13 Wiener folyamat és az Itô lemma. Options, Futures, and Other Derivatives, 8th Edition, Copyright John C. Hull

HTML
DOWNLOAD

Méret: px

Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "13 Wiener folyamat és az Itô lemma. Options, Futures, and Other Derivatives, 8th Edition, Copyright John C. Hull"

Oszkár Gulyás
8 évvel ezelőtt
Látták:

1 13 Wiener folyama és az Iô lemma Opions, Fuures, and Oher Derivaives, 8h Ediion, Copyrigh John C. Hull 01 1

2 Markov folyamaok Memória nélküli szochaszikus folyamaok, a kövekező lépés csak a pillananyi helyzeől függ Felevés: részvényárak mozgása Markov folyama Kövekezmény: echnikai analízis nem működhe! Haékony piac hipoézis gyenge formában: a pillananyi ár minden információ aralmaz a múlbeli viselkedésről φm,v: normál eloszlás, m álag, v variancia σ Opions, Fuures, and Oher Derivaives, 8h Ediion, Copyrigh John C. Hull 01

3 Variancia & sandard szórás Markov folyamanál az egymás köveő lépések függelenek Álag és variancia addiív andard szórás nem addiív Pl. φm,v: φ0,1 év uán: φ0, σ hónap uán: φ0,0.5 σ hónap uán: φ0,0.5 σ 0.5 év uán: φ0, σ 1/ Opions, Fuures, and Oher Derivaives, 8h Ediion, Copyrigh John C. Hull 01 3

4 Wiener folyamaok Egy z vélelen válozó Wiener folyama, ha z z megválozása egy kicsi inervallumban: z z eszőleges különböző nem áfedő periódusban függelen ahol ϕ 0,1 [z T z 0] i álaga 0 i 1 [z T z 0] varianciája T N [z T z 0] sandard szórása T Opions, Fuures, and Oher Derivaives, 8h Ediion, Copyrigh John C. Hull 01 4

5 Álalánosío Wiener folyamaok Drif: álagos válozása -nek egységnyi idő ala a Variancia: egységnyi idő ala b a b d a d b dz 0 a Opions, Fuures, and Oher Derivaives, 8h Ediion, Copyrigh John C. Hull 01 5

6 Iô folyama Egy Iô folyamanál a drif és a variancia idő és állapo függő: da, db, dz Véges időlépés eseén: a, b, ponos eredmény, ha zéróhoz ar reje felevés: ala a és b nem válozik! Opions, Fuures, and Oher Derivaives, 8h Ediion, Copyrigh John C. Hull 01 6

7 Álalánosío Wiener folyama és a részvények ára Várakozás: árak válozása százalékosan állandó elvár hozam nem függ az áról Az árak válozékonysága arányos az ár nagyságával Opions, Fuures, and Oher Derivaives, 8h Ediion, Copyrigh John C. Hull 01 7

8 Részvények árválozása: Iô folyama d d μ d i μ az elvár hozam reurn σ a volailiás. Diszkré időlépés: μ σ dz eomeriai Brown mozgás Opions, Fuures, and Oher Derivaives, 8h Ediion, Copyrigh John C. Hull 01 σ μ d σ dz ~ ϕ μd, σ d T 0 e μt 8

9 Mone Carlo szimuláció Vélelen szám generálás: Pl.: μ 0.15, σ 0.30, és 1 hé 1/5 azaz év, ekkor or Opions, Fuures, and Oher Derivaives, 8h Ediion, Copyrigh John C. Hull 01 9

10 Mone Carlo szimuláció: Week ock Price a ar of Period Random ample for Change in ock Price, Opions, Fuures, and Oher Derivaives, 8h Ediion, Copyrigh John C. Hull 01 10

11 Iô lemma Ha ismerjük egy folyama részleei, Iô lemmája megadja egy, szochaszikus függvény viselkedésé. Minhogy minden származékos ermék függ az eszköz áráól és az időől, az Iô lemma fonos szerepe jászik minden árazási problémánál. Opions, Fuures, and Oher Derivaives, 8h Ediion, Copyrigh John C. Hull 01 11

12 Taylor sorfejés: Egy, függvény Taylor sora Opions, Fuures, and Oher Derivaives, 8h Ediion, Copyrigh John C. Hull 01 1 K ½ ½

13 Levágás rendje: Opions, Fuures, and Oher Derivaives, 8h Ediion, Copyrigh John C. Hull 01 13!! ~ 1 komponense egyik eseén : zochaszikus kalkulus : függvény kalkulus zokásos

14 Ha Iô folyama: Opions, Fuures, and Oher Derivaives, 8h Ediion, Copyrigh John C. Hull b b a dz b d a d ½ : levágás nél - idő diszkré,, ekkor

15 Az ag Opions, Fuures, and Oher Derivaives, 8h Ediion, Copyrigh John C. Hull b E E E E E 1 emia ~ varianciája 1 1 ] [ 0 0,1, Minhogy φ

16 Infiniezimális haárérék d d d a d bdz d a d ½ b ½ b d bdz eziolemmája d Opions, Fuures, and Oher Derivaives, 8h Ediion, Copyrigh John C. Hull 01 16

17 Iô lemma és részvény árak A részvény ár Io folyama d μ d σ d z függvény megválozása és függvénye : d μ ½ σ d σ dz Opions, Fuures, and Oher Derivaives, 8h Ediion, Copyrigh John C. Hull 01 17

18 Példák Opions, Fuures, and Oher Derivaives, 8h Ediion, Copyrigh John C. Hull 01 dz d d dz d r d e T T r a logarimus ár Részvény. idő lejárai ára Forward 1. σ σ μ σ μ ln 0 T r T r re e dz d d ½ σ σ μ 0 1 1

Hasonló dokumentumok

14 A Black-Scholes-Merton modell. Options, Futures, and Other Derivatives, 8th Edition, Copyright John C. Hull

14 A Black-Scholes-Merton modell. Options, Futures, and Other Derivatives, 8th Edition, Copyright John C. Hull 14 A Black-choles-Merton modell Copyright John C. Hull 01 1 Részvényárak viselkedése (feltevés!) Részvényár: μ: elvárt hozam : volatilitás Egy rövid Δt idő alatt a hozam normális eloszlású véletlen változó: