Rezgések. x(t) x(t) TÓTH A.: Rezgések/1 (kibővített óravázlat) 1
|
|
- Jakab Deák
- 5 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 TÓTH A.: Rezgések/1 (kibővített óravázlat) 1 Rezgések A rezgés általános érteleben valailyen ennyiség értékének bizonyos határok közötti periodikus vagy ne periodikus ingadozását jelenti. Mivel az ilyen típusú jelenségek rendkívül gyakoriak, a rezgésekkel külön is érdees foglalkozni. Fontos, hogy a fizikában rezgés alatt ne csak a hétköznapi érteleben rezgésnek nevezett általában echanikai ozgással összekapcsolt jelenségeket értjük, hane bárilyen ennyiség "rezgés-típusú" változását. Rezgés lehet például egy töegpont ozgása, az ára ingadozása egy elektroos árakörben, az elektroos- vagy ágneses erőtér változása. A rezgés során ingadozó ennyiség időbeli változása nagyon bonyolult lehet. Egy ilyen bonyolult esetet utatunk be a ellékelt ábrán, ahol egy az -tengely entén rezgő töegpont kitérésének időfüggése ((t)) látható. A gyakorlatban szűkebb érteleben rezgésnek egy ennyiség többé-kevésbé periodikus ingadozását nevezik. A ennyiség időbeli változása ég ebben a leegyszerűsített esetben is nagyon bonyolult és sokféle lehet. A következő ábrán egy ilyen periodikus, de eléggé bonyolult rezgés kitérés-idő függvénye látható. A bonyolult rezgések leírását jelentősen egkönnyíti az a ateatikából isert tény, hogy bárilyen periodikus függvény felírható egfelelően választott szinusz és/vagy 1 koszinusz, ás néven haronikus függvények összegeként. (Ez az eljárás elékeztet egy függvénynek hatványsor alakjában történő felírására, csak itt a sor tagjai ne a változó hatványai, hane annak haronikus függvényei.) Mateatikai ódszerekkel az is kiutatható, hogy ha a rezgés ne periodikus, akkor haronikus függvények integráljaként állítható elő. Ez azt jelenti, hogy bárilyen bonyolult rezgés előállítható olyan, ún. haronikus rezgések összegeként, aelyeknek időfüggését haronikus függvény adja eg. Ez az egyik oka annak, hogy a rezgések tanulányozásánál kitüntetett szerepet kap a haronikus rezgés sajátságainak egiserése. A haronikus rezgés azonban azért is fontos, ert nagyon sok valóságos rezgés közelítőleg haronikus rezgésnek tekinthető (ás szavakkal ez azt jelenti, hogy a fent elített összegzésben a rezgést leíró függvény egyetlen taggal jól közelíthető). Annak ellenére, hogy a rezgés során változó ennyiség terészete és a rezgés echanizusa az egyes esetekben ás és ás, a különböző rezgések forális leírása hasonló. A különböző rezgési jelenségek azonban a fizika ás és ás területéhez kapcsolódnak, ezért azokat részletesebben a egfelelő helyen tárgyaljuk. Elsőként a hétköznapi tapasztalatainkhoz legközelebb álló echanikai rezgésekkel foglalkozunk, aelyeknek tárgyalása egyben intául szolgál ás típusú rezgések leírásához is. (t) (t) t t 1 Az összeg általában indkét függvényt tartalazza, ha azonban az előállítandó függvény páros, akkor csak koszinusz-, ha pedig páratlan, akkor csak szinusz függvények szerepelnek az összegben. A rezgéseknek haronikus rezgésekre történő felbontásáról később ég lesz szó.
2 TÓTH A.: Rezgések/1 (kibővített óravázlat) Szabad echanikai rezgések Szabad rezgésről akkor beszélünk, ha a rezgésre képes rendszert a rezgés elindulása után agára hagyjuk. Ilyen rezgés jön létre például, ha egy rugóra felfüggesztett töeget az egyensúlyi helyzetéből kiozdítunk, és agára hagyjuk, vagy egy kondenzátort és tekercset tartalazó elektroos rezgőkörben a kondenzátort feltöltjük és a rendszert agára hagyjuk. Az alábbiakban szabad echanikai rezgéseket vizsgálunk. Először az energiaveszteség nélkülinek feltételezett ideális, haronikus rezgésekkel-, ajd az energiaveszteség iatt csillapodó rezgésekkel foglalkozunk. Szabad haronikus rezgések Definíció szerint a haronikus rezgés egy ennyiség olyan változása, aelynek időfüggése haronikus (szinusz- vagy koszinusz) függvénnyel írható le. Kísérletileg szabad haronikus rezgést ne könnyű beutatni, ivel a valóságban a szabad rezgések kisebb-nagyobb értékben indig csillapodnak. Közelítőleg haronikus rezgést azonban többféleképpen is egvalósíthatunk. KÍSÉRLETEK: Jó közelítéssel haronikus rezgést végez egy rugóra felfüggesztett töeg, ha az egyensúlyi helyzetéből kitérítjük, és elengedjük (ábra). Az egyensúlyi helyzettől lefelé A aiális távolságra kitérített töeg a egnyújtott rugó hatására felfelé indul, ajd felfelé elérve az A kitérést, egfordul, és lefelé halad, aíg újra eléri az induló helyzetet. A rezgés időfüggése is könnyen beutatható, ha a rezgő testre egy írószerkezetet teszünk, és egy sík lapot egyenletes sebességgel elhúzunk a rezgő test alatt. Ekkor az írószerkezet által különböző időpontokban felírt nyook a síklap különböző helyeire kerülnek, és kirajzolják a kitérés időfüggését. Az ábrán egy rezgő acéllap végére szerelt tű karcol nyoot egy korozott üveglapon, ait a rezgésre erőlegesen v sebességgel ozgatunk. A görbén egy adott y y helyhez tartozó időt a t = összefüggés adja v eg, egy teljes periódus ideje, a rezgésidő az s ábra jelöléseivel: T =. v egyensúlyi helyzet t=y/v y A s A A v
3 TÓTH A.: Rezgések/1 (kibővített óravázlat) 3 KÍSÉRLETEK: Ha egy körozgást végző töeget a körpálya síkjával párhuzaosan egvilágítunk, akkor az árnyéka a vetítés irányára erőleges ernyőn haronikus rezgőozgást végez (ábra). Haronikus rezgést kapunk akkor is, ha ágneses erőtérben egy drótkeretet egyenletesen forgatunk az erőtérre erőleges tengely körül (ábra). Ekkor a keletkezett indukált feszültség időben haronikus függvény szerint változik, ait katódsugár oszcilloszkóp segítségével könnyen beutathatunk. egvilágítás ω α=ωt ágnes ernyő =Asinωt A haronikus rezgések tanulányozását azzal ω kezdjük, hogy felírjuk az ilyen rezgést leíró függvények különböző alakjait, ezután echanikai példán beutatjuk a haronikus rezgés alapegyenletét, ajd konkrét echanikai- és U=U sinωt elektroos rezgéseket tárgyalunk, végül foglalkozunk a rezgések során bekövetkező energiaátalakulásokkal. A haronikus rezgést leíró függvény alakjai Az -tengelyen ozgó töegpont akkor végez haronikus rezgőozgást, ha koordinátájának időfüggését az t ( ) = Asin( ω t, vagy t ( ) = Acos( ω t+ ϕ ) típusú függvény írja le 1, ahol A a legnagyobb kitérés értéke, ait a rezgés aplitúdójának neveznek, ω a rezgés T rezgésidejét (egy periódus hosszát) π eghatározó körfrekvencia ( ω = ), ϕ pedig az időérés kezdetétől függő T fázisállandó. A rezgések jellezésére gyakran használt f frekvencia száértéke az egységnyi idő alatt lezajló rezgési periódusok száa, aely a fenti jellezőkkel az 1 ω f = = összefüggésben van. A továbbiakban általában a körfrekvenciát T π használjuk, de ebből a vele arányos frekvencia a fenti összefüggés segítségével indig egkapható. Korábban ár szó volt arról, hogy a haronikus rezgés ne csak rezgőozgást jelent. Haronikus rezgésről beszélünk akkor is, ha egy árakörben ért I áraerősség- vagy U feszültség időbeli változása például az I( t ) = I sin( ω t, U( t ) = U cos( ω t összefüggésekkel adható eg (itt I és U az áraerősség- illetve feszültség aiális értékét egadó áraerősség- illetve feszültség-aplitúdó). 1 1 A két függvény a haronikus rezgés leírása szepontjából egyenértékű, csak egy állandó fázisszöggel különböznek egyástól: cos( ω t + ϕ + π/ ) = sin( ωt.
4 TÓTH A.: Rezgések/1 (kibővített óravázlat) 4 Ha a szögek összegének szinuszára (koszinuszára) vonatkozó isert trigonoetriai összefüggést alkalazzuk, akkor a fenti kifejezéseket fázisszög bevezetése nélkül is felírhatjuk. Ez például az ( t ) = Asin( ω t rezgés esetében az alábbi ódon történhet: ( t ) = Asin( ω t = Asinωt cosϕ + Acosωt sinϕ. Bevezetve a B = Acosϕ, C = Asinϕ jelöléseket, a haronikus rezgést leíró függvény az alábbi (az eredetivel egyenértékű) alakba írható: ( t ) = B sinω t + C cos t. ω Gyakran előfordul, hogy a száolások egyszerűsítése érdekében a haronikus rezgés leírására kople függvényt használnak. Ez első pillanatban különösnek tűnik, hiszen a fizikai ennyiségeket valós száokkal adjuk eg. A kople függvények használata a rezgések esetében azt jelenti, hogy a száolásoknál kople ennyiségekkel dolgozunk, de a száolás végén kapott kople végeredényből leválasztjuk a valódi fizikai eredényt egadó valós függvényt. Erre a száolástechnikai trükkre az ad lehetőséget, hogy egyrészt egy kople szá a kople szásíkon egy vektorként fogható fel, és haronikus függvények lineáris kobinációjaként állítható elő (ábra) képzetes rész z = Acosα + iasinα, z A ásrészt az ún. Euler-összefüggés segítségével eponenciális alakban is felírható: α valós iα z = Acosα + iasinα = Ae Acosα rész ( i = 1 a kople egység). Az eponenciális alak többek között azért egyszerűsíti a száolásokat, ert ennek a függvénynek a differenciálhányadosa és integrálja önaga konstans-szorosával egyenlő. Egy haronikus rezgést a fentiek alapján az i ( t ) ~ ω + ϕ ( t ) = A cos( ωt + ia sin( ωt = Ae kople függvénnyel jelleezhetünk, hozzátéve, hogy a rezgést fizikai érteleben leíró függvény a kople függvény ( t ) = Re ~ ( t ) = A cos( ω t valódi része vagy ( t ) = I ~ ( t ) = A sin( ω t képzetes része. Az eponenciális alakkal száolva, végeredényül kople függvényt kapunk, de kiutatható, hogy ennek valós vagy képzetes része egegyezik azzal az eredénnyel, ait (sok esetben jóval bonyolultabb ódon) valós, haronikus függvénnyel száolva kaptunk volna. Töegpont egydienziós, haronikus rezgése, a haronikus rezgés alapegyenlete Asinα Egydienziós a rezgés, ha a rezgő töegpont egy egyenes entén ozog. Kísérletileg jól egvalósítható ez a ozgás a ár elített rugóra felfüggesztett töeg függőleges ozgásával, vagy az ábrán látható elrendezéssel, aely kiküszöböli a nehézségi erő hatását, és kis kitéréseknél jó közelítéssel vízszintes irányú ozgást hoz létre. Egy egyenes, pl. az -tengely entén ozgó töegpont kitérését az ( t ) = Asin( ω t
5 TÓTH A.: Rezgések/1 (kibővített óravázlat) 5 vagy az ( t ) = Acos( ω t összefüggéssel adhatjuk eg. Ha kiszáítjuk a rezgő pont gyorsulását, akkor kiderül, hogy ilyen erő hozhat létre ilyen ozgást. A szinusz függvényt használva, a gyorsulás d ( t ) a = = ω Asin( ωt = ω, a koszinusz függvényt használva pedig d ( t ) a = = ω Acos( ωt = ω. Vagyis akár a szinusz-, akár a koszinusz függvényt használjuk a haronikus rezgés leírására, a gyorsulásra ugyanazt a kifejezést kapjuk: a gyorsulás arányos a kitéréssel, és indig azzal ellentétes irányú. Ebből a ozgásegyenlet alapján következik, hogy a haronikus rezgőozgást létrehozó erő is ugyanilyen jellegű: F = a = ω. Mint várható, a ozgást létrehozó erőre kapott kifejezés ne függ attól, hogy elyik függvényt használjuk. Ha bevezetjük a D= ω jelölést, akkor az erő az egyszerűbb F = D alakba írható. Ennek az erőnek két fontos jellegzetessége van. Egyrészt ez az erő a indenkori kitéréssel ellentétes irányú, tehát indig a rezgés centruaként felfogható egyensúlyi helyzet felé utat (vagyis ún. centrális erő), eiatt jöhet létre rezgőozgás. Másrészt ez az erő arányos a kitéréssel (vagyis ún. lineáris erő), ez ahhoz szükséges, hogy a rezgés haronikus legyen. A egfeszített vagy összenyoott ideális rugó éppen ilyen erőt fejt ki, ezért végez a rugóhoz rögzített töeg haronikus rezgőozgást. A ozgásra felírható F d = ozgásegyenlet a lineáris erő behelyettesítésével az alábbi alakot ölti d ( t ) d ( t ) = ω illetve = D. Az egyenleteket -el végigosztva, végül az időfüggő helykoordinátára a d ( t ) d ( t ) D + ω ( t ) = illetve + ( t ) = egyenletet kapjuk. Az egyenlet ateatikailag egy differenciálegyenlet, aely a eghatározandó függvény ellett annak differenciálhányadosát is tartalazza. Az egyenletnek eleget tevő (t) függvény(ek) egkeresése, vagyis a differenciálegyenlet egoldása ateatikai ódszerekkel lehetséges. Ezekkel itt ne foglalkozunk, száunkra ost csak az egyenlet alakja fontos. Mateatikai elezés nélkül is belátható, hogy ennek az egyenletnek egoldása a haronikus rezgést leíró ( t ) = Asin s( ω t vagy ( t ) = Acos( ω t függvény, hiszen a differenciálegyenletet ebből vezettük le. (Egyébként ugyanerre a következtetésre jutunk akkor is, ha az egyenlet eredetéről seit ne tudva, ateatikai ódszerekkel keressük eg a egoldást.) A differenciálegyenletet forailag vizsgálva egállapíthatjuk, hogy ha összeadjuk a keresett függvény ásodik deriváltját és a függvénynek egy állandóval
6 TÓTH A.: Rezgések/1 (kibővített óravázlat) 6 egszorzott értékét, akkor eredényül nullát kapunk. Ugyanakkor azt is tudjuk, hogy ennek az egyenletnek egoldása pl. a haronikus rezgést leíró D ( t ) = Asin( ω t illetve ( t ) = Asin( t függvény, ahol ω = D, a rezgés körfrekvenciája. Vegyük észre, hogy a egoldás-függvényben az idő szorzója, vagyis a rezgés körfrekvenciája (ω = D ) azonos a differenciálegyenletben a függvény D szorzójaként szereplő állandó ( ω = ) négyzetgyökével. Ebből az az általános következtetés adódik, hogy ha egy folyaatban egy f(t) ennyiség változására fizikai eggondolások alapján egy d f( t) + Kf ( t ) =, alakú differenciálegyenletet kapunk, akkor inden további ateatikai elezés nélkül állíthatjuk, hogy a ennyiség változása haronikus rezgés, ait az f ( t ) = f sin( Kt = f sin( ωt vagy az f ( t ) = f cos( Kt + ϕ ' ) = f cos( ωt + ϕ' ). függvénnyel írhatunk le. Itt f a ennyiség aiális értéke, ω = K pedig a ) i( ω t +ϕ ) rezgés körfrekvenciája. (A kople leírásnál a függvény alakja: f ( t ) = fe ) Használhatjuk ég az f ( t ) = f1 sin Kt + f cos Kt = f1 sinω t + f cosωt alakot is. Mivel a fenti differenciálegyenlet egoldása haronikus függvény, az ilyen típusú egyenletet a haronikus rezgés differenciálegyenletének vagy a haronikus rezgés alapegyenletének nevezik. Megjegyzés: A egoldások bárelyik alakját vizsgáljuk, azt találjuk, hogy azokban két olyan ennyiség szerepel, aelyek ateatikai úton ne határozhatók eg egyértelűen, értéküket csak a rezgési folyaat fizikai körülényeinek iseretében tudjuk egadni (f és ϕ illetve f 1 és f ). Az f ( t) = f sin( ω t + ϕ) típusú egoldásnál ilyen ennyiségpár az f aplitúdó és a ϕ fázisszög. Ha ez a egoldás például egy töegpont haronikus rezgését írja le, akkor az aplitúdót az határozhatja eg, hogy az időérés kezdetén ekkora a töegpont sebessége, a fázisszög pedig attól függ, hogy az időérés kezdetén ilyen a kitérés. A egoldás tehát csak akkor teljes, ha ezeket az ún. kezdeti feltételeket iserjük. Példa Most az ún. fonálinga (vagy ateatikai inga) példáján beutatjuk, hogy egy jelenség vizsgálatánál fizikai eggondolások alapján hogyan juthatunk el olyan egyenletre, aelyből ránézésre egállapítható, hogy haronikus rezgésről van szó vagy ne.
7 TÓTH A.: Rezgések/1 (kibővített óravázlat) 7 Egyszerűen tárgyalható eset az l hosszúságú fonálon függő töegű pontszerű test (ateatikai- vagy fonálinga) lengése. A töegpont ilyenkor l sugarú körpályán ozog, körozgását a ϑ szög változásával jelleezhetjük (l. a ellékelt ábrán), a ozgásegyenlet pedig d ϑ GT = g sinϑ ( t) = at = lβ = l, ϑ l vagyis d ϑ( t) g F + sin ϑ( t ) =. K l Mivel az egyenletben a ϑ( t ) függvény helyett annak G T G szinusza áll, egállapíthatjuk, hogy az inga ozgását N ϑ G leíró differenciálegyenlet ne olyan alakú, int a haronikus rezgés alapegyenlete, vagyis az inga ozgása általában ne haronikus rezgés. Ha azonban az inga kitérése (vagyis a ϑ szög) kicsi, akkor sinϑ ϑ, és így az egyenlet a d ϑ( t) g + ϑ( t ) =, l alakot ölti, ai ár haronikus rezgést ír le. A egoldás ϑ t ) = ϑ sin( ω t, ( ahol a körfrekvencia ω = g l. Ebből kapjuk a közisert rezgésidő-összefüggést: T π l = =. ω g π ω Egy ilyen szabadon rezgő rendszer esetén a rezgés f = frekvenciáját de π gyakran agát az ω körfrekvenciát is a rendszer sajátfrekvenciájának nevezik. A haronikus rezgés energiaviszonyai Egy fizikai ennyiség változásai így a rezgések is általában energiaátalakulásokkal járnak. Most a echanikai- és elektroágneses haronikus rezgés energiaviszonyait vizsgáljuk eg. Energiaátalakulások egydienziós echanikai rezgésnél Egy D állandójú rugalas erő hatására az -tengely entén rezgő töegpont energiája 1 1 E = Eh + E = D + v. Írjuk be az összefüggésbe a helykoordináta- és a sebesség ( t ) = Asin( ω t v( t ) = Aω cos( ωt = v cos( ωt időfüggését ( v = ω A a sebesség aiális értéke). Ekkor az időfüggő helyzetiés ozgási energia összegére azt kapjuk, hogy 1 1 ) = DA sin ( ω t + v cos ( ω t. E ( t
8 TÓTH A.: Rezgések/1 (kibővített óravázlat) 8 A sebesség aiális értéke és a rezgés aplitúdója közötti kapcsolat: 1 v = ω A = D A (itt felhasználtuk a D = ω összefüggést). Ezzel a teljes energia az alábbi alakba írható: E ( t ) = DA ( sin ( ω t + cos ( ωt ) = DA = v = állandó. Eszerint a rezgés során ind a helyzeti-, ind pedig a ozgási energia változik, de ez csupán helyzeti energia ozgási energia átalakulásokat jelent, iközben a két energia összege indig ugyanannyi. Fontos eredény, hogy a rezgő töegpont energiája a rezgés aplitúdójával szoros összefüggésben áll, az egyik ennyiség egyértelűen eghatározza a ásikat. Az összefüggés jellegzetessége az, hogy az energia arányos az aplitúdó- vagy a sebességaplitúdó négyzetével. A csillapodó rezgés Az előbb tárgyalt rezgések indegyike ideális rezgés, ert a rezgés során nincs energiaveszteség. A valóságos rezgéseknél a echanikai energia a rendszerből fokozatosan eltávozik, aiből az energiára vonatkozó előbbi egállapításaink alapján következik, hogy a rezgés aplitúdója is csökken. Az ilyen csökkenő aplitúdójú rezgéseket csillapodó (vagy csillapított) rezgéseknek nevezik. Csillapodó, egydienziós echanikai rezgés A echanikai rezgéseknél a csillapodás azt jelenti, hogy a rezgő töegpont aiális kitérései egyre csökkennek, és a rezgés előbb-utóbb egszűnik. Ezt a jelenséget könnyű kísérlettel is beutatni, hiszen a szabad rezgések kisebbnagyobb értékben indig csillapodnak. KÍSÉRLETEK: Ha a korozott üveglappal korábban elvégzett kísérletben a korot karcoló tűt úgy állítjuk be, hogy erősebben súrlódjon, akkor a rezgés jól láthatóan csillapodóvá válik (ábra). Ha egy rugón függő testet folyadékba erítve rezgetünk, akkor rezgése a nagy közegellenállás iatt erősen csillapodik. t=y/v y v A csillapodó rezgés sajátságait kísérletekkel fel lehet deríteni, de a kitérés időfüggését legalábbis egyszerűbb esetekben fizikai eggondolásokkal eléletileg is eg lehet határozni. Ehhez azt kell figyelebe venni, hogy a csillapodás oka indig az, hogy a rezgést létrehozó rugalas erő ellett egy a rezgést fékező, csillapító erő (F cs ) is űködik. Ennek egfelelően az -tengelyen rezgő töeg ozgásegyenlete ilyenkor d ( t ) = D( t ) + F cs.
9 TÓTH A.: Rezgések/1 (kibővített óravázlat) 9 Az egyik leggyakoribb ilyen erő egy közegben ozgó testre ható közegellenállás, ai gyakran arányos a ozgás sebességével, és azzal ellentétes irányú: F kv t k d ( t ) cs = ( ) =. Most egy ilyen erő által csillapodó rezgést vizsgálunk eg. Ennek a csillapító erőnek a figyelebe vételével a rezgő test ozgásegyenlete az alábbi alakba írható d ( t ) D t k d ( t ) = ( ). Végigosztva -el, felhasználva az ω = D összefüggést, és bevezetve a β = k jelölést, végül a d ( t ) d t + β ( ) + ω t ( ) = differenciálegyenletet kapjuk, ai szeel láthatóan ne haronikus rezgés egyenlete (az egyenletben egjelent a függvény első deriváltja is). Ez az eredény várható volt, hiszen a csillapító erő iatt a rezgés aplitúdója csökken, a csökkenő aplitúdójú rezgés pedig ne írható le egyetlen haronikus függvénnyel. A fenti egyenlet ateatikai egoldása ne egyszerű feladat, ezért itt az ún. próbafüggvény eljárást alkalazzuk. Ennek lényege az, hogy a kísérleti tapasztalatok alapján egpróbáljuk kitalálni a egoldást, ajd ezt a feltételezett egoldást az egyenletbe behelyettesítjük, és egnézzük, hogy ilyen feltételek ellett lesz ez valóban egoldás. A csillapodó rezgésre vonatkozó kísérletek alapján felrajzolhatjuk egy ilyen rezgés jellegzetes kitérés-idő függését, ait seatikusan az alábbi ábra utat. Az ábrán szaggatott vonallal az aplitúdó időbeli változását (A(t)) is feltüntettük. A kísérleti görbék (sebességgel arányos csillapító erő esetén) azt sugallják, hogy a kitérés időfüggése tulajdonképpen egy torzított haronikus függvény, aely egy időfüggő (időben csökkenő) aplitúdó és egy haronikus függvény szorzata: ( t ) = A( t )sin( ω t. A kísérletek alapján ennél konkrétabb feltevéssel is élhetünk, ugyanis a tapasztalat szerint a sebességgel arányos csillapító erő esetén az aplitúdó csökkenése jól leírható egy eponenciális függvénnyel: A( t ) = A e. Itt a egyelőre iseretlen állandó. Ezzel a feltételezett egoldás az ( t ) = A e sin( ω t + ϕ alakot ölti. A probléa csak az, hogy ne tudjuk az a állandó értékét, és azt se, hogy ennyi a haronikus rész ω körfrekvenciája. Ahhoz, hogy kiderüljön, hogy egy ilyen függvény valóban lehet egoldása a rezgést leíró differenciálegyenletnek, be kell helyettesíteni az egyenletbe. Ebből az is kiderül, hogy ilyen a és ω érték ellet lehet egoldás a fenti függvény. )
10 TÓTH A.: Rezgések/1 (kibővített óravázlat) 1 A behelyettesítéshez ki kell száítani a függvény deriváltjait: d = A ae sin( ω t + A e ω cos( ωt + d = A a e sin( ωt A ae ω cos( ωt A ae A e ω sin( ωt. ϕ at ), ω cos( ωt Ezeket és az eredeti (t) függvényt behelyettesítve a differenciálegyenletbe, az alábbi összefüggést kapjuk: A a e sin( ωt A ae ω cos( ωt A ae ω cos( ωt A e ω sin( ωt βa ae + ω A e sin( ωt =. Rendezzük az egyenletet az alábbi ódon: ( A a e A e ω βa ae sin( ωt + βa e + ω A e ω cos( ωt + )sin( ωt + + ( A ae ω A ae ω + βa e ω )cos( ωt =. Az egyenlet baloldalán szereplő kifejezésnek indig nullával kell egyenlőnek lenni, ai tekintve, hogy az időfüggő cos és sin függvények és 1 között bárilyen értéket felvehetnek csak úgy teljesülhet, ha ezeknek a függvényeknek a szorzója nulla, vagyis A a e A ω e βa ae + ω A e = A ae ω A aωe + βa e ω =. Egyszerűsítés után ebből az a és ω állandókra az alábbi egyenletrendszert kapjuk: a ω βa + ω = aω + βω =. A ásodik egyenletből azt kapjuk, hogy k a = β =. vagyis az eponenciálisan csökkenő aplitúdó kitevőjében szereplő állandó éppen a csillapítást eghatározó állandóval arányos. Ezt felhasználva, az első egyenletből egkapjuk a haronikus rész körfrekvenciáját: ω = ω β. A feltételezett egoldásnak a differenciálegyenletbe való behelyettesítésével valóban egkapjuk a keresett két állandót, és ezzel a egoldás βt ( t ) = A e sin( ωt + ), ϕ k ahol β = és ω = ω β. Eszerint az idővel eponenciálisan csökkenő aplitúdó kitevőjében szereplő állandó éppen a csillapítást eghatározó k állandóval arányos, a haronikus rész körfrekvenciája pedig kisebb, int a töegpont csillapítatlan, haronikus rezgésének egfelelő ω körfrekvencia. Ez a egoldás visszaadja a csillapodó rezgés kísérletekből ár isert sajátságait: inél nagyobb a csillapításra jellező β állandó (vagyis inél nagyobb a csillapítás), annál gyorsabban csökken a rezgés aplitúdója, és annál nagyobb a rezgés körfrekvenciájának eltérése a csillapítatlan rezgés körfrekvenciájától. Nagyon kis β érték (kis csillapító hatás) esetén a rezgés közelítőleg haronikus,
11 TÓTH A.: Rezgések/1 (kibővített óravázlat) 11 körfrekvenciája közelítőleg egegyezik az ideális, csillapítatlan rezgés körfrekvenciájával. Megjegyezzük, hogy a fenti egoldás csak akkor érvényes, ha a csillapítás ne túl nagy. Ez a körfrekvencia kifejezéséből látszik, hiszen fizikailag érteles k körfrekvenciát csak akkor kapunk, ha a csillapítást jellező β = állandóra fennáll a β < ω feltétel. Ha ez ne teljesül, akkor ne alakul ki több periódusból álló szokásos érteleben vett rezgés. A csillapítás különböző eseteit kísérletekkel vizsgálva, a) háro jellegzetes esetet találunk, aelyeket a ellékelt t ábrán szeléltetünk. Az a) ábra a β < ω esetnek egfelelő csillapodó rezgést utat, a b) ábrán az ún. aperiodikus határesetet látjuk, aikor rezgés ár éppen b) ne jön létre, vagyis a szélső helyzetből induló töegpont az egyensúlyi helyzet ásik oldalára ár ne t tér ki (ez a β = ω ω = esetnek felel eg), a c) c) ábra pedig a nagy csillapításnak ( β > ω ) egfelelő aperiodikus ozgást utatja, aikor a kitérés nagyon t lassan közeledik az egyensúlyi helyzet felé. A csillapodó rezgés fenti differenciálegyenlete indenféle fizikai egfontolás nélkül, pusztán ateatikai ódszerekkel is egoldható. A száolás eredénye ugyanaz, int ait a fenti kevésbé egzakt ódszerrel kaptunk. A ateatikai egoldásból kijön az aperiodikus határeset és az aperiodikus ozgás időfüggése is. A rezgések csillapodása gyakorlati szepontból is fontos jelenség (ne kívánatos rezgésnél a gyors csillapodás, szándékosan előidézett rezgésnél a lassú csillapodás elérése a cél), ezért a csillapodás jellezésére a β állandó ellett egyéb többnyire szeléletes ennyiségeket is bevezettek. Az egyik ilyen jellező a K csillapodási hányados, aely két egyás utáni rezgési aplitúdó hányadosa (ábra): βtn 1 n e βt K = = = = = e. β ( tn + T ) 3 4 n+ e Gyakran használják a csillapodási hányados terészetes logaritusát, az ún. logaritikus dekreentuot is: Λ = ln K = βt. A haronikus rezgés vizsgálatánál láttuk, hogy a rezgés energiája és aplitúdója között szoros összefüggés áll fenn:
12 TÓTH A.: Rezgések/1 (kibővített óravázlat) 1 1 E = DA. Ha az aplitúdó időben változik, akkor ennek egfelelően változik a rezgés energiája is. A csillapodó rezgésnél a súrlódás jellegű fékező erő iatt csökkenő rezgési energia időfüggését az aplitúdócsökkenés segítségével kaphatjuk eg: E( t ) 1 1 βt βt = DA ( t ) = DA e = Ee, 1 ahol E = DA, a rezgés kezdeti energiája. Látható, hogy a sebességgel arányos csillapító erő esetén a rezgési energia is eponenciálisan csökken. Ha a kis csillapítású rendszert tekintjük jónak, akkor a rezgő rendszer annál jobb, inél lassabban fogy az energiája. Ezért a rendszer jóságát jelleezni lehet az energia csökkenési sebességével, ait a de βt = βee = βe ennyiség ad eg. Látható, hogy ez a ennyiség a csillapításra jellező β-val arányos. A rendszer jóságának jellezésére azonban ez a ennyiség égse használható, ert függ a rendszer aktuális energiájától is. Ezért erre a célra a relatív energiaváltozási sebességet használják, aelynek segítségével definiálják a rezgő rendszer jósági tényezőjét (Q ~ ). A definíció szerint a jósági tényező a teljes rezgési energia és az 1 radián fázisszög-változás alatt bekövetkező energiaveszteség hányadosa. Az 1 radián 1 fázisszög-változás Δ t = T idő alatt következik be (T a periódusidő), így az erre π az időre eső energiaveszteség nagysága kis csillapításnál ( ω ω ) közelítőleg de de T βte βe ΔE1rad Δt = = = βe. π π ω ω Ezzel aq ~ jósági tényezőre azt kapjuk, hogy E ω Q ~ =. ΔE β 1rad Látható, hogy az így definiált jósági tényező az eredeti céllal összhangban annál nagyobb, inél kisebb a csillapítás (β). A jósági tényező kapcsolatba hozható a logaritikus dekreentual is, hiszen ω π π Q ~ = =. β βt Λ Végül, ha a β csillapítást a rendszer adataival fejezzük ki, akkor a Q ~ ω = k kifejezést kapjuk.
A rezgések dinamikai vizsgálata, a rezgések kialakulásának feltételei
A rezgések dinaikai vizsgálata a rezgések kialakulásának feltételei F e F Rezgés kialakulásához szükséges: Mozgásegyenlet: & F( & t kezdeti feltételek: ( v t & v( t & ( t Ha F F( akkor az erőtér konzervatív.
RészletesebbenRezgőmozgás. A mechanikai rezgések vizsgálata, jellemzői és dinamikai feltétele
Rezgőmozgás A mechanikai rezgések vizsgálata, jellemzői és dinamikai feltétele A rezgés fogalma Minden olyan változás, amely az időben valamilyen ismétlődést mutat rezgésnek nevezünk. A rezgések fajtái:
RészletesebbenHullámtan. A hullám fogalma. A hullámok osztályozása.
Hullátan A hullá fogala. A hulláok osztályozása. Kísérletek Kis súlyokkal összekötött ingasor elején keltett rezgés átterjed a többi ingára is [0:6] Kifeszített guikötélen keltett zavar végig fut a kötélen
RészletesebbenA harmonikus rezgőmozgás
Esszé a rezgőozgásról A haronikus rezgőozgás A környezetünkben sok periodikus (isétlődő) jelenséggel találkozunk. Ezen jelenségek egy része a rezgések közé sorolható. Például: rezgő gitárhúr, billegő teáscsésze,
RészletesebbenA szinuszosan váltakozó feszültség és áram
A szinszosan váltakozó feszültség és ára. A szinszos feszültség előállítása: Egy téglalap alakú vezető keretet egyenletesen forgatnk szögsebességgel egy hoogén B indkciójú ágneses térben úgy, hogy a keret
RészletesebbenNéhány mozgás kvantummechanikai tárgyalása
Néhány ozgás kvantuechanikai tárgyalása Mozzanatok: A Schrödinger-egyenlet felírása ĤΨ EΨ Hailton-operátor egállapítása a kinetikus energiaoperátor felírása, vagy 3 dienziós ozgásra, Descartes-féle koordinátarendszerben
Részletesebbena) Az első esetben emelési és súrlódási munkát kell végeznünk: d A
A 37. Mikola Sándor Fizikaverseny feladatainak egoldása Döntő - Gináziu 0. osztály Pécs 08. feladat: a) Az első esetben eelési és súrlódási unkát kell végeznünk: d W = gd + μg cos sin + μgd, A B d d C
RészletesebbenHarmonikus rezgőmozgás
Haronikus rezgőozgás (Vázat). A rezgőozgás fogaa. Rezgőozgás eírását segítő ennyiségek 3. Kapcsoat az egyenetes körozgás és a haronikus rezgőozgás között 4. A haronikus rezgőozgás kineatikai egyenetei
RészletesebbenMechanikai rezgések Ismétlő kérdések és feladatok Kérdések
Mechanikai rezgések Ismétlő kérdések és feladatok Kérdések 1. Melyek a rezgőmozgást jellemző fizikai mennyiségek?. Egy rezgés során mely helyzetekben maximális a sebesség, és mikor a gyorsulás? 3. Milyen
RészletesebbenMéréstechnika. Rezgésmérés. Készítette: Ángyán Béla. Iszak Gábor. Seidl Áron. Veszprém. [Ide írhatja a szöveget] oldal 1
Méréstechnika Rezgésmérés Készítette: Ángyán Béla Iszak Gábor Seidl Áron Veszprém 2014 [Ide írhatja a szöveget] oldal 1 A rezgésekkel kapcsolatos alapfogalmak A rezgés a Magyar Értelmező Szótár megfogalmazása
RészletesebbenHarmonikus rezgések összetevése és felbontása
TÓTH.: Rezgések/3 (kibővített óravázlat Harmonikus rezgések összetevése és felbontása Gyakran előfordul hogy egy rezgésre képes rendszerben több közelítőleg harmonikus rezgés egyszerre jelenik meg és meg
RészletesebbenA mágneses kölcsönhatás
TÓTH A.: Mágneses erőtér/1 (kibővített óravázlat) 1 A ágneses kölcsönhatás Azt a kölcsönhatást, aelyet később ágnesesnek neveztek el, először bizonyos ásványok darabjai között fellépő a gravitációs és
RészletesebbenRugalmas megtámasztású merev test támaszreakcióinak meghatározása I. rész
Rugalas egtáasztású erev test táaszreakióinak eghatározása I. rész Bevezetés A következő, több dolgozatban beutatott vizsgálataink tárgya a statikai / szilárdságtani szakirodalo egyik kedvene. Ugyanis
RészletesebbenMechanika I-II. Példatár
Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Műszaki Mechanika Tanszék Mechanika I-II. Példatár 2012. május 24. Előszó A példatár célja, hogy támogassa a mechanika I. és mechanika II. tárgy oktatását
RészletesebbenKÖRMOZGÁS, REZGŐMOZGÁS, FORGÓMOZGÁS
KÖRMOZGÁS, REZGŐMOZGÁS, FORGÓMOZGÁS 1 EGYENLETES KÖRMOZGÁS Pálya kör Út ív Definíció: Test körpályán azonos irányban haladva azonos időközönként egyenlő íveket tesz meg. Periodikus mozgás 2 PERIODICITÁS
RészletesebbenRezgőmozgások. Horváth András SZE, Fizika és Kémia Tsz szeptember 29.
Rezgőmozgások Horváth András SZE, Fizika és Kémia Tsz. 2006. szeptember 29. , Egyirányú 2 / 66 Rezgőmozgásnak nevezünk egy mozgást, ha van a térnek egy olyan pontja, amihez a mozgást végző test többször
RészletesebbenHarmonikus rezgések összetevése és felbontása
TÓTH.: Rezgésösszetevés (kibővített óravázlat) 30 005.06.09. Harmonikus rezgések összetevése és felbontása Gyakran előfordul hogy egy rezgésre képes rendszerben több közelítőleg harmonikus rezgés egyszerre
Részletesebben3. 1 dimenziós mozgások, fázistér
Drótos G.: Fejezetek az eléleti echanikából 3. rész 3. dienziós ozgások, fázistér 3.. Az dienziós ozgások leírása, a fázistér fogala dienziós ozgás alatt egy töegpont olyan ozgását értjük ebben a jegyzetben,
Részletesebbenkörsugár kapcsolata: 4 s R 8 m. Az egyenletből a B test pályakörének sugara:
8 évi Mikola forduló egoldásai: 9 gináziu ) Megoldás Mivel azonos és állandó nagyságú sebességgel történik a ozgás a egtett utak egyenlők: sa sb vat vbt 4 π s 4π 57 s Ha a B testnek ne nulla a gyorsulása
RészletesebbenRezgőmozgás, lengőmozgás
Rezgőmozgás, lengőmozgás A rezgőmozgás időben ismétlődő, periodikus mozgás. A rezgő test áthalad azon a helyen, ahol egyensúlyban volt a kitérítés előtt, és két szélső helyzet között periodikus mozgást
RészletesebbenEgyszerű áramkörök árama, feszültsége, teljesítménye
Egyszerű árakörök áraa, feszültsége, teljesíténye A szokásos előjelek Általában az ún fogyasztói pozitív irányokat használják, ezek szerint: - a ϕ fázisszög az ára helyzete a feszültség szinusz hullá szöghelyzetéhez
RészletesebbenAnyagi pont dinamikája
TÓTH A.: Pontdinaika (kibővített óravázlat 1 Anyagi pont dinaikája Mi a ozgás oka? Arisztotelész 1 : a ozgás fenntartásához külső hatás kell. (Ezt a feltevést a felületes egfigyelés alátáasztja, hiszen
RészletesebbenRezgések és hullámok
Rezgések és hullámok A rezgőmozgás és jellemzői Tapasztalatok: Felfüggesztett rugóra nehezéket akasztunk és kitérítjük egyensúlyi helyzetéből. Satuba fogott vaslemezt megpendítjük. Ingaóra ingáján lévő
Részletesebben1. ábra. 24B-19 feladat
. gyakorlat.. Feladat: (HN 4B-9) A +Q töltés egy hosszúságú egyenes szakasz mentén oszlik el egyenletesen (ld.. ábra.). Számítsuk ki az E elektromos térerősséget a vonal. ábra. 4B-9 feladat irányában lévő,
RészletesebbenQ 1 D Q 2 (D x) 2 (1.1)
. Gyakorlat 4B-9 Két pontszerű töltés az x tengelyen a következőképpen helyezkedik el: egy 3 µc töltés az origóban, és egy + µc töltés az x =, 5 m koordinátájú pontban van. Keressük meg azt a helyet, ahol
Részletesebbenrnök k informatikusoknak 1. FBNxE-1 Klasszikus mechanika
Fizika mérnm rnök k informatikusoknak 1. FBNxE-1 Mechanika. előadás Dr. Geretovszky Zsolt 1. szeptember 15. Klasszikus mechanika A fizika azon ága, melynek feladata az anyagi testek mozgására vonatkozó
RészletesebbenOktatási Hivatal. A 2015/2016. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny második forduló FIZIKA I. KATEGÓRIA. Javítási-értékelési útmutató
Oktatási Hivatal A 05/06. tanévi Országos Középiskolai Tanulányi Verseny ásodik forduló FIZIKA I. KATEGÓRIA Javítási-értékelési útutató. feladat: Vékony, nyújthatatlan fonálra M töegű, R sugarú karikát
RészletesebbenFIZIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ
Fizika középszint 4 ÉRETTSÉGI VIZSGA 04. október 7. FIZIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA A dolgozatokat az útutató utasításai szerint,
RészletesebbenAz elméleti mechanika alapjai
Az elméleti mechanika alapjai Tömegpont, a továbbiakban részecske. A jelenségeket a háromdimenziós térben és időben játszódnak le: r helyzetvektor v dr dt ṙ, a dr dt r a részecske sebessége illetve gyorsulása.
RészletesebbenA +Q töltés egy L hosszúságú egyenes szakasz mentén oszlik el egyenletesen (ld ábra ábra
. Gyakorlat 4B-9 A +Q töltés egy L hosszúságú egyenes szakasz mentén oszlik el egyenletesen (ld. 4-6 ábra.). Számítsuk ki az E elektromos térerősséget a vonal irányában lévő, annak.. ábra. 4-6 ábra végpontjától
RészletesebbenMechanika. Kinematika
Mechanika Kinematika Alapfogalmak Anyagi pont Vonatkoztatási és koordináta rendszer Pálya, út, elmozdulás, Vektormennyiségek: elmozdulásvektor Helyvektor fogalma Sebesség Mozgások csoportosítása A mozgásokat
Részletesebben1. Feladatok a dinamika tárgyköréből
1. Feladatok a dinamika tárgyköréből Newton három törvénye 1.1. Feladat: Három azonos m tömegű gyöngyszemet fonálra fűzünk, egymástól kis távolságokban a fonálhoz rögzítünk, és az elhanyagolható tömegű
Részletesebben1. Feladatok merev testek fizikájának tárgyköréből
1. Feladatok merev testek fizikájának tárgyköréből Forgatónyomaték, impulzusmomentum, impulzusmomentum tétel 1.1. Feladat: (HN 13B-7) Homogén tömör henger csúszás nélkül gördül le az α szög alatt hajló
Részletesebben4. Lineáris csillapítatlan szabad rezgés. Lineáris csillapított szabad rezgés. Gyenge csillapítás. Ger-jesztett rezgés. Amplitúdó rezonancia.
4 Lneárs csllapíalan szabad rezgés Lneárs csllapío szabad rezgés Gyenge csllapíás Ger-jesze rezgés Aplúdó rezonanca Lneárs csllapíalan szabad rezgés: Téelezzük fel hogy a öegponra a kvázelaszkus vagy közel
Részletesebben2. REZGÉSEK Harmonikus rezgések: 2.2. Csillapított rezgések
. REZGÉSEK.1. Harmonikus rezgések: Harmonikus erő: F = D x D m ẍ= D x (ezt a mechanikai rendszert lineáris harmonikus oszcillátornak nevezik) (Oszcillátor körfrekvenciája) ẍ x= Másodrendű konstansegyütthatós
RészletesebbenRezgés, Hullámok. Rezgés, oszcilláció. Harmonikus rezgő mozgás jellemzői
Rezgés, oszcilláció Rezgés, Hullámok Fogorvos képzés 2016/17 Szatmári Dávid (david.szatmari@aok.pte.hu) 2016.09.26. Bármilyen azonos időközönként ismétlődő mozgást, periodikus mozgásnak nevezünk. A rezgési
RészletesebbenCsillapított rezgés. a fékező erő miatt a mozgás energiája (mechanikai energia) disszipálódik. kváziperiódikus mozgás
Csillapított rezgés Csillapított rezgés: A valóságban a rezgések lassan vagy gyorsan, de csillapodnak. A rugalmas erőn kívül, még egy sebességgel arányos fékező erőt figyelembe véve: a fékező erő miatt
RészletesebbenTömegpontok mozgása egyenes mentén, hajítások
2. gyakorlat 1. Feladatok a kinematika tárgyköréből Tömegpontok mozgása egyenes mentén, hajítások 1.1. Feladat: Mekkora az átlagsebessége annak pontnak, amely mozgásának első szakaszában v 1 sebességgel
RészletesebbenGépészmérnöki alapszak, Mérnöki fizika ZH, október 10.. CHFMAX. Feladatok (maximum 3x6 pont=18 pont)
1. 2. 3. Mondat E1 E2 Gépészmérnöki alapszak, Mérnöki fizika ZH, 2017. október 10.. CHFMAX NÉV: Neptun kód: Aláírás: g=10 m/s 2 Előadó: Márkus / Varga Feladatok (maximum 3x6 pont=18 pont) 1) Az l hosszúságú
RészletesebbenRezgés tesztek. 8. Egy rugó által létrehozott harmonikus rezgés esetén melyik állítás nem igaz?
Rezgés tesztek 1. Egy rezgés kitérés-idő függvénye a következő: y = 0,42m. sin(15,7/s. t + 4,71) Mekkora a rezgés frekvenciája? a) 2,5 Hz b) 5 Hz c) 1,5 Hz d) 15,7 Hz 2. Egy rezgés sebesség-idő függvénye
Részletesebben36. Mikola verseny 2. fordulójának megoldásai I. kategória, Gimnázium 9. évfolyam
6 Mikola verseny fordulójának egoldásai I kategória Gináziu 9 évfolya ) Adatok: = 45 L = 5 r = M = 00 kg a) Vizsgáljuk a axiális fordulatszáú esetet! r F L f g R Az egyenletes körozgás dinaikai alapegyenletét
RészletesebbenPÉLDÁK ERŐTÖRVÉNYEKRE
PÉLÁ ERŐTÖRVÉNYERE Szabad erők: erőtörvénnyel megadhatók, általában nem függenek a test mozgásállapotától (sebességtől, gyorsulástól) Példák: nehézségi erő, súrlódási erők, rugalmas erők, felhajtóerők,
Részletesebben1. feladat. 2. feladat
1. feladat Jelölje θ az inga kitérési szögét az ábrán látható módon! Abban a pillanatban amikor az inga éppen hozzáér a kondenzátor lemezéhez teljesül az l sin θ = d/2 összefüggés. Ezen felül, mivel a
Részletesebbenazonos sikban fekszik. A vezetőhurok ellenállása 2 Ω. Számítsuk ki a hurok teljes 4.1. ábra ábra
4. Gyakorlat 31B-9 A 31-15 ábrán látható, téglalap alakú vezetőhurok és a hosszúságú, egyenes vezető azonos sikban fekszik. A vezetőhurok ellenállása 2 Ω. Számítsuk ki a hurok teljes 4.1. ábra. 31-15 ábra
RészletesebbenM13/II. javítási-értékelési útmutatója. Fizika II. kategóriában. A 2006/2007. tanévi. Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny
M3/II. A 006/007. tanévi Országos Középiskolai Tanulányi Verseny első (iskolai) fordulójának javítási-értékelési útutatója Fizika II. kategóriában A 006/007. tanévi Országos Középiskolai Tanulányi Verseny
RészletesebbenA 2008/2009. tanévi FIZIKA Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első fordulójának. feladatai és megoldásai. II. kategória
Oktatási Hivatal A 008/009. tanévi IZIKA Országos Középiskolai Tanulányi Verseny első fordulójának feladatai és egoldásai II. kategória A dolgozatok elkészítéséez inden segédeszköz asználató. Megoldandó
Részletesebben9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás:
9. Trigonometria I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! x = cos 150 ; y = sin 5 ; z = tg ( 60 ) (A) z < x < y (B) x < y < z (C) y < x < z (D) z < y
RészletesebbenMechanikai rezgések = 1 (1)
1. Jellemző fizikai mennyiségek Mechanikai rezgések Mivel a harmonikus rezgőmozgást végző test leírható egy egyenletes körmozgást végző test vetületével, a rezgőmozgást jellemző mennyiségek megegyeznek
RészletesebbenFizika I. Dr. Gugolya Zoltán egyetemi adjunktus. Pannon Egyetem Fizika Intézet N. ép. II. em. 239. szoba E-mail: gug006@almos.vein.
Fzka I. Dr. Gugolya Zoltán egyete adjunktus Pannon Egyete Fzka Intézet N. ép. II. e. 39. szoba E-al: gug006@alos.ven.hu Tel: 88/64-783 Fzka I. Ajánlott rodalo: Vondervszt-Néeth-Szala: Fzka I. Veszpré Egyete
RészletesebbenEGYENÁRAM. 1. Mit mutat meg az áramerısség? 2. Mitıl függ egy vezeték ellenállása?
EGYENÁRAM 1. Mit utat eg az áraerısség? 2. Mitıl függ egy vezeték ellenállása? Ω 2 3. Mit jelent az, hogy a vas fajlagos ellenállása 0,04? 4. Írd le Oh törvényét! 5. Milyen félvezetı eszközöket isersz?
Részletesebben2. Rugalmas állandók mérése
. Rugalas állandók érése PÁPICS PÉTER ISTVÁN csillagász, 3. évfolya 00.10.7. Beadva: 00.1.1. 1. A -ES, AZAZ AZ ABLAK FELLI MÉRHELYEN MÉRTEM. Ezen a laboron a férudak Young-oduluszát értük, pontosabban
RészletesebbenJAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ
Fizika középszint 08 ÉRESÉGI VIZSGA 008. ájus 4. FIZIKA KÖZÉPSZINŰ ÍRÁSBELI ÉRESÉGI VIZSGA JAVÍÁSI-ÉRÉKELÉSI ÚMUAÓ OKAÁSI ÉS KULURÁLIS MINISZÉRIUM A dolgozatokat az útutató utasításai szerint, jól követhetően
Részletesebben13. Román-Magyar Előolimpiai Fizika Verseny Pécs Kísérleti forduló május 21. péntek MÉRÉS NAPELEMMEL (Szász János, PTE TTK Fizikai Intézet)
3. oán-magyar Előolipiai Fizika Verseny Pécs Kísérleti forduló 2. ájus 2. péntek MÉÉ NAPELEMMEL (zász János, PE K Fizikai ntézet) Ha egy félvezető határrétegében nok nyelődnek el, akkor a keletkező elektron-lyuk
RészletesebbenMechanikai munka, energia, teljesítmény (Vázlat)
Mechanikai unka, energia, eljesíény (Vázla). Mechanikai unka fogala. A echanikai unkavégzés fajái a) Eelési unka b) Nehézségi erő unkája c) Gyorsíási unka d) Súrlódási erő unkája e) Rugóerő unkája 3. Mechanikai
RészletesebbenBevezető fizika (infó), 3. feladatsor Dinamika 2. és Statika
Bevezető fizika (infó),. feladatsor Dinaika. és Statika 04. október 5., 4:50 A ai órához szükséges eléleti anyag: ipulzus, ipulzusegaradás forgatónyoaték egyensúly és feltétele Órai feladatok:.5. feladat:
RészletesebbenMágneses momentum, mágneses szuszceptibilitás
Mágneses oentu, ágneses szuszceptibilitás A olekuláknak (atooknak, ionoknak) elektronszerkezetüktől függően lehet állandóan eglévő, azaz peranens ágneses oentua (ha van bennük párosítatlan elektron, azaz
RészletesebbenGyakorlat 30B-14. a F L = e E + ( e)v B képlet, a gravitációs erőt a (2.1) G = m e g (2.2)
2. Gyakorlat 30B-14 Az Egyenlítőnél, a földfelszín közelében a mágneses fluxussűrűség iránya északi, nagysága kb. 50µ T,az elektromos térerősség iránya lefelé mutat, nagysága; kb. 100 N/C. Számítsuk ki,
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata
RészletesebbenDiagnosztika Rezgéstani alapok. A szinusz függvény. 3π 2
Rezgéstani alapok Diagnosztika 03 --- 1 A szinusz függvény π 3,14 3π 4,71 π 1,57 π 6,8 periódus : π 6,8 A szinusz függvény periódusának változása Diagnosztika 03 --- π sin t sin t π π sin 3t sin t π 3
Részletesebben3. Fékezett ingamozgás
3. Fékezett ingamozgás A valóságban mindig jelen van valamilyen csillapítás. A gázban vagy folyadékban való mozgásnál, kis sebesség esetén a csillapítás arányos a sebességgel. Ha az vagy az ''+k sin =0,
RészletesebbenOktatási Hivatal. A 2007/2008. tanévi. Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny. első (iskolai) fordulójának. javítási-értékelési útmutatója
Oktatási Hivatal A 007/008. tanévi Országos özépiskolai Tanulányi Verseny első (iskolai) fordulójának javítási-értékelési útutatója FIZIÁBÓ I. kategóriában A 007/008. tanévi Országos özépiskolai Tanulányi
RészletesebbenHangfrekvenciás mechanikai rezgések vizsgálata
Hangfrekvenciás mechanikai rezgések vizsgálata (Mérési jegyzőkönyv) Hagymási Imre 2007. május 7. (hétfő délelőtti csoport) 1. Bevezetés Ebben a mérésben a szilárdtestek rugalmas tulajdonságait vizsgáljuk
RészletesebbenAz elektromágneses indukció
TÓTH A: Elektroágneses ukció/ Az elektroágneses ukció Elektroágneses ukció néen azokat a jelenségeket szokás összefoglalni, aelyekben egy ezető hurokban ágneses erőtér jelenlétében, a szokásos telepek
RészletesebbenKísérleti fizika 1. gyakorlat Zárthelyi dolgozatok
A dolgozatok egoldási ideje 15-20 perc. Kísérleti fizika 1. gyakorlat Zárthelyi dolgozatok 1/A Egy R sugarú henger vízszintes talajon csúszásentesen gördül, tengelyének sebessége v. a) Add eg a henger
Részletesebbena) Valódi tekercs b) Kondenzátor c) Ohmos ellenállás d) RLC vegyes kapcsolása
Bolyai Farkas Országos Fizika Tantárgyverseny 2016 Bolyai Farkas Elméleti Líceum, Marosvásárhely XI. Osztály 1. Adott egy alap áramköri elemen a feszültség u=220sin(314t-30 0 )V és az áramerősség i=2sin(314t-30
RészletesebbenTrigonometria Megoldások. 1) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( )
Trigonometria Megoldások Trigonometria - megoldások ) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( ) akkor a háromszög egyenlő szárú vagy derékszögű!
RészletesebbenDifferenciálegyenletek december 13.
Differenciálegyenletek 2018. december 13. Elsőrendű DE Definíció. Az elsőrendű differenciálegyenlet általános alakja y = f (x, y), ahol f (x, y) adott kétváltozós függvény. Minden y = y(x) függvény, amire
RészletesebbenKifejtendő kérdések december 11. Gyakorló feladatok
Kifejtendő kérdések 2016. december 11. Gyakorló feladatok 1. Adja meg és a pályagörbe felrajzolásával értelmezze egy tömegpont általános síkbeli mozgását jellemző kinematikai mennyiségeket (1p)! Vezesse
RészletesebbenA 2010/2011. tanévi FIZIKA Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első fordulójának. feladatai és megoldásai fizikából. II.
Oktatási Hivatal A 010/011. tanévi FIZIKA Országos Középiskolai Tanulányi Verseny első fordulójának feladatai és egoldásai fizikából II. kategória A dolgozatok elkészítéséhez inden segédeszköz használható.
Részletesebben2.4. Coulomb-súrlódással (száraz súrlódással) csillapított szabad rezgések
58. FEJEZET. EGY SZABADSÁGI FOKÚ LENGŐRENDSZEREK.4. Coulomb-súrlódással (száraz súrlódással) csillapított szabad rezgések.4.1. Súrlódási modell A Coulomb-féle súrlódási modellben a súrlódási erő a felületeket
RészletesebbenJanuary 16, ψ( r, t) ψ( r, t) = 1 (1) ( ψ ( r,
Közelítő módszerek January 16, 27 1 A variációs módszer A variációs módszer szintén egy analitikus közelítő módszer. Olyan esetekben alkalmazzuk mikor ismert az analitikus alak amelyben keressük a sajátfüggvényt,
RészletesebbenKényszerrezgések, rezonancia
TÓTH A: Rezgése/ (ibővített óavázlat 13 Kényszeezgése, ezonancia Gyaolatilag is igen fontos eset az, aio egy ezgése épes endsze ezgései valailyen ülső, peiodius hatás (énysze űödése özben zajlana le Az
RészletesebbenA mérés célkitűzései: A matematikai inga lengésidejének kísérleti vizsgálata, a nehézségi gyorsulás meghatározása.
A mérés célkitűzései: A matematikai inga lengésidejének kísérleti vizsgálata, a nehézségi gyorsulás meghatározása. Eszközszükséglet: Bunsen állvány lombik fogóval 50 g-os vasból készült súlyok fonál mérőszalag,
RészletesebbenMit nevezünk nehézségi erőnek?
Mit nevezünk nehézségi erőnek? Azt az erőt, amelynek hatására a szabadon eső testek g (gravitációs) gyorsulással esnek a vonzó test centruma felé, nevezzük nehézségi erőnek. F neh = m g Mi a súly? Azt
RészletesebbenDifferenciálegyenletek
DE 1 Ebben a részben I legyen mindig pozitív hosszúságú intervallum DE Definíció: differenciálegyenlet Ha D n+1 nyílt halmaz, f:d folytonos függvény, akkor az y (n) (x) f ( x, y(x), y'(x),..., y (n-1)
Részletesebben1.1. Feladatok. x 0 pontban! b) f(x) = 2x + 5, x 0 = 2. d) f(x) = 1 3x+4 = 1. e) f(x) = x 1. f) x 2 4x + 4 sin(x 2), x 0 = 2. általános pontban!
. Egyváltozós függgvények deriválása.. Feladatok.. Feladat A definíció alapján határozzuk meg a következő függvények deriváltját az x pontban! a) f(x) = x +, x = 5 b) f(x) = x + 5, x = c) f(x) = x+, x
RészletesebbenJAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ
Fizika középszint 81 ÉRETTSÉGI VIZSGA 9. ájus 1. FIZIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM A dolgozatokat az útutató utasításai szerint,
RészletesebbenA bifiláris felfüggesztésű rúd mozgásáról
1 A bifiláris felfüggesztésű rúd mozgásáról A végein fonállal felfüggesztett egyenes rúd részleges erőtani vizsgálatát mutattuk be egy korábbi dolgozatunkban, melynek címe: Forgatónyomaték mérése - I.
Részletesebbenλx f 1 (x) e λx f 2 (x) λe λx f 2 (x) + e λx f 2(x) e λx f 2 (x) Hasonlóan általában is elérhető sorműveletekkel, hogy csak f (j)
Matematika A3 gyakorlat Energetika és Mechatronika BSc szakok, 016/17 ősz 10 feladatsor: Magasabbrendű lineáris differenciálegyenletek (megoldás) 1 Határozzuk meg az e λx, xe λx, x e λx,, x k 1 e λx függvények
Részletesebben3. Egy repülőgép tömege 60 tonna. Induláskor 20 s alatt gyorsul fel 225 km/h sebességre. Mekkora eredő erő hat rá? N
Dinaika feladatok Dinaika alapegyenlete 1. Mekkora eredő erő hat a 2,5 kg töegű testre, ha az indulástól száított 1,5 úton 3 /s sebességet ér el? 2. Mekkora állandó erő hat a 2 kg töegű testre, ha 5 s
RészletesebbenDifferenciálegyenletek. Vajda István március 4.
Analízis előadások Vajda István 2009. március 4. Függvényegyenletek Definíció: Az olyan egyenleteket, amelyekben a meghatározandó ismeretlen függvény, függvényegyenletnek nevezzük. Függvényegyenletek Definíció:
RészletesebbenFizika alapok vegyészeknek Mechanika II.: periodikus mozgások november 10.
Fizika alapok vegyészeknek Mechanika II.: periodikus mozgások Surján Péter 2018. november 10. 2 Tartalomjegyzék 1. Körmozgás 5 1.1. Az egyenletes körmozgás leírása.................. 5 1.2. A centripetális
RészletesebbenBevezető fizika (vill), 4. feladatsor Munka, energia, teljesítmény
Bevezető fizika (vill), 4. feladatsor Munka, energia, teljesítény 4. október 6., : A ai óráoz szükséges eléleti anyag: K unka W F s F s cos α skalárszorzat (száít az irány!). [W ] J F szakaszokra bontás,
RészletesebbenA magnetosztatika törvényei anyag jelenlétében
TÓT A.: Mágnesség anyagban (kibővített óravázlat) 1 A agnetosztatika törvényei anyag jelenlétében Eddig: a ágneses jelenségeket levegőben vizsgáltuk. Kiutatható, hogy vákuuban gyakorlatilag ugyanolyanok
RészletesebbenFüggvények július 13. Határozza meg a következ határértékeket! 1. Feladat: x 0 7x 15 x ) = lim. x 7 x 15 x ) = (2 + 0) = lim.
Függvények 205. július 3. Határozza meg a következ határértékeket!. Feladat: 2. Feladat: 3. Feladat: 4. Feladat: (2 + 7 5 ) (2 + 7 5 ) (2 + 0 ) (2 + 7 5 ) (2 + 7 5 ) (2 + 0) (2 + 0 7 5 ) (2 + 0 7 5 ) (2
Részletesebben3. Lineáris differenciálegyenletek
3. Lineáris differenciálegyenletek A közönséges differenciálegyenletek két nagy csoportba oszthatók lineáris és nemlineáris egyenletek csoportjába. Ez a felbontás kicsit önkényesnek tűnhet, a megoldásra
RészletesebbenOktatási Hivatal FIZIKA I. KATEGÓRIA. A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny második forduló. Javítási-értékelési útmutató
Oktatási Hivatal A 13/14. tanévi Országos Középiskolai Tanulányi Verseny ásodik forduló FIZIKA I. KATEGÓRIA Javítási-értékelési útutató 1.) Hőszigetelt tartályban légüres tér (vákuu) van, a tartályon kívüli
Részletesebben1. Feladatok munkavégzés és konzervatív erőterek tárgyköréből. Munkatétel
1. Feladatok munkavégzés és konzervatív erőterek tárgyköréből. Munkatétel Munkavégzés, teljesítmény 1.1. Feladat: (HN 6B-8) Egy rúgót nyugalmi állapotból 4 J munka árán 10 cm-rel nyújthatunk meg. Mekkora
RészletesebbenFourier transzformáció
a Matematika mérnököknek II. című tárgyhoz Fourier transzformáció Fourier transzformáció, heurisztika Tekintsük egy 2L szerint periodikus függvény Fourier sorát: f (x) = a 0 2 + ( ( nπ ) ( nπ )) a n cos
RészletesebbenKalkulus. Komplex számok
Komplex számok Komplex számsík A komplex számok a valós számok természetes kiterjesztése, annak érdekében, hogy a gyökvonás művelete elvégezhető legyen a negatív számok körében is. Vegyük tehát hozzá az
Részletesebbeny + a y + b y = r(x),
Definíció 1 A másodrendű, állandó együtthatós, lineáris differenciálegyenletek általános alakja y + a y + b y = r(x), ( ) ahol a és b valós számok, r(x) pedig adott függvény. Ha az r(x) függvény az azonosan
RészletesebbenDIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC
BSC MATEMATIKA II. MÁSODRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK BSc. Matematika II. BGRMAHNND, BGRMAHNNC MÁSODRENDŰ DIFFERENCIÁLEGYENLETEK Egy explicit közönséges másodrendű differenciálegyenlet általános
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett
Részletesebben1. Milyen módszerrel ábrázolhatók a váltakozó mennyiségek, és melyiknek mi az előnye?
.. Ellenőrző kérdések megoldásai Elméleti kérdések. Milyen módszerrel ábrázolhatók a váltakozó mennyiségek, és melyiknek mi az előnye? Az ábrázolás történhet vonaldiagramban. Előnye, hogy szemléletes.
Részletesebben1. gyakorlat. Egyenletes és egyenletesen változó mozgás. 1. példa
1. gyakorlat Egyenletes és egyenletesen változó mozgás egyenletes mozgás egyenletesen változó mozgás gyorsulás a = 0 a(t) = a = állandó sebesség v(t) = v = állandó v(t) = v(0) + a t pályakoordináta s(t)
Részletesebben2012 február 7. (EZ CSAK A VERSENY UTÁN LEGYEN LETÖLTHETŐ!!!)
1 A XXII. Öveges József fizika tanulányi verseny első fordulójának feladatai és azok egoldásának pontozása 2012 február 7. (EZ CSAK A VERSENY UTÁN LEGYEN LETÖLTHETŐ!!!) 1. Egy odellvasút ozdonya egyenletesen
Részletesebben35. Mikola Sándor Országos Tehetségkutató Fizikaverseny. III. forduló május 1. Gyöngyös, 9. évfolyam. Szakközépiskola
5 Mikola Sándor Országos Tehetségkutató Fizikaerseny III forduló 06 ájus Gyöngyös, 9 éfolya Szakközépiskola feladat Soa, aikor a d = 50 széles folyón a partra erőlegesen eez, akkor d/ táolsággal sodródik
RészletesebbenJAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ
Fizika eelt szint Javítási-értékelési útutató 063 ÉRETTSÉGI VIZSGA 006. ájus 5. FIZIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Fizika eelt szint Javítási-értékelési
RészletesebbenA Föld középpontja felé szabadon eső test sebessége növekszik, azaz, a
a Matematika mérnököknek I. című tárgyhoz Függvények. Függvények A Föld középpontja felé szabadon eső test sebessége növekszik, azaz, a szabadon eső test sebessége az idő függvénye. Konstans hőmérsékleten
RészletesebbenFénypont a falon Feladat
Fénypont a falon 3. Dolgozat - sorozatunk. és. részében két speiális eset vizsgálatát részleteztük. Itt az általánosabb síkbeli esettel foglalkozunk, főbb vonalaiban. Ehhez tekintsük az. ábrát is! 3. Feladat.
Részletesebben