Statisztika. Földtudomány szak, geológus szakirány, 2015/2016. tanév tavaszi

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Statisztika. Földtudomány szak, geológus szakirány, 2015/2016. tanév tavaszi"

Átírás

1 Statisztika Földtudomáy szak, geológus szakiráy, 015/016. taév tavaszi félév Backhausz Áges (ELTE TTK Valószíűségelméleti és Statisztika Taszék)1 Tartalomjegyzék 1. Bevezetés Példa: az adatok elemzése Példa: hisztogram Alapstatisztikák 4.1. Példa: alapstatisztikák Redezett mita Mediá Példa: az átlag és a mediá összehasolítása Tapasztalati eloszlásfüggvéy Kvatilisek Példa: boxplot Tapasztalati mometumok Statisztikai mező A statisztika alaptétele Becslések és tulajdoságaik Torzítatlaság és hatásosság Aszimptotikus torzítatlaság és kozisztecia Kérdések, módosítási javaslatok, javítaivalók eseté: ages@cs.elte.hu 1

2 6. Elégséges statisztikák 1 7. Maximumlikelihood-módszer 1 8. Mometummódszer 9. Kofideciaitervallumok 3 10.Hipotézisvizsgálat A próbák jósága Neyma Pearso-lemma A ormális eloszlásra voatkozó próbák Egymitás u-próba Kétmitás u-próba Egymitás t-próba Kétmitás t-próba F -próba χ -próbák Illeszkedésvizsgálat Becsléses illeszkedésvizsgálat Függetleségvizsgálat Homogeitásvizsgálat Lieáris modell Az egyees meredeksége Előrejelzés

3 1. Bevezetés Célok: mérési eredméyek, kísérletekből származó adatok alapjá az adatok elemzése; a mért meyiség vagy abból származtatott más meyiségek becslése; hipotézisek elleőrzése vagy cáfolata; múltbeli adatok alapjá a jövőbeli folyamatok előrejelzése. Alkalmazási területek: élő és élettele természettudomáyok, társadalomtudomáyok: kísérleti eredméyek értelmezése idősorok, véletle folyamatok előrejelzése a természettudomáyokba vagy gazdaságtudomáyba; biztosítás és pézügyi matematika Példa: az adatok elemzése A Dua vízállása az elmúlt húsz apba (016. alakult (cetiméterbe mérve): jauár) Budapestél így A feti adatsort mitáak evezzük. A mitaelemek száma, vagyis a mita agysága: = 0. A legkisebb mitaelem 99, a legagyobb 18. A mita terjedelme a legagyobb és legkisebb mitelem külöbsége: = 119. A mitaelemek átlaga 149,9. A mita mediája (a agyság szeriti sorredbe két középső mitaelem átlaga): 141,5. A korrigált tapasztalati szórás: 38,55 (defiíció később). 3

4 A vízállás 5 apo volt 115 cm-él kevesebb (a apok egyegyedé), és 3 apo haladta meg a métert (a apok 15%-á). A legagyobb vísszitemelkedés 38 cetiméter volt (a. és 3. ap között), a legagyobb csökkeés 5 cm (a 7. és 8. ap között). Az átlag agyobb a mediáál. 1.. Példa: hisztogram Az adatok ábrázolásáak egy lehetséges módja hisztogram készítése. Választuk egy itervallumot, mely magába foglalja a mérési adatokat. Az itervallumot egyelő agyságú részekre osztjuk. Az így kapott kisebb itervallumok midegyikéhez hozzáredeljük az abba eső mitaelemek számát (gyakoriságát), és ezt ábrázoljuk. 1. ábra. A Dua vízállása húsz apo keresztül, éjfélkor (016. jauár). Alapstatisztikák Mita (sample): X 1,..., X (ezek valószíűségi változók). A mita elemszáma (size). Miimum: a legkisebb mitaelem, azaz mi(x 1, X,..., X ). Maximum: a legagyobb mitaelem, azaz max(x 1, X,..., X ). 4

5 . ábra. A Dua vízállásáról kapott húszelemű mitából készített hisztogram Terjedelem (rage): a legagyobb és legkisebb mitaelem külöbsége, azaz max(x 1, X,..., X ) mi(x 1, X,..., X ). Módusz (mode): az a mitaelem, amelyik leggyakrabba fordul elő. Átlag/mitaátlag (mea): X = X 1 + X X. Tapasztalati szóráségyzet (ucorrected variace): s = 1 [ (X k X ) ]. k=1 Tapasztalati szórás (ucorrected stadard deviatio): s = 1 [ (X k X ) ]. k=1 Korrigált tapasztalati szóráségyzet (variace, var): s = 1 [ (X k X ) ]. 1 k=1 5

6 Korrigált tapasztalati szórás (stadard deviatio, sd): s = 1 [ (X k X ) ]. 1 k=1 Szórási együttható (coefficiet of variatio [cv] / relative stadard deviatio [rsd]): c v = s X..1. állítás (A tapasztalati szóráségyzet másik alakja). A tapasztalati szóráségyzet így is kiszámítható: s = 1 [ k=1 X k ] X. Bizoyítás. Átredezéssel kapjuk, hogy (X k X) = k=1 = [ X k X k X + X ] = Xk X X + X = k=1 Xk X. k=1 k=1 Ebből adódik, hogy s = 1 [ ] (X k X) = 1 [ k=1 k=1 X k ] X, a tapasztalati szóráségyzet defiíciója alapjá..1. Példa: alapstatisztikák Továbbra is a Dua vízállásáról kapott mitát haszáljuk (cm):

7 mitaelemszám: = 0 mita: X 1 = 106, X = 133,..., X 10 = 135,..., X 0 = 186. átlag: X = 149, 9 tapasztalati szóráségyzet: s = 141, 09 tapasztalati szórás: s = 37, 58 korrigált tapasztalati szóráségyzet: s = 1486, 411 korrigált tapasztalati szórás: s = 38, 55 szórási együttható: c v = 0, Redezett mita Redezett mita: állítjuk. Jelölés: a mitaelemeket agyság szerit övekvő sorredbe (X 1, X,..., X ). Vagyis {X 1, X,..., X } = {X 1, X,..., X } és X 1 X... X. A miimum X 1, a maximum X. A k. legkisebb mitaelem X k. Példa: a vízállásról kapott húszelemű mita redezett mitája: X 1 = 99, X = 10, X 3 = 106,..., X 6 = 10,..., X 10 = 135 X 11 = 148,..., X 14 = 171,..., X 0 = Mediá Tekitsük az elemű (X 1, X,..., X ) mitát... defiíció. Ha páratla: a redezett mita középső elemét, azaz X(+1)/ -t a mita mediájáak evezzük. Ha páros: a redezett mita /. és / + 1. eleméek átlagát, azaz a X / + X /+1 7

8 meyiséget a mita mediájáak evezzük. Megjegyzés: páros eseté a teljes [ X /, X /+1] itervallumot (vagy aak bármely elemét) is a mita mediájáak lehet hívi. Példa: a vízállásról kapott húszelemű mita mediája: 1 (X 10 + X11) = 1 ( ) = 141, Példa: az átlag és a mediá összehasolítása Normális eloszlás 3. ábra. Az 500 elemű, ormális eloszlású mita hisztogramja 500 elemű függetle mita: X 1, X,..., X 500 függetleek, eloszlásuk ormális eloszlás m = 1 várható értékkel és σ = 1 szórással Mi. 1st Qu. Media Mea 3rd Qu. Max Expoeciális eloszlás 500 elemű függetle mita: Y 1, Y,..., Y 500 függetleek, eloszlásuk expoeciális eloszlás b = 1 paraméterrel. E(Y k ) = 1 és D(Y k ) = 1 mide k = 1,,..., 500-ra. 8

9 4. ábra. Az 500 elemű, expoeciális eloszlású mita hisztogramja Mi. 1st Qu. Media Mea 3rd Qu. Max A ormális eloszlás esetébe ics agy külöbség az átlagra és a mediára kapott értékek között, míg az expoeciális eloszlás eseté jeletős eltérés látszik (a várható érték és a szórás is midkét esetbe 1 volt, ebbe ics külöbség). Az m = 1 várható értékű és σ = 1 szórású ormális eloszlás sűrűségfüggvéye szimmetrikus az 1 körül: f(t) = 1 ( ) (t 1) exp (t R). π Az 1 paraméterű expoeciális eloszlás sűrűségfüggvéye em ilye: { exp( t), ha t > 0; g(t) = 0, ha t < 0. Ha a sűrűségfüggvéy szimmetrikus, akkor az átlag és a mediá általába közelebb esik egymáshoz, mit ha em érvéyes a szimmetria. Ezért ha az adatok semmilye szimmetriát em mutatak, gyakra a mediát tütetik fel. Szimmetrikus esetbe ikább az átlagot haszálják. 9

10 .5. Tapasztalati eloszlásfüggvéy Kérdés. Meyi aak valószíűsége, hogy 017. jauár 15-é a Dua vízállása 00 cm alatt marad? Mit tuduk erről modai az adatok alapjá? Legye X tetszőleges valószíűségi változó. Eek eloszlásfüggvéye az az F : R [0, 1] függvéy, melyre mide t R-re. F (t) = P(X t).3. defiíció (Tapasztalati eloszlásfüggvéy). Legyeek X 1, X,..., X valószíűségi változók. Eek a mitáak az eloszlásfüggvéye az az ˆF : R [0, 1] függvéy, melyre ˆF (t) = t-él kisebb mitaelemek száma = 1 I(X k t). k=1 Itt I(X k t) értéke 1, ha X k t teljesül (azaz a k. mitaelem legfeljebb t), és 0 külöbe. Tehát midet-re megadjuk a t-él em agyobb mitaelemek aráyát a mitába. 5. ábra. A Dua vízállásáról kapott húszelemű mita tapasztalati eloszlásfüggvéye Például, a korábbi redezett mitát tekitve a Dua vízállásáról: 10

11 A vízállás egy apo volt legfeljebb 100 cm, hat apo volt legfeljebb 10 cm, tizekét apo volt legfeljebb 160 cm, és tizehét apo volt legfeljebb 00 cm. Tehát: ˆF (100) = 1/0 = 0, 05; ˆF (10) = 6/0 = 0, 3; ˆF (160) = 1/0 = 0, 6; ˆF (00) = 17/0 = 0, Kvatilisek Kérdés. Olya magas gátat szereték építei, hogy agyjából húszévete kerüljö csak sor árvízi védekezésre. Potosabba, aak valószíűsége, hogy egy adott évbe a legmagasabb vízállás legfeljebb 1/0 valószíűséggel emelkedje a gát szitje fölé. Ha redelkezésre állak az egyes évek legmagasabb vízállásai, ez alapjá milye magasra kellee építeük a gátat? Legye X valószíűségi változó, melyek eloszlásfüggvéye F : F (t) = P(X t) (t R). Legye z [0, 1] adott szám. Ekkor az F eloszlásfüggvéy z-kvatilise: q z = mi{t : F (t) z}. Ha F szigorúa mooto övő, akkor q z = F 1 (z)..4. defiíció (Tapasztalati kvatilis). Legye X 1, X,..., X mita, és z [0, 1] adott szám. Ekkor a mita tapasztalati z-kvatilise a tapasztalati eloszlásfüggvéy z-kvatilise, vagyis: ˆq z = mi{t : ˆF (t) z}..5. defiíció (Tapasztalati kvartilisek.). A z = 1/4-hez tartozó 1/4- kvatilist a mita első kvartiliséek evezzük, és Q 1 -gyel jelöljük. A z = 3/4- hez tartozó 3/4-kvatilist a mita harmadik kvartiliséek evezzük, és Q 3 - mal jelöljük. 11

12 Például, szité a korábbi, vízállásra voatkozó mitát tekitve legye először z = 0, 5. Azt a legkisebb szitet keressük, amire igaz, hogy a mitaelemek fele kisebb ála. Ez a agyság szeriti sorredbe a 10. mitaelem lesz, tehát q 0,5 = 135, a két középső mitaelem közül a kisebb. Első kvartilis. A példába tekitsük az első kvartilist: z = 1/4. A legkisebb olya szitet keressük, amiél a mitaelemek egyede kisebb vagy egyelő. Mivel húsz elemű a mita, ez a agyság szeriti sorba az ötödik mitaelem lesz: Q 1 = q 1/4 = X 5 = 113. Harmadik kvartilis. Most azt a legkisebb szitet keressük, amiél a mitaelemek 3/4-e kisebb vagy egyelő. Ez a tizeötödik lesz a agyság szeriti sorba: Q 3 = q 3/4 = X 15 = 180. További kvatilisek. Például z = 0, az, amiél az elemek egyötöde kisebb: q 0, = X 4 = 111. Az a szit, amiél a mitaelem z = 0, 95 része kisebb (vagyis amit a mitaelemek 5%-a halad meg): q 0,95 = X 19 = 11. Kvatilisek számítása iterpolációval. A fet megadott defiíció helyett az alábbit is szokták haszáli. Ilyekor a kvatilis em a mitaelemek egyike, haem a agyság szeriti sorredbe két szomszédos mitaelem lieáris kombiációja. 1. elemű mita z-kvatilisét szereték meghatározi.. Legye m = ( + 1)z az ( + 1)z egészrésze, u = {( + 1)z} pedig ugyaeek a törtrésze. 3. A módosított defiíció értelmébe a tapasztalati z-kvatilis: q z = X m + u(x m+1 X m), ahol X k a agyság szeriti sorredbe a k. legkisebb mitaelem..7. Példa: boxplot A mitaelemek ábrázolásáak (és külööse más mitákkal való összehasolításáak) egy szokásos módja a boxplot készítése, melyhez a mita bizoyos kvatiliseit kell kiszámítai. 1

13 6. ábra. A Dua vízállásáról kapott húszelemű mita boxplotja. 7. ábra. Forrás: theasweris7.com 13

14 A boxplot készítéséhez szükséges adatok, és ezek értékei a vízállásra voatkozó mitába: miimum: a legkisebb mitaelem (99); első kvartilis: a z = 1/4-hez tartozó kvatilis (118,); mediá: a középső mitaelem, vagy a két középső mitaelem átlaga (141,5); harmadik kvartilis: a z = 3/4-hez tartozó kvatilis (181,5); maximum: a legagyobb mitaelem (18). terjedelem: a maximum és miimum külöbsége. Az egyes dobozok az első kvartilistől a harmadik kvartilisig tartaak. A középvoal helye a mediá. A voalak felölelhetik a teljes terjedelmet. Azok az adatok, melyek valamelyik iráyba messzebb esek a mediától, mit az első és harmadik kvartilis közötti távolság másfélszerese, gyakra külö pottal kerülek ábrázolásra (ilyekor a voalak az utolsó olya adatál érek véget, ami még belül va a másfélszeres távolságo)..8. Tapasztalati mometumok Legye továbbra is X 1, X,..., X a mita..6. defiíció. Legye k 1 egész. Ekkor a mita k. tapasztalati mometuma (kth sample momet) a mitaelemek k. hatváyaiak átlaga: 1 Xj k. j=1 Ekkor a mita k. cetrált tapasztalati mometuma (kth sample cetral momet): m k = 1 (X j X) k. j=1.7. defiíció. A tapasztalati ferdeség (sample skewess) két szokásos defiíciója: γ = m 1 3 j=1 = (X j X) 3 s 3 j=1 (X j X ) ). 3/ (

15 γ 1 = ( 1)( ) m3 s 3 = ( 1)( ) ( ) 3 Xj X. Vegyük észre, hogy a defiíciók csak az -től függő szorzótéyezőbe külöbözek. Heurisztika: ha az adatok hisztogramja agyjából szimmetrikus (a mediá körül), akkor a tapasztali ferdeség értéke a ullához közeli..8. defiíció. A lapultság (sample kurtosis) egy lehetséges defiíciója: κ = m 4 j=1 3 = (X j X) 4 m ( j=1 (X j X ) ) 3. j=1 s Ha Y ormális eloszlású valószíűségi változó, akkor E(Y 4 )/E(Y ) = 3, ezzel hasolítják össze a mitából kapott értéket. Ha olya eloszlásból veszük mitát, melyek sűrűségfüggvéye közel va a ormális eloszlás sűrűségfüggvéyéhez, ulla közeli lapultságra számíthatuk. Pozitív lapultság meredekebb (abszolút értékbe agyobb deriválttal redelkező), egatív lapultság kevésbé meredek sűrűségfüggvéyre utalhat. 3. Statisztikai mező 3.1. defiíció. Az (Ω, A, P) hármast statisztikai mezőek evezzük, ha mide P P-re (Ω, A, P) Kolmogorov-féle valószíűségi mező. Vagyis: ugyaazo az alaphalmazo (elemi eseméyek halmazá és az eseméyek halmazá) több valószíűségi mérték adott. Frekvetista megközelítés: a mita egyetle P-hez tartozó valószíűségi mezőből származik, és erről a P-ről szereték miél többet megtudi. (Ettől eltérő például a bayes-i módszerek alkalmazása, amiről em fog szó esi.) 3.. defiíció. Ha valamilye Θ R q halmazra a P halmaz felírható {P ϑ : ϑ Θ} alakba, akkor paraméteres statisztikai problémáról beszélhetük. Ilyekor a Θ halmazt paramétertérek evezzük defiíció ([1]). Legye (Ω, A, P) statisztikai mező. Egy X = (X 1, X,..., X ) : Ω H R 15

16 valószíűségi vektorváltozót ( elemű) mitáak evezük. Itt H a mitatér, a mita elemszáma vagy agysága. Az X i koordiáták a mita elemei. Azt modjuk, hogy a mita függetle, ha az X 1, X,..., X valószíűségi változók függetleek. A mitatére megadott T : H R k függvéyt, illetve a T = T (X) valószíűségi változót (k-dimeziós) statisztikáak evezzük. Példa. X 1, X,..., X 0 a Dua vízállására fet megadott 0 elemű adatsor. Ekkor = 0, a mitatér pedig legye H = [0, 000] 0 R 0, beépítve, hogy a vízállás em lehet egatív vagy (modjuk) 000-él agyobb. Legye T : H R az a függvéy, mely H mide eleméhez hozzáredeli a koordiátáiak átlagát. Ekkor k = 1, és a statisztika: T (X) = X 1 + X X 0. Vagyis ebbe az esetbe a mitaátlag (mit valószíűségi változó) lesz a statisztika. (Viszot a mita em függetle.) További példák statisztikára: korrigált tapasztalati szórás: T (X 1,..., X ) = s = 1 1 miimum és maximum (ilyekor k = ): (X k X) ; k=1 T (X 1,..., X ) = (mi(x 1,..., X ), max(x 1,..., X )); terjedelem: T (X 1,..., X ) = mi(x 1,..., X ) max(x 1,..., X )); mediá; redezett mita (ilyekor k = ): T (X 1,..., X ) = (X 1, X,..., X ). 4. A statisztika alaptétele 4.1. tétel (Gliveko, [1]). Legyeek X 1, X,..., X függetle azoos eloszlású valószíűségi változók, melyek közös eloszlásfüggvéye F. Ekkor az 16

17 ˆF tapasztalati eloszlásfüggvéyekből álló sorozat 1 valószíűséggel egyeletese tart F -hez, azaz ( P lim ˆF (t) F (t) ) = 0 = 1. sup t R 8. ábra. Stadard ormális eloszlás eloszlásfüggvéye és belőle vett 100 elemű mita tapasztalati eloszlásfüggvéye Eek a statisztikai mezőkre voatkozó következméyét így fogalmazhatjuk meg. Tegyük fel, hogy X 1, X,... függetle valószíűségi változók. Ekkor mide 1-re (X 1, X,..., X ) függetle mita, amiből kiszámíthatjuk az ˆF (t) tapasztalati eloszlásfüggvéyt: ˆF (t) = t-él em agyobb mitaelemek száma = 1 I(X k t). k=1 Másrészt ha az P valószíűség a statisztikai mezőbe az P egy tetszőleges eleme, akkor F (t) = P(X 1 t) = P(X t) =... = P(X t). Ilyekor eszerit a P szerit egy valószíűséggel teljesül, hogy a tapasztalati eloszlásfüggvéy és az igazi F eloszlásfüggvéy közötti legagyobb 17

18 távolság ullához tart. (Tehát mide P P-re igaz, hogy a tapasztalati eloszlásfüggvéy az ahhoz a P-hez tartozó F -hez kovergál.) A agy számok erős törvéye szerit (ismét felhaszálva a mita függetleségére voatkozó feltevést) az alábbi összefüggés teljesül mide rögzített t R-re: ( P lim ˆF (t) F (t) ) = 0 = 1. A statisztika alaptétele eél erősebbet állít: mide -re kiválaszthatuk egy tetszőleges t potot, ahol a külöbséget kiolvassuk, és így is ullához tartó sorozatot kapuk. 5. Becslések és tulajdoságaik Legye (Ω, A, P) statisztikai mező, ahol P = {P ϑ : ϑ Θ) valamely Θ halmazzal (ezt paramétertérek evezzük). Legye továbbá ψ : Θ R függvéy. Cél: olya T statisztika keresése, amire a T (X) valószíűségi változó és a ψ(ϑ) érték valamilye értelembe közel esik a P ϑ valószíűség mellett. Ezt mide ϑ Θ-ra szereték Torzítatlaság és hatásosság E ϑ azt jeleti, hogy a (Ω, A, P ϑ ) valószíűségi mezőbe számoluk várható értéket. A D ϑ szóráségyzetet és a D ϑ szórást hasolóképpe defiiálhatjuk defiíció (Torzítatlaság). A T : H R statisztika torzítatla becslés ψ-re, ha mide ϑ Θ-ra E ϑ (T (X 1,..., X )) = ψ(ϑ). A T statisztika torzítása a b T (ϑ) = E ϑ (T (X 1,..., X )) ψ(ϑ) függvéy. 5.. állítás (A várható érték torzítatla becslése). Legye X 1,..., X függetle azoos eloszlású mita. Legye ψ(ϑ) = E ϑ (X 1 ), azaz a mitáak a P ϑ eloszlás szeriti várható értéke. Ekkor a T (X 1,..., X ) = X statisztika, vagyis a mitaátlag torzítatla becslés ψ-re. Bizoyítás. A várható érték tulajdoságai alapjá ( ) X X E ϑ (T (X 1,..., X )) = E ϑ = 1 Eϑ (X 1 ) E ϑ (X ) [ ]. 18

19 Most felhaszálva, hogy az X 1,..., X valószíűségi változók azoos eloszlásúak, vagyis a várható értékük is azoos: E ϑ (T (X 1,..., X )) = 1 [ E ϑ(x 1 )] = E ϑ (X 1 ) = ψ(ϑ). Vagyis a mitaátlag torzítatla függvéye a várható értékek állítás (A szóráségyzet torzítatla becslése). X 1,..., X függetle azoos eloszlású mita. Legye ψ(ϑ) = Dϑ (X 1), azaz a mitáak a P ϑ eloszlás szeriti szóráségyzete. Ekkor a T (X 1,..., X ) = s statisztika, vagyis a korrigált tapasztalati szóráségyzet torzítatla becslés ψ-re. Bizoyítás. A.1. állítás bizoyításáak első egyelősége szerit s = 1 s = [ [ ] ] 1 Xk X = 1 [ ] Xk X. k=1 Felhaszálva a szóráségyzet defiícióját, és hogy a valószíűségi változók azoos eloszlásúak: ( ) E ϑ Xk = E ϑ (Xk) = E ϑ (X1) = [D ϑ(x 1 ) + E ϑ (X 1 ) ]. k=1 k=1 Másrészt, az összegre botásál felhaszálva, hogy a valószíűségi változók függetleek: ( ) Dϑ(X) = Dϑ X X = 1 D ϑ(x X ) = 1 D ϑ(x k ) = = 1 D ϑ(x 1 ) = 1 D ϑ(x 1 ). Az X mitaátlag várható értékét az előző állítás szerit ismerjük, ez E ϑ (X 1 ). Így, a mitaátlagra alkalmazva a szóráségyzet defiícióját: k=1 k=1 E ϑ ( X ) = D ϑ (X ) + E ϑ (X) = 1 D ϑ(x 1 ) + E ϑ (X 1 ). Midezeket összerakva: E ϑ (s ) = [ D 1 ϑ (X 1 )+E ϑ (X 1 ) ] 1 [ ] 1 D ϑ(x 1 )+E ϑ (X 1 ) = Dϑ(X 1 ). Azaz a korrigált tapasztalati szóráségyzet a szóráségyzet torzítatla becslése. 19

20 5.4. defiíció (Hatásosság). Legyeek T 1, T torzítatla becslései a paraméter ψ(ϑ) függvéyéek. Azt modjuk, hogy T 1 hatásosabb T -él, ha D ϑ (T 1) D ϑ (T ) teljesül mide ϑ Θ-ra. A T 1 becslés hatásos ψ(ϑ)-ra, ha ψ(ϑ) mide torzítatla becsléséél hatásosabb (és ő maga is torzítatla). Előfordul, hogy két torzítatla becslés közül egyik sem hatásosabb a másikál, azaz va két külöböző ϑ, amelyikél eltér, hogy melyikek kisebb a szórása a P ϑ mérték szerit. Nem midig létezik hatásos becslés, viszot ha létezik, akkor léyegébe egyértelmű (potosabba, ha T 1 és T hatásos becslések ψ(ϑ)-ra, akkor 1 valószíűséggel megegyezek) állítás. Legye (X 1,..., X ) függetle azoos eloszlású mita véges szórású eloszlásból. Ekkor ψ(ϑ) = E ϑ (X i )-re a mitaátlag hatásosabb mide j=1 c jx j alakú becslésél, ahol 0 c j és j=1 c j = 1. Az állítás a számtai és égyzetes közepek közötti egyelőtleségből adódik. Ugyaakkor a mitaátlag em mide esetbe hatásos becslése a várható értékek, csak a lieáris kombiációkál hatásosabb. 5.. Aszimptotikus torzítatlaság és kozisztecia Tekithetjük statisztikák egy sorozatát úgy, hogy az. statisztika az első mérési adattól függ. Például: X 1, X,... mérési eredméyek, és T = 1 (X X ) az első mérésből kapott adat átlaga defiíció. [1] A T = T (X 1,..., X ) aszimptotikusa torzítatla becsléssorozat ψ(ϑ)-ra, ha mide ϑ Θ-ra E ϑ (T (X 1,..., X )) ψ(ϑ) ( ) defiíció. [1] A T = T (X 1,..., X ) kozisztes becsléssorozat ψ(ϑ)- ra, ha mide ϑ Θ-ra (T (X 1,..., X )) ψ(ϑ) eseté sztochasztikusa, azaz mide ϑ Θ és ε > 0-ra teljesül, hogy ( P ϑ T ψ(ϑ) > ε ) 0 ( ). 0

21 A agy számok gyege törvéye alapjá a ψ(ϑ) = E ϑ (X 1 ) függvéyre a T = X X becsléssorozat kozisztes. Sőt a agy számok erős törvéye alapjá T ψ(ϑ) 1 valószíűséggel is teljesül mide ϑ Θ-ra eseté. 6. Elégséges statisztikák 6.1. defiíció (Diszkrét eset, [1]). Legye X = (X 1, X,..., X ) diszkrét mita (azaz tegyük fel, hogy a H mitatér véges vagy megszámlálhatóa végtele). A T (X) statisztika elégséges, ha mide x H, t T (H) párra igaz, hogy a P ϑ (X = x T (X) = t)) feltételes valószíűség em függ ϑ-tól. 6.. defiíció (Abszolút folytoos eset, [1]). Legye X függetle mita. Tegyük fel, hogy az X = (X 1,..., X ) mita eloszlása abszolút folytoos, együttes sűrűségfüggvéye f,ϑ. A T : H R statisztika elégséges, ha az együttes sűrűségfüggvéy felírható f,ϑ (y 1,..., y ) = h(y 1,..., y ) g ϑ (T (y 1,..., y )) alakba mide ϑ Θ-ra, valamely h és g ϑ függvéyekre. Függetle azoos eloszlású mita eseté a redezett mita (az adatok sorbaredezésével kapott adatsor) elégséges statisztika. 7. Maximumlikelihood-módszer 7.1. defiíció (Likelihood-függvéy). Legye Y 1,..., Y mita. Ha ezek abszolút folytoosak, és Y j sűrűségfüggvéye (a P ϑ -re voatkozóa) f j,ϑ, akkor a mita likelihood-függvéye: L,ϑ (t 1,..., t ) = f j,ϑ (t j ) j=1 (t 1,..., t R). Ha a mita diszkrét, akkor a mita likelihood-függvéye: L,ϑ (k 1,..., k ) = P j,ϑ (Y j = k j ) j=1 ((k 1,..., k ) H). 1

22 7.. defiíció (Maximum-likelihood becslés). A ϑ maximumlikelihoodbecslése (ML-becslése) az X 1,..., X mitából ˆϑ, ha ˆϑ maximalizálja a ϑ L,ϑ (X 1,..., X ) függvéyt, ahol L,ϑ a mita likelihood-függvéye. Azaz, ha L, ˆϑ(X 1,..., X ) L,ϑ (X 1,..., X ) mide ϑ Θ-ra. A maximumlikelihood-becslés tulajdoságai Nem mide statisztikai mező létezik ML-becslés. Az ML-becslés em feltétleül egyértelmű. Ha létezik ML-becslés, T pedig elégséges statisztika, akkor az MLbecslés felírható h(t (X 1,..., X )) alakba valamely h függvéyre. A ψ(ϑ) függvéy ML-becslése ψ( ˆϑ), ahol ˆϑ ML-becslés ϑ-ra. Megfelelő feltételek (erős regularitási feltételek mellett) az ML-becslés aszimpotikusa torzítatla, és aszimptotikusa ormális eloszlású, azaz ( ˆϑ ϑ) ormális eloszláshoz kovergál eloszlásba eseté (a P ϑ valószíűségre voatkozóa). Az alábbi egyelet a maximumlikelihood-egyelet: ϑ l L,ϑ(X 1,..., X ) = 0. Megfelelő feltételek mellett az ML-becslés a maximumlikelihood-egyelet megoldása (ha az ML-becslés em számítható ki, de az egyelet megoldható, gyakra az egyelet megoldásával helyettesítik az MLbecslést). 8. Mometummódszer Legye X 1,..., X függetle azoos eloszlású mita, (Ω, A, P) pedig statisztikai mező, P = {P ϑ : ϑ Θ}. Bizoyos esetekbe alkalmazható az alábbi eljárás. 1. Az eloszlás k. mometuma: µ k,ϑ = E ϑ (X k 1 ).. Legye ˆµ k = 1 j=1 Xk j az eloszlás k. tapasztalati mometuma.

23 3. Írjuk fel az alábbi egyeleteket a legkisebb olya k-ig, amire igaz, hogy az egyeletredszer egyértelműe meghatározza ϑ-t: E ϑ (X 1 ) = 1 X j ; E ϑ (X 1) = 1... E ϑ (X k 1 ) = 1 j=1 Xj ; j=1 Xj k. 4. A ϑ mometummódszerrel kapott becslése az a ˆϑ, ami megoldása a feti egyeletredszerek. A mometummódszerrel kapott becslés em biztos, hogy létezik, és em biztos, hogy egyértelmű. j=1 9. Kofideciaitervallumok Legye X = (X 1,..., X ) függetle azoos eloszlású mita, (Ω, A, P) pedig statisztikai mező, P = {P ϑ : ϑ Θ}, és tegyük fel, hogy ϑ valós paraméter, vagyis Θ R defiíció. Azt modjuk, hogy a (T 1 (X), T (X)) itervallum legalább 1 α megbízhatósági szitű kofideciaitervallum ϑ-ra, ha mide ϑ R eseté teljesül, hogy P ϑ (T 1 (X) < ϑ < T (X)) 1 α. A kofideciaitervallum megbízhatósági szitje: if ϑ Θ {P ϑ (ϑ (T 1, T ))}. A várható értékre ormális eloszlás eseté tuduk köye kofideciaitervallumot adi. (A cetrális határeloszlástétel alapjá agy mitaelemszám eseté alkalmazható lehet a ormális eloszlással való közelítés.) A következő jelölést fogjuk haszáli: ha q [0, 1], akkor u q = Φ 1 (q), ahol Φ a stadard ormális eloszlás eloszlásfüggvéye. Vagyis, ha Z stadard ormális eloszlású valószíűségi változó, akkor q = P(Z u q ) = 1 π uq 3 e s / ds.

24 9.. állítás (Kofideciaitervallum a várható értékre, ismert szórás). Tegyük fel, hogy X 1,..., X függetle azoos eloszlású ormális eloszlású valószíűségi változók, melyek szórása, σ ismert. Kétoldali kofideciaitervallum: Ekkor a ( (T 1, T ) = X u 1 α σ, X + u 1 α ) σ itervallum 1 α megbízhatósági szitű kofideciaitervallum az eloszlás várható értékére. Egyoldali kofideciaitervallumok 1 α megbízhatósági szittel, jobbról, illetve balról: ( σ, X + u 1 α ); ( X u 1 α ) σ, defiíció (t-eloszlás). Legyeek Z 0, Z 1,..., Z függetle stadard ormális eloszlású valószíűségi változók. Ekkor a Y = Z 0 Z Z valószíűségi változó eloszlását szabadsági fokú t-eloszlásak evezzük. Legye t (q) a q-kvatilise, vagyis az a szám, melyre az alábbi teljesül: ( ) Z 0 q = P(Y t (q)) = P t (q). Z Z 9.4. állítás (Kofideciaitervallum a várható értékre, ismeretle szórás). Tegyük fel, hogy X 1,..., X függetle azoos eloszlású ormális eloszlású valószíűségi változók (sem a várható értékük, sem a szórásuk em ismert). Kétoldali kofideciaitervallum: Ekkor a ( (T 1, T ) = (X t 1 1 α ) s (, X + t 1 1 α ) ) s itervallum 1 α megbízhatósági szitű kofideciaitervallum az eloszlás várható értékére. Egyoldali kofideciaitervallumok 1 α megbízhatósági szittel, jobbról, illetve balról: ( ( ) s s, X + t 1 (1 α) ); X t 1 (1 α),. 4

25 10. Hipotézisvizsgálat A hipotézisvizsgálat fő kérdései: lehet-e egy előzetes feltételezést (ullhipotézist) cáfoli az adatok alapjá? Meyire tér el a mita a ullhipotézis eseté várható tapasztalati eloszlástól? defiíció. Legye (Ω, A, P) paraméteres statisztikai mező, azaz P = {P ϑ : ϑ Θ} valamilye Θ paramétertérrel. A paraméterteret botsuk fel két diszjukt halmaz uiójára: Θ = Θ 0 Θ 1, ahol tehát Θ 0 Θ 1 =. Nullhipotézis. H 0 : ϑ Θ 0. Ellehipotézis. H 1 : ϑ Θ 1. A mita X = (X 1,..., X ), a mitatér legye B (vagyis (X 1,..., X ) a B R halmaz egy véletle eleme). A mitateret is felbotjuk két diszjukt halmaz uiójára: B = B 0 B 1, ahol B 0 B 1 =. Elfogadási tartomáy: B 0. Ha (X 1,..., X ) B 0, akkor H 0 -t elfogadjuk. Elutasítási (kritikus) tartomáy: B 1. Ha (X 1,..., X ) B 1, akkor H 0 -t elutasítjuk. A dötés értelmezése: ha H 0 -t elutasítottuk, az adatok statisztikai bizoyítékot szolgáltattak arra, hogy H 0 em igaz. Ha H 0 -t elfogadjuk: az adatok alapjá em tudjuk H 0 -t cáfoli, de arra sics bizoyíték, hogy igaz lee defiíció. Elsőfajú hibát vétük, ha H 0 igaz, és elutasítjuk. A próba terjedelme: α = sup ϑ Θ 0 P ϑ (X B 1 ). Másodfajú hibát vétük, ha H 0 em igaz, és elfogadjuk. A próba erőfüggvéye az alábbi β : Θ 1 [0, 1] függvéy: β(ϑ) = P ϑ (X B 1 ) (ϑ Θ 1 ). p-érték: a legagyobb olya terjedelem, ami mellett H 0 -t elfogadjuk. 5

26 10.1. A próbák jósága defiíció. A próba torzítatla, ha erőfüggvéye legalább akkora, mit a terjedelme: β(ϑ) α mide ϑ Θ 1 -re. A (B 0, B 1 ) próba egyeletese erősebb, mit a (B 0, B 1) próba, ha P ϑ (X B 1 ) P ϑ (X B 1) mide ϑ Θ 1 -re. A ( B () 0, B () ) 1 kozisztes próbasorozat, ha α α mide -re és lim β (ϑ) = 1 mide ϑ Θ 1 -re. Itt α az. próbához tartozó terjedelmet, β pedig a hozzá tartozó erőfüggvéyt jeleti Neyma Pearso-lemma Tegyük fel, hogy a ullhipotézis és az ellehipotézis is egyetle paraméterhez tartozik, vagyis: H 0 : ϑ = ϑ 0 ; H 1 : ϑ = ϑ 1. Legye ϑ 0 mellett a mita likelihood-függvéye L (0, x), míg ϑ 1 mellett L (1, x). Rögzítsük egy c pozitív számot és γ [0, 1]-t, és végezzük a következő eljárást (egy véletleített próbát): ha L(1,X) L (0,X) > c, akkor elutasítjuk H 0-t; ha L(1,X) L (0,X) = c, akkor sorsolást végzük (a mitától függetleül), és γ valószíűséggel elutasítjuk H 0 -t, külöbe elfogadjuk; ha L(1,X) L (0,X) > c, akkor elfogadjuk H 0-t tétel (Neyma Pearso-lemma). (i) Ha adott 0 < α 1 és a feti H 0 és H 1 egyszerű hipotézisek, akkor létezik olya c és γ, hogy a feti véletleített próba terjedelme potosa α. (ii) Ha adott c és γ: a feti véletleített próba egyeletese erősebb mide olya próbáál, melyek terjedelme em agyobb a feti véletleített próba terjedelméél. 6

27 11. A ormális eloszlásra voatkozó próbák Az alábbi próbák egyeletese legerősebb próbák a megegyező terjedelmű próbák közül az adott feladatokba Egymitás u-próba Az u-próba a ormális eloszlás várható értékére voatkozik, ha az eloszlás szórása ismert. Legyeek tehát X 1, X,..., X függetle ormális eloszlású valószíűségi változók m várható értékkel és σ szórással, ahol m ismeretle paraméter, σ ismert. Nullhipotézisre több lehetőség va (az m 0 érték adott): H 0 : m = m 0, vagy H 0 : m m 0, vagy H 0 : m m 0. A próbastatisztika, ami alapjá a dötést hozzuk: u = X m 0 σ. Ezt egy úgyevezett kritikus értékkel hasolítjuk össze, és ez alapjá fogadjuk el vagy utasítjuk el a ullhipotézist. A H 0 hipotézis mellett az u statisztika stadard ormális eloszlású. Emlékeztetőül: ha q [0, 1], akkor u q = Φ 1 (q), ahol Φ a stadard ormális eloszlás eloszlásfüggvéye. Kétoldali ellehipotézis: H 0 : m = m 0 ; H 1 : m m 0. Ha u > u 1 α/, akkor elvetjük a ullhipotézist, külöbe elfogadjuk. A p-érték ilyekor Φ( u ). Egyoldali ellehipotézis, balról: H 0 : m m 0 ; H 1 : m > m 0. Ha u > u 1 α, akkor elvetjük a ullhipotézist, külöbe elfogadjuk. A p-érték ilyekor 1 Φ(u). Egyoldali ellehipotézis, jobbról: H 0 : m m 0 ; H 1 : m < m 0. Ha u < u 1 α, akkor elvetjük a ullhipotézist, külöbe elfogadjuk. A p-érték ilyekor Φ(u). 7

28 11.. Kétmitás u-próba Legyeek most X 1, X,..., X 1, Y 1,..., Y függetle ormális eloszlású valószíűségi változók, ahol X i N(m 1, σ 1), Y i N(m, σ ). Itt m 1, m ismeretle paraméterek, σ 1, σ ismertek. A próbastatisztika, ami alapjá a dötést hozzuk: u = X Y σ 1 / 1 + σ /. A H 0 : m 1 = m hipotézis mellett az u statisztika stadard ormális eloszlású. Kétoldali ellehipotézis: H 0 : m 1 = m ; H 1 : m 1 m. Ha u > u 1 α/, akkor elvetjük a ullhipotézist, külöbe elfogadjuk. Egyoldali ellehipotézis, balról: H 0 : m 1 m ; H 1 : m 1 > m. Ha u > u 1 α, akkor elvetjük a ullhipotézist, külöbe elfogadjuk. Egyoldali ellehipotézis, jobbról: H 0 : m 1 m ; H 1 : m 1 < m. Ha u < u 1 α, akkor elvetjük a ullhipotézist, külöbe elfogadjuk Egymitás t-próba A t-próba a ormális eloszlás várható értékére voatkozik, ha az eloszlás szórása ismeretle. Legyeek tehát X 1, X,..., X függetle ormális eloszlású valószíűségi változók m várható értékkel és σ szórással, ahol m és σ is ismeretle paraméter. Nullhipotézisre több lehetőség va (az m 0 érték adott): H 0 : m = m 0, vagy H 0 : m m 0, vagy H 0 : m m 0. A próbastatisztika, ami alapjá a dötést hozzuk: t = X m 0 s, ahol s 1 = 1 j=1 (X j X). A H 0 : m = m 0 hipotézis mellett a t statisztika 1 szabadsági fokú t-eloszlású. Emlékeztetőül: legye t (q) a 8

29 q-kvatilise, vagyis az a szám, melyre az alábbi teljesül: ( ) Z 0 q = P(Y t (q)) = P t (q), Z Z ahol Z 0, Z 1,..., Z függetle stadard ormális eloszlásúak. Kétoldali ellehipotézis: H 0 : m = m 0 ; H 1 : m m 0. Ha t > t 1 (1 α/), akkor elvetjük a ullhipotézist, külöbe elfogadjuk. Egyoldali ellehipotézis, balról: H 0 : m m 0 ; H 1 : m > m 0. Ha t > t m 1 (1 α), akkor elvetjük a ullhipotézist, külöbe elfogadjuk. Egyoldali ellehipotézis, jobbról: H 0 : m m 0 ; H 1 : m < m 0. Ha t < t 1 (1 α), akkor elvetjük a ullhipotézist, külöbe elfogadjuk Kétmitás t-próba Legyeek most X 1, X,..., X 1, Y 1,..., Y függetle ormális eloszlású, azoos szórású valószíűségi változók, ahol X i N(m 1, σ ), Y i N(m, σ ). Itt m 1, m, σ ismeretle paraméterek. A próbastatisztika, ami alapjá a dötést hozzuk: X Y t = (1 1)s 1 (X) + ( 1)s (Y ) 1 ( 1 + ). 1 + A H 0 : m 1 = m hipotézis mellett a t statisztika 1 + szabadsági fokú t-eloszlású. Kétoldali ellehipotézis: H 0 : m 1 = m ; H 1 : m 1 m. Ha t > t 1 + (1 α/), akkor elvetjük a ullhipotézist, külöbe elfogadjuk. 9

30 Egyoldali ellehipotézis, balról: H 0 : m 1 m ; H 1 : m 1 > m. Ha t > t 1 + (1 α), akkor elvetjük a ullhipotézist, külöbe elfogadjuk. Egyoldali ellehipotézis, jobbról: H 0 : m 1 m ; H 1 : m 1 < m. Ha t < t 1 + (1 α), akkor elvetjük a ullhipotézist, külöbe elfogadjuk. Feltételeztük, hogy a két mita szórása megegyezik. Ezt (a kétmitás t- próba elvégzése előtt) gyakra az alábbi F -próbával elleőrzik. Ha a két szórás szigifikása eltér, más módszerekre lehet szükség F -próba Az F -próba függetle ormális eloszlású miták szórását hasolítja össze. Legyeek most X 1, X,..., X 1, Y 1,..., Y függetle ormális eloszlású valószíűségi változók, ahol X i N(m 1, σ 1), Y i N(m, σ ). Itt m 1, m, σ 1, σ ismeretle paraméterek. A próbastatisztika, ami alapjá a dötést hozzuk: F = s 1. s A H 0 : m 1 = m hipotézis mellett a F statisztika d 1 = 1 1 és d = 1 szabadsági fokokkal. Az F -eloszlás defiíciója: ha U 1,..., U d1, V 1,..., V d függetle stadard ormális eloszlású valószíűségi változók, akkor az alábbi háyados F -eloszlású d 1 és d szabadsági fokokkal: d (U1 + U Ud 1 ) d 1 (V1 + V Vd ). Legye F d1,d (q) az F -eloszlás q-kvatilise, vagyis az a szám, melyre q = P(W F d1,d (q)) teljesül, ha a W valószíűségi változó eloszlása F -eloszlás d 1 és d szabadsági fokokkal. Kétoldali ellehipotézis: H 0 : σ 1 = σ ; H 1 : σ 1 σ. Ha F > F d1,d (1 α/) vagy F < F d1,d (α/), akkor elvetjük a ullhipotézist, külöbe elfogadjuk. 30

31 Egyoldali ellehipotézis, balról: H 0 : σ 1 σ ; H 1 : σ 1 > σ. Ha F > F d1,d (1 α), akkor elvetjük a ullhipotézist, külöbe elfogadjuk. Egyoldali ellehipotézis, jobbról: H 0 : σ 1 σ ; H 1 : σ 1 < σ. Ha F < F d1,d (α), akkor elvetjük a ullhipotézist, külöbe elfogadjuk. 1. χ -próbák 1.1. Illeszkedésvizsgálat Legye A 1, A,..., A r teljes eseméyredszer, p 1, p,..., p r pedig olya emegatív számok, melyek összege 1. H 0 : P(A i ) = p i mide i = 1,,..., r-re. H 1 : P(A i ) p i valamelyik i = 1,,..., r-re. függetle megfigyelést végzük, jelölje N i, hogy háyszor következett be A i. Ha va olya N i, mely 4-él kevesebb: éháy eseméyt össze kell vouk, hogy a próbát alkalmazhassuk (vagyis A i és A j helyett A i A j -t és p 1 + p -t tekitjük). Számítsuk ki az alábbi meyiséget: T = r i=1 (N i p i ) p i. χ -próba: H 0 -t elfogadjuk, ha T kisebb az f = r 1 szabadsági fokú, α terjedelmű χ -próba c kritikus értékéél. A c kritikus értéket így defiiálhatjuk: P(Z 1 + Z Z f < c) = 1 α), ahol Z 1,..., Z f függetle stadard ormális eloszlású valószíűségi változók. Példa: r = 6, dobókockával dobuk, A i : a dobás értéke i. Legye p 1 = p =... = p 6 = 1/6, vagyis a ullhipotézis az, hogy szabályos a dobókocka. A próba terjedelméek α = 0, 05-öt választjuk. = 100 dobásból az alábbi értékek adódtak: érték gyakoriság

32 Chi-squared test for give probabilities data: kocka1 X-squared = 7.5, df = 5, p-value = Ekkor T = 7, 5 < c = 11, 1, tehát elfogadjuk azt a ullhipotézist, hogy a dobókocka szabályos. A p-érték 0, 1847 > 0, 05, tehát ics szigifikás eltérés a szabályossághoz képest. (Mide szám legalább 4-szer előfordult, em kell a beosztáso módosítai.) Ha ezerszer dobuk, és az alábbi eredméyek adódak: érték gyakoriság Chi-squared test for give probabilities data: kocka X-squared = , df = 5, p-value = Továbbra is α = 0, 05 terjedelem mellett számolva: T = 11, 684 > c = 11, 1, tehát elutasítjuk a ullhipotézist, statisztikai bizoyítékuk va arra, hogy a dobókocka em szabályos. A p-érték 0, < 0, 05, szigifikás eltérés va a szabályossághoz képest. 1.. Becsléses illeszkedésvizsgálat Továbbra is A 1, A,..., A r teljes eseméyredszer, elemű függetle miták va, és N i jelöli, hogy a háyszor következik be A i. Mide s S R d -re adottak p 1 (s), p (s),..., p r (s) emegatív számok, melyek összege 1. H 0 : va olya s S, melyre P(A i ) = p i (s) mide r = 1,,..., r-re. H 1 : ics olya s S, melyre P(A i ) = p i (s) mide r = 1,,..., r-re teljesüle. Az s paramétervektor (d dimeziós) maximumlikelihood-becslése legye ŝ, és legye ˆp i = p i (ŝ). Számítsuk ki az alábbi meyiséget: T = r i=1 (N i ˆp i ) ˆp i. Legye f = r d 1. A H 0 -t α terjedelem mellett elfogadjuk, ha T < c, ahol c az f szabadsági fokú kritikus értéke α terjedelem mellett. H 0-3

33 t elutasítjuk, ha T > c, ilyekor a mita szigifikása eltér az S által megadott eloszláscsaládtól. Példa. Az egy futballmérkőzése lőtt gólok száma a világbajokság 95 mérkőzésé: gólok száma mérkőzések száma Poisso-esetbe az s paraméter maximumlikelihood-becslése: ŝ = X = = 1, 379. Mivel vaak olya osztályok, ahova 4-él kevesebb megfigyelés esik, a beosztást módosítjuk: gólok száma mérkőzések száma Poisso(ˆp)-eloszlás 3,9 3,99,75 10,46 4,88 H 0 : az eloszlás Poisso-eloszlásból származik, valamely s > 0 paraméterrel (most d = 1). H 1 : az eloszlás em Poisso-eloszlás. Ebbe az esetbe T = 1, 04, f = = 3, a kritikus érték 7, 81. Tehát T < c, elfogadjuk, hogy a mita Poisso-eloszlásból származik Függetleségvizsgálat Két szempot szerit soroljuk osztályokba a megfigyeléseket. Az első szempot szerit r osztály va: A 1,..., A r. A második szempot szerit s osztály va: B 1,..., B s. H 0 : a két szempot függetle egymástól, azaz P(A i B j ) = P(A i ) P(B j ) mide i, j-re. H 1 : a ullhipotézis em igaz, a két szempot összefügg. Jelölje N ij azt, hogy háy olya megfigyelés va, melyre A i és B j teljesül. Legye továbbá N i = s j=1 N ij (azaz az A i gyakorisága); N j = r i=1 N ij (azaz B j gyakorisága); pedig az összes megfigyelés száma. Ekkor a próbastatisztika: ( r s Nij N ) i N j T =. i=1 j=1 33 N i N j

34 A szabadsági fok f = (r 1)(s 1). Legye c az f szabadsági fokú χ - próba kritikus értéke α terjedelem mellett. A próba: ha T < c (azaz a p-érték agyobb a terjedelmél), akkor elfogadjuk H 0 -t, em találtuk szigifikás összefüggést a szempotok között. Ha T > c (azaz a p-érték kisebb a terjedelemél), akkor elutasítjuk H 0 -t, az adatok szigifikás összefüggést mutatak. Ha r = s =, a próbastatisztika az alábbi egyszerűbb alakra hozható: T = ( N 11 N N 1 N 1 ) N 1 N N 1 N Homogeitásvizsgálat Legyeek X, Y valószíűségi változók. A valós számok halmazát botsuk fel diszjukt halmazok uiójára: A 1,..., A r. H 0 : az X és Y valószíűségi változók eloszlása megegyezik, azaz P(X A i ) = P(Y A i ) mide i = 1,,..., r-re. H 1 : az X és Y valószíűségi változók eloszlás eltérő, azaz va legalább egy i, melyre P(X A i ) P(Y A i ). Legye X 1,..., X, Y 1,..., Y m függetle mita úgy, hogy X 1,..., X eloszlása X eloszlása, Y 1,..., Y eloszlása Y eloszlása. Legye N i az A i gyakorisága az X mitába (azaz háyszor fordul elő, hogy X k az A i -be esik, és M i az A i gyakorisága az Y mitába. A próbastatisztika: T = r i=1 ) M i m m. N i + M i ( Ni A szabadsági fok: f = r 1. Legye c az f szabadsági fokú χ -próba kritikus értéke α terjedelem mellett. A próba: ha T < c (azaz a p-érték agyobb a terjedelmél), akkor elfogadjuk H 0 -t, em találtuk szigifikás eltérést az eloszlások között. Ha T > c (azaz a p-érték kisebb a terjedelemél), akkor elutasítjuk H 0 -t, az adatok szigifikás eltérést mutatak az eloszlások között. 34

35 13. Lieáris modell állítás (Lieáris regresszió). Legyeek (x 1, y 1 ), (x, y ),..., (x, y ) adott számpárok. Azokat az a és b együtthatókat keressük, melyre a h = 1 [y i (ax i + b)] i=1 meyiség miimális. Eek megoldása: â = i=1 (x i x)(y i y) k=1 (x k x) ; ˆb = y âx. Példa: a CFC-1 gáz kocetrációja az Atarktiszo (a gáz gyártását ba tiltották be). év kocetráció (ppm) Call: 9. ábra. A CFC-1 (freo) gáz kocetrációja az Atarktiszo és az adatokra illesztett egyees 35

36 lm(formula = cc ev, data = f1) Residuals: Coefficiets: Estimate Std. Error t value Pr(> t ) (Itercept).189e e *** ev 1.110e e *** --- Sigif. codes: 0 *** ** 0.01 * Residual stadard error:.85 o 3 degrees of freedom Multiple R-squared: , Adjusted R-squared: F-statistic: 606 o 1 ad 3 DF, p-value: defiíció (Lieáris modell). Legyeek X 1, X,..., X, Y 1,..., Y valószíűségi változók, és tegyük fel, hogy valamely a, b valós számokra Y i = ax i + b + ε i, ahol ε 1,..., ε függetle N(0, σ ) eloszlású valószíűségi változók. Az így kapott (X i, Y i ) párok együttes eloszlását lieáris modellek evezzük. Az X i valószíűségi változókat magyarázó változókak, az ε i valószíűségi változókat hibáak szokták evezi állítás (Becslések a lieáris modellbe). A lieáris modellbe az a, b együtthatók ML-likelihood becslése a következőképpe írható: i=1 â = (X i X)(Y i Y ) k=1 (X ; ˆb = Y âx. k X) Továbbá, ezek a becslések torzítatla becslései az a és b paraméterekek. A hiba szórásáak becslése (ez torzítatla becslés σ-ra): ˆσ = 1 (Y i âx i ˆb). A becslések szórása: D(â) = σ j=1 (X j X) ; j=1 D(ˆb) = σ 1 + X j=1 (X j X). 36

37 13.4. állítás (Előrejelzés a lieáris modellbe). Legye x adott szám. A lieáris modellből kapott előrejelzés az Y véletle folyamat x potba felvett értékére: âx + ˆb. Az előrejelzés szórása: D(âx + ˆb) 1 = σ + (x X) j=1 (X j X). 10. ábra. A CFC-11 és CFC-1 (freo) gáz kocetrációja (forrás: elte.promt.hu) Az előrejelzés szórásáak becslésekor a σ értéket gyakra ˆσ-val helyettesítik. A teljes igadozás (total sum of squares): j=1 (Y j Y ). Reziduális égyzetösszeg (residual sum of squares): (Y j âx j ˆb) = j=1 [ i=1 (X i X)(Y i Y ) ] k=1 (X k X) defiíció. A megmagyarázott igadozás részaráya (coefficiet of determiatio): R = [ i=1 (X i X)(Y i Y ) ] [ k=1 (X k X) ][ k=1 (Y k Y ) ]. Az R értéke 0 és 1 közé esik. Értelmezés: miél közelebb va 1-hez, aál ikább jó közelítést ad a lieáris modell. Ugyaakkor R érzékey a kiugró értékekre. 37

38 13.1. Az egyees meredeksége A lieáris tag együtthatójára voatkozó hipotézisvizsgálati feladat a következő: H 0 : a = 0 H 1 : a 0, vagy H 1 : a > 0 vagy H 1 : a < 0. A ullhipotézis mellett az alábbi meyiség szabadsági fokú t-eloszlású: ( ) i=1 t = â (X i X) i=1 (Y i âx i ˆb). Tehát α terjedelem mellett az alábbi próbát végezhetjük (a defiíciók a részbe szerepeltek). Kétoldali ellehipotézis, H 1 : a 0. Ha t > t (1 α/), akkor elutasítjuk H 0 -t (az együttható szigifikása eltér 0-tól), külöbe elfogadjuk. Egyoldali ellehipotézis, H 1 : a > 0. Ha t > t (1 α), akkor elutasítjuk H 0 -t (az együttható szigifikása agyobb 0-ál), külöbe elfogadjuk. Kétoldali ellehipotézis, H 1 : a < 0. Ha t < t (α), akkor elutasítjuk H 0 -t (az együttható szigifikása kisebb 0-ál), külöbe elfogadjuk. 1 α megbízhatósági szitű kofideciaitervallum a-ra: ( ˆσ â t (1 α) i=1 (X i X), â + t ˆσ (1 α) ). i=1 (X i X) 13.. Előrejelzés Ahogya korábba láttuk, az x potba az előrejelzett érték becslése â x +ˆb. 1 α megbízhatósági szitű kofideciaitervallum ax +b-re, azaz az x -ba felvett érték várható értékére: ( âx + ˆb 1 ± t (1 α) ˆσ + (x X) ). i=1 (X i X) 38

39 1 α megbízhatósági szitű kofideciaitervallum ax + b + ɛ(x )-ra, azaz az x -ba felvett értékre: ( âx + ˆb ± t (1 α) ˆσ (x X) ). i=1 (X i X) A kostas tagról azt tudhatjuk, hogy a b = 0 ullhipotézis eseté a t = ˆb i=1 (X i X). ˆσ j=1 X j Ez alapjá szité lehet hipotézisvizsgálatot végezi az a együttható esetéhez hasolóa. 39

40 Hivatkozások [1] Csiszár Villő: Statisztika jegyzet villo/esti/stat.pdf [] Móri-Szeidl-Zempléi: Matematikai statisztika példatár. ELTE Eötvös Kiadó, [3] Joh C. Davis: Statistics ad data aalysis i geology. Wiley, 00. [4] E. H. Isaaks ad R. M. Srivastava: Applied geostatistics. Oxford Uiversity Press,

Statisztika 1. zárthelyi dolgozat március 21.

Statisztika 1. zárthelyi dolgozat március 21. Statisztika 1 zárthelyi dolgozat 011 március 1 1 Legye X = X 1,, X 00 függetle mita b paraméterű Poisso-eloszlásból b > 0 Legye T 1 X = X 1+X ++X 100, T 100 X = X 1+X ++X 00 00 a Milye a számra igaz, hogy

Részletesebben

Statisztika 1. zárthelyi dolgozat március 18.

Statisztika 1. zárthelyi dolgozat március 18. Statisztika. zárthelyi dolgozat 009. március 8.. Ismeretle m várható értékű, szórású ormális eloszlásból a következő hatelemű mitát kaptuk:, 48 3, 3, 83 0,, 3, 97 a) Számítsuk ki a mitaközepet és a tapasztalati

Részletesebben

Az átlagra vonatkozó megbízhatósági intervallum (konfidencia intervallum)

Az átlagra vonatkozó megbízhatósági intervallum (konfidencia intervallum) Az átlagra voatkozó megbízhatósági itervallum (kofidecia itervallum) Határozzuk meg körül azt az itervallumot amibe előre meghatározott valószíűséggel esik a várható érték (µ). A várható értéket potosa

Részletesebben

Matematikai statisztika

Matematikai statisztika Matematikai statisztika PROGRAMTERVEZŐ INFORMATIKUS alapszak, A szakiráy Arató Miklós Valószíűségelméleti és Statisztika Taszék Természettudomáyi Kar 2019. február 18. Arató Miklós (ELTE) Matematikai statisztika

Részletesebben

biometria III. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert Hipotézisvizsgálat

biometria III. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert Hipotézisvizsgálat Kísérlettervezés - biometria III. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert u-próba Feltétel: egy ormális eloszlású sokaság σ variaciájáak számszerű értéke ismert. Hipotézis: a sokaság µ várható értéke

Részletesebben

Intervallum Paraméteres Hipotézisek Nemparaméteres. Statisztika december 2.

Intervallum Paraméteres Hipotézisek Nemparaméteres. Statisztika december 2. Itervallum Paraméteres Hipotézisek Nemparaméteres Statisztika Hipotézisvizsgálat Székely Balázs 2010. december 2. Itervallum Paraméteres Hipotézisek Nemparaméteres Előadás vázlat 1 Itervallumbecslések

Részletesebben

BIOMATEMATIKA ELŐADÁS

BIOMATEMATIKA ELŐADÁS BIOMATEMATIKA ELŐADÁS 10. A statisztika alapjai Debrecei Egyetem, 2015 Dr. Bérczes Attila, Bertók Csaád A diasor tartalma 1 Bevezetés 2 Statisztikai függvéyek Defiíció, empirikus várható érték Empirikus

Részletesebben

Matematikai statisztika gyakorlat 2018/2019 II. félév

Matematikai statisztika gyakorlat 2018/2019 II. félév Matematikai statisztika gyakorlat 018/019 II. félév 1. Táblázatok Viszoyszámok: V = A, ahol A: a viszoyítás tárgya (amit viszoyítuk); B B: a viszoyítás alapja (amihez viszoyítuk) Megoszlási: a sokaság

Részletesebben

A statisztikai vizsgálat tárgyát képező egyedek összességét statisztikai sokaságnak nevezzük.

A statisztikai vizsgálat tárgyát képező egyedek összességét statisztikai sokaságnak nevezzük. Statisztikai módszerek. BMEGEVGAT01 Készítette: Halász Gábor Budapesti Műszaki és Gazdaságtudomáyi Egyetem Gépészméröki Kar Hidrodiamikai Redszerek Taszék 1111, Budapest, Műegyetem rkp. 3. D ép. 334. Tel:

Részletesebben

A biostatisztika alapfogalmai, konfidenciaintervallum. Dr. Boda Krisztina PhD SZTE ÁOK Orvosi Fizikai és Orvosi Informatikai Intézet

A biostatisztika alapfogalmai, konfidenciaintervallum. Dr. Boda Krisztina PhD SZTE ÁOK Orvosi Fizikai és Orvosi Informatikai Intézet A biostatisztika alapfogalmai, kofideciaitervallum Dr. Boda Krisztia PhD SZTE ÁOK Orvosi Fizikai és Orvosi Iformatikai Itézet Mitavétel ormális eloszlásból http://www.ruf.rice.edu/~lae/stat_sim/idex.html

Részletesebben

Eddig megismert eloszlások Jelölése Eloszlása EX D 2 X P(X = 1) = p Ind(p) P(X = 0) = 1 p. Leíró és matematikai statisztika

Eddig megismert eloszlások Jelölése Eloszlása EX D 2 X P(X = 1) = p Ind(p) P(X = 0) = 1 p. Leíró és matematikai statisztika Leíró és matematikai statisztika Matematika alapszak, matematikai elemző szakiráy Zempléi Adrás Valószíűségelméleti és Statisztika Taszék Matematikai Itézet Természettudomáyi Kar Eötvös Lorád Tudomáyegyetem

Részletesebben

Statisztika gyakorlat Geológus szakirány

Statisztika gyakorlat Geológus szakirány Statisztika gyakorlat Geológus szakiráy Játékszabályok Az óráko részt kell vei, maximum 3-szor lehet hiáyozi. Az aláírás megszerzéséek lehetséges módjai: vagy ZH írásával vagy egy el re kihirdetett házi

Részletesebben

f (M (ξ)) M (f (ξ)) Bizonyítás: Megjegyezzük, hogy konvex függvényekre mindig létezik a ± ben

f (M (ξ)) M (f (ξ)) Bizonyítás: Megjegyezzük, hogy konvex függvényekre mindig létezik a ± ben Propositio 1 (Jese-egyelőtleség Ha f : kovex, akkor tetszőleges ξ változóra f (M (ξ M (f (ξ feltéve, hogy az egyelőtleségbe szereplő véges vagy végtele várható értékek létezek Bizoyítás: Megjegyezzük,

Részletesebben

Zavar (confounding): akkor lép fel egy kísérletben, ha a kísérletet végző nem tudja megkülönböztetni az egyes faktorokat.

Zavar (confounding): akkor lép fel egy kísérletben, ha a kísérletet végző nem tudja megkülönböztetni az egyes faktorokat. Zavar és mita Zavar (cofoudig): akkor lép fel egy kísérletbe, ha a kísérletet végző em tudja megkülöbözteti az egyes faktorokat. Zavar és mita Zavar (cofoudig): akkor lép fel egy kísérletbe, ha a kísérletet

Részletesebben

Statisztika (jegyzet)

Statisztika (jegyzet) Statisztika (jegyzet) Csiszár Vill 009. május 6.. Statisztikai mez A statisztika egyik ága a leíró statisztika. Ekkor a meggyelt adatokat áttekithet formába ábrázoljuk, pl. hisztogrammal (oszlopdiagrammal),

Részletesebben

Mo= argmax f(x), ha X abszolút folytonos; Mo= argmax P (X = x i ), ha X diszkrét.

Mo= argmax f(x), ha X abszolút folytonos; Mo= argmax P (X = x i ), ha X diszkrét. Segédayag a Matematikai statisztika tatárgyhoz 09 április 0 Leíró statisztika A statisztikai elemzések egyik legfotosabb eszközei a viszoyszámok A viszoyszám két statisztikai adat háyadosa Jelölések: V

Részletesebben

Virág Katalin. Szegedi Tudományegyetem, Bolyai Intézet

Virág Katalin. Szegedi Tudományegyetem, Bolyai Intézet Függetleségvizsgálat Virág Katali Szegedi Tudomáyegyetem, Bolyai Itézet Függetleség Függetleség Két változó függetle, ha az egyik változó megfigyelése a másik változóra ézve em szolgáltat iformációt; azaz

Részletesebben

Leíró és matematikai statisztika gyakorlat 2018/2019 II. félév

Leíró és matematikai statisztika gyakorlat 2018/2019 II. félév Leíró és matematikai statisztika gyakorlat 08/09 II. félév Táblázatok Viszoyszámok: V = A, ahol A: a viszoyítás tárgya amit viszoyítuk; B B: a viszoyítás alapja amihez viszoyítuk Megoszlási: a sokaság

Részletesebben

Valószín ségszámítás és statisztika

Valószín ségszámítás és statisztika Valószín ségszámítás és statisztika Informatika BSc, esti tagozat Backhausz Ágnes 2016/2017. tavaszi félév Valószín ségi vektorváltozó Deníció Az X = (X 1,..., X n ) : Ω R n függvény valószín ségi vektorváltozó,

Részletesebben

Populáció. Történet. Adatok. Minta. A matematikai statisztika tárgya. Valószínűségszámítás és statisztika előadás info. BSC/B-C szakosoknak

Populáció. Történet. Adatok. Minta. A matematikai statisztika tárgya. Valószínűségszámítás és statisztika előadás info. BSC/B-C szakosoknak Valószíűségszámítás és statisztika előadás ifo. BSC/B-C szakosokak 6. előadás október 16. A matematikai statisztika tárgya Következtetések levoása adatok alapjá Ipari termelés Mezőgazdaság Szociológia

Részletesebben

24. tétel A valószínűségszámítás elemei. A valószínűség kiszámításának kombinatorikus modellje.

24. tétel A valószínűségszámítás elemei. A valószínűség kiszámításának kombinatorikus modellje. 24. tétel valószíűségszámítás elemei. valószíűség kiszámításáak kombiatorikus modellje. GYORISÁG ÉS VLÓSZÍŰSÉG meyibe az egyes adatok a sokaságo belüli részaráyát adjuk meg (törtbe vagy százalékba), akkor

Részletesebben

Megjegyzések. További tételek. Valódi határeloszlások. Tulajdonságok. Gyenge (eloszlásbeli) konvergencia

Megjegyzések. További tételek. Valódi határeloszlások. Tulajdonságok. Gyenge (eloszlásbeli) konvergencia Valószíűségszámítás és statisztika előadás ifo. BSC/B-C szakosokak 6. előadás október 5. Megjegyzések. A tétel feltételei gyegíthetőek: elég, ha a függetle, azoos eloszlású változók várható értéke véges.

Részletesebben

A szórások vizsgálata. Az F-próba. A döntés. Az F-próba szabadsági fokai

A szórások vizsgálata. Az F-próba. A döntés. Az F-próba szabadsági fokai 05..04. szórások vizsgálata z F-próba Hogya foguk hozzá? Nullhipotézis: a két szórás azoos, az eltérés véletle (mitavétel). ullhipotézishez tartozik egy ú. F-eloszlás. Szabadsági fokok: számláló: - evező:

Részletesebben

2. egy iskola tanulói, a változók: magasságuk cm-ben, súlyuk (tömegük) kilóban; 3. egy iskola tanulói, a változó: tanulmányi átlaguk;

2. egy iskola tanulói, a változók: magasságuk cm-ben, súlyuk (tömegük) kilóban; 3. egy iskola tanulói, a változó: tanulmányi átlaguk; Statisztika Tegyük fel, hogy va egy halmazuk, és tekitsük egy vagy több valószíűségi változót, amelyek a halmaz mide elemé felveszek valamilye értéket. A halmazt populációak vagy sokaságak evezzük. Példák:

Részletesebben

Matematika B4 I. gyakorlat

Matematika B4 I. gyakorlat Matematika B4 I. gyakorlat 2006. február 16. 1. Egy-dimeziós adatredszerek Va valamilye adatredszer (számsorozat), amelyről szereték kiszámoli bizoyos dolgokat. Az egyes értékeket jelöljük z i -vel, a

Részletesebben

Segédanyag a Leíró és matematikai statisztika tantárgyhoz március 28.

Segédanyag a Leíró és matematikai statisztika tantárgyhoz március 28. Segédayag a Leíró és matematikai statisztika tatárgyhoz 07 március 8 Statisztikai sokaság: a meggyelés tárgyát képez egyedek összessége, halmaza Rövide sokaságak hívjuk A sokaság egysége: a sokaság egy

Részletesebben

A statisztika részei. Példa:

A statisztika részei. Példa: STATISZTIKA Miért tauljuk statisztikát? Mire haszálhatjuk? Szakirodalom értő és kritikus olvasásához Mit állít egyáltalá a cikk? Korrektek-e a megállaítások? Vizsgálatok (kísérletek és felmérések) tervezéséhez,

Részletesebben

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése A határozatla esetek kiküszöbölése 9 VII A határozatla esetek kiküszöbölése 7 A l Hospital szabály A véges övekedések tétele alapjá egy függvéy értékét egy potba közelíthetjük az köryezetébe felvett valamely

Részletesebben

18. Valószín ségszámítás. (Valószín ségeloszlások, függetlenség. Valószín ségi változók várható

18. Valószín ségszámítás. (Valószín ségeloszlások, függetlenség. Valószín ségi változók várható 8. Valószí ségszámítás. (Valószí ségeloszlások, függetleség. Valószí ségi változók várható értéke, magasabb mometumok. Kovergeciafajták, kapcsolataik. Borel-Catelli lemmák. Nagy számok gyege törvéyei.

Részletesebben

kismintás esetekben vagy olyanokban, melyeknél a tanulóalgoritmust tesztadatokon szeretnénk

kismintás esetekben vagy olyanokban, melyeknél a tanulóalgoritmust tesztadatokon szeretnénk ÚJRAMINTAVÉTELEZÉSI ELJÁRÁSOK A jackkife (zsebkés) és bootstrap (cipőhúzó a saját kallatyújáál fogva) eljárások agol elevezése is arra utal, hogy itt ad hoc eljárásokról va szó, melyek azoba agyo haszosak

Részletesebben

1. előadás: Bevezetés. Irodalom. Számonkérés. Cél. Matematikai statisztika előadás survey statisztika MA szakosoknak. A matematikai statisztika tárgya

1. előadás: Bevezetés. Irodalom. Számonkérés. Cél. Matematikai statisztika előadás survey statisztika MA szakosoknak. A matematikai statisztika tárgya Matematikai statisztika előadás survey statisztika MA szakosokak 206/207 2. félév Zempléi Adrás. előadás: Bevezetés Irodalom, követelméyek A félév célja Matematikai statisztika tárgya Törtéet Alapfogalmak

Részletesebben

6. feladatsor. Statisztika december 6. és 8.

6. feladatsor. Statisztika december 6. és 8. 6. feladatsor Statisztika 200. december 6. és 8.. Egy = 0 szervert tartalmazó kiszolgáló mide szervere mide pillaatba 0 < p < valószíűséggel foglalt, a foglaltságok szerverekét függetleek. Tehát a foglaltak

Részletesebben

æ MATEMATIKAI STATISZTIKA Dr. Bolla Marianna, Matematika Intézet, Sztochasztika Tanszék

æ MATEMATIKAI STATISZTIKA Dr. Bolla Marianna, Matematika Intézet, Sztochasztika Tanszék æ MATEMATIKAI STATISZTIKA Dr. Bolla Mariaa, Matematika Itézet, Sztochasztika Taszék Leíró statisztika Ω, A, P) statisztikai mező, ahol a P mértékcsalád olya P eloszlásokból áll, melyekkel Ω, A, P) valószíűségi

Részletesebben

Normális eloszlás paramétereire vonatkozó próbák

Normális eloszlás paramétereire vonatkozó próbák Normális eloszlás paramétereire vonatkozó próbák Az alábbi próbák akkor használhatók, ha a meggyelések függetlenek, és feltételezhetjük, hogy normális eloszlásúak a meggyelések függetlenek, véges szórású

Részletesebben

Áringadozások elıadás Kvantitatív pénzügyek szakirány 2012/13 2. félév

Áringadozások elıadás Kvantitatív pénzügyek szakirány 2012/13 2. félév Árigadozások elıadás Kvatitatív pézügyek szakiráy 01/13. félév Heti óra elıadás + óra gyakorlat Elıadás: fıleg modellek, elemzési módszerek Gyakorlat: R programmal, alkalmazások Számokérés 50%: beadadó

Részletesebben

Komputer statisztika

Komputer statisztika Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Iformatikai Itézet Tómács Tibor Komputer statisztika Eger, 010. október 6. Tartalomjegyzék Előszó 4 Jelölések 5 1. Valószíűségszámítás 7 1.1. Valószíűségi mező............................

Részletesebben

BIOSTATISZTIKA ÉS INFORMATIKA. Leíró statisztika

BIOSTATISZTIKA ÉS INFORMATIKA. Leíró statisztika BIOSTATISZTIKA ÉS INFORMATIKA Leíró statisztika Első közelítésbe a statisztikai tevékeységeket égy csoportba sorolhatjuk, de ezek között ics éles határ:. adatgyűjtés, 2. az adatok áttekithetővé tétele,

Részletesebben

A matematikai statisztika elemei

A matematikai statisztika elemei A matematikai statisztika elemei Mikó Teréz, dr. Szalkai Istvá szalkai@almos.ui-pao.hu Pao Egyetem, Veszprém 2014. március 23. 2 Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék 3 Bevezetés................................

Részletesebben

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov.

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov. Pályázat címe: Új geerációs sorttudomáyi kézés és tartalomfejlesztés, hazai és emzetközi hálózatfejlesztés és társadalmasítás a Szegedi Tudomáyegyeteme Pályázati azoosító: TÁMOP-4...E-5//KONV-05-000 Sortstatisztika

Részletesebben

(d) x 6 3x 2 2 = 0, (e) x + x 2 = 1 x, (f) 2x x 1 = 8, 2(x 1) a 1

(d) x 6 3x 2 2 = 0, (e) x + x 2 = 1 x, (f) 2x x 1 = 8, 2(x 1) a 1 . Bevezető. Oldja meg az alábbi egyeleteket: (a cos x + si x + cos x si x = (b π si x = x π 4 x 3π 4 cos x (c cos x + si x = si x (d x 6 3x = 0 (e x + x = x (f x + 5 + x = 8 (g x + + x + + x + x + =..

Részletesebben

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága Sorozatok, határérték fogalma. Függvéyek határértéke, folytoossága 1) Végtele valós számsorozatok Fogalma, megadása Defiíció: A természetes számok halmazá értelmezett a: N R egyváltozós valós függvéyt

Részletesebben

ezek alapján kívánunk dönteni. Ez formálisan azt jelenti, hogy ellenőrizni akarjuk,

ezek alapján kívánunk dönteni. Ez formálisan azt jelenti, hogy ellenőrizni akarjuk, A deceber -i gyakorlat téája A hipotézisvizsgálat fotos probléája a következő két kérdés vizsgálata. a) Egy véletle eyiség várható értékéek agyságáról va bízoyos feltevésük. Elleőrizi akarjuk e feltevés

Részletesebben

2. Hatványsorok. A végtelen soroknál tanultuk, hogy az. végtelen sort adja: 1 + x + x x n +...

2. Hatványsorok. A végtelen soroknál tanultuk, hogy az. végtelen sort adja: 1 + x + x x n +... . Függvéysorok. Bevezetés és defiíciók A végtele sorokál taultuk, hogy az + x + x + + x +... végtele összeg x < eseté koverges. A feti végtele összegre úgy is godolhatuk, hogy végtele sok függvéyt aduk

Részletesebben

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet):

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet): A umerikus sorozatok fogalma, határértéke (A TÁMOP-4-8//A/KMR-9-8 számú projekt keretébe írt egyetemi jegyzetrészlet): Koverges és diverges sorozatok Defiíció: A természetes számoko értelmezett N R sorozatokak

Részletesebben

Segédanyag a Leíró és matematikai statisztika tantárgyhoz március 1.

Segédanyag a Leíró és matematikai statisztika tantárgyhoz március 1. Segédayag a Leíró és matematikai statisztika tatárgyhoz 06 március Közgazdasági értelembe a statisztika a valóság tömör, számszer jellemzésére szolgáló tudomáyos módszerta, illetve gyakorlati tevékeység

Részletesebben

3. SOROZATOK. ( n N) a n+1 < a n. Egy sorozatot (szigorúan) monotonnak mondunk, ha (szigorúan) monoton növekvő vagy csökkenő.

3. SOROZATOK. ( n N) a n+1 < a n. Egy sorozatot (szigorúan) monotonnak mondunk, ha (szigorúan) monoton növekvő vagy csökkenő. 3. SOROZATOK 3. Sorozatok korlátossága, mootoitása, kovergeciája Defiíció. Egy f : N R függvéyt valós szám)sorozatak evezük. Ha A egy adott halmaz és f : N A, akkor f-et A-beli értékű) sorozatak evezzük.

Részletesebben

Statisztika október 27.

Statisztika október 27. Statisztika 2011. október 27. Külöbség valószíőségszámítás és statisztika között Kísérlet: 4-szer dobuk fel egy érmét. Megszámoljuk a fejek számát. Valszám: Ismert a fejdobás valószíősége. Milye valószíőséggel

Részletesebben

Statisztika Elıadások letölthetık a címrıl

Statisztika Elıadások letölthetık a címrıl Statisztika Elıadások letölthetık a http://www.cs.elte.hu/~arato/stat*.pdf címrıl Konfidencia intervallum Def.: 1-α megbízhatóságú konfidencia intervallum: Olyan intervallum, mely legalább 1-α valószínőséggel

Részletesebben

Gyakorló feladatok II.

Gyakorló feladatok II. Gyakorló feladatok II. Valós sorozatok és sorok Közgazdász szakos hallgatókak a Matematika B című tárgyhoz 2005. október Valós sorozatok elemi tulajdoságai F. Pozitív állítás formájába fogalmazza meg azt,

Részletesebben

1. Adatok kiértékelése. 2. A feltételek megvizsgálása. 3. A hipotézis megfogalmazása

1. Adatok kiértékelése. 2. A feltételek megvizsgálása. 3. A hipotézis megfogalmazása HIPOTÉZIS VIZSGÁLAT A hipotézis feltételezés egy vagy több populációról. (pl. egy gyógyszer az esetek 90%-ában hatásos; egy kezelés jelentősen megnöveli a rákos betegek túlélését). A hipotézis vizsgálat

Részletesebben

Statisztikai programcsomagok

Statisztikai programcsomagok Statisztikai programcsomagok Sz cs Gábor Szegedi Tudomáyegyetem, Bolyai Itézet Szeged, 2012. tavaszi félév Sz cs Gábor (SZTE, Bolyai Itézet) Statisztikai programcsomagok 2012. tavaszi félév 1 / 26 Bevezetés

Részletesebben

Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar. Analízis 1. Írásbeli tételek. Készítette: Szántó Ádám Tavaszi félév

Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar. Analízis 1. Írásbeli tételek. Készítette: Szántó Ádám Tavaszi félév Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Iformatikai Kar Aalízis. Írásbeli tételek Készítette: Szátó Ádám 20. Tavaszi félév . Archimedes tétele. Tétel: a > 0 és b R : N : b < a. Bizoyítás: Idirekt úto tegyük fel, hogy

Részletesebben

Hipotéziselmélet - paraméteres próbák. eloszlások. Matematikai statisztika Gazdaságinformatikus MSc szeptember 10. 1/58

Hipotéziselmélet - paraméteres próbák. eloszlások. Matematikai statisztika Gazdaságinformatikus MSc szeptember 10. 1/58 u- t- Matematikai statisztika Gazdaságinformatikus MSc 2. előadás 2018. szeptember 10. 1/58 u- t- 2/58 eloszlás eloszlás m várható értékkel, σ szórással N(m, σ) Sűrűségfüggvénye: f (x) = 1 e (x m)2 2σ

Részletesebben

Tudjuk, hogy az optimumot az ún. regressziós görbe szolgáltatja, melynek egyenlete:

Tudjuk, hogy az optimumot az ún. regressziós görbe szolgáltatja, melynek egyenlete: æ REGRESSZIÓANALÍZIS Az alapprobléma a következő: Az X, Y v.v. együttes eloszlásáak ismeretébe közelítei szereték Y-t X mérhető t fv.-ével legkisebb égyzetes értelembe: E(Y t(x)) 2 mi. t be. Tudjuk, hogy

Részletesebben

Matematika I. 9. előadás

Matematika I. 9. előadás Matematika I. 9. előadás Valós számsorozat kovergeciája +-hez ill. --hez divergáló sorozatok A határérték és a műveletek kapcsolata Valós számsorozatok mootoitása, korlátossága Komplex számsorozatok kovergeciája

Részletesebben

Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar. Analízis 1. Írásbeli beugró kérdések. Készítette: Szántó Ádám Tavaszi félév

Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar. Analízis 1. Írásbeli beugró kérdések. Készítette: Szántó Ádám Tavaszi félév Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Iformatikai Kar Aalízis 1. Írásbeli beugró kérdések Készítette: Szátó Ádám 2011. Tavaszi félév 1. Írja le a Dedekid-axiómát! Legyeek A R, B R. Ekkor ha a A és b B : a b, akkor

Részletesebben

I. Függelék. A valószínűségszámítás alapjai. I.1. Alapfogalamak: A valószínűség fogalma: I.2. Valószínűségi változó.

I. Függelék. A valószínűségszámítás alapjai. I.1. Alapfogalamak: A valószínűség fogalma: I.2. Valószínűségi változó. I. Függelék A valószíűségszámítás alapjai I.1. Alapfogalamak: Véletle jeleség: létrejöttét befolyásoló összes téyezőt em ismerjük. Tömegjeleség: a jeleség adott feltételek mellett akárháyszor megismételhető.

Részletesebben

V. Deriválható függvények

V. Deriválható függvények Deriválható függvéyek V Deriválható függvéyek 5 A derivált fogalmához vezető feladatok A sebesség értelmezése Legye az M egy egyees voalú egyeletes mozgást végző pot Ez azt jeleti, hogy a mozgás pályája

Részletesebben

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198.

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198. ALGEBRA MÁSODFOKÚ POLINOMOK. Határozzuk meg az + p + q = 0 egyelet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 98.. Határozzuk meg az összes olya pozitív egész p és q számot, amelyre az

Részletesebben

Kutatói pályára felkészítı modul

Kutatói pályára felkészítı modul Kutatói pályára felkészítı modul Kutatói pályára felkészítı kutatási ismeretek modul Tudomáyos kutatási alapayag feldolgozása, elemzési ismeretek KÖRNYEZETGAZDÁLKODÁSI MÉRNÖKI MSc TERMÉSZETVÉDELMI MÉRNÖKI

Részletesebben

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha . Végtele sorok. Bevezetés és defiíciók Bevezetéskét próbáljuk meg az 4... végtele összegek értelmet adi. Mivel végtele sokszor em tuduk összeadi, emiatt csak az első tagot adjuk össze: legye s = 4 8 =,

Részletesebben

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet Debrecei Egyetem Közgazdaság- és Gazdaságtudomáyi Kar Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz a megoldásra feltétleül ajálott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottak

Részletesebben

Statisztikai hipotézisvizsgálatok

Statisztikai hipotézisvizsgálatok Statisztikai hipotézisvizsgálatok. Milye problémákál haszálatos? A gyakorlatba agyo gyakra szükségük lehet arra, hogy mitákból származó iformációk alapjá hozzuk sokaságra voatkozó dötéseket. Például egy

Részletesebben

A tárgy címe: ANALÍZIS 1 A-B-C (2+2). 1. gyakorlat

A tárgy címe: ANALÍZIS 1 A-B-C (2+2). 1. gyakorlat A tárgy címe: ANALÍZIS A-B-C + gyakorlat Beroulli-egyelőtleség Legye N, x k R k =,, és tegyük fel, hogy vagy x k 0 k =,, vagy pedig x k 0 k =,, Ekkor + x k + x k Speciális Beroulli-egyelőtleség Ha N és

Részletesebben

véletlen : statisztikai törvényeknek engedelmeskedik (Mi az ami közös a népszavazásban, a betegségek gyógyulásában és a fiz. kém. laborban?

véletlen : statisztikai törvényeknek engedelmeskedik (Mi az ami közös a népszavazásban, a betegségek gyógyulásában és a fiz. kém. laborban? BEVEZETÉS A statisztika teljese laikusokak: agy mukával gyűjtött adatok vizsgálata, abból következtetések levoása ( statistical iferece ) (Egy kicsit sok hűhó semmiért azaz Much ado about othig.) Mi is

Részletesebben

Hipotézis STATISZTIKA. Kétmintás hipotézisek. Munkahipotézis (H a ) Tematika. Tudományos hipotézis. 1. Előadás. Hipotézisvizsgálatok

Hipotézis STATISZTIKA. Kétmintás hipotézisek. Munkahipotézis (H a ) Tematika. Tudományos hipotézis. 1. Előadás. Hipotézisvizsgálatok STATISZTIKA 1. Előadás Hipotézisvizsgálatok Tematika 1. Hipotézis vizsgálatok 2. t-próbák 3. Variancia-analízis 4. A variancia-analízis validálása, erőfüggvény 5. Korreláció számítás 6. Kétváltozós lineáris

Részletesebben

VÉLETLENÍTETT ALGORITMUSOK. 1.ea.

VÉLETLENÍTETT ALGORITMUSOK. 1.ea. VÉLETLENÍTETT ALGORITMUSOK 1.ea. 1. Bevezetés - (Mire jók a véletleített algoritmusok, alap techikák) 1.1. Gyorsredezés Vegyük egy ismert példát, a redezések témaköréből, méghozzá a gyorsredezés algoritmusát.

Részletesebben

18. Differenciálszámítás

18. Differenciálszámítás 8. Differeciálszámítás I. Elméleti összefoglaló Függvéy határértéke Defiíció: Az köryezetei az ] ε, ε[ + yílt itervallumok, ahol ε > tetszőleges. Defiíció: Az f függvéyek az véges helye vett határértéke

Részletesebben

1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3

1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3 Dr. Tóth László, Fejezetek az elemi számelméletből és az algebrából (PTE TTK, 200) Számelméleti függvéyek Számelméleti függvéyek értékeire voatkozó becslések A τ() = d, σ() = d d és φ() (Euler-függvéy)

Részletesebben

Nevezetes sorozat-határértékek

Nevezetes sorozat-határértékek Nevezetes sorozat-határértékek. Mide pozitív racioális r szám eseté! / r 0 és! r +. Bizoyítás. Jelöljük p-vel, illetve q-val egy-egy olya pozitív egészt, melyekre p/q r, továbbá legye ε tetszőleges pozitív

Részletesebben

Rudas Tamás: A hibahatár a becsült mennyiség függvényében a mért pártpreferenciák téves értelmezésének egyik forrása

Rudas Tamás: A hibahatár a becsült mennyiség függvényében a mért pártpreferenciák téves értelmezésének egyik forrása Rudas Tamás: A hibahatár a becsült meyiség függvéyébe a mért ártrefereciák téves értelmezéséek egyik forrása Megjelet: Agelusz Róbert és Tardos Róbert szerk.: Mérésről mérésre. A választáskutatás módszertai

Részletesebben

Valószín ségszámítás és statisztika

Valószín ségszámítás és statisztika Valószí ségszámítás és statisztika oktatási segédayag Kupá Pál Tartalomjegyzék fejezet Valószí ségszámítási alapfogalmak 5 Eseméyek 5 M veletek eseméyekkel 5 2 A valószí ség fogalma 7 3 Valószí ségi változók

Részletesebben

Bevezetés a hipotézisvizsgálatokba

Bevezetés a hipotézisvizsgálatokba Bevezetés a hipotézisvizsgálatokba Nullhipotézis: pl. az átlag egy adott µ becslése : M ( x -µ ) = 0 Alternatív hipotézis: : M ( x -µ ) 0 Szignifikancia: - teljes bizonyosság csak teljes enumerációra -

Részletesebben

GVMST22GNC Statisztika II. Keleti Károly Gazdasági Kar Vállalkozásmenedzsment Intézet

GVMST22GNC Statisztika II. Keleti Károly Gazdasági Kar Vállalkozásmenedzsment Intézet GVMST22GNC Statisztika II. 3. előadás: 8. Hipotézisvizsgálat Kóczy Á. László Keleti Károly Gazdasági Kar Vállalkozásmenedzsment Intézet Hipotézisvizsgálat v becslés Becslés Ismeretlen paraméter Közeĺıtő

Részletesebben

Bootstrap (Efron, 1979)

Bootstrap (Efron, 1979) Bootstrap (Efro, 979) 4. elıadás 204. március 3. Bootstrap módszerek, többdimeziós extrém-érték eloszlások illeszkedésvizsgálata Újramitavételezési eljárás, a becsléseik szórásáak vizsgálatára, modell-illeszkedés

Részletesebben

Matematikai statisztika

Matematikai statisztika Matematka statsztka 8. elıadás http://www.math.elte.hu/~arato/matstat0.htm Kétmtás eset: függetle mták + + + = + ) ( ) ( ) ( Y Y X X Y X m m m t m Ha smert a szórás: (X elemő, σ szórású, Y m elemő, σ szórású),

Részletesebben

Hipotézis, sejtés STATISZTIKA. Kétmintás hipotézisek. Tudományos hipotézis. Munkahipotézis (H a ) Nullhipotézis (H 0 ) 11. Előadás

Hipotézis, sejtés STATISZTIKA. Kétmintás hipotézisek. Tudományos hipotézis. Munkahipotézis (H a ) Nullhipotézis (H 0 ) 11. Előadás STATISZTIKA Hipotézis, sejtés 11. Előadás Hipotézisvizsgálatok, nem paraméteres próbák Tudományos hipotézis Nullhipotézis felállítása (H 0 ): Kétmintás hipotézisek Munkahipotézis (H a ) Nullhipotézis (H

Részletesebben

Hipotézis vizsgálatok

Hipotézis vizsgálatok Hipotézis vizsgálatok Hipotézisvizsgálat Hipotézis: az alapsokaság paramétereire vagy az alapsokaság eloszlására vonatkozó feltevés. Hipotézis ellenőrzés: az a statisztikai módszer, amelynek segítségével

Részletesebben

10.M ALGEBRA < <

10.M ALGEBRA < < 0.M ALGEBRA GYÖKÖS KIFEJEZÉSEK. Mutassuk meg, hogy < + +... + < + + 008 009 + 009 008 5. Mutassuk meg, hogy va olya pozitív egész szám, amelyre 99 < + + +... + < 995. Igazoljuk, hogy bármely pozitív egész

Részletesebben

Tartalom. Kezdeti szimulációs technikák. Tipikus kérdések. A bootstrap módszer. Bevezetés A független, azonos eloszlású eset:

Tartalom. Kezdeti szimulációs technikák. Tipikus kérdések. A bootstrap módszer. Bevezetés A független, azonos eloszlású eset: Tartalom A bootstrap módszer Zempléi Adrás TTK, Valószíőségelméleti és Statisztika Taszék 2010. október 21 Bevezetés A függetle, azoos eloszlású eset: emparaméteres paraméteres eset Alkalmazások a rétegzett

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 4 IV. MINTA, ALAPsTATIsZTIKÁK 1. MATEMATIKAI statisztika A matematikai statisztika alapfeladatát nagy általánosságban a következőképpen

Részletesebben

ORVOSI STATISZTIKA. Az orvosi statisztika helye. Egyéb példák. Példa: test hőmérséklet. Lehet kérdés? Statisztika. Élettan Anatómia Kémia. Kérdések!

ORVOSI STATISZTIKA. Az orvosi statisztika helye. Egyéb példák. Példa: test hőmérséklet. Lehet kérdés? Statisztika. Élettan Anatómia Kémia. Kérdések! ORVOSI STATISZTIKA Az orvos statsztka helye Életta Aatóma Kéma Lehet kérdés?? Statsztka! Az orvos dötéseket hoz! Mkor jó egy dötés? Meyre helyes egy dötés? Mekkora a tévedés lehetősége? Példa: test hőmérséklet

Részletesebben

1. A radioaktivitás statisztikus jellege

1. A radioaktivitás statisztikus jellege A radioaktivitás időfüggése 1. A radioaktivitás statisztikus jellege Va N darab azoos radioaktív atomuk, melyekek az atommagja spotá átalakulásra képes. tegyük fel, hogy ezek em bomlaak tovább. Ekkor a

Részletesebben

Számsorozatok. 1. Alapfeladatok december 22. sorozat határértékét, ha. 1. Feladat: Határozzuk meg az a n = 3n2 + 7n 5n létezik.

Számsorozatok. 1. Alapfeladatok december 22. sorozat határértékét, ha. 1. Feladat: Határozzuk meg az a n = 3n2 + 7n 5n létezik. Számsorozatok 2015. december 22. 1. Alapfeladatok 1. Feladat: Határozzuk meg az a 2 + 7 5 2 + 4 létezik. sorozat határértékét, ha Megoldás: Mivel egy tört határértéke a kérdés, ezért vizsgáljuk meg el

Részletesebben

Sorozatok október 15. Határozza meg a következ sorozatok határértékeit!

Sorozatok október 15. Határozza meg a következ sorozatok határértékeit! Sorozatok 20. október 5. Határozza meg a következ sorozatok határértékeit!. Zh feladat:vizsgálja meg mootoitás és korlátosság szerit az alábbi sorozatot! a + ha ; 2; 5 Mootoitás eldötéséhez vizsgáljuk

Részletesebben

Két diszkrét változó függetlenségének vizsgálata, illeszkedésvizsgálat

Két diszkrét változó függetlenségének vizsgálata, illeszkedésvizsgálat Két diszkrét változó függetlenségének vizsgálata, illeszkedésvizsgálat Szűcs Mónika SZTE ÁOK-TTIK Orvosi Fizikai és Orvosi Informatikai Intézet Orvosi fizika és statisztika I. előadás 2016.11.09 Orvosi

Részletesebben

2. fejezet. Számsorozatok, számsorok

2. fejezet. Számsorozatok, számsorok . fejezet Számsorozatok, számsorok .. Számsorozatok és számsorok... Számsorozat megadása, határértéke Írjuk fel képlettel az alábbi sorozatok -dik elemét! mooto, korlátos, illetve koverges-e! Vizsgáljuk

Részletesebben

Kabos: Statisztika II. t-próba 9.1. Ha ismert a doboz szórása de nem ismerjük a

Kabos: Statisztika II. t-próba 9.1. Ha ismert a doboz szórása de nem ismerjük a Kabos: Statisztika II. t-próba 9.1 Egymintás z-próba Ha ismert a doboz szórása de nem ismerjük a doboz várhatóértékét, akkor a H 0 : a doboz várhatóértéke = egy rögzített érték hipotézisről úgy döntünk,

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 8 VIII. REGREssZIÓ 1. A REGREssZIÓs EGYENEs Két valószínűségi változó kapcsolatának leírására az eddigiek alapján vagy egy numerikus

Részletesebben

biometria II. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert Matematikai-statisztikai adatfeldolgozás

biometria II. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert Matematikai-statisztikai adatfeldolgozás Kísérlettervezés - biometria II. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert Matematikai-statisztikai adatfeldolgozás A matematikai-statisztika feladata tapasztalati adatok feldolgozásával segítséget nyújtani

Részletesebben

Leíró és matematikai statisztika el adásnapló Matematika alapszak, matematikai elemz szakirány 2016/2017. tavaszi félév

Leíró és matematikai statisztika el adásnapló Matematika alapszak, matematikai elemz szakirány 2016/2017. tavaszi félév Leíró és matematikai statisztika el adásnapló Matematika alapszak, matematikai elemz szakirány 2016/2017. tavaszi félév A pirossal írt anyagrészeket nem fogom közvetlenül számon kérni a vizsgán, azok háttérismeretként,

Részletesebben

A függvénysorozatok olyanok, mint a valós számsorozatok, csak éppen a tagjai nem valós számok,

A függvénysorozatok olyanok, mint a valós számsorozatok, csak éppen a tagjai nem valós számok, l.ch FÜGGVÉNYSOROZATOK, FÜGGVÉNYSOROK, HATVÁNYSOROK Itt egy függvéysorozat: f( A függvéysorozatok olyaok, mit a valós számsorozatok, csak éppe a tagjai em valós számok, 5 haem függvéyek, f ( ; f ( ; f

Részletesebben

x, x R, x rögzített esetén esemény. : ( ) x Valószínűségi Változó: Feltételes valószínűség: Teljes valószínűség Tétele: Bayes Tétel:

x, x R, x rögzített esetén esemény. : ( ) x Valószínűségi Változó: Feltételes valószínűség: Teljes valószínűség Tétele: Bayes Tétel: Feltételes valószínűség: Teljes valószínűség Tétele: Bayes Tétel: Valószínűségi változó általános fogalma: A : R leképezést valószínűségi változónak nevezzük, ha : ( ) x, x R, x rögzített esetén esemény.

Részletesebben

Bevezetes a matematikai statisztikaba Dr. Ketskemety Laszlo, iter Marta Budapest, 999. ovember. Lektoralta: Dr. Gyor Laszlo Szerkesztette: Gy}ori Sador Tartalomjegyzek. A matematikai statisztika alapfogalmai

Részletesebben

Valószín ségszámítás és statisztika gyakorlat Programtervez informatikus szak, esti képzés

Valószín ségszámítás és statisztika gyakorlat Programtervez informatikus szak, esti képzés Valószí ségszámítás és statisztika gyakorlat Programtervez iformatikus szak, esti képzés.) Egy érmével dobuk. Ha az eredméy fej, akkor még egyszer dobuk, ha írás, akkor még kétszer. a.) Mik leszek a kísérletet

Részletesebben

Abszolút folytonos valószín ségi változó (4. el adás)

Abszolút folytonos valószín ségi változó (4. el adás) Abszolút folytonos valószín ségi változó (4. el adás) Deníció (Abszolút folytonosság és s r ségfüggvény) Az X valószín ségi változó abszolút folytonos, ha van olyan f : R R függvény, melyre P(X t) = t

Részletesebben

Dr. Karácsony Zsolt. Miskolci Egyetem november

Dr. Karácsony Zsolt. Miskolci Egyetem november Valószínűségszámítás és Matematikai statisztika Dr. Karácsony Zsolt Miskolci Egyetem, Alkalmazott Matematikai Tanszék 2013-2014 tanév 1. félév Miskolci Egyetem 2013. november 11-18 - 25. Dr. Karácsony

Részletesebben

SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo

SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo SZÁMELMÉLET Vasile Beride, Filippo Spagolo A számelmélet a matematika egyik legrégibb ága, és az egyik legagyobb is egybe Eek a fejezetek az a célja, hogy egy elemi bevezetést yújtso az első szite lévő

Részletesebben

KÍSÉRLETTERVEZÉS ÉS ÉRTÉKELÉS A MIKROBIOLÓGIAI GYAKORLATBAN

KÍSÉRLETTERVEZÉS ÉS ÉRTÉKELÉS A MIKROBIOLÓGIAI GYAKORLATBAN KÍSÉRLETTERVEZÉS ÉS ÉRTÉKELÉS A MIKROBIOLÓGIAI GYAKORLATBAN DR. REICHART OLIVÉR 005. Budapest Lektorálta: Zukál Edre Tartalom BEVEZETÉS 3. VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁSI ALAPOK 5.. Kombiatorikai alapösszefüggések

Részletesebben

ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA

ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA Szerkesztette: Balogh Tamás 202. július 2. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a ifo@baloghtamas.hu e-mail címe! Ez a Mű a Creative Commos Nevezd meg! - Ne add

Részletesebben