós korrekcó P otál léő sög kerület sög, γ köéot sög fele P háromsög köel eréksögű (sté hotés!), tőle csk kerület söggel egelő ks, áltláb sögerc gságreű γ / söggel külöbök Megegehető s köelítéssel (újbb hotés!), mel γ ks sögérték, írhtó: γ r () De g γ, r

12 γ r () ók γ / értékét () össefüggésbe helettesíte, refrkcós korrekcór kjk: r (5) r légkör eltérítő htás mtt otot refrkcó görbe meté látjk, Z etsög sot refrkcó görbe P otbel értőjéhe trtok keresett mgsságkülöbség tehát ábrából kfejehető lkb, hol H - mt látjk - köetett mérés eremée H V cot Z h l (6) refrkcó görbe sgr hel, sk és ístes táolság függée K F Gss sgált ljá refrkcó görbe átlgos sgr 9 km,5 km táolságál r értéke r, km cm H trgoometr mgsságmérésél et elfoghtók tektjük,,5 km éréesség trtomá, mel mellett r értéke még elhgolhtó Eél gobb táolságokál moellt sbálos hb terhel ) stochstks moellbe mérésre htó téeők smeretleek, sámk rekíül g és, mt moell ee s mttj, stochstks (életleserűe), em kmtthtó móo befolásolják mérés ereméét stochstks moellbe htó téeők eetek mtemtk felolgoás ú életle hbáho geoé mérés ereméek felolgoásáál stochstks moell hotése, hog mérés ereméeket ormáls eloslásúkk és függetleekek tektjük stochstks moell keelése mtemtk sttstk smert esköeel lehetséges míg fkcoáls moell hotéseek elleőrése - mt láttk - éréesség trtomá megállítását jelet, stochstks moell hotése mtemtk sttstk hotéssgált mósereel elleőrhetők mérés ereméeket terhelő hbák mg két résből, eg sbálos és eg életle hbrésből állk, sétálstásk, külöálló keelhetőségük geoé mérés ereméek mtemtk felolgoásák lető feltétele Eg em felerített sbálos hbrés ( fkcoáls moell hbáj) felolgoás ereméét teljese tökre tehet H fkcoáls moellt helese álstjk meg, ll helese rögítjük moell éréesség trtomáát, mtemtk sttstk smert esköeel - goos khsál műserek teljesítőkéességét - megfelelő ereméekhe jtk mtemtk felolgoás sorá kétfjt moell keelése törtéhet úg, hog sbálos rést felolgoás előtt kküsöböljük és törtéhet egüttese, sbálos hbrések életle hbréssel köös moellbe törtéő sereeltetéséel Utóbb kkor forl elő, h sbálos hbrések csk termésetét smerjük, e gságát em toábbkb móserre heleük hgsúlt r

13 mérés ereméek stochstks moellje geoé mérés ereméek mtemtk felolgoáskor sokráú gkorlt tstlttl látámstott elmélet megfotolások ljá - mt motk - l feltételeéssel élek, hog mérés ereméek, mtemtk sttstk sóhsálttl: mtelemek, mt lósíűség áltoók eloslás ormáls Molókt egelőre korlátok rr esetre, mkor mérés ereméek egetle méreő meségre otkok ábrá egmeós ormáls eloslás sűrűségfüggéét, ú hrggörbét mttjk be hrggörbe smert ( U ) ϕ ( ) e () σ π σ össefüggéssel jellemehető és t feje k, hog "sórk" mérés ereméek függé egetle mmmhele, U érték körül U érték ormáls eloslású lsokság köéértéke, σ eg sórás ϕ () függé smmetrks U értékre ϕ () függé égtele sámú mérés eremé (mtelem) eseté ábráolj mérés ereméek hotetks gkorság eloslását lóságb sűrűségfüggé em foltoos, résbe mérés ereméek korlátoott sám, résbe eg mtt, hog boos értékű mérés ereméek elő sem forlhtk ϕ () ϕ (ε) ϕ ( ) U θ - σ U θ U θ σ U - σ U U σ, ε, θ ε ábr: ormáls eloslás sűrűségfüggée él: Eg mmáls mm élességű leolsást lehetőé teő táolságmérő esköel mérés ereméek s csk mm-es léésköökét kéelhetők el

14 Ee túlmeőe, elmélet sűrűségfüggé smtotks köelít bscsstegelhe, holott láló, hog ge g eltérések köéértéktől még kármle ks lósíűséggel sem forlhtk elő él: Eg m-es táolság mérésébe em lehet - mojk - m eltérés! Láthtó, hog mérés ereméek és ok köéértéke köött több-keesebb eltérés E eltérés mérés eremé hbáj ábrá egüttese ábráoljk m fkcoáls, m stochstks moell hbát Mt motk, előbb sbálos, tóbb életle mérés hbrést jelet életle mérés hbák (geoé sóhsálttl: ló hbák) eloslás ábr sert ϕ ( ) e () σ π σ függéel, ú hbgörbéel jellemehető függé rgmetmát () össefüggésből - U () egserű trsformácól sármttjk életle mérés hbák köéértéke, sórás σ ábr jobboll rése ljá köetkeek ϕ ( ) hbgörbe lető tljoság: görbe bscss-tegel fölött helekek el, mthog függé értéke semmle érték mellett em lehet sem egtí, sem érs; görbe smmetrks ϕ ( ) tegelre, íg orát értékek bsolút értékbe egelő otí és egtí értékekre egelők; hele ϕ ( ) orát mmáls értéket es fel; Mel hele görbéek mmm, gkkor görbe smtotks trt bscss-tegelhe, eért két fleós otj fleós otokho - σ és σ gságú életle hbák trtok; 5 fleós otokb görbéhe húott értők bscss-tegelt - σ és σ hele metsk hbgörbe tljoságl soros össefüggésbe, bból smert téből kl, msert sűrűségfüggé ltt terület, egség, össefogllhtók életle mérés hbák lább tljoság: életle hb értéke U köéérték körül t σ terllmb ott P ( t σ t σ) lósíűséggel esk: táblát t P,687,955,997 sélességű smmetrks k lósíűsége tehát, hog életle hb értéke sórás háromsorosát em hlj meg, 99,7 % ("ste teljese boos") E geoé gkorlt ú σ sbál; otí és egtí előjelű életle hbák oos lósíűséggel forlk elő;

15 bsolút értékbe ksebb hbák előforlás lósíűsége gobb; mérés ereméek sámák öekeéséel életle hbák sámt köéértéke érs felé trt: lm 5 életle mérés hbákr létek lább htárérték: lm ; () σ (5) H mérés hbák sámt köéértéke - () össefüggéssel sembe - mtelem-sám öekeéséel em érsho, hem θ - ho trt, gs lm θ, (6) úg e érték fkcoáls moellbe elköetett sbálos hb Ebbe esetbe () össefüggés ε - U θ θ (7) lkot ölt U θ sbálos hbrést trtlmó mérés eremé köéértéke, ε eg mérés eremé életle és sbálos hbrést trtlmó ú teljes hbáj, melek ϕ (ε) sűrűségfüggée életle hb sűrűségfüggééhe kéest bscsstegel meté - sbálos hb előjelétől függőe blr g jobbr - eltolók toábbkb θ -t ábr sert értelembe kkor tektjük otík, h U > U θ, gs θ U - U θ Vegük ésre, hog sbálos hb csk köéérték helét befolásolj, sórás értékét em H θ -t smerjük, (7) össefüggés () - b meg át, gs mérés ereméeket mtemtk felolgoás semotjából úg keelhetjük, hog okt csk életle hbák terhelk fkcoáls moell heltele megálstását tükröő sbálos hbák htásák felerítésére sttstk hotéssgált esköe újthtk támotot, e meel egütt s ehee elleőrhetők geoé mérés gkorlt tólgos sgált helett sbálos hbák előetes kküsöbölését résesít előbe, mkor mérés sbáltokb, tsításokb előírj fkcoáls moell éréesség trtomáák rögítését ( fejeet, és él); geoé műserek előetes sgáltát, gítását, eg etlol törtéő össehsolítását, ú komrálását, g htelesítését; mérés külső körülméeek (hőmérséklet, légomás, sél, sütés, stb) omo köetését és htásk sgáltát; fetek fgelembeételéel megfelelő mérés techológ megálstását él: otos m-es etlotáolságot eg m hossúságú cél mérőslggl mérjük komrálás eremée, m Eg tetsőleges táolság eek rááb mg gobbk ók, gs l eg m-es táolságot már (/) *,m cm-rel

16 mérük gobbk E t s jelet, hog slg lóságb m-él röebb és "ló" hoss ráárból sámíthtó: :, : 9,995 m,, gkorltlg elfoghtó köelítéssel 9,99 m Eg télegese mért táolságot tehát k,9995, soróállól soro, slg hossából ereő sbálos hb kküsöbölhető Lege táolságr otkoó mérés eremé l,5 m, ekkor k,5 m,8 m érték már em trtlm slg téleges hossából ereő sbálos hbát, gs femró hb már életle jellegű θ sbálos hb értéke korrgált és mért táolság külöbsége, θ,8 m -,5 m -,7 m - 7 cm Látjk, hog θ értéke em álló, hem táolságtól leárs függ Neheebbe elleőrhetők ok hbhtások, melek külső körülméekből, ll mérés techológ heltele megálstásából ók E hbforrásokt többre megfelelő mérés őot, ll mérés móser megálstásál küsöbölk k él: Két ot mgsságkülöbségét geometr steéssel htárok meg Ekkor mérés külső - őjárástól, sktól függő - körülmée elletétes ráb htk, h méréseket reggel és korest órákb s elégeük reggel elégett és korest órákb megsmételt mérés átlgából külső körülméek okot sbálos hbhtások kesek 5

17 5 becslés fejeetbe U és σ ormáls eloslású lsokság rmétere, köéérték és sórás lóságb e rmétereket többre em smerjük (elleél: síkbel háromsög sögeek össege 8 o, fejeet éláj), hem mérés ereméek ( mtelemek) ljá becsüljük mérés ereméekből sámított köelítést becslések, köelítés sámserű értékét eg rméter becsült értékéek fogjk ee toábbkb feltételeük, hog méréseket sbálos hbák em terhelk mérés eremé eltérése becsült értéktől becsült hb, g, geoé sóhsálttl, mérés jítás lsokság rmétereek és becsült értékeek megeeése, esetekét jelölés mój klssks geoéáb megsokott sóhsálto ll E mgrát mtemtk sttstkáb megsokott eleeésektől ló eltérésekek (5 táblát) mt Mtemtk sttstk elmélet árhtó érték becsült hb sórás becsült értéke smert árhtó érték eseté sórás becsült (tstlt) értéke smeretle árhtó érték eseté sbságfok 5 sbságfok 5 táblát mérés sorot ló érték mérés jítás Geoé előetes köéhb tólgos köéhb fölös mérések sám sbságfok rméterek becsléséel kcsoltos mtemtk sttstk foglom sbságfokok sám soros össefüggésbe mérés ereméek sámál mtemtk felolgoás keetekor eg mérés ereméből álló mérés sorot (mt) sbságfokk sám H eg mérés sorotból eg becsült értéket úg htárok meg, hog hho eg másk, már gebből mérés sorotból becsült értéket hsálk fel, kkor sbságfokot kell leok ereetleg sbságfokból, há becsült értéket újbb becsült érték meghtároásáho felhsáltk t tét gs, hog becsült értékük megbíhtóságát már meghtároott becsült érték becslés hbáj s terhel, becsült érték sbságfok sámák móosításál tjk fgelembe e él: H eg mérés sorot köéértékét sámt köéel becsüljük, úg sbságfokok sám H sórást becsült sámt köéérték felhsálásál becsüljük, úg sbságfokok sám már - H sbságfokok sámát em móosítjk, torítás lé fel, mtemtk sttstk sóhsálttl, becslés em toríttl Más semotból ée, et úg s értelmehetjük, mt fkcoáls moell hbáját 6

18 H mtából m köéértéket, m sórást becsül krjk, sükséges mérések sám leglább H csk mgár méreő meségre gk kíácsk, sükséges mérések sám Ekkor ob cs lehetőségük sórás becslésére mások esetbe sbságfokok sám megegek fölös mérések sámál (5 táblát) Egetle méreő meségre égett egetle mérés eseté köéérték becslése megegek mérés eremééel, fölös mérések sám Me toább t -gel öel fölös mérések sámát Egetle méreő meségél tehát fölös mérések sám f - H - mt geoé eljárásk többségéél - em egetle, hem több méreő meség egejű meghtároás felt (7 fejeet), elmoottkt lábbkb áltláosíthtjk: Egmássl függékcsoltb léő m sámú sükséges meség meghtároásáho össese sámú mérést égük m sámú meséget toábbkb smeretleekek fogjk ee fölös mérések sám ekkor f - m E függetle ttól, hog mgkt meségeket, g elük lmle függékcsoltb álló egéb meségeket mérjük, ll keressük áltláosítás érées m sámú smeretle meség lósíűség eloslásár s: egmeós sűrűségfüggét feláltj m - meós "sűrűségfelület" él: P ot koorátát ott koorátájú és otokból kl, táolság- és sögmérések felhsálásál krjk meghtáro úg, hog koorátákr köetle méréseket em égük, ok köetett mérések eremée (5 ábr, fejeet, ábr és (5) kéletek) P P P α β 5 ábr: P ot kooráták meghtároás - köetle - mérés ereméek: α, β, P és P Keressük P ot P és P kooráták becsült értékét mérés ereméek sám, keresett smeretleek sám m, ho fölös mérések sám f m - 7

19 5 legksebb égetek ele mtemtk sttstk becsléselméletbe eloslás rméterek ló értékéek becslésére sámos, külöböő feltételekek eleget teő, ll feltételekből kló mósert olgotk k geoé mérés ereméek mtemtk felolgoáskor legksebb égetek elé lló mósert lklmák, esto már két ésá geoé célokr XIX sá elejé Gss és Legere áltl kolgoott, s későbbekbe mtemtk sttstk becsléselmélet tegrás réséé ált el 5 fejeet égé áolt áltláos esetbe köéértékek becslését bból feltételből kl írj elő, hog mérés ereméekek el ljá becsült értékektől ló eltérése, mérés jítások égetössege mmáls (5 kélet): ( j ) m F ( j,,, m) (5) (5) kélet jelölése: j - keresett j-k méreő meség becsült értéke (j,,, m); j - mérés eremére otkoó mérés jítás (becsült hb); - össes mérés eremé sám (5) kéletbe értéke folmtos, függetle méreő meség sorsámától, j -től Feltételee mérés ereméek ormáls eloslását, legksebb égetek ele ú mmm-lkelhoo (leggobb lósíűség) elel egeértékű el mérés ereméek mtemtk felolgoásár fejeetbe megfoglmott efícó otjáb rögített elletmoásmetes (kegelített) tresert úg ho létre, hog mérés hbákkl terhelt, egmásk elletmoó mérés ereméekhe ol (,,, ) jítás értékresert állít meg, melekkel mérés ereméeket megjít, ok köött elletmoások megsűek E össes lehetséges jítás értékreser köül ormáls eloslású mérés ereméek eseté leglósíűbb s 5 Egetle köéérték becslése (egetle meségre égett köetle mérések kegelítése) Gűjtőfoglomkét köéértékek eeük mérés ereméek átlgos értékét jellemő rmétert átlgos só tt sámt műeletre tl, köéérték becslése ob több, otos efált becslést jelet két leggkrbb hsált becslés sámt köéérték és mérés ereméek soroták köéső értéke, meá Egetle meségre égett sámú mérés eseté (5) kélet ( ) m F (5) függébe meg át, hol - keresett egetle meség (smeretle) becsült értéke és Igoljk, hog (5) feltétel - legksebb égetek ele - sámt köéértékhe eet (5) függéek ott mmm, hol első eráltj érs: 8

20 F ( ) össeg eráltj egelő tgok eráltjk össegéel: ho ( ) ( ) (5) ( ), (5) mel állításkt goltk mások erált értéke > F tehát sélsőérték lób mmm ( ) >, értékét geoéáb elfogott sóhsálttl egserű sámt köéek eeük egelőség fgelembe ételéel és (5) mtt 5 sórás becslése: előetes és tólgos köéhb lsokság σ sórásák becslését geoéáb mérés ereméek megbíhtóságák jellemésére hsáljk E köe beláthtó, h fgelembe essük, hog mérés ereméek köéértéketől ló eltérések - ló, g becsült - hbák, kkor sórás egfjt köees hbértéket jelet, eért s hsáljk rá geoéáb köees hb, röe köéhb eleeést (5 táblát) ttól függőe, hog sórást smert, g smeretle köéértékű lsokság ljá kíájk becsül, megkülöbötetük előetes ( ror) és tólgos ( osteror) köéhbákt Eek megfelelőe előetes köéhbáról besélük, h smert lsokság U köéértéke fejeetbe lm σ kélettel sórás égetére megfoglmott htárértéket legfeljebb megköelíte tjk, hse e htárérték geoé gkorlt mérések ljá csk úg lee sámíthtó, h égtele sámú lklomml mérék Erre sot cs meg lehetőségük Eért éges sámú mérés eremére előetes köéhb (5) htárérték égetgöke helett célserűe (5) ± (55), 9

21 kéletből sámíthtó, hol U () Felhíjk fgelmet köéhb kettős előjelére: köéhb gs - σ sórásho hsoló, fejeetbe életle hbák tljoság ljá - U - r otkoó eg smmetrks trtomát solgáltt H lsokság U köéértékét - l egserű sámt köéel - becsüljük, tólgos köéhbáról besélük geoé mérés gkorlt semotjából kétfjt köéhb köött megkülöbötetések lető jeletősége : előetes köéhb eg geoé mérőműser hsálhtóság krtérm, műsergártó cég áltl - etlol törtét össehsolítások (htelesítés, komrálás) ereméekét - meghtároott érték, melet műserhe mellékelt leírás, ll műser éserűsítésére solgáló rosekts trtlm felhsáló ee érték ljá tj kálst - áltl tereett mérés megbíhtóságtól függőe - ott célr megbíhtóság semotból lklms műsert előetes köéhb értékét meghtárohtj mg felhsáló s, ehhe ob össehsolítás ljál solgáló etlor süksége él: geometr steés előetes köéhbáják meghtároáskor sükség ú ráol-köégoás (α ) értékéek meghtároásár (5 ábr) steőműserrel steőléce égett lécleolsás előetes köéhbáját jelöljük - el E érték műser - léc táolság függée 5 ábr sert α ráolköégoás értéke függetle léctáolságtól, s lklms rr, hog ele - mt előetes köéhbál - steőműserek teljesítőkéességét jellemeük α értéke 5 ábrából kfejehető α ρ (56) össefüggéssel, hol ρ - mt fejeetbe - rá sögmásoercekbe kfejeett értéke α steőműser tlj steőléc 5 ábr: ráol köégoás α értékét meghtárohtjk, h - mt etlo - smert és otok m mgsságkülöbsége (5 ábr)

22 Fgelem! 5 ábrá és α értékek köéhbák, 5 ábrá l h és l e értékek mérés ereméek, s steőműser sbálos hbáj mtt ráol em ístes, hem ttól m, m oto függőlegese álló steőlécre törtéő ráásál ks ε söggel eltér Végeük sámú mérést smert m mgsságkülöbségre! eges mérések köött - ereméek függetleségéek btosításár - áltotssk műsermgsságot! lécleolsást otk mkrométerrel égeük, leolsás élessége, mm műser-léc táolság m mm mérés eremée 5 ábr ljá l l - l h e, (57) hol l h -, l e - oto álló steőléce ett lécleolsás (hátr és előre leolsás) ε sög htás kesk ( fkcoáls moell hotése), h műser két steőléc köött köée helekek el, mert C D ráol C D ráol l h ε ε l e tlj m steőléc steőműser steőléc 5 ábr: mgsságkülöbség meghtároás steéssel mérés eremé ló hbáj ( steett mgsságkülöbség eltérése m smert mgsságkülöbségtől): l - m (55) kélet ljá sámíthtjk m mgsságkülöbség meghtároásák előetes köéhbáját: m ± (58) smert mgsságkülöbség lege m,6 m mérés sámserű ereméét 5 táblátb foglljk össe, köbeső sámításokkl egütt

23 5 táblát mérés sorsám mérés ereméek, l (m) l - m (mm) (mm ),65,5,5,58 -,,,6,,,57 -,,9 5,59 -,, 6,58 -,, 7,6,, 8,57 -,,9 9,6,,,6,,9,66 mm α ráol-köégoás értéke (56) kélet ljá lább: m ± ±,66 ±,6 mm m,6 α ρ ± 665 ±,8 tólgos köéhb meghtároásák célj meghtároó smeretleekre kott mérés ereméek ljá tólg elégett mérések megbíhtóságák becslése tólgos köéhb meghtároás mg felhsáló felt, ll éreke előetes és tólgos köéhbák össehsolításából felhsáló elleőrhet áltl égett mérések korrektségét tólgos köéhb (55 fejeet, (58) kélet) gs - megfelelő méréssám eseté - elméletleg megegek előetes köéhb értékéel, eltérés mtemtk elleőrése sttstk hotéssgált (Fsher-test, g F-rób) útjá törtéhet hotéssgált egtí eremée többre fkcoáls moell hbáják köetkemée 55 sórás (tólgos) becslése egetle köéérték eseté () össefüggés ljá - U ; (5) sert ; e -U (59) Mkét ollt égetre emele és,,, sert össegee, kjk:

24 ( ) ( ) - - U U ; (5) e (59) ljá ( ) U -, g ( ) U U, (5) ho U - (5) Vsot és, úghog, (5) hol ( ) ( ) (5) életle hbák tljoság ( fejeet) mtt ok résbe otí, résbe egtí előjelűek, eért (5) kfejeés tgj megfelelőe g mellett elhgolhtó, s íg (5) (55) g (56) lkot ölt, ho (55) ljá (57) és égül tólgos köéhbár kjk: ± (58) egelőség sámítások elleőrésére solgál fetekből köetkek, hog előetes és tólgos köéhb elméletleg megegeek H sot mérés ereméeket sbálos hbák terhelk, úg (5) kélet tgják elhgolás mtt tólgos és előetes köéhb egmástól sgfkás

25 (jeletőse) eltérek Mt említettük 5 fejeet égé, eltérés sgfkcáj F- róbál elleőrhető él: Eg smeretle ϕ söget -ser mértük meg mérés ereméet és köbeső sámításokt 5 táblátb foglljk össe mérés sorsám mérés ereméek, ϕ 7 o 5 ' " " " 5 " 6 " " 8 " 5 " 8 " 6 " 7 " " 5 táblát ϕ -ϕ " -,7 -,7 -,7,, -,7,,,,, -,7 ( " ),9,,89,9,69,89,9,9,9,69 5,9,7 Végül, ϕ előetes köéhbár ϕ ϕ o 7 5,7 -, " 7,9 " ; érték ók ϕ ± ± kerekítés hbákr tl 56 kofec-terllm foglm 7, 9 ±, 7 becsült rméterek kokrét sámértéke helett korrektebb ereméeket kk, h - eg, ú otserű becslések helett - becsült értékektől ls, ll mís ráb eg - eg htároló értéket k meg l, hog e htároló értékek áltl körefogott terllm boos lósíűséggel trtlm rméter ló értékét htároló értékeket kofec-htárokk, kofec-htárok áltl körefogott trtomát kofecterllmk (megbíhtóság köek) eeük Ile kofec-terllmkét

26 értelmehetőek fejeetbe életle hbák tljoságál kcsoltb táblátb bemttott sámértékek, ll et tkrj σ sbál és erről sól 5 fejeetbe (55) kélet tá említett smmetrks trtomá Sgorúbb megfoglmásb, kofec-terllm ol trtomá, melre egséghe tetsőlegese köel eső β lósíűséggel (kofec-st) állíthtó, hog e trtomá trtlm rméter smeretle ló értékét méreő meség ló értékére felírhtó kofec-terllm tβ U tβ (59) lkú, hol t β - ú Stet - eloslás táblátából (l s melléklet) β kofec-st és f - sbságfok (fölös méréssám) függéébe kálsthtó egütthtó kkor, h mérés ereméek eloslás ormáls 5 él: előő, él esetére s melléklet sert β,95 kofec-st és f - mellett t β, él tt (59) kéletbe helettesíte, kjk: o, 7 o, 7 7 5,7, U 7 5,7, kofec-terllm lább: 7 o 5'," < U < 7 o 5' 6," méreő meség σ sórásár - sté ormáls eloslású mérés ereméek eseté - lább kofec-terllm írhtó fel: hol γ γ σ γ ; (5), γ χ (5) χ χ és χ értékeket χ eloslás táblátából ( s melléklet) álstják k f - -β sbságfok és és lósíűségek ljá 6 él: él esetére smét β,95 és f - mellett, χ eloslás táblátából,5,,975 és χ, és χ 8, íg kofec terllm lább:,,, 7 < σ <, 8, 7,,9" < σ <,6" 5

27 Vegük ésre, hog mellékletbe χ eloslás táblát,5 és,975 lósíűségekhe trtoó értékeket em trtlm, eért, és,5, lmt,95 és,99 értékek köött leárs terolácót lklmtk Más hsoló esetbe eljárás ge mérés ereméek mtemtk felolgoásák ereméet geoé gkorltb, mt láttk, sokás ± lkb felír E felírásmó elmoottkk megfelelőe ol kofec-terllmot feje k, hol t β (6 kélet) Ehhe esetükbe, Stet - eloslás táblát sert, f fölös méréssám eseté, kb β,7 lósíűség trtok kofec-terllm terjeelme álstott kofec-sttől függ Mél gobb e terjeelem, ál gobb lósíűsége k, hog terllm trtlm ló értéket go g terjeelemek kcs gkorlt jeletősége H sot sűkítjük terjeelmet, fokoott öeksk k kockát, hog htárokt téese jk meg, terllm már em fe le ló értéket, köetketetésük btoság eért csökke Eért egrésről btoság fokoás, ll tées köetketetés kockáták csökketése g terllmterjeelmet, másrésről skm értelmehetőség sűk htárokt géel két semot össeegetetése megegeés kérése: eek felel meg élákb s elfogott,95 kofec-st, ekkor téeés lósíűsége -,95,5, egserűbbe megfoglm: esetből 5-sör téehetük 57 korc, korrelácós egütthtó és regressós egelet Két lósíűség áltoó kcsolták jellemésére korcát és korrelácós egütthtót hsáljk co ( U )( Z) (5) fet kéletbe co - előetes köéhbáho hsoló előetes korc, mel sámíthtó kkor, h smerjük és lósíűség áltoók árhtó értéket kegelítő sámításb lósíűség áltoó helett mérés eremé, árhtó érték helett ló érték kfejeéseket hsáljk Ekkor U és Z meségek mérés ereméek (ló) életle hbá eláthtó, hog egetle meségek sját mgál lkotott korcáj rc ( előetes köéhb égete): ( U )( U ) (5) korrelácós egütthtó r ( U )( Z ) (5) 6

28 kélettel fejehető k, hol és U és Z méreő meségek előetes köéhbá r korrelácós egütthtó értéke és köé esk H r, t mojk, hog két méreő meség korreláltl korreláltlság csk kkor jelet függetleséget s, h mérés ereméek eloslás ormáls r eseté korrelácó mmáls Mel geoé mérés ereméek mtemtk felolgoásák egserűsítése céljából mérésekek függetleek kell leük, fotos, hog mle megbíhtósággl sámíthtó k korrelácós egütthtó értéke, ll mle bsolút értéke mellett tekthető sgfkásk két méreő meség függőségére otkoó feltb sgorú sgfkc sgálttól eltektük, sját megítélésük ljá kell megítélük kcsolt háát, ll esetleges léteését korrelácós egütthtó becsült értéke ljá két mérés sorot (mt) köött leárs kcsolt sorosságár köetketethetük * Kcsolt eseté egk meség (l ) mért értékéből függőség kcsolt - regressó - ljá becsülhető másk meség (l ) értéke Leárs regressó eseté f() függé geometr kée egees, melet eért regressós egeesek s eeük Lege két mérés sorotk lább mérés ereméekkel: tólgos köéhb (égetéek) lógájár eeük c ( )( ) kfejeést tólgos korcák Ekkor korrelácós egütthtó tstlt értéke meghtó c r kfejeéssel kéletek jelölése: ; ; (55) (56) ; ; ( ) ( ) ; * korrelácós egütthtó csk leárs kcsolt jellemésére megfelelő mérősám, két lósíűség áltoó köött más függékcsoltról em kk formácót Eg meghtároott függékcsolt sorosságát korrelácós e mér 7

29 - emrks - regressós egees egelete kfejehetők r r ( ) ( ), (57) lkb, ttól függőe, hog függőségét sgáljk - tól, g függőségét - től fet egeletekbe eg jelölések mellett egeesek b b r r rátgeset regressós egütthtókk eeük b b, regressós egeesek megkhtók legksebb égetek ele ljá s F ( G(, b ), b ) ( - - b ) m, ( - - b ) m (58) feltételekből kl össefüggésekbe ottk és eremé-árok, keressük regressós egeesek, b, ll, b egütthtót 7 él: Elektroks támérőel külöböő gságú, smert ló értékű táolságokt mértük 55 táblátb tlálhtjk mért táolságokt, km élességgel és mért táolságok ló hbák bsolút értéket Vsgáljk meg, tlálk-e leárs össefüggést táolságok gság és értékek köött E célból táblát t ljá htárok meg korrelácós egütthtót és írjk fel regressós egees egeletét 8

30 55 táblát mérés sorsám Átlg: mérés ereméek ( ) (km),7,7,,7,,,5,,6,,,,,5,8,,,,, ( ) (mm) 9, 6,5 9,, 6, 6,, 6, 7,,,5,,6 7,, 7, 9, 8,, 5,,8 km 7,7 mm,89 -,,9 -,,9,9 -,,9 -, -,7,9 -, -,6,69 -, -, -,6,9,59 -,7 -, km Sámítások, -,, -5,7 8, -, -, -,6 -,5-7,6 5,8 -,5-5, -,,5 -,6,6,7,7 -,7 -, mm,79,,5,,6,5,96,6,,5,8,68,7,76,,68,7,,8,5 Σ,568,96,,96,9 7,56,96 8,9,56,5 57,76,6,5 6,,6 8,5,6,56,9 7,9 7,9 Σ 69,7,6,,56,67,596 -,56, -,,5 5,96,68,85, -,76 -,5,6 -,976,,59,97 Σ 9,5 táblátb fogllt sámítások ljá sámíthtók köetkeő meségek: 9

31 ( ) 69,7 9 ±,97 mm ± 5 mm ; ( ),568 9 ±,9 km ±,5 km ; ( ), ( r 9,5 9,5,,568 69,7 6, ) otok és regressós egees grfks ábráolás ( bscss tegele táolságok km-be, orát tegele mérés hbák mm meób sereelek) (mm ) ló mérés hbákk táolságoktól ló függőségét kfejeő g, más jelölésekkel regressós egees egelete: 5 5 r r ( - ), ( - ) (km)

32 5 7,7 mm,,5 (,8) 7,7 mm, (,8) (,, ) mm hol, hog eremét mm meób kjk meg, értékét km-be kell behelettesíte (, regressós egütthtó meój mm/km) Fetekből köetkek, s et golj gkorlt s, hog elektroks táolságmérés ereméét eg táolságtól függetle és eg táolságfüggő hbtg befolásolj Megemlítjük, hog e éláb forított esetek - táolságk ló hbáktól ló függőségéek - cs értelme 58 súl geoé gkorltb gkr előforl, hog eges mérés ereméek oos köéértékű, e külöböő sórású lsokságból sármk 8 él: Ugt táolságot külöböő megbíhtóságú táolságmérő esköel mérjük külöböő mérőesköökkel kott mérés ereméek ljá kíájk becsül táolság ló értékét és eges mérés ereméek sórását Nláló, hog táolság ló értékét em becsülhetjük most egserű sámt köéértékkel felt megolásáho eg új, sórás függéébe megott mérősámr sükség, mel mteg össekötő sereet tölt be eges, külöböő sórású mérés ereméek köött Külöböő sórások eseté mérés ereméek () össefüggéssel ott sűrűségfüggée s külöböőek ( ábr) le mérés ereméeket csk úg tjk keelhetőé te, h össes mérés eremét gol eloslású (sórású) lsokságból sármttjk Legeek,,, ol c σ sámot, melre c mérés ereméek sórás rere σ σ σ σ σ σ,,, σ Válssk (59) és melet toábbkb úg tektük, mt keresett oos sórású lsokság sóráségetét (59) össefüggés kkor áll fe, h (,,, ) sorókt úg álstjk meg, hog ok σ σ σ ; ; ; (5) σ σ σ legeek (,,, ) sorót súlk eeük súl - mt látjk - sóráségettel forított ráos meség Egserűbbe foglm, súl t feje k, hásor megbíhtóbb, otosbb egk mérés eremé máskál Mel - mt láttk - sóráséget ló értékét áltláb em smerjük, sámítás keetekor súlokt gkorltb (55) kélettel megfoglmott előetes köéhb ljá sámítjk:

33 (5) értéke léegébe tetsőlegese álsthtó, megálstásáb csk súlok mtemtk keelhetősége játsk sereet kegelítő sámításokb sokásos értékét meó élkülek tekte, gs kegelítés sorá köebb külöböő meók egüttes keelése Ekkor súlokk kell meósk leük, m sot súlok keelését eheít meg Geoé II ttárgb meségek, úghog tt s köetjük et semléletmóot -et tektk meótl Mthog ereet mérés ereméekhe külöböő sórások és külöböő súlok trtok, m sámt köé, m eek ljá becsült tólgos köéhb sámításáho ereet mérés ereméeket móosítk kell úg, hog ok megke ée σ ( ) sórású lsokságból sármo Utóbbt úg érjük el, h megk mérés eremét ostjk hoá trtoó sórássl (előetes köéhbál) és sorok σ ( ) - ll: ; ; ; (5) E trsformácó ú homogeált mérés ereméekhe eet, melekek oos köéértéke és sórás Fgelembe ée súlr ott (5) össefüggést, (5) kéletek lkb s felírhtók ; ; ; (5) Eel külöböő sórású mérés ereméeket úg keelhetjük, hog ok - (5) móosítássl - gbból lsokságból sármk, s íg már me toább élkül lklmhtók rájk (5), (5), (5) és (55) fejeetekbe moottk mérés ereméek (5) trsformácóját gkorltb em égeük el, hem össefüggéseket lkítjk át úg, hog okb em trsformált, hem ereet mérés ereméek sereeljeek Jelöljük homogeált mérés ereméekből becsült köéértéket, geoé gkorltb hsáltos eleeéssel: súloott sámt köeet - el ereet mérés ereméek - től ló (5) eltérése mérés ereméek becsült hbá, mérés jítások (5 fejeet) Eek értékektől eg kosts értékkel térek el (55 ábr), tehát sórásk megegeek mérés ereméek sórásl 5 fejeetbe tárglt legksebb égetek ele csk homogeált mérés jításokr lklmhtó ; ; ; (55) átlkítássl értékek sórás megegeek

34 55 ábr: mérés jítások sűrűségfüggée 59 súloott sámt köé lklmk legksebb égetek (5) feltételét fet esetre Kjk: ( ) m F (56) (56) függéek ott mmm, hol sert első eráltj érs: ) ( F oábbá:, ho súloott sámt köé: (57) toábbkb és (57) fgelembeételéel tólgos köéhb (58) össefüggés sert felírhtó ± ± (58) ϕ (), ϕ ()

35 lkb ektettel rr, hog homogeált mérés ereméek sórás (köéhbáj) megegek, s súl efícój ljá me mérés eremé súl, egség, (58) kélettel kfejeett értékét egségsúlúk álstott mérés eremé tólgos köéhbáják eeük (e elméletleg megegek tetsőlegese álstott előetes köéhbál) súlegség tólgos köéhbáják és súl (5), ll (5) efícóják felhsálásál sámíthtók ereet mérés ereméek tólgos köéhbá össefüggésből gs, (59) hol helébe most k (58) kélettel sámíthtó tólgos értékét helettesítjük oos sórású mérés ereméek eseté termésetese me súl egség, ekkor láló me - re g, hog

36 6 hbterjeés Eg fejtegetések és meggoolásk köetle mérés ereméekre otkotk ( fejeet) geoé gkorltb ge gkr előforl eset, hog eg mérés eremét más, köetleül mért meségek függéébe sámítk (köetett mérés) köetle mérés ereméek eloslás (köéértéke és sórás-köéhbáj) ljá meg kell htárok eek függéeek (köetett mérés ereméek) eloslását, ll eloslás rméteret ( függéek köéértékét és köéhbáját) Lege,,, köetett mérés ereméek U ló köéértéke,,,,,,,, és,,, köetle mérés ereméek X, Y, és Z ló köéértékeek U X by c Z (6) leárs függée Ekkor köetett mérés ereméhe trtoó függéérték lább: b c (6) függéérték eltérése U ló értéktől ( függéérték hbáj) kfejehető - U ( X) b ( Y) c ( Z) (6) lkb előetes köéhb (55) efícój sert függéérték köéhbáják égetére írhtjk: ( - U ) ( X ) ( Y ) ( Z ) g, m g: b b c c, (6), (65) l feltételeéssel, hog (6) össefüggés jobb ollák égetre emelésekor eges sortok, gs (5) tísú kéletekkel meghtároott korcák értéke érs E feltétel geoé gkorltb mérés ereméek függetleségéek feltétele, áltláb csk résbe teljesül, megfelelő mérés móser, techológ megálstásál törekeek erre (65) össefüggés értelemserűe tólgos köéhbákr s lklmhtó (65) kfejeés egetle függé és korreláltl mérés ereméek esetére hbterjeés törée egütthtók b c és köéhbák egelősége, gs egelő súlú mérés ereméek eseté g, (66) (67) 5

37 él: teoolttl mért ístes sög köetett mérés eremée, két ráérték külöbségekét ók: ϕ I -, (68) j I b hol I j jobb-, I b eg bloll rár mért ráérték (6 ábr) I b I j ϕ 6 ábr: ístes sög, mt köetett mérés eremé Előetes sgáltok ljá ráértékre otkoó egetle leolsás előetes köéhbáj: I I I ± 6 Ekkor (67) össefüggés ljá kjk: j b ± I ±, 6 ± 8,5 ϕ (65) össefüggés mkét ollát ossk el súlegség köéhbájál, - tel Kjk: (69) b c súlok (5) kélettel rögített efícój sert függéérték súlár kjk: b c, (6) ho, b c és egelő súlú mérés ereméek eseté (me súl egség s), ók:, g, égül Megjegeük, hog, mel (6) meótl, úg meój köetett mérés eremé meóják égete, meój eg eek recrok H l köetett mérés eremé meój sögmásoerc ( ), úg meój 6

38 él: éláb köéhbák egelősége mtt - ϕ I j I I b 6 6 -, s eért fetekből s láthtó, hog súl solgos mérősám, köéhbák égeteek ráától, s em ok kokrét sámértéketől függ 6 sámt köé és súloott sámt köé köéhbáj és súl hbterjeés törée ljá htárok meg sámt és súloott sámt köé köéhbáját és súlát Feltételeük, hog mkét becsült köéérték, más-más mérés sorotokból (mtákból) becsüle, más és más lehet, létek eloslás- és sűrűségfüggéük, ee belül sórásk (köéhbájk) M sámt, m súloott sámt köé úg s tekthető, mt köetett mérés eremé, s íg lklmhtó rájk hbterjeés (65) össefüggéssel meghtároott törée egserű sámt köé (5) kélete felírhtó lkb (66) fgelembeételéel írhtjk: és (6) ( ) ) hol - eges mérés ereméek köéhbáj, (6) (6) össefüggés fgelembe ételéel 56 kofec-terllm foglm c fejeet (59) kélete átírhtó lkb t (6) β U t β sámt köé súlár, (6) össefüggés -tel ló ostásál, kjk:, (65) mert oos köéhbájú mérés ereméek eseté - mt láttk -, s eért 7

39 8, ho, (66) gs egserű sámt köé súl egelő mérés ereméek sámál (66) össefüggés rámtt súlok megálstásák eg egserű lehetőségére: több meség mérésekor eges meségekre otkoó mérés ereméek súl eges meségekre égett mérések sámál egeese ráosk súloott sámt köé köéhbáj, (57) leárs össefüggésből kl, egserű sámt köére bemttott leeetéshe hsoló khtó meg, (65) össefüggés ljá kjk: (67) Végül, súloott sámt köé köéhbáj lább: ( ) (68) (68) össefüggés és súl (5) efícój ljá Felhíjk újr fgelmet rr, hog fet össefüggések leeetésekor stochstks moellbe mérés ereméek függetleségét, korreláltlságát tételetük fel él: Mérőálák ϕ sögét három, külöböő megbíhtóságú műserrel mértük meg mérés ereméek köetkeők: műser: ϕ 9 O 7 műser: ϕ 9 O 6 58 műser: ϕ 9 O 7 Gár tok ljá műserek megbíhtóságát köetkeő előetes köéhbákkl jellemeük: műser: műser: 6

40 műser: előetes köéhbákból - mellett - (5) ljá sámítjk súlokt: - 6 Keressük ϕ sög becslését, ϕ súloott sámt köéértéket, súloott sámt köéérték köéhbáját és súlát, súlegség tólgos köéhbáját, lmt eges mérés ereméek tólgos köéhbát sámítás egserűsítése céljából me mérés ereméből ojk le ϕ 9 O 6 értéket mrékokt jelöljük ϕ, ϕ, ϕ - ml Kjk: - - ϕ ϕ lább kéletekbe súlok meót már em sereeltetjük súloott sámt köé: O O ϕ ϕ ϕ 9 6 7, 9 7, mérés jítások (becsült hbák): 7-7,,6 58-7, -, 9-7, 9,6 Elleőrés - mérés jítások súloott össege érs:,6 -, 9,6 súlegség tólgos köéhbáj (58) össefüggésből sámíthtó: , 87,6 ± ±,9 - (68) sert súloott sámt köé köéhbáj: Megjegeük, hog, h köetett függé rgmetm oos meójúk, mt fet élák esetébe, úg elkerüleő súlok meók értelemserű, e kéletekbe ró feltütetését célserűbb súlegség köéhbáj meóját mérés eremé meójáb megálst Ekkor súl les meó élkül 9

41 ϕ ± ( ) ± 87,6 5 - ( ) ± 5, súloott sámt köé súl: ϕ 5 mérés ereméek tólgos köéhbá súl (5) efícój sert lábbk:, 9 ±, 9 ±, 9 ± ± 6, ±, ±, 9 él semléletese mttj, hog egségsúlúk álstott mérés eremé tólgos köéhbáj egelő súlegség köéhbájál előetes és tólgos köéhbák g eltérése ( tólgos köéhbák kétserese előetes köéhbákk) rr tlk, hog g stochstks moell hbás, g, m lósíűbb, túl keés mérés eremé eltérés - egébkét me sgált élkül s sembetűő - sgfkcáját (jeletős oltát) sttstk hotéssgálttl mtthták k (ebbe esetbe F-róbál (5 fejeet) 6 hbterjeés törée em leárs függé eseté geoé gkorltb ge gkr előforló eset, hog köetett mérés eremére felírhtó függé em leárs (l () és () függéek), hgomáos geoé felolgoás techk sot csk leárs függéeket tj keel Eért, lmt bból célból, hog eg össefüggéseket toábbkb s hsál tjk, em leárs függéeket lerálk kell lerálást hgomáos lor - sorb fejtéssel égeük fkcoáls moell lető hotése tt, hog sorb fejtés ereméekét kott kfejeés ú mrék tgj elsőfokú tgho kéest elhgolhtó kcs Lege,,, köetett mérés ereméek U ló köéértéke,,,,,,, és,,, köetle mérés ereméek X, Y és Z ló köéértékeek U f X, Y,, Z (69) ( ) em leárs függée Ekkor,,, (,,, ) mérés ereméekhe trtoó köetett mérés eremé köetkeő: (,,, ) f (6) mérés eremé eltérése U ló köéértéktől ( függéérték hbáj) felírhtó

42 lkb Fgelembe ée, hog (69) - re írhtjk: ( X, Y,, Z ) U f (6) U; X; Y;; Z; (,,, ) U f (6) oíthtó, h (6),,, mérés ereméek köreetébe leglább kétser fferecálhtó, foltoos függé, úg e köreetbe U f (,,, ) f (,,, ) R (6) (6) össefüggés -áltoós lor-sor első fferecálháosokr korlátoott lkj, rcáls eráltk smbolks jelöléséel, hol R mrék tgot fkcoáls moell-hotésük értelmébe elhgoljk fkcoáls moell hotése tt, hog,,, ló hbák eléggé kcsk hho, hog mgsbb reű eráltkt és ló hbákt egél mgsbb htáo trtlmó R mrék tg elhgolhtó lege Fgelembe ée (6) össefüggést és mérés hbákr ott kfejeéseket sshelettesíte, kjk: hol f U (,,, ) ; ( X ) b ( Y ) c ( Z ) f b (,,, ) ; ; f c *, (6) (,,, ) (6) kfejeés megegek leárs függéekre kott (6) össefüggéssel, s íg lklmhtók (6) és (65) kéletek él: fejeetbe ( ábr) C C s cos össefüggésekbe és köetett mérés ereméek C táolság és C rásög em leárs függée () össefüggéssel gott C rásöget C C () C ϕ () függéel tk meg Feltételeük, hog és otok koorátá - mt kló tok - hbátlok (e stochstks moell hotése) Ekkor hbterjeés leárs függéekre otkoó (65) törée ljá, * Hsoló eremére jtk, h em lor-sorból, hem ló hbák kcssége mtt teljes fferecálból lk k (Függelék: F Dfferecálsámítás össefoglló)

43 (65) ϕ táolság mért értéke lege C 5,5 m, előetes köéhbáj eg ±5 mm oábbá ϕ 7 o 5, ± rásög ott koorátákból sámított értéke ϕ o 5, előetes köéhbáj eg (65) össefüggés sert megegek köetleül mért ϕ sög előetes köéhbájál: ± ϕ Keressük és koorátkülöbségeket és eek () sert koorátkülöbségek: 5,5 m s 5,5 m cos és előetes köéhbát o ( 78 5 ) 9,78 m, o ( 78 5 ) 9,858 m függéérték köéhbáják meghtároásáho kéeük () első kéletéek C és C sert első rcáls fferecálháost mérés ereméek helé: ( s ) o ( 78 5 ),98 C C s C s, b C ( s ) C C C cos C 5,5 cos C hbterjeés törééek lklmásál ók: ρ b első tgb meó élkül, o ( 78 5 ) 9858 mm meój mm, mások tgb b meój Utóbbt tehát ostk kell rá -be kfejeett értékéek égetéel, ρ értékkel Ekkor meój sté mm les Kjk: 665, ,5 mm, ho ± 5, mm 8 mm,8 mm, függéérték előetes köéhbáját hsoló móo khtjk meg: oábbá: ( cos ) C C o cosc cos( 78 5 ),9, b C ( cos ) C C - C sc -5,5s C ρ b, o ( 78 5 ) -978mm,

44 665, , mm 7,6 mm 8, mm és ±, 9 mm és értékek össeetéséből láthtjk, hog értékbe táolságmérés hbáj, értékbe rásög hbáj omál kooráták sámítás megbíhtóság tehát ráfüggő, mből s köetkek, hog ok mtemtk értelembe korreláltk lesek két sélső esetbe ) C 9 O mellett, mert b cos és s C és C C C, mert cosc, ρ gs csk rásög sórásától függ ) C O mellett C, mert sc és ρ, mert b - C s C hol most függ csk rásög sórásától 6 hbterjeés törée mátros lkb fejeet megértéséhe mátr-sámítás lető foglmk smeretére sükség Erről rö össefogllót Függelékbe k etsőleges sámú,, mérés eremé függéére hbterjeés törée, b c (65) b c lkú, l feltételeéssel, hog mérés ereméek korreláltlok össefüggés m leárs, m em leárs függéekre g, l külöbséggel, hog em leárs esetbe, b,, c egütthtók (6) kélet tá rcáls eráltk (65) össefüggés egserűbbe írhtó fel, K (66),, ú krtks lkb (Függelék, F fejeet) (66) krtks lkb kjelölt ektor-mátr sorás eremée sklár kéletet kfejte, írhtjk:

45 hol ( b c ), ( b c ) b, c osloektor trsoáltj,, K, eg,,, mérés ereméek (átlós, goáls) korc-mátr, főátlójáb mérés ereméek köéhb égeteel él: előő fejeet élájáb ráú koorátkülöbséget s C C kélettel tk meg Írjk fel él -r otkoó megolását mátros lkb:, ( s cos ) (, mm), C C C,98,, 9858 mm 5 mm K, ρ 665 koorátkülöbség köéhbégete mátr sorás sbál sert (Függelék, F fejeet): ho, K,,98 5 mm, ± 5, mm (, mm) mm 5 mm, mm 665 6,5 mm 8, mm,8 mm,

46 6 hbterjeés törée több függére H most sámú,,, ( (,,, ) sámú b, b c, m b c m m c, m ) mérés eremére em eg, hem m (mátros lkb ) m, m,, függét írk fel, úg hbterjeés eg egetle függére felírt törée mátros lkb köetkeőkée móosl: K m, m K (67) m,,, m össefoglló mátros felírásmó lehetőé tes sóráségetek és korcák egejű sámítását (67) össefüggésbe co co co co K, m, m co co m b c b c m,, m bm cm K,, m b b bm, m c c cm K goáls égetes mátr főátlójáb függéértékek köéhbégetet, m,m főátló kíül függéértékek köött korcákt trtlm b él: lklmk feteket él mkét függéére Ekkor láló m, C C s cos s C C cos C, mm, cos C - C s, C,9-978 mm s C, C cos cos C C - C sc C C, mm,9, -978 mm 5

47 5 mm K, ρ 665 s C C cos C s C cos C K K,,,, cos C - C sc C cos C - C s ρ C,98,9,98 5, mm -978 mm mm mm mm mm mm 665, ,9 mm -978 mm,98, mm -978 mm, ,98, mm ,98, , mm mátro belül kjelölt műeleteket elégee, égül co,,8-5, K mm mm, co -5, 8,, Vegük ésre, hog K korc mátr smmetrks, goáls eleme, koorátkülöbségek köéhbégete, átló kíül eleme eg 57 fejeetbe (5) össefüggéssel megfoglmott korcák köéhbák: ±5, mm és ±, 9 mm korc smeretébe (5) kélet sert sámíthtó és értékek köött korrelácós egütthtó: co(, ) 5, r,5 5,,9 Külöösebb sgált élkül megállíthtó, hog h egáltlá létek korrelácó gege 6

48 7 Geoé hálótok öbb köéérték egejű becslése Geoé hálót ltt ol - Föl felsíé lmle móo megjelölt - otok reserét értjük, melek eg rése lmle (többre etület) koorátreserbe smert, gs tere koorátál ott ot, más résük koorátát eg kár köetle, kár köetett mérés ereméek felhsálásál meg kell htárok (új otok) Mgk mérés ereméek áltláb em mgk keresett kooráták, e kfejehetők ok függéébe E függéek lehetek leársk ( mgsság hálótok esetébe), s lehetek em leársk ( ístes, ll GPS hálótokál) hgomáos geoé kegelítés leárs függéeket köetel meg, em leárs függéeket lerálk kell (6 fejeet) geoé hálótokb égett mérések egejűleg egél több meség meghtároásár rálk, méréseket áltláb em köetleül keresett meségekre égeük felt mtemtk semotból több köéérték egejű becslését jelet él: ábr geoé hálótot ábráol, tere koorátál ottk és otok, köetleül mérjük α, β és γ sögeket, meg kell htárok C új otk koorátát öbb köéérték becsléséek feltát úg tekthetjük, mt 5 fejeetbe leírtk kterjestését több meór eg jelölések és eleeések többmeós megfelelőt 7 táblátb foglljk össe fejeet megértéséhe tt s sükség mátr-sámítás lető foglmk smeretére (Függelék) 7 táblát meó öbb meó eg meós ormáls eloslás, ϕ() sóráséget, σ ; köéhb égete, súl, smeretle, U mérés eremé, több meós ormáls eloslás, ϕ() korc mátr, K súlmátr, P smeretleek ektor, Z mérés ereméek ektor, smeretle meség becsült értéke, smeretleek ektorák becsült értéke, súlegség köéhbáj, mérés jítás, súlegség köéhbáj, mérés jítások ektor, kofktor-, g súlkoeffces mátr: súl recrok, K P kofec-terllm(megbíhtóság kö) kofec- (megbíhtóság) (her-) ellso, hbellss 7