Schultz János: Algebrai egyenlőtlenségek, Megoldások

Átírás

1 FELADAT ALGEBRAI EGYENLŐTLENSÉGEKRE Veges feldto ülööő megoldási módserere MEGOLDÁSOK ) Vegü ésre hog íg!! !!!! ( )!!!! 006! 007! 007! < ) Vegü ésre hog ( ) eért ioítdó egelőtleség l oldlá álló ifejeést átlítv: < ) Tudju hog eért ( ) íg ioítdó egelőtleség l oldlá sereplő össeg: < ) Jelöljü l oldlo sereplő sortot -vl és teitsü lái sortot: Mivel Mtemti Ottási Portál - / 77 -

2 go -re ise értéet d h poitív egés íg öű láti hog > > Sorou össe ifejeéseet! Kpju hog 800 > > ho om dódi állítás ) Lege 007 és teitsü S össeget! Vegü ésre hog < < < < < < < < < A megfelelő oldl össedás utá dódi hog ) Lege eor < S < < < < < < < 00 0 < < < < Teitsü láit: Mtemti Ottási Portál - / 77 -

3 Mtemti Ottási Portál - / 77 - < ) ( ) ( < Íg or < < Midét esete t fogju felhsáli hog mi ú háromsög-egelőtleség és égetre emeléssel egserűe igolhtó Egelőség potos or áll fe h és oos előjelű Teitsü sámegeese ot heleet hol solút-érté jelee elüli ifejeés értée 0 és ee megfelelőe végeü lái esléseet: ) ) ( f továá egelőség potos or áll fe h 0 e miimum hele ) ) ( g továá egelőség potos or áll fe h 7 és íg ee midi miimum hele Megjegés: A fet leírt módo ereshető meg f ) ( függvé miimum hol i - dott vlós sámo Pártl -re ) esettel páros -re pedig ) esettel lóg eredmé dódi 5

4 Jelöljü sámot -vl és -vel hol > 0 > 0 A sámti és mérti öép öötti egelőtleség mitt ho ( ) > ( ) > ( ) > 6* ) Fel fogju hsáli t öe igolhtó állítást hog > 0 eseté Ie Vegü ésre hog or ( ) Össedv három egelőtleséget pju ioítdó állítást Egelőség potos eseté áll fe ) A ) rése látott egelőtleséget llmv: íg Össedv három egelőtleséget pju ioítdó állítást Egelőség potos eseté áll fe Mtemti Ottási Portál - / 77 -

5 7* ) Jelöljü i sámo öül leggot -vl és lege eor A A A A A hise i i Egelőség potos or áll fe h egrést i i mide i-re i 0 vg i másrést A / E étféleéppe lehetséges: mide i 0-vl egelő vg páros és / dr i 0-vl / dr pedig -vl egelő hol > 0 ) A ioítdó írhtó l E pedig sámti és mérti öép öötti egelőtleség mitt ig ) Feltehetjü hog 0 Eor i < jeseté öveteéséppe Világos is hog i j i j i j ( )( ) i< j íg elegedő megmutti hog ( )( ) E modott mitt teljesül íg feldtot megoldottu 8 Mtemti Ottási Portál / 77 -

6 Vegü ésre hog ( ) ( ) ( )( ) ( ) f ( ) Eől világos hog f () miimális értée melet ott ves fel hol 9 Veessü e u 5 0 ± és v helettesítéseet eor u v feltétel mellet ell megeresi u 9v ifejeés sélső értéeit Mivel ( u ) 9 5u 8 u 9v u 8v u 8 íg ol leolvshtó hog miimum értée mimum értée pedig 9 Miimális or les h u v 0 mimális pedig or h u 0 v 0 Vegü ésre hog íg K 6 ( ) ( ) ( ) ( 6 ) ( d d d d ) 6( d ) 6 K mimális értée tehát 6 melet or ves fel h d vg Nilvávló hog 0 < d < Elvégeve műveleteet: 5 d d d d d d d d 6 5 ( d ) d( ) ( )( d ) 6 5 ( ) d( d ) ( )( d ) 6 Mtemti Ottási Portál / 77 -

7 hise d Köű láti hog d d Lege és d eor továá elegedő igolu hog Mivel Íg 5 6 ( )( ) ( ) mi ig Vissfelé hldv világos hog or eredeti egelőtleség is teljesüli fog és egelőség potos or ál fe h d ) Mivel 0 íg ho Lege i i i i i ( ) i i i i 0 i i eor elegedő elátu hog ( ) ( ) 0 mel ilvávló ig Egelőség potos or teljesül h vgis vlmel i mide mási pedig 0 ) Idulju i ilvávló ig egelőtleségől! Redeés utá: ( )( ) 0 Mtemti Ottási Portál / 77 -

8 továá hsoló phtju hog Össedás utá: íg elegedő igolu hog Mivel ( ) ( ) ( )( ) 0 Eért lóg egelőtlesége felírás mjd pott megfelelő oldli össedás utá ( ) egelőtleség dódi Egelőség potos or áll fe h vg pedig ét váltoó értée hrmdié pedig 0 Megjegés: A megoldáso sereplő ötlet jól hsálhtó mide ol esete hol váltoó árt itervllumo elemei ) Lege Eor felhsálv sámti és mérti öép öötti egelőtleséget: S Egelőséghe süséges hog teljesüljö mi pl és 0 eseté megvlósul eért imodhtju hog S mimális 007 értée )* Vegü ésre hog Mtemti Ottási Portál / 77 -

9 S ( ) ( ) ( ) 008 hol 0 és 0 H 0 és 0 or i j felhsálv sámti és mérti öép öötti egelőtleséget eért S S mimális értée 00 les mit pl or ves fel h 0 H jo oldlo potos eg vg három téeő egtív or ése vgu Két egtív téeő em lehetséges mert pl < 0 és < 0 eseté össedás utá < 0 dód Végül h jo oldlo midhárom téeő poitív or íg megfelelő oldl össesorásávl: ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ho ioítdó ol dódi Egelőség potos or áll fe h három váltoó egelő 5* Lege eor egelőtleség átírhtó öveteő l: ( )( )( ) mi éppe feldt állítás! Egelőség sis or áll fe h 6** ) Mtemti Ottási Portál / 77 -

10 A váltoó ilius seréjével l oldlo lévő ifejeése egmás mee át íg feltehető hog Átlítás utá: r [ ] ( )( ) 0 r r ( ) ( ) ( ) r r Mivel és 0 eért itt l oldlo midét tg em egtív! Egelőség potos or áll modott feltevés mellett h vg 0 Fotos speiális eset mior r Átredeés utá: ) A ioítdó írhtó öveteő módo: ( ) 5 A öre emelés elvégése mjd redeési lépése utá: mi épp Shur-egelőtleség átredeett lj r itevő eseté! Egelőség potos or áll fe h vg ét váltoó értée hrmdié pedig 0 Megjegés: A feldt megoldhtó 8 feldt megoldási leírt módsere llmásávl is 7 Jelöljü feldt sereplő össeget S-sel Nilvávló hog S > Másrést 0 < < és > 0 eseté Sorás mjd redeés utá: mel ilvá ig íg < 0 < ( ) Mtemti Ottási Portál / 77 -

11 S < Egi oldlo sereplő egelőtleség sem élesíthető Lege pl hol > 0 eor S és H 0 or S h pedig or S Megjegés: A feldt sereplő egelőtleség öe áltláosíthtó 8 > és ( d ) d ( d ) ( d ) Mivel íg d < ( ) ( d ) d < 8 9* A ) ill ) rés ioítás soros össefügg! ) Végeü el öveteő helettesítéseet: Eor pl A lóg össefüggése felírás és ehelettesítés utá redeést övetőe ioítdó: < mi épp ) rése itűött egelőtleség! Mivel mide tört -él ise íg jo oldli egelőtleség ilvávló A l oldli egelőtleség igolásáho vegü ésre hog pl íg ( ) 0 Mtemti Ottási Portál - / 77 -

12 A mási ét törtre hsoló egelőtlesége felírás mjd össegés utá dódi ioítdó Egelőség potos or áll fe h 0 Vegü ésre hog pl hise ( ) ( ) 0 Lege or A mási ét tört esetére is llmv godoltmeetet ése vgu hise három tört össege les Egelőség potos or áll fe h * A feldt feltételeiől övetei hog 0 A l oldlo sereplő ifejeés esléséhe elősör elátju hog 0 eseté Sorás mjd redeés utá: 0 < és 0 ( ) mel ilvá ig Allmv feti egelőtleséget: és hsoló Össegéssel: Mtemti Ottási Portál - / 77 -

13 Mtemti Ottási Portál - / 77-5 Egelőség potos or áll fe h ét váltoó értée 0 hrmdié pedig A mási egelőtleség igolásáho vegü ésre hog 0 eseté Redeést övetőe: 0 mel ilvá ig E lpjá or teljesüle öveteő is: és ho 6 5 Köe leolvshtó hog egelőség potos or áll fe mit előő egelőtleség esetée * Jelölje i sámo övevő sorrede redeett sorotát! Eor illetve i i i i Elegedő megmutti hog ( ) < A l oldlo lévő tgot esüljü felülről lái serit:

14 Mtemti Ottási Portál - / 77 - illetve eseté < < < Íg or ( ) l oldlá álló meiség ise les mit Eel feldtot megoldottu Megjegés: Jóvl erőse esööel eláthtó hog helett jo oldlo -es soró mellett is érvées egelőtleség de -él ise sám eseté már em feltétleül ** H mide váltoó egelő -el or egelőség áll fe H v ét ülööő or legee o 0 < < < < Mivel továá íg össeget álldó értée trtv h -et és -t egmásho öelítjü or sort értée söei fog! H vg vlmelie eléri értéet or visgálju meg új sám -est Ameie sámo öül em mid egelő -el or ismételjü meg ráju fet leírt eljárást Mivel véges so

15 sám v és -től ülööő sám sigorú mooto söe eljárás sorá íg véges so lépés utá mide sám egelő les miöe l oldlo sereplő sort értée söe Eel feldtot megoldottu * Teitsü α α α ( ) α f ( α) függvét hol 0 < α Belátju hog 0 < α < β eseté f ( α) > f ( β ) íg első sám les go Jelölje i i helettesítést llmv: i sámo öül leggot eor α α ( ) α f ( α ) Vegü figeleme hog 0 < íg 0 < α < β eseté α β eért mit t állítottu β β β β ( ) α > ( ) β f f ( α) 5* Elősör eioítju hog > 0 eseté β ( ) Világos hog eseté egelőség áll fe H > or lege d hol d > 0 íg H < or pedig d d d d > mitt előőleg már igolt lho jutu Allmv ( ) egelőtleséget poitív sámor phtju hog d Mtemti Ottási Portál / 77 -

16 Mtemti Ottási Portál / 77 - mi épp ioítdó állítás Egelőség potos or teljesül h 6* Belátju hog eseté > > Átlításot végeve: > > > A l oldlt lulról megesülhetjü úg hog iomiális tétel serit ifejtett ljá s első három tgját írju le íg elég elátu hog > Új átlításot végeve: > > > > mel ilvá ig Megjegés: A fetihe hsoló de tehiás sámolássl igolhtó hog

17 sorot sigorú mooto ő! 7* Belátju hogh lú or elég g -r s túlő ármel előre rögített sámot A össeg eslését -htváo segítségével lái serit végehetjü: s > > 0 lg lg lg lg lg lg8 6 6lg8 7 7lg8 lg ( ) ( ) lg > Ismeretes hog árójele sereplő össeg tetsőlegese g lehet (e pl - htváo segítségével fetihe hsoló láthtó e) íg eel állításut igoltu! 8* I megoldás 7 Belátju hog ifejeés leggo értée Redeést övetőe: 7 7 ( ) ( ) 0 7 Lege Eor Mivel eseté t és 7 7 ( ) ( ) 0 7 f ( t) ( ) t 7 7 f (0) < ( ) ( ) t t 0 Mtemti Ottási Portál / 77 -

18 ( ) 7 f ( t0 ) ( ) 7 továá f (t) elsőfoú függvé eért elegedő imuttu hog f ( t 0 ) 0 mert 0 t 0 itervllumo f ( t) 0 mi épp ioítdó állítás! Vegü ésre hog or [ ; ] ( )( ) 08( ) ( ) ( 6 ) 0 08 f ( t0 ) 7 Egelőség potos or teljesül h továá II megoldás A lái sereplő módser ( váltoó vriálás ) ige jól llmhtó so -váltoós ifejeés visgáltor Lege f! Tegü fel hog eor Kiírv: mi ig Elősör igolju hog f ( ) f 8 0 ( ) ( ) 0 Ee utá elegedő megeresü f ( ) hol! Kiírv: ifejeés mimális értéét ( ) ( ) ( ) f 5 g Mivel g( ) első deriváltj g 0! Mtemti Ottási Portál / 77 -

19 íg dott itervllumo g ( ) 0 eért öveteéséppe mimális értéét 7 ifejeés mimum pedig 7 g mooto söe hele vesi fel Eor 9* Köű láti hog 6 Veessü e helettesítéseet eor 0 5 és 0 A feldt sereplő sortot K-vl jelölve: K A -r -re és -re votoó feltétele mitt: Eeet össedv ihsálv hog 0 dódi hog K Egelőség potos or áll fe h 0 5 illetve etű seréjével phtó esetee Eor 6 st Eel feldtot megoldottu! A NEVEZETES KÖZEPEK ALKALMAZÁSAI 0 Mivel ( ) ( ) Íg sámti és mérti öép öötti egelőtleség mitt: ( )( ) ( )( ) ( )( ) Mtemti Ottási Portál / 77 -

20 Össesorov feti egelőtlesége megfelelő oldlit dódi feldt állítás Egelőség potos or teljesül h Elvégeve műveleteet ésrevehetjü hog ( )( )( ) ( )( ) eért ioítdó: ( )( ) A sámti és mérti öép öötti egelőtleség mitt: és eért ése vgu Egelőség sis or áll fe h * A sámti és mérti öép öötti egelőtleséget váltoór llmv pl íg ( ) ( ) ( ) ( ) ho ioítdó ol dódi Egelőség potos or áll fe h * Belátju hog ifejeés mimális értée 7 Tegü fel hog leggo eor és íg ( ) ( )( ) ( ) 7 miöe felhsáltu sámti és mérti öép öötti egelőtleséget Egelőség potos or áll fe h 0 és 0 illetve ee vlmel ilius seréjével phtó esete Mtemti Ottási Portál / 77 -

21 Megjegés: A feldt megoldhtó 8 feldt megoldási llmott módsere segítségével is * ) I megoldás A jo oldlo: ( ) ( ) mivel öismert hog Elég elátu hog Vegü ésre hog ill elletétese redeett sámhármso íg redeési tétel mitt jo oldlo lévő ifejeés em go mit mási párosítássl dódó l oldli ifejeés Egelőség potos or áll fe h II megoldás Ossu el midét oldlt -vel! Kpju hog Bővítve l oldlo álló törteet: ( ) miöe felhsáltu 6 feldt sereplő Cuh-egelőtleségől leveethető egelőtleséget ) A jo oldlo: hol ( ) mi vg redeési tételől és sámhármsor hivtoássl vg pedig oos redeett Mtemti Ottási Portál - / 77 -

22 ( ) st mitt sámti és mérti öép öötti egelőtleségől dódi Íg elegedő elátu hog Hsálju redeési tételt ill elletétese redeett sámhármsor! Egelőség or és s or teljesül h 5* Fel fogju hsáli súloott sámti és mérti öép öötti egelőtleséget mel serit h > 0 és s > 0 or i i s s s s s s s s s ( ) s s s hol si - ú súlo (H s s s or ööséges sámti és mérti öép öötti egelőtleséget erjü) H si i s or gr llmhtó i i lho jutu hol > 0 és Egelőség potos or áll fe h Lege eor d i d d esléséhe teljesülie ell öveteőe: hol jól láthtó Mtemti Ottási Portál - / 77 -

23 A feti lieáris egeletredsert megoldv vgis d d d A eredeti egelőtleség jo oldlá mási három tgjár is felírv megfelelő esléseet mjd egelőtleség megfelelő oldlit össedv dódi feldt állítás Egelőség potos or áll fe h d 6 A sámti és mérti öép öötti egelőtleség mitt Íg l oldlt tgoét esülve leglá A árójele álló ifejeésre llmv -váltoós sámti és mérti öép öötti egelőtleséget dódi hog értée leglá miől övetei feldt állítás Egelőség potos or áll fe h Megjegés: A feldt sereplő egelőtleség áltláosíthtó dr váltoór 7* Vegü ésre hog pl ( ) ( )( ) ugis egserű sámolássl eláthtó hog Elegedő eért igolu hog ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) A sámti és mérti öép öötti egelőtleség mitt pl Mtemti Ottási Portál - / 77 -

24 Mtemti Ottási Portál - / 77 - íg pju hog ( ) l oldlá álló ifejeés -serese legfelje mit átlítv: eért ( ) egelőtleség ig öveteéséppe eredeti is Egelőség or és s or áll fe h 8* Felhsálju hog A ioítdót átlítv: Ismert hog első árójele elül em egtív sám áll íg elegedő eláti hog 0 9 ( ) 9 A sámti és mérti öép öötti egelőtleség mitt: ill

25 Mtemti Ottási Portál / 77 - mele megfelelő oldli össesorásávl dódi ( )-gl jelölt egelőtleség mivel eredeti állítást is igoltu Egelőség sis or áll fe h 9* Sorou -vel és dju midét oldlho -t! Kpju: 6 6 Allmu sámti és mérti öép öötti egelőtleséget l oldlo sereplő 6 tgr és ése is vgu! Egelőség potos or áll fe h ár ee isámolás issé hossdlms visgáltot igéel 0** ) Lege Világos hog 0 < < ioítdó pedig: Vegü ésre hog mitt 5 5 Tegü fel hog <! Eor sámti és mérti öép öötti egelőtleség felhsálásávl: 5 > mi elletmodás íg ioítdó ig Egelőség potos or áll fe h

26 ) Veessü e helettesítéseet hol > 0! Eor pl íg ioítdó: Lege X Y Z 8 8 8! Eor t ell elátu hog X Y Z Mivel pl eért X 8 X X ( X )( Y )( Z ) 5 X Y Z Ie megoldás só serit úg fejehető e mit t ) rése láttu! Egelőség potos or áll fe h X Y Z ** Elvégeve műveleteet l oldlo lévő ifejeésől ( ) ( ) 8 dódi Ismeretes hog Vegü még figeleme hog íg ( ) 0 ( ) ( ) 6 Mtemti Ottási Portál / 77 -

27 hol egelőség potos or áll fe h Elegedő ee utá elátu hog ( ) Teitsü poitív sámor érvées feldt sereplő egelőtleséget! Átredeés utá ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) mjd felhsálv sámti és mérti öép öötti egelőtleséget ( ) / ( ) / / Lege most / / / íg phtju hog / ( ) ( ) Végül elátju hog / Allmu sámti és mérti öép öötti egelőtleséget sámhármsr! A eredeti egelőtlesége potos or v egelőség h A CAUCHY-EGYENLŐTLENSÉG Allmu Cuh-egelőtleséget: Egelőség: 6 ( d ) ( ) 6 d d 6 Mtemti Ottási Portál / 77 -

28 Mtemti Ottási Portál / 77 - Lege 0 ) ( P mjd llmu Cuh-egelőtleséget: () ) ( P P P A Cuh-egelőtleség mitt: íg elegedő elátu hog A sámti és mérti öép öötti egelőtleség mitt: eért ése vgu Egelőség potos or áll fe h 5* A ) feldt övetei )-ől h íg s e utóit igolju A ú redeési tételt fogju felhsáli! Vegü ésre hog és sámhármso oos redeette íg meleet össedv: ( ) Most igolju hogh 0 > és poitív egés sám or

29 Mtemti Ottási Portál / 77 - Eől és ( ) egelőtleségől dódi feldt állítás! Redeés utá: 0 mel ilvá ig hise ét téeő oos előjelű Egelőség eredeti egelőtlesége potos or lép fel h Megjegés: H or ( ) egelőtleség átmeg ú Nesitt-egelőtlesége: A ) feldtr ét megoldást is muttu I megoldás Jelöljü l oldlo sereplő ifejeést S-gel és lege S Eor 0 S S S S íg S S S H 0 > or 0 Et felhsálv dódi hog S S S mi épp ioítdó Egelőség potos or h

30 II megoldás Vegü ésre hog > 0 eseté ( ) 0 Allmv l oldl leglá ( ) mi ioítdó volt A d) feldt megoldás teljese lóg )-re dott megoldáso ármeliével Megjegés: Továi megoldáso dód egserűe ) ) és d) egelőtleségre öveteő feldt tárglt egelőtleségől 6* Lege i i és i i i eor ( ) ( )( ) mi jól ismert Cuh-egelőtleség! Egelőség potos or áll fe h i mide i-re λ dott poitív sám i 7* ) A Nesitt-egelőtleséget go soféleéppe igolhtju lái módser tlá legelegás Lege eor íg ioítdó: 6 Mtemti Ottási Portál / 77 -

31 mel ig hise eg poitív sám és reiproá össege leglá Egelőség potos or áll fe h Mid ég egelőtleség igolhtó Cuh-egelőtleségől leveethető 6 feldt sereplő egelőtleség segítségével! Cs ehee ) és d) esetre muttju meg et megoldási módsert A ) esete l oldl eslése: ( d e) d e d d e de d e e d e d e d e de Redeést övetőe művelete elvégése és -gel vló sorás utá: ( e) ( ) ( d ) ( e) ( ) ( d ) ( e) ( d ) ( e) ( d e) 0 5 Egelőség potos or áll fe h d e A d) esete: ( ) ( d ) ( d e) d ( e f ) e( f ) f ( ) d e f ( d e f ) ( d )( e) ( e)( f ) ( f )( d ) Lege d e f Eor elegedő eláti hog ( ) mel öismert egelőtleség Egelőség potos or áll fe h d e f Megjegés A feti egelőtlesége s speiális esetei ú Shpiro-egelőtleség-e: i > 0 eseté (hol ) teljesüli fog i i i i or h páros és illetve h pártl és A töi eseté em teljesül egelőtleség ee formá A ioítás ige ehé Mtemti Ottási Portál - / 77 -

32 8* Allmu 6 feldt látott egelőtleséget! ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) miöe felhsáltu hog Egelőség potos or áll fe h 9* Allmu ismét 6 feldt sereplő egelőtleséget! A l oldlt átlítv: mele értée leglá ( ) ( ) ( )( ) Íg elegedő eláti hog ( ) melet már orá ioítottu Megjegés: H or feldt sereplő egelőtleség átmeg ú Nesittegelőtlesége íg áltláosításét is felfoghtó 50* Redeés utá: 9 ( ) A Cuh-egelőtleség serit ( )( ) ( ) Lege st eor ioítdó l oldl leglá ( ) Mtemti Ottási Portál - / 77 -

33 A árójele elül álló meiség Nesitt-egelőtleség serit leglá íg ése vgu Egelőség potos or áll fe h 5* A feldt sereplő feltétel írhtó íg feldt állítás: formá Ismeretes hog ( )( ) ho ( )( ) ( ) Allmu Cuh-egelőtleséget! Egelőséghe feldt feltételét figeleme véve: ho 5** A 6 feldt sereplő egelőtleséget llmv: Mivel íg ( ) ( ) ( ) A hrmdi illetve másodi htváöép öötti egelőtleség mitt: ho htodi htvár emelés utá ( ) ( ) Mtemti Ottási Portál - / 77 -

34 A ( ) és ( ) egelőtlesége egevetéséől dódi ioítdó állítás Egelőség potos or teljesül h 5** Lege eor továá ioítdó: ( ) Allmu 6 feldt sereplő egelőtleséget ( ) l oldlár or leglá ( ) hol még sámti és mérti öép öötti egelőtleséget is felhsáltu Egelőség potos or áll fe h TRIGONOMETRIKUS HELYETTESÍTÉSEK 5* Lege eor ioítdó pedig: Teitve -e másodfoú egeletet disrimiás ( ) 0 ( ) ( )( ) poitív göe pedig ( )( ) Mtemti Ottási Portál - / 77 -

35 (Nilvávló hog és 0 és öé esi) Lege α és β ol hegessög hog os α os β Eor Lege π ( α β ) γ ( α β ) ( π ( α β )) osα os β siα si β os os íg osγ továá α β γ eg háromsög sögei ioítdó pedig osα os β osγ E eg elég ismert egelőtleség igolhtó pl vetoro sláris sortá felhsálásávl vg öveteő feldt megoldásá leírt módo Egelőség potos or v h háromsög sálos íg 55* Vegü ésre hog mi sugllj öveteő trigoometrius helettesítést: t α t β t γ hol π α β 0; Eor tgesre votoó ddíiós össefüggés mitt t α β t π γ t γ és α β γ π Teitettel rr hog t os φ φ A feldt sereplő egelőtleség evivles eg háromsög sögeire votoó osα os β osγ egelőtleséggel mel öismert Eg lehetséges egserű ioítás: mitt ( α β ) osα os β siα si β os γ os ( os os β osγ ) ( siα si β ) ( osα os β ) 0 α Egelőség potos or teljesül h háromsög sálos íg Mtemti Ottási Portál / 77 -

36 56* H sámo öött v ét egelő or ése vgu elleeő esete legee sámo: 0 < < < < Végeü el lái átlítást: t ( α β) hol α rt β Mivel továá π π π rt továá π π α β ; π t íg stul elv értelmée rt i söge öött π v ettő mele ülösége ise mit miől dódi feldt állítás hise tges függvé sigorú mooto ő dott itervllumo 57* Veessü e íg eért i siα helettesítést! Mivel i si α siα si α si α ( siα si α ) α 0 si si α [( siα si α ) ( siα si α )] vgis elegedő elátu hog si α si α mi triviális hise siϕ Mtemti Ottási Portál / 77 -

37 GEOMETRIAI MODELL 58 I megoldás Allmu égetes és sámti öép öötti egelőtleséget 0 váltoór lái serit: S ho S 0 Egelőség potos or áll fe h miimális miimum értée pedig 0 eor les tehát S II megoldás Teitsü lái árát! Világos hog S éppe AQPC töröttvol hossát dj meg mi or les miimális h P és Q illesedi AC egeesre Eor továá S 0 Megjegés: Érdemes ésrevei hog meivel egserű esöt hsál másodi megoldás! Mtemti Ottási Portál / 77 -

38 59* I megoldás A ifejeést sámti és égetes öép öötti egelőtleség segítségével esüljü lái serit: L ho 6 L Egelőség potos or áll fe h II megoldás Teitsü téreli derésögű oordiát-redsere lái potot: ( ;0;0 ) ( ; ;) ( ;; ) ( ; ;) A P Q B! A ét pot távolságár votoó éplet mitt: íg AP PQ QB L AP PQ QB A háromsög-egelőtleség lpjá világos hog 7 6 L AB ( ) ( ) Megjegés E megoldás léegée ú Miowsi-egelőtleség llmás Lásd még feldtot! Mtemti Ottási Portál / 77 -

39 60 Teitsü derésögű oordiát-redsere A ; B ; és C ;0 potot! Világos hog AB ss trtlm origót továá poto távolságár votoó éplet felhsálásávl öe dódi hog AB AC BC Eől övetei hog három ss eg háromsög három oldl A origó heletére tett megjegés mitt ol dódi hog AB oldlho trtoó mgsság mérősám legfelje Egelőség potos or áll fe h 0 6 Vegü fel lái árá láthtó módo OA OB OC ssot úg hog AOB 60 BOC 60 teljesüljö! A osius-tétel mitt ioítdó egelőtleség evivles AB BC AC egelőtleséggel mel ilvávló ig 6 I megoldás A l oldli egelőtleség ilvávló hise felírhtó 0< l A jo oldli egelőtleség pedig öe dódi ól hog ( )( )( ) 0< II megoldás Teitsü egségi oldlú sálos ABC háromsöget mele AB BC és CA oldli vegü fel redre P Q és R potot ol módo hog AP BQ CR teljesüljö! Felhsálv trigoometrius területéplet: Mtemti Ottási Portál / 77 -

40 si60 si60 si60 tapr tpbq tqcr ( ) ( ) ( ) Mivel eért 0 < tapr tpbq tqcr < tabc -gel vló ostás utá dódi feldt állítás 6* Lege! Teitsü oldll író háromsöget! A félerület íg Héro-éplet serit háromsög területe: Eor t ( ) ( )( ) siα t felhsálv trigoometrius területépletet A feldt sereplő ifejeés miimum E or jö létre h α 90 továá pl és 6* A lái godoltmeet egserre igolj midét egelőtleséget másrést rámutt feldt eleteésére és áltláosítási lehetőségere Teitsü f ( ) függvét hol vlós sám! Semeljü i függvé grfiojá öveteő három potját: ( ; ) B( ) C( ) A A feldt feltételei mitt 5 és 7 Mivel f függvé ( egés értelmeési trtomáo) oáv eért ABC háromsög teljes egésée P ;0 és síidom ell hog lege melet PQ ss ill Q( 5;) öötti grfiorés htárol Néü ABC háromsög S súlpotját! E háromsög elsejée v oordiátái pedig: 7 S ; Mtemti Ottási Portál / 77 -

41 7 A S pot rjt v egeletű e egeese mele PQ-vl és függvégrfiol lotott metséspotji öé eső ss v említett 7 síidom A egees grfiot ; pot PQ sst pedig 7 ; pot metsi Mivel S e ét pot öé ell hog esse említett egeese eért: ho ioítdó ol dódi A jo oldlo sis or áll fe egelőség h A B és C egeesi öveteéséppe: 7 A l oldlo potos or teljesül egelőség h A B és C öül ettő P eg pedig Q pottl esi ege : vlmelie teljesül Megjegés: A feti megoldás f függvé oáv tuljdoság [ ; ] úg értelmeett hog ármel helere h or itervllumo Mtemti Ottási Portál - / 77 -

42 f ( ) f f A feldt megoldásáól lesűrhető áltláosítás lái fogllhtó össe ; f függvé oáv ( fete említett Lege [ ] itervllumo érteleme) továá Teitsü AA A sosöget hol súso oordiátái: A ; f ( ) i i i A AA A sosögről igolhtó hog ove továá eláthtó (pl teljes iduióvl) hog ove potredser súlpotj ( S pot melől poto muttó vetoro össege ullvetor ile tuljdoságú pot midig potos eg létei) ove sosög első potj íg ( ) f ( ) f ( ) f S ; súlpot első pot les Világos hog S felette v P( ; f ( ) ) és Q( ; f ( )) potot össeötő sso eért feáll öveteő ét egelőtleség: ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) H f ove függvé or látott egelőtlesége irái potos elletétese A ( ) egelőtleség Jese-egelőtleség éve ismert és ige gr llmhtó A oávság (oveség) fetei értelmeésére Jeseoáv (ove) vg gegé oáv (ove) eleveést soás hsáli A Jese-egelőtleség ioítás megtlálhtó pl Molár E: Mtemtii versefeldto gűjtemée övée Mtemti Ottási Portál - / 77 -

43 65* Allmu előő feldt látott módsert f( ) 6 függvére! Egelőség potos or áll fe h ét váltoó értée hrmdié pedig 66* ) I megoldás A égetes és sámti öép öötti egelőtleség mitt: íg elegedő elátu hog 5 7d 5 7d d 6 5 7d Teitsü lái feldt feltételeiől ol dódó esléseet: d d d d A megfelelő oldl össedásávl dódi állítás Egelőség potos or áll fe h d II megoldás Felhsálju 6 feldt utái megjegése sereplő ú Jeseegelőtleség áltláosított (súloott) lját f függvé ove továá λ > 0 sámo olo H I itervllumo hog λ λ λ or ( ) λ f λ f λ f f λ λ λ (Koáv függvé eseté fordított iráú egelőtleség áll fe) Lege és λ λ 5 7 λ λ továá i f Eor Mtemti Ottási Portál - / 77 -

44 d d d 5 7 d Ie I megoldás látott módo fejehetjü e Megjegés Köű láti hog égetes és sámti öép öötti egelőtleség egserűe dódi Jese-egelőtleségől íg ét megoldás léegese em ülööő ) Lege és λ λ λ λ továá f ( ) és llmu Jese-egelőtlesége ) rése említett lját! Kpju: Vegü ésre hog d d d d d d ho ioítdó is dódi Egelőség potos or áll fe h 9 d 6 67* Teitsü terület: grfiot [ ; t] itervllumo hol t > 0! A grfio ltti t d t [ l ] l( t) t Teitsü helhe trtoó éritőt! Mivel dott itervllumo függvé ove íg éritő fölött heleedi el grfio eért éritővel htárolt trpé területe ise grfio ltti területél íg t l ( t) > t t t Mtemti Ottási Portál - / 77 -

45 Lege most t 00 eor 00 l 0 > 00 0 Eel feldtot megoldottu 68* A egelőtleséget átlítv eveetve helettesítést: hol > 0 továá 0< < tetsőleges de rögített Teitsü most f függvét! At ell igolu hog modott feltétele mellett f ( ) 0 A f ilvá differeiálhtó serit f ( 0) > 0 és f 0 Mivel eért < < 0mitt h 0 mooto söe míg h f < < or f ( ) < 0 íg f < or f ( ) > 0 tehát f sigorú sigorú mooto ő Mideeől övetei hog 0 eseté f ( ) 0 továá egelőség sis 0 eseté lép fel Megjegés: A Beroulli-egelőtleség ifejeést ems ee feldt sereplő egelőtleségre hsáljá Áltlá öveteő egelőtleséget sotá Beroulli-egelőtlesége evei: h > és termésetes sám or ( ) Et pl teljes iduióvl öe igolhtju H pedig poitív or iomiális tétel triviális övetemée Ide psolódi öveteő feldt: Legee -él ise poitív sámo hol Igolju hog >! A megoldás pl teljes iduió segítségével dódi Mtemti Ottási Portál / 77 -

46 69* A egelőtlesége sereplő állítás ilvá teljesül h íg elegedő 0< < esettel foglloi Eél töet fogu igoli mégpedig t hog tetsőleges 0< < és 0< < sámo eseté > A előő feldt sereplő ú Beroulli-egelőtleség mitt h u és v -él ise poitív sámo or ( u) v < uv Lege és! Allmv feti egelőtleséget: ( ) ( ) < < A ioítdó egelőtleség l oldl íg öveteő módo esülhető: > ( ) ( ) ( ) ( ) Elegedő elátu hog Redeés utá: mi ilvávló > ( )( ) > 0 70* Lege! Eor ioítdó egelőtleséget -vel ostv: < < l Be ell látu hog > eseté ( ) l < és ( ) l < Mtemti Ottási Portál / 77 -

47 Lege f l hol Világos hog f 0 továá h > : ( ) f ( ) > 0 Eől övetei hog f ( ) sigorú mooto öveedő íg f ( ) > 0 ho ( ) dódi Lege g( ) l hol Világos hog g ( ) 0 továá h > : ( ) g ( ) > 0 Eől övetei hog g( ) sigorú mooto öveedő íg g( ) > 0 ho ( ) dódi 7** ) Teitsü függvégrfiot! H [ ; ] itervllumot egelő résre otju or elülre ill ívülre írt tégllpo segítségével dód öveteő: d l továá > d l( ) l > ho állítás leolvshtó ) At ell igolu hog < mel öe átlíthtó rr hog < l < l e< Mivel e sorot htárértée íg h elátju hog sorot sigorú mooto söe or feti egelőtleség ioított A mérti és hrmoius öép öötti egelőtleség mitt: Mtemti Ottási Portál / 77 -

48 ho állításu övetei ) Teitsü lái árát: > ( ) H ABCD trpé A súsá első oordiátáj B sús első oordiátáj pedig or területre érvées öveteő eslés: Ie d < l d d d l d l Elegedő elátu hog Mivel l > 6 íg ioítdó: > l 6 mi ig Eel eredeti egelőtleséget is igoltu Mtemti Ottási Portál / 77 -

49 Megjegés: A feldt ) ill ) réséől övetei hog sorot overges hise orlátos és mooto A sorot htárértéét Euler-Msheroi osts evei értée öelítőleg 0577 A mi pig eldötetle hog rioális sám vg sem! 7* Jelöljü egelőtleség l oldlá álló poliomot f meg hog mide -re or f H 0 íg eseté is f > 0 ilvávló Mivel f!!! ( ) f A f ( ) poliom mideütt foltoos függvé íg [ ] -sel At muttju 0; itervllumo v miimális értée H miimumát itervllum vlmeli végpotjá vesi fel or fetie mitt ése vgu H pedig itervllum vlmel 0 első potjá or itt deriváltj 0 Ie íg ése vgu f ( 0) 0 f ( ) 0!!! f ( ) ( ) >! 0 ( 0) 0 ( ) Megjegés: A feldt eredetére mutt rá lái A ú Mluri-formul serit f 0 vlmel öreetée -ser differeiálhtó és ee h öreete eső sám or hol ϑ ϑ( ) ( ) ( ) ( ) ( ϑ ) f 0 f 0 f 0 0!!! f f f 0 < < Allmu formulát f ( ) e függvére válstás mellett: Mtemti Ottási Portál / 77 -

50 ϑ e e!!! Eől átredeés utá ilvávló módo dódi feldt sereplő állítás Függvéeet jól hsálhtu eveetes egelőtlesége ioításár is A sámti és mérti öép öötti egelőtlesége sámos ioítás és áltláosítás ismeretes A lái ioítás em elemi de rövid és tetsetős Felhsálju hog ármel eseté Lege hol i > 0 továá hol Eor hise e A A ξ A ξ ξ ξ ( ξ )( ξ )( ξ ) A e A A ξ ξ ξ 0 7** Evivles egelőtleséghe jutu h midét oldl termésetes lpú logritmusát teitjü! Eel elérjü hog l oldl sétesi logritmuso össegére és eg össeget öe les esüli: Visgálju továi ( ) l l l < l 9 f ( ) l függvét! A helee felvett értéeet éegetve megsejthető hog l 7 l ile ifejeéseet pedig öű össegei! Lege > 0 elátju hog l ( ) < E övetei ól hog Mtemti Ottási Portál / 77 -

51 mert or g ) l( ) Köű igoli hog 5 l( ) > 0 ( ) ( függvé sigorú mooto ő és g ( 0) 0 esté 7 < Sámítássl imutthtó hog íg ( ) l oldl ise mit 7 f f () f () f () < < < l 9 8 A is látsi hog eredeti egelőtlesége 9 helére már e 8 7 is írhtó 7 8 VEGYES FELADATOK 7* Vegü ésre hog eseté ( )( ) 0 íg ioítdó egelőtleség l oldl leglá ( )( )( ) Hsálju fel 5 feldt megoldásáál sereplő súloott sámti és mérti öép öötti egelőtleséget: ho 5-tel vló sorás utá dódi ioítdó állítás Egelőség potos or áll fe h Mtemti Ottási Portál / 77 -

52 75 Ismert oosság serit íg ho ( )( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 mi ilvávló módo ig Egelőség potos or teljesül h és 76 Teljes iduiót hsálu Mivel -re állítás ilvávló íg feltehetjü -re elegedő igolu hog vlmel -re állítás ig eért ( ) ( )( ) ( ) A sámláló: ( ) ( )( ) ( ) A A iduiós feltevés mitt eért elég elátu hog Mivel továá íg ioítdó: A ( ) ( )( ) ( ) ( ) 0 A ( ) ( ) ( ) ( )( ) 0 mi ig hise Eel feldtot megoldottu Mtemti Ottási Portál / 77 -

53 77* A Cuh-egelőtleség mitt: íg ( )( ) ( ) A mási ét tgr is hsoló eslést llmv dódi hog ioítdó egelőtleség l oldlá álló meiség legfelje Elegedő elátu hog ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A sámti és mérti öép öötti egelőtleség mitt: miől övetei feti egelőtleség íg eredeti egelőtleség is igolást ert Egelőség potos or áll fe h 78 Mivel pl Eért ioítdó átírhtó öveteőéppe: A Cuh-egelőtleség eveetes öveteméeét dódó 6 feldt sereplő egelőtleséget llmv l oldlo álló ifejeés értée leglá: Elegedő eláti hog ( ) Mtemti Ottási Portál / 77 -

54 Átredeve: ( ) ( ) ( ) mi öismert egelőtleség Egelőség potos or áll fe eredeti egelőtlesége h Megjegés: A feldt megoldhtó trigoometrius helettesítés segítségével is 79* Bővítve törteet -vl -vel és -vel ioítdó egelőtleség írhtó l A Cuh-egelőtleség eveetes öveteméeét dódó 6 feldt sereplő egelőtleséget llmv l oldlo álló ifejeés értée leglá: ( ) ( ) miől dódi ioítdó állítás Egelőség potos or áll fe h ár e em mgától értetődő 80** A ioítdót átlítv: Lege! Eor mellett ell igolu hog Mtemti Ottási Portál / 77 -

55 rs rt st Veessü e helettesítéseet! Kpju: t s r t s r t rst rs s rts rt r str st A Cuh-egelőtleség eveetes öveteméeét dódó 6 feldt sereplő egelőtleséget llmv l oldlo álló ifejeés értée leglá: ( t s r ) t s r rst rts str rs rt st Elegedő igolu hog ts sr rt rst rts str E övetei öismert egelőtleségől Eel eredeti egelőtleséget is igoltu egelőség potos or áll fe h Megjegés H eredeti egelőtleség l oldlá álló ifejeésre llmu Cuhegelőtleséget or em pju meg feldt állítását 8** A Cuh-egelőtleség mitt: íg elegedő elátu hog Mivel ( ) és ( ) Cseisev-egelőtleség mitt: sámhármso oos redeette íg ú Mtemti Ottási Portál / 77 -

56 Ie pju hog eért elég igolu hog ( )( ) ( ) ( ) ( ) 6 6 E utói sámti és mérti öép öötti egelőtleség mitt ilvávló teljesül Egelőség potos or áll fe h 8* Evivles eredeti állítássl öveteő: h (A otrpoíió elve: A B B A) > or A égetes ill hrmdi htváöép öötti egelőtleség mitt: < Ie Vegü ésre hog Össevetve: < < 0 < < mit éppe igoli rtu! Egelőség potos or áll fe h 8* Átredeve: Elég eláti hog Mtemti Ottási Portál / 77 -

57 Elvégeve helettesítéseet égetre emelés utá: ( ) ( ) mi öismert Egelőség potos or áll fe h 8* A Cuh-egelőtleséget fogju llmi étser is Egrést íg Másrést ( ) ( ) ( ) Mivel eért ( ) íg ( ) felhsálásávl: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Össevetve ( ) egelőtleséggel dódi ioítdó állítás Egelőség potos or áll fe h 85* I megoldás Mivel eért ( ) ( ) Mtemti Ottási Portál / 77 -

58 Lege eor Viéte-formulá mitt és göei f ( t) t t poliom Mivel f ( t) t továá f ( t) 6t eért f t -e t hele loális mimum t hele pedig loális miimum v vlmit függvé t helig sigorú mooto ő és öött sigorú mooto söe mjd t hel utá sigorú mooto ő Mivel feltétele mitt poliom em lehet -soros göe eért leglá ét ülööő vlós göe v öveteéséppe illetve f 0 f 0 A sort mimális értée eért (pl ) miimális értée pedig (pl ) II megoldás Cs mimumr du mási megoldást miimumr hsoló godoltmeet ésíthető Feltehetjü hog íg > 0 Mivel eért Íg or ( ) ( ) ( ) 6 86** ) Ismeretes hog A ioítdó egelőtleség eért írhtó öveteő módo: ( ) Feltehetjü hog 0 Lege t és teitsü Mtemti Ottási Portál / 77 -

59 ( 9 ) ( ) f t t függvét! At ell igolu hog f ( t) Rögített eseté f t-e elsőfoú függvée és 9 > 0 eért mimális potos or les h t lehető leggo értéét vesi fel Mivel eért elegedő elátu hog ( ) ( ) t ( ) ( ) ( ) 0 mi ilvávló Egelőség potos or áll fe h 0 vg ee sámhármsoól épett permutáió illetve Megjegés A feldt megoldhtó váltoó vriálásá módserével is (8 feldt) ) A előő feldt megoldási módserei öül ármeli hsálhtó itt is Egelőség potos or teljesül h ) Írju át egelőtleséget 8( ) 5 l Feltehetjü hog 0 < Teitsü f 8 függvét hol > 0 Elősör elátju hog f ( ) f Mtemti Ottási Portál / 77 -

60 ( ) 8 8( ) 8 8( ) Redeés utá: 8 ( ) A eveőel vló sorás mjd redeés utá: Mivel ( ) továá ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) () * 0 eért 8 < 7 miől már övetei ( ) egelőtleség Ee utá elegedő igolu hog hol ( ) f 5 0 < Behelettesítés utá: 8 ( ) 5 ( ) ( ) ( ) 8 5 ( ) ( ) 0 mi ilvá ig Eel eredeti egelőtleséget is eláttu egelőség potos or áll fe h illetve h ét váltoó értée hrmdié pedig 87* Mivel pl és íg Mtemti Ottási Portál / 77 -

61 Allmv l oldl mide eges tgjár feti eslést dódi hog em ise mit mi éppe ioítdó állítás Egelőség potos or fog teljesüli h 88 Mivel K d d d d d d d eért llmu redeési tételt ( d ) és ( ) redeett sámégesere! Kpju hog d d d oos d d K ( ) ( d) ( d) d( d) ( d)( d ) d (( d)( ) ) miöe étser is felhsáltu sámti és mérti öép öötti egelőtleség ét váltoór votoó lját Egelőség potos or áll fe h d d d ho ( ) illetve ( 0 ) sámégese dód 89* A illetve sámhármso elletétese redeette íg redeési tétel mitt ioítdó l oldlá álló ifejeés leglá Köű láti hog ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) íg elegedő elátu hog Mtemti Ottási Portál / 77 -

62 Redeve: 9 ( ) ( ) ( ) ( ) 9 mi 7 feldt sereplő ú Nesitt-egelőtleség mitt ig Egelőség potos or áll fe h 90* Feltehetjü hog A Cuh-egelőtleség felhsálásávl: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 9 ) 8 ( ) ( ) ( ) 0 7 ( ) ( 7) 00 Mivel ho íg Egelőség-feltevésü mellett-potos or áll fe h ár e s émi sámolás utá dódi 9** A feltétele sereplő egeleteől álló egeletredsert megoldv: Mivel váltoó poitív íg > > > A osiustétel mitt létei ol oldlhossúságol író hegessögű háromsög hog soásos jelölése mellett Íg or Lege f ( os αos βosγ) os α os β osγ os α os β os γ osα osβ osγ Mtemti Ottási Portál / 77 -

63 Mivel eért u ot α v ot β w ot γ! otαot β otγ ot 80 ( α β) ot ( α β) otα ot β ( ) uv vw wu Trigoometrii lpössefüggése felhsálásávl: ho továá ot os α α os α os α otα u osα ot α u ( ) os α u u u u u u u osα u u u u A ( ) össefüggés mitt: eért u u u u u u v u w os α u u u u osα u v u w ( u v)( u w) felhsálv mérti ill hrmoius öép öötti egelőtleséget A os β -r és osγ -r votoó lóg leveetése eredméeie felhsálásávl: u v w v u w f u v w u v w v u w u v w ( u uv v w wv v u uw w ) ( uv vw uw) Egelőség potos or teljesül h u v w íg A f miimális értée tehát Mtemti Ottási Portál / 77 -

64 9* Lege f ( ) l hol 0; érteleme) 0 < < eseté! Állítju hog f ove (Jese-féle f f f Logritmus oosságo ill l függvé sigorú mooto öveedése mitt e evivles l hog Átlítv: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 A Jese-egelőtleséget llmv phtju hog l l l l Egelőség potos or áll fe h 9 Lege eor mellett ell igoli hog Mivel pl eért ioítdó: > Mtemti Ottási Portál / 77 -

65 > < Figeleme véve hog pl pju: Egelőség o em állht fe mivel potos or teljesül h mit visot feldt sereplő feltétel iár 9 Világos hog és hog Midét oldlt ostv ( ) A iomiális tétel felhsálásávl: eseté egelőség áll fe A továi feltessü -el: ho 0 0 ( ) ( ) ( ) mel ilvá ig hise A is leolvshtó hog egelőség eseté em állht fe Mtemti Ottási Portál / 77 -

66 95* A 8 feldt megoldásáál emuttott módsere most is llmhtó I megoldás Aoosság mitt: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5 5 Feltehető hog váltoó öül legise értéű íg 0 Lege t és f t t Mivel 0 > íg f t rögített érté mellett elsőfoú továá or mimális h t mimális A sámti és mérti öép öötti egelőtleség mitt: ( ) t t0 ( )( ) f t0 íg elég eláti hog f ( t0 ) 5 Elvégeve műveleteet: ( ) ( ) 0 mi ig Eel eredeti állítást is igoltu egelőség potos or áll fe h II megoldás Teitsü f függvét! Feltehető hog Elősör igolju hog eor Kiírv: f ( ) f Mtemti Ottási Portál / 77 -

67 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 mi ilvá ig A továi elegedő elátu hog hol Kiírv: f mel vló teljesül A egelőség esete öe leolvshtó 9 9 ( )( ) ( ) ( ) 5 0 Megjegés: Érdemes össeveti feldt sereplő állítást 5 feldt sereplő állítássl! 96* Veessü e p és r helettesítéseet! A l oldlo elvégeve sorást: r p 7 r p rp ( r p) 0 A utoljár pott egelőtleség ilvá teljesül íg eredeti egelőtleséget is igoltu Egelőség potos or áll fe h Mivel r p Mtemti Ottási Portál / 77 -

68 íg ho ( ) 9 ( ) ( ) 0 97* A l oldli egelőtleség egserűe dódi sámti és hrmoius öép öötti egelőtleségől mel serit Egelőség potos or teljesül h mide i egelő A jo oldli egelőtleség ioításáho idulju i ilvávló ig egelőtleségől! Ie ( )( ) 0 i ( ) i i i A mide i-re felírt ( ) lú egelőtleségeet össedv erhetjü hog i i i i ( ) A l oldl lulról esülhető sámti és mérti öép öötti egelőtleség segítségével: ho i i ( ) i i i i i i i ( ) ( ) Egelőség teljesüléséhe ( )- mide i-re lege A öepe öött or v egelőség h i vg i ell hog Mtemti Ottási Portál / 77 -

69 Tegü fel hog d i-re i i i i és m d i-re i m m m m 0 ( m)( ) 0 i Eor m és H or triviális hog eredeti egelőtlesége egelőség áll fe H < or egelőség sis or teljesülhet h m tehát páros (E megoldás Mie Jáos öépisoli tártól sármi) 98* Lege s Eor állítás: i ( ) i s i Lege s i i íg s ( ) ( ) s A ioítdó írhtó öveteőéppe: ho s s i i i i i A sámti és hrmoius öép öötti egelőtleség mitt o íg ése is vgu i i ( ) s Mtemti Ottási Portál / 77 -

70 99* ) H mide i egelő or egelőség áll fe H sámo öött v ülööőe or jelölje legiseet pedig leggot Lege eor G < G < Írju most helére G-t helére pedig váltoi l oldl visot söe ugis: erüljö! A jo oldl em G ( )( ) > ( G ) G G G hise G G 0 > Eel módserrel l oldl értéét söetve véges so lépése jo oldlho jutu mi igolj eredeti egelőtleség helességét! Megjegés: A feldt sereplő egelőtleség Hugestől sármi A emuttott módserrel igolt Ries Friges professor sámti és mérti öép öötti egelőtleséget ) A ) esete látott módserrel oldhtó meg: l oldl övelésével jo oldlho juthtu 00* ) A 99 feldt leírt serit eljárv elég megmuttu hog > G G Redeés és törte össevoás utá: ho Mivel > ( )( G) ( G )( ) ( G)( ) 0 > < < G < Mtemti Ottási Portál / 77 -

71 íg e ig Egelőség or és s or les h mide i egelő ) A ) rése elmodott lpjá öű láti állítás helességét 0* Lege i i eor továá sámti és mérti öép öötti egelőtleség mitt: ( )( ) Össedv eseté felírt egelőtleségeet dódi ioítdó állítás Egelőség potos or áll fe h 0* H d or H d or Íg egetle só jöhető érté is felel dott itervllumo A továi igolju hog e meg Mivel eseté eért ( ) d ( d) 0 d d Össedás mjd -gel vló ostás utá dódi ( ) egelőtleség Mtemti Ottási Portál / 77 -

72 0* Feltehetjü hog > 0 továá hog legise megoldás uls sort előállítás Teitsü lái esléseet: i sámo öött A ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( 5 ) ( 6 8 ) ( ) ( ) Eől övetei hog teljesülie ell lái: A ól dódi hog íg figeleme vessü össefüggést or mitt 0 H eért feldt sereplő másodi össefüggésől A első össefüggés mitt or Kptu hog S ( ) Ie S m h és S mi h 0 Lege S i i és i T i Eor feldt sereplő feltétele: i i S ( ) ( ) T S Allmu idiret ioítási módsert tegü fel hog i > 0 mide i-re! Eor Mtemti Ottási Portál / 77 -

73 Másrést < S T < S i i i T S S S S mi elletmodásr veet Tehát létei ol i melre i 0 i ho dódi feldt állítás 05* I megoldás A Cuh-egelőtleséget llmv: Lege A B C! Elegedő igolu hog ( A B C ) ( A B C ) 9-el vló ostás mjd -odi htvár emelés utá: 6 A B C A B C mi htváöepe mootoitásár votoó tétel mitt ig Egelőség potos or áll fe h A B C II megoldás A ú Hölder-egelőtleséget fogju llmi mel serit h > 0; > 0;; > 0 továá λ 0 sámor λ λ λ or λ λ λ λ λ λ λ λ λ A és válstás mellett: λ λ λ ( ) ( ) i Mtemti Ottási Portál / 77 -

74 Midét oldlt öre emelve mjd ostv ( ) -vel dódi ioítdó állítás Megjegés A feldt állítás termésetes módo áltláosíthtó 06 Lege ( ) p és teitsü lái átlításot: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )( ) 0 p felhsálv feldt sereplő feltételt továá t hog Egelőség potos or áll fe h vg vg 07* Eg dott árt itervllumo ove függvé mimális értéét dott itervllum vlmeli végpotjá vesi fel mi oveitás defiíiójá övetemée Fel fogju továá hsáli t hog eg dott árt itervllumo ove függvée össegésével pott függvé is ove dott itervllumo f -vel! H Jelöljü egelőtleség l oldlá sereplő ifejeést r rögítjü és értéét or f ét - lieáris (íg ove) ill ét g( ) s típusú tehát ove függvé össegeét áll elő eért mimális értéét 0 vg hele vesi fel Mivel godoltmeet mási ét váltoór f össese 8 hele veheti fel mimális ugíg elmodhtó eért értéét H 0 f or Mtemti Ottási Portál / 77 -

75 H 0 és f or or or f ( ) H 0 és H f Teitettel rr hog tö elvileg ülööő eset em léphet fel íg eláttu f Egelőség potos fete említett 8 esete áll fe hog 08 Átredeve és evivles átlításot végeve: Elvégeve műveleteet: ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) mi ilvá ig Egelőség potos or áll fe h 09* Mivel > 0 eseté eért íg ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( )( ) i i i i i i i i i i i Vegü ésre hog hise ho ( ) ( ) ( )( ) i i i i i i i ( )( ) ( ) > > > ( ) i i i i i i A ( ) és ( ) megfelelő oldli össesorásávl: Mtemti Ottási Portál / 77 -

76 ( ) ( ) ( ) ( ) > i i i i i i i i i Felírv ee megfelelő egelőtleségeet i esetere megfelelő oldl össesorás és egserűsítés mjd égetgövoás utá dódi ioítdó állítás 0 ) Bővítsü törteet mjd llmu Cuh-egelőtleség eveetes öveteméét: 5 ( ) Elegedő igolu hog ( ) 5 Átredeés illetve művelete elvégése utá: mi öismert egelőtleség Egelőség potos or áll fe h ) Lege! Össedás utá: ho Behelettesítés utá ioítdó állítás: 9 6 mi ig hise árójelee álló ifejeése midegie leglá Egelőség potos or áll fe h Mtemti Ottási Portál / 77 -

77 Megjegés Termésetese feldt ) rése is megoldhtó ) rése látott helettesítéses módserrel * A ú Miowsi-egelőtleség serit Mivel feldt sereplő egelőtleség l oldlá álló ifejeés írhtó l eért étser egmás utá llmv feti egelőtleséget pju hog ifejeés értée leglá mi dj ioítdó állítást Egelőség: Mtemti Ottási Portál / 77 -