Nemzetközi Csillagászati és Asztrofizikai Diákolimpia Szakkör Asztrofizika I. Megoldások

Átírás

1 Nemzetközi Csillagászati és Asztrofizikai Diákolimpia Szakkör Asztrofizika I. Megoldások Bécsy Bence, Dálya Gergely, Csörnyei Géza, Kalup Csilla 1. Ismétlő feladatok I1. feladat A napfogyatkozás során az azt okozó égitest korongja eltakarja a Napét, vagyis a napfogyatkozás feltétele az, hogy a Neptunuszról a Triton látszó szögátmérője nagyobb legyen, mint a Napé. Legyen r T a Triton, r a Nap távolsága a Neptunusztól; d T a Triton, d pedig a Nap átmérője, α és β pedig rendre a Triton és a Nap szögátmérőjének fele! Ekkor: tg α = d T/2 r T 2α = 0,1087 (1) tg β = d /2 r 2β = 0,0088 (2) Mivel tehát 2α > 2β, a Triton tud napfogyatkozást okozni a Neptunuszon. I2. feladat A körpálya sugarát a Schwarzschild-sugár segítségével fogjuk tudni kiszámítani. Ehhez először határozzuk meg a fekete lyuk tömegét! r Sch = 42 CSE = 6, m = 2GM c 2 M = r Schc 2 2G = 4, kg (3) A tömegből pedig a keringési idő ismeretében Kepler III. törvényéből megkapjuk a pálya sugarát: a 3 T = GM a = 3 T2 GM = 5, m (4) 2 4π 2 4π 2 Mivel az L4 és L5 Lagrange-pontok a fekete lyukkal és a csillaggal szabályos háromszögeket alkotnak, így ezek távolsága megegyezik a körpálya sugarával, vagyis az L4 Lagrange-pont távolsága: d L4 = 5, m 1

2 I3. feladat A szökési sebesség azért lesz eltérő az egyenlítőn és a póluson, mert az egyenlítőn a neutroncsillag forgása miatt eleve van egy elég jelentős sebessége egy ott lévő hipotetikus űrhajónak, így ennyivel kevesebb lesz az ottani szökési sebesség, mint a póluson lévő. Számoljuk ki először a póluson lévő szökési sebességet! 2GM v sz,p = = 1, m (5) r s Az egyenlítőn a forgási sebességet a következőképpen számíthatjuk ki: vagyis a szökési sebesség az egyenlítőn: v e = 2rπ T = 1, m s, (6) v sz,e = v sz,p v e = 1, m s (7) I4. feladat A csillag pozíciója fél év alatt 7, radiánt változott. Innen a csillag parallaxisa (π) éppen ennek a fele lesz, azaz: π = 3, = 0,767 A parallaxis definíciójából ismert, hogy a távolság a parallaxis reciproka, ha parszekben és ívmásodpercben számolunk: d = 1 π Innen azt kapjuk, hogy a csillag távolsága 1,304 parszek. Ez alapján a csillag nem lehet más, mint a Proxima Centauri. 2. Bemelegítő feladatok B1. feladat Írjuk fel n darab λ hullámhosszú foton energiáját: E = nh c λ, (8) ahol h = 6, J s a Planck-állandó, c = m/s pedig a fénysebesség. E mellett azt is tudjuk, hogy az emberi szemnek az érzékeléshez legalább ennyi energiára van szüksége másodpercenként: E = P t = P 1 s = 1, J (9) Ezeket egyenlővé téve és rendezve a fotonok számára azt kapjuk, hogy: n = 1, J nm hc = 5,13 (10)

3 Tehát, legalább 6 fotonra van szükség másodpercenként ahhoz, hogy a szem érzékelje azt. Egy 600 nm-es foton impulzusa: p = h λ = 1, kg m s (11) Egy légy impulzusa: p össz = 6 p = 6, kg m s p légy = 2, kg m s (12) (13) A keresett idő tehát: p légy p össz 1 s = 1, év (14) B2. feladat Stefan Boltzmann-törvény: P = σat 4 A megváltozott és az eredeti teljesítmény aránya: P P = σa(0,5(t + T)4 +0,5(T T) 4 ) σat 4 Ide beírva az adatokat kapjuk, hogy: = (1+ T T )4 +(1 T T )4 2 B3. feladat P P = 1,06 A legintenzívebb sugárzáshoz tartozó hullámhosszat (λ max ) a Wien-féle eltolódási törvényből számolhatjuk: λ max T = mk, (15) ahol T a forrás hőmérséklete kelvinben. Innen a λ max -ra rendezve kapjuk az alábbi eredményeket: λ max, = 519 nm λ max,bet = 857 nm λ max,sa = 302 nm λ max,sb = 119 nm A luminozitásokat a Stefan Boltzman-törvény alapján számolhatjuk: L = AσT 4 = 4πR 2 σt 4, (16) ahol A a forrás felülete, R a gömb alakú forrás (pl. csillag) sugara, σ = 5, Stefan Boltzman-állandó. Innen az adatokat beírva kapjuk az eredményeket: W a m 2 K 4 3

4 L = 3, W L Bet = 5, W L SA = 9, W L SB = 9, W B4. feladat A csillag élettartama alatt a fősorozaton maradás várható időtartamát értjük. Értelemszerűen feltételezzük, hogy a csillagok élettartama egyenesen arányos a csillag tömegével és fordítottan arányos annak luminozitásával, mivel utóbbi közvetlen kapcsolatban van a csillag anyagának "felhasználódásával". Tehát t M L. Ezen felül tudjuk még, hogy a csillagok fősorozatbeliek, tehát érvényes rájuk az empirikus tömeg-fényesség reláció, mely L M 3.5. Ezen összefüggést a várható élettartamba visszaírva kapjuk, hogy t M 2.5, vagyis két csillag várható élettartamának arányát a tömegek arányából megkaphatjuk. Eszerint t 1 t 2 = ( M2 M 1 ) 2.5 = ( ) = Tehát a kisebb tömegű csillag 1/( )-szor, vagyis körülbelül 4730-szor több ideig fog élni, vagyis a fősorozaton jelenlegi pozíciójában maradni mint a másik, nagyobb tömegű csillag. 3. Nehezebb feladatok N1. feladat A Napból származó energiának a Föld által elnyelt hányadát úgy írhatjuk fel, ha a Stefan Boltzmann-törvényből kiszámított luminozitást megszorozzuk a Föld keresztmetszetének felületével, elosztjuk az 1 CSE sugarú gömb felületével, végül megszorozzuk (1 A Föld )-del. Képlettel: L be = 4R πσt 4 eff r 2 Föld π 4d 2 π (1 A Föld) (17) A Föld által kisugárzott luminozitás pedig (mivel ε = 1): L ki = 4r 2 Föld πσt4 Föld (18) 4

5 A hőmérsékleti egyensúly feltétele: L be = L ki, beírva a két tagot és átrendezve: T Föld = T eff (1 A Föld ) 1/4 R 2d (19) Látjuk, hogy a bolygó sugara kiesett, így ettől nem függ a bolygók egyensúlyi hőmérséklete. A kapott összefüggés természetesen igaz a többi bolygóra is, a megfelelő adatokat írva be. A négy kőzetbolygó egyensúlyi hőmérséklete: Merkúr: 435 K = 162 C Vénusz: 252 K = -21 C Föld: 248 K = -25 C Mars: 210 K = -63 C Tehát ha a légkör hatását nem vesszük figyelembe, egyik bolygó sem esik a lakhatósági zónába. N2. feladat A relatív fényességváltozás egyenlő a kitakart terület és a teljes Napkorong arányával, amely pedig a sugarak arányának négyzetével egyezik meg. Képlettel kifejezve: I I = A kitakart A = r2 bolygó r 2 (20) A Jupiter esetén ez 0,01 a Földre pedig 0, N3. feladat Ha az űrtávcső 0,02 mas pontossággal tud mérni, akkor ha a mért értéke 0,02 mas-nál kisebb, akkor az akár zaj is lehet, vagyis a legkisebb parallaxis, amire biztosan azt mondhatjuk, hogy valós adat, az 0,02 mas. Ezt váltsuk át távolságba: d = 1/π = pc. A fotonszám megbecsléséhez vegyük ezt a távoli csillagot napszerűnek, vagyis legyen a luminozitása és a felszíni hőmérséklete is egyenlő a Napéval! Ekkor a Wien-féle eltolódási törvény értelmében: λ max = 2, m K = 501 nm. (21) 5780 K Közelítsünk azzal, mintha a csillag csak ilyen hullámhosszú fotonokat bocsátana ki! Ezen fotonok energiája: ε = hc/λ = 3, J. 1s alatt a csillag N = L 1 s/ε = 9, db fotont bocsát ki. Tegyük fel azt is, hogy egy ennyire távoli objektum már egyetlen pixelre képeződik csak le, nem kenődik szét a képe! Ekkor az egy pixelre jutó fotonszámhoz az előbb kiszámított teljes fotonszámot meg kell szorozni a főtükör felszínével (A = 1,5 m 0,5 m = 0,75 m 2 ) és el kell osztani az pc sugarú gömb felszínével. Így az egy pixelre jutó fotonok száma 24. 5

6 N4. feladat 1. Jelöljük a Nap által 1 s alatt kisugárzott összes energiát E-vel! Ennek értékét kiszámíthatjuk a napállandó segítségével: ez a konstans azt adja meg, hogy a Föld távolságában 1 m 2 -re mekkora teljesítmény jut a Napból, vagyis 1 s alatt mekkora energia. Ezt felhasználva tehát megkaphatjuk az E értékét: E = w, (22) 4R 2 π ahol R a Nap-Föld távolság, ugyanis az összenergiát el kellett osszuk azzal, hogy a Föld távolságában mekkora felületen oszlik szét. Így tehát: E = 3, J. A Nap által kisugárzott energiát átkonvertálhatjuk tömeggé az E = mc 2 összefüggéssel. Ekkor ugye azt kapjuk meg, hogy 1 s alatt mennyi tömeget veszít, ezt felszorozva egy év alatt m = 1, kg tömeget veszít a Nap. 2. A tömege felét ennyi idő alatt veszíti el: 1 2 m / m = 7, év (23) 3. A Nap a proton-proton ciklussal termeli az energiáját, amelyben egy ciklus nettó eredménye a következő: 4p + 4 2He+2e + +2ν +26,7MeV, (24) vagyis egy ciklus során 2 neutrínó keletkezik. Váltsuk át a MeV-et J-ba: 26,7 MeV = 4, J. Az egy s alatt kisugárzott összenergiát (E) ezzel az energiaértékkel elosztva megkapjuk, hogy 1 s alatt hány ilyen folyamat megy végbe a Napban, és ennek kétszerese lesz az 1 s alatt keletkező neutrínók száma: N ν = 1, Becsüljük egy ember keresztmetszetét 1 m 2 -nek, így a testünkön 1 s alatt áthaladó neutrínók száma: N t = N ν 1 m 2 4R 2 π = 6, s (25) N5. feladat A feladatot a gázok mozgására vonatkozó energiaegyenlet felírásával kezdjük: f 2 k BT T 1 2 m gv 2 Itt az f a gáz szabadsági fokainak száma. A közelítés a feladatban kevésbé jelentős potenciálok miatt van (pl: gázatomok gravitácós energiája), melyeket elhanyagolunk. Mivel a gáz egyatomos, ezért f = 3, vagyis az egyenletünk, a moláris tömeg és az Avogadro-szám bevezetésével a következő alakú lesz: ezt a sebességre rendezve: 3k B T T M g N A v 2 6

7 v 3k B T T N A M g Ahhoz, hogy az atmoszférában maradjon, a feltétel szerint teljesülnie kell annak, hogy v < v szök = 1 2GMT 6 6 azaz ha ide beírjuk a gázatomok átlagos sebességére kapott képletet: 3k B T T N A GMT <. M g 18R T R T Ha ezt rendezzük a gáz tömegére, akkor azt kapjuk, hogy M g > 54k BN A T T R T GM T amelybe ha behelyettesítjük az adatokat, akkor azt kapjuk, hogy M g > 13.2g. A feladat viszont a relatív atomtömegre kérdezett, ez viszont a moláris tömeg. A relatív atomtömeg (közelítőleg) azt fejezi ki, hogy hányszor nehezebb az anyag a protonnál (hidrogén atommagnál), így a jelen esetben értelemszerűen Diákolimpiai szintű feladatok D1. feladat A min =13.2 Az egyensúly feltétele, hogy a sugárzási nyomás okozta erő (F ny ) és a gravitációs erő (F g ) egyenlő legyen: F ny = F g Számoljuk ki először a gravitációs erőt: F g = G M m r 2, (26) ahol G = 6, N m2 kg 2 a gravitációs konstans, M a Nap tömege, m a porszem tömege és r = 1 CsE a távolsága a Naptól. Most számoljuk ki a porszem tömegét: m = ρv = ρ 4 3 π(d/2)3 = ρπ 6 d3, (27) ahol ρ = 10 3 kg/m 3 a porszem sűrűsége, d az átmérője, V a térfogata. 7

8 Most számoljuk ki a sugárnyomás okozta erőt. Tudjuk, hogy 1 CsE távolságban a napállandónak megfelelő a sugárzási teljesítmény, azaz m 2 -enként 1362 W teljesítmény esik. Azt is tudjuk, hogy a fotonok impulzusa (p) az alábbi képlettel kapható meg az energiájukból (E): p = E c, (28) ahol c a fénysebesség. A feladat továbbá azt is monja, hogy feltehető, hogy a szemcsék fekete testek. Ez azt jelenti, hogy a beérkező fotonok teljes energiáját és teljes impulzusát átveszi a porszem. Így a porszem impulzusának megváltozása: p = E (1362 W)A t =, (29) c c ahol A = (d/2) 2 π = (π/4)d 2 a szemcse keresztmetszetének felülete. Innen az erő: F = p (1362 W)A = t c Innen az erőket egyenlővé téve kapjuk, hogy: = (1362 W)π d 2 (30) 4c 3(1362 W)r2 d = 2cGM ρ Az adatokat beírva kapjuk a porszemek átmérőjét: (31) D2. feladat d = 1,15 µm Először is abba kell belegondolnunk, mi is változott meg pontosan. Mivel a Föld mellől mérhető fluxusérték változott, ezért más luminozitásúnak, ezen túl pedig összességében más effektív hőmérsékletűnek is látjuk a Napot. Ismert, hogy a fluxussűrűség felírható a luminozitás és egy gömbfelület hányadosaként, ezáltal a megváltozás: L 0 L 1 4πd 2 = f, ahol d a Nap-Föld távolság. Ezáltal a folt okozta luminozitásbeli különbség: f 4πd 2 = F folt,diff = W. A kérdés az, hogy ez a tag miből tevődik össze. Mint látszott fentebb, felírható a két luminozitás különbségeként, ezt írjuk fel a folt esetére: F folt,diff = L 0 L 1 = A folt (I(r) F folt ) Mivel a Napra, mint gömbfelületre, ferdén kell nézzünk, hogy lássuk a foltot, ezért megjelenik a szélsötétedés effektusa, vagyis az, hogy a napkorong széle felé haladva a fotoszféra egyre sötétebb lesz. Ha a fenti egyenletet átírjuk F folt = c felhasználásával, akkor az I(r) F folt,diff = (1 c)i(r)a folt 8

9 egyenlethez jutunk. A mivel a foltra ferdén látunk rá, ezért ellipszis alakúnak fog tűnni; az egyenlítő mentén kicsit összehúzódottnak fogjuk látni. Egyszerű trigonometriával belátható, hogy a folt látszó területe: ( ) 2 r A folt = πrfolt 2 1 = km 2. R Nap Ezek ismeretében már csak a c kontrasztfaktort kell kiszámolnunk, melyre vonatkozó egyenlet c = 1 F folt,diff I(r)A folt. Itt I(r) értékét egyszerűen a napkorong középpontjában mérhető fluxusból számolhatjuk, a megfelelő arányszámmal történő szorzással. A rá kapott érték: I(r) = W m 2 Amennyiben az ismert értékeket beírjuk a c-be, a rá kapott érték c = lesz. Már csak arra kell gondolnunk, mi volt c jelentése: két luminozitásérték arányaként definiáltuk. Mivel az arányhoz használt mindkét értéket ugyanúgy befolyásolja a szélsötétedés, valamint mindkettőre alkalmazható a Stefan-Boltzmann-törvény, ezért valójában hőmérsékletek arányáról van szó, azaz c = T4 folt T 4 fotoszféra ahonnan T fotoszféra =5772 K felhasználásával T folt = 4554 K. D3. feladat A feladat szerint a Nap és a Vénusz is tökéletes fekete testnek vehető, amely termális egyensúlyban van, azaz a kisugárzott teljesítmény megegyezik a besugárzottal. A besugárzott teljesítményt ki tudjuk számolni a Vénusz távolságához tartozó napállandó (a helyi sugárzási fluxus) és a bolygó felszínének szorzataként. A napállandót a Vénusz távolságából nézve: f = L 4πd = R2 σt 4 = W 2 d 2 m 2. A Vénuszt a beérkező sugárzás számolásakor egy r V sugarú korongnak tekinthetjük. A Vénusz sugarát onnan kaphatjuk meg, hogy amikor a Földtől 0.28 AU-ra van, akkor 66 ívmásodperc alatt látszódik. Tehát a sugár: r V = tan33 d F V = km. Vénusz felszínére érkező teljesítményt a fentiek alapján a beérkező fluxus szorozva a felszínnel, míg a kisugárzott teljesítmény a Vénusz "luminozitása". Ez a két érték meg kell, hogy egyezzen, mert a Vénuszt fekete testnek tételeztük fel: 9

10 P be = fa V = f r 2 V π P ki = 4πr 2 VσT 4 V. Innen azt kapjuk a Vénusz hőmérsékletére, hogy T 4 V = f 4σ = K. A fenti érték azért különbözik az egyik bevezető feladatban kapottól, mert itt nem vettük figyelembe a bolygó albedóját. Következő lépésként felhasználjuk a Raylight-Jeans formulát, mely a Planck-törvény nagy hullámhosszakra érvényes közelítése: B ν = 2k BT V ν 2 c 2 ahol B ν a sugárzás adott frekvencián vett fluxusa. Ez a kifejezés viszont a Vénusz felszínének egy pontjáról érkező sugárzást adja csak meg, így a fel kell szoroznunk ezt a mennyiséget a Vénusz látszó felszínével (gömbfelület). Az így kapott fluxust mi a Földön szeretnénk mérni, azaz a mérési pontig egy a Vénusz-Föld távolságnak megfelelő gömbfelületen fog eloszlani a fluxus, tehát Így a végeredmény: S = B ν r 2 V d 2 F V = 2k BTν 2 c 2 tan33. S W m Hz 10