MECHANIKA I. - STATIKA. BSc-s hallgatók számára

Átírás

1 ECHNK. - STTK BSc-s hllgtók sámár

2

3 ECHNK. - STTK Tnkönv és jeget BSc-s hllgtók résére - -

4 Dr. Glmbos rges echnk. Sttk tnkönv és jeget BSc-s hllgtók résére Írt és serkestette: Dr. Glmbos rges és Sándor Zsolt Péter Tördelte: Sándor Zsolt Rjolók: Cseke Péter Tqulo, Dvck árk, Sándor Zsolt Péter elelős kdó: elelős veető: árpedg hbák olkor előfordulhtnk. Erre vló tekntettel létrehotunk eg e-ml címet, hol könvvel kpcsoltos hbákt jelehetk, hog újbb kdások lklmávl eek már jvítv jelenhessenek meg. Továbbá ugntt várjuk könvvel kpcsoltos ésrevételeket s. Budpest,. jnuár - -

5 TRTLOJEGYZÉK BEVEZETÉS ) TETK ÖSSZEOGLLÓ ) ÁTRX SZÁÍTÁS LPJ ) átrok össedás és kvonás ) átrok sorás sklár sámml ) átr sorás mátrsl ) átrok determnáns ) VEKTORSZÁÍTÁS LPJ ) vektorlgebr koordnátmentes értelmeése ) Vektorok foglm és jelölése ) lpfoglmk ) űveletek vektorokkl ) vektor lgebr koordnátás értelmeése ) vektor koordnátás értelmeése ) űveletek vektorokkl ) TENZOR ) tenor foglm ) SJÁTÉRTÉK, SJÁTVEKTOR ) PÉLDÁK TETK ÖSSZEOGLLÓ TÉKÖRBŐL ) ERŐRENDSZEREK ) LPOGLK ) Erő ) Pontr sámított nomték ) Erőpár, koncentrált nomték ) Tengelre sámított nomték ) Erőrendser redukálás ) Kénserek ) ERŐRENDSZEREK OSZTÁLYOZÁS ) EGYENSÚLY ERŐRENDSZEREK ) PÉLDÁK Z ERŐRENDSZEREK TÉKÖRBŐL ) GÉNYBEVÉTEL ) KONCENTRÁLT ERŐKEL TERHELT TRTÓ ) KONCENTRÁLT NYOTÉKKL TERHELT TRTÓ ) EGOSZLÓ ERŐRENDSZERREL TERHELT TRTÓ ) ÁSODOKÚ ÜGGVÉNY RJZOLÁS ) ÖSSZEÜGGÉS HJLÍTÓNYOTÉK ÉS NYÍRÓERŐ ÜGGVÉNYEK KÖZÖTT ) PÉLDÁK Z GÉNYBEVÉTELEK TÉKÖRBŐL V.) PÁRHUZOS ERŐRENDSZEREK ) KONCENTRÁLT ERŐKBŐL ÁLLÓ PÁRHUZOS ERŐRENDSZER ) EGOSZLÓ ERŐRENDSZER (SÍKBN) ) SÚLYPONT, TÖEGKÖZÉPPONT ÉS GEOETR KÖZÉPPONT ) VONLK SÚLYPONTJ ) SÍKDOOK SÚLYPONTJ ) PÉLDÁK PÁRHUZOS ERŐRENDSZEREK TÉKÖRBŐL

6 V.) ÁSODRENDŰ NYOTÉK ) ÁSODRENDŰ NYOTÉK ÉRTELEZÉSE ) ÁSODRENDŰ NYOTÉK Z XYZ DERÉKSZÖGŰ KOORDNÁTRENDSZERBEN ) SÍKDOOK ÁSODRENDŰ NYOTÉK ) KOORDNÁTRENDSZER ORGTÁS ) KOORDNÁTRENDSZER PÁRHUZOS ELTOLÁS ) ŐÁSODRENDŰ NYOTÉK ÉS ŐRÁNY ) NÉHÁNY SÍKDO ÁSODRENDŰ NYOTÉK ) PÉLDÁK ÁSODRENDŰ NYOTÉK TÉKÖRBŐL V.) RÁCSOS SZERKEZETEK ) SÍKBEL RÁCSOS SZERKEZET ÉRTELEZÉSE ) RÚDERŐK EGHTÁROZÁS CSOÓPONT ÓDSZERREL ) HÁRORUDS ÁTETSZŐ ÓDSZER ) K RÁCSOZÁSÚ TRTÓK SZÁÍTÁS ) PÉLDÁK RÁCSOS SZERKEZETEK TÉKÖRBŐL V.) SÚRLÓDÁS ) SÚRLÓDÁS ZK ÉRTELEZÉSE ) GÖRDÜLÉS ELLENÁLLÁS ) KÖTÉLSÚRLÓDÁS ) CSPSÚRLÓDÁS ) PÉLDÁK SÚRLÓDÁS TÉKÖRBŐL

7 Beveetés Tstelt Olvsó / Kedves Hllgtó! Een egetem jeget mechnk, on belül sttk tudománávl fogllkok. Nem ttkolt célj, hog segítséget nújtson oknk hllgtóknk, kknek sándékábn áll e tudománág jelentette fontos smeretng lpjt megsmern és elsjátítn, m tovább tnulmánk hsnos, sőt elengedhetetlen pllére lehet. könv lpoktól kedve dolgo fel témát; tém megértéséhe sükséges mtemtk hátteret első fejeetben fellelhető össefoglló smertet. tnng elsjátítását fejeetek célserű felépítése hvtott támogtn. nden témkör esetében elmélet beveetőt több résletesen kdolgoott péld követ, meleket megértés elősegítése végett geketünk mnél több ábrávl llustráln. ndeen felül gkorlópéldák s tlálhtók könvben, meleknél csk kndulás dtokt és végeredméneket kööltük. Eeket önálló megoldás céljár sánjuk. Tpstltnkból kndulv t jánljuk, hog tnulás során s fejeetek struktúráját kövessék: elmélet és feldtok megoldásánk sokásos menetének áttekntését követően ne mulssnk el néhán példát sját mguk megoldn, hsen mnde ng segítség lehet tntárg sámonkérésere vló felkésülésben. íg serett tpstlt és gkorlottság pótolhttln. Könvünket hánpótlónk sánjuk hllgtóbrát sttkkönvek területén, íg írás során elsődleges volt sempont, hog hllgtók können hsnálhtó, logkus és lénegre törő segédletet kpjnk tnulmánk során. Ősntén reméljük, hog tnulók hsnosnk ítélk meg könvet, és segítségével még skeresebben lesnek képesek smeretek résévé tenn e ngserű tudománt. ként témkör egk népserű okttój gkort említette: társdlomtudománokkl semben sttk tudomán független poltk rendserek váltoásától, íg k egser elsjátítj, t már nem érhet meglepetés. Budpest, 9 serők - 5 -

8 .) temtk össefoglló.) átr sámítás lpj Defnícó: sámok eg bonos lkb történő elrendeését mátrnk neveük. m m mátr elemet ndesel látjuk el, m megmuttj, hog dott elem mátr mel sorábn, lletve oslopábn helekedk el. Első sám sornde, másodk oslopnde. mátroknk több jelölés módj terjedt el. Például: ngbetű kétser föléhúv, kétser láhúv, vg nomttásbn vstg ngbetű, esetleg [ j ] lkú. Een felül sokás ndeekkel jelöln mátr terjedelmét. Például:. m n, m n Ebben könvben mátrokt vékon betűvel és két fölévonássl fogjuk jelöln: L L O L n n mn m n Specáls mátrok: - Négetes mátr: mátr sornk és oslopnk sám megegek. (mn) - Sormátr: mátrnk egetlen sor vn. ( n) - Oslopmátr: mátrnk eg oslop vn (m ) mátrok on eleme, melek sorndee egenlő oslopndeével, lkotják mátr főátlóját. Például: mátrbn és elemek...) átrok össedás és kvonás Eek műveletek csk onos méretű mátrok köött értelmehetők. dott m n melnek eleme j és B m n, melnek eleme b j. össedás és kvonás C B b műveletét lábbk sernt értelmeük: j ( ) j j j D B b lletve kvonásnál: j ( ) j j j Vgs eredménmátr j elemét úg kpjuk meg, hog műveletben sereplő mátrok j elemet műveletnek megfelelően össedjuk, vg kvonjuk. Péld: djuk össe lább -s mátrokt ? - 6 -

9 egoldás: megfelelő helen lévő elemeket össedjuk. Tehát 7, 8 9 és íg tovább ) átrok sorás sklár sámml dott [ j ] és λ eg sklár sám. Ekkor λ [ λ j ], vgs eg mátr sorását λ sámml úg hjtjuk végre, hog mátr mnden elemét megsorouk sklár sámml. Péld: Sorouk meg lább -es mátrot kettővel * 6..) átr sorás mátrsl Két mátrot csk kkor lehet össesoron, sorás sorrendjét s fgelembe véve, h első téneő oslopnk sám megegek másodk téneő sornk sámávl. n m Bm k Cn k Ekkor végeredmén mátr sorsám első téneő sorsámávl, oslopsám, pedg másodk téneő oslopsámávl les egenlő. Négetes mátrok soráskor végeredmén mátr s négetes mátr les, melnek sor és oslopsám megegek téneőkével. mátr sorás eg specáls esete, h sormátrot oslopmátrsl sorunk. Ebben esetben, ugns végeredmén eg -es mátr les. és B Legen n [, ],? K n n b b b... b n sorás B eredméne tehát egetlen sám les, melnek értéke követkeőképpen lkul: b b n B [ ],,, K, n b b b... b n n b b n - 7 -

10 Áltlános mátrok sorás: j j Legen m n [ j ] m n B n k [ bj ] n k és B m n B n k C m k. C m k mátr eleme: B C c j K b j b j n bnj. Tehát eredménmátr elemet úg kpjuk, hog mátr mnden sorát megsorouk B mátr mnden oslopávl. sor, oslop kombnácóbn végrehjtndó sorást specáls sormátr oslopmátrsl vló sorás sbál sernt hjtjuk végre...) átrok determnáns Legen dv eg négetes mátr. Ennek mátrnk determnáns eg sám melnek értékét mátrot lkotó elemekből, meghtároott művelet sbálok sernt sámítjuk k. determnáns jelölése: det ( ). -es mátr determnánsát lább eljárássl htárouk meg: det b b ( ) det d b c c d Vgs főátlóbel elemek sortából kvonjuk mellékátlóbel elemek sortát. Tekntsük lább -s mátrot: Válssuk k mátr vlmel elemét és hgjuk el kválstott elem sorát és oslopát. Íg eg ksebb méretű (jelenleg -es) mátrot kpunk, melnek determnáns előőek sernt sámíthtó. Et determnánst kválstott elemhe trtoó ldetermnánsnk neveük. H kválstottuk elemet, kkor hoá trtoó ldetermnáns: j H ldetermnánst megsorouk még ( ) - vel nerjük j elemhe trtoó előjeles ldetermnánst, más néven djungáltt. elemhe trtoó djungált tehát követkeő: c d - 8 -

11 ( ) ( ) ( ) djungált előjele úgneveett skktábl sbál sernt s meghtárohtó. lenkor mátr első eleme (bl felső) potív, több elem előjele elsőhö képest felváltv követ egmást. L L L L O mátr determnánsát követkeő módon sámítjuk k. Válssunk k determnáns tetsőleges sorát vg oslopát. kválstott sor vg oslop mnden elemét megsorouk djungáltjávl és íg nert sortokt előjelhelesen össegeük. Első sor sernt kfejtés: det( ). determnáns ksámítás sok esetben egserűsödk, h khsnáljuk determnánsok néhán tuljdonságát: - H determnáns két sorát vg oslopát felcseréljük, kkor értéke előjelet vált. - H determnáns két sor vg oslop megegek, kkor értéke null les. - H determnáns vlmelk soránk vg oslopánk mnden elemét megsorouk eg tetsőleges λ sámml, kkor determnáns értéke s λ sorosár váltok. determnáns ksámítását célserű oln sor vg oslop sernt kfejten, melben sok null értékű elem tlálhtó. Ekkor ugns csk nem érus elemekhe trtoó ldetermnánsok ksámítását kell elvégen...) Vektorsámítás lpj..) vektorlgebr koordnátmentes értelmeése...) Vektorok foglm és jelölése P Q P htásvonl oln mennségeket, meleknek nemcsk ngság hnem rán s vn, vektoroknk neveük. tér eg P pontjából Q pontb muttó vektort PQ egenes drb hoss (ngság), térbel helete (állás), és rán (értelme) htáro meg. térbel heletet (állást) és ránt (értelmet) össefogllón csk ránnk s nevek. vektoros jelölése: PQ,,

12 Kétféle vektort értelmeünk: - Sbd vektor: melnek kedőpontj (támdáspontj) tér tetsőleges pontjáb helehető. - Kötött vektor: melnek támdáspontj tér eg meghtároott pontj. Két kötött vektor kkor egenlő, h kedő és végpontj megegek. Két sbd vektor kkor egenlő, h ngságuk, ránuk és értelmük megegek. E t jelent, hog sbd vektorok önmgukkl párhumosn eltolhtók. követkeőkben, többségében sbd vektorokkl fogunk fogllkon....) lpfoglmk.) vektor bsolút értéke: vektor bsolút értéke, vektor hoss, mel eg nem negtív vlós sám. Jele: v b.) Zérus vektor vg nullvektor: érus vektor bsolút értéke null és rán tetsőleges. c.) Egségvektor: egség vektor bsolút értéke. Jelölése: e Eg v vektor bsolút értékét követkeőképpen htárouk meg: v e v v egségvektor rán megegek eredet v vektor ránávl. d.) Két vektor hjlássöge: v v α v és v vektorok hjlássöge sorrendet s fgelembe véve sög, mellel v vektor potív forgtássl v vektor ránb forgthtó....) űveletek vektorokkl.) Vektorok össedás: v v v v v és v vektorok össegét követkeőképpen értelmeük. első vektor végpontjáho hoállestjük másodk vektor kedőpontját. első vektor kedőpontjából másodk vektor végpontjáb muttó vektort neveük ( v v ) vektornk. E össegés módser tetsőleges sámú vektor össedásár s hsnálhtó. Két vektor össegét prlelogrmm módser sernt s meghtárohtjuk: Ennek során két vektort köös pontból mérjük föl és eg prlelogrmm két somsédos oldlánk tekntjük. - -

13 ( v v ) vektor prlelogrmm ránított átlój, melnek kedőpontj két vektor köös kedőpontj. v v v vektorok össedásár vontkoó tuljdonságok: - Kommuttív felcserélhető: b b - ssoctív csoportosíthtó: b c b c b c v ( ) ( ) v v v v v v v v v v v v b.) Vektorok kvonás: v b b és b vektort ( b ) különbségén lább vektort értjük. két vektor köös kedőpontból felmérjük, mjd képeük b vektor végpontjából vektor végpontjáb muttó vektort. b vektort képehetjük ( b ) össegeként s. b b b b c.) Vektorok sorás sklárrl: vektor és λ sklár sám sort λ vektor, melnek bsolút értéke vektor bsolút értékének λ -soros, rán pedg -vl egeő, h λ potív és ellentétes h λ negtív. H λ, kkor sorás eredméne érusvektor (nullvektor). λ λ h λ > h λ < - -

14 sklárrl vló sorás tuljdonság: - ssoctvtás (csoportosíthtóság) : ( λ λ ) λ ( λ ) λ ( λ ) - Dstrbutvtás (sétválsthtóság): ( λ λ λ λ és ) ( b) λ λb λ λb λ( b ) b b λ d.) Vektor sorás vektorrl sklársn (sklárs sort) b α Két vektor sklárs sort két vektor bsolút értékének és hjlássögük kosnusánk sort. Jele: b b b cosα b cosα Két vektor sklárs sort vlós sámot, sklárt eredméne. Két vektor sklárs sort lább esetekben lehet érus: - - b - cosα α 9 Vgs két nem érus vektor sklárs sort érus, h vektorok merőlegesek egmásr. ásképp foglmv: két nem nullvektor sklárs sort csk kkor null, h két vektor deréksöget ár be egmássl. sklárs sorás lább tuljdonságokkl rendelkek.: - b b λ b λ b λb - ( ) ( ) ( ) - ( b) c c b c H két vektor köül egk egségvektor, kkor e sklár sort, vektor e vektorr vett merőleges vetületét dj. α e e - -

15 e.) Vektor sorás vektorrl vektorálsn (vektoráls sort) b b ρ Két vektor vektoráls sort vektor. Jele: b ( sorrend fontos!) Ennek bsolút értéke: b b sn ρ ( b) vektor és b vektorokr merőleges úg, hog, b és b vektorok ebben sorrendben eg jobb sodrású rendsert lkotnk. vektoráls sort bsolút értékének geometr jelentése: két vektor áltl kfesített prlelogrmm területe. Két vektor vektoráls sort s lehet érus, bbn esetben, h egk vektor sem nullvektor. H két vektor párhumos, kkor vektoráls sortuk érus, mert áltluk beárt sög snus érus. E megállpítás fordítv s g, h két nem érus vektor vektoráls sort érus, kkor vektorok párhumosk egmássl. vektoráls sorás tuljdonság: - b b ( téneők felcserélése előjelváltássl jár!) - ( b ) c c b c - λ ( b ) λ b λb ( b c ) b( c ) c ( b ) - ( ) ( ) ( ) b c b c bc f.) Veges sorás Kfejtés tétel. Három vektor veges sort eg sklár sám, mel két vektor vektor sortánk hrmdkkl vló sklárs sort. ρ b b snρ b c cosρ ρ c b b c α ( b ) c b cos ρ c veges sort geometr jelentése, b és c vektorok áltl kfesített prleleppedon térfogt. nnk ellenére, hog térfogt fk értelmeés sernt mndg potív értékű, veges sort eredméne sernt potív vg negtív, hog három vektor jobb vg blrendsert lkot-e. - -

16 felcserélés tétel sernt: b c c b b c ( ) ( ) ( ) ( c ) b ( b ) c veges sort érusértékű lehet kkor s, h egk téneője sem érus. b c egenlőség áll fenn, h három vektor eg síkbn vn (komplnárs)...) vektor lgebr koordnátás értelmeése...) vektor koordnátás értelmeése vektorok koordnátás értelmeése során jobbsodrású koordnát rendsert hsnálunk. Legen,, koordnátrendser potív tengelenek ránáb muttó egségvektorok:, j, k. v v v k j v háromdmenós tér, bármel v vektor előállíthtó v v v v j k lkbn, hol,, v vektor koordnátá. v j v v Síkbel feldtok esetén csk kétdmenós koordnátrendsert hsnálunk. Ekkor vektoroknk k egségvektor ránáb eső komponense (koordnátáj) érus értékű. v v v j Kétdmenós esetben trgonometr s könnebben keelhető. v cosα v snα tg α ctgα α v - -

17 ...) űveletek vektorokkl.) Vektorok össedás j v v v v Legen v j és v j, kkor v v ( ) ( ) j. Két vektor össegének koordnátá össedndó vektorok megfelelő koordnátánk össegével egenlő. n n n v v v vn j K K k vel koordnáták előjeles sámok, eért össegésnél előjeleket fgelembe kell venn. b.) Vektorok különbsége Két vektor különbségének koordnátá megfelelő koordnáták különbségével egenlő. Legen j k és j k. v v Ekkor ( v ) ( ) ( ) j ( )k v. Két vektor különbségének smerete lehetőséget teremt rr, hog meghtárouk két pont köött vektor koordnátát. ábrár rjolt vektorokr felírhtjuk lább össefüggést: r B r b. B (b, b, b ) egenletet átrendeve B kpjuk: B r b r. r b E t jelent, h smerjük két pont P r koordnátát, két pontot (,, ) össekötő vektort úg htárohtjuk meg, hog végpont koordnátából kvonjuk kedőpont koordnátát. B b b j b k ( ) ( ) ( ). c.) Vektor sorás sklárrl koordnátás lkbn Eg λ sklár sám és eg vektor sortánk koordnátá eredet vektor koordnátánk λ - soros. Legen v j k, kkor λ v ( λ) ( λ) j ( λ)k

18 - 6 - d.) Sklárs sort koordnátás lkj Két vektor sklárs sort egenlő két vektor megfelelő koordnátá sortánk össegével. Legen k j v, vg másképp [ ],, ν és legen k j v, lletve v. k k j j k k k j j j k j v v vel k k j j és k j k j, íg [ ],, v v e.) Vektoráls sort koordnátás lkj, j, k jobbrendsert lkotó, egmásr merőleges egségvektorok páronként vektoráls sort: k j j k k k j k j k k j j j k j Legen k j v és k j v. Ekkor ( ) ( ) k j k j v v. előőeket vlmnt dstrbutvtást felhsnálv eredmén sámíthtó. vektor sort mátrsámítást felhsnálv lább lkbn írhtó fel. det k j k j v v f.) Veges sort koordnátás lkj Legen k j v, k j v, k j v Ekkor: det v v v j k

19 g.) vektor bsolút értékének koordnátás előállítás Eg vektor bsolút értéke, koordnáták négetössegéből vont négetgök. Legen v j k, kkor v. h.) Egségvektor előállítás koordnátás lkbn Legen v j k, ekkor e v j k v.) Vetület előállítás koordnátás lkbn b vektornk vektorr vló merőleges vetülete. b b e n b Legen j k és b b b j b k. b ( b b j bk ) j k b b b b ρ e b.) tenor..) tenor foglm fk rendserek váltoását smbolkusn operátorokkl fejeük k. H eg v vektort elforgtunk vlmel dott söggel és eel v * vektorho jutunk, kkor et váltoást jellemehetjük operátorrl. v* v n n bbn esetben, h operátor rendelkek α [ ] v α v tuljdonságokkl hol α sklár sám operátort lneárs, homogén vektoroperátornk vg más néven tenornk neveük. tenort vstg betűvel és két felülvonássl jelöljük. Eg tenort kkor tekntünk egértelműen meghtároottnk, h meg tudjuk dn tetsőleges vektorrl képett sortát, vg m ugnet jelent, meg tudjuk mondn, hog eg dott vektort mlen vektorr képe le

20 Ehhe elegendő megdn, hog tenor tér három nem komplnárs (nem eg síkbn fekvő) vektorát mel vektorokr trnsformálj. Legen tér három nem komplnárs vektor,b, c és trnsformácó követkeő: b * c d * c * k j d b * * T b* Tb c* T c vel b c, tér bármel d vektor felírhtó. λ λ b c lkbn. lklmv d vektorr, trnsformácót, kpjuk: d d λ ( λ λ λ ) λ T λ Tb λ c λ * λ b * λ * * T d T T c Vgs, d * (trnsformált vektor) előállíthtó lpvektorok trnsformáltjnk lneárs kombnácójként. előőekből követkek, hog h vektorhármst (, b, c ) rögítjük, kkor tenor egértelműen jellemehető. Legcélserűbb, h e vektorhármsnk koordnáttengeleket kjelölő egségvektorokt e, e, e válstjuk. smerve e * Te e * Te e * Te e * e * e * vektorokt, T tenort eekkel, mnt vektorrendeőkkel jellemehetjük. [ e e *, *] T *, e Tetsőleges v λ e λe λe vektor esetén leképeés T v λ e * λe * λe *, lletve - 8 -

21 v * v * v * λ v * lkbn lehetséges. λ λ λ λ λ tenort tehát három vektor vg klenc sklár dt jellemehet. Eeket sklár dtokt mátrb fogllv kpjuk tenor mátrát. Például: T..) Sjátérték, sjátvektor vektorok leképeésénél létenek oln egségvektorok, melekhe dott tenor eredet vektorrl egeő állású vektort rendel. k Rendeük át j v T v λv egenletet. ( T λe) v v* λv ( ) Eeket vektorokt T tenor sjátvektornk, hoájuk trtoó λ sámokt pedg tenor sjátértékenek neveük. mechnk okttás gkorltábn smmetrkus tenorok fordulnk elő. smmetrkus tenornk leglább dmenósámml megegeő sámú egmásr páronként merőleges e,, sjátvektor-rendsere és ennek megfelelően λ λ λ vlós sjátértéke vn. Eek sjátértékek lletve sjátvektorok mechnk különböő ágbn más és más fk trtlomml bírnk. Tv λ E v, hol E úgneveett egségtenor. vektoregenlet mátros írásmóddl lább. λ v λ v λ v hol v, v, v v vektor koordnátá és E homogén lneárs egenletrendsernek trválstól különböő megoldás csk kkor vn, h λ det λ λ - 9 -

22 tenor első sklár nvráns: s tenor másodk sklár nvráns: s det det det Vegük ésre, hog másodk sklár nvráns tenor főátlójábn tlálhtó elemekhe troó ldetermnánsok össege. tenor hrmdk sklár nvráns: s det egenlet íg λ s λ s λ s lkú hrmdfokú polnom. Ennek megoldás dják λ, λ, λ sjtértékeket. λ sjátértékhe trtoó sjátvektort tudjuk meghtáron: λ λ lletve, v v v v lább egenletek felhsnálásávl v v λ v előő nég egenlet köül csk három lneársn független. Eek segítségével keresett vektorrendeők meghtárohtók. Síkbel trnsformácó esetén trnsformácót leíró tenor csk nég elemet trtlm. T krkterstkus egenlet ennek megfelelően csk másodfokú. λ det λ Vgs tenornk két sjátértéke és két sjátvektor vn. Eek vektorok smmetrkus tenorokról lévén só merőlegesek egmásr. - -

23 - -.) Példák mtemtk össefoglló témkörből. péld Legen dott lább két mátr: 5 és B Htárouk meg két mátr össegének, különbségének és sortánk determnánsát!.) Össeg C B, tehát C determnáns meghtároását végeük el első sor sernt kfejtéssel. [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] det C b.) Különbség D B, tehát D determnánst fejtsük k köépső sor sernt. 8 (...) (...) ) ( ) ( det D c.) Sort H B h h h h h h h h h H

24 h h h h h h h h h Tehát H determnáns értékének meghtároását végeük el utolsó oslop sernt kfejtéssel. det H (8 6). péld Htárouk meg C és CB vektorr merőleges vektort! C B (,, ); B (,, ); C (,, ) C j k CB j k j k C CB ( 6) j( ) k ( ) 5 j 6k Termésetesen CB C vektor s merőleges két vektorr. j k CB C ( 6 ) j( ) k ( ) 5 j 6k mnt várhtó volt, egk vektor másk (-) - serese. - -

25 . péld Htárouk meg CB b vektor vetületét C vektorr. (,, ); B (, 6, 5); C (,, ) CB b 5 j k C j k C B e e j k S b e [,5,], péld Htáro meg, B, C, D pontokkl megdott prleleppedon térfogtát! (, - ); B (8, 6, -); C (6,, ); D (9, 7, 5) keresett térfogtot, B, BC c, BD d vektorok veges sort dj. D B C B 8 j k BC c j k BD d j 6k V cd cd 8 6 ( ) 8( ) ( ) 88 6 V6 - -

26 5. péld Bontsuk fel vektort D, BD b és CD c vektorok ránáb muttó komponensekre! (, 6 ); B (,, ); C (,, ); D (,, 6) j k C D B felbontás során kpott komponensvektorok össege felbontndó vektorrl egenlő * b * c *. komponensvektorok mndegke vlmel előre megdott vektor ránáb né, tehát írhtó, hog: * λ b* λ b c* λ c Eekkel vektoregenlet lább lkot ölt: λ λb megdott pontok lpján vektorok sámíthtók, vgs λ D j 6k BD b j 6k CD c j 6k c vektoregenlet megoldásár többféle módser s létek:.) egoldás: Helettesítsük be vektoregenletbe megdott lletve ksámított, b, c vektorok vektorrendeőt. j k λ ( j 6k ) λ ( j 6k ) λ ( j 6k ) egenlet jobboldlán végeük el sklárrl vló sorást, vlmnt csoportosítsuk okt, j, k egségvektorok sernt. j k (λ λ λ) ( λ λ λ ) j (6λ 6λ 6λ) k Két vektor kkor egenlő, h megfelelő vektorrendeők értéke onos. Et fgelembe véve, lább egenletrendsert kpjuk. λ λ λ λ λ λ 6λ 6λ 6λ - -

27 három smeretlenes egenletrendser megoldás során lább értékeket kpjuk: λ λ λ B.) egoldás: Sorouk meg vektoregenletet jobbról sklársn ( b c) vektorrl. ( b c) λ ( b c) λb ( b c) λc( b c) gelembe véve, hog ( b c ) oln vektor, mel merőleges mnd b, mnd c vektorr, továbbá t, hog két egmásr merőleges vektor sklárs sort érus, jobb oldlon másodk és hrmdk tg érus értékű. b b c ( ) ( b c ) c Eel egenlet lább lkot ves fel. ( b c ) λ ( b c ) egenletben tlálhtó vektor műveletek össevontn felírhtók úgneveett veges sortokként. b c b c ( ) ( b c ) b c vel veges sortok eredméne sklár sám, írhtó b c λ bc λ értéke, tehát ksámíthtó két determnáns hándosként. λ ksámításkor hsonlón járunk el, l különbséggel, hog vektor egenletet ( c ) - vl sorouk meg. λ értéke c c c λ b c b c b c tt fgelemmel voltunk rr, hog determnáns értéke előjelet vált, h két sorát felcseréljük. Hsonlón dódk b λ b c nég determnáns ksámítás lábbk sernt történk. b c ( ) 6 ( 6 6) b c 6 6 ( 8 8) ( ) ( 6 6) - 5 -

28 c 6 6 ( 8) 6( 6 6) b 6 6 ( 8 ) 6 ( 6 6) Eekkel λ λ λ ksámított λ értékekkel komponensvektorok: 7 * λ j k 6 7 b* λb j k c* λc j k Ellenőrésképpen djuk össe komponensvektorokt. * b * c* j k Eel megkptuk vektort. 6. péld Htárouk meg tenor sjátértéket és sjátvektort! Sjátérték meghtároás: 8 λ 5 det 5 λ ( 8 λ) ( λ) λ λ 6 5 λ λ 9 λ, ± ( 5) λ 8, 9 ± 6 λ 8, ± 6,6 λ 8, sjátértékhe trtoó sjátvektor meghtároás: - 6 -

29 8 8, 5 8, 5 8, e 5 e 5 e 8, e 5 e 88, e 5 e 88, e 5 8, és e e és e e és e e e e, 766 e (,766 e e tgα e ) e,97,87 e ±,97 α 9,5 e m,87 cos α snα j lkbn hsnáljuk. kkor lább meg- H egség vektort oldást kpjuk. e n 8, cosα 5 sn α 5 cos α 88, sn α Ebben esetben sn α cos α onosság lpján e vektor btosn egségvektor. 8, cos α 5 snα 8, snα tg α 5 cosα α 9,5 λ 8, sjátértékhe trtoó sjátvektor 8 ( 8,) 5 5 cos γ ( 8,) sn γ e γ 6,8 88, cos γ 5sn γ 88, 5 sn cos γ 6,8 γ γ tg γ α-9,5 e X két tengel merőleges egmásr

30 .) Erőrendserek.) lpfoglmk..) Erő erő mndg két test egmásr kfejtett kölcsönhtás. E kölcsönhtás - kevés kvételtől eltekntve - két test követlen érntkeése nomán keletkek. erőt vektorjellegű mennségnek tekntjük - r -, vgs jellemője ngság, rán, vlmnt támdáspontj. erő kötött vektor. htásvonl támdásponton kerestülfektetett és erő ránávl párhumos egenes erő htásvonl. támdáspont erő mértékegsége - Newton m törvénét fgelembe véve - ( kg tömegű m m test gorsulássl vló gorsítás): kg N s s. két test kölcsönhtásábn keletkeő erőt érntkeő felületek ngság lpján lább módon ostálouk: Koncentrált erő: érntkeő felületek oln kcsnek kölcsönhtásbn réstvevő testekhe képest, hog pontserűnek teknthetőek. koncentrált erő tehát reltív foglom. egosló terhelés: h érntkeő felületek kterjedése egk ránbn ng, másk ránbn pedg elenéső, kkor vonl mentén megosló erőről besélünk. értékegsége m N. H érntkeő felületek mérete mndkét ránbn jelentősek, kkor felület mentén megosló erőről vn só. értékegsége N. m Tömegvonásnál keletkeő erő test mnden eges térfogtelemére ht. Ekkor térfogton megosló erőről besélünk. értékegsége N. m - 8 -

31 ..) Pontr sámított nomték erőnek forgtó htás vn. Et forgtó htást forgáspontho kötött nomtékvektor jellem. P r T nomtékvektort pontból (P) erő támdáspontjáho (T) ránított vektor ( r ) és erővektor r ( ) vektor sort dj: P r. P Jobbos rendsert hsnálv nomtékvektort úg ábráoljuk, hog nílll sembenéve forgtó htás órmuttó járásávl ellentétes legen. Több erő (erőrendser) esetén pontr sámított nomték résnomtékok össegével egenlő. P r T P r r T T r P r P P r P P r..) Erőpár, koncentrált nomték oln erőrendsert, mel két onos ngságú, párhumos htásvonlú, de ellentétes értelmű erőből tevődk össe, erőpárnk neveük. erőpár esetében erők össege érus. r - 9 -

32 Sámítsuk k erőpár nomtékát tér két különböő pontjár. r B r r r r B B, mvel B erőpár nomték vektortere tehát homogén és nomtékvektor merőleges erőpár síkjár. erőkomponensevel megdott erőpárho mndg egértelműen hoárendelhető nomtékvektor, onbn smert nomtékvektorho végtelen sok erőpár trtoht. erőpár krjánk ( két erő htásvonlánk távolság) váltottásávl - nomték értékének állndóság mellett - eljuthtunk hho esethe, mkor erőpár krj érus és erők végtelen ngok. Eel bstrkcóvl létrehoott erőpárt neveük koncentrált nomtéknk. Jele:, mel muttj forgtás ránát, vg, mel nomték vektorrl sembenéve forgtó htás órmuttó járásávl ellentétes. nomtékvektort sbd vektorként keeljük...) Tengelre sámított nomték fk jelenségek tárglásánál sok esetben sükség vn eg dott tengel körül forgtóhtás smeretére. m Pm P P Pe e λe t Tételeük fel, hog smerjük tengel (t) eg pontjáho (P) trtoó nomtékvektort ( ). Bontsuk fel P P nomtékvektort eg tengelránú ( Pe ) és eg tengelre merőleges ( Pm ) komponensre. tengel körül forgtóhtás jellemésére Pe komponenst hsnáljuk. Legen e tengel egségvektor, m e vektorr merőleges egségvektor. Ekkor ( e) e e Pe P t ( m) m e ( e). Pm P P - -

33 vel Pe nomtékvektor e egségvektortól csk sklár sámbn különbök - melnek értékét t Pe e sklárs sort dj -, elegendő tengel körül forgtóhtás jellemésére t sklár sám. tengelre sámított nomtékot előjeles sklár sámként defnáljuk, hol sklár bsolútértéke megdj forgtóhtás ngságát, előjele pedg forgtóhtás ránát. mennben előjel potív, tengel egségvektorávl sembe néve forgtás rán órmuttó járásávl ellentétes. P P t P Pe e P P P e > P e P e < Boníthtó, hog tengel bármel pontjár sámított nomtékvektorból sámítjuk tengelre sámított nomtékot, váltotln mrd. Síkbel erőrendser esetén, síkr merőleges ( ) tengelre sámított nomtékot lább módon s meghtárohtjuk. t t t t e Pe hol t erő htásvonl és síkr merőleges tengel ( ) normál trnsveráls. P e.5.) Erőrendser redukálás nden erőrendser tér bármel pontjábn helettesíthető eg erőből és eg nomtékból álló, vele egenértékű erőrendserrel. E egenértékűség t jelent, hog merev testre gkorolt htás mndkét erőrendsernek ugn. E új erőrendser (vektorkettős) eredő vektorkettős. eredő vektorkettős mndg eg kjelölt pontho trtok. T T 5 T T T O O O r O * r * hol r orgóból hol r pontból támdáspontb muttó helvektor támdáspontb muttó helvektor erőrendser redukálásán mndg eredő vektorkettős meghtároását értjük. - -

34 .6.) Kénserek H eg merev testre nem egensúlbn lévő erőket (terheléseket) heleünk el, test mechnk törvénet követve elmodul. hho, hog bonos serkeetek vg serkeet elemek betöltsék serepüket (hordoák terhelést) eeket sbd mogásokt meg kell kdálon. síkbn három, térben ht mogás sbdságfok vn merev testnek. v ω v v v ω ω v ω - mogás tengel ránábn - mogás tengel ránábn - forgómogás tengel körül - mogás tengel ránábn - mogás tengel ránábn - mogás tengel ránábn - forgó mogás tengel körül - forgó mogás tengel körül - forgó mogás tengel körül Eg merev test kkor tudj hordon rá htó terheléseket, h körneetéhe képest nuglombn vn. E t jelent, hog előbb említett mogás lehetőségeket meg kell kdálon. kdáloást más merev testek segítségével érhetjük el. ttól függően, hog vsgált és kdáloó testek mlen kpcsoltbn vnnk egmássl más és más mogás sbdságfokok sűnnek meg. okt kpcsoltokt, melek áltlunk vsgált merev testet kénserítk nuglm állpotr, kénsereknek neveük. vlóságos kénserek ngon sokfélék lehetnek. követkeőkben sttk tnulmánnknál hsnáltos néhán deáls kénsert muttunk be. deáls kénsereknél súrlódást és gördülés ellenállást elhngoljuk. Eekkel kénserekkel sámításnk során soksor vlósághűen tudjuk modellen vlós megoldásokt. megtámstás ( görgős megtámstás ) táms merev test érntő jelkép érntő Síkbn és térben megtámstó felületre merőleges ránbn képes megkdálon mogást. - -

35 csukló ( síkcsukló, gömbcsukló ) merev test Síkbn kettő, térben három ránú elmodulást kdálo meg. kénser elfordulást nem kdálo meg. csukló jelkép befogás jelkép merev test síkbn és térben mnden mogást megkdálo. Ennek megfelelően: - síkbn bármlen ránú erő és síkr merőleges tengel körül nomték átdásár képes - térben bármlen ránú erő és bármlen ránú nomték átdásár képes. rúd kötél jelkép rúdrán rúdrán rúd végtelen merev test, mndkét végén súrlódásmentes csuklókkl. rúd egensúl feltételenek megfelelően csk rúdránú lletve rúdvégeken tlálhtó csuklók köéppontjt össekötő egenes mentén htó erők htásár lehet egensúlbn. rúd húó- és nomóerő felvételére képes. jelkép Csk kötélránú és csk húó terhelés felvételére lklms. kénsererők (rekcó erők) megértése érdekében vsgáljuk meg lább esetet. G teherutó híd H teherutó vsgált merev test H hdt vsgáljuk G G G G és G kénsererő G G B G és G terhelőerő, és B kénsererők - -

36 .) Erőrendserek ostáloás erőrendser redukálásávl kpott eredő vektorkettős elemésével ostálohtjuk erőrendsereket. eredő vektorkettős két tgj r és r. ) H mndkét tg külön-külön érus, kkor erőrendsert egensúl erőrendsernek neveük. b) H eredő vektorkettős erő tgj érus, de nomték tgj nem, kkor erőrendser tér bármel pontjábn helettesíthető eel nomtékvektorrl. c) B B B C C centráls egenes C bbn esetben, mkor eredő vektorkettős nomték tgj érus értékű, de erőkomponens nem null, eredő egetlen erőként dhtó meg kjelölt pontbn. pont és eredő áltl meghtároott egenes centráls egenes, melre jellemő, hog mnden pontjábn érus eredő vektorkettős nomték tgj. eredő vektorkettős tovább elemésénél már egk tg sem lehet érus ( és ). Ekkor két esetet különbötetünk meg: - két vektor merőleges egmásr. - két vektor áltlános heletű egmásho képest. - -

37 d), és nomték tetsőleges erőpárrá bonthtó fel. Válssuk k eek köül t, melknél erő értéke megegek erő bsolútértékével. Toljuk el et erőpárt úg, hog erőpár egk erője és eredet erő eg htásvonlon helekedjék el. Ekkor két erő kegensúlo egmást, és eredmén egetlen, ( pontho képest) eltolt htásvonlú erő les. eltolás mértékének - vektor - meghtároását lább meggondolások lpján végeük: vel nomtékot bontottuk fel erőpárr, eért. Sorouk meg vektoregenletet blról ( ) kfejtés tétel értelmében. ( ) ( ) vektorrl vektorálsn. -r, íg centrá- Kössük k, hog t r vektort keressük, mel merőleges ls egenesre s. Ekkor, mvel két vektor merőleges egmásr. Íg ( ) és

38 e), és e Bontsuk fel nomtékvektort eg erő ránáb eső és eg erre merőleges komponensre. ( e ) e ( ) ( e ) vektor bsolútértéke éppen vektor e bsolútértékével egek meg. e ( e ) pedg -t dj. e Tehát e e. előő esethe hsonlón felbontásából sármk eltolás, tehát g, hog ( ) ( ), vgs ( ) ( ). ( ) ( ) - 6 -

39 nomtékvektor önmgávl párhumosn sbdon eltolhtó. Íg legegserűbb eredő centráls egenesben htó erő és nomték. r vektort sokás főerőpárnk s neven. H e eredő vektorkettős eg merev testre ht, kkor erő rése hldó mogásr, míg nomték rése forgásr kénserít testet. Íg mogás hsonló csvrmogásho és eért len erőrendsert erőcsvrnk s nevek..) Egensúl erőrendserek erőrendserek ostáloásánál megállpítottuk, hog egensúl erőrendserről kkor besélünk, h eredő vektorkettős mndkét tgj érus, vgs és tér bármel pontjár r. k k j j j k j k j két egensúlt kfejeő vektoregenlet külön-külön sklár egenletekkel s leírhtó. j k j k j k k - 7 -

40 egensúl feltételét más módon s megfoglmhtjuk. Egensúl erőrendserről kkor besélünk, h vsgált erőrendser tér három, nem eg egenesre eső pontjár sámított nomték érusértékű. B C Ennél megfoglmásnál nem tettünk említést eredő erőről. Boníthtó, hog három nomték egenlet érus volt csk úg lehetséges, h. Írjuk föl B és C pontokr nomtékokt segítségével: r r B B B C rc rc egenleteket rendeve: r B, lletve r C. vektor sort kkor lehet érus értékű, h két vektor párhumos, vg leglább egk téneő érus értékű. ábrán láthtó, hog r és r. r C r B C B B Továbbá g s, hog eg érustól különböő vektor egserre nem lehet párhumos rb -vl és rc -vl. Ebből követkek, hog erő értéke vlóbn érus. három vektoregenlet sklár egenletekkel s felírhtó. B C B B C Eek sklár egensúl egenletek t fejek k, hog eges nomtékvektorok koordnát-tengelekkel párhumos komponense érus értékű. felírt 9 sklár egenletből onbn csupán ht lneársn független. B Válssuk k úg tengeleket, hog három - eg ponton átmenő - tengel köül kettő B másk két ponton s átmenjen. elhsnálv t BC tént, hog tengelre sámított nomték (sklár) nem függ ttól, hog tengel mel C pontjáho trtoó nomtékvektorból sámítottuk, kpjuk, hog B B C C B B, C CB C C, BC CB, Vgs klenc skláregenletből csk ht lneársn független. fenteket fgelembe véve egensúl feltételet követkeőképpen s megfoglmhtjuk: Egensúl erőrendserről besélünk kkor, h egmástól lneársn független 6 tengelre sámított nomték érus. C C - 8 -

41 egmástól lneársn független ht tengel megválstásánk geometr feltétele lábbk: - háromnál több nem lehet eg síkbn (,, 6 ) - háromnál több nem lehet párhumos (,, 5 ) - háromnál több nem mehet át eg ponton - ötnél több nem lleskedhet tér eg egenesére és htodk nem lehet párhumos eel egenessel. 6 5 Síkbel feldtoknál egensúl feltétele követkeőképpen lkulnk: Tekntsük erőrendser síkjánk síkot. síkbel erőrendser eredő vektorkettősének erő tgj btosn benne feksk síkbn. Íg vektoregenletnek csk két skláregenlet felel meg, vgs, lletve. vektorkettős nomték tgj btosn merőleges síkr, vgs tengel ránú. Íg j k lkú, m skláregenlettel felírv. Síkbn tehát csk három skláregenlet vn. térben megfoglmott, három pontr felírt nomtékvektornk érus volt síkbn egserűsödk. vel síkbel erőrendser csk síkr merőleges tengel körül tud forgtn, eért vektoregenletek skláregenletekké egserűsödnek., B, C egenletek t fejek k, hog megdott pontokon átmenő, erőrendser síkjár merőleges tengelek körül forgtó htás érus. három pont tt nem eshet eg egenesre. C B - 9 -

42 .) Példák erőrendserek témkörből. péld e. Htárouk meg térbel erőrendser nomtékát orgór! 8 [ N] 6 [ N] [ N] tégltest élen htó erők vektorát bból megfontolásból tudjuk meghtáron, hog eg vektort bsolútértéke és rán htáro meg, vgs fent elvek lpján 8 6k j Tekntsük erők támdáspontjánk htásvonlkbn kjelölt T, T, T pontokt. pontr sámított nomték r, hol r pontból erő támdáspontjáho húott vektor. támdáspontokb muttó vektorok tehát: r 5 j k r 5 j k r 5 j k erőrendsernek orgór sámított nomtékát O r r r r képlet sernt sámítjuk. eges vektoráls sorások eredménet lább determnánsok dják: j k ( ) j( ) k ( ) k r 5 8 m j k ( ) j( ) k ( ) j r 5 k O O k T r r r 6 T T 5 m m j j - -

43 j k ( ) j( ) k ( ) k r 5 Eekkel O j 5k. merev testre htó erők htásvonlukbn eltolhtók nélkül, hog testre gkorolt htásuk megválton. Et khsnálv három vektoráls sort kettőre csökkenthető. k r orgór sámított nomtékot követkeő két vektor sorás össegeként s megkphtjuk: r k ( ) 5 ( ) j( ) k ( ) j k O j r k 6 O j 5k r T T j. péld k t Htárouk meg váolt térbel erőrendser nomtékát orgór ( ), nomtékát pontr ( ), vlmnt nomtékát ponton átmenő testátlór, mnt tengelre ( )! t O O m j 5 m [ N ] [ N ] 6 [ N ] m - -

44 Htárouk meg elősör kjelölt ránokb muttó erővektorokt. erő vektoránk meghtároásánál lábbk sernt járunk el: e v ν e j k v v j k j 5 k e 6 j 8k másk két erővektor koordnátrendser egségvektornk ránáb mutt, tehát j 6k nomtéksámításho rögítsük erők támdáspontját: r r r 5 j k r j k orgór sámított nomtékot lábbk sernt kpjuk: ( ) O r r vektor sortok eredménet követkeő két determnáns dj: j k ( ) j( ) k ( ) j k r j k ( ) ( 8 ) j( ) k ( ) r

45 orgór sámított nomték: O 56 j k erőrendser eredője: 6 j 5k O O O O O r O orgóho kötött eredő vektorkettős tehát: O és O. mennben smerjük erőrendser nomtékát tér eg pontjár, vlmnt eredő erőt, úg eek segítségével könnedén meghtárohtók más pontokho trtoó nomtékvektorok. r r O O kjelölt vektor sort értéke r O O 8 6 j k 5 j 6 k 5 O O pontr sámított nomték tehát vetület e t t ( 56 8) j( 6 ) k( ) 8 j k tengelre sámított nomtékot úg kpjuk meg, hog tengel eg pontjáho trtoó nomtékvektort megsorouk tengel egségvektorávl (tehát ksámítjuk nomtékvektor vetületét tengelre). O e t egségvektort követkeőképpen állíthtjuk elő: vo 5 j k 5 j k et v O - -

46 tengelre sámított nomték t e t [ 8,, ] ( 9 9 8) [ Nm] sámított vetület értéke potív. E t jelent, hog tengel felvett egségvektorávl sembenéve forgtóhtás órmuttó járásávl ellentétes. 5. péld 5 m O m m Htárouk meg váolt térbel erőrendser nomtékát pontr! [ N] [ N ] [ N ] [ Nm] [ Nm] ( síkkl párhumos lpon ) 7 ( síkkl párhumos lpon ) j k Nm [ ] Első lépésként írjuk fel erők és nomtékok vektorát: j k j k j k nomtékok vektoránk meghtároásánál bból kell knduln, hog nomtékvektorrl sembenéve forgtóhtás órmuttó járásávl ellentétes kell, hog legen. nomtékvektorok ennek sellemében követkeőek: j k j k 7 j k Eekkel: 6 j k r erőnek pontr nomték érus, hsen átmeg ponton. erő krj érus. - -

47 és erők nomtékát eg lépésben k lehet sámítn, hsen e két erőnek ugnon támdáspontot jelöltük k. j k ( ) ( ) j( ) k ( 8) k r pontr sámított nomték tehát ( 6 j k ) ( k ) 6 j k r.. feldt O 6 m 5 m Htáro meg erőrendser nomtékát pontr! 77 [ N ] [ N ] Eredmén: [ N] 96 7 j k m 5. feldt O 6 m 6 m m Htáro meg erőrendser nomtékát orgór! 8 [ N] 9 [ N ] [ N ] Eredmén: O j 8k 6. feldt O 8 m m 5 m Htáro meg váolt erőrendser eredő vektorkettősét orgór! N 98 N [ ] [ ] [ N ] Eredmén: O 6 j k O j 8k - 5 -

48 7. feldt t 8. péld e O 6 m 5 m m Htáro meg eredő vektorkettőst pontr (, ), vlmnt ponton átmenő testátlór nomtékok ( )! 6 [ N ] [ N] [ N] Eredmének: 6 j 6k [ N ] j k t [ Nm] t 5, 8 77 [ Nm] O 5 m m m Htárouk meg eredő vektorkettőst orgór ( O, O )! Htárouk meg centráls egenes eg pontját, lletve főerőpárt (, )! [ N] [ N ] [ N ] orgóho trtoó vektorkettőst lább ábr lpján htárouk meg: k v v 5 j k 5 j k 5 6 j k r O 5 j 6k [ N ] erőnek nncsen nomték orgór, erő krj érus. m O 5 m r m - 6 -

49 j k ( ) j( ) k ( ) j r 5 j k ( 8) j( ) k ( ) r 5 8 O j k [ Nm] centráls egenes eg pontját kjelölő helvektort ( O O ) össefüggés lpján sámíthtjuk. O O O O j 8k j 5 k 6 ( 6 ) j( 6 ) k ( 5 ) Eel 8 j k,8,8 j, 8k [ m]. O vek- főerőpár - melnek vektor centráls egenesben feksk - párhumos torrl. O O centráls egenes O ( ) O O O O O [, 5, 6 ] 8 ( ) 8 [, 5, 6 ] O O O 8 5 j 8 6k O centráls egenes j k ,5 j 6,k - 7 -

50 9. péld O 6 m 8 m m Htáro meg eredő vektorkettőst orgór ( O, O )! Htáro meg centráls egenes eg pontját kjelölő helvektort ( ) és főerőpárt ( )! 8 [ N ] [ N ] [ N ] 8 Eredmének: O j k [ N ]. péld m Eredmének: O 6 j 8k O 5 j k O 8 6 j k [ Nm] j k,8, j, 8k j k 7 j k 6 6 O m [ N ] m [ Nm] [ m] [ Nm] Htáro meg eredő vektorkettőst orgór ( O, O )! Htáro meg centráls egenes eg pontját kjelölő helvektort ( ), lletve főerőpárt ( )! [ N] [ N ] [ N ] j k,, j, 6k [ m] j k 8,95 556, j 8, 9k [ Nm] - 8 -

51 . péld T v 6 j 6k Htáro meg T támdáspontú, erőkből álló erőrendser nomtékát ponton átmenő, v ránvektorú egenesre! T [ ][ m] T [ ][ m] T m [ ][ ] [ ][ m] [ N ] j k [ N ] k erőrendser nomtékát pontr lábbk sernt sámíthtjuk: j k r 9 r j j j k r 9k m O T k j 9k T t m m r O e [ N ] r r t e v v 6 j 6k t e j k [ Nm]. péld Htáro meg lábbkbn megdott T támdáspontokkl, lletőleg erőkkel jellemehető erőrendser nomtékát ponton átmenő, v ránvektorú egenesre 5 T )! T ( ) T ( ) ( ) j k [ N], j k [ N ], j k [ N] ( t ( 5)[ m] Eredmén: t [ Nm] v 6 6 j k - 9 -

52 . péld T T T O T Htárouk meg váolt síkbel erőrendserrel egenértékű legegserűbb eredő erőt sámítássl! T (,) T ( 6,) j T, j ( ) (, ) T j Sámítsuk k elősör orgóho trtoó eredő vektorkettőst (, eredő erő 6 j. O 6 O O )! orgór sámított nomtékvektor btosn merőleges les síkr, hsen helvektor s és vektor s benne vn síkbn, két vektor vektor sort pedg merőleges mndkét vektorr. nomték meghtároásánk egk lehetséges módj: O r, vgs r, mvel két vektor párhumos ( erő átmeg orgón) j k r 6 6 k ( 6 ) k r k ( ) k j r k k ( 6 ) k O j Vgs O k, m koordnát-rendserben ábráolv órmuttó járásávl ellentétesen forgt. síkbel feldtoknál lklmhtó eg másk módser s nomték sámításár. össes erőnek ksámíthtjuk nomtékát orgón átmenő, síkr merőleges tengelre. sámítás eredménét nem befolásolj, h erő helett nnk koordnát tengelekkel párhumos össetevőt hsnáljuk. erőnek nncs nomték, hsen átmeg tengelen. 6( m) ( N) 6 k - 5 -

53 ( m) ( N) -nk fent említett oknál fogv sntén nncs nomték. ( N ) ( m) 6 ( m) ( N) H előjelhelesen össedjuk nomtékot, fgelembe véve, hog órmuttó járásávl ellentétes potív nomték, kkor O 6 6 Nm eredő sámítását lább ábrán muttjuk be: k O O k O O O O O Y O O O B centráls egenes X Helettesítsük O nomtékot eg oln erőpárrl, melnek erőtgj éppen O ngságú. Toljuk el erőpárt oln állásb, hog két erő kegenlítse egmást. váolt erőrendser eredője tehát egetlen erő, mel centráls egenesben ht. centráls egenes és koordnáttengelek metséspontj követkeő megfontolások lpján sámíthtó: erő sját htásvonlán eltolhtó. Tegük fel, hog O erő pontbn he- erőnek orgór lekedk el. Bontsuk fel erőt komponensere ( O, O ). O sámított nomték megegek komponens erők orgór sámított nomtékávl, lletve O nomtékkl. -nk orgór sámított nomték érus, hsen htásvonl átmeg pon- O ton, íg csk O -nek les nomték. O Y O mből O 5 Y m O 6 tengellel vló metséspontot hsonló gondoltmenettel kpjuk, de tt B pontbn bontjuk föl O erőt. X O O mből X O O 5 6 m - 5 -

54 . péld O és erőkből álló erőrendser centráls egenese melk pontbn döf át síkot? N kock élhoss cm P ( O, O ) Első lépésként htárouk meg orgóho kötött eredő vektorkettőst. O j k O j ( j) 6( j)[ Ncm] centráls egenes O O O O r P ( O, O ) O, O eredő vektorkettősből létrehohtó centráls egenesben eg oln O, erőrendser, hol O és párhumos. vel O és sbdon eltolhtó centráls egenesben, eért keresett P ( O, O ) pontbn s g e állítás. P O, O pontho trtoó eredő vektorkettőst, kkor O, vektorkettős btosn párhumos egmássl, eért O P. P pontbn nomték r. H ksámítjuk ( ) P O O H nomtékvektort vektorálsn sorouk ( O r ) ( r ) O O O O O O O O j k, lletve hol r Hjtsuk végre vektor sorásokt: O erővektorrl, kkor P - 5 -

55 j k ( 8) j( 8) k ( 8 ) 8 8 j k O O r O O 9 O j k O O O j O k ( ) j( ) k ( ) O ( r ) ( 9 ) j( 9 9 ) k ( 9 ) O O 8 O O j 9 O k j O k elírv vektoregenlet mndkét oldlát 8 8 j 8k 9 8 j k Látjuk, hog egenlőség O O értékkel teljesül. döféspont koordnátá tehát O cm és O cm. O O O 9 O O O O O O O 5. péld m P P Nm P N Htárouk meg orgóho trtoó eredő vektorkettőst ( O, O )! Hol mets eredő erő htásvonl és tengeleket? Helettesítsük megosló erőhtást koncentrált erőkkel: m m N p m - 5 -

56 m 6 eredő erő O O 5 j O 6k 5 m 6 m O O 5 O O O 5 Y O X 6 Y O Y m 6 5 X O X, 56 m 5 6. péld Htárouk meg térbel háromruds bkállvánr htó kénsererőket! T (,,) T (,,) T (,8,) T,,8 ( ) j k S T S S T T T - 5 -

57 váolt bkállván csk csuklón kp terhelést, eért eges rudk csk rúdránú terhelést kpnk. feldt megoldás kétféleképpen lehetséges. ) Bontsuk fel erőt három oln komponensre, melek külön-külön rudk ránáb nének. S T S S S S kénsererő kénsererő dott rúd ránáb eső erőt teljes egésében rúd ves fel. Ebből erőből csomópontho kpcsolódó más rudk nem kpnk génbevételt. rúd egensúlából láthtó, hog egensúl fenntrtásáho rúd végen két onos ngságú, de ellentétes ránú erőnek kell ébredne. H tehát smerjük v v terhelő erő rúdránú komponenset, kénsererők s könnedén meghtárohtók. rudk ránát ábrán jelölt vektorokkl dhtjuk meg. eges vektorok tehát v j 8k v j 8k v j 8k felbontott erő komponense előbb meghtároott vektoroktól csk eg sklár sámbn térnek el, íg λv λv λv lkbn írhtók fel. felbontás követkeő egenlettel írhtó le: λ v λv λv v vektorrl sklársn. Sorouk meg vektoregenletet jobbról ( v ) ( v v ) λ v ( v v ) λ v ( v v ) λ v ( v ) v fent vektoregenlet utolsó két tgj érus. E követkeőkből dódk: ( v v ) eg oln vektort d, mel merőleges v -re és v -r s. H v vektort sklársn megsorouk eg rá merőleges ( v v ) vektorrl, eredmén érus. Hsonló eset v vektorrl s. Eel ( v v ) λ v( v v ). ( ) és ( v ) v v vv λ. v v v v vegessort eredméne sklár, íg írhtó, hog v v

58 előő gondoltmenethe hsonlón beláthtó, hog vv vv λ és λ. vvv vvv λ értékenek meghtároás lább determnánsok ksámításávl lehetséges: 8 ( ) ( 6 6) 8( 8 8) 56 v vv 8 8 ( ) ( 6 6) ( 8 8) 8 v v 8 8 ( ) ( 6 6) ( 8 8) vv 8 8 ( ) ( 6 6) ( 8 8) vv 8 8 Eekkel 8 λ 5 λ, λ,5 56 felbontás során nert erőkomponensek λ v j k λ v 5 5 j λ v 5 5 j k k eges pontokbn fellépő rekcóerők tehát T pontbn j k T pontbn T pontbn 5 5 j k 5 5 j k T T T v v vegessort v v lkbn, míg v v vegessort v v lkbn s felírhtó. fent átlkítást fgelembe véve λ sklár sám ksámításáho hsnált tört sámlálójábn tlálhtó determnánst úg kpjuk, hog v vv vegessort determnánsánk -edk tgját kcseréljük erővel. vv v v vv λ λ λ v v v v v v v v v

59 b) Egensúlouk k erőt eges rudk ránábn htó erőkkel, vgs * * * λ v λv λv sámítást előőekhe teljesen hsonlón végehetjük el, onbn most kpott * λ értékek λ értékeknek (-)-serese lesnek. * Vgs λ sortok rögtön kénsererőket dják. λ v * 5 * j λ v k 7. péld 5 C kén- Htárouk meg sererőket! 6 j k, B, C B egensúlt leíró vektoregenlet: λ v λ v λ v B C v v B v C vektorok v j 5k v B j 5k v C j 5k vbv λ v v v B C C λ v v v v v B C C λ vvb v v v B C v v B v C ( ) v B vc [ 6( ) ]

60 v v v v B C [ ( 5 8) 5( ) ] 5 [ ( ) ] λ 5 λ 8 λ 5 λ v 6 j 75k B λ vb j 9k C λ vc j 75k 8. feldt G m néget lkú, vísntes heletű, G N súlú betonlpot két srokpontjáho és oldlél köepéhe rögített kötelekkel emeljük. Htáro meg kötélerők ngságát! G C B m merev testre htó erők: j 6k B j 6k C j k m 9. feldt S S 6 m S Htárouk meg váolt ht rúdból álló serkeet rúderőt! j k j k S 5 m S S 5 m Válssuk sét gondoltbn két ruds bkállvánt. s, s, s rudkból álló serkeet köös csuklópontbn bármlen ránú erőt kpht, hsen sttklg htároott megtámstásokkl rendelkek

61 S, S 5, S 6 rudkból álló serkeet köös S S 6 pontbn htó áltlános ránú erő S S htásár lbls, S 5 S hsen S rúd vége nncs megtámstv. Egensúl állpot úg követkehet be, hog S rúd végét hoákötjük első bkállvánho. E t jelent, hog S rúdbn ébredő erő terhel első bkállvánt s. sámítást tehát S, S 5, S 6 rudkból álló bkállvánnál kell kedenünk. S rúdbn ébredő erő plus terhelést jelent S, S, S bkállvánnk. feldt megoldásáho htárouk meg elsőként rudk vektort. v j k v 6 v 5 j k v v j k v v 5 j k v v5 j k v v 5 v j k 6 Bontsuk fel erőt S, S 5, S 6 ránú össetevőkre. λ v λ5v5 λ6v6. eges λ értékeket lábbk sernt sámíthtjuk: v 5v6 vv 6 vv5 λ λ 5 λ 6 v v v v v v v v v ( ) 6 v v5v6 5 ( 8) v5v6 5 ( 6) 8 v v6 5 5 ( ) 5 v v

62 8 λ λ 6 6 s λ v j k húott 5 5v5 j 6 6v6 j s λ k húott λ s λ k húott S rúd egensúlát megvsgálv megállpíthtjuk, hog S, S, S bkállván S rúdból eg j vektorú plus terhelést kp. Eel S, S, S rudkból álló bkállván terhelése * j j k értékű les. S, S, S bkállvánnál írjuk fel egensúl egenletet, vgs * λ v λ v λ v. * vv λ v v v λ * v v v v v vv λ v v v * ( ) 6 v vv 5 * ( 6 8) vv 5 5 * v v * ( ) v v 5 S 5 S 5 λ λ λ S λ v j 5k húott S λ v j k vkrúd S λ v j 5k húott - 6 -

63 . feldt Htáro meg kénsererőket! j k eredmének: j k B j k C j k D 5 j k j k D S 5 5 m S C S 6 S S S E B m m. feldt D S S 5 m S S S 6 B C S 5 m m Htáro meg kénsererőket! j k j k eredmének: j k B j k C 6 j k D 6 j k. péld S S S S S 5 S 6 5 m Eg súltln, végtelen merev lpot térben megtámstunk ht rúddl úg, hog merev test bármlen terhelése mellett serkeet stbl mrd. Htárouk meg rúderőket! j k m m - 6 -

64 térbel erőrendser egensúl feltételet három különböő módon foglmtuk meg.. és., és. B C. Egmástól lneársn független ht tengelre felírt nomték érus. Néük meg, hog eges egensúl feltételek lklmásávl hogn oldhtó meg feldt.. Vsgáljuk merev testre htó erőket. rudkbn - mvel ok csk csuklókon terheltek - rúdránú erők keletkenek. Eeket erőket rúdránú vektoroknk λ - sorosként írhtjuk fel. S λ v λ j 5k ( ) ( j k ) ( j k ) ( j k ) 5 ( j k ) ( j k ) λ v λ λ v λ λ v λ 5 λ 5v5 λ 6 λ 6v6 λ6 S 5 S 5 S 5 S 5 S 5 vgs, S S S S S5 S6 vektoregenlet, j, k egségvektorokho trtoó egütthtó külön-külön érus értékűek. () λ λ λ λ λ5 λ6 () λ λ λ λ λ5 λ6 () 5λ 5λ 5λ 5λ 5λ5 5λ6 r egensúl egenlet sernt tér bármel r pontjár felírt nomték érus. Válssuk k erő támdáspontját nnk pontnk, S 5 S 6 melre felírjuk erők nomtékát. Vegük fgelembe, S hog erre pontr S, S, S és erőknek érus nomték, hsen htásvonluk átmeg kválstott ponton. Ennek megfelelően r S r S S r S ( ) 5 6 ( ) j( λ ) k ( λ ) λ j λ k r λ ( S S ) j λ k 5λ ( 5λ 5λ ) ( 5λ 5λ ) j( ) ( ) k λ λ 5 j 5 k 6 v v v v v 5 5 v 6-6 -

65 ( λ 5λ ) λ j ( λ λ ) k j k skláregenletek: () 5λ 5 5λ6 (5) λ (6) λ 5 λ (5) egenletből λ (6) egenletből λ 5 () egenletből λ 6 () egenletből λ () és () egenletek eddg ksámított λ értékek behelettesítésével lább lkokt vesk fel: () λ, mből λ 5 () 5 5λ 5 λ 9 rúderők rendre S j 5k 59 S j k S j k 5 S j k S j k 5 S6 j k Ellenőrésképpen djuk össe lemere htó erőket j k. Válssunk k három, nem eg egenesre eső pontot. pontr sámított nomtékot előő pontbn C sámoltuk. B pontr S, S, S 6 erőknek érus nomték, mvel átmennek ponton. C pontr nncs nomték S 5 és S 6 erőknek. követkeőkben ksámítjuk B és C nomtékokt. v S v S S B B S S ( ) 5 v S 5 B v - 6 -

66 v v S 5 j k λ 5 5 5λ ( ) j( λ ) k ( ) λ j k ( S S ) 5 5 ( λ ) 5λ 5λ ( 5λ 5λ 5) j( λ 5) k ( λ ) skláregenletek: 5λ 5λ 8 λ λ 5 λ 5 v j k C C v 5 5 ( S S S ) S v S S S S v v S j k 5 λ λ ( 5λ ) j( λ ) k ( ) 5λ λ j k 5λ v ( S S S ) j k ( λ ) ( λ ) ( 5λ 5λ 5λ ) [ ( 5λ 5λ 5λ ) ( λ ) k ] ( 5λ 5λ 5λ ) ( λ )k pontho trtoó skláregenlet: () 5λ 5 5λ6 () λ () λ 5 λ B pontho trtoó skláregenlet: () 5λ 5λ 8-6 -

67 (5) λ 5 λ 5 (6) λ C pontho trtoó skláregenlet: (7) 5λ 5λ 5λ (8) (9) λ ()-ből λ ()-ból λ 5 ()-ből λ 6 (6), (9) vg (5) egenletből λ 5 ()-ből 75 λ 5 (7)-ből 5 λ 5 rúderők rendre S j 5k 575 S j k 5 S j k 5 S j 5 S j k 5 S j k 6 5 k 5. Keressünk ht lneársn független tengelt és sámítsuk k rájuk erőrendser nomtékát. S S S S S S S 5 S 6 t tengelek megválstásánál két fontos sempontot trtsunk sem előtt: oln tengelt válssunk, melen sok erőnek htásvonl átmeg, mert íg eeknek nomték érus. tengelre könnű legen ksámoln nomtékot kjelölt ( t ) tengelre nncs nomték S, S, S, S 5, S 6, erőknek, mert htásvonluk átmeg tengelen. Bontsuk fel S rúderőt komponensere. htásvonl átmeg tengelen, S S htásvo