Menet. A klasszikus interpretáció. Condorcet kockák, De Mére probléma Pétervári paradoxon
|
|
- Katalin Elvira Hegedűs
- 6 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 1Valószínűség
2 Menet Történeti megjegyzések 2 A klasszikus interpretáció Nevezetes Példák Condorcet kockák, De Mére probléma Pétervári paradoxon
3 Történeti megjegyzések A valószínűségszámítás a hazárdjátékok leírásának igényéből fejlődött ki: 3 Az első véletlen-generátorok a történelem előtti időkig nyúlnak vissza astralagus (báránycsont) hazárdjáték az első emberi tevékenységek között? egyiptomi (hazárd)játék pont-táblázatok jól kiegyensúlyozottak kockák a Kairói Múzeumban Tróját ostromló görög katonák kockáztak Érdekes: Görögöknél nincs kísérlet a véletlen jelenséget leíró matematika megalkotására Miért? nincs jó magyarázat
4 Középkor: osztozkodási probléma: (XIV. sz.-ban először említve): Ketten (A, B) játszanak véletlen (azonos esélyű) játékot Megállapodás: Az viszi a tétet aki először nyer N játékot 4 Probléma: hogy osszák a tétet, ha azelőtt befejeződik a játék, mielőtt bármelyik játékos N játékot nyer? Pl. N = 6 A nyer 5 B nyer 3 játékot (Tartaglia, 1556)
5 5 Lehetséges osztozkodások: 5:3 arányban 2:1 arányban mert: A kettővel nyert többet mint B a 2 a szükséges nyerésszám (6) harmada a tét harmada tehát mindenképpen A-t illeti a maradékot pedig osszák egyenlően
6 Egy ilyen kérdés megoldása inkább jogi mint matematikai, s így bármilyen módon osztják is el a tétet, mindig lesz ok a pereskedésre 6 N. Tartaglia: Feneral Trattato de Numeri et Misure (Venice, 1556) Idézve: O. Ore: Pascal and the invention of probability theory American Mathematical Monthly
7 Az osztozkodási probléma 200 évig megoldatlan maradt 7 Végső megoldása: Pascal-Fermat (1654): Osszuk 7:1 arányban! Érvelés: Osztozkodás aránya Annak aránya, hogy milyen valószínűséggel nyeri A és B a tétet
8 Mi az, hogy valószínüség? Válasz klasszikus értelemben: 1. Ha az x 1, x 2,... x n elemi események várhatóan egyenlő eséllyel következnek be egy kísérletsorozatban, akkor 2. egy N kísérletből álló sorozatban bármelyik esemény N 1 n-szor következik be 8 Az a p(x i ) szám, amelynek segítségével N p(x i ) alakban írható, hogy x i esemény N kísérletből hányszor következik be: az x i elemi esemény valószínüsége: N p(x i ) = N 1 n így p(x i ) = 1 n
9 Az x 1, x 2,... x n elemi események egy A részhalmazát össszetett eseménynek hívjuk Egy A összetett esemény bekövetkezik, ha bármely A-ban szereplő elemi esemény bekövetkezik Az a szám, amelynek segítségével N p(a) alakban írható, hogy egy A összetett esemény N kísérletből hányszor következik be: az A esemény valószínüsége: 9 így szavakban: N p(a) = N A elemszáma n p(a) = #(A) n valószínűség = = x i A p(i) kedvező esetek száma összes esetek száma
10 Pl. Mi a valószínűsége, hogy két pénzt dobva két fejet kapunk? Klasszikus interpretáció alapján a válasz: kedvező esetek: (F, F ) összes esetek: 1. két fej két írás 3. egy fej, egy írás összesen: 3 eset p(f, F ) = 1 3
11 Laplace: p(f, F ) = mert: Az esetek összeszámlásánál olyan eseteket kell tekinteni, melyek között nincs okunk különbséget tenni Indifferencia Elve
12 Az osztozkodási probléma megoldása valószínűségszámítási megközelítésben: A játék biztosan eldől a következő 3 játékban 3 játéknak 2 3 = 8 lehetséges kimenetele van Az A szempontjából való kimenetelek (1=győzelem, 0= veszteség): 12 Játék Ebből az egyetlen ( ) eset kivételével (azaz ha B a következő mindhárom játékban győz) tehát 7 esetben A nyeri a tétet
13 A valószínűségszámítás születése: Pascal-Fermat levelezés 1654 Fordulópont a történetben mert Szisztematikusan közelít a valószínűségszámítási problémákhoz 13 Tartalmazza több lényeges valószínűségszámítási probéma szisztematikus megoldását (osztozkodási probéma, De Mére probléma) Új, magas matematikai szinten mozog (osztozkodási probéma általános megoldása)
14 A.N. Kolmogorov: Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung Springer Verlag, Berlin, 1933 A modern valószínűségszámításaxiomatikus megfogalmazása 14 valószínűségszámítás (X, S, p) Klasszikus valószínűségi mértéktér Kolmogorovi valószínűségi mező
15 X halmaz S Boole algebra X részhalmazaiból p: S [0, 1] additív mérték p( ) = 0 p(x) = 1 2. p(a ) = 1 p(a) 3. p( i A i ) = i p(a i) if A i A j = (i j)
16 Példa: Kockadobást leíró valószínűségi mértéktér: 16 X 6 = {1, 2,... 6} 6 elemű halmaz (elemi események) S = P(X 6 ) X 6 összes részhalmazainak Boole algebrája ((összetett) események) p({i}) = 1 6 (i = 1, 2,... 6) i valószínűsége p(a) = i A p(i) A valószínűsége
17 A klasszikus interpretációban Van értelme megkérdezni, (mert számítható, hogy) mi egy esemény valószínűsége 17 A számítás jellegzetesen a következőket igényli: 1. Megválaszolni a kérdést Mik az elemi események? 2. Egy A összetett esemény verbálisan adott leírásából azt megállapítani, hogy A-t hány elemi esemény valósítja meg
18 Példák a klasszikus értelmezésre: 18 Condorcet kockák Pétervári paradoxon De Mére probléma
19 Condorcet kockák Két játékos a következő játékot játsza: Asztalon 3 számozatlan kocka Lépés: valamelyik játékos megszámozza a kockákat az 1-18 számokkal mindegyik számot, és csak egyszer, de egyébként tetszőlegesen rajzoljuk a három kockára 2. Lépés: Aki nem számozott, megnézi a számozott kockákat és választ egyet 3. Lépés: Aki számozott, választ egyet a maradék két kockából 4. Lépés: A harmadik kockát félreteszik, és dobnak az általuk választott kockával 5. Lépés: Az nyer, aki nagyobbat dob
20 Kérdés: 20 Melyik játékosnak van előnye a játékban? Annak aki számoz, vagy annak aki először választ?
21 21 Intuíció: Annak a játékosnak van előnye a játékban aki először választ mert ki tudja választani a legjobb kockát (legrosszabb esetben döntetlent tud elérni, ha két egyformán jó kocka van)
22 Az Intuíció rossz: Annak a játékosnak van előnye, aki számoz, mert: Állítás: Létezik a kockáknak olyan számozása, melyre a következő igaz: 22 Annak valószínűsége, hogy az I. kockával nagyobbat dobok mint a II. kockával > 1 2 a II. kockával nagyobbat dobok mint a III. kockával > 1 2 a III. kockával nagyobbat dobok mint az I. kockával > 1 2 A Condorcet kockák körbeverik egymást
23 Ez a számozás ilyen: 23 I. kocka II. kocka III. kocka
24 A valószínűség klasszikus értelmezésében a Tétel ellenőrzéséhez 24 meg kell adni minden valószínűségi kijelentéshez az elemi események halmazát azt kell megmutatni, hogy az elemi események között pl. az I. kockával nagyobbat dobok mint a II. kockával események többségben vannak
25 25 Elemi események: X = {(a I, a II )} a I az I.-es kockán a II a II.-es kockán lévő szám X-nek 36 eleme van I. kocka a I II. kocka a II
26 p(a I > a II ) = #{(a I,a II ):a I >a II } a I a II a II (< a I ) #{(a I, a II ) : a I > a II } ,16,15,4,3,2 6 pár ,3,2 3 pár ,3,2 3 pár 8 4 4,3,2 3 pár 7 3 4,3,2 3 pár 5 2 4,3,2 3 pár összesen 21 pár p(a I > a II ) = #{(a I,a II ):a I >a II } 36 = 21 36
27 Condorcet paradoxon 27 Egy tanulság: Véletlen mennyiségeket nem lehet jól rendezni annak alapján, hogy az egyik 1/2-nél nagyobb valószínűséggel nagyobb mint a másik
28 A várható érték fogalma Játsszuk azt, hogy 2 Ft-ot kapok, ha Fejet (F), és 3 Ft-ot, ha írás (I) a dobás 28 A nyereményemet egy f függvény írja le: f(f ) = 2 (1) f(i) = 3 (2)
29 Ha N dobásból N F a fej és N I az írások száma (N = N F + N I ), akkor N dobás után a nyereségem 29 Nyereség : N F f(f ) + N I f(i) = ( NF f(f ) + N I f(i) ) N = N ( NF N f(f ) + N ) I N f(i) N = ( ) p(f )f(f ) + p(i)f(i) N } {{ } <f> < f > az f várható értéke, az átlagos nyereség: N < f > adja meg, hogy N kísérletben mennyit nyerek
30 Játsszuk a következő játékot: 30 Bank engedi Játékost pénzzel dobni amíg Játékos az első fejet dobja. Ha ez az n-edik dobásban következik be, akkor 2 n forintot fizet a Bank a Játékosnak Kérdés: Hány forintért érdemes a Banknak ezt a játékot árulni úgy, hogy ne veszítsen az üzleten? Nyilván: annyiért, hogy a bank vesztesége (amit kifizet Játékosnak) kisebb legyen mint a nyeresége amit beszed Játékostól
31 Számítsuk ki a Bank veszteségét! A Bank vesztesége N játékban N < f > ahol f a veszteséget leíró függvény: f(i) = 2 i 31 Mivel p(i) = 1 2 (mert az i-edik dobásig a dobásoknak 2 i számú i kimenetele van, ebből csak 1 az az eset, amikor az i-edikben következik be először a fej), ezért: < f > = p(1)f(1) + p(2)f(2) +... p(i)f(i) +... = i 2i +... = = Nincs az a pénz amiért a Banknak megéri ezt a játékot árulni! Pétervári paradoxon
32 Módosított játék: Érdemes-e (és ha igen mennyiért) árulni a Banknak a játákot, ha a Játékosnak kifizetett összeg felső határa 1 000, 000 (egy millió) Ft? A veszteség várható értéke az új játékban (mivel 2 20 > 1000, 000) 32 < f > = p(1)f(1) + p(2)f(2) +... p(19)f(19) + ( ) = Ft-ért árulva a Bank már nyereséggel számolhat!
33 De Mére probéma: A = Egy kockával 4-szer dobva legalább 1-szer 6-ost dobunk p(a) =? X = {(i, j, k, l) : i, j, k, l = 1, 2,... 6} #(X) = A = Egyszer sem tobunk 6-ost négy dobásból A bekövetkezhet 5 4 féleképpen p( A) = #( A) 6 4 = p(a) = 1 p( A) =
34 B = Két kockával 24-szer dobva legalább 1-szer dupla 6-ost dobunk p(b) =? Ugyanannyi mint 1 kockával 4-szer dobva legalább 1-szer 6-os mert 34 az 1 kockával 1-szer 6-os dobás valószínűségge 1 6 a két kockával 1-szer dobva dupla 6-ost dobunk valószínűségge 1 36 = de a 24 dobás épp annyiszor több, amennyiszer kevesebb a dupla hatos dobásának valószínűségge és ez kompenzálja a kisebb valószínűséget.
35 De Mére problémája: Hogyan lehetséges, hogy a nyilvánvalónak tűnő okoskodás nem igaz? Mert nem igaz: X = {(i m, j m ) : i m, j m = 1, 2,... 6, m = 1, 2,... 24} #(X) = B = Egyszer sem tobunk (6,6)-ost 24 dobásból B bekövetkezhet féleképpen p( B) = #(B) 3524 = p(b) = 1 p( B) = p(b) < 1 2 < p(a)
36 De Mére prob léma pontosabban: 36 Hogyan lehetséges, hogy nem a 24 az a minimálisan szükséges (kritikus) dobásszám, ami ahhoz kell, hogy legalább akkora valószínűséggel dobjunk legalább egy dupla hatost, mint amekkora valószínűséggel legalább 1 hatost dobunk 1 kockával 4-szer dobva Pascal-Fermat: úgy lehetséges, hogy ez az eredény adódik, ha a valószínűségeket pontosan kiszámoljuk a klasszikus értelmezés szerint
37 Relatív gyakorisági interpretáció R. von Mises Először a sokaság azután a valószínűség! Minden (X, S, p)-hez tartozik egy Részletesebben (de informálisan): 37 E = {x i : i IN, x i X} (megszámlálhatóan végtelen) esemény sokaság úgy, hogy p(a) = R E (A) = az A relatív gyakorisága E-ben (minden A S esetén) Az E sokaság véletlen: kiválasztva E-nek egy E rész sokaságát, A relatív gyakorisága E -ben ugyanaz mint E-ben: p(a) = R E (A) = R E (A)
38 A relatív gyakorisági interpretációban tisztázandó, részletezendő: Hogyan értelmezendő A relatív gyakorisága egy végtelen sokaságban? Könnyű 38 Hogyan választjuk ki az E részsokaságokat? Nehezebb Létezik-e minden (X, S, p)-hez egy őt interpretáló E sokaság? Legnehezebb minél több E részsokaságot választhatunk, annál nehezebb
39 Részsokaság választás: hely szerinti szelekcióval: (Place selection) 39 Gondolat: Az, hogy az x j E elemet beválasztjuk-e E -be, függjön attól (és csak attól), hogy mik az x j elemet megelőző elemek E-ben, azaz létezzen minden j-re egy f j függvény úgy, hogy x j E akkor és csak akkor ha f j (x 1, x 2,... x j 1 ) = 1 x j E akkor és csak akkor ha f j (x 1, x 2,... x j 1 ) = 0
40 Tehát: E-nek egy hely szerinti szelekcióval meghatározott E rész sokasága megszámlálhatóan végtelen sok függvénnyel van adva: egy szelekció = {f j : 1 X 2 X... j 1 X {0, 1} : j = 2, 3...} 40 Ha egy E véletlen sokságból ki tudunk választani egy E rész sokaságot hely szerinti szelekcióval úgy, hogy p(a) = R E (A) R E (A) akkor azt mondjuk: Létezik nyerő stratégia
41 Az a követelés, hogy p(a) = R E (A) = R E (A) azt jelenti, hogy az a stratégia amivel E -t kiválasztottuk nem nyerő 41 Lehetséges, hogy p(a) = R E (A) = R E (A) de p(a) = R E (A) R E (A) Intuició: a valószínűségszámítás azokban az esetekben alkalmazható, amikor az elképzelhető stratégiák egyike sem nyerő
42 Definíció: Legyen Γ hely szerinti szelekciók (stratégiák) egy halmaza. Az E sokaság egy Γ véletlenségű relatív gyakorisági interpretációja az (X, S, p)-nek, ha p(a) = R E (A) minden A S esetén 42 p(a) = R E (A) minden olyan E sokaságra, mely E-ből a Γ-ba tartozó valamely hely szerinti szelekcióval (stratégiával) származik Világos: minél nagyobb Γ (minél több stratégiára vonatkozóan követeljük a a sikertelenséget, azaz minél naggyobb a véletlensége a sokaságnak), annál kevésbé nyilvánvaló, hogy létezik Γ véletlenségű relatív gyakorisági interpretációja egy (X, S, p)-nek Probléma: Létezik-e minden (X, S, p)-nek elég erős véletlenségű relatív gyakorisági interpretációja?
43 Tétel [Abraham Wald, 1935] : 43 Legyen X véges vagy megszámlálhatóan végtelen. Ha Γ legfeljebb megszámlálhatóan végtelen, akkor létezik (X, S, p)-nek kontinuum sok Γ véletlenségű relatív gyakorisági interpretációja bármely p: S [0, 1] esetén. Wald tétele érvényes bizonyos nem megszámlálhatóan végtelen X esetén is (pl. X = IR, S = Jordan mérhető valós számhalmazok), de nem érvényes minden megszámlálhatóan végtelen X esetén (pl. pl. X = IR, S = Lebesgue mérhető valós számhalmazok )
44 A szubjektív interpretáció 44 p(a) Egy konkrét személy arra vonatkozó várakozás ának mértéke (hitének foka) hogy az A esemény bekövetkezik (degree of belief) Megjegyzések p(a) változ(hat)(ik) személyről személyre p(a) változ(hat)(ik) időben A egyedi, ismételhetetlen esemény is lehet (ellentétben a relatív gyakorisági interpretációval)
45 Probléma: Egy személy várakozásának mértéke miért viselkedne úgy mint a valószínűség? 45 Válasz: Általában nem is viselkedik úgy, csak akkor, ha a személy racionális Ramsey-deFinetti tétel
46 Hogyan lehet egyáltalán megállapítani, hogy mik egy személy várakozásának mértékei? 46 Gondolat: Fogadási szituációban: p(a) = fogadási hányados = q(a) amellyel hajlandó a Fogadó fogadást kötni az alaábbi feltételek szerint: Fogadó megadja a q(a) fogadási hányadost Bookmaker megadja a tétet S(A) Fogadó fizet Bookmékernek q(a)s(a) összeget azért a jogért, hogy S(A) összeget kapjon, ha A bekövetkezik (és nem kap semmit, ha A következik be)
47 Fontos: Először Fogadó adja meg q(a)-t, utána Bookmaker a tétet (Fogadó nem tudja a tétnek még az előjelét sem amikor q(a)-t megadja) 47 Ha fordítva lenne (először S(A) azutan q(a)), akkor Fogadó tudná úgy adni q(a)-t, hogy számára előnyös legyen a fogadás Pl. Ha Fogadó tudja/sejti, hogy nagyon valószínű A bekövetkezése, akkor ha Bookmaker pozitív tétet ad A-ra, akkor q(a)-t nagyon kicsinek fogja választani ha Bookmaker negatív tétet ad, akkor nagyra (> 1) választja q(a)-t
48 48 Definició: A Fogadó q(a 1 ), q(a 2 ),... q(a n )... fogadási hányadosai koherensek ha Bookmeker nem tud úgy téteket választani, hogy mindenképpen Bookmeker nyer, bármelyik esemény is következik be A 1, A 2,... A n... közül A koherencia egy racionalitási kritérium: megsértése irracionális
49 Koherencia ekvivalens megfogalmazása: 49 Fogadó Dutch Bookolható, ha olyanok a fogadási hányadosai, hogy Bookmaker tud úgy téteket választani, hogy mindenképpen Bookmaker nyer, bármelyik esemény is következik be Dutch Bookolhatóság = irracionalitás
50 Tétel Ramsey-deFinetti tétel 50 Ha egy Fogadó q(a 1 ), q(a 2 ),... q(a n )... fogadási hányadosai egy S Boole algebrát alkotó A 1, A 2,... A n... eseményekre vonatkozóan koherensek akkor (és csak akkor) létezik egy p valószínűségi mérték S-en úgy, hogy p(a i ) = q(a i ) minden i-re Röviden: Fogadási hányadosok akkor és csak akkor koherensek, ha valószínűségek A Ramsey-deFinetti tétel szokásos értelmezése: Megalapozza a valószínűség szubjektív interpretációját
51 Melyik interpretáció a jó? Valószínűleg olyan kérdés mint: Az euklideszi geometria egyenesének mi az interpretációja? Fényjel? Mozgásában nem zavart test pályája? Nádpálca? 51 Az euklideszi geometria mint matematikai elmélet több, különböző jelenségkör modellezésére alkalmas hasonlóan a (X, S, p) valószínűségszámításhoz
1. tétel. Valószínűségszámítás vizsga Frissült: 2013. január 19. Valószínűségi mező, véletlen tömegjelenség.
1. tétel Valószínűségszámítás vizsga Frissült: 2013. január 19. Valószínűségi mező, véletlen tömegjelenség. A valószínűségszámítás tárgya: véletlen tömegjelenségek vizsgálata. véletlen: a kísérlet kimenetelét
Részletesebben1. A kísérlet naiv fogalma. melyek közül a kísérlet minden végrehajtásakor pontosan egy következik be.
IX. ESEMÉNYEK, VALÓSZÍNŰSÉG IX.1. Események, a valószínűség bevezetése 1. A kísérlet naiv fogalma. Kísérlet nek nevezzük egy olyan jelenség előidézését vagy megfigyelését, amelynek kimenetelét az általunk
RészletesebbenPélda a report dokumentumosztály használatára
Példa a report dokumentumosztály használatára Szerző neve évszám Tartalomjegyzék 1. Valószínűségszámítás 5 1.1. Események matematikai modellezése.............. 5 1.2. A valószínűség matematikai modellezése............
RészletesebbenAz ész természetéhez tartozik, hogy a dolgokat nem mint véletleneket, hanem mint szükségszerűeket szemléli (Spinoza: Etika, II. rész, 44.
Dr. Vincze Szilvia Az ész természetéhez tartozik, hogy a dolgokat nem mint véletleneket, hanem mint szükségszerűeket szemléli (Spinoza: Etika, II. rész, 44. tétel) Környezetünkben sok olyan jelenséget
RészletesebbenBIOMATEMATIKA ELŐADÁS
BIOMATEMATIKA ELŐADÁS 7. Bevezetés a valószínűségszámításba Debreceni Egyetem, 2015 Dr. Bérczes Attila, Bertók Csanád A diasor tartalma 1 Bevezetés 2 Definíciók, tulajdonságok Példák Valószínűségi mező
RészletesebbenFeladatok és megoldások az 1. sorozat Építőkari Matematika A3
Feladatok és megoldások az 1. sorozat Építőkari Matematika A3 1. Tegyük fel, hogy A és B egymást kölcsönösen kizáró események, melyekre P{A} = 0.3 és P{B} = 0.. Mi a valószínűsége, hogy (a A vagy B bekövetkezik;
RészletesebbenValószínűségszámítás összefoglaló
Statisztikai módszerek BMEGEVGAT Készítette: Halász Gábor Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Gépészmérnöki Kar Hidrodinamikai Rendszerek Tanszék, Budapest, Műegyetem rkp. 3. D ép. 334. Tel:
RészletesebbenMatematika III. 2. Eseményalgebra Prof. Dr. Závoti, József
Matematika III. 2. Eseményalgebra Prof. Dr. Závoti, József Matematika III. 2. : Eseményalgebra Prof. Dr. Závoti, József Lektor : Bischof, Annamária Ez a modul a TÁMOP - 4.1.2-08/1/A-2009-0027 Tananyagfejlesztéssel
RészletesebbenValószín ségszámítás és statisztika
Valószín ségszámítás és statisztika Informatika BSc, esti tagozat Backhausz Ágnes agnes@math.elte.hu fogadóóra: szerda 10-11 és 13-14, D 3-415 2018/2019. tavaszi félév Bevezetés A valószín ségszámítás
RészletesebbenFeladatok és megoldások a 8. hétre Építőkari Matematika A3
Feladatok és megoldások a 8. hétre Építőkari Matematika A3 1. Oldjuk meg a következő differenciálegyenlet rendszert: x + 2y 3x + 4y = 2 sin t 2x + y + 2x y = cos t. (1 2. Oldjuk meg a következő differenciálegyenlet
RészletesebbenMérhetőség, σ-algebrák, Lebesgue Stieltjes-integrál, véletlen változók és eloszlásfüggvényeik
Mérhetőség, σ-algebrák, Lebesgue Stieltjes-integrál, véletlen változók és eloszlásfüggvényeik Az A halmazrendszer σ-algebra az Ω alaphalmazon, ha Ω A; A A A c A; A i A, i N, i N A i A. Az A halmazrendszer
RészletesebbenVALÓSZÍNŰSÉG, STATISZTIKA TANÍTÁSA
VALÓSZÍNŰSÉG, STATISZTIKA TANÍTÁSA A VALÓSZÍNŰSÉGI SZEMLÉLET ALAPOZÁSA 1-6. OSZTÁLY A biztos, a lehetetlen és a lehet, de nem biztos események megkülünböztetése Valószínűségi játékok, kísérletek események
RészletesebbenNéhány kockadobással kapcsolatos feladat 1 P 6
Néhány kockadobással kapcsolatos feladat Feldobunk egy kockát. Az eseménytér: ; 2; ; ; ; Az összes esetek száma:. Feldobunk egy kockát. Mi a valószínűsége, hogy hatost dobunk? A kedvező esetek száma: (hatost
RészletesebbenValószín ségszámítás. Survey statisztika mesterszak és földtudomány alapszak Backhausz Ágnes 2018/2019.
Valószín ségszámítás Survey statisztika mesterszak és földtudomány alapszak Backhausz Ágnes agnes@cs.elte.hu 2018/2019. szi félév A valószín ségszámítás kurzus céljai a statisztika megalapozása: a véletlen
RészletesebbenFEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI
FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 3 III. VÉLETLEN VEKTOROK 1. A KÉTDIMENZIÓs VÉLETLEN VEKTOR Definíció: Az leképezést (kétdimenziós) véletlen vektornak nevezzük, ha Definíció:
RészletesebbenFEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI
FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 10 X. SZIMULÁCIÓ 1. VÉLETLEN számok A véletlen számok fontos szerepet játszanak a véletlen helyzetek generálásában (pénzérme, dobókocka,
RészletesebbenTananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűségszámítás,
// KURZUS: Matematika II. MODUL: Valószínűség-számítás 21. lecke: A feltételes valószínűség, események függetlensége Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűségszámítás,
RészletesebbenValószínűségi változók. Várható érték és szórás
Matematikai statisztika gyakorlat Valószínűségi változók. Várható érték és szórás Valószínűségi változók 2016. március 7-11. 1 / 13 Valószínűségi változók Legyen a (Ω, A, P) valószínűségi mező. Egy X :
RészletesebbenBiomatematika 2 Orvosi biometria
Biomatematika 2 Orvosi biometria 2017.02.13. Populáció és minta jellemző adatai Hibaszámítás Valószínűség 1 Esemény Egy kísérlet vagy megfigyelés (vagy mérés) lehetséges eredményeinek összessége (halmaza)
RészletesebbenValószínűségszámítás és statisztika
Valószínűségszámítás és statisztika Programtervező informatikus szak esti képzés Varga László Valószínűségelméleti és Statisztika Tanszék Matematikai Intézet Természettudományi Kar Eötvös Loránd Tudományegyetem
Részletesebben[Biomatematika 2] Orvosi biometria
[Biomatematika 2] Orvosi biometria 2016.02.15. Esemény Egy kísérlet vagy megfigyelés (vagy mérés) lehetséges eredményeinek összessége (halmaza) alkotja az eseményteret. Esemény: az eseménytér részhalmazai.
RészletesebbenValószínűségszámítás és statisztika a fizikában február 16.
számítás és statisztika a fizikában 2018. február 16. Technikai információk Palla Gergely / pallag@hal.elte.hu / ELTE TTK Biológiai Fizika Tanszék, Északi Tömb, 3.90. szoba Fogadó óra: hétfő, 16-18. Az
RészletesebbenMi az adat? Az adat elemi ismeret. Az adatokból információkat
Mi az adat? Az adat elemi ismeret. Tények, fogalmak olyan megjelenési formája, amely alkalmas emberi eszközökkel történő értelmezésre, feldolgozásra, továbbításra. Az adatokból gondolkodás vagy gépi feldolgozás
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 4 IV. FÜGGVÉNYEk 1. LEkÉPEZÉSEk, függvények Definíció Legyen és két halmaz. Egy függvény -ből -ba egy olyan szabály, amely minden elemhez pontosan egy elemet rendel hozzá. Az
RészletesebbenEseményalgebra. Esemény: minden amirl a kísérlet elvégzése során eldönthet egyértelmen hogy a kísérlet során bekövetkezett-e vagy sem.
Eseményalgebra. Esemény: minden amirl a kísérlet elvégzése során eldönthet egyértelmen hogy a kísérlet során bekövetkezett-e vagy sem. Elemi esemény: a kísérlet egyes lehetséges egyes lehetséges kimenetelei.
RészletesebbenFEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI
FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 4 IV. MINTA, ALAPsTATIsZTIKÁK 1. MATEMATIKAI statisztika A matematikai statisztika alapfeladatát nagy általánosságban a következőképpen
RészletesebbenMindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 1
Halmazok 1 Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 2 A fejezet legfontosabb elemei Halmaz megadási módjai Halmazok közti műveletek (metszet,
RészletesebbenMindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé.
HA 1 Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) HA 2 Halmazok HA 3 Megjegyzések A halmaz, az elem és az eleme fogalmakat nem definiáljuk, hanem alapfogalmaknak
RészletesebbenFunkcionálanalízis. n=1. n=1. x n y n. n=1
Funkcionálanalízis 2011/12 tavaszi félév - 2. előadás 1.4. Lényeges alap-terek, példák Sorozat terek (Folytatás.) C: konvergens sorozatok tere. A tér pontjai sorozatok: x = (x n ). Ezen belül C 0 a nullsorozatok
Részletesebbenismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az eredmény. A kérdés a következő: Mikor mondhatjuk azt, hogy bizonyos események közül
A Borel Cantelli lemma és annak általánosítása. A valószínűségszámítás egyik fontos eredménye a Borel Cantelli lemma. Először informálisan ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az
RészletesebbenSzámelméleti alapfogalmak
1 Számelméleti alapfogalmak 1 Definíció Az a IN szám osztója a b IN számnak ha létezik c IN melyre a c = b Jelölése: a b 2 Példa a 0 bármely a számra teljesül, mivel c = 0 univerzálisan megfelel: a 0 =
RészletesebbenA valószínűségszámítás elemei
Alapfogalmak BIOSTATISZTIKA ÉS INFORMATIKA A valószínűségszámítás elemei Jelenség: minden, ami lényegében azonos feltételek mellett megismételhető, amivel kapcsolatban megfigyeléseket lehet végezni, lehet
RészletesebbenMatematikai alapok és valószínőségszámítás. Valószínőségi eloszlások Binomiális eloszlás
Matematikai alapok és valószínőségszámítás Valószínőségi eloszlások Binomiális eloszlás Bevezetés A tudományos életben megfigyeléseket teszünk, kísérleteket végzünk. Ezek többféle különbözı eredményre
RészletesebbenA biomatematika alapjai és a kapcsolódó feladatok megoldása számítógép segítségével Abonyi-Tóth Zsolt, 2005-2006 készült Harnos Andrea, Reiczigel Jenő zoológus előadásainak valamint Fodor János és Solymosi
RészletesebbenMátrixjátékok tiszta nyeregponttal
1 Mátrixjátékok tiszta nyeregponttal 1. Példa. Két játékos Aladár és Bendegúz rendelkeznek egy-egy tetraéderrel, melyek lapjaira rendre az 1, 2, 3, 4 számokat írták. Egy megadott jelre egyszerre felmutatják
RészletesebbenMatematika A4 I. gyakorlat megoldás
Matematika A I. gyakorlat megoldás 1. Kombinatorikus módszer ismétlés nélküli ismétléses permutáció n! n! k 1!k 2!...k r! n futó beérkezésének sorrendje n golyót ennyiféleképpen állíthatunk sorba, ha k
Részletesebben1. tétel Halmazok és halmazok számossága. Halmazműveletek és logikai műveletek kapcsolata.
1. tétel Halmazok és halmazok számossága. Halmazműveletek és logikai műveletek kapcsolata. HLMZOK halmaz axiomatikus fogalom, nincs definíciója. benne van valami a halmazban szintén axiomatikus fogalom,
RészletesebbenBME Nyílt Nap november 21.
Valószínűségszámítás, statisztika és valóság Néhány egyszerű példa Kói Tamás Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem koitomi@math.bme.hu BME Nyílt Nap 2014. november 21. Matematikai modell Matematikai
RészletesebbenMatematika alapjai; Feladatok
Matematika alapjai; Feladatok 1. Hét 1. Tekintsük a,, \ műveleteket. Melyek lesznek a.) kommutativok b.) asszociativak c.) disztributívak-e a, műveletek? Melyik melyikre? 2. Fejezzük ki a műveletet a \
RészletesebbenMatematikai alapok és valószínőségszámítás. Valószínőségszámítási alapok
Matematikai alapok és valószínőségszámítás Valószínőségszámítási alapok Bevezetés A tudományos életben vizsgálódunk pontosabb megfigyelés, elırejelzés, megértés reményében. Ha egy kísérletet végzünk, annak
RészletesebbenSzámelmélet Megoldások
Számelmélet Megoldások 1) Egy számtani sorozat második tagja 17, harmadik tagja 1. a) Mekkora az első 150 tag összege? (5 pont) Kiszámoltuk ebben a sorozatban az első 111 tag összegét: 5 863. b) Igaz-e,
RészletesebbenGazdasági matematika II. vizsgadolgozat megoldása A csoport
Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat megoldása A csoport Definiálja az alábbi fogalmakat!. Egy eseménynek egy másik eseményre vonatkozó feltételes valószínűsége. ( pont) Az A esemény feltételes valószínűsége
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I.
Számelmélet I. DEFINÍCIÓ: (Osztó, többszörös) Ha egy a szám felírható egy b szám és egy másik egész szám szorzataként, akkor a b számot az a osztójának, az a számot a b többszörösének nevezzük. Megjegyzés:
RészletesebbenLeképezések. Leképezések tulajdonságai. Számosságok.
Leképezések Leképezések tulajdonságai. Számosságok. 1. Leképezések tulajdonságai A továbbiakban legyen A és B két tetszőleges halmaz. Idézzünk fel néhány definíciót. 1. Definíció (Emlékeztető). Relációknak
RészletesebbenMatematika A3 Valószínűségszámítás, 0. és 1. gyakorlat 2013/14. tavaszi félév
Matematika A3 Valószínűségszámítás, 0. és 1. gyakorlat 2013/14. tavaszi félév 1. Kombinatorikus módszer ismétlés nélküli ismétléses permutáció k 1!k 2!...k r! n futó beérkezésének sorrendje n golyót ennyiféleképpen
RészletesebbenOsztályozóvizsga követelményei
Osztályozóvizsga követelményei Képzés típusa: Tantárgy: Nyolcosztályos gimnázium Matematika Évfolyam: 7 Emelt óraszámú csoport Emelt szintű csoport Vizsga típusa: Írásbeli Követelmények, témakörök: Gondolkodási
RészletesebbenSarokba a bástyát! = nim
Nim-összeadás, játékok összege Sarokba a bástyát! = nim Nim (két csomóval) Két kupac kaviccsal játszunk. Egy lépésben valamelyikből (de csak az egyikből!) elvehetünk bármennyit. Az nyer, aki az utolsó
RészletesebbenValószínűségszámítás
Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Informatikai Intézet Tómács Tibor Valószínűségszámítás programtervező informatikusok részére Eger, 010. szeptember 0. Tartalomjegyzék 1. Véletlen események...............................
RészletesebbenA sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex
A sorozat fogalma Definíció. A természetes számok N halmazán értelmezett függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet a valós számok halmaza, valós számsorozatról beszélünk, mígha az
RészletesebbenBiometria az orvosi gyakorlatban. Számítógépes döntéstámogatás
SZDT-01 p. 1/23 Biometria az orvosi gyakorlatban Számítógépes döntéstámogatás Werner Ágnes Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék e-mail: werner.agnes@virt.uni-pannon.hu Gyakorlat SZDT-01 p.
RészletesebbenDöntési rendszerek I.
Döntési rendszerek I. SZTE Informatikai Intézet Számítógépes Optimalizálás Tanszék Készítette: London András 7. Gyakorlat Alapfogalmak A terület alapfogalmai megtalálhatók Pluhár András Döntési rendszerek
Részletesebben4. A negatív binomiális eloszlás
1 / 7 2011.03.17. 14:27 Virtuális laboratóriumok > 10. Bernoulli kísérletek > 1 2 3 4 5 6 4. Alapelmélet Tételezzük fel, hogy a véletlen kísérletünk, amit végrehajtunk Bernoulli kísérleteknek egy X = (X
RészletesebbenValószínűség számítás
Valószínűség számítás 1. Mennyi annak a valószínűsége, hogy szabályos játékkockával páratlan számot dobunk? 2. Egy dobozban 7 piros és 13 zöld golyó van. Ha találomra kihúzunk egyet közülük, akkor mekkora
RészletesebbenAz R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.
2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az
RészletesebbenKészítette: Fegyverneki Sándor
VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS Összefoglaló segédlet Készítette: Fegyverneki Sándor Miskolci Egyetem, 2001. i JELÖLÉSEK: N a természetes számok halmaza (pozitív egészek) R a valós számok halmaza R 2 {(x, y) x, y
Részletesebbenx, x R, x rögzített esetén esemény. : ( ) x Valószínűségi Változó: Feltételes valószínűség: Teljes valószínűség Tétele: Bayes Tétel:
Feltételes valószínűség: Teljes valószínűség Tétele: Bayes Tétel: Valószínűségi változó általános fogalma: A : R leképezést valószínűségi változónak nevezzük, ha : ( ) x, x R, x rögzített esetén esemény.
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 8. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
RészletesebbenFeladatok és megoldások a 4. hétre
Feladatok és megoldások a. hétre Építőkari Matematika A3. Pisti nem tanult semmit a vizsgára, ahol 0 darab eldöntendő kérdésre kell válaszolnia. Az anyagból valami kicsi dereng, ezért kicsit több, mint
RészletesebbenDiszkrét matematika II., 8. előadás. Vektorterek
1 Diszkrét matematika II., 8. előadás Vektorterek Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2007.??? Vektorterek Legyen T egy test (pl. R, Q, F p ). Definíció.
RészletesebbenDiszkrét matematika 2.
Diszkrét matematika 2. 2018. november 23. 1. Diszkrét matematika 2. 9. előadás Fancsali Szabolcs Levente nudniq@cs.elte.hu www.cs.elte.hu/ nudniq Komputeralgebra Tanszék 2018. november 23. Diszkrét matematika
Részletesebben2014. november 5-7. Dr. Vincze Szilvia
24. november 5-7. Dr. Vincze Szilvia A differenciálszámítás az emberiség egyik legnagyobb találmánya és ez az állítás nem egy matek-szakbarbár fellengzős kijelentése. A differenciálszámítás segítségével
RészletesebbenVáltozatos Véletlen Árazási Problémák. Bihary Zsolt AtomCsill 2014
Változatos Véletlen Árazási Problémák Bihary Zsolt AtomCsill 2014 Fizikus a befektetési bankban Remek társaság Releváns matematikai műveltség Számítástechnikai affinitás Intuitív gondolkodás Modellezési
Részletesebben4. Az A és B események egymást kizáró eseményeknek vagy idegen (diszjunkt)eseményeknek nevezzük, ha AB=O
1. Mit nevezünk elemi eseménynek és eseménytérnek? A kísérlet lehetséges kimeneteleit elemi eseményeknek nevezzük. Az adott kísélethez tartozó elemi események halmazát eseménytérnek nevezzük, jele: X 2.
RészletesebbenNyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara. Prof. Dr. Závoti József. Matematika III. 3. MA3-3 modul. A valószínűségszámítás elemei
Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara Prof Dr Závoti József Matematika III 3 MA3-3 modul A valószínűségszámítás elemei SZÉKESFEHÉRVÁR 2010 Jelen szellemi terméket a szerzői jogról szóló 1999
RészletesebbenMatematika III. 3. A valószínűségszámítás elemei Prof. Dr. Závoti, József
Matematika III. 3. A valószínűségszámítás elemei Prof. Dr. Závoti, József Matematika III. 3. : A valószínűségszámítás elemei Prof. Dr. Závoti, József Lektor : Bischof, Annamária Ez a modul a TÁMOP - 4.1.2-08/1/A-2009-0027
RészletesebbenAz információelmélet alapjai, biológiai alkalmazások. 1. A logaritmusfüggvény és azonosságai
Az információelmélet alapjai, biológiai alkalmazások 1. A logaritmusfüggvény és azonosságai 2 k = N log 2 N = k Például 2 3 = 8 log 2 8 = 3 10 4 = 10000 log 10 10000 = 4 log 2 2 = 1 log 2 1 = 0 log 2 0
RészletesebbenMilyen a modern matematika?
Milyen a modern matematika? Simonovits Miklós Milyen a modern matematika? p.1 Miért rossz ez a cím? Nem világos, mit értek modern alatt? A francia forradalom utánit? Általában olyat tanulunk, amit már
RészletesebbenTovábbi forgalomirányítási és szervezési játékok. 1. Nematomi forgalomirányítási játék
További forgalomirányítási és szervezési játékok 1. Nematomi forgalomirányítási játék A forgalomirányítási játékban adott egy hálózat, ami egy irányított G = (V, E) gráf. A gráfban megengedjük, hogy két
RészletesebbenVéletlenszám generátorok és tesztelésük. Tossenberger Tamás
Véletlenszám generátorok és tesztelésük Tossenberger Tamás Érdekességek Pénzérme feldobó gép: $0,25-os érme 1/6000 valószínűséggel esik az élére 51% eséllyel érkezik a felfelé mutató oldalára Pörgetésnél
RészletesebbenA következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat.
Poisson folyamatok, exponenciális eloszlások Azt mondjuk, hogy a ξ valószínűségi változó Poisson eloszlású λ, 0 < λ
RészletesebbenJármőtervezés és vizsgálat I. VALÓSZÍNŐSÉGSZÁMÍTÁSI ALAPFOGALMAK Dr. Márialigeti János
BUDAPESTI MŐSZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM KÖZLEKEDÉSMÉRNÖKI KAR JÁRMŐELEMEK ÉS HAJTÁSOK TANSZÉK Jármőtervezés és vizsgálat I. VALÓSZÍNŐSÉGSZÁMÍTÁSI ALAPFOGALMAK Dr. Márialigeti János Budapest 2008
RészletesebbenSzerencsejátékok. Elméleti háttér
Szerencsejátékok A következőekben a Szerencsejáték Zrt. által adott játékokat szeretném megvizsgálni. Kiszámolom az egyes lehetőségeknek a valószínűségét, illetve azt, hogy mennyi szelvényt kell ahhoz
RészletesebbenValószínűség-számítás II.
Valószínűség-számítás II. Geometriai valószínűség: Ha egy valószínűségi kísérletben az események valamilyen geometriai alakzat részhalmazainak felelnek meg úgy, hogy az egyes események valószínűsége az
RészletesebbenMatematika. J a v í t ó k u l c s. 8. évfolyam. Oktatási Hivatal Közoktatási Mérési Értékelési Osztály 1054 Budapest, Báthory utca 10.
Matematika J a v í t ó k u l c s 8. évfolyam Oktatási Hivatal Közoktatási Mérési Értékelési Osztály 1054 Budapest, Báthory utca 10. IEA, 2011 1/1. feladat 1/2. feladat : B : B Item: M032757 Item: M032721
Részletesebben24. tétel A valószínűségszámítás elemei. A valószínűség kiszámításának kombinatorikus modellje.
24. tétel valószíűségszámítás elemei. valószíűség kiszámításáak kombiatorikus modellje. GYORISÁG ÉS VLÓSZÍŰSÉG meyibe az egyes adatok a sokaságo belüli részaráyát adjuk meg (törtbe vagy százalékba), akkor
RészletesebbenMatematika szóbeli érettségi témakörök 2016/2017-es tanév őszi vizsgaidőszak
Matematika szóbeli érettségi témakörök 2016/2017-es tanév őszi vizsgaidőszak Halmazok Halmazok egyenlősége Részhalmaz, valódi részhalmaz Üres halmaz Véges és végtelen halmaz Halmazműveletek (unió, metszet,
RészletesebbenValószínűségszámítás és statisztika. István Fazekas
Valószínűségszámítás és statisztika István Fazekas Tartalomjegyzék 1. fejezet. A valószínűségszámítás alapfogalmai 5 1.1. A valószínűség 5 1.2. Halmazalgebrák és σ-algebrák 11 1.3. A feltételes valószínűség
RészletesebbenValószín ségszámítás és statisztika
Valószín ségszámítás és statisztika Informatika BSc, esti tagozat Backhausz Ágnes agnes@cs.elte.hu 2016/2017. tavaszi félév Bevezetés Célok: véletlen folyamatok modellezése; kísérletekb l, felmérésekb
RészletesebbenOrszágos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2009/2010 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) 2. forduló feladatainak megoldása
Oktatási Hivatal Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny / Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) 2. forduló feladatainak megoldása. Oldja meg a valós számok legbővebb részhalmazán a egyenlőtlenséget!
RészletesebbenWaldhauser Tamás december 1.
Algebra és számelmélet előadás Waldhauser Tamás 2016. december 1. Tizedik házi feladat az előadásra Hányféleképpen lehet kiszínezni az X-pentominót n színnel, ha a forgatással vagy tükrözéssel egymásba
Részletesebben1. Halmazok, számhalmazok, alapműveletek
1. Halmazok, számhalmazok, alapműveletek I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Határozza meg az (A B)\C halmaz elemszámát, ha A tartalmazza az összes 19-nél kisebb természetes számot, továbbá B a prímszámok halmaza
RészletesebbenRamsey-féle problémák
FEJEZET 8 Ramsey-féle problémák "Az intelligens eljárást az jellemzi, hogy még a látszólag megközelíthetetlen célhoz is utat nyit, megfelelő segédproblémát talál ki és először azt oldja meg." Pólya György:
Részletesebben2014. szeptember 24. és 26. Dr. Vincze Szilvia
2014. szeptember 24. és 26. Dr. Vincze Szilvia Mind a hétköznapi, mind a tudományos életben gyakran előfordul, hogy bizonyos halmazok elemei között kapcsolat figyelhető meg. A kapcsolat fogalmának matematikai
RészletesebbenDiszkrét matematika 1.
Diszkrét matematika 1. 201. ősz 1. Diszkrét matematika 1. 1. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 201. ősz Kombinatorika Diszkrét matematika 1. 201. ősz 2. Kombinatorika Kombinatorika
RészletesebbenOsztályozóvizsga követelményei
Osztályozóvizsga követelményei Képzés típusa: Tantárgy: Nyolcosztályos gimnázium Matematika Évfolyam: 11 Emelt óraszámú csoport Emelt szintű csoport Vizsga típusa: Írásbeli Követelmények, témakörök: Gondolkodási
RészletesebbenGEOMATECH TANULMÁNYI VERSENYEK 2015. ÁPRILIS
GEOMATECH TANULMÁNYI VERSENYEK 2015. ÁPRILIS Eddig nehezebb típusú feladatokkal dolgoztunk. Most, hogy közeledik a tavaszi szünet, játékra hívunk benneteket! Kétszemélyes játékokat fogunk játszani és elemezni.
RészletesebbenKészítette: Ernyei Kitti. Halmazok
Halmazok Jelölések: A halmazok jele általában nyomtatott nagybetű: A, B, C Az x eleme az A halmaznak: Az x nem eleme az A halmaznak: Az A halmaz az a, b, c elemekből áll: A halmazban egy elemet csak egyszer
RészletesebbenMesterséges Intelligencia MI
Mesterséges Intelligencia MI Racionalitás: a hasznosság és a döntés Dobrowiecki Tadeusz Eredics Péter, és mások BME I.E. 437, 463-28-99 dobrowiecki@mit.bme.hu, http://www.mit.bme.hu/general/staff/tade
RészletesebbenXI.5. LÉGY TE A TANÁR! A feladatsor jellemzői
XI.5. LÉGY TE A TANÁR! Tárgy, téma A feladatsor jellemzői Algebrai, geometriai, kombinatorikai és valószínűségszámítási tipikus gondolkodási hibák, buktatók. Előzmények Mérlegelv, másodfokú egyenletek
RészletesebbenStatisztika - bevezetés Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc 1
Statisztika - bevezetés 00.04.05. Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc Bevezetés Véletlen jelenség fogalma jelenséget okok bizonyos rendszere hozza létre ha mindegyik figyelembe vehető egyértelmű leírás általában
Részletesebben[Biomatematika 2] Orvosi biometria
[Biomatematika 2] Orvosi biometria 2016.02.22. Valószínűségi változó Véletlentől függő számértékeket (értékek sokasága) felvevő változókat valószínűségi változóknak nevezzük(jelölés: ξ, η, x). (pl. x =
RészletesebbenA Condorcet-paradoxon egy valószínűségi modellje
A Condorcet-paradoxon egy valószínűségi modellje Bozóki Sándor 1,2, Csató László 2, Temesi József 2 1 MTA SZTAKI; 2 Budapesti Corvinus Egyetem 2013. június 11. p. 1/24 Intranzitív dobókockák A valószínűségi
RészletesebbenElsőrendű logika szintaktikája és szemantikája. Logika (3. gyakorlat) 0-adrendű szemantika 2009/10 II. félév 1 / 1
Elsőrendű logika szintaktikája és szemantikája Logika és számításelmélet, 3. gyakorlat 2009/10 II. félév Logika (3. gyakorlat) 0-adrendű szemantika 2009/10 II. félév 1 / 1 Az elsőrendű logika Elemek egy
RészletesebbenLogikai szita (tartalmazás és kizárás elve)
Logikai szita (tartalmazás és kizárás elve) Kombinatorika 5. előadás SZTE Bolyai Intézet Szeged, 2016. március 1. 5. ea. Logikai szita két halmazra 1/4 Középiskolás feladat. Egy 30 fős osztályban a matematikát
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 1 I. HALmAZOk 1. JELÖLÉSEk A halmaz fogalmát tulajdonságait gyakran használjuk a matematikában. A halmazt nem definiáljuk, ezt alapfogalomnak tekintjük. Ez nem szokatlan, hiszen
RészletesebbenValószínűségszámítás feladatok
Valószínűségszámítás feladato A FELADATOK MEGOLDÁSAI A 0. FELADAT UTÁN TALÁLHATÓK.. Egyszerre dobun fel három érmét. Mi anna a valószínűsége, hogy mindegyine ugyanaz az oldala erül felülre?. Két dobóocát
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 4. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenTerületi sor Kárpát medence Magyarország Nyugat-Európa
Területi sor Terület megnevezése Magyarok száma 2011.01.01. Kárpát medence 13 820 000 Magyarország 10 600 00 Nyugat-Európa 1 340 000 HIV prevalence (%) in adults in Africa, 2005 2.5 Daganatos halálozás
RészletesebbenHalmazelméleti alapfogalmak
Halmazelméleti alapfogalmak halmaz (sokaság) jól meghatározott, megkülönböztetett dolgok (tárgyak, fogalmak, stb.) összessége. - halmaz alapfogalom. z azt jelenti, hogy csak példákon keresztül magyarázzuk,
RészletesebbenMatematikai logika és halmazelmélet
Matematikai logika és halmazelmélet Wettl Ferenc előadása alapján 2015-09-07 Wettl Ferenc előadása alapján Matematikai logika és halmazelmélet 2015-09-07 1 / 21 Tartalom 1 Matematikai kijelentések szerkezete
Részletesebben