Elektromágneses sugárzás

Átírás

1 0-0 Elektromágneses sugárzás Maxwell-egyenletek források (töltések és áramok) hiányában rot H = 1 D c t rot E = 1 B c t div D = 0 div B = 0 valamint D=D( E) és B=B( H) anyagi összefüggések. Létezik nem-triviális megoldás elektromágneses tér önálló zikai létez, amely önállóan források jelenlétét l függetlenül terjedhet a térben (akár vákuumban is), energiát szállítva (ha S 0). Elektromágneses sugárzás forrásai a gyorsuló töltések!

2 1. ELEKTROMÁGNESES POTENCIÁLOK Elektromágneses potenciálok és a hullámegyenlet Maxwell-egyenletek: rot H = 4π c j + 1 c div D = 4πρ D t Ampère Gauss rot E = 1 c div B = 0 B t Faraday mágneses Gauss Töltésmegmaradás: div j = ρ t kontinuitási egyenlet

3 1. ELEKTROMÁGNESES POTENCIÁLOK 0-2 div B = 0 létezik olyan A( r, t) vektormez vektorpotenciál, hogy B( r, t) = rot A Faraday-be behelyettesítve rot E = 1 c t ( rot A ) vagyis rot ( E + 1 c A ) t = 0 létezik olyan Φ( r, t) skalármez skalárpotenciál, hogy E( r, t) = grad Φ 1 c A t

4 1. ELEKTROMÁGNESES POTENCIÁLOK 0-3 Elektromágneses potenciálok nem egyértelm ek! Tetsz leges id függ ψ( r, t) skalármez esetén legyen Φ ( r, t) = Φ( r, t) 1 ψ c t A ( r, t) = A( r, t) + grad ψ Ekkor E ( r, t) = grad Φ 1 A ( = grad Φ( r, t) 1 ) ψ c t c t ( ) 1 A( r, t)+grad ψ = grad Φ 1 A c t c t = E( r, t) B ( r, t) = rot A ( ) = rot A( r, t) + grad ψ = rot A = B( r, t)

5 1. ELEKTROMÁGNESES POTENCIÁLOK 0-4 Mértékinvariancia: Φ ( r, t) és A ( r, t) potenciálok ugyanazt az elektromágneses mez t írják le mint Φ( r, t) és A( r, t)! Ha ψ( r, t) skalármez kielégíti (ilyen ψ mindig létezik) a ψ α c 2 ψ t 2 = div A α Φ t parciális dierenciálegyenletet (α tetsz leges skalár paraméter), akkor div A ( + α Φ t =div A+grad ψ )+α ( Φ 1 t c ψ t ) =0 tetsz leges elektromágneses mez esetén el írhatjuk a Lorentzfeltételt. div A + α Φ t = 0

6 1. ELEKTROMÁGNESES POTENCIÁLOK 0-5 Továbbiakban D=ε E és B=µ H lineáris anyagi összefüggésekkel jellemzett homogén, izotrop közeg. Ampèretörvény miatt rot rot A = µrot H = 4πµ µε j + c c t ( grad Φ 1 c A ) t = 4πµ c j εµ c Φ grad t εµ 2 A c 2 t 2 Mivel rot rot A = grad div A A ezért átrendezés után a fenti egyenlet alakja A εµ 2 A c 2 t 2 ( grad div A + εµ c ) Φ t = 4πµ c j

7 1. ELEKTROMÁGNESES POTENCIÁLOK 0-6 Hasonlóképpen, felhasználva a div grad Φ = Φ azonosságot azt kapjuk, hogy = div Φ εµ 2 Φ c 2 t ( c grad Φ 1 c ( t A t div A + εµ c ) ( D = div ε ) Φ = t ) = 4π ε ρ Bonyolult parciális dierenciálegyenlet-rendszer a potenciálokra. Mindkét egyenletben szerepel a div A + εµ Φ kifejezés, ami nullának c t választható (Lorentzfeltétel α= εµ c mellett). div A + εµ c Φ t = 0

8 1. ELEKTROMÁGNESES POTENCIÁLOK 0-7 Ekkor az egyenletek alakja Φ 1 v 2 2 Φ t 2 A 1 v 2 2 A t 2 = 4π ε ρ = 4πµ c j ahol v = c εµ Inhomogén hullámegyenlet a potenciálokra (+ Lorentzfeltétel)! Ennek megoldásából számolhatók az elektromágneses térjellemz k (megoldhatóság feltétele a kontinuitási egyenlet). Inhomogén egyenlet általános megoldása = homogén (hullám-)egyenlet általános megoldása + inhomogén egyenlet partikuláris megoldása.

9 1. ELEKTROMÁGNESES POTENCIÁLOK 0-8 Statikus esetben hullámegyenlet Poisson-egyenlet, aminek ( ) Φ R ( ) A R = 1 ε = µ c ˆ ˆ ρ( r) r R j( r) r R d 3 r d 3 r partikuláris megoldása. Ennek általánosításaként ( ) Φ R, t ( ) A R, t ( = 1 ˆ ρ r, t 1 r v ) R ε r R d 3 r ( = µ ˆ j r, t 1 r v ) R c r R d 3 r retardált potenciálok

10 1. ELEKTROMÁGNESES POTENCIÁLOK 0-9 Értelmezés: az r helyvektorú pontban t id pontban észlelhet töltések és áramok az R pontbeli potenciálok értékét csak késleltetéssel, a t + d/v id pontban befolyásolják, ahol d = r R a két pont távolsága elektromágneses hatások terjedési sebessége v (közelhatás). Kontinuitási egyenlet retardált potenciálok kielégítik a Lorentzfeltételt. Másik partikuláris megoldás: ( ) Φ R, t ( ) A R, t ( = 1 ˆ ρ r, t + 1 r v ) R ε r R ( = µ ˆ j r, t + 1 r v ) R c r R d 3 r d 3 r avanzsált potenciálok Retardált potenciálok és homogén egyenlet megoldásának szuperpozíciói.

11 2. HULLÁMEGYENLET A hullámegyenlet és megoldásai Valamely A( r, t) zikai mennyiség hullámszer en terjed, amennyiben forrásoktól távol kielégíti a A 1 v 2 2 A t 2 = 0 homogén hullámegyenletet (v egy sebesség dimenziójú paraméter). A 1 2 A v 2 = B( r, t) t2 inhomogén hullámegyenlet a hullámok keletkezését/elt nését (kisugárzását és elnyelését) írja le B( r, t) forrás hatására. Példák: hanghullámok, nehézségi hullámok, szeizmikus hullámok, gravitációs hullámok, fényhullámok, stb.

12 2. HULLÁMEGYENLET 0-11 Homogén hullámegyenlet Descartes-koordinátákban 2 A x A y A z A v 2 t 2 = 0 függetlenül attól, hogy A( r, t) skalár, vagy egy vektormez valamely Descartes-komponense. Hullámfront: olyan összefügg felület, amely mentén (egy adott id pillanatban) az A( r, t) konstans (maximális) értéket vesz fel. Id múlásával hullámfrontok alakja és helyzete is változhat. Hullámok felosztása frontjaik geometriája szerint: 1. Síkhullám esetén a hullámfrontok egymással párhuzamos ( n egységvektorra mer leges) síkok, amelyek egyenletes v sebességgel haladnak közös normálisuk irányában a hullámegyenlet olyan

13 2. HULLÁMEGYENLET 0-12 megoldása, amely nem függ külön-külön a helyt l és az id t l, csak az vt n r kombinációtól, azaz alakja A( r, t) = A(vt n r) 2. Gömbhullám esetén a hullámfrontok egyenletes v sebességgel táguló r 0 centrumú koncentrikus gömbfelületek centrumtól mért távolság és A szorzata csak az vt r r 0 kombinációtól függ, azaz A( r, t) alakja A( r, t) = 1 r r 0 A (vt r r 0 ) valamely egyváltozós A függvényre (v > 0 esetén kifutó, v < 0 befutó gömbhullám). 3. Hengerhullámok, stb.

14 2. HULLÁMEGYENLET 0-13 Egy A( r, t) = A(vt n r) síkhullám esetén A x = A (vt n r) (vt n r) x = n x A (vt n r) és hasonló meggondolásból A y = n ya (vt n r) A z = n za (vt n r) míg A t = A (vt n r) (vt n r) t = va (vt n r)

15 2. HULLÁMEGYENLET 0-14 Innen 2 A x 2 = ( n x) 2 A (vt n r) 2 A y 2 = ( n y) 2 A (vt n r) 2 A z 2 = ( n z) 2 A (vt n r) 2 A t 2 = v2 A (vt n r) ezért a síkhullám alakját a hullámegyenletbe behelyettesítve A 1 v 2 2 A t 2 = (n 2x+n ) 2y +n 2z v2 A (vt n r) = 0 Azonosan teljesül tetsz leges A mellett, mivel n egységvektor. Gömbhullámokra hasonló meggondolás érvényes. v 2

16 2. HULLÁMEGYENLET 0-15 Gömbhullám centrumától nagy távolságra ( r r 0 ) r r 0 = r r 2 2 r 0 r r r 0 r r 0 2 r 0 r 0 r r 0 ezért A( r, t) = 1 r r 0 A (vt r r 0 ) 1 r 0 A = A(vt n r) ( vt r 0 + r ) 0 r r 0 alakú, ahol A(x) = 1 r 0 A (x r 0 )

17 2. HULLÁMEGYENLET 0-16 és n = r 0 r 0 Gömbhullám a centrumától nagy távolságra síkhullámmal közelíthet! Hullámegyenlet lineáris megoldások szuperpozíciója is megoldás. Fordítva: bármely megoldás el állítható akár gömb-, akár síkhullámok szuperpozíciójaként. Huygens-Fresnelelv: tetsz leges (forrásokat nem magában foglaló) zárt felületen kívül a hullám el áll a felület minden egyes pontjából mint centrumból kiinduló gömbhullámok (másodlagos hullámok) szuperpozíciójaként.

18 2. HULLÁMEGYENLET 0-17 Monokromatikus síkhullám: A szinuszosan változik az id ben, azaz A( r, t) = A 0 cos ( ωt ) k r valamely ω (reciprok id dimenziójú) skalárra és k = ω u n (reciprok hossz dimenziójú) vektorra: ω elnevezése körfrekvencia (ν = ω 2π a frekvencia), míg k a hullámszám-vektor (és λ = 2π k a hullámhossz). Bármely síkhullám felbontható monokromatikus síkhullámok összegére. Komplex exponenciális jelölés (A 0 amplitúdó lehet komplex): A( r, t) = Re (A 0 e i (ωt k r) )

19 3. DIPÓLSUGÁRZÁS Dipólsugárzás Id ben változó térbeli dipóleloszlás töltések és áramok hiányában. D( r, t) = E( r, t) + 4π P( r, t) Maxwell-egyenletek (nem mágneses közeg: µ = 1) rot H = 4π P c t + 1 c rot E = 1 H c t E t div E = 4πdiv P div H = 0 Olyan, mintha ρ( r, t)= div P töltéss r ség és j( r, t)= P t árams r ség által vákuumban keltett teret tekintenénk.

20 3. DIPÓLSUGÁRZÁS 0-19 Elektromágneses potenciálok egyenletei (ε = µ = 1) Φ 1 2 Φ c 2 t 2 = 4πdiv P A 1 2 A c 2 t 2 = 4π P c t div A = 1 Φ c t Lorentzfeltétel Hertzvektor: Z( r, t) = c A( r, t) dt 1 c Z t = A( r, t) div Z = Φ( r, t)

21 3. DIPÓLSUGÁRZÁS 0-20 div ( Z 1 c 2 2 Z t 2 4π P ) ( ( = div Z ) 1 2 div ) Z c 2 t 2 4πdiv P = Φ 1 c 2 2 Φ t 2 4πdiv P = 0 ( Z t 1 2 Z c 2 t 2 ) ( 4π Z P = ) t ( = c ( 1 2 Z c 2 t 2 t A 1 c 2 2 A t 2 ) 4π P t + 4π ) P c t = 0 Z 1 c 2 2 Z t 2 4π P = rot W valamely id független W( r) vektormez re.

22 3. DIPÓLSUGÁRZÁS 0-21 Megoldás ( ) Z R, t = ( ˆ P r, t 1 r R c ) r R d 3 r + 1 4π ˆ rot W r R d 3 r Második tag statikus (nincs köze sugárzáshoz), ezért gyelmen kívül hagyható. A térer sségek E( r, t) = grad Φ 1 A c t = 1 2 Z c 2 t 2 H( r, t) = rot A = 1 rot Z c t grad div Z Tekintsünk egy pontszer dipólust az origóban, amelynek momentuma ω frekvenciával és p 0 amplitúdóval rezeg: p(t)= p 0 exp(iωt).

23 3. DIPÓLSUGÁRZÁS 0-22 A Hertzvektor Z( r, t)= 1 r p ( t r c ) = 1 ( ( r p 0 exp iω t r )) = p(t) ζ(r) c ahol r = r és ζ(r) = 1 ( r exp iω r ) c A mágneses térer sség H( r, t) = 1 c rot Z t = iω c p(t) grad ζ = iω c ζ (r) p(t) r r = ( = k2 r 2 1 i ) ζ(r) p(t) r kr ahol k = ω c a hullámszám.

24 3. DIPÓLSUGÁRZÁS 0-23 Dipólustól elegend en távol (ha k r 1: hullámzóna) H( r, t) = p 0 r r k 2 exp(ik(ct r )) r Hasonló módon E( r, t) = ( ) p 0 1 r 2 ( p 0 r) r k 2 exp(ik(ct r )) r a hullámzónában: origóból kiinduló, c sebességgel terjed kifutó monokromatikus gömbhullám (elektromos dipólsugárzás). E( r, t) = H( r, t) = k2 p 0 sin ϑ r ahol ϑ jelöli p 0 és r közötti szöget ( p 0 r= p 0 r cos ϑ).

25 3. DIPÓLSUGÁRZÁS 0-24 Energia árams r sége S( r, t) = c 4π E H = c 4π k4 p 0 2 r r 3 sin2 ϑ cos 2 (ωt kr) Radiális energiaáram, nagysága fordítva arányos a távolság négyzetével. Dipólus momentumával párhuzamosan (ϑ = 0) nincs energiaáram. Egy periódus alatt egy R sugarú C R gömbfelületen átáramló energia W = ˆT 0 ˆ C R S d f dt = 1 3c p 0 2 k 4 Id ben periodikusan pulzáló m(t)= m 0 exp(iωt) momentumú pontszer

26 3. DIPÓLSUGÁRZÁS 0-25 mágneses dipólus esetén a hullámzónában (k r 1, dipólus az origóban) H( r, t) = ( E( r, t) = m 0 r r ) m 0 1 r 2 ( m 0 r) r k 2 exp(ik(ct r )) r Az id egység alatt átlagosan kisugárzott energia k 2 exp(ik(ct r )) r w = 1 T ˆT 0 ˆ C R S d f dt = m 0 2 6πc 5 ω5 Mágneses dipólsugárzás (csak akkor meggyelhet, ha elektromos dipólsugárzás nem lép fel).

27 4. SÍKHULLÁMOK SZIGETELŽKBEN Elektromágneses síkhullámok szigetel kben Homogén, izotrop szigetel, D=ε E és B=µ H anyagi összefüggésekkel. Se konduktív áramok, se töltések (ρ=0 és j= 0) rot H = ε E c t rot E = µ H c t div E = 0 div H = 0 Innen és H = grad div H rot rot H = ε c E = grad div E rot rot E = µ c rot E t rot H t = εµ 2 H c 2 t 2 = εµ 2 E c 2 t 2

28 4. SÍKHULLÁMOK SZIGETELŽKBEN 0-27 Mind E, mind H kielégíti a (homogén) hullámegyenletet: hullámegyenlet általánosabb, és ezért kevésbé megszorító mint a Maxwell-egyenletek. Síkhullám megoldás (elektromágneses síkhullám): E( r, t) = E (vt n r) H( r, t) = H (vt n r) (statikus tagok kiküszöbölése érdekében feltesszük, hogy E(0) = E( 0, 0) és H(0)= H( 0, 0) kielégíti a ε E(0)= µ H(0) n feltételt). Egyrészt E x x = E x(vt n r) (vt n r) x = n x E x(vt n r) és hasonlóan a többi koordinátára, ahonnan

29 4. SÍKHULLÁMOK SZIGETELŽKBEN 0-28 div E = E x x + E y y + E z z = n xe x n y E y n z E z = = (n x E x + n y E y + n z E z ) = ( n E ) és hasonlóan div H = n x H x n y H y n z H z = ( n H ) Másfel l ( rot E )x = E z y E y z = n ye z + n z E y = ( n E ) x ( rot E )y = E x z E z x = n ze x + n x E z = ( n E ) y ( rot E )z = E y x E x y = n xe y + n y E x = ( n E ) z

30 4. SÍKHULLÁMOK SZIGETELŽKBEN 0-29 alapján rot E = n E (vt n r) rot H = n H (vt n r) Végül E x t = E x(vt n r) (vt n r) t = ve x(vt n r) ahonnan E t = v E (vt n r) H t = v H (vt n r) Mikor teljesülnek a Maxwell-egyenletek?

31 4. SÍKHULLÁMOK SZIGETELŽKBEN 0-30 ( ) n E = div E = 0 következményeként n E független az argumentumától: n E(x)= n E(0)=0 (statikus tagok hiányából). n E( r, t)= n E (vt n r)=0, azaz E( r, t) mindig mer leges n-re, a terjedés irányára (hasonló gondolatmenet a H( r, t) mágneses térer sségre). elektromágneses (sík-)hullámok transzverzálisak! Ampèretörvény értelmében n H (vt n r) = rot H = ε c E t = ε µ E (vt n r) míg Faradaytörvényb l n E (vt n r) = rot E = µ c H t = µ ε H (vt n r)

32 4. SÍKHULLÁMOK SZIGETELŽKBEN 0-31 Innen vagyis ( ) ε E µ (x) + n H(x) = ε µ E (x) + n H (x) = 0 ε µ E (x) + n H(x) = (statikus tagok hiánya), és hasonlóan ε µ E (0) + n H(0) = 0 µ ε H (x) n E(x) = 0

33 4. SÍKHULLÁMOK SZIGETELŽKBEN 0-32 µ E( r, t) = ε n H( r, t) ε H( r, t) = µ n E( r, t) E és H nem csak n-re, de egymásra is mer leges! E( r, t) = µ ε n H( r, t) = µ ε H( r, t) miatt ε E( r, t) 2 = µ H( r, t) 2 Energias r ség w( r, t) = 1 8π (ε E 2 + µ H 2) Elektromos és mágneses járulékok (síkhullámban) megegyeznek!

34 4. SÍKHULLÁMOK SZIGETELŽKBEN 0-33 Monokromatikus síkhullám esetén ( k E 0 =0, ω =v k ) E ( r, t) = E 0 e i (ωt k r) H ( r, t) = H 0 e i (ωt k r) ahol H 0 = c µω k E 0 Poyntingvektor (energia-árams r ség) c S = E 4π H = c E H n = vw n 4π S párhuzamos k-val az energia v sebességgel terjed a hullámterjedés (hullámfrontok elmozdulásának) irányában!

35 4. SÍKHULLÁMOK SZIGETELŽKBEN 0-34 Név frekvencia hullámhossz váltóáram 50 Hz 6000 km hosszúhullám khz km közép- 300 khz-3 MHz m rövidultrarövid MHz m MHz 1-10 m mikro- 300 MHz-300 GHz mm infravörös sugárzás , Hz 800 nm - 1mm látható fény 3, 75 7, Hz nm ultraibolya 7, Hz nm röntgen Hz pm sugárzás gamma > Hz < 1 pm kozmikus 1. táblázat. Elektromágneses spektrum

36 5. POLARIZÁCIÓ Polarizáció Síkhullámban az E elektromos (és ugyanígy a H mágneses) térer sség mer leges a terjedési irányra (transzverzális hullámok). Egyértelm kapcsolat E és H között elegend E( r, t) ismerete. Monokromatikus síkhullám ( E( r, t) = Re E0 e i (ωt k r) ) ahol k E 0 =0 (transzverzalitás) és ω =v k (diszperziós reláció). z-tengely irányában terjed síkhullám esetén k=k e z és E 0 = Ae iδ x e x + Be iδ y e y

37 5. POLARIZÁCIÓ 0-36 Bevezetve az α=ωt kz + δ x és β =δ y δ x jelöléseket: E x = A cos (ωt kz + δ x ) = A cos α E y = B cos (ωt kz + δ y ) = B cos(α+β) E z = 0 Mivel cos (α + β)=cos α cos β sin α sin β, ezért cos 2 α + cos 2 (α + β) = cos 2 α + cos 2 α cos 2 β + sin 2 α sin 2 β 2 cos α cos β sin α sin β = cos 2 α sin 2 β + 2 cos 2 α cos 2 β + sin 2 α sin 2 β 2 cos α cos β sin α sin β = sin 2 β + 2 cos α cos β (cos α cos β sin α sin β) = sin 2 β + 2 cos α cos β cos (α + β)

38 5. POLARIZÁCIÓ 0-37 Innen ( Ex A ) 2 + ( Ey B ) 2 = 2 cos (δ y δ x ) E x A E y B + sin2 (δ y δ x ) xy-síkban fekv ellipszis egyenlete! Az E( r, t) vektor végpontja egy ellipszist ír le (ugyanez igaz a H( r, t) mágneses térer sségre): elliptikusan polarizált hullámok. F tengelyek általában különböznek a koordináta-tengelyekt l, kivéve ha δ y δ x = π 2, amikor a f tengelyek egybeesnek az x és y tengelyekkel, és az egyenlet ( Ex ) 2 + ( Ey ) 2 = 1 A B Lineárisan polarizált hullám: E( r, t) végpontja egy rögzített egyenes

39 5. POLARIZÁCIÓ 0-38 mentén mozog E( r, t) = A cos(ωt kz+δ) l valamely δ fázisra és a terjedési irányra mer leges l egységvektorra. Polarizációs sík: l-re mer leges, a hullámterjedés irányát (z-tengely) magában foglaló sík. Bármely monokromatikus síkhullám felbomlik két, egymásra mer leges polarizációjú hullám szuperpozíciójára E( r, t) = A cos(ωt kz+δ x ) e x + B cos(ωt kz+δ y ) e y Csak akkor lineárisan poláros, ha a δ y δ x fáziskülönbség a π egész számú többszöröse, vagy AB = 0.

40 5. POLARIZÁCIÓ 0-39 Cirkulárisan polarizált hullám: E( r, t) végpontja egy kört ír le E( r, t) = A cos(ωt kz+δ) e x ± A sin(ωt kz+δ) e y Két azonos amplitúdójú, ± π /2 fáziskülönbség lineárisan poláros hullám szuperpozíciója (fáziskülönbség el jelének megfelel en jobbra vagy balra polarizált). Két azonos amplitúdójú, jobbra és balra polarizált hullám összege (különbsége) lineárisan poláros Tetsz leges polarizációjú hullám felbontható egy jobbra és egy balra cirkulárisan polarizált hullám szuperpozíciójára. Jelent ség: polarizációs sz r k, madarak tájokozódása, stb.

41 6. HULLÁMOK TÖRÉSE ÉS VISSZAVERŽDÉSE Síkhullámok törése és visszaver dése xy-sík által elválasztott két homogén, izotrop dielektrikum. A fels féltérben terjedjen egy k 1 hullámvektorú és ω 1 frekvenciájú monokromatikus síkhullám (bees hullám) E (1) ( r, t) = E (1) 0 ei (ω 1 t k 1 r) H (1) ( r, t) = H (1) 0 ei (ω 1 t k 1 r) ahol H (1) 0 = c k1 E µ 1 ω (1) 0 1 Transzverzalitás: k 1 E (1) 0 =0. Diszperziós reláció: ε 1 µ 1 ω 1 = c k1

42 6. HULLÁMOK TÖRÉSE ÉS VISSZAVERŽDÉSE 0-41 Az alsó féltérben tovaterjed egy k 2 hullámvektorú és ω 2 frekvenciájú síkhullám (tört hullám) E (2) ( r, t) = E (2) 0 ei (ω 2 t k 2 r) H (2) ( r, t) = H (2) 0 ei (ω 2 t k 2 r) amelyre H (2) 0 = c k2 E µ 2 ω (2) 0 2 a diszperziós reláció ε 2 µ 2 ω 2 = c k2, és k2 E (2) 0 = 0. Maxwell-egyenletek teljesülnek, de gyelembe kell még venni az illesztési feltételeket! Nincsenek felületi áramok (mindkét féltérben szigetel közeg) térer sségek tangenciális komponensei folytonosak a határon.

43 6. HULLÁMOK TÖRÉSE ÉS VISSZAVERŽDÉSE 0-42 Nem elégíthet ki, csak a bees hullám nagyon speciális választása mellett a bees és a tört hullám nem ad számot a jelenségr l. Megoldás: visszavert hullám a fels féltérben! E (3) ( r, t) = E (3) 0 ei (ω 3 t k 3 r) H (3) ( r, t) = H (3) 0 ei (ω 3 t k 3 r) amelyre H (3) 0 = c k3 E µ 1 ω (3) 0 1 a diszperziós reláció ε 1 µ 1 ω 3 = c k3, és k3 E (3) 0 = 0. Illesztési feltételek az xy-sík mentén (tangenciális komponensek folytonossága)

44 6. HULLÁMOK TÖRÉSE ÉS VISSZAVERŽDÉSE 0-43 E x (1) e i (ω 1 t k 1 r) + E (3) x e i (ω 3 t k 3 r) = E (2) x E y (1) e i (ω 1 t k 1 r) + E (3) y e i (ω 3 t k 3 r) = E (2) y e i (ω 2 t k 2 r) e i (ω 2 t k 2 r) (hasonló összefüggések a H komponenseire). Origóban ( r = 0) ez csak akkor teljesülhet minden t-re, ha ω 1 = ω 2 = ω 3, vagyis a frekvencia (továbbiakban ω) ugyanaz mindhárom hullámra. Frekvencia nem változik törésnél és visszaver désnél. Diszperziós relációból k3 = ε1 µ 1 ω c = k1 = ε1 µ 1 ε 2 µ 2 k2

45 6. HULLÁMOK TÖRÉSE ÉS VISSZAVERŽDÉSE 0-44 Frekvenciák azonossága illesztési feltételek nem függnek az id t l. E x (1) e i k 1 r + E x (3) e i k 3 r = E x (2) E y (1) e i k 1 r + E y (3) e i k 3 r = E y (2) ( r helyvektor az xy-síkban). Mivel e i k 2 r e i k 2 r e i k r x e i k r y = ik x e i k r = ik y e i k r ezért az illesztési feltételek deriválásával ik 1x E x (1) e i k 1 r ik 3x E x (3) e i k 3 r = ik 2x E x (2) ik 1y E x (1) e i k 1 r ik 3y E x (3) e i k 3 r = ik 2y E x (2) e i k 2 r e i k 2 r

46 6. HULLÁMOK TÖRÉSE ÉS VISSZAVERŽDÉSE 0-45 Els egyenletet ix-szel szorozva, majd ehhez hozzáadva második egyenlet iy szorosát (xk 1x + yk 1y ) E x (1) e i k 1 r + (xk 3x + yk 3y ) E x (3) e i k 3 r = (xk 2x + yk 2y ) E x (2) e i k 2 r De xk x + yk y = k r az xy-sík mentén, ezért (gyelembe véve az illesztési feltételt) ( k1 r ) E x (1) e i k 1 r + ( k3 r ) E x (3) e i k 3 r = ( k2 r ) E x (2) e i k 2 r = ( k2 r ) ( ) E x (1) e i k 1 r + E x (3) e i k 3 r vagyis ( k1 r k 2 r ) E (1) x e i k 1 r + ( k3 r k 2 r ) E (3) x e i k 3 r = 0

47 6. HULLÁMOK TÖRÉSE ÉS VISSZAVERŽDÉSE 0-46 Utóbbi egyenlet csak akkor teljesülhet minden xy-síkbeli r-re, ha 1. vagy k 3 = k 1 és E (3) x = E x (1) (visszavert hullám kiejti a bejöv t);, ekkor a fels féltérben nincs sugárzás 2. vagy pedig k 1 r= k 2 r= k 3 r (zikailag releváns eset). Ha r mer leges k 1 -re, azaz k 1 r = 0 (ilyen vektor midig található az xy-síkban), akkor mer leges lesz k 2 -re és k 3 -ra is a három vektor egy síkban (beesési sík) fekszik. Válasszuk az x-tengelyt a beesési síkban! Ekkor k1 = k 1 sin ϑ b 0 k 1 cos ϑ b

48 6. HULLÁMOK TÖRÉSE ÉS VISSZAVERŽDÉSE 0-47 k2 = k 2 sin ϑ t 0 k3 = k 2 cos ϑ t k 3 sin ϑ v 0 k 3 cos ϑ v ahol ϑ b, ϑ t és ϑ v a beesési, törési és visszaver dési szög (k 3 =k 1 ). k1 r= k 2 r= k 3 r következtében ( r az xy-síkban) k 1 sin ϑ b = k 2 sin ϑ t = k 1 sin ϑ v

49 6. HULLÁMOK TÖRÉSE ÉS VISSZAVERŽDÉSE 0-48 Következmények: 1. beesési és visszaver dési szög megegyezik ϑ v = ϑ b 2. SnelliusDescartes-törvény sin ϑ b sin ϑ t = k 2 k 1 = n 21 ahol n 21 = n 2 n 1 = ε2 µ 2 ε 1 µ 1 = v 1 v 2 a második közegnek az els re vonatkoztatott törésmutatója. Nem mágneses anyagoknál (µ 1) a törésmutató n= ε.

50 6. HULLÁMOK TÖRÉSE ÉS VISSZAVERŽDÉSE 0-49 Tört és visszavert hullám amplitúdója: Fresnelképletek. Mer leges beesés (ϑ b = 0) esetén tekintsünk egy (x irányban) lineárisan poláros hullámot (yz-sík a polarizációs sík) és E (1) y = E (2) y = E (3) y = 0 H (1) x = H (2) x = H (3) x = 0 valamint E (1) x =E (1) e i(ωt kz) E x (2) =E (2) e i(ωt k 2z) ε1 E x (1) H y (2) = µ 1 H (1) y = E (3) x ε2 µ 2 E (2) x H (3) y = =E (3) e i(ωt+kz) ε1 E x (3) µ 1 valamely E (1), E (2), E (3) amplitúdókkal.

51 6. HULLÁMOK TÖRÉSE ÉS VISSZAVERŽDÉSE 0-50 Illesztési feltételekb l (tangenciális komponensek folytonossága) E (1) + E (3) = E (2) és ε1 µ 1 ( E (1) E (3)) = ε2 µ 2 E (2) Fenti egyenletrendszert megoldva (gyelembe véve, hogy szigetel knél jó közelítéssel µ = 1), az amplitúdók E (3) = 1 n 1 + n E (1) E (2) = n E (1)

52 6. HULLÁMOK TÖRÉSE ÉS VISSZAVERŽDÉSE 0-51 Általános esetben, a beesési síkkal párhuzamos polarizációjú amplitúdók E p (3) = E p (1) tan(ϑ b ϑ t ) tan(ϑ b + ϑ t ) E p (2) = E p (1) 2 cos ϑ b sin ϑ t sin(ϑ b + ϑ t ) cos(ϑ b ϑ t ) míg a beesési síkra mer leges polarizációjú komponensek E m (3) = E m (1) sin(ϑ t ϑ b ) sin(ϑ b + ϑ t ) E m (2) = E m (1) 2 cos ϑ b sin ϑ t sin(ϑ b + ϑ t ) Mindig van visszavert hullám, de n 21 <1 esetén el fordulhat, hogy nincs tört hullám.

53 6. HULLÁMOK TÖRÉSE ÉS VISSZAVERŽDÉSE 0-52 Teljes visszaver dés, ha a beesési szög nagyobb az ϑ tot = arcsin n 21 értéknél (gyémántnál ez kb. 24,5 ): ilyenkor az energia azon része, amely nem ver dött vissza, a felülettel párhuzamosan terjed tovább. Visszaver dési tényez : visszavert és bees hullám intenzitásának hányadosa (intenzitás: energiaáram egy periódusra vett átlaga) R = S (3) S (1) = E p (3) E p (1) 2 + E m (3) 2 + E (1) m 2 2 Beesési síkkal párhuzamos polarizációjú hullámokra a visszaver dési együttható R p = (3) E p (1) E p 2 2

54 6. HULLÁMOK TÖRÉSE ÉS VISSZAVERŽDÉSE 0-53 míg mer leges polarizáció esetén R m = (3) E m (1) E m 2 2 A kett hányadosa ( ) R p = cos2 ϑb + ϑ t R m cos 2( ) ϑ b ϑ t Ha ϑ b +ϑ t = π /2, akkor 1. visszavert hullám mer leges a megtört hullámra; 2. ϑ b =ϑ pol =arctan n 21 ; 3. R p = 0, vagyis a visszavert hullám polarizációja mer leges a beesési síkra, függetlenül a bees hullám polarizációjától (Brewster törvény).

55 7. SÍKHULLÁMOK TERJEDÉSE VEZETŽKBEN Síkhullámok terjedése vezet kben Végtelen kiterjedés, homogén és izotrop vezet : j kond = σ E konduktív árams r ség (Ohm-törvény). Maxwell-egyenletek rot H = 4πσ E c + ε c rot E = µ H c t E t div E = 0 div H = 0 Monokromatikus síkhullám esetén E( r, t) = E 0 e i (ωt k r) H( r, t) = H 0 e i (ωt k r)

56 7. SÍKHULLÁMOK TERJEDÉSE VEZETŽKBEN 0-55 Ekkor E t = iω E( r, t) rot E = i k E( r, t) div E = i k E( r, t) továbbá E = k 2 E( r, t) és hasonló kifejezések adódnak a mágneses térer sségre. div E = div H = 0 miatt a hullámok továbbra is transzverzálisak, azaz E( r, t) és H( r, t) mer legesek k-ra (terjedés iránya).

57 7. SÍKHULLÁMOK TERJEDÉSE VEZETŽKBEN 0-56 H( r, t) = 1 iω H t = c iµω rot E = c µω k E( r, t) (Faradaytörvény) miatt E( r, t) és H( r, t) egymásra is mer leges, és H( r, t) c k = E( r, t) µω Ampèretörvény i k H( r, t) = rot H = 4πσ c E + ε c E t = iω c ε E( r, t) ahol ε (ω) = ε i 4πσ ω komplex dielektromos állandó expliciten függ a frekvenciától.

58 7. SÍKHULLÁMOK TERJEDÉSE VEZETŽKBEN 0-57 Mikroszkopikus dipólusok és töltéshordozók tehetetlensége (nagy frekvencia gyors id beli változás esetén csak késedelemmel tudják követni a mez változásait) általában mind ε, mind σ függ ω-tól törésmutató frekvenciafüggése (diszperzió). következtében E( r, t) = c ε ω k H( r, t) E( r, t) c k = H( r, t) c 2 k 2 = E( r, t) ε ω ε µω 2 ezért k 2 = ε µω 2 c 2

59 7. SÍKHULLÁMOK TERJEDÉSE VEZETŽKBEN 0-58 ε komplex mennyiség hullámszám-vektor komplex! ahol n a hullámok terjedési iránya. ω ε µ k = n c k felbontható valós és képzetes részekre: k = K n i ωκ c n = K i ωκ c n ahol K a valós hullámszám és κ a kioltási együttható. A térer sségek E( r, t) = E 0 e ωκ c n r e i (ωt K r) H( r, t) = H 0 e ωκ c n r e i (ωt K r)

60 7. SÍKHULLÁMOK TERJEDÉSE VEZETŽKBEN 0-59 A síkhullám amplitúdója exponenciálisan csökken n r növekedésével (elektromos térer sség konduktív áramot gerjeszt, amely Joule-h t termelve disszipálja a hullám energiáját, csökkentve a térer sségeket). Csillapodás arányos a frekvenciával és a kioltási együtthatóval kisebb frekvenciájú hullámok mélyebbre hatolnak (behatolási mélység). Fáziskésés: mivel ε komplex szám, ezért H( r, t) = ε µ n E( r, t) miatt a térer sségek már nem egyidej leg rezegnek, hanem ( ) 4πσ arctan εω eltéréssel. Jó vezet k esetén (σ 1, és így κ ) a fáziskésés π 4.

61 7. SÍKHULLÁMOK TERJEDÉSE VEZETŽKBEN 0-60 A mágneses és az elektromos energias r ség általában nem egyenl egymással, arányuk w m w e = 1 + ( 4πσ ωε Szigetel kre a két energia s r ség megegyezik, míg jó vezet kre a mágneses járulék a meghatározó! Szigetel kre a kioltási együttható elt nik, ezért átlátszóak (pl. leveg, üveg), míg vezet kre igen nagy, így azok átlátszatlanok, visszaverik az elektromágneses hullámokat. De konyhasóoldat (jó vezet ) átlátszó, míg ebonit (jó szigetel ) átlátszatlan, mivel vezet képességük er sen függ a frekvenciától. Mivel permittivitás komplex, ezért törésmutató is az szigetel -vezet határon a hullámok majdnem teljes egészében visszaver dnek, de polarizációjuk megváltozik. ) 2

62 8. KRISTÁLYOPTIKA Hullámok terjedése anizotrop közegben Anizotrop közegekben (kristályok) dielektromos állandó (és mágneses permeabilitás) nem skalár, hanem tenzor D általában nem párhuzamos E-vel (ok: molekulák polarizálhatósága irányfügg a környezet aszimmetriája miatt). Mindig választhatók olyan koordinátatengelyek (f tengelyek), hogy D x =ε x E x D y =ε y E y D z =ε z E z Dielektromos állandó frekvenciafüggése iránydiszperzió (f tengelyek változnak a frekvenciával). Keressük a Maxwell-egyenleteknek az n egységvektor irányában v sebességgel terjed H( r, t)= H(vt n r) síkhullám megoldását.

63 8. KRISTÁLYOPTIKA 0-62 Nem-mágneses anyagban ( B= H) rot H = 1 c rot E = 1 c Gerjesztési törvény D t H t div D = 0 div H = 0 1 c D t = rot H = n H (vt n r) = 1 v ( n H( r, t)) t miatt D( r, t) = c v n H( r, t) div H=0 következtében D, H és n mer legesek egymásra (transzverzalitás).

64 8. KRISTÁLYOPTIKA 0-63 Faradaytörvény alapján v 2 c 2 H x(vt n r)= v H x c 2 t = v c = 1 ε z (n x H y n y H x ) y ( rot E ) x = v c 1 ε y (n z H x n x H z ) z { 1 D z ε z y 1 } D y ε y z = n xn y ε z H y(vt n r) + n2 y ε z H x(vt n r) azaz n x n y ε z H y(vt n r) + n xn z ε y + n2 z H ε x(vt n r) n xn z H y ε z(vt n r) y H z(vt n r)= ( ) n 2 y + n2 z v2 ε z ε y c 2 H x(vt n r)

65 8. KRISTÁLYOPTIKA 0-64 Többi Descartes-komponensre hasonló módon n x n y ε z n x n z ε y H x(vt n r) + n yn z ε x H x(vt n r) + n yn z ε x ( ) n H z(vt n r)= 2 x + n2 z v2 ε z ε x c 2 H y(vt n r) ( ) H y(vt n r)= n 2 x + n2 y v2 ε y ε x c 2 H z(vt n r) Lineáris egyenletrendszer H Descartes-komponenseire: csak akkor van megoldása, ha determináns elt nik ( v c ) 4 ( 1 n 2 x ε x + 1 n2 y ε y + 1 n2 z ε z ) ( (v ) 2+ c n 2 x ε y ε z + n2 y ε x ε z + n2 z ε x ε y ) = 0 másodfokú egyenlet v 2 -re minden irányhoz két különböz terjedési sebesség tartozik (v = 0 mellett). Két különböz fázissebesség, egymásra mer legesen polarizált módus.

66 8. KRISTÁLYOPTIKA 0-65 Síkhullámban D mer leges n-re, de E nem elektromágneses energia áramlása nem a hullámterjedés irányában történik. Permittivitás irányfügg törésmutató is az sin ϑ b sin ϑ t = n 21 (ϑ t ) Snellius-Descartes Általában két megoldás két, közel mer leges polarizációjú tört hullám kett s törés. Általában két irány mentén nem lép fel kett s törés (kéttengely kristályok, pl. csillám, gipsz, stb.); ha ezek egybeesnek (hatszöges, négyzetes és romboéderes kristályrendszerek), akkor a kristály egytengely. Kerreektus (elektromos kett s törés): folyékony/gáz halmazállapotú dielektrikumok (pl. nitrobenzol) elektromos mez ben kett s tör vé válhatnak.

67 8. KRISTÁLYOPTIKA 0-66 Feszültségi kett s törés: deformálható közegben mechanikai feszültségek hatására fény sebessége irányfügg (lehet vé teszi a feszültségeloszlás meghatározását). Optikai aktivitás: polarizáció síkjának folytonos elforgatása hullámterjedés során. Forgatás szöge arányos a megtett úttal, és fordítva arányos a hullámhossz négyzetével (de független a kezdeti polarizációs iránytól). Oka geometriai aszimmetria (molekuláris és/vagy szerkezeti), küls mágneses mez (Faradayeektus), stb.: minden esetben a tükrözési szimmetria sérülése okozza. Általában mindkét irányban forgató molekula-változat el fordul a természetben, de szerves anyagok esetén különböz mértékben.

68 9. GEOMETRIAI OPTIKA Geometriai optika Fény elektromágneses hullám, de optikai jelenségek széles köre leírható geometriai fogalmakkal (sugár, fényút, stb.), a Maxwell-elmélet segítsége nélkül. Ok: fény hullámhossza ( nm) sokkal kisebb, mint a gyakorlatban általában fellép karakterisztikus méretek tekinthetjük a λ 0 határesetet. Kivételek: éles inhomogenitások környéke, mikroszkopikus tárgyak, stb. Monokromatikus gömbhullám esetén ahol vk =ω. A( r, t) = A 0 r r 0 exp( ik r r 0 ) exp(iωt)

69 9. GEOMETRIAI OPTIKA 0-68 Általában közeli centrumokból sugárzott azonos frekvenciájú gömbhullámok szuperpozíciója A( r, t) = A 0 ( r) exp( ik 0 S( r)) exp(iωt) valós A 0 ( r) és S( r), csak a helyt l függ mennyiségekkel, és a vákuumbeli k 0 = 2π λ = ω c hullámszámmal; S( r) neve eikonál. Az A( r)=a 0 ( r) exp( ik 0 S( r)) id független részre { A x = A0 { 2 A x 2 = 2 A 0 x 2 x ik 0A 0 S x } exp( ik 0 S( r)) ik 2 S 0A 0 x 2 2ik A 0 0 x S x k2 0A 0 ( )} 2 S exp( ik 0 S( r)) x

70 9. GEOMETRIAI OPTIKA 0-69 alapján e ik 0S( r) A = k 2 0A 0 (grad S) 2 ik 0 {A 0 S + 2(grad A 0 ) (grad S)} + A 0 λ 0 esetén k 0, ezért nem túl gyorsan változó A 0 ( r) és S( r) esetén az egyenlet jobb oldalán a domináns tag a k 0 négyzetével arányos A = k 2 0(grad S) 2 A Másfel l a hullámegyenlet alapján A= ( A( r, t) e iωt) =e iωt 1 v 2 2( A( r) e iωt) t 2 = ω2 v 2 A( r)

71 9. GEOMETRIAI OPTIKA 0-70 ezért (grad S) 2 = ω2 v 2 k 2 0 = n( r) 2 eikonálegyenlet ahol n( r)= c /v a (helyfügg ) törésmutató. Adott t id pillanatban az azonos fázisú helyek az S( r) eikonál szintfelületei, az ezekre mer leges trajektóriák a fénysugarak. Eikonálegyenletb l grad S = n( r) e( r) ahol e( r) a fény terjedési irányába mutató egységvektor. Energiaárams r ség ( S Poyntingvektor) párhuzamos e( r)-rel, azaz a fénysugarak irányában terjed az energia.

72 9. GEOMETRIAI OPTIKA 0-71 Ha r 1 és r 2 egyazon fénysugár mentén található ( γ a sugár két pont közötti szakasza) S( r 2 ) S( r 1 ) = ˆ γ grad S d r = = ˆ γ ˆ γ c v d r = c n( r) e( r) d r ˆ γ d r v ˆ = c γ dt = c(t 2 t 1 ) Eikonálértékek különbsége = optikai úthossz (az a távolság, amelyet a fénysugár a két pont közötti út megtételéhez szükséges id alatt vákuumban tenne meg). Fermatelv: a fénysugár két pont között azon az úton halad, melynek befutásához szükséges id minimális. Magyarázza a törés és visszaver dés törvényeit, optikai leképezések (képalkotás) jellemz it, stb.

73 10. INTERFERENCIA Interferencia Koherens hullámok: fázisok különbsége nem függ az id t l. Ha két monokromatikus hullám koherens, akkor frekvenciáik megegyeznek. Interferencia: ugyanabban a síkban polarizált koherens síkhullámok szuperpozíciójakor az intenzitás er södése/gyengülése az összetev k fáziskülönbségének változásával. Monokromatikus síkhullám intenzitása (energiaáram egy periódusra vett átlaga) I = 1 T ˆ T arányos az amplitúdó négyzetével. 0 S dt c ε = E 8π µ 2 0 E( r, t) 2

74 10. INTERFERENCIA 0-73 Két síkhullám E( r, t) = E 1 ( r, t) + E 2 ( r, t) szuperpozíciója esetén E( r, t) 2 = E 1 ( r, t) 2 + E 2 ( r, t) E 1 ( r, t) E 2 ( r, t) Harmadik járulék az interferenciatag. Két, ω 1 és ω 2 frekvenciájú, azonos irányban terjed monokromatikus síkhullám esetén E( r, t) = E (1) 0 cos(ω 1 τ) + E (2) 0 cos(ω 2 τ +δ) ahol n a terjedés irányába mutató n = v hosszúságú vektor, τ = t n r és δ a két hullám fáziskülönbsége.

75 10. INTERFERENCIA 0-74 Az interferenciatag = E (1) 0 E (2) 0 E (1) 0 E (2) 0 cos(ω 1τ) cos(ω 2 τ +δ) { cos((ω 1 ω 2 )τ δ) + cos((ω 1 + ω 2 )τ + δ) } Ez csak akkor különbözhet nullától, ha E (1) (2) 0 E 0 0 (nem egymásra mer legesen polarizált a két hullám) és ω 1 =ω 2 (a frekvenciák megegyeznek): koherens hullámok. Koherens hullámok esetén az interferenciatag E (1) 0 E (2) 0 cos δ. Makroszkopikus fényforrás mikroszkopikus sugárforrásaiból (atomok és molekulák) származó hullámok fáziskülönbségei véletlenszer en kiejtik egymást nincs interferencia, csak speciális hullámforrások esetén (lézer, mézer). Koherens nyaláb szétválasztása révén keletkez nyalábok között fáziskü-

76 10. INTERFERENCIA 0-75 lönbség a megtett utak különböz sége miatt intenzitás periodikusan változik a távolsággal (interferencia-kép). Alkalmazás: hosszúságok pontos mérése, felületi vizsgálatok, stb. Tárgyról szórt hullám és vele koherens referencia-hullám kétdimenziós interferenciaképét referencia-hullámmal átvilágítva szórt hullám teljes mértékben rekonstruálható holográa (Gábor Dénes, 1949): fáziskülönbségek regisztrálása révén háromdimenziós szerkezet kódolása két dimenzióban. Dirakció (elhajlási jelenségek): hullámhossznál kisebb skálán megvalósuló, jelent s mérték közegbeli inhomogenitások (pl. kicsiny rés, éles közeghatárok, stb.) hatása a hullámterjedésre.