Kúp és kúp metsződő tengelyekkel

Átírás

1 Kúp és kúp metsződő tengelyekkel Előző dolgozatainkban [ ED ], [ ED ], [ ED 3 ], [ED 4 ] már láttuk, hogyan lehet meghatározni a két legegyszerűbb forgástest a henger és a kúp áthatási görbéinek egyenleteit. Az ottani számítások nehézségi foka egyre nőtt, ám meglepő módon nem igazán léptünk ki a középiskolai matematikai tananyag keretei közül. A kúp - kúp áthatási görbék egyenleteinek levezetéséről is elmondhatjuk ugyanezt, azzal a kiegészítéssel, hogy itt már nem elég a kezdő rutinja: kicsit nehezebb a tájékozódás a sok egyenlet között. Mindazonáltal érdemes a nehézségeket legyőzni és áttekinteni e feladat - család főbb számítási sajátosságait. Itt is támaszkodunk a korábbiakban már részletesen elmagyarázott anyagrészekre, azokat csak a legszükségesebb mértékben ismételve. Ugyanis az az Olvasó, aki azokon már átrágta magát, érteni fogja a megoldás ötletét és főbb fogásait, minden további magyarázat nélkül is. Mint korábban, most is az egyszerűbb esettel készülünk fel az általános kúp - kúp áthatási feladat megoldására. Lássunk hozzá! Az alaphelyzet az. ábra szerinti.. ábra

2 A feladat Adott: k, k, a ; β, κ, κ. Keresett: az áthatási görbe / görbék paraméteres egyenletrendszere. A megoldás Jelölések: k : az kúp K csúcsa és a tengelyek A metszéspontja közötti távolság; k : a kúp K csúcsa és a tengelyek A metszéspontja közötti távolság; a: elhelyezési paraméter; β: a kúpok tengelyei által közbezárt szög; κ : az kúp fél nyílásszöge; κ : a kúp fél nyílásszöge. Az alkalmazott koordináta - rendszereket a. ábra mutatja.. ábra

3 3 Az áthatási görbepontoknak az a jellemzője, hogy rajta vannak mindkét kúpfelületen. Az kúp pontjainak leírása a ( K x y z ) koordináta - rendszerben az alábbi. v x e y e z e ; ( ) P x y z itt: x z cos ; y z ; z z. A kúp pontjainak leírása a ( K x y z ) koordináta - rendszerben az alábbi. v x e y e z e ; ( 3 ) P x y z itt: x z cos ; y z ; z z. Az és kúpok ( közös ) pontjait ugyanabban az ( O X Y Z ) koordináta - rendszerben adjuk meg ld. a 3. ábrát is! : ( ) ( 4 ) α = 90 β 3. ábra () V V v, ( 5 ) P K P () V V v. ( 6 ) P K P

4 4 A kúpcsúcsok helyvektorai: VK XK i YK j Z K k ; ( 7 ) VK XK i YK j Z K k, ( 8 ) ahol az ábrák szerint: XK 0; YK 0; ZK a k ; ( 7 / ) XK k cos ; YK 0; ZK a k. ( 8 / ) Minthogy az ( 5 ) és ( 6 ) szerinti mennyiségeket ugyanabban az ( O X Y Z ) koordináta - rendszerben kívánjuk megadni, ezért még el kell végeznünk az egységvektorok transzformációját is ld. a. ábrát is! : e ; x j e y i; ( 9 ) e z k ; e ; x j e cos ; y i k ( 0 ) ez cosi k. Most a fenti leírásnak megfelelően eljárva: XK YK ZK x y z () V V v i j k e e e P K P x y z tehát 0i 0 j a k k x j y i z k i y j x k a k z, V y i x j a k z k. ( ) () P Hasonlóan: () V V v X i Y j Z k x e y e z e K K K P K P x y z k cos 0 a k i j k x y cos z cos j i k i k i k cos y z cos j x k a k y co s z, tehát V k cos y z cos i x j a k y cos z k. () P ( )

5 5 Minthogy a P áthatási pontra fennáll, hogy () () V V, ( 3 ) P P ezért ( ), ( ), ( 3 ) szerint: y i x j a k z k k cos y z cos i x j a k y cos z k. ( 4 ) A megfelelő egységvektorok együtthatóinak egyenlőségéből: y k cos y z cos ; x x ; ( 5 ) a k z a k y cos z. Rendezéssel ( 5 ) - ből: y k cos y z cos ; x x ; k z k y cos z. Most ( ), ( 4 ) és ( 6 ) - tal: z k cos z cosz ; z cos z cos ; k z k cosz z. ( 6 ) ( 7 ) Rendezve ( 7 ) - et: z cos z k cos ; ( I.) z cos z k k ; ( II.) z cos z cos. ( III.) Előttünk áll a feladat alapvető egyenletrendszere, melynek megoldásával a 4 darab jellemző paraméter z,z,, között fennálló ( I. ), ( II.), ( III. ) kapcsolatok felhasználásával darab vezérlő paraméter segítségével oldhatjuk meg a feladatot. A megoldás lépései: ~ az ( I. ) és ( II. ) egyenletek együttes megoldásával kapjuk z - et és z - t, mint a, paraméterek függvényeit; ~ z - et és z - t ( III. ) - ba helyettesítve nyerjük és összefüggését.

6 6 A hosszadalmas számítást nem mutatjuk be minden részletében; a főbb eredmények az alábbiak. A mondottak szerint eljárva kapjuk, hogy: k k kcos z (, ) ; cos cos ( 8 ) k kk cos z (, ). cos cos ( 9 ) A Bcos, ( 0 ) ahol: A a cos, B b b, k coscos ; a k k ; b k k ; b kcos. ( 0 / ) A ( 0 ) egyenlet megoldása a következőképpen történhet ld. pl.: [ ]! Először is ( 0 ) - at végigosztjuk a A B tényezővel: A B cos ; A B A B A B Mivel A B A B A B, létezik olyan φ szög, amelyre A B cos,. A B A B ( ) ( )

7 7 Most ( ) és ( ) - vel: cos cos A B ; innen az ismert azonossággal: A B ; felhasználva a u 80 u u arc ; A B 80 u 80 arc, innen A B 80 arc. A B Most ( 4 ) - ből: arc, A B majd ( 5 ) - ből: 80 arc. A B Fentiekben ( ) alapján: A B arccos arc, illetve A B A B B arc, ha A 0. A azonosságot is, kapjuk a két megoldást: ( 3 ) ( 4 ) ( 5 ) ( 6 ) ( 7 ) ( 8 ) Ezen segédszöges megoldási mód alkalmazhatóságának feltétele, hogy ( 3 ) - nak megfelelve fennálljon az alábbi korlátozás: A B. ( 9 ) Ajánljuk, hogy a ( ) egyenletből nyerhető speciális esetek vizsgálatát az Olvasó saját maga végezze el! A f kapcsolat ismeretében ( 8 ) és ( 9 ) alapján írhatjuk, hogy

8 i i i 8 z (, ) z (f, ) z ( ), i =,. ( 30 ) Az áthatási görbe / görbék paraméteres egyenletei, ( ), ( ) és ( 30 ) szerint: X X y z ( ) ( ); () P P Y Y x z ( ) cos ( ); () P P Z Z a k z ( ). () P P ( 3 ) A ( 30 ) felírással az is kiemeltük, hogy az áthatási görbe / görbék leírásánál itt a szöget tekintjük a vezérlő paraméternek / segédváltozónak. Ezzel a feladatot elvileg megoldottuk. Kiegészítések: K. A P áthatási ponthoz tartozó kúpalkotók hossza: zi l Pi v Pi, i =,. ( 3 ) cos i K. További összefüggéseket is felállíthatunk számítási mennyiségeink között. Ehhez tekintsük a 4. ábrát is! 4. ábra

9 9 A 4. ábra szerint is: t vp v P, ( 33 ) ahol t KK konst. ( 33 / ) ( 33 ) négyzetét véve: t t vp v P ; ( 34 ) kifejtve ( 34 ) - et: t P P P P. v v v v ( 35 ) Most egyenként kiszámítjuk ( 35 ) jobb oldalának tagjait. ( ) szerint: v v v x e y e z e x e y e z e P P P x y z x y z x y z, tehát v x y z. ( 36 ) P Hasonlóan: v x y z. ( 37 ) P Majd a vegyes taghoz: v v x e y e z e x e y e z e. ( 38 ) P P x y z x y z A kijelölt műveletek elvégzése után, ( 9 ) és ( 0 ) felhasználásával: v x x y y z z cosy z z y P v P. ( 39 ) Most a ( 35 ), ( 36 ), ( 37 ), ( 39 ) képletekkel: t x y z x y z x x y y z z cos y z z y. ( 40 ) Ezután ( ) és ( 36 ) - tal: x y z z cos z z z z cos z z, cos tehát z v P x y z. ( 4 ) cos Hasonlóan ( 4 ) és ( 37 ) - tel:

10 0 z v P x y z. ( 4 ) cos Most részletesen kiszámoljuk a ( 40 ) képletbeli szögletes zárójeles kifejezést, a ( ) és a ( 4 ) képletekkel is: x x z cos z cos z z cos cos ; ( 43 ) y y z z z z z z z z ; y z z y z z z z z z ; ( 44 ) ( 45 ) majd a ( 39 ), ( 43 ), ( 44 ), ( 45 ) képletekkel: v v P P z z cos cos z z cosz z cos cos zz. cos ( 46 ) Ezután ( 35 ), ( 4 ), ( 4 ), ( 46 ) - tal: v v v v t P P P P cos cos z z z z. cos cos cos A 4. ábra szerint, cos - tétellel: ( 47 )

11 t k k k k cos, illetve t k k k k. ( 48 ) Most átírjuk ( 47 ) - et, tekintettel ( 3 ) - re és ( 48 ) - ra: k k k k cos cos lp lp lplp cos cos, cos vagy k k k k cos cos lp lp lp lp cos cos. cos cos cos Minthogy a ( 35 ) - ben szereplő vegyes tagra ( 3 ) szerint is: ( 49 ) ( 50 ) v v v v cos l l cos, ( 5 ) P P P P P P ezért ( 50 ) és ( 5 ) szerint a P áthatási pontban metsződő kúpalkotók közbezárt szögére fennáll, hogy cos cos cos cos cos cos cos cos, azaz cos cos arccos cos cos. cos cos cos ( 5 ) ( 53 )

12 Az ( 50 ) képlet a cos - tétel kétszeri felírása a t távolságra. E kis kitérő után térjünk vissza az áthatási számítások mennyiségi összefüggéseire: ~ először: ( 47 ) és ( 48 ) - cal: k k k k cos cos z z z z, cos cos cos ( 54 ) ~ másodszor: ( 8 ), ( 9 ) és ( 54 ) - gyel: cos cos cos k k k cos cos cos cos k k kcos cos cos k kk cos cos cos cos cos k k k k 0. cos k kk cos A szép, ámde brutális ( 55 ) összefüggést inkább csak szemléltetésre, legfeljebb ellenőrzésre használhatjuk. ( 55 ) Számpélda Az eredmények működőképességét konkrét adatokkal bíró feladaton teszteljük. Egy olyan esetet mutatunk be, ahol az áthatási görbék alakja, helyzete eleve ismert, így a számítás és a szerkesztés eredményének egyezése egyszerűen kimutatható.

13 3 Feladat Adott az 5. ábra szerinti, metsződő tengelyű kúp - kúp áthatás. 5. ábra

14 4 Ellenőrizzük néhány jellegzetes, könnyen előállítható áthatás - pont esetén a képletek működőképességét! Megoldás: A képletek tesztelését részlegesen végezzük el: a számításos megoldás lényegét képező f függvénykapcsolat pontonkénti alkalmazását mutatjuk be részletesen; a koordináták kiszámításával most nem foglalkozunk: a részleges megoldást szerkesztéssel fejezzük be. A feladat bemenő adataiból képezzük a ( 0 ) egyenlet felállításához és megoldásához szükséges mennyiségeket! Némi számolás után kapjuk, hogy: cos A cos A B 4, , ; ( 56 ) B 6, A B 4, , ; ( 57 ) cos A B, , ( 58 ).) 0 : ( 56 ) - tal: cos A cos0 0, ; A B 4, , innen: 98, , 98, ( 57 )-tel: B 6, , ; A B 4, , innen: 8, ; 98, Ezután ( a ) és ( b ) összehasonlításából: ( a ) ( b ) 98, ( c ) ( 58 ) - cal: cos0 A B, , ,

15 5 Majd a ( 6 ) képlet szerint: arc arc 0, , A B 8, , , , tehát: 7, ,6. ( d ) Most a ( 7 ) képlet szerint: 80 arc 80 8, , , A B tehát: 0. ( e ) A ( d ) és ( e ) eredmények alapján szerkesztettük meg az 5. ábrán a P, és P, pontokat, a megfelelő kúpalkotók metszésbe hozásával. A továbbiakban már csak az eredményeket közöljük, a hosszadalmas számolásokat nem..) 90 : 90 ; 90. Az ( f ) eredmények alapján szerkesztettük meg az 5. ábrán a P, és P, pontokat, a megfelelő kúpalkotók metszésbe hozásával. 3.) 90 : 90 ; 90. A ( g ) eredmények alapján szerkesztettük meg az 5. ábrán a P 3, és P 3, pontokat, a megfelelő kúpalkotók metszésbe hozásával. 4.) 45 : 45 ; 30, , 0. A ( h ) eredmények alapján szerkesztettük meg az 5. ábrán a P 4, és P 4, pontokat, a megfelelő kúpalkotók metszésbe hozásával. ( f ) ( g ) ( h ) 5.) 45 : 56, ,3 ; 45. ( i )

16 6 Az ( i ) eredmények alapján szerkesztettük meg az 5. ábrán a P 5, és P 5, pontokat, a megfelelő kúpalkotók metszésbe hozásával. Megjegyzések: M. A számpélda megoldása során a lényeg: a f függvénykapcsolat pontonkénti alkalmazása volt; ugyanis, ha a mondott kapcsolat hibásan lett volna felállítva vagy alkalmazva, akkor a szerkesztési eredmények és a számításosak nem eshettek volna egybe, a szerkesztési pontatlanságoktól eltekintve. Most, hogy láttuk a felírt képleteket működés közben, és tapasztalati úton is beláttuk azok helyességét, szinte már csak formaság a többi, eddig nem alkalmazott képlet kipróbálása: itt főleg a ( 8 ), ( 9 ) és a ( 3 ) képletekre gondolunk. A z és z paraméterek a számpéldában kiszámolhatók, majd a rajzzal összevethetők. Itt azonban ügyelni kell: először meg kell állapítani az 5. ábra tényleges méretarányát, ami a szövegszerkesztés során alkalmazott kicyítések, ill. nagyítások során megváltozott. Ez után ajánlatos a rajzról lemérhető z - értékeket a majdan számítottakkal összevetni. M. Itt is adódhat a kérdés: K.: Minek ez a sok számítás, ha a végén úgyis rajz készül, mely egyben ellenőrzésre is szolgál? V.: A számítógépesíthetőség miatt, valamint azért, mert egy ilyen feladat megoldásával felmérhető, hogy hol az a határ, ameddig még érdemes lehet az analitikus eszközöket alkalmazni, akár a napi feladatok megoldása során is. Ebben a feladatban a gyakorlati tennivaló a ( 0 ) trigonometrikus egyenlet ismételt megoldása. Ez a fenti módon szinte gépiesen megy, nem támasztva komolyabb akadályt az érdemi munka során. M3. Szó volt róla, hogy az 5. ábra szerinti feladat egy olyan teszt - feladat, melynek előre ismerjük a megoldását. Erre az ismeretre pl. [ ] - ből tehetünk szert. Ott elmondják, hogy a számpéldabelihez hasonló, speciális bemenő adatokkal bíró feladat megoldása egy széteső áthatási görbepár: ellipszisek, melyek élből nézve egyenes szakaszokként jelennek meg az elölnézeti képen. Azt is olvashatjuk ugyanott, hogy a metsződő tengelyű kúp - kúp áthatások sokfélék lehetnek. Minthogy a tengelyek metsződésén kívül semmi egyéb geometriai kikötést nem tettünk, ezért egyenleteink elvileg mindenféle esetben működnek. A kérdés igazából az, hogy mire megyünk a számítások során kapott eredmény - pontokkal. Ezzel kapcsolatban a következőket javasoljuk a tettekre és áldozatokra kész Olvasónak: ~ kezdje a gyalogos gyakorlást ismert megoldású feladatokkal, ahol megszerezheti a szükséges rutint; ~ folytassa a gyakorlatokat nehezebb ismert, majd később már előre nem ismert megoldású feladatokkal; ~ készítsen / alkalmazzon számítógépi programot a hosszadalmas számítások elvégzésére;

17 7 ~ eközben tanulmányozza az ábrázoló geometriai tankönyveket, ill. az internetes tananyagokat! Utóbbiak közül jó szívvel ajánlható pl.: [ 3 ], [ 4 ]. f? M4. A fenti képletekkel: k coscos arc k k cos k k k cos k k k cos arc ; k k cos 80 k coscos arc k k k cos arc. k k cos ( 59 ) k kcos k k k cos Ezek az általános eset képletei, feltéve, hogy a nevező sehol sem nulla. A speciális esetek képleteinek hasonló, összevont alakját az Olvasó is felírhatja. ( 60 ) M5. Érdekességként felvetjük, hogy ~ meglepőnek is tűnhet, hogy van a feladatnak ( 59 ), ( 60 ) szerinti zárt alakú megoldása; ~ ha az egyenes alkotójú forgáskúpok esetében ennyire bonyolult az áthatási feladat számításos megoldása, akkor mi lehet a helyzet a felhasznált matematikai eszközök tekintetében a lényegesen bonyolultabb felületek áthatása esetében; ~ nem emlékszünk, hogy találkoztunk volna a magyar nyelvű, nem csak geometriai szakirodalomban a feladat fenti megoldásával; ~ különös, de a fenti típusú megoldási móddal jobbára csak a hengerek áthatási feladatáig merészkednek egynémely, az interneten található anyagok szerzői is ld.: [ 5 ]!

18 8 Előző dolgozatok: [ ED ] ~ Két körhenger általánosabban [ ED ] ~ Két körhenger még általánosabban [ ED 3 ] ~ Henger és kúp metsződő tengelyekkel [ ED 4 ] ~ Henger és kúp kitérő tengelyekkel Irodalom: [ ] Obádovics J. Gyula: Matematika 5. kiadás, Scolar Kiadó, Budapest, 998. [ ] Petrich Géza: Ábrázoló geometria. kiadás, Tankönyvkiadó, Budapest, 973. [ 3 ] oldalról Ábrázoló geometria kezdőknek [ 4 ] oldalról Ábrázoló geometria szemléletesen [ 5 ] Sződliget, 009. július 4. Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár