Felsőbb Matematika Informatikusoknak D házi feladatok a Sztochasztika 2 részhez 2013 tavasz

Átírás

1 Felsőbb Matematika Informatikusoknak D hái feladatok a Stochastika réshe tavas Minden héten össesen egy pontot érnek a kitűött feladatok HF: (Beadási határidő: 4) HF Egy kétsemélyes internetes vetélkedő-játékban Pistike ellenfelét véletlenül sorsolják ki, így a ellenfél valósínűséggel kedő, valósínűséggel haladó, valósínűséggel pedig profi les A kisorsolt ellenféllel aután Pistike több menetet is lejátsik A egyes meneteket a kedők ellen valósínűséggel nyeri meg, a haladók ellen, a profik ellen pedig valósínűséggel Ha nem nyer, akkor vesít (döntetlen nincs) Pistike a első két menetet elvesítette a) Mi annak a valósínűsége, hogy a ellenfele profi? b) Milyen (a feladat sövegében ki nem mondott) feltevéssel éltünk a egyes menetek kimenetelét illetően? Megoldás: a) Jelöljük K-val at a eseményt, hogy Pistike ellenfele kedő, H-val at, hogy haladó, P-val at, hogy profi, V -vel pedig at, hogy Pistike a első két menetet elvesíti A Bayes tétel miatt P(P V) = = P(P)P(V P) P(K)P(V K)+P(H)P(V H)+P(P)P(V P) = ( ) + ( 8 ( ) ) ( + 8 ) = 8 8 = 8 6% b) At hasnláltuk ki, hogy a egyes menetek kimenetelei feltételesen függetlenek, feltéve, hogy ki a ellenfél, vagyis pl ( ) P(V K) = P({elsőt elvesíti} K) P({másodikat elvesíti} K) = Figyelem: a egyes menetek kimenetelei csak feltételesen függetlenek, anélkül nem, hisen (bárki kisámolhatja) HF: (Beadási határidő: 4) P(V) P({elsőt elvesíti}) P({másodikat elvesíti}) HF Egy sámítógépes programban egy véletlen, rekurív rutin fut: minden egyes résfolyamat egységnyi időt ves igénybe, ám een felül minden résfolyamat véletlen sámú, önmagával megegyeő al-folyamatot indít A így indított al-folyamatok sáma, vagy lehet, rendre p = p, p = és p = p valósínűséggel, a előményektől függetlenül Kedetben egyetlen gyökér folyamat fut, e alkotja egyedül a nulladik generációt A első generációt a gyökér által (követlenül) indított alfolyamatok alkotják, a második generációt a első generáció tagjai által indítottak, stb Jelölje Z k a k-adik generáció tagjainak a sámát (k =,,,), N pedig a program futása során induló résfolyamatok teljes sámát (vagyis N = k= Z k, ami egyben a program teljes futási ideje is) Válasoljuk meg a alábbi kérdéseket

2 I p = esetén, II p = 6 esetén: a) Mi Z generátorfüggvénye? b) Mennyi Z várható értéke? c) Mennyi a P(Z = ) valósínűség? d) Mennyi a valósínűsége annak, hogy a program előbb-utóbb lefut (vagyis hogy valamelyik generáció már üres)? e) Mennyi N várható értéke? f) Mi N generátorfüggvénye? Megoldás: BOCS, a feladat sajtóhibás Mivel senki se adta be, et csak most vettem ésre Perse a kell, hogy p +p +p = legyen, és e nem stimmel, Eért JAVÍTOTT VÁLTOZAT: p := p Eek után: i Z k elágaó folyamat Egylépéses utódsám-eloslása Ennek generátor-függvénye g() = p + +( p) = p+ +( p), várható P(X = i) p p értéke m = p + +( p) = p I p = -re g() = és m = a) g () = g(g()) = + ( + + ) ( ) b) EZ = m = ( ) 7 c) P(Z = ) = r ahol r = és r k+ = g(r k ) Esetünkben r = g() =, r = g( ) = 7, r 4 = g ( 7 4) 8 d) m <, vagyis a folyamat subkritikus, igy a kihalás (=lefutás) valósínűsége e) m <, vagyis a folyamat subkritikus, igy EN = = m f) N generátorfüggvénye, g N () a g N () = g)g N ()) egyenlet megoldása A átláthatóság kedvéért g N ()-t Y -nal jelölve Y = g(y), vagyis ( Y = + Y + ) 6 Y, ami egy másodfokú egyenlet Y -ra: Et megoldva 6 Y + ( ) Y + = Y = ± ( ) = ± 6 Hogy a két gyök köül a +-os vagy a -os a jó, at ki lehet találni pl abból, hogy = -ben minden generátorfüggvény kell hogy legyen, vagyis = ± 6 = ±, tehát a minusos megoldás a helyes: g N () = 6 II p = -ra g() = és m = 4 a) g () = g(g()) = + ( + + ) ( ) 6 6 6

3 b) EZ = m = ( 4 ) 76 c) P(Z = ) = r ahol r = és r k+ = g(r k ) Esetünkben r = g() =, 6 r = g( ) = 7, r 6 7 = g ( 7 7) 7 d) m >, vagyis a folyamat superkritikus, igy sámolni kell: a kihalás (=lefutás) valósínűsége a = g() egyenlet legkisebb nemnegatív megoldása Esetünkben = 6 + +, ami egy másodfokú egyenlet -re, megoldásai = (mint mindig) és =, vagyis a kihalás (=lefutás) valósínűsége e) m >, vagyis a folyamat superkritikus, igy EN = f) m >, vagyis a folyamat superkritikus így N poitív valósínűséggel végtelen A ilyen elfajult valváltoók generátorfüggvényéről nem beséltünk, úgyhogy inkább hagyjuk HF: (Beadási határidő: ) HF Egy internet-solgáltatónak 6 előfietője van Hétfőn este 8-kor minden előfiető a többiektől független véletlen sávsélesség-igénnyel lép fel, ami Mbit/s-ben mérve egyenletes eloslású a [; 4] intervallumon A solgáltatásban akkor les fennakadás, ha a igények össege túllépi a rendelkeésre álló 8 Mbit/s teljes sávsélességet a) A solgáltató a centrális határeloslás tétel segítségével próbálja megbecsülni annak a valósínűségét, hogy hétfő este 8-kor fennakadás les Legfeljebb mennyit fog a solgáltató tévedni a becsléssel a Berry-Esséen tétel serint? b) Adjunk becslést a fennakadás valósínűségére a Hoeffding-egyenlőtlenség segítségével Megoldás: Legyen X i a i-edik előfiető sávsélesség-igénye Mbit/s-ben mérve (i =,,n), n = 6, és S n = n i= X i a öss sávsélesség igény a) A CHT becslés hibája Berry-Esséen tétel serint legfeljebb Cδ nσ, aholc = 4748, σ a X i -k sórása és δ = E( X i EX i ) Esetünkben X i egyenletes [;4]-en, így m := EX i =, σ = 4 (képletgyűjteményből) és δ = f(x) x m dx = 4 4 x = = Össerakva: a CHT becslés hibája legfeljebb ( 4 ) = % b) A X i val-váltoók alsó és felső korlátjai a i = illetve b i = 4 minden i-re ES n = n m = 7, vagyis t = 8 válastással a Hoeffding-egyenlőtlenség serint ( ) ) t P(S n > ES n +t) exp n i= (b = exp ( 8 e, i a i ) 6 4 vagyis P(S n > 8) 4HF: (Beadási határidő: ) HF 4 A ábrán látható gráf egy diskrét idejű, időben homogén Markov lánc poitív valósínűségű egylépéses átmeneteit mutatja Ostályouk a állapotokat aserint, hogy melyik melyikkel érintkeik! Minden ostályról állapítsuk megy, hogy

4 árt-e vagy nyílt, lényeges-e vagy lényegtelen, vissatérő-e vagy átmeneti, mennyi a periódusa 4 6 ábra Markov lánc gráf-repreentációja (valósínűségek nélkül) Megoldás: A {} ostály nyílt, mert el lehet hagyni, tehát lényegtelen és átmeneti Periódusa (vagyis aperiodikus), mert lépésben vissa lehet térni A {,,4} ostály nyílt, mert el lehet hagyni, tehát lényegtelen és átmeneti Periódusa, mert vissatérni csak páros sok lépésben lehet A {,6} ostály árt, mert el nem lehet elhagyni, tehát (véges méretű ostályról lévén só) lényeges és vissatérő Periódusa (vagyis aperiodikus), mert akárhány lépésben vissa lehet térni HF 4 Egy sámítógépes program négy résfeladatból álló feladatokat old meg Minden időegység végén feljegyeük, hogy hanyadik résfeladaton dolgoik éppen ha pedig éppen üresjáratban vár egy új feladatra, akkor -t vagyis a program a,,,,4 állapotokban lehet A,, és 4 résfeladatokról a program mindig, a előményektől függetlenül valósínűséggel tud egy időegység alatt továbblépni a követkeő résfeladatra (úgy értve, hogy a 4 után a jön), a maradék valósínűséggel ugyanaon dolgoik tovább Ha a program a üresjáratban van, akkor minden időegység alatt valósínűséggel kap feladatot és ugrik a állapotba (a előményektől függetlenül), ellenkeő esetben marad üresjáratban Modelleük a program feljegyett állapotainak soroatát időben homogén Markov lánccal! a) Írjuk fel a P Markov átmenet-mátrixot b) Feltéve, hogy kedetben a program a állapotban van, mi a valósínűsége a 44 megfigyelés-soroatnak? (A kedőállapotot is feljegyeük) c) Feltéve, hogy a kedőállapot a, mi a valósínűsége, hogy időegység múlva a program éppen a -es résfeladaton dolgoik? d) Feltéve, hogy a kedőállapot a, mi a köelítő valósínűsége, hogy időegység után ismét a állapotban van a program? e) Hossú távon a idő hány sáalékát tölti a program üresjáratban? f) A programunk processor-igénye üresjáratban %, a,,, 4 résfeladatok végrehajtása során pedig rendre %, %, % illetve % mennyi a átlagos processor-terhelés hossú távon? Megoldás: 4

5 a) A n idő elteltével felvett állapotot jelöljük X n -nel A állapottér S = {,,,, 4} P sorait és oslopait ilyen sorrendbe írva P = b) P(X X = 44 X = ) = P P P P P P P 4 P 44 P 4 = = 8 64 c) A lehetséges utak a, a és a Eek valósínűségeit a előő pontbeli módon kisámolva és össeadva P(X = X = ) = P P P + P P P + P P P = + + d) A időegység elteltével kialakuló valósínűségeket köelítsük a Markov lánc stacionárius eloslásával! Ehhe a πp = π lineáris egyenletrendsert kell megoldani, ahol a π ötelemű sorvektor tartalmaa a stacionárius eloslást Átrendeés után (P T I)π T =, ahol I a -ös egységmátrixot, pedig a öt nullából álló oslopvektort jelöli A lineáris egyenletrendserek sokásos mátrix-jelölésével Et perse eliminációval oldjuk meg Egy sor kiesik, ahogy kell, és a végén (pl) a marad, hogy vagyis a egyenletrendser egyik megoldása a ( )T vektor A stacionárius eloslás ennek valósínűségi vektorrá normált váltoata (ahol a elemek össege ), vagyis π = ( Végül a feladat kérdésére a válas: ) P(X = X = ) π = e) A Markov láncunk véges állapotterű, irreducibilis és aperiodikus, eért a ergodtétel serint hossú távon a -s állapot bekövetkeési gyakorisága majdnem bitosan tart a stacionárius eloslás serinti valósínűséghe: lim n n #{k : i n és X k = } = π = 6% f) Legyen f : S R a processorigény (sáalékban sámolva) a állapot függvényében:, ha i =, ha i = f(i) =, ha i =,, ha i =, ha i = 4

6 ami helyett elég egy oslopvektort leírni: f = A ergodtétel serint f időátlaga majdnem bitosan tart a stacionárius eloslás serinti sokaságátlagho Sokféle különböő jelöléssel leírva ugyanat: n lim f(x k ) = fdπ = π i f(i) = πf = ( ) π π π π π 4 n n k= S i S = π +π +π +π +π 4 = = = 4 6 6