Egy mértani feladat.

Méret: px

Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Egy mértani feladat."

Alíz Gál
4 évvel ezelőtt
Látták:

1 y. Egy mértni feldt. KRUSPÉR ISTVÁNTÓL. A pestvárosi másodrendű háromszögelés lklmávl egy mértni feldt dt mgát elő, melyet mind háromszögtni, mind grphici úton igen szépen meg lehet oldni, s mely mert nem csk z itt előforduló esetben, hnem más esetekben is lklmzhtó, figyelmet érdemel. A körülmények, melyek ezen feldt megoldását követelték, ezek: A működő mérnök szerződésileg kötelezve vn, minden szelvényen leglább két főpontot meghtározni háromszögelés áltl. A lépték zonbn, mely szerint felvétel történik, igen ngy (1"=10 ) lévén, egy szelvényre nem igen ngy tér esik, s mérnök főpontok kiválsztásábn igen meg vn szorítv, nnál is inkább, mert város utczáin kilátás háromszögelési pontok felé, házk áltl igen korlátozv vn. így történt, hogy egy álláspontbn, D, csupán csk két, hozzáférhetlen, különben meghtározott pont A, B (két gyárkémény) volt láthtó, D pontot zonbn egy hrmdik, szintén meghtározott pontból, C látni lehetett; de megfordítv C, D-ből nem volt láthtó. A mérnök tehát C pontbn BCD = /9 szöget meg mérhette, de D-ben csk z ADB = y szög volt megmérhető. Az A, B, C pontok közötti összefüggés teljesen dv vn, mert ezek első rngú háromszögelési pontok. Vegyük fel zon összefüggés kifejezése végett, hogy AB = er, BC = b és ABC =«, ösmeretesek. Ezen öt dt z A BCD négyszög meghtározásár tökéletesen elegendő ; mert négy szögnek 8 lkotó eleme vn, melyek közül 5-nok kell dv lenni, többi A m. mérn.-egylet köz 1. IV. köt. O

2 80 három ezek áltl teljesen meg vn htározv. A működő mérnök igen helyesen tette zon megjegyzést, hogy y szög áltl z A, B, D pontokon keresztül menő kör fekvése dv vn, s ezen kör CD sugár áltl metszetvén, olyn metszés pontot d, moly nnál biztosbbn fogj D pontot meghtározni, minél inkább közelít metszés-szög 90 -hoz. A feldt zonbn közvetlen fel nem oldhtó, mert zon háromszögek közt, melyekre négyszöget fel lehet bontni, nincs egyben sem három drb dv ; hnem több háromszögek combintiój áltl kell zt feloldni. A működő mérnök meg is kisértette megoldást, s z mjdnem egészen sikerült is. Azonbn z ilyen feldtokt csk kkor lehet teljesen megoldottknk tekinteni, h megoldás első fokú egyenletre vezet. Ilyen megoldást többféleképen lehet tlálni. 1. Nevezzük z ADC szöget «-nek, kkor lesz BCD A-ből b : BD = sin (y x) : sin p. Ugy szintén z ABD A-ből lesz : BD : = sin (360 «(360 - p) ;) : sin y. Ezen két rányt egymássl szorozván, s z egymást lerontó mennyiséget elhgyván, lesz : b : = sin (y x) sin (/??) : sin /S sin y. honnn következik; sin /? sin y sin (/ x) sin ( x). Bontsuk fel jobboldlon sinusokt, kkor lesz: sin p sin y = (sin y cos x cos y sin x) [sin (p «) cos x cos (P «) sin?], s h e szorzást véghez visszük, lesz : sin 8 sin y sin y sin {& ) cos x- [sin (p «) cos y -(- cos (p «) sin j'] sin x cos x -J- cos y cos (p «) sin x-. r 1 + cos 2x. 1 cos 2x. sin 2x Úgyde cos x- = ;sin; 2 = ; sin x cos x = -. Ezeket helyettesítvén, lesz : b... /. 14- cos 2 ;.. /, sin p sin y sin y sm (p ) L [sin (/S n) cos y cos.., sin 2;...1 cos 2; (p - «) sin y\ 7) 1 cos ^ cos > ' Fejtsük ki ezen egyenletet, kkor némi rendezés után lesz: 2 b sin p sin y (sin y sin (p «) + cos y cos (p n)) cos 2 x [cos y cos (P ) sin y sin (p «)] sin 2 x [sin (p «) cos y -4-- cos (/$ «) sin y\. Ezen egyenletet így lehet összehúzni:

$81 sin fi sin }-=cos (y cos 2j cos (y-\- t 1 - re) sin 2x sin (y-{-p «), vgy tovább: sin P sin y cos (j p -f- «) cos (2x y «), s ebből lesz végre: Cos (2?$

3 81 sin fi sin }-=cos (y cos 2j cos (y-\- t 1 - re) sin 2x sin (y-{-p «), vgy tovább: sin P sin y cos (j p -f- «) cos (2x y «), s ebből lesz végre: Cos (2? y p -{- «) = cos (y p -f- «) sin p sin y, mely egyenletben egyedül bloldl ismeretlen. Hogy számítást logrok áltl lehessen eszközölni, (együk: honnn lesz : sin 8 sin y.. *>= sinb-p + ) '> ' ' ' " kkor fentebbi egyenlet ezzé válik:.. sin p sin y = tgcp. sin (j p -)- ) Cos (2 x y p ) = cos (y p ) tgq> sin (y /? -f" ), vgy, h tgcf-1 felbontjuk, rövid összehúzás után végre lesz: Cos n (2 r j y 8 4-) l \ cos (qp -f f 1 +! -- ) :... 2) cos q) A számítás rendje tehát ez: először 1) egyenletet kell feloldni, ez dj <j> szöget, zután 2) egyenletet, ez dj 2; y p -j- «szöget, melyből z ; értéke önként következik. Minthogy pedig minden cosinusoknk leglább két szög felel meg, bizonytlnság elhárítás végett meg kell jegyeznünk, hogy x <^y. vgy: 2) Legyen ismét kiindulási egyenlet: sin p sin y = sin (y j) sin (/? j). Cl Tudnivló, hogy cos (m v) =r cos u cos v -j- sin u sin v, Ezeket egymásból levonván, lesz : cos (u -)- u) = cos u cos v sin u sin v. cos (m v) cos (m 2 sin u sin v. sin u síq v [cos (u v) cos (w-j-o)]. Legyen most u y j, v ((3 «j), kkor fentebbi egyenlet ezzé válik : sin fi sin y ^- cos [(y j) (fi j)] cos [(y x) -}-(/? «j)] j ; vgy z összehúzást véghezvivén, lesz: sin (t sin y = cos {y /?-)-«) cos (y -j- p «2 j), s minthogy = 5*

4 82 cos (7-)- C> n 2x) = cos (2? y fi -)- «), z egyenlet z előbbi feloldás eredményével egészen zonos lesz. 3) A feldtot grphici úton következőképen lehet feloldni. Miután C pontbn D felé irányvonl húztott, állítsuk fel z sztlt 1) pontbn, z sztlnk egy olyn pontját válsztván központosítás végett, mely szemmérték szerint kei-esett D' pontnk z sztlon megfelel, z sztlt szbd szem után tájékozván. H most z A', B' pontokon keresztül mezei A és B pontok felé irányvonlkt huzunk, egy metszéspontot cí fogunk tlálni, mely z A', B', D' pontokon keresztül gondolt kör krimájábn fekszik. Mert z iránysugárok mezei y szöget zárván be egymás közt, ezen szög csúcs csk nevezett kör körületében fekhetik. Eztítán fordítsuk z sztlt egy pár csvrfordítássl s huzzunk újból sugárokt z A' B' pontokon keresztül A és B felé ; ezek ismét fentebbi kör körületében cí'-ben metszik egymást. H most ezen két pontot (I, d' egymássl összekötjük, z összekötő vonl C'-ből D felé húzott sugrt D' pontbn fogj metszeni, s ez nnál tökéletesebben fogj z álláspont képét szolgálttni, minél közelebb vnnk d és d' pontok sugárhoz, mert nnál inkább összeesik körivecske húrrl. Hogy ez kellő pontossággl beteljesedjék, z egészen mérnök kényétől függ, mert z sztlt mindig úgy fordíthtj, hogy metszéspontok sugár két oldlán egymáshoz közel essenek, s ekkor feloldástól elválszthtln külpontossági hibácskák gykorltr nézve semmi jelentőséggel nem birnk. 4) A feldt, első pillntr úgy látszik, minth igen ritk esetekben jöhetne elő gykorltbn, minthogy zon eset, midőn egy pontból egy másik látszik, de onnn vissz nem lehet látni, légritkábbk közé trtozik. Azonbn ezen feltevés nem lényeges sjátság feldtnk. Igen sokszor megtörténhetik, hogy C pont láthtó voln ugyn D-ből, de nincsen kitűzve, vgy bbn rúd olyn görbén áll, hogy z irányzás, illetőleg tájékozás C felé nem biztos. Igen sokszor előfordul továbbá zon eset, hogy mérnök egy álláspontból, p. o. C, egy egész dűlőt metszett, de néhány pont nem látszott, kénytelen tehát egy más pontot D, z előbbitől nem igen távol, p. o. csk távolságbn kitűzni, s ezen pont felé irányvonlt is húzni, ürvonlkákkl együtt, zon szándékkl, hogy bbn z sztlt G felé vissztájékozz. Tudjuk mindnyájn, hogy tájékozás egy közel lévő pont felé nnál bizonytlnbb, minél rövidebb tájékozási vonl, s minél távolbb vnnk zon álló pontok, melyekből oldlt kell pontot metszeni. A metszéspont tehát nem sikerül, nem zért, minth húzott irányvonl hibás voln, hnem zért, mert tájékozás rossz. Ezen esetben tehát távol lévő

5 83 két oldlpontból z előbbi eljárás szerint d és d' pontokt kell meghtározni, s ezekből zután D' pontot keresni. Ezen pontot most A', vgy B'-vel összekötvén, legkedvezőbb tájékozási vonlr teszünk szert, s hib-háromszög elenyészik. Látnivló, hogy ezen esetbn feldt z úgynevezett hátrmetszést pótolj, és közvetlenebb módon vezet czélhoz, mint hátrmetszés. Ide járul még zon körülmény is, hogy h hátrmetszés feldtábn z dott báromszög igen hosszú és keskeny; D pont pedig zon térbe esik, mely háromszög leghosszbb oldl és z A, B, C pontokon keresztül gondolt kör krimáj közt fekszik: tájékozási vonl rövid volt mitt hátrmetszés ritkán sikerül. Ekkor ezen új mód bizton czélhoz vezet, mert ebben tájékozást mindig legtávolbb fekvő oldlpont felé lehet intézni, s kedvezőtlen körülmények elhárítttnk.

Hasonló dokumentumok

1. feladat Oldja meg a valós számok halmazán a következő egyenletet: 3. x log3 2

1. feladat Oldja meg a valós számok halmazán a következő egyenletet: 3. x log3 2 A 004/005 tnévi Országos Középiskoli Tnulmányi Verseny második fordulójánk feldtmegoldási MATEMATIKÁBÓL ( I ktegóri ) feldt Oldj meg vlós számok hlmzán következő egyenletet: log log log + log Megoldás: