Komplex függvénytan. y r. φ x

Átírás

1 Komple sámok komple rtmetk Komple üggét r φ Jelölje R lós C komple sámok hlmát! Eg C komple sám komple sámsík eg potját jelöl leírásáho két lós sámérték trtok példál és Descrtes koordáták g r és φ polárkoordáták ( r R ) Eekkel re Mel r cos ; r s kétéle elírásból e cos s Eg komple sám kojgáltj re Két komple sám és w sort: w Áttektjük legegserűbb komple lgebr w üggéeket Komple sám és kojgáltják sort: Ie eg komple sám recprok: erót ( w - - re e r r ) és lós tegelre ló tükröést ( ) jelet r m egségkörre ló Htá: w re r e Áltláb s g: w r e m komple sám bsolút értékéek újtását (h bsolút értéke gobb -él llete ellekeő esetbe sgorítását) lmt polársögéek - seresére törtéő elorgtását jelet A w ; C lá -l ló eltolást jelet komple síko Négetgök mt ½-edk htá értelmehető w re Komple C sámml ló sorás újtást és elorgtást jelet m polárkoordátás elírásból láló: w e re re Vlós R sámml ló sorás csk újtást jelet w r e Két síkektor sklár sorták komple megelelője Lege két síkektor és b kompoesekkel d: sort b b b A ektor kompoesekkel elírt komple sámok és b sortát! b b b és b b b Eek sklár Sámítsk k

2 b b b b b b b b Im b Esert sklár sort: b Re b b b b b - - Re A képetes rés pedg kkor h két komple sámk megelelő ektor párhmos A legotosbb trscedes komple üggéek epoecáls logrtms üggé trgoometrks és hperbolks üggéek A epoecáls üggé lós és képetes rése: w e e e e e cos s e cos e s Tstá képetes rgmetmú hperbolks üggéek: e e cos s cos( ) s( ) cos cosh cos Hsoló: sh s Tstá lós rgmetmú hperbolks üggéek: Mel e e cos s és e e cos s dódk hog e e cos cosh cos hsoló sh s Fetekkel e e e cos s e cos s cosh cosh cos sh s cos cosh s sh g s hog Feltűő smmetr trgoometrks és hperbolks üggéek köött sh sh cos cosh s Sámos hsoló eredmé eethető le eek megtlálhtók példál Brostej-Semegje Mtemtk Zsebköébe g terete példál: b Tört leárs üggéek eek w komple áltoós ( C ) komple c d üggét ( w C ) hol b c d C komple álldók és megkíájk hog d bc b b b mert ellekeő esetbe w álldó d d d d b b b b ) Lege c = ekkor w egés leárs üggé m újtást elorgtást és d d eltolást jelet d ) c Ekkor mde -he létek eg egértelmű w érték H ob c b kkor w erre esetre s kterjestjük üggét c d b d d b c b c c c c c c c bc d 3) w c d d d c d c c c c

3 és tolsó téeő sámlálój mt korább eltettük em érs Beláttk tehát hog w lkj w hol Itt α és γ eltolást β újtást jelet és komple sám recprok képése mt láttk egségkörre ló erót és lós tegelre ló tükröést jelet Eek mdegke sögtrtó és orgásrá trtó leképeés Ieró egségkörre melet metső egees ere egségkört metső kör Egmásk oos tósú potok elelek meg Orgó átmeő egees ere sját mg elletétes ráítássl Ieró egségkörre mele kíül hldó egees ere egségkör belsejébe hldó és orgó átmeő kör Egmásk oos tósú potok elelek meg - 3 -

4 Ieró egségkörre mele kíül hldó kör ere egségkör belsejébe hldó kör Egmásk oos tósú potok elelek meg Állítás: Tört leárs leképeés kört körre g egeesre egeest körre g egeesre képe le b A tört leárs leképeés potjt w egelet megoldás dj c d c d b másodokú egelet göke íg eg g két pot Függésgált Feldt: A első élsík leképeése egségkör belsejére w = α e φ Keressük t törtleárs üggét mel első élsíkot ( Im ) w = e φ egségkör belsejére képe le A előő ejeet ) bekedés lpjá tdjk hog c A w e egségkör képe = lós tegel íg lós tegel képé w w b c d H kkor w c tehát s g kell lege ekkor - 4 -

5 b kemelhető w k hol k α és β külöböő kell lege c c d c Nlá = α pot képe w komple sík orgój w = Et megeleltetést mttj et ábr potj Mel e egségkör belső potj Im Vlós = értékekre w k íg β α tükörképe lós tegelre α komple kojgáltj: Íg égül keresett leképeés: w k k Im Egségkört egségkörre leképeő üggére péld: w k k A sík kocetrks köreek képe w síko lább ábr sert lkl: w = α e φ Komple üggéek oltoosság derecálhtóság Deícók: H pothlm torlódás potj h mde ε sgrú köreetébe H hlm sok potj esk H árt h trtlm mde torlódás potját A H hlmo értelmeett () oltoos potb h bármel H potsorotr mel ho trt Másk megoglmássl mde -ho k ol köreete hog bb ekő potokr A potb () kkor derecálhtó h mde potsorotr d ghho htárértékhe trt Et htárértéket jelöl d A () üggé T trtomáb holomor (reglárs ltks) h mde T potb derecálhtó

6 A derecálás sbál lós üggéekkel kpcsoltb tlt sbálokkl lóg d b sbálok példál: ; d Péld em derecálhtó komple üggére: em derecálhtó Lege potsoro t h hol h komple sám első esetbe lós másodk esetbe tstá képetes Íg h lm h h h h lós h E lább ábrá láthtó - h képetes h h + h h +h h h lós h képetes Cch-Rem derecálegeletek Vsgáljk meg mle derecálegeletet elégít k w = + = () holomor komple h üggé () lós és () képetes rése lm A prcáls h h deráltkt debe írt áltoól jelöljük Elősör lege h lós ekkor lm h h h h h h lm lm h h h h Másodsor lege h = k képetes ekkor k k lm k k k k lm lm k k k k Mel derecálhtóságho kétéle lkk oos htárértéket kell d teljesüle kell hog és Eek Cch-Rem (C-R) derecálegeletek Beláthtó hog derecálhtóság sükséges és elégséges eltétele C-R derecálegeletek teljesülése - 6 -

7 A C-R derecálegeletek toábbderálásál kpjk hog tehát () kelégít Lplce egeletet hrmoks üggé () gcsk hrmoks üggé Belátjk hog eg holomor üggé áltl létesített leképeés koorms sögtrtó w α w = () () w A síko -ho trt htárok meg w derecálhádost A külöbség söge rgmetm rg A komple sámok epoecáls lkjából láló köetkek hog rg w w rg de φ csk pottól ügg rjt áthldó ( ábrá éko g w w rg rg Íg rg w w stg olll rjolt) görbétől em Tehát w leképeés mde llete w poto átmeő görbét oos söggel orgt el Mmmtétel H () T trtomáo holomor és em álldó kkor belső potjáb H () T trtomá leártjá T - s oltoos kkor hcsk () em álldó Htásor Tegük el hog em érhet el mmmát T mmmát T htárá ér el c htásor ρ koergecsgr em < ρ< Ekkor htásor () össegüggée ρ sgrú koergeckörö belül holomor és sor tgokét derecálhtó és íg kpott sor össege üggé derecálhádosál egelő c Ig toábbá hog eek sork toábbderálásál () üggé kárhásor derecálhtó k k c k (k = ) Eek derecálhádosk koergecsgr oos eredet htásor koergecsgrál A koergecsgár lm c A k-dk deráltt = hele ksámít et sorból k jel

8 k k c k k k c k k! tehát c k lós üggéek Tlor k! k sorál lóg módo Et beír et htásorb k k! k Példák komple Tlor sorokr: e!! 3 s 3!! cos! e e Ie s köetkek hog! Itegráltételek C C et bloldl ábr sert egserese össeüggő árt ráított görbe () eg trtomá belsejébe holomor Ekkor d T E Cch tegráltétele H görbét két drbr ágjk C -re és C -re kkor jobboldl ábr sert d C C C Íg Váltotssk meg C görbe ráítását e C görbét eredmée Előő eredméük sert tehát C ' C ' C C C lább bloldl ábrá () holomor üggé oltegrálj és b pot köött em ügg tegrálás úttól b C C C C C - 8 -

9 A et jobboldl ábr lpjá s láló hog h T trtomá melbe () holomor trtlm md C md C árt görbét és kööttük léő gűrűserű trtomát kkor jelölt egserese össeüggő átmetséseket trtlmó görbére ett tegrál érs oltából köetkek hog C hse átmetsés páro od-ss tegrál érs össeggel áltok tegrál A b ' C d htároott tegrál hsoló lós esethe F() prmtí üggé smeretébe sámíthtó F d hol tehát F b d F b F külöböhetek Íg A prmtí üggéek csk eg komple kostsb A komple áltoós üggéek lehetek többértékűek Et eg példá semléltethetjük A w e e e cos s üggé egés komple sámsíko értelmee és w = kételéel mde értéket elehet és hoáredelés egértelmű A er üggé l w l re l r k ; k mert e értéke em áltok h φ-t π egés sámú többsöröséel öeljük g csökketjük (ld lább ábrá) π w = d w = e d -π A = lw üggé őértéke π < < π sáb esk Et sáot w e üggé egés komple w síkr képe le (mt láttk w = pot kételéel) Et eg Rem leélek eek A köetkeő síkbel sá gde képődk le de eg e elett Rem leélre ( külöböő sötétségű sáok grr w síkr képeődek le lpértelmeés sert sá képe ele oos tósú) Fotos hog prmtí üggé oos Rem leéle ekő potbel helettesítés értékeek külöbségekét sámítsk htároott tegrált Morer tétele = Cch tegráltétel megordítás - 9 -

10 H () T trtomáo oltoos és d be holomor mde T görbé kkor () T Cch-éle tegrálorml H () holomor eg T trtomá belsejébe és pot árt görbe áltl körbeogott trtomá belső potj kkor d E eg ge otos tétel mert lehetőséget d rr hog eg holomor üggé értékét eg trtomá (kétdmeós sík) tetsőleges potjáb üggé görbé elett (egdmeós ol) értékeből előállítsk A köetkeő ábrá potok és olk helete láthtó T Térjük ss komple Tlor sorokr mt láttk k!! k! Sámítsk k k értékét Cch éle tegrálorml lpjá d : k! k! d 3 k d k! d e d k k k! d et ssírhtjk Tlor sor eredet lkjáb ekkor t kpjk hog d k E össeg k< deekre s kterjesthető H k = - kkor sor --edk tgját kpjk: k k - -

11 jel d d Res A Res-el jelölt tgot külö s kír üggé sglárs potbel redmát kpjk: Res d Lret sor Terjessük k Tlor sorb össegést toább egése - -g! Lege () üggé T trtomáb holomor kée = potot Ekkor pot körül K K körgűrűk áltl köreogott trtomáb ( K K T ) K C K T hol c c d E égtele sor potb sglárs () üggé Lret sor Lege = () üggé sglárs potj! A Lret sor egütthtók lehetséges értéke lpjá három esetet külöbötetük meg: ) c h ekkor () üggéek = potb megsütethető sglrtás ) c h de csk éges sok eseté ekkor = () üggé -ed redű póls 3) égtele sok h ekkor = () üggé léeges sglrtás c Példák et három esetre s ) 3! 5! cs egtí deű 3! 5! egütthtó Bár üggéek = sglárs potj de e potho = értéket redele megsütettük sglrtást 4 3 cos! 4!! 4! mert c - több egtí deű egütthtó érs ) = pot elsőredű póls - -

12 3 5 3! 5!! 3) s c pártl dere Altks olttás Tegük el hog em smerjük () üggét de smerjük eg pot körül C koergeckör belsejébe üggé Tlor sorát Íg C kör belső b potjáb ksámíthtó üggé () össes deráltjál egütt kpk eg b körül Tlor sort mel koerges eg C koergeckör belsejébe H C kúlk C - ből kkor b b b előbb üggé kterjestése és egesített C C trtomáb et Tlor sorokkl előállíthtó egesített trtomá em trtlmht sglárs helet C b C p H eljtk eg p potb lmle úto és ott létek eg p p kkor k egütthtó em üggek ttól mle úto jtottk od p Tlor sor Péld em oltthtó sorr 4 8 F F F : 4 8 F F tehát F F F F A = () = ( ) 4 = ( ) stb md sglárs helek mert ekkor sorösseg égtele Eek potok md egségkörö ekseek A egségkör íéek bármle ks sksár esk sglárs pot eért em tdk kjt egségkörből o kíül potb - -

13 - 3 - Koorm leképeések A oltoos derecálhtó lós áltoós lós üggépár eg trsormácót lósít meg H mde tárgpotho eg és csk eg képpot trtok kkor e egegértelmű trsormácó A és egmás képe A et trsormácó () sík R trtomáát () sík R trtomáár képe le A R trtomá elem területe A R trtomá elem területe A A A A lm területek hádosák htárértéke trsormácós üggéek Jcob determás! J Ekkor er trsormácó Jcob determás J ere J - és e létek h mét eltétel (J em érs) teljesül A et lós üggétrsormácó áthető komple üggéekre Lege és eg holomor w = () komple üggé lós és képetes rése Ekkor Vlób: w íg J képetes képetes lós lós Tehát eseté eg-egértelmű leképeés w w = ()

14 Korább láttk hog holomor üggéek áltl meglósított leképeés koorm sögtrtó A s teljesül hog eg példál et ábrá láthtó ks elem háromsög területéek és képháromsög területéek rá : íg oldlk rá : Rem leképeés tétele (85) Létek ol holomor w üggé melk eg egserese össeüggő R trtomát melek htár C kölcsööse egértelműe egségkör belsejére képe le Beállíthtó () úg hog tetsőleges R orgób tetsőleges C C egségkör dott w C potjár képődjö le (ld köetkeő ábrát) C w C R w C Schwr-Crstoel trsormácó Feldt első élsík (R trtomá) leképeése eg egees sksokkl htárolt R soksög belsejére A R soksög lehet árt g tott α 5 w 5 w 4 α 4 R R w α w α α 3 w A leképeő üggé deráltj llete leképeő üggé lább lkú: dw A d w A d B Három csúcspot tetsőlegese helehető el lós tegele de célserű potot -be K hele mert íg leképeő üggé egserűbb lkú Vlób h A kkor dw d K K - 4 -

15 Péld P T R? R Q π/ π/ -b b S P Q - S T dw d A A A w A d K d K rcs B hol K A A két kosts K és B értéke ábrá jelölt potok megeleltetéséből köe dódk: w b K rcs b b e K és B íg w rcs B K B b Tetsőleges prméterese megdott kotúrú árt C görbe leképeése lós tegelre llete k eg sksár! t C Lege C görbe t prméter (példál polársög) segítségéel = F(t) = (t) lkb d hol F és oltoos derecálhtó üggé Ekkor F w w w sík lós tegelét C -t leképe C görbére Nlá hse C - w = + = és íg F F t t éppe C görbe leírás Péld tetsőleges kotúrú görbe lós tegelre törtéő leképeésére görbe külsejéek leképeése lsó élsíkr: Eg orgó köéppotú ellpss prméteres egelete cos t ; bs t ; t Íg cos w b s w üggé helettesítéssel leképe lós tegelt ellpssre Vlób cos b s éppe ellpss prméteres egelete komple síko A lós tegellel párhmos de ltt hldó w egees képe síko eg eredetél - 5 -

16 - 6 - ksebb tegelsoú árt görbe Mél gobb w egees táolság lós tegeltől ál kerekebb képgörbe okotos körbe meg át A t s cost ellpss köré rjolt koordátháló és w egees képe (pros ol) Komple potecálok A kétdmeós ármlások modellehetők komple áltoós üggéekkel h ármlás stcoárs orrás- és örémetes A örémetesség rot Ekkor létek eg Φ() sebességpotecál hog Φ Φ Φ Φ Φ ; grd mert lób rot Φ Φ A orrásmetesség d Ekkor létek eg Ψ() ármüggé hog Ψ Ψ ; mert lób d Ψ Ψ

17 Φ Φ Sámítsk k d d grd -t! Δ tehát Φ hrmoks üggé eg holomor komple üggéek példál lós rése Sámítsk k rot -t! rot Δ tehát Ψ s hrmoks üggé eg holomor komple üggéek példál képetes rése Lege w holomor üggé Derecáljk et üggét! d w d Mdkét lk sert kpjk hog w w holomor üggé w d deráltják d lós rése sebességektor ráú kompoese képetes rése sebességektor ráú kompoeséek (-)-serese tehát d w d kojgált sebesség Ebből s köetkek hog w w A torlópotokb w w tehát A álldó olk ármolk A álldó olk ekpotecálos olk és eek kölcsööse merőlegesek egmásr és görbeolú ortogoáls koordátredsert lkotk Ármlások lertás komple potecálok sperpoícój Mel md dergec md rotácó leárs operácó íg két orrás és örémetes sebességtér (g elektromos erőtér) össege s orrás és örémetes A holomor komple potecálok sté össedhtók Legsmertebb ármlást példák eg párhmos síkármlás orrás elő g dpóls lmt öré Utóbbk legeek orgób helee Eek komple potecálját k lós és képetes rését lmt kojgált sebességét lább táblátb oglljk össe Típs Párhmos ármlás Forrás-elő Dpóls (oos tetású égtele köel orrás és elő) Öré Komple potecál Ve Q l l Kojgált sebesség Potecálüggé Ve cos s Q Ármüggé V V cos s Q l hol e hol e Q l

18 Dpóls öré és párhmos ármlás sperpoícój Heleük el komple sámsík orgójáb eg ν = erősségű dpólst és eg Γ = erősségű örét és sperpoáljk eekre V = sebességű párhmos ármlást A eredő komple dw potecál w l A kojgált sebesség Ie d köetkek hog A et táblát sert ármüggé Htárok meg ármüggé értékét orgó körül egségkörö hol tehát s l cos ; s cos s s s s egségkör ármol rjt ármüggé álldó Htárok meg sebességet egségkörö! s cos s cos s cos s cos s s cos s cos cos s cos s A torlópotokb sebesség mdkét kompoese érs: = és = A másodk eltétel sert s cos cos s tehát rcs ; 8456 Teljesül-e ekkor hog s érs? s cos s lób s s A torlópotok egségkörö léő e l s s 456 / e cos s ( ) /8 38 e cos 38 s e komple sámok s llete l A áll ármolo ármüggé teljes deráltj érs - 8 -

19 - 9 - d d d d d Íg megserkesthető ármolk értője rááb mttó rámeő Hsos sorejtések cot coth A másodk sorejtést toább lkítjk: coth Et sort két lépésbe toább trsormáljk: coth Etá lege t ekkor t t t t coth Végül t-el ost t t t coth Ármlást péld E eredmé ge hsos mert lehetőé tes hog eg egeletes t ostású égtele sok oos tetású sglrtásból (orrásból g öréből) álló sor kojgált sebességteréek eredőjét meghtárok Mt láttk orgób heleett sglrtás kojgált sebessége potb S hol S = Q orrás és S = Γ öré eseté H sglrtást potb heleük kkor kojgált sebesség S H em eg hem égtele sok egmás elett ( ráb) t ostásköel elheleett sglrtás sebesség kojgáltját krjk ksámít kkor eek sperpoícóját kell meghtáro: t t S t t S S S coth coth t t A cosh és sh üggéek oldl 5 és 6 soráb léő képlete lpjá hádosk lós és képetes rése s köe ksámíthtó H sglrtások em képetes tegel rááb k t ostássl eltolt heletbe elhelee hem lós tegellel párhmos kkor cotges-üggé dj égtele sor össegét

20 Hőt lklmás A dmeós hőeetés derecálegelete otróp g eseté (ld Köre Tmás: Hőűttel II- -() képlet Forer derecálegelet) q grd T T T Eek komple lkj q q q H eg egserese össeüggő árt C görbéel htárolt trtomáb cseek hőorrások kkor ss-ostrogrdskj tétel értelmébe érs eredő hő ls hőármsűrűség-ektor C görbére merőleges kompoeséek tegrálj teljes C görbére érs: q ds q d q d (ld ábrát) q q C C C d d q A hőorrás metesség t jelet hog q q T T d T T q hőmérséklet eloslás hrmoks üggé tt elhsáltk hőeetés et derecálegeletét Láttk hog eg holomor komple áltoós üggé lós (és képetes) rése hrmoks üggé: A lós és képetes rés Ψ() llete Φ() hőls olkt llete otermákt dják megmebe peremeltételeket s kelégítk Tektsük példkét lább ábrá láthtó + ráb égtele ráb sélességű éltestet melek htároló oldl sksokét álldó előírt hőmérséklet rlkodk w=s(π/) T T Θ Θ -/ T= / T - T= T A eldt megoldást e síko hem k célserű leképett w komple sámsíkjá keressük! A ábrá el tütete eg le célserű geometrát léegese egserűsítő leképeő üggé Kéköek (pl Broste déett sebköe) lpjá s s cosh cos sh Íg potok képe: - -

21 w s cosh cos sh mt e ábr jobboldl képé látsk Mt láttk hőmérséklet eloslást eg hrmoks üggé eg holomor üggé lós g képetes rése írj le Deáljk w komple sámsíko w Al w Bl w C holomor üggét melbe A B C lós kostsok A w l w logrtms üggé epoecáls lkj: l w l e l tt Θ komple sámot orgól össekötő egees söge H logrtms üggé rgmetm Im l w Köetkek áltok kkor söget deáló egees s módosl Nlá tehát hog ImA l w B l w C A B C m eg hrmoks üggé Eek üggéek k kell elégítee peremeltételeket leképett komple síko (ld jobboldl ábrát) A w sík lós tegelé = H > kkor Θ = Θ = A B C T tehát C = T T H > > - kkor Θ = ; Θ = π - A B T tehát B T H < - kkor Θ = Θ = π A T - T T tehát A Behelettesíte eeket értékeket kpjk w síko hőmérséklet eloslást T T T T T rct rct T Utolsó lépéskét et eloslást ss kell trsormál komple síkr hol sgált éltest hőmérséklet eloslását keressük Mt láttk s cosh és cos sh Íg hőmérséklet eloslás komple sámsíko: cos sh cos sh T T T rct rct T s cosh s cosh A ls olk ) l hol mt korább T s cosh Sbáloástechk lklmások T l ( üggé stol és cos sh Jelöljük kmeő jellemőt -el és bemeő jellemőt -l Eeket eg -edredű kööséges leárs derecálegelet kpcsolj össe A dőt t-el jelöljük dő sert derecálást tegrálást sokásos módo A sbáloó derecálegelete A A A A A B dt B B B - -

22 t t t Keressük megoldást e bemeőjel eseté e e e lkb Itt kmeőjel ássöge bemeőjelhe képest φ Helettesítsük be eeket et derecálegeletbe t e A A A A A e t B B B B e Egserűsíte t e -el és kmeőjel mpltúdóják e -seresét bemeő jel mpltúdójál ost e A B B B B A A A A F Itt beeettük rekecüggét mt F(ω)-l jelöl skrodlom e eg komple üggé A rekecüggé recprok Φ(ω) krkterstks üggé A oldl ljá láttk hog recprokképés egségkörre ló erót mjd lós tegelre ló tükröést jelet Sbáloó típs Derecálegelet Φ(ω) krkterstks üggé Aráos A A Elsőredű késleltetésű A A A A Másodredű A A A A A A késleltetésű Hrmdredű 3 A A A 3 A A 3 A A A késleltetésű Negedredű IV 4 3 A A 4 3 A A 3 A A késleltetésű A A A Aráos és tegráló A A B dt B A A elsőredű késleltetéssel B B Derecáló elsőredű késleltetéssel A A B 4 A B A A Meromor üggé deícój A () üggé D trtomáo meromor h D-be holomor eges dsjkt pólsoktól eltekte Roché tétele Lege () üggé Zárt ráított C görbe belsejébe holomor és C- e lege értéke érs A w = () üggé sík le típsú C görbéjét w sík árt görbéjére képe le H pot C görbé körüljár kkor eek képe görbét járj égg Mel () ek C görbé cs érshele íg görbe em hld át w sík orgójá Jelöljük k C görbé eg potot eek képe görbe w potj melek polársöge más ée rgmetm Φ Kdl -ból és od sstére képpot s sstér w -b eköbe rgmetm megáltok Φ -re Tömör jelöléssel rgmetm megáltoás: C rg m láló egéssámú többsöröse C rg egés sám C rg Ee jelölésekkel boíthtó Roché tétele mel sert Z P hol Z jelöl () üggé C-be eső érsheleek P jelöl () üggé C-be eső pólsk sámát gelembe ée eek mltplctását s - -

23 A et ábrá eg egedredű késleltetésű sbáloó F(ω) rekecüggée láthtó ω körrekec () potb érs mre ω értéke elér ω = 5 értéket görbe gkorltlg bejt orgób A derecálegelet egütthtók értéke ebbe példáb A 4 = A 3 = 3 A = 4 A = A = Zskoskj sármetset előállítás Mt láttk eg lós tegellel párhmos V sebességű ármlásb heleett orgó köéppotú R sgrú körheger körül ármlás komple potecálj h heger körül Γ crklácó ébred R Γ w V l dw R A klkló ármkép sebességkojgáltj V π d Célk hog e csk körheger hem erodmk sármetset kotúrú hegerek (sárk) körül sebességteret s meghtárohssk Ehhe meg kell tlál R sgrú kört sármetsetre leképeő komple üggét A üggé sglárs potj ok potok hol üggé em derecálhtó d A potokb derecálhádos Eek leképeés krtks potj d melekbe mt oldlo láttk Jcob determás Eeke kíül leképeés egegértelmű Mre képe le üggé sgrú orgó köéppotú kört? A kör egelete e íg e e e cos tehát kör leképettje lós e tegelek - < < sks - 3 -

24 - Modítsk el kör köéppotját potí képetes tegel meté Y-l úg hog megöekedett sgrú kör toábbr s átmeje lós tegel potj Ekkor R > sgrú kör képe eg körídrb mel most s átmeg sík = potj - Y R - Köetkeő lépésbe modítsk el kört egtí lós tegel meté X-sel úg hog belsejébe trtlm = - potot és meje át = poto Ekkor = - pot em les krtks potj leképeések ott Jcob determás em les íg leképeés potb koorms mrd íelt görbét kpk mel eg smmetrks prol orr rése A kör = potj toábbr s krtks ott leképeés eljló mt lább síkbel prol jelű potj mttj - X - Végül körheger elelé Y-l és blr X-sel törtéő egdejű elmodításál íelt erodmk prolt kpk Y - X

25 - 5 - Láttk hog eg heger körkörül ármkép párhmos ármlásb π Γ R V w l komple potecálll írhtó le A kör R sgrát meghtáro meglósítdó sebességprol A íelt Zskosk prol esetébe példál ábr lpjá láló hog Y X R körheger sgrák égete A Γ crklácót kkorár kell álst hog klépő torlópot éppe = + potb kerüljö A komple potecál síko w w és íg kojgált sebesség d dw d d d dw d dw hol d d R V Eeket sebességeket kell pot leképettjéhe hoáredel