Felsőbb Matematika Informatikusoknak D házi feladatok a Sztochasztika 2 részhez 2012 tavasz
|
|
- György Barta
- 8 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Felsőbb Matematika Informatikusoknak D házi feladatok a Sztochasztika részhez tavasz Minden héten összesen egy pontot érnek a kitűzött feladatok..hf: (Beadási határidő:..4.) HF. A Műegyetem hallgatóinak a 8%-a fiú, %-a lány. A fiúknak %-a hosszú hajú, a lányoknak pedig 7%-a. Véletlenszerűen kiválasztva egy hosszú hajú műegyetemistát, mennyi a valószínűsége, hogy ő lány? Jelöljük H-val azt az eseményt, hogy egy véletlenül választott hallgató hosszú hajú, L-lel azt, hogy lány, F-fel, hogy fiú. A Bayes tétel miatt P(L)P(H L) P(L H) = P(L)P(H L)+P(F)P(H F) = = %. HF. Elgurítunk egy piros dobókockát, és a dobott számot X-szel jelöljük. Ezután elgurítunk X darab zöld dobókockát, és Y -nal jelöljük a zöld kockákkal dobott számok összegét. Mennyi Y várható értéke? Jelöljük m-mel egyetlen kockadobás eredményének várható értékét, vagyis m = 7. A teljes várható érték tétel szerint EY = = 6 P(X = k)e(y X = k) = k= [ 6 ] P(X = k) k k=.hf: (Beadási határidő:...) 6 P(X = k)[km] = k= m = m m = 7 7 = 49 4 =.5 HF. Egy szabályos dobókockával addig dobálunk, amíg ki nem jön egy hatos. Jelölje X az addig dobott számok összegét (az utolsónak dobott hatost nem beleértve). Számoljuk ki a.) X generátorfüggvényét, b.) X várható értékét, c.) X szórását. JelöljükN-nel a dobások számát, az utolsó6-ost nem beleértve, vagyisx Geom(p = ) (pesszimista). Így N generátorfüggvénye g 6 N(z) = p = (a szokásos q = p qz 6 5z jelöléssel). A keresett Y egy véletlen tagszámú összeg, éppen N taggal: X = N i= Y i, ahol Y,Y,... függetlenek és azonos eloszlásúak, mégpedig egyenletes eloszlásúak az {,,3,4,5} halmazon. (Figyelem: az Y i -k tényleg az {,,3,4,5} halmazon egyenletesek, és nem az{,,3,4,5,6}-on, mert azy i eloszlása egy kockadobás eredményének feltételes eloszlása azon feltétel mellett, hogy az eredmény nem 6-os.) Ezek szerint az Y i -k generátorfüggvénye így g Y (z) = z +z +z 3 +z 4 +z 5 5 = z z 6 5 z,
2 a.) a véletlen tagszámú összeg generátorfüggvénye g X = g n g Y, vagyis g X (z) = g N (g Y (z)) = 6 (z +z +z 3 +z 4 +z 5 ) =. 6 z z6 z b.) A várható értéket számolhatnánk a generátorfüggvény deriválásával is, de előadásról azt is tudjuk, hogy a véletlen tagszámú összegre EX = ENEY i. Esetünkben EN = = 5, EY p i = = 3, vagyis EX = 5 3 = 5. 5 c.) A szórást megintcsak számolhatnánk a generátorfüggvény deriváltjaiból, de előadásról azt is tudjuk, hogy D X = D N(EY i ) +END Y i. Esetünkben EN = 5, EY i = 3, továbbá az eloszlástáblázat szerint D N = q = 3 és D Y p i = 5 =. Így D X = = 8, DX = HF. Mócika, népes családjában, pilótajátékot szervez. A játék résztvevői nem túl kitartóak: minden egyes résztvevő addig próbál újabb és újabb résztvevőket beszervezni, amíg először kudarc nem éri (vagyis vissza nem utasítják), az első kudarc után viszont leáll. A kudarc valószínűsége pedig minden egyes beszervezési kísérletnél p, az előzményektől függetlenül. A játék első résztvevője Móricka, ő alkotja egyedül a nulladik generációt. Az első generációt a Móricka által (közvetlenül) beszervezettek alkotják, a második generációt az első generáció tagjai által beszervezettek, stb. Jelölje Z k a k-adik generáció tagjainak a számát (k =,,,...), N pedig a teljes játék össz-résztvevőszámát (vagyis N = k= Z k). Válaszoljuk meg az alábbi kérdéseket I. p = 3 esetén, II. p = 3 esetén: a.) Mi Z generátorfüggvénye? b.) Mennyi Z várható értéke? c.) Mennyi a P(Z 3 = ) valószínűség? d.) Mennyi a valószínűsége annak, hogy a játék előbb-utóbb elakad (vagyis hogy valamelyik generáció már üres)? e.) Mennyi N várható értéke? f.) Mi N generátorfüggvénye? Z k elágazó folyamat, amiben az egylépéses utódszám (X) vagyis az egy résztvevő által beszervezettek száma pesszimista geometriai eloszlású p paraméterrel: P(X = k) = q k p (k =,,...), ahol q = p. Ennek generátorfüggvénye g(z) = p, qz várható értéke m := EX =. p I. p = esetén m =, g(z) =. 3 3 z a.) g Z (z) = g(g(z)) = 3 3 z b.) EZ = m = 4 c.) P(Z 3 = ) = g(g(g())). Esetünkben g() =, 3 g() = 6, 3 7 g(6) = 4, vagyis 7 5 P(Z 3 = ) = 4. 5 d.) Mivel m <, az elágazó folyamat szubkritikus, ezért P(kihalás) =. e.) EN = k= EZ k = k= mk. Jelen esetben m <, ezért a sor felősszegezhető, EN = k= mk = =. m f.) Előadásról tudjuk, hogy a G = g N (z) generátorfüggvény eleget tesz a G = zg(g) egyenletnek, ahol g(z) még mindig az egylépéses utódszám generátorfüggvénye, vagyis g(z) = p. Meg kell tehát oldani a G = z egyenletet 3 z qg
3 G-re. Ez átszorzás és átrendezés után másodfokúra vezet: = qg G+pz, aminek a két megoldása G = ± 4pqz. Hogy a kettő közül melyik az igazi q generátorfüggvény, azt eldönthetjük pl. a generátorfüggvéyn azon alaptulajdonsága alapján, hogy g N () = P(N = ). Esetünkben N, mivel a játéknak Móricka személyében legalább egy résztvevője biztosan van, így g N () = P(N = ) =, aminek a két gyök közül a - -os tesz eleget. Vagyis 4 z 3 3 g N (z) =. II. p = esetén m =, g(z) =. 3 3 z a.) g Z (z) = g(g(z)) = 3 3 z b.) EZ = m = 4 c.) P(Z 3 = ) = g(g(g())). Esetünkben g() =, 3 g() = 3, 3 7 g(3) = 7, vagyis 7 5 P(Z 3 = ) = 7. 5 d.) A kihalás valószínűsége a z = g(z) egyenlet legkisebbik (nemnegatív) gyöke. (Mivel m >, az elágazó folyamat szuperkritikus, ezért előre tudjuk, hogy ez -nél kisebb. Azt is tudjuk előre, hogy z = gyök lesz, mert g() = minden generátorfüggvényre, de mi most nem ezt a gököt keressük.) Meg kell tehát oldani a z = egyenletet. Ez átszorzás és átrendezés után másodfokúra 3 z vezet: = z 3z+, aminek a gyökei és. A kihalás valószínűsége tehát ezek közül a kisebbik: P(kihalás) =. e.) EN = k= EZ k = k= mk. Jelen esetben m >, ezért a sor divergens, EN = k= k =. Ezt persze onnan is lehetett tudni, hogy m > miatt a folyamat szuperkritikus, vagyis pozitív valószínűséggel sose hal ki, vagyis pozitív valószínűséggel N =. f.) Mivel m >, a folyamat szuperkritikus, és pozitív valószínűséggel N =. Vagyis az N most elfajult, és nem is igazi val-változó. Ilyeneknek a generátorfüggvényéről nem beszéltünk, és ne is erőltessük. 3.HF: (Beadási határidő:..8.) HF 3. Legyen X,X,...,X n független, azonos Bernoulli eloszlású valószínűségi változók sorozata p = paraméterrel (vagyis P(X i = ) = p = P(X i = ) = ). Legyen n = 6 és S n = X +X + +X n (vagyis S n Bin(n = 6 ;p = )). a.) Ha valamilyen K (; 6 )-ra a P(S n < K) valószínűséget a centrális határeloszlás tétellel közelítjük, legfeljebb mekkora lehet a közelítás hibája a Berry-Esséen tétel szerint? (Vigyázat: a tétel legegyszerűbb formájában nulla várható értékű val.változókról szól, és a Bernoulli eloszlás nem ilyen.) (A Berry-Esséen tételben szereplő C konstans egy -es eredmény szerint választható C =.4784-nek.) b.) A Hoeffding-egyenlőtlenség segítségével keressünk olyan K korlátot, amire biztosan igaz, hogy P(S n K) 8. Nevezzük ezt a K korlátot K H -nak. c.) Közelítsük a P(S n K H ) valószínűséget a Cramer-tétel segítségével! Segítség: A p paraméterű Bernoulli eloszlás momentum-generáló függvénye M(λ) = p + pe λ, ebből a Cramer féle rátafüggvény 3 I(x) = xln ( p)x p ln p( x) x. 3
4 a.) A Berry-Esséen tétel szerint a normális közelítés hibája legfeljebb Cρ σ 3, ahol n C =.4784, n = 6, σ = D X i = és ρ = E( X i m 3 ), ahol m = EX i =, vagyis ρ = = + =. Összerakva: hiba ( )3 = = b.) A Hoeffding egyenlőtlenség szerint ( ) t P(S n ES n +t) exp n k= (b. k a k ) Esetünkben n = 6, ES n = np = 5 5, és mindegyik a k =, b k =. Legyen tehát K H = ES n +t = 5 5 +t és ( ) ( ) 8 t t = exp n k= (b = exp. k a k ) 6 ( ) Ez utóbbiból 8ln = t 6, vagyis t = 4 6 ln = ln Ezt visszaírva K H = 5+ ln c.) A Cramer tétel szerint P( S n n (a,b)) en inf a<x<bi(x). Célunk a P(S n > K H ) valószínűség becslése, tehát ezt először a fent alakúra kell írni: P(S n > K H ) = P( S n n > K H n ) = P(S n n (K H n, )), vagyis a Cramer tételt a = K H n , b = -vel alkalmazzuk. Ekkor a > m =, ezért inf a<x<bi(x) = I(a). Esetünkben I(x) = xln x / ln, x x amiből I(a) , és P(S n > K H ) e Vigyázat: aki menet közben meggondolatlanul kerekít, teljesen rossz eredményt kaphat. Pl. aki az a öt dőre módon a.5-re cseréli, az helyett -et kap végeredményül, ami nagyon nem mindegy. (Hát persze: P( Sn (.5, )) = > m) P(Sn. Az egész történet arról szól, hogy az átlag kis n n valószínűséggel, de eltérhet a várható értéktől.) De még ha valaki a heylett a.53 -tel számol, akkor is.5 8 -t kap végeredménynek, ami még mindig 5%-os hiba. Hát persze: nagyon nem mindeg, hogy az S n -nek a várható értékétől való eltérése 3, vagy : A Cramer tétel pont azt mondja, hogy kicsit jobban eltérni is sokkal valószínűtlenebb. 4.HF: (Beadási határidő:.3.6.) HF 4. Az. ábrán látható gráf egy diszkrét idejű, időben homogén Markov lánc pozitív valószínűségű egylépéses átmeneteit mutatja. Osztályozzuk az állapotokat aszerint, hogy melyik melyikkel érintkezik! Minden osztályról állapítsuk megy, hogy 4
5 zárt-e vagy nyílt, lényeges-e vagy lényegtelen, visszatérő-e vagy átmeneti, mennyi a periódusa ábra. Markov lánc gráf-reprezentációja (valószínűségek nélkül) osztály zártság lényegesség visszatérés periódus {} nyílt lényegtelen átmeneti, vagy nincs {; 3} nyílt lényegtelen átmeneti {4;5} zárt lényeges visszatérő, aperiodikus Édemes hangsúlyozni, hogy az {} egy tisztességes egyelemű osztály: önmagával definíció szerint minden állapot kommunkiál, még akkor is, ha pozitív lépésszámban nem lehet oda önmagából (sem) visszajutni. Másképp mondva: az i j reláció ( i kommunikál j-vel ) egy rendes ekvivalencia, és a belőle adódó osztályozásnak az állapottér minden elemét le kell fedni. Az más kérdés, hogy az {} osztály periódusa problémás: az üreshalmaz legnagyobb közös osztója, ami ízlés szerint lehet, vagy nem definiált. HF 4. John megfigyelései szerint reggelente, amikor Londonban munkába autózik, háromféle lehet az időjárás: esik, zuhog vagy szakad. Tapasztalata szerint egy nap időjárásából következtetni lehet a következő nap időjárására, az alábbi valószínűségi értelemben: P(holnap esik ma esik) = /, P(holnap szakad ma esik) = 6/, P(holnap esik ma szakad) = /, P(holnap szakad ma szakad) = 4/, P(holnap szakad ma zuhog) = 5/, P(holnap zuhog ma zuhog) = 4/. Jelöljük az időjárás állapotait számokkal: := esik, := zuhog, := szakad. Modellezzük John reggeli megfigyeléseinek sorozatát időben homogén Markov lánccal! a.) Írjuk fel a P Markov átmenet-mátrixot. (Vigyázat: a fenti átmenet-valószínűségek összevissza vannak megadva.) b.) Feltéve, hogy elsején esik, mi a valószínűsége a megfigyelés-sorozatnak (elsejével kezdve)? c.) Feltéve, hogy elsején esik, mi a valószínűsége, hogy harmadikán zuhog? d.) Feltéve, hogy elsején esik, mi a közelítő valószínűsége, hogy huszonkilencedikén zuhog? 5
6 e.) Hoszzú távon a reggelek hány százalékán zuhog? f.) Ha esik, John percet autózik dugóban, ám ha zuhog, akkor 3-at, ha szakad, akkor pedig 7-et. Napi átlagban hány percet tölt reggeli dugóban autózással hosszú távon? a.) A,, állapotokat rendre a mátrix.,. ill, 3. sorához és oszlopához rendelve..3.6 P = b.) P( X = ) = P P P P = =.5 c.) (P ) = (..3.6 ).3.4 = =.39.4 d.) A 8 nap elteltével kialakuló valószínűségeket közelítsük a Markov lánc stacionárius eloszlásával! Ehhez a πp = π lineáris egyenletrendszert kell megoldani, ahol a π háromelemű sorvektor tartalmazza a stacionárius eloszlást. Átrendezés után (P T I)π T =, ahol I a 3 3-as egységmátrixot, pedig a három nullából álló oszlopvektort jelöli. A lineáris egyenletrendszerek szokásos mátrix-jelölésével Ezt persze eliminációval oldjuk meg. Egy sor kiesik, ahogy kell, és a végén (pl.) az marad, hogy ( ), vagyis az egyenletrendzser egyik megoldása a ( ) T vektor. A stacionárius eloszlás ennek valószínűségi vektorrá normált változata (ahol az elemek összege ), vagyis π = ( 6 9 Végül a feladat kérdésére a válasz: ). P(X 9 = X = ) π = e.) A Markov láncunk véges állapotterű, irreducibilis és aperiodikus, ezért az ergodtétel szerint hosszú távon az -es állapot bekövetkezési gyakorisága majdnem biztosan tart a stacionárius eloszlás szerinti valószínűséghez: lim n n #{k : i n és X k = } = π = f.) Jelölje S = {;;} az állapotteret és legyen f : S R a dugóban töltött percek száma az állapot függvényében:, ha i = f(i) = 3, ha i =, 7, ha i = 6
7 ami helyett elég egy oszlopvektort leírni: f = 3. 7 Az ergodtétel szerint f időátlaga majdnem biztosan tart a stacionárius eloszlás szerinti sokaságátlaghoz. Sokféle különböző jelöléssel leírva ugyanazt: n lim f(x k ) = fdπ = π i f(i) = πf = ( ) π π π 3 n n k= S i S 7 = π +3π +7π = HF: (Beadási határidő:.3.3. Mivel cselesnek bizonyult, segítség után módosított határidő:.3..) HF 5. Egy lépcsőházban 3 villanykörte van folyamatosan felkapcsolva. Mindegyik kiég időnként, mégpedig exponenciális eloszlású véletlen idő elteltével, rátával. (Az időt években mérjük, vagyis a körték átlagosan egy évig bírják.) Szintén véletlen időközönként, szintén rátával arra jár a gondnok, és az összes kiégett körtét jóra cseréli. Jelölje X t a t-kor világító égők számát. X t folytonos idejű Markov lánc. a.) Írjuk fel X t infinitezimális generátorát! b.) Adjuk meg a folytonos idejű Markov lánc λ ráta-vektorát (vagyis az egyes állapotokból történő elugrás rátáit), és a beágyazott diszkrét idejű Markov lánc Q átmenetmátrixát! c.) Mi X t stacionárius eloszlása? d.) Hosszú távon az idő mekkora hányadában van a lépcsőházban töksötét (vagyis nem világít egy égő se)? e.) Egy működő villanykörte villanyszámlája időegységenként (évente) batka. Mennyi az összes égő egy évre eső átlagos villanyszámlája hosszú távon? f.) Feltéve, hogy t = -kor mindhárom égő működött, mi annak a valószínűsége, hogy t-kor is mind működik? Ezt elvileg mindenki ki tudja számolni, de megelégszem azzal, ha megadjátok ennek a függvénynek (P(X t = 3 X = 3)-nak) a határértékét és az ahhoz jövő fő hibatag nagyságrendjét. a.) Az állapottérs = {,,,3}, feleljen meg a,,,3 állapotoknak rendre a mátrix.,., 3., 4. sora és oszlopa. A generátor A = 3, 3 3 mert felfelé csak közvetlenül a 3 állapotba lehet ugrani, mindenhonnan rátával, lefelé viszont mindig csak egyszerre -et lehet ugrani, és a lefelé ugrás rátája arányos a működő égők számával: ha minden égő kiégésének rátája külön-külön, akkor két égő egyikének kiégési rátája. 7
8 b.) A generátor alapján λ = (33), Q = / / /3 /3. c.) A stacionárius eloszlás π = (π π π π 3 ) a πa = () egyenlet megoldása, vagyis A T π T =. A transzponálás nagyon fontos! Kiírva Ennek megoldása az ( ) vektor. (Megjegyzés: ezt számolás helyett onnan is lehet látni, hogy az A T mátrixnak minden sorösszege nulla. Vagyis ebben az A mátrixban tökvéletlenül nem csak a sorösszegek, hanem az oszlopösszegek is nullák, ezért tökvéletlenül nem csak jobboldali sajátvektor a konstans vektor a sajátértékhez, hanem baloldali is.) Ezt lenormálva π = ( ) d.) Az ergodtétel szerint az időátlag egyenlő a stacionárius eloszlás szerinti valószínűséggel, vagyis π =. 4 e.) Az f(i) = i függvény időátlagát kell számolni. Az ergodtétel szerint f időátlaga majdnem biztosan tart a stacionárius eloszlás szerinti sokaságátlaghoz. Sokféle különböző jelöléssel leírva ugyanazt: T lim f(x t )dt = n T S fdπ = π i f(i) = πf = ( ) π π π π 3 i S 3 = π +π +π +3π 3 =.5 f.) A határérték a stacionárius eloszlás szerinti valószínűség, vagyis π 3 =. Az 4 ehhez jövő korrekciós tagok conste ρit alakúak, ahol a ρ i -k a generátor nullától különböző (negatív) sajátérékei. ezek közül a főtag a legnagyobb sajátértékhez (vagyis: legkisebb abszolút értékű negatív sajátértékhez) tartozó. A konkrét esetben A sajátértékei,, 3 és 4, vagyis a legnagyobb negatívsajátérték a. Így P(X t = 3 x = 3) = P 33 (t) 4 +conste t. Megjegyzés: Ha a konkrét példát részletesen végigszámoljuk a P(t) = exp(ta) mátrix-exponenciális kiszámolásával, akkor kiderül, hogy a P 33 (t) elemben az e t fő korrekciós tag együtthatója véletlenül pont nulla, így a tényleges korrekció nagyságrendje a fenti egyszerű számolásból kijövőnél kisebb. A pontos t-idejű átmenetmátrix 6 6 P(t) = 4 +e t e 3t e 4t
9 6.HF: ( bónusz feladatsor + pontért. Beadási határidő:.3..) HF 6. 9-elemű mintát vettünk az X valószínűségi változóból, ami (optimista) geometriai eloszlású, számunkra ismeretlen p paraméterrel. Ezt kaptuk:,8,7,,6,5,6,7,4,3. Adjunk maximum likelyhood becslést p-re! A feladatot az is számolja rendesen végig, aki tudja, hogy mi fog kijönni. A feladatba hiba csúszott, mert a felsorolt minta nem 9, hanem -elemű :(. Úgyhogy -elemű mintával számolok. Legyen a szokásos jelöléssel q = p, a megfigyelt adatsor pedig x,x,...x n, és n =. A likelyhood-függvény L(p) = P(X = x,x = x,...x n = x n ) = n i= qxi p. Ennek a logaritmusa, a log-likelyhood-függvény [ n n ] l(p) = [(x i )logq +logp] = log( p) x i n +nlogp. i= Ennek, mint p függvényének keressük a maximumát, amihez megnézzük, hol nulla a deriváltja: := l (p) = n x i + n p p, amit megoldva p = i= n n i= x, i ez lesz a maximum likelyhood becslés. A konkrét példában p = i= = 58 =.7 Megjegyzés: Hát persze, p jelentése valószínűség, ennek a maximum likelyood becslése pedig a bekövetkezési gyakoriság, és esetünkben a siker -szer következett be 58 kísérletből. HF 6. Egy műszer hosszúságot mér µm-ben. A mérés hibájáról tudjuk, hogy normális eloszlású: hiba N(m,σ ), sőt a szórásnégyzet is ismert: σ =. A gyártó pedig azt állítja, hogy m =. Ennek ellenőrzésére 6 próbamérést végeztünk pontosan ismert hosszúságokon, és a következő hibákat kaptuk (µm-ben):.5;.7;.9;.4;.;.. Döntsünk 99%-os konfidenciaszinten (vagyis ε =.) arról a hipotézisről, hogy a gyártó igazat állít. Egymintás u-próbát végzünk kétoldali ellenhipotézissel. A nullhipotézis: H: m =. Az ellenhipotézis: H: m. A próbastatisztika A korlát, amivel ezt össze kellhasonlítani u = x µ.683 n = 6 =.9 σ K = Φ ( ε ) = Φ (.995) =.575 Döntés: u < K, ezért a nullhipotézist elfogadjuk. 9
Felsőbb Matematika Informatikusoknak D házi feladatok a Sztochasztika 2 részhez 2013 tavasz
Felsőbb Matematika Informatikusoknak D hái feladatok a Stochastika réshe tavas Minden héten össesen egy pontot érnek a kitűött feladatok HF: (Beadási határidő: 4) HF Egy kétsemélyes internetes vetélkedő-játékban
RészletesebbenFEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI
FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 3 III. VÉLETLEN VEKTOROK 1. A KÉTDIMENZIÓs VÉLETLEN VEKTOR Definíció: Az leképezést (kétdimenziós) véletlen vektornak nevezzük, ha Definíció:
RészletesebbenCHT& NSZT Hoeffding NET mom. stabilis. 2011. november 9.
CHT& NSZT Hoeffding NET mom. stabilis Becslések, határeloszlás tételek Székely Balázs 2011. november 9. CHT& NSZT Hoeffding NET mom. stabilis 1 CHT és NSZT 2 Hoeffding-egyenlőtlenség Alkalmazása: Beengedés
Részletesebben12. előadás - Markov-láncok I.
12. előadás - Markov-láncok I. 2016. november 21. 12. előadás 1 / 15 Markov-lánc - definíció Az X n, n N valószínűségi változók sorozatát diszkrét idejű sztochasztikus folyamatnak nevezzük. Legyen S R
RészletesebbenMarkov-láncok stacionárius eloszlása
Markov-láncok stacionárius eloszlása Adatbányászat és Keresés Csoport, MTA SZTAKI dms.sztaki.hu Kiss Tamás 2013. április 11. Tartalom Markov láncok definíciója, jellemzése Visszatérési idők Stacionárius
RészletesebbenMatematika A3 Valószínűségszámítás, 6. gyakorlat 2013/14. tavaszi félév
Matematika A3 Valószínűségszámítás, 6. gyakorlat 2013/14. tavaszi félév 1. A várható érték és a szórás transzformációja 1. Ha egy valószínűségi változóhoz hozzáadunk ötöt, mínusz ötöt, egy b konstanst,
Részletesebbenelőadás Diszkrét idejű tömegkiszolgálási modellek Poisson-folyamat Folytonos idejű Markov-láncok Folytonos idejű sorbanállás
13-14. előadás Diszkrét idejű tömegkiszolgálási modellek Poisson-folyamat Folytonos idejű Markov-láncok Folytonos idejű sorbanállás 2016. november 28. és december 5. 13-14. előadás 1 / 35 Bevezetés A diszkrét
RészletesebbenValószínűségi változók. Várható érték és szórás
Matematikai statisztika gyakorlat Valószínűségi változók. Várható érték és szórás Valószínűségi változók 2016. március 7-11. 1 / 13 Valószínűségi változók Legyen a (Ω, A, P) valószínűségi mező. Egy X :
Részletesebbenx, x R, x rögzített esetén esemény. : ( ) x Valószínűségi Változó: Feltételes valószínűség: Teljes valószínűség Tétele: Bayes Tétel:
Feltételes valószínűség: Teljes valószínűség Tétele: Bayes Tétel: Valószínűségi változó általános fogalma: A : R leképezést valószínűségi változónak nevezzük, ha : ( ) x, x R, x rögzített esetén esemény.
RészletesebbenKészítette: Fegyverneki Sándor
VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS Összefoglaló segédlet Készítette: Fegyverneki Sándor Miskolci Egyetem, 2001. i JELÖLÉSEK: N a természetes számok halmaza (pozitív egészek) R a valós számok halmaza R 2 {(x, y) x, y
RészletesebbenGazdasági matematika II. vizsgadolgozat megoldása, június 10
Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat megoldása, 204. június 0 A dolgozatírásnál íróeszközön kívül más segédeszköz nem használható. A dolgozat időtartama: 90 perc. Ha a dolgozat első részéből szerzett
RészletesebbenLegyen adott egy S diszkrét halmaz. Leggyakrabban S az egész számoknak egy halmaza, például S = {0, 1, 2,..., N}, {0, 1, 2,... }.
. Markov-láncok. Definíció és alapvető tulajdonságok Legyen adott egy S diszkrét halmaz. Leggyakrabban S az egész számoknak egy halmaza, például S = {0,,,..., N}, {0,,,... }.. definíció. S értékű valószínűségi
Részletesebben15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK
15 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 151 Lineáris egyenletrendszer, Gauss elimináció 1 Definíció Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az (1) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a
RészletesebbenBiomatematika 2 Orvosi biometria
Biomatematika 2 Orvosi biometria 2017.02.13. Populáció és minta jellemző adatai Hibaszámítás Valószínűség 1 Esemény Egy kísérlet vagy megfigyelés (vagy mérés) lehetséges eredményeinek összessége (halmaza)
RészletesebbenSztochasztikus folyamatok alapfogalmak
Matematikai Modellalkotás Szeminárium 2012. szeptember 4. 1 Folytonos idejű Markov láncok 2 3 4 1 Folytonos idejű Markov láncok 2 3 4 Folytonos idejű Markov láncok I Adott egy G = (V, E) gráf Folytonos
RészletesebbenFEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI
FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 10 X. SZIMULÁCIÓ 1. VÉLETLEN számok A véletlen számok fontos szerepet játszanak a véletlen helyzetek generálásában (pénzérme, dobókocka,
RészletesebbenFEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI
FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 4 IV. MINTA, ALAPsTATIsZTIKÁK 1. MATEMATIKAI statisztika A matematikai statisztika alapfeladatát nagy általánosságban a következőképpen
RészletesebbenFeladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz
Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Gazdasági matematika II tárgy gyakorlataihoz a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottnak tekintjük a nehezebb
RészletesebbenFeladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai 1.
Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai.). Feladat. Határozzuk meg az alábbi integrálokat: a) x x + dx d) xe x dx b) c)
Részletesebben[Biomatematika 2] Orvosi biometria
[Biomatematika 2] Orvosi biometria 2016.02.15. Esemény Egy kísérlet vagy megfigyelés (vagy mérés) lehetséges eredményeinek összessége (halmaza) alkotja az eseményteret. Esemény: az eseménytér részhalmazai.
Részletesebben0-49 pont: elégtelen, pont: elégséges, pont: közepes, pont: jó, pont: jeles
Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I. 2013. jan. 10. Név: Neptun kód: Idő: 180 perc Elm.: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. Fel. össz.: Össz.: Oszt.: Az elérhető pontszám 40 (elmélet) + 60 (feladatok)
RészletesebbenAbszolút folytonos valószín ségi változó (4. el adás)
Abszolút folytonos valószín ségi változó (4. el adás) Deníció (Abszolút folytonosság és s r ségfüggvény) Az X valószín ségi változó abszolút folytonos, ha van olyan f : R R függvény, melyre P(X t) = t
RészletesebbenGazdasági matematika II. vizsgadolgozat megoldása A csoport
Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat megoldása A csoport Definiálja az alábbi fogalmakat!. Egy eseménynek egy másik eseményre vonatkozó feltételes valószínűsége. ( pont) Az A esemény feltételes valószínűsége
RészletesebbenGazdasági matematika II. vizsgadolgozat, megoldással,
Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat, megoldással, levelező képzés Definiálja az alábbi fogalmakat! 1. Kvadratikus mátrix invertálhatósága és inverze. (4 pont) Egy A kvadratikus mátrixot invertálhatónak
RészletesebbenAlap-ötlet: Karl Friedrich Gauss ( ) valószínűségszámítási háttér: Andrej Markov ( )
Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Gépészmérnöki Kar Hidrodinamikai Rendszerek Tanszék, Budapest, Műegyetem rkp. 3. D ép. 334. Tel: 463-6-80 Fa: 463-30-9 http://www.vizgep.bme.hu Alap-ötlet:
RészletesebbenGazdasági matematika II. tanmenet
Gazdasági matematika II. tanmenet Mádi-Nagy Gergely A hivatkozásokban az alábbi tankönyvekre utalunk: T: Tóth Irén (szerk.): Operációkutatás I., Nemzeti Tankönyvkiadó 1987. Cs: Csernyák László (szerk.):
Részletesebben0,424 0,576. f) P (X 2 = 3) g) P (X 3 = 1) h) P (X 4 = 1 vagy 2 X 2 = 2) i) P (X 7 = 3, X 4 = 1, X 2 = 2 X 0 = 2) j) P (X 7 = 3, X 4 = 1, X 2 = 2)
Legyen adott a P átmenetvalószín ség mátrix és a ϕ 0 kezdeti eloszlás Kérdés, hogy miként lehetne meghatározni az egyes állapotokban való tartózkodás valószín ségét az n-edik lépés múlva Deniáljuk az n-lépéses
RészletesebbenValószínűségszámítás összefoglaló
Statisztikai módszerek BMEGEVGAT Készítette: Halász Gábor Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Gépészmérnöki Kar Hidrodinamikai Rendszerek Tanszék, Budapest, Műegyetem rkp. 3. D ép. 334. Tel:
RészletesebbenStatisztika - bevezetés Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc 1
Statisztika - bevezetés 00.04.05. Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc Bevezetés Véletlen jelenség fogalma jelenséget okok bizonyos rendszere hozza létre ha mindegyik figyelembe vehető egyértelmű leírás általában
RészletesebbenNagy számok törvényei Statisztikai mintavétel Várható érték becslése. Dr. Berta Miklós Fizika és Kémia Tanszék Széchenyi István Egyetem
agy számok törvényei Statisztikai mintavétel Várható érték becslése Dr. Berta Miklós Fizika és Kémia Tanszék Széchenyi István Egyetem A mérés mint statisztikai mintavétel A méréssel az eloszlásfüggvénnyel
Részletesebben36 0,3. Mo.: 36 0,19. Mo.: 36 0,14. Mo.: 32 = 0,9375 32 = 0,8125 32 = 0,40625. Mo.: 32 = 0,25
Valószínűségszámítás I. Kombinatorikus valószínűségszámítás. BKSS 4... Egy szabályos dobókockát feldobva mennyi annak a valószínűsége, hogy a -ost dobunk; 0. b legalább 5-öt dobunk; 0, c nem az -est dobjuk;
RészletesebbenMatematika A2 vizsga mgeoldása június 4.
Matematika A vizsga mgeoldása 03. június.. (a (3 pont Definiálja az f(x, y függvény határértékét az (x 0, y 0 helyen! Megoldás: Legyen D R, f : D R. Legyen az f(x, y függvény értelmezve az (x 0, y 0 pont
RészletesebbenMásodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek
Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek A másodfokú egyenlet grafikus megoldása Példa1. Ábrázold az f(x) = x + 1x + 16 függvényt, majd olvasd le az ábráról az alábbi egyenlet megoldását: x + 1x + 16 = 0.
Részletesebben1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás)
Matematika A2c gyakorlat Vegyészmérnöki, Biomérnöki, Környezetmérnöki szakok, 2017/18 ősz 1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás) 1. Valós vektorterek-e a következő
Részletesebben(Diszkrét idejű Markov-láncok állapotainak
(Diszkrét idejű Markov-láncok állapotainak osztályozása) March 21, 2019 Markov-láncok A Markov-láncok anaĺızise főként a folyamat lehetséges realizációi valószínűségeinek kiszámolásával foglalkozik. Ezekben
Részletesebbene (t µ) 2 f (t) = 1 F (t) = 1 Normális eloszlás negyedik centrális momentuma:
Normális eloszlás ξ valószínűségi változó normális eloszlású. ξ N ( µ, σ 2) Paraméterei: µ: várható érték, σ 2 : szórásnégyzet (µ tetszőleges, σ 2 tetszőleges pozitív valós szám) Normális eloszlás sűrűségfüggvénye:
RészletesebbenMatematika A3 Valószínűségszámítás, 5. gyakorlat 2013/14. tavaszi félév
Matematika A3 Valószínűségszámítás, 5. gyakorlat 013/14. tavaszi félév 1. Folytonos eloszlások Eloszlásfüggvény és sűrűségfüggvény Egy valószínűségi változó, illetve egy eloszlás eloszlásfüggvényének egy
RészletesebbenA maximum likelihood becslésről
A maximum likelihood becslésről Definíció Parametrikus becsléssel foglalkozunk. Adott egy modell, mellyel elképzeléseink szerint jól leírható a meghatározni kívánt rendszer. (A modell típusának és rendszámának
Részletesebben4. Az A és B események egymást kizáró eseményeknek vagy idegen (diszjunkt)eseményeknek nevezzük, ha AB=O
1. Mit nevezünk elemi eseménynek és eseménytérnek? A kísérlet lehetséges kimeneteleit elemi eseményeknek nevezzük. Az adott kísélethez tartozó elemi események halmazát eseménytérnek nevezzük, jele: X 2.
RészletesebbenMásodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek
Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek A másodfokú egyenlet grafikus megoldása Példa1. Ábrázold az f(x) = x 1x 16 függvényt, majd olvasd le az ábráról az alábbi egyenlet megoldását: x 1x 16 =. 1. lépés:
RészletesebbenA valószínűségszámítás elemei
A valószínűségszámítás elemei Kísérletsorozatban az esemény relatív gyakorisága: k/n, ahol k az esemény bekövetkezésének abszolút gyakorisága, n a kísérletek száma. Pl. Jelenség: kockadobás Megfigyelés:
RészletesebbenMatematika III. harmadik előadás
Matematika III. harmadik előadás Kézi Csaba Debreceni Egyetem, Műszaki Kar Debrecen, 2013/14 tanév, I. félév Kézi Csaba (DE) Matematika III. harmadik előadás 2013/14 tanév, I. félév 1 / 13 tétel Az y (x)
RészletesebbenFEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI
FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 8 VIII. REGREssZIÓ 1. A REGREssZIÓs EGYENEs Két valószínűségi változó kapcsolatának leírására az eddigiek alapján vagy egy numerikus
RészletesebbenHipotéziselmélet - paraméteres próbák. eloszlások. Matematikai statisztika Gazdaságinformatikus MSc szeptember 10. 1/58
u- t- Matematikai statisztika Gazdaságinformatikus MSc 2. előadás 2018. szeptember 10. 1/58 u- t- 2/58 eloszlás eloszlás m várható értékkel, σ szórással N(m, σ) Sűrűségfüggvénye: f (x) = 1 e (x m)2 2σ
Részletesebben9. Előadás. (9. előadás) Lineáris egyr.(3.), Sajátérték április / 35
9. Előadás (9. előadás) Lineáris egyr.(3.), Sajátérték 2019. április 24. 1 / 35 Portfólió-analízis Tegyük fel, hogy egy bank 4 különböző eszközbe fektet be (réz, búza, arany és kakaó). Az ügyfeleinek ezen
RészletesebbenA következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat.
Poisson folyamatok, exponenciális eloszlások Azt mondjuk, hogy a ξ valószínűségi változó Poisson eloszlású λ, 0 < λ
RészletesebbenFeladatok és megoldások a 8. hétre Építőkari Matematika A3
Feladatok és megoldások a 8. hétre Építőkari Matematika A3 1. Oldjuk meg a következő differenciálegyenlet rendszert: x + 2y 3x + 4y = 2 sin t 2x + y + 2x y = cos t. (1 2. Oldjuk meg a következő differenciálegyenlet
Részletesebben(Independence, dependence, random variables)
Két valószínűségi változó együttes vizsgálata Feltételes eloszlások Két diszkrét változó együttes eloszlása a lehetséges értékpárok és a hozzájuk tartozó valószínűségek (táblázat) Példa: Egy urna 3 fehér,
RészletesebbenFEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI
FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 2 II. A valószínűségi VÁLTOZÓ És JELLEMZÉsE 1. Valószínűségi VÁLTOZÓ Definíció: Az leképezést valószínűségi változónak nevezzük, ha
RészletesebbenEgyenletek, egyenlőtlenségek VII.
Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Magasabbfokú egyenletek: A 3, vagy annál nagyobb fokú egyenleteket magasabb fokú egyenleteknek nevezzük. Megjegyzés: Egy n - ed fokú egyenletnek legfeljebb n darab valós
Részletesebben2. A ξ valószín ségi változó eloszlásfüggvénye a következ : x 4 81 F (x) = x 4 ha 3 < x 0 különben
1 feladatsor 1 Egy dobozban 20 fehér golyó van Egy szabályos dobókockával dobunk, majd a következ t tesszük: ha a dobott szám 1,2 vagy 3, akkor tíz golyót cserélünk ki pirosra; ha a dobott szám 4 vagy
RészletesebbenLineáris algebra. (közgazdászoknak)
Lineáris algebra (közgazdászoknak) 10A103 FELADATOK A GYAKORLATRA (3.) 2018/2019. tavaszi félév Lineáris egyenletrendszerek 3.1. Feladat. Oldjuk meg az alábbi lineáris egyenletrendszereket Gauss-eliminációval
RészletesebbenGyakorló feladatok. Az alábbi feladatokon kívül a félév szemináriumi anyagát is nézzék át. Jó munkát! Gaál László
Gyakorló feladatok Az alábbi feladatokon kívül a félév szemináriumi anyagát is nézzék át. Jó munkát! Gaál László I/. A vizsgaidőszak második napján a hallgatók %-ának az E épületben, %-ának a D épületben,
RészletesebbenVillamosmérnök A4 11. hét Kétdimenziós normális eloszlás, cht - Megoldások
Villamosmérnök A 11. hét Kétdimenziós normális eloszlás, cht - Megoldások Kétdimenziós normális összefoglalás Egy kétdimenziós X, Y valószínűségi változó kovariancia mátrixa: VarX CovX, Y CovX, Y VarY
RészletesebbenVéletlen jelenség: okok rendszere hozza létre - nem ismerhetjük mind, ezért sztochasztikus.
Valószín ségelméleti és matematikai statisztikai alapfogalmak összefoglalása (Kemény Sándor - Deák András: Mérések tervezése és eredményeik értékelése, kivonat) Véletlen jelenség: okok rendszere hozza
Részletesebben6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének
6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük
RészletesebbenTantárgy kódja Meghirdetés féléve 3 Kreditpont 4 Összóraszám (elm+gyak) 2+2
Tantárgy neve Alkalmazott matematika II. Tantárgy kódja MT003 Meghirdetés féléve 3 Kreditpont 4 Összóraszám (elm+gyak) 2+2 Számonkérés módja gyakorlati jegy Előfeltétel (tantárgyi kód) MT002 Tantárgyfelelős
RészletesebbenLNM folytonos Az interpoláció Lagrange interpoláció. Lineáris algebra numerikus módszerei
Legkisebb négyzetek módszere, folytonos eset Folytonos eset Legyen f C[a, b]és h(x) = a 1 φ 1 (x) + a 2 φ 2 (x) +... + a n φ n (x). Ekkor tehát az n 2 F (a 1,..., a n ) = f a i φ i = = b a i=1 f (x) 2
Részletesebben(1 + (y ) 2 = f(x). Határozzuk meg a rúd alakját, ha a nyomaték eloszlás. (y ) 2 + 2yy = 0,
Feladatok az 5. hétre. Eredményekkel és kidolgozott megoldásokkal. Oldjuk meg az alábbi másodrend lineáris homogén d.e. - et, tudva, hogy egy megoldása az y = x! x y xy + y = 0.. Oldjuk meg a következ
RészletesebbenValószín ségszámítás és statisztika
Valószín ségszámítás és statisztika Informatika BSc, esti tagozat Backhausz Ágnes agnes@cs.elte.hu 2016/2017. tavaszi félév Bevezetés Célok: véletlen folyamatok modellezése; kísérletekb l, felmérésekb
Részletesebben11. Előadás. 11. előadás Bevezetés a lineáris programozásba
11. Előadás Gondolkodnivalók Sajátérték, Kvadratikus alak 1. Gondolkodnivaló Adjuk meg, hogy az alábbi A mátrixnak mely α értékekre lesz sajátértéke a 5. Ezen α-ák esetén határozzuk meg a 5 sajátértékhez
Részletesebben3. Lineáris differenciálegyenletek
3. Lineáris differenciálegyenletek A közönséges differenciálegyenletek két nagy csoportba oszthatók lineáris és nemlineáris egyenletek csoportjába. Ez a felbontás kicsit önkényesnek tűnhet, a megoldásra
RészletesebbenMATEMATIKA 2. dolgozat megoldása (A csoport)
MATEMATIKA. dolgozat megoldása (A csoport). Definiálja az alábbi fogalmakat: (egyváltozós) függvény folytonossága, differenciálhatósága, (többváltozós függvény) iránymenti deriváltja. (3x8 pont). Az f
RészletesebbenSorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
Sorozatok I. DEFINÍCIÓ: (Számsorozat) A számsorozat olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, értékkészlete a valós számok egy részhalmaza. Jelölés: (a n ), {a n }.
Részletesebben6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban?
6. Függvények I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? f x g x cos x h x x ( ) sin x (A) Az f és a h. (B) Mindhárom. (C) Csak az f.
Részletesebben4. A negatív binomiális eloszlás
1 / 7 2011.03.17. 14:27 Virtuális laboratóriumok > 10. Bernoulli kísérletek > 1 2 3 4 5 6 4. Alapelmélet Tételezzük fel, hogy a véletlen kísérletünk, amit végrehajtunk Bernoulli kísérleteknek egy X = (X
RészletesebbenMATEMATIKA HETI 5 ÓRA. IDŐPONT: 2009. június 8.
EURÓPAI ÉRETTSÉGI 2009 MATEMATIKA HETI 5 ÓRA IDŐPONT: 2009. június 8. A VIZSGA IDŐTARTAMA: 4 óra (240 perc) ENGEDÉLYEZETT SEGÉDESZKÖZÖK : Európai képletgyűjtemény Nem programozható, nem grafikus kalkulátor
RészletesebbenKabos: Statisztika II. t-próba 9.1. Ha ismert a doboz szórása de nem ismerjük a
Kabos: Statisztika II. t-próba 9.1 Egymintás z-próba Ha ismert a doboz szórása de nem ismerjük a doboz várhatóértékét, akkor a H 0 : a doboz várhatóértéke = egy rögzített érték hipotézisről úgy döntünk,
Részletesebben3. Egy szabályos dobókockával háromszor dobunk egymás után. Legyen A az az esemény, hogy
Valószínűségszámítás. zárthelyi dolgozat 009. október 5.. Egy osztályba 3-an járnak. Minden fizikaórán a a többi órától függetlenül a tanár kisorsol egy felelőt, véletlenszerűen, egyenletesen, azaz mindig
RészletesebbenMatematika 10 Másodfokú egyenletek. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < 2015. szeptember 27.
Matematika 10 Másodfokú egyenletek Juhász László matematika és fizika szakos középiskolai tanár > o < 2015. szeptember 27. copyright: c Juhász László Ennek a könyvnek a használatát szerzői jog védi. A
Részletesebbenegyenletesen, és c olyan színű golyót teszünk az urnába, amilyen színűt húztunk. Bizonyítsuk
Valószínűségszámítás 8. feladatsor 2015. november 26. 1. Bizonyítsuk be, hogy az alábbi folyamatok mindegyike martingál. a S n, Sn 2 n, Y n = t n 1+ 1 t 2 Sn, t Fn = σ S 1,..., S n, 0 < t < 1 rögzített,
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 9. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
RészletesebbenFüggvény határérték összefoglalás
Függvény határérték összefoglalás Függvény határértéke: Def: Függvény: egyértékű reláció. (Vagyis minden értelmezési tartománybeli elemhez, egyértelműen rendelünk hozzá egy elemet az értékkészletből. Vagyis
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA II 3 III NUmERIkUS SOROk 1 Alapvető DEFInÍCIÓ ÉS TÉTELEk Végtelen sor Az (1) kifejezést végtelen sornak nevezzük Az számok a végtelen sor tagjai Az, sorozat az (1) végtelen sor
RészletesebbenBiomatematika 15. Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar. Fodor János
Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar Biomatematikai és Számítástechnikai Tanszék Biomatematika 15. Nemparaméteres próbák Fodor János Copyright c Fodor.Janos@aotk.szie.hu Last Revision Date: November
RészletesebbenFüggvények december 6. Határozza meg a következő határértékeket! 1. Feladat: x 0 7x 15 x ) = lim. Megoldás: lim. 2. Feladat: lim.
Függvények 05. december 6. Határozza meg a következő határértékeket!. Feladat: ( + 7 5 ) ( + 7 5 ) ( + 0 ). Feladat: ( + 7 5 ) ( + 7 5 ) ( + 0) 3. Feladat: ( + 0 7 5 ) 4. Feladat: ( + 0 7 5 ) ( + 7 0 5
RészletesebbenOsztályozóvizsga követelményei
Osztályozóvizsga követelményei Képzés típusa: Tantárgy: Nyolcosztályos gimnázium Matematika Évfolyam: 12 Emelt óraszámú csoport Emelt szintű csoport Vizsga típusa: Írásbeli Követelmények, témakörök: Emelt
RészletesebbenStatisztika I. 4. előadás Mintavétel. Kóczy Á. László KGK-VMI. Minta Mintavétel Feladatok. http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1.
Statisztika I. 4. előadás Mintavétel http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1.htm Kóczy Á. László KGK-VMI koczy.laszlo@kgk.uni-obuda.hu Sokaság és minta Alap- és mintasokaság A mintasokaság az a részsokaság,
RészletesebbenAnalízis I. beugró vizsgakérdések
Analízis I. beugró vizsgakérdések Programtervező Informatikus szak 2008-2009. 2. félév Készítette: Szabó Zoltán SZZNACI.ELTE zotyo@bolyaimk.hu v1.7 Forrás: Dr. Weisz Ferenc: Prog. Mat. 2006-2007 definíciók
Részletesebben9. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 9. előadás Mátrix inverze, mátrixegyenlet
9. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 75. 84. oldal. Gondolkodnivalók Mátrix rangja 1. Gondolkodnivaló Határozzuk meg a p valós paraméter értékétől függően a következő mátrix rangját: p 3 1 2 2
RészletesebbenPróbaérettségi feladatsor_a NÉV: osztály Elért pont:
Próbaérettségi feladatsor_a NÉV: osztály Elért pont: I. rész A feladatsor 1 példából áll, a megoldásokkal maximum 30 pont szerezhető. A kidolgozásra 45 perc fordítható. 1. feladat Egy osztály tanulói a
RészletesebbenA fontosabb definíciók
A legfontosabb definíciókat jelöli. A fontosabb definíciók [Descartes szorzat] Az A és B halmazok Descartes szorzatán az A és B elemeiből képezett összes (a, b) a A, b B rendezett párok halmazát értjük,
RészletesebbenStatisztika I. 4. előadás Mintavétel. Kóczy Á. László KGK-VMI. Minta Mintavétel Feladatok. http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1.
Statisztika I. 4. előadás Mintavétel http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1.htm Kóczy Á. László KGK-VMI koczy.laszlo@kgk.uni-obuda.hu Sokaság és minta Alap- és mintasokaság A mintasokaság az a részsokaság,
Részletesebben10. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 10. előadás Sajátérték, Kvadaratikus alak
10. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 98. 108. oldal. Gondolkodnivalók Mátrix inverze 1. Gondolkodnivaló Igazoljuk, hogy invertálható trianguláris mátrixok inverze is trianguláris. Bizonyítás:
Részletesebben2. Hogyan számíthatjuk ki két komplex szám szorzatát, ha azok a+bi alakban, illetve trigonometrikus alakban vannak megadva?
= komolyabb bizonyítás (jeleshez) Ellenőrző kérdések 2006 ősz 1. Definiálja a komplex szám és műveleteinek fogalmát! 2. Hogyan számíthatjuk ki két komplex szám szorzatát, ha azok a+bi alakban, illetve
RészletesebbenElső zárthelyi dolgozat megoldásai biomatematikából * A verzió
Első zárthelyi dolgozat megoldásai biomatematikából * A verzió Elméleti kérdések: E. Mikor nevezünk egy gráfot gyengén és mikor erősen összefüggőnek? Adjon példát gyengén összefüggő de erősen nem összefüggő
RészletesebbenKísérlettervezés alapfogalmak
Kísérlettervezés alapfogalmak Rendszermodellezés Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Méréstechnika és Információs Rendszerek Tanszék Kísérlettervezés Cél: a modell paraméterezése a valóság alapján
Részletesebbeni p i p 0 p 1 p 2... i p i
. vizsga, 06--9, Feladatok és megoldások. (a) Adja meg az diszkrét eloszlás várható értékének a definícióját! i 0... p i p 0 p p... i p i (b) Tegyük fel, hogy a rigófészkekben található tojások X száma
RészletesebbenFeladatok és megoldások az 1. sorozat Építőkari Matematika A3
Feladatok és megoldások az 1. sorozat Építőkari Matematika A3 1. Tegyük fel, hogy A és B egymást kölcsönösen kizáró események, melyekre P{A} = 0.3 és P{B} = 0.. Mi a valószínűsége, hogy (a A vagy B bekövetkezik;
RészletesebbenGauss-Jordan módszer Legkisebb négyzetek módszere, egyenes LNM, polinom LNM, függvény. Lineáris algebra numerikus módszerei
A Gauss-Jordan elimináció, mátrixinvertálás Gauss-Jordan módszer Ugyanazzal a technikával, mint ahogy a k-adik oszlopban az a kk alatti elemeket kinulláztuk, a fölötte lévő elemeket is zérussá lehet tenni.
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval
RészletesebbenIpari matematika 2. gyakorlófeladatok
Ipari matematika. gyakorlófeladatok. december 5. A feladatok megoldása általában többféle úton is kiszámítató. Interpoláció a. Polinom-interpoláció segítségével adjunk közelítést sin π értékére a sin =,
Részletesebben11. gyakorlat megoldásai
11. gyakorlat megoldásai Lokális szélsőértékek F1. Határozzuk meg az alábbi kétváltozós függvények lokális szélsőértékeit! (a) f(x, y) = 4x 2 + 2xy + 5y 2 + 2, (b) f(x, y) = y 4 y + x 2 y + 2xy, (c) f(x,
Részletesebbenegyenlőtlenségnek kell teljesülnie.
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval
RészletesebbenMegoldások. ξ jelölje az első meghibásodásig eltelt időt. Akkor ξ N(6, 4; 2, 3) normális eloszlású P (ξ
Megoldások Harmadik fejezet gyakorlatai 3.. gyakorlat megoldása ξ jelölje az első meghibásodásig eltelt időt. Akkor ξ N(6, 4;, 3 normális eloszlású P (ξ 8 ξ 5 feltételes valószínűségét (.3. alapján számoljuk.
RészletesebbenGPK M1 (BME) Interpoláció / 16
Interpoláció Matematika M1 gépészmérnököknek 2017. március 13. GPK M1 (BME) Interpoláció 2017 1 / 16 Az interpoláció alapfeladata - Példa Tegyük fel, hogy egy ipari termék - pl. autó - előzetes konstrukciójának
RészletesebbenFüggvények július 13. Határozza meg a következ határértékeket! 1. Feladat: x 0 7x 15 x ) = lim. x 7 x 15 x ) = (2 + 0) = lim.
Függvények 205. július 3. Határozza meg a következ határértékeket!. Feladat: 2. Feladat: 3. Feladat: 4. Feladat: (2 + 7 5 ) (2 + 7 5 ) (2 + 0 ) (2 + 7 5 ) (2 + 7 5 ) (2 + 0) (2 + 0 7 5 ) (2 + 0 7 5 ) (2
RészletesebbenDiszkrét matematika I., 12. előadás Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach november 30.
1 Diszkrét matematika I, 12 előadás Dr Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@infnymehu http://infnymehu/ takach 2005 november 30 Vektorok Definíció Egy tetszőleges n pozitív egész számra n-komponensű
RészletesebbenFeladatok és megoldások a 6. heti eladshoz
Feladatok és megoldások a 6. heti eladshoz Építőkari Matematika A3 1. Ha E(X = 1 és D 2 (X = 5, határozzuk meg (a E[(2 + X 2 ], (b D 2 (4 + 3X értékét. 2. Legyenek X 1, X 2,... független azonos eloszlású
RészletesebbenMÉRÉSI EREDMÉNYEK PONTOSSÁGA, A HIBASZÁMÍTÁS ELEMEI
MÉRÉSI EREDMÉYEK POTOSSÁGA, A HIBASZÁMÍTÁS ELEMEI. A mérési eredmény megadása A mérés során kapott értékek eltérnek a mérendő fizikai mennyiség valódi értékétől. Alapvetően kétféle mérési hibát különböztetünk
Részletesebben