3. Vetülettan (3/3-5.) Unger szeged.hu/eghajlattan SZTE Éghajlattani és Tájföldrajzi Tanszék

Átírás

1 Kartográfia (GBN309E) Térképészet (GBN317E) előadás 3. Vetülettan (3/3-5.) Unger szeged.hu/eghajlattan SZTE Éghajlattani és Tájföldrajzi Tanszék vetületeknél használt jelölések bemutatás poláris helyzetben x = első derékszögű koordináta a képfelületen y = második derékszögű koordináta a képfelületen u = (segéd)földrajzi( szélesség pótszöge (pólustávolság( pólustávolság) v = (segéd)földrajzi( hosszúság szöge R = (Föld)gömb( sugara m = méretarányszám n = sugárhajlás 1

2 képfelület alapfelület ált. jellemzők sík gömb 3/3. Valódi síkvetületek - a vetületi kezdőponton (érintési pont) átmenő legnagyobb gömbi körök képei egymással azonos szöget bezáró sugársort alkotnak, szögtorzulást nincs azimutálisság - a vetületi kezdőponttól egyenlő távolságra lévő pontok képei is egyenlő távolságra fekszenek a vetületi kezdőponttól (poláris elhelyezésnél a paralelkörök képei koncentrikus körök) zenitálisság koordináta-rendszer rendszer a képfelületen koordináták: északi pólust (P) alapfelületen A(φ,, λ) λ A(u, v) u = 90 φ, v = λ képfelületen x és y derékszögű koordináták kiszámítása az alapfelületi u és v koordinátákból: k az érintési pont (pólus = P) ) és az A' távolsága a képfelület síkjában fekvő PA'A" derékszögű háromszögben x értéke k cosv y értéke k sinv vetületi egyenletek alakja: x = k cos cosv y = k sin sinv Az alapfelületi leti és képfelületileti koordináták kapcsolata a valódi síkvetületeknél A (x, y) - x tengely a kezdőmeridián képe - y tengely rá merőleges és tartalmazza az 2

3 1. Centrális síkvetület vetítési középpont PA' = k POA' derékszögű háromszögben: (Föld)gömb középpontja k/( /(R/m)) = tgu k = (R/m) tg( ) tgu egyenletei x = (R/m) tg( ) tgu u cosv y = (R/m) tg( ) tgu u sinv - ortodrómákat egyenesekre képezi le - sarkoktól az egyenlítő felé a hossztorzulás rohamosan nő Thálész (i.e. 6. sz.) csillagtérképekhez alkalmazta 2. Ortografikus síkvetület vetítési középpont -ben ANO derékszögű háromszögben: k/( /(R/m)) = sinu k = (R/m) sin( ) sinu egyenletei x = (R/m) sin( ) sinu cosv y = (R/m) sin( ) sinu sinv - a Föld perspektivikus (űrhajós) képét adja - Apollóniusz (i.e. 3. sz.) az egyenlítői helyzetű vetületet csillagászati számítá- soknál alkalmazta - földfelszín ábrázolása (16. sz.) (poláris, egyenlítői helyzet) 3

4 3. Sztereografikus síkvetület vetítési középpont DPA' derékszögű háromszögben: vetítési kezdőpont átellenes pontja k/2( /2(R/m)) = tg(u/2) k = 2(R/m) tg( ) tg(u/2) egyenletei x = 2(R/m) tg( ) tg(u/2) cosv y = 2(R/m) tg( ) tg(u/2) sinv szögtartó -Hipparkhosz (i.e. 2. sz.) poláris formában az égbolt ábrázolására -Theon (4. sz.) ferdetengelyű változatban az égbolt ábrázolására - Gemma Frisius (1540 körül) földi vetületként használta - igen gyakori 4. Postel-féle síkvetület meridiánok hossztartóak legyenek PA ívhossz = PA' k = (R/m) ( ) u egyenletei x = (R/m) ( ) u cosv y = (R/m) ( ) u sinv mentén hossztartó - ált. félgömb ábrázolására használják - egyiptomiak (poláris változat, csillagtérkép) - Mercator (1569) földi ábrázolás - Postel (1581) 4

5 5. Lambert-féle síkvetület PA húr = PA' legyen DAP derékszögű háromszögben: k/2( /2(R/m)) = sin(u/2) k = 2(R/m R/m) sin( ) sin(u/2) egyenletei x = 2(R/m R/m) sin( ) sin(u/2) cosv y = 2(R/m R/m) sin( ) sin(u/2) sinv területtartó a területtartó vetületek közül a szög- torz. szempontjából a legkedvezőbb Lambert (1772) poláris és egyenlítői változat képfelület alapfelület ált. jellemzők hengerpalást gömb 3/4. Valódi hengervetületek képei egymással párhuzamos egyenesek - (segéd)paralelkörök képei egymással párhuzamos egyenesek és a (segéd)paralelkörök( képei -en metszik egymást - érintő hengernél az érintési legnagyobb gömbi kör (pl. egyenlítő), metsző hengernél a két metsző kör (pl. paralelkör) mentén hossztartó a vetítés koordináta-rendszer rendszer a képfelületen - x tengely az egyenlítő (vagy egy tetszőleges paralelkör) képe - y tengely a kezdő (vagy más) meridián képe vetületi egyenletek ált. alakja x = (R/m) v( y = f 2 (u) 5

6 1. Négyzetes hengervetület henger gömb gömb érintés a leképezés az egyenlítő mentén hossztartó EA ívhossz = EA' egyenletei x = (R/m) ( ) v meridiánok hossztartóak legyenek EA' = (R/m) (( ) (π/2-u) y = (R/m) (( ) (π/2-u) - négyzetrács alakú - gyakran használt vetület Eratosztenész (i.e. 3. sz.) 2. Lambert-féle hengervetület henger gömb gömb érintés a leképezés az egyenlítő mentén hossztartó TA/( /(R/m)) = cosu TA = (R/m) cos( ) cosu egyenletei x = (R/m) ( ) v y = (R/m) cosu EA' = TA területtartó ATO háromszögben: egyenlítőtől távolodva erős torzulások, ritkán használják Lambert (1772) 6

7 3. Mercator-féle hengervetület henger gömb gömb érintés a leképezés az egyenlítő mentén hossztartó EA' = (R/m) lnctg(( ) lnctg(u/2) = (R/m) 2,3025 lgctg(( ) 2,3025 lgctg(u/2) egyenletei x = (R/m) ( ) v y = (R/m) 2,3025 lgctg(( ) 2,3025 lgctg(u/2) szögtartó EA képlettel van megadva: - loxodrómák egyenesekre képződnek le - navigációs célokra gyakorta használt - pólus képe a -ben,, ezért poláris helyzetben csak a szélességek között használható eredményesen - ferde tengelyű változatát gyakran alkalmazzák a geodéziában nagyméretarányú térképek vetületéül - Etzlaub 1511-ben egy kis térképen használt hasonlót - Mercator (1569) poláris helyzetben. Vetületét csak grafikusan adta meg, a matematikai részt Wright (1599) publikálta képfelület alapfelület ált. jellemzők kúppalást gömb 3/5. Valódi kúpvetületek képei egyenes vonalak, melyek egy pontban metszik egymást (ez nem mindig a pólus képe) képei a vetületen mindig kisebb szöget zárnak be egymással, mint a valóságban eredeti (v)( ) és a kapott szög (v'( v') ) aránya sugárhajlás n = v'/v (v'= n v) 0 < n < 1 - (segéd)paralelkörök képei koncentrikus körívek és a (segéd)paralelkörök( képei -ek egymásra - érintő kúpnál az érintési (segéd)paralelkör( segéd)paralelkör, metsző kúpnál a két metszési (segéd)paralelkör( mentén hossztartó a vetítés - pólus képe pont vagy körív póluspontos és pólusvonalas kúpvetület Póluspontos és pólusvonalas valódi kúpvetület 7

8 koordináta-rendszer rendszer a képfelületen - x tengely a kezdőmeridián képe - y tengely rá merőleges és tartalmazza a kúp csúcsát (P)( x és y derékszögű koordináták kiszámítása az alapfelületi u és v koordinátákból: p a kúp P csúcspontja és az A' távolsága a képfelület síkjában fekvő PA'A" derékszögű háromszögben: x értéke p cos( cos(n v) y értéke p sin( sin(n v) vetületi egyenletek alakja: x = p cos( cos(n v) y = p sin( sin(n v) Az alapfelületi leti és képfelületileti koordináták kapcsolata a valódi kúpvetületeknél 1. Meridiánban hossztartó kúpvetület kúp gömb érintés a leképezés az érintő p.kör mentén hossztartó EA ívhossz = EA' OPE derékszögű háromszögben: PE/( /(R/m)) = tgz p = PA' = PE-A'E meridiánok hossztartóak legyenek AE ívdarab hossza = (R/m) (( ) (z-u) PE = (R/m) tg( ) tgz = (R/m) tg( ) tgz-(r/m) (z-u)) = (R/m) (tg( ) (tgz+u-z) egyenletei x = (R/m) (tg( ) (tgz+u-z) cos(n v) y = (R/m) (tg( ) (tgz+u-z) sin(n v) (n = cosz) - pólus képe pólusvonal - meridiánjai és az érintő paralelkör mentén hossztartó - kis országok bemutatására alkalmazzák atlaszokban, ritkán Ptolemaiosz (~ 150) 8

9 2. Lambert-féle területtartó kúpvetület kúp gömb lebegés csak GBN317E!!!!! A-hoz tartozó gömbsüveg felszíne (T( 1 ) = = A'-höz tartozó körcikk területével (T( 2 ) ki kell számolni a T 1 = 2π ( 2 (R/m)2 (1-cosu) T 1 = T 2 p = PA' távolságot: p = 2 0,5 (R/m) (1-cosu) 0,5 /n 0,5 (cosu = cos 2 (u/2)-sin 2 (u/2)) p = 2(R/m) sin( ) sin(u/2)/n 0,5 T 2 = n p2 π egyenletei x = 2(R/m) sin( ) sin(u/2) cos(nv)/ y = 2(R/m) sin( ) sin(u/2) sin(nv)/ )/n 0,5 )/n 0,5 területtartó n = cos 2 (z/2) a z pólustávolságú paralelkör mentén hossztartó Lambert (1772) 9