Feladatok a zárthelyi előtt

Átírás

1 Feladatok a zárthelyi előtt 05. október 6. Tartalojegyzék. ineatika Utolsó ódosítás 05. október 6. 0:46. ineatika.. Egyenes vonalú ozgások Egyenletes ozgás Gyorsuló ozgás Ferde ozgás örozgás Dinaika 0.. Ipulzus Erők Erőkoponensek száolása/statika Erők + körozgás Munka, energia teljesítény Munkatétel körozgással Teljesítény A feladatokat az órai és otthoni feladatok, pár korábbi zárthelyi és a bevezető fizika tárgy ideillő példái közül válogatta. Vannak feladatok, aelyek az órai szintnél egyszerűbbek, ezek inkább a fogalo szeléltetésére vannak, de akár előkerülhetnek egy igazhais kérdésként is... Egyenes vonalú ozgások... Egyenletes ozgás.. feladat: Egyenletesen ozgó gyalogos sebessége v 4,5 k/h. Mekkora utat tesz eg t 75 perc alatt? A egtett út: s v t 4,5 k h in 4, s s 6. feladat: Egy gépkocsi 30 percig 50 k/h állandó sebességgel haladt, ajd 75 percen keresztül 60 k/h volt a sebessége. Mekkora az átlagsebessége? v átl 57,4 k/h.6. feladat: ét helyiség között a kocsik átlagsebessége az egyik irányban v 40 k/h, a ásik irányban v 60 k/h. Mekkora az átlagsebesség egy teljes fordulót figyelebe véve? Az átlagsebesség az teljes egtett út és az ehhez szükséges idő hányadosa. Legyen s a távolság a két település között. Ekkor a teljes egtett út s. Az odaút és a visszaút időtartaa: t s v t s v, vagyis az átlagsebesség: v s t s t + t s s v + s v v +. v.7. feladat: Egy gépkocsi céljához vezető út felén v 40 k/h állandó sebességgel halad. Mekkora legyen a sebessége az út ásik felén (v ), hogy az egész utat figyelebe véve átlagsebessége v 50 k/h legyen?

2 Az átlagsebesség az összes egtett út és az ehhez szükséges idő hányadosa. Legyen a teljes út s hosszúságú. Az út első és ásodik felének egtételéhez szükséges idő: t Az átlagsebesség tehát s v, t s v.... Gyorsuló ozgás B-9. feladat: Az ábra egy egyenesvonalú pályán ozgó részecske út-idő grafikonját utatja. a, Határozzuk eg a ozgás átlagsebességét a t s és t 5 s időintervallura! b. Melyik időpillanatban zérus a ozgás sebessége? c. Mekkora a t 0 s időpontban a pillanatnyi sebesség? v s + s t + t s s v + s v v +, v ahonnan v v v 50 k h 40 k h 66,7 k h. Az átlagsebesség: (az adatok nagyjából leolvashatóak a grafikonról ).9. feladat: Az esőcseppek függőleges irányban esnek v eső 6 /s sebességgel. Az esőcseppek nyoai a vonatablakon a vízszintessel α 30 -os szöget bezáró csíkok. Milyen gyorsan egy a vonat? A vonatablakon lévő csíkok az esőcseppek látszólagos sebességvektorával egy irányba utatnak. Az esőcseppek függőleges sebességvektora, illetve a vonat vízszintes sebességvektora egy derékszögű hároszöget határoz eg, ahol a hároszög átfogójának hossza egegyezik a cseppek látszólagos, a vízszintessel 30 -os szöget bezáró sebességvektorának hosszával. A hároszögben a egfelelő szögfüggvényt felírva: tg α v eső v vonat v vonat v eső tg α 6 s tg 30 0,39 s. 6. feladat: Egy halász a csónakjával a folyón lefelé evez. Egy híd alatt áthaladva vízbe esik a csáklyája, ezt azonban csak fél óra úlva veszi észre. Ekkor visszafordul, és a hídtól 8 k-rel lejjebb éri utol a csáklyát. Mekkora a folyó sebessége, ha a halász a folyón felfelé és lefelé haladva egyforán evez? v x t x(t ) x(t ) 7,3 4, /s. t t 5 s s () A sebesség ott zérus, ahol a görbe eredeksége nulla, ahol vízszintes. Ez jelen esetben a t 7 s-nál van. A pillanatnyi sebesség eghatározásához eg kell nézni az adott pontban a görbe eredekségét..39. feladat: Egy test sebessége ost v 0 /s, t 00 ásodperccel ezelőtt v 0 /s volt. Mennyi volt a test átlagos gyorsulása? Az átlaggyorsulás az adott idő alatt történt sebességváltozás és az ehhez szükséges idő hányadosa: a v t v v t 0 s 0 s 00 s 0,4 s..0. feladat: a /s gyorsulással induló gépkocsi elérve a v v 6 /s sebességet egyenletesen ozog tovább. Milyen essze jut az indulástól száított T 8 ásodperc alatt? Először száoljuk ki, hogy ennyi időre van szüksége az autónak, hogy elérje a v v sebességet. Mivel a gyorsulás egyenletes, így a v v t t v v a 6 s s 3 s.

3 Ez alatt az autó s a t s (3 s) 9 távolságot tesz eg. A hátralévő t 8 s 3 s 5 s idő alatt az autó egyenletes ozgást végez. Az ezalatt egtett út: s v v t 6 s 5 s 30. Vagyis a teljes egtett távolság s feladat: Egy gépkocsi a,8 /s állandó gyorsulással indul, ajd egyenletesen halad tovább, és t 5 ásodperc alatt s 9,4 éter esszire jut. Határozzuk eg a gyorsulás időtartaát! Gyorsítson az autó t ideig. Mivel az autó álló helyzetből indul, így az ezalatt egtett távolság: s a t. Ez idő alatt az autó v v a t sebességre tett szert. Az idő hátralevő részében ekkora sebességgel halad egyenletesen, és s v v t a t (t t ) távot tesz eg. Összefoglalva s s + s a t + a t (t t ) a t + a t t 0 a t at t + s 0,4 s t 4 s t + 9,4 ( t ), 4 s ± { 7 s 3 s (4 ) s 4,4 9,4 s,4 s. A két egoldás közül csak a t 3 s az érteles, hiszen a teljes időtarta 5 s..37. feladat: v v 7 k/h sebességgel haladó vonaton egy utas a vonat ozgásával ellentétes irányban elindul a vonathoz viszonyított a e 0,8 /s gyorsulással. Háro ásodperc alatt ekkora a pályatesthez viszonyított elozdulása? A pályatesthez viszonyítva az eber egyenletesen gyorsuló ozgást végez. A négyzetes úttörvényt használva: s a e t + v v t 0,8 s 56,4. (3 s) s 3 s.9. feladat: Egy gépkocsi sebességét v 54 k/h-ról v 90 k/h-ra növelte állandó a,6 /s gyorsulással. Mennyi ideig tartott ez, és ekkora utat tett eg a gépkocsi ezalatt? Állandó gyorsulás esetén a sebesség egváltozása egyenlő a indenkori gyorsulással, vagyis: a v t t v a v v a s,6 s 6,5 s. 90 k h 54 k h,6 s Az ezalatt egtett utat a négyzetes úttörvénnyel száolhatjuk x(t) a t + v 0 t + x 0, ahol a a kocsi gyorsulása, v 0 a kezdeti időpontban a sebessége, vagyis 54 k h, és x 0 annak kezdeti pozíciója. Ez utóbbi legyen nulla, hiszen onnan kezdjük el érni a egtett utat a gyorsítás végéig: x(t),6 s (6,5 s) + 54 k h 6,5 s 5. A-8. feladat: Egy 0 /s sebességgel haladó teherautó 0 s alatt egyenletesen gyorsulva egkétszerezi sebességét. a, Határozzuk eg a gyorsulását! b, Mekkora utat tesz eg ezalatt a teherautó? a, Ha a kezdeti sebessége v 0 0 /s volt, akkor a egkétszerezés után v 0 /s lett. A sebességváltozás v v v 0 (0 0) /s 0 /s, iközben az ehhez szükséges idő t 0 s. A gyorsulás egyenletes, így egegyezik az átlagos gyorsulással, aely a v 0 /s /s. t 0 s b, Gyorsuló ozgás esetén a sebesség kiszáolható a következő forulával: s v 0 t+ a t 0 /s 0 s+ /s (0 s) 50. 3

4 B-33. feladat: Egy követ 50 ély kútba ejtettünk. Határozzuk eg, hogy ennyi idő úlva halljuk a kő csobbanását! (A hang terjedési sebessége 330 /s ) Elsőként ki kell száolnunk, ennyi idő alatt ért le (t le ) a kő a vízbe, ajd után ennyi idő kellett a hang feléréséhez (t fel ). A kő lefelé gyorsul, a 0 kezdősebességű gyorsuló ozgás esetén a egtett út s a/t, jelen esetben a egtett út s h 50, a kút élysége, és a gyorsulás a g 0 /s a nehézségi gyorsulás. Ez alapján a leesés ideje: t le h g 50 0 /s 0 s. A hang egyenletes v h 330 /s sebességgel halad felfelé: t fel h v h s. Az összes idő tehát t t le + t fel 3,3 s. B-34. feladat: Egy gépkocsi 5 /s-os egyenletes sebességgel egyenes úton halad. Abban a pillanatban, aikor egy parkoló otoros rendőr ellé ér, a rendőr /s állandó gyorsulással üldözni kezdi: a, Mennyi idő alatt éri utol a rendőr az autót? b, Mennyi utat tesz eg ezalatt a rendőr és ekkora a sebessége a találkozás pillanatában? Az autó egyenletesen, a otor gyorsulva ozog, de a végén a egtett út ugyanannyi lesz: Ez alapján az eltelt idő: v a t a r t. A labda lassul, s alatt egtett út: s v 0 t g t /s s 7,095. 9,8 /s ( s) ahol a negatív előjellel figyelebe vettük, hogy a gyorsulás a kijelölt pozitív iránnyal szeben van. A sebessége: v v 0 gt /s 9,8 /s s,9 /s. érdéses, hogy ikor áll eg fent. Ekkor v 0, azaz 0 v v 0 gt, aelyből vagyis elindult lefelé. t v 0 g, s, B-36. feladat: Egy labdát az ábrának egfelelően egy szakadék széléről felfelé hajítottunk. A labda 5 agasra eelkedik, ajd 5 élyen ér talajt a szakadék alján. a, Mekkora volt a labda kezdősebessége? b, Mekkora sebességgel csapódik a talajba? c, Mennyi ideig tartózkodik a labda a levegőben? h 5 h 5 t v a a r 5 s, a egtett út: A egállásig a egtett út: a sebessége: s a r t 5, v r a r t 30 /s. h v 0 t g t, de v 0, és t is iseretlen. önnyítés ha felfedezzük, hogy ugyanazon agasságba visszaeséshez ugyanakkora t idő kell, de a kezdősebesség úgy 0, azaz: A-3. feladat: Függőlegesen felfelé hajítunk egy labdát v 0 /s sebességgel. Hol van, ekkora és ilyen irányú sebességgel rendelkezik az t s és a t s időpontban az elhajítás után? h g t, aelyből egkapjuk a időt (t s), ajd visszahelyettesítve a fenti összefüggésbe kijön a sebesség is (v 0 0 /s). 4

5 Hasonlóan a teljes leesés útjából kiszáolható a teljes leesési idő: s ö h + h g t, g(t t fel ) 0 /s, ahol figyelebe vettük, hogy a pozitív irány függőlegesen felfelé választottuk. t 3 időpillanatig t 3 t fel -t zuhan. A keresett értékek: azaz t s, a becsapódási sebesség v gt 0 /s. s 3 g s (t 3 t fel ) 0 /s (5 s s) 45, A levegőben töltött idő (fel+le) pedig t l t + t 3 s..3. feladat: A talaj fölött h 0 30 éter agasságból v 0 0 /s kezdősebességgel kavicsot dobunk függőlegesen fölfelé. Mekkora a kavics sebessége, elozdulása és a egtett út t s, t 3 s; t 3 5 s úlva. A kavics útja a következő. Először felfelé egy, eléri a axiális agasságot, ajd elindul lefelé és eléri a talajt. Ez két nevezetes időpontot jelent, egyet a csúcson (t fel ), és az út végén (t össz ). t fel eghatározható a kezdeti sebességtől, és a lassulásból: t fel v 0 g 0 /s 0 /s s. Ez alapján az első időpontban ég eelkedett. A sebessége v v 0 gt 0 /s 0 /s s 0 /s. A egtett út s v 0 t g t 0 /s s 5, 0 /s ( s) és végig azonos irányban haladt, így az elozdulás egegyezik az úttal. A axiális agasság: s fel v 0 t fel g t 0 /s s 0, 0 /s ( s) tehát összesen H h 0 + s fel 50 agasra jutott, ahonnan a leeséshez szükséges idő eghatározható a H g t le összefüggésből: H t le g 0 s > 3 s, azaz az ötödik ásodpercben ég repülni fog. Tehát ásodpercig eelkedett, így t -ig ég -et zuhant. A egtett út: s g s (t t fel ) 0 /s (3 s s) 5, összesen s s fel + s 5. Az elozdulás r s fel s 5. A sebessége ekkor v összesen s 3 s fel + s Az elozdulás r s fel s 3 5. A sebessége ekkor v 3 g(t 3 t fel ) 30 /s. C-49. feladat: Egy 3 /s sebességgel süllyedő hőlégballonból hookzsákot ejtenek ki. a, Határozzuk eg a hookzsák sebességét a Földhöz képest a kiejtés után ásodperccel. b, Milyen távolságba jut egy ásodperc alatt a hookzsák a ballontól, ha a zsák kiejtésének pillanatában a ballon süllyedési sebessége /s-ra csökken? a, A kidobott hookzsáknak kezdetben a ballonnal együtt ozgott, tehát a kezdősebessége neki is v 0 3 /s volt lefelé. Ezen felül ég gyorsult is. t s alatt a sebességváltozása: v g t 0 /s. Így ásodperc után a sebessége: v v 0 + t 3 /s b, Nézzük ekkora utat tett eg lefelé ezalatt. Egyrészről egyenletesen ozgott lefelé, ásrészről gyorsult is. A egtett út ennek a kettőnek az összege. s zsák v 0 t + g ( t) Másrészt a ballon is süllyedt tovább: s ballon v ballon t /s s Mivel indkét test ugyanabba az irányba (lefelé) haladt a távolságukhoz a két út különbségét kell venni: s s zsák s ballon 6 5

6 C-58. feladat: Egy forgali lápa olyan kereszteződésben áll, ahol 40 k/h sebességkorlátozás érvényes. A kereszteződés felé a axiálisan egengedett sebességgel gépkocsi közlekedik. A kocsi axiális lassulása /s a vezető reflexideje 0,5 s. a, Tegyük fel, hogy a gépkocsi axiális sebességgel haladt és 3 /s egyenletes lassulással fékezett. Milyen esszire volt a lápától a fékezés egkezdésének pillanatában (aikor a lápa éppen sárgára váltott), ha éppen a stop-vonalon állt eg? b, Milyen hosszú volt a sárga jelzés időtartaa, ha a lápa pontosan a kocsi egállásának pillanatában váltott pirosra? A lassuláshoz szükséges idő: t 0 v 0 a, /s 3 /s 3,7 s. De ezen felül ég a reflexidő is, így összesen t ö t + t r 4, s kell. A egtett út a reflex alatt egyenletes, ajd lassuló (ost a < 0!): x v 0 t r + v 0 t + a t 5, ,53 6,09 }{{} a t B-8. feladat: Egy futó a 00 -es vágtaszáot 0,3 s-os eredénnyel nyerte eg. Egy ásik futó 0,8 s-os idővel futott be. Feltéve, hogy az atléták az egész távon egyenletesen futottak, határozzuk eg, hogy ilyen távol volt a ásodik futó a céltól, aikor a győztes átszakította a célszalagot! A győztes átlagsebessége (aellyel ost feltettük, hogy végig fut): v s t 00 0,3 s a ásodik helyezetté: v s t 00 0,8 s 9,7 /s, 9,6 /s. A ásodik által egtett út, aíg az első beért: s v t 0,93 /s 0,3 s 95,37, tehát a learadása: s s összes s , feladat: Egy töegpont az x tengely entén ozog a 4 /s állandó gyorsulással. Az x 0 helyen a sebessége 0 /s, az időt itt kezdjük érni. Mikor lesz a test először az x 8 helyen? aelyből az idő: x v 0 t + a t, t, v 0 ± v 0 + ax a { s, 9 s. B-6. feladat: Egy gépkocsi sebessége 9 s alatt 4 /s-ról egyenletesen 7 /s-ra növekszik. a. Mekkora a kocsi gyorsulása? b, Ezután az autó s alatt egyenletesen lassulva egáll. Mekkora a gyorsulás ezen a szakaszon? c. Összesen ekkora utat tett eg a s alatt az autó? d. Mekkora az átlagsebessége? a, a /3 /s b, a 7/ /s c, s 9,5 d, v átl 4,34 /s A. feladat: Egy követ függőlegesen felfelé, egy ásik követ függőlegesen lefelé hajítunk v 0 /s sebességgel, ugyanabban a pillanatban, Mennyi idő úlva lesznek egyástól x 60 éter távolságban? Írjuk fel a két egtett utat a kívülről nézve: x fel v 0 t g t, x le v 0 t + g t. Összegük (aely pont a távolságnak felel eg): x x fel + x le v 0 t, így az eltelt idő: t x v 0,5 s. F.. feladat: Egy egyenletesen gyorsuló autó 80 úton növelte sebességét 0 /s-ról 0 /s-ra. Mekkora úton érte el előzőleg a 0 /s sebességet, ha nyugali helyzetből indult, s gyorsulása végig állandó volt? 6

7 .. Ferde ozgás. feladat: Milyen irányban dobtuk el azt a testet, aely 4 s úlva 80 távolságban esik a földre (g 0 /s, a légellenállást elhanyagoljuk)? A feladat ne ondja, de tegyük fel, hogy a talaj ellől dobtuk el a testet. Ha t 4 ásodperc alatt x 80 -re jut el, akkor a vízszintes irányú sebessége: v x 80 0 /s. 4 Mivel a talaj ellől indult és a talajszintre ért vissza a ozgás első felében eelkednie, íg a ásodik ásodpercben süllyednie kellett. Ebből azt következik, hogy akkora volt a függőleges irányú kezdősebessége, hogy ásodperc alatt leent 0-ra vagyis: A csónak t d v cs s alatt ér át a ásik s partra. Eközben a folyó d v f t 3,6 k h 00 3 s s 00 3 s 66,7 viszi le a csónakot a folyásirányba. Tehát a csónak ennyivel lejjebb fog kikötni a túloldalon..8. feladat: 0 agas ház tetejéről /s kezdősebességgel ferdén felfelé elhajítunk egy testet. A vízszintessel bezárt szög 30. Mennyi idő úlva és a háztól ekkora távolságban ér földet, ha a közegellenállástól eltekintünk? (g 0 /s ) v 0 h ϕ h ax v y g t 0 /s. Ábrázoljuk ezt: v y A kérdéses ϕ szög: v x ϕ ϕ arctg ( ) feladat: Hajó sebessége 0 /s. A hajón gyerekek labdáznak. A labda egyik gyerektől a ásik felé 4 /s sebességgel gurul a hajó ozgásának irányára erőlegesen. Mekkora és ilyen irányú a labda sebessége? A partról nézve a hajó és a labda ozgása két erőleges koponenset jelent, aelyet összegezni kell: v vl + vh ,77 /s, az iránya a hajóhoz képest: alapján ϕ,8. tgϕ v l v h.33. feladat: A folyó szélessége d 00, sebessége v f 3,6 k/h. Hol köt ki a túlsó parton az átkelő csónak, ha a vízhez viszonyított sebességének nagysága v cs 3 /s, iránya a víz folyásának irányára erőleges? A kiinduló függőleges sebesség v y0 v 0 sin ϕ 6 /s, tehát a csúcspontra t vy 0 g 0,6 s alatt ér. A egtett út(eelkedés) h g t,8, azaz a axiális agasság h ax h + h,8. Ez alapján a leesés ideje t hax g összidő a levegőben t t + t,688 s.,088 s, azaz az A vízszintes sebesség v x v 0 cos ϕ 0,39 /s a ozgás során végig. A egtett út: x v x t 7, feladat: h 00 éter agasságban v k/h sebességgel haladó repülőgépről a cél előtt ilyen távolságban kellene kioldani a segélycsoagot ahhoz, hogy a célba csapódjék, ha ne lenne légellenállás? Mekkora lenne a segélycsoag sebessége a becsapódás pillanatában? Függőlegesen a csoag egyenletes gyorsulással ozog, vagyis a agassága az idő függvényében: z(t) g t + h. T idő alatt ez a agasság nullára csökken: 0 g T h + h T 6,3 s. g A csoag vízszintes kezdősebessége egegyezik a repülő sebességével, és ez a csoag ozgása során 7

8 ne is változik. Eiatt, ha T idő alatt ér földet a csoag, akkor az vízszintesen s v 0 T távolságot tesz eg. Ez alapján 0 g s hv0 + h s 63,45. g v 0 A függőlegesen szerzett sebessége: v y gt 63, /s, vízszintesen pedig aradt v x v 0. Az eredő sebesség nagysága: v vx + vy 8,3 /s..5. feladat: Határozzuk eg a v 0 0 /s kezdősebességgel α 30 -os szögben kilőtt test helyzetét a kilövés után 3 ásodperccel! A test vízszintes irányban egyenletes ozgást végez: x(t) v 0x t + x 0, ahol v 0x a kezdősebesség vízszintes koponense: v 0x v 0 cos α. Az x 0 a t 0 pillanatban a test helye. Helyezzük a koordináta-rendszerünket oda, ahonnan elhajítjuk a testet, így x(t 0) 0, vagyis x 0 0. Függőleges irányban a test egyenletesen gyorsuló ozgást végez. Az y tengely felfelé utat, így a gyorsulás negatív: y(t) g t + v 0y t + y 0, ahol v 0y a függőleges kezdősebesség: v 0y v 0 sin α, illetve az előzőekhez hasonlóan y 0 itt is nulla. A ozgást leíró két egyenlet tehát: A t 3 s-ban: x(t) v 0 cos α t y(t) g t + v 0 sin α t. x(3 s) 0 s cos 30 3 s 3,77 y(3 s) 0 s (3 s) + 0 s sin 30 3 s örozgás 6.. feladat: Forgó kerék két ugyanazon sugáron levő pontjának sebessége v 3 /s, illetve v 7 /s. Mekkora a kerék szögsebessége, ha a két pont egyástól való távolsága r 30 c? A kerületi sebességük különböző de szögsebességük azonos, azaz: v r ω (r + r) ω v r ω összevonva v v + r ω, aelyből a szögsebesség: ω v v r 3 /s 7 /s 0,3 0 s feladat: Mekkora a TU-44 utasszállító repülőgép centripetális gyorsulása, ha v 400 k/h sebességgel r 80 k sugarú körívben halad fordulás közben? Ily ódon ennyi időbe telik, aíg északi irányból kelet felé fordul? Mennyi utat tesz eg e fordulás közben? A centripetális gyorsulás: a cp v r ( ) 400 k h /3,6 s k h A negyedkör alatt egtett út: s rπ 4 az ehhez szükséges idő: t s v 80 k π 4 5, 5 /s. 5,6 k, 5,6 k 88,5 s. 400 k/h 6.5. feladat: Egy gépkocsi v 08 k/h sebességgel halad. erekeinek átérője d 75 c. Mekkora a kerekek szögsebessége? Az autó éppen akkora sebességgel halad, int aekkora a kerekei egy pontjának kerületi sebessége. Ez a legegyszerűbben onnan látható be, hogy tudjuk, hogy a kerék az aszfalton tapad, vagyis a kerék legalsó pontja a kocsi ozgása során indig áll. Mivel az autó inden pontja előre felé halad v sebességgel, ezért a kerék külső pontjainak kerületi sebessége olyan kell hogy legyen, hogy a legalsó pont indig álljon, vagyis a kerületi sebességnek is v-nek kell lennie. Így a szögsebesség: ω v d/ k 08 h 37,5 c 80 s. 8

9 4C-6. feladat: Egy 300 -es állandó görbületi sugarú úton haladó autó, /s gyorsulással fékezni kezd. Határozzuk eg az autó gyorsulásának irányát és nagyságát abban az időpontban, aikor sebessége 5 /s. észítsünk vázlatot a gyorsulásvektor irányának jelzésére. 3/3. feladat: Aikor egy R 00 sugarú, vízszintes körpályán a gépkocsi sebessége v 0 /s, gyorsulása α 0 -os szöget zár be a sebességvektorral. Mekkora utat tesz eg a egállásig, ha a tangenciális gyorsulása ne változik? A körpályán ozgó test centripetális gyorsulása kezdetben: a cp v R /s A bezárt szög alapján a tangenciális koponens nagysága: a t a cp tg 30 0,57 /s, aely időben állandó. Ez alapján a egállásig eltelt idő: t v 0 /s 7,3 s. a t 0,57 /s Az ezalatt egtett út: s a t 0,57 t /s (7,3 s) 86,6. 3/7. feladat: kg töegű testet 0 /s kezdősebességgel a vízszinteshez képest 60 szöggel elhajlítunk. Mekkora a pálya görbületi sugara, aikor a sebesség a vízszintessel 30 -os szöget zár be? R 87 4A-. feladat: A nagy gyorsulásoknak az eberi testre gyakorolt hatását úgy tanulányozzák, hogy az űrhajósokat egy 5 hosszú rúd végéhez rögzített kabinban vízszintes síkú körpályán egforgatják. a, Mekkora az űrhajó gyorsulása, ha a kabin 3 fordulatot tesz eg percenként? b, Hányszorosa ez a gyorsulása a nehézségi gyorsulásnak? A frekvencia f 3 /in 0,383 /s, így v Rf 5,75 /s, így a cp v R,0 /s. g 9,8 /s, így a cp g 0, 4B-3. feladat: A tipikus pulzárokról úgy hisszük, hogy kb. R 40 k sugarú, ásodpercenként fordulatot tevő, különlegesen sűrű neutroncsillagok. a, Mekkora a neutroncsillag egyenlítőjén elhelyezkedő részecske gyorsulása? b, Mekkora a 45. szélességi körön (azaz az egyenlítő és a pólus között félúton) levő részecske gyorsulása? c, Milyen irányban gyorsul a b, kérdés szerint ozgó részecske? A forgás frekvenciája f Hz, a centripetális gyorsulás: a cp v R Rω (π rad/s) /s. A 45. szélességen ár kisebb a sugár, R R cos α, így egváltozik a gyorsulás is: a cp R ω R cos αω a cp cos 6 67 /s, és a gyorsulás iránya a tengely felé és ne a csillag közepe felé utat. 3/6. feladat: Vidáparki óriáskerék sugara R 0 és 5 fordulatot tesz eg percenként. A kereket 9 s alatt egyenletesen lefékezik. A fékezés elkezdése után kb. hány ásodperccel lesz a tangenciális és a centripetális gyorsulás egyenlő nagyságú? t 5 s 4B-8. feladat: Egy sólyo sugarú, vízszintes síkú íven 4 /s sebességgel repül. a, Mekkora a centripetális gyorsulása? b, Mekkora a sólyo gyorsulásának nagysága és iránya, ha pályájának síkja és íve ne változik, de, /s gyorsulással növelni kezdi sebességét? a cp v R,3 3 /s A gyorsítás érintő irányú, tangenciális! Így a a cp + a t,79 /s 9

10 az iránya: ϕ arctg a cp a t Az irány úgy érjük, hogy... 48,0 4A-5. feladat: Határozzuk eg a 60 éter sugarú versenypálya szakasz ideális dőlésszögét arra az esetre, ha a kocsik 96 k/h sebességgel veszik a kanyart. Oldjuk eg a feladatot egy gépkocsihoz rögzített koordináta rendszerben.. Dinaika.. Ipulzus 3.6. feladat: A rakoánnyal együtt M tonna töegű vasúti pályakocsi vízszintes pályán v 0 /s sebességgel halad. Mozgás közben a kocsin ülő eberek lelöknek egy 00 kg töegű síndarabot, aely függőlegesen esik a talpfákra. Mekkora sebességgel halad tovább a pályakocsi, ha a súrlódástól eltekinthetünk? Oldjuk eg ipulzusegaradással. ezdetben az egész rendszerben van p Mv, a ledobás után p (M )v + 0. A kettő egyenlőségéből a sebesség: v M M v, /s. 000 kg 0 /s 000 kg 00 kg 3.9. feladat: Állóvízben két csónak halad egyás felé. A vízhez viszonyított sebessége indkét csónaknak ugyanakkora, v 0,6 /s. Aikor egyás ellé érnek, az egyikről a ásikra 60 kg töegű testet tesznek át. Ezután a ásik csónak az eredeti irányában v 0,4 /s sebességgel halad tovább. Mekkora ennek a ásodik csónaknak a töege? (A víz ellenállását elhanyagoljuk.) Legyen az első iránya pozitív, a ásodiké negatív, és legyen az átadás olyan, hogy közben ne változik eg az az első csoag sebessége (pl. oldalra adja át csoagot). Azaz v v ( )v ( + )v v v v + v (v + v ) (v v ) A kifejezett töeg: v + v v v 300 kg. 0,6 /s + 0,4 /s 60 kg 0,6 /s 0,4 /s 3.4. feladat: A 0 g töegű, v 40 c/s sebességű és a 80 g töegű, v 00 c/s sebességű két test egyással szebe ozog egy egyenes entén. Teljesen rugalatlan ütközés után ekkora és ilyen irányú sebességgel ozognak tovább? Jelöljük ki a pozitív irányt úgy, hogy az első test ozgásával egegyező legyen. Az ütközés előtt az összipulzus: utána: p v + v, p ( + )v, és persze tudjuk, hogy a kettőnek eg kell egyeznie. Ezért a sebesség: v v + v + 0, kg 0,4 /s + 0,08 kg ( /s) 0, kg + 0,8 kg 0,6 /s. A sebesség előjele alapján a ásodik test sebességének irányában ozognak együttesen feladat: A 0 kg töegű lövedék a vízszintessel α 30 -os szöget bezáró irányban v 0 40 /s sebességgel hagyja el az ágyú torkolatát. Pályájának legagasabb pontján a lövedék két részre robban szét. Az egyik, egy 4 kg-os darab, éppen a robbanás helye alatt, függőlegesen zuhan a földre. A ásik, 6 kg-os darab sebességének iránya robbanás közben ne változik eg. Hol csapódna be ez a ásik darab, ha ne lenne légellenállás? (g 0 /s ) v 0 A kiinduló sebesség koponensei: v 0x v 0 sin α, v 0y v 0 cos α. A kezdeti y irányú sebességgel a legagasabb pontig t idő alatt juthatunk el, aely kiszáolható a gyorsulásból: t v 0y g v 0 cos α. g 0

11 A robbanásra felírhatjuk az ipulzusegaradást. Előtte volt egy p x v 0x ipulzusú testünk, íg utána csak a -es ozgott vízszintesen, azaz p x 0 + v x. A egaradás iatt: v 0x v x v x v 0x v 0 sin α. A robbanás után a test 0 y irányú sebességgel indul lefelé, és a leékezéshez szükséges idő ugyanakkora, int lentről a tetejéig (gyorsulás, távolság, kezdősebesség egegyezik, ezért az idő is!), azaz t le t. A egtett út vízszintesen összefoglalva: s v xt le v 0 sin α v 0 cos α g 0 kg (40 /s) sin ( 30 ) 6 kg 0 /s /s 456,9 /s. v 0 sin α g 0 /s. Az elozdulás az eltelt idő és a fenti sebesség szorzata: s t v 38,5. 8B-. feladat: ét, ill. k (k állandó) töegű test egyenlő v 0 nagyságú kezdősebességgel erőleges irányból az ábrán látható ódon közlekedik egyáshoz és összeütközik, ajd összeragadva ozog tovább. Fejezzük ki a végsebességük irányát eghatározó ϑ szöget k segítségével. v 0 k v 0 ϑ (k + ) v 3.3. feladat: Az H 000 agasan lebegő léggöbről 80 kg töegű bobát ejtenek le. A boba h 600 esés után két részre robban szét. Az egyik, 30 kg töegű rész a robbanás pillanatában vízszintes irányban v 00 /s sebességet kap. Hol éri el a talajt a ásik rész? (A légellenállástól tekintsünk el.) övessük a boba ozgását. Az első szakasz h hosszú, és egyenletesen gyorsulva tesszük eg, azaz h g h t t g. A teljes agasság leeséséhez: H g t t így a robbanás után ég h t t t g t /s H g H g, /s 3,9 s időt ozog. A robbanásra felírhatunk egy ipulzusegaradást, azaz előtte p 0, utána p v + ( )v. Az egyenlőség alapján: v 30 kg v 00 /s 80 kg 30 kg Az x irányban az ütközés előtt v 0, az y irányban kv 0 ipulzus volt. Utána az eredő vetületei lesznek, vagyis a egaradási egyenlet: (k + )v cos ϑ v 0, (k + )v sin ϑ kv 0. A kettő hányadosából egkapjuk az összefüggést: tgϑ k. 8B-7. feladat: Egy 5 kg töegű kezdetben nyugaloban lévő testre 5 ásodpercig 6 N állandó erő hat, ajd az erő 3 s alatt egyenletesen zérusra csökken. Mekkora sebességet ér el a test? Rajzoljunk: 6 F (t) 5 8 A gyorsulás grafikon hasonló, csak inden értéke le kell osztani a töeggel. A sebessége: v(t) 5 0 a 0 dt (3, 0,4t)dt 7,8 /s t

12 .. Erők.3. feladat: A v 0 9 /s sebességgel elütött korong a jégen s 36 út egtétele után áll eg. Mekkora a súrlódási együttható a korong és a jég között? A korong egyenletesen lassult, átlagsebessége v átl v 0 4,5 /s. Ez alapján a egállásig eltelt idő t s 36 v átl 4,5 /s 8 s. A gyorsulása a v v 0 t 0 /s 9 /s 8 s 9 8 /s. Newton szerint a F súrl µf nyoó µ, azaz µ a g 9/8 0 0,5. aelyet ár behelyettesíthetünk az elsőbe, hiszen F súrl µ, és a gyorsulásra azt kapjuk, hogy a (F cos α µ) 0 kg (0 N cos 30 0, 90 N) 0,83 /s... feladat: h 0 agas, α 60 -os lejtő tetejéről csúszik le egy test. Mekkora sebességgel és ennyi idő alatt ér le a lejtő aljára, ha a) a lejtő súrlódásentes, b) a lejtő és a test közötti súrlódási együttható µ 0,5? F s.4. feladat: Milyen erők hatnak egy vízszintes lapon és egy lejtőn nyugvó testre? (észítsen ábrát!) 0 kg töegű testet a vízszintessel α 30 - os szöget bezáró F 0 N erővel húzunk. Mekkora a test gyorsulása, ha a csúszási súrlódási tényező értéke µ 0,? h α y x α F F súrl A Newton-törvények, figyelebe véve, hogy függőlegesen ne ozdulunk el: x : y : a F cos α F súrl 0 F sin α + A ásodik alapján a kényszererő nagysága: F sin α 0 kg 0 /s 0 N sin N, a) Írjuk fel a Newton-törvényt a lejtőről lecsúszó testre, a lejtővel párhuzaos és arra erőleges irányban: a sin α a cos α, Mivel a test a lejtőn csúszik, így arra erőlegesen nincsen elozdulás, azaz a 0. Az előző egyenletből adódik, hogy test gyorsulása a lejtő entén a g sin α. A lejtő hossza s s a T h sin α, így a lecsúszás ideje: h sin α a sin α T h 0 T g sin α 0 sin 60 s,63 s, illetve a test sebessége a lejtő alján: v vég a T g sin α T 0 s sin 60,63 s 4,4 s.

13 b) Ha van súrlódás a lejtőn, akkor a Newtonegyenletek kiegészülnek: a F s sin α µ a cos α, ahol a ásodik egyenletből kifejezhető, 0 cos α cos α, ajd az elsőbe helyettesíthető: A lecsúszás ideje: a g ( sin α µ cos α ). h T g ( sin α µ cos α ) sin α 0 0 ( s sin 60 0,5 cos 60 ) sin 60,94 s, illetve a test sebessége a lejtő alján: v vég a T g ( sin α µ cos α ) T 0 s ( sin 60 0,5 cos 60 ),94 s,93 s. aely a nehézségi és húzóerő vektoriális összege. A Pitagorasz-tétel alapján: () + F F e, így F F e () 6,53 N. Az eredő erő szöge: ϕ arctg F 56,44. ezdetben a sebessége zérus volt, így csak ez az erő gyorsítja, csak ennek irányába ozdul el, tehát a pálya egyenes lesz. 5B-35. feladat: Az ábrán látható ódon, súrlódásentesen forgó csigán átvetett, elhanyagolható töegű kötél végeire,8 és 3,6 kg-os töeget erősítettünk, ajd nyugaloból indítva agára hagytuk a rendszert. a, Newton ásodik törvényének alkalazásával határozzuk eg a testek gyorsulását! b, Mekkora erő feszíti a fonalat, iközben a testek gyorsulnak? c, Mekkora sebességgel érkezik le h 5 c agasból az 3,6 kg-os test? F felf a 5B-5. feladat: 4 kg töegű testre két erő a lefelé utató nehézségi erő, és egy állandó, vízszintes irányú erő hat. A egfigyelések szerint a test nyugaloból indult és a /s gyorsulással ozog. Határozzuk eg, hogy a, ekkora a vízszintes irányú erő? b, ilyen irányban gyorsul a test? c, vajon egyenes vonalon vagy parabola pályán ozog-e a test? g g Írjuk fel a testekre a kötél entén, illetve a csigára függőleges irányban a Newton-törvényt: ϕ F : a g : a g cs : 0 F felf. F e Mivel a kötél és a csiga ideális, ezért a két kötélerő nagysága egegyezik,. Az első két egyenletből adódik: A gyorsulás alapján az eredő erő: F e a 48 N, a + g 3,3 /s. 3,6 kg,8 kg 0 /s 3,6 kg +,8 kg 3

14 Az test a nehezebb, arra fog ozogni a rendszer. A kötélerő: ( ) (a + g) + g + + g 4 N.,8 kg 3,6 kg 3,6 kg +,8 kg 0 /s A zuhanás ideje: h t a 0,5 0,33 s, 3,33 /s a sebesség: v at 3,3 s 0,33 s s. 5A-40. feladat: A vízszintes padlón,8 /s sebességgel csúszó doboz ásodperc alatt egáll. Mekkora a doboz és a padló közötti csúszó súrlódási együttható? µ F súrl A doboz átlagos gyorsulás (lassulás!) a v t 0,9 /s. Newton II. törvénye alapján: v a µf ny µ, aely alapján a súrlódási együttható nagysága: µ 0,09. 5B-50. feladat: ét, vízszintes síkon fekvő testet az ábra szerint fonallal kötöttünk össze. A testek és a sík közötti csúszási súrlódási együttható µ 0,5. a, Mekkora vízszintes irányú F erővel ozgathatjuk a testeket a /s gyorsulással? b, Mekkora erő feszíti ezalatt az összekötő fonalat? Itt is először felírjuk az egyes testekre a Newtontörvényt függőleges és vízszintes irányban:,x : a x F F s,y : a y T g,x : a x F s,y : a y T g. Mivel függőleges elozdulás nincs, így a y a y 0. Így indkét egyenletből egkapjuk a tartóerőt, aelyből kiszáolhatjuk a súrlódást: T g F s µt µ g T g F s µt µ g A két testet összekötő kötél nyújthatatlan, így a két test gyorsulása inden pillanatban ugyanakkora: a x a x a. Ezt egyszerűen eghatározhatjuk, ha összeadjuk A két x irányú egyenletet összeadásával kiejtsük a kötélerő, és egkapjuk F -et: F ( + )(a + µg) (4 kg + kg) ( /s + 0,5 0 /s ) 4 N. Ezt felhasználva a kötelet feszítő erő,x egyenlet alapján: a + g kg ( s + 0 ) s 4 N. 5B-6. feladat: Az ábra szerinti elrendezésben a felső és az alsó hasáb között a tapadási súrlódási együttható 0,4 a vízszintes sík súrlódásentes. Mekkora axiális F erővel húzhatjuk az alsó testet, ha azt akarjuk, hogy a felső test ne csússzon eg rajta? µ 0,4 T F kg T 4 kg F F s g F s A pozitív iránnyal szebe hat g 4 A tapadási súrlódás axiua F tap µ g 8 N. A axiális gyorsulás értéke a teljes rendszerre F húzóerő esetén: a F +,

15 így a felső testre ható részerő F felso a F +. A keresett pontban ez pont egyensúlyt tart a axiális tapadással: azaz F tap + F, F + F tap 8 N. Az alsó testre ható erők eredője (húzóerő felső súrlódás): a F µ cs g, így a gyorsulás: a F µ cs g 6,4 /s A két test együtt ozog, ha ég össze vannak tapadva. Tehát a axiális tapadási súrlódás nagyságával, 8 N-nal húzhatjuk a felső testet. 3.. feladat: Mennyivel nyúlik eg az ábra szerinti elrendezésben a két test közé iktatott rugó, aikor az összekapcsolt rendszer egyenletesen gyorsuló ozgásban van? A csiga, a rugó és a fonál töegét ne vegyük figyelebe. Legyen kg, a súrlódási együttható µ 0,, a rugóállandó D 4 N/c. 3 T F r F r T ahol F s, µt és F s, µt. A erőleges egyenletekből a T tartóerőket eghatározva, ajd behelyettesítve a párhuzaos irányokra felírt egyenletekbe:, : a, : a F r µ 3, : a F r µ. A háro egyenlet összegéből: a µ g, 3 elyet visszahelyettesítve az utolsóba: µ g F r µ 3 F r + µ. 3 Vagyis a rugó egnyúlása: l F r D + µ 3 D + 0, kg 0 s 3 4 N c 0, feladat: A kg töegű kiskocsi vízszintes síkon súrlódás nélkül ozoghat. A kocsira 0,5 kg töegű hasábot helyeztünk, és a hasábot F N vízszintes irányú erővel húzzuk. Mekkora a hasáb, illetve a kocsi gyorsulása, ha közöttük a tapadási súrlódási együttható µ tap 0,5, csúszó súrlódási együttható pedig µ cs 0,0? Mekkora a gyorsulás F 0 N-os húzóerő esetén? (g 0 /s ) F s F s F s T g F g Itt is felírjuk a Newton-törvényeket, figyelebe véve azt, hogy a rendszer csak az asztal felülete entén ozog., : a, : 0 0, : a F r F s,, : 0 T 3, : a F r F s, 3, : 0 T, Száoljuk ki a axiális tapadási erőt. Ebből kiderül, hogy a kocsi és a test összetapadva arad, vagy egyáshoz képest elozdul. Tehát: F tap µ tap T µ tap g 0,5 0,5 kg 0 /s,5 N, azaz az első esetben F < F tap, így egyben aradnak. A talajon nincsen súrlódás, így csak az F gyorsító erő száít: F ( + )a, aelyből: a F + N 0,5 kg + kg 0,4 /s. 5

16 A ásodik esetben F > F tap, azaz külön ozognak. A test ozgásegyenlete: F F s a, azaz: a F F s F µ cs g 0 N 0,0 0,5 kg 0 /s 0,5 kg 9,9 /s. a ϕ y a x A kocsira F s a, aelyből: a F s µ cs g 0,0 0,5 kg 0 /s kg 0,05 /s, A gyorsulás és a g alapján egkapjuk a kitérülést: ϕ arctg 3,6 9,8 0,5. A kötélben ébredő erő: x + y (a) + () 5,64 N A kocsi lassan elindul hátrafelé.... Erőkoponensek száolása/statika 5B-5. feladat: Egy 4 kg töegű testet az ábrának egfelelően F 0 N erővel húzunk. Mekkora a test gyorsulása, ha a test és a talaj közötti csúszó súrlódásai együttható 0,? α 30 µ F súrl F y F α F x y irányban ható erők (előjelet figyelebe véve): F F y F sin α 30 N. x irányban ható erők: F F x F súrl F cos α µf,3 N, így az x irányú gyorsulás a x F,83 /s. 4B-9. feladat: Egy,5 kg-os súly egy 3,6 /s -es gyorsulással ozgó vasúti vasúti ennyezetére zsinórral van felfüggesztve. A súly a kocsihoz viszonyítva nyugaloban van. Határozzuk eg (a) zsinór függőleges iránnyal bezárt szögét és (b) a zsinórban ébredő erő nagyságát! A feladatot a kocsihoz rögzített vonatkoztatási rendszerben oldjuk eg! 5A-6. feladat: ét diák 9 kg töegű jelzőtáblát akaszt egyástól 30 távolságban lévő épületek azonos agasságú pontjához rögzített kötél középpontjára. A cégtábla belógása a felfüggesztési pontokat összekötő vízszintes alá 30 c. Mekkora erő feszíti a kötelet? x y h x l Szietria okokból a két kötélerő nagysága ugyanaz ( ), és a függőleges koponensük (y) kopenzálja a nehézségi erőt: y + y y, azaz y 45 N. A házak távolsága és a behajlás alapján eghatározható a belógás szöge: ϕ arctg 0,3 5,4, aely alapján a tejes kötélerő: y azaz 50,44 N. sin ϕ, 5A-30. feladat: Egy,5 hosszú kötélre kötött 4,5 kg töegű labda az ábrán látható ódon kúpingaként 0,9 sugarú, vízszintes síkú körpályán ozog. a, Mekkora erő feszíti a kötelet? Rajzoljuk eg a labda vektorábráját, beleértve az erők alkalas derékszögű összetevőkre bontását is! b, Mennyi idő alatt tesz eg a labda egy teljes fordulatot? 6

17 ϕ y 0,9,5 x Az y irányban az egyensúly feltétele, hogy y, íg a körozgás iatt azt is tudjuk, x irányban a kötélerő vízszintes koponense adja a centripetális gyorsulást: x F cp. Ez alapján y 45 N. A geoetria alapján a kitérés szöge: Így az x irányú erő: ϕ arcsin 0,9,5 36,86 x y tgϕ 33,75 N A centripetális erő F cp v R, aely alapján a sebesség: x R v, és egy kör útja a kerület azaz s πr. Így egy fordulat ideje: T s v π R x,8 s A lejtővel párhuzaosan: F F F súrl () a, arra erőlegesen: F F tartó F () a 0, ert abban az irányban ne ozog. A súrlódás nagysága: F súrl µf tartó, Az erőkoponensek: F F cos α () sin α Egyesítve indezt: a F F sin α () cos α F cos α sin α µ(f sin α + cos α), aelynek értéke behelyettesítve a 6,84 /s A egtett út: s a t, aelyből a szükséges idő t 0,93 s, így a sebessége: v a t 6,4 /s Munkatétellel F s v, aelyből v F s 6,4 /s. 6B-3. feladat: Az ábra szerint kg-os testet vízszintes, 7 N nagyságú erővel tolunk fel egy 0 -os lejtőn. A csúszási súrlódási együttható a lejtő és a test között 0,80. a, Mekkora a test gyorsulása? b, Határozzuk eg a kineatikai egyenletek felhasználásával a nyugaloból induló test sebességét abban a pillanatban, aikor 3 -t tett eg a lejtőn felfelé! c, Válaszoljunk a b, kérdésre a unkatétel alkalazásával! F F F tartó µ 5.. feladat: Fonálra függesztett 0 N súlyú golyót vízszintes irányban oldalt húzunk. Mekkora erővel húzza a fonál a testet, ha az a függőlegessel α 30 -os szöget zár be? y x Az egyensúly feltétele: α F F () F súrl α () x : F x F sin α 0 y : y cos α 0 A ásodikból kifejezhető a kötélerő: cos α 0 N 3,09 N. cos 30 7

18 5.6. feladat: Az töegű testet két fonál segítségével, az ábrán látható ódon függesztünk fel. Az asztallapon fekvő test töege 7 kg, az asztal és közötte a súrlódási együttható µ 0,5. Mekkora töeg esetén van egyensúly? F s T g y x Az egyensúly feltétele a testre (): x : F s 0, y : T g 0, 45 illetve tudjuk, hogy F s µt. A rögzítési pontra (): x : x cos α 0, y : y sin α 0. Az elsőből kifejezhető F s µ g, aely beírható a ásodik párba. Így cos α µ g 0, azaz µ g cos α, és az y-ra vonatkozó egyenlet: µ g sin α 0. cos α Ebből a keresett töeg: µ tgα 0,5 7 kg tg45 8 kg..3. Erők + körozgás 3/. feladat: Egy testet a vízszinteshez képest α 60 -os szöggel v 5 /s sebességgel eldobunk. Mekkora a pálya görbületi sugara az eldobás pillanatában? v A test lokálisan körpályán van, tehát rá ható erők összegének sugárirányú koponense egegyezik a centripetális erővel: v R aelyből a keresett sugár: r cos α, v g cos α (5 /s) 0 /s cos feladat: 000 kg töegű gépkocsi dobvidéken halad, egyenletes v 0 7 k/h sebességgel. Az A és B pontokban az út R 00 illetve R 50 sugarú körív, a C pontban vízszintes. a) Határozzuk eg e háro pontban az út által a gépkocsira kifejtett nyoóerő irányát és nagyságát. b) Mennyi lehet a gépkocsi axiális sebessége az A pontban? (g 0 /s ) R R T T T A B a) A C pontban az autó egyenesen halad, függőlegesen ne végez ozgást, így az ilyen irányú gyorsulása nulla. A II. Newton-törvény alapján T C 0 4 N. A gépkocsi az A és a B pontban körpályán halad, iközben az aktuális kerületi sebessége v 0. A körpályán való haladás feltétele, hogy a kocsira ható erők eredője biztosítsa az autónak a centripetális gyorsulást. Az A pontban C F cp T A v 0 R t α r T A v kg 600 N. R ( ) 0 ( 0 s s 00 ) 8

19 ahol T A az út és az autó között fellépő nyoóerő. A B pontban a centripetális gyorsulás ellentétes irányba kell, hogy utasson, így F cp T B v 0 R T B + v kg 8000 N. R ( 0 ( 0 s + s 50 b) Vegyük észre, hogy ha a T A kifejezésében, a v 0 sebesség túl nagy, akkor a T A akár negatív is lehetne. Ez azonban ne valós egoldás, hiszen a tartóerő csak nyoni tud, húzni ne. Ha ez az eset állna fenn, akkor az azt jelentené, hogy az A pontban az autó ár ne ér hozzá az aszfalthoz, ivel az ár korábban eleelkedett attól. A határeset akkor következik be, aikor a tartóerő éppen nulla. Ekkor a nehézségi erő ég éppen tudja biztosítani a körpályán való aradáshoz szükséges centripetális gyorsulást: v ax R v ax R g 3,6 s feladat: Az l hosszúságú fonálra függesztett töegű golyó ingaként leng. A legnagyobb kitérés ϕ ax 30. Mekkora erő hat a fonálban, aikor a) az inga szélső helyzetben van; b) a függőleges helyzeten halad át? Mennyi a gyorsulása az előbbi helyzetekben? ) ) a) A legszélső helyzetben a test sebessége nulla, vagyis az előző egyenlet alapján: cos 30. b) A pálya aló pontjában viszont + v l A unkatételt felhasználva ezt a sebességet is ki tudjuk száítani. A testre csak a kötélerő és a nehézségi erő hat, elyek közül a kötélerő sose végez unkát, hiszen az indig erőleges a ozgás irányára. A nehézségi erő unkáját pedig a helyzeti energiával fogjuk figyelebe venni. Legyen az egyik állapot az inga axiális kitérése, a ásik pedig az alsó helyzeten való áthaladás. Erre a két pontra felírva a unkatételt: ahonnan 0 W E E E E E v h l( cos ϕ) v gl( cos ϕ), [3 cos ϕ] feladat: Egy űrálloás l 30 hosszú rúddal összekötött két kisebb űrkabinból áll. Milyen szögsebességgel kell az űrálloásnak a rúd középpontján átenő képzelt tengely körül forognia, ha azt akarjuk, hogy az űrkabin lakói a Föld felszínén egszokott súlyú állapotban érezzék agukat? (g 0 /s ). h ϕ l tg r Az ingatest körozgást végez, vagyis a rá ható erők eredőjének sugárirányú koponense az, ai a test centripetális gyorsulását adja: a cp v l cos ϕ. Miközben az űrálloás forog, a kabinok, és így a bennük lévő testek körozgást végeznek. A körozgás során a testek gyorsulnak, ezt a gyorsulást pedig az alátáasztást adó tartóerők biztosítják a testeknek. Az űrkabinban lévő űrhajós azt érzékei, hogy a környezetéhez képest nyugaloban van, illetve az alátáasztás őt nyoja. Az ő szeszögéből ez csak úgy agyarázható, ha őrá hat egy fiktív tehetetlenségi erő (a centripetális erő), elyet ő érez, és ez az, ai őt az alátáasztáshoz nyoja. Ezt a centripetális erőt érezzük úgy, intha az egy esterséges nehézségi erő lenne. Ez az erő egyenlő nagyságú az alátáasztás erejével, vagyis a centripetális erő nagyságával: G esterséges v l/ ω l 9

20 ω g l 0 s 30 0,8 s 3. Munka, energia teljesítény feladat: Egy r 0,6 éter sugarú göb tetején egy kis golyót elengedünk. A göb tetejétől száítva ilyen agasságban hagyja el a golyó a göböt? (A súrlódástól eltekintünk.) ϕ r T t 6B-6. feladat: Egy eber 30 kg-os dobozt eelt a földről,5 agasba, állandó sebességgel. a, Mennyi unkát végzett az eber? b, Mennyi unkát végzett a gravitációs erő? c, Mennyi az eber és a gravitációs erő unkájának összege? A doboz egyenletes sebességgel ozog, tehát gyorsulása nulla. Eszerint a rá ható erők eredője is az, tehát az eber által kifejtett erő nagysága egegyezik a nehézségi erőével. Az eber által kifejtett erő iránya egegyezik az elozdulás irányával, a közbezárt szög α 0. A unka: W eber F eber s h cos α 30 kg 0 /s,5 cos J A nehézségi erő esetén az irány ellentétes, a szög α 80. A unka A göböt akkor hagyja el a golyó, aikor a felület tartóereje egszűnik. Írjuk fel az egyenleteket a radiális és tangenciális koponensekre: r : cos ϕ T r t : a sin ϕ. v A tetejéről való indulással felírhatjuk a unkatételt is: v 0 (r r cos ϕ) azaz v gr( cos ϕ), ait behelyettesíthetünk a sugárirányú egyenletbe: ( cos ϕ) cos ϕ T és kifejezhetjük a felület tartóerejét: T ( 3 cos ϕ). Ez zérus, ha 3 cos ϕ 0, vagyis ha cos ϕ 3. Azaz a göb agasságához képest h r r cos ϕ r 3 0, agasságnál hagyja el a göböt. W eber F neh s h cos α A kettő összege: 30 kg 0 /s,5 cos J W eber + W eber 0 J 6B-0. feladat: Egy rugó által kifejtett erő a Hooke-törvény helyett az F r kx 3 törvény szerint változik, ahol k 00 N/ 3. Mennyi unkát végzünk, íg 0, -ről 0,3 -re nyújtjuk? Az általunk kifejtett erő a rugó általi erő ellentettje, azaz F kx 3. A unka: W r r F dx 0,4 J. 6A-5. feladat: Egy asszony 300 J unka árán húz fel egy kg-os vödröt a 0 ély kútból. Mekkora ozgási energiával érkezik a vödör a felszínre? E 00 J A. feladat: kg töegű test 00 éterrel a Föld felszíne felett 30 /s sebességgel közeledik a talajhoz. Földet éréskor sebessége 50 /s. Mekkora a közegellenállás unkavégzése? 0

21 C. feladat: 40 kg töegű test 5 /s sebességét 00 N nagyságú állandó erő 50 egyenes úton 0 /s nagyságúra növeli. Mekkora szöget zár be az erő a sebességgel? 4. feladat: A is Herceg itt a Földön guggolásból agasra tud felugrani. Maxiu ekkora lehet a is Herceg bolygójának a sugara, ha az a Föld anyagából van és ő le tud ugrani róla. (A Föld sugara kb k) R 0,44 k F. feladat: Egy 800 N súlyú testet nyugali helyzetéből indítva állandó gyorsulással, kötéllel húzunk függőlegesen felfelé. A test ily ódon 5 s alatt 50 agasra jut. Mekkora unkát végzett az eelő erő? 4.7. feladat: α 30 -os lejtőn valaki egy 0 kilograos bőröndöt tol fel vízszintes irányú erővel h éter agasra. A ozgási súrlódási együttható µ 0,. A bőrönd ozgása egyenletes. Mennyi unkát végez: a) az eber, b) a súrlódási erő, c) a bőröndre ható nehézségi erő, d) a lejtő nyoóereje, e) a bőröndre ható erők eredője? (g 0 /s ) F h F F F s s α Mivel állandó erők hatnak, így a unkát ki lehet száítani az erő és az elozdulás skaláris szorzataként. A feladat egoldásához először határozzuk eg, hogy ekkora F erőre van szükség. A Newtonegyenleteket felírva azt kapjuk, hogy : 0 cos α F sin α : 0 F cos α sin α F s, ahol F s µ, és az első egyenletből kifejezhető: cos α + F sin α, elyet a ásodik egyenletbe helyettesítve: 0 F cos α sin α µ ( cos α + F sin α ) F sin α + µ cos α cos α µ sin α. Szükségünk lesz ég a többi erő nagyságára is: cos α + F sin α sin α + µ cos α cos α + sin α cos α µ sin α cos α µ cos α sin α + sin α + µ cos α sin α cos α µ sin α cos α µ sin α, F s µ cos α µ sin α µ. a) Az eber által végzett unka: W eber F s F s cos α sin α + µ cos α cos α µ sin α h sin α cos α sin , cos 30 cos 30 0, sin ,87 J. 0 kg 0 s b) A súrlódási erő által végzett unka: cos 30 sin 30 W s F s F s s µ cos α µ sin α h sin α 0, 0 kg 0 s cos 30 0, sin 30 sin 30 08,87 J. c) A nehézségi erő unkája W s s sin α 0 kg 0 s 400 J. h sin α

22 d) A lejtő nyoóereje ne végez unkát, hiszen az erőleges az s elozdulásra. e) A bőröndre ható erők eredője nulla, hiszen a bőrönd összgyorsulása nulla. Ennek unkája terészetesen nulla. Vegyük észre, hogy ezt a korábbi eredényekből is egkapjuk, hiszen ha összeadjuk az összes erő unkáját, akkor is nullát kapunk. 3.. Munkatétel D. feladat:,5 agasból a 0, kg töegű golyó a 0, s időtartaú kölcsönhatás után 80 c agasra pattan vissza. (g 0 /s ) Mekkora átlagos erőt fejtett ki a talaj a golyóra? feladat: Az ábrán látható ingát 90 -kal kitérítjük és elengedjük. Az asztal szélén levő, vele egyenlő töegű golyóval teljesen rugalasan ütközik. Határozzuk eg, hogy az asztaltól ilyen távol ér a padlóra a lelökött golyó! 6A-. feladat: Egy 5 g töegű golyó a fegyver 7 c hosszúságú csövében 780 /s sebességre gyorsul fel. A unkatétel felhasználásával határozzuk eg a golyót gyorsító átlagos erőt! l A unka ost W F l, az energiaváltozás E k v v 0, }{{} 0 a kettőt unkatétellel összekötve és átrendezve: F v l 0,05 kg (780 s 0,7 ) 6337,5 N. 6B-5. feladat: Egy 5 g töegű, 600 /s sebességű golyó fatörzsbe csapódva 4 c élyen hatol a fába. a, Energetikai egfontolások alapján határozzuk eg a golyót lassító átlagos súrlódási erőt! b, Feltéve, hogy a súrlódási erő állandó, határozzuk eg, hogy ennyi idő telt el a golyónak a fába való behatolásába egállásig! a, F 500 N b, t 0,3 s 7B-3. feladat: Egy egyszerű inga egy hosszú fonálból és egy 3 kg töegű ingatestből áll. Az ingatestet v 0,4 /s kezdősebességgel elindítjuk időn a fonal a függőlegessel 0 -os szöget zár be. Az inga ezután szabadon leng. a, Határozzuk eg a axiális ϑ szöget, aelyet a fonál függőlegessel bezár, időn az inga kitérése axiális. b, Mekkora a fonál feszítő ereje, időn az ingatest visszalendül az eredeti 0 -os helyzetébe? Ábra!!!!!!!!!!!!!!!!!! a, ϑ 37,7 h A ozgás több részre bontható. Először az inga lelendül ( ), ajd egtörténik az ütközés ( 3), végül pedig a ásodik test leesik (3 4). Ezeket a speciális állapotokat ind összeköti a unkatétel, elyet használhatunk. : Az ingatest lelendül. Válasszuk a helyzeti energia nullszintjét az asztal szintjének. Ekkor a testnek az () pontban van helyzeti energiája, á nincs ozgási energiája, ezzel szeben a () helyzetben helyzeti energiája nincs, cserébe viszont ozgási energiája lett, hiszen v sebességgel ozog. A testre a kötélerő hat, ai sose végez unkát, illetve hat rá a nehézségi erő, annak a unkáját viszont helyzeti energiában vettük figyelebe. Ez alapján a unkatörvény: W ( ) E kin + E pot ( ) 0 v (l) v gl. 3: Itt történik eg az ütközés. Mivel az ütközés teljesen rugalas, így az ütközés során az energia egarad. Szintén ivel a külső erők unkája nulla, így az ipulzusegaradást is lehet használni. A két törvény: v + 0 v 3 + u 3

23 v + 0 v 3 + u 3, ahol az u-val jelölt tagok a kezdetben álló golyó jellezői. A két egyenlet egyszerűsítve: v v 3 + u 3 v v 3 + u 3, ajd a ásodik egyenlet négyzetre eelve: v v 3 + u 3 + v 3 v 3, és ebből az első egyenletet kivonva: 0 v 3 u 3, tehát vagy az első vagy a ásodik test állni fog az ütközés után. Az ipulzusegaradást kifejező egyenletre pillantva láthatjuk, hogy ha az egyik sebesség nulla, akkor a teljes kezdeti sebességet a ásik test kapja eg. Innen adódik, hogy a kezdetben ozgó golyónak kell egállnia, és a ásiknak ugyanakkora sebességgel továbbhaladnia, hiszen a fordított eset ne lehetséges. Tehát v 3 0, u 3 v gl. a rugó egyenes, illetve a test áll. A rendszeren csak a súrlódási erő végez unkát. Ez alapján a unkatétel: E kin + E rug W s ( ( ) ) D ( l) µs D ( l) µs, ahol felhasználtuk, hogy a l-lel összenyoott rugóban tárolt energia E rug D( l). Innen s D ( l) µ 4 N 0, körozgással (0,075 ) 0,5 0,0 kg 0 s 7A-6. feladat: A hullávasúti kocsi sebessége, aikor a kocsi az A helyen van 3 /s. a, Mekkora a kocsi sebessége a pálya B pontján ha a súrlódás elhanyagolhatóan kicsiny? b, Mekkora az a iniális görbület a B pontban, aelynél ég biztonsági öv használata nélkül se repülnek ki az ülésről az utasok? 3 4: A ozgás utolsó szakaszában egy vízszintes hajítás történik. A leesés ideje T h g, ely alatt a test h s T u 3 g gl lh A B 4 C utat tesz eg. D6. feladat: Az ábrán látható 0,0 kg töegű testtel l 7,5 c-rel összenyotuk a D 4 N/ rugóállandójú rugót, ajd a testet elengedtük. A test és a vízszintes felület közti ozgási súrlódási együttható értéke µ 0,5. Mekkora utat tesz eg a test a egállásig? ezdetben az energiája E 0 h 0 + /v0 44,5. A B pontban a agasság iatt lesz neki E Bh h B 0 helyzeti energiája, tehát a aradék E Bk E 0 E B 4,5 jut a kinetikus tagra. Ez alapján A egoldást a unkatétel alapján fogjuk egadni. Tekintsük a rugót és a testet egy rendszernek. Vegyük sorra a rendszer energiájának egváltozását és a rendszeren végzett unkákat. ezdetben a test állt, illetve a rugó eg volt feszítve, a végállapotban pedig v v B EBk 7 /s. A B pontban a körpálya repítene ki, és a nehézségi erő tartana bent. A határfeltétel a nehézségi és a centripetális erő egyensúlya: v R, 3