Képfeldolgozás. 1. el adás. A képfeldolgozás m veletei. Mechatronikai mérnök szak BME, 2008
|
|
- Réka Illésné
- 6 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Képfeldolgozás 1. el adás. A képfeldolgozás m veletei Mechatronikai mérnök szak BME, / 61
2 Alapfogalmak transzformációk Deníció Deníció Geometriai korrekciókra akkor van szükség, ha a képr l valódi méreteket akarunk leolvasni, vagy egy tárgy különböz képeit akarjuk összehasonlítani. Okok A geometriai torzítások okai: A képfelvev rendszer optikai hibái. A háromdimenziós tér kétdimeniós leképzése pontatlan, azaz perspektivikus torzítás lép fel. A felvétel közben változik a geometriai összefüggés a felvev eszköz és az objektum között, például elmozdulás esetén. 2 / 61
3 Alapfogalmak transzformációk Deníció Deníció Geometriai korrekciókra akkor van szükség, ha a képr l valódi méreteket akarunk leolvasni, vagy egy tárgy különböz képeit akarjuk összehasonlítani. Okok A geometriai torzítások okai: A képfelvev rendszer optikai hibái. A háromdimenziós tér kétdimeniós leképzése pontatlan, azaz perspektivikus torzítás lép fel. A felvétel közben változik a geometriai összefüggés a felvev eszköz és az objektum között, például elmozdulás esetén. 3 / 61
4 Alapfogalmak transzformációk Deníció Deníció Geometriai korrekciókra akkor van szükség, ha a képr l valódi méreteket akarunk leolvasni, vagy egy tárgy különböz képeit akarjuk összehasonlítani. Okok A geometriai torzítások okai: A képfelvev rendszer optikai hibái. A háromdimenziós tér kétdimeniós leképzése pontatlan, azaz perspektivikus torzítás lép fel. A felvétel közben változik a geometriai összefüggés a felvev eszköz és az objektum között, például elmozdulás esetén. 4 / 61
5 Alapfogalmak transzformációk Deníció Deníció Geometriai korrekciókra akkor van szükség, ha a képr l valódi méreteket akarunk leolvasni, vagy egy tárgy különböz képeit akarjuk összehasonlítani. Okok A geometriai torzítások okai: A képfelvev rendszer optikai hibái. A háromdimenziós tér kétdimeniós leképzése pontatlan, azaz perspektivikus torzítás lép fel. A felvétel közben változik a geometriai összefüggés a felvev eszköz és az objektum között, például elmozdulás esetén. 5 / 61
6 Alapfogalmak transzformációk Deníció Deníció Geometriai korrekciókra akkor van szükség, ha a képr l valódi méreteket akarunk leolvasni, vagy egy tárgy különböz képeit akarjuk összehasonlítani. Okok A geometriai torzítások okai: A képfelvev rendszer optikai hibái. A háromdimenziós tér kétdimeniós leképzése pontatlan, azaz perspektivikus torzítás lép fel. A felvétel közben változik a geometriai összefüggés a felvev eszköz és az objektum között, például elmozdulás esetén. 6 / 61
7 Alapfogalmak transzformációk Deníció Deníció Geometriai korrekciókra akkor van szükség, ha a képr l valódi méreteket akarunk leolvasni, vagy egy tárgy különböz képeit akarjuk összehasonlítani. Okok A geometriai torzítások okai: A képfelvev rendszer optikai hibái. A háromdimenziós tér kétdimeniós leképzése pontatlan, azaz perspektivikus torzítás lép fel. A felvétel közben változik a geometriai összefüggés a felvev eszköz és az objektum között, például elmozdulás esetén. 7 / 61
8 Alapfogalmak transzformációk Deníció Deníció Geometriai korrekciókra akkor van szükség, ha a képr l valódi méreteket akarunk leolvasni, vagy egy tárgy különböz képeit akarjuk összehasonlítani. Okok A geometriai torzítások okai: A képfelvev rendszer optikai hibái. A háromdimenziós tér kétdimeniós leképzése pontatlan, azaz perspektivikus torzítás lép fel. A felvétel közben változik a geometriai összefüggés a felvev eszköz és az objektum között, például elmozdulás esetén. 8 / 61
9 Alapfogalmak transzformációk Deníció Deníció Geometriai korrekciókra akkor van szükség, ha a képr l valódi méreteket akarunk leolvasni, vagy egy tárgy különböz képeit akarjuk összehasonlítani. Okok A geometriai torzítások okai: A képfelvev rendszer optikai hibái. A háromdimenziós tér kétdimeniós leképzése pontatlan, azaz perspektivikus torzítás lép fel. A felvétel közben változik a geometriai összefüggés a felvev eszköz és az objektum között, például elmozdulás esetén. 9 / 61
10 Alapfogalmak transzformációk Koordináta-transzformációk Deníció Képalkotáskor a háromdimenziós tér egy pontjához a leképzés P (x, y) pontot rendel. Az (x, y) ( x, y ) koordináta-transzformációra akkor van szükségünk, ha a képpontot a P (x, y ) korrigált képponttal akarjuk megfeleltetni. 10 / 61
11 Alapfogalmak transzformációk Lineáris koordináta-transzformációk Deníció Legyen V és W két vektortér a valós számtest (R) felett. Az L : V W leképzést akkor nevezzük lineárisnak, ha tetsz leges x 1, x 2 V és x 1, x 2 V esetén teljesül az L (x 1 + x 2 ) = L (x 1 ) + L (x 2 ) és a azonosság. L (λx 1 ) = λl (x 1 ) Írásmód A P (x, y) és P (x, y ) pontok közötti lineáris transzformáció alakban írható fel. [x, y] A = [ x, y ] ; [ ] a11 a A = 12 a 21 a / 61
12 Alapfogalmak transzformációk Lineáris koordináta-transzformációk Deníció Legyen V és W két vektortér a valós számtest (R) felett. Az L : V W leképzést akkor nevezzük lineárisnak, ha tetsz leges x 1, x 2 V és x 1, x 2 V esetén teljesül az L (x 1 + x 2 ) = L (x 1 ) + L (x 2 ) és a azonosság. L (λx 1 ) = λl (x 1 ) Írásmód A P (x, y) és P (x, y ) pontok közötti lineáris transzformáció alakban írható fel. [x, y] A = [ x, y ] ; [ ] a11 a A = 12 a 21 a / 61
13 Alapfogalmak transzformációk Elemi koordináta-transzformációk Léptékváltás a a A két koordináta transzformációja egymástól függetelen. Ha a 21 = a 12 = 0, akkor léptékváltásról beszélünk. Ha a 11 > 1, illetve a 22 > 1, akkor nagyításról beszélünk. Ha 0 < a 11 < 1, illetve 0 < a 22 < 1, akkor kicsinyítésr l beszélünk. Ha a 11 < 0, illetve a 22 < 0, akkor a léptékváltás egyszersmind tükrözést is jelent az x, illetve az y tengelyre. Ha a 11 = 1, illetve a 22 = 1, akkor a léptékváltás mérettartó. Ha a 11 = 0, illetve a 22 = 0, akkor a léptékváltás eltüntet. 13 / 61
14 Alapfogalmak transzformációk Elemi koordináta-transzformációk Léptékváltás a a A két koordináta transzformációja egymástól függetelen. Ha a 21 = a 12 = 0, akkor léptékváltásról beszélünk. Ha a 11 > 1, illetve a 22 > 1, akkor nagyításról beszélünk. Ha 0 < a 11 < 1, illetve 0 < a 22 < 1, akkor kicsinyítésr l beszélünk. Ha a 11 < 0, illetve a 22 < 0, akkor a léptékváltás egyszersmind tükrözést is jelent az x, illetve az y tengelyre. Ha a 11 = 1, illetve a 22 = 1, akkor a léptékváltás mérettartó. Ha a 11 = 0, illetve a 22 = 0, akkor a léptékváltás eltüntet. 14 / 61
15 Alapfogalmak transzformációk Elemi koordináta-transzformációk Léptékváltás a a A két koordináta transzformációja egymástól függetelen. Ha a 21 = a 12 = 0, akkor léptékváltásról beszélünk. Ha a 11 > 1, illetve a 22 > 1, akkor nagyításról beszélünk. Ha 0 < a 11 < 1, illetve 0 < a 22 < 1, akkor kicsinyítésr l beszélünk. Ha a 11 < 0, illetve a 22 < 0, akkor a léptékváltás egyszersmind tükrözést is jelent az x, illetve az y tengelyre. Ha a 11 = 1, illetve a 22 = 1, akkor a léptékváltás mérettartó. Ha a 11 = 0, illetve a 22 = 0, akkor a léptékváltás eltüntet. 15 / 61
16 Alapfogalmak transzformációk Elemi koordináta-transzformációk Léptékváltás a a A két koordináta transzformációja egymástól függetelen. Ha a 21 = a 12 = 0, akkor léptékváltásról beszélünk. Ha a 11 > 1, illetve a 22 > 1, akkor nagyításról beszélünk. Ha 0 < a 11 < 1, illetve 0 < a 22 < 1, akkor kicsinyítésr l beszélünk. Ha a 11 < 0, illetve a 22 < 0, akkor a léptékváltás egyszersmind tükrözést is jelent az x, illetve az y tengelyre. Ha a 11 = 1, illetve a 22 = 1, akkor a léptékváltás mérettartó. Ha a 11 = 0, illetve a 22 = 0, akkor a léptékváltás eltüntet. 16 / 61
17 Alapfogalmak transzformációk Elemi koordináta-transzformációk Léptékváltás a a A két koordináta transzformációja egymástól függetelen. Ha a 21 = a 12 = 0, akkor léptékváltásról beszélünk. Ha a 11 > 1, illetve a 22 > 1, akkor nagyításról beszélünk. Ha 0 < a 11 < 1, illetve 0 < a 22 < 1, akkor kicsinyítésr l beszélünk. Ha a 11 < 0, illetve a 22 < 0, akkor a léptékváltás egyszersmind tükrözést is jelent az x, illetve az y tengelyre. Ha a 11 = 1, illetve a 22 = 1, akkor a léptékváltás mérettartó. Ha a 11 = 0, illetve a 22 = 0, akkor a léptékváltás eltüntet. 17 / 61
18 Alapfogalmak transzformációk Elemi koordináta-transzformációk Léptékváltás a a A két koordináta transzformációja egymástól függetelen. Ha a 21 = a 12 = 0, akkor léptékváltásról beszélünk. Ha a 11 > 1, illetve a 22 > 1, akkor nagyításról beszélünk. Ha 0 < a 11 < 1, illetve 0 < a 22 < 1, akkor kicsinyítésr l beszélünk. Ha a 11 < 0, illetve a 22 < 0, akkor a léptékváltás egyszersmind tükrözést is jelent az x, illetve az y tengelyre. Ha a 11 = 1, illetve a 22 = 1, akkor a léptékváltás mérettartó. Ha a 11 = 0, illetve a 22 = 0, akkor a léptékváltás eltüntet. 18 / 61
19 Alapfogalmak transzformációk Elemi koordináta-transzformációk Nyírás Ha a 11 = a 22 = 1, de a 12 0, illetve a 12 0, akkor a transzformációt nyírásnak nevezzük. Elforgatás Az ϕ szög elforgatást jelent az origó körül. [ cos ϕ sin ϕ A = sin ϕ cos ϕ ] 19 / 61
20 Alapfogalmak transzformációk Elemi koordináta-transzformációk Nyírás Ha a 11 = a 22 = 1, de a 12 0, illetve a 12 0, akkor a transzformációt nyírásnak nevezzük. Elforgatás Az ϕ szög elforgatást jelent az origó körül. [ cos ϕ sin ϕ A = sin ϕ cos ϕ ] 20 / 61
21 Alapfogalmak transzformációk Megjegyzések az elemi koordináta-transzformációkhoz Megjegyzések Az elemi koordináta-transzformációkkal kapcsolatban megjegyzend k az alábbiak: Az általános 2x2-es mátrix segítségével leírt síkbeli lineáris transzformáció egyedül az origót hagyja változatlanul. A síkbeli eltolás 2x2-es mátrix segítségével nem valósítható meg. Tetsz leges T terület síkbeli alakzat transzformáció utáni új területét a mátrix determinánsának ismeretében a T = T A = T (a 11 a 22 a 12 a 21 ) kifejezésb l kaphatjuk meg. A lineáris transzformációk egymásutánját az egyes transzformációk mátrixának szorzataként fejezhetjük ki. Mivel a mátrixszorzás nem kommutatív m velet, a tényez k sorrendje lényeges. 21 / 61
22 Alapfogalmak transzformációk Megjegyzések az elemi koordináta-transzformációkhoz Megjegyzések Az elemi koordináta-transzformációkkal kapcsolatban megjegyzend k az alábbiak: Az általános 2x2-es mátrix segítségével leírt síkbeli lineáris transzformáció egyedül az origót hagyja változatlanul. A síkbeli eltolás 2x2-es mátrix segítségével nem valósítható meg. Tetsz leges T terület síkbeli alakzat transzformáció utáni új területét a mátrix determinánsának ismeretében a T = T A = T (a 11 a 22 a 12 a 21 ) kifejezésb l kaphatjuk meg. A lineáris transzformációk egymásutánját az egyes transzformációk mátrixának szorzataként fejezhetjük ki. Mivel a mátrixszorzás nem kommutatív m velet, a tényez k sorrendje lényeges. 22 / 61
23 Alapfogalmak transzformációk Megjegyzések az elemi koordináta-transzformációkhoz Megjegyzések Az elemi koordináta-transzformációkkal kapcsolatban megjegyzend k az alábbiak: Az általános 2x2-es mátrix segítségével leírt síkbeli lineáris transzformáció egyedül az origót hagyja változatlanul. A síkbeli eltolás 2x2-es mátrix segítségével nem valósítható meg. Tetsz leges T terület síkbeli alakzat transzformáció utáni új területét a mátrix determinánsának ismeretében a T = T A = T (a 11 a 22 a 12 a 21 ) kifejezésb l kaphatjuk meg. A lineáris transzformációk egymásutánját az egyes transzformációk mátrixának szorzataként fejezhetjük ki. Mivel a mátrixszorzás nem kommutatív m velet, a tényez k sorrendje lényeges. 23 / 61
24 Alapfogalmak transzformációk Megjegyzések az elemi koordináta-transzformációkhoz Megjegyzések Az elemi koordináta-transzformációkkal kapcsolatban megjegyzend k az alábbiak: Az általános 2x2-es mátrix segítségével leírt síkbeli lineáris transzformáció egyedül az origót hagyja változatlanul. A síkbeli eltolás 2x2-es mátrix segítségével nem valósítható meg. Tetsz leges T terület síkbeli alakzat transzformáció utáni új területét a mátrix determinánsának ismeretében a T = T A = T (a 11 a 22 a 12 a 21 ) kifejezésb l kaphatjuk meg. A lineáris transzformációk egymásutánját az egyes transzformációk mátrixának szorzataként fejezhetjük ki. Mivel a mátrixszorzás nem kommutatív m velet, a tényez k sorrendje lényeges. 24 / 61
25 Alapfogalmak transzformációk Megjegyzések az elemi koordináta-transzformációkhoz Megjegyzések Az elemi koordináta-transzformációkkal kapcsolatban megjegyzend k az alábbiak: Az általános 2x2-es mátrix segítségével leírt síkbeli lineáris transzformáció egyedül az origót hagyja változatlanul. A síkbeli eltolás 2x2-es mátrix segítségével nem valósítható meg. Tetsz leges T terület síkbeli alakzat transzformáció utáni új területét a mátrix determinánsának ismeretében a T = T A = T (a 11 a 22 a 12 a 21 ) kifejezésb l kaphatjuk meg. A lineáris transzformációk egymásutánját az egyes transzformációk mátrixának szorzataként fejezhetjük ki. Mivel a mátrixszorzás nem kommutatív m velet, a tényez k sorrendje lényeges. 25 / 61
26 Valószín ségi változók Paraméterek, jellemz k Valószín ségi változók Deníció Rendeljünk hozzá a valószín ségi mez minden eleméhez, vagyis az egyes eseményekhez egy-egy valós számot. Ily módon valószín ségi változókhoz jutunk, amelyek adott számértéket valamilyen esemény bekövetkeztekor vesznek fel. Paraméterek, jellemz k A sokaságra vonatkozó eloszlás-, illetve s r ségfüggvény konstansai és ezek származákai a paraméterek. Ezen paraméterekre a sokaságból vett minta alapján adunk becslést, ezek a minta jellemz i. 26 / 61
27 Valószín ségi változók Paraméterek, jellemz k Valószín ségi változók Deníció Rendeljünk hozzá a valószín ségi mez minden eleméhez, vagyis az egyes eseményekhez egy-egy valós számot. Ily módon valószín ségi változókhoz jutunk, amelyek adott számértéket valamilyen esemény bekövetkeztekor vesznek fel. Paraméterek, jellemz k A sokaságra vonatkozó eloszlás-, illetve s r ségfüggvény konstansai és ezek származákai a paraméterek. Ezen paraméterekre a sokaságból vett minta alapján adunk becslést, ezek a minta jellemz i. 27 / 61
28 Valószín ségi változók Paraméterek, jellemz k Valószín ségi változók Deníció Rendeljünk hozzá a valószín ségi mez minden eleméhez, vagyis az egyes eseményekhez egy-egy valós számot. Ily módon valószín ségi változókhoz jutunk, amelyek adott számértéket valamilyen esemény bekövetkeztekor vesznek fel. Paraméterek, jellemz k A sokaságra vonatkozó eloszlás-, illetve s r ségfüggvény konstansai és ezek származákai a paraméterek. Ezen paraméterekre a sokaságból vett minta alapján adunk becslést, ezek a minta jellemz i. 28 / 61
29 Valószín ségi változók Paraméterek, jellemz k Valószín ségi változók Deníció Rendeljünk hozzá a valószín ségi mez minden eleméhez, vagyis az egyes eseményekhez egy-egy valós számot. Ily módon valószín ségi változókhoz jutunk, amelyek adott számértéket valamilyen esemény bekövetkeztekor vesznek fel. Paraméterek, jellemz k A sokaságra vonatkozó eloszlás-, illetve s r ségfüggvény konstansai és ezek származákai a paraméterek. Ezen paraméterekre a sokaságból vett minta alapján adunk becslést, ezek a minta jellemz i. 29 / 61
30 Valószín ségi változók Paraméterek, jellemz k Valószín ségi változók Deníció Rendeljünk hozzá a valószín ségi mez minden eleméhez, vagyis az egyes eseményekhez egy-egy valós számot. Ily módon valószín ségi változókhoz jutunk, amelyek adott számértéket valamilyen esemény bekövetkeztekor vesznek fel. Paraméterek, jellemz k A sokaságra vonatkozó eloszlás-, illetve s r ségfüggvény konstansai és ezek származákai a paraméterek. Ezen paraméterekre a sokaságból vett minta alapján adunk becslést, ezek a minta jellemz i. 30 / 61
31 Valószín ségi változók Paraméterek, jellemz k Valószín ségi változók Deníció Rendeljünk hozzá a valószín ségi mez minden eleméhez, vagyis az egyes eseményekhez egy-egy valós számot. Ily módon valószín ségi változókhoz jutunk, amelyek adott számértéket valamilyen esemény bekövetkeztekor vesznek fel. Paraméterek, jellemz k A sokaságra vonatkozó eloszlás-, illetve s r ségfüggvény konstansai és ezek származákai a paraméterek. Ezen paraméterekre a sokaságból vett minta alapján adunk becslést, ezek a minta jellemz i. 31 / 61
32 Valószín ségi változók Paraméterek, jellemz k Valószín ségi változók Deníció Rendeljünk hozzá a valószín ségi mez minden eleméhez, vagyis az egyes eseményekhez egy-egy valós számot. Ily módon valószín ségi változókhoz jutunk, amelyek adott számértéket valamilyen esemény bekövetkeztekor vesznek fel. Paraméterek, jellemz k A sokaságra vonatkozó eloszlás-, illetve s r ségfüggvény konstansai és ezek származákai a paraméterek. Ezen paraméterekre a sokaságból vett minta alapján adunk becslést, ezek a minta jellemz i. 32 / 61
33 Valószín ségi változók Paraméterek, jellemz k Valószín ségi változók Deníció Rendeljünk hozzá a valószín ségi mez minden eleméhez, vagyis az egyes eseményekhez egy-egy valós számot. Ily módon valószín ségi változókhoz jutunk, amelyek adott számértéket valamilyen esemény bekövetkeztekor vesznek fel. Paraméterek, jellemz k A sokaságra vonatkozó eloszlás-, illetve s r ségfüggvény konstansai és ezek származákai a paraméterek. Ezen paraméterekre a sokaságból vett minta alapján adunk becslést, ezek a minta jellemz i. 33 / 61
34 Valószín ségi változók Paraméterek, jellemz k Valószín ségi változók Deníció Rendeljünk hozzá a valószín ségi mez minden eleméhez, vagyis az egyes eseményekhez egy-egy valós számot. Ily módon valószín ségi változókhoz jutunk, amelyek adott számértéket valamilyen esemény bekövetkeztekor vesznek fel. Paraméterek, jellemz k A sokaságra vonatkozó eloszlás-, illetve s r ségfüggvény konstansai és ezek származákai a paraméterek. Ezen paraméterekre a sokaságból vett minta alapján adunk becslést, ezek a minta jellemz i. 34 / 61
35 Valószín ségi változók Paraméterek, jellemz k Gyakoriság, valószín ség Gyakoriság A mintában az egyes értékek el fordulásának száma a gyakoriság. Relatív gyakoriság A relatív gyakoriság a gyakoriság osztva az összes el fordulás számával. Valószín ség A valószín ség a relatív gyakoriság határértéke végtelen számú minta esetén. 35 / 61
36 Valószín ségi változók Paraméterek, jellemz k Gyakoriság, valószín ség Gyakoriság A mintában az egyes értékek el fordulásának száma a gyakoriság. Relatív gyakoriság A relatív gyakoriság a gyakoriság osztva az összes el fordulás számával. Valószín ség A valószín ség a relatív gyakoriság határértéke végtelen számú minta esetén. 36 / 61
37 Valószín ségi változók Paraméterek, jellemz k Gyakoriság, valószín ség Gyakoriság A mintában az egyes értékek el fordulásának száma a gyakoriság. Relatív gyakoriság A relatív gyakoriság a gyakoriság osztva az összes el fordulás számával. Valószín ség A valószín ség a relatív gyakoriság határértéke végtelen számú minta esetén. 37 / 61
38 Valószín ségi változók Paraméterek, jellemz k Gyakoriság, valószín ség Gyakoriság A mintában az egyes értékek el fordulásának száma a gyakoriság. Relatív gyakoriság A relatív gyakoriság a gyakoriság osztva az összes el fordulás számával. Valószín ség A valószín ség a relatív gyakoriság határértéke végtelen számú minta esetén. 38 / 61
39 Valószín ségi változók Paraméterek, jellemz k Gyakoriság, valószín ség Gyakoriság A mintában az egyes értékek el fordulásának száma a gyakoriság. Relatív gyakoriság A relatív gyakoriság a gyakoriság osztva az összes el fordulás számával. Valószín ség A valószín ség a relatív gyakoriság határértéke végtelen számú minta esetén. 39 / 61
40 Valószín ségi változók Paraméterek, jellemz k Gyakoriság, valószín ség Gyakoriság A mintában az egyes értékek el fordulásának száma a gyakoriság. Relatív gyakoriság A relatív gyakoriság a gyakoriság osztva az összes el fordulás számával. Valószín ség A valószín ség a relatív gyakoriság határértéke végtelen számú minta esetén. 40 / 61
41 Valószín ségi változók Paraméterek, jellemz k S r ségfüggvény, eloszlásfüggvény S r ségfüggvény A relatív gyakorisági hisztogram a valószín ségi változó (osztályba sorolás esetén az osztályközép) függvényében a relatív gyakoriság függvényértéke. Az mintaszám növelése, azaz az osztályközök szélességének csökkentése esetén bel le a valószín ség-s r ségfüggvényt kapjuk. Eloszlásfüggvény Ha a valószín ségi változó (osztályba sorolás esetén az osztályközép) függvényében ábrázoljuk a kumulált relatív gyakoriságokat, akkor az osztályköz csökkentése, illetve a minta számának növelése esetén az eloszlásfüggvényt kapjuk. 41 / 61
42 Valószín ségi változók Paraméterek, jellemz k S r ségfüggvény, eloszlásfüggvény S r ségfüggvény A relatív gyakorisági hisztogram a valószín ségi változó (osztályba sorolás esetén az osztályközép) függvényében a relatív gyakoriság függvényértéke. Az mintaszám növelése, azaz az osztályközök szélességének csökkentése esetén bel le a valószín ség-s r ségfüggvényt kapjuk. Eloszlásfüggvény Ha a valószín ségi változó (osztályba sorolás esetén az osztályközép) függvényében ábrázoljuk a kumulált relatív gyakoriságokat, akkor az osztályköz csökkentése, illetve a minta számának növelése esetén az eloszlásfüggvényt kapjuk. 42 / 61
43 Valószín ségi változók Paraméterek, jellemz k S r ségfüggvény, eloszlásfüggvény S r ségfüggvény A relatív gyakorisági hisztogram a valószín ségi változó (osztályba sorolás esetén az osztályközép) függvényében a relatív gyakoriság függvényértéke. Az mintaszám növelése, azaz az osztályközök szélességének csökkentése esetén bel le a valószín ség-s r ségfüggvényt kapjuk. Eloszlásfüggvény Ha a valószín ségi változó (osztályba sorolás esetén az osztályközép) függvényében ábrázoljuk a kumulált relatív gyakoriságokat, akkor az osztályköz csökkentése, illetve a minta számának növelése esetén az eloszlásfüggvényt kapjuk. 43 / 61
44 Valószín ségi változók Paraméterek, jellemz k S r ségfüggvény, eloszlásfüggvény S r ségfüggvény A relatív gyakorisági hisztogram a valószín ségi változó (osztályba sorolás esetén az osztályközép) függvényében a relatív gyakoriság függvényértéke. Az mintaszám növelése, azaz az osztályközök szélességének csökkentése esetén bel le a valószín ség-s r ségfüggvényt kapjuk. Eloszlásfüggvény Ha a valószín ségi változó (osztályba sorolás esetén az osztályközép) függvényében ábrázoljuk a kumulált relatív gyakoriságokat, akkor az osztályköz csökkentése, illetve a minta számának növelése esetén az eloszlásfüggvényt kapjuk. 44 / 61
45 Valószín ségi változók Paraméterek, jellemz k S r ségfüggvény, eloszlásfüggvény S r ségfüggvény A relatív gyakorisági hisztogram a valószín ségi változó (osztályba sorolás esetén az osztályközép) függvényében a relatív gyakoriság függvényértéke. Az mintaszám növelése, azaz az osztályközök szélességének csökkentése esetén bel le a valószín ség-s r ségfüggvényt kapjuk. Eloszlásfüggvény Ha a valószín ségi változó (osztályba sorolás esetén az osztályközép) függvényében ábrázoljuk a kumulált relatív gyakoriságokat, akkor az osztályköz csökkentése, illetve a minta számának növelése esetén az eloszlásfüggvényt kapjuk. 45 / 61
46 Skálázások Hisztogram transzformációk Gyakorlati példák Képfeldolgozási minta A képfeldolgozási m veleteket a melléklet képen fogjuk elvégezni. 46 / 61
47 Skálázások Hisztogram transzformációk Az egyik leggyakrabban el forduló képhiba a nem megfelel fénys r ségb l, illetve a leképz rendszerben keletkez fényveszteségekb l adódó kontrasztszegénység. A világosságkód-transzformációk célja a kontraszt növelése a világosságkódok eloszlásának megváltoztatásával. Hisztogram A hisztogramot általában lépcs sfüggvénnyel ábrázoljuk. A vízszintes tengelyre (abszcissza) a lehetséges világosságkódokat mérjük fel, a világosságkód intervallumhoz tartozó függ leges érték (oordináta) pedig az adott világosságkódú képpontok relatív gyakoriságával arányos. Vagyis a hisztogram a világosságkódok, mint diszkrét valószín ségi változók statisztikai eloszlása, de semmit sem mond e világosságkódok geometriai eloszlásáról. 47 / 61
48 Skálázások Hisztogram transzformációk Az egyik leggyakrabban el forduló képhiba a nem megfelel fénys r ségb l, illetve a leképz rendszerben keletkez fényveszteségekb l adódó kontrasztszegénység. A világosságkód-transzformációk célja a kontraszt növelése a világosságkódok eloszlásának megváltoztatásával. Hisztogram A hisztogramot általában lépcs sfüggvénnyel ábrázoljuk. A vízszintes tengelyre (abszcissza) a lehetséges világosságkódokat mérjük fel, a világosságkód intervallumhoz tartozó függ leges érték (oordináta) pedig az adott világosságkódú képpontok relatív gyakoriságával arányos. Vagyis a hisztogram a világosságkódok, mint diszkrét valószín ségi változók statisztikai eloszlása, de semmit sem mond e világosságkódok geometriai eloszlásáról. 48 / 61
49 Skálázások Hisztogram transzformációk Jelölések Jelölések {Q} az eredeti bemen értékkészlet {R} az eredményül kapott kimen értékkészlet q m, illetve r m a megfelel halmaz legkisebb eleme q M, illetve r M a megfelel halmaz legnagyobb eleme q {Q}, illetve r {R} egy képpont eredeti, illetve transzformált világosságkódja Skálázás Skálázásnak nevezzük a T : [q a, q f ] {R} leképzését megvalósító globális transzformációkat, ahol q a ( q m), illetve q f ( q M ) a bemen világosságkód-intervallum alsó, illetve fels határa. 49 / 61
50 Skálázások Hisztogram transzformációk Jelölések Jelölések {Q} az eredeti bemen értékkészlet {R} az eredményül kapott kimen értékkészlet q m, illetve r m a megfelel halmaz legkisebb eleme q M, illetve r M a megfelel halmaz legnagyobb eleme q {Q}, illetve r {R} egy képpont eredeti, illetve transzformált világosságkódja Skálázás Skálázásnak nevezzük a T : [q a, q f ] {R} leképzését megvalósító globális transzformációkat, ahol q a ( q m), illetve q f ( q M ) a bemen világosságkód-intervallum alsó, illetve fels határa. 50 / 61
51 Skálázások Hisztogram transzformációk Szakaszonként lineáris transzformáció Képzsugorítás A szakaszonként lineáris transzformációt a következ összefüggés alapján végezzük: r m ha [ ] q < q a rm r r = m int (q q q f q a a) + r m ha q a q q f r M ha q>q f ahol int a legközelebbi egész szám. Ha a teljes bemen intervallumot akarjuk transzformálni, akkor a q a = q m, illetve q f = q M, különben kódzsugorításról beszélünk. Kontrasztkiemelés Ha {Q} {R}, akkor az eljárást kontrasztkiemelésnek nevezzük, ilyenkor megn a különbség a legsötétebb és a legvilágosabb képpontok világosságkódja között, az eredmény hisztogramjában lyukak keletkeznek. 51 / 61
52 Skálázások Hisztogram transzformációk Szakaszonként lineáris transzformációk Szakaszonként lineáris transzformáció és kódzsugorítás A teljes bemen intervallum transzformálása és kódzsugorítás. 52 / 61
53 Skálázások Hisztogram transzformációk Kontrasztkiemelés Kontrasztkiemelés Az eredeti hisztogram, a lineáris transzformáció és a transzformált kép hisztogramja. 53 / 61
54 Skálázások Hisztogram transzformációk Kontrasztkiemelés Kontrasztkiemelés A hisztogram-transzformáció (kontrasztkiemelés) hatása egy árnyalatszegény képre. 54 / 61
55 Skálázások Hisztogram transzformációk Egyéb transzformációk Tetszés szerinti transzformáció Tetszés szerinti transzformációt az [ ] rm r m r = int [t (q) t (q m)] + r m q tm q tm összefüggés valósít meg, ahol q tm, illetve q tm a bemen kódokra alkalmazott t transzformáció során nyert legkisebb, illletve legnagyobb érték. Inverz megjelenítés Az invertáló transzformáció az alábbi összefüggéssel valósítható meg: [ ] rm r m r = int (q M q) + r m q tm q tm 55 / 61
56 Skálázások Hisztogram transzformációk Inverz transzformáció Inverz transzformáció Az eredeti kép és a rajta végrehajtott inverz transzformáció. 56 / 61
57 Skálázások Hisztogram transzformációk Vágások Képvágások A képpontok küszöbök szerinti átskálázását képvágásnak, n 1 küszöb megadása esetén n szintre vágásnak nevezzük. Két szintre vágás Két szintre vágás esetén a képpontokat egy küszöb megadásával értékes, illetve háttérpontokra min sítjük. Az ilyen képet bináris képnek is nevezik. 57 / 61
58 Skálázások Hisztogram transzformációk Vágások Képvágások A képpontok küszöbök szerinti átskálázását képvágásnak, n 1 küszöb megadása esetén n szintre vágásnak nevezzük. Két szintre vágás Két szintre vágás esetén a képpontokat egy küszöb megadásával értékes, illetve háttérpontokra min sítjük. Az ilyen képet bináris képnek is nevezik. 58 / 61
59 Skálázások Hisztogram transzformációk Képvágási m veletek Képvágási m veletek Az eredeti kép és a rajta végrehajtott kétszintre vágás, sávkiemelés és a három szintre vágás. 59 / 61
60 Lineáris koordináta-transzformációk Hisztogram transzformációk Vágások 60 / 61
61 Köszönöm gyelmüket! 61 / 61
Véletlen jelenség: okok rendszere hozza létre - nem ismerhetjük mind, ezért sztochasztikus.
Valószín ségelméleti és matematikai statisztikai alapfogalmak összefoglalása (Kemény Sándor - Deák András: Mérések tervezése és eredményeik értékelése, kivonat) Véletlen jelenség: okok rendszere hozza
Képfeldolgozás. 1. el adás. A képfeldolgozás alapfogalmai. Mechatronikai mérnök szak BME, 2008
Képfeldolgozás 1. el adás. A képfeldolgozás alapfogalmai BME, 2008 A digitális képfeldolgozás alapfeladata Deníció A digitális képfeldolgozás során arra törekszünk, hogy a természetes képek elemzése révén
Abszolút folytonos valószín ségi változó (4. el adás)
Abszolút folytonos valószín ségi változó (4. el adás) Deníció (Abszolút folytonosság és s r ségfüggvény) Az X valószín ségi változó abszolút folytonos, ha van olyan f : R R függvény, melyre P(X t) = t
Microsoft Excel 2010. Gyakoriság
Microsoft Excel 2010 Gyakoriság Osztályközös gyakorisági tábla Nagy számú mérési adatokat csoportokba (osztályokba) rendezése -> könnyebb áttekintés Osztályokban szereplő adatok száma: osztályokhoz tartozó
Elméleti összefoglaló a Valószín ségszámítás kurzushoz
Elméleti összefoglaló a Valószín ségszámítás kurzushoz Véletlen kísérletek, események valószín sége Deníció. Egy véletlen kísérlet lehetséges eredményeit kimeneteleknek nevezzük. A kísérlet kimeneteleinek
Gazdasági matematika II. tanmenet
Gazdasági matematika II. tanmenet Mádi-Nagy Gergely A hivatkozásokban az alábbi tankönyvekre utalunk: T: Tóth Irén (szerk.): Operációkutatás I., Nemzeti Tankönyvkiadó 1987. Cs: Csernyák László (szerk.):
Permutációk véges halmazon (el adásvázlat, február 12.)
Permutációk véges halmazon el adásvázlat 2008 február 12 Maróti Miklós Ennek az el adásnak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudni: ismétlés nélküli variáció leképezés indulási és érkezési halmaz
Lineáris algebra 2. Filip Ferdinánd december 7. siva.banki.hu/jegyzetek
Lineáris algebra 2 Filip Ferdinánd filipferdinand@bgkuni-obudahu sivabankihu/jegyzetek 2015 december 7 Filip Ferdinánd 2016 februar 9 Lineáris algebra 2 1 / 37 Az el adás vázlata Determináns Determináns
Számítógépes geometria
2011 sz A grakus szállítószalag terv a geometriai (matematikai) modell megalkotása modelltranszformáció (3D 3D) vetítés (3D 2D) képtranszformáció (2D 2D)... raszterizáció A grakus szállítószalag: koncepció
Pontműveletek. Sergyán Szabolcs Óbudai Egyetem Neumann János Informatikai Kar február 20.
Pontműveletek Sergyán Szabolcs sergyan.szabolcs@nik.uni-obuda.hu Óbudai Egyetem Neumann János Informatikai Kar 2012. február 20. Sergyán (OE NIK) Pontműveletek 2012. február 20. 1 / 40 Felhasznált irodalom
Egyváltozós függvények 1.
Egyváltozós függvények 1. Filip Ferdinánd filip.ferdinand@bgk.uni-obuda.hu siva.banki.hu/jegyzetek 015 szeptember 1. Filip Ferdinánd 015 szeptember 1. Egyváltozós függvények 1. 1 / 5 Az el adás vázlata
Elméleti összefoglaló a Sztochasztika alapjai kurzushoz
Elméleti összefoglaló a Sztochasztika alapjai kurzushoz 1. dolgozat Véletlen kísérletek, események valószín sége Deníció. Egy véletlen kísérlet lehetséges eredményeit kimeneteleknek nevezzük. A kísérlet
Lineáris leképezések. Wettl Ferenc március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések március 9. 1 / 31
Lineáris leképezések Wettl Ferenc 2015. március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések 2015. március 9. 1 / 31 Tartalom 1 Mátrixleképezés, lineáris leképezés 2 Alkalmazás: dierenciálhatóság 3 2- és 3-dimenziós
Matematika B/1. Tartalomjegyzék. 1. Célkit zések. 2. Általános követelmények. Biró Zsolt. 1. Célkit zések Általános követelmények 1
Matematika B/1 Biró Zsolt Tartalomjegyzék 1. Célkit zések 1 2. Általános követelmények 1 3. Rövid leírás 2 4. Oktatási módszer 2 5. Követelmények, pótlások 2 6. Tematika 2 6.1. Alapfogalmak, matematikai
MBNK12: Permutációk (el adásvázlat, április 11.) Maróti Miklós
MBNK12: Permutációk el adásvázlat 2016 április 11 Maróti Miklós 1 Deníció Az A halmaz permutációin a π : A A bijektív leképezéseket értjünk Tetsz leges n pozitív egészre az {1 n} halmaz összes permutációinak
Lin.Alg.Zh.1 feladatok
LinAlgZh1 feladatok 01 3d vektorok Adott három vektor ā = (0 2 4) b = (1 1 4) c = (0 2 4) az R 3 Euklideszi vektortérben egy ortonormált bázisban 1 Mennyi az ā b skalárszorzat? 2 Mennyi az n = ā b vektoriális
Robotika. Kinematika. Magyar Attila
Robotika Kinematika Magyar Attila amagyar@almos.vein.hu Miről lesz szó? Bevezetés Merev test pozíciója és orientációja Rotáció Euler szögek Homogén transzformációk Direkt kinematika Nyílt kinematikai lánc
Vektorterek. Wettl Ferenc február 17. Wettl Ferenc Vektorterek február / 27
Vektorterek Wettl Ferenc 2015. február 17. Wettl Ferenc Vektorterek 2015. február 17. 1 / 27 Tartalom 1 Egyenletrendszerek 2 Algebrai struktúrák 3 Vektortér 4 Bázis, dimenzió 5 Valós mátrixok és egyenletrendszerek
Lin.Alg.Zh.1 feladatok
Lin.Alg.Zh. feladatok 0.. d vektorok Adott három vektor ā (0 b ( c (0 az R Euklideszi vektortérben egy ortonormált bázisban.. Mennyi az ā b skalárszorzat? ā b 0 + + 8. Mennyi az n ā b vektoriális szorzat?
Függvényhatárérték és folytonosság
8. fejezet Függvényhatárérték és folytonosság Valós függvények és szemléltetésük D 8. n-változós valós függvényen (n N + ) olyan f függvényt értünk amelynek értelmezési tartománya (Dom f ) az R n halmaznak
Statisztika - bevezetés Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc 1
Statisztika - bevezetés 00.04.05. Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc Bevezetés Véletlen jelenség fogalma jelenséget okok bizonyos rendszere hozza létre ha mindegyik figyelembe vehető egyértelmű leírás általában
Bevezetés. Transzformáció
Geoinformatika alapjai ea. VI. Bevezetés GIS mőveletek I. Tematika Számonkérés Irodalom Transzformáció 28.5.6. Transzformációk típusai formátum geometriai 28.5.6. 2 Geometriai transzformáció I. Célja:
Komplex számok. Komplex számok és alakjaik, számolás komplex számokkal.
Komplex számok Komplex számok és alakjaik, számolás komplex számokkal. 1. Komplex számok A komplex számokra a valós számok kiterjesztéseként van szükség. Ugyanis már középiskolában el kerülnek olyan másodfokú
Mátrixok 2017 Mátrixok
2017 számtáblázatok" : számok rendezett halmaza, melyben a számok helye két paraméterrel van meghatározva. Például lineáris egyenletrendszer együtthatómátrixa 2 x 1 + 4 x 2 = 8 1 x 1 + 3 x 2 = 1 ( 2 4
Hajder Levente 2017/2018. II. félév
Hajder Levente hajder@inf.elte.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2017/2018. II. félév Tartalom 1 2 3 Geometriai modellezés feladata A világunkat modellezni kell a térben. Valamilyen koordinátarendszer
2. gyakorlat. A polárkoordináta-rendszer
. gyakorlat A polárkoordináta-rendszer Az 1. gyakorlaton megismerkedtünk a descartesi koordináta-rendszerrel. Síkvektorokat gyakran kényelmes ún. polárkoordinátákkal megadni: az r hosszúsággal és a φ irányszöggel
Kódelméleti és kriptográai alkalmazások
Kódelméleti és kriptográai alkalmazások Wettl Ferenc 2015. május 14. Wettl Ferenc Kódelméleti és kriptográai alkalmazások 2015. május 14. 1 / 11 1 Hibajavító kódok 2 Általánosított ReedSolomon-kód Wettl
Hozzárendelés, lineáris függvény
Hozzárendelés, lineáris függvény Feladat 1 A ménesben a lovak száma és a lábaik száma közötti összefüggést vizsgáljuk. Hány lába van 0; 1; 2; 3; 5; 7... lónak? Készíts értéktáblázatot, és ábrázold derékszögű
Leíró és matematikai statisztika el adásnapló Matematika alapszak, matematikai elemz szakirány 2016/2017. tavaszi félév
Leíró és matematikai statisztika el adásnapló Matematika alapszak, matematikai elemz szakirány 2016/2017. tavaszi félév A pirossal írt anyagrészeket nem fogom közvetlenül számon kérni a vizsgán, azok háttérismeretként,
Infobionika ROBOTIKA. X. Előadás. Robot manipulátorok II. Direkt és inverz kinematika. Készült a HEFOP P /1.0 projekt keretében
Infobionika ROBOTIKA X. Előadás Robot manipulátorok II. Direkt és inverz kinematika Készült a HEFOP-3.3.1-P.-2004-06-0018/1.0 projekt keretében Tartalom Direkt kinematikai probléma Denavit-Hartenberg konvenció
Lineáris leképezések. 2. Lineáris-e az f : R 2 R 2 f(x, y) = (x + y, x 2 )
Lineáris leképezések 1 Lineáris-e az f : R 2 R 2 f(x, y = (3x + 2y, x y leképezés? A linearitáshoz ellen riznünk kell, hogy a leképzés additív és homogén Legyen x = (x 1, R 2, y = (y 1, y 2 R 2, c R Ekkor
2. A ξ valószín ségi változó eloszlásfüggvénye a következ : x 4 81 F (x) = x 4 ha 3 < x 0 különben
1 feladatsor 1 Egy dobozban 20 fehér golyó van Egy szabályos dobókockával dobunk, majd a következ t tesszük: ha a dobott szám 1,2 vagy 3, akkor tíz golyót cserélünk ki pirosra; ha a dobott szám 4 vagy
Határérték. Wettl Ferenc el adása alapján és Wettl Ferenc el adása alapján Határérték és
2015.09.28. és 2015.09.30. 2015.09.28. és 2015.09.30. 1 / Tartalom 1 A valós függvén fogalma 2 A határérték fogalma a végtelenben véges pontban Végtelen határértékek 3 A határértékek kiszámítása A rend
5. házi feladat. AB, CD kitér élpárra történ tükrözések: Az ered transzformáció: mivel az origó xpont, így nincs szükség homogénkoordinátás
5. házi feladat 1.feladat A csúcsok: A = (0, 1, 1) T, B = (0, 1, 1) T, C = (1, 0, 0) T, D = ( 1, 0, 0) T AB, CD kitér élpárra történ tükrözések: 1 0 0 T AB = 0 1 0, elotlási rész:(i T AB )A = (0, 0, )
Vektorok. Wettl Ferenc október 20. Wettl Ferenc Vektorok október / 36
Vektorok Wettl Ferenc 2014. október 20. Wettl Ferenc Vektorok 2014. október 20. 1 / 36 Tartalom 1 Vektorok a 2- és 3-dimenziós térben 2 Távolság, szög, orientáció 3 Vektorok koordinátás alakban 4 Összefoglalás
GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN
GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN Készült a TÁMOP-4.1.-08//a/KMR-009-0041 pályázati projekt keretében Tartalomfejlesztés az ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszékén az ELTE Közgazdaságtudományi Tanszék
Lineáris egyenletrendszerek
Lineáris egyenletrendszerek 1 Alapfogalmak 1 Deníció Egy m egyenletb l álló, n-ismeretlenes lineáris egyenletrendszer általános alakja: a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a
Sorozatok és Sorozatok és / 18
Sorozatok 2015.11.30. és 2015.12.02. Sorozatok 2015.11.30. és 2015.12.02. 1 / 18 Tartalom 1 Sorozatok alapfogalmai 2 Sorozatok jellemz i 3 Sorozatok határértéke 4 Konvergencia és korlátosság 5 Cauchy-féle
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria III.
Geometria III. DEFINÍCIÓ: (Vektor) Az egyenlő hosszúságú és egyirányú irányított szakaszoknak a halmazát vektornak nevezzük. Jele: v. DEFINÍCIÓ: (Geometriai transzformáció) Geometriai transzformációnak
Matematika A2 vizsga mgeoldása június 4.
Matematika A vizsga mgeoldása 03. június.. (a (3 pont Definiálja az f(x, y függvény határértékét az (x 0, y 0 helyen! Megoldás: Legyen D R, f : D R. Legyen az f(x, y függvény értelmezve az (x 0, y 0 pont
3D koordináta-rendszerek
3D koordináta-rendszerek z z y x y x y balkezes bal-sodrású x jobbkezes jobb-sodrású z 3D transzformációk - homogén koordináták (x, y, z) megadása homogén koordinátákkal: (x, y, z, 1) (x, y, z, w) = (x,
1. Példa. A gamma függvény és a Fubini-tétel.
. Példa. A gamma függvény és a Fubini-tétel.. Az x exp x + t )) függvény az x, t tartományon folytonos, és nem negatív, ezért alkalmazható rá a Fubini-tétel. I x exp x + t )) dxdt + t dt π 4. [ exp x +
Vektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek
a Matematika mérnököknek I. című tárgyhoz Vektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek Vektorok A rendezett valós számpárokat kétdimenziós valós vektoroknak nevezzük. Jelölésükre latin kisbetűket használunk.
Transzformációk síkon, térben
Transzformációk síkon, térben Leképezés, transzformáció Leképezés: Ha egy A ponttér pontjaihoz egy másik B ponttér pontjait kölcsönösen egyértelműen rendeljük hozzá, akkor ezt a hozzárendelést leképezésnek
6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének
6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük
A Föld középpontja felé szabadon eső test sebessége növekszik, azaz, a
a Matematika mérnököknek I. című tárgyhoz Függvények. Függvények A Föld középpontja felé szabadon eső test sebessége növekszik, azaz, a szabadon eső test sebessége az idő függvénye. Konstans hőmérsékleten
3. el adás: Determinánsok
3. el adás: Determinánsok Wettl Ferenc 2015. február 27. Wettl Ferenc 3. el adás: Determinánsok 2015. február 27. 1 / 19 Tartalom 1 Motiváció 2 A determináns mint sorvektorainak függvénye 3 A determináns
Matematika (mesterképzés)
Matematika (mesterképzés) Környezet- és Településmérnököknek Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 1 / 29 Lineáris tér,
Bázistranszformáció és alkalmazásai 2.
Bázistranszformáció és alkalmazásai 2. Lineáris algebra gyakorlat Összeállította: Bogya Norbert Tartalomjegyzék 1 Mátrix rangja 2 Mátrix inverze 3 Mátrixegyenlet Mátrix rangja Tartalom 1 Mátrix rangja
2014. szeptember 24. és 26. Dr. Vincze Szilvia
2014. szeptember 24. és 26. Dr. Vincze Szilvia Mind a hétköznapi, mind a tudományos életben gyakran előfordul, hogy bizonyos halmazok elemei között kapcsolat figyelhető meg. A kapcsolat fogalmának matematikai
Diszkrét matematika 2.C szakirány
Diszkrét matematika 2.C szakirány 2017. tavasz 1. Diszkrét matematika 2.C szakirány 4. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék 2017.
FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI
FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 4 IV. MINTA, ALAPsTATIsZTIKÁK 1. MATEMATIKAI statisztika A matematikai statisztika alapfeladatát nagy általánosságban a következőképpen
LINEÁRIS ALGEBRA. matematika alapszak. Euklideszi terek. SZTE Bolyai Intézet, őszi félév. Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40
LINEÁRIS ALGEBRA matematika alapszak SZTE Bolyai Intézet, 2016-17. őszi félév Euklideszi terek Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40 Euklideszi tér Emlékeztető: A standard belső szorzás és standard
Matematika 8. osztály
ELTE Apáczai Csere János Gyakorló Gimnázium és Kollégium Hat évfolyamos Matematika 8. osztály III. rész: Függvények Készítette: Balázs Ádám Budapest, 2018 2. Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék III. rész:
Eseményalgebra. Esemény: minden amirl a kísérlet elvégzése során eldönthet egyértelmen hogy a kísérlet során bekövetkezett-e vagy sem.
Eseményalgebra. Esemény: minden amirl a kísérlet elvégzése során eldönthet egyértelmen hogy a kísérlet során bekövetkezett-e vagy sem. Elemi esemény: a kísérlet egyes lehetséges egyes lehetséges kimenetelei.
Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1
Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =
Ortogonalizáció. Wettl Ferenc Wettl Ferenc Ortogonalizáció / 41
Ortogonalizáció Wettl Ferenc 2016-03-22 Wettl Ferenc Ortogonalizáció 2016-03-22 1 / 41 Tartalom 1 Ortonormált bázis 2 Ortogonális mátrix 3 Ortogonalizáció 4 QR-felbontás 5 Komplex skaláris szorzás 6 Diszkrét
[Biomatematika 2] Orvosi biometria
[Biomatematika 2] Orvosi biometria 2016.02.15. Esemény Egy kísérlet vagy megfigyelés (vagy mérés) lehetséges eredményeinek összessége (halmaza) alkotja az eseményteret. Esemény: az eseménytér részhalmazai.
Tartalom. Nevezetes affin transzformációk. Valasek Gábor 2016/2017. tavaszi félév
Tartalom Motiváció Számítógépes Grafika Valasek Gábor valasek@inf.elte.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2016/2017. tavaszi félév Transzformációk Transzformációk általában Nevezetes affin
MA1143v A. csoport Név: december 4. Gyak.vez:. Gyak. kódja: Neptun kód:.
MAv A. csoport Név:... Tekintsük az alábbi mátriot! A 7 a Invertálható-e az A mátri? Ha igen akkor bázistranszformációval határozza meg az inverzét! Ellenőrizze számításait! b Milyen egyéb mátritulajdonságokra
Biostatisztika. Sz cs Gábor. 2018/19 tavaszi félév. Szegedi Tudományegyetem, Bolyai Intézet
Biostatisztika Sz cs Gábor Szegedi Tudományegyetem, Bolyai Intézet 2018/19 tavaszi félév Bevezetés Tudnivalók, követelmények Tudnivalók, követelmények Félév tematikája: Értékelés: Valószín ségszámítás
Valószín ségszámítás és statisztika
Valószín ségszámítás és statisztika Informatika BSc, esti tagozat Backhausz Ágnes agnes@cs.elte.hu 2016/2017. tavaszi félév Bevezetés Célok: véletlen folyamatok modellezése; kísérletekb l, felmérésekb
HALMAZELMÉLET feladatsor 1.
HALMAZELMÉLET feladatsor 1. Egy (H,, ) algebrai struktúra háló, ha (H, ) és (H, ) kommutatív félcsoport, és teljesül az ún. elnyelési tulajdonság: A, B H: A (A B) = A, A (A B) = A. A (H,, ) háló korlátos,
0,424 0,576. f) P (X 2 = 3) g) P (X 3 = 1) h) P (X 4 = 1 vagy 2 X 2 = 2) i) P (X 7 = 3, X 4 = 1, X 2 = 2 X 0 = 2) j) P (X 7 = 3, X 4 = 1, X 2 = 2)
Legyen adott a P átmenetvalószín ség mátrix és a ϕ 0 kezdeti eloszlás Kérdés, hogy miként lehetne meghatározni az egyes állapotokban való tartózkodás valószín ségét az n-edik lépés múlva Deniáljuk az n-lépéses
Biomatematika 2 Orvosi biometria
Biomatematika 2 Orvosi biometria 2017.02.13. Populáció és minta jellemző adatai Hibaszámítás Valószínűség 1 Esemény Egy kísérlet vagy megfigyelés (vagy mérés) lehetséges eredményeinek összessége (halmaza)
1. Mátrixösszeadás és skalárral szorzás
1 Mátrixösszeadás és skalárral szorzás Mátrixok tömör jelölése T test Az M = a i j T n m azt az n sorból és m oszlopból álló mátrixot jelöli, amelyben az i-edik sor j-edik eleme a i j T Példák [ ] Ha M
Sajátértékek és sajátvektorok. mf1n1a06- mf1n2a06 Csabai István
Sajátértékek és sajátvektorok A fizika numerikus módszerei I. mf1n1a06- mf1n2a06 Csabai István Lineáris transzformáció Vektorok lineáris transzformációja: általános esetben az x vektor iránya és nagysága
Matematikai geodéziai számítások 10.
Matematikai geodéziai számítások 10. Hibaellipszis, talpponti görbe és közepes ponthiba Dr. Bácsatyai, László Matematikai geodéziai számítások 10.: Hibaellipszis, talpponti görbe és Dr. Bácsatyai, László
Valószínűségszámítás összefoglaló
Statisztikai módszerek BMEGEVGAT Készítette: Halász Gábor Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Gépészmérnöki Kar Hidrodinamikai Rendszerek Tanszék, Budapest, Műegyetem rkp. 3. D ép. 334. Tel:
Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:
Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x
Valasek Gábor Informatikai Kar. 2016/2017. tavaszi félév
Számítógépes Grafika Valasek Gábor valasek@inf.elte.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2016/2017. tavaszi félév Tartalom 1 Motiváció 2 Transzformációk Transzformációk általában 3 Nevezetes
Függvény fogalma, jelölések 15
DOLGO[Z]ZATOK 9.. 1. Függvény fogalma, jelölések 1 1. Az alábbi hozzárendelések közül melyek függvények? a) A magyarországi megyékhez hozzárendeljük a székhelyüket. b) Az egész számokhoz hozzárendeljük
Függvények Megoldások
Függvények Megoldások ) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) x x b) x x + c) x ( x + ) b) Az x függvény
SULINOVA PROGRAMTANTERVÉHEZ ILLESZKEDŐ TANMENET 9. ÉVFOLYAM SZÁMÁRA
1 SULINOVA PROGRAMTANTERVÉHEZ ILLESZKEDŐ TANMENET 9. ÉVFOLYAM SZÁMÁRA Heti óraszám: 3 Éves óraszám: 37 x 3 = 111 A tanmenet 101 óra beosztását tartalmazza. A dolgozatok írása és javítása 10 órát foglal
A KroneckerCapelli-tételb l következik, hogy egy Bx = 0 homogén lineáris egyenletrendszernek
10. gyakorlat Mátrixok sajátértékei és sajátvektorai Azt mondjuk, hogy az A M n mátrixnak a λ IR szám a sajátértéke, ha létezik olyan x IR n, x 0 vektor, amelyre Ax = λx. Ekkor az x vektort az A mátrix
FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI
FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 10 X. SZIMULÁCIÓ 1. VÉLETLEN számok A véletlen számok fontos szerepet játszanak a véletlen helyzetek generálásában (pénzérme, dobókocka,
2012. október 9 és 11. Dr. Vincze Szilvia
2012. október 9 és 11. Dr. Vincze Szilvia Egyváltozós valós függvények nevezetes osztályai I. Algebrai függvények Racionális egész függvények (polinomok) Racionális törtfüggvények Irracionális függvények
2. SZÉLSŽÉRTÉKSZÁMÍTÁS. 2.1 A széls érték fogalma, létezése
2 SZÉLSŽÉRTÉKSZÁMÍTÁS DEFINÍCIÓ 21 A széls érték fogalma, létezése Azt mondjuk, hogy az f : D R k R függvénynek lokális (helyi) maximuma (minimuma) van az x 0 D pontban, ha van olyan ε > 0 hogy f(x 0 )
Diszkrét matematika II., 1. el adás. Lineáris leképezések
1 Diszkrét matematika II., 1. el adás Lineáris leképezések Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2005. február 6 Gyakorlati célok Ezen el adáson,
Kinematika szeptember Vonatkoztatási rendszerek, koordinátarendszerek
Kinematika 2014. szeptember 28. 1. Vonatkoztatási rendszerek, koordinátarendszerek 1.1. Vonatkoztatási rendszerek A test mozgásának leírása kezdetén ki kell választani azt a viszonyítási rendszert, amelyből
0-49 pont: elégtelen, pont: elégséges, pont: közepes, pont: jó, pont: jeles
Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I. 2013. jan. 10. Név: Neptun kód: Idő: 180 perc Elm.: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. Fel. össz.: Össz.: Oszt.: Az elérhető pontszám 40 (elmélet) + 60 (feladatok)
Exponenciális, logaritmikus függvények
Exponenciális, logaritmikus függvények DEFINÍCIÓ: (Összetett függvény) Ha az értékkészlet elemeihez, mint értelmezési tartományhoz egy újabb egyértelmű hozzárendelést adunk meg, akkor összetett (közvetett)
FÜGGVÉNYEK TULAJDONSÁGAI, JELLEMZÉSI SZEMPONTJAI
FÜGGVÉNYEK TULAJDONSÁGAI, JELLEMZÉSI SZEMPONTJAI FÜGGVÉNY: Adott két halmaz, H és K. Ha a H halmaz minden egyes eleméhez egyértelműen hozzárendeljük a K halmaznak egy-egy elemét, akkor a hozzárendelést
Matematika pótvizsga témakörök 9. V
Matematika pótvizsga témakörök 9. V 1. Halmazok, műveletek halmazokkal halmaz, halmaz eleme halmazok egyenlősége véges, végtelen halmaz halmazok jelölése, megadása természetes számok egész számok racionális
biometria II. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert Matematikai-statisztikai adatfeldolgozás
Kísérlettervezés - biometria II. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert Matematikai-statisztikai adatfeldolgozás A matematikai-statisztika feladata tapasztalati adatok feldolgozásával segítséget nyújtani
Bevezetés. 1. fejezet. Algebrai feladatok. Feladatok
. fejezet Bevezetés Algebrai feladatok J. A számok gyakran használt halmazaira a következ jelöléseket vezetjük be: N a nemnegatív egész számok, N + a pozitív egész számok, Z az egész számok, Q a racionális
A leíró statisztikák
A leíró statisztikák A leíró statisztikák fogalma, haszna Gyakori igény az, hogy egy adathalmazt elemei egyenkénti felsorolása helyett néhány jellemző tulajdonságának megadásával jellemezzünk. Ezeket az
A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex
A sorozat fogalma Definíció. A természetes számok N halmazán értelmezett függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet a valós számok halmaza, valós számsorozatról beszélünk, mígha az
Diszkrét matematika 2.
Diszkrét matematika 2. 2018. március 9. 1. Diszkrét matematika 2. 4. előadás Fancsali Szabolcs Levente nudniq@cs.elte.hu www.cs.elte.hu/ nudniq Komputeralgebra Tanszék 2018. március 9. Gráfelmélet Diszkrét
Matematika B/1. Tartalomjegyzék. 1. Célkit zések. 2. Általános követelmények. 3. Rövid leírás. 4. Oktatási módszer. Biró Zsolt. 1.
Matematika B/1 Biró Zsolt Tartalomjegyzék 1. Célkit zések 1 2. Általános követelmények 1 3. Rövid leírás 1 4. Oktatási módszer 1 5. Követelmények, pótlások 2 6. Program (el adás) 2 7. Program (gyakorlat)
Lineáris algebra és a rang fogalma (el adásvázlat, szeptember 29.) Maróti Miklós
Lineáris algebra és a rang fogalma (el adásvázlat, 2010. szeptember 29.) Maróti Miklós Ennek az el adásnak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudni: (1) A mátrixalgebrával kapcsolatban: számtest
12. előadás. Egyenletrendszerek, mátrixok. Dr. Szörényi Miklós, Dr. Kallós Gábor
12. előadás Egyenletrendszerek, mátrixok Dr. Szörényi Miklós, Dr. Kallós Gábor 2015 2016 1 Tartalom Matematikai alapok Vektorok és mátrixok megadása Tömbkonstansok Lineáris műveletek Mátrixok szorzása
1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények
1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények 1.1. Dierenciálhatóság 1.1. deníció. Legyen a z 0 pont az f(z) függvény értelmezési tartományának torlódási
Lineáris Algebra. Tartalomjegyzék. Pejó Balázs. 1. Peano-axiomák
Lineáris Algebra Pejó Balázs Tartalomjegyzék 1. Peano-axiomák 2 1.1. 1.................................................... 2 1.2. 2.................................................... 2 1.3. 3....................................................
PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak
PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak MATEMATIKA (A tantárgy tartalma és a tananyag elsajátításának időterve.) Összeállította: Kis Miklós adjunktus Tankönyvek (mindhárom félévre): 1. Scharnitzky
Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia április 7.
ME, Anaĺızis Tanszék 2010. április 7. , alapfogalmak 2.1. Definíció A H 1, H 2,..., H n R (ahol n 2 egész szám) nemüres valós számhalmazok H 1 H 2... H n Descartes-szorzatán a következő halmazt értjük:
FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI
FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 2 II. A valószínűségi VÁLTOZÓ És JELLEMZÉsE 1. Valószínűségi VÁLTOZÓ Definíció: Az leképezést valószínűségi változónak nevezzük, ha
Inverz Laplace-transzformáció. Vajda István március 4.
Analízis előadások Vajda István 2009. március 4. Definíció: Ha az f (t) függvény laplace-transzformáltja F (s), akkor f (t)-t az F (s) függvény inverz Laplace-transzformáltjának nevezzük. Definíció: Ha
Online algoritmusok. Algoritmusok és bonyolultságuk. Horváth Bálint március 30. Horváth Bálint Online algoritmusok március 30.
Online algoritmusok Algoritmusok és bonyolultságuk Horváth Bálint 2018. március 30. Horváth Bálint Online algoritmusok 2018. március 30. 1 / 28 Motiváció Gyakran el fordul, hogy a bemenetet csak részenként
Vektorterek. =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott
Vektorterek =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott 40. Alteret alkotnak-e a valós R 5 vektortérben a megadott részhalmazok? Ha igen, akkor hány dimenziósak? (a) L = { (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) x 1 = x 5,