Zsembery Levente VOLATILITÁS KOCKÁZAT ÉS VOLATILITÁS KERESKEDÉS

Átírás

1 Zsembery Levene VOLATILITÁS KOCKÁZAT ÉS VOLATILITÁS KERESKEDÉS

2 PÉNZÜGYI INTÉZET BEFEKTETÉSEK TANSZÉK TÉMAVEZETŐ: DR. SZÁZ JÁNOS Zsembery Levene

3 BUDAPESTI KÖZGAZDASÁGTUDOMÁNYI ÉS ÁLLAMIGAZGATÁSI EGYETEM KÖZGAZDASÁGTANI Ph.D PROGRAM VOLATILITÁS KOCKÁZAT ÉS VOLATILITÁS KERESKEDÉS PhD Érekezés Zsembery Levene Budapes, 004.

4 Taralomjegyzék Taralomjegyzék... Ábrák jegyzéke...4 Táblázaok jegyzéke...5 Bevezeő. A dolgoza szerkezee...7. A volailiás ermékek leheséges vásárlói A dolgoza önálló eredményei Deerminiszikus ese Folyonos ese...7 I. Fejeze I.. Bevezeés... I.. Deerminiszikus volailiás... I.3. Szemi-szochaszikus volailiás...6 II.3.. A CEV (Consan Elasiciy of Variance) modell...6 II.3.. Geske opcióra szóló opciója...7 II.3.3. A Hobson Rogers modell...8 I.4. Szochaszikus volailiás...9 II.4.. A Hull Whie modell...30 II.4.. Sco mean-revering modellje...3 II.4.3. Wiggins modellje...34 II.4.4. Johnson és Shanno modellje...35 II.4.5. Naik ugrásos volailiás modellje...36 II. fejeze II.. Bevezeés...40 II.. Implici binomiális fák...4 II... A Rubinsein modell...4 II... A DK-modell...46 II... A DK fa arbirázsmenessége...5 II..3. A Derman Kani és a Rubinsein eljárások különbségei...5 II.3. Az implici rinomiális fák...53 II.3.. Dupire modellje...53 II.3.. A DKC modell...55 II.4. A helyi volailiás felárása véges differenciákkal...60 II.4.. Rebonao modellje...60 II.4.. A véges differenciák egy másik formája...65 II.5. A helyi volailiás felüle...66 II.5.. Az implici és a helyi volailiás...67 II.5.. Az implici volailiás válozása az alapermék árának függvényében...70 II.5... A ragadós köési árfolyam szabálya...7 II.5... A ragadós dela szabálya...7 II A ragadós implici fa modellje...73 II Válaszás a szabályok közö...73

5 III. fejeze III.. Bevezeés...75 III.. A volailiás kereskedés...75 III.3. Elmélei modellek a volailiás előállíására...77 III.3.. Egy alernaív eljárás a volailiás előrejelzésére volailiás kereskedés opciókkal...77 III.3.. Volailiás kereskedés opciók részvényekkel örénő fedezésével...83 III.3.3. Neuberger logarimikus szerződése...85 III.3.4. A realizál volailiás előállíása...87 III.3.5. Teszek és kereskedési sraégiák a gyakorlaban...90 III.3.6. Az idő dimenziójának Derman Kani Kamal (DKK) féle kierjeszése...9 III.4. Volailiásra szóló ermékek...95 III.4.. A volailiás indexek...97 III.4.. A variancia swapok...99 III.4.3. A volailiásra szóló ermékek árazásának kérdései...03 III.4.3. Whaley modellje...04 III.4.4. Grünbichler és Longsaff mean revering modellje...06 III.4.4. A volailiásra szóló haáridős szerződések...07 III.4.4. A volailiásra szóló opciók...09 III A call és pu opciók sajáosságai...0 III.4.5. Deemple és Osakwe modellje... III.4.6. A volailiásra szóló opciók alernaívája a erpeszre (sraddle) szóló opció5 III.4.6. Az opció árazása deerminiszikusan válozó volailiás eseén...6 III.4.6. Az opció árazása szochaszikusan válozó volailiás eseén...8 IV. Fejeze IV.. Bevezeő...0 IV.. A erpeszre szóló opció bemuaása diszkré idejű deerminiszikus modellben. hipoézis: hipoézis: hipoézis:... 3 IV.3. A erpeszre szóló opció bemuaása folyonos idejű modellekben...34 IV.3.. A folyamaokról...34 IV.3.. A szimuláció leírása...36 IV.3... A folyamaok felírásának formája...36 IV.3... A szimuláció felépíése (a periódusok száma és az egyes periódusok hossza) 35 IV A felhasznál vélelen szám generáorról...37 IV A programok eszelése...37 IV A mina elemszáma és megbízhaósága...38 IV A negaív érékek elkerüléséről...39 IV Felevések az árazás során...39 IV.3.3. Eredmények hipoézis: hipoézis: hipoézis:... 4 Eredmények a HW modellben Eredmények a DO modellben hipoézis: hipoézis: Eredmények a HW modellben... 5 Eredmények a DO modellben... 5

6 IV.3.4. A erpeszre szóló opciók és a volailiásra szóló opciók összehasonlíása54 6. hipoézis hipoézis: Összefoglaló...58 Felhasznál irodalom...63 Mellékleek

7 Ábrák jegyzéke. ábra A binomiális fa időben válozó volailiás melle 4. ábra Valószínűségek a Rubinsein modellben ábra Faszerkeszés a Derman - Kani modellben ábra Arbirázsmenesség a Derman - Kani fán 5 5. ábra Dupire rinomiális fája ábra Derman - Kani - Chriss rinomiális modellje ábra Részvényárfolyamok alakulása ábra Az alappozíció felépíése a Kani - Derman - Kamal modellben ábra A leheséges részvényárfolyamok egy képeriódusos binomiális modellben 3 0. ábra Az ado csomóponban ATM erpeszek éréké leíró fa 4. ábra A leheséges részvény és erpesz árfolyamok ké periódusos binomiális modellben 5. ábra A PoST éréke különböző korrelációs együhaók melle az induló volailiás függvényében 4 3. ábra A CoST éréke különböző korrelációs együhaók melle az induló volailiás függvényében 4 4. ábra A erpeszre szóló opciók éréke a köési árfolyam függvényében ábra A CoST és a PoST éréke a volailiás volailiásának függvényében (HW modell) ábra A CoST és a PoST éréke a volailiás volailiásának függvényében különböző ρ érékeknél (HW modell) ábra A CoST és a PoST éréke a volailiás volailiásának függvényében (DO modell) ábra A PoST éréke a ké folyama közöi különböző korrelációs együhaók melle. (DO modell) ábra A CoST és a PoST éréke a korrelációs együhaó függvényében (HW modell) 48. ábra A CoST és a PoST éréke a korrelációs együhaó függvényében a volailiás volailiásának különböző érékei melle (HW modell) 5. ábra Az ATM közeli (KSTO=0) PoST éréke a korrelációs együhaó függvényében (HW modell) 5 3. ábra A CoST éréke a ké folyama közöi korrelációs együhaó függvényében a volailiás volailiásának különböző érékei melle (DO modell) 5 4. ábra A PoST éréke a ké folyama közöi korrelációs együhaó függvényében a volailiás volailiásának különböző érékei melle (DO modell) ábra A CoST éréke a kezdő volailiás függvényében az opció háralévő fuamidejének különböző érékei melle ábra A PoST éréke a kezdő volailiás függvényében az opció háralévő fuamidejének különböző érékei melle 56 4

8 Táblázaok jegyzéke:. ábláza A CoST éréke a σ és a σ függvényében ATM CoST eseében 6. ábláza A CoST éréke a σ és a σ függvényében ITM CoST eseében ábláza A CoST éréke a σ és a σ függvényében OTM CoST eseében ábláza A dela éréke a σ és a σ függvényében ATM CoST eseében ábláza A esz-szimuláció konvergenciája a Hull - Whie modell eseén ábláza A erpeszre szóló call opció éréke a fuamidő és a kezdő volailiás függvényében 55 5

9 Témavezeőm, Sulyok-Pap Mára emlékének 6

10 Bevezeő A volailiás kockáza még ha ez sokan nem is észlelék az opciókkal egyidős. A pénzügyi piacok fejlődésével egyre újabb és újabb opciós jogok, opciós jogoka aralmazó érékpapírok illeve befekeési formák jelenek meg. Ezek erjedésével a volailiás kockázaának kie inézményi és magánbefekeők száma is gyorsan nő. A piac fejlődésével a udomány is lépés aro. Hamar megjelenek azok a kriikák, amelyek a Black Scholes modell időben állandó volailiásá elemezék. A hevenes évek végén és főleg a nyolcvanas évek során egyre újabb modellek jelenek meg arról, hogyan lehe a Black Scholes képlee a válozó volailiás feléeléhez hozzáigazíani.. A dolgoza szerkezee Ezeke a modelleke a dolgoza első fejezeében veszem sorra. Így megvizsgálom, hogyan hanak az eredei Black Scholes környeze egyes felevései a valóságban, illeve milyen haásai vannak az egyes volailiásra vonakozó felevéseknek az opció érékére. Ebben a fejezeben folyonos modellekkel foglalkozom. Az egyelen kivéel a Crouhy Galai cikke jeleni. Ők véges számú kereskedési időpono vizsgálva keresék a válasz arra a kérdésre, hogy időben deerminiszikusan válozó volailiás melle a Black Scholes modell milyen árazási hibákhoz veze. A vizsgál modellek közö volak szemi-szochaszikusak, mikor a részvényárfolyamo és a volailiás ugyanazon kockázai ényező befolyásolja. Ilyenek Cox és Ross, Geske, valamin Hobson és Rogers modelljei. Ugyanebben a fejezeben olyan modellekkel is foglalkozam, amelyekben a volailiás a részvényárfolyamhoz hasonlóan egy önálló folyama szerin alakul. Ilyen szochaszikus volailiás modellek Hull és Whie, Sco, Wiggins, Johnson és Shanno, valamin Naik modelljei. Azálal, hogy az uóbbi modellekben a szerzők a volailiás vélelenszerű válozásá éelezék fel, egy újabb fedezendő kockázai ényező kerül be a képbe. Hogy a kockázao legalább elmélei módon ki udják küszöbölni, valamilyen felevéssel kelle éljenek. Az egyik megoldás az vol, hogy feleék, hogy a volailiás kereskede ermék. (Johnson és Shanno [987]) Ez azonban ellenmondo a gyakorlanak. Ezér mások úgy oldoák meg a problémá, hogy feleék, hogy a volailiás kockázaa diverzifikálhaó ( Hull és Whie [987], Sco [987], Wiggins [987]). 7

11 Bevezeő Ráadásul a volailiás jövőbeli alakulásá előre jelezni szine leheelen. Ezér egyre öbben folyamodak ahhoz a megoldáshoz, hogy piacon jegyze opciók árából számolák vissza az annak árában benne foglal, ún. implici volailiás, ez használva föl más, éppen kibocsáandó opciók érékének meghaározásához. A kilencvenes években ennél bonyolulabb megoldások kezdek kialakulni. A szereplőke már nem csupán az érdekele, hogy ado fuamidejű opciók árában mekkora volailiás érék rejlik, de az is megvizsgálák, milyen jövőbeli áralakulás lehee a piac fejében az opciók árának meghaározásakor. Ezeke a modelleke a dolgoza második fejezee aralmazza. Ezek a visszaszámío modellek diszkré idejűek. Vannak közöük a binomiális Derman Kani, Rubinsein, és vannak a rinomiális fák Derman Kani Chriss, Dupire módszerére, és vannak a véges differenciákra Rebonao épülő modellek. Egyes modellek, megfelelően sok opció piaci árá felhasználva arra is alkalmassá válak, hogy a piac fejében lévő jövőbeli volailiás alakulásról, az ún. helyi volailiás felüleről is információ nyerhessünk belőlük. A nyolcvanas évek közepéől az ökonomeriai idősor elemzés is harcba száll a volailiás előrejelzésére, megalkova az ARCH és a GARCH modelleke, illeve a későbbiekben ezek számos új, a valóságo még ponosabban leíró fajájá. Ezekkel a modellekkel dolgozaomban nem foglalkozam. Ennek öbb oka is van. Egyrészről ezek elemzése kívül ese dolgozaom célkiűzésein, illeve nehezen ille az álalam vizsgál gondolai kerebe. Másrészről a dolgoza émája, illeve az önálló kuaás erülee a volailiás kereskedés, ezen a erüleen pedig az ARCH-GARCH modellek felhasználásával néhány úörő jellegű munká leszámíva eddig nem nagyon kísérleezek. (ld. Heson Nandi [000]) A nyolcvanas évek végéől a piacok egyre volailisebbé válak. Ez a folyama a kilencvenes években is folyaódo, így az ebből származó veszeségek gyakorisága is egyre nő. A veszeségekkel párhuzamosan pedig egyre gyakrabban jelenkeze az igény a volailiásnak való kieség csökkenésére. Ugyanakkor a másik oldalról, a spekulánsok oldaláról is egyre markánsabban jelenkeze az igény arra, hogy annak válozására spekulálhassanak, azaz a volailiással kereskedhessenek. Így jelenek meg az árfolyamok mozgásának irányára spekulálók (az ún. irány kereskedők direcion Dolgozaomban csak egyelen alkalommal hivakozom arra, hogy egy álalam is vizsgál folyama ulajdonképpen az EGARCH modell folyonos verziójának ekinheő. Az annak megéréséhez szükséges elmélee o szereném röviden ismereni. A feni modellek jó és részlees áekinésé adja Varga [00] 8

12 Bevezeő raders) melle a volailiás kereskedők is. A keresle pedig megeremi a maga kínálaá. A hagyományosnak ekinheő eszközök összee opciós pozíciók, opciók dela fedezése már a hevenes években rendelkezésre állak. Ezekkel azonban nem ud mindenki kereskedni. Ezek a ermékek ugyanis hozzáérés és a pozíció folyamaos karbanarásá igénylik. Ennek megfelelően, bár a banki reasury-k számára megfelelőek lehenek, széles körben azonban nem udak elerjedni. A dolgoza harmadik fejezeében azoka az elmélei és gyakorlai megoldásoka veszem sorra, amelyek célja valamilyen jól árazhaó és széles körben forgalmazhaó volailiás ermék kifejleszése. Mivel a volailiás nem léezik, azonnali piaco szervezni rá szine leheelen. Ennek megfelelően a kísérleek is jellemzően a volailiásra szóló derivaív ügyleekre vonakozak. Ebben egyrész a bankok reasury oszályai, másrész a mindig újabb és újabb forgalmazhaó ermékek uán kuaó őzsdék veek rész. Úgy űnik, hogy a ermékek egyedi jellege mia ma a bankok akívabbak ezeken a piacokon. A gond akárcsak a hagyományos ermékeknél ezeknél a derivaívoknál is az vol, hogyan udja a bevállal kockázao a bank megszűneni, lefedezni. A gondo az okoza, hogy maga a volailiás nem kereskede ermék. A kezdeményezés a őzsdék veék á, akik a kilencvenes évek közepéől egymás uán vezeék be a likvidebb opciók implici volailiásaiból összeállío ún. volailiás indexeke. A cél az vol, hogy ezek szolgálhassanak a derivaívok alapermékéül. Sajnos ezen indexek éréké szinén csak jegyezék, nem kereskedek velük, így a valódi arbirázs a derivaívok árazásakor nem állhao fönn. A bemuao modellek közö vannak alapveően elmélei modellek, és vannak olyanok, amelyek célja a gyakorlai alkalmazhaóság vol. Bemuaom Carr és Madan cikkének alapján, hogyan lehe összee opciós pozícióval illeve opciók dela fedezésével a volailiás előállíani. Elemzem Neuberger logarimikus erméké (log conrac), Derman, Kani és Kamal helyi volailiás felüleen alapuló kereskedési modelljé. A volailiásra szóló derivaív ügyleek elemzésénél Demeerfi Derman Kamal Zou, Whaley, Grünbichler és Longsaff, Deemple és Osakwe, valamin Brenner, Ou és Zhang megoldásai muaam be részleesebben. Ezek a modellek volailiásra, min alapermékre szóló haáridős (és swap), valamin opciós ügyleek árazásá muaják be különböző részvényárfolyam és volailiás folyamaok melle. 9

13 Bevezeő A bankok különösen akívnak bizonyulak a volailiásra szóló ermékek forgalmazásában. Az így bevállal kockázao pedig a volailiás szineikus előállíásával igyekezek lefedezni. Ez azonban ahogyan az a bemuao modellekben is jól lászik nem megy ökéleesen. Abban az eseben, ha a piacon hirelen nagy válozások kövekeznek be, a befekeési bankok nagy veszeségekkel nézhenek szembe amia, hogy sajá kockázauka nem képesek haékonyan lefedezni. Egy jó pénzügyi erméknek ugyanis nemcsak a piac számára vonzónak, de egyúal szineikusan előállíhaónak is kell lennie. Ez az ellenmondás igyekszik feloldani Brenner és szerzőársai cikke. Ők ugyanis volailiásra szóló opciók helye egy összee opciós pozícióra, erpeszre szóló opcióka ajánlanak a befekeési bankoknak. Mivel a erpesz éréke a volailiás függvénye, a ermék lényegé ekinve nem módosul. Viszon a piacon kereskede elsődleges opciókkal ez a másodlagos opció lényegében nagyobb gond nélkül fedezheővé válik. A dolgoza negyedik, önálló részében ennek a erméknek az elemzésé végezem el. Egyrész diszkré idejű binomiális modellben ahol mindig van fedezei sraégia megvizsgálam, milyen bukaói lehenek deerminiszikus volailiás melle az álaluk bemuao erméknek. Ez összhangban van Brenner és szerzőársai cikkének első részével, ahol a szerzők deerminiszikus volailiás alakulás melle haározzák meg az opciók árai. A fejeze második részében különféle részvényárfolyam és volailiás folyamaok melle vizsgálam a ermék áralakulásá, összeveve egyrész Brenner és ársai eredményeivel, másrész megvizsgálam, ez a ermék mennyiben ér el Deemple és Osakwe volailiásra szóló opciójának jellemzőiől. A későbbi félreérések elkerülése vége már i, a dolgoza elején szereném kihangsúlyozni, hogy dolgozaomban a volailiás végig szórás és nem variancia érelemben használom. Ennek kihangsúlyozása azér szükséges, mer a szakirodalom koránsem egységes ebben a kérdésben, a definíciók gyakran keverednek. A éma szemponjából ez annyiban mellékesnek lehene ekineni, hogy ha egy pozíció poziív módon függ a volailiásól, akkor a varianciáól is, és fordíva. Min arról a harmadik fejezeben szó lesz, vannak olyan ermékek, ahol a volailiás kereskedés a varianciával való kereskedés jeleni. Ha ilyen kerül elő, jelezni fogom, hogy az o használ elnevezés a korábbiakól elér. 0

14 Bevezeő. A volailiás ermékek leheséges vásárlói Vizsgáljuk meg a ovábbiakban, hogy kik lehenek a bankok ügyfelei ezen ermékek kereskedése során. Más szóval vegyük sorra, hogy melyek azok az inézmények illeve piaci szereplők, amelyek nap min nap volailiás kockázanak vannak kiéve, illeve a volailiás, vagy egy arra szóló ermék vásárlói lehenek. Ahogyan az eddig már kiderül, a volailiás kereskedésben is öbb céllal lehe rész venni. Az egyik ipikus szereplő a spekuláns. De a spekulánsokon belül is öbb faja spekuláns léezik. Vannak olyanok, akik a volailiás abszolú mérékére spekulálnak. Az ilyen szereplők ipikusan a volailiás álaghoz visszahúzó (mean revering) jellegéből indulnak ki. Ha az akuális opciós árakban benne foglal volailiás alacsonyabb, min a korábbi időszakok álaga, igyekeznek megvenni az, ha magasabb, rövid pozíció léesíenek. Vannak azonban az egyes lejáraok, illeve az egyes ermékek implici volailiásainak különbségére spekuláló befekeők is. A spekulánsok már a volailiásra szóló srukurál ermékek kialakulása elő is a piac akív szereplői volak. Vagy opciók dela fedezésével, vagy összee opciós pozíciókkal (alapveően erpesszel) alakíoak/alakíanak ki olyan pozícióka, amelyekből a volailiás emelkedése illeve csökkenése eseén profiálhanak. Az újabb ermékek megjelenése az ő leheőségeike is javíoa. Sokan azonban nem spekulálni akarnak a volailiásra, hanem kivédeni annak porfóliójuk érékére gyakorol negaív haásai. Ők fedezei ügyleeke könek a volailiásra szóló ermékek felhasználásával. Az ő számukra jeleneek igazi előrelépés a őzsdéken megjelenő, illeve a bankok álal kínál volailiás ermékek. 3 A volailiás válozásának kieek egyik legjellemzőbb csoporjá ermészeesen azok a bankok illeve egyéb pénzpiaci szereplők képezik, akik opcióka írak ki. Hiába fedezik ugyanis folyamaosan rövid opciós pozíciójuka, a volailiás válozása ellen nincsenek védve. Ráadásul amennyiben a Black Scholes képle alapján árazák opciójuka, ez a kockázao be sem árazák, hiszen a modell szerin a volailiás időben állandó, míg a valóságban ez korán sincs így. A rövid opciós pozícióban lévők aránya az uóbbi időben jelenősen növekede. Nem csupán azokról van szó, akik klasszikus vanilla opciókkal kereskednek. Egyre öbb Poon Pope [999] az S&P 00 és S&P 500 indexekre szóló opciók implici volailiásainak elérésében rejlő leheőségeke vizsgálák, ezek eléréseire kereskedek.

15 Bevezeő ermékhez kapcsolódik opciós jog, egyre öbb alap ad hozamgaranciá a befekeőknek. Az elmúl évben Magyarországon is megjelenek a bull CD-nek is nevezheő garanál hozamo adó befekeési alapok. 4 Ezekben a befekeők a garanál alacsonyabb éves hozam melle egy meghaározo porfólió hozamából is részesedés kapnak. Ezzel a kibocsáó bank lényegében egy shor call pozíció vállal. Ez az ado alapermékre szóló opció véelével udja fedezni. A gondo az jelenhei min például a K&H ermékének eseében ha a referenciaporfólió nem kereskede, hanem öbb alap összessége. Ekkor a kockáza egyszerű ovábbadása nem leheséges. Amennyiben egy alap önmagában ad hozamgaranciá egy referencialapból való részesedés nélkül lényegében egy pu opció bizosí a befekeőnek, szinén volailiás kockázao vállalva be ezálal. Nem nehéz megjósolni, hogy a jövőben a nyugai gyakorlanak megfelelően hazánkban is növekedni fog a garanciával megámogao alapok száma. Mivel azonban a hazai őzsdei opciós piac egyelőre nem eszi leheővé a kockáza egyszerű ovábbháríásá, i a magyar bankok reasury-je számára kínálkozik újabb leheőség a volailiás kockáza fedezésére. A volailiás kockáza azonban nemcsak olyan cégek számára jelen kockázao, akik valamilyen akár csak reje opciós pozícióval rendelkeznek. Gyakran fordul elő, hogy egy alapkezelő számára a célkiűzés valamilyen nem állandó összeéelű benchmark porfólió lemásolása (Demeerfi Derman Kamal Zou [999]). Ebben az eseben a volailiás növekedésével az álala végrehajandó ranzakciók száma is növekszik, hiszen az árak gyors válozása a súlyok módosulásával jár együ. 5 Ilyen lehe például, ha valaki elé egy öbb indexből álló porfólió másolásá űzik ki célul úgy, hogy azok egymáshoz viszonyío aránya a porfólión belül állandó legyen. A ranzakciók számának növekedése az alap kölségei is növelni fogja. Ennek a kölségnek jelenős része a volailiás számlájára írhaó. Amennyiben egy ilyen alapkezelő valamilyen ermék kereében megveszi az ado piac vagy piacok volailiásá, a kockázao mérsékelni udja. A fedeze ermészeesen nem lesz ökélees, de a veszeségek csökkenésére alkalmas lesz. További gondok forrása lehe, hogy nagy volailiás eseén a kölségek növekedése melle a alálai arány is romlik. Azaz hiába kereskedik valaki gyakrabban, a gyors 3 Tőzsdei volailiásra szóló ermék vol például a Deusche Terminbörse álal a VDAX volailiás indexre szóló haáridős ügyle. 4 Ilyenek a K&H Bank Fix plusz befekeési konsrukciói (00 vége és 003 eleje), illeve leguóbb (003 március) a Cii Bank jelen meg hasonló ermékkel a piacon.

16 Bevezeő árválozás mia egyre kevésbé lesz képes ponosan leköveni a célul kiűzö referencia porfólió mozgásá. Ez a veszeség is csökkenheő volailiásra szóló ügyleek felhasználásával. De felhasználhaó lehe egy ilyen ermék a diverzifikáció erősíésére is. Ahogyan arról a már a CAPM modellben is szó vol, egyre újabb és újabb papíroka a porfólióba válaszva a diverzifikáció a porfólió kockázaá csökkeni. A globalizáció és az egész világon üzleelő befekeési alapok megjelenésével azonban a diverzifikáció leheősége csökken. Egyre gyakrabban fordul elő, hogy az egyik piacon bekövekező esés a másik piaco is magával ránja, hiszen a befekeési alapok gyakran öbb piacról egyszerre vonulnak ki, illeve az egyik piac problémái a másikra is jelenős haás gyakorolnak. Ugyanakkor az is megfigyelék, hogy az árak esése a volailiás növekedésével jár együ és fordíva. Ezálal a volailiásra szóló ermékek lehenek azok, amelyek segíeni fogják a diverzifikáció. Nagyobb esések eseén ugyanis egy long volailiás pozíció az áralakulás veszeségé képes lehe korrigálni. Egy ovábbi érdekes felhasználási erülee emlí Demeerfi, Derman, Kamal és Zou (Demeerfi Derman Kamal Zou [999]). Szerinük a vállalaok fúziójával foglalkozó ún. kockázai arbirazsőrök (risk arbirageur) illeve fedezei alapok (hedge funds) is a felhasználók közö lehenek. Ezek a befekeők ügyleei azon alapulnak, hogy a fúzió ervező cégek részvényeinek éréke közeledni fog egymáshoz, illeve egy meghaározo áválási arányhoz. 6 Amennyiben a volailiás hirelen nagyon megnő, a konvergencia megakad, jelenős veszeségeke okozva a befekeőknek. Mivel ez a kockáza szinén a volailiás válozásából ered, volailiásra szóló ermékkel fedezheővé válik. A volailiásnak való kieség azonban nemcsak a részvénypiacon érheő een. A hozamgörbe különböző ponjainak volailiása a kövénybefekeések érékére van erős haással. A hozamok gyors válozása különösen o lehe zavaró, ahol a kövényhez visszahívási vagy visszaválási jog kapcsolódik. Ebben az eseben megin arról van szó, hogy a kövény eladója illeve vásárlója egy olyan opciós jogo bizosí a másik számára, amelynek éréke a volailiás függvénye. Ilyenkor eljesen mérékben kiszámíhaalanná válik, hogy egy ado papír meddig szerepel a befekeő porfóliójában. Különösen zavaró lehe ez olyan eseekben, amikor 5 Ez a kockáza szerencsére a őzsdeindexeke másoló alapok eseében nem merül fel, hiszen az indexek kialakíásánál eleve ügyelnek arra, hogy azok másolhaóak legyenek. 6 Ilyen ügyleeke folyao öbbek közö az LTCM is. Részleesen lásd Dunbar [000] 3

17 Bevezeő a kövény eljes kifizeése elúszha a hozamok gyors válozásával. Ilyen például az amerikai jelzálogkövények piaca, amelyeke a hielfelvevők névéréken bármikor előörleszhenek. Hogy az előörleszés kockázaá csökkensék, a jövőbeli pénzáramlásoka különféle csoporokra bonoák, megoszva így a befekeők közö a visszahívás kockázaá. Az egyik ilyen ermékcsopor eseében az egyik befekeő csak a kamaoka (IO ineres only), míg a másik csak a örleszés (PO principle only) kapja. Az IO- vásárló befekeő különösen rossz helyzeben van. A hozamok esésével befekeésének eljes éréké elveszíhei. Szinén egyfaja opció bizosí a BÉT haáridős államkövény konrakusa is. Ennek alapja ugyanis egy fikív, a valóságban nem léező kövény, leszállíáskor pedig az eladó válaszja ki, hogy melyik kövény szállíja le. Ez lesz a legolcsóbban szállíhaó kövény (cheapes o delivery) az ún. LSZK (CTD). 7 Amennyiben a hozamgörbe volailiása nagy, a legolcsóbban leszállíhaó kövény gyorsan válozha, gyakori kövénycserére készeve ezzel a haáridős arbirázsügyleekben érine befekeőke. Ez egyrész a ranzakciós kölségeke növeli, másrész, ha az ado kövényből éppen kevesebb van a piacon, vagy a hirelen úlzo keresle mia úlzoan megnő az áruk, ronja az arbirázsügyleek haékonyságá. Ezek a ponalanságok mind a befekeők veszeségeikén jelenkeznek. Ugyanakkor egy long volailiás pozíción nyereségük képződne, csökkenve az alappozíció veszeségei. A piac ehá megleheősen nagy, és min arról szó vol, egyedi igényekkel rendelkezik. Ennek megfelelően a bankok előnyösebb helyzeben vannak a szabványosío ermékeke forgalmazó őzsdéknél. A őzsdei kezdeményezések egyelőre nem vezeek sikerre. Bár volailiás indexeke öbb őzsde jegyez, arósan egyelőre egyelen ermék sem marad meg a szabványosío piacon. Volailiásra szóló őzsdei ermék is csupán egy vol, a frankfuri őzsde részvényindexére, a DAX-ra szóló opciók implici volailiásából számol VDAX indexre szóló haáridős ügyle. Azonban idővel ennek a erméknek a kereskedése megszűn. Jelenleg a CBOE próbálkozik volailiásra szóló ermékek bevezeésével. Az eredei ervek szerin a 003 szepemberében megkapo engedélyek alapján 003 negyedik negyedévében egyidejűleg kezdek volna volailiásra szóló haáridős és 7 A példa akár az amerikai jelzálogkövényekhez is köheő lenne, hiszen azokra szinén egy ilyen fikív kövény konrakus szól. 4

18 Bevezeő opciós ügyleekkel kereskedni. 8 Az ősz folyamán azonban az időpono 004 januárjára módosíoák. A fogadaása alapján úgy űnik, ezúal egy sikeres volailiás ermék megjelenésére lehe számíani. A őzsdén kívüli kereskedelemben elsősorban volailiásra szóló swap ügyleeke (gyakorlailag haáridős ügyleekről van szó) forgalmaznak, de vannak volailiásra szóló opciók is (Demeerfi Derman Kamal Zou [999]). A volailiásra szóló swap ügyleek gyakran nem közvelenül a volailiásra, hanem annak négyzeére, a varianciára szólnak, a ermék kifizeése a realizál variancia és az ügyle megköésekor érvényes variancia függvénye. A volailiás kereskedés Magyarországon is megindul. Mivel jelenleg csak a devizaopciók piaca ekinheő elegendően likvidnek, ezen a piacon jegyeznek ára volailiásra. A kereskedés gyakorlailag az opciók vásárlásában és dela fedezésében, illeve összee opciós pozíciók léesíésében merül ki, srukurál ermékek egyelőre nem alakulak ki (Aszalos Golobokov Kurali Wolf [003]). 3. A dolgoza önálló eredményei Úgy űnik ehá, hogy a volailiásra szóló ermékek piaca alapveően a bankok felségerülee marad. Számukra viszon egy, a parnerek számára vonzó ermék érékesíésén úl az ezálal bevállal kockáza kezelése sem mellékes. Emia úgy űnik, hogy a Brenner és szerzőársai álal ajánlo erpeszre szóló opció a bankok számára is megnyugaó megoldás jelenhe. Ezér a dolgoza önálló részében ennek az új erméknek az elemzésével foglalkozam. Elemzéseme mind diszkré idejű binomiális modellben, mind pedig folyonos idejű modellek felhasználásával elvégezem. A fő kérdés az vol, hogy egyrészről vajon ez a ermék valóban ugyanazokkal a ulajdonságokkal rendelkezik-e, min egy volailiásra szóló opció, másrészről milyen kockázaoka rejhe magában a kiíró bank számára ez a ermék. A binomiális modell (CRR) eseében egyelen vélelenszerűen válozó ényező van, a részvényárfolyam. Ekkor a volailiás szükségszerűen deerminiszikusan alakul. Ez a modell ké ok mia vizsgálam. Egyrész ilyen környezeben bizosan van fedezei 8 Egész ponosan az alapermék a VIX index, azaz az S&P 500-ra szóló opciók implici volailiásainak súlyozásával számío index. A volailiás indexekről, illeve azok számíásáról a harmadik fejezeben lesz szó részleesen. 5

19 Bevezeő sraégia, aminek az alakulásá vizsgálam, másrészről összhangban Brenner és szerzőársai cikkének első részével, deerminiszikus volailiás alakulás melle keresem ennek a másodlagos opciónak az éréké. Folyonos eseben ké modell használam fel. Az egyik az első fejezeben is bemuaásra kerülő Hull Whie modell. Ez a modell a szakirodalomban mindenkor egyfaja ealonnak számío, sokan mérék eredményeike ehhez a modellhez. Másrész ebben az eseben a ké folyama a részvényárfolyam és a volailiás korrelálsága is jól vizsgálhaó. A másik vizsgál modell a harmadik fejezeben bemuaásra kerülő Deemple Osakwe álal felhasznál logarimikus mean revering modell. Ez egyrész a szerzők álal megmuaoan a részvénypiaci volailiás jó leírásá adja 9, másrész a szerzők ezen folyamaok melle volailiásra szóló opció árazak. Így eredményeim az övéikkel is összeveheővé válnak. (A ovábbiakban a Hull Whie modell HW, a Deemple Osakwe modell DO rövidíéssel jelölöm. Folyamaok ala mindig a részvényárfolyam és a volailiás álal kövee folyamao érem.) A folyonos eseben az eredményeke Mone Carlo szimulációval kapam. A programok elkészíésében és a szimulációval kapcsolaos kérdések megoldásában Benedek Gábor vol segíségemre. 3.. Deerminiszikus ese Az eredmények vizsgálaához egy egyszerű képeriódusos modell használam. Az alapermékül szolgáló a erpesz alkoó opciók a második periódusban élnek, a erpeszre szóló másodlagos opció az első periódusban. Az első időszak részvényalakulásá befolyásoló volailiás σ, a másodiké σ jelöli. Hipoéziseim a kövekezőek volak:. Deerminiszikus volailiás alakulás eseében az árazás során az álagvolailiás felhasználása árazási hibához veze. Alhipoézis: A ké volailiás érék felcserélése eseén az opció éréke nem lesz ugyanaz.. Az árazási hiba nem függelen a erpeszre szóló opció köési árfolyamáól. 9 A szerzők megjegyzik, hogy ulajdonképpen az EGARCH modell folyonos kierjeszéséről van szó. 6

20 Bevezeő 3. A dela, azaz a fedezei arány meghaározása során is hibá köveünk el, ha minden periódusban az érvényes volailiás felhasználása helye a periódusok álagos volailiásá használjuk fel. Alhipoézis: A ké periódus volailiásának felcserélésével kapo fedezei arány szinén nem ad azonos éréke az eredeivel. Miközben az első hipoézis eljesül, az alhipoézis nem bizonyul igaznak. Ez az jeleni, hogy az álagvolailiás felhasználása eseén az opció félreárazzuk, ráadásul sziszemaikusan úlárazzuk az. A ké periódus volailiás érékének felcserélése ATM másodlagos opció eseén nem váloza a erpeszre szóló opció érékén. Eől elérő köési árfolyam eseén azonban a ké volailiás felcserélése nem veze azonos eredményre. A második hipoézis szinén igaznak bizonyul. Az az egyszerű szabály fogalmazhajuk meg, hogy a erpeszre szóló call (CoST) éréke OTM eseben a σ, ITM eseben a σ érékéől függ erősebben. Azaz a köési árfolyam válozaásával a ké periódus volailiására való érzékenységünk is módosul. Ez uóbbi összefüggés rövid levezeéssel is igazolam. A harmadik hipoézis eseében mind a fő-, mind az alhipoézis igaznak bizonyul. 3.. Folyonos ese A folyonos modellben a erpeszre szóló call opciók melle az eladási opcióka (PoST) is vizsgálam. Ez a erméke korábban Brenner és ársai nem vizsgálák. A kövekező hipoézisek egy része ennek megfelelően a pu opciókra fog vonakozni. A folyonos eseben ehá ké modell használam fel. Hull és Whie modelljében a volailiás a részvényárfolyamhoz hasonló folyamao köve, a ké folyama eseenkén korrelál egymással. A Deemple Osakwe modellben a részvényárfolyam hagyományos Brown mozgás köve, míg a volailiás logarimusa egy álaghoz visszahúzó folyamao. A vizsgál hipoézisek a kövekezők volak:. Az induló volailiás éréke a másodlagos call opciók éréké növeli, a másodlagos puoké csökkeni. Alhipoézis: A másodlagos opció éréke a kezdő volailiásnak a HW modell melle konvex, a DO modell eseén konkáv függvénye. 7

21 Bevezeő. A másodlagos opciók éréké a köési árfolyam a vanilla opciókéhoz hasonlóan befolyásolja függelenül a vizsgál folyama jellegéől. 3. A volailiásnak, min alaperméknek a volailiása mind a erpeszre szóló call, mind a erpeszre szóló pu éréké növeli. 4. A erpeszre szóló opciók éréke erősen függ a ké folyama (részvényárfolyam és volailiás) közöi korrelációól, illeve annak erősségéől.. Alhipoézis: A HW modell eseén minél közelebb van a ké folyama közöi korrelációs együhaó a mínusz egyhez, annál kisebb a erpeszre szóló call, és annál nagyobb a erpeszre szóló pu opciók éréke.. Alhipoézis: A DO modell eseén a korreláció haása a HW modellnél apaszalakhoz hasonló, de a volailiás mean revering jellege mia a másodlagos opciók árára gyakorol haása gyengébb, min a másik modellnél vol. 5. A ké folyama közöi korreláció és a volailiás volailiásának haása összefügg, a ké ényező egyidejű növekedése a CoST éréké növeli, a PoST éréké azonban csökkeneni fogja. Alhipoézis: A volailiás volailiásának haása a HW modell eseén erősebb, a DO modell eseén gyengébb lesz. 6. A erpeszre szóló call opció a Deemple és Osakwe álal bemuaohoz hasonlóan fog viselkedni a fuamidő válozásával, azaz alacsony kezdő volailiás melle érékük növekedni, magasabb kezdő volailiás melle csökkenni fog annak függvényében. 7. A erpeszre szóló pu opció eseén hasonlóan a callokhoz, a háralévő fuamidő nagysága egyes szakaszokon növeli, másokon csökkeni a erpeszre szóló opció éréké. Az első hipoézis igaznak bizonyul, azaz mindké ípusú opció szabályosan viselkede az alapermék függvényében. Ez arra ual, hogy a volailiás helyeesíheő erpesszel, legalábbis az alapermék árának függvényében a haás hasonló. Az alhipoézis megfogalmazásához Deemple és Osakwe írása ada az alapölee. Az alhipoézis részben igaznak bizonyul. A HW modell eseén a konvexiás a ké folyama korrelálságának függvénye. Negaív korrelálság eseén a CoST a kezdő volailiás konkáv függvénye lesz. A DO modellben az eredmény nem egyérelmű, míg a puok 8

22 Bevezeő konvex függvényei lesznek a kezdő volailiásnak, a másodlagos call opciók eseén szinén a ké folyama korrelálsága haározza meg a függvény jellegé. Ennek kövekezében nem lesz minden eseben jellemző az a vanilla opciókra egyébkén jellemző ulajdonság, hogy az alapermék, jelen eseben a volailiás érékének növekedésével a fedezei arány (abszolú éréke) is növekszik. A második hipoézis is maradékalanul igaznak bizonyul, ovább erősíve az az érzés, hogy a erpeszre szóló opció hagyományos opciókén viselkedik. A harmadik hipoézisben a volailiás volailiásá vizsgálam. Ez azér lesz fonos, mer amennyiben szineikusan igyekszünk a feni másodlagos opció előállíani, a volailiás válozékonysága gyakoribb újrafedezés esz szükségessé. Az eredmény ebben az eseben sem függelen a modellől. A HW modell kereei közö a ké folyama negaív korrelálsága eseén a volailiás volailiása negaívan haha az opció érékére! A DO modell melle még érdekesebb eredményeke kapam, a erpeszre szóló pu éréke már a ké folyama korrelálságáól függelenül is negaívan viszonyul a volailiás volailiásához. A negyedik hipoézis lényegében a harmadik elemzése során megválaszoluk. Az opció éréke valóban nem függelen aól, milyen a ké folyama korrelálsága. Az első alhipoézis csak részben bizonyul igaznak. A erpeszre szóló call eseében a korrelálság növekedése az opció éréké növele, minél negaívabb vol a korreláció, a CoST éréke annál kisebb le. Ugyanakkor a PoST eseében a haás nem vol egyérelmű. A szimuláció eredményeképpen a sejésem úgy fogalmazhaó meg, hogy az ATM közeli opciók eseében a korrelációs együhaó növekedése mind a CoST, mind a PoST éréké növeli. A második alhipoézis a DO modellre vonakozo. Az apaszalam, hogy a másodlagos opciók éréke mind a CoST, mind a PoST eseében a ké folyama korrelálságának függvényében parabolaszerűen válozik. Míg azonban a erpeszre szóló callok eseében a nulla korrelációs együhaó eseén a legkisebb az árfolyam, puok eseében éppen i a legnagyobb az opció éréke. Az öödik hipoézis és a hozzá kapcsolódó alhipoézis együ kezelem. Az apaszalam, hogy a válasz a köési árfolyam függvényében válozha. A valóságo jobban leíró DO modell eseében az összefüggés egyérelműbb; mind a call, mind a pu opciók eseében az apaszalam, hogy a volailiás volailiásának növelésével a korreláció haása egyre nagyobb az opció érékére. Annak figyelmen kívül hagyása a volailiás volailiásának nagyobb érékei melle jelenősebb félreárazáshoz veze. 9

23 Bevezeő A haodik hipoézis nem bizonyul igaznak, míg a heedik eljesül. Összefoglalóan a ké hipoézisről az mondhaó el, hogy a erpeszre szóló opció a volailiásra szóló opcióhoz képes jobb ulajdonságoka muao, mivel mind a call, mind a pu éréke a vanilla opciókhoz hasonlóan viselkede. Azaz a CoST éréke a fuamidő növekedésével egyes a valóságban nem releváns eseeke leszámíva nő, a erpeszre szóló call időéréke poziív vol. Ezzel szemben a pu opciók időéréke ITM eseben negaívnak adódo, azaz a fuamidő növekedésével a másodlagos opciók éréke csökken. Az eredményeke összefoglalva az mondhaó el, hogy a erpeszre szóló opció lényegében volailiásra szóló opciókén működik. A kapo eredmények nagyvonalakban összhangban vannak Brenner és szerzőársainak eredményeivel. Azonban egyes eseekben így az alapermék, a volailiás volailiásának eseében a vanilla opciókól elérő ulajdonságoka produkál a ermék. Másrészről annak éréke egy ovábbi előre nem jelezheő ényezőől, a ké folyama korrelálságáól is erősen függ. Ez úgy inerpreálhaó, hogy bár a erpeszre szóló opció a bankok számára sok ekineben vonzóbb lehe, min egy magára a volailiásra szóló opció, nem állíhaó elő maradékalanul szineikusan. Deemple és Osakwe eredményeivel összeveve az apaszalam, hogy a erpeszre szóló opció a volailiásra szóló opciónál öbb klasszikus opciós ulajdonságo muao. Azaz a erpeszre szóló opciónak a korábban elemze nehézségei melle a Brenner és ársai álal bemuaoakon úl egyéb poziív ulajdonságai is lehenek. 0

24 I. fejeze Opcióárazás szochaszikus volailiás melle I.. Bevezeés Gyakorlailag a Black Scholes modell megjelenésével egy időben megjelenek a modell kriikái is. A modellel szemben egyik legöbbe hangozao kriika az időben állandó volailiás feléelezése vol. Abban ugyanis hamar konszenzus alakul ki a piaco ismerők közö, hogy a volailiás nem állandó. Abban a kérdésben azonban, hogy a volailiás miképpen válozik az időben, már koránsem vol ilyen egységes az álláspon. További gondo jelene, hogy a volailiás válozásának feléelezése a modell, ső az egész dinamikus dela fedeze alkalmazhaóságával szemben kérdéseke vee fel. Amennyiben ugyanis a volailiás alakulásá egy bonyolul folyamaal igyekszünk leírni, a Black Scholes differenciálegyenlee is módosíani kell, ráadásul semmi sem bizosíja, hogy ovábbra is léezni fog zár képle az opció érékének meghaározására. Ráadásul, ha a volailiás egy, a részvény álal kövee folyamao meghaározóól függelen kockázai ényező alakíja, a dinamikus dela fedezeel is gondok lehenek. Ilyenkor ugyanis az újabb kockázao egy újabb ermékkel kell fedezni. Erre elvileg ké megoldás léezhe. Az egyik eseben felesszük, hogy léezik egy volailiásra szóló ermék, azaz a volailiás maga is kereskede. Ezzel a kérdéssel a dolgoza egy későbbi része foglalkozik. I mos csak annyi jegyeznék meg, hogy ez a feléel a mai napig nem eljesül maradékalanul a piacon. A másik leheséges dolog, hogy a volailiásból származó kockázao egy másik opció felhasználásával fedezzük. Ehhez azonban szükség van egy másik, már beárazo opcióra. A kérdés ekkor az, hogy annak az éréké hogyan haározzuk meg. A kör i bezárul. A ovábbiakban bemuaom, hogy a szakirodalomban milyen megoldások szüleek ennek a problémának a kezelésére, és megnézem, ezek mennyire használhaóak a gyakorlaban. Ennek során igyekszem minél eljesebb képe adni. Ezér a fejezeben sorra veszem a legfonosabb, legöbbe idéze és legeredeibb eredményeke aralmazó cikkeke azon a szempon szerin elemezve őke, hogy milyen, a volailiás álal kövee folyamao használak fel és milyen eredményre juoak.

25 I. fejeze Opcióárazás szochaszikus volailiás melle I.. Deerminiszikus volailiás Talán az egyik legegyszerűbb megoldás az, ha a volailiásról felesszük, hogy válozása csak az idő függvénye. Ez gyakorlailag az jeleni, hogy a volailiás alakulása előre ismer, de időben nem állandó. Mivel ezzel a felevéssel új kockázai elem nem kerül a rendszerbe, a dinamikus dela fedeze ovábbra is folyahaó. Ennek megfelelően a Black Scholes differenciálegyenle sem válozik, a zár képle is használhaó. A kérdés az, milyen volailiás használjunk az opció árazása során. Amennyiben mi az opció megvesszük, majd folyonosan dela fedezés hajunk végre, long gamma pozícióban vagyunk. Ezér ha a részvényárfolyam volailiása nagyobb, min az árban benne foglal vol, nyerünk a pozíción. Ekkor egyelen árfolyam lépés eredményekén elér eredményünk a kövekező lesz: P & L = ΓS [ σ ] σ (.) impl Az opció fuamideje ermészeesen nem egyelen lépésből áll. Ennek megfelelően a fedezéssel elérheő összes nyereség, illeve veszeség a kövekező: [ σ ] P & Leljes = ΓS σ impl (.) Az opció ermészeesen akkor van jól árazva, ha a dela fedezeel sem nyerni, sem veszíeni nem lehe. Ebből az kövekezik, hogy az opció árában benne foglal varianciának az egyes periódusok varianciája álagának kell lennie, azaz: σ T = σ = σ T (3.) impl álag Ahogy a lépések hosszá egyre kisebbnek vesszük, az összeadás helyé ermészeesen az inegrál válja fel. A feni eredménnyel kapcsolaban azonban öbb megjegyzés is kell ennünk. Az álag, min a volailiás helyes méréke csak akkor szerepelhe, ha a. egyenleben a Γ S kifejezés éréke állandó. Ez pedig ermészeesen nem igaz. Ebben az eseben várhaó érékben jó megoldás fog adni az álag, azonban a valóságban mindig csak egy realizáció valósul meg. Így lehenek jó és rossz pályák. Ez persze az jelenhei, hogy az egyének kockázahoz való viszonya beépül az árakba, ami pedig nyilvánvalóan ellenées a feléelezésekkel. A kriikai megjegyzéseke részleesebben lásd Rebonao [999].

26 I. fejeze Opcióárazás szochaszikus volailiás melle Ennek megoldása periódushossz rövidíése lehe. Azaz ha a részvényárfolyam nem csupán néhány alkalommal válozik, akkor a fedezee is gyakrabban kell kiigazíani. Ahogy a periódushosszal arunk a nullához, úgy az álag felhasználása egyre kisebb hibához veze. Összefoglalóan ehá annyi mondhaunk, hogy a Black Scholes modell felevései melle, mikor is felesszük a folyonos kereskedés és dela fedezee, az álag a megfelelő érék lesz. Abban az eseben azonban, ha a fedezee rikábban hajjuk végre, a pozíció nyereséges és veszeséges is lehe. Rebonao egy ovábbi kérdés is vizsgál (Rebonao [999] oldal.). A fedezéshez vajon az opció eljes fuamideje ala érvényes álag varianciá kell alkalmazni, vagy csupán a háralévő fuamidőre érvényes érékek álagá. Azaz T σ álagt = σ u du (4.) 0 T σ álagt = σ u du (5.) egyenleek közül melyik használhaó jobban. Rebonao a konvergencia szemponjából kerese a válasz, azaz a periódushossz csökkenésével melyik megoldás közelí hamarabb az elmélei érékhez. Az alála, hogy amennyiben az alapermék (részvény) áralakulásá leíró folyama várhaó növekedése (drif) függelen annak jelenlegi érékéől, a eljes időszakra számío álag jobb, azaz a 4. egyenle álal ado megoldás hamarabb konvergál az elmélei érékhez. Rebonao megvizsgála a kérdés arra az esere is, mikor az alapermék árfolyama az álaghoz visszahúzó, ún. mean revering folyamao köve. Ebben az eseben viszon az alála, hogy a dinamikus fedeze az 5. egyenle alapján számío volailiás felhasználásával sikeresebb vol. Ebben az eseben ugyanis az alapermék növekedési üeme és a jelenlegi éréke nem függelen egymásól. Ez különösen a kama derivaívok eseén lehe fonos megállapíás. Az álag, min megfelelő mérőszám felhasználásának ovábbi kérdései Crouhy és Galai elemezék (Crouhy Galai [995]). Mondandójuka egy egyszerű binomiális modellben muaák be. Az opció kiíró, majd az ebből eredő kockázauka fedező bankok ugyanis nem minden pillanaban, hanem csupán diszkré időközönkén, álalában napona fedezik újra pozíciójuka. Dolgozauk középponjában ennek megfelelően annak vizsgálaa áll, hogy a fedezei arány kiszámíásánál vajon a kövekező fedezésig háralévő időszak, ha eszik periódus volailiásá használják-e fel, vagy inkább az opció eljes fuamideje ala érvényes volailiások álagának használaa a célszerű. 3

27 I. fejeze Opcióárazás szochaszikus volailiás melle A kérdés ehá ulajdonképpen visszaérés a Rebonao álal is vizsgálakhoz. O egyszerűen azzal inézük el, hogy a lépésköz rövidíése a problémá megoldja. I viszon az a gyakorlaban is igen gyakran felmerülő kérdés iszázzuk, hogy amennyiben nem udunk folyonosan kereskedni, akkor milyen megoldással udjuk a leheséges veszesége (vagy szerencsés eseben nyeresége) minimalizálni. Crouhy és Galai egy binomiális modell vizsgálak, ahol a ké időszak volailiása elérő. Egész ponosan ké esee elemezek. Az egyikben az első periódus volailiása vol a nagyobb, a másikban a másiké. A volailiás érékek, és így az álagok is azonosak volak a ké eseben. A részvények árfolyamának leheséges érékei az. ábra aralmazza. Hasonló jelöléssel az opciók éréke is felírhaó. A ovábbiakban, hogy az egyes eseeke meg udjuk különbözeni, az alsó indexek melle egy felső indexe is használunk. Az érelemszerűen az első, a a második folyamao fogja jelölni.. ábra S 4 S 4 S S 3 S S S S S S S 3 S. ese S. ese S Nézzük a fedezei arányoka! A binomiális modellnek megfelelően a delák éréké az opció és a részvény erjedelmének hányadosakén számíhajuk. Így az egy periódus múlva emelkedés eseére érvényes dela éréke: k C C =, ahol k=, (6.) S S k 4 k 4 k 3 k 3 A mai dela éréke pedig C C k k k =, ahol k=, (7.) k k S S Forrás: Crouhy Galai [995] 4

28 I. fejeze Opcióárazás szochaszikus volailiás melle Behelyeesíve az opció és részvényárfolyamoka az egyes eseekre a kövekező deláka kapjuk: [(( + r) d )( C4 C ) + ( u ( + r) )( C3 C) ] S( u d)( u d ) [(( + r) d)( C4 C ) + ( u ( + r) )( C3 C) ] S( u d )( u d ) = (8.) + r = (9.) + r ahol u és u az első, illeve második periódus növekedési üeme az egyes eseekben, d és d hasonlóan a csökkenés méréke, r pedig az egy periódusra érvényes, i állandónak feléeleze nagyságú kockázamenes hozam. A ké ör nevezője láhaóan azonos, illeve a feni ábrán is megfigyelheő, hogy C =, illeve C =. Az egyszerűség 4 C4 C kedvéér együk fel ovábbá, hogy az opció köési árfolyama mindké folyama eseén azonos, és a második periódus ké középső éréke közé esik. Ekkor mindké eseben a ké alsó részvényárfolyam melle az opció érékelen, azaz C = C = C = C = Ez figyelembe véve az opciók leheséges érékei a második periódus végén a kövekezők lehenek: C C C 4 3 = C 4 = Su d = Sd u = Su u K K K (0.) Ha ovábbá felesszük, hogy a binomiális modell a Cox Ross Rubinsein modell, azaz σ u = e, ovábbá d / u =, akkor a kövekező érdekes megállapíás eheő. Amennyiben K/S=, azaz az opció ATM, a ké ese delája azonos, azaz mindegy, milyen sorrendben köveik a leheséges volailiás érékek egymás. 3 Ha azonban eől elér a köési árfolyam, a ké eseben a fedezei arány nem ugyanaz, így az álag alapján örénő fedeze nem csökkeni nullára pozíciónk kockázaá. Crouhy és Galai az a ovábbi érdekessége alálák, hogy a fedezei aránynak a köési árfolyamra való érzékenysége abban az eseben nagyobb, ha az első volailiás a nagyobb. A másik eseben a köési árfolyam jelenősége kisebb. Folyonos modellben, azaz állandó fedeze melle ezek a különbségek elűnnek. Mivel azonban a bankok öbbsége nem fedezi pozíciójá folyonosan, számukra a fedezei arány kiszámíásánál az álag nem elegendő. Az álag melle a kövekező időszak 3 Az ATM éréke mos úgy érelmezem, hogy S=K. Természeesen ez az elnevezés mos csak a definíció egyszerűsíése vége alkalmazam, egyébkén ATM-nek akkor nevezünk egy opció, ha S=PV(K). 5

29 I. fejeze Opcióárazás szochaszikus volailiás melle volailiásá is figyelembe kell venni, a keő kombinációja jászik szerepe. Ez különösen a rövidebb fuamidejű opciók eseén jelenős. I.3. Szemi-szochaszikus volailiás 4 Ezek a modellek annyiban különböznek az előzőekől, hogy feleszik a volailiás vélelenszerű alakulásá. Ez azonban nem jeleni egyúal egy másik vélelen válozó bevezeésé is, a volailiás éréké ugyanis a részvényárfolyam függvényének éelezik fel. Ennek megfelelően ez az esee nevezik az árfolyam szinjéől függő (level dependen) volailiás modelljének is. Ebben az eseben könnyebbsége jelen, hogy mivel új kockázai ényező nem kerül a modellbe, az az eddigiekhez hasonlóan kiküszöbölheő. Máshogyan fogalmazva a piac ovábbra is eljes lesz, a hagyományos dela fedeze ovábbra is érvényes. II.3.. A CEV (Consan Elasiciy of Variance) modell A konsans rugalmasságú variancia (CEV) modell némileg egyszerűsíi a volailiás alakulásá leíró függvény. Feleszi ugyanis, hogy a volailiás éréké befolyásoló ké ényező, azaz az idő és a részvényárfolyam haása egymásól elkülöníheőek. Azaz a CEV modellek felevése, hogy a volailiásra igaz, hogy: ( S, ) = h( S) s( ) σ (.) ahol ( S) = S β, β 0 h. Így a részvényárfolyam álal kövee folyama a kövekezőképpen módosul: β ds = µ () S d + S s()dz (.) A β=0, ½ és érékek eseén egyérelmű zár képlere visszavezeheő megoldás alálhaó. Eől elérő eseben ahogyan az Rebonao megmuaa a módosío Bessel függvény használaával adhaó meg az erre a részvényre szóló opció ára (Rebonao [999] oldal). A CEV modell használa például Cox és Ross [976]. Az alálák, hogy ekkor is a 4 A szakirodalomban az alábbiakban bemuao modellek csoporjá helyenkén korláozoan szochaszikus (resriced-sochasic) volailiás modellek csoporjának is nevezik. 6

30 I. fejeze Opcióárazás szochaszikus volailiás melle f f f 0 = rs rf + ( S σ ( S) ) (3.) S S egyenle megoldásával adhajuk meg az opció éréké. Későbbi anulmányok 5 úgy alálák, hogy Cox és Ross felevései melle a Black Scholes modell az OTM call opcióka alul, míg az ITM-eke úlárazza. II.3.. Geske opcióra szóló opciója Szinén egy, a részvényárfolyam függvényében válozó volailiásra épülő modell Geske öbbszörös opciós modellje (Geske [979]). Geske szerin, amennyiben a vállala részvényei úgy fogjuk fel, min egy-egy opció, akkor a részvényre szóló véeli jog ulajdonképpen egy öbbszörös opció. Ugyanakkor az opció alapermékének, azaz a részvénynek a volailiása sem ekinheő állandónak. Az ugyanis, öbbek közö a őkeáéel is befolyásolni fogja. Geske modelljében ehá mindennek az alapja a vállala éréké (Ω) leíró Brown mozgás, állandó volailiással: dω = µ Ω d + σ Ω dz (4.) Ω Ω Ω A részvény (S), min egy, a vállala érékére szóló véeli jog éréke: ( T ) ( k ) De r N ( ) D S = Ω N (5.) k ahol D a vállala T D időponban lejáró adósságainak éréke 6, ovábbá a k k ln = ( Ω D) + r + σ ( T ) = k σ Ω σ T Ω D Ω T D D (6.) Továbbá a részvényárfolyam volailiására igaz, hogy az a részvényárfolyam negaív függvénye: σ Ω S S Ω S = σ Ω > σ Ω (7.) Ha a részvényárfolyam nő, a vállala őkeáéele csökken, és ezálal annak kockázaa is mérséklődik. Geske modellje szerin ebben az eseben a részvény hozamának a szórása 5 Idézi Hobson Rogers [998] 6 Geske felee, hogy a vállala adósságai elemi kövény jellegűek, azaz egyelen időponban kell fizenie, akkor válik az összes arozása esedékessé, és addig kamafizeési köelezesége a vállalanak nincs. 7