Romvári Petra. biztosítási kötelezettségek fair értékelése, id - és piackonzisztens aktuáriusi értékelések

Átírás

1 Budapesi Corvinus Egyeem Eövös Loránd Tudományegyeem Romvári Pera bizosíási köelezeségek fair érékelése, id - és piackonziszens akuáriusi érékelések MSc szakdolgoza Témaveze : Araó Miklós Eövös Loránd Tudományegyeem, Valószín ségelmélei és Saiszika Tanszék Budapes, 2018

2

3 Romvári Pera TARTALOMJEGYZÉK Taralomjegyzék 1. Bevezeés 2 2. Id konziszencia Id konziszens érékelések a bizosíási szekorban Az id konziszencia fogalma Az id konziszens akuáriusi érékelések Id konziszensek-e a saikus megközelíések? A szórásnégyze elv A szórásnégyze elv felírása Feynman-Kac formula A parciális dierenciálegyenle explici megoldása A szórásnégyze elv diszkonálással A szórás elv A szórás elv felírása Elmélei eredményeink vizsgálaa Elmélei eredményeink alkalmazása A díjelvparaméerek viszonya Az id konziszenciáról szóló fejeze rövid összefoglalása Piackonziszens akuáriusi érékelések Piackonziszencia a bizosíásban Kiérékelési porfólió Kiérékelési porfólió, deerminiszikus modell Kiérékelési porfólió, szochaszikus modell Piac- és id konziszens akuáriusi érékelések A használ jelölések Kélépcs s piaci érékelések Elmélei eredményeink alkalmazása Még pár szó a piac- és id konziszens akuáriusi érékelésekr l A fejeze rövid összefoglalása

4 Romvári Pera 1 BEVEZETÉS 1. Bevezeés Szakdolgozaom célki zése egy olyan érékelési módszer bemuaása, mely kezelni udja egy bizosíási porfólióban megjelen akuáriusi és pénzügyi kockáza ke sé. A bizosíási ermékek paleáján ugyanis már régóa jelen vannak olyan ermékek, amelyek kockázaa nem csupán valamilyen bizosíási folyama szochaszikájából fakad, hanem bizonyos piacon kereskede ermékek áralakulásának vélelenségéb l is. Példakén emlíhe ek ezek közö a uni-linked bizosíások, valamin a garanciális bizosíási kizeések is. Habár sokfaja konsrukció foglal magában az akuáriusi melle piaci kockázao is, a kéféle kockázaípus együes érékelésére és kezelésére a bizosíók még mindig viszonylag kis hangsúly fekenek. A dolgoza végcélja, hogy a vonakozó szakirodalom felhasználásával megismerkedjünk az úgyneveze id - és piackonziszens akuáriusi érékelésekkel: ezen érékelések már alkalmasak lesznek arra, hogy a kéféle kockázao együesen kezeljék. Ilyen érékeléseke nyerheünk a már széleskör en használ akuáriusi díjelvek megfelel kierjeszéseib l. Ahhoz azonban, hogy odáig eljussunk, els képp szükségünk lesz a fogalmi kereek felállíására. El ször, a második fejezeben az id konziszencia fogalmával ismerkedünk meg: mi érünk alaa, miér adódha elváráskén egy érékeléssel szemben, illeve hogyan valósíhaó meg az akuáriusi díjelvek id konziszens kierjeszése? Ebben a fejezeben össze is fogom veni a hagyományosan felír akuáriusi díjelveke a bevezee id konziszens kierjeszésükkel. Ez köve en a harmadik fejezeben a piackonziszencia fogalmá is bevezejük, s megnézzük, hogy az hogyan érvényesíhe egy bizosíó kererendszerében. Végül a ké fogalom iszázásá köve en az uolsó fejezeben már ráérheünk az id és piackonziszens érékelések anulmányozására, amelyek ehá már leheséges eszköz kínálnak arra, hogy az emlíe kockázake s együesen is udjuk kezelni. A szakdolgoza során öbbször is példán illuszrálunk egy-egy bevezee megközelíés. Ez nem puszán a könnyebb megérhe sége segíi el, de arra is rávilágí, hogy konkré bizosíási sziuációkban is jól alkalmazhaóak a megismeree módszereink. 2

5 Romvári Pera 2. Id konziszencia 2.1. Id konziszens érékelések a bizosíási szekorban Az akuáriusi feladaok legfonosabbikai közé arozik a bizosíási szerz dések árazása: legyen szó akár egy konkré szerz désr l, akár egy eljes állomány vizsgálaáról. Vegyünk egy egyszer példá: mennyi kérjünk egy T aramú elérési bizosíásér? Vagy álalánosabban: vizsgáljunk egy olyan homogén porfólió, amelyben valamennyi szerz dés kizeése a T. id pillanaban esedékes! A felmerül kérdés: mennyi legyen ennek az ára? A kérdés leheséges megválaszolásának széles irodalma van, ugyanakkor a megközelíéseknek rendszerin közös jellemz je, hogy az árazáshoz kizárólag a kizeés T. id ponbeli muaói veszik gyelembe. Gondolhaunk például a hagyományos díjkalkulációs elvekre: mind a várhaó érék elv, mind a szórásnégyze elv, mind a szórás elv alapve en a T. id ponra vonakozó várhaó érék, illeve szórásnégyze (vagy szórás) függvényekén írják fel az ára, de a háérben meghúzódó bizosíási folyama (például egy elérési bizosíás eseében a úlél szám-folyama) fejl désdinamikájával magával, a folyama id beni válozásának jellemz ivel nem foglalkoznak. Ahogy Thomas Møller is hangsúlyozza Indierence pricing of insurance conracs in a produc space model cím cikkének beveze jében ([1]), az ilyen módszerek azér is venek fel problémáka, mer nem engedik, hogy a bizosíó a (0, T ) inervallumon reagáljon a kockázara s a bizosíási folyama alakulására. Így a vizsgálódásból kizárják a viszonbizosíási és pénzügyi piac megléé, noha a valóságban kínálkozik lehe ség az azokon örén kereskedésre, s ezálal a kockáza leheséges mérséklésére és megfelel bb kezelésére. Az Anoon Pelsser és Ahmad Salahnejhad Ghalehjooghi álal árgyal id konziszens akuáriusi érékelés ([2]) ugyancsak a saikus vizsgálódás mia felve d problémára reekál. A szerz k ehá némileg új néz ponból közelíik meg a kérdéskör: már gyelembe veszik a korábban elhanyagol fejl désdinamiká, s így fognak ára rendelni egy bizosíási szerz déshez. A hozzáállás abban az érelemben nem eljesen újszer, hogy ez a faja logika már régóa jelen van bizonyos pénzügyi ermékek árazásánál például opciók és derivaívák eseében, gondoljunk csak a Fischer Black és Myron Scholz álal kidolgozo opcióárazási modellre ([3]). Igaz, pénzügyi ermékek eseén a dinamikus árazás magyarázaa, hogy o az a replikálás és hedzselés elvén alapszik, amire pénzügyi 3

6 Romvári Pera 2 IDŽKONZISZTENCIA ermékek eseében valóban van is lehe ség. Bizosíási szerz dések árazása eseében némileg más a helyze, elvégre például egy úlél szám-folyama olyan kockázaforrás a bizosíó számára, amivel szemben nem ud kockázasemleges pozíció felvenni piacon kereskedhe ermékek megvásárlásával. Mindazonálal már csak azér is, mer bizonyos bizosíási szerz dések nem hedzselhe kockázaokon kívül hedzselhe eke is magukban foglalnak valóban van léjogoulsága az emlíe id konziszens árazás felérképezésének és vizsgálaának. Ebben a fejezeben ehá az id konziszens árazás fogjuk feldolgozni, mégpedig nagyrész az Anoon Pelsser és Ahmad Salahnejhad Ghalehjooghi álal ír cikkben leíraka felhasználva. Az megközelíésük lényege, hogy a széles körben ismer és használ akuáriusi díjelvek alkalmazásá fogják kierjeszeni oly módon, hogy az eljesíse az id konziszencia feléelé, azaz igaz legyen rá, hogy egyelen id horizonon érékelve ugyanaz az eredmény adja, minha az id horizono ovább oszva érékelnénk ponról ponra. A fejezeben ovábbá össze fogom hasonlíani az eredményeike azzal, hogy mi kapunk volna, ha "hagyományos", saikus elven árazunk volna, ehá a. id ponban a T -ben esedékes kizeés a már megszoko akuáriusi díjelvekkel kezelük volna. Lássunk is mos neki az id konziszencia fogalmának bevezeéséhez, majd ismerkedjünk meg az id konziszens árazás mibenléével! 2.2. Az id konziszencia fogalma Legyen (Ω, A, P) valószín ségi mez, y() egy ezen érelmeze bizosíási folyama, A : σ(y r 0 r ) lráció. Az állományra vonakozó kizeés a T. id pillanaban fog örénni, a porfólió akkori kizeése a szóban forgó bizosíási folyama T. ponbeli érékének, y(t )-nek lesz a függvénye: f(y(t )). Példaképp vegyünk egy elérési bizosíás! Ado számú szerz d vel indulunk: akik közülük megélik T -, k kizeésre jogosulak, a öbbiek viszon nem. A szerz d k számá modellezzük eseünkben a bizosíási folyamaal, y-nal: y(0) szerz d vel indulunk, a. id pillanaban y() a még éleben lév k száma, s végül a T - megél y(t ) számú bizosíonak arozunk kizeéssel. A rájuk vonakozó eljes kizeés ehá y(t ) függvénye: f(y(t )). 4

7 Romvári Pera 2.3 Az id konziszens akuáriusi érékelések Jelöljük az ára π-vel! π : L 2 (A T ) L 2 (A ) feléeles kockázai mérék. Ekkor π-r l akkor mondjuk, hogy id konziszens, ha eljesül rá az alábbi: π[f(y(t )), y()] = π[π[f(y(t )) s, y(s)], y()] 0 < s T. Ez a felírás a feléeles várhaó érék oronyszabályának megfelel köveel meg. Az hivao kifejezni, hogy ha a. id pillanaban adnánk el a porfólió, akkor ugyanannyi kérnénk ére, minha a. id pillanaban azér kérnénk ára, hogy az s. id pillanaban (0 < s T ) megváljunk az akkor már π(s, y(s)) árú porfólióól. A feni formalizálja a fejeze bevezeésében emlíe köveelmény, miszerin egyelen id horizonon árazva ugyanaz az ára kéne megszabnunk, minha az id horizono ovább oszva ponról ponra áraznánk. Az id konziszens érékelés arról fog szólni, hogy az árfüggvénynek valamennyi bels ponjára vonakozóan elege kell ennie az id konziszencia feléelének. Nézzük is meg ponosan, hogy ez mi jelen, miképp írhaó fel és valósíhaó meg! 2.3. Az id konziszens akuáriusi érékelések [2] alapján: az id konziszens árazás lényege ehá, hogy az id konziszencia feléelé kell alkalmaznunk. Beárazandó a. id pillanaban egy szerz dés, aminek kizeése a T. id ponban esedékes. Hangsúlyozandó, hogy az id konziszencia maga egy módszer, de önmagában nem bizosí árazó formulá, így nekünk kell még külön megadni mellé egy árazási eszköz. Ahogy a feldolgozo cikk is eszi, mi is a beve akuáriusi díjelvekkel (a szórásnégyze és szórás elvvel) fogunk operálni, csak nem a hagyományos, saikus módon, hanem ehá az id konziszencia módszerével. Az id konziszens árazás megvalósíási módja, hogy a kezd - és végpon álal meghaározo id inervallumo kisebb, hosszú inervallumokra oszjuk. Ezeken a kis inervallumokon már udunk a hagyományos módon árazni, vagyis az id horizono ovább nem oszva felírhajuk a szokásosan alkalmazo akuáriusi díjelveinke a végpon kezd pon szerini beárazására. Els képp az uolsó inervallumon eszünk így: T ben haározzuk meg az arra vonakozó feléellel (vagyis a feléeles várhaó érék és szórásnégyze felírásával), hogy mennyi kérünk a id elelével, T -ben esedékes porfóliókizeésér. A szórásnégyze elvvel illuszrálva: π T ( f(y(t )) ) = E ( f(y(t )) T, y(t ) ) αvar( f(y(t )) T, y(t ) ), 5

8 Romvári Pera 2 IDŽKONZISZTENCIA ahol α 0. Az uolsó id inervallumra szóló árazással így meg is lennénk. Ez köve en haladhaunk háulról el refele, a kövekez lépésben az el z höz hasonló fogunk felírni, csak immáron a [T 2, T ] inervallumra: a T 2 -beni feléeles várhaó érék és szórásnégyze felírásával adjuk meg a T 2 ponbeni ára a T -beni "kizeésre" vonakozóan (ez a "kizeés" a T -beli énylegesen megvalósuló kizeésb l levezee π T árfüggvényb l származik). A felír köveelmény bizosíja, hogy az id konziszencia elvárása eljesüljön a T 2, T és T ponoka ille en. Megegyez en folyahajuk a háulról el refele haladás, mígnem végül elérünk a kezd ponig, -ig, ezzel meghaározván a módszerrel a π (f(y(t ))) ára. Vegyük észre, hogy ahogy a T 2, T és T ponoka ille en eljesül az id konziszencia, úgy ha folyajuk a módszer, s inervallumról inervallumra lépve árazunk, úgy az id konziszencia bármely olyan [, T ]-beli ponegyües eseén is igaz lesz, ahol a ponok az inervallumhaárkén szerepl ponok közül kerülnek ki. Összegezve: ez a kis id inervallumokra örén feloszás, s háulról el refele örén feléeles árazás bizosíja, hogy úgy adjuk meg a kezd ponbeli ára, hogy az inervallumhaárkén szerepl közes ponok bármely válaszása eseén fennálljon az id konziszencia feléele. Vegyük közben észre, hogy ez az id konziszens árazás megadhaó esz legesen kis id inervallum-hossz válaszása melle is! Ebb l adódóan persze arra is lehe ségünk kínálkozik, hogy 0 haárérékképzés melle adjuk meg a kerese id konziszens ára. Ha pedig így járunk el, akkor bármilyen [, T ]-közbüls ponok válaszása eseén eljesülni fog az id konziszencia feléele. Leeük az id konziszens árazás min módszer alapjai. A kés bbiekben persze vár még ránk a felada, hogy ado árazási eszköz (például: szórásnégyze elv, szórás elv) melle a bizosíási folyama dinamikája, valamin az f kizeésfüggvény ismereében ponosan is leírjuk a konkré módszer s megadjuk a kerese ára. Miel azonban erre ráérnénk, még egy rövid kiér eszünk, s megvizsgáljuk, hogy mi mondhaó el a saikus megközelíések id konziszenciájáról. 6

9 Romvári Pera 2.4 Id konziszensek-e a saikus megközelíések? 2.4. Id konziszensek-e a saikus megközelíések? A cikk szerz i ugyan nem érnek ki erre, de az új módszer megismereésével egy id ben felve dhe bennünk a kérdés: a korábban alkalmazo saikus módszerek, az akuáriusi díjelvek "hagyományos" felírása ezek szerin nem eljesíee az id konziszencia feléelé? A válasz az, hogy nem felélenül, s bizonyos speciális eseek l elekinve rendszerin nem. Egy kés bbi alfejezeben részleesen is fogunk foglalkozni azzal, hogy milyen kapcsolaban áll egymással az id konziszens és a saikus módszer álal szolgálao díj, de egyel re korláozzuk gyelmünke arra, hogy ez a ke nem felélenül esik egybe. Ez a szórásnégyze elv eseében egy egyszer példán muajuk be. Legyen a vizsgál bizosíási folyama a kövekez : y(0) = 100, majd innen ké lépésben, faszer en ágazunk el: minden lépésben a folyama éréke vagy 0.8-szeresére, vagy 0.6-szeresére válozik, és a ké ese megegyez valószín ség, p = 1. Ábrán szemléleve: 2 (W : a világállapo megjelölése, y : a bizosíási folyama konkré éréke.) W 0 y 0 : 100 p = 1/2 W 1 1 y 1 1 : 80 p = 1/2 W 1 2 y 1 2 : 64 p = 1/2 p = 1/2 W 2 1 y 2 1 : 60 p = 1/2 W 2 2 y 2 2 : 48 p = 1/2 W 3 2 y 3 2 : 36 Ez egy leheséges megbúvó bizosíási folyama leképzése: 100 f s állományból indulunk, mely a kövekez id ponban 80, illeve 60 f sre csappanha, majd a második id ponban már csak 64, 48, illeve 36 f s lehe. Elérési bizosíással foglalkozunk, vagyis a bizosíó kizárólag a úlél knek arozik kizeéssel, azaz jelen eseben a aram végén éleben marad 64, 48, illeve 36 f nek. Az egyszer ség kedvéér együk fel, hogy minden úlél egységnyi kizeésre jogosul: f(y(t )) = 1 y(t ) = y(t ), ovábbá a diszkonálásól is ekinsünk el! 7

10 Romvári Pera 2 IDŽKONZISZTENCIA Mos ehá szórásnégyze elvvel árazunk. Ha a saikus árazás maga id konziszens lenne, akkor ugyanaz az ára szolgálaná "egyb l árazva", min közes oszóponoka véve, és azokon kereszül árazva. Mos vegyünk egyelen közes oszópono, s vessük össze, hogy mi kapnánk, ha el ször hagyományosan, saikusan áraznánk, majd másodjára egy oszóponal, ké lépésben. (Megjegyzés I.: alsó indexben az id ényez fogjuk felüneni, amelyre vonakozóan számíjuk a megfelel feléeles várhaó éréke és szórásnégyzee. Megjegyzés II.: az α díjparaméerre vonakozóan érékadással kell élnünk. Legyen α = 0.2, s így 1 2 α = 0.1.) Saikus árazás: ( ) ( ) 1 π 0 f(y(2)) = E0 f(y(2)) + 2 αvar ( ) 0 f(y(2)) = = 1 ( 1 4 ( ) ( ) ( ) 1 4 ( )) 2 = = ( ( )2 ) = = ( ) = = = 58.9 Azaz hagyományosan árazva 58.9 egysége kérnénk a porfólióér. Oszóponos árazás: Els képp az 1-es id pillana ké leheségesen bekövekez világállapoára vonakozó π 1 áraka kell meghaároznunk. W 1 1 -re: ( ) ( ) π 1 f(y(2)) = E1 f(y(t )) y(1) = y αvar ( ) 1 f(y(2)) y(1) = y 1 1 = = 1 ( 1 2 ( ) ( ) ( ) 1 2 ( )) 2 = = ( ( )2 ) = = ( ) = = =

11 Romvári Pera 2.4 Id konziszensek-e a saikus megközelíések? W 2 1 -re: ( ) ( ) π 1 f(y(2)) = E1 f(y(t )) y(1) = y αvar ( ) 1 f(y(2)) y(1) = y 2 1 = = 1 ( 1 2 ( ) ( ) ( ) 1 2 ( )) 2 = = ( (1 2 84)2 ) = = ( ) = = = 45.6 Ezen ke ismereében a 0. id ponra vonakozó ár is megadhaó, ábránk a kövekez re módosul: W 0 y 0 : 100 p = 1/2 W 1 1 ỹ 1 1 : 62.4 p = 1/2 W 2 1 ỹ 2 1 : 45.6 W 0 -ra: ( ) ( ) 1 π 0 f(ỹ(1)) = E0 f(ỹ(1)) + 2 αvar ( ) 0 f(ỹ(1)) = = 1 2 ( ) ( 1 2 ( ) ( 1 2 ( )) 2 = ( ( )2 ) = ) = = (2986, ) = = = Ezzel az oszóponos, kélépéses esere is meghaározuk a kerese ára. Vessük is össze a saikus módszerrel kapoal! A módszer szerini ár 0-ban Saikus árazás 58.9 Oszóponos árazás

12 Romvári Pera 2 IDŽKONZISZTENCIA Láhaó, hogy a ké ár nem esik egybe. Ezzel sikerül egy konkré példá muanunk, mely aláámaszja, hogy a hagyományos, saikus árazási módszerre nem felélenül eljesül az id konziszencia köveelme. Ez persze az is jeleni, hogy ha a kés bbiekben már id konziszens módon árazunk, akkor a korábbi, saikus áról elér eredmény kaphaunk, hiába használjuk ugyanaz az akuáriusi díjelve és megegyez paraméer. Ennek iszázása és hangsúlyozása uán ráérheünk arra, hogy közelebbr l is megismerkedjünk az id konziszens árazással min elvvel magával, s megnézzük, milyen áraka fog adni különböz feléelezések melle. Még egyszer: az id konziszens árazás során a vizsgál [, T ] inervallumo el bb kis inervallumokra oszjuk, s ezeken lokálisan árazunk valamilyen akuáriusi díjelv segíségével. Ez köve en az inervallumok hosszával 0-hoz arunk, ezzel elérve, hogy a eljes inervallum esz leges bels ponjai válaszva fennálljon az id konziszencia köveelménye. A dolgozaban ké akuáriusi elvre vezejük le az id konziszens árazás képleei, ezek a szórásnégyze elv és a szórás elv lesznek. Els képp a szórásnégyze elvvel ismerkedünk meg közelebbr l A szórásnégyze elv Ebben az alfejezeben Anoon Pelsser és Ahmad Salahnejhad Ghalehjooghi Time- Consisen Acuarial Valuaions cím cikkje alapján fogunk dolgozni ([2]) A szórásnégyze elv felírása Vizsgálaunk els alanya a szórásnégyze elv. Egyel re diszkonálással nem foglalkozunk, arra a fejeze egy kés bbi alfejezeében fogunk kiérni. Fonos hangsúlyozni, hogy ebben az alfejezeben a kezd id ponunk kivéelesen nem, hanem 0 lesz, s ezálal nem is a [, T ] id inervallumo fogjuk részinervallumokra oszani, hanem a [0, T ]-. Ennek a válozaásnak az az oka, hogy ez az alfejeze a kis inervallumokon örén árazásra fog fókuszálni, ami mia sokszor lesz szükségünk id válozókra, s prakikusabbnak n fennarani mos - az els dleges id válozó jelölésére, minsem még egy új karaker bevezeni. Továbbá ezzel a jelölésrendszerrel a feldolgozo cikk jelöléseivel is összhangban udunk maradni. 10

13 Romvári Pera 2.5 A szórásnégyze elv A bizosíási folyama kövesse az alábbi szochasziká (mos ehá nem a kezd pon, hanem esz leges bels pon): dy() = a(, y())d + b(, y())dw () 0 eseén A jelöli a megfelel lráció. W () sandard Wiener-folyama, a(, y()) és b(, y()) folyonosak és adapálak. y() Iô-folyama, négyzeesen inegrálhaó. Írjuk fel az id konziszens árazás! A korábban emlíeek érelmében ekkor el ször a [0, T ] inervallumo kis id inervallumokra kell feloszanunk, s ezeken egyesével áraznunk, eseünkben egyesével fel kell írnunk rájuk a szórásnégyze elve. Nézzük, hogy ponosan mi is jelen ez! Egy vizsgál inervallumunk [, + ], ekkor a -beni ár a + -re vonakozó feléeles várhaó érék és variancia függvényeképp az alábbikén áll el (fels indexben a szórásnégyze, variancia V be jé ünejük fel): π V (, y()) = E [π V ( +, y( + )) A ] αvar [π V ( +, y( + )) A ] (1) (A ovábbiakban a jelölés megkönnyíése érdekében le fogjuk hagyni a feléel jelzésé, vagyis valamennyi -re vonakozó várhaó érék, illeve szórásnégyze az A lrációra ve feléeles éréke fogja jeleneni.) Tegyük fel, hogy π V készer folyonosan dierenciálhaó -ben, ovábbá a π, π y, π yy deriválak folyonosak! Ugyancsak a jelölés megkönnyíése érdekében a ovábbiakban az inegrandusokban s + eseén a π (s, y(s)), π y (s, y(s)), π yy (s, y(s)) érékeke röviden π, π y, π yy -vel fogjuk jelölni. Hasonlóan járunk el az a(s, y(s)) és b(s, y(s)) folyamaok eseén is, ezekre a-kén, illeve b-kén fogunk hivakozni. Ahhoz, hogy a szórásnégyze elve alkalmazhassuk a [, + ] inervallumra, ismernünk kell a + -beli várhaó éréke és szórásnégyzee. Az Iô-formula alkalmazásával felírhaó π V ( +, y( + )) és ( π V ( +, y( + )) )2 szochaszikája, azokból pedig meghaározhaó a kerese várhaó érék és szórásnégyze. Írjuk is fel a formulá, nézzük meg, milyen alako öl π V ( +, y( + )) és ( π V ( +, y( + )) )2! π V ( +, y( + )) = π V (, y()) + + ( π V + aπy V + 1 ) 2 b2 πyy V ds + + bπ V y dw (s) (2.1) 11

14 Romvári Pera 2 IDŽKONZISZTENCIA A jelölés könnyebbsége érdekében π V 2 jelölje (π V ) 2 -, ekkor: π V 2 ( +, y( + )) = π V 2 (, y()) ((π V 2 ) + a(π V 2 ) y + 12 b2 (π V 2 ) yy ) ds+ + b(π V 2 ) y dw (s) = + ( ) = π V 2 (, y()) + 2π V π V + 2aπ V πy V + b 2 ((πy V ) 2 + π V πyy) V ds bπ V π V y dw (s) (2.2) Használjuk ki a Brown-mozgás maringálulajdonságá ( s)! Ennek érelmében megadhaóak az el bbi 2.1-es és 2.2-es egyenleek eseében a kerese várhaó érékek. Ezek az alábbiak lesznek: E [ π V ( +, y( + )) ] = π V (, y()) + E [ + (π V + aπy V + 1 ] 2 b2 πyy)ds V (3.1) E[π V 2 ( +, y( + ))] = π V 2 (, y()) + E [ [2π V (π V + aπy V + 1 ] 2 b2 πyy)) V + (bπy V ) 2 ]ds A 3.1-es összefüggés négyzere emelve az alábbi is megkapuk: [E [ π V ( +, y( + )) ]] 2 [ + =π V 2 (, y()) + 2π V (, y()) E (π V + aπy V + 1 ] 2 b2 πyy)ds V + (3.2) [ + + (E (π V + aπy V b2 πyy)ds]) V (3.3) A 3.3-as és a 3.2-es összefüggések különbségé véve a kerese szórásnégyze, Var [π V ( + ), y( + )] is megadhaó: [ Var [π V ( + ), y( + )] =E [2π V (π V + aπy V + 1 ] 2 b2 πyy)) V + (bπy V ) 2 ]ds [ + 2π V (, y()) E (π V + aπy V + 1 ] 2 b2 πyy)ds V [ + (E (π V + aπy V b2 πyy)ds]) V (3.4) 12

15 Romvári Pera 2.5 A szórásnégyze elv Ezek ismereében érjünk vissza a kiindulási egyenleünkhöz, a szórásnégyze elv [, + ] inervallumra örén felírásához! Az el bbi eredményeink alapján behelyeesíhejük a korábban kerese várhaó éréke és szórásnégyzee, és megnézhejük, milyen formá öl így az 1-es összefüggés. Mos már felünejük az argomenumban (s, y(s))-, hogy érelemszer en meg legyenek különbözeve a függvényérékek a (, y()) helyen felve érékek l. Egyszer síéseke köve en az alábbi kapjuk: [ + π V (, y()) = π V (, y()) + E π V (s, y(s)) + aπy V (s, y(s)) + 1 ] 2 b2 πyy(s, V y(s))ds [ + ] 2 αe (bπy V (s, y(s))) 2 ds [2E α (π V (s, y(s)) π V (, y()) ( π V (s, y(s)) + aπy V (s, y(s)) + 1 ) ] 2 b2 πyy(s, V y(s)) ds 1 ( + 2 α E (π V (s, y(s)) + aπy V (s, y(s)) b2 πyy(s, y(s)))ds) V (4.1) Árendezés uán leoszhaunk -vel, majd vehejük mindké oldal haáréréké 0-ban. [ 1 0 = E lim 0 [ 1 + αe lim α lim π V (s, y(s)) + aπy V (s, y(s)) b2 πyy(s, V y(s)) + 1 ] 2 α(bπv y (s, y(s))) 2 ds + ( π V (s, y(s)) π V (, y()) )( π V (s, y(s)) + aπy V (s, y(s)) + 1 ) ] 2 b2 πyy(s, V y(s)) ds [ + (E π V (s, y(s)) + aπy V (s, y(s)) b2 πyy(s, y(s))ds]) V (4.2) Haárérékeke kiszámolva az els sorban, s a második sor els szorzóényez jé kifejve: 0 = π V (, y()) + απy V (, y()) b2 πyy(, V y()) α( bπy V (, y()) ) 2 + [ 1 + ( + α E lim π V (s, y(s)) π V (s, y(s)) + aπy V (s, y(s)) + 1 ) ] 0 2 b2 πyy(s, V y(s)) ds α (π V (, y()) ) [ 1 + ( E lim π V (s, y(s)) + aπy V (s, y(s)) + 1 ) ] 0 2 b2 πyy(s, V y(s)) ds 1 2 α lim 0 [ 1 + (E (π V (s, y(s)) + aπy V (s, y(s)) b2 πyy(s, y(s)))ds]) V (4.3) 13

16 Romvári Pera 2 IDŽKONZISZTENCIA Az egyenl ség jobb oldalának els sorá abból kapuk, hogy korábban feleük π, π y, π yy, ovábbá a és b folyonosságá, s ebb l adódóan ez a haárérékképzés a - beli függvényérékeke fogja adni. Vizsgáljuk a jobb oldal második és harmadik sorá! Ugyancsak a megfelel függvényfolyonosságokból adódóan ( haárérékük az alábbi lesz (el bb) poziív, majd negaív el jellel): α π V (, y()) π V (, y())+aπy V (, y())+ 1 2 b2 πyy(, V y()). Minhogy ez a kifejezés egyszer ehá poziívkén, egyszer pedig negaívkén szerepel, így az összeadásban a ké sor kinullázza egymás. A jobb oldal negyedik sora eseében az alábbi áalakíás végezhejük: 1 2 α lim 1 + (E π V (s, y(s)) + aπy V (s, y(s)) b2 πyy(s, y(s))ds) V = 1 2 α lim 1 + (E π V (s, y(s)) + aπy V (s, y(s)) + 1 ) 0 2 b2 πyy(s, V y(s))ds + (E π V (s, y(s)) + aπy V (s, y(s)) + 1 ) 2 b2 πyy(s, V y(s))ds = bevíve a haárérékképzés az els ényez be: = 1 ( 2 αe 1 + lim π V (s, y(s)) + aπy V (s, y(s)) + 1 ) 0 2 b2 πyy(s, V y(s))ds ( + E lim π V (s, y(s)) + aπy V (s, y(s)) + 1 ) 0 2 b2 πyy(s, V y(s))ds Belájuk, hogy ez a szorza nullával egyenl. A feladaunk alapve en a ké várhaó érékkén felír szorzóényez meghaározása. A ke közö lényegi különbség, hogy az egyikben megjelenik az 1 szorzókén, a másikban viszon nem, és ez jelen s elérés eredményez. ( ) 1 + E lim 0 π V (s, y(s)) + aπy V (s, y(s)) b2 πyy(s, V y(s))ds haárérékkel nem sokkal korábban alálkozunk, egészen ponosan a 4.2-es összefüggés els összeadandó agjában. Ahogy ez megállapíásra kerül, folyonossági okok mia a kerese haárérék a kifejezés (, y()) ponban felve éréke lesz, mégpedig: π V (, y()) + απ V y (, y()) b2 π V yy(, y()). Ez egy véges érék szorzóényez. 14

17 Romvári Pera 2.5 A szórásnégyze elv E ( ) + lim 0 π V (s, y(s))+aπy V (s, y(s))+ 1 2 b2 πyy(s, V y(s))ds viszon "üres" inegrállá fog redukálódni a 1 szorzóényez hiányában, így éréke 0 lesz. Vagyis a 4.3-as összefüggés negyedik sora egy véges érék és egy 0-s ényez szorzaa, így maga is 0 lesz. Ezek alapján elmondhaó, hogy a 4.3-as összefüggés jobb oldalának kizárólag az els sora fog 0-ól különböz éréke felvenni, kövekezésképp az az alábbi egyszer bb alako fogja öleni: 0 = π V (, y()) + απ V y (, y()) b2 π V yy(, y()) α( bπ V y (, y()) ) 2 (4.4) Ezzel meg is kapuk a szórásnégyze elvhez arozó parciális dierenciálegyenlee: π V + aπy V b2 πyy V α(bπv y ) 2 = 0 (5.1) A hozzá arozó peremfeléel pedig: π V (T, y(t )) = f(y(t )) (5.2) Foglaljuk össze, mire juounk! Id konziszens árazási alapon felíruk a szórásnégyze elve. Ennek érelmében a kezd ponól a végponig aró id inervallumo kisebb inervallumokra bonouk, s valamennyi ilyen inervallum eseén a szórásnégyze elvnek megfelel en árazunk. Egy kis id inervallum kezd ponbeli ára a végponbeli várhaó érék és szórásnégyze függvénye. Ezen várhaó érék és szórásnégyze az Iô-formula alkalmazásával megadhaó az inervallumon ve megfelel inegrálok összegekén. Az így felír összefüggéseke alakíva egy parciális dierenciálegyenlee udunk levezeni, amely eseén π V (T, y(t )) = f(y(t )) peremfeléelnek kell eljesülnie, elvégre bizosíói kizeés kizárólag a T. id ponban esedékes, így a bizosíó számára a porfólió ponosan annyiba kerül ekkor (π V (T, y(t ))), min amennyi ekkor kizenie szükséges (f(y(t ))). Lássuk ehá, hogy mi a levezeésb l megkapo parciális dierenciálegyenle megoldása! 15

18 Romvári Pera 2 IDŽKONZISZTENCIA Feynman-Kac formula A kerese ár meghaározásához szükségünk lesz a Feynman-Kac formulára. A Richard Feynman és Mark Kac nevei visel összefüggés kapcsolao erem, illeve ír le bizonyos parabolikus parciális dierenciálegyenleek és szochaszikus folyamaok közö. A formula segíségével például felírhaóak egyes parciális dierenciálegyenleek megoldásai egy megfelel szochaszikus folyama feléeles várhaó érékekén. Feladaunk során ponosan erre lesz szükségünk, nézzük is ehá a formulá! Az alábbi parciális dierenciálegyenlee vizsgáljuk: u (x, ) + µ(x, ) u x (x, ) σ2 (x, ) 2 u (x, ) V (x, )u(x, ) + g(x, ) = 0, (6.1) x2 amely x R és (0, T ) eseén fennáll, ovábbá elege esz az u(x, T ) = φ(x) peremfeléelnek. µ, σ, V, g és φ eleve ado függvények, T paraméer. u : R T R- keressük. A Feynman-Kac formula érelmében ekkor u el áll az alábbi feléeles várhaó érék alakjában: [ T ] u(x, ) = E Q e r V (Xτ,τ)dτ g(x r, r)dr + e T V (X τ,τ)dτ φ(x T ) X = x, (6.2) ahol a várhaó érék azon Q valószín ségi mérék ala érend, amelyre X Iô-folyama a dx = µ(x, )d+σ(x, )dw Q szochaszikával és az X = x induló poni peremfeléellel. (W Q () Brown-mozgás Q mérék ala.) Ez a formulá fogjuk ehá használni a kerese ár meghaározásához, de el bb még szükségünk van arra, hogy a parciális dierenciálegyenleünke megfelel alakra hozzuk A parciális dierenciálegyenle explici megoldása Jelenleg az alábbi egyenle megoldásá keressük: π V + aπy v b2 πyy V α(bπv y ) 2 = 0 (7.1) A négyzees ag jelenlée mia ez egy nemlineáris egyenle, ami ebben a formában nem udunk megoldani. Mindazonálal megfelel ranszformálással lineárissá udjuk alakíani, amire már alkalmazhaó lesz a korábban ismeree eszközünk. Írjuk fel rá ehá a Hopf-Cole ranszformáció! Legyen h V (, y) := e απv (,y). Ekkor ermészeesen inverálással kifejezhe π V (, y) is h V (, y) függvényében, mégpedig: π V (, y) = 1 α lnhv (, y). 16

19 Romvári Pera 2.5 A szórásnégyze elv Írjuk fel π V (, y) megfelel deriváljai is: π V = 1 h V α h, V πv y = 1 α h V y h V, πv yy = 1 α h V yyh V (h V y ) 2 (h V ) 2. (7.2) Ezeke behelyeesíve a 7.1-es összefüggésbe a négyzees agok ki fogják egymás olani, s végül az alábbira juunk: h V + ah V y b2 h V yy = 0 (7.3) Láhaó, hogy valóban sikerül a ranszformációnak köszönhe en megszabadulni a négyzees agól, s immáron egy lineáris parciális dierenciálegyenle megoldásá keressük. A hozzá arozó peremfeléel (a korábbi, π-re vonakozó peremfeléel h függvényében felírva): T ponban eljesíend, hogy h V (T, y(t )) = e απv (T,y(T )) = e αf(y(t )). Vegyük észre, hogy a 7.3-as egyenle már olyan alakú, amire alkalmazhaó a Feynman- Kac formula! Nézzük is meg, mi kapunk bel le: els képp írjuk fel, hogy a 6.1-es felírásban szerepl függvényeknek az eseünkben mik felelnek meg! u := h µ := a σ := b V := 0 (azonosan 0 függvény) g := 0 (azonosan 0 függvény) αf(y(t )) a peremfeléelb l: φ(y(t )) = e Ezeke behelyeesíve az alábbira juunk (mos nem 0-ra, hanem -re felírva): Azaz π-re vonakozóan: h V (, y) = E Q[ e αf(y(t )) y() = y ]. (8.1) π V (, y) = 1 α lneq[ e αf(y(t )) y() = y ]. (8.2) Vagyis amennyiben id konziszens árazási módszerrel árazunk be egy bizosíási porfólió a szórásnégyze elv alkalmazása melle, úgy (a diszkonálás egyel re gyelembe 17

20 Romvári Pera 2 IDŽKONZISZTENCIA nem véve) explici formulá udunk felírni a porfólió árára. A formula álal szolgálao konkré érék kiszámolásához szükségünk van f(y(t )) momenumgeneráló függvényére, annak ismereében pedig már kiszámolhaó a kerese ár. (Megjegyzés: ugye f(y(t )) maga a bizosíó összkizeése, elvégre kizárólag a T. id ponban örénik kizeés, amely akkor f(y(t )).) Minden olyan eseben ehá, ahol ismer f(y(t )) momenumgeneráló függvénye, a kerese érék könnyedén meghaározhaó. Összefoglalás Ebben az alfejezeben az id konziszens árazás azon aleseével ismerkedünk meg, melyben a szórásnégyze elvvel operálunk. El ször a szochaszikus analízis módszerei alkalmazva egy parciális dierenciálegyenle megoldására vezeük vissza a feladao. Ez köve en ezen egyenle ranszformálásával olyan alakra sikerül hozni a megoldandó problémá, hogy alkalmazni udjuk rá a Feynman-Kac formulá. A formula felírásával végül explici alakjá uduk megadni a kerese árnak, mely a végs kizeés momenumgeneráló függvényének ismereében már konkréan kiszámolhaó. Hára van még annak a gyelembe véele, hogy a pénznek id éréke is van, így magá a diszkonálás is bele kell foglalnunk az árazási meódusunkba. Lássuk ehá, hogy ez hogyan valósíhaó meg! A szórásnégyze elv diszkonálással Érelemszer en adódik az igény, hogy az árazási eljárás magába foglalja a diszkonálás is. Minhogy a bizosíási szerz dések maguk igen hosszú aramúak is lehenek, így nem puszán elmélei megfonolásból van erre szükség, de a diszkonálási ényez nek meghaározó haása is van az árra. Nézzük meg ehá, hogy a pénz id érékének számíásba véelével hogyan írhaó fel a kerese ár ugyancsak id konziszens árazási módszerrel, a szórásnégyze elv alkalmazásával. Miel nekiláunk a feladanak, együnk egy fonos meggyelés, ponosabban állapísuk meg, hogy az árazás megadásánál milyen mérékegységekkel dolgozunk! Újra felírva az 1-es összefüggés: π V (, y()) = E [π V ( +, y( + )) A ] αvar [π V ( +, y( + )) A ]. Leolvashaó, hogy a várhaó érék és a szórásnégyze formájában különböz mérékegységekben kifejeze érékekkel kerülünk szembe: míg a várhaó érék az ado valu- 18

21 Romvári Pera 2.5 A szórásnégyze elv ában, például forinban kifejeze, addig a szórásnégyze ennek második haványában. Ahhoz, hogy a felír összefüggés jobb oldalának ké agja érelmesen összeadhaó legyen, el kellene érnünk, hogy a ké összeadandó azonos mérékegységgel jelenjen meg. Amennyiben például a második agban megjelen α szorzóényez magá is mérékegységgel rendelkez nek válaszanánk, mégpedig például forinban örén megadás eseén 1 -nak, akkor elérhenénk, hogy a különböz dimenziók már ne okozzanak gondo, elvégre ahogy E, úgy immáron 1αVar 2 is a valua els haványában lenne F kifejezve. Ez ehá egy fonos észrevéel, mindenképpen gyelnünk kell a különböz haványok megjelenéséb l adódó mérékegységbeli dierenciára. Mindazonálal a diszkonálás hozzávéelekor máshogy fogjuk orvosolni az elér mérékegységekb l adódó problémá. Tesszük ez azér, mer ezen másképp örén orvoslás egyben az is bizosíani fogja, hogy a diszkonálás maga is gyelembe vegyen véve. A korábban használ α helye egy abszolú, mérékegység nélküli szorzóra érünk á, ez δ-val jelöljük. δ- viszon korrigálni szükséges, elvégre a szórásnégyze szorzóényez jének 1 -os mérékegységgel kell szerepelnie. Ha leoszjuk δ- egy úgyneveze benchmark F 1 árszinel, akkor újból -os mérékegységgel jelenik meg a szórásnégyze együhaója. F Ez a benchmark árszin a T. id ponra vonakozik, éréke: X T (a nulladik id ponban ez az árszin X 0 ), mérékegysége: az ado valua. Feléve, hogy a kockázamenes kamaláb r, ezen X T egyenl lesz X 0 e rt -vel. Így a szórásnégyze elv újraírhaó az alábbi formában (ez egy id horizonra örén, ehá saikus felírás): Π V 0 (f(y(t ))) = E 0 [f(y(t ))] + 1 δ 2 X 0 e Var 0[f(y(T ))]. (9) rt Mi örénik ehá? Egyrész mérékegység szemponjából rendben van a felírás. Másrész vegyük észre, hogy Π V 0 (f(y(t ))) már "forward árban kifejeze". Az X 0 e rt -vel örén leoszás csak a benchmark szinjé korrigála, de mind a várhaó érék, mind a szórásnégyze T -beni éréken le megadva. Így amennyiben egy korábbi id ponbeli ára akarunk megkapni (ahogy örénni fog ez az id konziszens felírásnál, mikor π V (, y()) a + -beli várhaó érék és szórásnégyze függvényekén lesz kifejezve), úgy ez akkori jelenérékre kell hoznunk, azaz diszkonálnunk szükséges. Lássuk, hogy mi örénik, mikor ezennel már π V (, y())- kifejezve a (, + ) inervallumra írjuk fel a formulá: π V (, y()) = e r ( E [π V ( +, y( + ))] + 1 δ 2 X 0 e Var [π V ( +, y( + )] ). rt (10) 19

22 Romvári Pera 2 IDŽKONZISZTENCIA Oldjuk meg az egyenlee! Emlékezzünk rá, hogy korábban, a diszkonálás elhanyagolása melle is hasonló megoldandó egyenleel állunk szemben (1-es összefüggés). A mosani felírás a korábbiól kizárólag ké szorzó jelenlée különbözei meg (a jobb oldal e r együhaója, illeve a variancia α helyei δ X 0 e rt együhaója). A már akkor ismeree módon mos is az Iô-formulá fogjuk alkalmazni, [, + ]-n ve inegrálok összegekén fogjuk kifejezni π V ( +, y( + )) várhaó éréké és szórásnégyzeé. Áalakíásoka köve en kapjuk a kövekez (a könnyebb áekinhe ség érdekében ahol egyérelm en (s, y(s)) az argomenum, o ez az inegrálokban nem üneük fel): [ + ( (e r 1) π V (, y()) = E π V + aπy V + 1 ] ) 2 b2 πyy V ds [ δ + ] 2 X 0 e E rt (bπy V ) 2 ds δ + ( [2E 2 X 0 e rt π V (s, y(s)) π V (, y()) ) 1 δ + (E 2 X 0 e rt ( π V + aπy V + 1 ) ] 2 b2 πyy V ds (π V + aπ V y b2 π V yy)ds) 2 (11.1) Ahogy ez megel z en is eljárunk, mos is oszjuk az egyenle mindké oldalá vel, majd 0 haáréréke veszünk. Így az alábbi parciális dierenciálegyenlee kapjuk: π V + aπy V b2 πyy V + 1 δ 2 X 0 e rt (bπv y ) 2 rπ V = 0 (11.2) A parciális dierenciálegyenle linearizálása mos a h V X (, y) = e 0 e rt πv (,y) -ra való áéréssel örénik. A h-ra vonakozó egyenle megoldása végül elveze a kerese megoldáshoz, mégpedig (immáron nem 0-ra, hanem álalános -re felírva, elvégre a szerz dés egy közes id ponban is beérékelhe ): π V (, y) = X [ ] 0e r δ X lne e 0 e rt f(y(t )) y() = y δ δ (11.3) Összefoglalás Ebben az alfejezeben megvizsgáluk, hogy id konziszens árazási módszerrel, a szórásnégyze elv alkalmazásával milyen ára állapíhaunk meg egy T. id ponbeli f(y(t )) 20

23 Romvári Pera 2.6 A szórás elv kizeés porfólió eseében, ahol y() egy eleve ado szochaszikájú bizosíási folyama vol. El bb a diszkonálás elhanyagolásával, majd a diszkonálás is gyelembe véve árazunk. Egy-egy parciális dierenciálegyenle megoldására vezeük vissza a feladaoka, majd ezeke megoldva egy-egy feléeles várhaó érék alakjában uduk felírni az áraka. A kerese árak a T. ponbeli kizeés, f(y(t )) momenumgeneráló függvényének ismereében már kiszámolhaóak A szórás elv Ebben az alfejezeben ovábbra is Anoon Pelsser és Ahmad Salahnejhad Ghalehjooghi Time-Consisen Acuarial Valuaions cím cikké fogjuk feldolgozni ([2]) A szórás elv felírása A korábbi alfejezeben egy gyakran használ akuáriusi díjelv, a szórásnégyze elv alkalmazásával vizsgáluk az id konziszens árazás módszeré. Mos egy másik széleskör en elerjed akuáriusi díjelvvel örén árazás veszünk górcs alá az id konziszens árazási módszer kereei közö: ez a szórás elv. Felevéseink ugyanazok: a. id ponbeli árá kívánjuk meghaározni egy olyan szerz désnek, amely eseében kizárólag a végponban, T -ben örénik kizeés, ami akkor f(y(t )). Az y-ra, illeve f-re örén feléelezéseink is válozalanok. A hagyományos, saikus felírás szerin ebben az eseben a. id ponbeli ár az alábbi módon áll el (a fels indexben szerepl S a szórásra, sandard deviaionre ual): Π S (f(y()) = E [f(y(t )) A ] + β Var [f(y(t )) A ] (12) Ahogy korábban is, mos is feloszjuk a kezd - és végpon álal haárol id inervallumo kisebb, nagyságú inervallumokra, s els képp egy-egy ilyen inervallumra haározzuk meg az ára. Végig feléeles várhaó érékekkel és szórásokkal dolgozunk, a végponra vonakozó feléel függvényében adhaó meg a kezd ponbeli ár. Így hárafele ierációval T - l egészen -ig "visszafejhe " az ár. Végül 0 haáréréke veszünk. Nézzük meg, hogy mi jelen a szórás elv egy [, + ] inervallum eseén! (Kivéelesen újra áérünk arra, hogy id válozó legyen a levezeésben, ugyancsak azér, mer célszer en adódik esz leges id paraméer megjelölésére.) Mos már a szórásnégyze elv 21

24 Romvári Pera 2 IDŽKONZISZTENCIA elemzésével ellenében rögön a diszkonálás is számíásba fogjuk venni. A szórás elv az alábbi írja fel: π S (, y()) = e (E r [π S ( +, y( + ))] + β ) Var [π S ( +, y( + ))] Hangsúlyozandó, hogy immáron a variancia együhaója β-ról β -re módosul. Már a szórásnégyze elv alfejezeében a diszkonálás hozzávéelekor eünk egy kiér a mérékegységeke ille en. Akkor a kövekezelensége az okoza, hogy a várhaó érék mérékegysége az ado valua, míg a szórásnégyzeé az ado valua négyzee vol. Mos ez a probléma nem merül fel, elvégre a várhaó érék és a szórás egyarán az ado valua els haványában kifejeze, adódik viszon egy másik gond. Az id konziszens árazás módszerének egyik lépése során 0 haáréréke veszünk: a jelenlev mögöes bizosíási fejl désében szerepl Brown-mozgás mia a várhaó érék ugyan szerin lineárisan fog skálázódni, de a szórás csak annak gyökével, -vel. Ebb l adódóan ahhoz, hogy a jobb oldalon szerepl ké ag megegyez dimenziókkal kerülhessen összeadásra, korrekcióra van szükségünk, s emia a szórásago kiegészíjük egy -s szorzóval. Ugyanazon eljárással, ahogy a szórásnégyze elv eseén is dolgozunk, az alábbi formára hozhajuk az iméni felírás: [ + ( (e r 1) π S (, y()) = E π S + aπy S + 1 ) ] 2 b2 πyy S ds + [ + ( + β 2E π S (s, y(s)) π S (, y()) ) (π S + aπy S + 1 ] 2 b2 πyy)ds S + [ + ] + ( +E (bπy S ) 2 ds (E π S + aπy S + 1 ) 2 2 b2 πyy) S ds (13) (14.1) Mindké oldal -vel oszva, 0 haáréréke véve, s a bal oldalon az konkréan 22

25 Romvári Pera 2.6 A szórás elv ki is számolva: [ rπ S 1 (, y()) = E lim 0 [ 2E lim + β [ + E lim 0 1 ( π S aπ S y b2 π S yy ) ] ds + ( π S (s, y(s)) π S (, y()) ) (π S + aπy S + 1 ] 2 b2 πyy)ds S + ] (bπy S ) 2 ds (14.2) A gyök alai kifejezésben szerepl harmadik ago elhagyuk, hiszen az oszás és haárérékképzés uán a négyzees kiev je mia 0-val lesz egyenl, ahogy ez már korábban a szórásnégyze elv levezeésénél is láuk (a 4.3-as összefüggés negyedik sorának vizsgálaakor). Elvégezve a haárérékképzés a öbbi agra is, a szórásnégyze elvnél részleeze okok mia hasonló számíással az alábbi parciális dierenciálegyenlee nyerjük: + aπy S b2 πyy S + β (bπy S ) 2 rπ S = 0 (15.1) π S (bπ S y ) 2 = bπ S y - felhasználva, ovábbá azzal az ésszer feléelezéssel élve, hogy b nemnegaív: π S + aπ S y b2 π S yy + βb π S y rπ S = 0 (15.2) Ennél a parciális dierenciálegyenlenél szembeöl gondo okozha az abszolú érék megjelenése. Mindazonálal gyelembe véve, hogy az abszolú érék argomenumában a kerese ár y bizosíási folyama szerini deriválja szerepel, így mégis jogos felevés, hogy ez a derivál végig azonos el jel marad (azaz az ár monoon függvénye y-nak). Ebb l a megállapíásból kövekez en kapjuk a derivál el jelé l függ en: π S + (a ± βb)π S y b2 π S yy rπ S = 0 (15.3) Akárcsak a szórásnégyze elv eseében, mos is a Feynman-Kac formulá alkalmazzuk, amib l rögön megkapjuk a kerese π S (, y)- (ehá immáron nem 0-ban, hanem -ben kifejezve az ára): [ π S (, y) = E S e r(t ) f(y(t )) ], y() = y (16) 23

26 Romvári Pera 2 IDŽKONZISZTENCIA ahol E S egyfaja korrigál várhaó éréke jelen, egészen ponosan egy módosío y S folyama alapján ve várhaó éréke, ahol y S drifje a ±βb(, y) aggal egészül ki, vagyis: dy S = ( a(, y) ± βb(, y) ) d + b(, y)dw S. Összességében ehá megkapuk az id konziszens árazás képleé szórás elv alkalmazása melle is. Az eredmény már a diszkonálás is magában foglalja. A közes számolások és használ módszerek nagyrész megegyezek a korábban, a szórásnégyze elvnél láoakkal Elmélei eredményeink vizsgálaa Az el z alfejezeben bevezeük az id konziszens árazás min árazási lehe ség fogalmá, s megnézük, hogy különböz díjelvek alkalmazása melle milyen elmélei eredményeke ad. Az explici képleek rendelkezésünkre állnak valamennyi vizsgál aleseben, a szórásnégyze és a szórás elv alkalmazása során egyarán. Ezen eredmények birokában már lehe ségünk nyílik ezek konkré vizsgálaára. A cikk szerz párosa ugyan ennek nem szenel gyelme, de összehasonlíhaó például, hogy ado díjelv és bizosíási folyama melle, az elv és a folyama paraméereinek rögzíésével mennyire fog elérni egymásól a hagyományos, saikus módszer és az id konziszens megközelíés álal szolgálao ár. Természeesen udjuk, hogy ezen módszerek eljesen más alapokon nyugszanak, így nem lehe messzire men kövekezeéseke levonni mondjuk abból, hogy az egyik magasabb ára kér, min a másik, de e l függelenül érdemes összeveni a ke. Megnézhejük például, hogy eseleg egybeesneke valamilyen eseben, vagy ha nem, akkor mekkora a dierencia és mib l adódik. Az elmélei összehasonlíáson úl persze konkré gyakorlai példákon is kiszámolhaó egyik s másik, s így is megvizsgálhaó a szolgálao elérés. Miel ráérnénk a megfelel vizsgálódásra, meg kell jegyezni, hogy a hagyományosan felír akuáriusi díjelvek nem foglalják magukban a diszkonálás, viszon annak érdekében, hogy érelmesen hasonlíhassuk össze a ké megközelíés eredményei, nem ehejük meg, hogy azok közül az egyikben diszkonálunk, a másikban pedig nem. Ez a problémá azzal küszöböljük ki, hogy abban a speciális eseben hasonlíjuk össze a megkapo áraka, amikor a használ r kamaláb 0%. Ez lényegében az jeleni, hogy az id konziszens eseben sem örénik diszkonálás, elvégre a pénz id éréke ekkor x lesz, 24

27 Romvári Pera 2.7 Elmélei eredményeink vizsgálaa azaz a id ponbeli 1 forin éréke azonos lesz a T id ponbeli 1 forinéval. (Különben a szórásnégyze ese felírásakor ugye lépésr l lépésre haladunk, s a kezdeekben még elhanyagoluk a diszkonálás, így o rögön felírhaó a diszkonálás mell z formula.) A diszkonáláshoz f z d megjegyzés megéele uán már rá is érheünk az összehasonlíásokra, együnk is így! Az explici képleek már a korábbiak alapján rendelkezésünkre állnak, ezek pedig a kövekez k: Szórásnégyze elv A módszer szerini ár -ben Id konziszens módszer π V (, y) = 1 α lneq[ e αf(y(t )) y() = y ] Saikus megközelíés Π V (f(y()) = E [f(y(t ))] αvar [f(y(t ))] Szórás elv (Az E S jelölés a dy S = ( a(, y) ± βb(, y) ) d + b(, y)dw S módosío folyama szerini várhaó éréke jelöli ovábbra is.) A módszer szerini ár -ben [ Id konziszens módszer π S (, y) = E S e r(t ) f(y(t )) y() = y ] [ ] r = 0 válaszással π S (, y) = E S f(y(t )) y() = y Saikus megközelíés Π S (f(y()) = E [f(y(t ))] + β Var [f(y(t ))] Ahhoz, hogy a kerese kifejezések kiszámolhaóak legyenek, el ször is valamilyen feléelezéssel kell élnünk a mögöes bizosíási folyamaal kapcsolaban. Modellezze y egy állomány úlél inek számá! Ésszer en milyen szochaszikával rendelkezhe y? Írjuk fel ké gyakora el forduló folyama megvalósulásakén y-! Az egyik ilyen az OrnseinUhlenbeck folyama lesz, a másik pedig a geomeriai Brown-mozgás. Ezekre a folyamaokra ismerek a várhaó érékek, a szórásnégyzeek, illeve az, hogy y(t ) milyen eloszlás fog köveni. Nézzük is meg ezeke! (Az index nélkül jelze várhaó érék és szórás a 0 ponra vonakozó feléeles érékeke jelölik.) 1. ese: OrnseinUhlenbeck folyama: dy() = µ y()d + σdw () (17.1) 25

28 Romvári Pera 2 IDŽKONZISZTENCIA Ekkor levezehe ek az alábbiak: 2. ese - geomeriai Brown-mozgás: E(y ) = y 0 e µ (17.2) Var(y ) = σ2 2µ (1 e 2µ ) (17.3) y N ( y 0 e µ, σ2 2µ (1 e 2µ ) ) (17.4) dy() = a y()d + b y()dw () (18.1) Ekkor levezehe ek az alábbiak: E(y ) = y 0 e a (18.2) Var(y ) = y0e 2 2a (e b2 1) (18.3) y LogNorm ( lny 0 + (a 1 2 b2 ), b 2 ) (18.4) A bizosíási folyama megadása még nem elég ahhoz, hogy konkré bizosíási helyzeekre eredményeke kapjunk, hiszen a kizeésfüggvény is alapjaiban haározza meg a bizosíási szerz dés, így erre vonakozóan is valamilyen felevéssel kell élnünk. f(y(t )) jelenése: mennyi kell kizenie a bizosíónak a T. id pillanaban az udván, hogy o a bizosíási folyama az y(t ) éréke vesz fel. (Az y(t ) ado eseben a úlél számo jeleni, ekkor a kérdés az, hogy y(t ) úlél re vonakozóan mekkora lesz a bizosíó kizeése.) Természeesen adódha az f(y(t )) = c y(t ) válaszása, ahol c poziív konsans. Ez olyan bizosíási sziuációkban fordul el, ahol valamennyi bizosíonak ugyanaz a végkizeés garanál, ilyen lehe például egy x bizosíási összeges elérési bizosíás, ahol ehá valamennyi úlél c éréke kap a T id pillanaban. Mos kizárólag erre a ermészeesen adódó, gyakori esere korláozzuk a vizsgálódásunka, s ezen f(y(t )) = c y(t ) felevés melle nézzük meg, hogy a különböz megközelíések milyen eredményekre vezenek. Vegyük is sorra ezen levezehe analiikus formuláka, írjuk fel, hogy milyen egyenl ség alapján kell számolnunk, s helyeesísük be a felevéseinkb l kövekez megfelel érékeke! 26

29 Romvári Pera 2.7 Elmélei eredményeink vizsgálaa OrnseinUhlenbeck folyama, szórásnégyze elv Id konziszens módszer: π V (, y) = 1 α lne[ e αf(y(t )) y() = y ] = 1 α lne[ e αcy(t ) y() = y ]. Ahhoz, hogy ez kiszámolhassuk, szükségünk van y(t ) momenumgeneráló függvényére. Használjuk ki, hogy y(t ) ebben az eseben normális eloszlású, s így momenumgeneráló függvénye ismer! Ekkor a függvény M-mel jelölve (a 0 id pillanara vonakozóan): M yt (s) = e E(y T )s e 1 2 Var(y T )s 2, s ebbe a 17- es összefüggés eredményé helyeesíve: M yt (s) = e y 0e µt s e 1 σ 2 2 2µ (1 e 2µT )s 2 = e y 0e µt s e σ2 s 2 4µ (1 e 2µT ). Ugyanez a -re vonakozó feléellel: M,yT (s) = e ye µ(t )s e σ2 s 2 4µ (1 e 2µ(T )). Visszaérve a kerese π V -re, s felhasználva, hogy f(y(t )) = c y(t ): π V (, y) = 1 α lne[ e αcy(t ) ] 1 y() = y = α ln[ e ye µ(t ) αc e σ 2 (αc) 2 ] (1 e 4µ 2µ(T ) ) = 1 [ cy αe µ(t ) + σ2 (αc) 2 α 4µ (1 e 2µ(T ) ) ] = cy e µ(t ) + σ2 αc 2 4µ (1 e 2µ(T ) ) (19) Saikus megközelíés: Π V (f(y(t )) = E [f(y(t ))] αvar [f(y(t ))]. Ebbe behelyeesíve a 17-es összefüggés eredményei f(y(t )) = c y(t ) felevés melle: Mi kapunk? Π V (f(y(t )) = cy e µ(t ) + 1 σ2 αc2 2 2µ (1 e 2µ(T ) ) = = cy e µ(t ) + σ2 αc 2 4µ (1 e 2µ(T ) ) (20) OrnseinUhlenbeck folyamao és a ermészeesen adódó f(y(t )) = c y(t ) kizeés feléelezve: a szórásnégyze elv ugyanaz az eredmény fogja adni mind id konziszens árazás, mind a hagyományos, saikus árazás használaával. Felmerül az igény, hogy közelebbr l is szemügyre vegyük ez az eredmény, miér egyezhe meg ez a ke? Emlékezzünk rá, hogy mib l származo az id konziszens árazás eredménye! A megfelel levezeés és áalakíásoka köve en egy parciális differenciálegyenle megoldására vezeük vissza akkor a feladao. Az, hogy a saikus és az id konziszens módszer ugyanaz az ára adja, egyenérék azzal, hogy a saikus 27

30 Romvári Pera 2 IDŽKONZISZTENCIA módszer megkíván Π V (f(y(t )) ára kielégíi az id konziszencia parciális dierenciálegyenleének 5.1-es egyenleé. Elevenísük fel ez a parciális dierenciálegyenlee: π V + aπ V y b2 π V yy α(bπv y ) 2 = 0 Ez kellene kielégíenie Π V (f(y(t ))-nek, vagyis cy e µ(t ) + σ2 αc 2 4µ (1 e 2µ(T ) )-nek. Ellen rizzük, hogy valóban eljesül-e rá a köveelem! Els képp kiszámoljuk a megfelel deriválaka: π V = cy e µ(t ) + σ2 αc 2 4µ (1 e 2µ(T ) ) π V = µcy e µ(t ) 2µe 2µ(T ) σ2 αc 2 = µcy 4µ e µ(t ) e 2µ(T ) σ2 αc 2 2 π V y µ(t ) = ce πyy V = 0 Helyeesísük be ezeke, ovábbá az a(, y) = µy és b(, y) = σ érékeke! Így: π V + aπy V b2 πyy V α(bπv y ) 2 = µcy e µ(t ) e 2µ(T ) σ2 αc 2 2 µy (ce µ(t ) ) α(σce µ(t ) ) 2 = µcy e µ(t ) e 2µ(T ) σ2 αc 2 2 µcy e µ(t ) α σ2 c 2 e 2µ(T ) = 0. Vagyis valóban kijön, hogy a parciális dierenciálegyenle felírása eljesül. Ez az jeleni, hogy egyúal ellen rizük is, hogy az id konziszens és a saikus ár megegyezik egymással. OrnseinUhlenbeck folyama, szórás elv Id konziszens módszer r = 0% válaszással: [ ] [ ] π S (, y) = E S f(y(t )) y() = y = E S c y(t ) y() = y. Ezeseben dy S = ( µy ± βσ)d + σdw S szerini várhaó éréke számolunk, ez jeleni számunkra az E S felírás. Ebben az eseben ahogy az láhaó is a drif kiegészül egy korrekciós aggal. A várhaó érék a 0. id ponban az alábbi lesz: E(y T ) = y 0 e µt ± βσt, a id pillanaban pedig y()- ismerve: E (y T ) = y e µ(t ) ± βσ(t ). Jegyezzük meg, hogy ha úlél számo modellezünk (s 28

31 Romvári Pera 2.7 Elmélei eredményeink vizsgálaa ebben a dolgozaban ez a f irányvonal), úgy az ár y szerini deriválja poziív lesz, elvégre magasabb úlél szám magasabb összkizeés eredményez. Ez maemaikailag az is jeleni, hogy a βσ szorzójakén fel n el jel poziív lesz, hiszen korábban, a képle levezeésénél megjegyezük, hogy ez az el jel π y el jelével egyezik meg. Ezen megjegyzés megéve a várhaó érék az alábbira módosul: E (y T ) = y e µ(t ) +βσ(t ), s ez behelyeesíve már könnyedén megkaphaó π S (, y) is: π S (, y) = cy e µ(t ) + cβσ(t ) (21) Saikus árazással: Π S (f(y()) = E [f(y(t ))] + β Var [f(y(t ))] Behelyeesíve a 17-es összefüggés eredményei: Π S (f(y()) = cy e µ(t ) + β 2µ (1 e 2µ(T ) ) = = cy e µ(t ) 1 e 2µ(T ) + cβσ 2µ c 2 σ2 (22) Mi kapunk? Id konziszens módszerrel cy e µ(t ) +cβσ(t ), míg saikus felírással cy e µ(t ) + 1 e 2µ(T ) cβσ ára kérnénk a porfólióér. Leolvashaó, hogy az elérés a kockázai 2µ felárban jelenik meg, az összeadás els agja mindké eseben a kizeés várhaó éréke cy e µ(t ). (Várhaóan y e µ(t ) úlél nk lesz, s mindegyikük számára c a kizeend összeg.) A kockázai felár ehá elér a ké eseben, de vajon mennyire? Az id konziszens 1 e 2µ(T ) hozzáállás cβσ(t ) plusz kér a saikus megközelíés cβσ -jével szemben. 2µ Írjuk fel az uóbbi eseére e 2µ(T ) 2µ(T ) els rend közelíésé! e 1 2µ(T ). 29

32 Romvári Pera 2 IDŽKONZISZTENCIA Behelyeesíve ez: cβσ 1 e 2µ(T ) 2µ(T ) 2µ(T ) 1 e 2µ 1 e 2µ(T ) 2µ 1 e 2µ(T ) 2µ 2µ(T ) 2µ T cβσ T = T Vagyis az lájuk, hogy az exponenciális kifejezés annak els rend közelíésére áírva egy becsül érékkel dolgozhaunk ovább (bár ez a becslés a m velei ranszformációk mia már nem kezelhe els rend közelíéskén), s ekkor a saikus megközelíés hozzáve leges kockázai öbblee cβσ T lesz az id konziszens árazás cβσ(t ) pluszával szemben. Az el bbi persze hangsúlyozoan egy becsül érék, mégis leolvashaó, hogy a ké kockázai öbble közö azér felfedezhe rokonság: mindke a cβσ szorzao súlyozza még egy id ényez l függ szorzóval. Ponos összehasonlíásra persze ez alapján nem nyílik lehe ségünk, de majd konkré számérékek melle összevehe lesz a ke álal produkál ár. Geomeriai Brown-mozgás, szórásnégyze elv Id konziszens módszer: π V (, y) = 1 α lne[ e αf(y(t )) y() = y ] = 1 α lne[ e αcy(t ) y() = y ]. Ugyancsak a momenumgeneráló függvényre lesz szükségünk, ahogy ez a szórásnégyze elv felírásakor már korábban, OrnseinUhlenbeck folyamao feléelezve is megörén. Tudjuk, hogy a mosani eseben y T lognormális eloszlású lesz. Ekkor azonban az is ismer, hogy a momenumgeneráló függvény nem léezik, egészen ponosan az exponenciális kifejezés várhaó éréke + lesz. Ebb l adódóan eseben π V (, y) = + lesz a kér ár. 30

33 Romvári Pera 2.7 Elmélei eredményeink vizsgálaa Saikus árazással: Π V (f(y())) = E [f(y(t ))] αvar [f(y(t ))]. Ebbe behelyeesíve a 18-as összefüggés eredményei f(y(t )) = c y(t ) felevés melle: Mi kapunk? Π V (f(y(t ))) = cy e a(t ) αc2 y 2 e 2a(T ) (e b2 (T ) 1) (23) Geomeriai Brown-mozgás feléelezve a szórásnégyze elv id konziszens eseben nem ado racionálisan használhaó eredmény. Hiába implikálja a számíás maga ez a + ára, reálisan nem indokol ennyi kérni a bizosíási porfólióér. Kiindulva abból, hogy y(t ) a úlél k számá jeleni: y(t ) y() fels korlá adhaó, vagyis "legrosszabb eseben" a porfólió valamennyi agja éleben marad, s ezálal jogosul a megille bizosíási összegre. Áírva f(y(t ))-re: f(y(t )) = c y(t ) c y(), azaz maximum c y() zeés erheli a bizosíó a T. id pillanaban. Nem indokol ehá + -re árazni a porfólió, hiszen véges fels korlá adhaó a kizeésre, s így az árra magára is. Ezzel szemben a saikus módszer véges eredmény ad, ami ehá "valóságközelibb", min az el bb árgyal id konziszens ár. A saikus módszer ára: cy e a(t ) αc2 y 2 e 2a(T ) (e b2 (T ) 1), azaz a várhaó éréken felüli kockázai felára: 1 2 αc2 y 2 e 2a(T ) (e b2 (T ) 1). Geomeriai Brown-mozgás, szórás elv Id konziszens módszer r = 0% válaszással: [ π S (, y) = E S f(y(t )) y() = y ] [ = E S c y(t ) y() = y ]. Ahogy már korábban is a szórás elv felírásakor, mos is dy S = (a ± βb)yd + bdw S szerini várhaó éréke számolunk, vagyis a drif mos is kiegészül egy korrekciós aggal. A várhaó érék így az alábbi az lesz: E(y T ) = y 0 e (a±βb)t, illeve -re vonakozava: E (y T ) = y e (a±βb)(t ). Ugyancsak a korábban is el jöv logiká felhasználva, feléelezve, hogy y a úlél számo modellezi, vagyis a π y deriválfüggvény végig poziív, a várhaó érék az alábbira módosul: E (y T ) = y e (a+βb)(t ). Ez behelyeesíve, id ponra számolva: π S (, y) = cy e (a+βb)(t ) (24) 31

34 Romvári Pera 2 IDŽKONZISZTENCIA Saikus árazással: Π S (f(y())) = E [f(y(t ))] + β Var [f(y(t ))] Behelyeesíve a 18-as összefüggés eredményei: Π S (f(y()) = cy e a(t ) + β c 2 y 2 e 2a(T ) (e b2 (T ) 1) = = cy e a(t ) + βcy e a(t ) e b2 (T ) 1 = ) = cy e (1 a(t ) + β e b2 (T ) 1 (25) Mi kapunk? Id konziszens logikával cy e (a+βb)(t ), míg hagyományos módszerrel cy e a(t )( 1 + β e b2 (T ) 1 ) ára kérnénk a porfólióér. Mos is érdemes lehe megvizsgálni, hogy milyen kapcsolaban áll egymással a ké érék. Az id konziszens ár: cy e (a+βb)(t ) = cy e a(t ) e βb(t ), cy e (a+βb)(t ) cy e a(t ) (1 + βb(t )), cy e (a+βb)(t ) cy e a(t ) + cy e a(t ) βb(t ) e βb(t ) els rend közelíéséb l: vagyis: A saikus ár: cy e a(t )( 1 + β (e b2 (T ) 1) ), e b2 (T ) els rend közelíéséb l: cy e a(t )( 1 + β (e b2 (T ) 1) ) cy e a(t )( 1 + β b 2 (T ) ), ebb l (b 0): cy e a(t )( 1 + β (e b2 (T ) 1) ) cy e a(t ) + cy e a(t ) βb T Tehá mindké eseben egy els rend közelíés éréké behelyeesíve hasonló alakra hozhaó a ké megkíván ár, persze ezek az árközelíések a m velei ranszformációk mia már nem ekinhe ek els rend közelíéseknek. Mos is kirajzolódik az a formula, ami már az OrnseinUhlenbeck folyama szórás elvénél is: az árban a várhaó érék melle megjelen kockázai felár az id konziszens árnál és a saikusnál hasonló ugyan, viszon az id l függ szorzó az el bb (T )-kén, míg uóbb annak gyökekén, T - kén jelenik meg. Ugyanez gyelük meg ehá korábban is a szórás elv eseében, akkor még az OrnseinUhlenbeck folyama anulmányozása során. Ahogy akkor is, mos is csak becsléseke veheünk össze egymással, ponos összehasonlíás mos is csak úgy leheséges, hogy ado, konkré számérékeke helyeesíünk az eredei képleekbe. 32

35 Romvári Pera 2.8 Elmélei eredményeink alkalmazása 2.8. Elmélei eredményeink alkalmazása Ebben az alfejezeben gyakorlai példákon nézzük meg, hogy a korábban levezee és elemze elmélei eredményeink mi adnak konkré bizosíási sziuációkban. Ugyanazoka a felevéseke használjuk a kapcsolódó bizosíási folyamara és kizeésfüggvényre vonakozóan, min az az el bbi alfejezeben is eük, ezen felül mos már a megjelen paraméereknek is éréke adunk. Így ponosan kiszámolhaóak a kerese árérékeink. Els képp az OrnseinUhlenbeck folyamaal foglalkozzunk! Ahogy korábban is íruk: dy() = µ y()d + σdw () Tegyük fel, hogy a porfóliónk szerz déssel indul, vagyis y() = 10000! A bizosíási aram 10 év lesz: T = 10. y() fejl désére vonakozóan: µ alapve en a folyama ado pillanabeli várhaó éréké haározza meg (a várhaó érékre kizárólag a kiinduló éréknek és µ-nek van befolyása), míg a σ érék a szórásnégyzeben jászik szerepe. Vegyünk észre, hogy az OrnseinUhlenbeck folyama eseén a vélelen ag nem függ a folyama ado ponbeli éréké l (s ponban nem függ y(s)- l), így érelemszer en magas σ- kell válaszanunk, hogy az önmagában, y(s) szorzó nélkül is meg udja ragadni a folyama vélelenszer ségé. Így adódha egy leheséges válaszásnak a µ = 0.05, illeve σ = 20 érék. Az egyszer ség kedvéér c- vegyük egységnyi érék nek, vagyis a konsans kizeésre: c = 1. A szórásnégyze elv α paraméere pedig legyen 0.5! Mekkora lesz ekkor az ár szórásnégyze, valamin szórás elvvel a különböz módszerek eseén? OrnseinUhlenbeck folyama, szórásnégyze elv Ahogy láuk egy alfejezeeel korábban (19-es és 20-as összefüggések), a szórásnégyze elvvel mindké megközelíés ugyanaz az ára ada, amely: Behelyeesíve: π V (, y) = Π V (f(y(t ))) = cy e µ(t ) + σ2 αc 2 4µ (1 e 2µ(T ) ) π V (, y) = Π V (f(y(t )) = e (1 e ) = = (1 e 1 ) , 632 =

36 Romvári Pera 2 IDŽKONZISZTENCIA Leolvashaó, hogy várhaóan 6065 úlél nk lesz, mindegyikük számára 1 egység kizeés jár. A várhaó éréken felül megjelen kockázai felár pedig 632. OrnseinUhlenbeck folyama, szórás elv Paraméerfelevéseink megegyeznek az el bbiekkel, β pedig legyen 2! Id konziszens árazással (21-es öf.): π S (, y) = cy e µ(t ) + cβσ(t ) Behelyeesíve: π S (, y) = e = = Saikus árazással (22-es öf.): Behelyeesíve: Π S (f(y()) = cy e µ(t ) + cβσ Π S (f(y()) = e e 2µ(T ) 2µ 1 e = (egészre kerekíe érék) Valóban szembeöl a kockázai felárak okoza különbség, míg az el bbi módszer 6465-ös, addig az uóbbi 6166-os végeredmény hoz. Persze ahogy az már korábban is emlíésre kerül, ez a ké módszer mer ben más alapokon nyugszik, így nem felélenül érdemes kövekezeéseke levonni az eredményeikb l. Téves lenne az lesz rni, hogy az id konziszens árazás magasabb kockázai felára köveel, elvégre más a ké módszer mögöes logikája, így eleve nem is indokol a ké eseben ugyanannak válaszani a díjelvek paraméerei. (S gondoljunk bele, hogy az ár nagyban függ a díjelvparaméer l, ami érelemszer en máshogy válaszhaó meg a különböz logikákra ámaszkodva.) 34

37 Romvári Pera 2.8 Elmélei eredményeink alkalmazása Mos érjünk á a geomeriai Brown-mozgásra! Ekkor: dy() = a y()d + b y()dw () Ahol lehe, ugyanazoka a felevéseke esszük, min az OrnseinUhlenbeck folyamanál, így: y() = 10000, T = 10. A kizeés mos is egységnyi: c = 1, a díjelvek paraméerei is válozalanok: α = 0.5, β = 2. A bizosíási folyama paraméerei viszon korábban nem ebben a formában kerülek el, így azokra mos kell meghaároznunk felevéseinke. Legyen a = 0.05, ezzel ugyanaz a várhaó érék jelenik meg s eseén y(s)-re, min a korábbi OrnseinUhlenbeck folyama paraméerválaszásánál (korábban µ = 0.05 fordul el paraméerkén, viszon o a fejl désdinamikában ez negaív el jellel jelen meg). A fejl désdinamika másik paraméere mos azonban másfaja szerepe öl be, elvégre a vélelenago már nem σ szorozza önmagában, hanem a b paraméer y-szerese, vagyis már maga a folyama akuális nagysága is befolyásolja a vélelenéréke. Példánkban válasszuk b nek. Mekkorák lesznek ekkor a kerese árak? Geomeriai Brown-mozgás, szórásnégyze elv Az id konziszens árazás + eredmény hozo paraméerválaszásól függelenül. Saikus árazással viszon véges ára kapunk a 23-as összefüggés alapján: Π V (f(y(t ))) = cy e a(t ) αc2 y 2 e 2a(T ) (e b2 (T ) 1) Behelyeesíve: Π V (f(y(t ))) = e e (e ) = (egészre kerekíe érék) Geomeriai Brown-mozgás, szórás elv A korábban deniál paraméerekkel dolgozunk. Id konziszens árazással (24-es öf.): Behelyeesíve: π S (a+βb)(t ) (, y) = cy e π S (, y) = e ( ) 10 = (egészre kerekíe érék) 35

38 Romvári Pera 2 IDŽKONZISZTENCIA Saikus árazással (25-ös öf.): Behelyeesíve: Π S (f(y())) = cy e a(t )( 1 + β Π S (f(y())) = e (1 + 2 (e b2 (T ) 1) ) (e ) ) (egészre kerekíe érék) I is az kapuk a várnak megfelel en, hogy az id konziszens ár felül fogja múlni a saikusa, elvégre a megel z alfejezeben láhauk, hogy míg az el bbi hozzáve legesen az elel id, addig az uóbbi annak gyöké veszi szorzósúlyul a kockázai felárnál, s eseünkben az id 1 egységnél nagyobb (T = 10), így a (T )-s szorzó nagyobb lesz, min a T -s. Jelen eseben az elérés Mos is hangsúlyozandó azonban, hogy ez az elérés megegyez díjelvparaméer eseén adódo, de ez ermészeesen nem azzal ekvivalens, hogy az id konziszens árazás min megközelíés álalánosságban magasabb kockázai felára köveelne. Másfaja szerepe öl be egyiknél és másiknál a díjelv paraméere, nem indokol a ké módszer eseében megegyez nek beállíani ke A díjelvparaméerek viszonya A ké megel z fejezeben az id konziszens és a hagyományos, saikus árazás eredményei hasonlíouk össze egymással, összesen négy alapese anulmányozása révén. Ebb l a négy eseb l egyszer arra juounk, hogy a szolgálao árak megegyeznek, egyszer pedig arra, hogy míg az egyik + lesz, addig a másik véges éréke fog adni. A maradék ké eseben láhaunk csak példá arra, hogy mindké módszer véges eredmény ad ugyan, de azok képle szerin nem egyez ek. Megállapíouk, hogy mivel elér jelen ség szerepe jászanak ezek a paraméerek a ké módszer áralakíásában, ezér nem is indokol ke megegyez nek válaszani: ekkor viszon felmerülhe a kérdés, hogy milyen paraméerválaszások kellenének ahhoz, hogy ado körülmények (a bizosíási folyama jellemz inek és a szerz dés aramának rögzíése) melle ugyanaz az ára kapjuk. Milyen viszonyban állnának így egymással ezen paraméerek? 36

39 Romvári Pera 2.9 A díjelvparaméerek viszonya A ké szóba jöv ese, ahol ehá érelme van a vizsgálódásnak, mer véges, ám elér eredményeke kapunk: 1) OrnseinUhlenbeck folyama, szórás elv 2) Geomeriai Brown-mozgás, szórás elv Az id konziszens módszer paraméere szerepeljen β, a saikusé pedig ˆβ jelzéssel (ugye mindké eseben a szórás elvvel árazunk, ezek β paraméerrel szerepelek), s lássunk neki a vizsgálódásnak! OrnseinUhlenbeck folyama, szórás elv A módszer szerini ár -ben Id konziszens módszer π S (, y) = cy e µ(t ) + c βσ(t ) Saikus megközelíés Π S (f(y()) = cy e µ(t ) + c ˆβσ 1 e 2µ(T ) 2µ A ké ára egyenl vé éve: cy e µ(t ) + c βσ(t ) = cy e µ(t ) + c ˆβσ c βσ(t ) = c ˆβσ β(t ) = ˆβ β = ˆβ 1 e 2µ(T ), levonva cy e µ(t ) -: 2µ 1 e 2µ(T ), leoszva a nemnulla cσ-val: 2µ 1 e 2µ(T ), egy oldalra rendezve, 2µ β- kifejezve: 1 e 2µ(T ) 2µ(T ) 2 Így OrnseinUhlenbeck folyamara szórás elv melle megegyez árból kiindulva megkapuk az id konziszens paraméer a saikus függvényekén kifejezve. Megehejük, hogy ábrázoljuk a kapoa. A bizosíási folyama paraméerei a korábban is használ paraméerek érékeiben (µ = 0.05, σ = 20) rögzíjük. Az id ényez min válozó kezeljük. Ekkor: β = ˆβ 1 e (T ) (T ) = ˆβ 1 e 0.1 (T ) (26) (T ) 2 37

40 Romvári Pera 2 IDŽKONZISZTENCIA Három dimenzióban ábrázolva (0 < T 30, 0 ˆβ 3): 2. ábra. OrnseinUhlenbeck folyama, szórás elv eseén: β és ˆβ kapcsolaa Néhány érék számszer en is: β ˆβ = 1 ˆβ = 2 ˆβ = 3 T = T = T = T = T = T = T = T = Az ábrán is kiviláglik az, ami már analiikus vizsgálódásunk során is láhaunk korábban. Megállapíouk ugye, hogy míg az id konziszens árazás kockázai öbbleében az id ényez maga jelenik meg együhaókén, addig saikus eseben hozzáve legesen annak gyöke (uóbbi hangsúlyozoan csak közelí eredmény). Ebb l érelemszer en adódik, hogy 1-nél kisebb id horizonra ugyanahhoz az árhoz rögzíe ˆβ melle magasabb β, 1-es id horizonra közel megegyez β, míg 1-nél nagyobb id horizonra alacsonyabb β arozik. Ez a karakeriszika rajzolódik ki a áblázaban is. 38

41 Romvári Pera 2.9 A díjelvparaméerek viszonya Továbbá az is meggyelhe, hogy minél hosszabb id ávról van szó, annál élesebben válik el egymásól a ké β-érék: minél nagyobb T, arányában annál kisebb β adja id konziszens árazással ugyanaz az ára, min ado ˆβ saikus módon. Ebb l is levonhaó a kövekezeés, amir l már korábban is szó ese: nagyságrendileg más szerep egyik és másik módszer eseében az alkalmazo díjparaméer. Lényegében az mondhajuk, hogy mivel az id konziszens megközelíés β-ja egymás uáni inervallumokon fog újra és újra megjelenni, így az egymás uániság mia hosszú id ávon "feler södik" a szerepe. Ez indokolhaja, hogy nagy T eseén már kis β is olyan magas kockázai öbblee ud produkálni, ami saikus eseben relaív magas ˆβ kér csak. Hasonló eredményre fogunk juni geomeriai Brown-mozgás eseén is: Geomeriai Brown-mozgás, szórás elv A módszer szerini ár -ben Id konziszens módszer π S (, y) = cy e (a+ βb)(t ) Saikus megközelíés Π S (f(y()) = cy e (1 a(t ) + ˆβ ) e b2 (T ) 1 A ke egyenl vé éve: cy e (a+ βb)(t ) = cy e (1 a(t ) + ˆβ ) e b2 (T ) 1, leoszva a nemnulla cy e a(t ) -vel: e βb(t ) = 1 + ˆβ e b2 (T ) 1, mindké oldal nemnegaív, így vehejük logarimusuka: ( βb(t ) = ln 1 + ˆβ ) e b2 (T ) 1, egy oldalra rendezve, β- kifejezve: ( ln 1 + ˆβ ) e b2 (T ) 1 β = b(t ) Fixálva b paraméer: b = (ugyanezzel az érékkel dolgozunk ez megel z en is), T - válozókén kezelve: β = ( ln 1 + ˆβ ) e (T ) (T ) 39 (27)

42 Romvári Pera 2 IDŽKONZISZTENCIA Ekkor β ábrázolva ˆβ és T függvényekén (0 < T 30, 0 ˆβ 3): 3. ábra. Geomeriai Brown-mozgás, szórás elv eseén: β és ˆβ kapcsolaa Illeve néhány β számszer en is: β ˆβ = 1 ˆβ = 2 ˆβ = 3 T = T = T = T = T = T = T = T = Ugyanaz mondhaó el i is, min az el bb, OrnseinUhlenbeck folyamao vizsgálva. Igaz azonban, hogy mos rövid id ávon jelen sebb, hosszú id ávon viszon kevésbé markáns elérések adódnak β és ˆβ közö. 40