2003. MÁSODIK ÉVFOLYAM 2. SZÁM 41

Átírás

1 003. MÁSODIK ÉVFOLYAM. SZÁM 41

2 4 HITELINTÉZETI SZEMLE ALEXANDER F. BOOGERT GAÁL SZABOLCS ELEKTROMOS ENERGIA OPCIÓK ÁRAZÁSA Cikkünk célja keõs: egyrész az elekromos energia piacok (különös ekineel a holland piacra) lényegesebb sajáosságainak bemuaása, másrész egy ugró diffúziós modellen alapuló opcióárazó algorimus ismereése. A spo árfolyamo ugró diffúziós Markov folyamaal modellezzük, ahol az ugrások nagyságának eloszlásá dupla exponenciális sûrûségfüggvény adja meg. Levezejük az árazáshoz használ parciális inegro-differenciálegyenlee, amelye Fourier-féle sorfejés módszerével oldunk meg. Eljárás adunk a folyama paraméereinek becslésére is. BEVEZETÉS E fejezeben rövid beekinés adunk az árampiaci libearalizáció folyamaába és a spo elekromos energia árfolyamok elméleébe (ovábbiakban spo árfolyam). Elsõnek a deregularizációs folyamao ismerejük, külön figyelme szenelve a holland piaci liberalizációnak és az egynapos forward árfolyamok (day-ahead forward prices) megállapíása módjának. Ezuán az árgyaljuk, hogy miér különbözik az energiaderivaívok modellezése egyéb pénzügyi derivaívok modellezéséõl. Végül a holland spo piacról ve konkré példákon kereszül röviden ismerejük a spo árfolyamok fõbb ismérvei: a szezonaliás, a nagy ugrásoka és az álaghoz való visszahúzás (mean reversion). Az elekromos energia piacok deregularizációja Az elekromos energia piacoka világszere liberalizálják: legelõször Chilében (198) és Új-Zélandon (1987) majd Nagy-Brianniában (1990) és Norvégiában (1991). A 96/1-es uniós direkívában [EP97] az Európai Unió megfogalmaza a piaci liberalizáció szükségességé. A direkíva szerin a piacoka 1999-re, 000- re és 003-ra liberalizálni kell azon fogyaszók részére, amelyek éves energia szükséglee rendre meghaladja a 40, 0 és 9 GWh-. Ezzel összhangban egy uniós irányelv [EP01] a eljes piaci liberalizáció eszi szükségessé 005-re. A Hollandia számára fonos országok közül Némeország a erveze menerend szerin eljesíi ezeke az elvárásoka, míg Franciaor-

3 003. MÁSODIK ÉVFOLYAM. SZÁM 43 szág késlekedik az implemenációval. A deregularizáció országról-országra különbözõ módon örénik, amelye nagyrész a ulajdonosi srukúrák különbözõsége magyaráz. A kormányza az elekromos energia elõállíás liberalizálja, míg az (országos) gerincvezeék állami ulajdonban marad: például Hollandiában a gerincvezeék az állam álal birokol TenneT ulajdonában van. A hálóza kisebb részei azonban lehenek magánulajdonban: erre példák a holland Nuon és Essen közmûvállalaok. A uóbbi ulajdonában vannak egyebek melle az északbrabani és limburgi hálóza kisebb részei. A verikálisan inegrál Essen Hollandiában speciális piaci pozícióban van: az energia-elõállíásban, -ovábbíásban, nagy- és kiskereskedelemben is akív piaci szereplõ. A holland piaci liberalizáció három fázisban zajlik. Az elsõ fázisban 1999-ben a nagyfogyaszók (ún. phase-one fogyaszók) részesülek a liberalizáció elõnyeibõl. Õke köveék 00-ben a közepes nagyságú (ún. phase-wo) fogyaszók, míg a házarások jelenleg csak akkor válaszhanak szabadon a szállíók közül, ha környezekímélõ módon elõállío elekromos energiára érnek á. 004-ben a holland piaco eljesen liberalizálják. A holland piaci liberalizáció fõ célja az energia árának csökkenése: a háérben az az elgondolás áll, hogy a szabadpiacon az áram elõállíása haékonyabban örénik és így a végfogyaszó számára olcsóbb lesz az elekromos energia. A liberalizáció eredményé a 3. ábrán szemlélejük. A liberalizáció eredményekén az elekromos energiával min áruval egyre nagyobb volumenben kereskednek. A kövekezõkben megmagyarázzuk, hogy miér nem alkalmazhaók válozalan formában azok a echnikák, amelyeke az egyéb árukra érvényes származékos ermékek árazására fejleszeek ki. APX kereslei és kínálai görbék, 003. I. 17, 14 óra 1. ábra

4 44 HITELINTÉZETI SZEMLE Spo árfolyam Hollandiában a spo kereskedés az Amszerdami Áramõzsdén (Amserdam Power Exchange, APX) zajlik, amely egynapos forward piac. Az egyszerûség kedvéér az APX-en jegyze, egynapos forward árfolyamoka a ovábbiakban spo árfolyamnak nevezzük. A spo árfolyamoka a TenneT haározza meg, miuán az erõmûvekõl megkapa a másnapra vonakozó eladási ajánlai áraka, így a TenneT végzi a keresle és kínála összehangolásá. Ehhez nyújanak segísége a kereslei-kínálai görbék. (1. ábra.) Láhaó, hogy példánkban az egyensúlyi árfolyam 8,8 euro/mwh-s szinnél alakul ki. Kínálai oldalon beszélheünk alap- (base load) közép- (shoulder) és csúcserhelésrõl (peak load). Az alaperhelés kiszolgáló erõmûvek álalában egész nap üzemelnek, míg a csúcserhelés kiszolgálók csak a csúcsórákban (peak hours) vagy akkor, ha más erõmûvi egységek meghibásodnak. Kereslei oldalon figyelemre méló a kereslei görbe hosszú, vízszines szakasza. A nagy árrugalmasság mia a keresle még viszonylag kis árválozások eseén is 100 MWh-ról 300 MWh-ra nõhe. Ez azzal magyarázhajuk, hogy a holland erõmûvek nagyrész gázüzelésûek, így ha a spo árfolyam csökken, az erõmû könnyen beszünehei az energia elõállíásá. Az spo árak melle ermészeesen a szezonaliás is meghaározza a kereslee: a napi idõjárás szerepe dönõ lehe. Az elekromos energia azér különbözik a öbbi áruól, mivel kis mennyiségben csak körülményesen (például ólomakkumuláorok), nagy mennyiségben pedig egyálalán nem lehe árolni. Ennek az a kövekezménye, hogy a keresle minden pillanaban egyensúlyban van kínálaal. Ha mégsem, az nagy áringadozásoka és eseenkén öbb száz százalékos árugrá- APX 16 óra. ábra

5 003. MÁSODIK ÉVFOLYAM. SZÁM 45 soka okozha. Ha ehhez még hozzáveszszük a szezonaliás, könnyen beláhajuk, hogy a spo árfolyam modellezése igen nehéz. Az opciók árazása ezér problémás, hiszen a hagyományos arbirázs alapú árazás a mögöes ermék árolhaóságán alapul. Erre a kövekezõkben a mérékcsere árgyalásánál még visszaérünk. A spo árfolyamok jellemzõi A spo árfolyam eseén megfigyelhejük az álaghoz való visszahúzás egy, a ermelési kölségeke kissé meghaladó álagos árszin felé. A (hosszú ávú) álag a keresle-kínála egyensúlyakén alakul ki: magasabb árak eseén új ermelõk lépnek a piacra, amely az áraka leszoríja, míg alacsonyabb árak eseén ermelõk hagyják el a piaco, amely a kínála csökkenésén kereszül az áraka növeli. A hosszú ávú haásokon kívül a rövid ávú haások (például szokalanul meleg idõ vagy erõmûvek meghibásodása) szerepe is jelenõs: ezek nagy árugrásoka okoznak. Ezek az APX alakulásán is megfigyelheõk. A. ábrán a liberalizáció haásá is megfigyelhejük VII. 1-jéõl 001. I. 1-jéig a piac államilag szabályozo vol I. 1-jéõl azonban a liberalizáció jól láhaóan az árak csökkenésé és a volailiás növekedésé eredményeze. (A grafikon az APX napi 16:00 órás érékei ábrázolja.) Az is láhajuk, hogy a piac 001-ben és 00-ben elérõ módon viselkede: ez a piaci szereplõk anulási folyamaá ükrözi. A ovábbiakban megpróbálunk a spo árfolyamon alapuló európai opciókra olyan érékelési algorimus kidolgozni, amely az álaghoz való visszahúzás és az árugrások jelenségé is modellezi. Modellezni kívánjuk az elekromos energia árolhaalanságá is, amikor a kockázamenes méréke meghaározzuk. Ennek megfelelõen cikkünk felépíése a kövekezõ. A második fejezeben a spo árfolyam maemaikai modelljei, míg a harmadik fejezeben a szochaszikus differenciálszámíás szabályai foglaljuk össze. A negyedik fejezeben az ugró diffúziós modell árgyaljuk. Az öödik fejezeben kidolgozunk egy szemianaliikus módszer, amely segíségével az opcióárazó parabolikus parciális inegro-differencál egyenle (ovábbiakban PIDE) megoldhaó. Az uolsó fejezeben eljárás adunk a paraméerek becslésére, és ezzel az objekív P mérék meghaározására. Cikkünke néhány numerikus eredménynyel és az összefoglalással zárjuk. A SPOT ÁRFOLYAMMODELLEK ÁTTEKINTÉSE Ebben a fejezeben rövid áekinés adunk az irodalomban alálhaó spo árfolyam modellekrõl. Elsõnek a puszán diffúziós ago aralmazó modellekrõl ejünk szó, majd ráérünk a Poisson-féle ugrásoka is aralmazó modellek részlees ismereésére. A harmadik alponban szó ejünk a rezsimválásos (regime swiching) modellrõl, majd a fejezee a nem konsans volailiás aralmazó modellek rövid ismereésével zárjuk. A fejeze bevezeésül szolgál az exponenciális Poisson méréke használó, ere-

6 46 HITELINTÉZETI SZEMLE 3. ábra A legfelsõ kép az APX base load-o muaja 00-ben. A második a 00. áprilisi base load-o ábrázolja. A kövekezõ a 00. IV IV. 1. közöi áraka, míg az uolsó az árak eloszlásá muaja.

7 003. MÁSODIK ÉVFOLYAM. SZÁM 47 deileg [Kou01] álal részvényderivaívok árazására kifejlesze maemaikai modell árgyalásához. Diffúziós modellek Tekinsük a részvényárfolyamok modellezésébõl jól ismer, Geomeriai Brown Mozgás (GBM): ds( = μ S( d + σs( dw ( (1) ahol m valamin s a drife és volailiás meghaározó állandók, W a Brown-mozgás jelöli, S lognormális eloszlás köve : a variancia az idõ lineáris függvénye. Mivel a spo piacon a korláos varianciá és az árak hosszú ávú álag körüli ingadozásá figyelhejük meg, így ez a modell nem alkalmas a spo árfolyamok leírására. A feni problémáka küszöböli ki a Geomeriai Mean Reversion (GMR) modell [Schw 97]: ds( = [ κ ln S( ] S( d + σs( dw ( () ahol k állandó, a a hosszú ávú álag logarimusa, s a volailiás. A GBM és a GMR lognormális áreloszlás implikál, amelynek köszönheõen az árak nem negaívak maradnak. A fenieken kívül az irodalomban alálhaók olyan modellek, melyek normális áreloszlás éeleznek fel. Az álalános GMR modell a kövekezõképpen írhaó fel: γ ds( = κ [ α S( ] d + σs( dw ( (3) ahol a a hosszú ávú álag, g pedig a volailiás árfüggésé írja le. Ha g = 0 akkor az Ornsein-Uhlenbeck modell kapjuk: ds( = κ [ α S( ] d + σdw ( (4) Ha g = 1 akkor az árak ovábbra is nem-negaívak, de a volailiás az ár lineáris függvénye [DelB00]: ds( = κ [ α S( ] d + σs( dw ( (5) [DelB00] szerin ez a modell sokkal jobban leírja a spo áraka, min (1), (). Ez az állíásá a kaliforniai, spanyol és auszrál piacokról gyûjö empirikus áreloszlások vizsgálaával igazola. Ha g =1/, akkor a rövid ávú kamamodellek elméleébõl ismerõs Cox-Ingersoll-Ross (CIR) modellre juunk: ds( = κ [ α S( ] d + σ S( dw ( (6) Poisson-ugrásoka aralmazó modellek A feni modellek Poisson-féle ugrásokkal kibõvíheõk. Ezek az ugrások modellezheik például az egyes erõmûvi meghibásodások gyakoriságá és a spo árfolyamra gyakorol haásuka. Az ugrások a spo árfolyamok rövid ávú viselkedésében jászanak nagyobb szerepe, a hosszú ávú viselkedésben az álaghoz való viszszahúzás érvényesül. Erre a kövekezeésre ju [Barz99] is, aki azonban az is megjegyzi, hogy az ugró ag nélküli GMR az árfolyamoka a hosszú ávú álag környezeében jobban modellezi. Kövekezésképpen, az ugrások a vasag farok jelenségé magyarázzák. Cikkünkben az összee Poisson folyamaal (compound Poisson process) fogunk dolgozni. Igen sok vélelenszerû folyamara igaz, hogy az inkremenumok egymásól függelenek és sacionerek. Ezeke a folyamaoka az irodalom Lévy-folyamaokkén

8 48 HITELINTÉZETI SZEMLE ismeri, L. [Ber96]. A Lévy-folyamaok fonos jellemzõje, hogy a egyérelmûen elõállíhaók a kövekezõ folyamaok segíségével (L. Lévy-Hincsin formula, [Ber96]): drife is aralmazó Brown-mozgás; egységugrásnál nagyobba ugró összee Poisson folyama; csak ugrásoka aralmazó maringál, ahol az ugrások egységnél kisebbek. Álalában elmondhaó, hogy a Brown mozgás a folyonos zaj írja le, míg a Poisson-féle ugrások a nagyobb szakadásoka modellezik. Az elsõ ugró diffúziós modell [Mer76] alkoa, aki az feléeleze, hogy az ugrások nagyságai normális eloszlás kövenek. [Kou 01] ezzel szemben azzal a felevéssel él, hogy az ugrásnagyság valószínûségi válozója ún. keõs exponenciális eloszlás (double exponenial) köve. Ezzel az asszimerikus hozamok és a volailiás-mosoly is jól modellezheõk. Ugrási folyamaoka nem csak a részvényárfolyamok, hanem a forward görbék [Glas03] és kövények [Bjor97] modellezésére is használnak. Rezsimválás (regime swiching) Ez a modell sok ekineben hasonlí a Poisson-féle ugrás modellre. A modell felevése szerin, hogy a folyama különbözõ diszkré alapállapooka vehe fel. A kéállapoú rezsim-váló modell megkülönböze egy abnormális állapoo (a magas árak leírására) valamin egy normál állapoo (az alacsony árak leírására) és a ké rezsim közi ámenee modellezi. Ez a modell használja például [Hami 90], [Deng99] és [Khol01]. A rezsimváló modell elõnye, hogy a ké rezsimben ké, eljesen különbözõ formulával írhajuk le a folyamao. A rezsimválások segíségével az alap- és a csúcserhelés is modellezheõ. Egyéb modellek A fen emlíe három modellen kívül az irodalomban számalan egyéb modell alálhaunk. Fonos oszály képviselnek az idõfüggõ volailiással dolgozó modellek. [Dupi94] az idõfüggõ volailiás ún. volailiás-felüleek segíségével modellezi. Sokkal népszerûbb [Hes93] modellje, aki a volailiás is szochaszikus folyamakén írja le és a kövekezõ, csaol szochaszikus differenciálegyenle-rendszer állíja fel a mögöes ermékre és annak volailiására: ds( = μs ( d + dv( = κ [ θ v( ] d + σ v( S( dw 1 ( v( dw ( (7) (8) Ennek a modellnek a ovábbfejleszése alálhaó [Carr03]-ban, aki a szochaszikus volailiás idõválással [ime change] modellezi. Az affin diffúziós modell ugrásokkal kiegészíve a szochaszikus és deerminiszikus volailiás modellek álalánosíására szolgál. Ebben a modellben a drif, a kovariancia márix valamin az ugrások nagysága lineáris paraméerek. Álalában egy modell affin X-ben, ha A = c 1 (+ c (X eljesül c 1, c állandókra. Az affin modellek elméleében gyakran idéze munka [Duff00] Az ugrásokkal kiegészíe diffúziós modell segíségével mulifakor modellek is felállíhaók: [Deng99] például egy kéfakoros modell ír le, ké

9 003. MÁSODIK ÉVFOLYAM. SZÁM 49 különbözõ ugrási folyamaal, míg [Pilo 98] a hosszú ávú álag idõfüggésé modellezi. Az uóbbi modell háránya, hogy rendkívül hosszú idõsor igényel. Végezeül megemlíenénk [Lewi01] cikké, aki öbb ugrás-eloszlás (pl. variancia-gamma, Normál Inverz- Gauss, álalánosío hiperbolikus eloszlások, sb) is árgyal. Modellválaszás Cikkünkben olyan modell ismereünk, amely az árugrásoka, üskéke is jól leírja. Az elmondoakból kövekezõen erre a célra három modell felel meg: az árfüggõ volailiással dolgozó, az ugró diffúziós és a rezsimváló modell. Igaz, hogy az árfüggõ volailiás a üskéke jól leírja, de nem produkál nagy szakadásoka, amelyek a piacon néha megfigyelheõek. Erre csak az ugró diffúziós és a rezsimváló modell képes. Az implemenálásra rendelkezésre álló idõ korláos vola mia az ugró diffúziós modell melle dönöünk. Modellünkben felesszük, hogy a volailiás állandó, az ugrások nagyságának az eloszlásá az analiikusan jól árgyalhaó dupla exponenciális modellel írjuk le. Az irodalomban ez a modell [Kou01] exoikus opciók (például barrier, illeve lookback opció) analiikus képleel örénõ érékelésére is használják. Min emlíeük, az exponenciális modellel az eloszlások aszimmeriája is leírhaó. SZTOCHASZTIKUS KALKULUS A pénzügyi maemaikában fonos szerepe jászik az Iô-formula. Az Iô-formula segíségével felállíhajuk az a szochaszikus differenciálegyenlee, amelye egy X( vélelenszerû folyamanak ki kell elégíenie. Ebben a fejezeben az Iô-formula egy viszonylag egy könnyen köveheõ inerpreációjá ismerejük, amely már magában foglalja a Poisson-féle ugrásoka is. A szochaszikus folyamaok elméleében fonos szerepe jászanak a maringálok. Durván fogalmazva egy folyama akkor maringál, ha a jövõérékének várhaó éréke megegyezik a folyama ma felve érékével, azaz a szochaszikus differenciálban a d ag együhaója nulla (l. alább). I-formula a Poisson folyamaokra 1. éel Tegyük fel, hogy X( kielégíi a kövekezõ szochaszikus differenciálegyenlee (SDE): dx ( = μ( X (, d + σ ( X (, dw ( + dn( (9) ahol m és s adapál függvények, W( a Brown mozgás, N( az a Poisson folyamao jelöli, amelye inenziása lés ahol az ugrásnagyság sûrûségfüggvénye g( ). Ha f [X (, ] folyonos, és léeznek a megfelelõ parciális deriváljai, akkor f [X (, ] kielégíi a kövekezõ SDE-: df ( X (, = df ( X (, df ( X (, ahol c + f f 1 f df c ( X (, = + μ + σ d + x x f + σ dw ( x j (10) (11)

10 50 HITELINTÉZETI SZEMLE df j ( X (, = f ( x, y) g( y) dy f ( x ) dn ( (1) egyenleben f (x, y) valamin f (x - ) a függvényérékek rendre az ugrás elõ és uán. A éel bizonyíása megalálhaó [Iked81]-ben, míg [Ehe0]-ben egy kevésbé precíz, jobban köveheõ bizonyíás alálunk. Mi a kövekezõkben egy példán, a Doleans-Dade formulán muajuk be a szochaszikus differenciálszámíás Poisson-ugrásokra. Példa: a Doleans-Dade-folyama (1) Feladaunk annak ellenõrzése, hogy a Doleans-Dade-folyama valóban maringál. Példánka részben [Ehe0]-bõl veük. Tegyük fel, hogy Z( kielégíi a kövekezõ SDE-: ν dz ( = λ(1 e ) d + dn( (13) ahol N( az a Poisson folyamao jelöli, amelynek inenziása l, az ugrásnagysága rögzíe, n. Legyen L(Z(, = e Z(, amelyrõl belájuk, hogy maringál. Az Iô-formula szerin L(Z(, szochaszikus differenciálja a kövekezõ lesz: dl( Z (, = dl ( Z(, dl ( Z(, c + (14) Tekinsük a folyama folyonos (vagyis a Poisson-ugrások nélküli) részé. Legyen m = l (1 e n ), valamin s = 0 amelybõl kövekezik, hogy j v dl ( Z(, = λ(1 e ) L( Z(, d (15) ν azaz (11)-ben σ = 0, μ = λ(1 e ). Ha ugrás kövekezik be, a folyama álal felve érék Z(-rõl Z(+n-re válozik. Eseünkben g( ) Dirac-dela: d(y-n) és a nem-folyonos (azaz ugrás aralmazó) ag megválozása a kövekezõ lesz: dl j ( Z(, = [ dl( Z( + ν, dl( Z(, ] dn( azaz c ) Vegyük észre, hogy L( Z( + ν, = e Z ( + ν ν = e L( Z(, (16) (17) v dl( Z(, = L( Z(, (1 e )[ λd dn ( ] = v = L( Z (, ( e 1) dm ( (18) ahol a kövekezõ jelölés vezeük be: dm( = dn( ld. Meg lehe muani, hogy ez az ún. kompenzál Poisson-folyama maringál, azaz (18) drifmenes, vagyis L(Z(, szinén maringál. UGRÓ DIFFÚZIÓS MODELL Ebben a fejezeben meghaározzuk a spo árfolyamo leíró modell, és az ugrásnagyság valószínûségi válozójának sûrûségfüggvényé, amely szimmerikus exponenciális eloszlás köve. A modell elõzményei [Kou01]-ben alálhaók meg. Levezejük az árazásra használ parabolikus inegro-differenciál-egyenlee, a megfelelõ kezdei feléellel.

11 003. MÁSODIK ÉVFOLYAM. SZÁM 51 Specifikáció Modellünkben az ugrások egységnyi idõ alai száma Poisson-eloszlás köveõ valószínûségi válozó, míg az ugrások nagyságá egy eõl függelen valószínûségi válozó modellezi. Az elsõ ugró diffúziós modellekben [Mer76] az ugrásnagyság valószínûségi válozója normális eloszlás köve. Mi ezzel szemben az éelezzük fel, hogy az árak logarimusaiban lévõ ugrások dupla exponenciális eloszlás kövenek: ez az eloszlás apaszalaok szerin jól leírja az ugrási folyamao, az inkremenumok függelenek, valamin a számíás jelenõsen leegyszerûsödik. Ha az ugrások Poisson-eloszlás szerin l frekvenciával érkeznek, akkor annak a valószínûsége, hogy d idõ ala ponosan egyelen ugrás örénik, ld+o(d, az egynél öbb ugrás valószínûsége pedig o(d. Modellezzük az árak alakulásá a kövekezõ SDE-vel: ln ) Ν τ ds = κ ( α S d + σdw + d ( Vi 1) (19) S ι= 1 ahol k, a és s konsansok, N a a frekvenciájú Poisson-folyama, míg {V i } egy olyan valószínûségi válozó, hogy Y = log V dupla exponenciális eloszlás köve, az alábbi sûrûségfüggvénnyel: f η1 y η y Y ( y) = pη1e 1{ y 0} + qηe 1{ y< 0} (0) Tekinve, hogy a valószínûségi válozónak véges várhaó éréke van, így η 1 >1 és η >0 [lásd például ()]. Ha felesszük, hogy p>0 valamin q>0, akkor a p és q paraméereke ekinhejük a felfelé illeve a lefelé való ugrás valószínûségeinek. Leellenõrizheõ, hogy a sûrûségfüggvény inegrálja 1-e ad: η y dy η y fy ( y) dy = p η1e dy + q ηe 1 (1) Az egyszerûség kedvéér szimmerikus sûrûségfüggvénnyel dolgozunk, azaz: További felevés, hogy W, N, valamin Y i egymásól függelen folyamaok. (V i 1), vagy röviden Z összee Poisson folyama. Z nem maringál, mivel várhaó éréke nem nulla. Jelöljük ovábbá az álagos ugrásnagyságo z = E[V] 1-vel. Beláhaó, hogy dm = Z lz maringál. Ha az ugrásnagyság a már emlíe dupla exponenciális eloszlás kövei, akkor z a kövekezõ lesz: y pη1 qη ζ = e fy ( y) dy 1 = + 1 () η1 1 η +1 A kompenzáor az SDE-be behelyeesíve a kövekezõke kapjuk: (3) ln ) Ν τ ds λζ = κ ( α S d + σdw + d ( Vi 1) S( κ = 1 Cikkünkben a ovábbiakban az európai pu opció beárazására szoríkozunk: ez a kifizeési függvény korláossága mia numerikusan sokkal egyszerûbb felada, min a call opció árazása. Megjegyezzük, hogy numerikus kísérleeinkbõl az a kövekezeés vonuk le, hogy az álalunk alkalmazo Fourier-sorfejés call opciókra is jól alkalmazhaó. A kövekezõkben a lineáris áraromány helye a logarimikus árarományban oldjuk meg PIDÉ-nke, a logarimikus ranszformációval ugyanis a Black-Scholes (BS) egyenle (ugrási ag ι

12 5 HITELINTÉZETI SZEMLE hiányában) egy konvekív ago is aralmazó hõvezeési egyenleé alakíhaó, amely egyike a legegyszerûbb parabolikus PDE-knek [Simo83]. A Cauchy felada (eseünkben a kezdei érék felada helye végérék-felada ) ehá: X = ln S * λζ σ α = α κ κ ψ * ψ 1 + κ α x) + σ x ψ x ( λψ + λ ψ (y, ( y x) dy = 0 (4) (5) (6) a kövekezõ végfeléellel: x 1 e x 0 ψ ( X, = T = (7) 0 x > 0 ahol <<...OLE_Obj...>> a logarimikus ranszformáció mia különbözik α-ól. Ha az idõkoordináá a kövekezõképpen skálázzuk á: = T [vagyis = ] és beveze- τ jük az alábbi jelöléseke az ellipikus differenciáloperáorra és a konvolúcióra: Lψ (X, (8) (9) akkor a megoldandó PIDE az alábbi lesz a fen megado kezdei feléellel: ψ ( L + K) ψ ( X, + = 0 (30) A figyelmes olvasó észrevehei, hogy ha a ranszformál PIDE- a ranszformál BS egyenleel összehasonlíjuk, akkor az elõbbibõl hiányzik egy ry(x, ag. Ez f Y * ψ 1 ψ κ ( α X ) + σ λψ x x = Kψ (X, = λ ψ (y, fy ( y x) dy az ekvivalens mérékek egyérelmûségre vezeheõ vissza. Min ismerees, a derivaívok érékelése nem az árfolyam idõsorából levezeheõ, ún. obejkív P, hanem egy kockázasemleges Q mérék ala örénik [Bjor98]. Ez a Q mérék akkor állíhaó elõ egyérelmûen, ha az SDE egy zajforrás [pl. Brown mozgás vagy Poisson-ugrás] aralmaz így összeállíhaó a származákos ermékbõl, kockázamenes államkövénybõl és a mögöes ermékbõl egy kockázamenes porfólió. A porfólió összeállíása megköveeli, hogy a mögöes ermék árolhaó legyen (pl. érékpapírszámlán). Ha a részvényeke GBM-mel modellezzük, akkor a Q mérék egyérelmû: alaa a folyama drife leíró agja rsd lesz, ebbõl kövekezik a fen emlíe ry(x, ag. A spo ermékre vonakozó opció érékeléséhez nem áll rendelkezésre egyérelmû kockázasemleges Q mérék: egyrész, mer modellünkben ké zajforrás van (a GBM és a õle függelen Poisson-féle ugrófolyama másrész, mer az elekromos energia nem árolhaó, így felhasználásával kockázamenes porfólió sem állíhaó elõ. Az irodalomban öbbféle eljárás is leírnak a leheõ legjobb Q mérék meghaározására. Ezek közül [Mer76] és [Barz99] gondolameneé ismerejük. Meron feleszi, hogy az ugrások kockázaa diverzifikálhaó, ezér felevése szerin nullának ekinheõ. Barz ezzel szemben hasznossági függvényen alapuló elemzés publikál, melyben feleszi, hogy a piaci szereplõk kockázakerülése haározza meg a kerese Q méréke. Errol [Lewi01]-ben részleesen is olvashaunk. Mivel nincs kockázamenes porfólió, így a porfólió hozamának legalább a arási kölségeke (cos of

13 003. MÁSODIK ÉVFOLYAM. SZÁM 53 carry) el kell érnie. Mivel a arási kölségek (vagy az alernaív befekeések hozama) számos eseben nem, vagy csak önkényesen haározhaók meg, így ez az egyszerûség kedvéér nullának veük. A PIDE megoldásának echnikája azonban válozalan, ha a cos-of-carry- nulláól különbözõnek válaszjuk. A cos of carry nullának véele az eredményezi, hogy a diszkonfakor egy lesz. Ez a numerikus példáinkból is láhaó: a pu opicó éréke egyhez ar, midõn x ar a -hez. A PARCIÁLIS INTEGRO-DIFFERENCIÁL EGYENLET SZEMIANALITIKUS MEGOLDÁSA Ebben a fejezeben meghaározzuk a PIDE megodásá. A megoldás egyérelmû ([Simo83]):. éel. Ha y(x, egy parabolikus differenciáloperáor megoldása és kielégíi a kezdei feléeleke, akkor ez a megoldás egyérelmû. 1. propozíció. A PIDE megoldására a kövekezõ Ansaz-o alkalmazzuk: ψ (X, τ ) = e τ A( τ ) Xτ B( τ ) (31) Barz nem ual rá, hogy e propozíció mibõl kövekezik: véleményünk szerin ez a propozíció a PIDE Lie-féle szimmeria félcsoporjainak vizsgálaából adódik. Problémá jelen, hogy a PIDE megoldása C függvényoszályba, míg a plain vanilla opciók kifizeési függvénye (így a PIDE kezdei feléele) C 0 függvényoszályba arozik (a srike árnál a kifizeési függvény nem differenciálhaó). Ez nem jelen problémá, ha a PIDE differenciáloperáorának meg udjuk haározni a fundamenális megoldásá. Mivel mi a kövekezõkben a megoldás Fourier sor alakjában keressük, így a Fourier-sor a srike árnál nem fog konvergálni. Tekinsük elõször a konvolúció operáor, ha a y(x, megoldás (9) adja meg. Feléelezzük, hogy h<re(b()<h ehá a konvolúció kiérékelheõ. Késõbb igazoljuk is a felevésünke. 0 λη A( τ ) Xτ B( τ ) ( η B( τ )) y ( η+ B( τ )) y Kψ (X, ) = e τ τ e dy + e dy 0 λη = ψ (X, τ ) (3) τ η B ( τ ) (9) x szerini parciális elsõ és második deriváljai a kövekezõk lesznek: ψ = B( τ ) ψ (Xτ, τ ) x ψ = B x ( τ ) ψ (X, τ ) τ (33) (34) ψ A( τ ) = X τ τ τ B( τ ) ψ (Xτ, τ ) τ Α( τ ) 1 λη Β( τ ) X, τ ) κα Β( τ ) + σ Β ( τ ) + λ + X τ ψ ( X τ, τ ) = 0 τ η Β ( τ ) κβ( τ ) + τ * ψ ( τ (35) Ha (30)- és a (31), (3), (33) parciális deriválaka behelyeesíjük a PIDÉ-be, a kövekezõ kapjuk: (36)

14 54 HITELINTÉZETI SZEMLE Ez az egyenle minden x-re igaz, azaz a ké, szöglees zárójelben lévõ ényezõnek nullának kell lenni. Ez az jeleni, hogy Α( τ ) * 1 λη κα Β( τ ) + σ Β ( τ ) + λ = 0 τ η Β ( τ ) Β( τ ) κβ( τ ) + = 0 τ (36) megoldására a kövekezõ adódik: B( τ ) = q e κτ 1 η σ 1 κτ A( τ ) = ln(β ( τ ) η ) ln( q1 ηe ) ln( q1 4κ σ 4κ λ κ * κτ + α Β( τ ) Β ( τ ) + ln( η e q1 ) λτ + q + ηe κτ ) (37) (38) (39) (40) Azzal, hogy ké, nem nulla függvény kapunk megoldásul, a propozíció helyességé igazoluk. Kövekezõ lépéskén a kezdei feléel a PIDE megoldásai szerin sorbafejjük. A komplex Fourier sor a kövekezõképpen definiáljuk: ahol is c n = L n= / 1 L c n e L / πnx i L f ( x) e πnx i L (41) (4) A Fourier sor egyérelmû és egyenleesen konvergens. Ha q 1 - [L.(37)] isza képzeesnek válaszjuk: n q ( π 1 n) = i (43) L akkor a Fourier-sorfejés az Ansaz függvények segíségével elvégezheõ. q - a kövekezõ feléel érvényesíésével haározhajuk meg: dx A(0) = 0 (44) Ez az (9) Ansaz komplex érékû fázisá = 0-nál nullával eszi egyenlõvé. (9), (37) és (4) segíségével a kövekezõ kapjuk: ψ ( X n τ,0) = e q 1 ( n) Xτ (45) A megoldás sor alakjában a kövekezõ lesz: (, ) = ψ X τ τ cnψ n ( X = n, τ ) (46) A szuperpozíció éelé felhasználva (mind a differenciál- mind a konvolúció operáora lineáris) y(x, kielégíi a PIDE, (mivel a agok egyenkén kielégíik). A sor elõállíásából kövekezõen a megoldás a kezdei feléel is kielégíi, így valóban megoldása a Cauchy feladanak. Az együhaók a kövekezõk lesznek: τ

15 003. MÁSODIK ÉVFOLYAM. SZÁM 55 c n q ( ) + ( ) 1 n L / 1 (1 q n ) L / ( 1 e ) ( 1 e ) / 1 L q1 ( n) x = ψ n ( x,0) e dx = L L q 1( n) 1 + q1( n) L / (47) A megoldás 4 idõszinen az ábrán láhaó, a kövekezõ paraméerek melle: h = 11, k = 0.6, s = 0.050, a = 3.33, l= 00. Megjegyezzük, hogy l- a hosszú ávú pu opció érékekhez kalibráluk. PARAMÉTERBECSLÉS A feni modell ö paraméer aralmaz : a-, s- h-, k- és l-. Ebben a fejezeben ismerejük az álalunk alkalmazo módszer ezen paraméereknek az objekív P valószínûségi mérék ala örénõ meghaározására. Különbözõ paraméerbecslési módszerek Az irodalomban öbb paraméerbecslési módszer alálhaunk. A saiszikusok, haékonysága mia, a maximum likelihood (ML) módszer részesíik elõnyben. Barz [Barz99] is ez a módszer használja, hogy az ugró diffúziós modell paraméerei megbecsülje. Az ML-módszer ez eseben ö nemlineáris egyenlee eredményez, amelyek megoldásai adják a paraméerek érékei. A nemlineáris egyenleeke ierációval oldja meg. Mi nem ez a módszer alkalmazzuk, mivel egyrész a módszer inverz Fourier ranszformáció esz szükségessé, (amelye csak numerikusan lehe érékelni) másrész a likelihood függvénynek öbb lokális minimuma van, így a megoldás meghaározása az ieráció idõigényessége mia még nehézkesebb. Ezér inkább a karakeriszikus függvény módszer részesíjük elõnyben, min [Jian00], aki egy, a öbbdimenziós karakeriszikus függvényeken alapuló módszer ismere, vagy [Sing01], aki pedig egydimenziós feléeles karakeriszikus függvény használ. E módszerekben az a közös, hogy meghaározzák a apaszalai karakeriszikus függvény, amelyre az elmélei karakeriszikus függvény illeszik. Ez a módszer sokban hasonlí a Momenumok Módszerére (Mehod of Momens, MoM). A MoM segíségével az elsõ momenumok [eseünkben ö] illeszheõk a minából számío momenumokhoz. Ebben a fejezeben az empirikus karakeriszikus függvény módszer alkalmazzuk a SDE-ben szereplõ paraméerek meghaározásához. Elmélei karakeriszikus függvény 1. definíció. Az X karakeriszikus függvényé a kövekezõképpen definiáljuk: ikx T φ( X,, T, k) = E( e X ) (48) Az opcióárazással való kapcsola világos, ha a backward Kolmogorov egyenlee ekinjük: φ( X,, T, k) ( L + K ) φ( X,, T, k) + = (49) ahol L- és K- fen definiáluk. A karakeriszikus függvény kielégíi a kövekezõ kezdei érék feléel: φ( X T, T, T, k) = exp( ikx T ) (50)

16 56 HITELINTÉZETI SZEMLE A Fourier sorfejéssel kiszámío opció ár (a) különbözõ x (b) különbözõ idõszineken 4. ábra Ψ Ψ Τ ln S vagyis a karakeriszikus függvénynek ugyanaz az inegro-differenciál egyenlee kell kielégíeniük, amelye az opcióáraknak. Ezér (9) Ansaz megoldás i is használhaó. Az Ansaz függvény formája a Lie-féle félcsopor elemzésbõl adódik [Olve00], és már [Hes93] és [Duff00] is használa az affin diffúziós modell megoldásánál. ahol σ k A( = 4κ φ( X,, T, k) = exp ( e κ ( T 1) + λ κ. propozíció. A karakeriszikus függvény a kövekezõ formában keressük: ( A( X B( )) φ( X,, T, k) = exp (51) Az ismerelen B( és A( függvényeke rendre (37) és (38) szolgálaják. Összefoglalva: (47), (48) és (49) felhasználásával az alábbi karakeriszikus függvény adódik: * κ ( T * ( A( + ik[( X α ) e + α ]) κ ( T ) [ ln( η e + k ) ln( η + k )] λ( T (5) (53) Ellenõrizzük le, hogy a karakeriszikus függvény korrespondens-e a Geomeriai Brown Mozgás (GBM) karakeriszikus függvényével. (46)-ból kövekezik, hogy a karakeriszikus függvény k = 0-nál φ(,, T,0) = 1 X (54) k = 0 eseén A( = 0- kapunk és (50) 1 lesz. A (h,l) =0 speciális ese éppen a GBMnek felel meg, amelye X (1) vel jelölünk. Mivel X (1) normális eloszlás köve, a várhaó éréke és szórása egyérelmûen meghaározza:

17 003. MÁSODIK ÉVFOLYAM. SZÁM 57 φ( X,, T k = exp var (1) (1) ( X ) + ike( X ), k) ( η, λ ) = 0 (55) A várhaó érék meghaározására [Bjor98, lemma 3.15, 4.3]- használuk: E (1) ( ) * ( ) ( * κ T X = X α ) e + α var (1) σ κ ( ) ( ) ( T X ) = 1 e κ (56) (57) (53), (54) és (55) ugyanaz az eredmény adja, min (50): φ( X,, T, k) k σ = exp 4κ κ ( T * κ ( T * ( ) 1 e + ik[( X α ) e + ( η, λ ) = 0 α ] (58) Az uolsó speciális ese, ha (k,a,s) = 0, vagyis egy iszán ugrásokból álló folyamaunk van, melye X () -vel jelölünk. A Lévy-Hincsin formula alapján [Ber96]: ikm φ( X,, T, = k) * exp λ( T ( e 1) f m dm = Y ( ) ( κ, α, σ ) 0 (59) ahol f Y (m) az ugrások eloszlása. Ha p = q = 1/ és h = h 1 = h, akkor az alábbi eredményre juunk: λ( T k φ( X,, T, k) * = exp (60) ( κ, α, σ ) = 0 η + k amelye a l Hospial szabály alkalmazásával (50)-bõl is megkaphaunk. Empirikus karakeriszikus függvény Az empirikus karakeriszikus függvény az APX 001. január és 00. július közöi napi álagos érékei segíségével állíouk elõ. A paraméerbecsléshez szükségünk lesz a SDE diszkreizál válozaára is: D = 1 napo feléelezve ez a kövekezõ lesz: E( dx ) = κ ( α * X ) d (61) ahonnan lineáris regresszió segíségével becsülhejük k- és α -. k ismereében elõállíhajuk az empirikus sûrûségfüggvény, majd ennek a Fourier ranszformáljá véve megkapjuk az empirikus karakeriszikus függvény. s-, h- és l- a legkisebb négyzeek módszere segíségével a Malab programcsomagban alálhaó Nelder-Meade szimplex algorimus felhasználásával haározuk meg. Az 5. ábra a apaszalai és elmélei karakeriszikus függvények valós és képzees részei ábrázolja.

18 58 HITELINTÉZETI SZEMLE A karakeriszikus függvény abszolú éréke: (o) empirikus (+) elmélei karakeriszikus függvény 5. ábra ÖSSZEFOGLALÁS Cikkünkben ismereük az energiapiac sajáosságai. A szochaszikus differencálszámíás elméleébe való rövid bevezeés uán eljárás adunk az európai pu opció spo árfolyamok alapján örénõ árazására, illeve az SDE-ben alálhaó ismerelen paraméerek megbecslésére, ha az SDE zajforrásai egy Geomeriai Brown-mozgás, illeve egy olyan Poisson-folyama alkoja, amelynek ugrásnagyság eloszlásá dupla exponenciális függvény adja meg. Az opció árazó parabolikus inegro-differenciál egyenle a megoldásá Fourier-sor alakban keresük, amely egyérelmû megoldás ado. * Ezúon szerenénk köszönee mondani Jobbágy Sándornak, a DZ Bank Fixed Income elemzõjének a kézira áolvasásáér és érékes anácsaiér. HIVATKOZÁSOK Barz99 Ber96 Bjor97 Bjor98 Barz, G. L., Sochasic financial models for elecriciy derivaives. PhD érekezés, Sanford Universiy (1999) Beroin, J., Lévy processes. Cambridge Universiy Press, Cambridge (1996) Bjork, T., di Masi, G., Kabanov, Y. & Runngaldier, W., Towards a General Theory of Bond Markes. Finance and Sochasics, 1 (1997), p Bjork, T., Arbirage heory in coninuous ime, Oxford Universiy press, Oxford (1998) Carr03 DelB00 Deng99 Duff00 Carr, P., Geman, H., Madan, D. & Yor, M., Sochasic Volailiy for Levy Processes. Megjelenik a Mahemaical Finance-ben (003). Del Buono, M.A., The deregulaion of elecriciy markes: promises made, challenges faced. PhD érekezés, Sanford Universiy (000) Deng, S., Sochasic models of energy commodiy prices and heir applicaions: mean-reversion wih jumps and spikes. Munkaanulmány, Georgia Insiue of Technology (1999) Duffie, D., Pan, J. & Singleon, K., Transform analysis and asse pricing for affine jump-dif-

19 003. MÁSODIK ÉVFOLYAM. SZÁM 59 fusions. 68 Economerica (000), p Dupi94 Dupire, B., Pricing wih a smile. Risk, 7 (1994) 1, p EP97 European Parliamen, Inernal marke for energy: common rules for he inernal marke in elecriciy (1997) hp: //europa.eu.in/scadplus/leg/en/lvb/l7005.hm EP01 European Parliamen, Compleing he inernal energy marke: revision of he elecriciy and gas direcives (001) hp: //europa.eu.in/scadplus/leg/en/lvb/l7040.hm Ehe0 Eheridge, A., A course in Financial Calculus. Oxford Universiy Press, Oxford (00) Glas03 Glasserman, P. & Kou, S.G., The erm srucure of simple forward raes wih jump risk. Megjelenik a Mahemaical Finance-ben (003) Hami90 Hamilon, J. D., Analysis of ime series subjec o changes in regime. Journal of Economerics, 45 (1990), p Hes93 Heson, S.L., A closed-form soluion for opions wih sochasic volailiy wih applicaions o bond and currency opions. Review of Financial Sudies, 6 (1993), p Iked81 Ikeda, N. & Waanabe, S., Sochasic differenial equaions and diffusion processes. Norh Holland (1981) Jian01 Jiang, G. J. & Knigh, J. L., Esimaion of coninous ime processes via he empirical characerisic funcion. Munkaanulmány, Universiy of Wesern Onario (000) Khol01 Kou01 Lewi01 Mer76 Olve00 Pilo98 Sing01 Simo83 Schw97 Kholodnyi, V. A., A non-markovian process for power prices wih spikes and valuaion of European coningen claims on power. Preprin, TXU- RAG-01/00 (001) Kou, S. G. & Wang, H., Opion pricing under a double exponenial jump diffusion model. Munkaanulmány, Columbia Universiy (001) Lewis, A.L., A simple opion formula for general jump-diffusion and oher exponenial Levy processes. Munkaanulmány (001) Meron, R. C., Opion pricing when underlying sock reurns are disconinuous. Journal of Financial Economics, 3 (1976) 1, p Olver, P.J., Applicaions of Lie Groups o Differenial Equaions. Springer Verlag, Berlin (000) Pilopovic, D., Energy risk: valuing and managing energy derivaives. McGraw-Hill Inc., New York (1998) Singleon, K.J., Esimaion of affine asse pricing models using he empirical characerisic funcion. Journal of Economerics, 10 (001), p Simon, L. & Baderko, E. A., Másodrendû lineáris parciális differenciálegyenleek. Tankönyvkiadó (1983). Schwarz, E.: The sochasic behavior of commodiy prices: implicaions for valuaing and hedging, Journal of Finance, 5 (1997), pp