1. előadás: Bevezetés. Számonkérés. Irodalom. Valószínűségszámítás helye a tudományok között. Cél

Átírás

1 Valószíűségszámítás 1 előadás mat. BSc alk. mat. szakráyosokak 2016/ félév Zemplé Adrás zemple@ludes.elte.hu 1. előadás: Bevezetés Irodalom, követelméyek A félév célja Valószíűségszámítás tárgya Törtéet Alapfogalmak Valószíűségek kszámítása Irodalom Hagyomáyos jegyzet: Barót-Bogáré-Fejes Tóth-Mogyoród: Valószíűségszámítás jegyzet programozó szakos hallgatókak Taköyvek: Prékopa: Valószíűségelmélet Solt: Valószíűségszámítás Pál: A valószíűségszámítás és a statsztka alapja I-II Réy: Valószíűségszámítás Dekger: Valószíűségszámítás Példatár: Bogáré-Mogyoród-Prékopa-Réy-Szász: Valószíűségszámítás feladatgyűjteméy (TYPOTEX kadó, 2001) Arató-Prokaj-Zemplé: Valószíűségszámítás elektrokus jegyzet ( Segédayag: ez a vázlat a holapomo Számokérés Gyakorlatok gyakorlat jegy: csoportokét zh-k alapjá Vzsga: kombált írásbel és szóbel, később egyeztetedő dőpotba Cél Valószíűségszámítás alapjaak megsmerése Alapfogalmak készségsztű smerete Feladatmegoldás készség kalakítása (elsősorba gyakorlato) Alkalmazás lehetőségek bemutatása Matematka statsztka megalapozása Valószíűségszámítás helye a tudomáyok között Matematka tudomáy, mert precíze megfogalmazott axómáxra épül. Gyakorlat alkalmazása: statsztka következtetések levoása (pl.: ha egy érmével 1000 dobásból 550 fej jött k, akkor 99.9% valószíűséggel állítható, hogy az érme em szabályos). 1

2 Törtéet áttektés 1. Első smert feladat 1494-ből: játék dő előtt abbahagyása eseté hogya osztozzaak? Helyes megoldás több, mt 100 évvel később: Pascal ( ), Fermat ( ) Köye adható szmulácós megoldás (precíz számítás a gyakorlato) Cardao (1540 körül) köyvet írt a kockajátékokhoz kapcsolódó valószíűségszámítás kérdésekről Törtéet áttektés 2. de Mére lovag kérdése: Egy kockával égyszer dobva előyös arra fogad, hogy lesz hatos, de 2 kockával 24-szer dobva már em előyös arra fogad, hogy lesz (6,6) a dobások között. Megoldás: Pascal, Fermat (1654) Huyges (1657): Az első valószíűségszámítás köyv de Wtt, Halley (1671): életjáradék-számítás valószíűség alapo Törtéet áttektés 3. Jacob Beroull (1713): Ars Cojectad (agy számok törvéye) XVIII-XIX. sz: Movre, Bayes, Gauss, Posso Buffo: geometra valószíűség bevezetése paradoxook XIX.sz: Csebsev, Markov, Ljapuov Törtéet áttektés 4. Axomatzálás: Kolmogorov (1933) Moder alkalmazások: Iformácóelmélet (Shao) Játékelmélet (Neuma) Matematka statsztka (Fsher) Sztochasztkus folyamatok Magyar tudósok: Jordá Károly ( ) Réy Alfréd ( ) Véletle kísérletek Olya kísérletekkel foglalkozuk, amelyek eredméyét em tudjuk előre bztosa megmoda (kockadobás, lottóhúzás, meteorológa, tőzsde eseméyek stb). Az összes lehetséges eredméy: eseméytér. Alapfogalmak Eseméytér Kísérlet egy lehetséges kmeetele: elem eseméy, jelölése ω. Elem eseméyek összessége: eseméytér, Ω. Ω részhalmaza: eseméyek (A,B,C,...). Eseméy akkor következk be, ha az őt alkotó elem eseméyek valamelyke bekövetkezk. 2

3 Példák Kockadobás: Ω={1,2,,6}. Ha az A eseméy: páros számot dobtuk, akkor A={2,4,6}. Érmét kétszer feldobva: Ω={II,IF,FI,FF} A={II,IF} az az eseméy, hogy az első dobás írás. dolog véletle sorbaredezéséél Ω az összes sorredből áll (! elemű) Érmét addg dobuk, míg fejet em kapuk. Ω={F,IF,IIF,...,ω } ahol ω =III. (azaz mde dobás írás) Eseméyek Eseméy: Ω részhalmaza Specáls eseméyek: Ω (bztos eseméy) (lehetetle eseméy) Az eseméyek összessége: A (halmazredszer Ω részhalmazaból) Műveletek eseméyekkel: szokásos logka műveletek = halmazműveletek Műveletek eseméyekkel Tulajdoságok AB: vagy A vagy B bekövetkezk (az s lehet, hogy mdkettő) Általáosítható (sőt végtele sok) eseméyre AB: A és B s bekövetkezk Ez s általáosítható (sőt végtele sok) eseméyre A eseméy elletettje: A A \ B A B A B A B (De Morga) A A Példák Valószíűség Kockadobás: A={páros számot dobuk} B={legalább 3-ast dobuk} AB={4,6} AB={2,3,4,5,6} A\B={2} A={1,3,5} Szemléletes megfelelője: relatív gyakorság. Ha egymástól függetleül, azoos körülméyek között végrehajtott kísérletből az adott A eseméy k-szor következett be, akkor a relatív gyakorság k/. Nagy -re a relatív gyakorság egy fx szám körül gadozk: ezt evezzük az A valószíűségéek.kocka-kísérlet 3

4 A valószíűség Jele: A relatív gyakorság tulajdoságaból: Nemegatív: mde A-ra Egymást kzáró eseméyekre, azaz, ha : A (addtvtás) Ω)=1 (Ω, A,P): valószíűség mező A B 0 Tulajdoságok 1. Addtvtás eseméyre: ha A 1, A 2,..., A párokét kzáró eseméyek, akkor A1 A2... A ) A1 ) A2 )... A ) Bzoyítás: dukcóval. )=0. Bzoyítás: Ω= Ω felbotásból és az addtvtásból Tulajdoságok 2. A \ A Bzoyítás: A= (A (A\ felbotásból és az addtvtásból A A Bzoyítás: AB= B (A\ felbotásból, az addtvtásból és az előző tulajdoságból. Eseméyek uójáak valószíűsége A A Példa: Magyar kártyacsomagból kétszer húzuk vsszatevéssel. M a valószíűsége, hogy húzuk prosat? A: első pros, B: másodk pros ==1/4, A=1/16 Tehát A=7/16 A B C) C) A AC) B C) A B C) Szta (Pocaré) formula Képlet az általáos esetre: 1 A A... A ) ( 1 S ahol S ( ) 1 2 ) 1 ( Aj A 1 j2 1 j1 j2... j... A az téyezős metszetek valószíűségeek összege. P ( ) j ) Eseméytér Nem mdg lehet mde AΩ eseméy (pl. agy megszámlálhatóál agyobb Ω eseté) Ahhoz, hogy e vezesseek k a halmazműveletek az A eseméy-redszerből, a megfelelő struktúra: σ-algebra. Tul.: 1. Ω A 2. A A A A (azaz A zárt a komplemeterképzés műveletére) 3. A zárt a megszámlálható uó műveletére 4

5 Példák σ-algebrák A ={,Ω} A A ={,A,, Ω} Ω mde részhalmazából álló halmazredszer (hatváyhalmaz, P (Ω)) Nem σ-algebra: N (a természetes számok) véges és véges komplemeterű halmaza Kolmogorov-féle valószíűség mező (Ω, A,P): Kolmogorov-féle valószíűség mező, ha Ω emüres halmaz A az Ω részhalmazaak σ-algebrája P : A [0,1] halmazfüggvéy (valószíűség), melyre teljesülek 1. P (Ω)=1 2. σ-addtvtás: ha A 1, A 2,..., párokét kzáró eseméyek, akkor P A A...) A ) A )... ( Véges valószíűség mező Ω={ω 1, ω 2,,ω }, A= P (Ω). Jelölés: p =P (ω ). p 1 1 az addtvtásból. ) ) 1 : A ) : A Azaz a p emegatív, 1 összegű számok meghatározzák a valószíűséget. p Klasszkus valószíűség mező 1 p =1/ mde -re (azoos valószíűségűek az elem eseméyek). k Ekkor ahol k az A elemszáma, pedg az összes esetszám. Másképpe: =kedvező esetek száma/ összes esetszám. Klasszkus valószíűség mező 2 A klasszkus valószíűség mező alkalmazása előtt mdg meg kell győződ a feltételekről! Példa: születésap Sokág a valószíűséget általába s így próbálták defál, de ez em fed le mde esetet. Vsszatevéses mtavétel N termék, melyből M selejtes elemű mta vsszatevéssel A: potosa k selejtes va a mtába k k (k=0,,) M M 1 k N N azaz a valószíűség kfejezhető a p=m/n selejtaráy segítségével: p k p 1 k k Mtavétel 5

6 Vsszatevés élkül mtavétel N termék, melyből M selejtes elemű mta vsszatevés élkül A: potosa k selejtes va a mtába (k=0,,) Mtavétel M N M k k P ( N Tovább lehetőségek Elektrook eerga-sztek között megoszlása, Bose-Este statsztka: A lehetőségek száma ( db em megkülöböztethető részecske, k eerga-szt), a lehetséges elredezések száma: k 1 w(, k) 6