Rozner Bence Pe ter. E rze kenyse gvizsga lat Le vy-fe le kamatla b-modellekben
|
|
- Eszter Katona
- 5 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Eo vo s Lora nd Tudoma nyegyeem Terme szeudoma nyi Kar Rozner Bence Pe er E rze kenyse gvizsga la Le vy-fe le kamala b-modellekben Szakdolgoza - Alkalmazo maemaikus MSc Te mavezeo : Boros Bala zs kuao Falksenen AB, Budapes Johann Radon Insiue, Linz Belso konzulens: Prokaj Vilmos egyeemi docens Valo szı nu se gelme lei e s Saiszika Tansze k Budapes, 216
2 Köszönenyilváníás Ezúon is köszönöm émavezeőmnek, Boros Balázsnak a dolgoza igen alapos ellenőrzésé, hasznos megjegyzései, valamin a L A TEX használaával kapcsolaos anácsai. Szerenék köszönee mondani Prokaj Vilmosnak, amiér folyamaosan figyelemmel kísére munkáma, öleeivel segíe, illeve felhíva a figyelmeme az eseleges hibákra. 2
3 Taralomjegyzék 1. Bevezeés 4 2. Malliavin-kalkulus Poisson-ponfolyamara Poisson-ponfolyama Inegrálás Poisson-ponfolyama szerin Káosz felbonás Deriválás a p-edik Wiener-Iô-káoszon Skorohod-inegrál Lévy-féle haáridős kamaláb-modell Pénzügyi alapfogalmak Idő-inhomogén Lévy-folyamaok Szochaszikus differenciálegyenleek megoldásának regulariása A haáridős kamaláb-modell konsrukciója Érzékenységvizsgála Irodalomjegyzék 3 3
4 1. fejeze Bevezeés Ha egy bank elad egy pénzügyi erméke az ügyfélnek, akkor igyekszik megszabadulni minden kockázaól, amely az ado ermékből származik, azaz megpróbálja fedezni a pozíciójá. Ehhez öbbnyire dinamikus fedezei sraégia használhaó, amihez szükség van a pénzügyi eszközök piaci paraméerekre való érzékenységé mérő mennyiségek, az ún. Görögök ismereére. Maemaikailag a Görögök a pénzügyi eszközök árá megadó funkcionál parciális deriválja a piaci paraméerek szerin. A származao pénzügyi eszközök árá megadó funkcionál ipikusan egy várhaó érék, amely függ a piaci paraméerekől. A Görögök numerikus módszerekkel való közelíéséből kéféle hiba adódha, egyrész a deriválásból, másrész a várhaó érék közelíéséből adódó ponalanság. Uóbbi kezelésére a [5] cikkben ismeree, Malliavin-kalkuluson alapuló módszer alkalmazhaó. Ebben a dolgozaban egy idő-inhomogén Lévy-folyamaal meghajo haáridős kamalábmodellel foglalkozunk, amelye Erns Eberlein és Fehmi Özkan dolgozak ki a [4] cikkben. Az idő-inhomogén Lévy-folyama leheővé eszi a modell a rugalmas kalibrálhaóságá. A 2. fejezeben bemuajuk a Poisson-ponfolyamara vonakozó Malliavin-kalkulus alapveő fogalmai, és azok néhány kövekezményé. A 3. fejezeben ismerejük a haáridős kamaláb-modell felépíéséhez szükséges alapveő pénzügyi fogalmaka, a modell konsrukciójá és egy gyakran előforduló pénzügyi eszköz, a caple kapcsán felmerülő érzékenységvizsgálai feladao, és annak megoldásá. 4
5 2. fejeze Malliavin-kalkulus Poisson-ponfolyamara Ebben a fejezeben a Poisson-ponfolyamara vonakozó Malliavin-kalkulus kerül bemuaásra. Először ismerejük a Poisson-ponfolyama definíciójá. Ezuán a Poisson-ponfolyama szerini öbbszörös inegrál definíciója kövekezik, amelye öbb lépésben ismereünk. Kezdeben egyszerűbb valószínűségi válozókra definiáljuk az inegrál, amelye fokozaosan kierjeszünk álalánosabb valószínűségi válozókra. Végül az inegrálás adjungáljá, a Skorohod-inegrál definiáljuk. A fejeze szerkezee, ovábbá az emlíésre kerülő definíciók és éelek megfogalmazása, valamin a bizonyíások Prokaj Vilmos úmuaásai alapján leek felépíve Poisson-ponfolyama Legyen (Ω, F, P) valószínűségi mező Téel. Ha (E, B, µ) σ-véges mérékér, akkor az (Ω, F, P) valószínűségi mezőn megadhaó valószínűségi válozók olyan {N(A) A B családja, ami eljesíi a kövekezőke: (i) ha A B véges µ-mérékű, akkor N(A) Poisson-eloszlású, és E (N(A)) = µ(a); (ii) ha A 1,..., A n páronkén diszjunk, véges µ-mérékű halmazok, akkor az N(A 1 ),..., N(A n ) valószínűségi válozók függelenek. (iii) az A N(A) leképezés (A B) egy valószínűséggel σ-véges mérék. Bizonyíás. Legyen {H k k N + az E egy véges µ-mérékű halmazokból álló paríciója. Minden H k halmazhoz vegyünk egy N(H k ) Poisson-eloszlású valószínűségi válozó, melynek várhaó éréke µ(h k ) úgy, hogy az {N(H k ) k N + valószínűségi válozók függelenek legyenek. Ezek uán minden H k halmazból válasszunk ki egymásól, és a öbbi N(H j ) (j N + \{k) 5
6 válozóól függelenül N(H k ) pono vélelenszerűen a P k (A) = µ(a H k) µ(h k eloszlás szerin, ahol ) A B. Legyen A B véges µ-mérékű. Jelölje N(A) azon ponok számá, amelyek lefedheők A-val. Vegyük észre, hogy így nem kerülünk ellenmondásba az N(H k ) korábbi definíciójával. Az alábbiakban igazoljuk, hogy az {N(A) A B valószínűségi válozók kielégíi a éelben megfogalmazo köveelményeke. Legyen {A 1,..., A n a H k egy paríciója. Ha (Z i ) N(H k) i=1 jelöli a H k -ból a P k eloszlás szerin válaszo ponok sorozaá, akkor az Y i = ( ) 1 {Zi A 1,..., 1 {Zi A n jelöléssel, az N(A 1 ),..., N(A n ) együes eloszlása megegyezik a N(H k ) i=1 Y i vélelen agszámú összeg eloszlásával. Az N(A 1 ),..., N(A n ) valószínűségi válozók együes eloszlásának karakeriszikus függvényére eljesül, hogy { ( n ) n G N(Hk ) (ϕ Y1 ( 1,..., n )) = exp µ(h k ) P k (A j )e i j = exp{µ(a j )(exp{i j 1), j=1 ahol G N(Hk ) jelöli az N(H k ) generáorfüggvényé. Tehá az N(A l ) valószínűségi válozók függelenek, és µ(a l ) várhaó érékű Poisson-eloszlásúak, ahol l = 1,..., n. Ha A 1,..., A n B páronkén diszjunk véges µ-mérékű halmazok, akkor az j=1 {N(A l H k ) l = 1,..., n és k N + válozók eljesen függelenek és Poisson-eloszlásúak a megfelelő paraméerrel, ezér mindhárom ulajdonság megmarad az N(A l ) = k=1 N(A l H k ) összegek képzése uán is. A éelben felsorol ulajdonságokkal rendelkező N = {N(A) A B folyamao Poissonponfolyamanak, a µ méréke a folyama karakeriszikus, vagy inenziás mérékének nevezzük Megjegyzés. Legyen E = [, ) és µ(d) = λd, ahol λ >. Ezzel a szereposzással eseén az N = N([, )) függelen és sacionárius növekményű folyama, ovábbá minden s < eseén N N s eloszlása λ( s)-paraméerű Poisson-eloszlás. Az (N ) folyamao λ-inenziású homogén Poisson-folyamanak nevezzük Definíció. Ha N Poisson-ponfolyama az (E, B, µ) σ-véges mérékér fele, akkor az Ñ = N µ folyamao kompenzál Poisson-ponfolyamanak nevezzük Inegrálás Poisson-ponfolyama szerin Ebben a fejezeben bevezejük a Poisson-ponfolyama szerini inegrál. Legyen (Ω, F, P) valószínűségi mező, és legyen N Poisson-ponfolyama a T = (E, B, µ) σ-véges mérékér fele. Ekkor Ñ = N µ a kompenzál Poisson-ponfolyama. Tegyük fel, hogy µ aommenes. 6
7 Vezessük be a kövekező jelöléseke: L 2 (Ω) = L 2 (Ω, F) = {X : Ω R X F-mérheő és E(X 2 ) <, L 2 (E p ) = {f : E p R f Borel-mérheő és E p f 2 ()d <, ahol p N +. Az Ñ kompenzál Poisson-ponfolyama szerini inegrál először az álóka nem mesző, mérheő églák félgyűrűjén definiáljuk, majd az így kapo inegrál operáor fokozaosan kierjeszjük Definíció. Páronkén diszjunk A 1,..., A p B véges µ-mérékű halmazok eseén legyen I p (1 A1 A p ) = Ñ(A 1) Ñ(A p) L 2 (Ω, F). (2.1) Az A 1 A p p i=1 Ñ(A i) leképezés egy vélelen, előjeles mérék, ami egy δ-gyűrűn van érelmezve. Az eszerini (közönséges) inegrálás a kompenzál Poisson-ponfolyama szerini p-szeres inegrálnak nevezzük Definíció. Egy függvény egyszerűnek nevezünk, ha előáll álóka nem mesző mérheő églák indikáorainak lineáris kombinációjakén. Jelölje E p az egyszerű függvények halmazá, azaz legyen { n E p = a k 1 Ak,1 A k,p n N +, a k R és i j eseén A k,i A k,j =, ha k = 1,..., n. k=1 Mivel I p végesen addiív a p-dimenziós, álóka nem mesző, mérheő églák félgyűrűjén, ezér kierjeszheő az egyszerű függvényekre Lemma. Minden p N + eseén E p L 2 (E p ) sűrű. Bizonyíás. Jelölje Ēp az E p opologikus lezárjá L 2 (E p )-ben. Tekinsük a kövekező halmazrendszereke: C = {A 1 A p E p A1,..., A p B, D = {A B(T p ) 1A Ēp. Megmuahaó, hogy C egy π-rendszer, és D egy λ-rendszer. Az alábbiakban igazoljuk, hogy C D, és ekkor a monoon-oszály éel alapján σ(c) D, azaz B(T p ) = σ(c) D B(T p ) így az kapjuk, hogy D = B(T p ), így Ēp = L 2 (E p ). 7
8 A C D reláció igazolásához az kell megmuanunk, hogy minden p-dimenziós (mérheő) égla indikáora közelíheő E p -beli függvényekkel. Legyenek A 1,..., A p B eszőleges halmazok, és legyen {α i i I az E alaphalmaz egy véges µ-mérékű halmazokból álló paríciója, ahol I <. Ha A i,j = α i A j (i I és j = 1,..., p), akkor 1 A1 A p = 1 Aσ(1),1 A σ(p),p. σ:{1,...,p I A feni összeg azon agjai, amelyeknél σ : {1,..., p I bijekció, benne vannak E p -ben. Mivel µ aommenes, így a paríció finomíásával elérheő, hogy azon agok hozadéka, amelyek nincsenek E p -ben, akármilyen kicsik legyenek, ehá C D Definíció. Ha f : E p R függvény, akkor f szimmerikus válozaa f( 1,..., p ) = 1 f( σ(1),..., σ(p) ), ( 1,..., p ) E p, p! σ S p ahol S p jelöli a p-edfokú szimmerikus csoporo Lemma. (A öbbszörös inegrál folyonossága) Ha f E p, és g E q, akkor { I p (f), I q (g) L 2 (Ω) = E[I ha p q, p(f)i q (g)] = p! f() g()d ha p = q, E p ahol f, illeve g az f, illeve a g szimmerikus válozaa. Bizonyíás. Mivel a bizonyíandó egyenlőség mindké oldala bilineáris, ezér elegendő az az esee igazolni, amikor A = {A 1,..., A n páronkén diszjunk véges µ-mérékű halmazok rendszere, valamin {A i1,..., A ip A és {A j1,..., A jq A ovábbá f = 1 Ai1 A ip, g = 1 Aj1 A jq. Feleheő, hogy minden i {1,..., n eseén µ(a i ). Ekkor Vezessük be a kövekező indexhalmazoka: I p (f) = Ñ(A i 1 ) Ñ(A i p ), I q (g) = Ñ(A j 1 ) Ñ(A j q ). α = {i 1,..., i p, β = {j 1,..., j q. A feni jelölésekkel: I p (f)i q (g) = k α β Ñ(A k ) r k, 8
9 ahol r k = 1 {k α + 1 {k β. Mivel az {Ñ(A k) k α β függelen valószínűségi válozók, ezér E[I p (f)i q (g)] = k α β E[Ñ(A k) r k ]. A jobb oldalon álló szorza ponosan akkor nem-nulla, ha minden r k éréke vagy 2. Ez csak akkor eljesülhe, ha p = q, ovábbá {i 1,..., i p = {j 1,..., j q. Ekkor E[I p (f)i p (g)] = f( 1,..., p )g( σ(1),..., σ(p) )d 1 d p = σ S p = p! = p! f( 1,..., p ) g( 1,..., p )d 1 d p = f( 1,..., p ) g( 1,..., p )d 1 d p Kövekezmény. Vegyük észre, hogy minden f E p eseén I p (f) = I p ( f). Ebből adódik I p folyonossága: I p (f) 2 L 2 (Ω) = E[(I p(f)) 2 ] = p! [ f()] 2 d p! E p [f()] 2 d = p! f 2 L 2 (E p ), E p ehá I p : L 2 (E p ) E p L 2 (Ω, F) folyonos és lineáris operáor, így kierjeszheő L 2 (E p )-re folyonos és lineáris operáorkén. Ha p =, akkor legyen I p = I = id R. A ovábbiakban I p (p N + ) jelöli a kierjesze inegrál, azaz I p : L 2 (E p ) L 2 (Ω, F) Definíció. (Wiener-Iô-káosz) A kompenzál Poisson-ponfolyama szerini p-edik (p N + ) Wiener-Iô-káosz H p = {I p (f) f L 2 (E p ) L 2 (Ω, F) Téel. Minden p N + eseén H p L 2 (Ω, F) zár, és ha q N + \{p, akkor H p H q. Bizonyíás. A Kövekezmény alapján eljesül az alábbi izomeria. Minden f L 2 (E p ) eseén I p (f) L 2 (Ω) = Ip ( f) = p! f, L 2 (Ω) amiből adódik, hogy H p L 2 (Ω, F) zár. L 2 (E p ) A H p és H q (p q) alerek orogonaliása a Lemma kövekezménye. 9
10 2.3. Káosz felbonás Legyen A B véges µ-mérékű. Jelölje suppn = {x E N({x) 1 a kompenzálalan Poisson-ponfolyama arójá. Ekkor A suppn egy valószínűséggel véges, és a kompenzál Poisson-ponfolyama szerini inegrál minájára definiálhajuk a kompenzálalan Poissonponfolyama szerini inegrál. Vezessük be a kövekező jelölés: eszőleges H halmaz eseén jelölje H p a H p azon elemei, amelyek különbözőek, azaz H p a H-beli, azonos elemeke nem aralmazó p-hosszú sorozaok halmaza Definíció. Páronkén diszjunk A 1,..., A p A halmazok eseén legyen Ip(1 A1 A p ) = N(A 1 ) N(A p ) = 1 A1 A p (x) L 2 (Ω, F) (2.2) x (suppn) p Az A 1 A p p i=1 N(A i) leképezés egy vélelen mérék E p mérheő részhalmazain. Az eszerini (közönséges) inegrálás a kompenzálalan Poisson-ponfolyama szerini p-szeres inegrálnak nevezzük. Ha A 1,..., A p A páronkén diszjunk halmazok, és f = 1 A1 A p, akkor (2.1) áírhaó a kövekező alakra: I p (f) = ( 1) p α f α (x) = ( 1) p α I α (f α ), (2.3) α:α {1,...,p x (suppn) α α:α {1,...,p ahol f α az a függvény, ami f-ből az α-ban nem szereplő koordináák µ-szerini kiinegrálásával kapunk. Mindké oldal lineáris f-ben, ezér igaz marad azon egyszerű függvényekre, amelyek arója lefedheő A p -vel. Vezessük be a kövekező jelölés: L 2 (E p A p ) = {f L 2 (E p ) : suppf A p. Ha f L 2 (E p A p ), akkor léezik olyan egyszerű függvényekből álló ( f (n)) függvénysoroza, n=1 hogy f (n) f, ha n, és minden n N + eseén f (n) (n) f. Erre f α f α is eljesül µ (p α ) -m.m., ha n, így (2.3) érvényben marad erre az esere is. Az kapuk, hogy minden f L 2 (E p A p ) eseén I p (f) = ( 1) p α I α (f α ). α:α {1,...,p Legyen α {1,..., p. A feni összefüggés felírhaó f α L 2 (E α A α ) eseén is I α (f α ) = ( 1) α\β I β (f β ). β:β α Ekkor viszon a Möbius-féle inverziós formula szerin I α (f α ) = I β (f β ). (2.4) β:β α 1
11 Valóban, az X α = I α (f), és Y α = I α (f) jelöléssel X β = ( ) ( 1) β\γ Y γ = β:β α β:β α = γ:γ α = γ:γ α = Y α. γ:γ β Y γ ( β:γ β α Y γ (1 1) α\γ = ( 1) β\γ ) = Az előző számolás speciális eseekén az is megkapjuk, hogy Ip(f) = I α (f α ), I p (f) = ső, ha f = f szimmerikus, akkor I p(f) = I p (f) = ahol f r = f {1,...,r. Másképpen fogalmazva ahol α {1,...,p α {1,...,p r= ( 1) p α I α (f α ), p ( ) p I r (f r ), (2.5) r p ( ) p ( 1) r Ir (f r ), r r= n H p (A) = p= n Hp(A), H p (A) = {I p (f) f L 2 (E p A p ) és H p(a) = {I p(f) f L 2 (E p A p ). A {H p (A) p N + alerek, és a {H p(a) p N + alerek lineáris burka megegyezik, ovábbá p= p+q Ip(f)I q (g) H r, (2.6) ső igazolhaó, hogy az alábbi szorza formula is eljesül p q Ip(f)I q (g) = Ip( f)i ( )( ) p q q ( g) = r! I r r p+q r( f r g), (2.7) r= r= ahol r nem a szokásos konrakív enzor szorza, hanem ( f r g)(x, x, x ) = f(x, x ) g(x, x ), 11
12 ahol x A r, x A p r és x A q r. Legyen F L 2 (Ω, F) olyan valószínűségi válozó, amely mérheő az F A = σ({n(b) B A) σ-algebrára nézve. Mivel µ(a) <, ezér egy valószínűséggel N(A) <, és a valószínűségi mező eseleges bővíésével feleheő hogy léeznek {Y i i N + függelen és azonos µ( A) µ(a) eloszlású vélelen elemek A-ból, úgy, hogy minden B A eseén N(B) = {1 i N(A) Y i B. I valójában az örénik, hogy a vélelenszerűen kisorsol ponok közül alálomra válaszunk egye, ez lesz Y 1, a megmarad ponok közül az előző válaszásól függelenül válaszunk egye, ez lesz Y 2, és így ovább, majd az Y 1,..., Y N(A) sorozao kiegészíjük egy függelen és azonos eloszlású valószínűségi válozókból álló végelen sorozaá. Legyen G n az (Y i ) n i=1 valószínűségi válozók álal generál σ-algebra, ahol n N +. Ekkor G = (G n ) n N + filráció. Tekinsük a G N(A) = {B F n N + : B {N(A) n G n megállío σ-algebrá. Mivel F F A G N(A), ezér minden n N + eseén F 1 {N(A)=n G n, és megadhaó egy f n : E n R mérheő függvény úgy, hogy az {N(A) = n eseményen F = f n (Y 1,..., Y n ). Mivel F nem függ az Y i (i N + ) valószínűségi válozók sorrendjéől, ezér minden n N + eseén f n szimmerikus függvény, amely csak µ n -m.m. egyérelmű. Teszőleges F F A valószínűségi válozó felírhaó a kövekező alakban F = n= 1 {N(A)=n 1 n! x (suppn) n f n (x) = n= 1 {N(A)=n 1 n! I n(f n ). (2.8) Téel. A {H p p N + alerek lineáris burka sűrű L 2 (Ω, σ(n))-ben, ahol L 2 (Ω, σ(n)) = {X : Ω R X σ(n)-mérheő és E(X 2 ) <. Bizonyíás. A (2.8) összefüggés jobb oldalán alálhaó függvénysorban, az 1 {N(A)=n In(f n ) agok közül ponosan egy nem nulla, ezér ha F L 2 (Ω), akkor a sor L 2 (Ω)-ben is konvergens. Ebből adódóan elegendő megmuani, hogy minden n-re 1 {N(A)=n In(f n ) a p= H p lezárjában van. Minden n N + eseén az 1 {N(A)=n indikáorra eljesül, hogy 1 {N(A)=n = ( )( ) p N(A) ( 1) p n = n p p=n ( ) p 1 ( 1) p n n p! I p(1 A p), p=n ezér 1 {N(A)=n I n(f n ) = ( ) p 1 ( 1) p n n p! I p(1 A p)in(f n ). (2.9) p=n I Ip(1 A p)in(f n ) p+n k= H k a (2.6) alapján, így elég megmuani, hogy ez a sor L 2 (Ω)-ban konvergens. A (2.5) összefüggés, és a H p alerek orogonaliása alapján megbecsüljük egy 12
13 álalános ag L 2 (Ω) normájá. I p (1 A p) 2 L 2 (Ω) = = p ( ) 2 p µ r (A)I p r(1 (p r) A ) 2 = r L 2 (Ω) p ( ) 2 p µ 2r (A)(p r)!µ p r (A) p!(1 + µ(a)) 2p. r r= r= A agok L 2 (Ω) normája ( ) p 1 ( 1)p n p! I p(1 A p) L 2 (Ω) p! n!(p n)! (1 + µ(a))p, ami elég gyorsan ar nullához, így a feni sor L 2 (Ω)-ban is konvergens. Ha f n K, akkor (2.7) alapján I p (1 A p)in(f n ) n ( )( ) p n r! K n I () L 2 (Ω) r r p+n r(1 (p+n r) A ) L r= 2 (Ω) n ( )( ) p n r! K n (p + n r)!(1 + µ(a)) p+n r. r r r= Ha f n K, akkor a (2.9) előállíásában szereplő agok L 2 (Ω) normája legfeljebb 1 ( 1)p n p! I p(1 A p)in(f n ) 1 n ( ) n p n K n (p + n r)!(1 + µ(a)) p+n r, L 2 (Ω) n!(p n)! r ami elég gyorsan ar nullához ahhoz, hogy összegezheő legyen, és ezér 1 {N(A)=n In(f n 1 ( fn K)) H p. r= Mivel 1 {N=n I n(f n ) az 1 {N=n I n(f n 1 ( fn K)) soroza L 2 (Ω)-beli limesze, ezér 1 {N=n I n(f n ) és F is p= H p-ben van. Legyen (A n ) n=1 véges µ-mérékű halmazok olyan sorozaa, amelyre minden n N+ eseén A n A n+1, és n=1a n = E, ovábbá E(F F An ) F L 2 (Ω)-ban, ha n. Minden n N + eseén E(F F An ) p= H p, ezér a limesz is ilyen. p= 2.4. Deriválás a p-edik Wiener-Iô-káoszon Vezessük be a kövekező jelölés: { ( L 2 (Ω E) = f : Ω E R f F B-mérheő és E E ) f 2 ()d <. Ha f L 2 (E p ), akkor jelölje f i,x L 2 (E p 1 ) az a függvény, amely az (y 1,..., y p 1 ) E p 1 helyen az f(y 1,..., y i 1, x, y i,..., y p 1 ) éréke veszi fel. 13
14 Definíció. Ha f L 2 (E p ), akkor az I p (f) L 2 (Ω, F) valószínűségi válozó deriválja az x E ponban p ( ) D x I p (f) = I p 1 (f i,x ) = pi p 1 f(, x), i=1 ahol f az f szimmerizálja. Minden p N + paraméereze folyama. eseén DI p (f) = (D x I p (f)) x E az E elemeivel Téel. Ha f E p, akkor ( ) E D x I p (f) 2 µ(dx) = DI p (f) 2 L 2 (Ω E) = p I p(f) 2 L 2 (Ω). E Bizonyíás. Legyen f L 2 (T p ). Ekkor ( ) E D x I p (f) 2 µ(dx) = E = = E E E D x I p (f) 2 L 2 (Ω) µ(dx) = p 2 I p 1 ( f(, x)) 2 L 2 (Ω) µ(dx) = p 2 (p 1)! f(, x) 2 L 2 (E p 1 ) µ(dx) = = p p! f 2 L 2 (E p ) = p I p(f) L 2 (Ω), ahol első lépésben a derivál definíciójának szimmerizál válozaá, majd az izomeriá, majd a norma definíciójá, végül újra az izomeriá használuk. Legyen J p : L 2 (Ω) H p a merőleges veíés. Mivel L 2 (Ω) = p= H p, ezér L 2 (Ω E) = p= (H p L 2 (E)). Használjuk a J p jelölés az J p : L 2 (Ω E) H p L 2 (E) merőleges veíésre is. Ekkor, ha F H p, akkor DF H p 1 L 2 (E) és DF 2 L 2 (Ω E) = p F 2 L 2 (Ω) Téel. (D lezárhaó operáor) A H p erek lineáris burkán érelmeze D operáor lezárhaó, azaz ha F n p= H p és F n L 2 (Ω)-ban, valamin DF n ψ L 2 (Ω E)-ben, akkor ψ =. Bizonyíás. F n = p= F n,p, ahol F n,p = J p F n az F n H p -be eső komponense. Mivel DF n ψ, ezér J p DF n J p ψ minden p-re, és a lineariás mia J p DF n = DJ p+1 F. Ugyanakkor D a H p+1 -en folyonos, így J p ψ = lim n DJ p+1 F n =. Tehá, a ψ = p= J pψ sorfejés minden agja nulla, így ψ is az. Ezuán a Malliavin-derivála a D lezárjakén definiáljuk Definíció. (Malliavin-derivál) Legyen D 1,2 = F L2 (Ω) F n H p, lim F n F n L 2 (Ω) = és lim DF n DF m n,m L 2 (Ω E) =. p= Ha F D 1,2, akkor legyen F n olyan soroza ami ez anúsíja és DF = lim n DF n. Tehá, a Malliavin-derivál egy D 1,2 L 2 (Ω E) operáor. 14
15 2.5. Skorohod-inegrál A δ divergencia operáor a D Malliavin-derivál adjungáljakén definiáljuk. A δ operáor érelmezési arománya { Dom(δ) = ψ L 2 (Ω E) c >, melyre F D 1,2 : DF, ψ L 2 (Ω E) c F L 2 (Ω). A feni definícióban alálhaó c konsans éréke ψ-ől függ. Minden ψ Dom(δ) eseén D 1,2 F ψ, DF L 2 (Ω E) R (2.1) funkcionál folyonos lineáris. Mivel D 1,2 L 2 (Ω) sűrű, ezér a (2.1)-ben definiál funkcionál egyérelműen kierjeszheő L 2 (Ω)-ra. Emlékezeőül, J p : L 2 (Ω E) H p L 2 (E) jelöli a merőleges veíés. Mivel D Hp : H p H p 1 L 2 (E) folyonos leképezés, azér az adjungálja H p 1 L 2 (E) H p folyonos leképezés. Más szavakkal, H p L 2 (E) Dom(δ), minden p N + eseén. A δ operáor Skorohod-inegrálnak nevezzük. Végül muaunk egy összefüggés, amely segíségével bizonyos eseekben egyszerűbben számolhaó a Skorohod-inegrál Lemma. Ha u Dom(δ), akkor δj p u = J p+1 δu, és u Dom(δ) δ(j p u) 2 L 2 (Ω) <, p= ovábbá δ(j p u) 2 L 2 (Ω) (p + 1) J pu 2 L 2 (Ω E). Bizonyíás. Legyen F D 1,2. Ekkor F, J p+1 δ(u) L 2 (Ω) = DJ p+1f, u L 2 (Ω E) = = DF, J p u L 2 (Ω E) = = F, δ(j p u) L 2 (Ω), ezér F, J p+1 δ(u) L 2 (Ω) = F, δ(j pu) L 2 (Ω) minden F D 1,2 eseén, ehá J p+1 δ(u) = δ(j p u). Vegyük észre, hogy J δ(u) =. Tehá, a δ(u) Wiener-Iô-káosz szerini felbonása p= δ(j pu), amiből adódik a feléel szükségessége. Ha p= δ(j pu) 2 L 2 (Ω) <, akkor mivel G = p= δ(j pu) léezik, és minden F D 1,2 eseén DF, u L 2 (Ω E) = DF, J p u L 2 (Ω E) = = p= F, δ(j p u) L 2 (Ω) = p= = F, G L 2 (Ω), 15
16 ehá G = δ(u). Végül az kapjuk, hogy ( ) 2 DF, Jp δ(j p u) 2 L 2 (Ω) = sup u L 2 (Ω E) F H p+1,f F L 2 (Ω) ( ) DF 2 J p u 2 L L 2 (Ω) sup 2 (Ω E) F H p+1,f F 2 = L 2 (Ω) = (p + 1) J p u 2 L 2 (Ω). Igazolhaó, hogy ha F D 1,2 és ϕ L 2 (E), akkor F ϕ Dom(δ), és δ(f ϕ) = F Ñ(ϕ) DF, ϕ L 2 (E). Ha f L 2 (E p+1 ), akkor u = (I p (f(, x))) x E Dom(δ) és δ(u) = I p+1 (f). 16
17 3. fejeze Lévy-féle haáridős kamaláb-modell Ebben a fejezeben egy idő-inhomogén Lévy-folyamaal meghajo haáridős kamaláb-modell muaunk be, majd megvizsgáljuk a caple árának a piaci paraméerekre vonakozó érzékenységé. A fejeze felépíése elsősorban a [2] és [3] cikkeke, valamin a [7] dolgozao kövei Pénzügyi alapfogalmak A modell a [, T ] véges időhorizonon definiáljuk, ahol T > eszőleges valós szám. Legyen (Ω, F = (F ) [,T ], P) filrál valószínűségi mező, és együk fel, hogy az F filráció (i) jobbról folyonos, azaz [, T ) eseén F = <s T F s, (ii) eljes, azaz [, T ] eseén A F -re, ha P(A) = és B A, akkor B F. Tekinsük az egyik legalapveőbb pénzügyi eszköz definíciójá Definíció. Kövénynek nevezzük az olyan pénzügyi ermékeke, amely egységnyi pénz fize a ulajdonosának a T [, T ] időponban, az ún. lejárai időponban. Teszőleges [, T ] eseén jelölje B(, T ) a kövény árá. Ekkor a B(, T ) ( [, T ]) leképezés egy nemnegaív folyama, amely adapál az F filrációhoz, és B(T, T ) = 1 egy valószínűséggel. Úgy is gondolhaunk B(, T )-re, min a T -ben fizee egységnyi összegű pénz -beli érékére. A ovábbiakban felesszük, hogy eszőleges T [, T ] eseén léezik T lejárai idejű kövény Definíció. Az azonnali haáridős kamaláb f,t = log B(, T ), amennyiben a derivál T léezik. A ovábbiakban felesszük, hogy eszőleges u [, T ] eseén az f,u haáridős kamaláb léezik, ovábbá B(, T ) = exp{ T f,u du Definíció. Az r = f, mennyisége rövid kamalábnak nevezzük. 17
18 A rövid kamalábra gondolhaunk úgy is, min egy kockázamenes befekeésre, ezér a bankszámla -beli érékének definíciója { B = exp r u du, ahol [, T ], amennyiben léezik a rövid kamaláb Definíció. A haáridős kamaláb-folyama definíciója: ahol T U T. F (, T, U) = B(, T ) B(, U) = T e f U,udu+ f,udu = e U T f,udu, Definíció. Az (Ω, F = (F ) [,T ], P) filrál valószínűségi mezőn definiál P méréke kockázasemleges méréknek, vagy ekvivalens maringál méréknek nevezzük, ha (i) P P, azaz P ekvivalens P-vel, (ii) minden T [, T ] eseén B(,T ) B maringál P ala az F filrációban, ahol T. Vegyük észre, hogy ekkor minden T T eseén ( ) B(, T ) 1 = E P B B T F, ahol E P jelöli a P szerin ve várhaó éréke Idő-inhomogén Lévy-folyamaok Definíció. Az (L ) folyamao (idő-homogén) Lévy-folyamanak nevezzük, ha függelen és sacionárius növekményű és szochaszikusan folyonos. Az idő-inhomogén Lévy-folyama abban különbözik az idő-homogén Lévy-folyamaól, hogy nem kövelejük meg a növekmények sacionariásá Definíció. Az (L ) folyamao idő-inhomogén Lévy-folyamanak nevezzük, ha függelen növekményű és szochaszikusan folyonos Téel. ([6] Theorem 13.1) Legyen (L ) idő-inhomogén Lévy-folyama. Ekkor az (L ) folyamanak léezik cádlág modifikációja. A ovábbiakban olyan idő-inhomogén Lévy-folyamaoka vizsgálunk, amelyekhez alálhaó olyan (b, c, F ) = (b, c, F ), melyre minden eseén E ( e iul) ( = exp iub s 1 ) ( ) 2 u2 c s + e iux 1 iux1 x 1 Fs (dx) ds, ahol (b, c, F ) = (b, c, F ) -ra eljesül, hogy 18 R
19 (i) minden eseén F ({) =, (ii) minden > eseén ( ( b s + c s + x 2 1 ) ) F s (dx) ds <. R A (b, c, F ) = (b, c, F ) hármas lokális karakeriszikának nevezzük Szochaszikus differenciálegyenleek megoldásának regulariása Tekinsük a kövekező szochaszikus differenciálegyenlee: S S = b(s, S s )ds + σ(s, S s )dw s + S = x, R\{ ϕ(s, S s, z)ñ(ds, dz), ahol x R, (W ) T egy m-dimenziós sandard Wiener-folyama, Ñ kompenzál Poissonponmérék a [, T ] (R \ {) szorzaéren, melynek karakeriszikus méréke µ (dz)d. A feni egyenleben szereplő együhaók: b : R + R R, σ : R + R R 1 m és ϕ : R + R R R a érválozó szerin folyonosan differenciálhaó leképezések korláos deriválal, ovábbá a (µ ) [,T ] -re eljesül, hogy T ( ) ( z 2 1)µ (dz) d < és µ ({) =. R\{ Tegyük fel, hogy léezik olyan C > konsans, melyre minden [, T ] és x R eseén b(, x) 2 + σ(, x) 2 + ϕ(, x, z) 2 µ (dz) C(1 + x 2 ) R\{ eljesül. Tegyük fel, hogy léezik olyan ϱ : R R függvény, melyre (i) sup T R\{ ϱ(z) 2 µ (dz) <, és (ii) léezik olyan K > konsans, melyre minden [, T ], x, y R és z R \ { eseén ϕ(, x, z) ϕ(, y, z) K ϱ(z) x y Téel. ([9] Theorem 17.4) Legyen (S ) [,T ] a feni differenciálegyenle megoldása. Ekkor minden [, T ] eseén S D 1,2, ovábbá, ha D r, jelöli a Wiener-folyama szerini 19
20 Malliavin-deriválás, akkor D r, S = + + r r r b x (u, S u )D r, S u du + σ(r, S r ) + σ x (u, S u )D r, S u dw u + ϕ x (u, S u, y)d r, S u Ñ(du, dy), R\{ D r, S =, ha < r T. ha r 3.4. A haáridős kamaláb-modell konsrukciója Legyen (Ω, F = (F ) [,T ], P) a szokásos feléeleke eljesíő filrál valószínűségi mező. Tegyük fel, hogy az azonnali haáridős kamaláb fejlődésé az alábbi szochaszikus differenciálegyenle írja le: df,t = α(, T )d σ(, T )dl T, ahol T [, T ] és [, T ]. A feni definícióban szereplő α : [, T ] 2 R, σ : [, T ] 2 R deerminiszikus függvények, valamin (L T ) [,T ] idő-inhomogén Lévy-folyama. Tegyük fel, hogy minden > T eseén α(, T ) = és σ(, T ) =. Az α- drifnek, a σ- pedig volailiásnak szokás nevezni Téel. A kövény diszkonál árá az alábbi formulával kaphajuk meg: { B(, T ) = B(, T ) exp A(s, T )ds + Σ(s, T )dl T s, (3.1) B ahol A(s, T ) = T s T α(s, u)du és Σ(s, T ) = T s T σ(s, u)du. Bizonyíás. A bizonyíás [7] Proposiion (A.1) alapján örénik. Legyen T [, T ] rögzíe időpon. Az azonnali haáridős kamaláb fejlődésé definiáló szochaszikus differenciálegyenle alapján minden [, T ] és u [, ] eseén f,u = f,u + α(s, u)ds Ha a (3.2)- u-szerin inegráljuk a [, T ]-n, akkor T f,u du = T f,u du + T α(s, u)dsdu σ(s, u)dl T s. (3.2) T σ(s, u)dl T s du. (3.3) 2
21 Ha a (3.2)-ben = u, majd az így kapo egyenlee u-szerin inegráljuk a [, ]-n, akkor f u,u du = f,u du + u α(s, u)dsdu u σ(s, u)dl T s du. Mivel s > u eseén α(s, u) =, és σ(s, u) =, így (3.3) a kövekező alakban írhaó: f u,u du = f,u du + α(s, u)dsdu A (3.3) és (3.4) egyenleeke összeadva az kapjuk, hogy T f,u du + f u,u du = T f,u du + T α(s, u)dsdu σ(s, u)dl T s du. (3.4) T σ(s, u)dl T s du. A szochaszikus Fubini-éel alapján a keős inegrálokban az inegrálások sorrendje felcserélheő, így T f,u du + f u,u du = Mivel B(, T ) = exp{ T A(s, T ) = válaszással az kapjuk, hogy T f,u du + T α(s, u)duds f,u du és B = exp{ f u,udu, ezér az T s T α(s, u)du és Σ(s, T ) = T s T T σ(s, u)du σ(s, u)dudl T s. log B(, T ) + log B = log B(, T ) + A(s, T )ds Σ(s, T )dl T s Feléel. Léezik M, ε >, hogy (i) u [ (1 + ε)m, (1 + ε)m] eseén T { x >1 (ii) minden s T T eseén Σ(s, T ) M. exp(ux)f T (dx)d <, Téel. ([8] Proposiion 1.9) Legyen T [, T ], és [, T ]. Ha az f : R + C függvényre minden x R + eseén Rf(x) M, akkor ( { T ) { T E exp f(s)dl T s = exp θ s (f(s)) ds. 21
22 Téel. A Feléel eljesülése melle, ha minden s T T eseén A(s, T ) = θ s (Σ(s, T )), eljesül, akkor a diszkonál kövény árak maringálok, ehá a P mérék kockázasemleges. Bizonyíás. Rögzíe [, T ] eseén legyen X = Mivel (L T növekményű. A Feléel eseén alkalmazhaó a Téel, ehá Σ(s, T )dl T s. ) [,T ] függelen növekményű, és Σ deerminiszikus, ezér (X ) [,T ] is függelen ( [, T ]) maringál F-ben P ala, így { E(e X ) = exp ex E(e X ) θ s (Σ(s, T ))ds. Ekkor a { exp θ s (Σ(s, T ))ds + Σ(s, T )dl T s ( [, T ]) leképezés maringál F-ben P ala. Az kapuk, hogy ha A(s, T ) = θ s (Σ(s, T )) ( minden s T T -ra, akkor B(,T ) B maringál F-ben P ala, ehá a P mérék ) [,T ] kockázasemleges. A ovábbiakban együk fel, hogy minden s T T eseén A(s, T ) = θ s (Σ(s, T )) Definíció. Legyen T [, T ] eszőleges időpon. A P T valószínűségi méréke a T időponhoz arozó kockázasemleges méréknek nevezzük, ha dp T dp = 1 B T B(, T ) Megjegyzés. Legyen T [, T ] rögzíe időpon. Ha a T -ben lejáró kövény ára a időponban B(, T )/B(, T ) ( [, T ]), akkor ezen árak diszkonál válozaai maringálok P T ala. A ovábbiakban legyen (L T ) [,T ] -ból induló idő-inhomogén Lévy-folyama, melynek lokális karakeriszikája (b, c, F ) [,T ]. Ekkor L T = b T s ds + cs dw T s + R x(µ ν T )(ds, dx), 22
23 ahol (W T ) [,T ] Brown-mozgás P T ala, és µ ν T az L T vélelen ugrásainak P-kompenzál válozaa, ovábbá ν T (d, dx) = F T (dx)d a µ mérék P-kompenzáora. Teszőleges [, T ] eseén legyen θ az L T ahol z C. θ (z) = zb T kumuláns generáló függvénye, azaz + z2 2 c + (e zx 1 zx)f T R (dx), Legyen T [, T ] rögzíe időpon, és jelölje P T a T időponhoz arozó kockázasemleges méréke. A kockázasemleges mérék. és a (3.1) egyenle alapján { dp T dp = 1 T T B T B(, T ) = exp A(s, T )ds + Σ(s, T )dl T s. Minden [, T ] eseén, a feni egyenlee az F σ-algebrára megszoríva kapjuk, hogy [ ] dp T 1 = E P dp B T B(, T ) F = B(, T ) B B(, T ) = F { = exp A(s, T )ds + Σ(s, T )dl T s Téel. ([7] Corollary 3.1) Ha P T jelöli a T [, T ] időhöz arozó kockázasemleges méréke, akkor az (L T ) [,T ] folyama lokális karakeriszikája P T ala: b T s = b T s + c s Σ(s, T ) + x(e Σ(s,T )x 1)F T (dx), R c T s = c s, Fs T (dx) = e Σ(s,T )x F T s (dx), ovábbá P T ala W = W T cs Σ(s, T )ds, ahol (W T ) [,T ] Brown-mozgás P T ala. A Lévy-féle haáridős kamaláb-modellben felesszük, hogy a piacon n > kövény érheő el. A kövények lejárai időponjai legyenek a < T 1 < < T n = T diszkré időponok, és a jelölések egyszerűsíése vége legyen T =. Jelölje δ k = T k+1 T k a rögzíe időponok közö elel idő, ahol k =, 1,..., n 1. Jelölje B(, T i ) a T i időponban lejáró kövény árá -ben, ahol [, T i ] és i = 1, 2,..., n. A haáridős kamaláb-modell Lévy-féle modelljében az F (, T i, T i+1 ) = B(, T i) B(, T i+1 ), folyamao modellezzük, ahol i = 1, 2,..., n 1, és rögzíe i eseén [, T i ]. Legyen (L T ) [,T ] -ból induló idő-inhomogén Lévy-folyama az (Ω, F, P T ) valószínűségi mezőn, és együk fel, hogy a lokális karakeriszikája (b T, c, F T ) [,T ]. 23
24 Az F (, T n 1, T ) ( [, T n 1 ]) folyamao modellezzük { F (, T n 1, T ) = F (, T n 1, T ) exp λ(s, T n 1 )dl T s alakban, ahol a λ(, T n 1 ) deerminiszikus folyonos függvény. Célunk olyan P Tn 1 mérék konsruálása, amely ala a F (, T n 1, T n ) ( [, T n 1 ]) leképezés maringál F-ben P Tn 1 ala. Ezuán a T időponhoz arozó kockázasemleges méréke kicseréljük a T n 1 -hez arozóra, és az F (, T n 2, T n 1 ) ( [, T n 2 ]) folyamao modellezzük { F (, T n 2, T n 1 ) = F (, T n 2, T n 1 ) exp λ(s, T n 2 )dl T n 1 s alakban. A feni egyenleben (L T n 1 ) [,T ] -ból induló idő-inhomogén Lévy-folyama, amely az (L T ) [,T ] folyamaól csak a drifben különbözik. Az (L T n 1 ) [,T ] folyamaban a drife úgy kell megválaszanunk, hogy F (, T n 2, T n 1 ) ( [, T n 2 ]) maringál legyen a T n 1 -hez arozó kockázasemleges mérék ala. Ezuán a feni konsrukció ieráljuk Feléel. Léezik M, ε >, hogy (i) u [ (1 + ε)m, (1 + ε)m] eseén T { x >1 exp(ux)f T (dx)d <, (ii) a B(, T i ) > (i =, 1,..., n 1) érékek adoak, (iii) minden T i (i = 1, 2,..., n) lejárai időponhoz ado egy λ(, T i ) : [, T ] R deerminiszikus folyonos függvény, melyekre eljesül, hogy i λ(s, T n j ) M, j=1 ahol s [, T ] és i = 1, 2,..., n 1. Feleheő, hogy minden i = 1, 2,..., n 1 eseén λ(s, T i ) =, ha s > T i. Ha a feni feléelek eljesülnek, akkor (L T ) [,T ] olyan szemimaringál, melynek kanonikus reprezenációja L T = b T s ds + cs dw T s + R x(µ ν T )(ds, dx). A folyama konsrukciójá kezdjük a legávolabbi lejárai időponal, és együk fel, hogy { F (, T n 1, T ) = F (, T n 1, T ) exp λ(s, T n 1 )dl T s. 24
25 Annak érdekében, hogy az F (, T n 1, T ) folyama maringál legyen F-ben P T ala, úgy kell megválaszanunk (b T ) [,T ]-, hogy eljesüljön az alábbi egyenlőség: λ(s, T n 1 )b T s ds = = 1 2 c s λ 2 (s, T n 1 )ds R ( e xλ(s,t n 1 ) 1 xλ(s, T n 1 ) ) ν T (ds, dx). Ha a T -hoz arozó kockázasemleges méréke kicseréljük a T n 1 -hez arozóra, akkor az (L T ) [,T ] folyama lokális karakeriszikája megválozik. Ekkor P Tn 1 mérék ala minden [, T ] eseén ahol L T = bs ds + cs dw T n 1 s + R x(µ ν T n 1 )(ds, dx), ovábbá W T n 1 = W T cs λ(s, T n 1 )ds, ν T n 1 (ds, dx) = e xλ(s,t n 1) F s (dx), és végül ( b ) [,T ] a drif. Az F (, T n 2, T n 1 ) ( [, T n 2 ]) folyamao modellezzük az { F (, T n 2, T n 1 ) = F (, T n 2, T n 1 ) exp λ(s, T n 2 )dl T n 1 s alakban, ahol (L T n 1 ) [,T ] -ból induló idő-inhomogén Lévy-folyama, amely csupán a drifben különbözik az (L T ) [,T ] folyamaól. Annak érdekében, hogy az F (, T n 2, T n 1 ) folyama maringál legyen F-ben P Tn 1 ala, úgy kell megválaszanunk (b T n 1 ) [,T ]-, hogy eljesüljön az alábbi egyenlőség: λ(s, T n 2 )b T n 1 s ds = = 1 2 c s λ 2 (s, T n 2 )ds R ( e xλ(s,t n 2 ) 1 xλ(s, T n 2 ) ) ν T n 1 (ds, dx). Ezuán a feni konsrukció ieráljuk. Az kapjuk, hogy eszőleges i = 1, 2,..., n 1 eseén { F (, T i, T i+1 ) = F (, T i, T i+1 ) exp λ(s, T i )dl T i+1 s. A P Ti+1 mérék ala L T i+1 = b T i+1 s ds + cs dw T i+1 s + R x(µ ν T i+1 )(ds, dx), 25
26 ahol W T i+1 = W T ν T i+1 (ds, dx) = exp { x cs i λ(s, T n j )ds, (3.5) j=1 i λ(s, T n j ) ν T (ds, dx), j=1 a (b T i+1 ) [,T ] drifre eljesül, hogy és végül λ(s, T i )b T i+1 s d = = 1 2 c s λ 2 (s, T i )ds F T i+1 s (dx) = exp { x R ( e xλ(s,t i ) 1 xλ(s, T i ) ) ν T i+1 (ds, dx), i λ(s, T n j ) F s (dx). j=1 A Feléel mia minden i = 1, 2,..., n 1 eseén i λ(s, T n j ) M, ahol s [, T ], ezér Ti+1 j=1 { i x exp xλ(s, T n j ) F s (dx)ds <. x >1 j= Érzékenységvizsgála Ebben a fejezeben megvizsgáljuk, hogy a Lévy-féle haáridős kamaláb-modellben a caple ára mennyire érzékeny a LIBOR kamaláb megválozására. Mivel a floor ára a pu-call pariás segíségével kiszámíhaó a cap árából, és viszon, így elegendő az egyike meghaározni. A cap a LIBOR kamalábra vonakozó call opciók sorozaa, amelyeke caple-nek nevezünk. Legyen K a rögzíe kamaláb, és T i a caple lejárai ideje. Legyen δ i = T i+1 T i, ahol i {, 1,..., n 1. Ekkor a kifizeési függvény δ i (L(T i, T i ) K) +, ahol a kifizeés a T i+1 időponban örénik, és a feni képleben lévő L(T i, T i ) mennyiség a LIBOR kamaláb. A LIBOR kamaláb definíciója, és a haáridős kamalábbal való kapcsolaa: L(, T i ) = 1 (F (, T i, T i+1 ) 1) = 1 ( ) B(, Ti ) δ i δ i B(, T i+1 ) 1. 26
27 Jelölje C(T i, K) a caple árá. Ekkor C(T i, K) = B(, T i )E PTi+1 ( L(Ti, T i ) K) +). A haáridős kamaláb és a LIBOR kamaláb közö fennálló összefüggés alapján a caple ára C(T i, K) = δ i B(, T i )E PTi+1 [ ( F (T i, T i, T i+1 ) K i ) + ], ahol Ki = 1 + δ i K. Legyen i {1,..., n 1 rögzíe index, és ekinsük az (F (, T i, T i+1 )) [,Ti ] haáridős kamaláb-folyamao. A ovábbiakban jelölje az ún. variációs folyamao, ahol [, T i ]. Y (, T i, T i+1 ) = 1F (, T i, T i+1 ) 1 F (, T i, T i+1 ) Téel. Az (F (, T i, T i+1 )) [,Ti ] haáridős kamaláb-folyamara eljesül, hogy eszőleges [, T i ] eseén F (, T i, T i+1 ) D 1,2, és a Malliavin-derivál haása D r, F (, T i, T i+1 ) = Y (, T i, T i+1 )Y (r, T i, T i+1 ) 1 F (r, T i, T i+1 )λ(r, T i ) c r 1 {r. Bizonyíás. A éel a [9] Theorem 17.4 kövekezménye. Jelölje C(T i, K) az előző szakaszban láo caple árá. A ún. Dela definíciója (F (, T i, T i+1 )) = 1C(T i, K) 1 F (, T i, T i+1 ). Ebből már megkaphaó a LIBOR kamaláb szerini derivál is, azaz hiszen (L(, T i )) = 1C(T i, K) 1 L(, T i ) = = (F (, T i, T i+1 )) 1F (, T i, T i+1 ) 1 L(, Ti ) = = δ i (F (, T i, T i+1 )), L(, T i ) = δ i (F (, T i, T i+1 ) 1). Tekinsük a T i függvényoszály, melynek definíciója: { Ti T i = h i L 2 ([, T i ]) h i (u)du = 1. Vezessük be a kövekező jelölés: ahol i {1,..., n 1. Λ i (s) = i λ(s, T n j ), j=1 27
28 Téel. Teszőleges h i T i eseén [ B(, T i+1 ) ( (F (, T i, T i+1 )) = F (, T i, T i+1 ) E P T F (T i, T i, T i+1) K ) + i ( T T ) exp Λ n i+1 (s)dl T s θ s (Λ n i+1 (s))ds ( Ti h i (u) λ(u, T i ) dw T u c u Ti h i (u)λ n i+1 (u) du) ]. λ(u, T i ) Bizonyíás. A éel álalánosabb kifizeés-függvényekre bizonyíjuk. Legyen H : R R lokálisan inegrálhaó függvény, amelyre eljesül, hogy Vezessük be a kövekező jelölés: E PTi+1 [ H (F (Ti, T i, T i+1 )) 2] <. H (F (, T i, T i+1 )) = 1E PTi+1 [H (F (T i, T i, T i+1 ))]. 1 F (, T i, T i+1 ) Először együk fel, hogy H folyonosan differenciálhaó, és kompak arójú. Ebben az eseben a deriválás és a várhaó érék felcserélheő, így [ H (F (, T i, T i+1 )) = E PTi+1 H (F (T i, T i, T i+1 )) ] 1F (T i, T i, T i+1 ) = F (, T i, T i+1 ) = E PTi+1 [H (F (T i, T i, T i+1 )) Y (T i, T i, T i+1 )]. A Téel alapján, minden h i T i függvény eseén Y (T i, T i, T i+1 ) = Ti h i (u)y (u, T i, T i+1 ) D u, F (T i, T i, T i+1 ) F (u, T i, T i+1 )λ(u, T i+1 ) du. c u A lánc-szabály ([1] Proposiion 4.8) alapján az kapjuk, hogy ( F (, Ti, Ti 1) ) = [ ] Ti = E PTi+1 H h i (u)y (u, T i, T i+1 ) (F (T i, T i, T i+1 )) D u, F (T i, T i, T i+1 ) F (u, T i, T i+1 )λ(u, T i ) du = c u [ Ti h i (u)y (u, T i, T i+1 ) = E PTi+1 D u, H (F (T i, T i, T i+1 )) F (u, T i, T i+1 )λ(u, T i ) du c u [ Ti = E PTi+1 R ] h i (u)y (u, T i, T i+1 ) D u,x H (F (T i, T i, T i+1 )) F (u, T i, T i+1 )λ(u, T i ) δ (dx)du, c u ahol δ jelöli a -ra koncenrál Dirac-méréke. A Skorohod-inegrál definíciója alapján ( )] hi ( )Y (, T i, T i+1 )δ ( ) H (F (, T i, T i+1 )) = E PTi+1 [H (F (T i, T i, T i+1 )) δ F (, T i, T i+1 )λ(, T i ). c 28 ] =
29 Mivel ( ) hi ( )Y (, T i, T i+1 )δ ( ) F (, T i, T i+1 )λ(, T i ) c u T i előrejelezheő folyama, így a Skorohod-inegrál egybeesik az Iô-inegrállal, ehá H (F (, T i, T i+1 )) = E PTi+1 [H (F (T i, T i, T i+1 )) Ti h i (u)y (u, T i, T i+1 )dw T i+1 u F (u, T i, T i+1 )λ(u, T i ) c A [9] Lemma alapján a feni összefüggés igaz minden olyan lokálisan inegrálhaó H függvényre, melyre E PTi+1 [ H (F (Ti, T i, T i+1 )) 2] <. Ha a H függvény megegyezik a caple kifizeési függvényével, azaz ( H (F (T i, T i, T i+1 )) = B(, T i+1 ) F (T i, T i, T i+1 ) K ) + i, akkor a caple árának, ehá a C(T i, K) várhaó érékének a deriválja, az F (, T i, T i+1 ) kezdei érék melle Mivel ezér (F (, T i, T i+1 )) = = B(, T i+1 )E PTi+1 [ ( F (T i, T i, T i+1 ) K i ) + Ti (F (, T i, T i+1 )) = A (3.5) összefüggés alapján ezér dp Ti+1 dp T Y (u, T i, T i+1 ) = F (u, T i, T i+1 ) F (, T i, T i+1 ), [ B(, T ( i+1) F (, T i, T i+1 ) E P Ti+1 F (T i, T i, T i+1) K ) + Ti i W T i+1 = W T Λ n i (s) c s ds, ] h i (u)y (u, T i, T i+1 )dw T i+1 u F (u, T i, T i+1 )λ(u, T i ). c { T T ( = exp Λ n i+1 (s)dl T s θ s Λ n i+1 (s) ) ds, ] ] h i (u)dw T i+1 u λ(u, T i ). c ehá az kapjuk, hogy (F (, T i, T i+1 )) = [ B(, T i+1 ) ( F (, T i, T i+1 ) E P T F (T i, T i, T i+1) K ) + i ( T T ) exp Λ n i+1 (s)dl T s θ s (Λ n i+1 (s))ds ( Ti h i (u) λ(u, T i ) dw T u c u 29 Ti h i (u)λ n i+1 (u) du) ]. λ(u, T i ).
30 Irodalomjegyzék [1] Erns Eberlein, Kahrin Glau és Anonis Papapanoleon. Analysis of Fourier ransform valuaion formulas and applicaions, Applied Mahemaical Finance 17(3): , 21. [2] Erns Eberlein, M hamed Eddhabi és Sidi Mohamed Lalaoui Ben Cherif. Compuaion of Greeks in LIBOR models driven by ime-inhomogeneous Lévy Processes, Preprin, 215. [3] Erns Eberlein, M hamed Eddhabi és Sidi Mohamed Lalaoui Ben Cherif. Opion pricing and sensiiviy analysis in he Lévy forward process model, Preprin, 215. [4] Erns Eberlein, Fehmi 348, 25. Özkan. The Lévy LIBOR model, Finance and Sochasics 9: 327- [5] Eric Fournié, Jean-Michel Lasry, Jerôme Lebuchoux, Pierre-Louise Lions, Nizar Touzi. Applicaions of Malliavin calculus o Mone Carlo mehods in finance, Finance and Sochasics 3(4): , [6] Olav Kallenberg. Foundaions of Modern Probabiliy, Springer [7] Demeer Kiss. Lévy Marke Models wih Applicaions o Ineres Rae Derivaive Valuaion, Thesis for M.Sc. degree, 21. [8] Wolfgang Kluge. Time-inhomogeneous Lévy Processes in ineres rae and credi risk models, PhD Disseraion, 25. [9] Giulia Di Nunno, Bern Øksendal és Frank Proske. Malliavin Calculus for Lévy Processes wih Applicaions o Finance, Springer 28. [1] Aleh Yablonski. The calculus of variaions for processes wih independen incremens. Rocky Mounain Journal of Mahemaics 38(2): , 28. 3
Fourier-sorok konvergenciájáról
Fourier-sorok konvergenciájáról A szereplő függvényekről mindenü felesszük, hogy szerin periodikusak. Az ilyen függvények megközelíésére (nem a polinomok, hanem) a rigonomerikus polinomok űnnek ermészees
Részletesebben5. Differenciálegyenlet rendszerek
5 Differenciálegyenle rendszerek Elsőrendű explici differenciálegyenle rendszer álalános alakja: d = f (, x, x,, x n ) d = f (, x, x,, x n ) (5) n d = f n (, x, x,, x n ) ömörebben: d = f(, x) Definíció:
RészletesebbenKockázati folyamatok
Kockázai folyamaok Sz cs Gábor Szegedi Tudományegyeem Bolyai Inéze, Szochaszika Tanszék Uolsó frissíés: 219. szepember 17. Taralomjegyzék 1. Az exponenciális eloszlás 2 2. A Wald-azonosság 4 3. Felújíási
Részletesebben13 Wiener folyamat és az Itô lemma. Options, Futures, and Other Derivatives, 8th Edition, Copyright John C. Hull
13 Wiener folyama és az Iô lemma Opions, Fuures, and Oher Derivaives, 8h Ediion, Copyrigh John C. Hull 01 1 Markov folyamaok Memória nélküli szochaszikus folyamaok, a kövekező lépés csak a pillananyi helyzeől
RészletesebbenHF1. Határozza meg az f t 5 2 ugyanabban a koordinátarendszerben. Mi a lehetséges legbővebb értelmezési tartománya és
Házi feladaok megoldása 0. nov. 6. HF. Haározza meg az f 5 ugyanabban a koordináarendszerben. Mi a leheséges legbővebb érelmezési arománya és érékkészlee az f és az f függvényeknek? ( ) = függvény inverzé.
Részletesebben3. feladatsor: Görbe ívhossza, görbementi integrál (megoldás)
Maemaika A3 gyakorla Energeika és Mecharonika BSc szakok, 6/7 avasz 3. feladasor: Görbe ívhossza, görbemeni inegrál megoldás. Mi az r 3 3 i + 6 5 5 j + 9 k görbe ívhossza a [, ] inervallumon? A megado
RészletesebbenDinamikus optimalizálás és a Leontief-modell
MÛHELY Közgazdasági Szemle, LVI. évf., 29. január (84 92. o.) DOBOS IMRE Dinamikus opimalizálás és a Leonief-modell A anulmány a variációszámíás gazdasági alkalmazásaiból ismere hárma. Mind három alkalmazás
RészletesebbenGAZDASÁGI ÉS ÜZLETI STATISZTIKA jegyzet ÜZLETI ELŐREJELZÉSI MÓDSZEREK
BG PzK Módszerani Inézei Tanszéki Oszály GAZDAÁGI É ÜZLETI TATIZTIKA jegyze ÜZLETI ELŐREJELZÉI MÓDZEREK A jegyzee a BG Módszerani Inézei Tanszékének okaói készíeék 00-ben. Az idősoros vizsgálaok legfonosabb
Részletesebben8. előadás Ultrarövid impulzusok mérése - autokorreláció
Ágazai Á felkészíés a hazai LI projekel összefüggő ő képzési é és KF feladaokra" " 8. előadás Ulrarövid impulzusok mérése - auokorreláció TÁMOP-4.1.1.C-1/1/KONV-1-5 projek 1 Bevezeés Jelen fejezeben áekinjük,
Részletesebben1. Előadás: Készletezési modellek, I-II.
. Előadás: Készleezési modellek, I-II. Készleeke rendszerin azér arunk hogy, valamely szükséglee, igény kielégísünk. A szóban forgó anyag, cikk iráni igény, keresle a készle fogyásá idézi elő. Gondoskodnunk
RészletesebbenTakács Lajos ( ) és Prékopa András ( ) emlékére.
Haladvány Kiadvány 17-06-15 Mely merev kör½u gráfok és hogyan használhaók valószín½uségi becslésekhez? Hujer Mihály hujer.misigmail.com Ajánlás. Takács Lajos (1924 2015) és Prékopa András (1929 2016) emlékére.
RészletesebbenMérhetőség, σ-algebrák, Lebesgue Stieltjes-integrál, véletlen változók és eloszlásfüggvényeik
Mérhetőség, σ-algebrák, Lebesgue Stieltjes-integrál, véletlen változók és eloszlásfüggvényeik Az A halmazrendszer σ-algebra az Ω alaphalmazon, ha Ω A; A A A c A; A i A, i N, i N A i A. Az A halmazrendszer
RészletesebbenTiszta és kevert stratégiák
sza és kever sraégák sza sraéga: Az -edk áékos az sraégá és ez alkalmazza. S sraégahalmazból egyérelműen válasz k egy eknsük a kövekező áéko. Ké vállala I és II azonos erméke állí elő. Azon gondolkodnak,
RészletesebbenMesterséges Intelligencia MI
Meserséges Inelligencia MI Valószínűségi emporális kövekezeés Dobrowiecki Tadeusz Eredics Péer, és mások BME I.E. 437, 463-28-99 dobrowiecki@mi.bme.hu, hp://www.mi.bme.hu/general/saff/ade X - a időpillanaban
Részletesebben1. Házi feladat. Határidő: I. Legyen f : R R, f(x) = x 2, valamint. d : R + 0 R+ 0
I. Legyen f : R R, f(x) = 1 1 + x 2, valamint 1. Házi feladat d : R + 0 R+ 0 R (x, y) f(x) f(y). 1. Igazoljuk, hogy (R + 0, d) metrikus tér. 2. Adjuk meg az x {0, 3} pontok és r {1, 2} esetén a B r (x)
RészletesebbenMATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA)
Okaási Hivaal A 015/016 anévi Országos Közéiskolai Tanulmányi Verseny dönő forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javíási-érékelési úmuaó 1 Ado három egymásól és nulláól különböző számjegy, melyekből
RészletesebbenBoros Zoltán február
Többváltozós függvények differenciál- és integrálszámítása (2 3. előadás) Boros Zoltán 209. február 9 26.. Vektorváltozós függvények differenciálhatósága és iránymenti deriváltjai A továbbiakban D R n
RészletesebbenEötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar. Neogrády-Kiss Márton. Számelméleti függvények vizsgálata differenciál- és integrálegyenletekkel
Eövös Loránd Tudományegyeem Természeudományi Kar Neogrády-Kiss Máron Számelmélei függvények vizsgálaa differenciál- és inegrálegyenleekkel Szakdolgoza Témaveze : Simon L. Péer Alkalmazo Analízis és Számíásmaemaikai
RészletesebbenTúlgerjesztés elleni védelmi funkció
Túlgerjeszés elleni védelmi unkció Budapes, 2011. auguszus Túlgerjeszés elleni védelmi unkció Bevezeés A úlgerjeszés elleni védelmi unkció generáorok és egységkapcsolású ranszormáorok vasmagjainak úlzoan
RészletesebbenExplicit hibabecslés Maxwell-egyenletek numerikus megoldásához
Explicit hibabecslés Maxwell-egyenletek numerikus megoldásához Izsák Ferenc 2007. szeptember 17. Explicit hibabecslés Maxwell-egyenletek numerikus megoldásához 1 Vázlat Bevezetés: a vizsgált egyenlet,
RészletesebbenElőszó. 1. Rendszertechnikai alapfogalmak.
Plel Álalános áekinés, jel és rendszerechnikai alapfogalmak. Jelek feloszása (folyonos idejű, diszkré idejű és folyonos érékű, diszkré érékű, deerminiszikus és szochaszikus. Előszó Anyagi világunkban,
Részletesebben1. Példa. A gamma függvény és a Fubini-tétel.
. Példa. A gamma függvény és a Fubini-tétel.. Az x exp x + t )) függvény az x, t tartományon folytonos, és nem negatív, ezért alkalmazható rá a Fubini-tétel. I x exp x + t )) dxdt + t dt π 4. [ exp x +
RészletesebbenELEKTRONIKAI ALAPISMERETEK
Elekronikai alapismereek középszin 3 ÉETTSÉG VZSG 04. május 0. EEKTONK PSMEETEK KÖZÉPSZNTŰ ÍÁSBE ÉETTSÉG VZSG JVÍTÁS-ÉTÉKEÉS ÚTMTTÓ EMBE EŐFOÁSOK MNSZTÉM Egyszerű, rövid feladaok Maximális ponszám: 40.)
RészletesebbenSZAKDOLGOZAT. Variancia derivatívák
SZAKDOLGOZAT Variancia derivaívák Solymosi Ernő Bizosíási és Pénzügyi Maemaika MSc Témavezeő: Dr. Molnár-Sáska Gábor Morgan Sanley Execuive Direcor Eövös Loránd Tudományegyeem Természeudományi Kar 6 Taralomjegyzék
RészletesebbenDiszkrét Matematika. zöld könyv ): XIII. fejezet: 1583, 1587, 1588, 1590, Matematikai feladatgyűjtemény II. (
FELADATOK A LEKÉPEZÉSEK, PERMUTÁCIÓK TÉMAKÖRHÖZ Diszkrét Matematika 4. LEKÉPEZÉSEK Értelmezési tartomány és értékkészlet meghatározása : Összefoglaló feladatgyűjtemény matematikából ( zöld könyv ): XIII.
RészletesebbenELEKTRONIKAI ALAPISMERETEK
Elekronikai alapismereek középszin ÉETTSÉG VZSGA 0. május. ELEKTONKA ALAPSMEETEK KÖZÉPSZNTŰ ÍÁSBEL ÉETTSÉG VZSGA JAVÍTÁS-ÉTÉKELÉS ÚTMTATÓ EMBE EŐFOÁSOK MNSZTÉMA Egyszerű, rövid feladaok Maximális ponszám:
RészletesebbenNegyedik gyakorlat: Szöveges feladatok, Homogén fokszámú egyenletek Dierenciálegyenletek, Földtudomány és Környezettan BSc
Negyedik gyakorla: Szöveges feladaok, Homogén fokszámú egyenleek Dierenciálegyenleek, Földudomány és Környezean BSc. Szöveges feladaok A zikában el forduló folyamaok nagy része széválaszhaó egyenleekkel
RészletesebbenAz árfolyamsávok empirikus modelljei és a devizaárfolyam sávon belüli elõrejelezhetetlensége
Az árfolyamsávok empirikus modelljei 507 Közgazdasági Szemle, XLVI. évf., 1999. június (507 59. o.) DARVAS ZSOLT Az árfolyamsávok empirikus modelljei és a devizaárfolyam sávon belüli elõrejelezheelensége
RészletesebbenANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK
ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2014. május 15. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így
RészletesebbenELEKTRONIKAI ALAPISMERETEK
Elekronikai alapismereek középszin 3 ÉETTSÉGI VIZSGA 0. okór 5. ELEKTONIKAI ALAPISMEETEK KÖZÉPSZINTŰ ÍÁSBELI ÉETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉTÉKELÉSI ÚTMTATÓ EMBEI EŐFOÁSOK MINISZTÉIMA Egyszerű, rövid feladaok
RészletesebbenLINEÁRIS TRANSZFORMÁCIÓ
16..8. LINEÁRIS TRANSZFORMÁCIÓ (MÁTRIX) SAJÁTÉRTÉKE, SAJÁTVEKTORA BSc. Maemaika II. BGRMAHNND, BGRMAHNNC LINEÁRIS TRANSZFORMÁCIÓ Egy A: R R függvéy lieáris raszformációak evezük, ha eljesülek az alábbi
RészletesebbenELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék GAZDASÁGSTATISZTIKA. Készítette: Bíró Anikó. Szakmai felelős: Bíró Anikó. 2010. június
GAZDASÁGSTATISZTIKA GAZDASÁGSTATISZTIKA Készül a TÁMOP-4..2-08/2/A/KMR-2009-004pályázai projek kereében Taralomfejleszés az ELTE TáK Közgazdaságudományi Tanszékén az ELTE Közgazdaságudományi Tanszék, az
Részletesebbenegyenletesen, és c olyan színű golyót teszünk az urnába, amilyen színűt húztunk. Bizonyítsuk
Valószínűségszámítás 8. feladatsor 2015. november 26. 1. Bizonyítsuk be, hogy az alábbi folyamatok mindegyike martingál. a S n, Sn 2 n, Y n = t n 1+ 1 t 2 Sn, t Fn = σ S 1,..., S n, 0 < t < 1 rögzített,
RészletesebbenDIFFÚZIÓ. BIOFIZIKA I Október 20. Bugyi Beáta
BIOFIZIKA I 010. Okóber 0. Bugyi Beáa TRANSZPORTELENSÉGEK Transzpor folyama: egy fizikai mennyiség érbeli eloszlása megválozik Emlékezeő: ermodinamika 0. főéele az egyensúly álalános feléele TERMODINAMIKAI
Részletesebben1/1. Házi feladat. 1. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy
/. Házi feladat. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy mindig igaz. (p (( p) q)) (( p) ( q)). Igazoljuk, hogy minden A, B és C halmazra A \ (B C) = (A \ B) (A \ C) teljesül.
Részletesebben2. gyakorlat: Z épület ferdeségmérésének mérése
. gyakorla: Z épüle ferdeségének mérése. gyakorla: Z épüle ferdeségmérésének mérése Felada: Épíésellenőrzési feladakén egy 1 szines épüle függőleges élének érbeli helyzeé kell meghaározni, majd az 1986-ban
RészletesebbenA következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat.
Poisson folyamatok, exponenciális eloszlások Azt mondjuk, hogy a ξ valószínűségi változó Poisson eloszlású λ, 0 < λ
Részletesebben2003. MÁSODIK ÉVFOLYAM 2. SZÁM 41
003. MÁSODIK ÉVFOLYAM. SZÁM 41 4 HITELINTÉZETI SZEMLE ALEXANDER F. BOOGERT GAÁL SZABOLCS ELEKTROMOS ENERGIA OPCIÓK ÁRAZÁSA Cikkünk célja keõs: egyrész az elekromos energia piacok (különös ekineel a holland
RészletesebbenSztochasztikus folyamatok alapfogalmak
Matematikai Modellalkotás Szeminárium 2012. szeptember 4. 1 Folytonos idejű Markov láncok 2 3 4 1 Folytonos idejű Markov láncok 2 3 4 Folytonos idejű Markov láncok I Adott egy G = (V, E) gráf Folytonos
RészletesebbenA sztochasztikus idősorelemzés alapjai
A szochaszikus idősorelemzés alapjai Ferenci Tamás BCE, Saiszika Tanszék amas.ferenci@medsa.hu 2011. december 19. Taralomjegyzék 1. Az idősorelemzés fogalma, megközelíései 2 1.1. Az idősor fogalma...................................
RészletesebbenNumerikus módszerek 2. Nemlineáris egyenletek közelítő megoldása
Numerius módszere. Nemlieáris egyelee özelíő megoldása Egyelemegoldás iervallumelezéssel A Baach-ipo-ierációs módszer A Newo-módszer és válozaai Álaláosío Newo-módszer Egyelemegoldás iervallumelezéssel
RészletesebbenAbszolút folytonos valószín ségi változó (4. el adás)
Abszolút folytonos valószín ségi változó (4. el adás) Deníció (Abszolút folytonosság és s r ségfüggvény) Az X valószín ségi változó abszolút folytonos, ha van olyan f : R R függvény, melyre P(X t) = t
Részletesebben1. Absztrakt terek 1. (x, y) x + y X és (λ, x) λx X. műveletek értelmezve vannak, és amelyekre teljesülnek a következő axiómák:
1. Absztrakt terek 1 1. Absztrakt terek 1.1. Lineáris terek 1.1. Definíció. Az X halmazt lineáris térnek vagy vektortérnek nevezzük a valós számtest (komplex számtest) felett, ha bármely x, y X elemekre
RészletesebbenELEKTRONIKAI ALAPISMERETEK
Elekronikai alapismereek középszin Javíási-érékelési úmuaó 063 ÉETTSÉG VZSG 006. okóber 4. EEKTONK PSMEETEK KÖZÉPSZNTŰ ÍÁSE ÉETTSÉG VZSG JVÍTÁS-ÉTÉKEÉS ÚTMTTÓ OKTTÁS ÉS KTÁS MNSZTÉM Elekronikai alapismereek
RészletesebbenMetrikus terek, többváltozós függvények
Metrikus terek, többváltozós függvények 2003.10.15 Készítette: Dr. Toledo Rodolfo és Dr. Blahota István 1. Metrikus terek, metrika tulajdonságai 1.1. A valós, komplex, racionális, természetes és egész
RészletesebbenSorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján
Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján Számsorozatok, vektorsorozatok konvergenciája Def.: Számsorozatok értelmezése:
RészletesebbenZsembery Levente VOLATILITÁS KOCKÁZAT ÉS VOLATILITÁS KERESKEDÉS
Zsembery Levene VOLATILITÁS KOCKÁZAT ÉS VOLATILITÁS KERESKEDÉS PÉNZÜGYI INTÉZET BEFEKTETÉSEK TANSZÉK TÉMAVEZETŐ: DR. SZÁZ JÁNOS Zsembery Levene BUDAPESTI KÖZGAZDASÁGTUDOMÁNYI ÉS ÁLLAMIGAZGATÁSI EGYETEM
RészletesebbenELEKTRONIKAI ALAPISMERETEK
Elekronikai alapismereek emel szin 080 ÉETTSÉGI VISGA 009. május. EEKTONIKAI AAPISMEETEK EMET SINTŰ ÍÁSBEI ÉETTSÉGI VISGA JAVÍTÁSI-ÉTÉKEÉSI ÚTMTATÓ OKTATÁSI ÉS KTÁIS MINISTÉIM Egyszerű, rövid feladaok
RészletesebbenDiszkrét Matematika MSc hallgatók számára. 4. Előadás
Diszkrét Matematika MSc hallgatók számára 4. Előadás Előadó: Hajnal Péter Jegyzetelő: Szarvák Gábor 2012. február 28. Emlékeztető. A primál feladat optimális értékét p -gal, a feladat optimális értékét
RészletesebbenSPORTFOGADÁSI ÉS PÉNZÜGYI PIACOK KAPCSOLATA
SPORTFOGADÁSI ÉS PÉNZÜGYI PIACOK KAPCSOLATA MSc Diplomamunka Íra: Csikai Máyás Bizosíási és pénzügyi maemaika MSc Kvaniaív pénzügyek szakirány Eövös Loránd Tudományegyeem, Természeudományi Kar Budapesi
RészletesebbenVEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER október 15. Irodalom. További ajánlott feladatok
VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER 2004. október 15. Irodalom A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: ezek egyrészt elhangzanak az előadáson, másrészt megtalálják
RészletesebbenMatematika alapjai; Feladatok
Matematika alapjai; Feladatok 1. Hét 1. Tekintsük a,, \ műveleteket. Melyek lesznek a.) kommutativok b.) asszociativak c.) disztributívak-e a, műveletek? Melyik melyikre? 2. Fejezzük ki a műveletet a \
Részletesebben.1. A sinx és cosx racionális függvényeinek integrálásáa. = R sinx,cosx dx. x x 2. 1 dt
. Trigonomeriai fügvények inegrálása Egy J függvény ípusáól függ. R x inegrál kiszámíása az R x racionális.. A sinx és cosx racionális függvényeinek inegrálásáa negrál J R sinxcosx Helyeesíés () R A és
RészletesebbenJárműpark üzemeltetési rendszere vizsgálatának Markov típusú folyamatmodellje
Széchenyi Isván Egyeem Járműpark üzemeleési rendszere vizsgálaának Markov ípusú folyamamodellje Dr. Zvikli Sándor f. anár Széchenyi Isván Egyeem, Győr Közlekedésudományi konferencia Győr, 2 március 24-25
RészletesebbenFelügyelt önálló tanulás - Analízis III.
Felügyelt önálló tanulás - Analízis III Kormos Máté Differenciálható sokaságok Sokaságok Röviden, sokaságoknak nevezzük azokat az objektumokat, amelyek egy n dimenziós térben lokálisan k dimenziósak Definíció:
RészletesebbenA fontosabb definíciók
A legfontosabb definíciókat jelöli. A fontosabb definíciók [Descartes szorzat] Az A és B halmazok Descartes szorzatán az A és B elemeiből képezett összes (a, b) a A, b B rendezett párok halmazát értjük,
RészletesebbenLineáris leképezések. Wettl Ferenc március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések március 9. 1 / 31
Lineáris leképezések Wettl Ferenc 2015. március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések 2015. március 9. 1 / 31 Tartalom 1 Mátrixleképezés, lineáris leképezés 2 Alkalmazás: dierenciálhatóság 3 2- és 3-dimenziós
RészletesebbenAnalízis. 1. fejezet Normált-, Banach- és Hilbert-terek. 1. Definíció. (K n,, ) vektortér, ha X, Y, Z K n és a, b K esetén
1. fejezet Analízis 1.1. Normált-, Banach- és Hilbert-terek. Zártés teljes ortonormált rendszer. Fourier-sor. Riesz-Fischer tétel Hilbert-térben. Szeparábilis Hilbert terek izomorfiája. 1.1.1. Normált-,
Részletesebben) (11.17) 11.2 Rácsos tartók párhuzamos övekkel
Rácsos arók párhuzamos övekkel Azér, hog a sabiliási eléelek haásá megvizsgáljuk, eg egszerű síkbeli, saikailag haározo, K- rácsozású aró vizsgálunk párhuzamos övekkel és hézagos csomóponokkal A rúdelemek
RészletesebbenÁrazási modellek inflációs termékekre
Eövös Loránd Tudományegyeem Természeudományi Kar Budapesi Corvinus Egyeem Közgazdaságudományi Kar Árazási modellek inflációs ermékekre Készíee: Víg Aila András Bizosíási és pénzügyi maemaika meserszak
RészletesebbenOptikai mérési módszerek
Ágazai Á felkészíés a hazai LI projekel összefüggő ő képzési é és KF feladaokra" " Opikai mérési módszerek Máron Zsuzsanna 1,,3,4,5,7 3457 Tóh György 8,9,1,11,1 Pálfalvi László 6 TÁMOP-4.1.1.C-1/1/KONV-1-5
RészletesebbenELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék ÖKONOMETRIA. Készítette: Elek Péter, Bíró Anikó. Szakmai felelős: Elek Péter június
ÖKONOMETRIA ÖKONOMETRIA Készül a TÁMOP-4..2-08/2/A/KMR-2009-004pályázai projek kereében Taralomfejleszés az ELTE TáK Közgazdaságudományi Tanszékén az ELTE Közgazdaságudományi Tanszék, az MTA Közgazdaságudományi
Részletesebben1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor
. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor Vizsgálja meg a következő végtelen sorokat konvergencia szempontjából. Tétel. (Cauchy-féle belső konvergenciakritérium) A a n végtelen sor akkor és csakis
RészletesebbenMatematika A1a Analízis
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 Differenciálhatóság H607, EIC 2019-03-14 Wettl
RészletesebbenDiszkrét matematika II., 8. előadás. Vektorterek
1 Diszkrét matematika II., 8. előadás Vektorterek Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2007.??? Vektorterek Legyen T egy test (pl. R, Q, F p ). Definíció.
RészletesebbenELEKTRONIKAI ALAPISMERETEK
Elekronikai alapismereek emel szin Javíási-érékelési úmuaó ÉETTSÉGI VIZSG 0. okóber. ELEKTONIKI LPISMEETEK EMELT SZINTŰ ÍÁSELI ÉETTSÉGI VIZSG JVÍTÁSI-ÉTÉKELÉSI ÚTMUTTÓ EMEI EŐFOÁSOK MINISZTÉIUM Elekronikai
RészletesebbenREAKCIÓKINETIKA ALAPFOGALMAK. Reakciókinetika célja
REKCIÓKINETIK LPFOGLMK Reakiókineika élja. Reakiók idbeli lefuásának, idbeliségének vizsgálaa: miér gyors egy reakió, és miér lassú egy másik?. Hogyan függ a reakiók sebessége a hmérséklel? 3. Reakiók
RészletesebbenSíkalapok vizsgálata - az EC-7 bevezetése
Szilvágyi László - Wolf Ákos Síkalapok vizsgálaa - az EC-7 bevezeése Síkalapozási feladaokkal a geoehnikus mérnökök szine minden nap alálkoznak annak ellenére, hogy mosanában egyre inkább a mélyépíés kerül
RészletesebbenANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK
ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2014. március 17. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így
RészletesebbenELEKTRONIKAI ALAPISMERETEK
Elekronikai alapismereek középszin Javíási-érékelési úmaó 09 ÉETTSÉGI VIZSG 00. májs 4. ELEKTONIKI LPISMEETEK KÖZÉPSZINTŰ ÍÁSBELI ÉETTSÉGI VIZSG JVÍTÁSI-ÉTÉKELÉSI ÚTMUTTÓ OKTTÁSI ÉS KULTUÁLIS MINISZTÉIUM
RészletesebbenFunkcionálanalízis. n=1. n=1. x n y n. n=1
Funkcionálanalízis 2011/12 tavaszi félév - 2. előadás 1.4. Lényeges alap-terek, példák Sorozat terek (Folytatás.) C: konvergens sorozatok tere. A tér pontjai sorozatok: x = (x n ). Ezen belül C 0 a nullsorozatok
RészletesebbenA közgazdasági Nobel-díjat a svéd jegybank támogatásával 1969 óta ítélik oda. 1 Az
ROBERT F. ENGLE ÉS CLIVE W. J. GRANGER, A 003. ÉVI KÖZGAZDASÁGI NOBEL-DÍJASOK DARVAS ZSOLT A Svéd Tudományos Akadémia a 003. évi Nobel-díjak odaíélésé ké fő alkoással indokola: Rober F. Engle eseén az
RészletesebbenValószínűségi változók. Várható érték és szórás
Matematikai statisztika gyakorlat Valószínűségi változók. Várható érték és szórás Valószínűségi változók 2016. március 7-11. 1 / 13 Valószínűségi változók Legyen a (Ω, A, P) valószínűségi mező. Egy X :
Részletesebben17. előadás: Vektorok a térben
17. előadás: Vektorok a térben Szabó Szilárd A vektor fogalma A mai előadásban n 1 tetszőleges egész szám lehet, de az egyszerűség kedvéért a képletek az n = 2 esetben szerepelnek. Vektorok: rendezett
RészletesebbenVillamosságtan II. főiskolai jegyzet. Írta: Isza Sándor. Debreceni Egyetem Kísérleti Fizika Tanszék Debrecen, 2002.
Villamosságan II főiskolai jegyze Íra: Isza Sándor Debreceni Egyeem Kísérlei Fizika anszék Debrecen, Uolsó frissíés: 93 :5 Villamosságan II félév oldal aralom aralom emaikus árgymuaó 3 Bevezeés 4 Válóáramú
RészletesebbenMatematika III. harmadik előadás
Matematika III. harmadik előadás Kézi Csaba Debreceni Egyetem, Műszaki Kar Debrecen, 2013/14 tanév, I. félév Kézi Csaba (DE) Matematika III. harmadik előadás 2013/14 tanév, I. félév 1 / 13 tétel Az y (x)
RészletesebbenElektronika 2. TFBE1302
Elekronika. TFE30 Analóg elekronika áramköri elemei TFE30 Elekronika. Analóg elekronika Elekronika árom fő ága: Analóg elekronika A jelordozó mennyiség érékkészlee az érelmezési arományon belül folyonos.
Részletesebbenu u IR n n = 2 3 t 0 <t T
IR n n =2 3 u() u u u u IR n n = 2 3 ξ A 0 A 0 0 0 < T F IR n F A 0 A 0 A 0 A 0 F :IR n IR n A = F A 0 A 0 A 0 0 0 A F A 0 A F (, y) =0 a = T>0 b A 0 T 1 2 A IR n A A A F A 0 A 0 ξ A 0 = F (ξ) ε>0 δ ε
RészletesebbenKalkulus II. Beugró kérdések és válaszok 2012/2013 as tanév II. félév
Klkulus II. Beugró kérdések és válszok 2012/2013 s tnév II. félév 1. Legyen ], b[ R nemüres, nyílt intervllum, f :], b[ R függvény. Hogyn vn értelmezve z f függvény primitív függvénye? Válsz. Legyen ],
RészletesebbenProgramtervező informatikus I. évfolyam Analízis 1
Programtervező informatikus I. évfolyam Analízis 1 2012-2013. tanév, 2. félév Tételek, definíciók (az alábbi anyag csupán az előadásokon készített jegyzetek mellékletéül szolgál) 1. Mit jelent az asszociativitás
RészletesebbenFeladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz
Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Gazdasági matematika II tárgy gyakorlataihoz a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottnak tekintjük a nehezebb
RészletesebbenMakroökonómiai modellépítés monetáris politika
Makroökonómiai modellépíés moneáris poliika Szabó-Bakos Eszer 200. ½oszi félév Téelezzük fel, hogy az álalunk vizsgál gazdaságban a reprezenaív fogyaszó hasznossági függvénye az X U = ln C +! v M+ L +
RészletesebbenHadamard-mátrixok Előadó: Hajnal Péter február 23.
Szimmetrikus kombinatorikus struktúrák MSc hallgatók számára Hadamard-mátrixok Előadó: Hajnal Péter 2012. február 23. 1. Hadamard-mátrixok Ezen az előadáson látásra a blokkrendszerektől független kombinatorikus
RészletesebbenAggregált termeléstervezés
Aggregál ermeléservezés Az aggregál ermeléservezés feladaa az opimális ermékszerkeze valamin a gyáráshoz felhasználhaó erőforrások opimális szinjének meghaározása. Termékek aggregálása. Erőforrások aggregálása.
RészletesebbenRomvári Petra. biztosítási kötelezettségek fair értékelése, id - és piackonzisztens aktuáriusi értékelések
Budapesi Corvinus Egyeem Eövös Loránd Tudományegyeem Romvári Pera bizosíási köelezeségek fair érékelése, id - és piackonziszens akuáriusi érékelések MSc szakdolgoza Témaveze : Araó Miklós Eövös Loránd
RészletesebbenELEKTRONIKAI ALAPISMERETEK
Elekronikai alapismereek emel szin 05 ÉETTSÉGI VIZSGA 005. május 0. ELEKTONIKAI ALAPISMEETEK EMELT SZINTŰ ÉETTSÉGI VIZSGA Az írásbeli vizsga időarama: 0 perc JAVÍTÁSI-ÉTÉKELÉSI ÚTMTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉIM
Részletesebben= e i1 e ik e j 1. tenzorok. A k = l = 0 speciális esetben e az R egységeleme. A. e q 1...q s. = e j 1...j l q 1...q s
3. TENZORANALÍZIS Legyen V egy n-dimenziós vektortér, V a duális tere, T (k,l) V = V V V V a (k, l)-típusú tenzorok tere. Megállapodás szerint T (0,0) V = R (általában az alaptest). Ha e 1,..., e n V egy
RészletesebbenVektorterek. Több esetben találkozhattunk olyan struktúrával, ahol az. szabadvektorok esetében, vagy a függvények körében, vagy a. vektortér fogalma.
Vektorterek Több esetben találkozhattunk olyan struktúrával, ahol az összeadás és a (valós) számmal való szorzás értelmezett, pl. a szabadvektorok esetében, vagy a függvények körében, vagy a mátrixok esetében.
RészletesebbenFizika A2E, 11. feladatsor
Fizika AE, 11. feladasor Vida György József vidagyorgy@gmail.com 1. felada: Állandó, =,1 A er sség áram öl egy a = 5 cm él, d = 4 mm ávolságban lév, négyze alakú lapokból álló síkkondenzáor. a Haározzuk
RészletesebbenIntraspecifikus verseny
Inraspecifikus verseny Források limiálsága evolúciós (finesz) kövekezmény aszimmeria Denziás-függés Park és msai (930-as évek, Chicago) - Tribolium casaneum = denziás-függelen (D-ID) 2 = alulkompenzál
RészletesebbenAnalízis 1. (BSc) vizsgakérdések Programtervez informatikus szak 2008-2009. tanév 2. félév
Analízis 1. (BSc) vizsgakérdések Programtervez informatikus szak 2008-2009. tanév 2. félév Valós számok 1. Hogyan szól a Bernoulli-egyenl tlenség? Mikor van egyenl ség? Válasz. Minden h 1 valós számra
Részletesebbeny = y 0 exp (ax) Y (x) = exp (Ax)Y 0 A n x n 1 (n 1)! = A I + d exp (Ax) = A exp (Ax) exp (Ax)
III Az exp (Ax mátrixfüggvény módszere Ha y = ay, y( = y, a = állandó y = y exp (ax d dx [exp (Ax] = Y = AY, Y ( = Y, Y (x = exp (AxY exp (Ax = I + n= A n x n (n! = A A n x n, n! ] A n x n I + = A exp
RészletesebbenA digitális számítás elmélete
A digitális számítás elmélete 8. előadás ápr. 16. Turing gépek és nyelvtanok A nyelvosztályok áttekintése Turing gépek és a természetes számokon értelmezett függvények Áttekintés Dominó Bizonyítások: L
RészletesebbenValószínűségelmélet. Pap Gyula. Szegedi Tudományegyetem. Szeged, 2016/2017 tanév, I. félév
Valószínűségelmélet Pap Gyula Szegedi Tudományegyetem Szeged, 2016/2017 tanév, I. félév Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 1 / 125 Ajánlott irodalom: CSÖRGŐ SÁNDOR Fejezetek
RészletesebbenTávközlı hálózatok és szolgáltatások
Távközlı hálózaok és szolgálaások Forgalmi köveelmények, hálózaméreezés Csopaki Gyula Némeh Kriszián BME TMIT 22. nov. 2. A árgy felépíése. Bevezeés 2. I hálózaok elérése ávközlı és kábel-tv hálózaokon
RészletesebbenSzempontok a járműkarbantartási rendszerek felülvizsgálatához
A VMMSzK evékenységének bemuaása 2013. február 7. Szemponok a járműkarbanarási rendszerek felülvizsgálaához Malainszky Sándor MÁV Zr. Vasúi Mérnöki és Mérésügyi Szolgálaó Közpon Magyar Államvasuak ZR.
Részletesebben4. Laplace transzformáció és alkalmazása
4. Laplace transzformáció és alkalmazása 4.1. Laplace transzformált és tulajdonságai Differenciálegyenletek egy csoportja algebrai egyenletté alakítható. Ennek egyik eszköze a Laplace transzformáció. Definíció:
Részletesebben4. Előadás: Erős dualitás
Optimalizálási eljárások/operációkutatás MSc hallgatók számára 4. Előadás: Erős dualitás Előadó: Hajnal Péter 2018. Emlékeztető. A primál feladat optimális értékét p -gal, a feladat optimális értékét d
RészletesebbenMODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS
MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS Szerkesztette: Balogh Tamás 214. december 7. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így
RészletesebbenA sebességállapot ismert, ha meg tudjuk határozni bármely pont sebességét és bármely pont szögsebességét. Analógia: Erőrendszer
Kinemaikai egyensúly éele: Téel: zár kinemaikai lánc relaív szögsebesség-vekorrendszere egyensúlyi. Mechanizmusok sebességállapoa a kinemaikai egyensúly éelével is meghaározhaó. sebességállapo ismer, ha
Részletesebben