35. Mikola Sándor Országos Tehetségkutató Fizikaverseny. III. forduló május 1. Gyöngyös, 9. évfolyam. Szakközépiskola

Átírás

1 5 Mikola Sándor Országos Tehetségkutató Fizikaerseny III forduló 06 ájus Gyöngyös, 9 éfolya Szakközépiskola feladat Soa, aikor a d = 50 széles folyón a partra erőlegesen eez, akkor d/ táolsággal sodródik lefelé Egy ásik alkaloal Soa és Márton ugyanarról a helyről egyszerre kezd eezni a ízhez iszonyíta egyásra erőleges irányban, és egyszerre érnek a túloldalra Soa ost pontosan az indulási hellyel szeben ér partot Tegyük fel, hogy a folyó sebessége inden pontban ugyanakkora, és a gyerekek állandó, de egyástól eltérő sebességgel eeznek a) Adjuk eg Márton és Soa ízhez iszonyított sebességének arányát! b) Egyástól ilyen táol érnek partot a gyerekek? (Sion Péter) Megoldás a) Soa ízhez iszonyított sebességét jelöljük -gyel, a folyó sebességét c-el! Az első alkalora onatkozó adatokból Soa indenkori sebessége a folyó sebességéel kifejezhető Soa sodródásának és átkelésének enetideje egyenlő: d d = c A folyó sebessége: c = A ásodik alkaloal Soa csak úgy érhet a kiindulási ponttal szeközt partot, hogy a folyón ferdén felfelé eez úgy, hogy sebességének folyás irányú összeteője éppen ( = c) nagyságú legyen Ebből köetkezik, hogy Soa sebessége ost iránnyal Soa sebességének partra erőleges koponense y = o 0 -ot zár be a partra erőleges

2 Márton sebessége a feladat szerint erőleges Soa sebességére, tehát erőleges iránnyal o 60 -ot zár be a partra Soa és Márton akkor ér egyszerre a túlpartra, ha a partra erőleges sebességkoponenseik egyenlők: y = y A két sebesség-hároszög hasonló, ezért a egfelelő oldalainak az aránya egyenlő: y = = y = y = = Márton és Soa ízhez iszonyított sebességeinek aránya innen: = b) Márton sodródásának és átkelésének enetideje egyenlő: x c + = d x y, ahol az ábrából x = = = x + = d 4 x = d, d = 5,5, tehát a gyerekek egyástól x = 5,5 táolságban érnek partot

3 feladat Vízszintes érdes síkon, R = sugarú körpályán táirányítású kiséretű játékautó nyugaloból indula egyenletesen nöeli sebességét A indégig állandó nagyságú pályaenti gyorsulása a 0 = /s A kerekek és a talaj közötti tapadási súrlódási együttható µ = 0,6 a) Indulástól száíta ekkora utat tesz eg az autó a egcsúszásig? b) Mekkora olt a kisautó axiális sebessége? c) Mennyi idő telt el ezalatt? (Száoljunk g = 0 /s -tel!) (Holics László) Megoldás A kis autó egyre nagyobb sebességet szerez Az egyenletesen áltozó körozgás fenntartásához egyre nagyobb centripetális erőre an szükség, ait a tapadási súrlódási erő biztosít Ugyanez az erő okozza a pálya érintő irányú gyorsulását is A kis autó gyorsulását két, egyásra erőleges összeteőre bonthatjuk Az érintő irányú gyorsulás a ozgás kezdetétől foga állandó nagyságú, a kör középpontja felé utató centripetális gyorsulás azonban fokozatosan nöekszik Az eredő gyorsulás nagyságát így írhatjuk fel: a = a + a 0 cp A centripetális gyorsulás a kör sugarától és a test sebességétől függ: a cp =, R ahol a sebesség a nyugaloból aló indulás iatt a egtett úttól és a pálya enti (a 0 ) gyorsulástól így függ: = a0s Ennek segítségéel a centripetális gyorsulást kifejezhetjük a egtett út függényeként: A kis auto eredő gyorsulása tehát: a a s R 0 cp = a0s 4s 0 cp 0 0 a = a + a = a + = a + R R

4 Newton II törénye (ozgásegyenlet) szerint ezt a gyorsulást a külső erők eredője hozza létre A ízszintes érdes síkon haladó testre ez csak a tapadó (később csúszó) súrlódási erő A egcsúszás pillanatában az erő is és a gyorsulás is axiális értékű: µ g = a Ebbe a kis autó eredő gyorsulását beíra és a töeggel egyszerűsíte: adódik 4s µ g = a + R 0 A bal oldal a tapadási súrlódási erő legnagyobb értéke az adott síkon, így itt annak a határesetét kaptuk eg, ai a egcsúszás kezdetéig ég érényes (ennél nagyobb sebességnél a kis autó letér a körpályáról) A száítások elégzése után a keresett út hossza: R µ g s = a 0 Száadatainkkal a kisautó egcsúszása az indulást köetően út egtétele után köetkezik be b) Az elért axiális sebesség olt idő telt el 0,6 0 s s = =,8 s = a0s =,8 =, 6 s s c) Indulástól a egcsúszásig pedig s,8 s = t t = = =,68 s,6 s Röid egoldás: Az eredő gyorsulás a centripetális és érintőleges gyorsulás kapcsolata: a a a = cp + 0 Ezt a gyorsulást a súrlódási erő okozza A ozgásegyenletből (töeggel oszta) µ = R + ahonnan a axiális sebesség a agcsúszásig: A keresett idő 4 g a 0, ( µ 0 ) 4 = g a R =, 6 s 4

5 és az addig egtett út: s t = =,68 s, a 0 = a0t =,8 feladat Egy α = 0 o -os hajlásszögű lejtőn, a kezdetben rögzített = kg és = kg töegű testeket D = 00 N/ direkciós erejű egnyújtott rugóal kapcsoltuk össze az ábra szerint Abban a pillanatban, aikor a testek rögzítését egszüntettük, azok egyás irányába, azonos nagyságú gyorsulással indultak el a) Mekkora olt a rugó egnyúlása kezdetben? b) Mekkora gyorsulással indultak a testek? A súrlódási együttható értéke µ = 0, Megoldás Adatok: µ = µ = 0,; = kg; = kg; D = 00 N/; α = 0 o (Suhajda János) A testekre ható erőket az ábra utatja A két rúgóerő azonos nagyságú, ellentétes irányú, a lejtőel párhuzaos A felfelé induló kis testre ható súrlódási erő a lejtő entén lefelé utat, a lefele induló nagy testre ható erő pedig a lejtő entén felfelé Az első ábrán be ne rajzolt függőleges nehézségi erők ( g és g), alaint a lejtő lapja által kifejtett, a lejtőre erőleges K és K kényszererő eredője a lejtőel párhuzaos, lefelé utat Ezek az erők szabják eg a testek gyorsulásait Az α = 0 o fok iatt az F és F erők a egfelelő nehézségi erőknek a fele A K és K kényszererő (nyoóerő) pedig (egyenlő oldalú hároszög agassága léén) a egfelelő nehézségi erőnek a súrlódási erő nagysága, azaz -szerese Ettől függ a Fs = µ K = µ g, ill Fs = µ K = µ g 5

6 Tekintsük a ozgásegyenletek felírásánál indkét testnél a rájuk ható rugóerő irányát pozitínak, és használjuk ki az adatok adta lehetőséget, jelöljük -et -el, -t -el! A feltétel szerint tehát a = a Az -es jelzésű test ozgásegyenletéből annak gyorsulása: F F F F F F F F F = a a = = r s r s r s A -es jelzésű test ozgásegyenletéből annak gyorsulása: F + F F F + F F F + F F = a a = = r s r s r s Behelyettesíte a ár eghatározott értékeket: és hasonlóképpen g Fr F F µ g s Fr Fr g a = = = µ g, g Fr + F F µ g s F F g a = = + + µ A két gyorsulás nagysága egyenlő léén írható: = r g Fr g Fr g µ g = + µ g Innen a rugóerő nagysága eghatározható Elhagya a súrlódási erők azonos kifejezését: Fr g Fr g Fr Fr g g Fr F = + = + r = g Fr = g Ezzel a rugó kezdeti egnyúlása a rugalas alakáltozás rugóra onatkozó törénye alapján: kg 0 F r g F s r = D l l = = = = 0, D D N 00 b) A két test gyorsulásának nagysága pedig: Fr g g g µ 0, a = µ g = µ g = g µ g = µ g g 0 = = = 4,4 s s (Ugyanezt kapjuk, ha a ásik test gyorsulásának kifejezésébe helyettesítünk be) (Aki iseri a szögfüggényeket, röidebben célhoz jut Fr g sinα µ g cosα F a r = = g ( sinα + µ cos α ), Fr g sinα µ g cosα F a r = + = + g ( sinα µ cos α ) A két gyorsulás egyenlőségéből α = 0 0 behelyettesítése után a rugóerőre, ajd a gyorsulásra a fenti értékeket kapjuk) 6

7 4 feladat Háro egyenlő töegű égitest, inden ás testtől táol a ilágűrben, egy szabályos hároszög csúcsaiban helyezkedik el és körpályán kering a rendszer töegközéppontja körül Mekkora töegűek a testek, ha tudjuk, hogy táolságuk d = k, alaint, hogy keringésük periódusideje T =00 nap? (Kiss Miklós) Megoldás Az ábra jelöléseit használa az R pályasugár: d R =, d = R Két test között ható graitációs erő: F ' = f = f d R Egy testre ható eredő graitációs erő az ábra alapján: F = F ' = f = f d R A szietria iatt indegyik test ozgásegyenlete: F == acp f = Rω R Ebből: R d d d A keringés szögsebessége: π π 7 ω = = = 7, 7 0 T s s A töegre adódik: ω = f = f = f = f Az égitestek töege hozzáetőlegesen =,0 kg 8 7 ( 0 ) 7,7 0 d ω s = = =,4 0 kg f N 6,67 0 kg 7

8 5 Mikola Sándor Országos Tehetségkutató Fizikaerseny III forduló 06 ájus Gyöngyös, 9 éfolya Gináziu feladat Vízszintes talajon indégig egyenletesen haladó gépjárű töege =000 kg, sebessége = 6 k/h Legalább ekkora a kerekek és a talaj közötti súrlódás együtthatója, ha a gépkocsi lendülete t = 6 s alatt egyenletesen I = kg/s-al áltozik? (Holics László) Megoldás Vegyük figyelebe, hogy a lendület (ipulzus) ektorennyiség, aelynek abszolút értéke a test töegének és sebességnagyságának szorzata Ha a sebességnagyság állandó, a lendületáltozás csak a ozgás irányának áltozásából adódhat Így az egyenletesen ozgó járű lendülete csak görbeonalú pályán aló ozgás során áltozhat eg A lendület egyenletes áltozása pedig állandó nagyságú centripetális gyorsulást jelent, ai egyenletes sebesség esetén csak körpályán alósulhat eg Az ábra eligazít iseretlen és az adatok között: Vegyük észre, hogy a lendületáltozás nagysága éppen a indenkori lendületnagysággal egyenlő, ert a lendületáltozás I = kg/s és a lendületnagyság = 000 kg 0 /s = =0 000 kg/ Így a kezdő-, égső lendület és a lendületáltozás egyenlő oldalú hároszöget alkot, az ábrán jelzett ϕ szög, tehát 60 o = π/ rad A centripetális gyorsulást a súrlódási erő hozza létre A kapcsolat a súrlódási együttható és a ozgásjellezők között: µ g = µ = R gr 8

9 Meghatározandó tehát a körpálya sugara A egtett s út és a ϕ szögelfordulás kapcsolata az R sugárral: s t Rϕ = s R = ϕ = ϕ Ezzel a ozgás fenntartásához szükséges súrlódási együttható ϕ π µ = = = = = 0,75 gr t g gt gt ϕ feladat R = 0 c sugarú, negyedhenger-alakú, asztal széléhez rögzített lejtőn két különböző töegű, súlytalan és nyújthatatlan fonállal összekötött, pontszerű testet helyezünk el az ábra szerint A lejtőhöz siuló fonál függőleges síkban helyezkedik el A két testből és fonálból álló rendszert agára hagya az töegű test akkor álik el a lejtőtől, aikor szögelfordulása 0 A súrlódás és a közegellenállás elhanyagolható a) Mekkora ebben a pillanatban a testek sebessége? b) Mekkora a testek töegaránya? c) Az töegű test súlyának hányad része ekkor a fonálerő? (Szkladányi András) Megoldás Adatok: 0, ; 0 ; a) Az elálás pillanatában a lejtő által kifejtett kényszererő egszűnik, az töegű testet sugár irányba a nehézségi erő sugár irányú koponense α gyorsítja: g A keresett töegarány A testek sebessége az elálás pillanatában: b) A echanikai energia egaradása iatt: g, s 6! Az első egyenletet felhasznála és gr-rel aló egyszerűsítés után: Átalakítások után a keresett töegarány: 6! "#,# 9

10 c) A K fonálerőnek és az töegű test súlyának aránya: $ g % % g g Itt a jelöli a testek érintő irányú közös gyorsulását, aely: A keresett arány tehát: % g g $ g 4, "(,))* feladat Vízszintes, légpárnás (súrlódásentes) asztalra helyezünk egy nagyéretű, M = kg töegű lapot, és a lap tetejére teszünk két kockát A kisebbik töege szintén M, a nagyobbiké 4M Könnyű ideális fonalak és egy szintén könnyű és ideális ozgócsiga segítségéel a rendszert ozgásba hozzuk úgy, aint ezt az ábra utatja A kockák és a lap közötti csúszási súrlódási együttható 0, értékű, íg a tapadási tényező 0,6 Mekkora az ábrán látható F húzóerő nagysága, és ekkora gyorsulással ozognak a kockák, ha az alattuk léő lap gyorsulása 0, g, toábbá ekkora a csiga gyorsulása? 0 (Honyek Gyula) Megoldás Miel a töegek között is, alaint a súrlódási együtthatók között is jelentős a különbség, így feltételezhetjük (a égén persze ezt ellenőrizni kell), hogy a ozgás során a nagy kocka a laphoz tapad, íg a kicsi csúszik rajta A lapot ízszintes irányban a kis kocka által kifejtett +,0,, N csúszási súrlódási erő és a nagy kocka F t aktuális (ne a axiálisan lehetséges) tapadási súrlódási ereje gyorsítja: +, /,%,0,4 N Ebből azonnal láthatjuk, hogy a tapadási súrlódási erő nagysága szintén / +,0,, N, ai jelentősen kisebb, int a tapadási erő eléleti axiua: ax / + 4,0,64,,8 N, tehát jogos olt azt feltételezni, hogy a nagy kocka a lappal együtt ozog A csiga könnyű, ideális, alaint a fonál is elhanyagolható töegű, így a fonálban ébredő erő F/ nagyságú Vízszintes irányban a nagy kockára a fonálerő és a tapadási súrlódási erő hat, tehát a köetkező ozgásegyenletet írhatjuk fel:

11 Írjuk be a tapadási súrlódási erőt: aiből a kérdéses húzóerő A kis kocka ozgásegyenlete: aiből / 4,0,0,8,6 N 0,,0,8,, ),456#* 7 +,,%, %0,8"4 8 9 : A kis kockára a fonál 0,9Mg = 8 N erőel hat, ai olyan nagy, hogy (a feltételezésünkkel egyezően) a kis kocka egcsúszik a lapon A nagy kocka gyorsulása egegyezik a lap 0, g /s gyorsulásáal Hátra an ég a csiga gyorsulásának a eghatározása A laphoz képest a kis kocka 8 /s /s = 6 /s gyorsulással ozog, tehát a laphoz képest a ozgócsiga gyorsulása ennek a fele, agyis /s Ehhez hozzáadódik ég a lap, illete a nagy kocka /s nagyságú gyorsulása, agyis a csiga a légpárnás asztalhoz képest 5 /s értékű gyorsulással ozog Érdekességként állapíthatjuk eg, hogy a csiga a ozgás során táolodik a laptól (és a ele együtt ozgó nagy kockától), azonban a kis kocka közeledik a csigához 4 feladat Két egyás ellett felfüggesztett inga éppen összeér, a ásodik a falhoz is hozzáér (A ábra) A testek töege = 50 g, = 50 g, éretük egegyezik Az ingákat a B ábrán látható ódon α = 60 -kal kitérítjük a B jelű helyzetig és elengedjük a) Mekkora a testek sebessége az ütközés után, aikor elérik az A, B, és C jelű helyzetekben? b) Mekkora az egyes fonalakat feszítő erő közetlenül az ütközés előtt és után az A jelű helyen? Az inga hossza 6,5 c Minden ütközést tekintsünk tökéletesen rugalasnak és pillanatszerűnek! (Kiss Miklós) I Megoldás a) Legyen az ingák hossza L, =, így = A B agasságából induló testek sebessége A agasságában az energia egaradás alapján: L = gh = g, ahol h a 60 iatt az ingák hosszának a fele Ebből:

12 = gl,5 s Elsőként az töegű test ütközik a falnak és ugyanekkora sebességgel isszapattan a rugalas ütközés iatt Ezután a két test ütközik Ennek köetkeztében az töegű test egáll, az töegű test sebességének a nagysága egduplázódik Ennek indoklása: + TKP = = = =, s A képletben figyelebe ettük a ásodik test sebességének irányát, a töegközéppont balra ozog A golyók ost összeérnek, rögtön ütköznek, de nézzük külön az ütközés probléáját Érkezzen egyenes onalú pályán táolról a két test és ütközzenek így centrálisan Az ne befolyásolja az ütközés utáni sebességeket, hogy egyenes onalú pályán ilyen táolról érkezik a két test, de könnyebben áttekinthetjük az egyes testek sebességének alakulását Mekkora a testek sebessége a töegközépponti (toábbiakban TKP-i) rendszerben? Az töegű test egy ásodperc alatt két és fél étert haladna jobbra, a töegközéppont egy és negyed étert balra, ezért az töegű test a TKP rendszerben egy ásodperc alatt,75 étert haladna jobbra, agyis a sebessége u =,75 s Az töegű test két és fél étert haladna egy ásodperc alatt a töegközépponttal egyező irányban, így a táolságuk egy ásodperc alatt,5 éterrel csökkenne Ezért az töegű test sebessége u =,5 s A negatí előjel ost is a haladás irányát utatja Ha rugalasan ütköznek, akkor lendületük, így sebességük nagysága se áltozik eg, csak az irányuk áltozik eg Ennek egfelelően az ütközés utáni sebességek a TKP-i rendszerben u ' =,75, s illete u' =,5 s Most ég issza kell térni a laboratóriui rendszerbe Az első test isszafelé halad,75 étert, de a töegközéppont is erre halad,5 étert, így egy ásodperc alatt öt étert halad isszafelé, ezért ' = 5 s Az töegű test,5 étert haladna előre a töegközépponthoz képes, de a töegközéppont,5 étert haladna balra, ezért ez a test összesen ne halad seennyit, tehát sebessége ' = 0 s lesz, agyis egáll (A -es test tehát A-ban arad, ne egy se a B, se a C pontba) Az -es test sebessége ezután a B pontban:

13 ebbe a sebességet behelyettesíte: Ebből: ' = gl, így ( ) g L ' = +, L 4 gl = g + ' ' = gl = gl 4, s Az -es test sebessége ezután a C pontban: ( ) = gl + '', ebbe a sebességet behelyettesíte: L 4 gl = g + '' Ebből: = gl = gl,54 s '' = gl, így b) Az A helyen a sebességek áltoznak, a körpálya iatt a kötélerők is A dinaika alaptörénye a sebességre erőleges koponensekre: acp = K g, ezért így = K g R K = g + R Az -es test az ütközések előtt: gl K = g + = g N L A -es test érkezéskor és a fallal aló ütközés után: gl K = g + = 6g N L Az -es test az ütközések után: 4gL K = g + = 5g,5N L A -es test az ütközés után áll, ezért: K = g,5n, II egoldás a) Legyen az ingák hossza L, =, így = A B agasságából induló testek sebessége A agasságában az energia egaradás alapján:

14 L = gh = g, ahol h a 60 iatt az ingák hosszának a fele Ebből: = gl,5 s Ekkora sebességgel érkezik indkét test az A pontba Ha általános esetet tételezünk fel, a folyaat során (a kérdezett agasságok eléréséig) ütközésnek kell lezajlania: az töegű golyó ütközik a fallal, ajd isszapattanás után az ütközik az érkező töegű golyóal, airől isszapattan, és újból ütközik a fallal, airől isszapattan A tényleges ütközéseket a töegarányok határozzák eg Az abszolút rugalas ütközés (függénytáblázatban egtalálható) képletét alkalazzuk Az ütközés utáni sebességeket u -gyel és u -el jelöljük Az irányokat az érkezési sebesség irányában tekintjük pozitínak Az töegű test a égtelen töegű fallal aló első ütközése után nagyságú sebességgel pattan issza Ezután a két golyó ütközése köetkezik Az abszolút rugalas ütközés általános összefüggése: + u = ( k + ), + ahol a k ütközési szá abszolút rugalas ütközésnél, abszolút rugalatlannál 0 Alkalazzuk az ütközés utáni sebességek eghatározását a i esetünkre (k + ) =, és = alkalazásáal ( = röid jelöléssel): 6 u = = = = s tehát az töegű test egduplázta sebességének nagyságát Hogyan ozog toább az töegű test? Az abszolút rugalas ütközés forulája = -re: u = = = 0, + 4 tehát a speciális töegarányok iatt ne köetkezik be haradik ütközés (a fallal), hane az töegű test az A pontban arad, ne egy se a B, se a C pontba! Az töegű test sebessége ezután a B pontban az energiatételből: ( ) = g L + ', ebbe a sebességet behelyettesíte egyszerűsítések után: Ebből: 4 gl = gl + ' ' = gl, így ' = gl = gl 4, s Az töegű test sebessége ezután a C pontban: ( ) = gl + '', 4

15 ebbe a sebességet behelyettesíte: Innen: L 4 gl = g + '' '' = gl, így ' gl = = gl,54 s A b) kérdésre adott álasz azonos az I egoldásbeliel 5