This article shows a new approximation cosinus theorem of geometry of Bolyai, Euclides and Riemann. From this pont of view these are special cases.

Méret: px

Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "This article shows a new approximation cosinus theorem of geometry of Bolyai, Euclides and Riemann. From this pont of view these are special cases."

Adrián Dobos
7 évvel ezelőtt
Látták:

1 EXPANDED BOLYAI GEOMETRY HORVÁTH ISTVÁN SZELLŐ LÁSZLÓ EXPANDED BOLYAI GEOMETRY CIKKSOROZAT A KITERJESZTETT BOLYAI GEOMETRIÁRÓL: I. BOLYAI JÁNOS ÚJ, MÁS VILÁGA Cikkünken egy új megközelítésen tárgyljuk Bolyi geometri, z Euklideszi geometri és Riemnn geometri ous tételeit. E megközelítés keretein elül ezek speiális esetként dódnk. This rtile shows new pproximtion ous theorem of geometry of Bolyi, Eulides nd Riemnn. From this pont of view these re speil ses. Bolyi János 83-n ezeket sorokt írt Temesvárról édespjánk: "A feltételem már megvn, áll, hogy mihelyt rende szedem, elkészítem, s mód lesz, prllelákról egy munkát dok ki.édes-apám megesmeri most töet nem szólhtok, tsk nnyit, hogy A SEMMIBŐL EGY UJJ MÁS VILÁGOT TEREMTETTEM". Ezen levelet feltlálás után 885- en, Mtemtiki és Természettudományi Értesítő német nyelvű változtán Ein Brief Johnn Bolyi s v. Jhre 83 in Bezug uf nihteuklidishen Geometrie, mjd 887-en, ugynennek folyóirtnk mgyr nyelvű kidásán Szily Kálmán muttt e. A Bolyi előtti geometri, mely Euklidesz nevéhez fűződik, öt feltevésől posztulátum és néhány "lpigzságól" építkezik, Euklidesz ezekől vezetett le minden egyé állítást Euklidesz: Elemek. Alpfeltevései között vn egy, mely z V. posztulátum vgy XI. xióm néven szerepel, melyegyáltlán nem nnyir nyilvánvló, mint töi. Ez síkr vontkozttv, így mondhtó ki: h P pont nins z e egyenesen, kkor P ponton egyetlen e-vel párhuzmos e-t nem metsző egyenes hld keresztül. Más megfoglmzásn: h két metsző egyenest egy 73

2 VÉDELMI ELEKTRONIKA hrmdik metsz, kkor e két egyenes metsző egyenesnek zon z oldlán metszi egymást, melyiken első szögek összege kise két derékszögnél. Az V. posztulátum már megfoglmzásánk onyolultságát tekintve is kirí töi közül. Tö mtemtikus is gondolt rr, hogy z V. posztulátum tlán nem is "lpigzság" hnem tétel, zz töi xióm következménye. Próálkoztk z V. posztulátum izonyításávl töi xióm lpján. Bolyi János indirekt módon próált igzolni z állítást: feltette, hogy z V. posztulátum hmis, és zt remélte, hogy eől vlmilyen ellentmondásr ukkn, mi zt igzolná, hogy feltevése helytelen, vgyis z V. posztulátum állítás mégissk töi feltevés következménye. Bolyi kereste "hiát", de nem tlált! Rájött, hogy vittott V. posztulátum elhgyásávl megmrdó xiómákól felépíthető egy olyn geometrii rendszer, mely egy "új, más világ" lehetőségét is felöleli, de mgá fogllj z euklideszi geometriát is, de egy másik nemeuklideszi geometriát is trtlmz. Ezt z új euklideszi és nemeuklideszi geometriát tglló geometrii rendszert nevezte el Bolyi János ABSZOLÚT GEOMERIÁNAK. Bár édespjánk 83-n írt levelét, s kkor már lényegéen kidolgozt ezt z új geometriát, munkáj sk késő jelent meg pj "TENTAMEN" ímű könyve függelékeként APPENDIX ímen. Ez kidolgozás tömörsége és teljes újszerűsége mitt sk jóvl késő, Bolyi hlál után tlált ngyo visszhngr mtemtikusok köréen. Az V. posztulátum tgdását trtlmzó Bolyi-féle hiperolikus geometri reltiv ellentmondás mentességét Felix Klein izonyított záltl, hogy konstrukiójávl Klein-modell megmuttt, hogy h hiperolikus geometri trtlmz ellentmondást, kkor z euklideszi is. M modern tudomány számos olyn geometrii rendszert ismer, mely eltér klsszikus euklideszi geometriától tehát nem euklideszi. Az itt ismertetendő geometriákr Felix Klein hívt fel figyelmet 87-en, s een z ngol Arthur Cyley vlmivel elői kuttásir támszkodott, ezért e rendszerekre szkirodlomn előforduló yley-klein geometriák elnevezést fogjuk hsználni. A kilen yley-klein féle síkgeometri viszonyit következő tálázt lpján tnulmányozhtjuk 74

3 EXPANDED BOLYAI GEOMETRY elliptikus Euklideszi hiperolikus Riemnn-féle elliptikus Euklideszi hiperolikus euklideszi ntieuklideszi Glilei Antipszeudóeuklideszi Bolyi-féle ntihiperolikus Pszeudoeuklideszi ihiperolikus A háromszög metrikus viszonyi ous tételek: R E B-L R E B-L os os os h h h os os sh sh os os os os h h h h h sh sh h Egy dott ponton átmenő és egy egyenest nem metsző egyenesek szám: R E B-L R 0 E 0 B-L 0 Egy egyenes zon pontjink szám, melyek nem köthetők össze egy dott ponttl: R E B-L R E B-L Kiterjesztett Bolyi geometri Cous tételének speiális esetei: Elliptikus Riemnn geometri ous tétele Eukideszi geometri ous tétele Hiperólikus geometri ous tétele 75

4 VÉDELMI ELEKTRONIKA Azt mondjuk hogy,, háromszögen z -vl szemen,-vel szemen, -vel szemen tlálhtó. Definiíó: Cous Tétel: H, hogy hol és kkor léteznek és egyértelműen léteznek 0 szögek úgy, hogy os os os os os os Speiális esetként z euklideszi geometri ous tételét dj h és kkor *os Speiális esetként Bolyi-Losevszkij geometri ous tételét dj: os os h és kkor tlálhtó olyn szög: 76

5 EXPANDED BOLYAI GEOMETRY 77 os : os, kkor: os os legyen is kise mint egy kkor z egyenletet átírhtjuk: os os Pszeudó euklideszi metrikájú téren megtehető: h h h, sh sh, os sh sh h h h Speiális esetként Riemnn elliptikus geometri ous tételét dj: os os H és kkor tlálhtó olyn szög: os : os, Akkor: os os

6 VÉDELMI ELEKTRONIKA Legyen is kise, mint egy kkor z egyenletet átírhtjuk: os os : : : os`: os os` ` òs ` osòs ` os` osòs ` òs ` Sinus Tétel: A, B, C -en A B C A B C lkot ölti. 78

7 EXPANDED BOLYAI GEOMETRY Felhsznált irodlom. Bolyi Frks: Tentmen. 83. Bolyi János: Appendix Bolyi emlékkönyv. Vine Kidó, Budpest Euklidesz: Elemek. ókor 5. Szily Kálmán: Mtemtiki és Természettudományi Értesítő,

8 80 VÉDELMI ELEKTRONIKA

Hasonló dokumentumok

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym TMt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár tehetséggondozó változt 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti