Prezentációk készítése
|
|
|
- Adrián Orbán
- 8 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Prezentációk készítése / 14 Prezentációk készítése Beamer gyorstalpaló Írta: Kiss Emil ewkiss@cs.elte.hu 2009
2 Áttekintés Prezentációk készítése / 14 A beamer koncepciója A beamer egy L A TEXprogramcsomag.
3 Áttekintés Prezentációk készítése / 14 A beamer koncepciója A beamer egy L A TEXprogramcsomag. Prezentációt és nyomtatható változatot is készít egyazon TEX forrásból.
4 Áttekintés Prezentációk készítése / 14 A beamer koncepciója A beamer egy L A TEXprogramcsomag. Prezentációt és nyomtatható változatot is készít egyazon TEX forrásból. Mindkettő egy pdf file.
5 Áttekintés Prezentációk készítése / 14 A beamer koncepciója A beamer egy L A TEXprogramcsomag. Prezentációt és nyomtatható változatot is készít egyazon TEX forrásból. Mindkettő egy pdf file. A prezentáció vetítésekor
6 Áttekintés Prezentációk készítése / 14 A beamer koncepciója A beamer egy L A TEXprogramcsomag. Prezentációt és nyomtatható változatot is készít egyazon TEX forrásból. Mindkettő egy pdf file. A prezentáció vetítésekor A PgDn megnyomása mindig újabb adatot jelenít meg.
7 Áttekintés Prezentációk készítése / 14 A beamer koncepciója A beamer egy L A TEXprogramcsomag. Prezentációt és nyomtatható változatot is készít egyazon TEX forrásból. Mindkettő egy pdf file. A prezentáció vetítésekor A PgDn megnyomása mindig újabb adatot jelenít meg. A most látható frame 15 slide-ból áll,
8 Áttekintés Prezentációk készítése / 14 A beamer koncepciója A beamer egy L A TEXprogramcsomag. Prezentációt és nyomtatható változatot is készít egyazon TEX forrásból. Mindkettő egy pdf file. A prezentáció vetítésekor A PgDn megnyomása mindig újabb adatot jelenít meg. A most látható frame 15 slide-ból áll, mert a 14. gombnyomásra jelenik meg az utolsó sor.
9 Áttekintés Prezentációk készítése / 14 A beamer koncepciója A beamer egy L A TEXprogramcsomag. Prezentációt és nyomtatható változatot is készít egyazon TEX forrásból. Mindkettő egy pdf file. A prezentáció vetítésekor A PgDn megnyomása mindig újabb adatot jelenít meg. A most látható frame 15 slide-ból áll, mert a 14. gombnyomásra jelenik meg az utolsó sor. A TEX forrásban csak egyszer kell leírni a tartalmát,
10 Áttekintés Prezentációk készítése / 14 A beamer koncepciója A beamer egy L A TEXprogramcsomag. Prezentációt és nyomtatható változatot is készít egyazon TEX forrásból. Mindkettő egy pdf file. A prezentáció vetítésekor A PgDn megnyomása mindig újabb adatot jelenít meg. A most látható frame 15 slide-ból áll, mert a 14. gombnyomásra jelenik meg az utolsó sor. A TEX forrásban csak egyszer kell leírni a tartalmát, de a prezentációs pdf file-ban ez 15 oldal.
11 Áttekintés Prezentációk készítése / 14 A beamer koncepciója A beamer egy L A TEXprogramcsomag. Prezentációt és nyomtatható változatot is készít egyazon TEX forrásból. Mindkettő egy pdf file. A prezentáció vetítésekor A PgDn megnyomása mindig újabb adatot jelenít meg. A most látható frame 15 slide-ból áll, mert a 14. gombnyomásra jelenik meg az utolsó sor. A TEX forrásban csak egyszer kell leírni a tartalmát, de a prezentációs pdf file-ban ez 15 oldal. Mindegyik frame alján navigáló gombok találhatók.
12 Áttekintés Prezentációk készítése / 14 A beamer koncepciója A beamer egy L A TEXprogramcsomag. Prezentációt és nyomtatható változatot is készít egyazon TEX forrásból. Mindkettő egy pdf file. A prezentáció vetítésekor A PgDn megnyomása mindig újabb adatot jelenít meg. A most látható frame 15 slide-ból áll, mert a 14. gombnyomásra jelenik meg az utolsó sor. A TEX forrásban csak egyszer kell leírni a tartalmát, de a prezentációs pdf file-ban ez 15 oldal. Mindegyik frame alján navigáló gombok találhatók. A frame fejléce és a lábléce testreszabható.
13 Áttekintés Prezentációk készítése / 14 A beamer koncepciója A beamer egy L A TEXprogramcsomag. Prezentációt és nyomtatható változatot is készít egyazon TEX forrásból. Mindkettő egy pdf file. A prezentáció vetítésekor A PgDn megnyomása mindig újabb adatot jelenít meg. A most látható frame 15 slide-ból áll, mert a 14. gombnyomásra jelenik meg az utolsó sor. A TEX forrásban csak egyszer kell leírni a tartalmát, de a prezentációs pdf file-ban ez 15 oldal. Mindegyik frame alján navigáló gombok találhatók. A frame fejléce és a lábléce testreszabható. A nyomtatható változatban ez a frame
14 Áttekintés Prezentációk készítése / 14 A beamer koncepciója A beamer egy L A TEXprogramcsomag. Prezentációt és nyomtatható változatot is készít egyazon TEX forrásból. Mindkettő egy pdf file. A prezentáció vetítésekor A PgDn megnyomása mindig újabb adatot jelenít meg. A most látható frame 15 slide-ból áll, mert a 14. gombnyomásra jelenik meg az utolsó sor. A TEX forrásban csak egyszer kell leírni a tartalmát, de a prezentációs pdf file-ban ez 15 oldal. Mindegyik frame alján navigáló gombok találhatók. A frame fejléce és a lábléce testreszabható. A nyomtatható változatban ez a frame nem külön oldal;
15 Áttekintés Prezentációk készítése / 14 A beamer koncepciója A beamer egy L A TEXprogramcsomag. Prezentációt és nyomtatható változatot is készít egyazon TEX forrásból. Mindkettő egy pdf file. A prezentáció vetítésekor A PgDn megnyomása mindig újabb adatot jelenít meg. A most látható frame 15 slide-ból áll, mert a 14. gombnyomásra jelenik meg az utolsó sor. A TEX forrásban csak egyszer kell leírni a tartalmát, de a prezentációs pdf file-ban ez 15 oldal. Mindegyik frame alján navigáló gombok találhatók. A frame fejléce és a lábléce testreszabható. A nyomtatható változatban ez a frame nem külön oldal; a sorok is szélesebbek,
16 Áttekintés Prezentációk készítése / 14 A beamer koncepciója A beamer egy L A TEXprogramcsomag. Prezentációt és nyomtatható változatot is készít egyazon TEX forrásból. Mindkettő egy pdf file. A prezentáció vetítésekor A PgDn megnyomása mindig újabb adatot jelenít meg. A most látható frame 15 slide-ból áll, mert a 14. gombnyomásra jelenik meg az utolsó sor. A TEX forrásban csak egyszer kell leírni a tartalmát, de a prezentációs pdf file-ban ez 15 oldal. Mindegyik frame alján navigáló gombok találhatók. A frame fejléce és a lábléce testreszabható. A nyomtatható változatban ez a frame nem külön oldal; a sorok is szélesebbek, ezért a folyamatos, hosszabb szövegek tördelése is más lehet.
17 Áttekintés Prezentációk készítése / 14 A beamer haszálata A jelen prezentáció forrását érdemes módosítani.
18 Áttekintés Prezentációk készítése / 14 A beamer haszálata A jelen prezentáció forrását érdemes módosítani. Amikor készen van a prez.tex, akkor
19 Áttekintés Prezentációk készítése / 14 A beamer haszálata A jelen prezentáció forrását érdemes módosítani. Amikor készen van a prez.tex, akkor latex prez.tex kétszer (inkább háromszor);
20 Áttekintés Prezentációk készítése / 14 A beamer haszálata A jelen prezentáció forrását érdemes módosítani. Amikor készen van a prez.tex, akkor latex prez.tex kétszer (inkább háromszor); dvips -P pdf prez.dvi egyszer;
21 Áttekintés Prezentációk készítése / 14 A beamer haszálata A jelen prezentáció forrását érdemes módosítani. Amikor készen van a prez.tex, akkor latex prez.tex kétszer (inkább háromszor); dvips -P pdf prez.dvi egyszer; ps2pdf prez.ps egyszer.
22 Áttekintés Prezentációk készítése / 14 A beamer haszálata A jelen prezentáció forrását érdemes módosítani. Amikor készen van a prez.tex, akkor latex prez.tex kétszer (inkább háromszor); dvips -P pdf prez.dvi egyszer; ps2pdf prez.ps egyszer. Az eredmény a prez.pdf file.
23 Áttekintés Prezentációk készítése / 14 A beamer haszálata A jelen prezentáció forrását érdemes módosítani. Amikor készen van a prez.tex, akkor latex prez.tex kétszer (inkább háromszor); dvips -P pdf prez.dvi egyszer; ps2pdf prez.ps egyszer. Az eredmény a prez.pdf file. E három parancs helyettesíthető a következők bármelyikével:
24 Áttekintés Prezentációk készítése / 14 A beamer haszálata A jelen prezentáció forrását érdemes módosítani. Amikor készen van a prez.tex, akkor latex prez.tex kétszer (inkább háromszor); dvips -P pdf prez.dvi egyszer; ps2pdf prez.ps egyszer. Az eredmény a prez.pdf file. E három parancs helyettesíthető a következők bármelyikével: pdflatex prez.tex
25 Áttekintés Prezentációk készítése / 14 A beamer haszálata A jelen prezentáció forrását érdemes módosítani. Amikor készen van a prez.tex, akkor latex prez.tex kétszer (inkább háromszor); dvips -P pdf prez.dvi egyszer; ps2pdf prez.ps egyszer. Az eredmény a prez.pdf file. E három parancs helyettesíthető a következők bármelyikével: pdflatex prez.tex./wt prez
26 Áttekintés Prezentációk készítése / 14 A beamer haszálata A jelen prezentáció forrását érdemes módosítani. Amikor készen van a prez.tex, akkor latex prez.tex kétszer (inkább háromszor); dvips -P pdf prez.dvi egyszer; ps2pdf prez.ps egyszer. Az eredmény a prez.pdf file. E három parancs helyettesíthető a következők bármelyikével: pdflatex prez.tex./wt prez Ezek a latex parancsot csak egyszer futtatják!
27 Áttekintés Prezentációk készítése / 14 A beamer haszálata A jelen prezentáció forrását érdemes módosítani. Amikor készen van a prez.tex, akkor latex prez.tex kétszer (inkább háromszor); dvips -P pdf prez.dvi egyszer; ps2pdf prez.ps egyszer. Az eredmény a prez.pdf file. E három parancs helyettesíthető a következők bármelyikével: pdflatex prez.tex./wt prez Ezek a latex parancsot csak egyszer futtatják! A wt script letölthető ugyanonnan, ahonnan ez a tutorial.
28 Áttekintés Prezentációk készítése / 14 A beamer haszálata A jelen prezentáció forrását érdemes módosítani. Amikor készen van a prez.tex, akkor latex prez.tex kétszer (inkább háromszor); dvips -P pdf prez.dvi egyszer; ps2pdf prez.ps egyszer. Az eredmény a prez.pdf file. E három parancs helyettesíthető a következők bármelyikével: pdflatex prez.tex./wt prez Ezek a latex parancsot csak egyszer futtatják! A wt script letölthető ugyanonnan, ahonnan ez a tutorial. Az eredmény az acroread prez.pdf paranccsal nézhető meg.
29 Áttekintés Prezentációk készítése / 14 A beamer haszálata A jelen prezentáció forrását érdemes módosítani. Amikor készen van a prez.tex, akkor latex prez.tex kétszer (inkább háromszor); dvips -P pdf prez.dvi egyszer; ps2pdf prez.ps egyszer. Az eredmény a prez.pdf file. E három parancs helyettesíthető a következők bármelyikével: pdflatex prez.tex./wt prez Ezek a latex parancsot csak egyszer futtatják! A wt script letölthető ugyanonnan, ahonnan ez a tutorial. Az eredmény az acroread prez.pdf paranccsal nézhető meg. Nyomjuk meg a Ctrl-l billentyűt a teljes képernyős módhoz.
30 Áttekintés Prezentációk készítése / 14 A beamer haszálata A jelen prezentáció forrását érdemes módosítani. Amikor készen van a prez.tex, akkor latex prez.tex kétszer (inkább háromszor); dvips -P pdf prez.dvi egyszer; ps2pdf prez.ps egyszer. Az eredmény a prez.pdf file. E három parancs helyettesíthető a következők bármelyikével: pdflatex prez.tex./wt prez Ezek a latex parancsot csak egyszer futtatják! A wt script letölthető ugyanonnan, ahonnan ez a tutorial. Az eredmény az acroread prez.pdf paranccsal nézhető meg. Nyomjuk meg a Ctrl-l billentyűt a teljes képernyős módhoz. Kilépés: Esc.
31 Áttekintés Prezentációk készítése / 14 A szükséges file-ok letöltése
32 Áttekintés Prezentációk készítése / 14 A szükséges file-ok letöltése Az egyes file-ok tartalma:
33 Áttekintés Prezentációk készítése / 14 A szükséges file-ok letöltése Az egyes file-ok tartalma: Beamer_tutorial.tex: e prezentáció forrása;
34 Áttekintés Prezentációk készítése / 14 A szükséges file-ok letöltése Az egyes file-ok tartalma: Beamer_tutorial.tex: e prezentáció forrása; Beamer_tutorial_a.tex: nyomtatható változat;
35 Áttekintés Prezentációk készítése / 14 A szükséges file-ok letöltése Az egyes file-ok tartalma: Beamer_tutorial.tex: e prezentáció forrása; Beamer_tutorial_a.tex: nyomtatható változat; Beamer_tutorial.pdf: e prezentáció;
36 Áttekintés Prezentációk készítése / 14 A szükséges file-ok letöltése Az egyes file-ok tartalma: Beamer_tutorial.tex: e prezentáció forrása; Beamer_tutorial_a.tex: nyomtatható változat; Beamer_tutorial.pdf: e prezentáció; Beamer_tutorial_a.pdf: nyomtatható változat;
37 Áttekintés Prezentációk készítése / 14 A szükséges file-ok letöltése Az egyes file-ok tartalma: Beamer_tutorial.tex: e prezentáció forrása; Beamer_tutorial_a.tex: nyomtatható változat; Beamer_tutorial.pdf: e prezentáció; Beamer_tutorial_a.pdf: nyomtatható változat; wt: fordítást segítő triviális script;
38 Áttekintés Prezentációk készítése / 14 A szükséges file-ok letöltése Az egyes file-ok tartalma: Beamer_tutorial.tex: e prezentáció forrása; Beamer_tutorial_a.tex: nyomtatható változat; Beamer_tutorial.pdf: e prezentáció; Beamer_tutorial_a.pdf: nyomtatható változat; wt: fordítást segítő triviális script; hpbk_macros.tex: szükséges makrók.
39 Áttekintés Prezentációk készítése / 14 A szükséges file-ok letöltése Az egyes file-ok tartalma: Beamer_tutorial.tex: e prezentáció forrása; Beamer_tutorial_a.tex: nyomtatható változat; Beamer_tutorial.pdf: e prezentáció; Beamer_tutorial_a.pdf: nyomtatható változat; wt: fordítást segítő triviális script; hpbk_macros.tex: szükséges makrók. beameruserguide.pdf: remek beamer-manuál.
40 Áttekintés Prezentációk készítése / 14 A szükséges file-ok letöltése Az egyes file-ok tartalma: Beamer_tutorial.tex: e prezentáció forrása; Beamer_tutorial_a.tex: nyomtatható változat; Beamer_tutorial.pdf: e prezentáció; Beamer_tutorial_a.pdf: nyomtatható változat; wt: fordítást segítő triviális script; hpbk_macros.tex: szükséges makrók. beameruserguide.pdf: remek beamer-manuál. A wt és hpbk_macros.tex a kurrens alkönyvtárban legyen.
41 Áttekintés Prezentációk készítése / 14 A szükséges file-ok letöltése Az egyes file-ok tartalma: Beamer_tutorial.tex: e prezentáció forrása; Beamer_tutorial_a.tex: nyomtatható változat; Beamer_tutorial.pdf: e prezentáció; Beamer_tutorial_a.pdf: nyomtatható változat; wt: fordítást segítő triviális script; hpbk_macros.tex: szükséges makrók. beameruserguide.pdf: remek beamer-manuál. A wt és hpbk_macros.tex a kurrens alkönyvtárban legyen. A manuálból mindig a legfrissebb verziót használjuk.
42 Áttekintés Prezentációk készítése / 14 A szükséges file-ok letöltése Az egyes file-ok tartalma: Beamer_tutorial.tex: e prezentáció forrása; Beamer_tutorial_a.tex: nyomtatható változat; Beamer_tutorial.pdf: e prezentáció; Beamer_tutorial_a.pdf: nyomtatható változat; wt: fordítást segítő triviális script; hpbk_macros.tex: szükséges makrók. beameruserguide.pdf: remek beamer-manuál. A wt és hpbk_macros.tex a kurrens alkönyvtárban legyen. A manuálból mindig a legfrissebb verziót használjuk. Ez általában itt található:
43 Áttekintés Prezentációk készítése / 14 A szükséges file-ok letöltése Az egyes file-ok tartalma: Beamer_tutorial.tex: e prezentáció forrása; Beamer_tutorial_a.tex: nyomtatható változat; Beamer_tutorial.pdf: e prezentáció; Beamer_tutorial_a.pdf: nyomtatható változat; wt: fordítást segítő triviális script; hpbk_macros.tex: szükséges makrók. beameruserguide.pdf: remek beamer-manuál. A wt és hpbk_macros.tex a kurrens alkönyvtárban legyen. A manuálból mindig a legfrissebb verziót használjuk. Ez általában itt található: Pár tudnivaló e prezentáció harmadik fejezetében is szerepel.
44 Áttekintés Prezentációk készítése / 14 A szükséges file-ok letöltése Az egyes file-ok tartalma: Beamer_tutorial.tex: e prezentáció forrása; Beamer_tutorial_a.tex: nyomtatható változat; Beamer_tutorial.pdf: e prezentáció; Beamer_tutorial_a.pdf: nyomtatható változat; wt: fordítást segítő triviális script; hpbk_macros.tex: szükséges makrók. beameruserguide.pdf: remek beamer-manuál. A wt és hpbk_macros.tex a kurrens alkönyvtárban legyen. A manuálból mindig a legfrissebb verziót használjuk. Ez általában itt található: Pár tudnivaló e prezentáció harmadik fejezetében is szerepel. A többi nyilvánvaló a következő mintaoldalak alapján.
45 Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése / 14 Műveletek kompex számokkal Jelölések: A komplex számok halmaza: C.
46 Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése / 14 Műveletek kompex számokkal Jelölések: A komplex számok halmaza: C. A valós számok halmaza: R.
47 Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése / 14 Műveletek kompex számokkal Jelölések: A komplex számok halmaza: C. A valós számok halmaza: R. A racionális számok halmaza: Q.
48 Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése / 14 Műveletek kompex számokkal Jelölések: A komplex számok halmaza: C. A valós számok halmaza: R. A racionális számok halmaza: Q. Az egész számok halmaza: Z.
49 Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése / 14 Műveletek kompex számokkal Jelölések: A komplex számok halmaza: C. A valós számok halmaza: R. A racionális számok halmaza: Q. Az egész számok halmaza: Z. Az összeadás, kivonás, szorzás definíciója: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i.
50 Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése / 14 Műveletek kompex számokkal Jelölések: A komplex számok halmaza: C. A valós számok halmaza: R. A racionális számok halmaza: Q. Az egész számok halmaza: Z. Az összeadás, kivonás, szorzás definíciója: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. (a + bi) (c + di) =
51 Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése / 14 Műveletek kompex számokkal Jelölések: A komplex számok halmaza: C. A valós számok halmaza: R. A racionális számok halmaza: Q. Az egész számok halmaza: Z. Az összeadás, kivonás, szorzás definíciója: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. (a + bi) (c + di) = (a c) +
52 Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése / 14 Műveletek kompex számokkal Jelölések: A komplex számok halmaza: C. A valós számok halmaza: R. A racionális számok halmaza: Q. Az egész számok halmaza: Z. Az összeadás, kivonás, szorzás definíciója: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i.
53 Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése / 14 Műveletek kompex számokkal Jelölések: A komplex számok halmaza: C. A valós számok halmaza: R. A racionális számok halmaza: Q. Az egész számok halmaza: Z. Az összeadás, kivonás, szorzás definíciója: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i. (a + bi)(c + di) = (ac bd) + (ad + bc)i.
54 Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése / 14 Műveletek kompex számokkal Jelölések: A komplex számok halmaza: C. A valós számok halmaza: R. A racionális számok halmaza: Q. Az egész számok halmaza: Z. Az összeadás, kivonás, szorzás definíciója: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i. (a + bi)(c + di) = (ac bd) + (ad + bc)i. A z C ellentettje w, ha z + w = 0.
55 Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése / 14 Műveletek kompex számokkal Jelölések: A komplex számok halmaza: C. A valós számok halmaza: R. A racionális számok halmaza: Q. Az egész számok halmaza: Z. Az összeadás, kivonás, szorzás definíciója: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i. (a + bi)(c + di) = (ac bd) + (ad + bc)i. A z C ellentettje w, ha z + w = 0. Az ellentett jele z.
56 Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése / 14 Műveletek kompex számokkal Jelölések: A komplex számok halmaza: C. A valós számok halmaza: R. A racionális számok halmaza: Q. Az egész számok halmaza: Z. Az összeadás, kivonás, szorzás definíciója: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i. (a + bi)(c + di) = (ac bd) + (ad + bc)i. A z C ellentettje w, ha z + w = 0. Az ellentett jele z. A z = a + bi (egyetlen) ellentettje
57 Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése / 14 Műveletek kompex számokkal Jelölések: A komplex számok halmaza: C. A valós számok halmaza: R. A racionális számok halmaza: Q. Az egész számok halmaza: Z. Az összeadás, kivonás, szorzás definíciója: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i. (a + bi)(c + di) = (ac bd) + (ad + bc)i. A z C ellentettje w, ha z + w = 0. Az ellentett jele z. A z = a + bi (egyetlen) ellentettje w = ( a) +
58 Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése / 14 Műveletek kompex számokkal Jelölések: A komplex számok halmaza: C. A valós számok halmaza: R. A racionális számok halmaza: Q. Az egész számok halmaza: Z. Az összeadás, kivonás, szorzás definíciója: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i. (a + bi)(c + di) = (ac bd) + (ad + bc)i. A z C ellentettje w, ha z + w = 0. Az ellentett jele z. A z = a + bi (egyetlen) ellentettje w = ( a) + ( b)i.
59 Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése / 14 Műveletek kompex számokkal Jelölések: A komplex számok halmaza: C. A valós számok halmaza: R. A racionális számok halmaza: Q. Az egész számok halmaza: Z. Az összeadás, kivonás, szorzás definíciója: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i. (a + bi)(c + di) = (ac bd) + (ad + bc)i. A z C ellentettje w, ha z + w = 0. Az ellentett jele z. A z = a + bi (egyetlen) ellentettje w = ( a) + ( b)i. A kivonás az ellentett hozzáadása: u z =
60 Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése / 14 Műveletek kompex számokkal Jelölések: A komplex számok halmaza: C. A valós számok halmaza: R. A racionális számok halmaza: Q. Az egész számok halmaza: Z. Az összeadás, kivonás, szorzás definíciója: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i. (a + bi)(c + di) = (ac bd) + (ad + bc)i. A z C ellentettje w, ha z + w = 0. Az ellentett jele z. A z = a + bi (egyetlen) ellentettje w = ( a) + ( b)i. A kivonás az ellentett hozzáadása: u z = u + ( z).
61 Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése / 14 Maradékos osztás: létezés Tétel Minden f, g C[x] esetén, ahol g 0, létezik olyan q, r C[x], hogy f = gq + r, és r = 0, vagy gr(r) < gr(g).
62 Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése / 14 Maradékos osztás: létezés Tétel Minden f, g C[x] esetén, ahol g 0, létezik olyan q, r C[x], hogy f = gq + r, és r = 0, vagy gr(r) < gr(g). Bizonyítás gr(f ) szerinti indukció.
63 Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése / 14 Maradékos osztás: létezés Tétel Minden f, g C[x] esetén, ahol g 0, létezik olyan q, r C[x], hogy f = gq + r, és r = 0, vagy gr(r) < gr(g). Bizonyítás gr(f ) szerinti indukció. Ha f = 0, vagy gr(f )<gr(g): f =g 0 + f.
64 Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése / 14 Maradékos osztás: létezés Tétel Minden f, g C[x] esetén, ahol g 0, létezik olyan q, r C[x], hogy f = gq + r, és r = 0, vagy gr(r) < gr(g). Bizonyítás gr(f ) szerinti indukció. Ha f = 0, vagy gr(f )<gr(g): f =g 0 + f. Tegyük föl: gr(f ) = n gr(g), és az n-nél kisebb fokúakra igaz.
65 Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése / 14 Maradékos osztás: létezés Tétel Minden f, g C[x] esetén, ahol g 0, létezik olyan q, r C[x], hogy f = gq + r, és r = 0, vagy gr(r) < gr(g). Bizonyítás gr(f ) szerinti indukció. Ha f = 0, vagy gr(f )<gr(g): f =g 0 + f. Tegyük föl: gr(f ) = n gr(g), és az n-nél kisebb fokúakra igaz. Legyen f főtagja ax n
66 Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése / 14 Maradékos osztás: létezés Tétel Minden f, g C[x] esetén, ahol g 0, létezik olyan q, r C[x], hogy f = gq + r, és r = 0, vagy gr(r) < gr(g). Bizonyítás gr(f ) szerinti indukció. Ha f = 0, vagy gr(f )<gr(g): f =g 0 + f. Tegyük föl: gr(f ) = n gr(g), és az n-nél kisebb fokúakra igaz. Legyen f főtagja ax n és g főtagja bx m,
67 Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése / 14 Maradékos osztás: létezés Tétel Minden f, g C[x] esetén, ahol g 0, létezik olyan q, r C[x], hogy f = gq + r, és r = 0, vagy gr(r) < gr(g). Bizonyítás gr(f ) szerinti indukció. Ha f = 0, vagy gr(f )<gr(g): f =g 0 + f. Tegyük föl: gr(f ) = n gr(g), és az n-nél kisebb fokúakra igaz. Legyen f főtagja ax n és g főtagja bx m, ahol b 0
68 Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése / 14 Maradékos osztás: létezés Tétel Minden f, g C[x] esetén, ahol g 0, létezik olyan q, r C[x], hogy f = gq + r, és r = 0, vagy gr(r) < gr(g). Bizonyítás gr(f ) szerinti indukció. Ha f = 0, vagy gr(f )<gr(g): f =g 0 + f. Tegyük föl: gr(f ) = n gr(g), és az n-nél kisebb fokúakra igaz. Legyen f főtagja ax n és g főtagja bx m, ahol b 0 és m n.
69 Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése / 14 Maradékos osztás: létezés Tétel Minden f, g C[x] esetén, ahol g 0, létezik olyan q, r C[x], hogy f = gq + r, és r = 0, vagy gr(r) < gr(g). Bizonyítás gr(f ) szerinti indukció. Ha f = 0, vagy gr(f )<gr(g): f =g 0 + f. Tegyük föl: gr(f ) = n gr(g), és az n-nél kisebb fokúakra igaz. Legyen f főtagja ax n és g főtagja bx m, ahol b 0 és m n. Ekkor f 0 = f (a/b)x n m g-ből kiesik az n-edfokú tag.
70 Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése / 14 Maradékos osztás: létezés Tétel Minden f, g C[x] esetén, ahol g 0, létezik olyan q, r C[x], hogy f = gq + r, és r = 0, vagy gr(r) < gr(g). Bizonyítás gr(f ) szerinti indukció. Ha f = 0, vagy gr(f )<gr(g): f =g 0 + f. Tegyük föl: gr(f ) = n gr(g), és az n-nél kisebb fokúakra igaz. Legyen f főtagja ax n és g főtagja bx m, ahol b 0 és m n. Ekkor f 0 = f (a/b)x n m g-ből kiesik az n-edfokú tag. Indukciós feltevés: f 0 = gq 0 + r,
71 Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése / 14 Maradékos osztás: létezés Tétel Minden f, g C[x] esetén, ahol g 0, létezik olyan q, r C[x], hogy f = gq + r, és r = 0, vagy gr(r) < gr(g). Bizonyítás gr(f ) szerinti indukció. Ha f = 0, vagy gr(f )<gr(g): f =g 0 + f. Tegyük föl: gr(f ) = n gr(g), és az n-nél kisebb fokúakra igaz. Legyen f főtagja ax n és g főtagja bx m, ahol b 0 és m n. Ekkor f 0 = f (a/b)x n m g-ből kiesik az n-edfokú tag. Indukciós feltevés: f 0 = gq 0 + r, ahol r = 0, vagy gr(r) < gr(g).
72 Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése / 14 Maradékos osztás: létezés Tétel Minden f, g C[x] esetén, ahol g 0, létezik olyan q, r C[x], hogy f = gq + r, és r = 0, vagy gr(r) < gr(g). Bizonyítás gr(f ) szerinti indukció. Ha f = 0, vagy gr(f )<gr(g): f =g 0 + f. Tegyük föl: gr(f ) = n gr(g), és az n-nél kisebb fokúakra igaz. Legyen f főtagja ax n és g főtagja bx m, ahol b 0 és m n. Ekkor f 0 = f (a/b)x n m g-ből kiesik az n-edfokú tag. Indukciós feltevés: f 0 = gq 0 + r, ahol r = 0, vagy gr(r) < gr(g). f = f 0 + (a/b)x n m g
73 Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése / 14 Maradékos osztás: létezés Tétel Minden f, g C[x] esetén, ahol g 0, létezik olyan q, r C[x], hogy f = gq + r, és r = 0, vagy gr(r) < gr(g). Bizonyítás gr(f ) szerinti indukció. Ha f = 0, vagy gr(f )<gr(g): f =g 0 + f. Tegyük föl: gr(f ) = n gr(g), és az n-nél kisebb fokúakra igaz. Legyen f főtagja ax n és g főtagja bx m, ahol b 0 és m n. Ekkor f 0 = f (a/b)x n m g-ből kiesik az n-edfokú tag. Indukciós feltevés: f 0 = gq 0 + r, ahol r = 0, vagy gr(r) < gr(g). f = f 0 + (a/b)x n m g = g ( q 0 + (a/b)x n m) + r.
74 Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése / 14 Maradékos osztás: létezés Tétel Minden f, g C[x] esetén, ahol g 0, létezik olyan q, r C[x], hogy f = gq + r, és r = 0, vagy gr(r) < gr(g). Bizonyítás gr(f ) szerinti indukció. Ha f = 0, vagy gr(f )<gr(g): f =g 0 + f. Tegyük föl: gr(f ) = n gr(g), és az n-nél kisebb fokúakra igaz. Legyen f főtagja ax n és g főtagja bx m, ahol b 0 és m n. Ekkor f 0 = f (a/b)x n m g-ből kiesik az n-edfokú tag. Indukciós feltevés: f 0 = gq 0 + r, ahol r = 0, vagy gr(r) < gr(g). f = f 0 + (a/b)x n m g = g ( q 0 + (a/b)x n m) + r. Tehát f is elosztható maradékosan g-vel.
75 Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése / 14 Maradékos osztás: létezés Tétel Minden f, g C[x] esetén, ahol g 0, létezik olyan q, r C[x], hogy f = gq + r, és r = 0, vagy gr(r) < gr(g). Bizonyítás gr(f ) szerinti indukció. Ha f = 0, vagy gr(f )<gr(g): f =g 0 + f. Tegyük föl: gr(f ) = n gr(g), és az n-nél kisebb fokúakra igaz. Legyen f főtagja ax n és g főtagja bx m, ahol b 0 és m n. Ekkor f 0 = f (a/b)x n m g-ből kiesik az n-edfokú tag. Indukciós feltevés: f 0 = gq 0 + r, ahol r = 0, vagy gr(r) < gr(g). f = f 0 + (a/b)x n m g = g ( q 0 + (a/b)x n m) + r. Tehát f is elosztható maradékosan g-vel. A q és r együtthatói a négy alapművelettel kaphatók.
76 Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése / 14 Maradékos osztás: létezés Tétel Minden f, g C[x] esetén, ahol g 0, létezik olyan q, r C[x], hogy f = gq + r, és r = 0, vagy gr(r) < gr(g). Bizonyítás gr(f ) szerinti indukció. Ha f = 0, vagy gr(f )<gr(g): f =g 0 + f. Tegyük föl: gr(f ) = n gr(g), és az n-nél kisebb fokúakra igaz. Legyen f főtagja ax n és g főtagja bx m, ahol b 0 és m n. Ekkor f 0 = f (a/b)x n m g-ből kiesik az n-edfokú tag. Indukciós feltevés: f 0 = gq 0 + r, ahol r = 0, vagy gr(r) < gr(g). f = f 0 + (a/b)x n m g = g ( q 0 + (a/b)x n m) + r. Tehát f is elosztható maradékosan g-vel. A q és r együtthatói a négy alapművelettel kaphatók. Az eljárás során csak g főegyütthatójával osztunk.
77 Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése / as felső háromszögmátrix determinánsa Felső háromszögmátrix a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 a 13 a 22 a 31 a 11 a 23 a 32 a 12 a 21 a 33.
78 Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése / as felső háromszögmátrix determinánsa a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 a 13 a 22 a 31 a 11 a 23 a 32 a 12 a 21 a 33. Felső háromszögmátrix a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 felső háromszögmátrix,
79 Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése / as felső háromszögmátrix determinánsa a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 a 13 a 22 a 31 a 11 a 23 a 32 a 12 a 21 a 33. Felső háromszögmátrix a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 felső háromszögmátrix, ha a 21 = a 31 = a 32 = 0.
80 Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése / as felső háromszögmátrix determinánsa a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 a 13 a 22 a 31 a 11 a 23 a 32 a 12 a 21 a 33. Felső háromszögmátrix a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 felső háromszögmátrix, ha a 21 = a 31 = a 32 = 0. Ezért a fenti összeg utolsó öt tagja nulla lesz.
81 Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése / as felső háromszögmátrix determinánsa a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 a 13 a 22 a 31 a 11 a 23 a 32 a 12 a 21 a 33. Felső háromszögmátrix a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 felső háromszögmátrix, ha a 21 = a 31 = a 32 = 0. Ezért a fenti összeg utolsó öt tagja nulla lesz. Elemzés A főátló alatti elemek azok, ahol a sorindex nagyobb, mint az oszlopindex,
82 Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése / as felső háromszögmátrix determinánsa a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 a 13 a 22 a 31 a 11 a 23 a 32 a 12 a 21 a 33. Felső háromszögmátrix a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 felső háromszögmátrix, ha a 21 = a 31 = a 32 = 0. Ezért a fenti összeg utolsó öt tagja nulla lesz. Elemzés A főátló alatti elemek azok, ahol a sorindex nagyobb, mint az oszlopindex, azaz a ij, ahol i > j.
83 Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése / as felső háromszögmátrix determinánsa a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 a 13 a 22 a 31 a 11 a 23 a 32 a 12 a 21 a 33. Felső háromszögmátrix a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 felső háromszögmátrix, ha a 21 = a 31 = a 32 = 0. Ezért a fenti összeg utolsó öt tagja nulla lesz. Elemzés A főátló alatti elemek azok, ahol a sorindex nagyobb, mint az oszlopindex, azaz a ij, ahol i > j. A megmaradó tag az identikus permutációhoz tartozik.
84 Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése / 14 Felbonthatatlan elem Emlékeztető Az e R egység, ha e 1.
85 Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése / 14 Felbonthatatlan elem Emlékeztető Az e R egység, ha e 1. Ez ugyanaz, mint az invertálható elem.
86 Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése / 14 Felbonthatatlan elem Emlékeztető Az e R egység, ha e 1. Ez ugyanaz, mint az invertálható elem. Minden egység osztója R minden elemének.
87 Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése / 14 Felbonthatatlan elem Emlékeztető Az e R egység, ha e 1. Ez ugyanaz, mint az invertálható elem. Minden egység osztója R minden elemének. Példa: A Z gyűrű egységei ±1.
88 Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése / 14 Felbonthatatlan elem Emlékeztető Az e R egység, ha e 1. Ez ugyanaz, mint az invertálható elem. Minden egység osztója R minden elemének. Példa: A Z gyűrű egységei ±1. Az egységeleme az 1.
89 Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése / 14 Felbonthatatlan elem Emlékeztető Az e R egység, ha e 1. Ez ugyanaz, mint az invertálható elem. Minden egység osztója R minden elemének. Példa: A Z gyűrű egységei ±1. Az egységeleme az 1. HF: Mik a 0 osztói?
90 Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése / 14 Felbonthatatlan elem Emlékeztető Az e R egység, ha e 1. Ez ugyanaz, mint az invertálható elem. Minden egység osztója R minden elemének. Példa: A Z gyűrű egységei ±1. Az egységeleme az 1. HF: Mik a 0 osztói? Mely elemeknek osztója a 0?
91 Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése / 14 Felbonthatatlan elem Emlékeztető Az e R egység, ha e 1. Ez ugyanaz, mint az invertálható elem. Minden egység osztója R minden elemének. Példa: A Z gyűrű egységei ±1. Az egységeleme az 1. HF: Mik a 0 osztói? Mely elemeknek osztója a 0? Definíció A b = cd a b-nek triviális felbontása,
92 Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése / 14 Felbonthatatlan elem Emlékeztető Az e R egység, ha e 1. Ez ugyanaz, mint az invertálható elem. Minden egység osztója R minden elemének. Példa: A Z gyűrű egységei ±1. Az egységeleme az 1. HF: Mik a 0 osztói? Mely elemeknek osztója a 0? Definíció A b = cd a b-nek triviális felbontása, ha c és d egyike egység.
93 Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése / 14 Felbonthatatlan elem Emlékeztető Az e R egység, ha e 1. Ez ugyanaz, mint az invertálható elem. Minden egység osztója R minden elemének. Példa: A Z gyűrű egységei ±1. Az egységeleme az 1. HF: Mik a 0 osztói? Mely elemeknek osztója a 0? Definíció A b = cd a b-nek triviális felbontása, ha c és d egyike egység. A p R felbonthatatlan (irreducibilis),
94 Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése / 14 Felbonthatatlan elem Emlékeztető Az e R egység, ha e 1. Ez ugyanaz, mint az invertálható elem. Minden egység osztója R minden elemének. Példa: A Z gyűrű egységei ±1. Az egységeleme az 1. HF: Mik a 0 osztói? Mely elemeknek osztója a 0? Definíció A b = cd a b-nek triviális felbontása, ha c és d egyike egység. A p R felbonthatatlan (irreducibilis), ha nem nulla, nem egység,
95 Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése / 14 Felbonthatatlan elem Emlékeztető Az e R egység, ha e 1. Ez ugyanaz, mint az invertálható elem. Minden egység osztója R minden elemének. Példa: A Z gyűrű egységei ±1. Az egységeleme az 1. HF: Mik a 0 osztói? Mely elemeknek osztója a 0? Definíció A b = cd a b-nek triviális felbontása, ha c és d egyike egység. A p R felbonthatatlan (irreducibilis), ha nem nulla, nem egység, és nincs nemtriviális felbontása.
96 Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése / 14 Felbonthatatlan elem Emlékeztető Az e R egység, ha e 1. Ez ugyanaz, mint az invertálható elem. Minden egység osztója R minden elemének. Példa: A Z gyűrű egységei ±1. Az egységeleme az 1. HF: Mik a 0 osztói? Mely elemeknek osztója a 0? Definíció A b = cd a b-nek triviális felbontása, ha c és d egyike egység. A p R felbonthatatlan (irreducibilis), ha nem nulla, nem egység, és nincs nemtriviális felbontása. Ekvivalens: p minden osztója egység, vagy p egységszerese.
97 Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése / 14 Felbonthatatlan elem Emlékeztető Az e R egység, ha e 1. Ez ugyanaz, mint az invertálható elem. Minden egység osztója R minden elemének. Példa: A Z gyűrű egységei ±1. Az egységeleme az 1. HF: Mik a 0 osztói? Mely elemeknek osztója a 0? Definíció A b = cd a b-nek triviális felbontása, ha c és d egyike egység. A p R felbonthatatlan (irreducibilis), ha nem nulla, nem egység, és nincs nemtriviális felbontása. Ekvivalens: p minden osztója egység, vagy p egységszerese. Példa: A 23 felbonthatatlan Z-ben,
98 Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése / 14 Felbonthatatlan elem Emlékeztető Az e R egység, ha e 1. Ez ugyanaz, mint az invertálható elem. Minden egység osztója R minden elemének. Példa: A Z gyűrű egységei ±1. Az egységeleme az 1. HF: Mik a 0 osztói? Mely elemeknek osztója a 0? Definíció A b = cd a b-nek triviális felbontása, ha c és d egyike egység. A p R felbonthatatlan (irreducibilis), ha nem nulla, nem egység, és nincs nemtriviális felbontása. Ekvivalens: p minden osztója egység, vagy p egységszerese. Példa: A 23 felbonthatatlan Z-ben, mert nem nulla, nem ±1,
99 Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése / 14 Felbonthatatlan elem Emlékeztető Az e R egység, ha e 1. Ez ugyanaz, mint az invertálható elem. Minden egység osztója R minden elemének. Példa: A Z gyűrű egységei ±1. Az egységeleme az 1. HF: Mik a 0 osztói? Mely elemeknek osztója a 0? Definíció A b = cd a b-nek triviális felbontása, ha c és d egyike egység. A p R felbonthatatlan (irreducibilis), ha nem nulla, nem egység, és nincs nemtriviális felbontása. Ekvivalens: p minden osztója egység, vagy p egységszerese. Példa: A 23 felbonthatatlan Z-ben, mert nem nulla, nem ±1, és osztói csak ±1 és ±23.
100 Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése / 14 Felbonthatatlan elem Emlékeztető Az e R egység, ha e 1. Ez ugyanaz, mint az invertálható elem. Minden egység osztója R minden elemének. Példa: A Z gyűrű egységei ±1. Az egységeleme az 1. HF: Mik a 0 osztói? Mely elemeknek osztója a 0? Definíció A b = cd a b-nek triviális felbontása, ha c és d egyike egység. A p R felbonthatatlan (irreducibilis), ha nem nulla, nem egység, és nincs nemtriviális felbontása. Ekvivalens: p minden osztója egység, vagy p egységszerese. Példa: A 23 felbonthatatlan Z-ben, mert nem nulla, nem ±1, és osztói csak ±1 és ±23. Az összes felbontása: 23 = 1 23 = 23 1 = ( 1)( 23) = ( 23)( 1).
101 Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése / 14 Bonyolult animáció Egy bolha ugrál körbe egy szabályos n-szög csúcsain úgy, hogy minden ugrásnál k csúcsnyit jut előre.
102 Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése / 14 Bonyolult animáció Egy bolha ugrál körbe egy szabályos n-szög csúcsain úgy, hogy minden ugrásnál k csúcsnyit jut előre. Hány ugrás után jut vissza a kiindulóponthoz?
103 Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése / 14 Bonyolult animáció Egy bolha ugrál körbe egy szabályos n-szög csúcsain úgy, hogy minden ugrásnál k csúcsnyit jut előre. Hány ugrás után jut vissza a kiindulóponthoz? Hány kört tesz meg ezalatt?
104 Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése / 14 Bonyolult animáció Egy bolha ugrál körbe egy szabályos n-szög csúcsain úgy, hogy minden ugrásnál k csúcsnyit jut előre. Hány ugrás után jut vissza a kiindulóponthoz? Hány kört tesz meg ezalatt? Hány csúcsot érint összesen?
105 Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése / 14 Bonyolult animáció Egy bolha ugrál körbe egy szabályos n-szög csúcsain úgy, hogy minden ugrásnál k csúcsnyit jut előre. Hány ugrás után jut vissza a kiindulóponthoz? Hány kört tesz meg ezalatt? Hány csúcsot érint összesen? Legyen n = 6, a csúcsokat számozzuk így: 0, 1, 2, 3, 4, 5. k bejárás ugrásszám körszám csúcsszám k
106 Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése / 14 Bonyolult animáció Egy bolha ugrál körbe egy szabályos n-szög csúcsain úgy, hogy minden ugrásnál k csúcsnyit jut előre. Hány ugrás után jut vissza a kiindulóponthoz? Hány kört tesz meg ezalatt? Hány csúcsot érint összesen? Legyen n = 6, a csúcsokat számozzuk így: 0, 1, 2, 3, 4, 5. k bejárás ugrásszám körszám csúcsszám k
107 Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése / 14 Bonyolult animáció Egy bolha ugrál körbe egy szabályos n-szög csúcsain úgy, hogy minden ugrásnál k csúcsnyit jut előre. Hány ugrás után jut vissza a kiindulóponthoz? Hány kört tesz meg ezalatt? Hány csúcsot érint összesen? Legyen n = 6, a csúcsokat számozzuk így: 0, 1, 2, 3, 4, 5. k bejárás ugrásszám körszám csúcsszám k
108 Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése / 14 Bonyolult animáció Egy bolha ugrál körbe egy szabályos n-szög csúcsain úgy, hogy minden ugrásnál k csúcsnyit jut előre. Hány ugrás után jut vissza a kiindulóponthoz? Hány kört tesz meg ezalatt? Hány csúcsot érint összesen? Legyen n = 6, a csúcsokat számozzuk így: 0, 1, 2, 3, 4, 5. k bejárás ugrásszám körszám csúcsszám k
109 Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése / 14 Bonyolult animáció Egy bolha ugrál körbe egy szabályos n-szög csúcsain úgy, hogy minden ugrásnál k csúcsnyit jut előre. Hány ugrás után jut vissza a kiindulóponthoz? Hány kört tesz meg ezalatt? Hány csúcsot érint összesen? Legyen n = 6, a csúcsokat számozzuk így: 0, 1, 2, 3, 4, 5. k bejárás ugrásszám körszám csúcsszám k
110 Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése / 14 Bonyolult animáció Egy bolha ugrál körbe egy szabályos n-szög csúcsain úgy, hogy minden ugrásnál k csúcsnyit jut előre. Hány ugrás után jut vissza a kiindulóponthoz? Hány kört tesz meg ezalatt? Hány csúcsot érint összesen? Legyen n = 6, a csúcsokat számozzuk így: 0, 1, 2, 3, 4, 5. k bejárás ugrásszám körszám csúcsszám k
111 Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése / 14 Bonyolult animáció Egy bolha ugrál körbe egy szabályos n-szög csúcsain úgy, hogy minden ugrásnál k csúcsnyit jut előre. Hány ugrás után jut vissza a kiindulóponthoz? Hány kört tesz meg ezalatt? Hány csúcsot érint összesen? Legyen n = 6, a csúcsokat számozzuk így: 0, 1, 2, 3, 4, 5. k bejárás ugrásszám körszám csúcsszám k
112 Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése / 14 Bonyolult animáció Egy bolha ugrál körbe egy szabályos n-szög csúcsain úgy, hogy minden ugrásnál k csúcsnyit jut előre. Hány ugrás után jut vissza a kiindulóponthoz? Hány kört tesz meg ezalatt? Hány csúcsot érint összesen? Legyen n = 6, a csúcsokat számozzuk így: 0, 1, 2, 3, 4, 5. k bejárás ugrásszám körszám csúcsszám k
113 Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése / 14 Bonyolult animáció Egy bolha ugrál körbe egy szabályos n-szög csúcsain úgy, hogy minden ugrásnál k csúcsnyit jut előre. Hány ugrás után jut vissza a kiindulóponthoz? Hány kört tesz meg ezalatt? Hány csúcsot érint összesen? Legyen n = 6, a csúcsokat számozzuk így: 0, 1, 2, 3, 4, 5. k bejárás ugrásszám körszám csúcsszám k
114 Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése / 14 Bonyolult animáció Egy bolha ugrál körbe egy szabályos n-szög csúcsain úgy, hogy minden ugrásnál k csúcsnyit jut előre. Hány ugrás után jut vissza a kiindulóponthoz? Hány kört tesz meg ezalatt? Hány csúcsot érint összesen? Legyen n = 6, a csúcsokat számozzuk így: 0, 1, 2, 3, 4, 5. k bejárás ugrásszám körszám csúcsszám k
115 Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése / 14 Bonyolult animáció Egy bolha ugrál körbe egy szabályos n-szög csúcsain úgy, hogy minden ugrásnál k csúcsnyit jut előre. Hány ugrás után jut vissza a kiindulóponthoz? Hány kört tesz meg ezalatt? Hány csúcsot érint összesen? Legyen n = 6, a csúcsokat számozzuk így: 0, 1, 2, 3, 4, 5. k bejárás ugrásszám körszám csúcsszám k
116 Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése / 14 Bonyolult animáció Egy bolha ugrál körbe egy szabályos n-szög csúcsain úgy, hogy minden ugrásnál k csúcsnyit jut előre. Hány ugrás után jut vissza a kiindulóponthoz? Hány kört tesz meg ezalatt? Hány csúcsot érint összesen? Legyen n = 6, a csúcsokat számozzuk így: 0, 1, 2, 3, 4, 5. k bejárás ugrásszám körszám csúcsszám k
117 Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése / 14 Bonyolult animáció Egy bolha ugrál körbe egy szabályos n-szög csúcsain úgy, hogy minden ugrásnál k csúcsnyit jut előre. Hány ugrás után jut vissza a kiindulóponthoz? Hány kört tesz meg ezalatt? Hány csúcsot érint összesen? Legyen n = 6, a csúcsokat számozzuk így: 0, 1, 2, 3, 4, 5. k bejárás ugrásszám körszám csúcsszám k
118 Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése / 14 Bonyolult animáció Egy bolha ugrál körbe egy szabályos n-szög csúcsain úgy, hogy minden ugrásnál k csúcsnyit jut előre. Hány ugrás után jut vissza a kiindulóponthoz? Hány kört tesz meg ezalatt? Hány csúcsot érint összesen? Legyen n = 6, a csúcsokat számozzuk így: 0, 1, 2, 3, 4, 5. k bejárás ugrásszám körszám csúcsszám k
119 Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése / 14 Bonyolult animáció Egy bolha ugrál körbe egy szabályos n-szög csúcsain úgy, hogy minden ugrásnál k csúcsnyit jut előre. Hány ugrás után jut vissza a kiindulóponthoz? Hány kört tesz meg ezalatt? Hány csúcsot érint összesen? Legyen n = 6, a csúcsokat számozzuk így: 0, 1, 2, 3, 4, 5. k bejárás ugrásszám körszám csúcsszám k
120 Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése / 14 Bonyolult animáció Egy bolha ugrál körbe egy szabályos n-szög csúcsain úgy, hogy minden ugrásnál k csúcsnyit jut előre. Hány ugrás után jut vissza a kiindulóponthoz? Hány kört tesz meg ezalatt? Hány csúcsot érint összesen? Legyen n = 6, a csúcsokat számozzuk így: 0, 1, 2, 3, 4, 5. k bejárás ugrásszám körszám csúcsszám k
121 Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése / 14 Bonyolult animáció Egy bolha ugrál körbe egy szabályos n-szög csúcsain úgy, hogy minden ugrásnál k csúcsnyit jut előre. Hány ugrás után jut vissza a kiindulóponthoz? Hány kört tesz meg ezalatt? Hány csúcsot érint összesen? Legyen n = 6, a csúcsokat számozzuk így: 0, 1, 2, 3, 4, 5. k bejárás ugrásszám körszám csúcsszám k
122 Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése / 14 Bonyolult animáció Egy bolha ugrál körbe egy szabályos n-szög csúcsain úgy, hogy minden ugrásnál k csúcsnyit jut előre. Hány ugrás után jut vissza a kiindulóponthoz? Hány kört tesz meg ezalatt? Hány csúcsot érint összesen? Legyen n = 6, a csúcsokat számozzuk így: 0, 1, 2, 3, 4, 5. k bejárás ugrásszám körszám csúcsszám k
123 Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése / 14 Bonyolult animáció Egy bolha ugrál körbe egy szabályos n-szög csúcsain úgy, hogy minden ugrásnál k csúcsnyit jut előre. Hány ugrás után jut vissza a kiindulóponthoz? Hány kört tesz meg ezalatt? Hány csúcsot érint összesen? Legyen n = 6, a csúcsokat számozzuk így: 0, 1, 2, 3, 4, 5. k bejárás ugrásszám körszám csúcsszám k
124 Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése / 14 Bonyolult animáció Egy bolha ugrál körbe egy szabályos n-szög csúcsain úgy, hogy minden ugrásnál k csúcsnyit jut előre. Hány ugrás után jut vissza a kiindulóponthoz? Hány kört tesz meg ezalatt? Hány csúcsot érint összesen? Legyen n = 6, a csúcsokat számozzuk így: 0, 1, 2, 3, 4, 5. k bejárás ugrásszám körszám csúcsszám k
125 Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése / 14 Bonyolult animáció Egy bolha ugrál körbe egy szabályos n-szög csúcsain úgy, hogy minden ugrásnál k csúcsnyit jut előre. Hány ugrás után jut vissza a kiindulóponthoz? Hány kört tesz meg ezalatt? Hány csúcsot érint összesen? Legyen n = 6, a csúcsokat számozzuk így: 0, 1, 2, 3, 4, 5. k bejárás ugrásszám körszám csúcsszám k
126 Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése / 14 Bonyolult animáció Egy bolha ugrál körbe egy szabályos n-szög csúcsain úgy, hogy minden ugrásnál k csúcsnyit jut előre. Hány ugrás után jut vissza a kiindulóponthoz? Hány kört tesz meg ezalatt? Hány csúcsot érint összesen? Legyen n = 6, a csúcsokat számozzuk így: 0, 1, 2, 3, 4, 5. k bejárás ugrásszám körszám csúcsszám k
127 Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése / 14 Bonyolult animáció Egy bolha ugrál körbe egy szabályos n-szög csúcsain úgy, hogy minden ugrásnál k csúcsnyit jut előre. Hány ugrás után jut vissza a kiindulóponthoz? Hány kört tesz meg ezalatt? Hány csúcsot érint összesen? Legyen n = 6, a csúcsokat számozzuk így: 0, 1, 2, 3, 4, 5. k bejárás ugrásszám körszám csúcsszám k
128 Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése / 14 Bonyolult animáció Egy bolha ugrál körbe egy szabályos n-szög csúcsain úgy, hogy minden ugrásnál k csúcsnyit jut előre. Hány ugrás után jut vissza a kiindulóponthoz? Hány kört tesz meg ezalatt? Hány csúcsot érint összesen? Legyen n = 6, a csúcsokat számozzuk így: 0, 1, 2, 3, 4, 5. k bejárás ugrásszám körszám csúcsszám k
129 Matematikai mintaoldalak Prezentációk készítése / 14 Bonyolult animáció Egy bolha ugrál körbe egy szabályos n-szög csúcsain úgy, hogy minden ugrásnál k csúcsnyit jut előre. Hány ugrás után jut vissza a kiindulóponthoz? Hány kört tesz meg ezalatt? Hány csúcsot érint összesen? Legyen n = 6, a csúcsokat számozzuk így: 0, 1, 2, 3, 4, 5. k bejárás ugrásszám körszám csúcsszám k
A beamer haszálata. A jelen prezentáció forrását érdemes módosítani. Amikor készen van a prez.tex, akkor
1. Áttekintés A beamer koncepciója. A beamer egy L A TEXprogramcsomag. Prezentációt és nyomtatható változatot is készít egyazon TEX forrásból. Mindkettő egy pdf file. A prezentáció vetítésekor A PgDn megnyomása
1. A maradékos osztás
1. A maradékos osztás Egész számok osztása. 223 = 7 31 + 6. Visszaszorzunk 223 : 7 = 31 21 13 7 6 Állítás (számelméletből) Minden a, b Z esetén, ahol b 0, létezik olyan q, r Z, hogy a = bq + r és r < b.
1. A maradékos osztás
1. A maradékos osztás Egész számok osztása Példa 223 = 7 31+6. Visszaszorzunk Kivonunk 223 : 7 = 31 21 13 7 6 Állítás (számelméletből) Minden a,b Z esetén, ahol b 0, létezik olyan q,r Z, hogy a = bq +
Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 8. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
1. Komplex szám rendje
1. Komplex szám rendje A rend fogalma A 1-nek két darab egész kitevőjű hatványa van: 1 és 1. Az i-nek 4 van: i, i 2 = 1, i 3 = i, i 4 = 1. Innentől kezdve ismétlődik: i 5 = i, i 6 = i 2 = 1, stb. Négyesével
1. Hatvány és többszörös gyűrűben
1. Hatvány és többszörös gyűrűben Hatvány és többszörös Definíció (K2.2.19) Legyen asszociatív művelet és n pozitív egész. Ekkor a n jelentse az n tényezős a a... a szorzatot. Ez az a elem n-edik hatványa.
1. Polinomok számelmélete
1. Polinomok számelmélete Oszthatóság, egységek. Emlékeztető Legyen R a C, R, Q, Z egyike. Azt mondjuk, hogy (1) a g R[x] polinom osztója f R[x]-nek R[x]-ben, ha létezik olyan h R[x] polinom, hogy f (x)
Diszkrét matematika I.
Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 8. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Elemi számelmélet Diszkrét matematika I. középszint
1. Egész együtthatós polinomok
1. Egész együtthatós polinomok Oszthatóság egész számmal Emlékeztető (K3.1.3): Ha f,g Z[x], akkor f g akkor és csak akkor, ha van olyan h Z[x], hogy g = fh. Állítás (K3.1.6) Az f(x) Z[x] akkor és csak
Lineáris egyenletrendszerek Műveletek vektorokkal Geometriai transzformációk megadása mátrixokkal Determinánsok és alkalmazásaik
1. Bevezetés A félév anyaga. Komplex számok Műveletek Kapcsolat a geometriával Gyökvonás Polinomok A gyökök száma A gyökök és együtthatók összefüggése Szorzatra bontás, számelméleti kérdések A harmad-
Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 1. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
1. A polinom fogalma. Számolás formális kifejezésekkel. Feladat Oldjuk meg az x2 + x + 1 x + 1. = x egyenletet.
1. A polinom fogalma Számolás formális kifejezésekkel. Feladat Oldjuk meg az x2 + x + 1 x + 1 = x egyenletet. Megoldás x + 1-gyel átszorozva x 2 + x + 1 = x 2 + x. Innen 1 = 0. Ez ellentmondás, így az
Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 8. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 3. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. estis képzés 017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 3. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján
Polinomok A gyökök száma A gyökök és együtthatók összefüggése Szorzatra bontás, számelméleti kérdések A harmad- és negyedfokú egyenlet
1. Bevezetés A félév anyaga Komplex számok Műveletek Kapcsolat a geometriával Gyökvonás Polinomok A gyökök száma A gyökök és együtthatók összefüggése Szorzatra bontás, számelméleti kérdések A harmad- és
Algebrai alapismeretek az Algebrai síkgörbék c. tárgyhoz. 1. Integritástartományok, oszthatóság
Algebrai alapismeretek az Algebrai síkgörbék c tárgyhoz 1 Integritástartományok, oszthatóság 11 Definíció A nullaosztómentes, egységelemes kommutatív gyűrűket integritástartománynak nevezzük 11 példa Integritástartományra
Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 4. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 4. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2018. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 2. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
Diszkrét matematika 2.
Diszkrét matematika 2. 2018. november 23. 1. Diszkrét matematika 2. 9. előadás Fancsali Szabolcs Levente nudniq@cs.elte.hu www.cs.elte.hu/ nudniq Komputeralgebra Tanszék 2018. november 23. Diszkrét matematika
Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. estis képzés 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 2. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján
1. Mátrixösszeadás és skalárral szorzás
1 Mátrixösszeadás és skalárral szorzás Mátrixok tömör jelölése T test Az M = a i j T n m azt az n sorból és m oszlopból álló mátrixot jelöli, amelyben az i-edik sor j-edik eleme a i j T Példák [ ] Ha M
Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 016. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 1. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
Diszkrét matematika 2.C szakirány
Diszkrét matematika 2.C szakirány 2015. ősz 1. Diszkrét matematika 2.C szakirány 7. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék 2015.
Diszkrét matematika I., 12. előadás Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach november 30.
1 Diszkrét matematika I, 12 előadás Dr Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@infnymehu http://infnymehu/ takach 2005 november 30 Vektorok Definíció Egy tetszőleges n pozitív egész számra n-komponensű
Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 5. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy b = ax. Ennek jelölése a b.
1. Oszthatóság, legnagyobb közös osztó Ebben a jegyzetben minden változó egész számot jelöl. 1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy
DISZKRÉT MATEMATIKA 2 KIDOLGOZOTT TÉTELSOR 1. RÉSZ
DISZKRÉT MATEMATIKA 2 KIDOLGOZOTT TÉTELSOR 1. RÉSZ B szakirány 2014 június Tartalom 1. Fák definíciója ekvivalens jellemzései... 3 2. Hamilton-kör Euler-vonal... 4 3. Feszítőfa és vágás... 6 4. Címkézett
1. Interpoláció. Egyértelműség Ha f és g ilyen polinomok, akkor n helyen megegyeznek, így a polinomok azonossági tétele miatt egyenlők.
1. Interpoláció Az interpoláció alapproblémája. Feladat Olyan polinomot keresünk, amely előre megadott helyeken előre megadott értékeket vesz fel. A helyek: páronként különböző a 1, a,...,a n számok. Az
Diszkrét matematika 1.
Diszkrét matematika 1. Nagy Gábor nagy@compalg.inf.elte.hu nagygabr@gmail.com ELTE IK Komputeralgebra Tanszék 014. ősz 014-15 őszi félév Gyakorlat: 1. ZH tervezett időpontja: október 1.,. ZH tervezett
Diszkrét matematika 1. estis képzés. Komputeralgebra Tanszék ősz
Diszkrét matematika 1. estis képzés 2015. ősz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 6. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2015. ősz Elemi számelmélet Diszkrét matematika 1. estis
Kongruenciák. Waldhauser Tamás
Algebra és számelmélet 3 előadás Kongruenciák Waldhauser Tamás 2014 őszi félév Tartalom 1. Diofantoszi egyenletek 2. Kongruenciareláció, maradékosztályok 3. Lineáris kongruenciák és multiplikatív inverzek
Diszkrét matematika I.
Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 5. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Számfogalom bővítése Diszkrét matematika I. középszint
Számítógépes Hálózatok 2012
Számítógépes Hálózatok 22 4. Adatkapcsolati réteg CRC, utólagos hibajavítás Hálózatok, 22 Hibafelismerés: CRC Hatékony hibafelismerés: Cyclic Redundancy Check (CRC) A gyakorlatban gyakran használt kód
Intergrált Intenzív Matematika Érettségi
. Adott a mátri, determináns determináns, ahol,, d Számítsd ki:. b) Igazold, hogy a b c. Adott a az 6 0 egyenlet megoldásai. a). c) Számítsd ki a d determináns értékét. d c a b determináns, ahol abc,,.
1. A komplex számok definíciója
1. A komplex számok definíciója A számkör bővítése Tétel Nincs olyan n természetes szám, melyre n + 3 = 1. Bizonyítás Ha n természetes szám, akkor n+3 3. Ezért bevezettük a negatív számokat, közöttük van
Alapvető polinomalgoritmusok
Alapvető polinomalgoritmusok Maradékos osztás Euklideszi algoritmus Bővített euklideszi algoritmus Alkalmazás: Véges testek konstrukciója Irodalom: Iványi Antal: Informatikai algoritmusok II, 18. fejezet.
Zárthelyi feladatok megoldásai tanulságokkal Csikvári Péter 1. a) Számítsuk ki a 2i + 3j + 6k kvaternió inverzét.
Zárthelyi feladatok megoldásai tanulságokkal Csikvári Péter 1. a Számítsuk ki a 2i + 3j + 6k kvaternió inverzét. b Köbgyöktelenítsük a nevezőt az alábbi törtben: 1 3 3. Megoldás: a Egy q = a + bi + cj
Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 10. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2018. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 4. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 9. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
Klasszikus algebra előadás. Waldhauser Tamás március 24.
Klasszikus algebra előadás Waldhauser Tamás 2014. március 24. Irreducibilitás 3.33. Definíció. A p T [x] polinom irreducibilis, ha legalább elsőfokú, és csak úgy bontható két polinom szorzatára, hogy az
1. Bevezetés A félév anyaga. Gyűrűk és testek Ideál, faktorgyűrű, főideálgyűrű Gauss-egészek, két négyzetszám tétel Az alaptételes gyűrűk jellemzése A számfogalom lezárása Algebrai és transzcendens számok
Vizsgatematika Bevezetés a matematikába II tárgyhoz tavasz esti tagozat
8.2. Gyűrűk Fogalmak, definíciók: Gyűrű, kommutatív gyűrű, integritási tartomány, test Az (R, +, ) algebrai struktúra gyűrű, ha + és R-en binér műveletek, valamint I. (R, +) Abel-csoport, II. (R, ) félcsoport,
15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK
15 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 151 Lineáris egyenletrendszer, Gauss elimináció 1 Definíció Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az (1) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a
Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. estis képzés 017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 4. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján
Komplex számok. Wettl Ferenc előadása alapján Wettl Ferenc előadása alapján Komplex számok / 18
Komplex számok Wettl Ferenc előadása alapján 2015.09.23. Wettl Ferenc előadása alapján Komplex számok 2015.09.23. 1 / 18 Tartalom 1 Számok A számfogalom bővülése 2 Algebrai alak Trigonometrikus alak Egységgyökök
1. előadás: Halmazelmélet, számfogalom, teljes
1. előadás: Halmazelmélet, számfogalom, teljes indukció Szabó Szilárd Halmazok Halmaz: alapfogalom, bizonyos elemek (matematikai objektumok) összessége. Egy halmaz akkor adott, ha minden objektumról eldönthető,
Klasszikus algebra előadás. Waldhauser Tamás április 28.
Klasszikus algebra előadás Waldhauser Tamás 2014. április 28. 5. Számelmélet integritástartományokban Oszthatóság Mostantól R mindig tetszőleges integritástartományt jelöl. 5.1. Definíció. Azt mondjuk,
1. Bevezetés A félév anyaga. Lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés, függetlenség, bázis, dimenzió Skaláris szorzat R n -ben, vektorok hossza és szöge Lineáris leképezések, mátrixuk, bázistranszformáció
Diszkrét matematika 1. estis képzés
Diszkrét matematika 1. estis képzés 2019. tavasz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 5. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján
Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 6. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
Numerikus módszerek 1.
Numerikus módszerek 1. 3. előadás: Mátrixok LU-felbontása Lócsi Levente ELTE IK 2013. szeptember 23. Tartalomjegyzék 1 Alsó háromszögmátrixok és Gauss-elimináció 2 Háromszögmátrixokról 3 LU-felbontás Gauss-eliminációval
Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy
Diszkrét matematika 1. középszint 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 10. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
MATE-INFO UBB verseny, március 25. MATEMATIKA írásbeli vizsga
BABEŞ-BOLYAI TUDOMÁNYEGYETEM, KOLOZSVÁR MATEMATIKA ÉS INFORMATIKA KAR MATE-INFO UBB verseny, 218. március 25. MATEMATIKA írásbeli vizsga FONTOS TUDNIVALÓK: 1 A feleletválasztós feladatok,,a rész esetén
Gy ur uk aprilis 11.
Gyűrűk 2014. április 11. 1. Hányadostest 2. Karakterisztika, prímtest 3. Egyszerű gyűrűk [F] III/8 Tétel Minden integritástartomány beágyazható testbe. Legyen R integritástartomány, és értelmezzünk az
Tartalomjegyzék 1. Műveletek valós számokkal... 1 8 2. Függvények... 8 12 3. Elsőfokú egyenletek és egyenlőtlenségek... 13 16
Tartalomjegyzék 1. Műveletek valós számokkal... 1 8 1.1. Gyökök és hatványozás... 1 3 1.1.1. Hatványozás...1 1.1.2. Gyökök... 1 3 1.2. Azonosságok... 3 4 1.3. Egyenlőtlenségek... 5 8 2. Függvények... 8
1. Diagonalizálás. A Hom(V) diagonalizálható, ha van olyan bázis, amelyben A mátrixa diagonális. A diagonalizálható van sajátvektorokból álló bázis.
1 Diagonalizálás Diagonalizálható mátrixok Ismétlés Legyen M,N T n n Az M és N hasonló, ha van olyan A lineáris transzformáció, hogy M is és N is az A mátrixa egy-egy alkalmas bázisban Az M és N pontosan
Diszkrét matematika I. gyakorlat
Vizsgafeladatok megoldása 2012. december 5. Tartalom Teljes feladatsor #1 1 Teljes feladatsor #1 2 Teljes feladatsor #2 3 Teljes feladatsor #3 4 Teljes feladatsor #4 5 Válogatott feladatok 6 Végső bölcsesség
Diszkrét matematika 2.C szakirány
Diszkrét matematika 2.C szakirány 2017. tavasz 1. Diszkrét matematika 2.C szakirány 11. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
Bevezetés az algebrába 1
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Bevezetés az algebrába 1 BMETE92AX23 Determinánsok H406 2017-11-27 Wettl Ferenc ALGEBRA
Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2018. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 5. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
Matematikai alapismeretek. Huszti Andrea
Tartalom 1 Matematikai alapismeretek Algebrai struktúrák Oszthatóság Kongruenciák Algebrai struktúrák Az S = {x, y, z,... } halmazban definiálva van egy művelet, ha az S-nek minden x, y elempárjához hozzá
Műveletek mátrixokkal. Kalkulus. 2018/2019 ősz
2018/2019 ősz Elérhetőségek Előadó: (safaro@math.bme.hu) Fogadóóra: hétfő 9-10 (H épület 3. emelet 310-es ajtó) A pontos tárgykövetelmények a www.math.bme.hu/~safaro/kalkulus oldalon találhatóak. A mátrix
1. Interpoláció. Egyértelműség (K2.4.10) Ha f és g ilyen polinomok, akkor n helyen megegyeznek, így a polinomok azonossági tétele miatt egyenlők.
1. Interpoláció Az interpoláció alapproblémája Feladat Olyan polinomot keresünk, amely előre megadott helyeken előre megadott értékeket vesz fel. A helyek: páronként különböző a 1,a 2,...,a n számok. Az
1. A Horner-elrendezés
1. A Horner-elrendezés A polinomok műveleti tulajdonságai Polinomokkal a szokásos módon számolhatunk: Tétel (K2.1.6, HF ellenőrizni) Tetszőleges f,g,h polinomokra érvényesek az alábbiak. (1) (f +g)+h =
Valasek Gábor valasek@inf.elte.hu
Számítógépes Grafika Valasek Gábor valasek@inf.elte.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2013/2014. őszi félév ( Eötvös LorándSzámítógépes TudományegyetemInformatikai Grafika Kar) 2013/2014.
3. el adás: Determinánsok
3. el adás: Determinánsok Wettl Ferenc 2015. február 27. Wettl Ferenc 3. el adás: Determinánsok 2015. február 27. 1 / 19 Tartalom 1 Motiváció 2 A determináns mint sorvektorainak függvénye 3 A determináns
Klasszikus algebra előadás. Waldhauser Tamás április 14.
Klasszikus algebra előadás Waldhauser Tamás 2014. április 14. Többhatározatlanú polinomok 4.3. Definíció. Adott T test feletti n-határozatlanú monomnak nevezzük az ax k 1 1 xk n n alakú formális kifejezéseket,
1. Geometria a komplex számsíkon
1. Geometria a komplex számsíkon A háromszög-egyenlőtlenség A háromszög-egyenlőtlenség (K1.4.3) Minden z,w C-re z +w z + w. Egyenlőség pontosan akkor áll, ha z és w párhuzamosak, és egyenlő állásúak, azaz
Diszkrét matematika II., 8. előadás. Vektorterek
1 Diszkrét matematika II., 8. előadás Vektorterek Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2007.??? Vektorterek Legyen T egy test (pl. R, Q, F p ). Definíció.
1. A kétszer kettes determináns
1. A kétszer kettes determináns 2 2-es mátrix inverze Tétel [ ] [ ] a c 1 d c Ha ad bc 0, akkor M= inverze. b d ad bc b a Ha ad bc = 0, akkor M-nek nincs inverze. A főátló két elemét megcseréljük, a mellékátló
Diszkrét matematika II. feladatok
Diszkrét matematika II. feladatok 1. Gráfelmélet 1.1. Könnyebb 1. Rajzold le az összes, páronként nem izomorf 3, 4, illetve 5 csúcsú egyszerű gráfot! 2. Van-e olyan (legalább kétpontú) gráf, melyben minden
1. Lineáris leképezések
Lineáris leképezések A lineáris leképezés fogalma Definíció (F5 Definíció) Legenek V és W vektorterek UGYANAZON T test fölött Az A : V W lineáris leképezés, ha összegtartó, azaz v,v 2 V esetén A(v +v 2
Lineáris leképezések, mátrixuk, bázistranszformáció. Képtér, magtér, dimenziótétel, rang, invertálhatóság
1. Bevezetés A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés, függetlenség, bázis, dimenzió Skaláris szorzat R n -ben, vektorok hossza és szöge Lineáris leképezések, mátrixuk, bázistranszformáció
Komplex számok. Komplex számok és alakjaik, számolás komplex számokkal.
Komplex számok Komplex számok és alakjaik, számolás komplex számokkal. 1. Komplex számok A komplex számokra a valós számok kiterjesztéseként van szükség. Ugyanis már középiskolában el kerülnek olyan másodfokú
Juhász Tibor. Lineáris algebra
Juhász Tibor Lineáris algebra Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Informatikai Intézet Juhász Tibor Lineáris algebra Eger, 2013 Készült a TÁMOP-425B-11/1-2011-0001 támogatásával Tartalomjegyzék
Analízis előadás és gyakorlat vázlat
Analízis előadás és gyakorlat vázlat Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 2010-11. I. Félév 2 1. fejezet Számhalmazok és tulajdonságaik 1.1. Nevezetes számhalmazok ➀ a) jelölése: N b)
Vektorterek. =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott
Vektorterek =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott 40. Alteret alkotnak-e a valós R 5 vektortérben a megadott részhalmazok? Ha igen, akkor hány dimenziósak? (a) L = { (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) x 1 = x 5,
24. szakkör (Csoportelméleti alapfogalmak 3.)
24. szakkör (Csoportelméleti alapfogalmak 3.) D) PERMUTÁCIÓK RENDJE Fontos kérdés a csoportelméletben, hogy egy adott elem hanyadik hatványa lesz az egység. DEFINÍCIÓ: A legkisebb olyan pozitív k számot,
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I.
Számelmélet I. DEFINÍCIÓ: (Osztó, többszörös) Ha egy a szám felírható egy b szám és egy másik egész szám szorzataként, akkor a b számot az a osztójának, az a számot a b többszörösének nevezzük. Megjegyzés:
Mátrixok 2017 Mátrixok
2017 számtáblázatok" : számok rendezett halmaza, melyben a számok helye két paraméterrel van meghatározva. Például lineáris egyenletrendszer együtthatómátrixa 2 x 1 + 4 x 2 = 8 1 x 1 + 3 x 2 = 1 ( 2 4
Hibafelismerés: CRC. Számítógépes Hálózatok Polinóm aritmetika modulo 2. Számolás Z 2 -ben
Hibafelismerés: CRC Számítógépes Hálózatok 27 6. Adatkapcsolati réteg CRC, utólagos hibajavítás, csúszó ablakok Hatékony hibafelismerés: Cyclic Redundancy Check (CRC) A gyakorlatban gyakran használt kód
Matematika A1a Analízis
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 Komplex számok StKis, EIC 2019-02-06 Wettl Ferenc
Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny tanévi második fordulójának feladatmegoldásai. x 2 sin x cos (2x) < 1 x.
Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi második fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára 1. Oldja meg a következő egyenlőtlenséget, ha x > 0: x 2 sin
Gonda János POLINOMOK. Példák és megoldások
Gonda János POLINOMOK Példák és megoldások ELTE Budapest 007-11-30 IK Digitális Könyvtár 4. javított kiadás Fels oktatási tankönyv Lektorálták: Bui Minh Phong Láng Csabáné Szerkesztette: Láng Csabáné c
Lineáris egyenletrendszerek
Lineáris egyenletrendszerek Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az a 11 x 1 + a 12 x 2 +... +a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... +a 2n x n = b 2.. a k1 x 1 + a k2 x 2 +... +a kn x n = b k n ismeretlenes,
Juhász Tibor. Diszkrét matematika
Juhász Tibor Diszkrét matematika Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Informatikai Intézet Juhász Tibor Diszkrét matematika Eger, 2013 Bíráló:??? Készült a TÁMOP-412A/1-11/2011-0038 támogatásával
Sapientia Egyetem, Műszaki és Humántudományok Tanszék. mgyongyi@ms.sapientia.ro
Kriptográfia és Információbiztonság 4. előadás Sapientia Egyetem, Műszaki és Humántudományok Tanszék Marosvásárhely, Románia mgyongyi@ms.sapientia.ro 2015 Miről volt szó az elmúlt előadáson? blokk-titkosító
Polinomgy r k. 1. Bevezet. 2. Polinomok. Dr. Vattamány Szabolcs. http://www.huro-cbc.eu
Polinomgy r k Dr. Vattamány Szabolcs 1. Bevezet Ezen jegyzet célja, hogy megismertesse az olvasót az egész, a racionális, a valós és a komplex számok halmaza fölötti polinomokkal. A szokásos jelölést használjuk:
Határozatlan integrál
Határozatlan integrál Boros Zoltán Debreceni Egyetem, TTK Matematikai Intézet, Anaĺızis Tanszék Debrecen, 207. február 20 27. Primitív függvény, határozatlan integrál A továbbiakban legyen I R intervallum.
Irreducibilis polinomok szakkörre
Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Algebra és Számelmélet Tanszék Irreducibilis polinomok szakkörre Szakdolgozat Készítette Birtha Nikoletta Matematika Tanári BSc. Konzulens Dr. Zábrádi
13.1.Állítás. Legyen " 2 C primitív n-edik egységgyök és K C olyan számtest, amelyre " =2 K, ekkor K(") az x n 1 2 K[x] polinomnak a felbontási teste
![13.1.Állítás. Legyen 2 C primitív n-edik egységgyök és K C olyan számtest, amelyre =2 K, ekkor K() az x n 1 2 K[x] polinomnak a felbontási teste](/thumbs/50/27013842.jpg "13.1.Állítás. Legyen 2 C primitív n-edik egységgyök és K C olyan számtest, amelyre =2 K, ekkor K() az x n 1 2 K[x] polinomnak a felbontási teste")
13. GYÖKB½OVÍTÉS GALOIS CSOPORTJA, POLINOMOK GYÖKEINEK ELÉRHET½OSÉGE 13.1.Állítás. Legyen " 2 C primitív n-edik egységgyök és K C olyan számtest, amelyre " =2 K, ekkor K(") az x n 1 2 K[x] polinomnak a
Diszkrét matematika I.
Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 10. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Felhívás Diszkrét matematika I. középszint 2014.
A gyakorlati jegy
. Bevezetés A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés, függetlenség, bázis, dimenzió Skaláris szorzat R n -ben, vektorok hossza és szöge Lineáris leképezések, mátrixuk, bázistranszformáció
Számítógépes Hálózatok 2008
Számítógépes Hálózatok 28 5. Adatkapcsolati réteg CRC, utólagos hibajavítás, csúszó ablakok Hibafelismerés: CRC Hatékony hibafelismerés: Cyclic Redundancy Check (CRC) A gyakorlatban gyakran használt kód
2. Algebrai átalakítások
I. Nulladik ZH-ban láttuk: 2. Algebrai átalakítások 1. Mi az alábbi kifejezés legegyszerűbb alakja a változó lehetséges értékei esetén? (A) x + 1 x 1 (x 1)(x 2 + 3x + 2) (1 x 2 )(x + 2) (B) 1 (C) 2 (D)
1. fogalom. Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! Milyen tulajdonságai vannak az összeadásnak? Hogyan ellenőrizzük az összeadást?
1. fogalom Add meg az összeadásban szereplő számok 73 + 19 = 92 összeadandók (tagok) összeg Összeadandók (tagok): amiket összeadunk. Összeg: az összeadás eredménye. Milyen tulajdonságai vannak az összeadásnak?
1. A komplex számok ábrázolása
1. komplex számok ábrázolása Vektorok és helyvektorok. Ismétlés sík vektorai irányított szakaszok, de két vektor egyenlő, ha párhuzamosak, egyenlő hosszúak és irányúak. Így minden vektor kezdőpontja az