A 2014/2015. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny második forduló FIZIKA II. KATEGÓRIA. Javítási-értékelési útmutató

Átírás

1 Oktatási Hivatal A 14/15. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny második forduló FIZIKA II. KATEGÓRIA Javítási-értékelési útmutató 1.) A fényképen látható vízszintes, szögletes U-alakú vályúban két 5 cm átmérőjű biliárdgolyó tisztán gördül egymás felé egyforma, 3 m/s sebességgel. A golyók ütközése tökéletesen rugalmas, amit úgy kell érteni, hogy a pillanatszerű ütközéskor a golyók sebességet cserélnek, azonban az ütközés során nem változik meg a golyók szögsebessége. a) Mekkora legyen a vályú szélessége, hogy a golyók másodszor is ütközzenek? b) Mekkora sebességgel ütköznek a golyók másodszor, ha a vályú szélessége 4 cm? A jobb oldali ábra az elrendezés elölnézeti metszetét mutatja: Megoldás: a) A vályú szélessége legyen l, a golyók sugara R =,5 cm. A tiszta gördülés feltétele: Akkor következik be második ütközés, ha az első ütközés után a súrlódás miatt a golyók sebességváltozása v -nál nagyobb lesz. Határesetben vizsgáljuk azt az esetet, amikor a sebességváltozás éppen v. A hátrafelé mozgó golyót az előre mutató súrlódási erő fékezi, és ugyanakkor csökkenti is a szögsebességét. Két egyenletet írhatunk fel: A két egyenlet összevonásából ezt kapjuk: illetve az egyszerűsítések után: amiből A vályúnak tehát l 3,9 cm-nél szélesebbnek kell lennie ahhoz, hogy a második ütközés is létrejöjjön. OKTV 14/15. forduló

2 b) A kérdéses sebességet jelöljük -vel, a vályú megadott szélessége legyen, a golyók kezdeti megadott sebessége = 3 m/s. Elegendő egyetlen golyót vizsgálnunk, mert szimmetrikus a mozgás. Az első ütközést követően a tiszta gördülés létrejöttéig a teljes sebességváltozás, így a súrlódási erőlökés: A szögsebesség eközben -ról értékűre változik, de nem vált előjelet! A súrlódási erő forgatónyomatékának időbeli hatása változtatja meg a golyó perdületét: ahol Ha a két fenti egyenletet elosztjuk egymással, akkor a következő összefüggésre jutunk:. amiből a golyók második ütközési sebessége: Megjegyzések: 1. A fenti megoldás is mutatja, hogy a csúszási súrlódás értéke nem befolyásolja az eredményt. Még jobban látszik ez, ha a feladatot perdület-megmaradással oldjuk meg. A vályú fedősíkjának középvonalában lévő bármely pontra nézve a golyó első ütközést követő perdülete nem változik, mert a kétoldali súrlódási erők, illetve nyomóerők forgatónyomaték összege ezekre a pontokra nulla. A perdület pályaperdületből és sajátperdületből tevődik össze, melyek az első ütközés után ellentétes előjelűek. Ha a teljes perdület az első ütközés után nulla, akkor a golyók a csúszás végén megállnak. Ez a visszafordulás határesete: amiből adódik az a) részre adott megoldással összhangban. A b) részt is megoldhatjuk ugyanígy; ilyenkor a fenti különbség pozitív: amiből a fentiekkel megegyező eredményt kapjuk:. Általánosságban megmutatható, hogy a második ütközés ugyanolyan vályúméretek esetén valósul meg akkor is, ha a két golyó nem azonos sebességgel ütközik. Ütközhetnek ellentétes, de akár egyirányú sebességgel is, vagy az egyik golyó állhat az ütközés előtt, ha az akkor bekövetkezik a második ütközés is. feltétel teljesül, 3. Elvileg végtelen sok ütközés jön létre, azonban a valóságban már a második ütközés is olyan kis sebességgel történik, hogy az eddigiekben elhanyagolt veszteségek (közegellenállás, gördülési ellenállás, nem tökéletesen rugalmas ütközés) miatt csak a második ütközés megfigyelése látványos. Lassított felvételen látszik több ütközés is. OKTV 14/15. forduló

3 .) Hőszigetelő hengerben egy M = kg tömegű, könnyen mozgó dugattyú V = 1 l, T = 3 K hőmérsékletű, p = 1 5 Pa nyomású levegőt zár el. Mind a dugattyú, mind a hőszigetelő henger erős fonállal a mennyezetre van felfüggesztve úgy, hogy a henger alja a talajtól h = 1,5 m-re van. A henger keresztmetszete A = 1 dm területű. Egy adott pillanatban a felfüggesztő fonál elszakad. Maximálisan mekkora lesz ennek következtében a bezárt levegő hőmérséklete? (A talajjal való ütközés abszolút rugalmatlan.) Megoldás: A talajjal való ütközéséig szabadon esik a rendszer, a dugattyú nem mozdul el a hengerhez viszonyítva, a bezárt levegő térfogata nem változik. Az ütközés után a dugattyú az eddig megszerzett sebességével addig süllyed a hengerben, amíg mozgási energiája el nem fogy. A hőszigetelő hengerben adiabatikus állapotváltozás megy végbe. Az erre felírható munkatétel bal oldalán a külső levegő munkája, a nehézségi erő munkája és az összenyomott gáz munkája (ami a belsőenergia megváltozásának mínusz egyszerese) szerepel, jobb oldalán a dugattyú mozgási energiájának megváltozása. Mg f 1 p V V V V pv pv M v. A A folyamat elején a dugattyú mozgási energiája: 1 M v Mgh. Átrendezett egyenletünk: Mg f Mgh p V V V V pv pv. (1) A Két ismeretlenünk van. A megoldáshoz szükséges másik egyenletet az adiabatikus állapotváltozásra felírható összefüggés adja, amiből a nyomást kifejezhetjük: V pv pv p p pv V. () V ()-t (1)-be írva: Mg f 1 Mgh p V V V V pv V pv. A Rendezve: f Mg Mg f 1 Mgh pv 1 V p V pv V. A A Levegőre f = 5, = (f + )/f = 1,4. Innen a numerikus értékek behelyettesítésével elvégezve a műveleteket (mértékegységek nélkül) a következő egyenletet kapjuk:, V 511, 44V A bal oldali kifejezést f 1 (V)-vel jelölve néhány próbálgatással közelítve kapjuk a minimális térfogatot. Kezdve az eredeti térfogat felével: f 1 (V) , , , , , , , ,1 18,74 9,913 8,174 4,717 3,857 +,59 A feladatnak igen jó közelítéssel megfelel a V = 5,6 literes végső térfogat. () alapján az ehhez tartozó (maximális) nyomás: 5 5 p pv V,91151 Pa,9 1 Pa. OKTV 14/15 3. forduló

4 Az összenyomott levegő maximális hőmérséklete a gáztörvényből: pv pv pv T T 47 K. T T p V Megjegyzés: Az (1) egyenletet elosztva p V -lal, és abban felhasználva a () egyenletet, átírható a f V Mg V V V V p V A V V 1 h 1 1 alakba. A jobb oldal a dimenziótlan V x V változó függvénye. A számértékeket behelyettesítve a megoldandó dimenziótlan egyenlet: f Mg V f x x 1 h 1 x 1 x. pv A x tartományba kell esnie, mivel x = : zéró térfogatúra nyomódott A keresett gyöknek az,1 össze a gáz, x = 1: semennyire sem nyomódott össze a gáz. A felírt alakból látszik, hogy Mgh lim f x, lim f x, x x1 pv azaz f (x) az intervallum két szélén ellentétes előjelű, így lesz gyök a [,1] intervallum belsejében. A numerikus értékeket beírva (g = 1 m/s -et véve) a megoldandó egyenlet most,5 f x 3, 95 1.x.,4 x A számközfelező módszerrel vagy egyéb módon megoldva az egyenletet a gyök: x =, Így V V x 5, 6757 l 5,6 l. Az adiabatikus változásra érvényes TV T V egyenletből 1 1 T T x Egyezésben a fentiekkel, a végső nyomás pedig 1 46, 79 K 47 K. p p x 5 5, Pa,9 1 Pa. OKTV 14/15 4. forduló

5 3.) Függőleges helyzetű, henger alakú mágnesrúd inhomogén mágneses mezőt hoz létre. A mágneses indukció nagysága a mágnesrúd alatt a tengelyen a rúd végétől mért h távolsággal lineárisan változik: B h B (1 a h ), ahol B és a konstansok. A mágnesrúd szimmetriatengelyén, a rúd alatt bizonyos távolságban elhelyezünk egy kicsiny, vékony, vezető anyagból készült gyűrűt, amelyben I erősségű áram folyik. A gyűrű síkja merőleges a mágnesrúd tengelyére, átmérője d, tömege m. Mekkora lehet a gyűrűben folyó áram erőssége, hogy a gyűrű függőleges gyorsulása közelítőleg nulla legyen, azaz lebegjen? 1. megoldás: Az indukció csökkenése az indukcióvonalak ritkulását jelenti, vagyis azok kifelé görbülnek. Az inhomogén mezőtől származó erőnek van egy radiális komponense (a függőleges irányú B miatt), amely feszíti a gyűrűt, de lesz egy függőleges erő is, ami a B vízszintes komponense miatt lép föl. Ez a függőleges irányú Lorentz-erő tart egyensúlyt a nehézségi erővel és okozza a gyűrű lebegését. A mágneses indukcióvektor B v vízszintes komponensét a mágneses tér forrásmentességének segítségével lehet megadni. Eszerint a mágneses indukció fluxusa zárt felületre nulla (azaz nincs mágneses töltés). Írjuk föl a fluxust h távolságra a mágnesrúd alatt egy d átmérőjű, h magasságú lapos kicsiny hengerre, amelynek szimmetriatengelye egybeesik a mágnes és gyűrű szimmetriatengelyével, és h << d. A fluxus a fedőlapra: d d 1 = B(h) = B (1 ah), 4 4 mivel az erővonalak a henger belseje felé haladnak. A fluxus az alaplapra d d = B(h + h) = B (1 ah ah). 4 4 A paláston átmenő fluxus p = B v d h Vegyük figyelembe, hogy a teljes fluxus nulla, azaz p =, amiből a d B v = B. 4 A köráramra ható függőleges irányú mágneses erő nagysága F = B v I d A lebegés feltétele, hogy F = mg, amiből 4mg mg I = =, B ad B aa ahol A= d 4 a gyűrű területe.. megoldás Az indukció csökkenése az indukcióvonalak ritkulását jelenti, vagyis azok kifele görbülnek. Az inhomogén mezőtől származó erőnek van egy radiális komponense (a függőleges irányú B miatt), amely feszíti a gyűrűt, de lesz egy függőleges erő is, ami a B vízszintes komponense miatt lép föl. Ez a függőleges irányú Lorentz-erő tart egyensúlyt a nehézségi erővel és okozza a gyűrű lebegését. OKTV 14/15 5. forduló

6 A B vonalak kicsit hajlanak kifelé, így a tengellyel bezárt szög kicsiny. A mágneses indukcióvektor vízszintes összetevője B v = B sin. Meg kell határozni az szöget. Tekintsünk h távolságra egy kicsiny r sugarú körfelületet, amely merőleges a tengelyre, középpontja a tengelyen van, és amelyen bizonyos meghatározott számú erővonal halad át. Mivel az erővonalak kifelé görbülnek, ugyanennyi erővonal h+h távolságban egy r+r sugarú körön halad át, azaz az r sugarú körön és az r+r sugarú körön áthaladó fluxus ugyanakkora: r h B(h)r = B(h+h)(r+r). Beírva a mágneses indukció távolságfüggését kapjuk, hogy (1 ah)r = (1 ah ah)[r +rr+(r) ] Hanyagoljuk el a másodrendűen kicsiny tagokat: (r), hr, így kapjuk, hogy r ar =. h (1 ah) Az ábra szerint ez éppen tg. A mágneses indukció vektor vízszintes komponense a r B v = B sin B tg = B. A köráramra ható függőleges irányú mágneses erő nagysága A lebegés feltétele, hogy F = mg, amiből ahol A = r a gyűrű területe. F = B v I r I = mg, B aa r+r 3. megoldás (nem középiskolai): Inhomogén mágneses mezőben egy µ mágneses momentumra ható erő F = grad (µ B). Egy köráram mágneses momentumának nagysága µ = I A, és iránya merőleges a köráram síkjára, azaz a feladat szerint a rúd tengelyével párhuzamos. A tengelyen a mágneses momentum és B iránya párhuzamos. Az erő függőleges, mert a gradiensnek csak a tengely irányú komponense nem nulla: db F = µ =IAB a dh (előjelekkel nem foglalkozva). Ez az erő tart egyensúlyt az mg nehézségi erővel, így I = mg. B aa OKTV 14/15 6. forduló

7 Értékelési útmutató 1. feladat A vályú szélességének meghatározása A második ütközés sebességének meghatározása 1 pont 8 pont Összesen: pont. feladat Annak észrevétele, hogy a folyamat első fázisában súlytalanság állapotban van a rendszer pont A munkatétel helyes felírása 5 pont Az adiabatikus állapotegyenlet helyes alkalmazása 5 pont A transzcendens egyenlet helyes felírása 4 pont A numerikus megoldás 4 pont Összesen: pont 3. feladat Annak fölismerése, hogy a függőleges irányú erő, amely a gyűrű lebegését okozza, B vízszintes komponensétől származik A mágneses indukció vízszintes komponensének meghatározása A függőleges irányú Lorentz-erő meghatározása Az áram meghatározása 5 pont 1 pont 3 pont pont Összesen: pont A megoldásban vázoltaktól eltérő számításokra, amelyek elvileg helyesek és helyes végeredményre vezetnek az alkérdésekre adható teljes pontszám jár. OKTV 14/15 7. forduló