BODE-diagram. A frekvencia-átviteli függvény ábrázolására különféle módszerek terjedtek el:

Átírás

1 BODE-diagram Egy lineáris ulajdonságú szabályozandó szakasz (process) dinamikus viselkedése egyérelmő kapcsolaban áll a rendszer szinuszos jelekre ado válaszával, vagyis a G(j) frekvenciaávieli függvénnyel egyérelmően jellemezheı. Még jelenleg is széles körben alkalmazzák a szabályozók ervezése során a frekvencia-arománybeli módszereke. Bár a jellemzı diagramoka manapság már szine kizárólag számíógéppel rajzolaják meg, mégis elengedheelen a diagramok szerkeszési lépéseinek ismeree. frekvencia-ávieli függvény ábrázolására különféle módszerek erjedek el: a) BODE-diagramok Egy komplex számo ampliúdójával és fázisszögével jellemezheünk. Ezér kézenfekvı a jϕ( ) komplex G(j ) = G(j) e frekvencia-ávieli függvény ampliúdójá és fázisszögé külön diagramokban, a körfrekvencia függvényében ábrázolni: ( ) = G(j) G( j) ϕ( ) Ennek megfelelıen ké diagram szolgál a G(j) frekvencia ávieli függvény eljes információaralmának ábrázolására: 1. Logarimikus lépékő ampliúdó nagyíás vs. körfrekvencia diagram: log G( j) = f (log) z ampliúdó-nagyíási függvény (a kimenı jel és a gerjeszı jel ampliúdójának arányá) logarimikus lépékben (decibelben) ábrázoljuk a gerjeszı jel logarimikus lépékben mér körfrekvenciájának függvényében. Megjegyzés: az ampliúdó-arány decibelben () mérve megállapodás szerin = az ampliúdó-arány logarimusának hússzorosával: = log. Szigorúan véve csak ké azonos dimenziójú mennyiség arányának kifejezésére alkalmas. Például ha a kimenıjel ampliúdója 7V, a gerjeszı jel ampliúdója pedig 1V, akkor az ampliúdónagyíás 7 = log = 3 1. Fázisolás-körfrekvencia diagram: ϕ = g(log) fokokban mér fázisolás ábrázoljuk a gerjeszı jel logarimikus lépékben mér körfrekvenciájának függvényében. Megjegyzés: a vízszines engelyen mér ké körfrekvencia (vagy bármely más fizikai mennyiség) ízszeres arányá dekádnak nevezzük, vagyis Körfrekvencia arány dekád = log. 1 Például 1 1/s és 1 1/s aránya = dekád, mivel = log =. 1 1

2 z ampliúdó nagyíás logarimikus ábrázolása azér elınyös, mivel α) egy összee (öbb ényezıbıl álló) ávieli függvény eredı BODE-diagramja az egyes ényezık BODE-diagramjainak egyszerő összeadásával nyerheı. ( szorzás mővelee a logarimus arományban összeadássá módosul - Lásd középiskolai maemaika) β ) logarimikus lépék nagy, öbb nagyságrende áfogó arományok ábrázolásá eszi leheıvé mind a vízszines, mind a függıleges engelyen. Jellegzees ényezık és azok függvényei G(j) frekvencia-ávieli függvény álalában öbb ényezı szorzaakén állíhaó elı, melyek közül a leggyakoribb három a kövekezı alakú: 1) ) 3) K (j, n=, ±1,±, sb. n (j ) (j + 1) ) + Dj + 1 Nézzük az egyes ípusok ulajdonságai és jellemzı diagramjai. 1. ípusú ényezı G(j)= K n (j) Mivel n csak egész szám lehe, ezér a kifejezés vagy iszán valós (n= páros), vagy iszán képzees (n=páralan). Ennek megfelelıen ( ) = K n n (j) = K ( ) Mindké oldal logarimusá véve és -szal szorozva log = log K + n log Ez a kifejezés egy egyenes egyenlee az -log koordináarendszerben: = nlog + log K y m x b z egyenes meredeksége (n) /dekád, vagyis lehe /dekád (vízszines), ± /dekád, ±4 /dekád, sb. z egyenes ábrázolásához célszerő elıször az egyenes egy kiünee ponjá ábrázolni, célszerően az =1 rad/s abszcisszájú pono, mivel ennek oordináája az = log K összefüggéssel egyszerően számíhaó. fázisolás illeıen a kövekezı megállapíás ehejük: Ha n=, akkor G(j)=K, valós szám fázisolása φ= Ha n=1, akkor G(j)=jK, iszán képzees szám, aminek fázisolása φ=9 Ha n=, akkor G(j)=-K, negaív valós szám (ellenfázis), fázisolása φ=18

3 Ha n=3, akkor G(j)=-jK 3, negaív képzees szám, fázisolása ϕ=7..sb. Álalánosíva: eszıleges n kievıre a fázisolás φ=n9 Példa Legyen G(j ) = 1( j). Rajzoljuk meg az ampliúdó nagyíási függvény, valamin a fázisolás! z egyenes egy ponja P(1 rad/s, 6 ), ugyanis =1 rad/s körfrekvencián az erısíés =log1=6. kifejezés kievıje n=+, ennek megfelelıen az egyenes meredeksége + =+4 /dekád. fázisolás φ=n*9 =*9 =18. z ampliúdó nagyíási függvény a felsı ábrán láhaó, alaa a fázisolás ábrázoluk a gerjeszés körfrekvenciájának függvényében ϕ 18 m= 4 / dekád P(1;6) 4 dekád, , ípusú ényezı G(j ) = (j + 1), árolós, elsırendő ag. z ampliúdó-nagyíás ( ) = ( ) + 1 BODE-diagramok szerkeszése fáradságos munkával jár, ezér szokás azoka érinıikkel közelíeni, nem csökkenve jelenısen a diagramok információaralmá.

4 a) Kis ( << ) gerjeszı frekvenciákra a gyök alai mennyiség elsı agja az 1 melle elhanyagolhaó, így ( ) 1 Logarimálás uán a bal oldali (kisfrekvenciás) aszimpoa egyenlee: log = log1= (Vízszines koordináaengely egyenlee) b) Nagy ( >> ) gerjeszı frekvenciákra az 1 elhanyagolhaó a másik ag melle, így ( ) Logarimálás és -szal való szorzás uán a jobboldali aszimpoa egyenlee: log = ± log log (± /dekád meredekségő ferde egyenes egyenlee) m x b Érinık meszésponja z aszimpoák megrajzolásá megkönnyíi azok meszésponjának ismeree. ké aszimpoa meszésponja a kövekezı egyenlerendszerbıl kaphaó: = =± log log Innen = adódik. Mos már fonos jelenés ulajdoníhaunk a kifejezésben -vel jelöl mennyiségnek. z jelenése: örésponi körfrekvencia. Ennél a körfrekvenciánál válozik az érinık meredeksége. mennyiben a kievı n=1, a jobboldali aszimpoa meredeksége + /dekád érékkel válozik a baloldali aszimpoa meredekségéhez képes (felüláereszı jelleg). mennyiben a kievı n= -1, a jobboldali aszimpoa meredeksége - /dekád érékkel válozik a baloldali aszimpoa meredekségéhez képes (aluláereszı jelleg). Közelíés hibája Mos nézzük meg, hogy mekkora maximális hibá köveünk el, ha az ampliúdó nagyíási függvény az érinıivel helyeesíjük! z ampliúdó nagyíás ponos éréke a örésponi körfrekvencián ( = ± ( ) 1 ) = ( ) + 1 = Decibelben mérve ( = ) = log ±,5 = log =± 3 kisfrekvenciás erısíéshez képes ( ) a örésponban énylegesen ± 3 erısíés van (az elıjel a kievı elıjelével egyezik meg), ezér az érinıkkel való közelíés hibája a örésponban ± 3. fázisolás kis frekvencián (<< ) φ=, mivel G(j) 1, valós szám.

5 nagyfrekvenciás fázisolás (>> ) φ= ± 9, mivel G(j) (j/ ) ±1, képzees szám. Példa 1 Haározzuk meg a G( j ) = frekvencia-ávieli függvény (aluláereszı j+ 1 jellegő ag) aszimpoái! Elıször hozzuk ismer alakra a kifejezés: m= / dekád j) = 1 j = 1( j+ 1) + 1 j = 1[1( + 1)] 1 = (j + 1) 5 z áalakío formulából kiolvashajuk a örésponi körfrekvencia éréké: =5 1/s. kifejezés kievıje n= -1, ezér a jobboldali érinı meredeksége (-1)* /dekád, az egyenes lefelé lej. z ábrán jól lászik a ényleges (kék) görbe és az érinıkkel helyeesíe (piros) görbe maximális elérése a örésponban (3 ). z érinık a örésponól ávol nagyon jól közelíik a görbé. fázisgörbé érinıivel helyeesíve 9 fokos fázisugrás a örésponi frekvencián kövekezik be. valóságban a fázisválozás nem élesen, hanem folyamaosan örénik (kék görbe). örésponól ávol a közelíés jó ϕ = 5, m= / dekád dekád - 3 m= - /dekád -, ípusú ényezı G(j)= (j ) + Dj + 1, másodrendő ag. a) Kis frekvencián (<< )az ampliúdó nagyíási függvény () 1, vagyis ().

6 b) Nagy frekvencián (>> és >>D ) az ampliúdó nagyíási függvény ( ), vagyis ( ) ± 4 log 4 log. z érinık meszésponja mos is =. legnagyobb elérés a örésponi frekvencián van, éréke a kövekezı: ( = ) = (1 ) + (D ) = D. fázisolás nagy frekvencián, mivel G(j ) ( ) nagy negaív valós szám, a kövekezı összefüggéssel számíhaó: ϕ = arcg = n18 ± Példa Rajzoljuk meg a (j) = ( j) BODE-diagramjai! G 5 frekvencia-ávieli függvény érinıkkel közelíe + 3( j) + 5 lakísuk á a kifejezés a kövekezı módon: D n G(j) = ( j) 5 5 j 3 j = = (j) + 5 j j z áalakío kifejezésbıl az alábbi információkaz olvashajuk ki: örésponi körfrekvencia =5 rad/s. csillapíás D=,3 örésponi erısíés-elérés (D) -1 =1,66, decibelben +4,4. kievı n=-1, a jobboldali érinı n= -4 /dekád meredekségő. fázisolás a örésponi körfrekvenciánál n9=-18 fokkal válozik

7 ,4, m= / dekád = 5 m= - 4 /dekád ϕ, MTLB programmal a NEW, m-file menü válaszása uán írjuk be a kövekezı uasíásoka: num=[5]; den=[1 3 5]; bode(num,den)

8 Bode Diagram Magniude () Phase (deg) Frequency (rad/sec) Példa összee frekvencia-ávieli függvény ábrázolására Ábrázoljuk érinıivel a 1 (j+,1) (j) = frekvencia-ávieli függvény! j (j) + 5j+ 4 G Áalakíva a kifejezés ismer ípusú ényezık szorzaára: j,1( + 1) 1 (j+,1) 1,1 G(j) = = j (j) + 5j+ 4 j j j 4 +,5 + 1 j + 1 j j = 5( j) ( + 1), ípus,1.ípus 3.ípus = z ábrázolás során a kövekezı sorrende célszerő köveni: 1) Ha van K (j) n ípusú ényezı, akkor annak ábrázolásával kezdjük a szerkeszés, mivel az ilyen ényezıbıl származik a görbe bal oldali érinıje. z érinınek célszerően az a P ponjá haározzuk meg, melynek abszcisszája =1 rad/s. I az erısíés = 5(j =5 ami decibelben ( = 1) = log 5 8 P ) = 1 P =

9 P, z egyenes meredeksége annyiszor /dekád, amennyi (j) kievıje. Jelen eseben n= -1, ehá az egyenes meredeksége - /dekád. m= - / dekád P -, ) zzal a ényezıvel folyajuk a szerkeszés, melynek örésponi körfrekvenciája a j + 1 legkisebb. Jelen eseben ez a ( + 1) ényezı, melynek örésponi körfrekvenciája,1 1 =,1 rad / s. Mivel ez a ényezı elsırendő és kievıje n=+1, ezér a öréspon uán az érinı meredeksége n= + /dekád érékkel válozik a öréspon elıi érékhez képes. öréspon elı a meredekség - /dekád vol, így a öréspon uán - /dekád+ db/dekád= /dekád lesz. m= - / dekád -6 m= / dekád , ) kövekezı ényezı az, melynek örésponi körfrekvenciája soron kövekezik. j j +,5 + 1 másodrendő ényezı örésponi körfrekvenciája = rad / s, kievıje n=-1. Ebben a örésponban az érinı meredeksége a öréspon elıi /dekád érékhez képes n /dekád érékkel, ehá -4 /dekád érékkel válozik.

10 m= - / dekád -6 m= / dekád , m= -4 / dekád 1 Végezeül a közelíı görbé is berajzoljuk az ábrába. z erısíés elérés az elsı 1 =,1 rad/s örésponi körfrekvencián 3 (elsırendő ad!), míg a második = rad/s örésponban (D) n =,5-1 =4, ami decibelben log4= ϕ, =,1 =, Ellenırzésül Malab programmal is megrajzolajuk a BODE-diagramoka. frekvenciaávieli függvény számlálójának (numeraor=számláló) és nevezıjének (denominaor=nevezı) megadása uán a bode(számláló,nevezı) uasíással megkapjuk a BODE-diagramoka. program az alábbi m-file begépelésébıl áll:

11 num=[1 1]; % számláló j csökkenı haványai szerin rendeze együhaói den=[1 5 4 ]; % nevezı j csökkenı haványai szerin rendeze együhaói bode(num,den) ile( Bode Diagram ) % a diagram címe 1 Bode Diagram 8 Magniude () Phase (deg) Frequency (rad/sec) kézzel szerkesze, valamin a számíógéppel rajzolao BODE-diagramok ökélees egyezés muanak. BODE-diagramok ovábbi ulajdonságai Erısíés válozaása Vizsgáljuk meg, hogy mikén módosulnak egy G (j) alakú frekvencia-ávieli függvény BODE-diagramjai, ha a függvény λ skalár együhaóval megszorozzuk a) Elıször vizsgáljuk az ( ) =λ ( ) ampliúdó nagyíás. Vegyük mindké oldal logarimusának hússzorosá: log ( ) = logλ+ log ( ) ( ) ( ) Megállapíhajuk, hogy az új ampliúdó nagyíási függvény csupán egy logλ konsansban ér el az eredei ( ) ampliúdó nagyíási függvényıl. Egy λ konsanssal való szorzás az eredei BODE-diagramo függıleges irányban olja el logλ érékkel.

12 Ha λ>1, akkor az eredei BODE-diagram felfelé, ha λ<1, akkor lefelé olódik el. b) Mos vizsgáljuk meg, hogy a λ konsanssal való szorzásnak van-e haása a fázisolásra? fázisolás a komplex G (j) függvény komplex N (j) számlálójának és komplex D (j) nevezıjének fázisolásával kifejezve ϕ ) =ϕ ( ) ϕ ( ) ( N D λn (j Tudjuk, hogy a ) mővele az N (j) komplex számnak mind a valós, mind a képzees részé ugyanolyan arányban nyújja meg, hiszen λ N ( j) =λ(re N ( j) + Im N (j)) Kövekezésképpen a valós számo ábrázoló vekornak csak a hossza válozik, a szöge nem. z elmondoakból kövekezik, hogy Egy λ konsanssal való szorzásnak a fázisviszonyokra nincs haása. Távoli örésponokra érinıkkel való közelíés jó m1=f([1 1],[1 5 4 ]); m=f(1*[1 1],[1 5 4 ]); m3=f(1*[1 1],[1 5 4 ]); bode(m1,m,m3) 15 Bode Diagram Magniude () Phase (deg) Frequency (rad/sec)