A motiválás lehetőségei az algebra tanításában

Átírás

1 A motválás lehetősége lger tnításán Skolgot Késítette: Sár Csenge Mtemtk Bs, tnár skrány Témveető: Somf Zsus ELTE TTK Mtemtktnítás és Mósertn Köpont Eötvös Lorán Tuományegyetem Termésettuomány Kr Bupest, 00

2 Trtlomjegyék Beveetés... Motválás Motválás nélkül nns tnulás Komplex sámok.... Komplex sámok eveetése köépskolán..... Komplex sám foglm Műveletek komplex sámokkl Komplex sámok tuljonság Komplex sámok áttekntése más megköelítéssel..... A geometr jelentés..... A komplex sámsík..... Műveletek komplex sámokkl Komplex sámok trgonometrkus lkj Feltok Egy köépskol geometr felt semléltetése Feltok lger I. gykorltról Össegés Kösönetnylvánítás... 4 Irolomjegyék... 5

3 Beveetés Amkor skolgot témámt válstottm, követkeő sempontokt vettem fgyeleme. Amről írn seretnék, olyn mtemtk témkört foglljon mgá, mt serettem tnuln egyetemen; vlmnt kpsolójon tnár skrányho. Így esett válstásom motválás mtemtkán ímre, melyet tán lesűkítettem lger témkörére. Skolgotomn rr kérésre keresem válsokt, hogy mlyen móon lehet eveetn egy - köépskolán nem tgllt- új témkört skkör fogllkoáson. Aért hngsúlyoom, hogy nem tnórán esk só új nygrésről, mert mnvégg feltételeem, hogy olyn gyerekek motválásáról vn só, kk éreklőnek mtemtk ránt. E ért ngyon fontos, mert ngyrést mtemtk esköevel próálom motválás lehetőséget emuttn, és sk kse résen pshológávl. E utó termésetesen ngyon fontos, e skolgotomn terjeelm okok mtt, nns lehetőségem őveen ktérn rá. A egyetem lger tnnyg ngyon séles skálán moog, melynek sk egy seletét, komplex sámok témkörét fogom körüljárn. Een elül s komplex sámok rekt, lletve geometr eveetésével fogllkoom. Utót ért trtom ngyon fontosnk, mert már köépskolán fel kell hívnunk ákok fgyelmét mtemtk különöő területe köött össefüggésekre. Jó h látják, hogy ngyon hsnos mt tnulnk, mert e s egyfjt motváó lehet sámukr.

4 Motválás Motválás nélkül nns tnulás. A tnulás motválás nem más, mnt egy kívántos élállpot elérésére vló késtetés, rányítás, koornálás tnuló tnulás tevékenységére vló östönése éljáól. Vgys tnár munk legfontos felt tnulók sámár legmegfelelő motváós segítség nyújtás, vlmnt tuás htékony követítése. Et különöő esköökkel érhetk el pegógusok. Elősör néük meg tnítás óráho fűőő motváós tényeőket, melyek tnórák serveés formán rejlő motválást jelentk, m össefüggésen vn tnuló ktvtássl. E ltt t értem, hogy tnítás megfelelő mnőségével és eől követkeő ereményes tnulássl lehet motváln tnulót. Vgys: - mgánk tnnygnk kell ktváló tényeőnek lenne; - éremes lklmn soportmunkát és önálló munkát, mert eek megserveése tö lehetőséget tnulók önállóságánk, keeményeőkésségének kontkoásár, mely lkotó ktvtás, kretvtás krtérum; - mvel gonolkoás ktvtás olyn feltokkl kpsoltn ére fel tnulókn, melyeket nem lehet áltluk g megsmert móokon megoln - gényük les felt megolásáho veető utk megsmerésére, eért éremes mnél tö olyn feltot feln órán, melyen új gonoltok mentén hlv lehet megoln okt; - fontos tényeő prolém ránt éreklőés felkeltése, melynek lényege, hogy tnulókt stuáó trtlm oll érekelje; - tnítás órán ngyon fontos serepe vn optmáls, komplex értékelésnek, vlmnt folymtos vssjeléseknek, melyek segíthetk ákokt n, hogy meg tuják állpítn, hol trtnk tnnygn (optmáls értékelés: ngyo sámn trtlm potív vssjelést, e nem árj k negtív vssjelést; komplex értékelés: tuás, mgtrtás, semélység értékelése együttesen); - továá ngy jelentősége vn tnítás ór légkörének, tnár-ák vsony jellegének. Réthy Enréné: Motváó, tnulás, tnítás Mért tnulunk jól vgy rossul?, Nemetkö tnkönyvkó, Bupest, 00 Réthy Enréné: Motváó, tnulás, tnítás Mért tnulunk jól vgy rossul?, Nemetkö tnkönyvkó, Bupest, 00 (80.o.) 4

5 H eek lpvető tényeők meg vnnk egy órán, kkor tnár elérhet élját, mely nem más, mnt hogy felkeltse tnulók éreklőését és et állpotot folymtosn éren tuj trtn; fejlesse folymtos tnulás gényének klkulását; és segítsen leküen tnulás ellen htó tényeőket. Eek áltl tnár és ák köt létre jöhet ktív együttműköés, mely köös munk htékonyságánk lpvető pllére. Skolgotom sempontjáól, onn hngsúlyos serephe jut tnnyg áltl östönés, melynek fő elvárás követkeők: - feltok struktúráj legyen váltotos, jól követhető, férjen ele ór- és tnterv keretée, vlmnt nehéség fok ott soportnk megfelelő legyen; - fontos tnnyg vonerejének kknáás, tém prolémásítás, prolémstuáók terveése; - jelentős hngsúlyt kell fektetn tnulnó smeretek hsnosságánk, hsnálhtóságánk tutosításár; - vlmnt órár vló felkésüléskor sám kell venn várhtó tnulás-tnítás nehéségeket. A fent említett pontokól látsk, hogy tnároknk ngyon felkésültnek kell lennük, mn pshológ-pegóg, mn skm sempontól. Ahho, hogy teljes képet kpjunk motválás és motváltság köt kpsoltról, meg kell említenem t s, hogy tnulásr vló motválás nem sk tnár felt. A köös munk, m áltl létre tu jönn htékony tnulás. Vgys áknk s ugynolyn kemény munk e, hsen tnulás egy olyn önsályoó folymt, melyet tnuló sját mg htáro meg. A tnuló mg lkítj k sját motváós struktúráját és tt jön képe tnár segítség jelentősége, mert motváós renser lkításán gyereket motválássl kell segítene pegógusnk. Pshológlg fontos tényeő tnítás-tnulás folymtn külső motváó ránynk fokotos eltolóás első motváó felé. E folymt önsályoó nterkókon kerestül vlósul meg. A önsályoott tnulás lényege, hogy tnuló önmgát motválj, és tnulás tevékenységet önmg vég. Hsen első motváó jelentősége éppen, mt tnul, s ősntén éreklők ránt. Eekől nformáókól t végső követketetést vonhtjuk le, hogy megfelelő htékonyságú tnulás elengehetetlen esköe motválás, melyől követkek, hogy tnulás teljesítmény és motváó egymássl kölsönhtásn vn. Réthy Enréné Dr.: Motváó tnítás órán, Tnkönyvkó, Bupest, 978 (.o.) 5

6 Komplex sámok 4. Komplex sámok eveetése köépskolán Fontos pegóg követelmény, hogy új tnnyg felolgoását megelőe prolémáól vló knulás. Esetünken e követkeő: egy köépskol skkör soportn, másofokú egyenletek tárgyláskor felmerülhet kérés, hogy vjon létek-e olyn sámhlm, melyen mnen másofokú egyenletnek vn gyöke. Hsen tujuk, hogy nem mnen másofokú egyenletnek vn megolás vlós sámhlmon. Néük x egyenletet. Tujuk, hogy ennek vlós sámok köréen nns megolás. Ekkor t monhtjuk ákoknk, hogy létek egy olyn sámhlm, melyen vn megolás ennek egyenletnek. E nem más, mnt vlós sámkör olyn ővítése, melyen negtív sámokól vló négyetgyökvonás s értelmehető. Így építhető fel köépskolán komplex sámok hlm. H követkeőken leírt móon eveetjük és értelmeük sámot, ttól keve létek negtív sám négyetgyöke. Így már tuják tnulók, hogy h komplex sámok hlmán olnk meg egy másofokú egyenletet, nnk kkor s vn gyöke, h skrmnáns negtív. Ennek törekvésnek jegyéen néük újr x egyenletet. Most már megtehetjük, hogy mnkét ollól négyetgyököt vonunk. Ekkor x megolást kpjuk. A -et neveük el -nek ( ), vgys x. Innentől keve -t mng k tujuk emeln, h negtív sámól vonunk gyököt. A komplex sámok hlmánk felépítésekor rr töreksünk, hogy vlós sámok kpsán megsmert művelet tuljonságok, onosságok és össefüggések ne váltonk ővítéssel. Tehát élunk, hogy őveen értelmeett foglom (komplex sámok hlm) mnél nká megőre sűke foglomrenser (vlós sámok hlm) tuljonságt. Et mtemtkán permnen elvnek (állnóság elv) nevek. 4 Báry Brnás: Alger II., Műsk Könyvkó, Bupest, 9 (5-0.o.) Sárköy Anrás: Komplex sámok péltár, Műsk Könyvkó, Bupest, 97 Kss Eml: Beveetés lgerá, Typotex, Bupest, 007 Alger I. lpsnt, előás jegyet, 007

7 .. Komplex sám foglm A sámfoglom egés emerség történelme során fejlőött. A XVI. sán ols mtemtkusok hrmfokú egyenlet megolásávl kpsoltn vetették fel, hogy éremes vlós sámok foglmát tová ővíten. Bomell 57-en megjelent könyvéen jvsolt, hogy negtív sámok négyetgyökét s tekntsék sámnk. Eeket sámokt elnevete képetes sámoknk. A képetes sámokt ( új sámokt ) sk XVIII. sán értelmete kfogástlnul Guss. A ő munkásság révén terjet el komplex sám foglm. Defníó: A vlós sámok, lkú formáls kfejeéseket komplex sámoknk neveük, hol és. Jele: C R,. Másképpen foglmv, okt sámokt, melyek vlós és képetes résől állnk, komplex sámoknk neveük. A komplex sámokt áltlán,, u C-vel jelöljük, továá felírhtók lkn, hol Re() vlós rése, és Im() képetes rése. Továá két komplex sám kkor és sk kkor egyenlő, h vlós és képetes rések különkülön megegyenek, vgys,, hol,,, R... Műveletek komplex sámokkl Defníó: A komplex sám konjugáltj komplex sám. Vgys h két komplex sám sk képetes résük előjeléen tér el egymástól, kkor konjugált komplex sámpárt lkotnk. Állítás: Legyenek és tetsőleges komplex sámok. Ekkor követkeő tuljonságok teljesülnek:. jekó C-ől C-e

8 5. Re. R R, Állítás: Legyenek és tetsőleges komplex sámok, melyekkel követkeő műveleteket végehetők el:. Össeás:. Kvonás:. Sorás: '' 4. Ellentett: 5. Ostás: Néük meg résleteseen ostást! Legyen, és u x y. Komplex sám ostás vlós sámml: Állítás: A komplex sámot tujuk nem null vlós sámml ostn. Bonyítás: A ostás efníójáól követkek, hogy u u u x y x y. Két komplex sám kkor és sk kkor egyenlő, h képetes és vlós rések megegyenek, vgys x x y y. 8

9 Tehát komplex sámot úgy ostok vlós sámml, hogy komplex sám vlós és képetes rését s elostom vele. Komplex sám ostás komplex sámml: Már tuunk komplex sámokt össen, kvonn, soron és vlóssl ostn. Célunk tehát, hogy eg lklmott össefüggésekre támskov jussunk el két komplex sám ostáság. Vgys sorás műveletét felhsnálv lk felírásár kell törekenünk. Csnáljunk reprokot! A reprokkl vló sorássl t seretnénk elérn, hogy átlkítás végén sk vlós sámml kelljen ostn., hol Vgys neveő konjugáltjávl ővítettük törtet. R\0., hol neveő vlós sám. Tehát komplex sámot komplex sámml úgy ostunk, hogy neveő konjugáltjávl ővítjük törtet. Így vssveetjük ostást vlós sámml vló ostásr... Komplex sámok tuljonság Állítás: Tetsőleges,, u C sámokr érvényesek lák:. A össeás kommuttív:. A össeás ssotív: u u. Létek nullelem: 0 0 mnen esetén 4. Létek ellentett: mnen -nek létek ellentettje, olyn, melyre 0 5. A sorás kommuttív: 9

10 . A sorás ssotív: u u 7. Létek egységelem: létek C, hogy mnen esetén 8. Létek nver: mnen nullától különöő komplex sámnk létek nvere, hogy,. 9. Dstrutvtás: u u u u u Defníó: Komplex sám solút értéke C. nemnegtív vlós sám, Állítás: Legyenek és komplex sámok. Ekkor lletve solút értékére követkeő tuljonságok teljesülnek:. 0 R háromsög-egyenlőtlenség (onyítás késő) 0

11 . Komplex sámok áttekntése más megköelítéssel A komplex sámokt - előő fejeeten tárgylt mónál- sokkl semléleteseen s emutthtjuk elképelt skkör soportn. E nem más, mnt komplex sámok geometr semléltetése, vlmnt trgonometrkus lk eveetése. Feltételeük, hogy köépskolás ákok megfelelő lpsmeretekkel renelkenek vektorokt, trgonometrát, és síkgeometrát lletően, hsen mnegyk témkör kerettnterv rése. A már meglévő smeretekre peg könnyeen lehet felépíten újt... A geometr jelentés At már - előő fejeeten tnultk lpján- tuják tnulók, hogy komplex sámhlm vlós sámkör ővítése. Eől knulv rá tujuk veetn ákokt rr, hogyn/hol áráoljuk komplex sámokt. Hsen h vlós sámokt sámegyenesen, kkor feltehetjük kérést, hogy komplex sámokt, vjon mlyen renseren áráoljuk. H még t s hoávessük mnehhe, hogy komplex sámok vlós és képetes résől állnk, kkor tnulók megsejthetk, hogy sámpár(ok)t kell áráolnuk. Sámpárokt peg sámsíkon áráolunk. Een nformáók lpján, komplex sámsíkot vlós sámegyenes ővítéseként s értelmehetjük új sámok geometr semléltetésének eveetésekor... A komplex sámsík A komplex sámsíkot másképpen Guss-féle sámsíknk neveük. Egy eréksögű koornátrenser segítségével áráoljuk komplex sámokt, melynek orgój megegyek vlós sámegyenes 0 pontjávl. Továá x-tengelye vlós tengelynek, y- tengelye peg képetes tengelynek fele meg. A x-tengelyen ott komplex sám vlós rését, y-tengelyen ennek tstán képetes rését áráoljuk. Vgys C sámnk, R koornátájú pontot feletetjük meg. E megfeleltetés jektív, vgys mnen komplex sámnk komplex sámsík egyetlen pontj felel meg és forítv. A komplex sámok hlm teljesen ktölt sík pontjt. H komplex sám vlós rése 0, kkor sk képetes tengelyen mogunk, h peg képetes rése 0, kkor ennek megfelelően sk vlós tengelyen.

12 H komplex sámnk megfeleltetett pontot elneveük Z-nek, orgót peg O- vl jejöljük, kkor komplex sám egyértelműen meghtó OZ vektorrl, mert sík pontj és komplex sámok köött kölsönösen egyértelmű megfeleltetés vn. Hsen pontok egyértelműen megják komplex sámokt, OZ vektor peg Z pont muttó helyvektor, m egyértelműen egy komplex sámnk felel meg. Egy ott komplex sámot peg egyértelműen tuunk áráoln síkon. Így Z pontho egy ott helyvektor trtok OZ. Eekől követkek, hogy komplex sámot meghtjuk nek megfelelő Z ponttl, vlmnt OZ vektorrl. E kettő geometr megás komplex sámoknk..ár.. Műveletek komplex sámokkl A előő fejeet felépítését követve, most áttekntjuk komplex sámok köt műveletek geometr jelentését. Elősör néük meg konjugált foglmát. Legyen, ekkor. A lger lkól látsk, hogy két sám sk képetes résüken tér el egymástól. Vgys -t tükröve vlós tengelyre, megkpjuk -t, hsen képetes rések ellentettjek egymásnk.

13 .ár Vektorok össegét és különségét prllelogrmm-sály lklmásávl sámítják k köépskolán ákok. Ennek smeretéen komplex sámok geometr úton történő össeás és kvonás jól nterpretálhtó elképelt skkör soportn. A sorásr és ostásr mj trgonometrkus lk tárgylásánál térek k.. Össeás: Legyenek és komplex sámokho trtoó vektorok OZ és OW, een vektorok vektorössege peg OV vektor. Két vektort úgy unk össe, hogy két O pontól knuló vektort kegésítjük prllelogrmmává. A két vektor össege ( OV ) peg nem más, mnt prllelogrmm O pontól knuló átlójáho trtoó V-e muttó vektor. Vgys komplex sámok geometr móon történő össeás megegyek vektorösseássl..ár

14 At s megfgyelhetjük, hogy össeás geometr értelemen eltolást jelent, mert két komplex sám össeáskor vlós réseket, vlmnt képetes réseket juk össe egymássl. Re Im Re Re Z Im Im. Kvonás: A össeásho hsonlón, kvonást s vektorokkl juk meg. A komplex sámho trtoó OZ, és komplex sámho trtoó OW vektorok különsége kegésített prllelogrmm on átlój, mely W-ől Z-e mutt. 4.ár Re Im Re Re Im Im A kvonás geometr jelentése sntén eltolás, hsen een eseten két komplex sám vlós rését, lletve képete rését vonjuk k egymásól. 4

15 ..4 Komplex sámok trgonometrkus lkj Látn fogjuk tt s, hogy köépskol smeretek (pl.: trgonometrkus onosságok és íós tételek) elegenőek hho, hogy tnulók fel tuják írn komplex sámok trgonometrkus lkját. A komplex sámokt 5. árávl semléltetve láthtóvá válk, hogy eréksögű háromsögre vontkoó ollk és sögek köt össefüggések segítségével htárouk meg trgonometrkus lkot. 5.ár Jól láthtó 5. áráól, hogy mnen nem null helyvektort egyértelműen meghtáro hoss ( végpontjánk orgótól mért távolság), vlmnt vlós tengellyel eárt söge ( tengely potív felétől mérve). E rányított sög. Tujuk, hogy egy vektor hoss megegyek solút értékével. A vektor solút értékének efníój sernt, OZ vektor solút értéke egyenlő nek megfeleltetett, R koornáták négyetössegéől vont négyetgyökkel. Tehát komplex sámho trtoó OZ vektor hoss nem más, mnt r. Een komplex sám sögét - más néven rgumentumát- peg rg( ) -vl jelöljük. A 5. áráól leolvshtók eréksögű háromsög oll és söge köt össefüggések (trgonometrkus onosságok), mégpeg r os és r sn. 5 Defníó: A trgonometrkus lkj r os r sn r os sn. r 5 os, vlmnt sn r 5

16 A komplex sámokkl vló műveletek geometr úton történő emuttás során elmrt sorás, és ostás leveetése. Et most pótolom trgonometrkus lk segítségével.. Sorás: Állítás: Legyen r os sn és s os sn. Ekkor két sám sort r s os sn Bonyítás: r os sn s os sn Mnen tgot mnen tggl megsorov, követkeőt kpjuk: r s r s os os os sn sn os sn sn os os sn sn os sn sn os A íós képleteket khsnálv ók, hogy sn r s os. Tehát két komplex sám soráskor solút értékük össesorók, sögek peg össeónk. Ennek geometr vontkoás s vn. Mégpeg, hogy os sn 0 r komplex sámml vló sorás orgó körül, α sögű forgtás, és orgóól történő r-seresre nyújtás, vgys forgtv nyújtás..ár Aíós tételek: os os sn sn os os sn sn os sn, vlmnt

17 . Ostás: Állítás: Legyen r os sn és s os sn r s. hányos os sn komplex sámok Bonyítás: Tujuk, hogy komplex sámok ostásánál neveő konjugáltjávl ővítjük törtet. A konjugált trgonometrkus lkj peg s os sn s os sn s os s sn A ostás trgonometrkus lkn felírv: 8 os os r os sn s os sn r s r s. os sn os sn os sn 7 os sn os sn os sn sn os sn sn r r os os sn sn sn os sn os os sn. s s Tehát ostáskor két komplex sám solút értékét elostjuk, sögeket peg kvonjuk egymásól.. Htványoás: A sorás követkeményeként htványoást s fel tujuk írn. Egy komplex sám n-ek htvány t jelent, hogy -t n-ser vessük sorótényeőül. n n Legyen r os sn, ekkor... r os n sn n. 7 os os, sn sn os sn os sn os sn os sn os sn 8 Aíós tételek: os os sn sn os, vlmnt sn os sn os sn 7

18 Eől jól láthtó, hogy solút értékét n-ek ktevőre emeltük, sögét peg megsorotuk n-nel. Et Movre-képletnek neveük. A htványoás geometr jelentése peg egy smételt forgtv nyújtás. Een smeretek tükréen seretnék emuttn egy köépskol geometr feltot, melyet komplex sámok segítségével s megolok, vlmnt olyn egyetem pélákt, melyekkel lger I. gykorlt órák során fogllkotunk. 8

19 . Feltok.. Egy köépskol geometr felt semléltetése. A ABC háromsög ollr kfelé sályos háromsögeket serkestünk. Eeket jelöljük CBA, ACB, és BAC -vel. Igoljuk, hogy een háromsögek köéppontj egy sályos háromsög sús (E, F, G)! ) Köépskol móserrel: 9 7.ár A ABC háromsög ollt jelölje,,, söget peg,, és. At seretnénk elátn, hogy EFG háromsög sályos. Ennek háromsögnek ollt e, f, g etűkkel jelöljük. At tujuk, hogy egy háromsög köéppontj súlypontj, továá t s tujuk, hogy sályos háromsögek esetén súlyvonlk, mgsságvonlk, sögfeleők, és ollfeleő merőlegesek megegyenek egymássl és egy pontn metsk egymást. 9.trefort.elte.hu/~geros/ppt/geo_npoleon_en.ppt 9

20 Eeket smereteket felhsnálv megállpíthtjuk, hogy 8. árán ölel jelölt sögek, mn 0 -osk, vlmnt sályos háromsögek ollr és súlyvonlr felírv Ptgors tételt megkpjuk AG, GC, CF, FB, BE és EA ollkt, melyek követkeök: AG GC, CF FB, és BE EA. A onyítás első lépéseként írjuk fel GCF háromsögre kosnus tételt! e e os 0 e e e os 0 sn os 0 os 0 os sn 0 sn os sn 0 8.ár 0 os os os sn sn 0

21 A előekhe hsonlón néük meg GAE háromsöget! f f os 0 os 0 os sn 0 sn f os sn f os sn A kérés peg, hogy f egyenlő e e -tel. Vgys g-e, hogy os os sn sn sn, m snus tételől ók. os os sn os os sn sn Ossuk el mnkét ollt -vel! os os A snus tétel lklmásávl követkeőket kpjuk: sn sn sn sn os os sn sn sn sn Sorouk meg mnkét ollt sn sn -vl! sn sn sn os sn sn sn os sn sn sn sn os sn sn os sn sn sn sn os sn os sn sn sn sn sn sn sn os sn os sn

22 Tujuk, hogy mnen háromsögen teljesül sn sn. Et ehelyettesítve fent egyenlősége követkeőket kpjuk: sn sn sn sn sn sn sn sn sn sn sn sn sn sn sn sn os sn os sn os sn os sn os sn os sn sn sn os sn os sn sn sn sn sn sn sn sn sn sn sn és lépések megforíthtók, eért Ugynígy eláthtó, hogy e f. e g s teljesül, tehát háromsög sályos. ) Komplex sámokkl: Legyen háromsög B sús orgó (vgys 0 komplex sám),, B-ől A- peg B-ől C-e muttó helyvektornk megfeleltetett komplex sám. Een komplex sámok segítségével k tujuk fejen ABC háromsög ollr írt sályos háromsögek A, B, C súst. Mj t khsnálv, hogy sályos háromsög köéppontj egyenlő súsnk sámtn köepével, megkpjuk sályos háromsögek köéppontjt. Végül megnéük, hogy een köéppontok távolság egyenlő e. 9.ár

23 Elősör írjuk fel A súsot. Et úgy kpjuk, hogy BC ollt elforgtjuk B körül 0 -kl, vgys 0 sn 0 os 0 -vel sorouk -t. A ' A A, B, C súsok sámtn köepét felírv megkpjuk F-et. F F Hsonlóképpen írjuk fel E és G pontokt. E E C ' B pont felírás előő kettőnél össetette, hsen A-ól C-e muttó vektornk megfeletetett komplex sám és komplex sámok különségének 0 -os elforgtottj. B B ' '

24 4 B B ' ' G G G A E és F, F és G, vlmnt G és E pontok távolság h egyenlő, kkor késen vgyunk. Hsen egy háromsög kkor sályos, h mnhárom oll egyenlő hossúságú. Két komplex sám távolság, peg két sám különségének solút értéke. A solút érték efníój sernt egy lkú komplex sám solút értéke. Jelöljük távolságot F E,, G F,, vlmnt E G, -vel. H een távolságok egyenlőek, kkor késen vgyunk. Vgys E G G F F E,,, kell elátnunk. A átláthtóság kevéért elhgyom solút érték efníóján hsnált gyökvonást. F E F E F E F E,, ,,

25 5 G F G F G F, 4 4,, E G E G E G,,, A fent ksámoltkól látjuk, hogy E G G F F E,,,. Vgys eláttuk, hogy EFG háromsög sályos... Feltok lger I. gykorltról. Bonyítsuk e komplex sámok solút értékére vontkoó háromsögegyenlőtlenséget! ) Komplex sám solút értékének efníóját felhsnálv: Legyenek és komplex sámok. At kell elátnunk, hogy teljesül. Mnkét ollt négyetre emelhetjük, hsen és, vlmnt solút értéke nem negtív vlós sámok, így négyetre emelés ekvvlens átlkítás. A solút érték efníój sernt Alger I. lpsnt, gykorlt,. feltsor, 007

26 A konjugálás. és 4. tuljonságáól ók, hogy Konjugálás. tuljonságáól követkek, hogy Vonjuk k mnkét ollól -et! Legyen x, ekkor x. x x x x x x x Legyen v u x, vgys. v u u v u v u v u Am peg trváls. ) Geometr mgyrát: Mnen háromsögre teljesül, hogy ármely két ollánk össege mng ngyo, mnt hrmk oll..ár

27 Vegyük OZV háromsöget, ekkor háromsög oll OZ, ZV és OV, ollnk hoss peg, vlmnt. H háromsög ollr érvényes egyenlőtlenséget felírjuk, hogy OZ ZV OV, kkor s teljesül. An esteen, h és egy egyenese eső, egyállású vektorokkl semléltethetők, kkor össegüket úgy áráoljuk, hogy keőpontját eltoljuk végpontjá. A össegvektor ekkor keőpontjáól nuló végpontjá muttó vektor.. Bonyítsuk e, hogy egy prllelogrmm átló hossánk négyetössege egyenlő négy oll hossánk négyetössegével! ) Vektorok segítségével: Legyenek prllelogrmm oll ( A-ól B-e, vlmnt D-ől C-e muttó vektorok) és ( A-ól D-e, lletve B-ől C-e muttó vektorok). Átlót peg jelölje e ( A-ól C-e muttó vektor) és f ( D-ől B-e muttó vektor). A A AB vektor koornátá,, hoss AD vektor koornátá,, hoss.. 4.ár 7

28 8 A ollk hossánk négyetössege: A átlók hossánk négyetössege: E megegyek prllelogrmm ollnk négyetössegével. Tehát vektorok segítségével eláttuk, hogy prllelogrmm ollnk négyetössege megegyek átlónk négyetössegével. ) Komplex sámok segítségével: Első lépésként áráoljunk komplex sámsíkon egy prllelogrmmát! Legyenek prllelogrmm oll és, átló peg és komplex sámok. 5.ár

29 A,, vlmnt felhsnálv: hoss komplex sám solút értékének efníóját A ollk hossánk négyetössege: A átlók hossánk négyetössege: E megegyek ollk hossánk négyetössegével. Tehát komplex sámok segítségével s eláttuk, hogy prllelogrmm ollnk négyetössege egyenlő átlónk négyetössegével. 4. Áráoljuk Guss-sámsíkon komplex sámot! Ajuk meg lger lkn és áráoljuk ugyneen árán,,,, sámokt! Fgyeljük meg, hogy egyes vektorok mlyen kpsoltn állnk egymássl! os elforgtottj, másképpen orgór vló tükröése. vlós tengelyre vló tükröése. 5 képetes tengelyre vett tükörképe, vgy -nk orgór történő tükröése. 90 -os elforgtottj. 90 -os elforgtottj, vgy orgór vett tükörképe. 4 Bruer György és Láng Csáné: KOMPLEX SZÁMOK, Pélák és feltok, Serkestette: Láng Csáné, Lektorált: Burs Péter, ELTE IK Bupest, 008--,. jvított kás (4. o.) 5 A árán konjugáltkt vessővel ( ) jelölöm. 9

30 .ár 5. Ajuk meg nnk négyetnek másk két súsát (W, Z), melynek két súsát -két ott komplex sám v ( V ; ), és u ( U ; ) lkotj! A feltn 90 -os forgtás 90 -vel, vlmnt 90 -os forgtás 90 -vel vló sorást jelent. 7.ár 0

31 u u v Vgys négyet Z sús 0 komplex sámho renelt ;0 0 pont. Eután ZU vektort 90 -kl elforgtv megkpjuk négyet W súsát. Vgys: 8.ár A másk eset, mkor UV vektort 90 -kl forgtjuk el. Ekkor négyet hrmk és negyek sús követkeőképpen kphtó meg: u u v ár

32 A feltn sk komplex sámok sorásánk geometr jelentését kellett khsnáln, mely forgtás.. Egy egyenlő ollú háromsög két sús komplex sámsíkon 4 és. Sámítsuk k hrmk súsot! A előő feltho hsonlón, megott két súsól meg tujuk htáron háromsög een két súsáho trtoó ollát. Et háromsög mnkét lehetséges hrmk ollát. 0 -kl elforgtv, megkpjuk A 0 os forgtás peg os 0 sn 0 -vel, vlmnt 0 0 sn 0 os 0 -vel vló sorást jelent. Elősör néük 0 -os forgtást! ár

33 A 0 -os forgtás peg: 4 ' 0 Így megkptuk mnkét lehetséges hrmk súsot..ár Een feltok áttekntésével tnulók etekntést nyerhetnek komplex sámok geometr lklmásá, vlmnt tová köépskol geometr feltoknál komplex sámokkl vló megolást s meggonolhtják ákok.

34 4 Össegés Tö tnkönyv és feltgyűjtemény s segítséget nyújtott n, hogyn építsem fel skolgotomt. Elente ngyon nehének onyult követkeetes, jól követhető felépítés létrehoás. Egyre tö skrolomml megsmerkeve és konulensemnek, vlmnt Só Cs Tnár Úrnk kösönhetően úgy érem, skerült átláthtó rensere fogllnom válstott témkörömet. A skolgot késítése köen éretem rá rr, hogy mennyre fontos jó tnár munk, mely rengeteg skm felkésülést és hoáértést gényel. Sját tpstlt híján sk feltételen tuom, hogy olgotn megfoglmottk műköőképesek lehetnek köépskolán. 5 Kösönetnylvánítás Eúton seretném megkösönn Somf Zsus Tnárnőnek, hogy tuásávl és skm tpstltávl segítette munkámt, főként skolgot felépítésének össeállításán, és nehékesen, néhol ügyetlenül megfoglmott rések korrgálásán; vlmnt Só Cs Tnár Úrnk skolgotom átolgoáskor nyújtott segítségét. Végül, e nem utolsó sorn seretném megkösönn sláomnk, hogy tnulmánym során mnvégg támogttk. 4

35 Irolomjegyék Alger I. lpsnt előás jegyet, 007 Alger I. lpsnt, gykorlt, feltsorok, 007 Báry Brnás: Alger II., Műsk Könyvkó, Bupest, 9 Bruer György és Láng Csáné: KOMPLEX SZÁMOK, Pélák és feltok, Serkestette: Láng Csáné, Lektorált: Burs Péter, ELTE IK Bupest, 008--,. jvított kás (4. o.) Kss Eml: Beveetés lgerá, Typotex, 007 Remn István: A geometr htárterülete, Gonolt, Bupest, 98 Sárköy Anrás: Komplex sámok péltár, Műsk Könyvkó, Bupest, 97 Sele Tor: Beveetés lgerá, Tnkönyvkó, 977 Dr. Molnár Jósef: A lger és elem függvények tnítás, Tnkönyvkó, Bupest, 97 Pshológ pegógusoknk, Serkestette: N. Kollár Ktln, Só Év, Osrs Kó, Bupest, 004 Réthy Enréné Dr.: Motváó tnítás órán, Tnkönyvkó, Bupest, 978 Réthy Enréné: Motváó, tnulás, tnítás, Nemetkö Tnkönyvkó, Bupest, 00 Rhr R. Skemp: A mtemtktnulás pshológáj, Gonolt, Bupest, 975.trefort.elte.hu/~geros/ppt/geo_npoleon_en.ppt Skolgotomn ímsorok elején hvtkotm okr skrolmkr, melyeket felhsnáltm, és melyekől helyenként só sernt étem. Eeket nem jelöltem külön éőjellel, mert mtemtklg helyes megfoglmás elkerülhetetlenné tes pontos éést. 5