IV. RADÓ FERENC EMLÉKVERSENY Kolozsvár, június 3. MEGOLDÁSOK. V. osztály

Átírás

1 Kolosvár, júius MEGOLDÁSOK V ostály Htárod meg sort sámjegyeiek össegét! 999 d 9es feldteli sort követkeőképpe írhtó fel: d 9es H e kivoást ismert lgoritmussl elvégeük kpjuk: d d Tehát sámjegyek össege: Egy kerek stl köré 6 séket helyetük el Sámod meg sékeket,,,,, 5, 6, 7, 9,,,,,, 5, és 6 sámokkl úgy, hogy ármely két somsédos sékre írt sám össege teljes égyet legye! lái tálát, l oslop sereplő sámok mellé okt sámokt írtuk, melyekkel teljes égyet össegük: Sám Somsédlehetőségek Sám Somsédlehetőségek körö mide sámk potos két somsédj v, tehát okk sámokk, melyek mellett tálát két sám v, potos kettő lehet somsédj körö lpos megvisgálv somsédossági visoyokt láthtó, hogy - s somsédj kell, hogy legye 6-osk és -sk, tehát em lehet somsédj -esek Így tálát -s mellől kiárdó Hsoló meggodolás lpjá -es mellől, 9-es mellől, és mellől illetve 9 vlmit mellől átlkítások utá követkeő tálátho jutuk: Sám Somsédlehetőségek Sám Somsédlehetőségek

2 Kolosvár, júius tálát lpjá egyértelműe meghtároott mide sám midkét somsédj, tehát megoldás egyértelmű lásd lái árát E megoldás perse tlálgtássl is megtlálhtó Egy kok lpjit,,, 5, 6, és 8 sámokkl jelöltük meg rjo kokát három külööő helyete látod Mide helyet eseté htárod meg, hogy milye sám áll egyes lpoko külö-külö! lái árá ejelöltük em láthtó lpoko levő sámokt: Egy m m és egy m m gyságú skktálmitás sőyeg lásd mellékelt árát segítségével egy 5m 5m gyságú égyet lkú területet kell lefödi Midkét sőyeget legfelje két drr vághtjuk és mitát lkotó meőket em sd kettévági Terve egy ilye sétvágást és lefödést!

3 Kolosvár, júius lái áráko égy sétvágás láthtó Mid égy esete -es és -es drokt mm-s és -s illetve -es drokt mm-es sőyegől kpjuk VI ostály Htárod meg leggyo oly termésetes sámot, melyek sámjegyei párokét reltív prímek, mide sámjegye {,,, 5, 6, 7, 8, 9} hlmól v és mide sámjegy ostój -ek Nyilvávló, hogy keresett sám páros sámjegy legfelje egy tlálhtó és is sk utolsó helye, mert osti kell sámot H sám serepel 5-ös sámjegy, kkor em serepelhet páros sámjegy, mert sám osthtó lee -el, követkeésképpe - végőde, mi em serepelhet sám Eserit égyjegyű sám em teljesítheti feltételeket Mivel leggyo ilye sámot keressük, visgáljuk elő 9-el kedődő háromjegyű sámokt Ekkor sám osthtó kell, hogy legye 9-el, tehát másik két sámjegyéek össege 9 Így másik két sámjegy lái sámpárok köött lehet:,7,,6,,5 Figyeleme véve és megjegyéseket, illetve t, hogy sámjegyek párokét reltív prímek, sk 97 jöhet só, de e em osthtó 7-el sám em kedődhet páros sámjeggyel lpjá, így 7-el kedődőeket visgáljuk továik keresett 7 lkú sám osthtó kell legye 7-el 7 7, 77 7 {8,5,, 9,56, 6, 7, 77,8,98} Figyeleme véve és megjegyéseket és, hogy sámjegyek párokét reltív prímek, követkeik, hogy sk {5,98} eseteket kell visgáluk

4 Kolosvár, júius Eek köül 75 teljesíti feldt feltételeit, 798 pedig em, tehát keresett sám 75 Jelöljük S-sel össeget Sámítsd ki , S t! Ésrevessük, hogy S , Tehát, S,, Egy hegyessögű és em egyelő sárú háromsög lkú ppír drot sét lehete vági három egyelő sárú háromsög lkú ppírdrr? égy egyelő sárú háromsög lkú ppírdrr? dr egyelő sárú háromsög lkú ppírdrr? Midhárom kérdésre váls, hogy ige Három háromsögre egy jó felotás sétvágás oldlfeleő merőlegesek metséspotj és súsok áltl meghtároott három egyelő sárú háromsög Négyre úgy kphtuk egy jó felotást h meghúuk D mgsságot mjd D és D deréksögű háromsöget D-he trtoó oldlfeleője meté két-két egyelő sárú háromsögre otjuk Et ötletet tová is hsálhtjuk H D-ől h em húuk oldlfeleőt hem mgsságot és midig vlmelyik deréksögű háromsög súsáól mgsságot húuk midddig, míg dr deréksögű háromsögre otjuk háromsöget, mjd midegyik deréksögű háromsöget két egyelő sárúr vágjuk ketté Egy skkjokságr ht réstvevő jeletkeett,,,,, jokságo mide réstvevő kell, hogy játsso mide más réstvevővel, és mide réstvevő egy p sk egy játsmát játsht Served meg játsmákt úgy, hogy jokság öt p ltt véget érje Segítségképpe első p játsmáit ejelöltük követkeő tálát: I I I

5 Kolosvár, júius skkjokság egy serveését lái tálát áráolj: IV V I II III III V I II II IV I III IV V Tehát egyes pokr eostott játsmák követkeők: I p:,,, II p:,,, III p:,,, IV p:,,, V p:,, VII ostály egés sámok hlmá oldd meg y egyeletet! feldteli egyelet ekvivles y egyelettel Mivel -e keressük megoldásokt, követkeik, hogy három termésetes sám össege kell legye -t kétféleképpe írhtjuk fel három termésetes sám össegekét: és Tehát 6 eset tárgylás sükséges: I, y,, y, {, } II, y,, y {, }, III, y, {, }, y, IV, y,, y {, }, {, } V, y, {, }, y, {, } VI, y, {, }, y {, }, Tehát megoldások: {,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,}

6 Kolosvár, júius, és, potok köti távolság milye értékekre rioális? és potok köti távolság átfogóják hoss pot merőleges vetületéek tlppotj O tegelyre -e Pitgorás tételét lklmv, kpjuk: ' ', p Z q E utói kkor rioális, h teljes égyet, mert: p, p, q Z, q, p, q q, p, q q p Visot < < > eseté, tehát em lehet teljes égyet Követkeésképpe sk és eseteket kell visgáluk, midkét esete távolság Q Tehát és potok köti távolság és értékekre rioális deréksögű háromsög és efogóir kifele megserkestjük MN és PQ égyeteket M, P, DE M és DE P metséspotokt jelöljük redre D, E, F, és G-vel ioyítsd e hogy: DE MP; MP FG DE; M és P egyeesek metséspotj háromsög -ho trtoó mgsságá v N Q M P M, F D E G

7 Kolosvár, júius Nyilvávló, hogy M, és P potok egy egyeesre esek, mert m M m mp 8 Tehát MP egyees átmegy poto PM - e E M, NM -e D MN, felírv Thlés tételét, kpjuk: E E P M M P D E D D MN N Tehát DE egyelősárú deréksögű m DE m ED 5, de m M 5 M DE DE MP Legye MN DE {M '} MM GP prlelogrmm MP M ' G FG FM ' m MFM ' m MD 5 MFM egyelősárú deréksögű, MF D, mert DFM egyelősárú trpé MM ' F DE M ' F DE Tehát MP FG DE Legye M P { }, { } Felírjuk -e, E és D össefutó egyeesekre ev E D E D tételét: E D E D D M E MD ~ D, E ~ EP, D E P, e pedig deréksögű háromsöge sk átfogóho trtoó mgsság tlppotjár ig Tehát mgsság, követkeik, hogy rjt v - ho trtoó mgsságo D egységyi oldlú égyetet felostjuk K, M, N és DL sksokkl égy háromsögre és öt égysögre ár serit ioyítsd e, hogy h efestett égysög területe egyelő efestett háromsögek területéek össegével, kkor L K M DN D M N L K

8 Kolosvár, júius Jelöljük T -vl stíroott égysög területét és redre T, T, T, T -el efestett háromsögek területeit Ekkor T T T T T Ésrevehető, hogy T K TM TDN TLD T T T T T T T égyet területe, tehát T -es egyelőség l oldlá sereplő háromsögek deréksögűek és egyik efogójuk potos oldl égyetek is Így össefüggést felhsálv követkeőképpe lkul: K M DN L L K M DN 5 Régi ismerősöm, Mühuse áró követkeő storit mesélte: Egy -es skktál l lsó srká levő -es égyet mide meőjére egy-egy áut állítottm Eutá áukt o sály serit mogttm, hogy ármely áu átugorht egy másik áut, és ekkor áu új helyét seriti simmetriávl kpjuk meg Perse sk kkor léphet ide áu, h e meő még em fogllt áró üské újságolt: Ilye módo össes áut jo felső srok -es égyetée veettem Okvetlekedő kérdésemre: S mi v kkor, h tál -es és l lsó srká levő -s égyet mide meőjére állítuk egy-egy áut? Termésetese kkor is felveethetjük áukt jo felső -s srok válsolt áró Igt modott-e áró? Elősör igoljuk, hogy első esete igt modott áró Igoli fogjuk, hogy l lsó -es égyetől áukt skktál ármely -es égyetée veethetjük Ehhe elegedő igoli, hogy ármilye iráy jor, fel, átlós eltolhtó egy egységgel mellékelt árá láthtó, hogy átlós hogy lehet elmodíti áukt Hsoló módo eláthtó, hogy egy egységgel fel, jor, lr vgy lefele is elmodíthtók áuk Tehát első esete igt modott Mühuse áró Visgájuk második esetet skktál mide második sorát fehérre, töit feketére síeük Így utolsó sor világos, mert páros sámú sor v

9 Kolosvár, júius Ésrevehető, hogy -s l lsó srok 6 világos és sötét meőől áll míg jo felső srok világos és 6 sötét meőől áuk ugráskor ugyoly síű meőre érkeek, mit milyeről idultk, tehát l lsó -s srok levő áuk midig 6 sötét és világos meő lesek Így em juthtk el jo felső srok, tehát másodsor hudott áró VIII ostály f m : R R, f m m m függvéy grfikoj O tegelyt m -e, Oy tegelyt m -e metsi Htárod meg okt m N * sámokt, melyekre m pot sissáj termésetes sám! ioyítsd e, hogy O m O m m N * H m, kkor f m grfikoják O tegellyel vló metséspotj m m, pot h m, kkor em metsi O-et Tehát okt m N * m m sámokt kell meghtárouk, melyekre N Nyilvávló, hogy h m N *, m m m m kkor >, de N m m m sk m m m m m esetet kell visgáluk és ekkor N Tehát m pot sissáj m sk m esete termésetes sám grfiko Oy tegellyel vló metséspotj m, m m N * eseté m m m Om, Om m Om Om m m m m m m * Igoluk kell, hogy m N m * E ekvivles m m m m N egyelőtleséggel Nyilvávló, * hogy m m m m 6m m m N \ { } Tehát sk m

10 Kolosvár, júius esete kell még igoli egyelőtleséget Eel ioyítást efejetük ioyítsd e, hogy h, és sigorú poitív vlós sámok össege, kkor egyelőségől követkeik, hogy:,, Eek felhsálásávl, kpjuk: ioyítsd e, hogy h,, kkor feldteli egyelőtleség l oldl égyetre emelés utá követkeőképpe lkíthtó: lklmv sámti és mérti köépráyosok köti egyelőtleséget, kpjuk: D tetrédere D, D, d és D Htárod meg t M potot, melyre M MD M M D M ioyítsd e, hogy M D sík felei D és D háromsögek síkji áltl meghtároott lpsöget ioyítsd e, hogy D és egyeesek távolság d

11 Kolosvár, júius Leterítjük -et D sík ekkor pot pot kerül így keletkeett D égysög prlelogrmm, mert semefekvő oldli párokét kogruesek Ekkor M MD ' M MD M Ie oli, hogy { M } ' D, mert háromsög egyelőtleségéől M ' M MD ' D ' M M D Visot D és metséspotj potos feleőpotjá kerül Tehát M [] sks feleőpotj d F, Mivel és D háromsögek kogruesek, követkeik, hogy M DM, mert köös oldlho trtoó oldlfeleők Tehát M D egyelő sárú Legye N D feleőpotj Ekkor M N D Legyeek E és F N pot D-re állított merőleges sík illetve D egyeesekkel vló metséspotji Ekkor M D sík D és D síkokkl eárt sögeiek mértéke egyelő FNM illetve ENM sögek mértékével Ekkor NE és NF D és D kogrues háromsögeke köös oldlho trtoó feleőmerőlegesek Ie NENF, sőt F E, de M M, D D, M E N D, tehát M F M E M E M F -es és -es lpjá követkeik, hogy EM N FM N FNM ENM Tehát MD sík felei D és D háromsögek síkji áltl meghtároott lpsöget mit pot ésrevehettük, hogy M N D, teljese hsoló meggodolásól M N Tehát keresett távolság [MN] sks hoss d NM deréksögű háromsöge Pitgorás tételéől: M N N D -e oldlfeleő tételét felírv, kpjuk: N d d Tehát M N

12 Kolosvár, júius 5 Egy -s kokát 7 dr oos méretű kiskokáól rgstottuk össe Egy rágsáló egyik srokkok köéppotjáól idul és mide kiskokát potos egyser éritve elletétes srokkoká serete juti rágsáló somsédos kiskokák köéppotjit össekötő sksok meté hldht Sikerülhet-e rágsáló terve? Hát kkor, h köépső kiskokát em sd ériteie, de össes töit továr is potos egyser kell ériteie? mellékelt ár egy lehetséges útvolt mutt megsámotuk kis-kokák köéppotjit Síeük ki kiskokákt két síel fehér és fekete úgy, hogy e létee két somsédos oos síű kok, melyek v köös oldllpj és srokkokák feketék legyeek Két somsédos kok köéppotj köti út megtételét eveük lépések Mivel köépső kiskokát em éritheti, össese 5 lépést kell tegye Másrést, h fekete kokáól idul, kkor 5 lépés utá fehér koká les, tehát e esete em lehetséges végigjárás IX ostály o o o ioyítsd e, hogy si os si 5 os Felhsálv os és si osπ vlmit os y os os y si si y, y R oosságokt követkeik, hogy: si o o o os si 5 si si os os si os os si os7 si os os si si si E utói egyelőség pedig yilvávló, mert 7 9 os si

13 Kolosvár, júius Oldd meg és tárgyld m, R egyeletet m vlós prméter függvéyée gyök ltti kifejeések sigorú poitívk mide vlós -re, mert diskrimiásuk egtív Ésrevehető, hogy tehát d ± poitív vlós sámok,, és, potok távolság ± ±,, és, illetve háromsöge felírv háromsög egyelőtleségeket, kpjuk: < d d < egyelőtleségek sigorúk, mert háromsög em elfjult Tehát m-ek teljesítei kell m, feltételt Ésrevehető is, hogy m és előjele megegyeő kell legye H m egyeletet égyetre emeljük megtehetjük, mert midkét oldl poitív és redeük m m egyelethe jutuk E utói egyelőség teljesüléséhe m és m előjele oos kell legye, kell teljesüljö m m egyelőtleség Tehát h m < m és h m m > egyeletet égyetre emelve és redeve, kpjuk: m pedig yilvávló gyo, mit ig, mert h m, <, kkor m m, e utói m m m, e utói pedig m Tehát megjegyést figyeleme véve, m m m m és m m m

14 h IV RDÓ FEREN EMLÉKVERSENY Kolosvár, júius, kkor m m m m m m m m m Követkeésképpe m,, m háromsög, és oldli felvessük M, N és P potokt M N P úgy, hogy k M N P ioyítsd e, hogy M, N és P sksokkl serkesthető egy H háromsög Sámítsd ki H és háromsögek területéek ráyát k függvéyée! Mivel egy háromsög, követkeik, hogy és Igoli fogjuk, hogy [M], [N] és [N] sksokkl iráyuk megőrésével serkesthető háromsög, hogy M N P Ehhe kisámoljuk M, N és P potok helyetvektorit, és potok helyetvektorik függvéyée M N P k k Tudjuk, hogy k, tehát m,, és M N P k k k p k N M k k és k k P k k k Hsoló k k k k Sitetikus megoldás k Tehát M N P k P N F M [P] skst párhumos eltoljuk úgy, hogy P pot - kerüljö Ekkor pot egy F pot kerül Igoli fogjuk, hogy MF potos keresett H háromsög Ehhe igoli kell, hogy D

15 Kolosvár, júius [FM] [N] sőt párhumos is Legye F és egyeesek metséspotj D Mivel P F és P F, követkeik, hogy PF prlelogrmm Tehát F P és F P D -e Thlés F DF D tételét lklmv, kpjuk, de F P D D F DF D P k Ésrevehető hogy D -e D D k DF N k NF N NF D Tudjuk, hogy D k D k D k D NF NF D k M k k D k D k k NF M, MFN prlelogrmm MF N és MF N Jelöljük T o illetve T vel H illetve háromsögek területét To F N T MD MD D M D k, T D k T k MD D k k k k k F k k k To T T o MD k k k Tehát T T T k k k MD k k ioyítsd e, hogy h, > és, kkor feldteli egyelőteleség l oldl felírhtó lái módo: sámti és mérti köépráyosok köti egyelőtleséget hsálv, kpjuk: Hsoló továik igoljuk, hogy mert Nyilvávló, hogy Tehát 8

16 Kolosvár, júius,, és össefüggésekől követkeik, hogy 5 Egy sigete 6 r, 8 öld és sürke kméleo él H két külööő síű kméleo tlálkoik, midkettő hrmdik síre váltottj őrét, míg egyé körülméyek köött em váltottják síüket Vlki feljegyete, hogy ser tlálkoott r kméleo ölddel, y sor öld sürkével és ser sürke rávl E tlálkoások utá háy dr öld, r illetve sürke kméleo v sigete? Lehetséges-e, hogy egy idő utá mide kméleo ugyoly síű legye? Ésrevehetőek láik: Egy tetsőleges r-sürke tlálkoáskor r illetve sürke kméleook sám sökke -gyel midkettőé és öld kméleook sám ő -vel Egy tetsőleges r-öld tlálkoáskor r illetve öld kméleook sám sökke -gyel midkettőé és sürke kméleook sám ő -vel Egy tetsőleges öld-sürke tlálkoáskor öld illetve sürke kméleook sám sökke -gyel midkettőé és r kméleook sám ő -vel Tehát kméleook síeloslás sk tlálkoások sámától függ Így, h kedete v S sámú sürke, sámú r, és Z sámú öld kméleo, kkor r-öld, y öld-sürke, és sürke-r tlálkoás utá sürke kméleook sám S S y, r kméleook sám y, öld kméleook sám Z Z y Tehát esetüke les 6 y r, 8 y öld és y sürke kméleo H mide kméleo ugyoly síű lee, kkor S, és Z sámok köül kettő ull kell legye H potál igolt egyelőségeket egy egyeletredserek tekithetjük, y és -e és megpróáljuk megoldi et redsert, eláthtjuk, hogy termésetes sámok hlmá is megoldás X ostály Oldd meg egyeletet vlós sámok hlmá! I eset - E megoldás, mert kitevők em ullák II eset - E is megoldás, mert ármilye htváyo III eset - - E is megoldás, mert kitevők pártlok, tehát midkét oldl IV eset,, -, - -, kitevők egyelők kell legyeek, :, eek pedig és megoldási, midkettő -, - -, hlm tlálhtó V eset -, - -, Ee esete is egyik feltétel, hogy kitevők egyelők legyeek, de et esetet már letárgyltuk Tehát egyelet megoldáshlm M {,,,, } hlm

17 Kolosvár, júius P poliom együtthtói vlós sámok és foksám legfelje N * ioyítsd e, hogy h, P X X és P X X, kkor P X X mrdékos ostás tételéől, kpjuk: P X Q X X és X Q X X P és össefüggéseke X helyett X et téve kpjuk: P X Q X X ' P X Q X X ' és illetve és össefüggéseket össedv, követkeik, hogy: P X P X Q X Q X X és P X P X Q X Q X X Tehát P X P X X é s P X P X X Ie, h, kkor P X P X X X De P X P X poliom foksám legfelje, tehát h em idetikus ull, kkor em lehet osthtó egy -ed fokú poliomml Követkeik, hogy P X P X idetikus ull E sk kkor lehetséges, h P-he redelt poliomfüggvéy pártl, vgyis h P Ie követkeik, hogy P X X oldlir kifele megserkestjük M és N egyelő sárú háromsögeket úgy, hogy [M] [M], [] [N], m M 6 és m N Htárod meg M és N potok ffiumát, és potok ffiumák függvéyée Sámítsd ki P mértékét, h P [MN] sks feleőpotj Nyilvávló, hogy M egyelő oldlú egyelő sárú és egy söge 6 o, tehát m M 6 és [M] [] Legyeek, és, és potok ffiumi M vektort o vektor 6 kl poitív trigoometrii iráy vló elfordításávl kpjuk Tehát o o os6 i si 6 és így M i i i M N Hsoló vektort vló elfordításávl kpjuk Tehát N i vektor o kl poitív trigoometrii iráy o o os i si N i i

18 Kolosvár, júius P pot ffium i i N M P sög mértéke egyelő P P P komple sám rgumetumávl i i i P, i i i P, i i i P P, tehát o 9 rg i P Egy egységyi átmérőjű egyees körhegert metsük egy oly α síkkl, mely heger simmetritegelyével 5 -os söget ár e, mjd heger plástját kiterítjük síkr úgy, hogy O pot origó és O körív O tegelyre kerüljö lásd mellékelt árát Ily módo heger és α sík metsetéek kiterítés utá egy síkgöre felel meg Milye függvéy grfikoj e síkgöre? α sík lpsíkkl vló metsete lpsík O pot O r állított merőleges, e visot merőleges O síkr, tehát merőleges O és O egyeesekre egyrát Ie két sík áltl meghtároott sög mértéke egyelő O sög mértékével ' 5 O m O O O O, M M, P P, M M,,

19 Kolosvár, júius Legye M egy pot síkmetsete és legye M M pot vetülete lpsíkr Ekkor M pot kiterítés utái, f koordiátái OM körív hoss és [MM ] sks f hoss Nyilvávló, hogy [, π] Tuljdoképpe meg kell htárouk [MM ] sks hossát függvéyée Legye P M pot vetülete [O] sksr MM P sík O egyeest P pot metsi ' O M ' O M P O M P ' O M P PP' ' O M ' O O M O M PP' M P M P MP' ' MO MPP' MP' feti eredméyekől ol követkeik, hogy MM PP tégllp Tehát PP ' MM ' f, de OPP egyelősárú és deréksögű, követkeik, hogy PP ' OP Tehát meg kell htárouk egy köre egy körív átmérőre eső vetületéek hossát körív hossák függvéyée Legye O lpkör köéppotj OP r y y, hol y O P sks iráyított hoss O felé os M O' O poitív, felé egtív Tuljdoképpe y r os ' M O O Tudjuk, os hogy m MO' O Tehát OP si Követkeésképpe r keresett függvéy: f :[, π] R, f si 5 Egy stlo dr pohár áll Egy lépése megfordítuk pohrt Elérhetjük-e, hogy eredeti helyetéhe visoyítv mide pohár fordítv álljo, h és 6? Két esetet tárgyluk: I eset H pártl Ee esete páros hho, hogy mide pohár lefele legye fordítv, mideike pártl sámú fordítást kell végei Visot pártl sámú pohár v, követkeik, hogy össes fordítások sám pártl kell legye De egy lépése pohrt fordítuk meg, mi páros sám, így ee esete mide lépése páros sámú fordítás volt ddig végrehjtv Tehát, h pártl em lehetséges, hogy mide pohár fordítv álljo II eset H páros Mivel 6m lkú, hol m N * Ee esete megdhtó egy lgoritmus, mellyel m-ik lépés utá mide pohár lefele les fordítv lépés: Lefordítuk pohrt Mrd lefordított és álló lépés: Lefordítjuk álló pohrt, és lefordított pohrkól felállítuk 6 pohrt Mrd 6 lefordított és 6 álló lépés: Felállítjuk 6 lefordítottt, és álló pohrkól lefordítuk 9 pohrt Mrd 9 lefordított és 9 álló

20 Kolosvár, júius lépés: Lefordítjuk 9 álló pohrt, és lefordított pohrkól felállítuk pohrt Mrd lefordított és álló Ésrevehető, hogy, h k N *, k m, kkor k lépés utá mrd 6k lefordított és 6k álló Áltlá k lépése lefordítjuk 6k álló pohrt és felállítuk 6k -t Mrd 6k lefordított és 6k álló k Lépése felállítjuk 6k lefordítottt és lefordítuk 6k t Mrd 6k lefordított és 6k álló Et lgoritmus követve m lépés utá les 6m lefordított és 6m álló pohár, tehát feldtot megoldottuk * XI ostály N rioális sámsorot tgji teljesítik össefüggést mide re és Htárod meg sorot áltláos tgják képletét! Tulmáyod * sorot korlátosságát! N Sámítsd ki lim htárértéket! rekuriós össefüggés átlkíthtó követkeő lk:, ie megfelelő egyserűsítéseket elvégeve, kpjuk Mtemtiki idukió módserével igolhtó, hogy Tehát em korlátos lim! lim, lim lim Tehát * sorot N lim! lim! lim

21 Kolosvár, júius Jól ismert tuljdoság ero-stol lemmáják követkeméye, hogy h egy poitív tgú sorot és léteik * N R l lim, kkor léteik lim htárérték és egyelő l el Et fogjuk lklmi,! sorotr Ee esete!!, tehát e lim Tehát e! lim! lim lim Követkeésképpe e lim p q p, q R egyelet gyökeit jelöljük, és l Sámítsd ki determiás értékét p és q függvéyée! Tudjuk, hogy egy mátri determiás egyelő trspoáltják determiásávl Tehát t t det det det det, hol Ekkor t továik kisámoljuk mátri sereplő elemeket p és q függvéyée felhsálv Viète féle össefüggéseket:, p, q p, ] 6 [ q 6 ] [ 6 q p q 6 6

22 Kolosvár, júius Tehát p [ ] p p p p p 6 p q p 6 p q p 8 p p q ± p 8 p q vgy előjel gyökök megválstási sorredjétől függ, h gyökltti kifejeés egtív kkor em vlós Tekitsük, egyeletet ioyítsd e, hogy feti egyeletek potos egy gyöke v, itervllum és, itervllum is Jelöljük eeket gyököket illetve y el ioyítsd e, hogy lim és lim y ioyítsd e, hogy léteik oly o N * sám, melyre y < o Legye f : R R, f Nyilvávló, hogy f folytoos és deriválhtó termésetes sám eseté Ésrevehető, hogy f > f < f > E mtemtiki idukióvl ol igolhtó elői egyelőtleségekől és f folytoosságáól követkeik, hogy f léteik gyöke, és, itervllumok f ' deriváltk két vlós gyöke v és, és eekől sk egy, itervllum, tehát em lehet, itervllum -él tö gyök Igoljuk, hogy lim <, mert < < lim Igoljuk, hogy lim y, y y y y > y, mert < y < lim y y > o : y < o,, tehát f, Igoljuk, hogy f itervllumo egtív, és itervllumo poitív, sökkeő e és övekvő, e * * f, y R, f y, R Elegedő igoli, hogy f >

23 Kolosvár, júius f k k k 6 f 6 6 E utóiról igoli, hogy poitív ekvivles k igolásávl, hogy > * 6 >, > Tehát < < Nyilvávló, hogy 6 < 6 Követkeésképpe elegedő igoli, hogy o < és > úgy, hogy > o 6 E egyelőtleség követkeőképpe lkul: > E yilvávló ig egy 6 ioyos o tól, mert l oldl trt -he és jo oldl he Tehát : y < o *, y R ioyítsd e, hogy h és y vlmit [] [y] N *, kkor, y N és y Mivel R *, követkeik, hogy léteik oly o N *, hogy o eseté [] [ y] Tekitsük, o, sorotot feldteli feltételől követkeik, hogy [ ] y y N Felírhtó, hogy < <, eeke egyelőtleségeke y y * htárértékre térve kpjuk, hogy lim Visot N N, mert y és N : o

24 Kolosvár, júius feti eredméyeket felhsálv felírhtjuk, hogy [ ] [ ] { } { } { } { } H N, kkor { } :{ } > { } > > { }, e pedig elletmod elői egyelőségek Tehát { } N *, y N * y 5 Egy kerek stl körül lovg ül Mide pere egy tetsőlegese válstott lovg két követle somsédj helyet serélhet egymássl Lehetségese, hogy egy idő utá mide lovg jooldli somsédj éppe, ki eredetileg loldli somsédj volt? Sámouk meg lovgokt től ig Ekkor tuljdoképpe t kellee elérük serélgetésekkel, hogy sámoás fordított iráy legye h tekitjük es sámú lovgot, kkor eléredő helyete mide sám kerek stl ese átmeő átmérőjére votkottv simmetrikus elhelyekedő lovg helyére kell kerüljö továik igoljuk, hogy e elérhető, h egyekét seréljük ki k és k es sámú lovgokt es s és s lovgok kiserélése: s s és s lovgok kiserélése: es és es sámú lovgok kiserélése:

25 Kolosvár, júius Feltételeük, hogy,,, k lovgokt már kiseréltük,, - k lovgokkl Igoljuk, hogy ekkor k es lovg is kiserélhető k es sámú lovggl H eliduluk k essel, mide másodikt átugorv eljuthtuk k es helyée, mikor k est veetjük viss k es helyére, potos okkl kell helyet serélje, melyekkel k - es serélt helyet, ily módo kötük levő lovgok visskerülek eredeti helyetüke Tehát mtemtiki idukió elvéől követkeik, hogy mide két simmetrikus lovg kiserélhető, eljuthtuk sámoás fordított sorredjéhe Így mide lovg jooldli somsédj éppe les, ki eredetileg loldli somsédj volt