BKT fázisátalakulás és a funkcionális renormálási csoport módszer

Méret: px

Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "BKT fázisátalakulás és a funkcionális renormálási csoport módszer"

György Illés
5 évvel ezelőtt
Látták:

1 BKT fázisátalakulás és a funkcionális renormálási csoport módszer Nándori István MTA-DE Részecskefizikai Kutatócsoport, Debreceni Egyetem MTA-Atomki, Debrecen Wigner FK zilárdtestfizikai és Optikai Intézet, 2016

2 Y spin modell Berezinskii-Kosterlitz-Thouless (BKT) fázisátalakulás Nobel-díj: D. J. Thouless, F. D. M. Haldane, J. M. Kosterlitz, ) topológikus (BKT) fázisátalakulás, topológiai fázisok 2D modellek BKT fázisátalakulással: sine-gordon, O(2), Coulomb-gáz, Y spin modell Z apple 1 Z Y = D[] ( 2 1) exp Jxy x y k B T Mermin-Wagner-Coleman tétel: ) 2D Y modell: = 0 bármely T-re ) topológikus rendezettség, vortexek ) T BKT =? entrópia módszer: F = E T = 0 ) E J log(r/a) és k B log(r 2 /a 2 ) ) T BKT J k B ) T BKT pontosítása: renormálási csoport módszer!

3 Renormálás Miért van szükség renormálásra, renormálási csoportra? kvantálás és relativisztikus leírás (kvantumtérelmélet) ( E)( t) ~/2, E = Mc 2 kvantumfluktuációk =) vákumpolarizáció kvantumfluktuációk =) skálafüggő paraméterek kvantumtérelmélet (T = 0) klasszikus statisztikus modell kvantumfluktuációk termikus fluktuációk termodinamikai limesz ) skálafüggés ismerete kell! ) renormálási csoport (RG) módszer

4 kálainvariancia Ising modell - másodrendű fázisátalakulás Numerikus vizsgálat 2D Ising modellre TT C T~T C TT C Nincs struktúra ha T T c vagy T T c Ha T T c sok kicsi, kevés nagy mágneses domén Megfigyelés skáláját változtatva struktúra állandó T T c : skálainvariáns rendszer

5 Kadanoff-Wilson blocking Kadanoff (1966), Wilson (1971) Kadanoff blokkosítás =) másodrendű fázisátalakulás =) skálainvariáns rendszer =) skálainvariáns particiós fgv lattice space: a lattice space: 2a Z Tr exp[ J a i j ]=Tr 0 exp[ J 2a 0 i 0 j ] Wilson blokkosítás =) tetszőleges rendszer =) új kölcsönhatások jelennek meg H a = J a i j! H 2a = J 2a 0 i 0 j G 2a 0 i 0 j 0 k =) általános alakkal induljon a blokkosítás H a = J a i j G a i j k, G a = 0 =) funkcionális alak megőrződik!

6 RG diagram Wilsoni RG H a = J a i j G a i j k H 2a = J 2a 0 i 0 j G 2a 0 i 0 j 0 k H 3a = J 3a 00 i j 00 G 3a 00 i j 00 k 00 RG egyenletek d da J(a) =F 1(J, G, a), RG diagram d da G(a) =F 2(J, G, a), J G

7 Coulomb gáz BKT fázisátalakulás RG módszerrel sine-gordon, O(2), Coulomb-gáz, Y spin modell Z apple 1 Z Y = D[] ( 2 1) exp Jxy x y k B T sine-gordon, O(2), Coulomb-gáz, Y spin modell Z CG = 1 =0 (z) 2 Y Z (!) 2 i d 2 r i i apple 1 exp 2k B T i j ln Z Y Z CG RG vizsgálat CG modellre (híg gáz közelítésben) ) J k B T BKT = 1 (entrópia módszerrel: 2 exp J k B T BKT = 1) 2 J k B T BKT rij a

8 O(2) modell BKT fázisátalakulás RG módszerrel sine-gordon, O(2), Coulomb-gáz, Y spin modell Z apple Z 1 Z G = N D[' x ] exp d 2 x[ 1 ~ 2 (@ µ' x ) 2 u cos( ' x )] ) Z G Z CG sine-gordon, O(2), Coulomb-gáz, Y spin modell Z apple Z 1 Z O(2) = N D[' x ] exp d 2 x[ 1 ~ 2 (@ µ' x ) g 1' 2 1 x 4! g 2' 4 ] x ) Z O(2) Z Y (ha 2 6= 1?) (' =(' 1, ' 2 )) RG vizsgálat O(2) modellre ) amplitudó fluktuációk nelkül! BKT ) amplitudó fluktuációkkal! NINC BKT! ariv: Hogyan ellenőrizhető? Javaslat: ) O(2) egzakt leképezése G jellegű modellre, ) Funkcionális RG vizsgálat végrehajtása

9 Kvantumtérelmélet Kvantumtérelmélet - rövid áttekintés Részecskefizika =) fermionterek (x) =) mértékterek A µ (x) =) skalárterek '(x) Effektív hatás ( ['])! mérhető mennyiségek Z Z = d d x L µ ', x), Z [J] =N D[']e [']R d d xj' Z [']ln Z [J] dxj' = 0! ['] skálafüggés: [']! k ['] ( k! =, k!0 = ) Z apple 1 ['] = d 2 x 2 (@ µ') 2 u cos( ') Z apple 1 k['] = d 2 x 2 (@ µ') 2 u k cos( k ') Funkcionális RG módszer! k [']

10 Wegner-Houghton RG Wegner Houghton RG egyenlet (1973) Éles impulzus levágás! WH RG k k ['] = 1 2 Tr ln h (2) k ['] i, 2 (2) k ['] = k ['] ' 2 Derivált (gradiens) sorfejtés Z apple k['] = d d x V k (') 1 2 Z k(')(@ µ ') 2... WH RG vezető rendben (LPA) " # k V k = k d k 2 Vk 00 d ln k 2, V 00 k 'V k ('), d Tulajdonságok =) előnye: egzakt (nem-perturbatív) RG egyenlet =) hátránya: nem számolható magasabb rendben d 2(2 ) d

11 Polchinski RG Polchinski RG egyenlet (1984) ima impulzus levágás K (y), y = p 2 /k 2 Polchinski RG egyenlet LPA-ban k@ k V k = k 2 [V 0 k ]2 K 0 0 k d 2 V 00 k d K 0 y K (y) és K 0 0 yk (y) y=0 Z 1 0 dy K 0 (y) Tulajdonságok =) előnye: LPA-ban független K(y)-tól =) előnye: kompatibilis a derivált sorfejtéssel =) hátránya: magasabb rendben függ K(y)-tól =) hátránya: magasabb rendben rossz eredmények

12 Wetterich RG Funkcionális renormálási csoport (FRG) Wetterich RG (1993) egyenlet! k k = 1 2 Tr k@ k R k R k (2) k, R k (p) p 2 r(y), y = p2 k 2 regulátor: R k!0 (p) =0, R k! (p) =1, R k (p! 0) 0 Előnye: =) egyesített RG egyenlet (pl. éles levágás! WH RG) =) kompatibilis a derivált sorfejtéssel Hátránya: =) közelített RG egyenlet függ R k -tól (regulátorfüggés) =) fizikai eredmény (pl. kritikus exponens) függ R k -tól

13 Optimalizálás Regulátorfüggés! optimalizálás Közelített RG egyenlet függ R k -tól! k@ k k = 1 2 Tr k@ k R k R k (2) k Regulátor függvények (R k p 2 r(y)) r pow (y) = 1 1, r y b exp (y) = exp [ln(2) y b ] 1, r sharp(y) = 1 (y 1) 1 Optimalizálás I: Litim-Pawlowski módszer ) legrövidebb trajektória ) r Litim (y) = y b 1 (1 y), deriválhatóság? Optimalizálás II: Minimális Érzékenység Elve ) optimális paraméter, u k (ρ) 0.66 u ) pl. b rögzítése ν pms ) összehasonlíthatóság? 0.65 ν α

14 C regulátor Egyesített regulátor Kompakt Tartóju ima (C) regulátor css (y) = exp[ln(2)c] h 1 (1 hy b ) exp ln(2)cy b 1 r norm 1 hy b i Differenciálható és regulátorok egymáshoz hasonlíthatók C regulátor regulátorok "egyesítése" 1 lim r css norm = c!0,h!1 y b 1 (1 y) lim r css norm = 1 c!0,h!0 y b lim r norm 1 css = c!1,h!0 exp[ln(2)y b ] 1 Optimalizált RG! fizikai mennyiségek számolhatók

15 Linearizált RG Funkcionális RG közelítések Wetterich RG RG egyenletek "egyesítése" k k = 1 2 Tr k@ k R k, R (2) k (p) p 2 r(y), y = p2 k R k k 2 C regulátor regulátorok "egyesítése" css (y) = exp[ln(2)c] h 1 (1 hy b ) exp ln(2)cy b 1 r norm 1 hy b i közelítés: derivált sorfejtés (LPA) Z 1 k@ k V k (') = d k d dy közelítés: linearizált RG, 0 r 0 y d 2 1, [1 r] y V k 00 k 2 k@ k V k (') = d k d 2 V 00 k (')O(V 002 k )

16 ine-gordon model ine-gordon modell linearizált RG, LPA, d = 2, dimenziótlan: V k (') =k 2 Ṽ k (') k@ k V k (') = 1 4 V 00 k ('),! (2 k@ k )Ṽk(') = 1 4 Ṽ 00 k (') G modell ṼG(') =ũ k cos( ') [LPA miatt k@ k ũ k = ũ k ! ũ k = ũ k RG diagrammok (LPA közelítésen túl 2 = 1/ z k ) konstans]! 2 c = u k ~ u / ~ 1/ z

17 O(2) modell O(2) modell sine-gordon reprezentációja O(2) modellt egzakt módon leképezzük Ṽ k (, ) =ṽ k ( 0 ) 2 cos( ) k( 0 ) 2 ũ k cos( ), ) = amplitudó ( 0 skálázó minimumhely) ) = fázis amplidutó fluktuációk nélkül ( (x) 0 )! 2D-G modell Ṽ k ( ) =ũ k cos( ), linearizált RG egyenletek (LPA), egzakt modell k@ k 0 = 2, k@ kũ k = 2ũ k ṽ k ũ k k@ k k = 2 k, k@ k ṽ k = 2ṽ k 2 ũ k ṽ k 4 0 Nincs BKT fázisátalakulás! (Defenu, Enss, Nandori, Trombettoni, in progress) 3 0

18 Összefoglalás BKT fázisátalakulás: O(2) amplitudó fluktuációk hatása? O(2) egzakt leképezése sine-gordon jellegű modellre ine-gordon modellek funkcionális RG vizsgálata O(2) sine-gordon reprezentációja! Nincs BKT! Köszönöm a Figyelmet!

Hasonló dokumentumok

Egyesített funkcionális renormálási csoport egyenlet

Egyesített funkcionális renormálási csoport egyenlet Nándori István MTA-DE Részecskefizikai Kutatócsoport, MTA-Atomki, Debrecen Magyar Fizikus Vándorgyűles, Debrecen, 2013 Kvantumtérelmélet Részecskefizika