Háromszögek fedése két körrel

Átírás

1 SZTE Bolyai Intézet, Geometria Tanszék április 24.

2 Motiváció Jól ismert a kerületi szögek tétele, vagy más megfogalmazásban a látókörív tétel.

3 Motiváció A tételből a következő állítás adódik:

4 Motiváció A tételből a következő állítás adódik: Definíció Jelöljük azon háromszögek halamzát, amelyeknek egységnyi oldalukkal szemben γ szög van H γ -val, H γ = {ABC c = 1 és C = γ}.

5 Motiváció A tételből a következő állítás adódik: Definíció Jelöljük azon háromszögek halamzát, amelyeknek egységnyi oldalukkal szemben γ szög van H γ -val, H γ = {ABC c = 1 és C = γ}. Állítás Minden H H γ háromszög lefedhető egy 1/(2 sin γ) sugarú körrel.

6 Motiváció Állítás Minden H H γ háromszög lefedhető egy 1/(2 sin γ) sugarú körrel. Magyarázat:

7 Motiváció Állítás Minden H H γ háromszög lefedhető egy 1/(2 sin γ) sugarú körrel. Magyarázat: Definíció = sin γ = AE AD = 1/2 R

8 Problémafelvetés Kérdés Mit mondhatunk akkor, ha nem egy, hanem két kört használunk? Pontosabban: határozzuk meg azt a legkisebb R γ sugarat, amire teljesül, hogy kettő R γ sugarú körrel minden H γ -beli háromszög lefedhető!

9 Problémafelvetés Kérdés Mit mondhatunk akkor, ha nem egy, hanem két kört használunk? Pontosabban: határozzuk meg azt a legkisebb R γ sugarat, amire teljesül, hogy kettő R γ sugarú körrel minden H γ -beli háromszög lefedhető! Kérdés Speciálisan: igazoljuk, hogy két 1/2 sugarú körrel minden olyan háromszög lefedhető, amelynek egyik oldala egységnyi, és ezzel az oldallal szemben 45 -os szög van! (Arany Dániel Matematikaverseny, 1999.)

10 Értsük meg a problémát Háromszögek egy családjának minden elemét akarjuk lefedni minimális sugarú körpárral. Értelmes a kérdés? Mindig lefedhető a család minden eleme két körrel? Van minimális?

11 Értsük meg a problémát Háromszögek egy családjának minden elemét akarjuk lefedni minimális sugarú körpárral. Értelmes a kérdés? Mindig lefedhető a család minden eleme két körrel? Van minimális? Világos, hogy R γ 1 2 sin γ. Másrészt R γ 1 4. A minimális sugár létezése ezek alapján legalábbis hihető.

12 Értsük meg a problémát Háromszögek egy családjának minden elemét akarjuk lefedni minimális sugarú körpárral. Értelmes a kérdés? Mindig lefedhető a család minden eleme két körrel? Van minimális? Világos, hogy R γ 1 2 sin γ. Másrészt R γ 1 4. A minimális sugár létezése ezek alapján legalábbis hihető. R γ meghatározásához két dolgot kell ellenőriznünk: valóban minden elemet le lehet fedni ekkora sugarú körökkel, legalább egy háromszöghöz kellenek is ekkora körök.

13 A megoldás vázlata A megoldás során négy különböző esetet célszerű tárgyalni: (1) γ < 45, (2) 45 γ < 60, (3) 60 γ 90, (4) 90 < γ.

14 A megoldás vázlata A megoldás során négy különböző esetet célszerű tárgyalni: (1) γ < 45, (2) 45 γ < 60, (3) 60 γ 90, (4) 90 < γ. Jegyezzük újra meg, hogy a teljes megoldáshoz az eddig elmondottak szerint összesen 8 lépést kell ellenőriznünk.

15 A megoldás vázlata A megoldás során négy különböző esetet célszerű tárgyalni: (1) γ < 45, (2) 45 γ < 60, (3) 60 γ 90, (4) 90 < γ. Jegyezzük újra meg, hogy a teljes megoldáshoz az eddig elmondottak szerint összesen 8 lépést kell ellenőriznünk. Előrebocsájtjuk, hogy mindig a γ szárszögű egyenlőszárú háromszög lesz az, amivel alsó becslést adunk R γ -ra.

16 Észrevétel A skatulya-elv miatt van olyan kör, ami a háromszög legalább két csúcsát lefedi. Ebből a következő hasznos állítás adódik. Állítás (A legrövidebb oldal korlát) Ha egy háromszöget két egyforma sugarú körrel lefedünk, akkor a körök átmérője legalább akkora, mint a háromszög (egyik) legrövidebb oldala.

17 Észrevétel A skatulya-elv miatt van olyan kör, ami a háromszög legalább két csúcsát lefedi. Ebből a következő hasznos állítás adódik. Állítás (A legrövidebb oldal korlát) Ha egy háromszöget két egyforma sugarú körrel lefedünk, akkor a körök átmérője legalább akkora, mint a háromszög (egyik) legrövidebb oldala. Ezt az állítást H γ egy speciális elemére alkalmazva alsó korlátot kapunk R γ -ra.

18 A tompaszögű eset (γ > 90 ) Először megoldjuk a (4)-es alesetet, vagyis ha γ > 90. Ehhez számítsuk ki először a γ szárszögű egyenlőszárú háromszög szárának hosszát.

19 A tompaszögű eset (γ > 90 ) Először megoldjuk a (4)-es alesetet, vagyis ha γ > 90. Ehhez számítsuk ki először a γ szárszögű egyenlőszárú háromszög szárának hosszát. Az ábráról leolvasható, hogy BC = 1 2 sin γ. Innen adódik a 2 legrövidebb oldal korlát miatt, hogy R γ 1 4 sin γ. 2

20 A tompaszögű eset (γ > 90 ) 1 Másrészt két 4 sin γ sugarú körrel valóban bármelyik H γ -beli 2 háromszög lefedhető.

21 A tompaszögű eset (γ > 90 ) 1 Másrészt két 4 sin γ sugarú körrel valóban bármelyik H γ -beli 2 háromszög lefedhető. Ehhez tekintsük a következő ábrát: Itt AFB γ és így BF 1 2 sin γ. 2

22 A tompaszögű eset (γ > 90 ) Így az AF és BF szakaszok fölé rajzolt Thalész-körök sugara 1 legfeljebb 4 sin γ, és ketten együtt lefedik a háromszöget. 2 Az eddigiekből következik, hogy γ > 90 esetén R γ = 1 4 sin γ. 2

23 Hegyesszög kontra tompaszög Most megmutatjuk, hogy γ 90 esetben elegendő nem tompaszögű háromszögekre szorítkozni. Ez hasznos lesz a további elemzés rövidítéséhez, mivel majd a magasságpontot használni fogjuk.

24 Hegyesszög kontra tompaszög Most megmutatjuk, hogy γ 90 esetben elegendő nem tompaszögű háromszögekre szorítkozni. Ez hasznos lesz a további elemzés rövidítéséhez, mivel majd a magasságpontot használni fogjuk. Vegyük észre, hogy ha 1 2, akkor a 2 -t fedő körök világos módon fedik 1 -t is, másrészt 2 fedéséhez legalább akkor körök kellenek, mint 1 -hez. Ezért ha 1, 2 H γ, és 1 2, akkor R γ meghatározása szempontjából 1 irreleváns, figyelmen kívül hagyható.

25 Hegyesszög kontra tompaszög Állítás Ha γ < 90 és 1 H γ háromszög tompaszögű, akkor létezik 2 H γ hegyesszögű háromszög, hogy 1 2.

26 Hegyesszög kontra tompaszög Állítás Ha γ < 90 és 1 H γ háromszög tompaszögű, akkor létezik 2 H γ hegyesszögű háromszög, hogy 1 2. Bizonyítás: Legyen β > 90, az ábra szerint. Az AB C H γ, szögei γ, 180 β és β γ. A tompaszög γ-val csökkent. Addig ismételjük, amíg hegyeszögű lesz.

27 Egy hasznos lemma Állítás Az ABC hegyesszögű háromszögben a C csúcsnál levő γ szöggel szemben fekvő oldal egységnyi, M a magasságpont. Ekkor CM = 1 tan γ.

28 Egy hasznos lemma Állítás Az ABC hegyesszögű háromszögben a C csúcsnál levő γ szöggel szemben fekvő oldal egységnyi, M a magasságpont. Ekkor Bizonyítás: CM = 1 tan γ. CE CM = AE 1, CM = CE AE = 1 tan γ.

29 Kövér háromszögek (45 γ < 60 ) Rátérhetünk a (2)-es esetre, amikor 45 γ < 60. (Ez az eset tartalmazza az Arany Dániel feladat megoldását.)

30 Kövér háromszögek (45 γ < 60 ) Rátérhetünk a (2)-es esetre, amikor 45 γ < 60. (Ez az eset tartalmazza az Arany Dániel feladat megoldását.) Először is jegyezzük meg, hogy γ szászögű egyenlőszárú háromszög legkisebb szöge γ, így a vele szemben fekvő egységnyi oldala a legrövidebb oldala. Ebből következik a legrövidebb oldal korlát miatt, hogy R γ 1/2.

31 Kövér háromszögek (45 γ < 60 ) Rátérhetünk a (2)-es esetre, amikor 45 γ < 60. (Ez az eset tartalmazza az Arany Dániel feladat megoldását.) Először is jegyezzük meg, hogy γ szászögű egyenlőszárú háromszög legkisebb szöge γ, így a vele szemben fekvő egységnyi oldala a legrövidebb oldala. Ebből következik a legrövidebb oldal korlát miatt, hogy R γ 1/2. Vegyük észre, hogy tan 45 = 1, és így tan γ 1, ha 45 γ < 60. Ezt beírva az előző lemmánkba nyerjük, hogy CM = 1 tan γ < 1.

32 Kövér háromszögek (45 γ < 60 ) Így az AB és CM szakaszok Thalész-körei lefednek tetszőleges H γ -beli háromszöget, ha 45 γ < 60.

33 Kövér háromszögek (45 γ < 60 ) Az eddigiekből következik, hogy R γ = 1/2 minden 45 γ < 60 esetén! Vegyük továbbá azt is észre, hogy ezek a háromszögek nem fedhetők le gazdaságosan két egyforma sugarú körrel, a fedések mindig lötyögnek. Ennek szemléletes oka, hogy a vizsgált háromszögek kövérek.

34 Kövér háromszögek (45 γ < 60 ) Az eddigiekből következik, hogy R γ = 1/2 minden 45 γ < 60 esetén! Vegyük továbbá azt is észre, hogy ezek a háromszögek nem fedhetők le gazdaságosan két egyforma sugarú körrel, a fedések mindig lötyögnek. Ennek szemléletes oka, hogy a vizsgált háromszögek kövérek. Térjünk rá (1)-es esetre, vagyis amikor γ < 45!

35 A γ < 45 esetről

36 A γ < 45 esetről

37 A γ < 45 esetről AO 2 D = 2γ = AO 2 = 1 2 sin 2γ

38 A γ < 45 esetről Ezekből látszik, hogy minden H γ -beli háromszög lefedhető két sugarú körrel. 1 2 sin 2γ

39 A γ < 45 esetről Ezekből látszik, hogy minden H γ -beli háromszög lefedhető két sugarú körrel. 1 2 sin 2γ Annak a precíz bizonyítása, hogy ekkora sugár kell is egy kicsit nehezebb. (Itt is az egyenlőszárú háromszögre érdemes végiggondolni, de megjegyezzük, hogy az előzőekből úgy tűnik, hogy minden hegyesszögű háromszöghöz legalább ekkora kell.) Kapjuk, hogy R γ = 1 2 sin 2γ, ha γ < 45.

40 Az eredmény A 60 γ 90 eset megoldása kijön az eddigiekből és a sinus-tételből. Az alsó becsléshez használhatjuk a legrövidebb oldal korlátot az egyenlőszárú háromszögre.

41 Az eredmény A 60 γ 90 eset megoldása kijön az eddigiekből és a sinus-tételből. Az alsó becsléshez használhatjuk a legrövidebb oldal korlátot az egyenlőszárú háromszögre. Összefoglalva: R γ = 1 2 sin 2γ, ha γ < , ha 45 γ < sin γ 2, ha 60 γ

42 Hogyan tovább? Oldjuk meg a nyitva hagyott kérdéseket, tegyük teljessé a megoldást!

43 Hogyan tovább? Oldjuk meg a nyitva hagyott kérdéseket, tegyük teljessé a megoldást! Nehezíthetünk a problémán úgy, hogy lényegében minden háromszögre külön tesszük fel a kérdést. Célszerű két szöggel jellemezni a háromszögeket, így felhasználhatjuk eddigi eredményeinket.

44 Hogyan tovább? Oldjuk meg a nyitva hagyott kérdéseket, tegyük teljessé a megoldást! Nehezíthetünk a problémán úgy, hogy lényegében minden háromszögre külön tesszük fel a kérdést. Célszerű két szöggel jellemezni a háromszögeket, így felhasználhatjuk eddigi eredményeinket. Mi történik, ha nem feltétlen egyforma köröket használunk, és a sugarak összegét akarjuk a lehető legkisebbé tenni? (Nehéznek tűnik.)

45 Hogyan tovább? Oldjuk meg a nyitva hagyott kérdéseket, tegyük teljessé a megoldást! Nehezíthetünk a problémán úgy, hogy lényegében minden háromszögre külön tesszük fel a kérdést. Célszerű két szöggel jellemezni a háromszögeket, így felhasználhatjuk eddigi eredményeinket. Mi történik, ha nem feltétlen egyforma köröket használunk, és a sugarak összegét akarjuk a lehető legkisebbé tenni? (Nehéznek tűnik.) Az igazi nehézségek általában akkor kezdődnek, ha 3 alakzattal (körrel) fedünk, a területen még számtalan megoldatlan probléma van.

46 Köszönöm a megtisztelő figyelmet! 1