PRÓBAÉRETTSÉGI VIZSGA február 10.

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "PRÓBAÉRETTSÉGI VIZSGA február 10."

Átírás

1 PRÓBAÉRETTSÉGI VIZSGA 08. február 0. STUDIUM GENERALE MATEMATIKA SZEKCIÓ MATEMATIKA EMELT SZINTŰ PRÓBAÉRETTSÉGI VIZSGA Javítási útmutató 08. február 0. STUDIUM GENERALE MATEMATIKA SZEKCIÓ Matematika Írásbeli próbavizsga emelt szit javítási útmutató

2 Matematika Próbaérettségi Megoldókulcs 08. február 0. ) a) Oldja meg az alábbi egyelőtleséget a valós számok halmazá! x x 4 7 lg lg 8 b) Adja meg az alábbi kifejezés értelmezési tartomáyát a 0; itervallumo! si x cosx 4 Jelölje A az a), B a b) feladat megoldásaiak halmazát. c) Itervallumok segítségével adja meg az A\ B halmazt! x x (5 pot) (4 pot) ( pot) lg 4 a) Az egyelőtleség bal oldalát átalakíthatjuk azoos alapú hatváyokká: lg8 Az egyelőtleség jobb oldala átalakítható a következő módo: lg, ezt egyszerűsítve a lg x x következő egyelőtleséget kapjuk: A bal oldalo az azoos alapú hatváyok szorzatára voatkozó azoosságot alkalmazva: x Az expoeciális függvéy szigorú mootoitása miatt: x x ; Az egyelőtleség megoldása: b) Mivel égyzetgyök alatt csak emegatív szám állhat, ezért si x 0. (0,5 pot) Az egyelőtleség megoldása a 0; itervallumo x 0;. Egy tört evezője em lehet 0, ezért cos x 0. 4 (0,5 pot) 7 Az egyelet megoldása a 0; itervallumo x és x. 4 4 Összeegyeztetve a kikötéseket, a kifejezés értelmezési tartomáya a 0; itervallumo x 0; \. 4 B 0; \ 4. Az A\ B itervallum azokat az elemeket tartalmazza, amelyek em elemei A-ak, és icseek bee a B itervallumba sem. A\ B ;0 ( pot) c) A feladat szövege szerit A ;, Ezek alapjá Összese: pot - -

3 Matematika Próbaérettségi Megoldókulcs 08. február 0. ) Tapasztalatok alapjá aak a valószíűsége, hogy egy teljesítméytúrá egy véletleszerűe kiválasztott verseyző megtalálja a -as számú elleőrzési potot 0,65. A mostai kihíváso 5 túrázó vesz részt. a) Meyi a valószíűsége, hogy a túrá legalább résztvevő em találja meg az elleőrzési potot? Válaszát égy tizedesjegyre kerekítve adja meg! (4 pot) A -as pot egy fesíko álló kilátót jelöl, továbbá a fesíko két tűzrakóhely is található. Jelölje a tűzrakóhelyeket az A és a B pot. Az A pot és a kilátó távolsága 00 méter, a kilátó csúcspotja az A potból 45 -os, a B potból 0 -os emelkedési szögbe látszik. Az A potot a kilátó talppotjával összekötő egyees 60 -os szöget zár be az AB egyeessel. b) Milye messze va egymástól a két tűzrakóhely? (9 pot) a) Aak a valószíűsége, hogy valaki megtalálja az elleőrzési potot p 0, 65, így aak a valószíűsége, hogy valaki em találja meg q 0,5. Számoljuk ki az eseméy komplemeteréek valószíűségét, azaz, hogy legfeljebb egy ember em találja meg a hármas potot. P ,65 0,5 0, ,04 0 Így aak a valószíűsége, hogy legalább kette em találják meg az elleőrzési potot P A 0,9858 b) Ábra készítése ( pot) Az ATK háromszög derékszögű, egyik hegyesszöge 45, ezért a háromszög egyelőszárú. Így TK 00 m. A BTK háromszög szité derékszögű, felírható rá a 00 következő összefüggés: tg 0. TB Ebből TB 7, m. Az ABT háromszögbe kosziusztétel segítségével kiszámolhatjuk az AB távolságot. 7, 00 AB 00 AB cos 60 0 AB 00AB 0000 Az egyelet két gyöke: 00 és 00. A egatív gyök a feladat jellegéből adódóa em megoldás. Tehát a két tűzrakóhely távolsága 00 méter.. Összese: pot - -

4 Matematika Próbaérettségi Megoldókulcs 08. február 0. ) Egy kofereciá ők és férfiak veszek részt. Tudjuk, hogy több ő va jele, mit férfi és összese 6-a vaak a kofereciá. Érkezéskor mideki midekit üdvözöl: a ők puszit adak egymásak, a férfiak kezet fogak egymással, a őkek a férfiak kezet csókolak. a) Háy kézfogás törtét, ha kézcsókra került sor? (5 pot) Az elhagzott előadások utá a résztvevők 9 fős csoportokra oszlaak, hogy megvitassák a hallottakat. Az egyik csoportba megkérdezték, hogy a koferecia előtt ki háy embert ismert a csoporttársai közül. A válaszok a következők voltak: fő modott 5-öt, fő -t, fő -at, fő 4-et és fő -et. b) Háyféleképp választhatuk ki a csoportból főt úgy, hogy ők korábba még em ismerték egymást? ( pot) Ákos a többi csoportról a következőket állította: Va olya csoport, ahol mideki potosa 7 embert ismert korábba. Va olya csoport, ahol potosa 8 ismeretség volt korábba. c) Dötse el, hogy lehet-e igaza Ákosak! Válaszát idokolja! (4 pot) a) Jelölje a ők számát x, a férfiak számát y, ahol x y. A kofereciá összese 6-a vaak, ezért x y 6. Összese kézcsók törtét, ezért xy. Az első egyeletből kifejezve: x6 y, ezt a második egyeletbe behelyettesítve adódik a következő másodfokú egyelet: 0 y 6y. Így a gyökök: y 9, x 7 valamit y 7, x 9. Az első gyökpár em megoldása a feladatak, mivel tudjuk, hogy a ők voltak többe a kofereciá. 7 6 A résztvevők között 7 férfi volt, így a kézfogások száma 6. b) Ebbe a csoportba az ismertségek száma 5 4 Egy 9 fős társaságba összese 98 6 ismertség állhat fe. A fetiek alapjá ebbe a csoportba 6 olya páros va, akik em ismerik egymást, tehát féleképpe választhatuk ki két embert úgy, hogy ők korábba még em ismerték egymást. c) Az első esetbe az ismertségeket ábrázolhatjuk egy olya gráfo, ahol mide pot fokszáma 7. Ekkor a gráfba a fokszámok összege 6. Mivel egy gráfba a fokszámok összege midig páros, ezért ebbe az esetbe Ákosak em lehet igaza. A második esetbe tudjuk, hogy egy 9 fős társaságba összese 6 ismertség állhat fe. Ezért Ákosak em lehet igaza. Összese: pot - 4 -

5 Matematika Próbaérettségi Megoldókulcs 08. február 0. 4) Az f x ax bx cx d függvéyről az alábbiakat tudjuk: A függvéy egyetle zérushelye x. A függvéy két szélsőértéke az x és x helyeke va. A függvéy értéke az x helye 8. a) Adja meg az f x függvéy a, b, c, d paramétereit! (9 pot) Adott a g x x,5x 6x függvéy. b) Határozza meg a g x függvéy kovexitását, valamit iflexiós potját! (5 pot) a) A függvéy egyetle zérushelye x, ebből felírhatjuk a következő egyeletet: a b c d 0 I. Abba a potba, ahol egy függvéyek szélsőértéke va, ott az első derivált értéke ulla. f ' x ax bx c 0 A fetiek alapjá a b c 0 II., valamit III. a b c A függvéy értéke az 8a 4b c d 8 IV. A III. egyeletből a II. -t kivova adódik, hogy b6a Ezt a II. egyeletbe visszahelyettesítve 9a c 0 c 9a A fetiek alapjá az A x helye 8, tehát I. egyelet 6a d 0 d 6a IV. egyeletet felírhatjuk a következő módo: 8a 8 a Visszahelyettesítve megkapjuk a többi paraméter értékét is: b 6, c 9, d 6. A függvéy: f x x 6x 9x 6. b) Egy függvéyek ott lehet iflexiós potja, ahol második deriváltjáak értéke ulla. g ' x x x 6 g '' x 6x 0 x Foglaljuk az adatokat táblázatba: ; x ; g'' x egatív 0 pozitív g( x ) kokáv iflexiós pot kovex A második derivált értéke a ; itervallumo egatív, ezért itt a függvéy kokáv, az ; itervallumo pozitív, ezért itt a függvéy kovex. Mivel az x potba a második derivált értéke 0, és a függvéy görbületet vált, ezért az x a függvéy iflexiós potja. Összese: 4 pot Maximális elérhető potszám: 5 pot

6 Matematika Próbaérettségi Megoldókulcs 08. február 0. 5) Egy kisvárosi lottójátéko db külöböző yerőszámot sorsoltak ki. A számok egy olya mértai sorozatot alkotak, melyek első eleme, az elemek összege 9, a yerőszámok reciprokaiak összege pedig 48. a) Adja meg a lottó kisorsolt yerőszámokat! (0 pot) Tamás megyerte a főyereméyt, Ft-ot. A yertes ezt az összeget éve keresztül akarja kamatoztati. Két kedvező ajálatot kapott. A Fityig Bak a áluk elhelyezett összeg eseté millió foritig 0,5%, az millió feletti összegre 0,6% kamatot fizet havota. A Peták Bak kéthavi lekötést ajál kéthavi,4%-os kamatra. b) Melyik ajálatot válassza Tamás, ha célja, hogy év múlva miél agyobb összeggel támogathassa a családját? (6 pot) a) Jelölje a mértai sorozat háyadosát q. Ekkor a sorozat első eleméek összege S q 9 I. q A yerőszámok reciprokai egy olya mértai sorozatot alkotak, melyek első eleme, háyadosa q. q 48 q Ebbe a sorozatba az első elem összege S ' II. Az A I. egyeletből kifejezhetjük, hogy q q 0 II. egyeletbe visszahelyettesítve és átalakítva a következő másodfokú egyeletet kapjuk: q q 0 ( pot) Az egyelet gyökei q és q. Mivel a lottó kihúzott számok em lehetek egyformák, ezért q em megoldás. A fetiek alapjá q 5 Az ismert adatok alapjá meghatározhatóak a yerőszámok, melyek:, 6,, 4 és 48. b) A Fityig Bakál egy év alatt összese kamatozási periódus telik le. Így egy év múlva a felvehető összeg , , ,7 Ft. ( pot) A Peták Bakál egy év alatt 6 lekötési periódus telik le. 6 Így egy év múlva a felvehető összeg: ,04 44,99 Ft. Tamásak a Peták Bakot kell választaia. Összese: 6 pot - 6 -

7 Matematika Próbaérettségi Megoldókulcs 08. február 0. 6) Va kilec számkártyák:,,, 4, 5, 6, 7, 8, 9. A kártyákat égy csoportba rakjuk úgy, hogy egyikbe se legye együtt egy szám és egy ála agyobb többszöröse. a) Adjo meg egy lehetséges csoportosítást! ( pot) A számkártyák midegyikéek felhaszálásával kilecjegyű számokat képzük. b) Háy esetbe fordulhat elő, hogy az,, számok egymáshoz képest (em szükségképpe egymás mellett) övekvő sorredbe helyezkedek el? (4 pot) A számkártyák közé beteszük még db hármast. Ezutá az összes lehetséges módo 9 jegyű számokat képzük, majd ezek közül tetszőlegese kiválasztuk egyet. Aak a valószíűsége, hogy a kiválasztott szám osztható 4-gyel. c) Háy darab hármast tettük be a számkártyák közé? (9 pot) a) Az -es számmal semmilye más kártya em kerülhet egy csoportba. A, 4, 8 számkártyákak külö csoportokba kell szerepeliük, a 6-os kártya em szerepelhet együtt sem a kettessel, sem a hármassal, valamit a és a 9 sem lehet együtt. ;,, 5 ; 4, 6, 7 ; 8, 9. Egy lehetséges csoportosítás: b) 9 Először kiválasztjuk azt a három helyet, ahol az,, számkártyák szerepelek: Eek a három kártyáak adott, övekvő sorredbe kell szerepelie. A maradék helye a többi számkártyát 6! féleképpe tudjuk sorba redezi. Így összese 9 6! olya számot tuduk képezi, amelybe az,, számkártyák övekvő sorredbe helyezkedek el. c) Egy szám akkor osztható 4-gyel, ha az utolsó két számjegyéből képezhető szám is osztható 4- gyel. Esetükbe ezek a végződések:, 6, 4, 8,, 6, 48, 5. 56, 64, 68, 7, 76, 84, 9, 96. Az összes képezhető 9 jegyű szám: 9!.! A kedvező esetek vizsgálatát két esetre kell botauk. Az első, amikor a szám utolsó két 7! számjegyébe em szerepel hármas, ekkor 4 számot képezhetük.! A második esetbe az utolsó két számjegy között va hármas, ekkor képezhetük. Így a kedvező esetek száma:! 7! 4 7! A valószíűséget felírhatjuk a következő módo: kedvező 7! 4 7!! 7! 4 P összes! 9! 9 8 7! ! számot! ( pot) A kifejezést tovább alakítva a következő másodfokú egyelethez jutuk: 0 4, melyek gyökei 8 és

8 Matematika Próbaérettségi Megoldókulcs 08. február 0. A feladat jellegéből adódóa 8 em megoldás. Tehát 4 darab hármast tettük még a számkártyák közé. Összese: 6 pot 7) Egy 0 cm oldalú égyzet alapú gúla oldaléleiek hossza 0 cm. a) Milye magasa kell elmetszei a testet az alaplappal párhuzamos síkkal, hogy a két rész térfogata megegyezze? (7 pot) A metszés utá keletkezett csokagúlába olya gömböt íruk, melyek térfogata maximális. b) Mekkora a gömb térfogata? (4 pot) Klári éi égyzet alapú gúla, valamit gömb alakú gyertyákat gyárt, összese 46 darabot. A gyertyákat két, egymás alatti polco, -től -ig megszámozott helyeke tartja. Azoba egyik délutá az uokája az alsó polco összekeverte a számokat. c) Bizoyítsa be, hogyha a felső sorba álló számokból kivojuk az alattuk állókat, és a külöbségeket összeszorozzuk, akkor páros szám lesz a végeredméy! (5 pot) a) Ha a metszés utá a két rész térfogata megegyezik, akkor az A B C D E gúla térfogata fele az eredeti gúla térfogatáak. Az eredeti gúla és az A B C D E gúla hasolóak, ezért kihaszálhatjuk, hogy a térfogatok aráya egyelő a hasolósági aráy köbével. V ' A fetiek alapjá V OC cm (az alapégyzet átlójáak fele) OCE háromszögbe Pitagorasz-tételt felírva: 0 M 0 M 5 4 cm A hasolóság miatt m 5 4 4,85 cm m 5 4 4,85,86 cm, azaz,86 cm magasa kell elmetszeük a gúlát. b) A gömb térfogata akkor lesz maximális, ha ériti a csokagúla alaplapját és fedőlapját. Ekkor a gömb átmérője megegyezik a csokagúla magasságával, azaz R,86 cm. A gömb sugara: R,9 cm. 4,9 A térfogat: V pot) 0, cm. ( O - 8 -

9 Matematika Próbaérettségi Megoldókulcs 08. február 0. c) Egy szorzat akkor páros, hogyha valamelyik téyezője páros. Egy külöbség akkor páros, ha a kisebbítedő és a kivoadó is páros, vagy páratla. A polcoko páratla és páros szám található. Mivel eggyel több páratla szám va, mit páros, így a felső polco biztosa lesz olya páratla szám, amely alá szité páratla szám kerül. ( pot) A két páratla szám külöbsége páros, így a szorzatba biztosa lesz páros téyező, tehát az eredméy is páros lesz. Ezzel az állítást beláttuk. egyeletű parabola P és által határolt szakasz derékszögbe látszik. 8) Az y x Összese: 6 pot P potjaiból az A ; és ;6 B potok a) Adja meg a P és P potok koordiátáit! (9 pot) A parabola, valamit az ;5 ;5 potok által meghatározott egyees egy síkidomot határolak. b) Számítsa ki eek a síkidomak a területét! (7 pot) a) Ahhoz, hogy meghatározzuk azokat a potokat, amelyekből az AB szakasz derékszög alatt látszik, fel kell íruk a szakasz Thálesz-körét. F ;4, sugara A kör középpotja a szakasz felezőpotja: r cm. A Thálesz-kör egyelete: x y 4 4 A kör és a parabola metszéspotjaiak meghatározásához meg kell oldauk a kör és a parabola egyeletéből álló egyeletredszert. A parabola egyeletét a kör egyeletébe behelyettesítve a következő másodfokú egyeletet kapjuk: y 7y0 0. Az egyelet gyökei y és y 5. Ezutá y -et visszahelyettesítve az ; potot kapjuk eredméyül. Ez azoba a Thálesz-tétel miatt em megoldás. Majd y -t visszahelyettesítve: Tehát a potok koordiátái: P ;5, P ;5 x x x ; x ( pot) - 9 -

10 Matematika Próbaérettségi Megoldókulcs 08. február 0. b) A síkidom területét (T) úgy tudjuk kiszámoli, hogy a PP CD téglalap területéből kivojuk a parabola alatti területet t a ; itervallumo. A potok koordiátái: ;0 C, ;0 D, a szakaszok hossza: CP DP 5, CD PP A téglalap területe: TP 5 0 PCD te. A parabola alatti terület: x t x x dx x x 6 területegység. ( pot) A síkidom területe: T T t 4 te. PP CD Összese: 6 pot 9) Egy középiskolába két érettségiző osztály volt 07-be. Az A osztály létszáma volt agyobb, mégpedig a B-be végzettek p% -ával. Az A osztályba végzettek 5 -e, a B osztályba végzettek 70%-a érettségizett emelt szite matematikából, a többiek törtéelemből. A taulók között em volt olya, aki két tárgyból érettségizett emelt szite. Az összes matematikát választó diák a végzettek r% -a. a) Igazolja, hogy 000 r 60! (8 pot) 00 p Az évfolyamról 7-e érettségiztek matematikából, -e törtéelemből emelt szite. Az általuk elért érdemjegyeket mutatja az alábbi gyakorisági tábla. Matematika Törtéelem Érdemjegy Érettségiző (fő) b) A matematikából közepest szerző diákok közül legalább háyak kellett vola 4-est szerezie a többiek változatla teljesítméye mellett ahhoz, hogy a matematikaérettségi átlaga legalább,8 legye? ( pot) c) Meyi a valószíűsége aak, hogy a törtéelemből érettségizett diákok közül véletleszerűe kiválasztott diák átlaga legalább 4,? Válaszát égy tizedesjegyre kerekítve adja meg! (5 pot) - 0 -

11 Matematika Próbaérettségi Megoldókulcs 08. február 0. a) Foglaljuk össze az adatokat egy táblázatba! ( pot) A osztály Létszám (fő) p x 00 Emelt matek érettségi (fő) p x 5 00 Ezek alapjá felírhatjuk a következő egyeletet: B osztály x 0,7 x p r p x 0,7 x x x Az egyeletet egyszerűsíthetjük x-szel, majd redezés utá a következő egyeletet kapjuk: p 00r rp A jobb oldalo kiemelhetük r-t: p r 00 p p Az egyeletet redezve: r 00 p 000 Egészrészleválasztás utá kapjuk, hogy 60 r. Ezzel az állítást beláttuk. 00 p ( pot) b) Jelölje azok számát, akikek még 4-est kell szereziük x. Ekkor 6 x fő szerzett hármast, és 6 x fő égyest. 6 x 46 x 55 Felírhatjuk a következő egyelőtleséget:,8 7 Az egyelőtleség megoldása: x 5,6 Tehát legalább 6 taulóak kellett vola még égyest szerezie. c) Ahhoz, hogy az átlag legalább 4, legye vagy két ötöst, vagy egy ötöst és egy égyest szerző taulót kell kiválasztai. Két ötöst szerző taulót féleképpe választhatuk ki. 8 Egy ötöst és egy égyest szerző taulót 4 féleképpe választhatuk ki. A taulóból kettőt 0 módo tuduk kiválasztai. 4 Így a keresett valószíűség P 0,86 0 Összese: 6 pot Maximális elérhető potszám: 64 pot A próbaérettségi sorá szerezhető maximális potszám: 5 pot - -

PRÓBAÉRETTSÉGI VIZSGA

PRÓBAÉRETTSÉGI VIZSGA PRÓBAÉRETTSÉGI VIZSGA 2018. február 10. STUDIUM GENERALE MATEMATIKA SZEKCIÓ MATEMATIKA EMELT SZINTŰ PRÓBAÉRETTSÉGI VIZSGA 2018. február 10. Az írásbeli próbavizsga időtartama: 240 perc Kérjük, nyomtatott

Részletesebben

MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA)

MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) O k t a t á s i H i v a t a l A 5/6 taévi Országos Középiskolai Taulmáyi Versey első forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató A 5 olya égyjegyű szám, amelyek számjegyei

Részletesebben

10.M ALGEBRA < <

10.M ALGEBRA < < 0.M ALGEBRA GYÖKÖS KIFEJEZÉSEK. Mutassuk meg, hogy < + +... + < + + 008 009 + 009 008 5. Mutassuk meg, hogy va olya pozitív egész szám, amelyre 99 < + + +... + < 995. Igazoljuk, hogy bármely pozitív egész

Részletesebben

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198.

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198. ALGEBRA MÁSODFOKÚ POLINOMOK. Határozzuk meg az + p + q = 0 egyelet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 98.. Határozzuk meg az összes olya pozitív egész p és q számot, amelyre az

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI május 5. EMELT SZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI május 5. EMELT SZINT I. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 05. május 5. EMELT SZINT I. ) Oldja meg a valós számok halmazá az alábbi egyeleteket! a) si x cos x (6 pot) b) x x x (7 pot) a) cos x si x helyettesítése. Nullára redezve: si x si

Részletesebben

1. Írd fel hatványalakban a következõ szorzatokat!

1. Írd fel hatványalakban a következõ szorzatokat! Számok és mûveletek Hatváyozás aaaa a a darab téyezõ a a 0 0 a,ha a 0. Írd fel hatváyalakba a következõ szorzatokat! a) b),,,, c) (0,6) (0,6) d) () () () e) f) g) b b b b b b b b h) (y) (y) (y) (y) (y)

Részletesebben

NÉMETH LÁSZLÓ VÁROSI MATEMATIKA VERSENY 2013 HÓDMEZŐVÁSÁRHELY OSZTÁLY ÁPRILIS 8.

NÉMETH LÁSZLÓ VÁROSI MATEMATIKA VERSENY 2013 HÓDMEZŐVÁSÁRHELY OSZTÁLY ÁPRILIS 8. . feladat: Eg 5 fős osztálba va fiú és 4 lá. z iskolai bálo (fiú-lá) pár fog tácoli. Háféleképpe tehetik ezt meg? párok sorredje em számít, viszot az, hog ki kivel tácol, az már ige. (0 pot) Válasszuk

Részletesebben

Bizonyítások. 1) a) Értelmezzük a valós számok halmazán az f függvényt az képlettel! (A k paraméter valós számot jelöl).

Bizonyítások. 1) a) Értelmezzük a valós számok halmazán az f függvényt az képlettel! (A k paraméter valós számot jelöl). ) a) Értelmezzük a valós számok halmazá az f függvéyt az f x = x + kx + 9x képlettel! (A k paraméter valós számot jelöl) ( ) Számítsa ki, hogy k mely értéke eseté lesz x = a függvéyek lokális szélsőértékhelye

Részletesebben

I. rész. c) Az m valós paraméter értékétől függően hány megoldása van a valós számok halmazán az alábbi egyenletnek?

I. rész. c) Az m valós paraméter értékétől függően hány megoldása van a valós számok halmazán az alábbi egyenletnek? Fazakas Tüde, 05 ovember Emelt szitű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Fazakas Tüde; dátum: 05 ovember I rész feladat a) Egymillió forit összegű jelzálogkölcsöt veszük fel évre 5%-os

Részletesebben

Komplex számok. d) Re(z 4 ) = 0, Im(z 4 ) = 1 e) Re(z 5 ) = 0, Im(z 5 ) = 2 f) Re(z 6 ) = 1, Im(z 6 ) = 0

Komplex számok. d) Re(z 4 ) = 0, Im(z 4 ) = 1 e) Re(z 5 ) = 0, Im(z 5 ) = 2 f) Re(z 6 ) = 1, Im(z 6 ) = 0 Komplex számok 1 Adjuk meg az alábbi komplex számok valós, illetve képzetes részét: a + i b i c z d z i e z 5 i f z 1 A z a + bi komplex szám valós része: Rez a, képzetes része Imz b Ez alapjá a megoldások

Részletesebben

A G miatt (3tagra) Az egyenlőtlenségek két végét továbbvizsgálva, ha mindkét oldalt hatványozzuk:

A G miatt (3tagra) Az egyenlőtlenségek két végét továbbvizsgálva, ha mindkét oldalt hatványozzuk: Kocsis Júlia Egyelőtleségek 1. Feladat: Bizoytsuk be, hogy tetszőleges a, b, c pozitv valósakra a a b b c c (abc) a+b+c. Megoldás: Tekitsük a, b és c számok saját magukkal súlyozott harmoikus és mértai

Részletesebben

Minta JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ A MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI 2. FELADATSORHOZ

Minta JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ A MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI 2. FELADATSORHOZ JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ A MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI. FELADATSORHOZ Formai előírások: A dolgozatot a vizsgázó által haszált szíűtől eltérő szíű tollal kell javítai, és a taári gyakorlatak megfelelőe

Részletesebben

Hajós György Versenyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 2011

Hajós György Versenyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 2011 1 Molár-Sáska Gáboré: Hajós György Verseyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 011 1. Írja fel a számokat 1-tıl 011-ig egymás utá! Határozza meg az így kapott agy szám 0-cal való osztási maradékát!. Az { }

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szit 1011 ÉRETTSÉGI VIZSGA 013. május 7. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Formai előírások: Fotos tudivalók

Részletesebben

3. MINTAFELADATSOR EMELT SZINT JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

3. MINTAFELADATSOR EMELT SZINT JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Oktatáskutató és Fejlesztő Itézet TÁMOP-3.1.1-11/1-01-0001 XXI. századi közoktatás (fejlesztés, koordiáció) II. szakasz MATEMATIKA 3. MINTAFELADATSOR EMELT SZINT 015 JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Oktatáskutató

Részletesebben

Feladatok és megoldások a 11. heti gyakorlathoz

Feladatok és megoldások a 11. heti gyakorlathoz Feladatok és megoldások a. het gyakorlathoz dszkrét várható érték Építőkar Matematka A. Egy verseye öt ő és öt férf verseyző dul. Tegyük fel, hogy cs két azoos eredméy, és md a 0! sorred egyformá valószíű.

Részletesebben

Koordinátageometria összefoglalás. d x x y y

Koordinátageometria összefoglalás. d x x y y Koordiátageometria összefoglalás Vektorok A helyvektor hossza Két pot távolsága r x y d x x y y AB A két potot összekötő vektort megkapjuk, ha a végpot koordiátáiból kivojuk a kezdőpot koordiátáit. Vektor

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szit 1611 ÉRETTSÉGI VIZSGA 017. május 9. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fotos tudivalók Formai előírások: 1. Kérjük,

Részletesebben

Egy lehetséges tételsor megoldásokkal

Egy lehetséges tételsor megoldásokkal Egy lehetséges tételsor megoldásokkal A vizsgatétel I része a IX és X osztályos ayagot öleli fel, 6 külöböző fejezetből vett feladatból áll, összese potot ér A közzétett tétel-variások és az előző évekbe

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szit 09 ÉRETTSÉGI VIZSGA 0 május 8 MATEMATIA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉELÉSI ÚTMUTATÓ NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Fotos tudivalók Formai előírások: A dolgozatot

Részletesebben

Mőbiusz Nemzetközi Meghívásos Matematika Verseny Makó, március 26. MEGOLDÁSOK

Mőbiusz Nemzetközi Meghívásos Matematika Verseny Makó, március 26. MEGOLDÁSOK Mőbiusz Nemzetözi Meghívásos Matematia Versey Maó, 0. március 6. MEGOLDÁSOK 5 700. Egy gép 5 óra alatt = 000 alatt 000 csavart. 000 csavart észít, így = gép észít el 5 óra 000. 5 + 6 = = 5 + 5 6 5 6 6.

Részletesebben

(d) x 6 3x 2 2 = 0, (e) x + x 2 = 1 x, (f) 2x x 1 = 8, 2(x 1) a 1

(d) x 6 3x 2 2 = 0, (e) x + x 2 = 1 x, (f) 2x x 1 = 8, 2(x 1) a 1 . Bevezető. Oldja meg az alábbi egyeleteket: (a cos x + si x + cos x si x = (b π si x = x π 4 x 3π 4 cos x (c cos x + si x = si x (d x 6 3x = 0 (e x + x = x (f x + 5 + x = 8 (g x + + x + + x + x + =..

Részletesebben

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI MATEMATIKA ÚTMUTATÓ ÉRETTSÉGI VIZSGA EMELT SZINT% ÍRÁSBELI. ÉRETTSÉGI VIZSGA 2012. október 16. MINISZTÉRIUMA EMBERI ERFORRÁSOK

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI MATEMATIKA ÚTMUTATÓ ÉRETTSÉGI VIZSGA EMELT SZINT% ÍRÁSBELI. ÉRETTSÉGI VIZSGA 2012. október 16. MINISZTÉRIUMA EMBERI ERFORRÁSOK Matematika emelt szit Javítási-értékelési útmutató MATEMATIKA EMELT SZINT% ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA ÉRETTSÉGI VIZSGA 0. október. Fotos tudivalók

Részletesebben

Nevezetes sorozat-határértékek

Nevezetes sorozat-határértékek Nevezetes sorozat-határértékek. Mide pozitív racioális r szám eseté! / r 0 és! r +. Bizoyítás. Jelöljük p-vel, illetve q-val egy-egy olya pozitív egészt, melyekre p/q r, továbbá legye ε tetszőleges pozitív

Részletesebben

Matematika PRÉ megoldókulcs 2013. január 19. MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS KÖZÉPSZINT

Matematika PRÉ megoldókulcs 2013. január 19. MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS KÖZÉPSZINT Matematika PRÉ megoldókulcs 013. január 19. MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS KÖZÉPSZINT I. rész: Az alábbi 1 feladat megoldása kötelező volt! 1) Adott A( 1; 3 ) és B( ; ) 7 9 pont. Határozza meg

Részletesebben

Sorozatok október 15. Határozza meg a következ sorozatok határértékeit!

Sorozatok október 15. Határozza meg a következ sorozatok határértékeit! Sorozatok 20. október 5. Határozza meg a következ sorozatok határértékeit!. Zh feladat:vizsgálja meg mootoitás és korlátosság szerit az alábbi sorozatot! a + ha ; 2; 5 Mootoitás eldötéséhez vizsgáljuk

Részletesebben

3. Számelmélet. 1-nek pedig pontosan három. Hány pozitív osztója van az n számnak? OKTV 2012/2013; I. kategória, 1. forduló

3. Számelmélet. 1-nek pedig pontosan három. Hány pozitív osztója van az n számnak? OKTV 2012/2013; I. kategória, 1. forduló . Számelmélet I. Feladatok 1. Háy égyzetszám osztója va a 7 5 5 7 számak?. Az pozitív egész számak potosa két pozitív osztója va, az + 1-ek pedig potosa három. Háy pozitív osztója va az + 01 számak? OKTV

Részletesebben

Matematika B4 I. gyakorlat

Matematika B4 I. gyakorlat Matematika B4 I. gyakorlat 2006. február 16. 1. Egy-dimeziós adatredszerek Va valamilye adatredszer (számsorozat), amelyről szereték kiszámoli bizoyos dolgokat. Az egyes értékeket jelöljük z i -vel, a

Részletesebben

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése A határozatla esetek kiküszöbölése 9 VII A határozatla esetek kiküszöbölése 7 A l Hospital szabály A véges övekedések tétele alapjá egy függvéy értékét egy potba közelíthetjük az köryezetébe felvett valamely

Részletesebben

SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo

SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo SZÁMELMÉLET Vasile Beride, Filippo Spagolo A számelmélet a matematika egyik legrégibb ága, és az egyik legagyobb is egybe Eek a fejezetek az a célja, hogy egy elemi bevezetést yújtso az első szite lévő

Részletesebben

Statisztika 1. zárthelyi dolgozat március 21.

Statisztika 1. zárthelyi dolgozat március 21. Statisztika 1 zárthelyi dolgozat 011 március 1 1 Legye X = X 1,, X 00 függetle mita b paraméterű Poisso-eloszlásból b > 0 Legye T 1 X = X 1+X ++X 100, T 100 X = X 1+X ++X 00 00 a Milye a számra igaz, hogy

Részletesebben

N - edik gyökvonás. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)

N - edik gyökvonás. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Brósch Zoltá (Debrecei Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimáziuma) N - edik gyökvoás DEFINÍCIÓ: (Négyzetgyökvoás) Egy em egatív x valós szám égyzetgyöké azt a em egatív valós számot értjük, amelyek égyzete

Részletesebben

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet):

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet): A umerikus sorozatok fogalma, határértéke (A TÁMOP-4-8//A/KMR-9-8 számú projekt keretébe írt egyetemi jegyzetrészlet): Koverges és diverges sorozatok Defiíció: A természetes számoko értelmezett N R sorozatokak

Részletesebben

( a b)( c d) 2 ab2 cd 2 abcd 2 Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn

( a b)( c d) 2 ab2 cd 2 abcd 2 Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn Feladatok közepek közötti egyelőtleségekre (megoldások, megoldási ötletek) A továbbiakba szmk=számtai-mértai közép közötti egyelőtleség, szhk=számtaiharmoikus közép közötti egyelőtleség, míg szk= számtai-égyzetes

Részletesebben

ANALÍZIS 1. I. VIZSGA január 11. Mérnök informatikus szak α-variáns Munkaidő: 90 perc., vagyis z 2 1p = i 1p = ( cos 3π 2 2

ANALÍZIS 1. I. VIZSGA január 11. Mérnök informatikus szak α-variáns Munkaidő: 90 perc., vagyis z 2 1p = i 1p = ( cos 3π 2 2 ANALÍZIS. I. VIZSGA. jauár. Mérök iformatikus szak α-variás Mukaidő: perc. feladat pot) Adja meg az z 4 i)z i egyelet összes megoldását. i + i) + 4i + 4 i +, vagyis z p i p cos 3 + i si ) 3 vagy z p i

Részletesebben

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI 2013 I. rész

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI 2013 I. rész MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI 203 I. rész. Oldja meg a következő egyenletet: x 2 25. Az egyenlet megoldása: 2. Egy vállalat 280 000 Ft-ért vásárol egy számítógépet. A számítógép évente 5%-ot veszít az értékéből.

Részletesebben

V. Deriválható függvények

V. Deriválható függvények Deriválható függvéyek V Deriválható függvéyek 5 A derivált fogalmához vezető feladatok A sebesség értelmezése Legye az M egy egyees voalú egyeletes mozgást végző pot Ez azt jeleti, hogy a mozgás pályája

Részletesebben

Eseme nyalgebra e s kombinatorika feladatok, megolda sok

Eseme nyalgebra e s kombinatorika feladatok, megolda sok Eseme yalgebra e s kombiatorika feladatok, megolda sok Szűk elméleti áttekitő Kombiatorika quick-guide: - db. elemből db. sorredjeire vagyuk kívácsiak: permutáció - db. elemből m < db. háyféleképp rakható

Részletesebben

XXVI. Erdélyi Magyar Matematikaverseny Zilah, február

XXVI. Erdélyi Magyar Matematikaverseny Zilah, február Miisterul Educaţiei Națioale și Cercetării Știițifice Subiecte petru Etapa aţioală a Cocursului de Matematică al Liceelor Maghiare di Româia XXVI. Erdélyi Magyar Matematikaversey Zilah, 06. február 4..

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI május 10. KÖZÉP SZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI május 10. KÖZÉP SZINT I. 1) Adott két pont: A ; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 005. május 10. KÖZÉP SZINT I. és B 1; Írja fel az AB szakasz 1 1 F ; F ;1 ) Az ábrán egy ; intervallumon

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI május 8. EMELT SZINT

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI május 8. EMELT SZINT MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 007. május 8. EMELT SZINT 1) Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenletet! x x 4 log 9 10 sin x x 6 I. (11 pont) sin 1 lg1 0 log 9 9 x x 4 Így az 10 10 egyenletet kell megoldani,

Részletesebben

NUMERIKUS SOROK II. Ebben a részben kizárólag a konvergencia vizsgálatával foglalkozunk.

NUMERIKUS SOROK II. Ebben a részben kizárólag a konvergencia vizsgálatával foglalkozunk. NUMERIKUS SOROK II. Ebbe a részbe kizárólag a kovergecia vizsgálatával foglalkozuk. SZÜKSÉGES FELTÉTEL Ha pozitív (vagy em egatív) tagú umerikus sor, akkor a kovergecia szükséges feltétele, hogy lim a

Részletesebben

Kisérettségi feladatsorok matematikából

Kisérettségi feladatsorok matematikából Kisérettségi feladatsorok matematikából. feladatsor I. rész. Döntse el, hogy a következő állítások közül melyik igaz és melyik hamis! a) Ha két egész szám összege páratlan, akkor a szorzatuk páros. b)

Részletesebben

PRÓBAÉRETTSÉGI VIZSGA

PRÓBAÉRETTSÉGI VIZSGA MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI VIZSGA 2012. 2013. április január 7. 19. KÖZÉPSZINTŰ PRÓBAÉRETTSÉGI VIZSGA Név Tanárok neve Pontszám 2013. január 19. II. Időtartam: 135 perc STUDIUM GENERALE MATEMATIKA SZEKCIÓ

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Sorozatok

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Sorozatok MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Sorozatok A szürkített hátterű feladatrészek em tartozak az éritett témakörhöz, azoba szolgálhatak fotos iformációval az éritett feladatrészek

Részletesebben

MATEMATIKA HETI 5 ÓRA. IDŐPONT: 2010. Június 4.

MATEMATIKA HETI 5 ÓRA. IDŐPONT: 2010. Június 4. EURÓPAI ÉRETTSÉGI 2010 MATEMATIKA HETI 5 ÓRA IDŐPONT: 2010. Június 4. A VIZSGA IDŐTARTAMA: 4 óra (240 perc) ENGEDÉLYEZETT SEGÉDESZKÖZÖK : Európai képletgyűjtemény Nem programozható, nem grafikus kalkulátor

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szit 5 ÉRETTSÉGI VIZSGA 05. május 5. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Matematika emelt szit Fotos tudivalók

Részletesebben

1. Gyökvonás komplex számból

1. Gyökvonás komplex számból 1. Gyökvoás komplex számból Gyökvoás komplex számból. Ismétlés: Ha r, s > 0 valós, akkor rcos α + i siα) = scos β + i siβ) potosa akkor, ha r = s, és α β a 360 egész számszorosa. Moivre képlete scos β+i

Részletesebben

Gyökvonás. Másodfokú egyenlet. 3. Az egyenlet megoldása nélkül határozd meg, hogy a következő egyenleteknek mennyi gyöke van!

Gyökvonás. Másodfokú egyenlet. 3. Az egyenlet megoldása nélkül határozd meg, hogy a következő egyenleteknek mennyi gyöke van! 1. Melyik a nagyobb? a) 6 5 vagy 5 7 b) vagy 11 10 vagy Gyökvonás 5 11 vagy 6 8 55 e) 7 vagy 60 16 1. Hozd egyszerűbb alakra a következő kifejezéseket! a) 7 18 b) 1 5 75 8 160 810 650 8a 5 a 7a e) 15a

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Sorozatok

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Sorozatok MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Sorozatok A szürkített hátterű feladatrészek em tartozak az éritett témakörhöz, azoba szolgálhatak fotos iformációval az éritett feladatrészek

Részletesebben

Érettségi feladatok: Egyenletek, egyenlőtlenségek 1 / 6. 2005. május 29. 13. a) Melyik (x; y) valós számpár megoldása az alábbi egyenletrendszernek?

Érettségi feladatok: Egyenletek, egyenlőtlenségek 1 / 6. 2005. május 29. 13. a) Melyik (x; y) valós számpár megoldása az alábbi egyenletrendszernek? Érettségi feladatok: Egyenletek, egyenlőtlenségek 1 / 6 Elsőfokú 2005. május 28. 1. Mely x valós számokra igaz, hogy x 7? 13. a) Oldja meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán! x 1 2x 4 2 5 2005.

Részletesebben

VÉLETLENÍTETT ALGORITMUSOK. 1.ea.

VÉLETLENÍTETT ALGORITMUSOK. 1.ea. VÉLETLENÍTETT ALGORITMUSOK 1.ea. 1. Bevezetés - (Mire jók a véletleített algoritmusok, alap techikák) 1.1. Gyorsredezés Vegyük egy ismert példát, a redezések témaköréből, méghozzá a gyorsredezés algoritmusát.

Részletesebben

18. Differenciálszámítás

18. Differenciálszámítás 8. Differeciálszámítás I. Elméleti összefoglaló Függvéy határértéke Defiíció: Az köryezetei az ] ε, ε[ + yílt itervallumok, ahol ε > tetszőleges. Defiíció: Az f függvéyek az véges helye vett határértéke

Részletesebben

I. rész. Feladatsor. 2. Andi keresett két olyan számot, amelyre teljesül, hogy a < b. Igaz-e, hogy a < b?

I. rész. Feladatsor. 2. Andi keresett két olyan számot, amelyre teljesül, hogy a < b. Igaz-e, hogy a < b? 1. Feladatsor I. rész 1. Adott két halmaz. A a 9-nél kisebb páros pozitív egészek; B a 30-nál kisebb, 6-tal osztható pozitív egészek halmaza. Adja meg az A B és a B \ A halmazokat!. Andi keresett két olyan

Részletesebben

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet Debrecei Egyetem Közgazdaság- és Gazdaságtudomáyi Kar Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz a megoldásra feltétleül ajálott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottak

Részletesebben

2. Hatványsorok. A végtelen soroknál tanultuk, hogy az. végtelen sort adja: 1 + x + x x n +...

2. Hatványsorok. A végtelen soroknál tanultuk, hogy az. végtelen sort adja: 1 + x + x x n +... . Függvéysorok. Bevezetés és defiíciók A végtele sorokál taultuk, hogy az + x + x + + x +... végtele összeg x < eseté koverges. A feti végtele összegre úgy is godolhatuk, hogy végtele sok függvéyt aduk

Részletesebben

3. SOROZATOK. ( n N) a n+1 < a n. Egy sorozatot (szigorúan) monotonnak mondunk, ha (szigorúan) monoton növekvő vagy csökkenő.

3. SOROZATOK. ( n N) a n+1 < a n. Egy sorozatot (szigorúan) monotonnak mondunk, ha (szigorúan) monoton növekvő vagy csökkenő. 3. SOROZATOK 3. Sorozatok korlátossága, mootoitása, kovergeciája Defiíció. Egy f : N R függvéyt valós szám)sorozatak evezük. Ha A egy adott halmaz és f : N A, akkor f-et A-beli értékű) sorozatak evezzük.

Részletesebben

Kitűzött feladatok Injektivitás és egyéb tulajdonságok 69 KITŰZÖTT FELADATOK

Kitűzött feladatok Injektivitás és egyéb tulajdonságok 69 KITŰZÖTT FELADATOK Kitűzött feladatok Ijektivitás és egyéb tulajdoságok 69 1. KITŰZÖTT FELADATOK Határozd meg az összes szigorúa mooto f:z Z függvéyt, amely teljesíti az f ( xy) = f ( y), x, y Z összefüggést és létezik k

Részletesebben

EGYENLETEK ÉS EGYENLETRENDSZEREK MEGOLDÁSA A Z n HALMAZON. egyenletrendszer megoldása a

EGYENLETEK ÉS EGYENLETRENDSZEREK MEGOLDÁSA A Z n HALMAZON. egyenletrendszer megoldása a Az érettségi vizsgára előkészülő taulók figyelmébe! 4. Az EGYENLETEK ÉS EGYENLETRENDSZEREK MEGOLDÁSA A Z HALMAZON a1 x + b1 y = c1 egyeletredszer megoldása a a x + b y = c Z halmazo (. rész) Ebbe a részbe

Részletesebben

Az egyenes egyenlete: 2 pont. Az összevont alak: 1 pont. Melyik ábrán látható e függvény grafikonjának egy részlete?

Az egyenes egyenlete: 2 pont. Az összevont alak: 1 pont. Melyik ábrán látható e függvény grafikonjának egy részlete? 1. Írja fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely áthalad az (1; 3) ponton, és egyik normálvektora a (8; 1) vektor! Az egyenes egyenlete: 2. Végezze el a következő műveleteket, és vonja össze az egynemű

Részletesebben

Függvények Megoldások

Függvények Megoldások Függvények Megoldások ) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) x x b) x x + c) x ( x + ) b) Az x függvény

Részletesebben

4. A kézfogások száma pont Összesen: 2 pont

4. A kézfogások száma pont Összesen: 2 pont I. 1. A páros számokat tartalmazó részhalmazok: 6 ; 8 ; 6 ; 8. { } { } { }. 5 ( a ) 17 Összesen: t = = a a Összesen: ot kaphat a vizsgázó, ha csak két helyes részhalmazt ír fel. Szintén jár, ha a helyes

Részletesebben

MATEMATIKA ÍRÁSBELI VIZSGA 2009. május 5.

MATEMATIKA ÍRÁSBELI VIZSGA 2009. május 5. MATEMATIKA ÍRÁSBELI VIZSGA 2009. május 5. I. rész Fontos tudnivalók A megoldások sorrendje tetszőleges. A feladatok megoldásához szöveges adatok tárolására és megjelenítésére nem alkalmas zsebszámológépet

Részletesebben

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova Első rész Matematikai tréfák Matematikai játékok Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova A következő matematikai játékokba matematikai tréfákba a végső eredméy a játék kiidulási feltételeitől függ, és em a

Részletesebben

Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar. Analízis 1. Írásbeli beugró kérdések. Készítette: Szántó Ádám Tavaszi félév

Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar. Analízis 1. Írásbeli beugró kérdések. Készítette: Szántó Ádám Tavaszi félév Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Iformatikai Kar Aalízis 1. Írásbeli beugró kérdések Készítette: Szátó Ádám 2011. Tavaszi félév 1. Írja le a Dedekid-axiómát! Legyeek A R, B R. Ekkor ha a A és b B : a b, akkor

Részletesebben

Trigonometria Megoldások. 1) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( )

Trigonometria Megoldások. 1) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( ) Trigonometria Megoldások Trigonometria - megoldások ) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( ) akkor a háromszög egyenlő szárú vagy derékszögű!

Részletesebben

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS Matematika PRÉ megoldókulcs 0. január. MTEMTIK PRÓBÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS = KÖZÉP SZINT = I. rész: z alábbi feladat megoldása kötelező volt! ) Oldd meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán! tg

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Sorozatok

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Sorozatok MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Sorozatok A szürkített hátterű feladatrészek em tartozak az éritett témakörhöz, azoba szolgálhatak fotos iformációval az éritett feladatrészek megoldásához!

Részletesebben

2. Egy mértani sorozat második tagja 6, harmadik tagja 18. Adja meg a sorozat ötödik tagját!

2. Egy mértani sorozat második tagja 6, harmadik tagja 18. Adja meg a sorozat ötödik tagját! 1. Egy 27 fős osztályban mindenki tesz érettségi vizsgát angolból vagy németből. 23 diák vizsgázik angolból, 12 diák pedig németből. Hány olyan diák van az osztályban, aki angolból és németből is tesz

Részletesebben

MATEMATIKA C 12. évfolyam 4. modul Még egyszer!

MATEMATIKA C 12. évfolyam 4. modul Még egyszer! MATEMATIKA C 1. évfolyam 4. modul Még egyszer! Készítette: Kovács Károlyné Matematika C 1. évfolyam 4. modul: Még eygszer! Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási pontok

Részletesebben

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova Matematikai játékok Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova 1. rész Matematikai tréfák A következő matematikai játékokba matematikai tréfákba a végső eredméy a játék kiidulási feltételeitől függ, és em a játékosok

Részletesebben

1. Gyökvonás komplex számból

1. Gyökvonás komplex számból 1. Gyökvoás komplex számból Gyökvoás komplex számból Ismétlés: Ha r,s > 0 valós, akkor r(cosα+isiα) = s(cosβ+isiβ) potosa akkor, ha r = s, és α β a 360 egész számszorosa. Moivre képlete: ( s(cosβ+isiβ)

Részletesebben

1 n. 8abc (a + b) (b + c) (a + c) 8 27 (a + b + c)3. (1 a) 5 (1 + a)(1 + 2a) n + 1

1 n. 8abc (a + b) (b + c) (a + c) 8 27 (a + b + c)3. (1 a) 5 (1 + a)(1 + 2a) n + 1 A tárgy címe: ANALÍZIS A-B-C + gyakorlat Beroulli-egyelőtleség Ha N és h R, akkor + h + h Mikor va itt egyelőség? Léyeges-e a h feltétel? Számtai-mértai közép Bármely N és,, R, k 0 k =,, választással k

Részletesebben

Véges matematika 1. feladatsor megoldások

Véges matematika 1. feladatsor megoldások Véges matematika 1 feladatsor megoldások 1 Háy olya hosszúságú kockadobás-sorozat va, melybe a csak 1-es és 2-es va; Egymástól függetleül döthetük a külöböző dobások eredméyéről, így a taultak szerit a

Részletesebben

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8 Név, Neptu-kód:.................................................................... 1. Legyeek p, q Q tetszőlegesek. Mutassuk meg, hogy ekkor p q Q. Tegyük fel, hogy p, q Q. Ekkor létezek olya k 1, k 2,

Részletesebben

} számtani sorozat első tagja és differenciája is 4. Adja meg a sorozat 26. tagját! A = { } 1 pont. B = { } 1 pont. x =

} számtani sorozat első tagja és differenciája is 4. Adja meg a sorozat 26. tagját! A = { } 1 pont. B = { } 1 pont. x = . Az { a n } számtani sorozat első tagja és differenciája is 4. Adja meg a sorozat 26. tagját! a = 26 2. Az A és B halmazokról tudjuk, hogy A B = {;2;3;4;5;6}, A \ B = {;4} és A B = {2;5}. Sorolja fel

Részletesebben

Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam

Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam Halmazok:. Adott két halmaz: A = kétjegyű pozitív, 4-gyel osztható számok B = 0-nél nagyobb, de 0-nál nem nagyobb pozitív egész

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Számelmélet

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Számelmélet MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Számelmélet A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

f (M (ξ)) M (f (ξ)) Bizonyítás: Megjegyezzük, hogy konvex függvényekre mindig létezik a ± ben

f (M (ξ)) M (f (ξ)) Bizonyítás: Megjegyezzük, hogy konvex függvényekre mindig létezik a ± ben Propositio 1 (Jese-egyelőtleség Ha f : kovex, akkor tetszőleges ξ változóra f (M (ξ M (f (ξ feltéve, hogy az egyelőtleségbe szereplő véges vagy végtele várható értékek létezek Bizoyítás: Megjegyezzük,

Részletesebben

Sorozatok Megoldások. - a harmadik tagtól kezdve minden tag kiszámítható a következő rekurzív képlet segítségével: an = an

Sorozatok Megoldások. - a harmadik tagtól kezdve minden tag kiszámítható a következő rekurzív képlet segítségével: an = an 00-0XX Emelt szit Sorozatok Megoldások ) Egy ( a ) számsorozatról a következőket tudjuk: - a harmadik tagtól kezdve mide tag kiszámítható a következő rekurzív képlet segítségével: a = a + a ; - az a, a

Részletesebben

B1 teszt 87. 1, x = 0 sorozat határértéke

B1 teszt 87. 1, x = 0 sorozat határértéke B teszt 87 B teszt A világot csak hat szám vezérli. (Marti Rees) Ezt a köyvet öt betű.. Az = + +,, = sorozat határértéke ( + ) a) ; b) ; c) d) ; e) em létezik.. A lim{ e } határérték ({ } az törtrésze)

Részletesebben

I. rész. 1. feladat Oldjuk meg a következő egyenletrendszert, illetve egyenlőtlenséget a valós számok halmazán!

I. rész. 1. feladat Oldjuk meg a következő egyenletrendszert, illetve egyenlőtlenséget a valós számok halmazán! Paróczay József, 00. november Emelt szintű érettségi feladatsor és megoldása Összeállította: Paróczay József 00. november I. rész. feladat Oldjuk meg a következő egyenletrendszert, illetve egyenlőtlenséget

Részletesebben

1. Tekintsük a következő két halmazt: G = {1; 2; 3; 4; 6; 12} és H = {1; 2; 4; 8; 16}. Elemeik felsorolásával adja meg a G H és a H \ G halmazokat!

1. Tekintsük a következő két halmazt: G = {1; 2; 3; 4; 6; 12} és H = {1; 2; 4; 8; 16}. Elemeik felsorolásával adja meg a G H és a H \ G halmazokat! 1. Tekintsük a következő két halmazt: G = {1; 2; 3; 4; 6; 12} és H = {1; 2; 4; 8; 16}. Elemeik felsorolásával adja meg a G H és a H \ G halmazokat! G H = H \ G = 2. Ha 1 kg szalámi ára 2800 Ft, akkor hány

Részletesebben

a) Az első sorozatban az első tagtól kezdve felírjuk a tagok 11-gyel való osztás maradékát: 5; 4; 1; 3; 9; 5;

a) Az első sorozatban az első tagtól kezdve felírjuk a tagok 11-gyel való osztás maradékát: 5; 4; 1; 3; 9; 5; MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Sorozatok A szürkített hátterű feladatrészek em tartozak az éritett témakörhöz, azoba szolgálhatak fotos iformációval az éritett feladatrészek

Részletesebben

IV. Sorozatok. Sorozatok bevezetése

IV. Sorozatok. Sorozatok bevezetése Sorozatok Sorozatok bevezetése 8 Az,,, számjegyek és tegelyes tükörképeik együtt alkotják a sorozat tagjait A folytatás lehetséges például az ábrá látható módoko Megjegyzés: A Hogya folytatható típusú

Részletesebben

Integrált Intetnzív Matematika Érettségi

Integrált Intetnzív Matematika Érettségi tgrált ttzív Matmatika Érttségi. Adott az f : \ -, f függvéy. a) Számítsd ki az f függvéy driváltját! b) Határozd mg az f függvéy mootoitási itrvallumait! c) gazold, hogy f ( ) bármly sté!. Adott az f

Részletesebben

3. MINTAFELADATSOR KÖZÉPSZINT JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

3. MINTAFELADATSOR KÖZÉPSZINT JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet TÁMOP-3.1.1-11/1-01-0001 XXI. századi közoktatás (fejlesztés, koordináció) II. szakasz MATEMATIKA 3. MINTAFELADATSOR KÖZÉPSZINT 015 JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Oktatáskutató

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

1. Feladatsor. I. rész

1. Feladatsor. I. rész . feladatsor. Feladatsor I. rész. Mely x valós számokra lesz ebben a sorrendben a cos x, a sinx és a tg x egy mértani sorozat három egymást követő tagja?... (). Egy rombusz egyik átlója 0 cm, beírható

Részletesebben

NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI

NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI A NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI 20-09-2 Terem: Munkaidő: 0 perc. A dolgozat megírásához íróeszközön kívül semmilyen segédeszköz nem használható! Csak és kizárólag tollal tölthető ki a feladatlap, a ceruzával

Részletesebben

c.) Mely valós számokra teljesül a következő egyenlőtlenség? 3

c.) Mely valós számokra teljesül a következő egyenlőtlenség? 3 1. Az alái feladatok egyszerűek, akár fejen is kiszámíthatóak, de a piszkozatpapíron is gondolkodhat. A megoldásokat azonan erre a papírra írja! a.) Írja fel egy olyan egész együtthatós másodfokú egyenlet

Részletesebben

1. Tekintsük a következő két halmazt: G = {1; 2; 3; 4; 6; 12} és H = {1; 2; 4; 8; 16}. Elemeik felsorolásával adja meg a G H és a H \ G halmazokat!

1. Tekintsük a következő két halmazt: G = {1; 2; 3; 4; 6; 12} és H = {1; 2; 4; 8; 16}. Elemeik felsorolásával adja meg a G H és a H \ G halmazokat! 1. Tekintsük a következő két halmazt: G = {1; 2; 3; 4; 6; 12} és H = {1; 2; 4; 8; 16}. Elemeik felsorolásával adja meg a G H és a H \ G halmazokat! G H = H \ G = 2. Ha 1 kg szalámi ára 2800 Ft, akkor hány

Részletesebben

Valós számok 5. I. Valós számok. I.1. Természetes, egész és racionális számok

Valós számok 5. I. Valós számok. I.1. Természetes, egész és racionális számok Valós számok 5 I Valós számok I Természetes, egész és racioális számok I Feladatok (8 oldal) Fogalmazz meg és bizoyíts be egy-egy oszthatósági kritériumot a -vel, -mal, 5-tel, 7-tel, 9-cel, -gyel való

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI május 3. EMELT SZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI május 3. EMELT SZINT I. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 0. május. EMELT SZINT I. ) Hatjegyű pozitív egész számokat képezünk úgy, hogy a képzett számban szereplő számjegy annyiszor fordul elő, amekkora a számjegy. Hány ilyen hatjegyű számjegy

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek megoldásához!

Részletesebben

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok I. DEFINÍCIÓ: (Számsorozat) A számsorozat olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, értékkészlete a valós számok egy részhalmaza. Jelölés: (a n ), {a n }.

Részletesebben

mateksoft.hu ( ) 2 x 10 y 14 Nevezetes azonosságok: Hatványozás azonosságai Azonos kitevőjű hatványok: + 9 ( 2x 3y) 2 4x 2 12xy + 9y 2

mateksoft.hu ( ) 2 x 10 y 14 Nevezetes azonosságok: Hatványozás azonosságai Azonos kitevőjű hatványok: + 9 ( 2x 3y) 2 4x 2 12xy + 9y 2 Nevezetes zoosságok: mteksoft.hu ( + ) + + ( x + ) x + 6 x + 9 ( x + y) 4x + 1xy + 9y ( ) + ( x ) x 6 x + 9 ( x y) 4x 1xy + 9y ( + + c) + + c + + c + c ( x + y + ) x + y + 4 + xy + 4x + 4y Htváyozás zoossági

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2008. május 06. KÖZÉPSZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2008. május 06. KÖZÉPSZINT I. 1) Adja meg a Például: 1 ; 8 8 M 1 ; 10 5 MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 008. május 06. KÖZÉPSZINT I. nyílt intervallum két különböző elemét! ( pont) ( pont) ) Egy 7-tagú társaságban mindenki mindenkivel egyszer

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Sorozatok

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Sorozatok MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Sorozatok A szürkített hátterű feladatrészek em tartozak az éritett témakörhöz, azoba szolgálhatak fotos iformációval az éritett feladatrészek megoldásához!

Részletesebben

(f) f(x) = x2 x Mutassa meg, hogy ha f(x) dx = F (x) + C, akkor F (ax + b) a 3. Számolja ki az alábbi határozatlan integrálokat: 1.

(f) f(x) = x2 x Mutassa meg, hogy ha f(x) dx = F (x) + C, akkor F (ax + b) a 3. Számolja ki az alábbi határozatlan integrálokat: 1. PROGRAMTERVEZŐ MATEMATIKUS SZAK II. ÉVF. III. FÉLÉV GYAKORLÓ FELADATOK AZ II. ANALÍZIS ZH-RA Primitívfüggvéy keresés. Adja meg az f függvéy egy primitívfüggvéyét: f) = 6 8 + 3 b) f) = + 3 f) = + 5 ) /

Részletesebben