Nemzetközi Csillagászati és Asztrofizikai Diákolimpia Szakkör Asztrofizika II. és Műszerismeret Megoldások

Méret: px

Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Nemzetközi Csillagászati és Asztrofizikai Diákolimpia Szakkör Asztrofizika II. és Műszerismeret Megoldások"

Elemér Mészáros
5 évvel ezelőtt
Látták:

1 Nemzetközi Csillagászati és Asztrofizikai Diákolimpia Szakkör Asztrofizika II. és Műszerismeret Megoldások Dálya Gergely, Bécsy Bence 1. Bemelegítő feladatok B.1. feladat Írjuk fel a Pogson-képletet: Fejezzül ki az intenzitások arányát: m m V = 2,5 log 10 (I /I V ) (1) I /I V = 10 0,4 (m m V ) = 10 10,708 = 5, (2) Ez az arány azt mondja meg, hogy adott idő alatt mennyivel több fény érkezik be a Napról mint a Vegáról, ami éppen az ahányszor több ideig kell néznünk a Vegát, hogy ugyanannyi fény érje szemünket. Tehát ezt beszorozva 1 másodperccel kapjuk a végeredményt: B.2. feladat t = 5, s = 1618 év (3) Első lépésben határozzuk meg az Altair abszolút fényességét (M) a távolság modulus képletével: m M = 5 log 10 d 5, (4) ahol m a látszó fényesség, d pedig a távolság parszekben mérve. Átalakítva: M = m+5 5 log 10 d (5) Emellett ismert, hogy a π parallaxisszög ismeretében a távolság: Ezt beírva az M-et megadó képletbe: d[pc] = 1 π[ ] M = m+5 5 log 10 1 π 1 (6) (7)

2 Ismert, hogy m = 0,76 és π = 195 mas = 0,195. Ezeket beírva kapjuk az abszolút magnitudót: M = 2,29 (8) Innen a luminozitást a Pogson-képlet segítségével kaphatjuk: Átrendezve kapjuk, hogy: M A M = 2,5 log 10 L A L (9) L A = L 10 0,4 (M A M ) = L 10 2,848 = 704,7 L (10) Beírva a Nap luminozitását (L = 3, W): B.3. feladat L A = 2, W (11) A távcső nagyítását az objektív és az okulár fókusztávolságainak arányaként kaphatjuk meg: N = f obj f ok. Mivel mindkét távcső esetében ugyanazt az okulárt használjuk, a nagyítások arányát felírva ez ki fog esni. A nagyítások aránya az objektívek fókusztávolságainak arányával lesz azonos: N B = f obj,b = 3 (12) N Zs f obj,zs 4 A fényerő a fókusz és az átmérő aránya (a nyílásviszony ennek reciproka), vagyis: B.4. feladat f B = 900 D B 76 = 11,84 f Zs = 1200 D Zs 150 = 8 (13) A szögfelbontás értékét radiánban kifejezve az R = 1,22 λ összefüggéssel kaphatjuk meg. Ebből D láthatjuk, hogy adott szögfelbontás mellett a használt hullámhossz és a távcső átmérője egyenesen arányos egymással, vagyis λ 1 /λ 2 = D 1 /D 2, ahonnan D 2 = 57,27 km. Ez egy hatalmas szám, ekkora rádióantennát nyilvánvalóan képtelenség építeni. Az interferometria használatával azonban ha két kisebb rádiótávcsövet ilyen messze helyezünk egymástól, akkor ugyanolyan lesz a felbontásunk, mintha egy ekkora tányért építettünk volna. 2. Nehezebb feladatok N.1. feladat Mivel a luminozitás a csillag egységnyi idő alatt történő energiakibocsátását adja meg, a csillag fősorozaton töltött ideje egyenesen arányos lesz az összes energiájával és fordítottan arányos 2

3 a luminozitásával, vagyis t E/L. Mivel az energiatermelés fúzióval történik, aminek során tömeg alakul át energiává: E = mc 2, mivel minket az arányok érdekelnek: E m. Kihasználva a tömeg-luminozitás relációt is: vagyis t M 2,5 = const. Tehát: t M L M M 3,5 = M 2,5, (14) t M 2,5 = t cs M 2,5 cs ( ) 2,5 M t cs = t (15) M cs Az adatokat behelyettesítve: t cs = 1, év. N.2. feladat Jelöljük m-mel és I-vel az 1 albedójú Vénusz magnitúdóját és intenzitását, m V -vel és I V -vel a 0,65-ös albedójúét! A két égitest intenzitásaránya: I I V = I 0,65 I = 1 0,65 (16) Felírva a Pogson-képletet megkaphatjuk a hipotetikus Vénusz látszó magnitúdóját: N.3. feladat m = m V 2,5log 1 0,65 = 5,07m (17) Egy mm-es CCD-re a legnagyobb kör alakú kép ami még ráfér, az az aminek átmérője a rövidebbik oldallal egyezik meg, azaz a leképezett Hold átmérője d = 16 mm. Ismert, hogy a látszó méret (α) és a leképezett méret (d) között az alábbi összefüggés van: tan d f = α, (18) ahol f a távcső fókusztávlsága. Mivel a szögek jellemzően kicsik, ezért szokásos módon használjuk a tanx = x összefüggést, amely kis x esetén igaz, ha azt radiánban adjuk meg. Így az előbbi összefüggés egyszerűbb alakú lesz és átrendezve kapjuk a távcső fókusztávolságát: f = d α (19) Ide beírva ad = 8 mm-t és azα = 0,5 π 180 összefüggést, kapjuk a minimális fókusztávolságot: f min = 1834 mm (20) Ha ennél kisebb fókusztávolságot választunk akkor a reciprok összefüggés miatt a hold képe nagyobb lesz, tehát ez tényleg minimális f. 3

4 N.4. feladat A feladat megoldásához az alábbi összefüggést kell használnunk: valódi látómező = névleges látómező nagyítás (21) A megfelelő menniségeket eljelölve ezt írjuk az alábbi alakban: α = β N (22) Továbbá tudjuk, hogy a nagyítás (N) a távcső (f t ) és az objektív fókusztávolságának (f o ) aránya: N = f t f o (23) Ez beírva az előzőbe és átrendezve kapjuk az összefüggést a keresett f o -ra: f o = f t α β Innen már csak az α valódi látómező nem ismert. Ennek meghatározására szolgál az Altair megfigyelése. Mivel a csillagok állandó szögsebességgel mozognak az égen, ezért az eltelt idő arányos a szögelfordulással. Azonban a tényleges távcsőben megjelenő elmozdulás egy cos δ szorzóval kapható, ahol δ a csillag deklinációja (gondoljunk arra, hogy a sarkcsillag egy helyben áll): α = 8 perc 24 h cosδ (25) Ide beírva az Altair deklinációját kapjuk, hogy: (24) α = 1,976 (26) Ezt visszaírva a korábban kapott képletbe az alábbi eredmény adódik az okulár fókusztávolságára: f o = 39,5 mm (27) 3. Diákolimpiai szintű feladatok D.1. feladat Írjuk fel a Pogson-képletet! m össz m 1 = 2,5 log 10 (I össz /I 1 ) (28) Ebből kapjuk, hogy: I ö = I ,4(m ö m 1 ) Másrészt mivel az intenzitások összeadódnak, ezért: (29) 4

5 I ö = ,758 2/5 104/5 1018/5 Tehát mivel m 1 = 1, ezért azt kaptuk, hogy: 0,4 (m ö 1) = log 10 2,758 (30) Ezt átrendezve kapjuk a végeredményt, hogy az összfényesség: D.2. feladat Tekintsük a felületi fényesség képletét: mö = 0,1015 (31) S[mag/arcsec 2 ] = m+2,5 log 10 A[arcsec 2 ] (32) (a) A galaxis fényessége m = 9, 2 ismert. Számítsuk ki most az A felületét! ahol r a galaxis látszó sugara, jelen esetben d/2 = 5. Így: A = r 2 π, (33) A = (5 ) 2 π = 25π arcmin 2 = 25π60 2 arcsec 2 = ,3 arcsec 2 (34) Ezt beírva kapjuk a galaxis felületi fényességét: S g = 22,8 (35) (b) Vegyük észre, hogy S távolságfüggetlen, hiszen I 1/r 2 és A 1/r 2, így A I azaz A/I = áll. A felületi fényesség pedig igazából ennek a logaritmusa, tehát távolságfüggetlen. Így a galaxist úgy képzelhetjük el mint kb. Nap felületi fényességű és teljesen sötét részek. Mi ezek arányára vagyunk kíváncsiak. Számítsuk ki ezért a Nap felületi fényességét! S = m+2,5 log 10 A (36) Ismert, hogy m = 26,74 és mivel d = 0,5 ezért kiszámítható, hogy A = ,2 arcsec 2. Innen a Nap felületi fényessége: S = 9,2 (37) Felírható egy Pogson képlet a keresett felületarányra, mivel I A: S g S = 2,5 log 1 0(A cs /A), (38) ahol A cs a csillagok álltal kitakart, A pedig a teljes felülete a galaxisnak. Innen a k = (A cs /A) arányra az alábbi eredményt kapjuk: k = 1, (39) Látható tehát, hogy a csillagok alig takarnak ki valamit a háttérből. 5

6 D.3. feladat A cefeida távolságát a Pogson-képlettel fogjuk tudni meghatározni, de ehhez szükségünk van a két magnitúdóra. A 2. ábráról leolvasható a csillag pulzációs periódusa, amelyre 12 napot kapunk (érdemes két egymástól távoli maximum időkülönbségét venni és elosztani azzal, hogy hány periódus telt el a kettő között, ugyanis ezáltal a leolvasásunk hibáját csökkenthetjük). A cefeida átlagos látszó magnitúdójának értéke pedig 14,5 m az ábra alapján. A periódus ismeretében meghatározhatjuk az abszolút magnitúdót is az 1. ábra alapján. A leolvasás során ügyeljünk arra, hogy az x-tengely skálája nem lineáris, hanem logaritmikus! Az abszolút magnitúdó: M 4,4 m. ahonnan d 60 kpc m M = 5+5logd d = 10 m M+5 5 (40) Ez a Kis Magellán-felhő távolsága, amely tényleg a Lokális Csoport tagja, így összhangban van az eredményünk a feladat szövegével. D.4. feladat A gömbtükör fókusztávolsága és görbületi sugara közötti összefüggés: f = r/2, vagyis egy2 = 2m görbületi sugarú gömb egy részét kell belecsiszoljuk az üvegbe. Az ábrán látható pontozott téglalap szimbolizálja az üveget kezdetben, a kör pedig a megfelelő gömböt. A Pitagorasz-tételt felírva x-re, r-re és d/2(= 10 cm)-re, megkaphatjuk az x szakasz nagyságát: x = 199,75 cm. Mivel r = x + h, így h = 2, 5 mm-t kell középen kicsiszolni a gömbtükrünkhöz. r x r d/2 h 6

Hasonló dokumentumok

Nemzetközi Csillagászati és Asztrofizikai Diákolimpia Szakkör Távcsövek és kozmológia Megoldások

Nemzetközi Csillagászati és Asztrofizikai Diákolimpia Szakkör 2015-16 7. Távcsövek és kozmológia Megoldások Bécsy Bence, Dálya Gergely 1. Bemelegítő feladatok B1. feladat A nagyítást az objektív és az