Valószín ségszámítás 2 gyakorlat Alkalmazott matematikus szakirány
|
|
- Artúr Mezei
- 4 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Valószí ségszámítás gyakorlat Alkalmazott matematikus szakiráy Játékszabályok Az óráko részt kell vei, maximum 3-szor lehet hiáyozi. Aki többször hiáyzik, em ka gyakjegyet x otot lehet szerezi a félév sorá: 40 ot:. ZH a félév közeé 40 ot:. ZH a félév végé 0 ot: beaaó felaatokkal ( ot 0 x ot: szorgalmi felaatokkal Mikét ZH- miimálisa teljesítei kell a 30 %-ot, azaz a otot. Ha egy ZH sikertele, em íro meg, vagy javítai szeretél, akkor vizsgai szak els heté lesz lehet ség a ótzh megírására vagy a javításra. Csak az egyik ZH ayagából javíthatsz, és a jobbik ereméyt veszem gyelembe, azaz em lehet rotai. Két sikertele vagy meg em írt ZH eseté gyakuv-t írsz, és maximum kettest kahatsz. A ZH-ko a kiosztott táblázatoko kívül haszáli lehet egy A4-es lara (akár mikét olalára KÉZZEL írott "uskát". Beaaók: Miegyik maximálisa otot ér, a legjobb 0-et veszem gyelembe. A beaaókál több felaatot is kihiretek, amik közül ízlés szerit válogathattok. A beaaók célja, hogy folyamatosa tauljatok, gyakoroljatok, ezért x határi ig lehet ket beyújtai. 0-34, ,99 Osztályozás: , , Személyes aatok Név Varga László Taszék Valószí ségelméleti és Statisztika Taszék (ELTE TTK Szoba D vargal4@cs.elte.hu Hola Ajálott iroalom Bogáré Mogyorói Prékoa Réyi Szász: Valószí ségszámítási felaatgy jteméy Arató Prokaj Zemléi: Valószí ségszámítás elektroikus jegyzet (kés bb: takoyvtar.hu, most htt:// oktatas.html. De Méré roblémája, 654. De Méré lovag agy szerecsejátékos volt, az alábbi két kéréssel forult Pascal-hoz: Ha egy kockát 4-szer felobuk, akkor mi aak a valószí sége, hogy legalább egy hatos obás lesz? Ha két kockát 4-szer felobuk, mi aak a valószí sége, hogy legalább egy ula hatos lesz? A lovag tisztába volt vele, hogy az els kérésre aaó válasz -él kicsivel kisebb, a másoikra eig -él kicsivel agyobb, e fogalma se volt, miért. a. Számítsuk ki a két valószí ség otos értékét! b. A két valószí ség miért va közel egymáshoz?. Markowitz-moell, 95. Számlavezet bakoál reelkezésere áll Ft, amit be szeretél fekteti a bak által kíált három ortfólióba: az A ortfólió éves várható hozama (a korábbi évek taasztalatai alajá 3%, % szórással; a B ortfólióé 4%, 3% szórással; a C ortfólióé eig 5%, 4% szórással. A ortfóliók hozama függetle egymástól. Határoz meg az otimális befektetési stratégiáat, ha célo egy várhatóa 4%-os hozamot roukáló, ÉS miél kisebb szórású befektetési struktúra kialakítása! Várhatóa meyi éze lesz egy év múlva az otimális befektetési stratégiával? [Befektetési stratégia: éze háy %-át fektete az A, B és C ortfóliókba.] 3. Mi a valószí sége, hogy egy szabályos kockával -szer obva, mie szám legalább egyszer kijött? 4. Péterek 0, Marcsiak 30 Ft-ja va. Egy játékba Péter valószí - séggel yer Ft-ot Marcsitól és ugyaeyi valószí séggel veszít Ft-ot. Aig játszaak, míg valamelyikük elyeri a másik összes ézét. Milye valószí séggel yer Péter? 5. Legye X abszolút folytoos eloszlású, Y = ax + b (a, b R. Határoz meg Y eloszlás-, s r ségfüggvéyét, várható értékét és szóráségyzetét! R(X, Y =? 6. Legye X E(0, 3 és Y = X. Határoz meg Y s r ségfüggvéyét és várható értékét!
2 7. Legye X valószí ségi változó s r ségfüggvéye f X (x = π e x x, Y valószí ségi változó s r ségfüggvéye eig f Y (y = π e 4y +4y. Va-e olya alkalmas g függvéy, hogy Y = g(x teljesüljö? Ha va, határoz meg ez(eket a függvéy(eket! 8. Mutass élát olya (Ω, A, P valószí ségi mez re és ezekbe olya A, B, C eseméyekre, amelyekre a. A, B és C árokét függetleek, azoba em teljese függetleek; b. P (A B C = P (AP (BP (C teljesül, azoba az A, B, C eseméyek em teljese függetleek! 9. Gerg egyetemista, aki gyalog 30 ercre lakik az egyetemt l, és egész évbe em vásárol jegyet/bérletet tömegközlekeésre. Ha metróval megy be órára, akkor az elle rök 50% eséllyel, ameyibe eig villamossal, akkor 5%-os eséllyel csíik yako mie úto. A ótíj összege 6 ezer Ft. Egész évbe 00 alkalommal kell bemeie az egyetemre. Mie egyes alkalommal 0, valószí séggel választja a villamost, valószí séggel eig a metrót. a. Határoz meg a értékét, ha egész évbe átlagosa 3 ezer Ft-ot "szá" a bírságokra! b. Az éves iákbérlet 40 ezer Ft-ba kerül. Számíts ki aak a valószí - ségét, hogy Gerg az éves bérlettel jobba jár! c. Gerg t október 4-é az egyetemre meet megbírságolták az elle rök. Határoz meg aak a valószí ségét, hogy villamossal közlekeett! 0. Legye X emegatív iszkrét valószí ségi változó. a. Bizoyítsuk be, hogy EX = P (X k! k= b. Eek segítségével vezessük le a geometriai eloszlás várható értékét!. Legyeek X,..., X i.i.. valószí ségi változók. Jelölje S = X i. Tegyük fel, hogy X i -k ozitívak, EX < és E (/S <. Határoz meg az E ( Sk S meyiséget, ha a. k b. k > B. [IX..] Számlavezet bakoál reelkezésere áll Ft, amit be szeretél fekteti a bak által kíált két ortfólióba: az A ortfólió éves várható hozama (a korábbi évek taasztalatai alajá 3%, % szórással; a B ortfólióé eig 4%, 3% szórással. A ortfóliók hozama közötti korreláció 0, 5. Határoz meg az otimális befektetési stratégiáat, ha célo egy miél kisebb szórású befektetési struktúra kialakítása! Várhatóa meyi i= éze lesz egy év múlva az otimális befektetési stratégiával? [Befektetési stratégia: éze háy %-át fektete az A és B ortfóliókba.] SZ. Legye { F (x folytoos eloszlásfüggvéy, F (0 = 0. Mutas meg, hogy 0 ha x < G(x := F (x F ( x ha x is eloszlásfüggvéy. ( ot SZ. Legyeek X N(0, és Y Bi (, függetle valószí ségi változók. U := sg(x Y, ahol sg(.. az el jelfüggvéy. Határoz meg U várható értékét! ( ot SZ3. Legye X E( 3, 4, Y = g(x = X + X +. Határoz meg Y eloszlásfüggvéyét és várható értékét! Milye tíusú valószí ségi változó Y? ( ot. Legye X emegatív valószí ségi változó. Jelölje F (x = F (x-et, amit túlélésfüggvéyek evezük. Tegyük fel, hogy a valószí ségi változóak tetsz leges re mometuma létezik és véges. a. Bizoyíts be, hogy EX = F (x 0 b. Bizoyíts be, hogy EX k = kx k F x 0 c. Ezek segítségével számíts ki az exoeciális eloszlás k-aik (k {,, 3,...} mometumát! 3. Legye X olya valószí ségi változó, amelyr l a következ k ismertek: D X = 3 6 és EX + EX 4 = EX 3. Határoz meg X eloszlását! 0 ha x 0 x 4. Legye F (x = ha 0 < x cx + ha < x ha < x a. Határoz meg az ismeretle valós c és araméterek lehetséges értékeit, ha a feti F (x függvéy az X valószí ségi változó eloszlásfüggvéye! b. Határoz meg X várható értékét! c. Milye eloszlású X, ha X abszolút folytoos? { a + a e 5. x ha x 0 Legye F (x = b + b e x ha x > 0
3 a. Határoz meg az ismeretle valós a, a, b és b araméterek lehetséges értékeit, ha a feti F (x függvéy az X valószí ségi változó eloszlásfüggvéye! b. Határoz meg az ismeretle aramétereket, ha X abszolút folytoos és EX = 0! ( B. [IX.9] Legye X E(0,, Y = log X X. Határoz meg Y eloszlásfüggvéyét, s r ségfüggvéyét és várható értékét. [Y eloszlásáak eve: logisztikus eloszlás.] B3. [IX.9] (x 3 ha x 0 Legye F (x = a + bx ha 0 < x ha < x a. Határoz meg az ismeretle valós a és b araméterek lehetséges értékeit, ha a feti F (x függvéy az X valószí ségi változó eloszlásfüggvéye! b. Számíts ki X várható értékét! c. Mely araméterértékek eseté lesz X abszolút folytoos? 0 ha x SZ4. Legye F (x = ax + bx + c ha < x ha x > a. Határoz meg az ismeretle valós a, b és c araméterek lehetséges értékeit, ha a feti F (x függvéy az X valószí ségi változó eloszlásfüggvéye és tujuk róla, hogy a várható értéke! b. Mely araméterértékek eseté lesz X abszolút folytoos? (+= ot SZ5. Legye F (x eloszlásfüggvéy és a R ozitív szám. Számítsuk ki a következ itegrált: [F (x + a F (x] x! ( ot SZ6. Mutassuk meg, hogy az X valószí ségi változó várható értéke otosa akkor létezik, amikor [X]-é, továbbá X = [X] otosa akkor, amikor X egész érték! ( ot 6. Legye X tetsz leges valószí ségi változó, F (x eloszlásfüggvéyel. a. Határoz meg Y = F (X eloszlását! b. Ez alajá hogya tuuk geeráli egy X eloszlású val. változót? 7. Legyeek X, Y, Z E(0, függetleek. Határoz meg a következ traszformáltak s r ségfüggvéyét: a. U = X + Y ; b. U = X + Y + Z; c. U = X Y ;. U = ax + by, ahol a, b R. 8. a. Mutas meg, hogy πσ x e x σ x = π σ! Milye valószí ségszámítási értelmet tuuk ai az itegrálak? b. Legyeek X, Y N(0, eloszlású, egymástól függetle valószí ségi változók. Határoz meg U = X Y s r ségfüggvéyét és várható értékét! Milye eloszlású U? c. Legyeek X N(0, σ és Y N(0, σ egymástól függetle valószí - ségi változók. Mutas meg, hogy ekkor X Y (0, Cauchy σ σ! 9. Legyeek X i N(0,, i függetleek. Ekkor Y = Xi valószí ségi változó eloszlását szabaságfokú khíégyzet-eloszlásak evezzük, jelölése: Y χ. i= a. Mutassuk meg, hogy X Γ (,! b. Mutassuk meg, hogy X +X Ex(! c. Mutassuk meg karakterisztikus függvéyek élkül, hogy Y Γ (,! 0. Szai mie a villamossal és busszal közlekeik, hogy eljusso az egyetemre. Az alábbi ábra tartalmazza a közlekeési i ket: Ott- Villamos- Busz- Egyeho 5 megálló 0 megálló 8 5 tem Taasztalatai alajá átlagosa ercet vár a villamos megállójába és 4 ercet a busz megállójába. Szai ma reggel kés bb ébret fel, ezért csak 7:43-kor iult el otthoról, az els órája 8:5-kor kez ik. Becsüljük külöböz, értelmes valószí ségi moellek segítségével aak a valószí ségét, hogy el fog kési!. Box-Müller traszformáció. Legyeek X, X E(0, függetleek. Legyeek Y = log X cos(πx, Y = log X si(πx. Mutassuk meg, hogy Y, Y N(0, függetleek!. Legyeek X χ, Y χ q függetleek! Mutassuk meg, hogy U = X +Y és V = függetleek, és határozzuk meg az eloszlásukat! gyalog villamossal gyalog busszal gyalog X X+Y 3
4 3. Legyeek X Γ(α, λ, Y Γ(β, λ függetleek! Mutassuk meg, hogy U = X + Y és V = Y X+Y függetleek, és határozzuk meg az eloszlásukat! 4. Kockázati folyamat iszkrét i be. Egy biztosító 00. jauár -jé 0 M Ft t kével reelkezik. Ügyfelei egy év alatt 0 M Ft biztosítási íjat zetek. Az év sorá bekövetkezett káreseméyekre a biztosító miig a következ év elejé teljesíti a kizetést, mie káresetél M Ft-ot. Korábbi taasztalatok alajá meggyelték, hogy egy év alatt a káreseméyek száma 5 araméter Poisso-eloszlást követ. A biztosító cs be megy, ha aktuális t kéje kevesebb lesz 0-ál. Határozzuk meg aak a valószí ségét, hogy a biztosító a. 0. jauár -jé megy cs be (az el z évekbe em volt cs be; b. 0. jauár -jé megy cs be (az el z évekbe em volt cs be; c. 03. jauár -jé megy cs be (az el z évekbe em volt cs be. 5. Mely c-re leszek kétimeziós s r ségfüggvéyek az alábbiak? Ajuk meg a erems r ségfüggvéyeket { és a kovariaciamátrixot! c ha 0 < x < és 0 < y < x a. f X,Y (x, y = { c (x + y ha (x, y (0, b. f X,Y (x, y = 6. ( Legye X és Y függetle staar ormális eloszlású. Határozzuk meg X + 3Y együttes s r ségfüggvéyét és kovariaciamátrixát! X + Y 7. Legyeek X N(m, σ, Y N(m, σ, r := R(X, Y. Határozzuk meg az együttes s r ségfüggvéyüket! P (X < m, Y < m =? 8. Legye X = (X, X{, X 3 T s r ségfüggvéye a következ : f X (x, x, x 3 = a ex ( ( x ( 3 + x + ( + (x3 }, ahol a R. Határoz meg a. az a számot; b. X kovariaciamátrixát; c. (X, X 3 T s r ségfüggvéyét;. a P (X < 0, X 3 < valószí séget! B4. [ X.6.] Juliska éi a városi iaco értékesíti almáját. Mi az értékesítési meyiség, mit az ár véletleek tekithet (lehet vele alkuozi. Az egy a alatt elaott meyiség (kg Pareto eloszlású 5 4 és 0 araméterekkel, míg az elaott almák ára (Ft/kg egyeletes eloszlású 80 és 0 araméterekkel. Tegyük fel, hogy a meyiség és az ár függetleek egymástól. Költségei aota 4000 foritot teszek ki (beziköltség. a. Várhatóa meyi rotra fog szert tei egy a alatt? b. Határoz meg aak a valószí ségét, hogy Juliska éi ai rotja meghalaja az 5000 foritot! { B5. [ X.6.] Legye (X, Y T s r ségfv.-e f(x, y = π ha x + y Határozzuk meg az U = X + Y és a V = arctg ( Y X valószí ségi változók közös s r ségfüggvéyét! B6. [ X.3.] Legye az (X, Y T ot egyeletes eloszlású a (, 0, (0, 0, (0, otok által meghatározott háromszögbe. Mi lesz az (X, Y T kétimeziós eloszlás kovariaciamátrixa? B7. [ X.3.] Legye X { = (X, X, X 3 T s r ségfüggvéye } a következ : f X (x, x, x 3 = a ex x x 8 x 3 + x, ahol a R. Határoz meg a. az a számot; b. X kovariaciamátrixát; c. a P (X < 0, X >, X 3 < valószí séget! SZ7. Legyeek X, X,..., X Ex( függetleek. Legye Y i = X i i =,,..., eseté és Y = i= X i i= Számítsuk ki Y = (Y, Y,..., Y együttes s r ségfüggvéyét. Függetleek a kooriáták? ( ot SZ8. Legyeek X N 3 (0, I 3, továbbá Y i = i =,, 3. X i X +X +X 3 Határozzuk meg Y s r ségfüggvéyét! ( ot SZ9. Mely c-re lesz kétimeziós s r ségfüggvéy az alábbi? Ajuk meg a erems r ségfüggvéyeket { és a kovariaciamátrixot! c max{x, y} ha (x, y (0, f X,Y (x, y = ( ot SZ0. Legyeek X és Y ormális eloszlásúak, R(X, Y = 0. Mutassuk meg, hogy ekkor X és Y függetleek! ( ot SZ. Rékáak és Bálitak együtt 000 arab giccsbábut kell elkészíteie. A bábuk gyártása két részb l áll: el ször egy gé segítségével elkészítik a orcelá bábut, maj befestik. A festés ieje elég változékoy, ezért ezt valószí ségi változóak tekitjük. Ha Réka/Bálit egyeül végezé el a mukát, akkor a következ i t vee igéybe számukra a muka (mie szám órába érte : X i. 4
5 Géi megmukálás Festés Réka egyeül X E(4, 6 Bálit egyeül 3 Y E(3, 5 Az üzembe va elege bábukészít gé és festék, hogy együtt olgozva, egymást e tartsák fel. El ször az összes bábut legyártják géel, ezutá állak eki a festések. a. Várhatóa meyi i alatt végezek, ha mikette olgozak? b. Határoz meg aak a valószí ségét, hogy mikette olgozva, 3 óra alatt befejezik a mukát! (0,5+,5= ot 9. Legyeek X és Y valószí ségi változók, ε > 0 valós szám. Lássuk be, hogy ekkor P (X + Y > ε P (X > ε/ + P (Y > ε/. 30. Legyeek X ( =,,... és X valószí ségi változók. Bizoyítsuk be, hogy ameyibe X X, akkor X X, azaz a sztochasztikus kovergeciából következik az eloszlásbeli kovergecia. 3. Legyeek X ( =,,... és X valószí ségi változók. Bizoyítsuk be, vsz. hogy ameyibe X X, akkor X X, azaz az valószí ség kovergeciából következik az sztochasztikus kovergecia. 3. Legyeek X ( =,,... és X valószí ségi változók. Bizoyítsuk L be, hogy ameyibe X X, akkor X X, azaz az L -beli kovergeciából következik a sztochasztikus kovergecia. 33. Legyeek X ( =,,... és X valószí ségi változók, a, b R. Bizo- yítsuk be, hogy ameyibe X X, akkor ax + b ax + b. 34. Legyeek X és Y ( =,,... valószí ségi változók. Igaz-e, hogy ameyibe m.m. a. X X és Y m.m. Y, akkor X m.m. + Y X + Y ; b. X X és Y Y, akkor X + Y X + Y ; c. X X és Y Y, akkor X + Y X + Y ; L. X X és Y L Y, akkor X L + Y X + Y ; m.m. e. X X és Y m.m. Y, akkor X m.m. Y XY ; f. X X és Y Y, akkor X Y XY ; g. X X és Y Y, akkor X Y XY ; L h. X X és Y L Y, akkor X L Y XY ; 35. Legyeek X ( =,,... valószí ségi változók és a R. Bizoyítsuk be, hogy ameyibe X a, akkor X a. 36. Igaz-e, hogy ameyibe X X, akkor X X Cramér-Szluckij lemma. Legyeek X, Y ( =,,... és X valószí ségi változók, a R. Bizoyítsuk be, hogy ameyibe X X és Y a, akkor a. X + Y X + a; b. X Y ax. 38. Legye (Ω, A, P geometriai valószí ségi mez, Ω = [, ]. Vizsgáljuk az alábbi valószí ségi változó sorozat kovergeciáját: ha ω [ +, ] X (ω = ha ω [, ] 39. Legye (Ω, A, P geometriai valószí ségi mez, Ω = [0, ]. Vizsgáljuk az alábbi { valószí ségi változó sorozat kovergeciáját: e ha ω [ 0, ] X (ω = 40. Legye (Ω, A, P geometriai valószí ségi mez, Ω = [0, ]. Vizsgáljuk az alábbi { valószí ségi változó sorozat kovergeciáját: ha ω [ 0, ] { X (ω = 4 ha ω [ és X(ω =, 3 ] 4. Mutassuk meg, hogy X X, e X X 4. Vizsgáljuk aak a valószí ségi változó sorozatak a kovergeciáját, amelyél a valószí ségi változók függetleek és eloszlásuk az alábbi: P (X = =, P (X = 0 =. B8. [X.0.] Legyeek X I ( + ( ( =,,..., X I függetleek. Vizsgáljuk meg, hogy X tart-e X-hez valószí séggel, sztochasztikusa, eloszlásba, L -be! B9. [X.0.] Mutassuk meg, hogy ameyibe lim E(X X = 0, akkor lim EX = EX és lim EX = EX. 5
6 SZ. Legyeek X ( =,,... ( és X valószí ségi változók. Mutassuk meg, hogy X X E X X + X X 0 ( ot SZ3. Az el z szorgalmi ereméyét felhaszálva lássuk be a Riesz-lemmát: ha X X, akkor létezik olya vsz. k részsorozat, amire X k X, k azaz sztochasztikusa koverges valószí ségi változók sorozatáak va valószí séggel koverges részsorozata. ( ot SZ4. Mie N számhoz létezik k és m úgy, hogy = k + m, ahol k = 0,,... és m { = 0,,..., k. k ω [ m, m+ Legye X (ω = k k Milye értelembe kovergál X? ( ot 4. X i -k (i =,,... függetle val. változók Hova kovergál és hogya? X a. X i I( X5 X b. X i Bi(, / +...+X X X4 X c. X i : az i-eik kockaobás ereméye +...+X. X i E(, 6 (i =,,... X... X e. X i Ex( (i =,,... e X +...+e X X +...+X 3 f. X i N(, 3 (i =,, Függetle, valószí séggel sikeres kísérleteket végzük. Legye Y i =, ha az i-eik és az i+-eik kísérlet sikeres. Teljesül-e az Y, Y,... sorozatra a agy számok gyege törvéye? 44. Egy részvéy éves hozama valószí séggel 90%, valószí séggel 50%. Az éves hozamok függetleek egymástól. Mihez tart a t kék, ha a. teljes t kéket, azaz C Ft-ot fektetük be és em vesszük ki a ézüket? b. mie évbe az aktuális összt kék felét fektetjük be, másik felét eig ottho rizzük? 45. Határozzuk meg a karakterisztikus függvéyt, ha X eloszlása a. P (X = k = k, k = 0,,...; b. P (X = k = P (X = k = k, k = 0,,...; c. I(;. Geo(; e. NegBi(, ; f. Ex(λ; g. Γ(α, λ; h. E(a, b; i. E(, ; j. Cauchy(0, ; k. { N(0,. t < t < l Kakterisztikus függvéyek-e az alábbiak? a. si(t; b. ϕ; c. ϕ ;. ϕ ; e. cos(t; f. cos (t; g. cos(t ; h. e it t ; i. e t4 ; j. e t ; k. e t ; 47. Fejezzük ki a valószí ségi változó -eik mometumát és szóráségyzetét a karakterisztikus függvéy segítségével! 48. Keressük olya karakterisztikus függvéy sorozatot, amiek a limesze em karakterisztikus függvéy! 49. Keressük élát olya X és Y valószí ségi változókra, amelyekre ϕ X+Y (t = ϕ X (t ϕ Y (t, azoba X és Y em függetleek! 50. Legyeek X E (, és P (Y = = P (Y = = függetleek. Karakterisztikus függvéyek segítségével állaítsuk meg X + Y eloszlását! 5. Milye eloszlású arab függetle Cauchy-eloszlású valószí ségi változó átlaga? 5. Mutassuk meg, hogy két függetle, azoos eloszlású valószí ségi változó külöbsége em lehet E(, eloszlású! B0. [XI.0.] Va egy szabálytala kockák, ami egy -es, két -es és három 3-as szereel. A kockát sokszor felobjuk egymás utá. Kovergál-e valahova (ha ige, milye értelembe a obott számok szorzata? B. [XI.0.] Legyeek X Poi( és Y Poi(3 függetle valószí ségi változók. Határoz meg U = X + Y karakterisztikus függvéyét, maj eek segítségével számíts ki U várható értékét! 6
7 B. [XI.7.] Karakterisztikus függvéy a ϕ(t = +t 4 függvéy? SZ5. Legye ϕ karakterisztikus függvéy. Bizoyítsuk be, hogy a. 4Re( ϕ(t Re( ϕ(t; b. 8( ϕ(t ϕ(t. SZ6. Mutassuk meg, hogy tetsz leges X valószí ségi változóra és ϕ(t karakterisztikus függvéyére teljesül a következ egyel tleség: ϕ(t E tx! ( ot 53. Számítsuk ki a következ -szeres itegrál értékét, ha : x x4 x x... x! x 54. Hamis érmével obuk. 0,5 a fej valószí sége. a. Becsüljük meg a CHT-vel aak valószí ségét, hogy 0000 obásból legalább 530 fej! Becsül meg a becslés hibáját a Berry-Essée tétellel! b. Háyszor kell obi, hogy a fejek relatív gyakorisága legalább 97,5 %-os valószí séggel több legye, mit 0,505? 55. Legye X araméter Poisso eloszlású. Mihez tart eseté a. P(X < ; b. P(X < /? 56. Legyeek X,..., X E(0, b függetleek, ahol b > 0 valós araméter. Legye Y = mi(x,..., X. Határoz meg Y határeloszlását, ha! 57. Legye X Geo ( λ. Határozzuk meg X határeloszlását, ha! X 58. Legye X Negbi(,. Számítsuk ki határeloszlását, ha (! 59. Legyeek X i E(0,, i=,..., függetle valószí ségi változók, és jelölje Y a maximumukat. Számítsuk ki a következ meyiséget: lim P (( Y > t 60. Legyeek X, X,... függetle, azoos eloszlású, µ > 0 várható érték és σ szórású emegatív valószí ségi változók. Legye S = X +...+X, és t > 0 eseté N(t = max{k 0 : S k t}. Számíts ki N(t t µ t amit t! 6. Számítsuk ki a következ meyiséget: lim e k=0 k k! határeloszlását, B3. [XI.4.] Egy szabályos kockát 3000-szer felobuk egymás utá. Határoz meg aak a valószí ségét a CHT-vel, hogy a 6-osok száma 470 és 560 között lesz! Becsül meg a becslés hibáját a Berry-Essée tétellel! B4. [XII..] Számíts ki az alábbi határértéket: ( lim k k: k (X i i i= 6. Legyeek X i I( i i =,,... függetleek, Y =. Mi a i ( i i= feltétele, hogy Y gyegé tartso egy ormális eloszláshoz? 63. Legyeek X i E(0, i =,,... függetleek. Mutassuk meg, hogy P 4 ix i i= < x Φ ( 3x 3? 64. Legyeek X, X,... függetle valószí ségi változók. Mely esetekbe teljesítik a Lieberg-feltételt? a. P (X i = i = P (X i = i = ; b. P (X i = i = P (X i = i =. SZ7. Egy szabályos érmével aig obuk, amíg mi a fejekb l, mi az írásokból legalább k arabot em kauk. Jelölje ν k az ehhez szükséges obások számát. Számíts ki ν k k határeloszlását, amit k k. ( ot SZ8. Legyeek X, X,... függetle valószí ségi változók, P (X = α = P (X = α =, k, ahol α rögzített valós szám. Bizoyítsuk be, hogy akkor és csak akkor érvéyes rájuk a CHT, ha α! ( ot SZ9. Legyeek X i N(0, i i =,,... függetleek. a. Teljesül az {X } N sorozatra ( a Lieberg-feltétel? b. Számítsuk ki a lim P X +...+X > határértéket! ( ot SZ0. Legyeek X, X,... függetleek, P (X = = P (X = = és P (X = 0 =. Teljesül az {X } N sorozatra a CHT? ( ot 65. Legye X E(,, Y = X. Határozzuk meg a. Y legjobb égyzetes közelítését X tetsz leges függvéye segítségével; b. X legjobb égyzetes közelítését Y tetsz leges függvéye segítségével; c. X legjobb égyzetes közelítését Y lieáris függvéye segítségével! 7
8 66. Teljes valószí ség tétele folytoos esetbe. Legye A tetsz leges eseméy, Y abszolút folytoos valószí ségi változó. Ekkor bizoyítsuk be a teljes várható érték tétel segítségével, hogy P (A = P (A Y = yf Y (y y. 67. Legye (X, Y valószí ségi vektorváltozó egyeletes eloszlású az {(x, y R : x + y } egységkörlao. Számítsuk ki az f X Y (x y feltételes s r ségfüggvéyt és az E(X Y feltételes várható értéket! 68. Legye (X, Y kétimeziós ormális eloszlású. Határozzuk meg az X Y feltételes eloszlást! 69. Tegyük fel, hogy a magyar férak magassága és testsúlya kétimeziós ormális eloszlású. A férak átlagmagassága 78 cm, 9 cm szórással; átlagos testsúlyuk eig 85 kg, 0 kg szórással. A magasság és a testtömeg közötti korreláció 0,7. a. Feltéve, hogy egy fér 80 kg, mi a valószí sége, hogy magasabb 80 cm-él? b. Átlagosa mekkora súlyú egy 90 cm magas fér? c. Átlagosa milye magas egy 94,44 kg-os fér? 70. Legyeek X és Y egymástól függetle, staar ormális eloszlásúak. Határozzuk meg karakterisztikus függvéy segítségével X Y eloszlását! Haszáljuk fel, hogy tetsz leges a, b > 0 eseté e a x b x x = π e ab a Legyeek X, X,..., X függetle, λ araméter ( Poisso-eloszlású valószí ségi változók. Határoz meg az E X X i feltételes várható i= értéket! B5. [XII.8.] Legye (X, { Y valószí ségi vektorváltozó együttes s r ségfüggvéye f X,Y (x, y =. e y ha 0 x y Számíts ki az E(Y X feltételes várható értéket! B6. [XII.8.] Egy obókockát kétszer felobuk. Legye U az els obás ereméye, V a másoik obás ereméye, és X = U + V, valamit Y = U V. Hogya közelítsük Y -t X segítségével, ha a. csak lieáris függvéyt haszálhatuk; b. tetsz leges függvéyt alkalmazhatuk? { c ha 0 < x < és + x < y < x SZ. Legye f X,Y (x, y = Határoz meg a c értékét, maj az E(X Y és E(X Y feltételes várható értékeket! ( ot SZ. Legyeek X, X,..., X valószí ségi változók egyeletesek a iszkrét {,,..., N} halmazo, jelölje X = max(x,..., X -et. Mutas meg, hogy E(X X = (X + (X + (X (X! ( ot SZ3. Legyeek X, Y valószí ségi változók, r := R(X, Y. Bizoyítsuk be, hogy E(D (Y X ( r D Y! ( ot 7. Jelölje S a számegyees egész kooriátájú otjai szimmetrikusa mozgó ot helyzetét az. léés utá, S 0 = 0. Mutassuk meg, hogy a. S martigál; b. S szubmartigál, S martigál; e ts ch(t c. e S szubmartigál, martigál. 73. Mutassuk meg, hogy ha az X szubmartigálra E(X = E(X mie -re, akkor X martigál. 74. Legye a, b > 0, tegyük fel, hogy (X, F és (Y, F szubmartigálok. Mutassuk meg, hogy (ax + by, F és (max(x, Y, F is szubmartigálok. Fogalmazzuk meg aalóg állításokat szuermartigálokra! 75. Lehet-e egyszerre X és X is martigál az X,..., X által geerált σ-algebrára ézve? 76. Legyeek X, X,... i.i.. valószí ségi változók, P (X = = 3, P (X = = és P (X = 4 = 6. Legye S = X X. Keressük meg az összes olya α valós számot, amelyre Y = e αs martigál az F = σ(s,..., S σ-algebrára ézve! SZ4. Tekitsük a következ bolyogást: P (X = = P (X = =, az X i is a + és értékeket veszi fel, e P (X i = X i = P (X i = X i =. Legye S = X X. Mutassuk meg, hogy Y = S + X ( martigál! ( ot SZ5. Jelölje S szimmetrikusa bolyogó ot helyzetét az. léés utá. Keressük miél több olya kétváltozós oliomot, amire (S, martigál! ( ot 8
18. Valószín ségszámítás. (Valószín ségeloszlások, függetlenség. Valószín ségi változók várható
8. Valószí ségszámítás. (Valószí ségeloszlások, függetleség. Valószí ségi változók várható értéke, magasabb mometumok. Kovergeciafajták, kapcsolataik. Borel-Catelli lemmák. Nagy számok gyege törvéyei.
RészletesebbenStatisztika 1. zárthelyi dolgozat március 21.
Statisztika 1 zárthelyi dolgozat 011 március 1 1 Legye X = X 1,, X 00 függetle mita b paraméterű Poisso-eloszlásból b > 0 Legye T 1 X = X 1+X ++X 100, T 100 X = X 1+X ++X 00 00 a Milye a számra igaz, hogy
Részletesebbenegyenletesen, és c olyan színű golyót teszünk az urnába, amilyen színűt húztunk. Bizonyítsuk
Valószínűségszámítás 8. feladatsor 2015. november 26. 1. Bizonyítsuk be, hogy az alábbi folyamatok mindegyike martingál. a S n, Sn 2 n, Y n = t n 1+ 1 t 2 Sn, t Fn = σ S 1,..., S n, 0 < t < 1 rögzített,
Részletesebbenf (M (ξ)) M (f (ξ)) Bizonyítás: Megjegyezzük, hogy konvex függvényekre mindig létezik a ± ben
Propositio 1 (Jese-egyelőtleség Ha f : kovex, akkor tetszőleges ξ változóra f (M (ξ M (f (ξ feltéve, hogy az egyelőtleségbe szereplő véges vagy végtele várható értékek létezek Bizoyítás: Megjegyezzük,
RészletesebbenA peremeloszlások. Valószínőségszámítás elıadás III. alk. matematikus szak. Példa. Valószínőségi vektorváltozók eloszlásfüggvénye.
y Valószíőségszámítás elıaás III. alk. matematkus szak 4. elıaás, szeptember 30 A peremeloszlások (X,Y) eloszlásából (elevezés: együttes eloszlás) következtethetük az egyes változók eloszlására: P(X)P(X,Y0)+P(X,Y)+P(X,Y2)
RészletesebbenElméleti összefoglaló a Valószín ségszámítás kurzushoz
Elméleti összefoglaló a Valószín ségszámítás kurzushoz Véletlen kísérletek, események valószín sége Deníció. Egy véletlen kísérlet lehetséges eredményeit kimeneteleknek nevezzük. A kísérlet kimeneteleinek
RészletesebbenANALÍZIS 1. I. VIZSGA január 11. Mérnök informatikus szak α-variáns Munkaidő: 90 perc., vagyis z 2 1p = i 1p = ( cos 3π 2 2
ANALÍZIS. I. VIZSGA. jauár. Mérök iformatikus szak α-variás Mukaidő: perc. feladat pot) Adja meg az z 4 i)z i egyelet összes megoldását. i + i) + 4i + 4 i +, vagyis z p i p cos 3 + i si ) 3 vagy z p i
RészletesebbenEötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar. Analízis 1. Írásbeli beugró kérdések. Készítette: Szántó Ádám Tavaszi félév
Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Iformatikai Kar Aalízis 1. Írásbeli beugró kérdések Készítette: Szátó Ádám 2011. Tavaszi félév 1. Írja le a Dedekid-axiómát! Legyeek A R, B R. Ekkor ha a A és b B : a b, akkor
RészletesebbenA tárgy címe: ANALÍZIS 1 A-B-C (2+2). 1. gyakorlat
A tárgy címe: ANALÍZIS A-B-C + gyakorlat Beroulli-egyelőtleség Legye N, x k R k =,, és tegyük fel, hogy vagy x k 0 k =,, vagy pedig x k 0 k =,, Ekkor + x k + x k Speciális Beroulli-egyelőtleség Ha N és
RészletesebbenÁringadozások elıadás Kvantitatív pénzügyek szakirány 2012/13 2. félév
Árigadozások elıadás Kvatitatív pézügyek szakiráy 01/13. félév Heti óra elıadás + óra gyakorlat Elıadás: fıleg modellek, elemzési módszerek Gyakorlat: R programmal, alkalmazások Számokérés 50%: beadadó
RészletesebbenI. rész. Valós számok
I. rész Valós számok Feladatok 3 4 Teljes idukció Igazolja a teljes idukcióval a következ állítások helyességét!.. k 2 = k= ( + )(2 + ). 6.2. 4 + 2 7 + + (3 + ) = ( + ) 2..3. a) b) ( + ) = +. k ( ) =
RészletesebbenAbszolút folytonos valószín ségi változó (4. el adás)
Abszolút folytonos valószín ségi változó (4. el adás) Deníció (Abszolút folytonosság és s r ségfüggvény) Az X valószín ségi változó abszolút folytonos, ha van olyan f : R R függvény, melyre P(X t) = t
Részletesebbenmin{k R K fels korlátja H-nak} a A : a ξ : ξ fels korlát A legkisebb fels korlát is:
. A szupréum elv. = H R felülr l körlátos H fels korlátai között va legkisebb, azaz A és B a A és K B : a K Ekkor ξ-re: mi{k R K fels korlátja H-ak} } a A : a ξ : ξ fels korlát A legkisebb fels korlát
RészletesebbenI. Függelék. A valószínűségszámítás alapjai. I.1. Alapfogalamak: A valószínűség fogalma: I.2. Valószínűségi változó.
I. Függelék A valószíűségszámítás alapjai I.1. Alapfogalamak: Véletle jeleség: létrejöttét befolyásoló összes téyezőt em ismerjük. Tömegjeleség: a jeleség adott feltételek mellett akárháyszor megismételhető.
Részletesebben2. Hatványsorok. A végtelen soroknál tanultuk, hogy az. végtelen sort adja: 1 + x + x x n +...
. Függvéysorok. Bevezetés és defiíciók A végtele sorokál taultuk, hogy az + x + x + + x +... végtele összeg x < eseté koverges. A feti végtele összegre úgy is godolhatuk, hogy végtele sok függvéyt aduk
Részletesebbenvéletlen : statisztikai törvényeknek engedelmeskedik (Mi az ami közös a népszavazásban, a betegségek gyógyulásában és a fiz. kém. laborban?
BEVEZETÉS A statisztika teljese laikusokak: agy mukával gyűjtött adatok vizsgálata, abból következtetések levoása ( statistical iferece ) (Egy kicsit sok hűhó semmiért azaz Much ado about othig.) Mi is
RészletesebbenValószín ségszámítás (jegyzet)
Valószí ségszámítás (jegyzet) Csiszár Vill 9. február 8.. Valószí ségi mez Két bevezet példa: ) Osztozkodási probléma (494, helyes megoldás több, mit évvel kés bb, Pascal, Fermat): Két játékos fej-írás
RészletesebbenBIOMATEMATIKA ELŐADÁS
BIOMATEMATIKA ELŐADÁS 10. A statisztika alapjai Debrecei Egyetem, 2015 Dr. Bérczes Attila, Bertók Csaád A diasor tartalma 1 Bevezetés 2 Statisztikai függvéyek Defiíció, empirikus várható érték Empirikus
RészletesebbenKalkulus II., második házi feladat
Uger Tamás Istvá FTDYJ Név: Uger Tamás Istvá Neptu: FTDYJ Web: http://maxwellszehu/~ugert Kalkulus II, második házi feladat pot) Koverges? Abszolút koverges? ) l A feladat teljese yilvávalóa arra kívácsi,
Részletesebben(f) f(x) = x2 x Mutassa meg, hogy ha f(x) dx = F (x) + C, akkor F (ax + b) a 3. Számolja ki az alábbi határozatlan integrálokat: 1.
PROGRAMTERVEZŐ MATEMATIKUS SZAK II. ÉVF. III. FÉLÉV GYAKORLÓ FELADATOK AZ II. ANALÍZIS ZH-RA Primitívfüggvéy keresés. Adja meg az f függvéy egy primitívfüggvéyét: f) = 6 8 + 3 b) f) = + 3 f) = + 5 ) /
Részletesebben(d) x 6 3x 2 2 = 0, (e) x + x 2 = 1 x, (f) 2x x 1 = 8, 2(x 1) a 1
. Bevezető. Oldja meg az alábbi egyeleteket: (a cos x + si x + cos x si x = (b π si x = x π 4 x 3π 4 cos x (c cos x + si x = si x (d x 6 3x = 0 (e x + x = x (f x + 5 + x = 8 (g x + + x + + x + x + =..
Részletesebben1 n. 8abc (a + b) (b + c) (a + c) 8 27 (a + b + c)3. (1 a) 5 (1 + a)(1 + 2a) n + 1
A tárgy címe: ANALÍZIS A-B-C + gyakorlat Beroulli-egyelőtleség Ha N és h R, akkor + h + h Mikor va itt egyelőség? Léyeges-e a h feltétel? Számtai-mértai közép Bármely N és,, R, k 0 k =,, választással k
RészletesebbenSorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága
Sorozatok, határérték fogalma. Függvéyek határértéke, folytoossága 1) Végtele valós számsorozatok Fogalma, megadása Defiíció: A természetes számok halmazá értelmezett a: N R egyváltozós valós függvéyt
RészletesebbenGyakorló feladatok II.
Gyakorló feladatok II. Valós sorozatok és sorok Közgazdász szakos hallgatókak a Matematika B című tárgyhoz 2005. október Valós sorozatok elemi tulajdoságai F. Pozitív állítás formájába fogalmazza meg azt,
RészletesebbenAz átlagra vonatkozó megbízhatósági intervallum (konfidencia intervallum)
Az átlagra voatkozó megbízhatósági itervallum (kofidecia itervallum) Határozzuk meg körül azt az itervallumot amibe előre meghatározott valószíűséggel esik a várható érték (µ). A várható értéket potosa
RészletesebbenELTE TTK Budapest, január
Valószíűségszámítás Arató Miklós előadásai alapjá Készítették: Martiek László Tassy Gergely ELTE TTK Budapest, 008. jauár Typeset by L A TEX . el adás 007. IX.. szerda Klasszikus (kombiatorikus valószí
RészletesebbenFELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ
FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ. HALMAZOK RELÁCIÓK FÜGGVÉNYEK. Bizoyítsuk be a halmaz-műveletek alapazoosságait! 2. Legye adott az X halmaz legye A B C X. Ha A B := (A B) (B A) akkor bizoyítsuk be hogy
RészletesebbenA statisztikai vizsgálat tárgyát képező egyedek összességét statisztikai sokaságnak nevezzük.
Statisztikai módszerek. BMEGEVGAT01 Készítette: Halász Gábor Budapesti Műszaki és Gazdaságtudomáyi Egyetem Gépészméröki Kar Hidrodiamikai Redszerek Taszék 1111, Budapest, Műegyetem rkp. 3. D ép. 334. Tel:
Részletesebben2. gyakorlat - Hatványsorok és Taylor-sorok
. gyakorlat - Hatváysorok és Taylor-sorok 9. március 3.. Adjuk meg az itt szereplő sorok kovergeciasugarát és kovergeciaitervallumát! + a = + Azaz a hatváysor kovergeciasugara. Az biztos, hogy a (-,) yílt
RészletesebbenA matematikai statisztika elemei
A matematikai statisztika elemei Mikó Teréz, dr. Szalkai Istvá szalkai@almos.ui-pao.hu Pao Egyetem, Veszprém 2014. március 23. 2 Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék 3 Bevezetés................................
Részletesebben(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet):
A umerikus sorozatok fogalma, határértéke (A TÁMOP-4-8//A/KMR-9-8 számú projekt keretébe írt egyetemi jegyzetrészlet): Koverges és diverges sorozatok Defiíció: A természetes számoko értelmezett N R sorozatokak
Részletesebben24. tétel A valószínűségszámítás elemei. A valószínűség kiszámításának kombinatorikus modellje.
24. tétel valószíűségszámítás elemei. valószíűség kiszámításáak kombiatorikus modellje. GYORISÁG ÉS VLÓSZÍŰSÉG meyibe az egyes adatok a sokaságo belüli részaráyát adjuk meg (törtbe vagy százalékba), akkor
RészletesebbenValószín ségszámítás és statisztika
Valószín ségszámítás és statisztika Informatika BSc, esti tagozat Backhausz Ágnes agnes@cs.elte.hu 2016/2017. tavaszi félév Bevezetés Célok: véletlen folyamatok modellezése; kísérletekb l, felmérésekb
Részletesebben3.4. gyakorlat. Matematika B1X február 1819.
3.4. gyakorlat Matematika B1X 2003. február 1819. 1. A harmadik el adás (II. 17.) 1.1. Számosság Egyel számosságú halmazok. Véges, megszámlálhatóa végtele és kotiuum számosságú halmazok. Hatváyhalmaz számossága
RészletesebbenEddig megismert eloszlások Jelölése Eloszlása EX D 2 X P(X = 1) = p Ind(p) P(X = 0) = 1 p. Leíró és matematikai statisztika
Leíró és matematikai statisztika Matematika alapszak, matematikai elemző szakiráy Zempléi Adrás Valószíűségelméleti és Statisztika Taszék Matematikai Itézet Természettudomáyi Kar Eötvös Lorád Tudomáyegyetem
Részletesebben2. A ξ valószín ségi változó eloszlásfüggvénye a következ : x 4 81 F (x) = x 4 ha 3 < x 0 különben
1 feladatsor 1 Egy dobozban 20 fehér golyó van Egy szabályos dobókockával dobunk, majd a következ t tesszük: ha a dobott szám 1,2 vagy 3, akkor tíz golyót cserélünk ki pirosra; ha a dobott szám 4 vagy
RészletesebbenVéletlen jelenség: okok rendszere hozza létre - nem ismerhetjük mind, ezért sztochasztikus.
Valószín ségelméleti és matematikai statisztikai alapfogalmak összefoglalása (Kemény Sándor - Deák András: Mérések tervezése és eredményeik értékelése, kivonat) Véletlen jelenség: okok rendszere hozza
RészletesebbenMatematikai statisztika gyakorlat Programtervez informatikus alapszak, A szakirány 2018/2019 tavaszi félév Megoldások, végeredmények
Matematikai statisztika gyakorlat Programtervez iformatikus alapszak, A szakiráy 8/9 tavaszi félév Megoldások, végeredméyek. A. évi épszámlálás alapjá a -4 év közötti épesség emek szeriti megoszlása Forrás:
RészletesebbenSorozatok október 15. Határozza meg a következ sorozatok határértékeit!
Sorozatok 20. október 5. Határozza meg a következ sorozatok határértékeit!. Zh feladat:vizsgálja meg mootoitás és korlátosság szerit az alábbi sorozatot! a + ha ; 2; 5 Mootoitás eldötéséhez vizsgáljuk
RészletesebbenMatematika B4 I. gyakorlat
Matematika B4 I. gyakorlat 2006. február 16. 1. Egy-dimeziós adatredszerek Va valamilye adatredszer (számsorozat), amelyről szereték kiszámoli bizoyos dolgokat. Az egyes értékeket jelöljük z i -vel, a
RészletesebbenInnen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha
. Végtele sorok. Bevezetés és defiíciók Bevezetéskét próbáljuk meg az 4... végtele összegek értelmet adi. Mivel végtele sokszor em tuduk összeadi, emiatt csak az első tagot adjuk össze: legye s = 4 8 =,
RészletesebbenSOROK Feladatok és megoldások 1. Numerikus sorok
SOROK Feladatok és megoldások. Numerikus sorok I. Határozza meg az alábbi, mértai sorra visszavezethető sorok esetébe az S -edik részletösszeget és a sor S összegét! )...... k 5 5 5 5 )...... 5 5 5 5 )......
RészletesebbenStatisztika 1. zárthelyi dolgozat március 18.
Statisztika. zárthelyi dolgozat 009. március 8.. Ismeretle m várható értékű, szórású ormális eloszlásból a következő hatelemű mitát kaptuk:, 48 3, 3, 83 0,, 3, 97 a) Számítsuk ki a mitaközepet és a tapasztalati
RészletesebbenMatematika A3 Valószínűségszámítás, 6. gyakorlat 2013/14. tavaszi félév
Matematika A3 Valószínűségszámítás, 6. gyakorlat 2013/14. tavaszi félév 1. A várható érték és a szórás transzformációja 1. Ha egy valószínűségi változóhoz hozzáadunk ötöt, mínusz ötöt, egy b konstanst,
Részletesebben1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3
Dr. Tóth László, Fejezetek az elemi számelméletből és az algebrából (PTE TTK, 200) Számelméleti függvéyek Számelméleti függvéyek értékeire voatkozó becslések A τ() = d, σ() = d d és φ() (Euler-függvéy)
RészletesebbenDebreceni Egyetem. Kalkulus példatár. Gselmann Eszter
Debrecei Egyetem Természettudomáyi és Techológiai Kar Kalkulus példatár Gselma Eszter Debrece, 08 Tartalomjegyzék. Valós számsorozatok Elméleti áttekités........................................................
RészletesebbenValószín ségszámítás és statisztika
Valószín ségszámítás és statisztika Informatika BSc, esti tagozat Backhausz Ágnes agnes@math.elte.hu fogadóóra: szerda 10-11 és 13-14, D 3-415 2018/2019. tavaszi félév Bevezetés A valószín ségszámítás
RészletesebbenFeladatok és megoldások a 11. heti gyakorlathoz
Feladatok és megoldások a. het gyakorlathoz dszkrét várható érték Építőkar Matematka A. Egy verseye öt ő és öt férf verseyző dul. Tegyük fel, hogy cs két azoos eredméy, és md a 0! sorred egyformá valószíű.
RészletesebbenJátékszabályok. a keresett valószín ség:
Játékszabályok Az óráko részt kell vei, maximum -szor lehet hiáyozi. Aki többször hiáyzik, em kap gyakjegyet. + x potot lehet szerezi a félév sorá: pot:. ZH a félév közepé pot:. ZH a félév végé x pot:
Részletesebben1. feladatlap megoldása. Analízis II. 1. Vizsgálja meg az alábbi sorokat konvergencia szempontjából! a) n 2 n = 1 1X 1
. feladatlap megoldása Aalízis II.. Vizsgálja meg az alábbi sorokat kovergecia szempotjából! a) X Alkalmazva a gyökkritériumot ("egyszer½usített változatát"): Azaz a sor koverges. b) p a!! p < : X 000
Részletesebben2. fejezet. Számsorozatok, számsorok
. fejezet Számsorozatok, számsorok .. Számsorozatok és számsorok... Számsorozat megadása, határértéke Írjuk fel képlettel az alábbi sorozatok -dik elemét! mooto, korlátos, illetve koverges-e! Vizsgáljuk
Részletesebben3. SOROZATOK. ( n N) a n+1 < a n. Egy sorozatot (szigorúan) monotonnak mondunk, ha (szigorúan) monoton növekvő vagy csökkenő.
3. SOROZATOK 3. Sorozatok korlátossága, mootoitása, kovergeciája Defiíció. Egy f : N R függvéyt valós szám)sorozatak evezük. Ha A egy adott halmaz és f : N A, akkor f-et A-beli értékű) sorozatak evezzük.
RészletesebbenVII. A határozatlan esetek kiküszöbölése
A határozatla esetek kiküszöbölése 9 VII A határozatla esetek kiküszöbölése 7 A l Hospital szabály A véges övekedések tétele alapjá egy függvéy értékét egy potba közelíthetjük az köryezetébe felvett valamely
RészletesebbenMatematikai statisztika
Matematikai statisztika PROGRAMTERVEZŐ INFORMATIKUS alapszak, A szakiráy Arató Miklós Valószíűségelméleti és Statisztika Taszék Természettudomáyi Kar 2019. február 18. Arató Miklós (ELTE) Matematikai statisztika
RészletesebbenMetrikus terek. továbbra is.
Metrius tere továbbra is. Defiíció: Legye X egy halmaz, d : X X R egy függvéy. Azt modju, hogy d metria (távolság), ha.. 3. 4. d d d d x, x 0, x, y 0 x y, x, y dy, x, x, z dx, y dy, z. Az X halmazt a d
RészletesebbenBevezetés. Valószínűségszámítás 2 előadás III. alk. matematikus szak. Irodalom. Egyéb info., számonkérés. Cél. Alapfogalmak (ismétlés)
Valószínűségszámítás 2 előaás III. alk. matematikus szak 2016/2017 1. félév Zempléni Anrás Bevezetés Iroalom, követelmények A félév célja Alapfogalmak mértékelméleti alapon Kapcsolóás a val.szám. 1-hez
RészletesebbenA biostatisztika alapfogalmai, konfidenciaintervallum. Dr. Boda Krisztina PhD SZTE ÁOK Orvosi Fizikai és Orvosi Informatikai Intézet
A biostatisztika alapfogalmai, kofideciaitervallum Dr. Boda Krisztia PhD SZTE ÁOK Orvosi Fizikai és Orvosi Iformatikai Itézet Mitavétel ormális eloszlásból http://www.ruf.rice.edu/~lae/stat_sim/idex.html
RészletesebbenANALÍZIS I. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK
ANALÍZIS I. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2012. július 2. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a ifo@baloghtamas.hu e-mail címe! Ez a Mű a Creative Commos Nevezd meg! - Ne add el! - Így add
RészletesebbenBarczy Mátyás és Pap Gyula
Barczy Mátyás és Pap Gyula mobidiák köyvtár Barczy Mátyás és Pap Gyula mobidiák köyvtár SOROZATSZERKESZTŐ Fazekas Istvá Barczy Mátyás és Pap Gyula Debrecei Egyetem mobidiák köyvtár Debrecei Egyetem Szerzők
RészletesebbenValószín ségszámítás és statisztika gyakorlat Programtervez informatikus szak, esti képzés
Valószí ségszámítás és statisztika gyakorlat Programtervez iformatikus szak, esti képzés.) Egy érmével dobuk. Ha az eredméy fej, akkor még egyszer dobuk, ha írás, akkor még kétszer. a.) Mik leszek a kísérletet
RészletesebbenStatisztika gyakorlat Geológus szakirány
Statisztika gyakorlat Geológus szakiráy Játékszabályok Az óráko részt kell vei, maximum 3-szor lehet hiáyozi. Az aláírás megszerzéséek lehetséges módjai: vagy ZH írásával vagy egy el re kihirdetett házi
RészletesebbenPályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov.
Pályázat címe: Új geerációs sorttudomáyi kézés és tartalomfejlesztés, hazai és emzetközi hálózatfejlesztés és társadalmasítás a Szegedi Tudomáyegyeteme Pályázati azoosító: TÁMOP-4...E-5//KONV-05-000 Sortstatisztika
RészletesebbenFélévi időbeosztás (nagyjából) házi feladat beadási határidőkkel (pontosan) Valószínűségszámítás 2. matematikusoknak és fizikusoknak, 2009 tavasz
Félévi időbeosztás (nagyjából) házi feladat beadási határidőkkel (pontosan) Valószínűségszámítás 2. matematikusoknak és fizikusoknak, 2009 tavasz Dátum Téma beadandó Feb 12Cs Konvolúció (normális, Cauchy,
RészletesebbenVirág Katalin. Szegedi Tudományegyetem, Bolyai Intézet
Függetleségvizsgálat Virág Katali Szegedi Tudomáyegyetem, Bolyai Itézet Függetleség Függetleség Két változó függetle, ha az egyik változó megfigyelése a másik változóra ézve em szolgáltat iformációt; azaz
RészletesebbenValószínűségszámítás II. feladatsor
Valószíűségszámítás II. feladatsor 214. szeptember 8. Tartalomjegyzék 1. Kovolúció 1 1.1. Poisso és Gamma eloszlások kapcsolata............................... 2 2. Geerátorfüggvéyek 3 2.1. Véletle tagszámú
RészletesebbenBIOSTATISZTIKA ÉS INFORMATIKA. Leíró statisztika
BIOSTATISZTIKA ÉS INFORMATIKA Leíró statisztika Első közelítésbe a statisztikai tevékeységeket égy csoportba sorolhatjuk, de ezek között ics éles határ:. adatgyűjtés, 2. az adatok áttekithetővé tétele,
RészletesebbenAnalízis feladatgy jtemény II.
Oktatási segédayag a Programtervez matematikus szak Aalízis I. tatárgyához (003004. taév szi félév) Aalízis feladatgy jteméy II. Összeállította Szili László 003 Tartalomjegyzék I. Feladatok 3. Valós sorozatok.......................................
RészletesebbenKomplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós
Komplex számok el adásvázlat, 008. február 1. Maróti Miklós Eek az el adásak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudi: test, test additív és multiplikatív csoportja, valós számok és tulajdoságaik.
RészletesebbenGazdasági matematika II. tanmenet
Gazdasági matematika II. tanmenet Mádi-Nagy Gergely A hivatkozásokban az alábbi tankönyvekre utalunk: T: Tóth Irén (szerk.): Operációkutatás I., Nemzeti Tankönyvkiadó 1987. Cs: Csernyák László (szerk.):
RészletesebbenMegjegyzések. További tételek. Valódi határeloszlások. Tulajdonságok. Gyenge (eloszlásbeli) konvergencia
Valószíűségszámítás és statisztika előadás ifo. BSC/B-C szakosokak 6. előadás október 5. Megjegyzések. A tétel feltételei gyegíthetőek: elég, ha a függetle, azoos eloszlású változók várható értéke véges.
RészletesebbenZavar (confounding): akkor lép fel egy kísérletben, ha a kísérletet végző nem tudja megkülönböztetni az egyes faktorokat.
Zavar és mita Zavar (cofoudig): akkor lép fel egy kísérletbe, ha a kísérletet végző em tudja megkülöbözteti az egyes faktorokat. Zavar és mita Zavar (cofoudig): akkor lép fel egy kísérletbe, ha a kísérletet
Részletesebben1/1. Házi feladat. 1. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy
/. Házi feladat. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy mindig igaz. (p (( p) q)) (( p) ( q)). Igazoljuk, hogy minden A, B és C halmazra A \ (B C) = (A \ B) (A \ C) teljesül.
RészletesebbenAnalízis I. gyakorlat
Aalízis I. gyakorlat Kocsis Albert Tihamér, Németh Adriá 06. március 4. Tartalomjegyzék Előszó.................................................... Sorozatok és sorok.............................................
Részletesebben1. Példa. A gamma függvény és a Fubini-tétel.
. Példa. A gamma függvény és a Fubini-tétel.. Az x exp x + t )) függvény az x, t tartományon folytonos, és nem negatív, ezért alkalmazható rá a Fubini-tétel. I x exp x + t )) dxdt + t dt π 4. [ exp x +
RészletesebbenIntervallum Paraméteres Hipotézisek Nemparaméteres. Statisztika december 2.
Itervallum Paraméteres Hipotézisek Nemparaméteres Statisztika Hipotézisvizsgálat Székely Balázs 2010. december 2. Itervallum Paraméteres Hipotézisek Nemparaméteres Előadás vázlat 1 Itervallumbecslések
Részletesebbenbiometria III. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert Hipotézisvizsgálat
Kísérlettervezés - biometria III. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert u-próba Feltétel: egy ormális eloszlású sokaság σ variaciájáak számszerű értéke ismert. Hipotézis: a sokaság µ várható értéke
RészletesebbenAutoregressziós folyamatok
Autoregressziós folyamatok.. Példa.. Az ε(t) folyamat függetle érték zaj, ha a várható értéke és ε(t)-k függetle, azoos eloszlású valószí ségi változók.. Az ε(t) folyamat fehér zaj, ha Eε(t) =, és ε(t)-k
RészletesebbenALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198.
ALGEBRA MÁSODFOKÚ POLINOMOK. Határozzuk meg az + p + q = 0 egyelet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 98.. Határozzuk meg az összes olya pozitív egész p és q számot, amelyre az
Részletesebben1. elıadás: Bevezetés. Számonkérés. Irodalom. Valószínőségszámítás helye a tudományok között. Cél
1 Valószíőségszámítás 1 elıadás alk.mat és elemzı szakosokak 2013/2014 1. félév Zempléi Adrás zemplei@ludes.elte.hu http://www.cs.elte.hu/~zemplei/ 1. elıadás: Bevezetés Irodalom, követelméyek A félév
RészletesebbenEötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar. Analízis 1. Írásbeli tételek. Készítette: Szántó Ádám Tavaszi félév
Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Iformatikai Kar Aalízis. Írásbeli tételek Készítette: Szátó Ádám 20. Tavaszi félév . Archimedes tétele. Tétel: a > 0 és b R : N : b < a. Bizoyítás: Idirekt úto tegyük fel, hogy
RészletesebbenElméleti összefoglaló a Sztochasztika alapjai kurzushoz
Elméleti összefoglaló a Sztochasztika alapjai kurzushoz 1. dolgozat Véletlen kísérletek, események valószín sége Deníció. Egy véletlen kísérlet lehetséges eredményeit kimeneteleknek nevezzük. A kísérlet
Részletesebben1. Adatok közelítése. Bevezetés. 1-1 A közelítő függvény
Palácz Béla - Soft Computig - 11-1. Adatok közelítése 1. Adatok közelítése Bevezetés A természettudomáyos feladatok megoldásához, a vizsgált jeleségek, folyamatok főbb jellemzői közötti összefüggések ismeretére,
RészletesebbenDebreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet
Debrecei Egyetem Közgazdaság- és Gazdaságtudomáyi Kar Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz a megoldásra feltétleül ajálott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottak
RészletesebbenValószínűségi változók. Várható érték és szórás
Matematikai statisztika gyakorlat Valószínűségi változók. Várható érték és szórás Valószínűségi változók 2016. március 7-11. 1 / 13 Valószínűségi változók Legyen a (Ω, A, P) valószínűségi mező. Egy X :
Részletesebben= λ valós megoldása van.
Másodredű álladó együtthatós lieáris differeciálegyelet. Általáos alakja: y + a y + by= q Ha q = 0 Ha q 0 akkor homogé lieárisak evezzük. akkor ihomogé lieárisak evezzük. A jobb oldalo lévő q függvéyt
RészletesebbenStatisztika. Földtudomány szak, geológus szakirány, 2015/2016. tanév tavaszi
Statisztika Földtudomáy szak, geológus szakiráy, 015/016. taév tavaszi félév Backhausz Áges (ELTE TTK Valószíűségelméleti és Statisztika Taszék)1 Tartalomjegyzék 1. Bevezetés 3 1.1. Példa: az adatok elemzése....................
RészletesebbenVéletlen bolyongás. 2. rész. Márkus László jegyzete alapján Tóth Tamás december 10.
2. rész 2012. december 10. Határeloszlás tételek a bolyongás funkcionáljaira 1 A bolygó pont helyzete: EX i = 0, D 2 X i = EX 2 = 1 miatt i ES n = 0, D 2 S n = n, és a centrális határeloszlás tétel (CHT)
RészletesebbenValószín ségszámítás. Survey statisztika mesterszak és földtudomány alapszak Backhausz Ágnes 2018/2019.
Valószín ségszámítás Survey statisztika mesterszak és földtudomány alapszak Backhausz Ágnes agnes@cs.elte.hu 2018/2019. szi félév A valószín ségszámítás kurzus céljai a statisztika megalapozása: a véletlen
RészletesebbenIzolált rendszer falai: sem munkavégzés, sem a rendszer állapotának munkavégzés nélküli megváltoztatása nem lehetséges.
ERMODINMIK I. FÉELE els eergia: megmaraó meyiség egy izolált reszerbe (eergiamegmaraás törvéye) mikroszkóikus kifejezését láttuk Izolált reszer falai: sem mukavégzés sem a reszer állaotáak mukavégzés élküli
Részletesebbenf(n) n x g(n), n x π 2 6 n, σ(n) n x
Számelméleti függvéyek extremális agyságredje Dr. Tóth László 2006 Bevezetés Ha számelméleti függvéyek, l. multilikatív vagy additív függvéyek agyságredjét vizsgáljuk, akkor először általába az adott függvéy
RészletesebbenHipotézis-ellenırzés (Statisztikai próbák)
Következtetı statisztika 5. Hipotézis-elleırzés (Statisztikai próbák) 1 Egymitás próbák Átlagra, aráyra, Szórásra Hipotézis-vizsgálat Áttekités Egymitás em paraméteres próbák Függetleségvizsgálat Illeszkedésvizsgálat
RészletesebbenValószínűségszámítás összefoglaló
Statisztikai módszerek BMEGEVGAT Készítette: Halász Gábor Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Gépészmérnöki Kar Hidrodinamikai Rendszerek Tanszék, Budapest, Műegyetem rkp. 3. D ép. 334. Tel:
RészletesebbenReakciómechanizmusok leírása. Paraméterek. Reakciókinetikai bizonytalanságanalízis. Bizonytalanságanalízis
Megbízható kémiai modellek kifejlesztése sok mérési adat egyidejő feldolgozása alajá uráyi amás www.turayi.eu ELE Kémiai Itézet Reakciókietikai Laboratórium Eddig dolgoztak eze a témá: (témavezetık: uráyi
RészletesebbenSzámsorozatok. 1. Alapfeladatok december 22. sorozat határértékét, ha. 1. Feladat: Határozzuk meg az a n = 3n2 + 7n 5n létezik.
Számsorozatok 2015. december 22. 1. Alapfeladatok 1. Feladat: Határozzuk meg az a 2 + 7 5 2 + 4 létezik. sorozat határértékét, ha Megoldás: Mivel egy tört határértéke a kérdés, ezért vizsgáljuk meg el
RészletesebbenStatisztika Elıadások letölthetık a címrıl
Statisztika Elıadások letölthetık a http://www.cs.elte.hu/~arato/stat*.pdf címrıl Konfidencia intervallum Def.: 1-α megbízhatóságú konfidencia intervallum: Olyan intervallum, mely legalább 1-α valószínőséggel
RészletesebbenWiener-folyamatok definiciója. A funkcionális centrális határeloszlástétel. Norbert Wienerre, a második pedig egy Brown nevű XIX. században élt angol
Wieer-folyamatok defiiciója. A fukcioális cetrális határeloszlástétel. A valószíűségszámítás egyik agyo fotos fogalma a Wieer-folyamat, amelyet Browmozgásak is hívak. Az első elevezés e fogalom első matematikailag
RészletesebbenKonvex optimalizálás feladatok
(1. gyakorlat, 2014. szeptember 16.) 1. Feladat. Mutassuk meg, hogy az f : R R, f(x) := x 2 függvény konvex (a másodrend derivált segítségével, illetve deníció szerint is)! 2. Feladat. Mutassuk meg, hogy
RészletesebbenSorozatok A.: Sorozatok általában
200 /2002..o. Fakt. Bp. Sorozatok A.: Sorozatok általába tam_soroz_a_sorozatok_altalaba.doc Sorozatok A.: Sorozatok általába Ad I. 2) Z/IV//a-e, g-m (CD II/IV/ Próbálj meg róluk miél többet elmodai. 2/a,
RészletesebbenStatisztika - bevezetés Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc 1
Statisztika - bevezetés 00.04.05. Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc Bevezetés Véletlen jelenség fogalma jelenséget okok bizonyos rendszere hozza létre ha mindegyik figyelembe vehető egyértelmű leírás általában
Részletesebbenx, x R, x rögzített esetén esemény. : ( ) x Valószínűségi Változó: Feltételes valószínűség: Teljes valószínűség Tétele: Bayes Tétel:
Feltételes valószínűség: Teljes valószínűség Tétele: Bayes Tétel: Valószínűségi változó általános fogalma: A : R leképezést valószínűségi változónak nevezzük, ha : ( ) x, x R, x rögzített esetén esemény.
Részletesebben