Hullámtan. Hullám Valamilyen közeg kis tartományában keltett, a közegben tovaterjedő zavar.

Átírás

1 Hulláan A hullá fogala. A hulláok oszályozása. Kísérleek Kis súlyokkal összeköö ingsor elején kele rezgés áerjed a öbbi ingára is [0:6] Kifeszíe guiköélen kele zavar végig fu a köélen [0:08] Kifeszíe rugón kele zavar végig fu a rugón [0:05, lassío] Kifeszíe drószál elejé hirelen egcsavarva, ajd a csavarás egszüneve, a szál öbbi része időben késve egekeredik (Julius-féle hullágép) [0:0] Vízfelszínen zavar kelve, a vízfelszín öbbi része később ozgásba jön [0:07] Szeléleés filekről (lökéshullá, hőérséklei hullá, sb) Ezek a jelenségek ind az szeléleik, hogy rugalas közegben kele deforáció (zavar) a közegben ovaerjed. Hullá Valailyen közeg kis aroányában kele, a közegben ovaerjedő zavar. Hulláforrás A zavar forrása, vagyis a zavar lérehozó árgy. A hulláok ípusai (öbb szepon alapján) A közeg dienziója alapján beszélheünk egyenes enén (álalánosabban ponsoron) erjedő hulláokról, (pl. rezgő húr) felülei hulláokról (pl. vízhulláok), érbeli hulláokról (pl. hang, fény). A hulláfelüleek alakja alapján beszélheünk például síkhulláról, göbhulláról, hengerhulláról, sb. A rezgő ennyiség iránya és a hullá erjedési irányának viszonya alapján beszélünk longiudinális és ranszverzális hulláról, longiudinális hullá eseén a rezgés a erjedési irány enén egy végbe, ranszverzális hullá eseén a rezgés iránya a erjedési irányra erőleges.

2 A ér- és időbeli lefuás alapján a hullá lehe például periodikus hulláok szinuszos vagy onokroaikus hullá, [0:06] hároszög, négyszög, fűrészfog, sb. ne-periodikus hulláok csupán néhány periódus aralazó hullácsoag (ipulzus), [0:06] zaj A rezgő fizikai ennyiség ípusa alapján a hullá lehe például elekroágneses hullá (pl. fény, rádióhullá), rugalas hullá (pl. hang, földrengéshullá), vízhullá, (sb). A hullában különböző fizikai ennyiségek erjednek, például: fázis (rezgési állapo, energia, ipulzus, Ipulzusoenu, (sb). Ponsor enén erjedő hulláok Milyen aeaikai képleel írhaó le ideális eseben azaz orzulás és csillapodás nélkül az engely enén erjedő hullá? Az egyszerűség kedvéér vizsgáljunk ranszverzális hulláo (könnyebben ábrázolhaó). Az időponban a ponsor koordináájú helyén jelölje Ψ a kiérés. Milyen aeaikai képleel írhaó le Ψ = Ψ(, függvény? Ado helyen az időfüggés vizsgálva origó f ( O Ψ 0 Ψ f ( c) 0 c hely X Ha az origóból kiinduló zavar c sebességgel erjed, akkor az helyen /c idővel később lesz ugyanaz a kiérés, in az origóban a időponban vol. Ψ = f ( c) f ( a hullá időbeli alakjára jellező! Ado időben a helyfüggés vizsgálva 0 idő c idő g() g( ) 0 O 0 Ha a zavar c sebességgel erjed, akkor 0 = c A kiérés hely- és időfüggésé leíró képle Ψ = g( c g() a hullá érbeli alakjára jellező! Nyílván a ké nézőpon ne függelen egyásól, a kapcsola közöük: g( ) = f ( c) Haronikus (szinuszos) hullá A ér inden ponjában a hullában rezgő fizikai ennyiség ω körfrekvenciájú haronikus rezgés végez. Szinuszos hullára az időbeli függés leíró függvény: f ( = A sin( ω + α)

3 Az ponsoron erjedő szinuszos hullá forulája: A a hullá apliúdója Ψ = A sin ω c + α Hulláhossz π ω = összefüggés felhasználva Ψ(, = A sin π + α c Ψ = A sin π + α ahol = c c = Ebből az alakból láhaó, hogy a szinuszos hullá érben és időben periodikus Ado helyen (rögzíe eseén) az időbeli periódus, Ado időben (rögzíe eseén) a érbeli periódus. A érbeli periódus hulláhossznak nevezik. Mivel a érbeli periódus, nyílván az azonos fázisú helyek közö is ávolság van! Hullászá Szinuszos hullá fázisa = ν ω π Ψ = A sin( ω k + α) ahol k = = c k = hullászá, körhullászá ϕ = ω + α = π c + α = ω k + α Szinuszos hullá fázissebessége Az aniációból lászik, hogy a kiérés (és ennek egfelelően a fázis) időben késve a ponsor jobbra eső helyein ugyanazon érékeke veszi fel, azaz, a ponsor enén (ás fizikai ennyiségek elle a fázis ovaerjed! Mekkora a fázis erjedési sebessége, az u.n. fázissebesség? A időponban az helyen Φ a fázis, Mivel a fázis erjed a ponsor enén, idővel később (azaz + időponban) ávolságra (azaz az + helyen) szinén Φ lesz a fázis. Ekkor nyílván a fázis erjedési sebessége v f = /. Φ = ω k + α Φ = ω( + k( + ) + α Hulláok polarizációja ω k = 0 v f = ω v f = = c k Longiudinális hullánál a rezgések a erjedési irány enén ennek végbe. Így a erjedési irányon kívül nincs ás kiünee (a egfigyel jelensége befolyásoló) irány. Ha a erjedési irányon kívül ás kiünee irány is van a hulláerjedés során, akkor az ondjuk, hogy a hullá poláros. ranszverzális hullánál a rezgések a erjedési irányra erőlegesen ennek végbe. Így a erjedési irányon kívül leheséges ás kiünee irány.

4 Ezek alapján a ranszverzális hulláok polárosak lehenek. A kiünee irány léé guiköélen erjedő hullára egy réssel szelélehejük. [0:54] Poláros hulláok fonosabb ípusai Lineárisan poláros (vagy síkban poláros) hullá A rezgések a erjedési irányon áfekee, időben állandó helyzeű síkban ennek végbe. A rezgő fizikai ennyiség a ér ponjaiban azonos irányú lineárisan poláros rezgés végez. A rezgések közö a hullá fázisának egfelelő fáziskülönbség van. Ellipikusan poláros hullá A rezgések a erjedési irányra erőleges síkban egy ellipszis enén ennek végbe. A rezgő fizikai ennyiség a ér ponjaiban ellipszisben poláros rezgés végez. A rezgések közö a hullá fázisának egfelelő fáziskülönbség van. Cirkulárisan poláros (vagy körben poláros) hullá Az ellipikusan poláros hullá speciális esee, a rezgések a erjedési irányra erőleges síkban egy kör enén ennek végbe. A rezgő fizikai ennyiség a ér ponjaiban körben poláros rezgés végez. A rezgések közö a hullá fázisának egfelelő fáziskülönbség van. Ponsor enén erjedő hulláok inerferenciája Inerferencia Azon jelenségek összessége, elyek akkor figyelheők eg, ha a ér egy ado ponjában egyszerre ké vagy öbb hullá alálkozik. A jelenség érelezésénél fonos szerepe jászik a szuperpozíció elve. Szuperpozíció elve A alálkozó hulláok egyás erjedésé ne befolyásolják, a egfigyelheő hulláhaás a hullában rezgő fizikai ennyiségek összege. (szeléleés) Ez az elv a legöbb hullá erjedésére érvényes. Az olyan közege, aelyre érvényes a szuperpozíció elve lineáris közegnek nevezik. Azonos frekvenciájú szinuszos hulláok inerferenciája Haronikus hullá eseén a ér ado ponjában egy haronikus rezgés alakul ki, így inerferencia eseén haronikus rezgések adódnak össze. Ezér az inerferencia leírásához a haronikus rezgések összeadásánál egállapío összefüggéseke kell alkalazni. Ké azonos síkban lineáris poláros hullá inerferenciájánál az eredő hullá a alálkozó hulláokkal azonos frekvenciájú és azonos síkban poláros hullá, elyen apliúdójá és kezdőfázisá az azonos irányú rezgések összeadásánál egiser képleek adják eg. (szeléleés) Ez alapján, a alálkozó hulláok aiálisan erősíik egyás, ha a hulláok azonos fázisban alálkoznak, és aiálisan gyengíik egyás, ha ellenées fázisban alálkoznak.

5 Ké egyásra erőleges síkban lineáris poláros hullá inerferenciájánál a ké hullá összege egy ellipszisben poláros hulláo hoz lére, ivel álalában ké egyásra erőleges haronikus rezgés összege egy ellipszisben poláros rezgés. Ha a ké apliúdója azonos és a fáziskülönbség π/ vagy 3π/, akkor cirkulárisan (körben) poláros hullá jön lére. Ha ké hullá azonos vagy ellenées fázisban alálkozik, akkor lineárisan (síkban) poláros hullá jön lére. A rezgési síko a ké apliúdó aránya haározza eg. a η b B O y A a ξ Ponsor enén erjedő hulláok visszaverődése Kísérleek b Visszaverődés rögzíe végről [0:08] A kísérleek szerin rögzíe végről ellenées fázisban verődik vissza a hullá. Haronikus hulláokra ez π fázisugrás jelen. Visszaverődés szabad végről. A kísérleek szerin szabad végről azonos fázisban verődik vissza a hullá. rögzíe vég A visszaverődés szeléleése szabad vég aniáció aniáció ükrözés () ükrözés ()

6 Állóhulláok végelen és véges ponsoron. Sajárezgések és sajáfrekvenciák Láuk, hogy a közeg haárához érve a hullá visszaverődik. Ekkor a visszaver és a beeső hullá egyással alálkozik, közöük inerferencia lép fel. Vizsgáljuk eg, hogy ilyen hullá jön lére ké egyással szebe haladó azonos apliúdójú és azonos frekvenciájú szinuszos hullá inerferenciája során! = A sin π + α Ψ = A sin π + + α Ψ Ψ, = Ψ + Ψ ) = ( v u u + v sin u + sin v = cos sin összefüggés felhasználva: A kialakul hulláo állóhullának nevezik. A + (vagy ) irányba erjedő hulláo haladó hullának is szokás nevezni. A sin π + α + sin u π + + α v π α Ψ, = A cos + α π sin α + α + ( Az aniációból és a forulából is láhaó, hogy a ponsoron vannak olyan ponok, ahol a rezgés apliúdója zérus. Ezeke a helyeke csoóponoknak hívjuk. Ké szoszédos csoópon ávolsága a hulláhossz fele (/), ugyanis π α α cos + = 0 π α α π + = + π = + π ( ahol Z ) Aiből az indehez arozó csoópon helye α = + Ké szoszédos csoópon ávolsága = = Ké szoszédos csoópon közö középen u.n. duzzadóhelyeken a rezgés apliúdója aiális. Ké szoszédos duzzadóhely ávolság szinén /. Ké szoszédos csoópon közö a rezgések fázisa azonos, a csoóponok ellenées fázisban rezgő aroányoka válaszanak el! Az álló- és haladó hulláok közö lényeges különbség van a rezgések apliúdójában és fázisában! Haladó hullára az apliúdó indenhol A, íg álló hullára helyől függően 0 és A közö válozik. A részecskék azonos frekvenciájú haronikus rezgés végeznek, azonban állóhullá eseén azonos vagy ellenées fázisban, íg haladó hullánál a helyől függően fázisban különböznek! Haladó hullában a fázis ovaerjed, az állóhullában ne. + α π

7 Eddig ne veük figyelebe, hogy a ponsor véges lehe. Láni fogjuk, hogy ez a kialakuló állóhulláok hulláhosszá (és így a frekvenciái korláozza. ekinsünk egy l hosszúságú ponsor! 0 l szabad vég Poziív irányba erjedő hullá Ψ(, = A sin π A ponsor végről visszaver hullá rögzíe vég ( ) l ( ) l Ψ = A sin π Ψ = A sin π sz Ψ(, = Ψ + Ψ A sin π 0 l ( sz) = + sin π l A sin π r Ψ(, = Ψ + Ψ ( r) = sin π l l l l l Ψ = A cos π sin π Ψ(, = A sin π cos π Mindké kifejezés egy állóhulláo ír le! Az = l helyen duzzadó hely van. Az = l helyen csoópon van. szabad vég Hol vannak a csoóponok? rögzíe vég l cos π = 0 l π = + π l sin π = 0 l π = π = l + ( = 0,,, K) / / / /4 = l ( = 0,,, K) / / / 3 0 = l 3 0 = l 0 = l és + =, 4 Az első csoópon a szabad végől /4 ávolságra van, és a csoóponok közöi ávolság /. = l 0 és +, Az első csoópon a rögzíe végnél van, és a csoóponok közöi ávolság /. = Eddig csak egy visszaverődés veünk figyelebe! öbbszörös visszaverődések haására bonyolul jelenség jön lére. Mikor alakulhanak állóhulláok a ponsoron?

8 Állóhulláok kialakulásához az szükséges, hogy a jobboldali végről visszaver hullá a baloldali végen isé visszaverődve egegyezzen a kezdei hulláal. Mindké vég szabad ( ) l Ψ = A sin π Ψ = A sin π A baloldali végről visszaver hullá egegyezik a kezdei hulláal, ha Mindké vég rögzíe kezdei hullá ( sz) Ψ (0, = Ψ (0, kezdei hullá Ψ(, = A sin π l π = π sz l = A baloldali végről visszaver hullá egegyezik a kezdei hulláal, ha ( r) Ψ (0, = Ψ (0, Ψ l π = π rögzíe végen π fázisugrás lép fel jobboldali végről visszaver hullá jobboldali végről visszaver hullá ) = A sin π ( r l =,, 3, K l = =,, 3, K Egyik vég szabad (baloldali), ásik rögzíe (jobboldali) kezdei hullá ( ) l Ψ = A sin π Ψ = A sin π A baloldali végről visszaver hullá egegyezik a kezdei hulláal, ha ( r) Ψ (0, = Ψ (0, jobboldali végről visszaver hullá l π + π = π r l = =,, 3, K Vagyis, elgondolásunk szerin egy l hosszúságú ponsoron csak olyan állóhulláok alakulhanak ki, elyek hulláhossza eljesíi a fen levezee feléeleke! A ponsor sajárezgései és sajáfrekvenciái Ha a ponsoron állóhulláok alakul ki, akkor a ponsor inden ponja ugyanolyan frekvenciájú haronikus rezgés végez, azonos vagy ellenées fázisban! Ez pedig éppen az jeleni, hogy a ponsor leheséges állóhulláai éppen a ponsor sajárezgéseivel azonosak. Hasonlóan a keős inga ozgásához, eguahaó, hogy a ponsor álalános ozgása előállíhaó a sajárezgések szuperpozíciójakén. Más szavakkal: a ponsoron erjedő bárely hullá a ponsor állóhulláainak az összegekén állíhaó elő.

9 Mivel az állóhulláok hulláhossza ne lehe eszőleges, így a hozzájuk arozó frekvenciák a sajáfrekvenciák se vehenek fel eszőleges éréke! c = ν ν = c Mindké vég rögzíe Mindké vég szabad l = ν c = l l = ν c = l Egyik vég szabad, ásik rögzíe l = ν = c l 3 Szeléleés: guiszál Melde-féle készülék Julius-féle hullágép A szuperpozíció elvének szeléleése () Aniáció [0:06] Szebe haladó hulláok rugón

10 A szuperpozíció elvének szeléleése () Aniáció [0:06] vissza Szebe haladó hulláok rugón