Ezt már csak azért is érdemes megtenni, mert így egy olyan egyenletet kapunk, ami bármilyen harmonikus rezgés esetén használható, csak az 0

Átírás

1 7. Rezgések mechanikája (harmonikus rezgőmozgás mozgásegyenle, annak megoldása, periódusidő, frekvencia, csillapío rezgés, alulcsillapío ese megoldása*, kényszerrezgés és rezonancia) Fonos: a dől beűvel szede szakaszok nem kellenek, csak a 4-5 jegyér érdemes őke megnézni! Ez igaz az ezen szakaszokhoz arozó képleekre is, bár azok nincsenek dől beűvel szedve! A meganulandó legfonosabb összefüggéseke bekereezem. ellenek viszon a leheséges függvényalakok! Ezeke is bekereezem. A mechanikában nagyon sok olyan jelenségkör van, ami rezgésekkén, vagy rezgések összeéelekén leírhaó. Rengeeg kölcsönhaás veze(he) különböző ípusú rezgésekhez, hullámokhoz. Így kiemelen fonos foglalkozni ezekkel. Ráadásul a rezgések maemaikája nagyon sok nem mechanika árgyú jelenség érelmezésében is megjelenik (elekromágneses jelenségek, kvanummechanika, sb.). Az alábbiakban a legegyszerűbb rezgés-ípusok leírásával fogunk foglalkozni. Igyekszünk felvillanani öbb olyan maemaikai módszer is, amelyek szélesebb körben, bonyolulabb jelenségek leírásánál is hasznosak lehenek. De mindenhol igyekszünk a mindennapi apaszalaokhoz köheő eredményeke külön is kiemelni, hogy a maemaikai módszerek közö a fizikai aralom ne vesszen el! Harmonikus rezgések A harmonikus rezgések közül a rugóra akaszo es leírása az, ami a leginkább szemlélees, érdemes ennek részleezésével kezdeni a rezgések leírásá. A rugóerő kifejezése Fx Dx, ahol az x vekor a rugó végére erősíe es kiérése. Az erő kifejezésében a negaív előjel az írja le, hogy ha egy rugó megnyújunk, szerene összehúzódni, ha összenyomjuk, szerene eredei állapoára nyúlni vagyis az erőhaás mindig ellenées irányú a kiéréshez képes. A rugóerő sokféle mozgás eredményezhe, aól függően, hogy a kezdei sebesség és helyze hogyan viszonyul a rugó nyúlásának irányához. I a legegyszerűbb esee fogjuk vizsgálni, a rugó végére erősíe es csak egy irányban fog mozogni, vagyis egy dimenziós mozgáskén fogjuk leírni ergo elegendő egyelen engely kiválaszani legyen ez az x engely. n Ekkor az ma = å F i mozgásegyenle az alábbi alako öli: mx Dx. i=1 Azonban nem ebben az alakjában fogjuk megoldani az egyenlee, hanem leoszjuk a ömeggel, és bevezejük a D/m mennyisége, ami körfrekvenciának nevezünk. Ezzel x x. Ez már csak azér is érdemes megenni, mer így egy olyan egyenlee kapunk, ami bármilyen harmonikus rezgés eseén használhaó, csak az körfrekvencia fog más fizikai mennyiségekől függni. Ennek az egyenlenek a megoldásával így eszőleges harmonikus rezgés udunk érelmezni, nem csak a rugós rezgéseke. Az egyenle megoldási folyamaá i nem részleezzük, de az eredmény ismereében leellenőrizzük, hogy az valóban az egyenle megoldása. A feni differenciálegyenle megoldása x()=asin( + ) Ebből kiszámolhaó a sebesség és a gyorsulás időfüggése, amik v() = x() =A cos ( + ) és a() = v() = x() = A sin( + ),

2 amiből jól lászik, hogy a feni kiérés-idő függvény ényleg megoldása az egyenlenek. Azonban az is jól lászik, hogy a megoldásban megjelenik ké mennyiség, A és δ, amikről a differenciálegyenle nem mond semmi. Először nézzük meg, mi is jelenenek ezek a mennyiségek! Tekinsük példakén az az rezgés, ahol m,5kg és D 5N / m. Ebben az eseben 1 1/ s lesz. Hogy érelmezni udjuk az újonnan bevezee A mennyisége, rajzoljuk be a feni ábrára az x=a és x= A érékeke! Min láhaó, az A a legnagyobb kiérése a rezgésnek, ez Ampliúdónak nevezzük. A δ- elnevezése Fáziselolás (vagy fázisolás, fázis), és az mondja meg, hogy a megoldásunk hol kezdődik egy egyszerű szinusz függvényhez képes. icsi ponosabban, arról anúskodik, hogy a szinusz függvény mennyivel oluk el a vízszines engely menén. Ennek bemuaásához a kiérés nem időben érdemes ábrázolni, hanem az mennyiség függvényében. δ Ez a ké mennyisége (ampliúdó és fáziselolás) nem udjuk a differenciálegyenle alapján meghaározni, kezdei feléeleke kell a mozgásegyenle mellé adnunk, hogy a mozgás ponos leírásá megkapjuk.

3 Emlékezeő: Egy n-ed rendű differenciálegyenle (vagyis az egyenleben a legmagasabb derivál az n-edik derivál) megoldásá akkor kapjuk meg, ha megadunk n darab kezdei feléel, vagyis megadjuk az n-1-edik, n-- edik, deriválak, és a kerese függvény éréké álalunk válaszo időponokban. Erre a legegyszerűbb példa a hajíás. A hajíások mozgásegyenlee nagyon egyszerű, a gyorsulás egy függőlegesen lefelé muaó, 9,81m/s nagyságú vekor. De ez még az sem mondja meg, hogy szabadesésről, vagy vízszines hajíásról beszélünk, az meg végképp nem udjuk kiszámolni, hogy a mozgás 3. másodpercében hol lesz a es. Ezek mind iszázhaóak, ha udjuk egy ado időpillanaban a es sebességé és helyzeé. Jellemző módon a kezdei sebessége és a kiindulási pon koordináái szokuk megadni. Így már udjuk, milyen jellegű mozgásról van szó ponosan, és ki udjuk számolni bármely időpillanaban a es helyzeé és sebességé. Lévén a mozgásegyenleünk másodrendű differenciálegyenle, szükségünk van a sebesség, illeve a kiérés érékére egy ado időpillanaban. Ezeke nevezzük kezdei feléeleknek, vagyis ha a válaszo időpono -val jelöljük, meg kell adnunk v( = ) = v és x( = ) = x éréké. Ha más nem köveel a felada, érdemes a =s időpono válaszani a kezdei feléelek számára. Ekkor, ha ez az időpillanao behelyeesíjük a megoldásba, az alábbi egyenleeke kapjuk v(=s)=a cos( )=v x(=s)=asin( )=x. Ez egy ké-ismerelenes egyenle-rendszer A-ra és δ-ra. De nézzünk mos ké konkré esee, a példa kedvéér! Az első eseben megnyújom a rugó, és elengedem. Vagyis a kezdei sebesség m/s lesz, míg lesz egy x kezdei helyzee a esnek. Ekkor Acos( )= cos( ) 1 /9, 3 /7, lévén sem az ampliúdó, sem a körfrekvencia nem nulla (akkor nem beszélhenénk rezgésekről). Az egyszerűség kedvéér válasszuk az első megoldás, és az eredmény behelyeesíve a kezdei helyzere Asin / A x lesz, vagyis a kezdei kiérés lesz a maximális kiérés. A másik vonakozó feléelünkbe, megoldás válaszva az kapjuk, hogy a kezdei kiérés Asin 3 / A x lesz egyenlő. Ez ugyanaz az eredmény, min az első eseben, csak az egyik megoldásnál megnyújom a rugó, a másiknál összenyomom, és onnan indul a mozgás. Egy másik leheőség az, hogy megüöm a ese a rugó végén, vagyis valamekkora kezdei sebességgel indul, de az egyensúlyi helyzeből, vagyis a kezdei kiérés m. Mos a kezdei helyzere vonakozó egyenlee érékelem ki elsőkén, így Asin( )= sin( ) 1, 18. Válasszuk mos is az első megoldás, akkor Acos A v, vagyis A v /. A másik megoldás eseén hasonló a végeredmény, csak o a másik irányba indíom el a ese. Periódusidő, körfrekvecia, frekvencia A körfrekvencia fogalma nem úlságosan szemlélees, érdemes bevezeni ennél könnyebben érelmezheő fogalmaka. Ebben a kulcso a Periódusidő jeleni, ami T-vel jelölünk, és megmondja, hogy a rezgésnek mennyi időre van szüksége egy eljes periódus bejárásához. Rajzoljuk fel mos a feni példa kiérés-idő függvényé kevesebb periódusra, hogy könnyebben ábrázolni udjuk a periódusidő!

4 T A periódusidő megadhaó a körfrekvencia alapján a T / összefüggéssel. A körfrekvencia jelében mos nem szerepel a alsó index, mer a periódusidő bármilyen rezgésre érelmezheő, míg ω a harmonikus rezgés körfrekvenciájá jelöli ebben a fejezeben. Bevezeheő egy másik mennyiség is, ami egyszerűen csak Frekvenciának hívunk. Jele f, mérékegysége [Hz], vagyis Herz. A körfrekvenciából egyszerűen számolhaó az f összefüggéssel. Hogy a ké mennyiség közö mi az érdemi különbség, az kiderül, ha megadjuk a periódusidő ezek segíségével. Az eredmény T / 1/f. Ez alapján lászik, hogy a frekvencia azzal áll szorosabb kapcsolaban, hogy egy eljes periódus mennyi idő ala esz meg a rezgés, míg a körfrekvencia azzal, hogy egy radián mennyi idő ala esz meg. Az ω körfrekvencia a rezgések elmélei leírásában fonos (láhaóan egyszerűen udunk vele számolni), azonban az alkalmazások szemponjából elerjedebb az f frekvencia használaa. Rugós rezgés energiája Vizsgáljuk mos meg a rugóerő álal kele harmonikus rezgés energeikai szemponból! Bizonyíani nem fogjuk, de a rugóerő konzervaív erőérkén viselkedik, vagyis léezik hozzá arozó poenciális energia, ami az alábbi alakban írhaó fel 1 E p (x) Dx. Érdemes kiszámolni a mozgás mechanikai energiájá (a kineikus és poenciális energiák összegé). Erre az alábbi levezeés kapjuk: EM Ek Ep mv Dx ma cos ( + )+ DA sin ( + )= 1 D ma cos ( + )+ DA sin ( + )= DA cos ( + )+sin ( + ) DA m Jól láhaó, hogy a mozgás során az összes mechanikai energia megmarad, ahogyan az elvárhaó egy konzervaív erőéről. iegészíések a rugóerő kapcsán A feni modell első álalánosíása az lehe, ha a figyelembe vesszük a graviáció haásá is. Érdekes módon a nehézségi erő nem válozaja meg a rezgés alakjá, csupán az egyensúlyi helyzee válozaja meg. Legyen a mozgásegyenleünk az alábbi: mx Dxmg.

5 A korábbi egyenle megoldásánál udjuk, hogy a rezgés leírásában az x= éréke válaszouk annak az egyensúlyi helyzenek, ami körül a es rezeg. Válozassunk mos ezen, az alábbi módszerrel! Vezessük be az x x l éréke, ahol l konsans. Felhasználva, hogy x x l, írjuk fel újra a feni mozgásegyenlee! mx D xl mg DxDl mg. Ha l konkré éréké megfelelően válaszjuk, az egyenle nagyban leegyszerűsödik. Vagyis, ha l mg/d, akkor mx Dx, és ez már ugyanaz a rezgőmozgás, min ami a feniekben leírunk. A különbség annyi, hogy az egyensúlyi helyze nem az eredei rugó-hossznál alálhaó, hanem l val lejjebb. Fonos kiemelni, hogy ugyanez az l megnyúlás kapjuk, ha a nehézségi erő és a rugóerő egyensúlyá vizsgáljuk, amikor a ese a Föld graviációs erében egy rugóra akaszjuk (vagy ráhelyezzük), és vizsgáljuk, mikor nem mozdul a es. Természeesen a rugóerők nem a fenieknek megfelelő, egyszerű alakúak álalában. Vannak olyan nemlineáris rugós modellek, amelyek ovábbi agoka aralmaznak a rugóerő kifejezésében, amelyek különösen fonosak nagy kiéréseknél. Ezek bár egyszerű alakú kiegészíések egészen más ípusú mozgásoka is okozhanak (például anharmonikus mozgásoka). Csillapodó rezgés A csillapodó rezgéseke ismé a rugós rendszerben vizsgáljuk meg. Ebben az eseben a esre erő ha: a FR Dx rugóerő, és egy sebességgel arányos F v közegellenállási erő, aminél a negaív előjel kódolja a ény, hogy az erőhaás igyekszik csökkeneni a sebessége. Megjegyzés: a sebességgel arányos közegellenállás súrlódáskén, vagy viszkózus közegellenálláskén érelmezhejük. Ezen kívül van még a sebesség négyzeével arányos közegellenállási erő, ami gyakran vizsgálnak. Így a ma = n å F i i=1 összefüggés eseünkben ma Dx v alakú lesz. Ez a korábban bemuao módon felírhajuk az alábbi differenciálegyenle alakjába mx Dx x Ez a későbbiek kedvéér árendezzük rövidíő jelöléseke. m xx x alakba, ahol bevezeük az D/m és eressük a megoldás x() e alakban! Ez behelyeesíve a feni egyenlebe, és felhasználva, hogy x() e és x() e az alábbi eredmény kapjuk: e e e. e Lévén az nem azonos a zérus függvénnyel, a feni kifejezés csak akkor lehe minden időpillanaban zérus, ha.

6 Ez egy másodfokú egyenle a λ mennyiségre, ami ha ki udunk fejezni az ω és α mennyiségekkel, megkapjuk a megoldás konkré alakjá. A másodfokú egyenle megoldása: 4 4 1, Azonban λ- erősen meghaározza, hogy ω és α hogyan viszonyul egymáshoz. Olyannyira, hogy ez meghaározza a megoldásunk konkré alakjá, és egymásól nagyon különböző mozgásoka kapunk aól függően, hogy ω vagy α a nagyobb érékű. 1. Erős csillapíás esee Erős csillapíás eseén a csillapíó erő nagyobb haású, min a rezgés kelő erőhaás. Ez egyszerűen a feléellel írhaó le. Ebben az eseben a 1, összefüggésben a gyökjel ala poziív szám van, és a gyökvonás elvégezheő úgy, hogy a megoldás valós szám legyen. Ekkor ehá ké megoldásunk van λ-ra, és ebből a kerese függvényünk és e e A differenciálegyenle megoldása ezen ké függvény összege lesz különböző együhaókkal, amelyeke majd a kezdei feléelek haároznak meg. Így lesz. x() C e C e 1 Mivel mindenképpen kisebb érékű, min α, az exponenciális függvény kievőjében mindké ag eseén negaív szám van. Így a végeredmény a kezdei feléelekől függelenül is egy lecsengő függvény lesz, vagyis eseben a függvény éréke mindenképpen -hoz ar. Nézzük meg, hogy ez milyen konkré függvényalakoka jelenhe! Ehhez ki kell számolnunk a sebesség időfüggésé, ami 1, v() x() C e C e 1 1 ahol az összefüggés egyszerű alakja kedvéér visszaérünk a λ-k használaához. A kezdei feléeleke rójuk ki =s időpillanaban, ekkor a kezdei feléelekre vonakozó összefüggéseink: x( ) C1C x v( ) C C v 1 1 Tekinsük mos meg konkréan az alábbi Erős csillapíású mozgás függvényalakjai. Legyenek a kiinduló adaaink: m,5kg ,8 s s D 5N/m Ns / m 15 6,18 s s

7 A kezdei feléelekől függően az alábbi, egymásól különböző függvényalakok képzelheők el. Az első eseben a kezdei feléelek x,5mésv 6,38m/s. Ekkor a függvény maximuma a kiindulási kiérés-érék, és a függvénynek nincs zérushelye, a poziív érékek felől közeledik a zérus kiérés érékekhez. A második eseben a kezdei feléelek x,1mésv 4,9m/s. Ekkor már a függvény maximuma különbözik a mozgás kiindulóponjáól, de ovábbra is mindenhol poziív a függvény éréke. A harmadik eseben a kezdei feléelek x,1mésv 7,9m/s. Ekkor a függvény már áhalad a vízszines engelyen, vagyis van zérushelye. Azán elér egy minimumo, majd onnan, a negaív érékek felől közelíi a nulla kiérés. Természeesen, ha a kezdei kiérés negaív, akkor hasonló függvényalakoka kapunk, csak ükrözve az vízszines engelyre.

8 . riikus csillapíás esee A kriikus csillapíás feléele az, hogy. Ekkor λ-ra egyelen megoldásunk lesz,. Viszon ebben az eseben kiderül, hogy nem csak az e függvény megoldása az eredei differenciálegyenlenek, hanem a e függvény is. A végső megoldásunk a ké részleges megoldás kombinációja, különböző együhaókkal, vagyis x() C e C e 1. Szokás kiemelni az exponenciális függvény, így a megoldás x() C1 Ce alakú lesz. A megoldás első agja egyérelműen egy -hoz aró exponenciális függvény. A második ag kicsi bonyolulabb, de mivel az exponenciális függvény sokkal gyorsabban ar -hoz, min ahogyan a lineáris függvény ar a végelenhez ( eseben), összességében a megoldás második agja is -hoz ar. Ha a függvény ábrázolni szerenénk, (szemre) hasonló eredményeke kapnánk, min az erős csillapíás eseében. 3. Gyenge csillapíás esee Gyenge csillapíás eseén a közegellenállásnak kisebb (de nem elhanyagolhaó) a jelenősége, lévén. Ebben az eseben a 1, kifejezésben a gyökjel ala egy negaív szám szerepel, így csak a komplex számok segíségével számolhaó ki a megoldás λ-ra. Az alábbi rükkö alkalmazzuk. Bevezejük az mennyisége, ami már egy valós érékű körfrekvencia-érék lesz. Ennek segíségével 1, i i. Ismé ké éréke kapunk λ-ra, ezeke különböző együhaókkal szorozva, és összeadva az alábbi eredmény kapjuk: x() C e C e. i i 1 Viszon ez a megoldás nem így szokuk felírni, mer így nehéz annak inerpreálása. Ehelye felhasználjuk, hogy a komplex kievős exponenciális függvény szoros kapcsolaban áll a sinus és cosinus függvényekkel. Az ix e cos(x) i sin(x) Euler-egyenleből levezeheő, hogy ix ix ix ix e e e e cos(x), sin(x). i Ennek felhasználásával végül a megoldás az alábbi alakba írhaó: x() Ae sin( ), ahol (emlékezeőül), m és D/m.

9 A δ mennyiség i is a fáziselolás. Azonban a A mennyiség csak nehezen érelmezheő ampliúdókén (hiszen az álalában nem a maximális kiérés nagysága). Van, aki úgy inerpreálja az Ae mennyisége, min egy exponenciálisan csökkenő ampliúdó, ez azonban félrevezeő lehe. Megjegyzendő, hogy mind A-, mind δ- a kezdei feléelekből számolhajuk ki, hasonlóan a harmonikus rezgések eseéhez. Ehhez ki kell számolnunk a sebesség időfüggésé, ami. v() x() A e sin( ) Ae cos( ) A kezdei feléeleke rójuk ki =s időpillanaban, ekkor a kezdei feléelekre vonakozó összefüggéseink: x( ) Asin( ) x v( ) Asin( ) Acos( ) v Tekinsük mos meg konkréan az alábbi gyenge csillapíású mozgás függvényalakjai. Legyenek a kiinduló adaaink: m,5kg 1 1 s 1 D 5N/m 9,95 1 s 1Ns/m 1 s Legyenek a kezdei feléeleink x,1mésv 1,63m/s! Ekkor a függvény alakjá meghaározó paraméerek A,més /63 lesznek, és így a függvény alakja (négy periódus ábrázolva) Veísük rá erre az ábrára a meneéről! Ae és a Ae burkológörbéke, hogy ponosabb képe kapjunk annak A megoldás alakja egy olyan szinusz függvény, amelynek a kiérése exponenciálisan még csökken is. A köznyelvben ez szokás csillapodó rezgésnek hívni, hiszen a mozgás rezgés jellege megmarad, csak egyre

10 kisebbek a kiérések. Összességében az x() függvény nullához ar, ha, vagyis a rezgés fokozaosan elhal. Hogy milyen üemben csökken a kiérés, az α mennyiség haározza meg. iemelendő, hogy a csillapíás nem csak az ampliúdó válozásáér felel, hanem megválozaja (csökkeni) a rezgés frekvenciájá is. ényszerrezgés, rezonancia ényszerrezgésről akkor beszélünk, ha egy erőhaás kényszeríi ki a rezgés. Ez jellemző módon egy Fsin( ) erőhaással érhejük el, aminek F az ampliúdója, és ω a körfrekvenciája. A korábbi logiká köveve egy rugós rezgőrendszer mozgásegyenlee sebességgel arányos csillapíással és a feni rezgeő erővel az alábbi alako öli: mx Dx x F sin( ). A differenciálegyenle megoldásának részleeivel nem foglalkozunk, a lépések hasonlóak a csillapodó rezgés egyenleének megoldásához, csak bonyolulabbak annál. A megoldás egyik fele megegyezik a csillapodó rezgésnél kapo megoldással, és ehhez kapunk még egy ovábbi ago, ami pedig egy harmonikus rezgés ír le. x() Asin( ) Be sin( ) ahol a harmonikus rezgés ampliúdója és fáziselolása A f 4 és g. Bevezeük az, m, m kezdei feléelekből számolhajuk ki. Ennek a megoldásnak van néhány nagyon fonos ulajdonsága. F D/m és f jelöléseke. A δ és B mennyiségeke ismé a 1. A harmonikus és a csillapodó rezgés aránya Bármekkora is legyen a különbség kezdeben a megoldás ké agja közö, az idő előre haladával a csillapodó ag elhanyagolhaóvá válik a harmonikus aghoz képes lévén ez uóbbi állandó ampliúdóval rendelkezik. Ráadásul a harmonikus ag együhaói nem függnek a kezdei feléelekől sem. Így elmondhaó, hogy a rendszer egy idő uán úgy fog rezegni, ahogyan az a kényszeríő erőhaás meghaározza. Ez leheősége ad egy rezgő rendszer vezérlésére.. Rezonancia A harmonikus rezgés A ampliúdója nagyban függ aól, hogy hogyan viszonyul egymáshoz a kényszeríő erő ω körfrekvenciája és a rezgés sajá ω körfrekvenciája. Ha ω - folyamaosan válozaom, lesz az AA( ) ampliúdónak egy maximális éréke. Ez a rezonancia jelensége. Ha a rezgés kis csillapíású, akkor ez az ampliúdó egészen nagy is lehe. Olyannyira, hogy csillapíás nélküli eseben, ha ω = ω, az ampliúdó végelen nagy lesz, ez nevezzük rezonancia-kaaszrófának.

11 A maximális ampliúdóhoz arozó, úgyneveze rezonancia-körfrekvencia kiszámolhaó az A A( ) függvény deriválásával, illeve a derivál függvény zérushelyének megkeresésével. A deriválás eredménye da( ) d Ennek a zérushelye, vagyis az eredei f AA( ) maximuma az alábbi rezonancia-körfrekvenciánál van. r és i az ampliúdó éréke (vagyis a maximális ampliúdó) A max f f f r 4 r f A kényszerrezgések és rezonancia jelensége kiemelen fonosak a mérnöki alkalmazások ekineében, ké szemponból is. Egyrész min korábban már íruk a rezgés vezérelheő. De nem csak hogy vezérelheő, hanem a rezonancia jelenségén kereszül erősíheő is, hiszen a megfelelően válaszo ω eseén kiemelkedően nagy ampliúdó is beállíhaunk. Másrész a rezonancia káros is lehe, így bizonyos eseekben kerülendő. Ugyanis kis csillapíású eseben eljuhaunk a rezonancia-kaaszrófa közelébe, és mivel az egyes részrendszerek űrőképessége (például alkarészek szakíószilárdsága) véges, a rezonancia megközelíése a rendszer összeomlásához vezehe. Érdemes még megvizsgálni az úgyneveze sebesség-rezonanciá is, lévén a sebességnek máshol van a rezonancia-frekvenciája, min az ampliúdóé. Ennek a fonosságá az adja, hogy ahol a sebességnek van rezonancia-körfrekvenciája, o lesz a mozgási energiáé, ami a kényszerrezgés energia-viszonyainak leírásában jászik kiemel szerepe. Ehhez az v( ) A( ) sebességfüggvénynek keressük a szélsőéréké. A deriválás eredménye dv( ) d A( ) f d d 4 függvény szélsőéréke láhaóan az vrez rezonancia- amelynek a zérushelye, vagyis a körfrekvenciánál van, és éréke v( ), v max f. Nézzük meg ezeke az érékeke, illeve a rezonancia-görbéke a korábbi, gyengén csillapío rezgés eseén, amikor is m,5kg, D 5N /m, 1Ns/m volak a rendszer ulajdonságai. Rezgessük

12 mos ez a rendszer 5N ampliúdójú, harmonikus erőhaással (megjegyzendő, hogy a rugóerő maximális nagysága a feni csillapío rezgésnél 9N körül van)! Ekkor az AA( ) rezonancia-görbe az alábbi alakú lesz. 1 Az ampliúdó-rezonancia az r 9,9 körfrekvenciánál lép fel, a maximális ampliúdó,55 m. s A sebességre vonakozó v v( ) sebesség-rezonancia függvény alakja az alábbi. A sebességrezonancia 1 vrez 1 körfrekvenciánál lép fel, a maximális sebesség 5 m/s nagyságú. s A rezonanciagörbék ekineében fonos kiemelni, hogy különböző csillapíások eseén hogyan viselkednek ezek a görbék. Mindké ípusú rezonancia-görbére jellemző, hogy különböző csillapíások eseén is ugyanarról az érékről indulnak ( f / ampliúdó, és sebesség eseén), és egy ado frekvencia fele hasonló üemben aranak a nullához. Azonban minél kisebb a csillapíás, annál hegyesebbek ezek a görbék, vagyis a maximális ampliúdó és sebesség éréke növekszik. Abban az elmélei eseben, amikor a csillapíás, az ampliudó és a sebesség éréke is végelen lesz a csillapíalan rezgésre jellemző körfrekvencián. Ez nevezzük rezonancia kaaszrófának. Továbbá, bár a sebesség-rezonancia frekvenciájának éréke (ahol a görbe maximuma alálhaó) nem válozik, az ampliúdó eseén az egyre kisebb csillapíások egyre növekvő rezonancia-frekvenciá adnak. Érdekesség még, hogy a különböző csillapíásokhoz arozó rezonancia-görbék sohasem meszik egymás (ha a öbbi paraméeren nem válozaunk, persze). Néhány ovábbi gondola a rezgések kapcsán A feniekben bemuao rezgések a leheő legegyszerűbben árgyalhaóak. Már a harmonikus rezgéseknél felír F x Dx rugóerő is erős közelíés, álalában ezek az erőhaások aralmaznak a kiérésben négyzees, vagy éppen köbös agoka is, vagyis

13 F Dxlx, F Dx lx. x 3 x A páros x haványoka aralmazó erőhaások már anharmonikus rezgéseke okoznak, nem beszélve a bonyolulabb közegellenállások haásairól. Mindezek a jelenségek a mechanikai rezgések vizsgálaá izgalmas, sokszínű diszciplinává eszik, amelynek minden eredménye fonos a mérnökök számára. A rezgések fizikája a Fizika és a mérnöki udományok igen sok erüleén megjelennek. A mechanikai rezgések eseén végigvi számíások, és a jelenségek érelmezése a bonyolulabb, nehezebben kézzel foghaó erüleeken előkerülő rezgések ulajdonságainak felárásában nagy segíség.