Matematikai Közlemények. II. kötet

Átírás

1 Mtemtk Kölemének II. kötet NmE EMK Mtemtk Intéet Sopron udós ársság 4

2 Mtemtk Okttás és KUttás Semnárum MOKUS 4 Konerenckötet NmE EMK Mtemtk Intéet Sopron udós ársság

3 Serkestők: Dr. Závot Jóse egetem tnár Dr. Sl Lásló ntéetggtó egetem docens Dr. Németh Lásló egetem docens Nugt-mgrorság Egetem Erdőmérnök Kr Mtemtk Intéet 94 Sopron, Ad Endre út 5. MA VEAB Sopron udós ársság 94 Sopron, Cstk Endre utc 6-8. Kdj: NmE EMK Mtemtk Intéet és Sopron udós ársság HU ISSN 64-7

4 DIMENZIÓK Mtemtk Kölemének II. kötet, 4 rtlomjegék Eg érdekes térkép vetület mtemtk és csllgást lklmás... Incomplete Strlng numbers... 9 A geometr trnsormácók eg specáls esete, külső tájékoás... A D Helmert trnsormácó méretrán-téneőjének és orgtás mátránk becslése... 9 rgonometrkus polnom-becslések gkorltbn... 7 öréspontok keresése meteorológ dősorokbn, és ok htásnk vsgált... 5 NmE SSK művés skos hllgtók térsemlélete MR sernt... 4 A normtk eskötáránk lklmás mtemtk és sttstk egetem okttásábn A sík- és hegvdék erdeenő őbb k prméterenek többváltoós regressój Láncűrések prméterenek össehsonlítás többváltoós sttstk módserevel... 6 A mtemtk okttás selmec Akdémán... 67

5

6 DIMENZIÓK Mtemtk Kölemének II. kötet, 4 Eg érdekes térkép vetület mtemtk és csllgást lklmás Péntek Kálmán NmE K, Mtemtk és Fk Intéet pentek@ttk.nme.hu ÖSSZEFOGLALÓ. A dolgot sérkus csllgásttl ogllkok és bemutt eg, Np égbolton történő mogását semléltető orgthtó korongot unveráls strolábumot. A késülék első veróját Phlppe de l Hre lkott meg 7-ben. A késülék modern és átdolgoott váltotát e ckk serője késítette el. Aokt legontosbb csllgást és öldrj eldtokt érntjük, melek een esköel können megoldhtók. ABSRAC. In the pper, we present the sphercl stronom tool clled rotble dl rc plte unversl strolbe whch represents the movng o the Sun n the sk. he rst verson o ths tool ws mde b Phlppe de l Hre n 7. he modern nd mproved verson ws desgned b the uthor o ths pper. We present the most mportnt stronomcl nd geogrphcl processes, whch we cn esl solve b the usng o ths tool.. Beveetés Perg Apollónos Kr. e görög mtemtkus és csllgás Alendrábn tevékenkedett, meglkott Kónk Kúpseletek c. 8 kötetes művét, s kortárstól méltán érdemelte k Megs Geometros, vgs Ng Geométer nevet. Kr. e. körül konstruált meg klsskus plnsérkus strolábum nevű csllgást mérőesköt. A műsert köépkorbn rb mtemtkusok tökéletesítették és ejlestették tovább. E strolábum rögített öldrj sélességen ábráolj égboltot stereogrkus vetületben. Segítségével mnt nlóg sámítógéppel megoldhtók sérkus csllgást klsskus lpeldt. Eek esköök émből késültek művés nomságú kvtelben, hsnáltukkl eredménesen tájékoódtk hjósok tengeren, de mérnök, építéset eldtok megoldás során s eredménesen lklmták.

7 4 Péntek K.. ábr. Plnsérkus strolábum A strolábum bármel öldrj sélességen lklmhtó váltotát unveráls strolábumot Gemm Frsus dolgot k. A műser vetület rendsere tt s stereogrkus projekcó volt ekvtoráls néetben. A unveráls strolábum eg másk váltotát ejlestette k 55-ben Jun de Rojs Srmento, ő ortogrkus vetület rendserrel dolgoott sntén ekvtoráls néetben.. b. c.. ábr.. A Gemm Frsus-éle unveráls strolábum; b. A Jun de Rojs-éle unveráls strolábum; c. A Phlppe de l Hre-éle unveráls strolábum Mndkét unveráls strolábum két rétegben ábráolj éggömböt, onbn ég egenlítő mentén elhelekedő sögskál stereogrkus projekcónál strolábum korongjánk pereme elé rtkul, míg ortogrkus projekcónál perem elé hldv sűrűsödk. A unveráls strolábumok hsnált kkor lett voln lénegesen pontosbb és eredménesebb, h skáláás vetület rendserben jó köelítéssel lneárs lehetett voln. A lneárs skáláás problémáját Phlppe de l Hre rnc mtemtkus és csllgás oldott meg, mkor 7-ben publkált vertkáls perspektív projekcón lpuló unveráls strolábumát, mgát esköt pedg Nchols Bon 65-7 műserterveő

8 Eg érdekes térkép vetület mtemtk és csllgást lklmás 5 konstruált meg. A csllgást és nvgácós sámítások elterjedésével, logrtmus hsnáltávl strolábumok kedtek háttérbe soruln, vsont l Hre vetületét több vlágtérképen s lklmták []. A XIX. sádbn köép- és elsőokú okttásbn megjelentek strolábumok serkestés elven lpuló, áltlábn krtonból késült csllgást tnesköök. Frnc és német mntár hánkbn de Rojs-éle strolábumon lpuló orgthtó np ív korongot ejlestett k Lósk Mklós 94-ben. A Mgr Földrj Intéet áltl kdott tnesköéhe útmuttó üetet Köveslgeth Rdó csllgás késítette el 9-bn. A Lósk-éle korong modern váltotát e dolgot serője késítette el, onbn l Hreprojekcó smeretében sükségesnek tűnk eskö nomítás, átdolgoás [], [], [4], [5].. A vertkáls perspektív projekcó A ejeet címében sereplő eljárás eg oln leképeés cslád, melnek lpelülete eg egségn sugrú gömbelület Földgömb, éggömb egk élgömbje Földgömb kelet élgömbje, kelet éggömb, képelülete élgömb peremkörének síkj Földgömb kedő merdánjánk síkj, éggömb ég meredánjánk síkj. A vetítés centrum pedg lpelület élgömbjének smmetr köéppontjából nduló, képelület körlemeének köéppontján áthldó élegenesen ekvő, kndulás gömbelület tetsőleges, de rögített külső, pontosbbn nem belső pontj. Specálsn, h vetítés centrum lpelület smmetr köéppontjánk éppen átellenes gömb pontj, kkor leképeés kösmert stereogrkus projekcó. H vsont vetítés centrum entekben sereplő élegenes mentén mnden htáron túl eltávolodk kndulás gömbelülettől, kkor jutunk ortogrkus projekcóho [6], [7]. A vertkáls perspektív projekcó vetítés egenletenek tárglásánál lpelület pontjt Földgömb esetében, ϕ öldrj koordnátákt lklmv,,,,, < <8,9 <<9 módon jellemehetjük. Ekkor képelület, síkját egenlettel írhtjuk le, vetítés centrumát pedg,,, koordnáták jellemk. Ekkor lpelület össeüggésben sereplő P pontjánk P képét úg htárohtjuk meg, mnt PC vetítősugár és képsík metséspontját. Sámításnk eredméneként,,! "! # $%& ' & *,,!./",- $%& ' &*,-, < <8,9 <<9 össeüggések dódnk, tehát esetünkben vertkáls perspektív projekcó leképeés egenlete!"!#,,-!./" $%& ' & * $%& ' &*,- lkbn írhtók el. Specálsn stereogrkus projekcó leképeés egenlete, esetben! "! #! "!./ #,-,!./ "! "!./ #,-, 4

9 6 Péntek K. ortogrkus projekcó leképeés egenlete, esetben pedg, 5 lkot öltk. etsőleges esetén lpelület élegenlítőjének egk elét on, ϕ öldrj koordnáták jellemk, melekre < 9 é. Een negedkör vetülete! # & *,-,, 6 mel képelület körlemeének eg sugr és teljesül egenlőtlenség s. Vsgáljuk meg, hog mekkor d érték esetén képődk le een egenlítő negedkörének 45 értékhe trtoó köéppontj képsks eleőpontjár; vgs mlen d esetén áll enn 789:; - & <,- > össeüggés. Egenletünk megoldásként können dódk 7 -,77 8 > érték. eljesen hsonlón tetsőleges estén lpelület centrálmerdánjánk egk elét on, ϕ öldrj koordnáták jellemk, hol 9 és ϕ<9. Een negedkör vetülete,!./" $%& ',-, 9 mel mentén képelület körlemeének eg, előő 6 össeüggésen sereplő sugrár merőleges másk sugár, teljesül továbbá egenlőtlenség s. Vsgáljuk meg most s, hog mekkor d érték estén képődk le een centrálmerdán élkörének 45 értékhe trtoó köéppontj képsks eleőpontjár, tehát mlen d esetén áll enn!./:; - $%& <,- > össeüggés. Egenletünk megoldásként 7 össeüggéssel nlóg módon egserűen dódk sntén -,77 > érték. Mndkét esetben tehát t nertük, hog köelítőleg,77 sugárn távolságból vetítve teljesül mndkét krótt eltétel. Fgeljük meg, hog 6 és 9 össevetésével érvénes tetsőleges C 9 esetén 9 C 9DE FG HI 789I JKL MN OP LQRP,-,- C össeüggés. Most -os sűrűséggel ksámítv eek értéket. táblátot nerjük. Megvsgálv értékeket megállpíthtjuk, hog gkorltlg tedes jeg pontossággl skál mndkét tengel mentén képsíkon lneárs.

10 Eg érdekes térkép vetület mtemtk és csllgást lklmás 7 α[ ] 9 C C,899,789,6698 4,5565 5,447 6,7 7,6 8, 9. táblát A képsíkbn egenlítő és centrálmerdán merőleges átmérőpárját megvsgálv können megállpíthtjuk lább smmetrákt s: 8, < 9 és, <9. A - értékhe trtoó vertkáls perspektív projekcót Phlppe de l Hre lkott > meg és írt le 7-ben. A vetület lpján serkesthető strolábum és vlágtérkép s. A öldrj okhálótot megvsgálv können megállpíthtjuk, hog egenlítő és centrálmerdán képe eg merőleges átmérőpárként jelenk meg vetületen, prlelkörök, vlmnt merdánok képe s ellpss ívek lesnek.. ábr. A Phlppe de l Hre-éle vlágtérkép A Phlppe de l Hre-éle vetület lpján megserkestett orgthtó np-ív korong megkonstruálás és vele vló csllgást okttás tpstltnk megállpítás köeljövő eldt les. A Phlppe de l Hre-éle vetület lpján megépített orgthtó csllgást koronggl sámos csllgást öldrj eldtot oldhtunk meg könnedén. Ilenek például Np delelés mgsságánk és éjél mélségének meghtároás év eg tetsőleges npján, Np delelés és nugvás dőpontjánk meghtároás év eg tetsőleges npján, nppl,

11 8 Péntek K. sürkület és éjsk dőtrtmánk meghtároás év eg dott npján. Mndeek és még sámos eldt s bármel öldrj sélességű helen könnedén megoldhtó. E problémák résletes tárglás onbn messe meghldj e dolgot keretet. Eek résletes bemuttásávl jövőben kívánunk ogllkon. Irodlomjegék [] Köveslgeth, R., Hsnált utsítás Lósk Mklósnk Np és csllgok járását Föld tetsőleges helén eltüntető np-ív-korongjáho, Mgr Földrj Intéet Rt., Budpest 9 5. [] Lósk, M., A Np és csllgok járás Föld tetsőleges helén, Mgr Földrj Intéet Rt., Budpest 94. [] Morrson, J. E., he Astrolbe, Ed. Jnus 47. [4] Péntek, K., Ábráoló geometr módserek lklmás sérkus csllgástbn: ortogrkus merdán projekcó, NmE SEK udomános Köleméne XVII. ermésettudománok [5] Péntek, K., A ortogrkus merdonáls vetület rendseren lpuló csllgást késülék: Np év mogását bemuttó orgthtó korong, NmE SEK udomános Köleméne XVIII. ermésettudománok [6] Snder, J. P. Volnd, Ph. M., An Album o Mp Projectons, U.S. Geologcl Surve Proessonl Pper 45, Denver [7] Stegen, L., Vetülettn, nkönvkdó, Budpest.

12 DIMENZIÓK 9 Mtemtk Kölemének II. kötet, 4 Incomplete Strlng numbers ko Komtsu School o Mthemtcs nd Sttstcs Wuhn Unverst Wuhn 47 Chn komtsu@whu.edu.cn ÖSSZEFOGLALÓ. A előjel nélkül elsőjú Strlng sámok áltlánosításávl hános, előjel nélkül elsőjú Strlng sámokt és ssocált elsőjú Strlng sámokt denáljuk. ovábbá vsgáljuk een sámok néhán lpvető tuljdonságát. ABSRAC. We dene two tpes o ncomplete unsgned Strlng numbers o the rst knd, nmed s restrcted Strlng numbers o the rst knd nd ssocted Strlng numbers o the rst knd, b generlng the unsgned Strlng numbers o the rst knd. We lso nvestgte some bsc propertes.. Introducton nd Strlng numbers o the second knd Denote S U the Strlng numbers o the second knd [], determned b [ S U! W. X Z/ \]G []. In plce o the clsscl Strlng numbers S U, we substtute the restrcted Strlng numbers o the second knd S U^_ nd ssocted Strlng numbers o the second knd S U`_, respectvel. he restrcted Strlng number o the second knd S gves the number o prttons o U^_ elements nto subsets such tht none o the blocks contn more thn elements e.g. [5], [6]. he ssocted Strlng number o the second knd S gves the number o prttons U`_ o n element set nto subsets such tht ever block contns t lest elements [, p.], [5], [7]. Some combntorl nd congruentl propertes o these numbers cn be ound n [5], nd other propertes cn be ound n the cted ppers o [5]. he genertng unctons o these numbers re gven b nd _[ WS U^_!! bwc[ d! /][ / _ []G [

13 . Komtsu e /]_[ / _H- W S U`_!! bg W c[ d,! []G respectvel. Snce the genertng uncton o S U s gven b [ we hve e WS U /][ / [! g! S U^e S U`- S U., In ths pper, we dene the restrcted nd ssocted Strlng numbers o the rst knd b generlng the unsgned Strlng numbers o the rst knd, nd nvestgte ther bsc propertes.. Assocted nd restrcted Strlng numbers o the rst knd Denote j the unsgned Strlng numbers o the rst knd, rsng s coecents o the rsng ctorl W j[. In plce o the clsscl unsgned Strlng numbers o the rst knd j, we substtute the unsgned restrcted Strlng numbers o the rst knd nd the ssocted unsgned j^_ Strlng numbers o the rst knd. he ssocted Strlng number o the rst knd j`_ euls the number o permuttons o set l l wth k orbts such tht ech j`_ block contns t lest elements [, p.5657], [7]. he restrcted Strlng number o the rst knd euls the number tht ech block contns t most elements. j^_ he genertng unctons o the restrcted Strlng numbers o the rst knd nd the ssocted Strlng numbers o the rst knd re gven b the ollowng [, p. 467,.8]. Lemm. For nd, we hve nd e W j`_ /]G e W j^_ /]G / []G /! [! > _ /! [ _H! log>. Snce the genertng uncton o j s gven b e W j /][ /! [ log,!

14 Incomplete Strlng numbers we hve j^e j`- j. he unsgned Strlng numbers o the rst knd cn be clculted b the recurrence relton or >, wth the ntl condtons j j j j nd j j or >. he restrcted nd ssocted Strlng numbers o the rst knd cn be lso clculted b the reltons. It s es to see the ntl condtons j^_ nd j^_ j^_, or >. j`_ nd j`_ j`_ Proposton. For >, we hve Remrk. Snce j^_ j`_ j^_ W!!.]G e j^_ W!!, j`_ W!! j j, _H-.]_H- /H[,-.]- both reltons n Proposton re reduced to, nd, respectvel.. t u, jt 4 ut u. B the denton or Lemm, we hve severl bsc propertes bout the restrcted Strlng numbers o the rst knd. Lemm. For or, we hve. j^_ For, we hve j^_ j, j^_, j^_ t u, j^_ he clsscl unsgned Strlng numbers o the rst knd j sts the denttes: j!, j, jt u, jv/h- : v/h- t u, : t 4 u,,!. j^_ j^_ { t 4 ut u, 4 ;/,v t u,, > 5 5t 6 u,

15 . Komtsu B the denton or Lemm, we lso hve severl bsc propertes bout the ssocted Strlng numbers o the rst knd. Lemm. For, we hve. We hve j`_ ~, j`_,, j`_ t u, ;, otherwse, v/h- t u, t 4 ut u, : j`_,, 4, {,,; j`_ 6, 4, 4,, 5, {, otherwse 5,, 6, otherwse ~!, j`_,. Reerences [] Chrlmbdes, C. A., Enumertve Combntorcs Dscrete Mthemtcs nd ts pplctons, Chpmn nd Hll/CRC. [] Comtet, L., Advnced Combntorcs, Redel, Dordrecht 974. [] Grhm, R. L., Knuth, D. E. nd Ptshnk, O., Concrete Mthemtcs, Second edton, Addson- Wesle, Redng 994. [4] Komtsu,., Hpergeometrc Cuch numbers, Interntonl J. Number heor, [5] Meő, I., Perodct o the lst dgts o some combntorl seuences, J. Integer Se., 7 4 Artcle 4... [6] Rordn, J., Combntorl denttes, John Wle & Sons, New ork 968. [7] Zho, F.-Z., Some propertes o ssocted Strlng numbers, J. Integer Se., 8 Artcle 8..7.

16 DIMENZIÓK Mtemtk Kölemének II. kötet, 4 A geometr trnsormácók eg specáls esete, külső tájékoás Závot Jóse MA CSFK GGI vot@ggk.hu ÖSSZEFOGLALÓ. A geometr külső tájékoás prméteret pontok képkoordnátá és hoájuk trtoó tárg- vg terepkoordnáták köött ennálló mtemtk össeüggésből lehet meghtáron. A eldt megoldásár gkorltbn már jól bevált köelítő módsereket létenek. Eek mtemtk modellek évtedek ót hsnáltbn vnnk. Ebben ckkben jvsltot tesünk eldt eg újserű, egkt megoldásár. ABSRAC. he prmeters o geometrc eteror orentton cn be determned rom the mthemtcl relton between the mge coordntes o the ponts nd the object or terrn coordntes belongng to them. here est ppromton methods or the soluton o ths problem whch hve or decdes been successull ppled n the prctce. In ths work we propose new nd ect soluton o the problem.. Beveetés A termésetben léteő össeüggéseket, törvéneket áltlábn nemlneárs egenletekkel lehet leírn, meleket gkorltbn lnerálv, terácóvl sokás megoldn. A mtemtk problémák lnerálásár, terácóvl történő megoldásár sámtln példát tlálunk Závot 999 dolgotábn. Bonos esetekben előordulht, hog nemlneárs eldtokr egkt, korrekt megoldásokt lehet dn lnerálás nélkül s. Awnge és Grrend, tnulmánkbn D, 7 prméteres hsonlóság trnsormácór dtk egkt nemlneárs megoldást, melet Závot 5 és Závot és Jncsó 6 ckkek módosítv továbbejlestettek. Btth és Závot 9, 9b tovább nemlneárs geodé eldtokt oldottk meg nltkusn. A geometr külső tájékoás nemlneárs megoldásávl Jncsó 994, 4 és Závot, Závot és Frtsch tnulmán s ogllkotk.. A külső tájékoás mtemtk modellje A geometr külső tájékoás térbel képkoordnát-rendserének tárgkoordnátrendserbe történő trnsormácój ht prméterrel projekcós köpont koordnátáj és tengel körül elorgtás söge dhtó meg. Eg képpontnk perspektív leképése tárgkoordnát-rendserbe Luhmnn lpján lább egenlettel írhtó le: X Z p p X Z p p pr, p

17 4 Závot J. hol - [ X, Z ] p, tárgpont koordnátá, - [ Z ] p X, p, vetítés köpont koordnátá, - p mnden pontr eged, smeretlen méretrán, - R ϕ, ω, κ orgtás mátr, - [, ] p, képvektor és kmerállndó, p - [, ], p p redukált képpont-koordnáták, hol, képőpont koordnátá. A R orgtás mátr három üggetlen értékkel prméterehető, mel három koordnát-tengel körül smeretlen sögekkel történő elorgtásból dódk. A Awnge és Grrend tnulmánukbn D, 7 prméteres hsonlóság trnsormácó megoldás során R orgtás mátrot erdén smmetrkus S mátr elhsnálásávl követkeő módon ejeték k: I S I S R, hol I D egségmátr. A S mátr, b és c prméterekkel lább módon prmetrálhtó: c b S c. b A és össeüggéseket ebben tnulmánbn s elhsnáljuk.. A méretrán-téneők meghtároás A smeretlen prméterek megoldását három lépésben kívánjuk elvégen, elsőként méretrán-téneőket htárouk meg. A össeüggés gelembevételével egenletet blról I S mátrsl blról sorov dódk követkeő ormul: c b c b X Z p p c b p c b X Z A 4 össeüggést írjuk el különböő pontr. c b p p c. 4 p b

18 A geometr trnsormácók eg specáls esete, külső tájékoás 5 : : : : : : : : : Z bx b Z bx Z cx c Z cx bz c X b c bz c X Z bx b Z bx Z cx c Z cx bz c X b c bz c X Z bx b Z bx Z cx c Z cx bz c X b c bz c X 5 Össesen vn klenc smeretlenünk,, Z X,, b, c,,, és klenc egenletünk, íg eldt megoldhtónk tűnk. A nehéség bbn rejlk, hog eldt smeretleneket tekntve nem lneárs. A megoldás olmán sorotosn elmnáljuk smeretleneket. A vetítés köpont koordnátát megelelő egenletek kvonásávl kküsöbölhetjük: : : : : : : : : : Z bx b b Z cx c c bz c X b c c Z bx b b Z cx c c bz c X b c c Z bx b b Z cx c c bz c X b c c 6 hol lább jelöléseket veettük be: j j X X X, j j,, j j Z Z Z,,; jmod,. 7 A ,, egenletekből b prmétert, lletve ,, egenletekből prmétert kejeve, dódnk lább képletek: [ ] [ ] [ ] [ ] Z X c Z c X b j j j j j j j j j j j j j j j j / /,,; jmod,. 8 A ,, egenleteket íg írhtjuk el:, Z X b j j j j j j j j j,,; jmod,. 9 Helettesítsük 8 egenleteket 9 össeüggésekbe, néhán elem átlkítás után követkeő ormulákho jutunk: j j j [ ] j j j j j j X c j j j j X [ ] j j j j j j c X [ ] Z j j,,; jmod,. ovább egserűsítések után lább egenletek dódnk: j j j j j j j j Z X,,; jmod,.

19 6 Závot J. A össeüggéseket résletesen kírv, lább homogén, másodokú egenletrendser oldndó meg, és smeretlenekre:. Z X Z X Z X A egenletrendsert vg nltkusn, vg numerkusn kell megoldn. Plánc ckkében egenletrendser megoldását árt lkbn állított elő. Btth és Závot 9 tnulmán Slvester-reultáns elhsnálásávl dt meg hsonló serkeetű nemlneárs egenletrendser megoldását. Numerkus lgortmussl, például Mthemtc progrmrendserrel megoldások megkphtók. ovább nehéség merülhet el egenletrendser nemlnertás mtt: egserre több megoldás s dódht. öbb megoldás esetén prméterek jelentése mtt komple gököket és negtív megoldásokt k lehet árn. A nemlneárs egenletrendser potív göke köül heles megoldás kválstás specáls geometr meggondolásokt génel. Külön tnulmán ogj tárgln módser áltlánosítását tetsőleges sámú pontr. 4. A orgtás mátr, b, c prméterenek meghtároás Másodk lépésben orgtás mátr prméterenek megoldását írjuk le. Ennek megelelően een ejeet külső tájékoás normálegenletenek leveetését tárglj. Mután smeretlenekre eg nemlneárs egenletrendsert veettünk le, és egenletrendsert numerkusn megoldottuk, követkeőkben méretrán-téneőket smertnek teknthetjük. Eel külső tájékoás eldtot lneárs egenletekre veettük vss. A 6 össeüggések elhsnálásávl, b, c smeretlen prméterekre elírhtók lább követítő egenletek: Z X Z X Z X [ ] [ ] [ ] X X Z Z X X Z Z X X Z Z c b. A ent egenletek lpján külső tájékoás normálmátránk elemet lább képletekkel dhtjuk meg:

20 A geometr trnsormácók eg specáls esete, külső tájékoás 7 [ mod, mod, mod, mod, Z mod, ] mod, mod, X mod, mod, mod, mod, mod, mod, X mod, mod, Z mod, [ mod, mod, X mod, mod, Z mod, ] mod, mod, mod, mod, Z mod, [ mod, mod, X mod, mod, mod, mod, ] Ismert, hog normálmátr smmetrkus,,,. A külső tájékoás eldtáho trtoó normálvektor mátr-elmélet megontolásokkl hsonló módon állíthtó elő: [ mod, mod, Z mod, mod, mod, ] [ mod, X mod, mod, mod, Z mod, ] [ ] mod, mod, mod, mod, mod, X mod, A normálegenlet-rendser megoldásár sámos módser smert skrodlombn. A gkorlt sámítások során sngulárs értékek dekompocóján lpuló sngulr vlue decomposton, SVD módser megelelőnek bonult megoldás előállításár A vetítés köpont koordnátánk meghtároás A hrmdk lépésben vetítés köpont koordnátát htárouk meg. A vetítés köpont még smeretlen [ X Z ],, prméteret s méretrán-téneő és orgtás mátr, b és c már meghtároott értékevel össeüggés elhsnálásávl nerhetjük. X Z X Z s s s s b c b c b c c b s b c b c bc s c b bc b c A 6 össeüggésben s nde mnd képkoordnáták, mnd tárgkoordnáták esetében dtrendser súlpontjár vontkok. Vlójábn mndhárom pontr 6 egenleteket megoldjuk, és X,, Z koordnátákr kpott értékek átlgát vessük. Vlmenn prméter megdásávl külső tájékoás lpeldt megoldottnk teknthető. 6

21 8 Závot J. 6. Össeoglló A tnulmánbn megdtunk eg új mtemtk megoldást külső tájékoás prméterenek meghtároásár. Ahog hgomános eljárásnál s: megoldás pontok képkoordnátá és hoájuk trtoó tárg- vg terepkoordnáták köött ennálló leképeés össeüggésenek elhsnálásán nugsk, úg új megoldásnk s lpj pontok képkoordnátá és hoájuk trtoó tárg- vg terepkoordnáták köött ennálló kpcsolt. A tnulmánbn tárglt eljárás hgomános megoldás módser helett új mtemtk megoldás menetet d meg. Fő eltérés új és hgomános módser köött méretránténeők keelésében vn: míg rég módser ndrekt keel nem hsnálj méretránokt, új módser mnden pont esetén eplcte meghtáro eged méretránténeőket. A külső tájékoásr újonnn kdolgoott eljárás hgomános megoldás módsereknél htékonbb, gorsbb lgortmusr épül, rég módser nehéséget kküsöböl: nem génel sem lor-sorejtést, sem köelítő értékeket, sem terácót. A módser továbbejlestése külső tájékoásb bevonhtó pontok sámánk növelése érdekében nemlneárs egenletrendserek megoldásánk keelésében képelhető el. Irodlomjegék [] Awnge, JL., Grrend, EW., Lnered Lest Sures nd nonlner Guss-Jcobb combntorcl lgorthm ppled to the 7 prmeter dtum trnsormton C7 problem, Zetschrt ür Vermessungswesen, [] Awnge, JL., Grrend, EW., Closed orm soluton o the overdetermned nonlner 7 prmeter dtum trnsormton, Allgemene Vermessungsnchrchten, [] Btth, L., Závot, J., Soluton o the ntersecton problem b the Slvester-resultnt nd comprson o two solutons o the D smlrt trnsormton, Act Geod. Geoph. Hung., [4] Btth, L., Závot, J., A előmetsés problém és D hsonlóság trnsormácó, Geomtk Kölemének, XII [5] Jncsó,., Külső tájékoás elemek meghtároás követlen nltkus módserrel, Geodé és Krtográ, [6] Jncsó,., Durvhb-sűrés otogrmmetr hátrmetsés kegenlítése előtt, kedőértékek megdás nélkül, Geomtk Kölemének, VII [7] Luhmnn,., Nhberechsphotogmmetre, Herbert-Wchmnn Verlg, Hedelberg, 57. [8] Plánc, B., Don-reultáns lklmás otogrmmetr külső tájékoás megoldás során, Geomtk Kölemének, XV [9] Závot, J., A geodé korserű mtemtk módsere, Geomtk Kölemének, II 999, 49. [] Závot, J., A 7 prméteres D trnsormácó egkt megoldás, Geomtk Kölemének, VIII [] Závot, J., Jncsó,., he soluton o the 7-prmeter dtum trnsormton problem wth- nd wthout the Gröbner bss, Act Geod. Geoph. Hung., [] Závot, J., A otogrmmetr külső tájékoás eg új, lterntív megoldás, Geomtk Kölemének, XIV/ [] Závot, J., Frtsch D., A rst ttempt t new lgebrc soluton o the eteror orentton o photogrmmetr, Geod. Geoph. Hung.,

22 DIMENZIÓK 9 Mtemtk Kölemének II. kötet, 4 A D Helmert trnsormácó méretrán-téneőjének és orgtás mátránk becslése Závot Jóse MA CSFK GGI vot@ggk.hu Klmár János MA CSFK GGI klmr@ggk.hu ÖSSZEFOGLALÓ. A tnulmán geometr egk ontos elmélet problémáját tárglj: két térbel koordnát rendser köött keresünk mtemtk össeüggést két rendserben koordnátákkl megdott köös pontpárok elhsnálásávl. A térképésetben, geometrábn két koordnát-rendser köött áttérés során legáltlánosbbn hsnált eljárás D, 7 prméteres Helmert trnsormácó lklmás. ABSRAC. he present work dels wth n mportnt theoretcl problem o geometr: we re lookng or mthemtcl dependenc between two sptl coordnte sstems utlng common prs o ponts whose coordntes re gven n both sstems. In crtogrph nd geometr the most oten used procedure to move rom one coordnte sstem to the other s the D, 7 prmeter Helmert trnsormton.. Beveetés A D, 7 prméteres Helmert dtum trnsormácó sámítógépes lgebr rendserekkel történő tárglásábn Awnge és Grrend,, b, c években megjelent tnulmán új ránt dtk tém kuttásánk, Awnge et l. 4 tnulmán kterjestette megoldás módokt. A h skrodlombn Závot 5 tnulmán első lgebr megköelítése eldt megoldásánk, mel egúttl mtemtk modell jvításár s jvsltot tett. A Závot és Jncsó 6 tnulmán jó lpötletet dott nemlneárs problém lneársr történő vssveetésére, mt Závot ckk dolgoott k résletesebben. A bsolút tájékoás problém kvternókkl történő megoldását Horn 987 tnulmán elsők köött tárglt, megoldás eltér Závot ckkben leírtktól. A Klmár és Závot tnulmán jól össeogllt két megoldás különböőségét.

23 Závot J. Klmár J.. A D, 7 prméteres hsonlóság trnsormácó mtemtk modellje egük el, hog dott két különböő koordnátrendserben mért n köös pont koordnátákkl. A D, 7-prméteres Helmert térbel túlhtároott hsonlóság trnsormácó követkeő modellel dhtó meg: Eukldés térben keressük elsődleges cél X,, Z- és másodlgos tárg,, koordnát-rendserek köött leképeést lább ormábn: s t Rp,,,..., n, hol s X,, Z célpontok koordnát értéke, - [ ] - t [, Z ] X, smeretlen eltolás-vektor, - smeretlen méretrán-téneő, - R α, β, γ orgtás mátr, - p [,, ] tárgpontok koordnát értéke. A R orgás mátrot három tengel körül elorgtás söge denálj. A D, 7 prméteres Helmert trnsormácó lgebr megoldás érdekében Awnge és ' Grrend R orgtás mátrot erdén smmetrkus C mátr 5 beveetésével követkeő módon írt el: ' I C I C ' R, ' hol I három dmenós egségmátr, és C mátr, b és c prméterekkel meghtároott: c b ' C c. b H egenletet 4 össeüggés lpján I C ' kkor követkeő lk dódk: c b c b X c Z b c b X Z mátrsl blról sorouk, c b c,,,..., n. 4 b A ent egenletek képek D, 7 prméteres Helmert trnsormácó követítő egenletet, melek ellentmondást lgebr megoldás során mnmláln kell.. A méretrán-téneő becslése Závot tnulmánábn súlpont koordnáták beveetésével megdt eltolás prméterek elmnálásánk módját. Igolt, hog túlhtároott egenletrendser megoldás során, b és c prméterek kküsöbölésével een prméterek kesnek és prméterre eg smeretlenes, másodokú, túlhtároott egenletrendser áll elő lább ormábn: s s s X Z,,,..., n, 5 s s s

24 A D Helmert trnsormácó méretrán-téneőjének és orgtás mátránk becslése hol X s X X s, s, Zs Z Zs s s, s s s s,,..., n,,,,..., n. Megjegeük, hog Awnge és Grrend tnulmánábn méretránténeőre eg negedokú egenlet dódott. A 5 egenletrendser túlhtároott, megoldás több éle módon s megdhtó... I. Megoldás: A ent egenletrendsert lkítsuk sorttá követkeő módon: s s s X s s Zs s s s X s s Zs,,,..., n. 6 ekntsük 6 ormulábn sereplő sortok első téneőt. Megoldndó lább egenletrendser: X Z,,..., n. 7 s s s Adjuk össe vlmenn egenletet! Ekkor túlhtároott egenletrendser megoldás során méretrán-téneő értékére lább, Závot ckkben megdott, tpstltból s smert össeüggés dódk: n s s s X s s Zs n. 8 s A skrodlombn Albert és Krelng 975 publkácój lpján smert, hog méretrán-téneő sámolhtó pontok súlpont rendserbel távolságok össegenek hándosként s. ehát 5 másodokú egenleteket elsőokú egenletekre veettük vss... II. Megoldás ekntsük smételten 5 egenletrendsert és djuk össe vlmenn egenletet. Íg lább össeüggés dódk: n n s s s X s s Zs s s 9 A ent egenlet sorttá lkítás nélkül s egserűen megoldhtó. A méretránténeő értékére sámunkr k jelentéssel bíró potív gök lpján lább, Horn 987 tnulmánábn kvternókkl leveetett össeüggés dódk, mel Závot lpján Burs-Wol modell megoldás s: n n X s s Zs. s s s ehát jelen esetben s méretrán-téneőt másodokú egenletekből egértelműen meghtárohtjuk skrodlomból smert Awnge és Grrend negedokú polnom gökenek bonolult sétválstás eljárásávl semben.

25 Závot J. Klmár J... III. Megoldás érjünk át súlpont koordnátákr: két koordnát rendserben s és p súlpontot jelöl: s s s s s s, p p p p p p. Vssírv trnsormácó képletébe kpjuk: Átrendeés után dódk: p p s s t R.,,..., n. s s t R p R.,,..., n. p A képlet köepe elhghtó, mert össeüggés s és p súlpontokr s g, íg mrd: s R.,,..., n. 4 p A smeretlen t eltolás-vektortól íg átmenetleg megsbdultunk, mrdnk még és R váltoók. A ormul lpján Burs-Wol modellben t eltolás-vektort átlgolássl kptuk: s R p s p t R s R p 5 n n n Áttérve méretrán-téneő vsgáltár, egserűbb össehsonlíthtóság végett ktuláljuk 8 képletet Burs-Wol modell jelölésevel: n n s s p p. 6 A méretrán-téneő becslésére és 6 össeüggések lpján vn eg léneges különbség: 6 képletben előbb vn gökvonás, és után össegés, míg ormulábn ordítv eért megállpíthtjuk, hog és 6 össeüggések nem ekvvlensek, vgs méretrán-téneőre két képlet némleg eltérő értéket sámolht. Vsont és 6 képletek egránt sttstk becslések méretrán-téneőre eltérésük hbegenletek elírásából sármk, mert pontjuk megegek. Induljunk k ugns bból, hog deáls Helmert trnsormácó során mnden távolság és képének hándos m g súlpont koordnátákr s, ugns trnsormácó során súlpontot s átheletük, vgs súlpont koordnátákból súlponttól vló távolságok s leveethetők: s s, p p,,,..., n, 7 és távolságok köött össeüggést méretrán-téneővel írhtjuk el hbmentes esetben: s s p p,,,..., n. 8 Et követően beláthtó, hog 8 össeüggés behelettesítése 8 képletbe, lletve 6 ormuláb onosságho veet, vgs két sttstk becslés pontj elmélet méretrán megegek. Amennben 8 képlet lpján elírjuk követlenül hbegenleteket: ν s s p p,,,..., n, 9 kkor kegenlítés lább de ugnon pontú, korábbktól eltérő sttstk becsléshe veet:

26 A D Helmert trnsormácó méretrán-téneőjének és orgtás mátránk becslése n n p p p p s s. A entek lpján megállpíthtjuk, hog 6 és képletek lpján g követkeő össeüggés:. n n n n p p p p s s p p s s.4. IV. Megoldás Htárouk meg 4 ormul mrdék vektort: p R s ν, n,...,,. ekntsük követkeő optmlálás eldtot: p R s p R s R R ν ν,, mn mn. Mvel R ortogonáls mátr R RI, egenlet követkeő lkbn s elírhtó: p p p R s s s R, mn. 4 A célüggvén sélsőértékét sernt prcáls dervált eltűnése esetén ves el, íg kpjuk, hog p p p R s. 5 Másrést 4 képlet mtt teljesül, p R s,...,n,. 6 Eért 5 össeüggés elírhtó p p s s 7 lkbn s, mből skrodlombn smert Horn-éle képlet dódk: p p s s. 8 ehát megdtunk nég leveetést D, 7 prméteres Helmert trnsormácó méretrán-téneőjének megoldásár.

27 4 Závot J. Klmár J. 4. A Grrend-éle és Burs-Wol-éle modell R orgtás mátránk kpcsolt A ' C erdén smmetrkus mátr képlete lpján, össeüggéssel denált R orgtás mátr követkeő lkbn írhtó el: c b bc b c bc c b c b b c c b c b c b R. 9 Másrésről R orgtás mátr és kvternó köött lább össeüggés vn Shen és Chen, 6: R C I. A ormulát résletesen követkeő ormábn írhtjuk el: R. Felmerülhet kérdés, hog 9 és képletekkel dott R orgtás mátrok mlen esetben egenek meg? Legen, b, c. Helettesítsük össeüggésekkel dott, b és c prmétereket 9 ormuláb, lább össeüggésekhe jutunk: R. A képletben R orgtás mátr vlmenn elemének neveőjéből kemelve értéket, mátr sklársorójánk sámlálóját értékkel egserűsítve, és elhsnálv, hog, éppen össeüggéssel dott onosságho jutunk, 9 össeüggésből ormulát kptuk meg. Legen most, b, c. 4 Ekkor c b 5

28 A D Helmert trnsormácó méretrán-téneőjének és orgtás mátránk becslése 5 egenletből kpjuk lább egenlőséget: ±. 6 b c Helettesítsük most 4 és 6 össeüggéseket ormuláb, kkor R orgtás mátrr lább lk dódk: b c b c c b b c b c b c b c b c bc R, 7 b c b c b c c b bc b c b c b c b c mel láthtólg megegek 9 össeüggéssel. ehát össeogllv, Burs-Wol,, és kvternó komponensek és erdén ' smmetrkus C mátr, b és c prmétere köött. táblátbn össeogllt össeüggések állnk enn. ˆG > Š > > ˆ- ˆG ˆ> ˆGŠ ˆv ˆG ˆ- ˆG Š ˆ> ˆG ˆv ˆG. táblát. Össeüggések kvternók és, b és c prméterek köött 5. Össeoglló nulmánunkbn D, 7-prméteres Helmert térbel nemlneárs hsonlóság trnsormácó tárglás során megdtunk eg oln áltlános modellt, melben különböő módon leveethető trnsormácó méreterán-téneője és Burs-Wol modellt specáls esetként trtlm. A módser lénege méretrán-téneőre leveetett túlhtároott egenletrendser más-más elven történő megoldásábn rejlk. A kdolgoott modell előne, hog méretrán-téneő meghtároásávl eredetleg nemlneárs problém lneárs eldt megoldásár veethető vss. Megmutttuk t s, hog Burs-Wol modellben beveetett kvternók és Awnge- Grrend serők áltl beveetett erdén smmetrkus mátr eleme köött unkconáls kpcsolt vn.

29 6 Závot J. Klmár J. Irodlomjegék [] Albert, J., Krelng, W., Photogrmmetrc Gude, Herbert Wchmnn Verlg, Krlsruhe, [] Awnge, J. L., Grrend, E. W., Lnered Lest Sures nd nonlner Guss-Jcobb combntorcl lgorthm ppled to the 7 prmeter dtum trnsormton C7 problem, Zetschrt ür Vermessungswesen, [] Awnge, J. L., Grrend, E.W., Closed orm soluton o the overdetermned nonlner 7 prmeter dtum trnsormton, Allgemene Vermessungsnchrchten, -49. [4] Awnge, J. L., Grrend, E. W., Eplct Soluton o the Overdetermned hree-dmensonl Resecton problem, Journl o Geodes, [5] Awnge, J. L., Grrend, E. W., Polnoml Optmton o the 7-Prmeter Dtum rnsormton Problem when Onl hree Sttons n Both Sstem re Gven, Zetschrt ür Vermessungswesen, [6] Awnge, J. L., Grrend, E. W., Fukud,., Ect soluton o the nonlner 7-prmeter dtum trnsormton b Groebner bss, Bul. d Geodes e Scene An, [7] Horn, B.K.P., Closed orm soluton o bsolute orentton usng unt uternons, Journl o the Optcl Socet o Amerc, [8] Klmár, J., Závot, J., A D, 7-prméteres dátum trnsormácó megoldás Gröbner-básbn és Burs-Wol modellben, Dmenók Mtemtk Kölemének I [9] Závot, J., A 7 prméteres D trnsormácó egkt megoldás, Geomtk Kölemének [] Závot, J., Jncsó,., he soluton o the 7-prmeter dtum trnsormton problem wth- nd wthout the Gröbner bss, Act Geod. Geoph. Hung., [] Shen,.Z., Chen,., Zheng, D. H., A uternon-bsed geodetc dtum trnsormton lgorthm, J Geod 8, 6 9 [] Závot, J., Frtsch, D., A rst ttempt t new lgebrc soluton o the eteror orentton o photogrmmetr, Act Geod. Geoph. Hung., [] Závot, J., A smple proo o the solutons o the Helmert- nd the overdetermned nonlner 7-prmeter dtum trnsormton, Act Geod. Geoph. Hung., [4] Závot, J., A D és D nemlneárs hsonlóság Helmert trnsormácók megoldásánk új leveetése. Geomtk Kölemének,

30 DIMENZIÓK 7 Mtemtk Kölemének II. kötet, 4 rgonometrkus polnom-becslések gkorltbn Klmár János MA CSFK GGI klmr@ggk.hu ÖSSZEFOGLALÓ. Intéetünkben gkrn előordul, hog váltoó dőköönként mért dtsorokból tovább dteldolgoás sűrűbb mntvételt génel. Ennek kelégítésére több, smert ppromácós, lletve nterpolácós módsert s kpróbáltunk. pstltnk sernt trgonometrkus polnomokkl történő ppromácó jó htékonsággl lklmhtó geomágneses básvonl becslésére, mérés hbák kmuttásár, és kár eg Ecel táblátkeelővel s kvtelehető megoldást kínál. ABSRAC. In our nsttute t oten occurs, tht t vrng ntervls mesured dt sets the dt processng needs denser smplng o the dt. For tht purpose we hve tred more known ppromton nd nterpolton methods. Accordng to our eperences the trgonometrc polnoml ppromton cn be used wth good eectveness or estmtng geomgnetc bse lne mesurements, or gross error detecton, nd s esble method even b pplng n Ecel spredsheet.. Beveetés Intéetünk több observtórumot üemeltet, hol különböő geodé és geok mérések olnk, egrést nemetkö és h dtbások eltöltésére, másrést ntéet kuttómunk támogtásár. A vsgált esetben áltlábn hetente egser mért geomágneses básvonl dtokból. ábr tovább dteldolgoásho np értékeket kellett leveetnünk, mel célr több, smert ppromácós, lletve nterpolácós módsert s kpróbáltunk: Hermte és termésetes köbös splne végeselem nterpolácót, és köönséges, lletve trgonometrkus polnomokkl történő ppromácót. A mtemtk nlís [] grntálj, hog elsorolt módserek htárértékben képesek oltonosnk és derencálhtónk eltételeett keresett üggvént előállítn, bármel hbeltételt kelégíthetünk oksámot elég ngnk válstv.. A kpróbált becslő eljárások sjátosság A Hermte típusú nterpolácó sksonként hrmdokú polnomokkl becsl keresett üggvént úg, hog előírj polnom lleskedését mért dtokr, lletve derváltkr sksok végpontjbn sksonként 4 eltétel 4 prméterre. Kvteleéséhe lppontokbn dervált értékét lneárs vg másodokú üggvénllestéssel sokták becsüln. Sjnos t tpstltuk. ábr, hog e nterpolácó sksokon belül bnormálsn ng hullámokt klengéseket okoht. A termésetes köbös splne nterpolácó s sksonként hrmdokú polnom üggvént llest, lppontokbn btosítj mért értékekre lleskedést, lletve első és másodk

31 8 Klmár J. derváltk oltonosságát belső mérés pontokbn. Ngon kedveő lleskedést btosít. ábr, de hátrán, hog oln ngméretű eltétel egenletrendserhe m lppont esetén 4 m váltoóho veet, melnek nncs lokáls ks műveletgénű megoldás.. ábr. A három komponensű geomágneses básvonl mérések. év dgrmj. ábr. A. év D komponens Hermte-éle végeselem becslésének dgrmj. ábr. A. év D komponens köbös splne becslésének dgrmj A teljes dtsorr képletű köönséges polnom-nterpolácót lklmv össes m n n n lppontr lleskedés eltétele elogdhttlnul mgs polnom-oksámho m-, és köel sngulárs mátrho veet, mt Hermte nterpolácónál látott ksámíthttln klengések

32 rgonometrkus polnom-becslések gkorltb 9 kísérnek. Vsont h ötnél ksebb becslő polnom oksám, kkor ngon leegserűsített, lppontokr rossul lleskedő becslést és görbét kpunk 4. ábr. 4. ábr. A. év D komponens okú polnomos becslésenek dgrmj 5. ábr. A. év D komponens -4-5 okú trgonometrkus polnom-becslésenek dgrmj H teljes dtsorr trgonometrkus polnom-ppromácót lklmuk, kkor trgonometrkus sor ontos bsolút-értékben legngobb n, b n egütthtójú tgjt kválstv kevés básüggvénnel s jó becslést kpunk 5. ábr. n { n cosn b n snn } Sjnos n, b n mpltúdókt tuljdonképpen Fourer trnsormácóból smert képletek sernt kellene sámoln: [-π; π] t dt/π; n [-π; π] t cosn t dt/ π; b n [-π; π] t snn t dt/ π. Een képletek dskrét pontokbn smert üggvénekre módosított FF Fst Fourer rnsorm lkj sem sokkl egserűbbek, bár FF már több génes progrmcsomg pl. MtLb, Mple V beépített solgálttás. A sokásos eljárás n, b n mpltúdók FF meghtároás után, hog kválstjuk legngobb n, b n egütthtókt, és becslő üggvénben csk eekhe trtoó básüggvéneket serepeltetjük, mert több tgnk már nncs léneges beolás llestés pontosságár sn és cos básüggvének mndenütt [-;] korlátosk, m nem g köönséges polnomokr!. A FF elkerülése végett lítottunk elmélet sgoron, és eltételetük, hog smert becslő trgonometrkus polnom legontosbb hullámhoss vg lprekvencáj, és básüggvénként csk őt, lletve néhán elhrmonkusát hsnáljuk. A hrmdokú trgonometrkus polnom-ppromácónál pl. követkeőképpen nének k llestés eltételek:

33 Klmár J. cos b sn cos b sn cos b sn,,,m. A eltételek lpján trgonometrkus sor n, b n mpltúdó már FF nélkül s meghtárohtók [], lletve ld. követkeő ejeetet, pl. legksebb négetek módserét lklmv. Érdemes még beveetn ppromácó hbvektoránk dt eukldes normáját: dt [ [..m] { cos b sn cos b sn cos b sn } ]^/,,,m. 4 A hbvektor dt hoss tájékott rról, dott lphullámhoss és llestés eltételek mellett mlen pontos becslés mérés pontokbn. Megelelő skáláás lphullámhoss hánábn trgonometrkus becslő-polnom egrést rossul lleskedk mérés pontokr, másrést ndokoltlnul sok hullámot trtlmht. A geomágneses básvonl k termésete és dtsor hoss év lpján úg gondoltuk, hog, b prméterű básüggvének lphullámhoss kb. 65 np les, és becslés nomítását mjd elhrmonkusok btosítják, b,, b prméterekkel. Mndenesetre lphullám hossát átírhtó prméternek válstottuk, és t váltottv geltük dt vselkedését, hog polnom oksámánk emelése nélkül htárouk meg legjobb becslést, vgs dt mnmumát kerestük lphullámhoss üggvénében.. A ppromácó megvlósítás Ecel táblátkeelővel Adtsornkt legkénelmesebben táblátkeelővel pl. Ecel dolgohtjuk el, de nncs mnden eldtr követlen megoldás, beépített üggvén. A Ecel progrm lpheletben csk lneárs regressó egenes llestés lpú becslésre képes, de több dmenóbn s síkllestés hpertérben, eért kcst trükkön kell már polnomos ppromácónál s: A B C D E F G H d d m m m m m m 4 m 5 m 6 d m m Láthtó, hog,,m mérés eredméneket A oslopb, mérések dőpontjt B oslopb, eek htvánt pedg C G oslopokb írtuk. Írjuk eután becslés dejét és htvánt m-dk sorb B-től G-g, kkor Am cellábn lább képlettel htárohtjuk meg keresett üggvén -bel értékét: RENDA:Am;B:Gm;Bm:Gm. Érdemes ksámoln H oslopbn d hbvektor-komponenseket s: RENDA:Am;B:Gm;B:G-A.

34 rgonometrkus polnom-becslések gkorltb A H-bel hbvektor hoss egrést lehetővé tes becslés pontosságánk mnősítését, másrést ott esetleg előorduló bsolút értékben kugrón mgs eged értékek mérések durv hbár utlnk, mert ppromácó köönséges hbá normáls eloslást követk. Most pedg áttérünk trgonometrkus ppromácó eceles kvteleésére. A,,m mérés eredméneket most s A oslopb, mérések dőpontjt B oslopb, eek trgonometrkus básüggvénet pedg C H oslopokb írtuk. Írjuk eután becslés dejét és trgonometrkus üggvénet m-dk sorb B-től H-g, kkor Am cellábn lább képlettel dhtunk trgonometrkus polnom bású becslést keresett üggvén - bel értékére: RENDA:Am;C:Hm;Cm:Hm. Érdemes most s ksámoln I oslopbn d hbvektor-komponenseket: RENDA:Am;C:Hm;C:H-A. A B C D E F G H cos sn cos sn cos sn cos sn cos sn cos sn m m m cos m sn m cos m sn m cos sn m m m cos sn cos sn cos sn A I oslopbel hbvektor hoss egrést lehetővé tes becslés pontosságánk mnősítését, másrést ott esetleg előorduló bsolút értékben kugrón mgs eged értékek mérések durv hbár utlnk, mert ppromácó köönséges hbá normáls eloslást követk. A hbvektor hossát 4 képlet lpján Im celláb sámoltuk k, mert -ek skáláásáho lphullámhoss meghtároásáho sükség vn hbvektor mnmlálndó hossképletére. A lphullámhoss kedő értékét π beírtuk Jm celláb, és vektor B oslop skáláásáho oln lneárs trnsormáló képletet hsnálunk, mel B -be -t, B m -be pedg Jm értékét tölt: B Jm * / m -. 5 Első kísérletenket Im cell hbvektor hoss mnmlálásár Jm cell lphullámhoss ké átírásávl végetük, mt kénelmetlennek tláltuk, és megvsgáltuk, kválthtó-e vlmel beépített Ecel unkcóvl. Eg üggvén sélsőértékét Ecel követlenül nem képes meghtáron, vsont rendelkek tertív, egprméteres egenletmegoldó képességgel, un. Célértékkereséssel, m Adtok/Lehetőségelemés blokkbn tlálhtó. Een unkcónk prmétere vn: hol vn megoldndó képlet Im? m legen ennek értéke? és hol vn váltotthtó prméter, mtől képlet kárcsk követetten ügg Jm? ermésetesen tstábn voltunk vele, hog e egenlet tuljdonképpen nem megoldhtó, mert hbvektor sose les nullvektor, de bítunk benne, hog Ecel ott eje mjd be terácót, hol képlet értéke legjobbn

35 Klmár J. megköelít nullát, vgs mnmumbn e hullámhoss jól megválstott kedőértékénél többnre teljesült s. 4. A becslések pontosságvsgált A ppromácós módserek össehsonlításánál rr törekedtünk, hog onos prmétersámú eljárásokt hsnáljunk. A hrmdokú trgonometrkus polnomnk képlet sernt 7 prmétere vn:,, b,, b,, b. Eért htodokú köönséges polnom-becsléssel { képlet} hsonlítndó össe, mert s 7 prméteres:,,,, 4, 5, 6. Hsonlóképpen negedokú trgonometrkus polnom-ppromácót nolcdokú polnom-becsléssel vetettük össe, mert mndegk 9 prméteres, eért dp 6 és dt, lletve dp 8 és dt 4 hbvektor normákt hsonlítottuk össe becslések reltív pontosságánk meghtároáskor. Legrésletesebben. év D komponensen vsgáltuk ppromácók pontosságát. At tpstltuk, hog becslő köönséges polnom oksámát emelve hbvektor hoss lépésenként elente %-ot csökkent, de e jvulás később % lá esett. A 7, 9 és prméteres n, 4, 5 okú trgonometrkus polnomokt s llestettünk D komponensre REND üggvénnel és lphullámhoss optmlálássl, és rendre rövdebb hbvektort kptunk, mnt nekk megeleltetett, n6, 8, okú köönséges polnomoknál. A különbség köel 5%-nk dódott, m úg s értelmehető, hog köönséges polnom- becslés kettővel több prméter hsnált esetén ér el trgonometrkus polnom-becslés pontosságát. Mndeek mellett lphullámhoss meghtároás és meghtároottság elmélet jelentést s hordoht, hsen geomágneses básvonl cklkus tuljdonságánk lprekvencáját solgálttj. Eután. év H és Z komponenseket s bevontuk vsgáltb, és dódott, hog lphullámhoss 47; 475 npos ntervllumb esk, on belül s lcsonbb értékek mnden komponensben mgsbb oksámú trgonometrkus becsléseknél dódtk. Kderült, hog hbvektorok hoss nem hldj meg 6 egséget. A D dtsornál kpott becslés hbákt. táblát ogllj össe. Mután év dtokt íg eldolgotuk, rendelkeésre álló tovább 9-4 év dtokt már csk tedokú polnom-becsléssel, lletve hrmd és negedokú trgonometrkus polnom-becsléssel vsgáltuk meg sempont sernt:. A lphullámhoss hogn váltok évek során? b. A hbvektor hoss hogn váltok évek során? c. Lehet-e követketetn hbvektorból hbás mérésekre? A vsgáltok eredménet. táblátbn oglltuk össe. Jól látsk, hog -ben D komponens, 4-ben pedg H és D komponensek hbvektor eltűnően hossú több komponenshe képest. Ebből rr követketettünk, hog een években kugró komponensek durv mérés hbákt trtlmnk, melek poícóját hbvektorbn láthtó kugrások révén tláltuk meg. Eután ellenőrtük mérések eredet dokumentácóját, vjon g-e sejtésünk durv hbák előordulását lletően? A ké egetetések révén gnús lppontból bonult ténlegesen hbásnk, melek köül tíet töröltünk és eget jvítottunk Sendrő J. munktársunk segítségével. A jvított mérésekre lklmott becslések eután már jobbn lleskedtek csökkent hbvektorok hoss, Z komponens vsont lg váltoott, mert ott csk eg dtot kellett töröln résletekért ld.. táblát. Nem csk évenként külön, hnem teljes dőtrtmr néve s elvégetük komponensek becslését, melnek eredménét. táblát Öss rovt muttj be. Kderült, hog lp

36 rgonometrkus polnom-becslések gkorltb hullámhossnál nem eg évből, hnem teljes mérés dtsorból 6 év célserű knduln, lletve össesített Z komponens hbvektoránk hoss több mnt dupláj éves hbvektorok össhossánk, m elettébb különös, és rr gondolunk, hog évek egmásho llestésekor történt eltolódás oko rossbb lleskedést. EREDEI MÉRÉSEK JAVÍO MÉRÉSEK ÉV Öss 4 9 trgh trg4h trge trg4e pol trgh trg4h trge trg4e pol H ,8 6,56 6, ,8 6,56 6,56 D , 4, 4, , 4, 4,6 Z ,87 6, ,87 6,98 H ,9 8,6 8, ,9 8,6 8,66 D ,4 4,6 4, ,4 4,6 4,47 Z 4 4 9, 8,69 8, , 8,69 8,9 H ,6 7,56 7, ,6 7,56 7,56 D , 4,9 4, , 4,9 4,7 Z ,9 8,69 8, ,9 8,69 8,76 H ,56 9,9 9, ,56 9,9 9, D 7 7 7,96 7,96 7, ,9,9,9 Z 856 4,8,64, , 9,6 8,8 H ,95 5,7 5, ,,55,55 D 46 49,8,6, 46 49,8,6, Z ,4 8,8 8, ,4 8,8 8,55 H 4, 4,,,5 6,65,47,47,98 6,7,4 D 98 98, 6,6, ,85 7,77 9, Z 79 46,68,6, ,68,6,67 H ,95 65,7 64, , 64, 6,6 D , 48,6 49, ,59,57,45 Z 6 8,9,6, ,45,5,8. táblát. A trgonometrkus becslések lphullám hoss trgh, trg4h, és hbvektorok trge, trg4e, pol ngság évenként és komponensenként 5. Össeogllás Intéetünkben áltlábn hetente egser mért meghtároott geomágneses básvonl dtokból tovább dteldolgoásho np becsléseket kell meghtáronunk, mel célr több, smert ppromácós, lletve nterpolácós módsert s kpróbáltunk: Hermte és köbös splne végeselem nterpolácót, lletve ppromácót köönséges és trgonometrkus polnomokkl. A köbös hrmdokú, Hermte éle végeselem nterpolácót elvetettük, mert vlóságtól degen klengéseket produkált. A hsonlón hrmdokú splne nterpolácó túl sok sksonként 4 prmétert génel, és hoátrtoó lneárs egenletrendser megoldás ng műveletgénű, bár kedveő megoldást dott. A köönséges polnom-ppromácó csk leglább nolcdokú 9 prméteres polnom hsnált esetén tudt vssdn dtsorok nomserkeetét. A trgonometrkus polnomok már hrmdokon 7 prméterrel s jó becslést btosítottk, h skerült jól meghtáron lphullám hossát, m elkerülhetővé tette Fourer trnsormácó elvégését mpltúdók sámításánál. Megmutttuk, hog becslő üggvének Ecel táblátkeelő eskötárávl s meghtárohtók, és hbvektorok elemésével ksűrhetők durv mérés hbák s.

37 4 Klmár J. Np D-mért pol pol6 pol8 pol trg trg4 trg5 6,4 -,676,6854 -,44 -, ,67 -,979 -,8 7 65,75,6,7887,57756,49795,9569,75655, ,,596 -,5,799,69684,64,5748, ,55 -,888 -,768 -,4485 -,888 -,495 -, , ,55,94 -,694 -, ,9685 -,46 -,85 -, ,5,754655,888,6848,698,5976,9745, ,,8745 -,755 -, -,8868 -,84 -, , ,5,8948,,57,6567,46,4999 -, ,45,484, ,755,975 -,685,965 -, ,8,85756,8774,48575,9,966857,479, ,45,879,4666,975,5655,789,746958,66 59,5 -,595 -,47 -,647 -,49 -,944 -,999 -,59 7 6,5 -,78,597,58 -,5 -,445 -,849,876 6,65 -, ,494,79 -,758,7796 -,756 -, 58,75 -,8695 -,49 -,696 -,795 -,4779 -,8877 -, ,5 -,65464,695,4966,699,8894,45876, ,5,6554,5789 4,95 4,6657 4,8545 4,444, ,8999,48,756,697,7775,4949, ,65 -,74 -,666 -,865 -,5 -,65 -,69 -, ,7 -,487 -,45 -,84 -,7458 -,4476 -,67 -, ,7,546,776 -,7979,7946 -,764,776,5 89 6,5 -,67 -,9965 -,458 -,59 -,678 -,8 -, ,55,686, ,5694 -,7475 -,9555 -,4867 -,774 7,5 5,7966 4,6458,8444,6869,8857,677, ,5,754,56, ,649 -,47 -,448 -, ,5,96,8886,59 -,554 -,65 -,49 -,6 4 67,95,6488,789,96,477985,78998,4689, ,,65586,9874,74,87887,5,766558, ,4 -,9746 -,4 -,455 -,5486 -,9 -,4898 -, , -,7577 -,74 -,4484 -,7954 -,87 -,788 -, , -,6 -,786 -,4548,96689,588589,7546, ,877 -,75,595,7,7676,6675,4646 6,75 -,7866 -,989 -,9486 -,554 -,89 -,474 -, ,95 -,85 -,699 -,9597 -,96 -,86 -, ,4887 7,5,6576,7688,889,6558,476,78675, ,5 -,659,4845 -,7 -,459 -,657 -,886 -, ,7758,584,87697,68579,4869,858, ,8 -,684,89 -,479,97 -,85 -,7746, ,5 -,767 -,5 -,86,8598 -,767 -,56 -, ,9 -,464 -,9847 -,6 -,76 -,76 -,948 -, ,5,98698,5,8855,74,4677,6788, ,, ,955,754 -,899,698,56,6956 Hbvektor hoss 4,4,,5,,8,6 9,8. táblát. A polnomos és trgonometrkus becslések hbá. év D komponensben Irodlomjegék [] Rechel, L., Ammr, G.S. nd Grgg, W.B., Dscrete lest sures ppromton b trgonometrc polnomls, Mth. Comp [] Newber, A.C.R., rgonometrc nterpolton nd curve-ttng, Mth. Comp [] Newber, A.C.R., Interpolton b lgebrc nd trgonometrc polnomls, Mth. Comp

38 DIMENZIÓK 5 Mtemtk Kölemének II. kötet, 4 öréspontok keresése meteorológ dősorokbn, és ok htásnk vsgált Pödör Zoltán NmE SKK, Inormtk és Gdság Intéet podor@n.nme.hu ÖSSZEFOGLALÓ A dősorbn töréspontként denálhtó pont, mel mentén dtsort kettébontv két résntervllum dt köött sttstklg s golhtó eltérés mutthtó k. A töréspontok eledésére több sttstk eljárás s smert A len dősorok köött kpcsoltok, pontosn üggő vg üggetlen váltoóbn tlált töréspontok mtt nem teknthetőek lpvetően teljes vsgált dősk vontkoásábn stblnk. ABSRAC he pont t whch the tme seres s dvded n two nd derences between the dt n the two subntervls cn lso sttstcll be conrmed cn be dened s brekpont. Severl sttstcl procedures re known to detect brekponts n tme seres. Such reltonshps between the tme seres, ectl becuse o the brekponts detected n the dependent or ndependent vrble, m not thereore be consdered stble over the whole studed perod.. Beveetés Megelelő hossúságú dősorok esetében ennáll nnk lehetősége, hog teljes dtsor nem eltétlenül homogén, lehetnek komol, ugrásserű váltoások benne. Eért len dősorokt elhsnáló elemések, össeüggés vsgáltok nem teknthetőek mnden esetben teljes vsgált dősk vontkoásábn stblnk. Különösen g e terméset körneetünkkel kpcsoltos vsgáltokbn elhsnált dtokr, hsen m mgunk s tpstlhtjuk, hog dőjárásunkbn, klímánkbn váltoások jlnk le. A klmtkus komponensek köül leggkrbbn hőmérsékletváltoás különböő esetet sokták vsgáln, mert e eg oln körneet jellemő, mnek váltoást hétkönp emberek s követlen módon érékelhetk. A megelelő hossúságú meteorológ dtsorokbn töréspontok vsgáltánk módserét eg meteorológ dtsor, töréspontok vsgáltánk ontosságát ák éves növekedés dt és klmtkus komponensek köött össeüggéseken kerestül muttjuk be. A össeüggés vsgáltok módsertn hátterének pontos bemuttás, denálás és eredmének bemuttás nem rése jelen munkánk, íg erre nem térünk k. Arr kívánunk rávlágítn, hog eg-eg len töréspontnk mlen ontos serepe lehet eekben vsgáltokbn, mert sok esetben ok erősségét, de kár ránát s beolásolhtj.

39 6 Pödör Z.. Ang és módser.. A elhsnált dtok Eg mntterület hv meteorológ dtt cspdékösseg mm-ben és átlg hőmérséklet C-bn mérve, elhsnálv muttjuk, be töréspont keresés módsertnát és nnk néhán eredménét. A meteorológ dtok mellé ugneen terület éves átlgos növekedés dtt hoávéve és eek össeüggéset kpott töréspont gelembe vételével vsgálv támstjuk lá töréspontok ontosságát össeüggés vsgáltokbn. A meteorológ és növekedés dtok 98-7 vontkoásábn állnk rendelkeésre, íg 5 éves dősorokt vsgáltunk. Megjegeük, hog meteorológ dtok ennél hossbb ntervllumbn s rendelkeésre álltk, onbn növekedés dtok mtt egségesítettük elhsnált dősorokt... öréspont keresés néhán módsere öréspontok kmuttásár többéle módser s smert sttstkábn [], mnt például sórások mnmlálásánk módsere, nomálák kumultív össegése, Petttt-éle nemprméteres prób, jel-j rán vsgált, résátlgok össevetése Student-éle c-próbávl. A módserek mndegkének lénege, hog rendelkeésre álló teljes dtsort eg-eg dott év mentén kettébontjuk és lklmott módsertől üggő sttstk próbávl, módserrel vsgáljuk, hog íg kpott két résdősk megelelő jellemő köött kmutthtó-e sttstklg s golhtó, sgnkáns eltérés. A dősorok elbontás során gelemmel kell lenn rr, hog kpott résdőskok hoss eg előre denált mnmum értéket elérjen sttstklg korrekt össevethetőség mtt. Een mnmumérték meghtároás résben ügg rendelkeésre álló dtsor hossától, résben pedg sttstk értelemben s megelelő kell, hog legen. A továbbkbn rövden smertetjük eges módserek lénegét.... Sórások mnmlálásánk módsere A eljárás lénege, hog potencáls töréspontok mndegkére vontkoón meghtárouk áltluk denált két-két -es és -es ndesel jelölve résdősk köös sórásnégetét: > / ŒH- Ž Œ,/ Ž H- Ž Ž. / Œ,/ Ž H> Et követően ksámítjuk teljes, rendelkeésre álló dtsor sórásnéget értékét s, > Œ g Hg Ž /Hés et vetjük össe > -prób segítségével ktuálsn vsgált két résdősk köös sórásávl. A lklmott sttstk > Ž Ž > lkú, hol teljes, rendelkeésre álló dősk, > pedg két résdősk köös sórásnégete, n pedg mnt elemsám. A íg denált próbsttstk megköelítőleg sbdság okú > eloslást követ []. At pontot teknthetjük jelöltek köül ténleges töréspontnk, hol > -érték mmáls lokálsn, mert eekben pontokbn tér el két résdősk köös sórás leele teljes dősk sórásáho képest.

40 öréspontok keresése meteorológ dősorokbn, és ok htásnk vsgált 7... Anomálák kumultív össegése Áltlánosn megoglmv t mondhtjuk, hog nomálánk teknthetjük t, m átlgostól eltér. ermésetesen nem mndeg, hog eg dt mennre tér el átlgtól, például outler, kugró dtok denálásánk eg jól bevált módj átlgtól leglább nterkvrtls terjedelem IQR másélseresével vló eltérés mérték. Meteorológ dtsorok esetében áltlános nomálvsgált kpcsán s nomálánk átlgtól vló eltérését tekntjük, et onbn jelentősen beolásolhtj klmtkus dősorokbn tpstlhtó hv, évskos trendek és cklusok jelenléte. Utóbbkt megelelő technkákkl k kell küsöböln dtsorokból nomálák denálás előtt, lletve éves bontás mellett vsgáltokt hv snten s célserű elvégen. Áltlános értelemben. dtho trtoó nomál lább egserű módon denálhtó:..,, hol n dtsor hoss, pedg teljes dtsor átlg. Eek lpján mnden potencáls töréspontr meghtárouk nomálák kumulált értékét: [! _ \]- \, <. At pontot teknthetjük töréspontnk, hol e össeg etrém ng vg éppen etrém kcs. A módsernek két ng hátrán s vn, egk hog dősorok résletesebb és bonolultbb előkésítést génelnek, mnt több módser esetében, lletve nem teljesen denált sem, hog kumulált nomálák esetében mt tekntünk etrém ngnk, lletve etrém kcs értéknek.... Petttt-éle nemprméteres prób A prób lénege, hog mnden potencáls töréspont esetében ksámítjuk [ [ 4 [ próbsttstk értékét, hol [ \]- š \ és š \ \ elem rngkorellácók esetéhe hsonlón denált rngsám. A teljes mnt elemsám n, és,,,. A töréspont k pont lehet, hol [ értéke mmáls vg mnmáls, ttól üggően, hog tpstlt ugrásserű váltoás el- vg leele ránul-e. Annk eldöntésére, hog módser áltl dott [ érték vlóbn ténleges, sttstk értelemben s kmutthtó töréspontot htáro-e meg k kell sámítn nnk vlósínűségét dó, [ értékhe trtoó sgnkncsntet. Et lább össeüggés solgálttj []: O ž Ÿ Ÿ Ž Ž, 5 hol g _ [ etrém értékéhe trtoó elemsámnk elel meg. H C értéke ksebb volt, mnt,5, g _ értékhe trtoó pont áltl elválstott rések eltérésének vlósínűsége meghldt 95%-ot, sgnkáns eledett töréspont. A módser..5. nemprméteres váltotánk teknthető...4. Jel-j rán vsgált A determnstkus modelleés esetében eltételeünk dősor vontkoásábn egjt állndósságot, e trtósnk teknthető tendenc, seonltás és cklkusság, míg véletlent eg vró téneőnek, jnk tekntjük. E jt megköelítés semben stochstkus modelleéssel eért nkább leíró jellegű, hossbb távú htások eltérképeésben erős, véletlennel kevéssé ogllkok. A sttstk skrodlombn hossú távú, potencálsn előre jelehető váltoásokt jelnek m mérhető, tervehető, míg termésetes váltoékonságot jnk tekntjük.

41 8 Pödör Z. öréspont kereshető een két komponens dősorbn történő előordulás ránnk vsgáltávl s. A jelj rán becslésére többéle módser létek, kötük például lább, mmoto áltl jánlott és lklmott [] O ž Ÿ Ÿ Ž Ž, 6 hol -, > és - és > két vsgált résdősk átlg és sórás. öréspontnk jelj rán mmumát produkáló válstópontot teknthetjük, vgs hol \ / «\ mmáls értéket ves el. A töréspontot gkorltbn kkor trtjuk reálsnk, h \ / «\, Résátlgok össevetése Student-éle -próbávl A módser lklmhtóságánk eltétele, hog vsgált dtsorok normáls eloslásúk legenek, mt például Kolmogorov-Smrnov, vg Shpro-Wlk testtel vsgálhtunk. A átlgok össevetésére prób során generált t-érték lklmhtó: c g ŒHg Ž Œ Œ, Œ Ž, 7 hol - és > két mnt átlgát, - és > ok elemsámát, S pedg két mnt köös sórását jelent. Utóbb két résmnt sórásánk - és > smeretében lább módon können sámíthtó: / ŒH- Œ Ž,/ Ž H- Ž Ž / Œ,/ Ž H>. 8 Mnden eges potencáls töréspont áltl meghtároott két réssksho ksámítjuk Student-éle t-próbáho trtoó t-értéket, válstópontot pedg első lehetséges értéktől eg-eg évvel mogtjuk előre utolsó lehetséges értékg. A íg kpott c értékek sorotából mmáls muttj t pontot, évet, mel mentén dősort kettéválstv, két réssorot átlg köött mmáls eltérés mértéke. Amennben e eltérés sttstklg kmutthtón sgnkáns s dott megbíhtóság snten, kkor mondhtjuk, hog e pont eg töréspont vsgált dtsor tekntetében. Amennben vsgált dősorbn sttstklg látámstv trendserű és töréspontserű váltoás s kmutthtó, kkor eltétlenül kérdés, hog hogn tudjuk meghtáron, hog kmuttott váltoás nkább eg olmt követkeméne, vg vlóbn eg hrtelen, ugrásserű váltoás történt-e kjelölt évben. A kérdés eldöntéséhe össe kell hsonlítn vsgált olmtot leíró lneárs trend és kpott töréspont jellemőt, pontosbbn eltérés négetössegeket SS. Illessünk dősorunkr regressós egenest, legen e / cš lkú trendvonl. Htárouk meg trendegenes dott pontokho trtoó helettesítés értéket, jelöljük eeket /,. c. Š-vel, n dtot trtlmó dtsor esetében. Képeük eek eltérését dott pont ténleges. értéketől, mjd sámítsuk eltérés négetösseget, / /. /,. >.]-. 9 Adott ekkor továbbá dősorbn kmuttott töréspont áltl meghtároott két résdősk és ok átlg - és >. A első résdősk eleme -, >,, [, míg másodké [,-, [,>,, /. Állítsuk elő két résdőskr külön-külön eges ténleges mérés dtok és résdősk átlgánk különbséget és képeük ebből eltérés négetössegeket: ± [.]-. - > / \][,-. - >.

42 öréspontok keresése meteorológ dősorokbn, és ok htásnk vsgált 9 A lleskedések jóságánk, pontosságánk össehsonlításár képeük két eltérés négetösseg hándosát: h Ÿ ³ -t. A kpott h hándos értéke lpján meghtárohtó, hog melk eljárás d pontosbb eredmént, hsen h h >, kkor töréspontok áltl meghtároott átlgok, h h <, kkor teljes dtsorr llestett trendvonl lleskedk jobbn vsgált dtsorr.. Eredmének, követketetések.. öréspont keresés A. ejeetben bemuttott módserek köül résátlgok t-próbávl történő össevetését lklmtuk lpdtok normltásánk ellenőrését követően. A töréspont keresést mnd cspdék, mnd hőmérséklet dtsorokr elvégetük, lletve éves, hv és évskos bontásbn s vsgáltuk dősorokt. A mnmáls ntervllum hossát 5 évben denáltuk, íg potencáls töréspontok sám. A munkábn csk éves dtokr vontkoó eredmének serepelnek, mert össeüggés vsgáltok s éves snten kerültek végrehjtásr. A éves átlghőmérsékletek vontkoásábn töréspont 998-r dódott. táblát, mel sttstklg vlóbn eg ugrásserű, hrtelen váltoás. év átlg előtte C átlg mögötte C eltérés C 998 8, 9,5,4. táblát. öréspont éves átlghőmérséklet dtsorbn éves átlg hőm t-érték dősk átlg hőmérséklet Lneárs éves átlg hőm átlghőmérséklet C évek,5,5,5 t-értékek. ábr. öréspont éves átlghőmérséklet vontkoásábn

43 4 Pödör Z. A cspdék dtsor esetében mmáls t-érték,46 -ben dódott, onbn,6 érték mellett, íg et nem teknthetjük sgnkáns eltérésnek áltlunk kjelölt 95%-os snten de még 9%-os snten sem. A éves cspdékösseg tekntetében nem jellemő komol váltoás, onbn nnk éven belül eloslásábn már komol átrendeődés érékelhető. Utóbbt támstják lá hónpok és évsk cspdékössegek vsgáltár vontkoó eredmének... Össeüggés vsgáltok A éves átlgos növekedés dtsor és hőmérséklet köött össeüggésekkel kpcsoltos eredméneket jelenítünk meg. A elemések teljesebbé tételéhe lklmtuk CReMI módsert [4] specáls hőmérséklet dtsorok képéséhe. Ennek lénege, hog smpl hv dtok mellett különböő dősk hőmérséklet átlgokt s képetünk és eeket s össevetettük növekedés dtokkl, mnt üggő prméterrel. Ehhe továbbkbn lább jelöléseket lklmuk: ktuáls, p előő, pp kettővel korább éve össeüggésere, sám pedg hónpr utl. Például p-: előő év októberétől dott év ebruárg trtó dősk átlghőmérséklete. A lklmott össeüggés vsgált sgnknc vsgálttl egbekötött lneárs korrelácó-nlís. mettől meddg H.p8 H.p -,5 -,69 H.p H.p -,65 -,7 H.p5 H.p6 -,4 H.4 H.5,65 H.6 H.8 -,4 -,6 H.7 H.8 -,69. táblát. Össeüggés résdőskokbn, hőmérséklet A össeüggés vsgáltokt teljes dősk és töréspont keresés eredméneként kpott év 998 mentén kettébontott dőskokr és s elvégetük. A táblátbn csk 9%-os snten sttstklg sgnkáns eredméneket jelenítettük meg. At vsgáltuk, hog mennre hsonlók, vg eltérőek kpott eredmének. A. táblátbn sereplő korrelácós értékek lpján jól láthtó, hog első résdőskbn lg dódott sgnkáns kpcsolt. A teljes dősk tekntetébe már több, bár nkább köepes erősségűnek nevehető össeüggés látsk. Ugnkkor másodk résdőskbn már erősnek mondhtó össeüggéseket láthtunk jellemően ugnon dőskokr, mnt teljes dősk vontkoásábn. Fontos megjegen, hog. táblát csk néhán, önkénesen kemelt dőskot mutt, de több vsgált ntervllum tekntetében s hsonló eredmének oglmhtók meg. 4. Össeoglló A dolgot dősorokbn töréspontok keresésére vontkoó jellemő sttstk módsereket muttj be rövden. Eg konkrét példán lklmtuk résátlgok össevetésén lpuló eljárást és vsgáltuk ennek jelentőségét ák növekedésére vontkoó össeüggés vsgáltokbn. A bemuttott eredmének rr hívják el gelmet, hog lklmott elemés módser tekntetében lneárs korrelácónlís üggetlen prméterekben bekövetkeő váltoások komol htássl bírnk össeüggés vsgáltok kmenetére. At s

44 öréspontok keresése meteorológ dősorokbn, és ok htásnk vsgált 4 láthtó, hog hossbb vsgált dőskr vontkoó össeüggések, kpcsoltok nem eltétlenül állnk ent nnk eg-eg rövdebb résntervllumár, sőt kár össeüggések ránát tekntve s bekövetkehetnek váltoások. Irodlomjegék [] Dévén, D., Gulás, O., Mtemtk sttstk módserek meteorológábn. nkönvkdó, Budpest 988 p. 44. [] Mres, I., Mres, C., Sttstcl methods or estmtng the sgnl to nose rto. In: Contemporr Clmtolog Proceedngs o the meetng o the Commsson on Clmtolog o the Interntonl Geogrphcl Unon. Brno [] Molnár, J., A légnomás meő serkeete és módosulás Kárpát-medence térségében. Doktor értekeés, Debrecen p. 7. [4] Pödör, Z., Edelén, M., Jereb, L., Sstemtc Anlss o me Seres CReMI. Inocommuncton Journl, VI 4 6-.

45

46 DIMENZIÓK 4 Mtemtk Kölemének II. kötet, 4 NmE SSK művés skos hllgtók térsemlélete MR sernt Németh Lásló NmE EMK Mtemtk Intéet nemeth.lslo@emk.nme.hu Horváth bor NmE EMK Mtemtk Intéet horvth.tbor@emk.nme.hu ÖSSZEFOGLALÓ. A dolgotbn NmE SKK művés skos hllgtónk Ábráoló geometr tntárg kereten belül térsemléletének ejlődésére követketetünk Mentl Rotton est MR lklmásávl, mel orgtás elképelés képességet mér. ABSRAC. In ths rtcle, we emne the sptl rotton blt o the rt students t NmE SKK ccordng to Mentl Rotton est MR nd we drw conclusons o the development o ther sptl blt. he MR surve ws joned to the Descrptve Geometr lessons.. Beveetés Mndenk sámár léneges jó térbel tájékoódás, különösen vuáls ábráolás terén. A jó műsk skember, jó művés egk legontosbb képessége ejlett térsemlélet. Npjnkbn sámítógépes CAD rendserek mmáls khsnálás s sntén megkövetel térsemléletet. Hbár rr néve, hog pschológ-módsertn sempontból mt értsünk pontosn térsemlélet kejeés ltt, még nncs megállpodás. Ennek képességnek áltlános mérésére nncs lehetőség, de néhán mérés módserrel lehet rá követketetn. A skemberek térsemlélet eges résenek, térsemlélethe köthető specáls eldtmegoldó képességek mérésére többéle módsert dolgotk k. Eek köül egk Mentl Rotton est MR, melet 97-ben Sheprd és Metler [6] veetett be térbel orgtás elképelésének mérésére. Sámos egetemen késítettek már elmérést MR lklmásávl. A utóbb h elmérések eredméneről [], []-bn olvshtunk. E dolgotbn m s eel testtel ogllkounk résletesebben. Megvsgáljuk, hog Nugt-mgrorság Egetem Smon Károl Műsk, Fngtudomán és Művéset Kr művéset lpskos hllgtónk test eredméne mennt jvultk Ábráoló geometr tntárg kereten belül, és et ejlődést össehsonlítjuk néhán korább, más egetemen mért eredménnel. A térsemlélet vsgált történetéről, módsereről eg rövd össeogllót tlálhtunk [] és []-ben.. A MR elmérés körülméne, kértékelésének módsere A -4-es tnévben Nugt-mgrorság Egetem Smon Károl Műsk, Fngtudomán és Művéset Kr Építőművéset, Formterveés és erveőgrk

47 44 Németh L. Horváth. lpskos hllgtók térsemléletét, lletve térsemléletük ejlődését vsgáltuk orgtás elképelése képességük lpján Mentl Rotton est segítségével. A hllgtók ábráoló geometrát két semesteren kerestül tnulták het két gkorlt órábn. A két élév során két-képsíkos-, onometrkus- és centráls ábráolássl, lktok vetületevel, síkmetsetenek és áthtásnk serkestésével és árnékserkestés technkákkl smerkedtek meg. A hllgtók ős semester első óráján és tvs semester utolsó óráján írták meg MR-t. A test eg A4-es lp mndkét oldlán - eldtból álló eldtlp. Mnden kérdés eg lktnk nég lehetséges elorgtottját ábráolj, melek köül kettő heles, kettő pedg ross. A. ábr eg testkérdést mutt. A hllgtóknk egeg oldl ktöltésére csk, össesen 6 perc állt rendelkeésére.. ábr. MR eg kérdése. A bl oldl ábránk két elorgtottj serepel jobb oldl ábrák köött A test régebb skrodlombn tlálhtó kértékelésénél Answer Ke or MR pont járt eg eldt megoldásár, h mndkét váls jó volt, pont, h csk eg válst dott test ktöltője és jó volt, mnden tovább esetben nem járt pont. A utóbb dőben skemberek eg kcst váltotttk kértékelés pontoásán [], []. E követkeő: pont, h mndkét váls heles, /4 pont, h egk váls heles, másk nem, 5/4 pont, h csk eg váls vn és heles, egéb esetekben nem jár pont. A kpott össpontsámot egésre kerekítjük, hbátlnul ktöltött test pontsám íg 4. A testek kértékelésénél m s utóbbt, []-ben beveetett reálsbb pontoást lklmtuk. A hllgtók pontoás sbált nem smerték test megírásánál, csk t nstrukcót kpták, hog két váls heles, és csk mben btosk t jelöljék meg.. MR kértékelése A september test megírásánál össesen 54, míg májusn 49 hllgtó volt jelen. A testek átlgpontsám 9.9, lletve.98 volt. A korább kuttások látámstják, hog nemek köött térsemlélet különböő [4]. A továbbkbn m s nem csk össesítve, hnem nemek sernt bontásbn s vsgáljuk testek eredménet. A nemek sernt átlgpontsámok és sórások. táblátbn láthtók. september május ő átlg sórás ő átlg sórás átlgértékek különbsége érk nők össesen táblát. A MR átlg pontsám

48 NmE SSK művés skos hllgtók térsemlélete MR sernt 45 A továbbkbn csk okt hllgtókt vessük gelembe vsgált során, kk mndkét testet megírták. Össesen 4 len hllgtó volt, ebből 7 ér és nő. A eredmének. táblátbn tlálhtók. A művés skos hllgtók átlgpontsám elmérés elején septemberben 9.6, elmérés végén májusbn 5.8 volt. E eg 5 és él pontos jvulásnk elel meg. A ér hllgtók átlgpontsám mndkét lklomml jóvl mgsbb volt nő hllgtótársknál. Előbbek esetében, két elmérés eredménenek különbsége 7.7 pont, míg utóbbknál e lcsonbb, 4.97 pont. A elmérés sernt nők tnév végére érték el érk tnév elej pontsámát. Hbár 7 ő nem sok, íg nem lehet messemenő megállpításokt tenn, de úg tűnk, hog MR sernt ér művés skos hllgtók térsemlélete, orgtás elképelése meghldj nő társkét, s eg év ltt ejlődésük s ngobb léptékű okénál. september május átlg sórás átlg sórás átlgértékek különbsége érk 7 ő nők ő egütt 4 ő táblát. A MR átlg pontsám mndkét dolgotot megírt hllgtók köött Férk Nők Egütt. ábr. A MR eredmének. elmérés A. és. ábr muttj, hog septemberben, lletve májusbn mlen pontsámokt értek el hllgtók. A első sorbn érkét, másodkbn nőkét és hrmdkbn össesített értékeket látjuk. Septemberben érk pontsámát tekntve elég ng mnt terjedelme 4 és 8 pont köött, míg májusbn köülük már senk sem volt pont ltt. A leglcsonbb pontsámot tekntve, e több mnt kétseres jvulást jelent. A nők esetében, másodk elmérésre pontsámok terjedelme csökkent, ekkor kpott leglcsonbb pontsám pont köel kétserese volt ősnek 7 pont. Ugnkkor legmgsbb érték nem váltoott pont. A mnt sórásábn ksmértékű növekedés gelhető meg, pontsámok eloslás egenletesebb, súlpontj első trtománb heleődött át. A össpontsámok előbbek eredőjeként, sntén jelentős eltolódást muttnk jobb értékek ránáb.

49 46 Németh L. Horváth Férk Nők Egütt. ábr. A MR eredmének. elmérés ábr. A MR eredmének eltérése két elmérés köött, hllgtónként A 4. ábr september és május elmérés eredméne köött pontsámbel különbséget muttj, hllgtónként. Láthtjuk, hog hllgtók döntő rése másodk elmérés lklmávl több pontot ért el, mnt elősör, sok esetben jvulás jelentős mértékű. A mgsbb kedőpontsámml jvítások ksebbek, de e egértelmű s. Néhánn eg vg néhán ponttl kevesebbet értek el. Ennek okát nehé kderíten, lehet gelmetlenség, nemtörődömség nncs tétje elmérésnek vg például kdht tppserű ktöltés lklmásából. Sttstk sámolások lpján, legeljebb két lehetőséget válstv eldtlp véletlenserű ktöltésével s átlgosn 4 pontot el lehet érn. A 5-7. ábr muttj ejlődést nemenként és össesítve. Férknál legngobb jvulás 6 pont, míg nőknél. Előbbek 7.4%- ért el korábbnál mgsbb pontsámot, utóbbknál 78.8%-uk jvított. Érdekes látn, hog érk esetében legksebb jvulás 6 pont, e bonár lcson mnt-elemsámból dódk. A össesített dtokt tekntve, láthtó, hog vsgált 4 hllgtó több mnt ötöde.5%- ugnoln, vg lcsonbb pontsámot serett májusbn. elmérés, mnt előő év septemberében. elmérés. M lehet ok érk eredménének? Hogn lehet 6 ponttl jobb testet írn eg évvel később? Ilen mértékű jvulás érhető el egénleg, két élév ltt, míg mások térsemlélete másodk test lpján s ngon gengének mondhtó? E kérdések megválsolás jelenleg még nem kellően meglpoott, tekntve érk esetében lcson mnt-elemsámot 7 ő. lán jvíthtó lenne elmérés megbíhtóság, h vlmlen

50 NmE SSK művés skos hllgtók térsemlélete MR sernt 47 módon növelnénk elmérésben rést vevő hllgtók motváltságát test ktöltésével kpcsoltbn, például legjobb eredmént elérők jutlombn résesülnek. Íg nem csk eg sámukr eleslegesnek tűnő, gkorlt dejéből 7-8 percet elvevő ogllkoásként tekntenének rá. Fő Pontsám váltoás 5. ábr. A MR eredmének váltoás érknál 4 Fő Pontsám váltoás 6. ábr. A MR eredmének váltoás nőknél Fő Pontsám váltoás 7. ábr. A MR eredmének váltoás össesítve

51 48 Németh L. Horváth. 4. A eredmének össehsonlítás korább eredménekkel A elmérés eredménet össevetjük egetemünkön és más egetemen korábbn mért eredménekkel, kkor t mondhtjuk, hog művés skos hllgtók átlgos eredméne, ejlődése eg kcst jobbnk mondhtó átlgosnál, uk eredméne, ejlődése vsont ngon jónk teknthető. ermésetesen művés skos hllgtók térsemléletét, kár csk több hllgtó esetén nem csk ábráoló geometr ejlestette, hnem több hsonló, térsemlélet ejlestő tntárg s. A művés skos hllgtók két élév során ábráoló geometrávl töltött össes órsám nem több, mnt más hllgtók esetén, kk térsemléletének váltoását eg élév ltt vsgálták, de eg év ltt több lehetőségűk volt térsemlélet ejlestő eldtok megoldásár. A SSK pr mérnök és pr terveőmérnök hllgtók eg éléves elmérés eredménének hsonló átlgpontsám: septemberben érk.7, nők 6., egütt. pont; decemberben 7.8,., 6.7, ugnebben sorrendben. A ejlődés átlgosn 5 pont mnden esetben. A bl vló elmérés pontsám hsonlók, hbár ejlődés vlmvel ksebb mértékű. Résletek []-bn tlálhtók. 5. Össeoglló A NmE SKK művés BSc hllgtó körében került sor két lklomml september és 4 május Mentl Rotton est MR elvégésére. A eredmének kértékelése során csk mndkét elmérésben rést vevő hllgtók pontsámt vettük gelembe 4 ő. A értékelés során, nők és érk esetében külön-külön és egütt s vsgáltuk jvulás mértékét. A hllgtók átlgosn 5.45 %-os jvulást értek el, érk ebben ngobb serepet játsottk. Ugnkkor ők csupán 7.5 %-át dták mntánk, íg rájuk vontkoó átlg- és sórás dtok megbíhtóság erősen kérdéses. A elmérés megbíhtóságát tovább kell növeln, például hllgtók vlmlen ormábn történő östönésével. Össességében elmondhtó, hog két éléves ábráoló geometr okttás kmutthtó mértékben potív htássl vn hllgtók térsemléletére. Irodlomjegék [] BÖLCSKEI, A., KOVÁCS, A. ZS., KUŠAR, D., New Idels n Scorng the Mentl Rotton est, bl Journl o Bult Envronment, Volume, Issue [] BÖLCSKEI, A., KOVÁCS, A. ZS., Mesurement o Sptl Abltes o Archtect Students t bl Fcult b Mentl Cuttng est Hun, Debrecen Műsk Kölemének [] KOVÁCS, A. ZS., NÉMEH, L., Development o sptl blt ccordng to mentl rotton test t SKF nd BL, bl Journl o Bult Envronment, Volume, Issue [4] NÉMEH, B., HOFFMANN, M., Gender derences n sptl vsulton mong engneerng students, Annles Mthemtce et Inormtce, [5] NÉMEH, B., Mesurement o development o sptl blt b Mentl Cuttng est, Annles Mthemtce et Inormtce, [6] SM Sheprd, R. N., Metler, J., Mentl Rotton o hree-dmensonl Objects, Scence, New Seres, Vol. 7, No

52 DIMENZIÓK 49 Mtemtk Kölemének II. kötet, 4 A normtk eskötáránk lklmás mtemtk és sttstk egetem okttásábn Bscho Annmár NmE KK Kögdság és Módsertn Intéet bscho@ktk.nme.hu Hoschek Mónk NmE KK Kögdság és Módsertn Intéet hmonk@ktk.nme.hu ÖSSZEFOGLALÓ. A normácós társdlom térnerése oltán okttásbn s elvárásnk teknthető normtk eskötáránk lklmás. A kor khívásr válsul NME Kögdságtudomán Krán /-es tnévtől kedődően sttstk okttás sámítógépes körneetben történk. Gkorltokon dákok előre elkésített eldtsorokt oldnk meg Ecel progrm segítségével. Ennek tpstltról, dőköben elsmert problémákról, ok lehetséges okról dunk képet. Mndehhe össeoglljuk áltlános és köépskol, vlmnt egetem normtkokttás témánkt érntő területet és nnk váltoást. Vlmnt lehetőségeket oglmunk meg mtemtkokttás sttstkáho hsonló gépesítéséhe. ABSRAC. he hedw o normton socet n educton t s reurement to ppl tools o computer scences. As n nswer o the tme chllenge n Unverst o West Hungr t the Fcult o Economcs rom cdemc er / the lecture o the sttstc courses re computered. On prctces students solve put-up eercses b usng Ecel. We se up eperences, problems recogned menwhle nd possble resons o ths. Wth ths end n vew we summre elds o computer scences tough n elementr, secondr nd hgher eductonl level. Moreover we rme possbltes o computerton o mthemtcs, s we dd wth sttstcs.. A normtkokttás kedete Mgrorságon kö- és elsőokttás okttás progrmjnk már 98-s évek ót rése normtk smeretek tnítás. Kedetben 4. generácós ks gépeken ZX Spectrum, HP, Vdeoton VC, Commodore, Prmo, stb. jlott tárg okttás kultácók, skkörök keretében. A tt eldolgoott smeretng többnre BASIC progrmoás nelv elsjátítás, önálló progrmok késítése volt. A 99-es évektől jelentős váltoás követkeett be eddgekben. Hánk skolábn s megjelentek, mjd teret hódítottk PC-k. A egetemeken már nem normtk skos hllgtóknk s órrend órák keretében tnították normtk lpsmereteket, vlmnt elhsnáló smereteket DOS, Norton, SAS, dbse, stb.

53 5 Bscho A. Hoschek M.. áblátkeelő progrmok Eel párhumosn rohmos ejlődésnek ndult mndenhol sámítógépek lklmás könp munkábn. A egk ontos elhsnált progrmtípus táblátkeelő progrmok voltk. A első, 979-es, Dn Brckn és Bob Frnkston áltl késített VsClc volt, mel egránt utott APPLE II. és IBM PC gépeken s. Et követte 984-től 99-g LOUS. E már DOS operácós rendserre késült, és WSIWG rendserű wht ou see s wht ou get, t kpod, mt láts volt. A LOUS mellett 988-tól terjedt el Mcrosot QUARO progrmj, mel már MS Wndows operácós rendserrel rendelkeő gépekre késült. 985-től, ll. 987-től Mc OS, mjd MS Wndows lpokon pedg gkorltlg egedurlkodóvá vált EXCEL. E tén vont mg után logkus követkeménként, hog okttásb s een progrm került bevonásr ekkortól... A EXCEL lehetősége A MS OFFICE progrmcsomg réseként értékesített EXCEL sámos lehetőséget btosít elhsnálóknk: A cellákbn numerkus és söveg típusú dtok tárolhtók. Hvtkoásokt hsnálv sámítás képletek denálhtók. A sámítások eredméne onnl megjelennek képernőn. A dtok megváltottásávl képletek eredménet utomtkusn újr sámolj progrm. Beépített üggvének séles válsték hsnálhtó. Dgrmm-késítő vrásló. Eek jellemők ngon jól hsnálhtóvá tesk Ecelt egetem sttstk példák megoldásábn s. Bscho Annmár kollégnőnk ELE-n olttott normtk tnulmán során -5 hsnos ötleteket látott rr, hogn lehetne mndet htékon, de mégs prktkus, hllgtóbrát módon beépíten okttásb. Een kívül sámos elhsnálás lehetőséget kínálnk EXCEL lehetősége mtemtk okttásábn s. Ngon jól hsnálhtó progrm egrést önellenőrésre, mechnkus sámolás kváltásár pl. mátrműveletek végésekor. De komolbb lehetőségek s rejlenek progrmbn. Például különböő numerkus mtemtk sámítások végehetők SOLVER eskötár segítségével. Krunkon többsör s történt rr próbálkoás, hog válsthtó tntárg keretében len jellegű smereteket s tnítsunk hllgtónknk, onbn kellő sámú jelentkeő híján törekvésenk mndg kudrcb ulldtk.. Kögdásképés Sopronbn A kögdásképés Sopronbn 995-ben ndult meg. A első évolm leveleő képés keretében kpt meg sükséges smereteket. A sttstk tárgt ekkor még Mskolcról érkeett okttók tnították élévben. A áltlános sttstk éléve és gdságsttstk tárgk módsertn sgorlt rését képeték vlósínűségsámítás és operácókuttás tárgk mellett. A első nppl képésben tnuló hllgtók 996-bn kedték el egetemet. Ennél évolmnál sttstk tárg okttását Pro. dr. Závot Jóse és Dr. Meleg borné vette át. A Kögdságtudomán Kr -es létrejöttekor külön Mtemtk és Sttstk Intéet s lkult.

54 A normtk eskötáránk lklmás mtemtk és sttstk egetem okttásábn 5 A sttstk tárg okttásábn jelentős váltoást hoott Bologn-rendser 6-os beveetése. Ekkortól mellett, hog jelentősen lecsökkent áltlános sttstk tárgk órsám, megsűnt gdságsttstk tárg. A mskolc okttók áltl tnított tnngho sját hoott eldtok és sját képletgűjtemén trtoott. Závot tnár úr elődásnk ng mellett köteleő rodlomnk előírt kkor érvénes sttstk tnkönvet. A ntéet munktárs össeserkestett, év elején köredott eldtokkl várták hllgtókt. A sámonkérés élév során elmélet ngból és gkorlt eldtokból állt és elődás keretében,5 órábn lehetett megírn... A első ejlestések A sttstk tárg ejlestése kkor kedődött, mkor képletek már sját, megvásárolhtó képletgűjteménbe lettek egbeserkestve. Eel eg dőben gkorlt eldtok terén s történt ejlestés. Benedek Judt és Dr. Sl Lásló elkésítették Sttstk I tárg eldtgűjteménét. Ebben eges ejeetekre lebontv voltk megtlálhtók példák. Néhán teljesen kejtett, leveetett és elmélettel látámstott, megoldott eldt után jvsolt eldtok s elérhetőek benne. A jvsolt eldtok megoldás megtlálhtók könv végén. E két váltoás jelentősen megkönnítette tnulást, tnítást. A okttást segítették írásvetítő ólár előre kdolgoott eldtok s. Eek segítségével hossbb eldtok ksámításánk deje jelentősen lecsökkent... A sámítógép bevonás sttstk okttásáb A ólákr írt ngok Ecel progrm segítségével késültek. Íg merülhetett el egés gkorlt okttás modernálásánk ötlete, vgs sámítógépes körneetbe vló átheleése. A ötlet mgvlósítását kr sámítógépes termenek kpctás hátrálttt. A /-es tnév ősére onbn eek gondok elhárultk, íg megkedődhetett Sttstk I. és II. tárgk sámítógépen vló okttás 5 ős gkorlt csoportokbn. A kérdés már csk mrdt, hog hogn, mlen progrm segítségével lehetne legkönnebben, legérthetőbben sttstkát bemuttn hllgtóknk. A Mcrosot Ecel progrmr pontosbbn nnk kkor rendelkeésünkre álló -s verójár esett válstás több ok mtt s: A írásvetítő ólák ng s eel progrmml késültek. A árthel dolgotok és vsgák eldtnk megoldó kulcs s Ecellel késültek. A egetemeknek és hllgtóknk mennben rendelketek jogtst Wndows operácós rendserrel progrm ngenesen hoáérhető volt. A első élév során normtk tárg keretében hllgtók már megserehettek oln lpsmereteket progrmról, m sttstkokttást s segítette. Attól élévtől kedődően nemcsk tnítás, de sámonkérés módsertn s megváltoott. A elmélet tudásukról hllgtók továbbr s elődás keretében ppíron megírt elmélet dolgoton dhttk sámot. A gkorlt rés onbn gkorlt órán, sámítógépen került megírásr. A két rés egütt lkotott eg árthel dolgotot. A tnng ütemeése s módosult. A első gkorlt órán normtk smereteket rssítették el hllgtók. A ájl egserűbb üggvének smétlése mellett ormáásokr, sorotok klkításár, dgrmok késítésére s emléketette dákokt. Een lpvető kompetencák meglétéről tán hrmdk gkorlt ór elején sámot s kellett dnuk eg Hund-Mundrucó-Vt: Sttstk, AULA, Budpest,. Benedek Judt - Dr. Sl Lásló: Sttstk Feldtgűjtemén I. Sopron,.

55 5 Bscho A. Hoschek M. rövd beugró dolgot keretében. Aknek e dolgot, vg pótlás nem skerült, nem kpott láírást tárgból. A élév során gkorltok menete követte elődásét. A órák elején oldlról kellett letölten ktuáls eldtsort. A megoldott ájlokt ór végén hllgtók elvhették elküldhették e-mlben h. A dolgotok előtt mnt-eldtsorok kerültek el tárhelre. Mg dolgot s tt volt megtlálhtó rejtetten, íg árthelk kedetén nnen kellett letölten. A kés dolgotokt tán már e-mlben küldték el hllgtók gkorlt tnárknk. A dolgotok írás során elmerülő legngobb technk problémát különböő leveleőrendserek lssúság okot, hsen míg tnár nem jelett vss, hog dolgot ókjáb megérkeett, ddg nem lehetett h-t beejen. Néhán esetben e eltrtott kár 5- percg s, m követkeő tnór kedését kedveőtlenül beolásolhtt. A / tnév másodk elében Mcrosot ejlestésenek kösönhetően ddg hsnált Ecel -t egetem gépen lecserélték Ecel -es verójár. Ennek követketében ős élévről tvs élévre kellett hllgtóknk átállnuk új progrmr. A váltoások nemcsk keelőelületet érntették, hnem sttstkáho hsnált üggvéneket s. Módosultk üggvének neve, lletve néhán esetben ddg nem megelelően működő üggvének helett újkt tettek be, megkönnítve eel sámításokt. A képletgűjteménben lévő eloslások értéket trtlmó táblátok dt új üggvéneknek kösönhetően pontosbbn meghtárohtóvá váltk... Váltoások -tól A órsámok csökkentése, új mnttnterve beveetése Kron /4-es tnévtől kedveőtlenül érntette sttstk tárgt s. E okttás, tnng átgondolását vont mg után. Íg elősör s hllgtók smeretenek elrssítésére solgáló beveető ecelór és nnk sámonkérése mrdt el. A eel nert dővel lehetett kompenáln kesett het órsámot. A elmélet órsám csökkentése mtt már nem volt megengedhető, hog ott írják dákok elmélet dolgotot. Íg dolgotírás menete sntén átlkult: ttól kedődően gkorlt ór első percében írják elméletet és tán követkek eg órás gkorlt rés. Másk ontos váltoás volt, hog egetem ttnc nevű serverén megsűntették tárterületeket, íg ddg jól bevált eldtletöltés lehetőség megsűnt. E hot legújbb váltottás lehetőséget/kénsert. A tnngok jelentős átserkestés után kerültek el Kr Moodle lpú e-lernng rendserébe. A eges témkörök elépítése úg módosult, hog mnmáls elmélet beveető után korábbnál jóvl több péld került eg ájlb. Een kívül otthon gkorlás megkönnítése érdekében mnden péld megoldás s el lett töltve rendserbe. Zh-k előtt mnteldtsorok megoldásár vn lehetőség. Mguk dolgotok s tt lettek elheleve elrejtett ormábn. A dolgot írás előtt gkorlt tnár rejtett ájlt mutt -r állítj, íg hllgtók letölthetk megoldndó ngot. A vsstöltés s e-lernng rendserbe történk eg eldt mppáb, honnn eltöltés után okttó le tudj hívn és kjvítn okt. A kpott pontsám s berögíthető de, íg onnl megtudhtják dákok eredméneket. A e-lernng rendser dolgot írás során vló hsnáltánk legngobb előne, hog vsstöltés gors, íg nem kell várn leveleőrendserre. 4. Felemás normtk smeretek A sok váltottás és ejlestés ellenére még mndg vnnk oln problémák, melek normtk smeretekből, lletve pontosbbn eek hánából dódnk.

56 A normtk eskötáránk lklmás mtemtk és sttstk egetem okttásábn 5 Annk ellenére, hog m egetemsták már, sőt Z generácó germeke, és sámítógép-hsnált bűvkörében nőnek el, normtk smeretek elemásk. udnk söröln neten, látsólg könnedén boldogulnk okosteleonokkl, de vlójábn többnre komol gondot oko sámukr eg mpp létrehoás sámítógép vlmel meghjtóján, vg eg ájl cstolás eg oln e-mlhe, melnek tárgt s dnk meg. M okohtj et? Mért lehet, hog nnk ellenére, hog eek tlok soksor np 4-6 órát töltenek neten lógv, és már eg pár perces várkoásnál s elővesk mobljukt, hog ne untkonk, mégsem tökéletesek még lpvető normtk smeretek sem? Mnt beveetőben már írtunk ról, Mgrorságon normtk okttás mjd három évtedes múltr teknt vss. Ennek tükrében pedg ténleg érthetetlennek tűnhet e jelenség! 4.. NA és Nt A dákok serveett ormábn már áltlános skolábn, mjd köépskolákbn s résesülnek normtk okttásbn. A köokttás lpelvet, céljt, legontosbb eldtt megoglmó skol lpdokumentum, NA később Nt már 9-es évek elejétől besorolj lklmott smeretek körébe normtkát. M pedg tí önálló műveltségterület egke Inormtk. A 4-es Kerettnterv áltlános skolákr és gmnáumokr vontkoó normtk órsámt láthtjuk. táblátbn. Forrás: Nemet Erőorrás Mnstérum,. sámú melléklet 7/4. V.. OM rendelethe. -4. Évolm 5. Het,5 ór Órsám. és 4. ostálbn het,5-,5 ór VAG 4. ostálbn het ór 6-8. Évolmonként het - ór -8. évolmok össesen: Het 4,5 ór 9. Het,5 ór. Het ór. Het,5 ór. Het ór 9-. évolmok össesen: Het 6 ór. táblát. A Kerettnterv normtk órsám Inormtk kerettntervek váltoás Ehhe képest jelentős váltoás követkeett be -ben. A okttás állmttkárság és Okttáskuttó és Fejlestő Intéet OFI új koncepcój lett, hog normtk smeretek ng rését más tntárgk kerete köé ntegrálv kell okttn. A Kerettnterv hvtlos álláspont sernt normtkórákon elsjátított lpok lehetővé tesk t, hog tnuló más tntárgk tnulás során késített eldtok

57 54 Bscho A. Hoschek M. megoldáskor normtk tudását lklm. A normtk tntárg eldt ormáls úton serett tudás rendsereése és továbbejlestése, nem ormáls módon serett tudás ntegrálás, elmerülő problémák értelmeése és megoldás. Ennek követketében normtkórák sám jelentős mértékben csökkent. A elsőtől tenkettedk évolmg 7 tnévre kevesebb, mnt het eg tnórás tárg lett normtk. táblát. Forrás: EMMI, 5/. XII.. sámú EMMI rendelet. melléklete, Módosítv 4/4. IV. 9. EMMI rendelet. mellékletének megelelően. E t jelent, hog gmnáumokbn, hol már komol smeretng elsjátításár lennének képesek tnulók, eghrmd résére csökkent tntárg órsám korábbkho képest. A normtk műveltségterületre sükséges óráknk kevesebb, mnt ele lett kmondott normtkór. Évolm Órsám ostálbn het ór 5-6. Össesen het ór 7-8. Össesen het ór -8. évolmok össesen: Het 4 ór 9-. Össesen het ór 9-. évolmok össesen: Het ór. táblát. Inormtk m köokttásbn 5. Össeoglló Mnde onbn nem csk m, hnem sok más okttássl ogllkoó skember sernt sem volt jó döntés. Hsen ntegrált normtkokttásnk sem semél, sem serveet, sem ng eltétele nem állnk rendelkeésre m mgr skolrendserben. A nem normtk skos tnárok normtk műveltsége veges képet mutt. Sokn nem tudják köülük késség sntjén hsnáln sámítógépet, lklmn elhsnáló progrmokt sövegserkestő, táblátkeelő, preentácókésítő progrmok. Íg résükről legeljebb elvárás oglmódk meg tnulók elé különböő tnórákr normtkávl támogtott ngok elkésítésére, érdemleges segítséget onbn nem tudnk nújtn elkésüléshe, ngok elkésítéséhe. Een kívül tpstltnk sernt nem csk tnároknk nncs soksor sját hsnáltú sámítógépük, de ok dákok sem jutnk gkorlás lehetőséghe, kknek nncs otthon csládjukbn sámítógép. Ugns skolákbn nncsenek nlvánosn, tnórákon túl s hoáérhető sámítógépek. Mndennek lehet korábbn említett vssásság követkeméne, hog technk jellegű, snte mndennpnk mondhtó normtk smeretek s hánosk m egetem hllgtóknk. Eel rontv különböő sktárgk, kötük sttstk okttásánk eredménességét.

58 DIMENZIÓK 55 Mtemtk Kölemének II. kötet, 4 A sík- és hegvdék erdeenő őbb k prméterenek többváltoós regressój Csnád Vktór NmE EMK Mtemtk Intéet csnd.vktor@emk.nme.hu ÖSSZEFOGLALÓ. A sík- és hegvdék erdeenő őbb k prméterenek többváltoós regressóját eg egváltoós regressó elő meg. E egben lklmott tngens hperbolkus üggvén lklmsságánk testelése. Kmutthtó segítségével ő sövet rések eltérése sűrűség és nomóslárdság kpcsoltábn. A et követő többváltoós regressó nomóslárdság kpcsoltát eleme sűrűség és pástrán üggvénében. A sík- és hegvdék erdeenő esetén kpott regressós egütthtók jellemk ngok eltéréset. Leírják megelelő sorossággl vsgált k prméterek kpcsoltát. ABSRAC. he multvrte regresson hs been preceded b the one vrte regresson. hs hs been t the sme tme vercton o the sutblt o the ppled hperbolc tngent uncton. B mens o tht uncton the derences o the mn ntomcl prts cn be reveled wth respect to the reltonshp between denst nd compressve strength. he multvrte regresson tht ollows nlses the compressve strength s uncton o the denst nd the ltewood-erlwood proporton. In the cse o the Scotch pne on lowlnds nd hghlnds the receved regresson coecents chrctere the devtons o the mterls. he descrbe t n deute tghtness the reltonshp o the emned phscl coecents.. Beveetés Mnt smeretes tén, orság területének 9 sálékát borítj erdő, melnek tovább megoslás: lombos erdő 85, enőerdő pedg 5 sálék []. Fj sernt tölg veet teljes erdőterület,9 sálékávl, mjd kác követkek, sálékkl, hrmdk helen pedg enő áll. A enőerdők eghrmd síkvdéken, Alöldön tlálhtó, állománlkotó 98 sálékábn erde- és eketeenő. Mvel síkvdék enő mostoh körülmének köött növeksk, serkeetében, lletve k- mechnk tuljdonságbn eltér hegvdék termőhelűtől. A ng tömegben ktermelhető ngmennség mtt eltétlenül sükséges, hog smert legen eltérések mértéke, vlmnt ng notrópáj mtt eges jellemők kpcsoltánk váltoás. Fontos továbbá, hog jellemehető legen eges vsgált tuljdonságok egmásr htás megelelő mtemtk módserrel.

59 56 Csnád V.. Ang és módser Első lépésként eg ksmntás kísérletre került sor, melnek tárg síkvdék erdeenő mkroskópos serkeet résenek gest, sjács és juvenls sűrűség-nomóslárdság üggvénkpcsolt újserű, nem lneárs meghtároás volt. Et követte eg - mntelemű ővsgált sík- és hegvdék erdeenőre, eg nem lneárs többváltoós regressó lklmásávl. Vsgált jellemőként sűrűség, mnt unveráls ngjellemő, pástrán kor/kése, mnt évgűrű serkeet ő jellemője [6] és nomóslárdság, mnt ng legontosbb slárdság tuljdonság került kválstásr. A k értelemben s lklms többváltoós üggvén: σ ρ;k. A üggvén llestése mndkét különböő sármású enő mntár megtörtént, eredmének össevethetők, elemehető üggetlen váltoók htás üggő váltoór, lletve eek domnáns serepe üggvénkpcsoltbn.. Eredmének kértékelése.. A ksmntás elővsgált Mndhárom mkroskopkus résre vontkoón sűrűség nomóslárdság kpcsoltánk vsgáltár eg lklms regressós modell géne merült el. Eg olné, melnek lehetőségekhe mérten jól kell követne mérés dtok ponthlmát. Jellemee üggvént smptotkusság, korlátosság, m révén üggő váltoó értéke, jelen esetben nomóslárdság még klg értelmehető htárok köött mrd. Rendelkeen üggvén eg oln jellegetes ponttl, melnek koordnátá, mnt specáls átlgértékek össevethetők eges llestések során. A elsorolt gének mtt elutsíthtó gkorltbn eddg előorduló lneárs üggvén llestése [], és még rtkábbn lklmott polnomáls üggvéneké, melek vlójábn klg nem értelmehetők, és nem jellemk két váltoó, neveetesen sűrűség és nomóslárdság kpcsoltát helesen, bár lehet, hog csk tstán sttstk semsögből néve soros korrelácó mutthtó k velük váltoók köött. Mérlegelve een téneket, keresn kellett eg oln klg s és sttstklg s megelelő üggvént, mel említett eltételeknek eleget tes. Kedveőnek bonult lább modell []: melnek nleós pontj b c d b c σ th ρ, P ;. A eredméneket. táblát trtlm. EF: erdeenő, síkvdék b c d r EF gest 8,79 477,5 6,99,49,856 EF sjács, ,6 5,457,47,7486 EF juvenls,97 494,4 46,8,49,757. táblát. A elővsgált regressós eredméne. A ksmntás elővsgáltok eredméneből rövden követkeőket lehet össeoglln: A llestett üggvén nemcsk hog jól leírj, lletve követ sűrűség üggvénében váltoó nomóslárdságot megelelő lleskedés mellett, hnem ugnekkor nleós pontjávl kmutthtó három ntóm rés különböősége. A eltérések, lletve sjács - juvenls ánál muttkoó lbltás t ndokolj, hog mnd ővsgált során, mnd pedg

60 A sík- és hegvdék erdeenő őbb k prméterenek többváltoós regressój 57 elhsnálás sempontjából célserű mntng gestből történő vétele juvenls rés khgásávl... A sík- és hegvdék erdeenő vsgált ngmntás vsgált A regressós üggvén kválstás nehé és dőgénes eldt, mvel eg k értelemben s lklms ρ; K σ ρ;k modell sükséges váltoók kpcsoltánk jellemésére. Mnd e mellett llestett üggvénnel semben követelmének követkeők:. A llestett üggvén djon meg eg specáls átlg dthármst ρ, K és σ vontkoásábn mndkét ngr.. A llestett üggvén dj meg egségn ρ váltoásár eső σ váltoás értékét növekedés mérték mndkét ngr.. A llestett üggvén dj meg egségn K váltoásr eső σ váltoás értékét csökkenés mérték mndkét ngr. 4. A llestett üggvén dj meg σ technológlg elogdhtó leglsó és legelső értékét, vlmnt ntervllum ngságát mndkét ngr néve. 5. A llestett üggvén derváltj segítségével legen meghtárohtó, hog növekedés mérték értékéhe mlen ρ htárértékek ρ ; ρ trtonk mn m technklg értelmehető ρ ntervllum. 6. A llestett üggvén derváltj segítségével legen meghtárohtó, hog csökkenés mérték értékéhe mlen K htárértékek K mn ; K m trtonk technklg értelmehető K ntervllum. 7. A llestett üggvénben előorduló egütthtók klg és technológlg értelmehetők és megelelően dmenonálhtók legenek. 8. A llestett üggvén mnél több oln egütthtót trtlmon, melek kétéle ng vsgáltánál eltérő értékeket muttnk. 9. Egmgábn mgs korrelácó nem elegendő, e mellett llestett modellnek eleget kell tenne ent elsorolt nolc eltételnek s egüttesen. Mnt smeretes előő vsgáltnál sűrűség és nomóslárdság vontábn megelelő modellnek bonult tngens hperbolkus üggvén, melnek kválstását smptotkus mvolt, vlmnt korlátosság ndokolt. Et ρ ; K σ ρ ;K regressós üggvén prcáls gelembe véve kétváltoós üggvénekből, lletve ok össevonásából klkíthtó, íg ρ σ ρ ; K kpcsoltbn hsnálhtó smét tngens hperbolkus üggvén, melnek lklmását vetület ponthlm s látámstott. A K σ ρ ;K prcáls üggvén meghtároásábn s korlátosság vlmnt smptotkusság veérelt. A vetület ponthlm tt nem d segítséget jelentős sórtság mtt, eltételen kell tehát, hog K értékének mérés pontosság kedveőtlenebb volt. E nlvánvlón bontlnságot okoht, mt vetület ponthlmbn több sélsőséges heletű mérés s látámst. Mndeek ellenére K σ ;K esetében s már említett tngens hperbolkus bonult kedveőnek elsorolt tuljdonság mtt. A entek gelembevételével llestendő kétváltoós üggvén két tngens hperbolkus üggvénből lett klkítv megelelő trnsormácók elhsnálásávl. A llestésnél elhsnált regressós üggvén lkj:,67, th 5 K 6 7 σ th ρ 565. ρ

61 58 Csnád V. A llestés eredménenek kölése előtt boníthtó, hog modell eleget tes követelménrendsernek:. A llestett üggvén megd eg specáls átlg dthármst ρ, K és σ vontkoásábn mndkét ngr: * * * ρ ; K 6 ; σ 7.. A llestett üggvén megdj egségn ρ váltoásár eső σ váltoás értékét növekedés mérték specáls átlg dthármsho trtoó helen mndkét ngr prcáls derváltk lpján: * N m ˆ ρ σ ρ.. A llestett üggvén megdj egségn K váltoásr eső σ váltoás értékét csökkenés mérték specáls átlg dthármsho trtoó helen mndkét ngr prcáls derváltk lpján: C * K 45 ˆ σ. m K 4. A llestett üggvén megdj σ technológlg elogdhtó leglsó és legelső értékét, vlmnt ntervllum ngságát mndkét ngr néve: mn 7 4 m 7 4 ; nt σ ; σ σ. 5. A llestett üggvén derváltj segítségével meghtárohtó, hog növekedés mérték értékéhe mlen ρ htárértékek ρ ; ρ trtonk technklg mn m értelmehető ρ ntervllum. N m A értékhe lább össeüggéssel sámíthtók értékek: ch ρ. 6. A llestett üggvén derváltj segítségével meghtárohtó, hog csökkenés mérték értékéhe mlen K htárértékek K mn ; K m trtonk technklg értelmehető K ntervllum. Cm A értékhe lább össeüggéssel sámíthtók értékek: ch K A llestett üggvénben előorduló egütthtók klg és technológlg értelmehetők és megelelően dmenonálhtók. 8. A llestett üggvén elegendő oln egütthtót trtlm, melek kétéle ng vsgáltánál eltérő értékeket muttnk. 9. A mgs korrelácó mellett llestett modell eleget tes elsorolt nolc eltételnek. Mnd síkvdék, mnd pedg hegvdék erdeenő vsgált során előőekben elírt modell került lklmásr. A eredméneket. táblát trtlm. A elületeket ponthlmokkl síkvdék enőnél. ábr hegvdéknél. ábr demonstrálj. 6 4

62 A sík- és hegvdék erdeenő őbb k prméterenek többváltoós regressój 59 Síkvdék erdeenő Hegvdék erdeenő ,79 49,49 *,658,8 * 4,969 *,8449 8,987 48,96 *,499 7,45 * 46,44 *,896 R. táblát. A sík és hegvdék erdeenő regressós eredméne Megjegés: A jelölt értékek * egúttl elület úgneveett síkpontjánk koordnátá S ρ ; K ; σ ρ ; K.. ábr. A síkvdék erdeenőre llestett elület. ábr. A hegvdék erdeenőre llestett elület A llestésnél dódó korrelácós egütthtók R,8449, R, 896 síkvdék hegvdék kelégítők, nnál s nkább, hsen tt már eg elületről vn só. A prcáls korrelácós egütthtók vsgáltából 4, 5 egértelműen kmutthtó mndkét ngr, hog kpcsoltbn sűrűség domnáló tuljdonság, pástrán beolás ksebb, de síkvdék

63 6 Csnád V. ngnál jelentős mértékű, íg nem hghtó gelmen kívül serepe. A elületek különböősége rr utl, hog jelentős eltérés két sármáshel ng köött. Et látámstják úgneveett síkpont koordnáták, melek klg értelmehető jellemő dtát dják sűrűségnek vlmnt nomóslárdságnk. A pástrán hegvdék erdeenő esetén túl mgs értéket mutt, m egben t jel, hog tt rendkívül jelentős eltérés síkvdék ngho képest. Különbség muttkok sűrűség és nomóslárdság vontkoásábn s, m termésetesen hegvdék erdeenő jvár írhtó. A egségn ρ váltoásr eső σ váltoás értéke növekedés mérték síkpontbn rr utl, hog hegvdék erdeenő slárdság sempontból kedveőbb, váltoás mértéke ksebb. A egségn K váltoásr eső σ váltoás mértéke csökkenés mérték síkpontbn vsgálv smét csk jelentős különbségre utl két ng köött, de e nem mértékdó érték. A követelménekben elsoroltknk megelelően sámíthtók ntervllumok, vsgált jellemők htárértéke, ennek módj leírtknk megelelően történhet. 4. Követketetés A kpott eredméneket gelembe véve jvsolhtó, semben eddg rodlmkbn előorduló regressós modellek helett, össetettebb modell hsnált. A nomóslárdság-sűrűség kpcsoltából nem célserű elmnáln pástránt, és íg sükséges kétváltoós tngens hperbolkus üggvén lklmás. Segítségével megdhtók különböő technológ ntervllumok sűrűség és nomóslárdság esetében, vlmnt. llestett elület síkpont koordnátá eg újserű, nem rtmetk átlggl jellemk vsgált ng tuljdonságokt. Een kívül smeretet kpunk dott pontbn egségre jutó k jellemő váltoás sebességéről, m elhsnálás sempontjából ontos téneő lehet. Irodlomjegék [] Csnád, V., Sámítógépekre konvertált nem hgomános regressós eljárások pr erdéset kuttás és műsk problémákho. Műsk doktor értekeés, Sopron, EFE 99. [] Kolmnn, F., echnologe des Holes und der Holwerkstoe. Sprnger Verlg, Berln 95. [] Molnár, S., Fng-smerettn. Meőgdság Sktudás Kdó, Budpest 999. [4] Orb, L., A többváltoós regressósámítások lpj és gdság lklmás., EFE, Sopron 99. [5] Pel, D. R., Enührung n de bologsche Sttstk ür Forststudenten. el II.Freburg,989. [6] Wmmer, R., Beehungen wschen Jhrrngprmetern und Rohdchte von Keernhol. Holorschung und Holverwertung, Nr.4 99.

64 DIMENZIÓK 6 Mtemtk Kölemének II. kötet, 4 Láncűrések prméterenek össehsonlítás többváltoós sttstk módserevel Horváth-Sovát Erk NmE EMK Mtemtk Intéet hse@emk.nme.hu Össeoglló. A őkomponens-nlís és ktornlís sok esetben htékonn hsnálhtó kísérletek kértékelésében. A két módser ngon hsonlít egmásr, de vn kööttük néhán ontos különbség. A két eljárást eg műsk területről vett péld segítségével seretnénk bemuttn. Abstrct. he prncpl component nlss nd ctor nlss cn be used eectvel n mn cses, evluton o the eperments. he two methods re ver smlr, but there re some mportnt derences between them. We wnt these two methods wth n emple n techncl re to llustrte.. Beveetés A többváltoós sttstk módsere köül őkomponens-nlís Prncpl component nlss; PCA és ktornlís Fctor nlss; FA lklmásár muttunk eg példát. Eeknek eljárásoknk hsnált kkor jvsolt, h ngsámú üggetlen váltoóvl dolgounk, mert lenkor elvés ábráolhtóság előne, és lecsökken váltoók ténleges üggetlenségének vlósínűsége. A üggetlen váltoók köött kölcsönös, többránú össeüggések lehetnek, multkollnertás állht enn. Mnd PCA, mnd FA esetén ugn cél: dmenósám csökkentés legksebb normácóvestés mellett. Et úg érhetjük el, hog kevesebb sámú új váltoót veetünk be köben vrncát mmláljuk. A új váltoókt PCA esetén nem mndg lehetséges onosítn, FA lklmáskor vsont elvárás, hog megneveük őket. Et követően új váltoók őkomponensek/ktorok lkott új básbn rég váltoók és mérés eredmének koordnátát elírjuk, ebből próbálunk követketetéseket levonn, lletve íg dthlm ábráolás kénelmesebb és sokkl több normácót hordo. A példár vontkoó sámításokt SAISICA progrmcsomg segítségével végetük. Mnd PCA, mnd FA kndulht kovrnc-, lletve korrelácós mátr eleméséből. Mndkét esetben kovrnc-/korrelácós-mátr sjátértéke lpján htárouk meg őkomponensek, lletve ktorok sámát. A PCA és FA módsere köött léneges eltérések s vnnk. A őkomponensek eredet váltoók oln lneárs kombnácó, melek mnél ngobb sámú eredet váltoóvl állnk soros korrelácóbn. Mvel legtöbbsör eredet váltoók s ngon sokélék, íg lneárs kombnácók csk rtkán értelmehetők. A ktornlís dthlm mögött meghúódó lneárs háttér-össeüggéseket tétele el, és ktorok új háttérváltoók. A ktorokt mndenképpen értelmenünk kell, ebben segítenek különböő rotácós eljárások. Ilenkor háttérváltoók koordnát-rendserét ddg orgtjuk, míg oln heletbe nem kerül, hog mérés eredmének koordnátá csk eg-eg tengel ktor ránábn rendelkenek mgs koordnátákkl, íg ktorok

65 6 Horváth-Sovát E. értelmehetővé válnk. A SAISICA progrmcsomg több különböő típusú ktorrotácót tes lehetővé. A legsmertebb deréksögű ktorrotácós eljárások vrm, urtm és eum orgtás, erdesögű orgtások köül leggkorbbk drect oblmn és prom orgtások. Legtöbbsör vrm rotácót hsnáljuk, e snte mndg célrveető. A ktorok sámánk vsonlg subjektív meghtároásából, lletve válsthtó sokéle orgtásból dódón ktornlís modelljének ngon ngsámú lterntív megoldás vn.. Láncűrések műsk prméterenek és áránk össehsonlítás PCA és FA segítségével Husvrn bennes láncűrések műsk prméteret és árát hsonlítjuk össe őkomponens-nlís és ktornlís segítségével. A követkeő váltoókt vettük be vsgáltb: Vr: lökettérogt cm ; Vr: teljesítmén kw; Vr: teljesítmén LE; Vr4: motor ordultsám lpjárton ordult/perc; Vr5: motor mmáls ordultsám ordult/perc; Vr6: láncsebesség mmáls teljesítménen m/s; Vr7: egenértékű vbrácós snt hv, e elülső ogntú m/s ; Vr8: egenértékű vbrácós snt hv, e hátsó ogntú m/s ; Vr9: jsnt dba; Vr: hngteljesítménsnt LWA; dba; Vr: tömeg kg; Vr: ár Ft. Mnd PCA, mnd FA lklmhtóság ellenőrhető korrelácós mátr értékenek vsgáltávl. Kívántos, hog mnél több korrelácó bsolút értéke legen mgsbb, mnt,. Et -es mátrot tt nem kööljük, csupán ésrevételt, hog snte csk Vr5 és Vr9 váltoók sorábn oslopábn vnnk előbb krtérumnk nem megelelő elemek, több érték váltoók köött erős, vg köepesen erős lneárs korrelácós kpcsoltot mutt... A dtok elemése PCA-vl A korrelácós mátr sjátértéke és kumultív vrnc segítségével dönthető el, hog hán őkomponenssel dolgounk tovább. táblát. Ebben -nél ngobb sjátértékek sám, lletve mnmum kb. 8%-os kumultív vrnc meghtároó. Eek lpján esetünkben őkomponenst érdemes válstn, két őkomponens egütt teljes dthlm vrncájánk 85%-át mgrá. A váltoók és őkomponensek köött korrelácó értéket vgs ktorsúlokt. táblát muttj. E lpján t mondhtjuk, hog vsgált váltoók két csoportb őkomponensbe sorolhtók. A első őkomponenssel ngon soros negtív korrelácót muttnk Vr, Vr, Vr, Vr, Vr váltoók, soros negtív korrelácót Vr6, Vr7, Vr8 váltoók, és első őkomponens erős potív korrelácóbn áll Vr4 váltoóvl. A másodk őkomponens Vr5 és Vr9 váltoókkl vn erős negtív korrelácóbn.

66 Láncűrések prméterenek össehsonlítás többváltoós sttstk módserevel 6. táblát. A korrelácós mátr sjátvektornk sjátértéke A őkomponensek elneveésével tovább elemés egserűbb lenne, de e onbn nem eltétlenül sükséges. A elneveés kkor könnebb, h ktorok csupán eg-két váltoóvl muttnk sorosbb kár negtív, kár potív kpcsoltot. Esetünkben őkomponensek értelmeése nem len egértelmű, első őkomponenst esetleg negtív robostusság őkomponensnek, másodkt ülkímélőség mértéke őkomponensnek nevehetjük. A váltoók ktor-koordnátát egségkörön ábráolv. ábrán láthtjuk. A váltoók köött lneárs korrelácó mértéke vektorok áltl köbeárt sög kosnusávl rános. Például Vr5-Vr9, Vr6-Vr, Vr-Vr, Vr -Vr-Vr, Vr7-Vr8 váltoók vektor kcs söget árnk be, kööttük ngon soros potív korrelácó. Amel vektorok köött 9 o köbeárt sög, ok váltoók korreláltlnok, de nem eltétlenül üggetlenek. E t jelent, hog nncs kööttük lneárs kpcsolt, vsont egéb üggvénkpcsolt lehetséges. Esetünkben például Vr és Vr vektorok köelítőleg merőlegesek Vr5 és Vr9 vektorokr, e lpján mondhtjuk, hog eek váltoók korreláltlnok egmássl. A Vr- Vr és Vr4 váltoók vektor köelítőleg 8 o -os söget árnk be egmássl, kööttük korrelácó értéke. A eges mérések ktor-koordnátá. ábrán láthtjuk. E sok normácót hordo, pl. legrobostusbb és egben össes köül legülkímélőbb űrés 9. sorsámú, legjosbb., mel eg köepesen robustus űrés, 4. sorsámú pedg csk eg ks hobbűrés, és mnmáls áltl kbocsátott jterhelés, és íg tovább.. táblát. A váltoók és ktorok köött korrelácó ktorsúlok

67 64 Horváth-Sovát E.. ábr. A váltoók ktor-koordnátá egségkörön ábráolv. ábr. A váltoók ktor-koordnátá ktorok síkjábn ábráolv.. A dtok elemése FA-vl A. táblátbn lévő sjátértékeket lpján ktort érdemes válstn db egnél ngobb sjátérték vn. A progrmcsomg áltl elkínált scree-test grkont s meg soktuk vsgáln tt hel hánábn nem kööljük, melnek könöke -s sjátértéknél láthtó, íg e lpján ktort válstnánk. A döntést lpján houk meg, hog vsgált során kpott vg ktor értelmehető jobbn. A vsgált dthlm esetében elemés lépésenek többéle vrácóját, lletve ktor, különböő orgtások kpróbáltunk. A ktorok értelmehetősége, lletve k gépéset smeretenk lpján kétktoros modell és vrm rotácó mellett döntöttünk. A kpott eredmén 5. táblátbn láthtó. A első ktor Vr-Vr-Vr, Vr7-Vr8, Vr-Vr lökettérogt, kétéle teljesítmén és kétéle vbrácós dt, vlmnt tömeg és ár váltoókkl ngon erős potív, Vr4 ordultsám lpjárton váltoóvl ngon erős negtív korrelácóbn vn. A másodk ktor Vr5-Vr6 és Vr9-Vr mmáls ordultsám, mmáls láncsebesség, vlmnt jsnt és hngteljesítménsnt

68 Láncűrések prméterenek össehsonlítás többváltoós sttstk módserevel 65 váltoókkl vsonlg soros potív korrelácóbn áll. Megjegeük, hog másodk ktor oslopábn Vr-nél lévő,6976 érték mjdnem elér több prossl kemelt,,7- nél ngobb értéket, íg et s gelembe vettük. Eek lpján követkeő módon neveük el ktorokt:. ktor: teljesítmén-ár ktor,. ktor: jterhelés ktor. A eges motorűréseknek ebben kétktoros rendserben lévő koordnátát 6. táblát muttj. Ebből leolvshtó, hog teljesítmén-ár ktor. ktor tekntetében legngobb koordnátávl 9. sorsámú, legksebbel 6. sorsámú motorűrés rendelkek. A. ktorkoordnáták jterhelést muttó ktor köül legngobb. motorűrés koordnátáj, legksebb pedg 4. sorsámúé. ehát FA során kpott eredmén össhngbn vn PCAvl kpott eredménnel.. táblát. Fktorsúlok kétktoros modell esetén, vrm rotácó 4. táblát. Fktorsúlok kétktoros modell esetén, vrm rotácó