Elektromágneses hullámok

Átírás

1 Elektromágneses hullámok Maxwell-egyenletek töltések és áramok hiányában rot H = 1 D c t rot E = 1 B c t div E = 0 div H = 0 Energiát és impulzust (impulzusmomentumot, stb.) szállító nem-triviális megoldások vákuumban is (elektromágneses hullámok)!

2 1 RETARDÁLT POTENCIÁLOK 1. Retardált potenciálok Elektromágneses mez D=ε E és B=µ H lineáris anyagi összefüggésekkel jellemzett homogén, izotrop közegben. Mez jellemzése Φ( r, t) skalár- és A( r, t) vektorpotenciál segítségével B( r, t) = rot A E( r, t) = grad Φ 1 c A t Mértékinvariancia miatt kiköthet a div A = εµ c Φ t Lorentzfeltétel

3 1 RETARDÁLT POTENCIÁLOK Fentiek alapján Φ = div grad Φ+ 1 c t ( = div grad Φ + 1 c ( div A + εµ c A ) t Φ ) t + εµ 2 Φ c 2 t 2 = div E + εµ 2 Φ c 2 t 2 = 1 ε div D + εµ 2 Φ c 2 t 2 = 4π ε ρ + εµ 2 Φ c 2 t 2 vagyis Φ εµ 2 Φ c 2 t 2 = 4π ε ρ

4 1 RETARDÁLT POTENCIÁLOK Hasonló módon, az Ampèretörvény következtében { rot(rot A) = rot(µ H) 4π = µ c J + 1 c = 4πµ c J + εµ c ( grad Φ 1 t c A ) t D } t = 4πµ c J εµ c = 4πµ c J+grad(div A) εµ 2 A c 2 t 2 = 4πµ c J + µε c E t Φ grad t εµ 2 A c 2 t 2 Átrendezés után, rot(rot A) = grad(div A) A felhasználásával A εµ 2 A c 2 t 2 = 4πµ c J

5 1 RETARDÁLT POTENCIÁLOK Végül, bevezetve a v = c εµ jelölést Φ 1 v 2 2 Φ t 2 A 1 v 2 2 A t 2 = 4π ε ρ = 4πµ c J Inhomogén hullámegyenlet a potenciálokra!

6 1 RETARDÁLT POTENCIÁLOK Hullámegyenlet partikuláris megoldása Φ ( R, t ) = 1 ε A ( R, t ) = µ c ˆ 1 ρ( r, t r R v ) r R d 3 r ( ˆ 1 J r, t r R v ) r R d 3 r retardált potenciálok Az R pontbeli potenciálok értékét a t id pontban a források (távolsággal arányosan) korábbi id pontokban felvett értékei határozzák meg. Egy adott pontban a töltésekben és áramokban beálló változás a potenciálok értékét d távolságra csak d v késleltetéssel befolyásolja, vagyis az elektromágneses hatások véges v sebességgel terjednek (közelhatás)!

7 1 RETARDÁLT POTENCIÁLOK Inhomogén egyenlet általános megoldása = homogén (hullám-)egyenlet általános megoldása + inhomogén egyenlet partikuláris megoldása. Másik, nem-kauzális hatásterjedést (ok megel zi az okozatot) leíró partikuláris megoldás Φ ( R, t ) = 1 ε A ( R, t ) = µ c ˆ 1 ρ( r, t + r R v ) r R d 3 r ( ˆ 1 J r, t + r R v ) r R d 3 r avanzsált potenciálok Retardált potenciálok és a homogén egyenlet megfelel megoldásának szuperpozíciói.

8 1 RETARDÁLT POTENCIÁLOK Forrásmentes Maxwell-egyenletek rot H = ε E c t rot E = µ H c t div E = 0 div H = 0 Innen és H = grad div H rot rot H= ε c E = grad div E rot rot E = µ c rot E t rot H t = εµ 2 H c 2 t 2 = εµ 2 E c 2 t 2 vagyis a térer sségek is kielégítik a (homogén) hullámegyenletet.

9 2 HULLÁMTERJEDÉS 2. Hullámterjedés A( r, t) zikai mennyiség hullámszer en terjed, amennyiben a forrásoktól távol kielégíti a A 1 v 2 2 A t 2 = 0 homogén hullámegyenletet (v egy sebesség dimenziójú paraméter). A A 1 2 A v 2 = B( r, t) t2 inhomogén hullámegyenlet a hullámok kisugárzását és elnyelését írja le (itt B( r, t) a hullámforrás jellemz je).

10 2 HULLÁMTERJEDÉS Példák: hanghullámok, nehézségi hullámok, szeizmikus hullámok, rádióhullámok, gravitációs hullámok, fényhullámok, stb. Homogén hullámegyenlet alakja Descartes-koordinátákban 2 A x A y A z A v 2 t 2 = 0 függetlenül attól, hogy A( r, t) egy skalár, avagy egy vektormez valamely Descartes-komponense. Hullámfront: olyan összefügg felület, amely mentén egy adott id pillanatban az A( r, t) adott konstans (pl. maximális) értéket vesz fel. Id múlásával hullámfrontok alakja és helyzete is változhat.

11 2 HULLÁMTERJEDÉS Néhány gyakori hullámtípus: 1. Síkhullám esetén a hullámfrontok egymással párhuzamos síkok, melyek egyenletes v sebességgel haladnak közös n normálisuk irányában, vagyis a hullámegyenlet olyan megoldása, amely nem függ külön-külön a helyt l és az id t l, csak a vt n r kombinációtól, azaz alakja A( r, t) = A (vt n r) valamely egyváltozós A függvényre. 2. Hengerhullámok esetén a hullámfrontok egyenletes v sebességgel táguló koaxiális hengerfelületek.

12 2 HULLÁMTERJEDÉS 3. Gömbhullám esetén a hullámfrontok egyenletes v sebességgel táguló, r 0 centrumú koncentrikus gömbfelületek a centrumtól mért r r 0 távolság és A( r, t) szorzata csak a vt r r 0 kombinációtól függ, azaz A( r, t) alakja (v > 0 esetén ki-, ellenkez esetben befutó hullám) A( r, t) = 1 r r 0 A (vt r r 0 ) valamely egyváltozós A függvényre. Megjegyzés: gömbhullám centrumától nagy távolságra r r 0 = r r 2 2 r 0 r r 0 + n r ha r r 0, ahol n = r 0 r 0

13 2 HULLÁMTERJEDÉS ezért A( r, t)= 1 r r 0 A (vt r r 0 ) 1 r 0 A( vt n r r 0 ) Centrumától nagy távolságra a gömbhullám síkhullámmal közelíthet! Hullámegyenlet lineáris megoldások (pl. sík-, ill. gömbhullámok) szuperpozíciója is megoldás; fordítva, bármely megoldás el állítható akár gömb-, akár síkhullámok szuperpozíciójaként. Huygens-Fresnelelv: tetsz leges hullám el áll bármely a hullámforrást a belsejében foglaló zárt felületen kívül mint a felület minden egyes pontjából mint centrumból kiinduló koherens gömbhullámok ('másodlagos hullámok') szuperpozíciójaként.

14 2 HULLÁMTERJEDÉS Egy A( r, t) = A(vt n r) síkhullám esetén A x = A (vt n r) (vt n r) x = n x A (vt n r) és hasonló meggondolásból A y = n ya (vt n r) A z = n za (vt n r) míg A t = A (vt n r) (vt n r) t = va (vt n r)

15 2 HULLÁMTERJEDÉS Innen 2 A x 2 = ( n x) 2 A (vt n r) 2 A y 2 = ( n y) 2 A (vt n r) 2 A z 2 = ( n z) 2 A (vt n r) 2 A t 2 = v2 A (vt n r) ezért a síkhullám alakját a hullámegyenletbe behelyettesítve A 1 2 A (n v 2 t 2 = 2x+n ) 2y +n 2z v2 v 2 A (vt n r) = 0 Azonosan teljesül tetsz leges A mellett, mivel n egységvektor. Gömb-, henger-, stb. hullámokra hasonló meggondolás érvényes.

16 2 HULLÁMTERJEDÉS Monokromatikus síkhullám: A szinuszosan változik az id ben, azaz A( r, t) = A 0 cos(ωt k r) valamely reciprok id dimenziójú ω skalárra és reciprok hossz dimenziójú vektorra (hullámszám-vektor). k = ω v n A = k 2 A és 2 A t 2 = ω2 A Periodikus id fejl dés T = 2π ω periódusid vel: A 0 az amplitúdó, ν = ω 2π a frekvencia, és λ = 2π k = 2πv ω a hullámhossz.

17 2 HULLÁMTERJEDÉS Komplex exponenciális jelölés: A( r, t) = Re {A } 0 e i(ωt k r) mivel e ix =cos x+i sin x (az A 0 amplitúdó lehet komplex). Hullámegyenlet linearitása miatt valós rész képzése a számítás végén. Bármely síkhullám felbontható monokromatikus síkhullámok összegére. Síkhullám spektrálfelbontása (Fourier-dekompozíció) A( r, t) = ˆ A 0 (ω) e i(ωt k r) dω 2π Síkhullám jellemezhet a hullámterjedés n irányával és az A 0 (ω) frekvenciafügg amplitúdóval.

18 3 SÍKHULLÁMOK DIELEKTRIKUMBAN 3. Elektromágneses síkhullámok terjedése szigetel kben Homogén, izotrop szigetel, D = ε E és B = µ H lineáris anyagi összefüggésekkel, források hiányában (ρ=0 és J= 0). Maxwellegyenletek rot H = ε E c t rot E = µ H c t div E = 0 div H = 0 Innen H = grad div H rot rot H = ε c rot E t = εµ 2 H c 2 t 2

19 3 SÍKHULLÁMOK DIELEKTRIKUMBAN és E = grad div E rot rot E = µ c rot H t = εµ 2 E c 2 t 2 E és H kielégítik a hullámegyenletet E( r, t) = E(vt n r) H( r, t) = H(vt n r) elektromágneses síkhullám megoldások, ahol v = c εµ

20 3 SÍKHULLÁMOK DIELEKTRIKUMBAN Láncszabály alapján (vessz vel jelölve a közönséges deriváltakat) E x x = E x(vt n r) (vt n r) x = n x E x(vt n r) és hasonlóan a többi koordinátára, ahonnan div E = E x x + E y y + E z z = n xe x n y E y n z E z = = (n x E x + n y E y + n z E z ) = ( n E ) valamint div H = n x H x n y H y n z H z = ( n H )

21 3 SÍKHULLÁMOK DIELEKTRIKUMBAN Másrészt ( rot E )x = E z y E y z = n ye z + n z E y = ( n E ) x ( rot E )y = E x z E z x = n ze x + n x E z = ( n E ) y ( rot E )z = E y x E x y = n xe y + n y E x = ( n E ) z ahonnan rot E = n E (vt n r) rot H = n H (vt n r)

22 3 SÍKHULLÁMOK DIELEKTRIKUMBAN Végül E x t = E x(vt n r) (vt n r) t = ve x(vt n r) ezért E t = v E (vt n r) H t = v H (vt n r) Megjegyzés: hullámegyenlet következménye a Maxwellegyenleteknek, ezért azoknál kevésbé megszorító, így nem minden megoldása egyben megoldása a Maxwellegyenleteknek. Milyen további feltételek fennállása esetén teljesülnek a Maxwellegyenletek?

23 3 SÍKHULLÁMOK DIELEKTRIKUMBAN Ampèretörvényb l (ξ = εv c = ε µ jelöléssel) n H (vt n r) = rot H = ε c E t = ξ E (vt n r) ahonnan ( ξ E(x) + n H(x)) = ξ E (x) + n H (x) = 0 vagyis C(x) = ξe(x) + n H(x) egy, az argumentumától független vektormennyiség, amely az elektromos mez höz statikus háttérként járul (nem terjed együtt a síkhullámmal) statikus járulékot kizárhatjuk C = 0 megkövetelésével, így E(x) = ξ -1 n H(x)

24 3 SÍKHULLÁMOK DIELEKTRIKUMBAN Innen x=vt n r behelyettesítéssel kapjuk, hogy E( r, t) = ξ -1 n H( r, t) Hasonló módon, a Faradaytörvényb l n E (vt n r) = rot E = µ c H t = ξ-1 H (vt n r) vagyis H (x) = ξ n E(x) újfent a statikus tagok elhagyásával, így végül H( r, t) = ξ n E( r, t) Megjegyzés: statikus tagok elhanyagolása esetén mind az elektromos, mind a mágneses Gauss-törvény automatikusan teljesül.

25 3 SÍKHULLÁMOK DIELEKTRIKUMBAN Következmények : 1. Mind az elektromos, mind a mágneses térer sség mer leges a hullámterjedés irányára elektromágneses síkhullámok transzverzálisak! 2. Térer sségek egymásra is mer legesek az energiaáram-s r ség ahol c S= E 4π H= c E H n= cξ E 4π 4π 2 n=vu n u( r, t) = E D + H B 8π a hullám energias r sége az energia v sebességgel terjed a hullámterjedés irányában!

26 3 SÍKHULLÁMOK DIELEKTRIKUMBAN 3. H( r, t) =ξ E( r, t) miatt ε E( r, t) 2 =µ H( r, t) 2 elektromágneses síkhullámban az energias r ség elektromos és u e ( r, t) = ε 8π E( r, t) 2 u m ( r, t) = µ 8π H( r, t) 2 mágneses járulékai megegyeznek! Id múlása során az energia ide-oda oszcillál az elektromos és a mágneses mez között.

27 3 SÍKHULLÁMOK DIELEKTRIKUMBAN Monokromatikus síkhullám esetén ( k E 0 =0, ω =v k ) E ( r, t) = E 0 e i(ωt k r) H ( r, t) = H 0 e i(ωt k r) ahol H 0 = c µω k E 0 Intenzitás: energiaáram id átlaga (egy periódusra). I = 1 T ˆT 0 S( r, t) dt 1 = T ˆT 0 = c 4π ξ E0 2 1 T vu( r, t) dt = ˆT 0 c 4πT ξ ˆT 0 E( r, t) 2 dt cos 2 (ωt k r)dt = c ε 8π µ E0 2

28 3 SÍKHULLÁMOK DIELEKTRIKUMBAN terjedési sebesség vákuumban dielektrikumban elektromágneses hullámok c m/s v= c εµ fény m/s c n Itt n a dielektrikum (abszolút) törésmutatója. Esetek dönt többségében jó közelítéssel n εµ elektromágneses fényelmélet. Megjegyzés: n = εµ összefüggést l való eltérés oka az anyagi jellemz k frekvenciafüggése (diszperzió: különböz frekvenciájú hullámok más-más sebességgel terjednek), amely végs soron a mikroszkopikus dipólusok és töltéshordozók tehetetlenségére vezethet vissza.

29 3 SÍKHULLÁMOK DIELEKTRIKUMBAN

30 3 SÍKHULLÁMOK DIELEKTRIKUMBAN elnevezés frekvencia hullámhossz váltóáram 50 Hz 6000 km khz km hosszú- közép- 300 khz-3 MHz m rövid- hullámok 3-30 MHz m ultrarövid MHz 1-10 m mikro- 300 MHz-300 GHz mm infravörös (IR) sugárzás , Hz 800 nm - 1mm látható fény 3, 75 7, Hz nm ultraibolya (UV) sugárzás 7, Hz nm röntgen Hz pm sugarak gamma > Hz < 1 pm

31 4 HULLÁMTERJEDÉS VEZETŽKBEN 4. Hullámterjedés vezet kben Tekintsünk egy homogén és izotrop vezet közegben terjed monokromatikus síkhullámot. Egyszer számolással E( r, t) = E 0 e i(ωt k r) H( r, t) = H 0 e i(ωt k r) div E = i k E( r, t) E t = iω E( r, t) rot E = i k E( r, t) E = k 2 E( r, t) és hasonló kifejezések adódnak a H mágneses térer sségre is.

32 4 HULLÁMTERJEDÉS VEZETŽKBEN Mivel J kond =σ E, ezért a Maxwellegyenletek alakja rot H = 4πσ E c + ε c rot E = µ H c t E t div E = 0 div H = 0 div E = div H = 0 következtében E k = H k = 0, vagyis az elektromos és mágneses térer sségek mer legesek a terjedés irányát kijelöl k hullámszám-vektorra (transzverzális hullámok). Faradaytörvény miatt H( r, t) = 1 iω H t = c iµω rot E = c µω k E( r, t)

33 4 HULLÁMTERJEDÉS VEZETŽKBEN vagyis E( r, t) és H( r, t) mer leges egymásra is, és H( r, t) c k = E( r, t) µω Ampèretörvény miatt i k H( r, t)=rot H= 4πσ c E+ ε c E t = iωˆε c E( r, t) ezért ahol E( r, t) c k = H( r, t) ˆεω ˆε = ε i 4πσ ω a közeg komplex dielektromos állandója (permittivitása). Megjegyzés: ˆε explicit módon függ a frekvenciától!

34 4 HULLÁMTERJEDÉS VEZETŽKBEN következtében k 2 = ˆεµω 2 c 2 ω ˆεµ k = n c ahol n a hullámterjedés irányába mutató egységvektor. ˆε nem tisztán valós hullámvektor képzetes része sem zérus! k felbontható valós és képzetes részekre: k = K i ωκ c n ahol K a valós hullámvektor és κ a kioltási együttható.

35 4 HULLÁMTERJEDÉS VEZETŽKBEN A térer sségek alakja E( r, t) = E 0 exp { ωκ c n r } e i(ωt K r) H( r, t) = H 0 exp { ωκ c n r } e i(ωt K r) A síkhullám amplitúdója exponenciálisan csökken n r növekedésével: az elektromos mez konduktív áramot gerjeszt, amely Joule-h t termelve disszipálja a hullám energiáját, csökkentve ezáltal a térer sségeket. Megjegyzés: komplex permittivitás fogalma szigetel kre is kiterjeszthet, képzetes része a hullámok csillapítását (energiadisszipációt) írja le. Csillapodás arányos a frekvenciával és a kioltási együtthatóval kisebb frekvenciájú hullámok mélyebbre hatolnak (behatolási mélység).

36 4 HULLÁMTERJEDÉS VEZETŽKBEN Mivel H( r, t) = ˆε µ n E( r, t) és ˆε komplex mennyiség, az E( r, t) és H( r, t) térer sségek nem egyid ben oszcillálnak (szemben szigetel k esetével), hanem ( ) 4πσ δ = arctan εω fáziskéséssel. Jó vezet k (σ 1, így κ ) esetén a fáziskésés δ = π /4. A mágneses és az elektromos energias r ség általában nem egyenl ( ) 2 u m 4πσ = 1 + u e εω az egy periódusra vett átlaguk aránya: szigetel kre a két energias r ség megegyezik, míg jó vezet kre a mágneses járulék a meghatározó!

37 4 HULLÁMTERJEDÉS VEZETŽKBEN Szigetel kre a kioltási együttható elt nik, ezért átlátszóak (pl. leveg, üveg), míg vezet kre igen nagy, így azok átlátszatlanok (visszaverik és/vagy elnyelik az elektromágneses hullámokat); de a konyhasóoldat jó vezet létére átlátszó, míg az ebonit átlátszatlan, bár jó szigetel! Magyarázat: mikroszkopikus töltéshordozók és dipólusok tehetetlensége következtében nagy frekvenciájú terekben késleltetett válasz a tér gyors változásaira vezet képesség, és általában a komplex dielektromos állandó bonyolult módon függ a frekvenciától. ˆ D ω ( r) = D( r, t) e iωt dt ω frekvenciájú Fourier-komponens esetén D ω ( r) = ˆε(ω) E ω ( r)

38 4 HULLÁMTERJEDÉS VEZETŽKBEN ˆε függ a frekvenciától diszperzió (különböz frekvenciájú monokromatikus hullámok más-más sebességgel terjednek).

39 5 POLARIZÁLT HULLÁMOK 5. Polarizált hullámok Monokromatikus síkhullámban az E( r, t) és H( r, t) térer sségek periodikusan változnak az id ben és a terjedés irányára mer legesek bármely rögzített r helyen a végpontjaik egy zárt síkgörbét írnak le az id el rehaladtával. H( r, t) = ε µ n E( r, t) következtében elegend E( r, t) = Re { E0 e i(ωt k r) } vizsgálata, ahol k E 0 =0 és ω =v k.

40 5 POLARIZÁLT HULLÁMOK Válasszuk a z-tengelyt úgy, hogy az a hullámterjedés irányába mutasson. Ekkor k=k e z, ahol k = k = ω v, és E 0 = Ae iδ x e x + Be iδ y e y valamely valós A, B és δ x, δ y állandókkal. Bevezetve az α=ωt kz + δ x és β =δ y δ x jelöléseket E x = A cos (ωt kz + δ x ) = A cos α E y = B cos (ωt kz + δ y ) = B cos(α+β) E z = 0

41 5 POLARIZÁLT HULLÁMOK ( Ex A ) 2 + ( Ey B ) 2 = cos 2 α + cos 2 (α + β) = = cos 2 α + cos 2 α cos 2 β + sin 2 α sin 2 β 2 cos α cos β sin α sin β =2cos 2 α cos 2 β+cos 2 α sin 2 β+sin 2 α sin 2 β 2 cos α cos β sin α sin β = sin 2 β + 2 cos α cos β (cos α cos β sin α sin β) = sin 2 β + 2 cos α cos β cos (α + β) = sin 2 (δ y δ x ) + 2 cos (δ y δ x ) E x A E y B cos (α+β)=cos α cos β sin α sin β felhasználásával, vagyis ( Ex ( Ey A ) 2 + B ) 2 = 2 cos (δ y δ x ) E x A E y B + sin2 (δ y δ x ) xy-síkban fekv ellipszis egyenlete!

42 5 POLARIZÁLT HULLÁMOK Fix r-re, az E( r, t) és H( r, t) térer sségek végpontjai egy ellipszis mentén mozognak az id során elliptikusan polarizált hullámok. Fontos speciális esetek: lineáris polarizáció, amikor a polarizációs ellipszis egy egyenes szakasszá degenerálódik E( r, t) = A cos(ωt kz+δ) l valamely, a polarizáció irányát kijelöl l egységvektorra, amely mer leges a terjedés irányára ( l a polarizáció síkjának normálvektora, míg az A amplitúdó és δ fázis valós állandók).

43 5 POLARIZÁLT HULLÁMOK cirkuláris polarizáció, ha a polarizációs ellipszis egy körvonal E( r, t) = A cos(ωt kz+δ) e x ± A sin(ωt kz+δ) e y A ± el jel a hullám helicitása (jobb- vagy balkezessége). Egy cirkulárisan polarizált hullám felbontható két azonos amplitúdójú, mer leges irányokban lineárisan polarizált hullám szuperpozíciójára, melyek fázisainak különbsége ± π /2 (helicitás = fáziskülönbség el jele). Bármely monokromatikus síkhullám felbontható két, egymásra mer leges irányokban lineárisan polarizált hullám szuperpozíciójára.

44 5 POLARIZÁLT HULLÁMOK E( r, t) = A cos(ωt kz+δ x ) e x + B cos(ωt kz+δ y ) e y egy, a z-tengely irányában terjed ω frekvenciájú monokromatikus síkhullám esetén (akkor lineárisan polarizált ha AB = 0 vagy δ y δ x a π egész számú többszöröse). Két azonos amplitúdójú, de ellentétes helicitású cirkulárisan polarizált hullám szuperpozíciója lineárisan polarizált Bármely monokromatikus síkhullám el áll két ellentétes helicitású cirkulárisan polarizált hullám szuperpozíciójaként. Jelent ség: madarak tájékozódása, napszemüvegek, anyagvizsgálat, fényképészet (spekuláris reexiók), stb.

45 5 POLARIZÁLT HULLÁMOK Optikai aktivitás: polarizáció iránya elfordul a hullámterjedés során. Elfordulás szöge arányos a közegben megtett úttal, és fordítva arányos a hullámhosz négyzetével, de független a polarizáció irányától. Optikai aktivitás oka a tükrözési (jobb bal) szimmetria sérülése, amelyet kiválthat a közeg strukturális sajátossága (kristály- vagy molekulaszerkezet geometriája), vagy pedig egy küls hatás, például mágneses mez jelenléte (Faraday-eektus). Természetben általában nem jelent s, mivel a jobbra és balra forgató molekulák azonos arányban találhatók, kivéve speciális körülményeket, pl. biológiai aktivitást.

46 6 KRISTÁLYOPTIKA 6. Hullámterjedés anizotrop közegben Anizotrop közegekben (kristályok) dielektromos állandó (és mágneses permeabilitás) nem skalár, hanem tenzor mennyiség D általában nem párhuzamos E-vel (ok: molekulák polarizálhatósága irányfügg a környezet aszimmetriája/anizotrópiája miatt). Permittivitás szimmetrikus tenzor polarizáció párhuzamos a küls elektromos mez vel három, egymásra mer leges irányban (polarizációs f tengelyek) mindig megválaszthatók úgy a koordinátatengelyek, hogy D x =ε x E x D y =ε y E y D z =ε z E z

47 6 KRISTÁLYOPTIKA Dielektromos állandó frekvenciafüggése iránydiszperzió (f tengelyek változnak a frekvenciával). Nem-mágneses közegben (µ 1, azaz B= H) keressük a rot H = 1 c rot E = 1 c D t H t div D = 0 div H = 0 Maxwellegyenleteknek n egységvektor irányában v sebességgel terjed E( r, t) = E(vt n r) H( r, t) = H(vt n r) síkhullám megoldását.

48 6 KRISTÁLYOPTIKA 1 c D t = rot H = n H (vt n r) = 1 v gerjesztési törvény következtében ( n H( r, t)) t D( r, t) = c v n H( r, t) (statikus járulék elhanyagolásával), ezért D mer leges n-re és H-ra (de E már általában nem). A div H=0 mágneses Gausstörvény miatt H mer leges n-re D, H és n kölcsönösen mer legesek egymásra (transzverzális hullámok).

49 6 KRISTÁLYOPTIKA Faradaytörvény alapján v 2 c 2 H x(vt n r)= v H x c 2 t = v c = 1 ε z (n x H y n y H x ) y ( rot E ) x = v c 1 ε y (n z H x n x H z ) z { 1 D z ε z y 1 } D y ε y z = n xn y ε z H y(vt n r) + n2 y ε z H x(vt n r) + n2 z H ε x(vt n r) n xn z H y ε z(vt n r) y azaz n x n y ε z H y(vt n r) + n xn z ε y H z(vt n r)= ( ) n 2 y + n2 z v2 ε z ε y c 2 H x(vt n r)

50 6 KRISTÁLYOPTIKA Többi Descartes-komponensre hasonló módon n x n y ε z n x n z ε y H x(vt n r) + n yn z ε x H x(vt n r) + n yn z ε x ( ) n H z(vt n r)= 2 x + n2 z v2 ε z ε x c 2 H y(vt n r) ( ) H y(vt n r)= n 2 x + n2 y v2 ε y ε x c 2 H z(vt n r) Lineáris egyenletrendszer H Descartes-komponenseire, amelynek csak akkor van nem-triviális megoldása, ha a determináns elt nik ( v c ) 4 ( 1 n 2 x ε x + 1 n2 y ε y + 1 n2 z ε z ) ( (v ) 2+ c n 2 x ε y ε z + n2 y ε x ε z + n2 z ε x ε y ) = 0

51 6 KRISTÁLYOPTIKA Másodfokú egyenlet v 2 -re minden irányhoz két különböz terjedési sebesség tartozik (a statikus v = 0 megoldás mellett). Két, különböz fázissebességekkel terjed, egymásra mer legesen irányokban polarizált módus. Hullámterjedés n iránya mer leges H-ra, de nem E-re, ezért a S= c 4π E H Poynting-vektor (az energia árams r sége) nem párhuzamos n-nel: az elektromágneses energia nem a hullámterjedés irányában áramlik.

52 7 TÖRÉS ÉS VISSZAVERŽDÉS 7. Elektromágneses síkhullámok visszaver dése és törése A z <0 félteret kitölt, ε 1 permittivitású és µ 1 permeabilitású homogén, izotrop dielektrikumban terjedjen egy E (i) ( r, t) = E (i) 0 ei (ω i t k i r) H (i) ( r, t) = H (i) 0 ei (ω i t k i r) 'bees ' monokromatikus síkhullám, ahol H (i) 0 = c ki E µ 1 ω (i) 0 1 ki E (i) 0 =0

53 7 TÖRÉS ÉS VISSZAVERŽDÉS és ε1 µ 1 ω i = c ki diszperziósreláció A z >0 félteret kitölt, ε 2 permittivitású és µ 2 permeabilitású homogén, izotrop dielektrikumba az elektromágneses energia egy E (t) ( r, t) = E (t) 0 ei (ω t t k t r) H (t) ( r, t) = H (t) 0 ei (ω t t k t r) monokromatikus síkhullám ('tört' hullám) alakjában terjed tova, ahol és H (t) 0 = c kt E µ 2 ω (t) 0 2 kt E (t) 0 =0 ε2 µ 2 ω t = c kt

54 7 TÖRÉS ÉS VISSZAVERŽDÉS Maxwell-egyenletek teljesülnek, de gyelembe kell még venni az illesztési feltételeket! Nincsenek felületi áramok (mindkét féltérben dielektrikum) a térer sségek tangenciális komponensei folytonosak a határon.

55 7 TÖRÉS ÉS VISSZAVERŽDÉS Csak a bees hullám nagyon speciális választása mellett teljesülhet a bees és a tört hullám nem ad számot a jelenségr l. Megoldás: a fels féltérben terjed E (r) ( r, t) = E (r) 0 ei (ω r t k r r) H (r) ( r, t) = H (r) 0 ei (ω r t k r r) 'visszavert' hullám, ahol és H (r) 0 = c kr E µ 1 ω (r) 0 r kr E (r) 0 =0 ε1 µ 1 ω r = c kr

56 7 TÖRÉS ÉS VISSZAVERŽDÉS Illesztési feltétel (tangenciális komponensek folytonossága) az xy-sík mentén E (i) x E (i) y e i (ω i t k i r) + E (r) x e i (ω i t k i r) + E (r) y e i (ω r t k r r) = E (t) x e i (ω t t k t r) e i (ω r t k r r) = E (t) y e i (ω t t k t r) és H (i) x H (i) y e i (ω i t k i r) + H (r) x e i (ω i t k i r) + H (r) y e i (ω r t k r r) = H (t) x e i (ω t t k t r) e i (ω r t k r r) = H (t) y e i (ω t t k t r) a z =0 síkban fekv r helyvektorú pontokra.

57 7 TÖRÉS ÉS VISSZAVERŽDÉS Illesztési feltétel az origóban ( r = 0) E (i) x E (i) y e iω it + E (r) x e iω it + E (r) y e iωrt = E x (t) e iω tt e iωrt = E y (t) e iω tt Csak akkor elégíthet ki, ha ω i =ω t =ω r, vagyis mindhárom hullám frekvenciája ugyanaz (a továbbiakban ω). Frekvencia nem változik törésnél és visszaver désnél! Frekvenciák azonossága miatt illesztési feltételek nem függnek az id t l E (i) x E (i) y e i k i r + E (r) x e i k i r + E (r) y az xy-síkban fekv pontok r helyvektoraira. e i k r r = E x (t) e i k t r e i k r r = E y (t) e i k t r

58 7 TÖRÉS ÉS VISSZAVERŽDÉS Tekintsük a D = x x + y y dierenciáloperátort. Mivel és ezért e i k r x e i k r y = ik x e i k r = ik y e i k r D(e i k r ) = i(xk x +yk y )e i k r A D operátort az E (i) x e i k i r + E (r) x e i k r r = E x (t) e i k t r

59 7 TÖRÉS ÉS VISSZAVERŽDÉS illesztési feltételre alkalmazva adódik (xk ix + yk iy ) E (i) x e i k i r + (xk rx + yk ry ) E x (r) e i k r r = (xk tx + yk ty ) E x (t) e i k t r Mivel xk x + yk y = k r a z =0 sík mentén, ezért ( ki r ) E (i) x e i k i r + ( kr r ) E (r) x e i k r r = ( ) kt r E x (t) e i k t r = ( ){ } kt r E x (i) e i k i r + E x (r) e i k r r az illesztési feltétel gyelembe vételével. Átrendezés után adódik ( ki r k ) t r E x (i) e i k i r + ( kr r k ) t r E x (r) e i k r r = 0

60 7 TÖRÉS ÉS VISSZAVERŽDÉS Csak az alábbi két esetben teljesülhet minden z = 0 síkbeli pont r helyvektorára: 1. k r = k i és E (t) = E (i) + E (r) = 0, amikor is a visszavert hullám kioltja a bees hullámot (vagyis nincs hullámterjedés); 2. k i r = k t r = k r r. A második, zikailag releváns esetben válasszuk az x-tengelyt párhuzamosnak a k i vektor z = 0 síkra vett vetületével; ekkor k t e y = k r e y = ki e y = 0, vagyis a k i, k t és k r vektorok mindegyike egy síkban, az xz-síkban fekszik (beesési sík).

61 7 TÖRÉS ÉS VISSZAVERŽDÉS ki = k i sin θ i 0 k i cos θ i ahol θ i a beesési szög, és k i = ki = ε1 µ 1 ω c Hasonlóan, kt = kr = k t sin θ t 0 k t cos θ t k r sin θ r 0 k r cos θ r ahol θ t, ill. θ r a törési és visszaver dési szög.

62 7 TÖRÉS ÉS VISSZAVERŽDÉS ki e x = k t e x = k r e x következtében (mivel e x a z =0 síkban fekszik) k i sin θ i = k t sin θ t = k r sin θ r míg a ω i =v i k i diszperziós relációk és a frekvenciák egyenl sége miatt és k t k i = v 1 v 2 = k r = k i ε2 µ 2 ε 1 µ 1 = n 2 n 1 ahol n i = ε i µ i = c v i az egyes dielektrikumok (abszolút) törésmutatója. Nem-mágneses anyagokra (µ 1) a törésmutató a permittivitás négyzetgyöke: n= ε.

63 7 TÖRÉS ÉS VISSZAVERŽDÉS Következmények: 1. beesési és visszaver dési szög megegyezik θ r = θ i 2. sin θ i sin θ t = n 2 n 1 SnelliusDescartes-törvény Megjegyzés: mindig van egy visszavert hullám, de n 2 < n 1 esetén a tört hullám hiányozhat túl nagy beesési szögeknél, mivel sin θ t 1 teljes visszaver dés ( n2 ) θ tot =arcsin n 1 határszögnél (gyémántra kb. 24,5 ) nagyobb beesési szögeknél.

64 7 TÖRÉS ÉS VISSZAVERŽDÉS Permittivitás (törésmutató) frekvenciafüggése különböz hullámhosszú (frekvenciájú) hullámok más-más szögben törnek meg ugyanazon beesési szögnél elektromágneses spektrum felbontása (szivárvány). Anizotrop közegben az irányfügg permittivitás miatt a törésmutató is irányfügg (vagyis függ a tört hullám irányától), így sin θ i sin θ t = n 21 (θ t ) Snellius-Descartes Általában két különböz θ t törési szöggel elégíthet ki két különböz tört hullám, más-más terjedési sebességgel és közel mer leges polarizációs irányokkal: kett s törés.

65 7 TÖRÉS ÉS VISSZAVERŽDÉS Általában két olyan beesési irány, amelyek esetén nem lép fel kett s törés (biaxiális kristályok), de bizonyos esetekben (hexagonális, köbös és romboéderes szimmetria) csak egy ilyen irány (egytengely kristályok).

66 7 TÖRÉS ÉS VISSZAVERŽDÉS Kerreektus: elektrosztatikus mez ben egyes folyadékok és gázok (pl. nitrobenzol) kett s tör vé vállnak (forgásszimmetria sértése irányfügg permittivitás). Rugalmas testekben mechanikai feszültségek hatására is létrejöhet kett s törés (felhasználható a feszültségeloszlás mérésére).

67 7 TÖRÉS ÉS VISSZAVERŽDÉS Mer leges beesés (θ i =0) esetén vizsgáljunk egy, a z-tengely irányában terjed, az x-tengely irányában polarizált monokromatikus síkhullámot. E x (i) =E (i) e i(ωt kz) E x (t) =E (t) e i(ωt k tz) H y (i) ε1 = E x (i) H (t) ε2 y = E x (t) µ 1 µ 2 E (r) x H (r) y = =E (r) e i(ωt+kz) ε1 E x (r) µ 1 valamely E (i), E (t) és E (r) amplitúdókkal, míg a többi térer sség-komponens zérus. Illesztési feltételb l ( tangenciális komponensek folytonossága) E (i) + E (r) = E (t) és ε1 µ 1 ( E (i) E (r)) = ε2 µ 2 E (t)

68 7 TÖRÉS ÉS VISSZAVERŽDÉS Fenti lineáris egyenletrendszert megoldva, és gyelembe véve, hogy szigetel k permeabilitása jó közelítéssel 1, az amplitúdókra a Fresnelformulák adódnak. E (r) = n 1 n 2 n 1 + n 2 E (i) E (t) = 2n 1 n 1 + n 2 E (i) Tetsz leges irányú bees síkhullám esetén, az amplitúdók E (r) p E (t) p = E (i) p = E (i) p tan(θ i θ t ) tan(θ i + θ t ) 2 cos θ i sin θ t sin(θ i + θ t ) cos(θ i θ t )

69 7 TÖRÉS ÉS VISSZAVERŽDÉS ha a bees hullám a beesési síkkal párhuzamosan polarizált, míg E (r) m E (t) m = E (i) m = E (i) m sin(θ t θ i ) sin(θ i + θ t ) 2 cos θ i sin θ t sin(θ i + θ t ) mer leges polarizáció esetén. R = E p (r) E p (i) 2 + E m (r) 2 + E (i) m 2 2 (bees és visszavert hullámok intenzitásainak aránya) visszaver dési együttható értéke párhuzamos, illetve R p = tan2 (θ i θ t ) tan 2 (θ i + θ t )

70 7 TÖRÉS ÉS VISSZAVERŽDÉS mer legesen polarizált hullámokra. R m = sin2 (θ t θ i ) sin 2 (θ i + θ t ) ( n2 ) θ i = θ pol = arctan n 1 beesési szög esetén 1. θ i +θ t = π, azaz a tört és visszavert hullámok egymásra mer leges 2 irányokban terjednek; 2. R p = 0, vagyis a visszavert hullám a beesési síkra mer leges irányban lineárisan polarizált, függetlenül a bees hullám polarizációjától (Brewstertörvény).

71 8 8.