Bevezetés. Transzformáció

Átírás

1 Geoinformatika alapjai ea. VI. Bevezetés GIS mőveletek I. Tematika Számonkérés Irodalom Transzformáció

2 Transzformációk típusai formátum geometriai

3 Geometriai transzformáció I. Célja: a, geometriai adatok átalakítása ismert vetületi rendszerbe b, térbeli adatok átalakítása egyik vetületi rendszerbıl a másikba

4 Matematikai alapok Síkbeli geometriai transzformációk és mátrixok

5 Problémafelvetés légifotók mőholdképek digitális és analóg térképek egymásra illesztése:??????????? =>GEOMETRIAI TRANSZFORMÁCIÓK

6 Jól ismert transzformációk tengelyes tükrözés középpontos tükrözés elforgatás eltolás középpontos nagyítás fentiek kombinációja (merıleges) affinitás egybevágóságok hasonlóságok egyenestartó transzformációk

7 Affinitás Definíció: egyenestartó transzformáció Egy affinitás esetén tengelynek nevezzük az affinitásra fix egyenest. A sík önmagára való, nem identikus affinitását tengelyes affinitásnak nevezzük, ha van tengelye. Pl.: a tengelyes tükrözés, mint affinitás esetében az affinitás tengelye a tükörtengely

8 Belátható, hogy a sík önmagára való, nem identikus affinitásának legfeljebb egy tengelye van. A tengelyes affinitás megfelelı pontjait összekötı egyenesek irányát az affinitás irányának nevezzük. Ha a tengelyes affinitás iránya merıleges a tengelyre, akkor merıleges vagy ortogonális affinitásról, ha párhuzamos az affinitás iránya a tengellyel, akkor párhuzamos affinitásról, egyéb esetben ferde affinitásról beszélünk

9 Ha a tengelyes affinitás iránya nem párhuzamos az affinitás tengelyével, akkor bármely nem fix pontot ( pl. P, Q) a képponttal összekötı egyenesnek és a tengelynek a P t, Q t metszéspontjára minden esetben igaz: PP t /P t P = QQ t /Q t Q (osztóviszony)

10 Affinitások legfontosabb ismérvei Bármely tengelyes affinitás megadható tengelyével, irányával és tetszıleges pont esetén a PP t /P t P hányadossal (osztóviszony) Minden affinitás megadható három nem kollineáris pontpárral. Minden affinitás elıállítható egy hasonlósági transzformáció és egy tengelyes affinitás szorzataként

11 Affin transzformációk hatásai (ezeket nevezzük lineáris transzformációknak, mivel a pontképpont párok között lineáris (elsıfokú) egyenletrendszer teremt kapcsolatot)

12 Mi más lehet még? Az alábbi felületek nemlineáris* transzformációkkal vihetık egymásba gömbfelület síkbafejtésénél ezek szükségszerőek. * ezek általában másodfokú, harmadfokú... polinomiális egyenleteket jelentenek 2

13 Segédeszközök : a mátrixok Definíció: n oszlopból és m sorból álló táblázat a a M a 2 m a a a 2 22 M m2 Mivel ennek a mátrixnak m sora és n oszlopa van, m n típusú mátrixnak nevezzük. A mátrixban levı a ij számok a mátrix elemei. a ij az i-edik sor j-edik eleme, az i- t sorindexnek, a j-t pedig oszlopindexnek nevezzük. Két mátrix egyenlı, ha ugyanolyan típusúak és megfelelı elemeik megegyeznek. Ha m = n, akkor a mátrixot négyzetes mátrixnak nevezzük Ha a mátrixnak egy sora vagy egy oszlopa van, azaz n-es vagy m -es, akkor sor-, illetve oszlopvektornak nevezzük a a a n 2n M mn

14 Négyzetes mátrix: Spec. esete az egységmátrix: E = Sorvektor: (-2 5), (2 3-3); Oszlopvektor: Példák mátrixokra M O M M 7 2, 5 4

15 Összeadás: csak az azonos típusú mátrixokat lehet összeadni Két m n típusú A és B mátrix összegén azt az m n típusú C mátrixot értjük, amely i-edik sorának j-edik oszlopában áll a ij, b ij elemek összege, azaz: c ij = a ij + b ij, i =,, m; j =,.., n. Például: A = ; B =, ekkor A + B = Mőveletek mátrixokkal I

16 Mőveletek mátrixokkal II. Szorzás: csak olyan két mátrixra vonatkozik, ahol az elsı mátrixnak annyi oszlopa van, ahány sora a másodiknak Az A m n típusú és a B n l típusú mátrixok AB szorzatán azt a m l típusú C mátrixot értjük, melyben c ij = a i b j + a i2 b 2j + + a in b nj (i =,, m; j =,, l) Azaz: (a ij ) m n (b ij ) n k = (c ij ) m k,ahol c ij = n k= a ik b kj (i =,, m; j =,, l)

17 Mátrixszorzás * = a a a a a a a a a

18 A mátrixok szorzásának tulajdonságai (A B) C = A (B C), vagyis a mátrixok szorzása asszociatív. A B B A, azaz a mátrixok szorzása nem kommutatív, ez következik a definícióból is, hiszen például egy A 3 5 típusú mátrixot és egy B 5 4 típusú mátrixot össze tudunk szorozni, de a B-t A-val már nem. Egy v valós szám és egy A mátrix szorzatán azt a mátrixot értjük, melyet A-ból úgy kapunk, hogy A minden elemét v-vel szorozzuk. Például: =

19 Mátrix inverze Definíció: Az A négyzetes n n mátrix inverzén értjük azt a négyzetes n n A - mátrixot, amelyre teljesül, hogy A A - = E Pl. * = (értelemszerően a két mátrix egymás inverze) 2 2

20 Geometriai transzformációk megadása mátrixokkal

21 Jelölések Vizsgált pont a koordinátasíkon (oszlopvektorként): A transzformáció melletti képe (képpont): Transzformációmátrix általános alakja: A transzformáció egyenlete: (használatos a sorvektorként való felírás is, akkor értelemszerően jobbról szorzunk) y x y x = a a a a A = y x y x A

22 Képpont megadása A mátrixszorzás szerint az új koordináták értéke kiszámítható: x = a x + a 2 y y = a 2 x + a 22 y

23 Transzformációk I. identikus transzformáció origóra történı középpontos tükrözés x-tengelyre történı tükrözés = A E A = = = A = y x y x = y x y x

24 Transzformációk II. y-tengelyre történı tükrözés merıleges affinitás (t = y) (léptékváltás x mentén!) merıleges affinitás (t = x) (léptékváltás y mentén!) = λ A = A = λ A = y x y x λ λ = y x y x λ λ

25 Transzformációk III. x=y egyenesre történı tükr. origó körüli elforgatás ϕ szöggel pozitív irányba Példák: 9 -os elforgatás, 45 -os elforgatás, 6 -os elforgatás (sin 6 =,866, cos 6 =,5) = A = ϕ ϕ ϕ ϕ cos sin sin cos A + = ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ cos sin sin cos cos sin sin cos y x y x y x = x y y x

26 Példák transzformációkra

27 Mely transzformáció maradt ki? (origóból mi lesz?)

28 Az eltolás ugyancsak megadható 2x2-es mátrixszal. Eltolás + + = + = 2 ' ' 2, c y c x C y x A c c C

29 Nemlineáris transzformációk A transzformáció mátrixát a pont-képpont párok koordinátái alapján számítjuk ki. A mátrix a koordinátatranszformációhoz használt polinom (transzformációs függvény) együtthatóiból áll. Mérete függ a transzformáció fokától

30 Egy ismert pont-képpont pár (illesztési pont) segítségével két egyenlet írható fel, melyben az együtthatók lesznek az ismeretlenek => Kiszámítható, hogy ((n+)*(n+2))/2 számú illesztési pont szükséges a transzformációs mátrix egyértelmő megadásához, ahol n a polinom fokszámát (x, y legmagasabb hatványkitevıjét) jelöli

31 Nemlineáris transzformációk hatása

32 Geometriai transzformáció II. Típusai:. Kép a képhez 2. Kép a térképhez Gyakran elıfordul, hogy egy területrıl több különbözı mőszerrel készített kép áll rendelkezésünkre. A pixelenkénti összehasonlításhoz a képeket azonos hálózatba kell vinni. A képek átfedetéséhez nem mindig szükséges a térképi koordináta rendszer. Ezt a kép a képhez (image to image) átalakítást hozzáillesztésnek (registration) nevezzük. Ha a képi adatokat vetületi rendszerhez illesztjük, és vetületi koordinátákkal látjuk el, akkor a folyamatot geokódolásnak (georeferencing) nevezzük. A képtranszformáció definíció szerint tartalmazza a geokódolást is. A kép a képhez átalakítás csak akkor lesz geokódolás, ha az a kép rendelkezik térképi koordinátákkal, amelyhez a többi képet illesztjük

33 Mikor elégséges csak a geokódolás? A képtranszformációt nem szükséges elvégezni, ha a felvételen nincs torzulás, pl. ha a.img file olyan térképlapról készült (letapogatóval, vagy digitalizálással), amelynek a vetületi rendszere megfelelı. Ebben az esetben csak a megfelelı térképi koordinátákat kell a felvétel header-én (Image info) feltüntetni. A képtranszformáció hátrányai A képtranszformálás folyamán a transzformált pixel-értékeket át kell mintázni, hogy illeszteni tudjuk az új pixel-hálózatra. Bár az új értékeket kiszámító algoritmusok megbízhatóak, a transzformálás folyamán elveszhetnek bizonyos spektrális adatok. Ha az alkalmazás során nincs szükség a térképi koordinátákra és egységekre, akkor helyesebb elkerülni a képtranszformációt

34 Mikor alkalmazzuk a képtranszformációt? A képtranszformáció elkerülhetetlen azokban az esetekben, amelyekben a kép pixelhálózatát egy térképi vetületi rendszerhez, avagy egy másik képhez akarjuk illeszteni. A képillesztésnek több oka is lehet: * pixelenkénti változás vizsgálat * GIS adatbázis-fejlesztés * tanulóterületek kijelölése térképi koordináták alapján * méretarányos fotótérkép készítés * vektoradatok (pl. ARC/VIEW/INFO) alkalmazása * különbözı méretarányú képek összehasonlítása * távolság és területmérés * képek összeillesztése (mozaikolás)

35 Geometriai transzformáció III. Transzformáció lépései kép a térképhez típusnál a, illesztıpontok keresése, b, transzformációs függvény keresése, megadása, c, transzformáció végrehajtása, átmintázás

36 Geometriai transzformáció IV. a, illesztıpontok: GCP keresése, látható legyen mind a képen mind a térképen kép pont (pixel) input adat (x,y, esetleg z) térképi pont referencia adat (X,Y, esetleg Z) lehet (ϕ, λ, h) illesztıpont lehet: pl. útkeresztezıdés, felbontástól függıen egy kút, telekhatár, stb

37 Geometriai transzformáció V. b, transzformációs függvény keresése, megadása, f(x,y)=(x,y), transzformációs függvény fokszáma, rangja (elsı-, másodfokú függvény) X=a x + a 2 y + a 3 és Y= a 2 x + a 22 y + a 3 (elsıfokú), X=a x 2 + a 2 y 2 + a 3 xy + a 4 x + a 5 y + a 6 Y=a 2 x 2 + a 22 y 2 + a 23 xy + a 24 x + a 25 y + a 26 és (másodfokú) Jelentése: eltolás, elforgatás, nyújtás

38 Geometriai transzformáció VI. Az illesztıpontok (GCP) minimális száma (ISZ min ) a transzformációs függvény fokszámától (n) függ: ISZ min = (n+)*(n+2)/

39 Geometriai transzformáció VII. Transzformáció mátrixa: F Transzformáció inverzmátrixa: F - Hibája rms hiba rms x = x - F - (X,Y), rms y = y - F - (X,Y), rms (x,y) = sqrt(rms x 2 + rms y2 )

40 A transzformáció mátrixa A transzformáció mátrixát a GCP-ból számítjuk ki. Célunk, hogy a lehetı legkisebb legyen a hiba a GCP vonatkoztatási koordinátáinak a forrás koordinátákba való transzformációjakor. Nem mindig lehetséges az együtthatókat úgy származtatni, hogy a hiba zérus legyen.. ábra Polinomiális görbe a forrás és a referencia koordinátarendszerben (X koordinátákra) A transzformációs mátrix kiszámításához a legkisebb négyzetek regressziós módszert használják, amely ismert statisztikai eljárás

41 Geometriai transzformáció VIII. c, transzformáció végrehajtása, átmintázás (raszteres adatokon) Miért kell csinálni?

42 Geometriai transzformáció IX. átmintázás (raszteres adatokon) módszerei: legközelebbi szomszéd elve bilineáris interpoláció köbös konvolúció Mikor melyiket?

43 Legközelebbi szomszéd (nearest neighbor) Egy output pixel legközelebbi szomszédjának meghatározásához a pixel transzformált (x,y) koordinátáit a transzformációs mátrix inverzének felhasználásával visszatranszformáljuk az eredeti (forrás) koordináta rendszerbe (xr,yr).az a pixel lesz a legközelebbi szomszéd, amelynek a távolsága a legkisebb a visszatranszformált (xr,yr) koordinátától. E pixel intenzitás értéke lesz az output felvétel képpontjának keresett értéke

44

45 Bilineáris interpoláció A bilineáris interpoláció végrehajtásánál a transzformált pixel intenzitás értéke a visszatranszformált koordinátához legközelebb esı négy input pixelértékbıl számítható ki. A 4. ábrán látható példában a szomszéd pixeleket az,2,3 és 4 számok jelzik, amelyek értékei az adatfile-ben adottak, kiszámolandó az r koordináta intenzitás értéke (Vr)

46

47 Köbös konvolúció A köbös konvolúció hasonló a bilineáris interpolációs módszerhez, az eltérés csak annyi, hogy: * 6 pixelt 4x4-es elrendezésben használ az output intenzitás érték meghatározásához, és * harmadfokú polinomot illeszt a visszatranszformált pont 4x4-es környezetére. A visszatranszformált (xr,yr) koordináta környezı 6 pixelének (6. ábra) kijelöléséhez a (i,j) pixelt használjuk: i=int(xr) j=int(yr)

48

49 Példa affin transzformációra

50 Internet-alapú, osztottan közcélú árvízvédelmi információs rendszer projekt SZTE Természeti Földrajzi és Geoinformatikai Tanszék Geoview Systems Kft

51

52 Síkvidéki tározó tervezésének geoinformatikai támogatása domborzatmodell és terepmodell elıállítása kivezethetı vízmennyiség számítása töltésépítés és magasítás tervezése lokalizációs tervkészítés virtuális térbeli megjelenítés alkalmazása a tervkészítésben Ópusztaszeri Emlékpark? Baks Levelényi major 8 m-es szint Dóc