Programozási módszertan. Dinamikus programozás: A leghosszabb közös részsorozat
|
|
- Júlia Lakatos
- 7 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 PM-07 p. 1/13 Programozási módszertan Dinamikus programozás: A leghosszabb közös részsorozat Werner Ágnes Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék werner.agnes@virt.uni-pannon.hu
2 PM-07 p. 2/13 Dinamikus programozás jellemzői Egy dinamikus programozási algoritmus kifejlesztése 4 lépésre bontható fel: 1. Jellemezzük az optimális megoldás szerkezetét. 2. Rekurzív módon definiáljuk az optimális megoldás értékét. 3. Kiszámítjuk az optimális megoldás értékét alulról felfelé történő módon. 4. A kiszámított információk alapján megszerkesztünk egy optimális megoldást.
3 PM-07 p. 3/13 Bevezetés Biológiai alkalmazásokban gyakran össze kell hasonlítani pl. két vagy több élőlény DNS-ét. A DNS-t bizonyos, bázisnak nevezett molekulák szekvenciái alkotják. A lehetséges bázisok: adenin, guanin, citozin és timin. A bázisokat a kezdőbetűjükkel jelöljük. A DNS szerkezete leírható a véges [A, C, G, T] halmazon vett sztringgel. Pl. az egyik élőlény DNS-e S 1 = ACCGGTCGAGTGCGCGGAAGCCGGCCGAA a másik élőlény DNS-e S 2 = GTCGTTCGGAATGCCGTTGCTCTGTAAA Két élőlény DNS-ét pl. abból a célból hasonlíthatjuk össze, hogy megállapítsuk, hogy mennyire hasonlóak. (valamilyen mérték szerint a két lény mennyire közel áll egymáshoz)
4 PM-07 p. 4/13 Összehasonlítás A hasonlóságot több féle képpen definiálhatjuk: két DNS szekvencia hasonló, ha az egyik a másiknak részsztringje, két szekvencia hasonló, ha kevés változtatással vihetők át egymásba, keresünk egy olyan S 3 szekvenciát, amelyik olyan bázisokból áll, amelyek ugyanabban a sorrendben, de nem feltétlenül egymás után fordulnak elő mind S 1 -ben, mind S 2 -ben; minél hosszabb, annál nagyobb a hasonlóság. A példában: a leghosszabb S3 szekvencia S 1 = ACCGGTCGAGTGCGCGGAAGCCGGCCGAA S 2 = GTCGTTCGGAATGCCGTTGCTCTGTAAA S 3 = GTCGTCGGAAGCCGGCCGAA
5 PM-07 p. 5/13 Részsorozat, közösrészsorozat Egy sorozat részsorozata egy olyan sorozat, amit az adott sorozatból néhány elem elhagyásával nyerünk. Formálisan: Ha az adott X = (x 1,x 2,...,x m ), akkor egy másik sorozat Z = (z 1,z 2,...,z k ) sorozat akkor részsorozata X-nek, ha létezik X indexeinek egy szigorúan növő (i 1,i 2,...,i k ) sorozata, hogy minden j = 1,2,...,k esetén x ij = z j. Adott két sorozat, X és Y. Azt mondjuk, hogy egy Z sorozat közös részsorozatuk, ha Z részsorozata X-nek is és Y -nak is.
6 PM-07 p. 6/13 A leghosszabb közös részsorozat=lkr 1. lépés: A leghosszabb közös részsorozat jellemzése A feladat megoldásának egyik módszere leszámolni X összes részsorozatát és mindegyiket ellenőrizni, hogy részsorozata-e Y -nak és tárolnunk kell a megtalált leghosszabb részsorozatot. X mindegyik részsorozata az 1,2,...,m indexhalmaz egy részhalmazának felel meg. Mivel X-nek 2 m részsorozata van, az eljárás exponenciális időt igényel. Az algoritmus használhatatlan. Ez a probléma azonban rendelkezik az optimális részstruktúra tulajdonsággal.
7 PM-07 p. 7/13 Az LKR optimális részstruktúrája Az X = (x 1,x 2,...,x m ) sorozat i-edik prefixe X i = (x 1,x 2,...,x i ) (i = 0,1,...,m). Tétel: (Az LKR optimális részstruktúrája.) Legyen X = (x 1,x 2,...,x m ) és Y = (y 1,y 2,...,y n ) két sorozat és Z = (z 1,z 2,...,z k ) ezek egy LKR-je. Ekkor igazak a következő állítások: 1. Ha x m = y n, akkor z k = x m = y n és Z k 1 az X m 1 és Y n 1 egy LKR-je. 2. Ha x m y n, akkor z k x m esetén Z az X m 1 és Y egy LKR-je. 3. Ha x m y n, akkor z k y n és Z az X és Y n 1 egy LKR-je.
8 PM-07 p. 8/13 Az LKR optimális részstruktúrája Bizonyítás: 1. Ha z k x m, akkor az x m = y n elemet hozzátehetnénk Z-hez, és így X és Y egy k + 1 hosszú közös részsorozatát kapnánk, ez ellentmond Z választásának. Ezért z k = x m = y n. Most a Z k 1 prefix hossza k 1 és közös részsorozata X m 1 -nek és Y n 1 -nek. Meg kell mutatni, hogy ezek egy LKR-je is. Ha W egy legalább k hosszú közös részsorozata X m 1 -nek és Y n 1 -nek, akkor ehhez hozzáfűzve az x m = y n elemet, X és Y k-nál hosszabb közös részsorozatát kapjuk, ami ellentmond Z választásának. 2. Ha z k x m, akkor Z közös részsorozata X m 1 -nek és Y -nak. Ha ezeknek volna egy W közös részsorozata, mely hosszabb, mint k, akkor ez közös részsorozata volna X m -nek és Y -nak, ami ismét ellentmond Z választásának. 3. A bizonyítás hasonlóan történik, mint 2-nél.
9 PM-07 p. 9/13 2. lépés: részfeladatok rekurzív megoldása A tétel azt mondja, hogy csak egy vagy kettő részfeladat van, amit meg kell vizsgálni X = (x 1, x 2,..., x m ) és Y = (y 1, y 2,..., y n ) LKR-jének megkeresésekor. Ha xm = y n, akkor X m 1 és Y n 1 LKR-jét kell megkeresni, amelyhez csatolva az x m = y n elemet kapjuk X és Y LKR-jét. Ha xm y n, akkor két részfeladatot kell megoldanunk: X m 1 és Y, illetve X és Y n 1 LKR-jét kell megkeresni. Akármelyik is a hosszabb, az az X és Y LKR-je. Mivel ezek az esetek kimerítik az összes lehetőséget, tudjuk, hogy egy részfeladat megoldása benne van X és Y LKR-jében. Látható, hogy az LKR problémában a részfeladatok átfedők. X és Y LKR-jének megkeresésekor szükségünk lehet X és Yn 1, illetve X m 1 és Y LKR-jének megkeresésére. Ezek közös részfeladata Xm 1 és Y n 1 LKR-jének meghatározása.
10 PM-07 p. 10/13 Rekurzív összefüggés Meghatározható egy rekurzív összefüggés: Legyen c[i,j] X i és Y i LKR-jének hossza. Ha akár i, akár j nulla, azaz a sorozatok legalább egyikének hossza 0, akkor természetesen az LKR hossza is 0. Az LKR optimális részstruktúra tulajdonságából a következő rekurzív képletet kapjuk: c[i, j] = 0, ha i = 0 vagyj = 0, c[i 1,j 1] + 1, ha i,j > 0 és x i = y j max(c[i,j 1],c[i 1,j]), ha i,j > 0 és x i y j
11 PM-07 p. 11/13 3. lépés: LKR hosszának kiszámítása Használhatjuk a dinamikus programozást. LKR-hossza(X, Y ) 1. m := hossz[x] 2. n := hossz[y ] 3. for i := 1 to m do c[i,0] := 0 4. for j := 1 to m do c[0, j] := 0 5. for i := 1 to m 6. do for j := 1 to n 7. do if x i = y j 8. then c[i, j] := c[i 1, j 1] b[i, j] := 10. else if c[i 1, j] c[i, j 1] 11. then c[i, j] := c[i 1, j] b[i, j] := 12. else c[i, j] := c[i, j 1] b[i, j] := 13. return c és b Az eljárás futási ideje O(m n), mivel minden tömbelem kiszámításának ideje O(1).
12 Eredmény mátrix PM-07 p. 12/13
13 PM-07 p. 13/13 4.lépés: Egy LKR megszerkesztése Az alábbi eljárás X és Y LKR-jének elemeit a helyes, eredeti sorrendben nyomtatja ki. LKR-nyomtat(b, X, i, j) 1. if i = 0 vagy j = 0 2. then return 3. if b[i,j] = 4. then LKR-nyomtat(b,X,i 1,j 1) 5. print x i 6. else if b[i,j] = 7. then LKR-nyomtat(b,X,i 1,j) 8. else LKR-nyomtat(b,X,i,j 1)
Programozási módszertan. Dinamikus programozás: Nyomtatási feladat A leghosszabb közös részsorozat
PM-04 p. 1/18 Programozási módszertan Dinamikus programozás: Nyomtatási feladat A leghosszabb közös részsorozat Werner Ágnes Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék e-mail: werner.agnes@virt.uni-pannon.hu
RészletesebbenProgramozási módszertan. Dinamikus programozás: szerelőszalag ütemezése Mátrixok véges sorozatainak szorzása
PM-06 p. 1/28 Programozási módszertan Dinamikus programozás: szerelőszalag ütemezése Mátrixok véges sorozatainak szorzása Werner Ágnes Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék e-mail: werner.agnes@virt.uni-pannon.hu
RészletesebbenProgramozási módszertan. Mohó algoritmusok
PM-08 p. 1/17 Programozási módszertan Mohó algoritmusok Werner Ágnes Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék e-mail: werner.agnes@virt.uni-pannon.hu PM-08 p. 2/17 Bevezetés Dinamikus programozás
RészletesebbenFibonacci számok. Dinamikus programozással
Fibonacci számok Fibonacci 1202-ben vetette fel a kérdést: hány nyúlpár születik n év múlva, ha feltételezzük, hogy az első hónapban csak egyetlen újszülött nyúl-pár van; minden nyúlpár, amikor szaporodik
RészletesebbenDinamikus programozás - Szerelőszalag ütemezése
Dinamikus programozás - Szerelőszalag ütemezése A dinamikus programozás minden egyes részfeladatot és annak minden részfeladatát pontosan egyszer oldja meg, az eredményt egy táblázatban tárolja, és ezáltal
RészletesebbenPartíció probléma rekurzíómemorizálással
Partíció probléma rekurzíómemorizálással A partíciószám rekurzív algoritmusa Ω(2 n ) műveletet végez, pedig a megoldandó részfeladatatok száma sokkal kisebb O(n 2 ). A probléma, hogy bizonyos már megoldott
RészletesebbenProgramozási módszertan. Függvények rekurzív megadása "Oszd meg és uralkodj" elv, helyettesítő módszer, rekurziós fa módszer, mester módszer
PM-03 p. 1/13 Programozási módszertan Függvények rekurzív megadása "Oszd meg és uralkodj" elv, helyettesítő módszer, rekurziós fa módszer, mester módszer Werner Ágnes Villamosmérnöki és Információs Rendszerek
RészletesebbenAlgoritmusok bonyolultsága
Algoritmusok bonyolultsága 9. előadás http://www.ms.sapientia.ro/~kasa/komplex.htm 1 / 18 Közelítő algoritmusok ládapakolás (bin packing) Adott n tárgy (s i tömeggel) és végtelen sok 1 kapacitású láda
RészletesebbenElőfeltétel: legalább elégséges jegy Diszkrét matematika II. (GEMAK122B) tárgyból
ÜTEMTERV Programozás-elmélet c. tárgyhoz (GEMAK233B, GEMAK233-B) BSc gazdaságinformatikus, programtervező informatikus alapszakok számára Óraszám: heti 2+0, (aláírás+kollokvium, 3 kredit) 2019/20-es tanév
RészletesebbenDinamikus programozás II.
Dinamikus programozás II. Dinamikus programozás stratégiája A dinamikus programozás stratégiája 1. Az [optimális] megoldás szerkezetének tanulmányozása. 2. Részproblémákra és összetevőkre bontás úgy, hogy:
RészletesebbenÖsszetett programozási tételek Rendezések Keresések PT egymásra építése. 10. előadás. Programozás-elmélet. Programozás-elmélet 10.
Összetett programozási tételek Sorozathoz sorozatot relő feladatokkal foglalkozunk. A bemenő sorozatot le kell másolni, s közben az elemekre vonatkozó átalakításokat lehet végezni rajta: Input : n N 0,
RészletesebbenSzámítógépes döntéstámogatás. Döntések fuzzy környezetben Közelítő következtetések
BLSZM-09 p. 1/17 Számítógépes döntéstámogatás Döntések fuzzy környezetben Közelítő következtetések Werner Ágnes Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék e-mail: werner.agnes@virt.uni-pannon.hu
RészletesebbenMegoldás meghatározása Ez a szakasz kitölti a c és S táblázatokat, a kiíratás S alapján egy rekurzív algoritmussal megtehető.
Leghosszabb közös részsorozat Egy sorozat, akkor részsorozata egy másiknak, ha abból elemeinek elhagyásával megkapható. A feladat két sorozat X = (x 1,...,x m ) és Y = (y 1,...,y n ) leghosszabb közös
Részletesebben2015, Diszkrét matematika
Diszkrét matematika 4. előadás Sapientia Egyetem, Műszaki és Humántudományok Tanszék Marosvásárhely, Románia mgyongyi@ms.sapientia.ro 2015, őszi félév Miről volt szó az elmúlt előadáson? Számtartományok:
RészletesebbenIntegrált gyártórendszerek
IGYR-7 p. 1/4 Integrált gyártórendszerek Gyártásütemezés: az ütemezések analízise Gantt-chart módszerrel, az optimalizálási feladat kitűzése és változatai, megoldás a kritikus út módszerrel, dinamikus
Részletesebbenminden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének mondjuk, f(x 0 )-at pedig az (abszolút) maximumértékének.
Függvények határértéke és folytonossága Egy f: D R R függvényt korlátosnak nevezünk, ha a függvényértékek halmaza korlátos. Ha f(x) f(x 0 ) teljesül minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének
Részletesebben2. Visszalépéses keresés
2. Visszalépéses keresés Visszalépéses keresés A visszalépéses keresés egy olyan KR, amely globális munkaterülete: egy út a startcsúcsból az aktuális csúcsba (az útról leágazó még ki nem próbált élekkel
RészletesebbenGráfelméleti feladatok. c f
Gráfelméleti feladatok d e c f a b gráf, csúcsok, élek séta: a, b, c, d, e, c, a, b, f vonal: c, d, e, c, b, a út: f, b, a, e, d (walk, lanţ) (trail, lanţ simplu) (path, lanţ elementar) 1 irányított gráf,
Részletesebbenf(x) vagy f(x) a (x x 0 )-t használjuk. lim melyekre Mivel itt ɛ > 0 tetszőlegesen kicsi, így a a = 0, a = a, ami ellentmondás, bizonyítva
6. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 6.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási
RészletesebbenMohó algoritmusok. Példa:
Mohó algoritmusok Optimalizálási probléma megoldására szolgáló algoritmus sokszor olyan lépések sorozatából áll, ahol minden lépésben adott halmazból választhatunk. Ezt gyakran dinamikus programozás alapján
RészletesebbenSzámítógépes döntéstámogatás. Genetikus algoritmusok
BLSZM-10 p. 1/18 Számítógépes döntéstámogatás Genetikus algoritmusok Werner Ágnes Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék e-mail: werner.agnes@virt.uni-pannon.hu BLSZM-10 p. 2/18 Bevezetés 1950-60-as
Részletesebbenangolul: greedy algorithms, románul: algoritmi greedy
Mohó algoritmusok angolul: greedy algorithms, románul: algoritmi greedy 1. feladat. Gazdaságos telefonhálózat építése Bizonyos városok között lehet direkt telefonkapcsolatot kiépíteni, pl. x és y város
RészletesebbenAmortizációs költségelemzés
Amortizációs költségelemzés Amennyiben műveleteknek egy M 1,...,M m sorozatának a futási idejét akarjuk meghatározni, akkor egy lehetőség, hogy külön-külön minden egyes művelet futási idejét kifejezzük
RészletesebbenDr. Schuster György február / 32
Algoritmusok és magvalósítások Dr. Schuster György OE-KVK-MAI schuster.gyorgy@kvk.uni-obuda.hu 2015. február 10. 2015. február 10. 1 / 32 Algoritmus Alapfogalmak Algoritmus Definíció Algoritmuson olyan
RészletesebbenRSA algoritmus. P(M) = M e mod n. S(C) = C d mod n. A helyesség igazoláshoz szükséges számelméleti háttér. a φ(n) = 1 mod n, a (a 1,a 2,...
RSA algoritmus 1. Vegyünk véletlenszerűen két különböző nagy prímszámot, p-t és q-t. 2. Legyen n = pq. 3. Vegyünk egy olyan kis páratlan e számot, amely relatív prím φ(n) = (p 1)(q 1)-hez. 4. Keressünk
RészletesebbenAlgoritmusok helyességének bizonyítása. A Floyd-módszer
Algoritmusok helyességének bizonyítása A Floyd-módszer Algoritmusok végrehajtása Egy A algoritmus esetében a változókat három változótípusról beszélhetünk, melyeket az X, Y és Z vektorokba csoportosítjuk
RészletesebbenKnuth-Morris-Pratt algoritmus
Knuth-Morris-ratt algoritmus KM féle sztringkezelő algoritmus Szükséges matematikai fogalmak: Legyen Ω egy ábécé és x=x 1 x 2 x n, k N karakterekből álló sztring, melynek elemei (x i ) az Ω ábécé betűi.
RészletesebbenA félév során előkerülő témakörök
A félév során előkerülő témakörök rekurzív algoritmusok rendező algoritmusok alapvető adattípusok, adatszerkezetek, és kapcsolódó algoritmusok dinamikus programozás mohó algoritmusok gráf algoritmusok
RészletesebbenSorozatok és Sorozatok és / 18
Sorozatok 2015.11.30. és 2015.12.02. Sorozatok 2015.11.30. és 2015.12.02. 1 / 18 Tartalom 1 Sorozatok alapfogalmai 2 Sorozatok jellemz i 3 Sorozatok határértéke 4 Konvergencia és korlátosság 5 Cauchy-féle
Részletesebben1. Házi feladat. Határidő: I. Legyen f : R R, f(x) = x 2, valamint. d : R + 0 R+ 0
I. Legyen f : R R, f(x) = 1 1 + x 2, valamint 1. Házi feladat d : R + 0 R+ 0 R (x, y) f(x) f(y). 1. Igazoljuk, hogy (R + 0, d) metrikus tér. 2. Adjuk meg az x {0, 3} pontok és r {1, 2} esetén a B r (x)
RészletesebbenINFORMATIKA javítókulcs 2016
INFORMATIKA javítókulcs 2016 ELMÉLETI TÉTEL: Járd körbe a tömb fogalmát (Pascal vagy C/C++): definíció, egy-, két-, több-dimenziós tömbök, kezdőértékadás definíciókor, tömb típusú paraméterek átadása alprogramoknak.
RészletesebbenAz optimális megoldást adó algoritmusok
Az optimális megoldást adó algoritmusok shop ütemezés esetén Ebben a fejezetben olyan modellekkel foglalkozunk, amelyekben a munkák több műveletből állnak. Speciálisan shop ütemezési problémákat vizsgálunk.
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2018. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 10. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenJava programozási nyelv
Java programozási nyelv 2. rész Vezérlő szerkezetek Nyugat-Magyarországi Egyetem Faipari Mérnöki Kar Informatikai Intézet Soós Sándor 2005. szeptember A Java programozási nyelv Soós Sándor 1/23 Tartalomjegyzék
RészletesebbenDinamikus programozás párhuzamosítási lehetőségekkel
8. tavasz Dinamikus programozás párhuzamosítási lehetőségekkel A. Grama, A. Gupta, G. Karypis és V. Kumar: Introduction to Parallel Computing, Addison Wesley, könyv, valamint Michael Goodrich (Univ. California)
RészletesebbenFunkcionálanalízis. n=1. n=1. x n y n. n=1
Funkcionálanalízis 2011/12 tavaszi félév - 2. előadás 1.4. Lényeges alap-terek, példák Sorozat terek (Folytatás.) C: konvergens sorozatok tere. A tér pontjai sorozatok: x = (x n ). Ezen belül C 0 a nullsorozatok
RészletesebbenAlgoritmuselmélet. Legrövidebb utak, Bellmann-Ford, Dijkstra. Katona Gyula Y.
Algoritmuselmélet Legrövidebb utak, Bellmann-Ford, Dijkstra Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem 3. előadás Katona Gyula Y. (BME
RészletesebbenEdényrendezés. Futási idő: Tegyük fel, hogy m = n, ekkor: legjobb eset Θ(n), legrosszabb eset Θ(n 2 ), átlagos eset Θ(n).
Edényrendezés Tegyük fel, hogy a rendezendő H = {a 1,...,a n } halmaz elemei a [0,1) intervallumba eső valós számok. Vegyünk m db vödröt, V [0],...,V [m 1] és osszuk szét a rendezendő halmaz elemeit a
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 8. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
RészletesebbenÁltalános algoritmustervezési módszerek
Általános algoritmustervezési módszerek Ebben a részben arra mutatunk példát, hogy miként használhatóak olyan általános algoritmustervezési módszerek mint a dinamikus programozás és a korlátozás és szétválasztás
RészletesebbenOptimalizációs stratégiák 1.
Optimalizációs stratégiák 1. Nyers erő, Oszd meg és uralkodj, Feljegyzéses, Dinamikus, Mohó előadás http://nik.uni-obuda.hu/prog2 Szénási Sándor szenasi.sandor@nik.uni-obuda.hu Óbudai Egyetem,Neumann János
RészletesebbenProgramozási Módszertan definíciók, stb.
Programozási Módszertan definíciók, stb. 1. Bevezetés Egy adat típusát az adat által felvehető lehetséges értékek halmaza (típusérték halmaz, TÉH), és az ezen értelmezett műveletek (típusműveletek) együttesen
RészletesebbenEötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar. Analízis 1. Írásbeli beugró kérdések. Készítette: Szántó Ádám Tavaszi félév
Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Iformatikai Kar Aalízis 1. Írásbeli beugró kérdések Készítette: Szátó Ádám 2011. Tavaszi félév 1. Írja le a Dedekid-axiómát! Legyeek A R, B R. Ekkor ha a A és b B : a b, akkor
RészletesebbenDinamikus programozás vagy Oszd meg, és uralkodj!
Dinamikus programozás Oszd meg, és uralkodj! Mohó stratégia Melyiket válasszuk? Dinamikus programozás vagy Oszd meg, és uralkodj! Háromszögfeladat rekurzívan: c nj := a nj ha 1 j n c ij := a ij + max{c
RészletesebbenAlgoritmuselmélet 2. előadás
Algoritmuselmélet 2. előadás Katona Gyula Y. Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Számítástudományi Tsz. I. B. 137/b kiskat@cs.bme.hu 2002 Február 12. ALGORITMUSELMÉLET 2. ELŐADÁS 1 Buborék-rendezés
RészletesebbenAjánlott elemi feladatok az AAO tárgyhoz 41 feladat
Ajánlott elemi feladatok az AAO tárgyhoz 41 feladat Ha a feladat értelmezésével kapcsolatban probléma merül fel a vizsgán, meg kell kérdezni a vizsgáztató tanárt a megoldás megkezdés eltt. A feladatokat
RészletesebbenSpecifikáció. B logikai formula, a bemeneti feltétel, K logikai formula, a kimeneti feltétel, A az algoritmus, amelyre az állítás vonatkozik.
Algoritmus Az algoritmus olyan elemi műveletekből kompozíciós szabályok szerint felépített összetett művelet, amelyet megadott feltételt teljesítő bemeneti adatra végrehajtva, a megkívánt kimeneti adatot
Részletesebben1. numere.txt n (1 n 10000) n növekvő kilenc a) Pascal/C++ Például: NUMERE.TXT
Az informatika érettségi harmadik tételsora tartalmaz egy feladatot, melyet hatékonyan kell megoldani. A program megírása mellett követelmény a megoldásban használt módszer rövid leírása, kitérve a módszer
Részletesebben2. Visszalépéses stratégia
2. Visszalépéses stratégia A visszalépéses keres rendszer olyan KR, amely globális munkaterülete: út a startcsúcsból az aktuális csúcsba (ezen kívül a még ki nem próbált élek nyilvántartása) keresés szabályai:
RészletesebbenSpecifikáció. B logikai formula, a bemeneti feltétel, K logikai formula, a kimeneti feltétel, A az algoritmus, amelyre az állítás vonatkozik.
Algoritmus Az algoritmus olyan elemi műveletekből kompozíciós szabályok szerint felépített összetett művelet, amelyet megadott feltételt teljesítő bemeneti adatra végrehajtva, a megkívánt kimeneti adatot
RészletesebbenProgramozás alapjai C nyelv 5. gyakorlat. Írjunk ki fordítva! Írjunk ki fordítva! (3)
Programozás alapjai C nyelv 5. gyakorlat Szeberényi Imre BME IIT Programozás alapjai I. (C nyelv, gyakorlat) BME-IIT Sz.I. 2005.10.17. -1- Tömbök Azonos típusú adatok tárolására. Index
RészletesebbenSorozatok határértéke SOROZAT FOGALMA, MEGADÁSA, ÁBRÁZOLÁSA; KORLÁTOS ÉS MONOTON SOROZATOK
Sorozatok határértéke SOROZAT FOGALMA, MEGADÁSA, ÁBRÁZOLÁSA; KORLÁTOS ÉS MONOTON SOROZATOK Sorozat fogalma Definíció: Számsorozaton olyan függvényt értünk, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész
RészletesebbenSzámsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Valós számsorozaton valós számok meghatározott sorrendű végtelen listáját értjük. A hangsúly az egymásután következés rendjén van.
RészletesebbenAnalízis I. Vizsgatételsor
Analízis I. Vizsgatételsor Programtervező Informatikus szak 2008-2009. 2. félév Készítette: Szabó Zoltán SZZNACI.ELTE zotyo@bolyaimk.hu v.0.6 RC 004 Forrás: Oláh Gábor: ANALÍZIS I.-II. VIZSGATÉTELSOR 2006-2007-/2
RészletesebbenNEM-DETERMINISZTIKUS PROGRAMOK HELYESSÉGE. Szekvenciális programok kategóriái. Hoare-Dijkstra-Gries módszere
Szekvenciális programok kategóriái strukturálatlan strukturált NEM-DETERMINISZTIKUS PROGRAMOK HELYESSÉGE Hoare-Dijkstra-Gries módszere determinisztikus valódi korai nem-determinisztikus általános fejlett
RészletesebbenA továbbiakban Y = {0, 1}, azaz minden szóhoz egy bináris sorozatot rendelünk
1. Kódelmélet Legyen X = {x 1,..., x n } egy véges, nemüres halmaz. X-et ábécének, elemeit betűknek hívjuk. Az X elemeiből képzett v = y 1... y m sorozatokat X feletti szavaknak nevezzük; egy szó hosszán
Részletesebbenend function Az A vektorban elõforduló legnagyobb és legkisebb értékek indexeinek különbségét.. (1.5 pont) Ha üres a vektor, akkor 0-t..
A Név: l 2014.04.09 Neptun kód: Gyakorlat vezető: HG BP MN l 1. Adott egy (12 nem nulla értékû elemmel rendelkezõ) 6x7 méretû ritka mátrix hiányos 4+2 soros reprezentációja. SOR: 1 1 2 2 2 3 3 4 4 5 6
RészletesebbenBonyolultságelmélet. Monday 26 th September, 2016, 18:50
Bonyolultságelmélet Monday 26 th September, 2016, 18:50 A kiszámítás modelljei 2 De milyen architektúrán polinom? A kiszámításnak számos (matematikai) modellje létezik: Általános rekurzív függvények λ-kalkulus
RészletesebbenAlapfogalmak, valós számok Sorozatok, határérték Függvények határértéke, folytonosság A differenciálszámítás Függvénydiszkusszió Otthoni munka
Pintér Miklós miklos.pinter@uni-corvinus.hu Ősz Alapfogalmak Halmazok Definíció Legyen A egy tetszőleges halmaz, ekkor x A (x / A) jelentése: x (nem) eleme A-nak. A B (A B) jelentése: A (valódi) részhalmaza
RészletesebbenSzámláló rendezés. Példa
Alsó korlát rendezési algoritmusokra Minden olyan rendezési algoritmusnak a futását, amely elempárok egymással való összehasonlítása alapján működik leírja egy bináris döntési fa. Az algoritmus által a
RészletesebbenVéges automaták, reguláris nyelvek
Véges automaták, reguláris nyelvek Kiegészítő anyag az lgoritmuselmélet tárgyhoz (a Rónyai Ivanyos Szabó: lgoritmusok könyv mellé) Friedl Katalin BME SZIT friedl@cs.bme.hu 27. augusztus 3. véges automata
RészletesebbenAlgoritmizálás, adatmodellezés tanítása 8. előadás
Algoritmizálás, adatmodellezés tanítása 8. előadás Elágazás és korlátozás A backtrack alkalmas-e optimális megoldás keresésére? Van költség, és a legkisebb költségű megoldást szeretnénk előállítani. Van
RészletesebbenOsztott algoritmusok
Osztott algoritmusok A benzinkutas példa szimulációja Müller Csaba 2010. december 4. 1. Bevezetés Első lépésben talán kezdjük a probléma ismertetésével. Adott két n hosszúságú bináris sorozat (s 1, s 2
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2018. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 2. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
Részletesebben2010. október 12. Dr. Vincze Szilvia
2010. október 12. Dr. Vincze Szilvia Tartalomjegyzék 1.) Sorozat definíciója 2.) Sorozat megadása 3.) Sorozatok szemléltetése 4.) Műveletek sorozatokkal 5.) A sorozatok tulajdonságai 6.) A sorozatok határértékének
Részletesebben8. Mohó algoritmusok. 8.1. Egy esemény-kiválasztási probléma. Az esemény-kiválasztási probléma optimális részproblémák szerkezete
8. Mohó algoritmusok Optimalizálási probléma megoldására szolgáló algoritmus gyakran olyan lépések sorozatából áll, ahol minden lépésben adott halmazból választhatunk. Sok optimalizálási probléma esetén
RészletesebbenDiszkrét matematika 2.C szakirány
Diszkrét matematika 2.C szakirány 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 2.C szakirány 2. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék 2017.
RészletesebbenGAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN
GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN Készült a TÁMOP-4.1.-08//a/KMR-009-0041 pályázati projekt keretében Tartalomfejlesztés az ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszékén az ELTE Közgazdaságtudományi Tanszék
Részletesebben2016, Diszkrét matematika
Diszkrét matematika 7. előadás Sapientia Egyetem, Műszaki és Humántudományok Tanszék Marosvásárhely, Románia mgyongyi@ms.sapientia.ro 2016, őszi félév Miről volt szó az elmúlt előadáson? az ord, chr függvények
RészletesebbenPermutáció n = 3 esetében: Eredmény: permutációk száma: P n = n! romámul: permutări, angolul: permutation
Visszalépéses módszer (Backtracking) folytatás Permutáció n = 3 esetében: 1 2 3 2 3 1 3 1 2 Eredmény: 3 2 3 1 2 1 123 132 213 231 312 321 permutációk száma: P n = n! romámul: permutări, angolul: permutation
Részletesebben2018, Diszkrét matematika
Diszkrét matematika 3. előadás mgyongyi@ms.sapientia.ro Sapientia Egyetem, Matematika-Informatika Tanszék Marosvásárhely, Románia 2018, őszi félév Miről volt szó az elmúlt előadáson? számtartományok: természetes
Részletesebben32. A Knuth-Morris-Pratt algoritmus
32. A Knuth-Morris-Pratt algoritmus A nyers erőt használó egyszerű mintaillesztés műveletigénye legrosszabb esetben m*n-es volt. A Knuth-Morris-Pratt algoritmus (KMP-vel rövidítjük) egyike azon mintaillesztő
RészletesebbenBevezetés a matematikába (2009. ősz) 1. röpdolgozat
Bevezetés a matematikába (2009. ősz) 1. röpdolgozat 1. feladat. Fogalmazza meg a következő ítélet kontrapozícióját: Ha a sorozat csökkenő és alulról korlátos, akkor konvergens. 2. feladat. Vezessük be
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2018. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 9. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenAdattípusok, vezérlési szerkezetek. Informatika Szabó Adrienn szeptember 14.
Informatika 1 2011 Második előadás, vezérlési szerkezetek Szabó Adrienn 2011. szeptember 14. Tartalom Algoritmusok, vezérlési szerkezetek If - else: elágazás While ciklus For ciklus Egyszerű típusok Összetett
Részletesebben19. AZ ÖSSZEHASONLÍTÁSOS RENDEZÉSEK MŰVELETIGÉNYÉNEK ALSÓ KORLÁTJAI
19. AZ ÖSSZEHASONLÍTÁSOS RENDEZÉSEK MŰVELETIGÉNYÉNEK ALSÓ KORLÁTJAI Ebben a fejezetben aszimptotikus (nagyságrendi) alsó korlátot adunk az összehasonlításokat használó rendező eljárások lépésszámára. Pontosabban,
Részletesebben6. gyakorlat Egydimenziós numerikus tömbök kezelése, tömbi algoritmusok
6. gyakorlat Egydimenziós numerikus tömbök kezelése, tömbi algoritmusok 1. feladat: Az EURO árfolyamát egy negyedéven keresztül hetente nyilvántartjuk (HUF / EUR). Írjon C programokat az alábbi kérdések
Részletesebben6. gyakorlat. Gelle Kitti. Csendes Tibor Somogyi Viktor. London András. jegyzetei alapján
Közelítő és szimbolikus számítások 6. gyakorlat Sajátérték, Gersgorin körök Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Somogyi Viktor Vinkó Tamás London András Deák Gábor jegyzetei alapján . Mátrixok sajátértékei
RészletesebbenFonyó Lajos: A végtelen leszállás módszerének alkalmazása. A végtelen leszállás módszerének alkalmazása a matematika különböző területein
A végtelen leszállás módszerének alkalmazása a matematika különböző területein A végtelen leszállás (infinite descent) egy indirekt bizonyítási módszer, ami azon alapul, hogy a természetes számok minden
RészletesebbenKronecker-modulusok kombinatorikája és alkalmazások
Kronecker-modulusok kombinatorikája és alkalmazások BBTE, Magyar Matematika es Informatika Intézet Tegezek Meghatározás Egy Q tegez egy irányított multigráf (két csomópont között több irányított él is
RészletesebbenGauss-Seidel iteráció
Közelítő és szimbolikus számítások 5. gyakorlat Iterációs módszerek: Jacobi és Gauss-Seidel iteráció Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Somogyi Viktor London András Deák Gábor jegyzetei alapján 1 ITERÁCIÓS
RészletesebbenALAPFOGALMAK 1. A reláció az program programfüggvénye, ha. Azt mondjuk, hogy az feladat szigorúbb, mint az feladat, ha
ALAPFOGALMAK 1 Á l l a p o t t é r Legyen I egy véges halmaz és legyenek A i, i I tetszőleges véges vagy megszámlálható, nem üres halmazok Ekkor az A= A i halmazt állapottérnek, az A i halmazokat pedig
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 6. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
RészletesebbenTartalom Keresés és rendezés. Vektoralgoritmusok. 1. fejezet. Keresés adatvektorban. A programozás alapjai I.
Keresés Rendezés Feladat Keresés Rendezés Feladat Tartalom Keresés és rendezés A programozás alapjai I. Hálózati Rendszerek és Szolgáltatások Tanszék Farkas Balázs, Fiala Péter, Vitéz András, Zsóka Zoltán
Részletesebben1. Alapfogalmak Algoritmus Számítási probléma Specifikáció Algoritmusok futási ideje
1. Alapfogalmak 1.1. Algoritmus Az algoritmus olyan elemi műveletekből kompozíciós szabályok szerint felépített összetett művelet, amelyet megadott feltételt teljesítő bemeneti adatra végrehajtva, a megkívánt
RészletesebbenAlgoritmuselmélet 1. előadás
Algoritmuselmélet 1. előadás Katona Gyula Y. Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Számítástudományi Tsz. I. B. 137/b kiskat@cs.bme.hu 2002 Február 11. ALGORITMUSELMÉLET 1. ELŐADÁS 1 Források
RészletesebbenDinamikus programozás
12. ábra: A téglák kiválasztása a portok mellett Könyvészet http://botbench.com/blog/2013/01/08/comparing-the-nxt-and-ev3-bricks/ http://education.lego.com/es-es/products http://en.wikipedia.org/wiki/arm9
Részletesebben2016, Diszkrét matematika
Diszkrét matematika 2. előadás Sapientia Egyetem, Műszaki és Humántudományok Tanszék Marosvásárhely, Románia mgyongyi@ms.sapientia.ro 2016, őszi félév Miről volt szó az elmúlt előadáson? Követelmények,
Részletesebben9. előadás. Programozás-elmélet. Programozási tételek Elemi prog. Sorozatszámítás Eldöntés Kiválasztás Lin. keresés Megszámolás Maximum.
Programozási tételek Programozási feladatok megoldásakor a top-down (strukturált) programtervezés esetén három vezérlési szerkezetet használunk: - szekvencia - elágazás - ciklus Eddig megismertük az alábbi
Részletesebben... fi. ... fk. 6. Fabejáró algoritmusok Rekurzív preorder bejárás (elsőfiú-testvér ábrázolásra)
6. Fabejáró algoritmusok Fa bejárásán olyan algoritmust értünk, amelynek bemenete egy F fa és egy M művelet, és az algoritmus adott sorrendben pontosan egyszer végrehajtja az M műveletet a fa pontjaiban
RészletesebbenDiszkrét matematika 2.
Diszkrét matematika 2. 2018. szeptember 21. 1. Diszkrét matematika 2. 2. előadás Fancsali Szabolcs Levente nudniq@cs.elte.hu www.cs.elte.hu/ nudniq Komputeralgebra Tanszék 2018. szeptember 21. Gráfelmélet
Részletesebben1. tétel - Gráfok alapfogalmai
1. tétel - Gráfok alapfogalmai 1. irányítatlan gráf fogalma A G (irányítatlan) gráf egy (Φ, E, V) hátmas, ahol E az élek halmaza, V a csúcsok (pontok) halmaza, Φ: E {V-beli rendezetlen párok} illeszkedési
RészletesebbenKeresés és rendezés. A programozás alapjai I. Hálózati Rendszerek és Szolgáltatások Tanszék Farkas Balázs, Fiala Péter, Vitéz András, Zsóka Zoltán
Keresés Rendezés Feladat Keresés és rendezés A programozás alapjai I. Hálózati Rendszerek és Szolgáltatások Tanszék Farkas Balázs, Fiala Péter, Vitéz András, Zsóka Zoltán 2016. november 7. Farkas B., Fiala
Részletesebben1. Generátorrendszer. Házi feladat (fizikából tudjuk) Ha v és w nem párhuzamos síkvektorok, akkor generátorrendszert alkotnak a sík vektorainak
1. Generátorrendszer Generátorrendszer. Tétel (Freud, 4.3.4. Tétel) Legyen V vektortér a T test fölött és v 1,v 2,...,v m V. Ekkor a λ 1 v 1 + λ 2 v 2 +... + λ m v m alakú vektorok, ahol λ 1,λ 2,...,λ
RészletesebbenHamilton-körök és DNS molekulák
GoBack Hamilton-körök és DNS Tengely Szabolcs 2005. november 4 tengely@math.klte.hu KöMaL Ifjúsági Ankét 2005 slide 1 Gráfok Gráfok Példa Nehéz dió DNS Hossz - S 1 n G n alkalmazása G = (V,E) egyszerű
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 4 IV. FÜGGVÉNYEk 1. LEkÉPEZÉSEk, függvények Definíció Legyen és két halmaz. Egy függvény -ből -ba egy olyan szabály, amely minden elemhez pontosan egy elemet rendel hozzá. Az
RészletesebbenAlkalmazott modul: Programozás 4. előadás. Procedurális programozás: iteratív és rekurzív alprogramok. Alprogramok. Alprogramok.
Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar Alkalmazott modul: Programozás 4. előadás Procedurális programozás: iteratív és rekurzív alprogramok Giachetta Roberto groberto@inf.elte.hu http://people.inf.elte.hu/groberto
Részletesebben17. előadás: Vektorok a térben
17. előadás: Vektorok a térben Szabó Szilárd A vektor fogalma A mai előadásban n 1 tetszőleges egész szám lehet, de az egyszerűség kedvéért a képletek az n = 2 esetben szerepelnek. Vektorok: rendezett
Részletesebbenf(x) a (x x 0 )-t használjuk.
5. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 5.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási
RészletesebbenKupac adatszerkezet. A[i] bal fia A[2i] A[i] jobb fia A[2i + 1]
Kupac adatszerkezet A bináris kupac egy majdnem teljes bináris fa, amely minden szintjén teljesen kitöltött kivéve a legalacsonyabb szintet, ahol balról jobbra haladva egy adott csúcsig vannak elemek.
Részletesebben