HARDVEREK VILLAMOSSÁGTANI ALAPJAI

Átírás

1

2 HARDVEREK VILLAMOSSÁGTANI ALAPJAI

3 Lektoálta D. Kuczmann Miklós, okl. villamosménök egyetemi taná Széchenyi István Egyetem, Győ A feladatokat ellenőizte Macsa Dániel, okl. villamosménök Széchenyi István Egyetem, Győ Kovács Gegely, okl. villamosménök Széchenyi István Egyetem, Győ

4 HARDVEREK VILLAMOSSÁGTANI ALAPJAI D. IVÁNYI AMÁLIA Műszaki Infomatika Tanszék Pollack Mihály Műszaki és Infomatikai Ka, Pécsi Tudományegyetem POLLACK PRESS, PÉCS 05

5 A műszaki szakkönyv a Pécsi Tudományegyetem Pollack Mihály Műszaki és Infomatikai Ka Ménök-Infomatikus BSc képzéshez készült 05 ISBN Első magya nyelvű kiadás, 05 Iványi Amália, 05 Minden jog fenntatva Készült a POLLACK PRESS gondozásában Kiadja a Pécsi Tudományegyete, Pollack Mihály Műszaki és Infomatikai Ka Nyomta és kötötte Rotai Nyomda Kft. Komló

6 TARTALOM Bevezetés.... Matematikai összefoglaló Vektook, műveletek vektookon Skaláis- és vektomennyiségek Pont helyzetvektoa Vektoműveletek Az integál és a deivált fogalma Skalá-vekto és vekto-vekto függvények A vonalintegál A felületi integál A téfogati integál Az idő szeinti deivált...4. Statikus elektomos té Az elektosztatikus té foásmennyiségei Az elektomos töltés Töltésmodellek A statikus elektomos té intenzitása Az elektomos téeőség vekto Az elektomos feszültség és a potenciál A statikus elektomos té gejesztettsége Az elektosztatika Gauss-tétele Egyszeű töltéselendezések tee és potenciálja Pontszeű töltés tee és potenciálja A vonalmenti töltéssűűség tee és potenciálja Elektomos té anyag jelenlétében Vezetők, szigetelők A kapacitás, kondenzátook Elektóda endszeek ön- és észkapacitása Szigetelők, dielektikumok Folytonossági feltételek Keeszt- és hossziányú étegezés...47

7 vi TARTALOM.6. Enegiaviszonyok az elektomos tében Töltése ható eő, munkavégzés Töltött elektódaendsze enegiája Elektódaendsze enegiája és a kapacitás kapcsolata Az elektomos té enegiasűűsége Elektomos eőhatás és a vituális munka elve Ellenőző kédések Gyakoló feladatok Stacionáius áam elektomos tee Az áamlási té foásmennyisége, az elektomos áam Áammodellek A stacionáius áamlási té gejesztettsége és intenzitása A stacionáius elektomos té gejesztettsége A stacionáius áamlási té intenzitása Vezető anyag elektomos tében Analógia a statikus és a stacionáius té között Folytonossági feltételek két közeg hatáfelületén Az elektomos téeősség viselkedése közeghatáon A áamsűűség vekto viselkedése közeghatáon Vezető közegek töéstövénye Következmények A beiktatott téeősség és a diffeenciális Ohm-tövény A beiktatott téeősség A diffeenciális Ohm-tövény Az áamfoás Az áamvezető teljesítménye Ellenőző kédések Gyakoló feladatok Stacionáius mágneses té A mágneses té jelenléte A mágneses dipólus A mágneses indukció Mozgó töltése ható mágneses eő Áamvezetőe ható mágneses eő A mágneses té intenzitása és gejesztettsége A mágneses fluxus A mágneses indukció foásmentessége A gejesztési tövény A Biot Savat-tövény A gejesztési tövény alkalmazása Az ön- és kölcsönös induktivitás Vezető huok önindukciós együtthatója Illusztációs példa Vezetők kölcsönös indukciós együtthatója Illusztációs példa... 7

8 TARTALOM vii 4.4. Mágneses té és anyag kölcsönhatása A mágnesezettség vektoa és a pemeabilitás Mágneses anyagok típusai A mágneses té folytonossági feltételei két közeg hatáán Mágneses köök számítása A mágneses ellenállás és a mágneses Ohm-tövény Ellenőző kédések Gyakoló feladatok Időben változó elektomágneses té Időben változó mágneses té Nyugalmi indukció Lenz-tövény Faaday-féle indukció tövény A mozgási indukció Időben változó áam mágneses tee Önindukció jelensége Kölcsönös indukció jelensége Tekecsek soos és páhuzamos kapcsolása A mágneses té enegiája Tekecs enegiája Csatolt tekecsek enegiája A mágneses té enegiasűűsége Belső indukciós együttható A mágneses eőhatás és a vituális munka elve Időben változó elektomos té A folytonossági egyenlet Az eltolási áam A kondenzáto áama Az elektomágneses té alapaxiómái Az elektomágneses té enegiaviszonyai A Maxwell-egyenletek Ellenőző kédések Gyakoló feladatok További gyakoló feladatok Villamos hálózatok A endsze és a hálózat A endsze opeátoa Kichhoff típusú hálózatok Rezisztív hálózatok komponensei és kaakteisztikájuk Dinamikus hálózatok komponensei Dinamikus komponensek kaakteisztikái Dinamikus komponensek enegiaviszonyai Csatolt kondenzátook Csatolt tekecsek...95

9 viii TARTALOM 7. Hálózati egyenletek Kichhoff-tövények Kichhoff áamtövénye Kichhoff feszültségtövénye Hálózati egyenletek felíása Kichhoff-egyenletek fundamentális endszee, gáfelméleti alapok A hálózat gáfja A hálózat nomál fája Fundamentális vágatendsze Fundamentális huokendsze Ellenőző kédések Összekapcsolási kényszeek szisztematikus felíása Rezisztív hálózatok A hálózati egyenletekteljes endszee A hálózati egyenletek edukált endszee Ellenállások soos és páhuzamos kapcsolása Ellenállások soos kapcsolása Ellenállások páthuzamos kapcsolása A szupepozíció módszee Helyettesítő geneátook tétele A helyettesítő kapcsolások paaméteei Teljesítményillesztés Ellenőző kédések Gyakoló feladatok Szinuszos gejesztés válasza A szinuszos lefolyású gejesztő jel jellemzői A komplex fomalizmus Műveletek komplex számokkal A komplex szám algebai alakjából az exponenciális alak A komplex szám exponenciális alakjából az algebai alak A komplex szám konjugáltja Két komplex szám összege, különbsége algebai alakban Komplex szám és konjugáltjának összege, különbsége Két komplex szám szozata algebai alakban Két komplex szám szozata exponenciális alakban Komplex szám szozata a konjugáltjával Két komplex szám hányadosa exponenciális alakban Két komplex szám hányadosa algebai alakban A komplex fomalizmus alkalmazása A jel komplex csúcsétéke Hálózati egyenletek komplex fomalizmus esetén A komplex impedancia Hálózatszámítás a komplex fomalizmus alkalmazásával Impedanciák soos és páhuzamos kapcsolása Áam- és feszültségosztás... 85

10 TARTALOM ix A szupepozíció módszee komplex fomalizmus esetén Helyettesítő geneátook elve komplex fomalizmus esetén Csatolt tekecsek és a komplex fomalizmus Kiegyenlített hídkapcsolás Rezgőköök A teljesítmény A pillanatnyi teljesítmény A hatásos teljesítmény A látszólagos teljesítmény és a teljesítménytényező A meddő teljesítmény A komplex teljesítmény Teljesítményillesztés Ellenőző kédések Gyakoló feladatok Hálózatok fekvenciafüggése Az átviteli tényező fogalma Az átviteli kaakteisztika Néhány egyszeű hálózat átviteli kaakteisztikája Az átviteli kaakteisztika ábázolása lineáis-lineáis skálán Néhány hálózat átviteli kaakteisztikájának lineáis-lineáis ábázolása Az átviteli kaakteisztika ábázolása a komplex számsíkon, a Nyquist-diagam Néhány egyszeű hálózat Nyquist-diagamja Az átviteli kaakteisztika logaitmikus ábázolása, a Bode-diagam A logaitmikus egységek Az átviteli kaakteisztika nomál alakjai A nomál alakok ábázolása, Bode-diagamja Felhasznált iodalom Tágymutató...34

11

12 BEVEZETÉS A Hadveek villamosságtani alapjai című műszaki szakkönyv a ménök-infomatikus BSc képzéshez készült, ahol a szakkönyvben feldolgozott témaköök az azonos elnevezésű tágy keetében keülnek feldolgozása. A kötet célja megalapozni a ménök-infomatikus képzésben észt vevő hallgatók ménöki ismeeteinek fizikai és villamosságtani alapjait, ezzel is elősegítve a szaktágyakban (Elektonika, Jelek és endszeek, Méésadatgyűjtés és jelfeldolgozás) előfoduló fizikai jelenségek és technológiai folyamatok matematikailag megfogalmazott, a számítógép nyelvée lefodítható ismeeteinek átadását. A műszaki szakkönyv a fizikai jelenségek, technológiai folyamatok köéből csak néhány, a szakképzés soán a szaktágyakban felhasználása keülő kédések tágyalásával foglalkozik. A szakkönyv két nagy észe tagolódik, az elektomágneses teek elemi tágyalásáa, s ezt követi a villamos hálózatok fogalma és alapvető számítási eljáásainak összefoglalása. Az. fejezetben a matematikai összefoglaló közös leíási mód és nyelv kialakításáa szolgál. A. fejezetben az elektosztatikai tészámítási modell összefüggései keülnek bevezetése. A 3. fejezetben a stacionáius áamlási té, a 4. fejezetben a stacionáius mágneses té összefüggéseinek tágyalásáa keül so. Az 5. fejezet keetében keül so az időben változó elektomágneses té alapjainak bevezetésée, a Maxwell-egyenletek teljes endszeének összefoglalásáa és az elektomágneses té enegiaviszonyainak ismetetésée. A 6. fejezet témája a villamos hálózatok komponenseinek és kaakteisztikáinak ismetetése. A 7. fejezet a hálózati egyenletek felíásával foglalkozik, köztük a gáfelméleti alapok ismetetése után a hálózat topológiáján alapuló összekapcsolási kényszeek, a Kichhoff-egyenletek szisztematikus felíásáa ad eljáást. A 8. fejezet ezisztív hálózatok számítási eljáásait ismeteti, s végül a 9. fejezet a komplex fomalizmus bevezetésével a szinuszos gejesztésű hálózatok állandósult üzemmódbeli számítási eljáásait tágyalja. A 0. fejezet tágyalja a villamos hálózatok fekvenciafüggését, az átviteli kaakteisztika fogalmát, valamint annak lineáis-lineáis skálán való ábázolását, a Nyquist- és a Bodediagamok megszekesztésének elveit és ételmezését. E szakkönyv elsősoban a hazai felsőfokú képzés szakkönyveie támaszkodik, de felhasználja a szomszédos oszágok hasonló témájú egyetemi jegyzeteit és szakkönyveit

13 BEVEZETÉS is, alkalmazva a ménöki megismeési folyamatok szabályait. A műszaki életben előfoduló, a szakkönyvben tágyalt fejezeteknek a matematika szabályai szeinti megfogalmazása azt a célt szolgálja, hogy az itt nem tágyalt, de a ménök-infomatikus szakmai pályafutása soán előfoduló jelenségek vizsgálatához kellő bátoságot és szakmai ismeetet adjon. A műszaki szakkönyv egyes fejezetei végén lévő feladatok és megoldásaik a tágy oktatásához és tanulásához nyújtanak segítséget. Köszönetemet fejezem ki a Pécsi Tudományegyetem Pollack Mihály Műszaki Ka Műszaki Infomatika Tanszéken oktató, dolgozó kollégáimnak és hallgatóimnak a bátoításét és könyv megíása soán nyújtott segítségét. Pécsett, 05. Iványi Amália

14 . MATEMATIKAI ÖSSZEFOGLALÓ A fejezet néhány olyan matematikai összefüggést tágyal, azok egzakt bizonyítása nélkül, amelyek a Hadveek villamosságtani alapjai című tágy tágyalása soán felhasználása keülnek... Vektook, műveletek vektookon... Skaláis és vektomennyiségek Az olyan mennyiségeket, amelyek pozitív és negatív számokkal jellemezhetők, skaláis mennyiségeknek nevezzük. Ilyen például a töltés, a tömeg, a hőméséklet, a sűűség, a munka stb. Azokat a mennyiségeket viszont, amelyek megadásához nagyságuk, méetük mellett még tébeli helyzetüke, iányaika is szükség van, vektomennyiségeknek nevezzük. Például az eő, a sebesség, a gyosulás, az elektomos és a mágneses téeősség stb. vektomennyiségek. Mind a skaláis, mind a vektomennyiségek a hely és idő függvényében változhatnak. Amíg egy adott időpillanatban egy adott helyen a skaláis mennyiséget egy pozitív vagy negatív étékű számadat és a métékegysége jellemzi, addig egy adott helyen egy adott időpillanatban a vektomennyiséget a nagysága és métékegysége mellett az iánya is meghatáozza. Az F = F e F (.) vektomennyiség F nagysága a vekto hosszával, a vekto F abszolút étékével adható meg, F = F, (.)

15 4. MATEMATIKAI ÖSSZEFOGLALÓ a vekto e F iányát az F vekto iányába mutató ef = F F (.3) egységvekto definiálja. Az.. ábán látható F vekto az A pontból a B pont felé mutat, hossza F, iányát az A B pontokat összekötő egyenes iányába, az A pontból a B pont felé mutató e F egységvekto adja meg... ába. Az F vekto ábázolása... Pont helyzetvektoa A deékszögű, Descates-koodináta-endszeben az x, y, z koodinátákkal jellemzett P x y, z P pont helye (.. ába) a koodináta-endsze oigójából a P (, ), azaz a ( ) pont felé mutató helyzetvektoal adható meg, ahol az helyzetvekto az x, y, z koodinátavetületeivel és a koodinátatengelyek iányába mutató ex, e y, ez egységvektookkal a következő: = xex + ye y + zez. (.4).. ába. P pont a deékszögű koodináta-endszeben Két vekto akko tekinthető egyenlőnek, ha az abszolút étékük egyenlő és a vektook iánya is megegyezik, azaz páhuzamosak és egyenlő nagyságúak.

16 . MATEMATIKAI ÖSSZEFOGLALÓ Vektoműveletek Vektookon alkalmazott lineáis opeációk az összeadás, a kivonás és az állandóval való szozás. Legyen és két helyzetvekto, a deékszögű koodináta-endszebeli (Descates-féle) koodinátavetületeivel adott, = xe x + ye y + ze z, = xex + ye y + zez. (.5) (i) A két helyzetvekto összege az = +, (.6) azaz vekto, amelye az + = 0 összefüggés fennáll, azaz az, és a vektook zát háomszöget (több vekto esetén zát sokszöget) alkotnak (.3. ába). Az eedő vekto koodinátavetületei a komponensek koodinátavetületeinek összegeként adhatók meg, azaz =. (.7) ( x + x ) e x + ( y + y ) e y + ( z + z ) e z.3. ába. Két helyzetvekto összege (ii) A két helyzetvekto különbsége az és a vektook összege, =. (.8) A különbségi vekto koodinátavetületei a komponensek koodinátavetületeinek különbségével a következő alakban fejezhetők ki (.4. ába), =. (.9) ( x x ) e x + ( y y ) e y + ( z z ) e z

17 6. MATEMATIKAI ÖSSZEFOGLALÓ.4. ába. Két helyzetvekto különbsége Az helyzetvektonak valamely c állandóval való szozata a vekto hosszának, abszolút étékének a megnövelését ( c > ), illetve csökkentését ( c < ) eedményezi, = c ( ) ( ) ( ) = cxe x + cye y + cze z, = cx + cy + cz = c. (.0) (iii) Két vekto skaláis szozata skaláis mennyiség. Az és az vektook = skaláis szozatának a két vekto abszolút étékének, és a két vekto által bezát kisebbik ϕ szög koszinuszának szozatával kapott = cosϕ skaláis mennyiséget nevezzük (.5. ába), = cosϕ. (.).5. ába. Két vekto skaláis szozata A deékszögű Descates-féle koodináta-endszeben a páhuzamos egységvektook skaláis szozata egységnyi skaláis étéket eedményez, míg az egymása meőleges egységvektook skaláis szozata nulla étéket ad (.6. ába),.6. ába. Egységvektook skaláis szozata

18 . MATEMATIKAI ÖSSZEFOGLALÓ 7 ex ex =, ex e y = 0, e y e y =, e y ez = 0, ez ez =, ez ex = 0. (.) Az = vektook skaláis szozatának eedménye a koodinátakomponensekkel is megadható, ha figyelembe vesszük az egységvektook skaláis szozataia vonatkozó (.) összefüggést. Így az skaláis szozat a következő alakban íható: ( xe x + ye y + ze z ) ( xex + yey + zez ) = xx + y y + z = z. (.3) Két vekto = cosϕ skaláis szozata úgy is ételmezhető, mint az egyik vektonak a másik vektoa eső vetülete, azaz cosϕ, szoozva a másik vekto hosszával (.7. ába)..7. ába. Az vektonak az vektoa vonatkozó vetülete (iv) Két vekto vektoiális szozata vektot eedményez. Az és az vektook = vektoiális szozatának azt az vektot tekintjük, amelynek az sinϕ hosszúsága az és az vektook által kifeszített paalelogamma teületével egyenlő, iánya pedig meőleges mind az, mind az vektoa, olyan iányítással, hogy az, az és az vektook jobbsodású hámast alkotnak (.8. ába), = sinϕ e, e = e e. (.4) A deékszögű, Descates-féle koodináta-endszeben a páhuzamos egységvektook vektoiális szozata nulla hosszúságú vektot eedményez, míg az egymása meőleges egységvektook vektoiális szozata mindkét vektoa meőleges, egységnyi hosszúságú egységvektot ad (.9. ába).

19 8. MATEMATIKAI ÖSSZEFOGLALÓ.8. ába. Az és az vektook vektoiális szozata.,,,,, z z y y x x y x z x z y z y x = = = = = = e e e e e e e e e e e e e e e (.5).9. ába. Egységvektook vektoiális szozata Figyelembe véve az egységvektook vektoiális szozataia vonatkozó fenti összefüggéseket, két vekto vektoiális szozata a vektook koodinátakomponenseivel is kifejezhető a következő detemináns kiétékelésével: ( ) ( ) ( ). x y y x x z z x y z z y z y x z y x z y x z y x + = = = e e e e e e (.6) A vektook szozatainak tulajdonságai közül ki kell emelni a skaláis szozat kommutatív tulajdonságát, míg meg kell jegyezni, hogy a vektoiális szozat nem kommutatív, azaz vektoiális szozat elemeinek felcseélése ugyanolyan nagyságú, de ellenkező iányú vektot eedményez, vagyis, = =. (.7)

20 . MATEMATIKAI ÖSSZEFOGLALÓ 9.. Az integál és a deivált fogalma... Skalá-vekto és vekto-vekto függvények Az olyan Φ skaláis mennyiséget, amely a geometiai té egy tatományának minden helyzetvekto által kijelölt pontjában meghatáozott étéket vesz fel Φ = Φ ( ), skalá-vekto függvénynek nevezzük. Ilyen skalá-vekto függvény például a hőméséklet, a sűűség, a skalápotenciál stb. Az olyan V vektomennyiséget, amely a geometiai té egy tatományának minden helyzetvekto által kijelölt pontjában meghatáozott vektoétéket vesz fel V = V ( ), vekto-vekto függvénynek nevezzük. Ilyen például a sebesség, az elektomos és a mágneses téeősség stb.... A vonalintegál Mint ismeetes, ha a geometiai té valamely pontjában egy ( ) tömegponta, amely az eő hatásáa valamely iányba tömegpont W munkát végez, ( ) l F eő hat egy l elmozdulást végez, akko a W = Fl, (.8) ahol F l ( ) = F l ( ) e l az eőnek az elmozdulás iányába mutató, F ( n ) az elmozdulás iányáa meőleges komponense, l pedig az út hossza (.0a ába), míg e l az elmozdulás iányába mutató egységvekto. A fenti (.8) összefüggés a vektook skaláis szozata alapján megadható az eő és az elmozdulás vektoainak skaláis szozataként, W = F l, W = F l cosϕ = Fl. (.9) F Ha az ( ) ( ) l eő hatásáa az elemi tömegpont az A pontból a B pontba mozdul el valamely l út mentén, akko az út elemi szakaszain végzett munkavégzések összege az A pontból a B pontba való elmozdulás soán kifejtett munkát eedményezi (.0b ába), N W AB = W k. (.0) k =

21 0. MATEMATIKAI ÖSSZEFOGLALÓ a) b).0. ába. a) Az elemi tömegpont F l eő hatásáa a l úton való elmozdulása, b) A vonalintegál ételmezése, a munkavégzés számítása Ezt a munkát úgy hatáozhatjuk meg, hogy az A B pontok közötti útszakaszt N elemi észe bontjuk. A k-adik elemi útszakaszt a l k, k =,, L, N vekto jellemzi. Minden elemi szakasz belsejében felveszünk egy k helyzetvektot, és ott meghatáozzuk az Fk ( k ) eőhatás nagyságát, amelyet az elemi elmozdulásvektoal skaláisan szoozva a k-adik szakaszon végzett munkát kapjuk, Wk = F ( k ) lk, k =,, L, N. (.) Az összes elemi szakaszon kapott munkavégzést összegezve a két pont közötti munkavégzéshez jutunk, N W AB = W k k = N = F k = k lk. (.) ( ) Ha az elemi szakaszok hosszát minden hatáon túl csökkentjük, akko az A B út elemi l k szakaszainak végtelen finom, infinitezimálisan kicsiny d l osztása szeinti összegezéshez, az F ( ) eőnek az A B pontok közötti vonalintegáljához, a tömegpont elmozdításához szükséges munkavégzéshez jutunk, azaz N B W AB = lim F ( k ) lk = F ( ) dl. (.3) lk 0 k = A Minthogy a klasszikus fizika ételemben az A pontból a B pontba való elmozdulás soán végzett munka, valamint a B pontból az A pontba való visszatéés soán végzett összes munka nulla,

22 . MATEMATIKAI ÖSSZEFOGLALÓ B A WABA = F d A B ( ) dl + F ( ) l = 0, (.4) ahonnan az integál alsó és felső hatáainak felcseélése az integál eedményében egy negatív előjelet eedményez B F A A = dl. (.5) B ( ) dl F ( ) F Adjuk meg az ( ) eőt az eő ( ) F ( ) mutató F elmozdulást az l úthossz = l e egységvektoal, ( ) ( ) F F = abszolút éétkével és az eő iányába s F = F e, valamint az A B pontok közti l abszolút étékével (hosszával) és az elmozdulás éintője iányába mutató e l egységvektoal, l = lel. A fenti jelöléseket az (.3) kifejezésbe helyettesítve az A B pontok közti elmozdulás soán végzett munka kifejezésée a következőt kapjuk: B F A B A ( ) dl = F( ) dl ef el. (.6) Vegyük figyelembe, hogy a két egységvekto, e F, el skaláis szozata az F ( ) eő és az l útszakasz éintője közti szög koszinuszát eedményezi, így a fenti (.6) kifejezés az eő elmozdulás iányába eső vetületének az elmozdulás menti integálját adja, B F A F l ( ) dl e e = B F cosϕ dl A. (.7)..3. A felületi integál Mint ismeetes, ha egy felületen mágneses indukcióvonalak mennek át, azok összege a felület fluxusát adja. Ennek meghatáozásához tekintsük az.. ábát, ahol az a felület a felület a méőszámával és a hozzá endelt n felületi nomálissal adható meg, a = a n. Bontsuk fel az.. ábán látható a felületet N elemi a k k =,, L,N felülete, amely belsejében az k helyzetvekto egy pontot hatáoz meg. A megfelelően kis méetű elemi a k felület minden k pontjában a Bk ( k ) mágneses indukcióvekto

23 . MATEMATIKAI ÖSSZEFOGLALÓ állandónak tekinthető. Ezen elemi felületeken a B k indukcióvektonak az elemi felület nomálisával való skaláis szozata a B k indukcióvektonak a felülete meőleges komponensét eedményezi ( B ) B n k n = k (.3. ába)... ába. Az elemi felület ételmezése.. ába. A felületi integál ételmezése Ekko a a k elemi felület Ψk.3. ába. Az elemi felület fluxusa Ψ = n a fluxusa k ( k ) k B, azaz Ψ k = Bk ak, k =,, L, N. (.8) A teljes felület Ψ fluxusa az elemi felületek fluxusainak összege, N N Ψ = Ψk = Bk ( k ) ak. (.9) k = k =

24 . MATEMATIKAI ÖSSZEFOGLALÓ 3 Ha az elemi felületek méetét minden hatáon túl csökkentjük, akko egy végtelen sok infinitezimálisan kicsiny elemből álló összeghez, a B indukciónak az a felülete vett integáljához jutunk, N Ψ = lim Bk ak = B( ) da. (.30) ak 0 k = a Egy zát felületen a belépő fluxus ki is lép (.4. ába) B da = Ψ, B da = Ψ, (.3) a a és minthogy Ψ = Ψ, így a zát felület fluxusa nulla, B da = 0. (.3) a.4. ába. Zát felület fluxusa..4. A téfogati integál Egy test tömegét a ρ sűűsége és a v téfogata hatáozza meg. Ha azonban a test sűűsége nem állandó, hanem a geometiai té egyes k, k =,, L, N pontjaiban másmás étéket vesz fel ρ k = ρ( k ), a test tömege a test sűűségfüggvényének a téfogata vett integáljával hatáozható meg. Bontsuk fel a test v téfogatát olyan N számú elemi v k k =,, L, N téfogatoka, amelyek helyzetét az k kelyzetvektoal lehet jellemezni. Tekintsük az elemi v k, k =,, L,N téfogat k pontjában a test ρ k = ρ( k ) sűűségét állandónak, ekko az elemi téfogat mk tömegét a következő szozattal fejezhetjük ki (.5. ába): mk = ρ k vk, k =,, LN. (.33)

25 4. MATEMATIKAI ÖSSZEFOGLALÓ.5. ába. Az elemi téfogat A teljes v téfogat m tömege ezen elemi (.6. ába), mk tömegek összegeként állítható elő N N m = m k = ρ k vk. (.34) k = k =.6. ába. A téfogati integál ételmezése Ha az elemi vk téfogatok méeteit minden hatáon túl csökkentjük, ugyancsak egy végtelen sok infinitezimálisan kicsiny elemből álló összeghez, a test ρ ( ) sűűségének a v téfogata vonatkozó integáljához jutunk, N m = lim ρ k vk = ρ( ) dv. (.35) vk 0 k = v..5. Az idő szeinti deivált Tekintsük egy téfogatban elhelyezkedő Q ( t) töltés időbeli változását (.7. ába). t = időpillanatban az töltés étéke Q( ) t = t időpillanatban Legyen a t Q = t, a Q = Q( t ). A téfogat töltése t = t t idő alatt Q = Q Q étékkel változik meg. A téfogat töltésének megváltozásáa a töltés idő szeinti diffeenciálhányadosa ad

26 . MATEMATIKAI ÖSSZEFOGLALÓ 5 tájékoztatást, amely a t időegység alatt létejött azon hatáétékével adható meg, amiko az idő Q töltés megváltozáshányadosának t növekménye nullához tat, dq Q = lim. (.36) dt D t 0 t.7. ába. Az idő szeinti diffeenciálhányados ételmezése Ha az.7. ábán a t időpillanat megegyezik a t időpillanattal, azaz t nullához tat, az (.36) diffeenciálhányados a Q töltés időfüggvényének t időpillanatbeli éintőjét adja.

27 . STATIKUS ELEKTROMOS TÉR A nyugvó töltések időben állandó elektomos teet keltenek, amelyet statikus elektomos tének, az elektomágneses témodellt elektosztatikus tének nevezzük. Az elektosztatikus té jelenlétét a töltéseke gyakoolt hatásán, a Coulomb-eőn keesztül lehet kimutatni. Az elektomos teet foásmennyiségekkel és téjellemzőkkel lehet jellemezni... Az elektosztatikus té foásmennyiségei... Az elektomos töltés Az elektosztatikus té foása az anyag elemi észecskéit jellemző elektomos töltés, amely az elekton e =,6 0 9 C töltésének egész számú többszööseként, kvantáltan fodul elő, ahol C = coulomb az elektomos töltés métékegysége. Minthogy a töltés az egyes anyagi észecskék egyik jellemző mennyisége, az anyagmegmaadás tövénye egyben a töltésmegmaadás tövényét is magában foglalja. Ez azt jelenti, hogy habá az elektomos töltés tébeli eloszlása változhat, a pozitív és a negatív töltések összege mindig nulla maad. A töltés métékegysége, az coulomb nagyon nagy egység, ezét kisebb egységeit alkalmazzuk, úgy, mint millicoulomb ( C = 03mC ), mikocoulomb ( C = 06µC ), nanocoulomb ( C = 09nC ) és pikocoulomb ( C = 0pC ), azaz C = 0 3 mc = 06 µc = 09 nc = 0 pc. (.) A töltés métékegységét az SI (System Intenational) Métékegységek Nemzetközi Rendszeében az áam métékegységée vezetik vissza, azaz C = As, azaz ampesekundum. Az elektomágneses té analízisénél nem atomi szintű vizsgálatoka keül so, ugyanis egy pikocoulomb töltés létehozásához

28 . STATIKUS ELEKTROMOS TÉR 7 0 C N =, ,5 06 számú elekton szükséges, ezét a ménöki gyakolatban az elektomágneses té összefüggései statisztikus tövényekkel íhatók le. Az elektomos töltések jelenlétét az egymása kifejtett eőhatáson keesztül lehet kimutatni. Két pontszeűnek tekinthető Q és Q elektomos töltésű test között fellépő eő a tapasztalati Coulomb-tövénnyel fejezhető ki (.. ába). A Coulomb-tövény szeint az eőhatás nagysága, amely a Q és Q töltésű, a két töltés közötti távolsághoz képest kis méetű töltött test között fellép, aányos a két töltés szozatával, és fodítottan aányos a két töltés közötti távolság négyzetével és a teet kitöltő homogén, izotop közeg ε anyagjellemzőjével, Q Q F =. 4πε.. ába. A Coulomb-tövény ételmezéséhez Az eő iánya a két töltést összekötő egyenes iányába esik. Az azonos előjelű töltések taszítják egymást, míg ellenkező előjelű töltések vonzóeőt gyakoolnak egymása (.. ába)... ába. Az elektomos töltés ételmezése az eőhatás alapján A fenti kifejezésben ε az anyag pemittivitása, dielektomos állandója, amely a vákuum ε 0 pemittivitásának és a közege jellemző ε elatív pemittivitásának a szozata

29 8. STATIKUS ELEKTROMOS TÉR ahol ε = ε0 ε, 0 9 As ε 0 = 8,86 0 F m, (.) 4 π 9 Vm míg ε, a elatív pemittivitás dimenzió nélküli szám. A levegő elatív pemittivitása közel egy, ε.... Töltésmodellek Egy adott téészen a töltés különböző eloszlású lehet. (i) Pontszeű töltés. Egy kisméetű test Q töltése pontszeűnek tekinthető, amely az elektosztatikában időben állandó Q = Q0, míg általában időben változó Q = Q() t mennyiség lehet. (ii) Téfogati töltéssűűség. Ha a Q ( t) töltés egy téfogatban oszlik el, akko a töltéseloszlás ρ (,t) téfogati töltéssűűséggel modellezhető. Feltéve, hogy az elemi v téfogatban Q ρ,t téfogati töltéssűűségnek a pontszeűvé zsugoított elemi téfogat töltését tekintjük, métékegysége C m3, töltés helyezkedik el (.3. ába), a ( ) Q C ρ(, t) = lim, [ ρ] =. (.3) v 0 v m3.3. ába. A téfogati töltéssűűség ételmezése A ρ (,t) téfogati töltéssűűség ismeetében a v téfogat ( t) integál felhasználásával hatáozható meg: Q töltése a következő

30 . STATIKUS ELEKTROMOS TÉR 9 Q () t = (, t) ρ dv. v (iii) Felületi töltéssűűség. Ha a téfogat h magassága elhanyagolható az a felületéhez képest, akko a téfogatban elhelyezkedő Q ( t) töltéseket felületi töltéssűűséggel modellezzük. Amennyiben az a felület a elemén Q töltés helyezkedik el (.4. ába), a σ (,t) felületi töltéssűűség a felület egy pontjáa vonatkoztatott töltésmennyiség, métékegysége C m, Q C σ (, t) = lim, [ σ ] = a 0 a m. (.4).4. ába. A felületi töltéssűűség ételmezése A felületi töltéssűűség ismeetében a felület össztöltése meghatáozható, Q () t = (, t) σ da. a (iv) Vonalmenti töltéssűűség. Ha azonban a téfogat keesztmetszete hanyagolható el a téfogat hosszához képest, akko a téfogatban lévő töltéseloszlás vonalmenti töltéssűűséggel modellezhető. Feltéve, hogy a kis keesztmetszetű téfogat hossza mentén a l szakaszon Q töltés helyezkedik el (.5. ába), a q (,t) vonalmenti töltéssűűség a kis keesztmetszetű téfogat hossza mentén adja meg a töltéseloszlást, métékegysége C m, Q C q(, t) = lim, [] q =. (.5) l 0 l m.5. ába. A vonalmenti töltéssűűség ételmezése

31 0. STATIKUS ELEKTROMOS TÉR A vonalmenti töltéssűűség ismeetében a kis keesztmetszetű téfogat l hossza mentén az összes töltés a következőképpen hatáozható meg: Q () t q(, t) = l dl. (v) Összefoglalva, valamely a felülettel hatáolt v téfogat összes töltése ρ,t téfogati töltéssűűség, a téfogatot (.6. ába) a téfogatban helyet foglaló ( ) hatáoló hatáfelületen elhelyezkedő σ (,t) felületi töltéssűűség, a téfogat belsejében az l hosszúságú szakasz q (,t) Q () t pontszeű töltések figyelembevételével a következő: Q () t = (, t) dv + σ (, t) da q(, t) dl Q ( t) vonalmenti töltéseloszlása, valamint a téfogatban lévő ρ + + i. v a l i.6. ába. Valamely téfogat összes töltése Megjegyzés. Minthogy elektosztatikus tében nyugvó töltések teét vizsgáljuk, így a töltések és eloszlásuk is időben állandó étékűek, azaz a pontszeű töltés Q, a különböző töltéssűűségek a geometiai tében állandók, vagy hely szeint változhatnak. Így a téfogati töltéssűűség ρ, illetve ρ ( ), a felületi töltéssűűség σ, illetve σ ( ) vonalmenti töltéssűűség pedig q, illetve q ( )., a.. A statikus elektomos té intenzitása... Az elektomos téeősség vekto A nyugvó töltések keltette elektosztatikus té jelenlétét a geometiai té valamely pontjában elhelyezett egységnyi Q póbatöltése ható F = Q E

32 . STATIKUS ELEKTROMOS TÉR eőhatáson keesztül ézékelhetjük (.7. ába). Azaz az elektosztatikus tében a té intenzitását az egységnyi töltése ható eővel, az E elektomos téeősség vektoal adjuk meg: [ F] F V E =, [ E] = =. (.6) Q [ Q] m.7. ába. A nyugvó töltések elektomos tee és a póbatöltés Az elektomos téeősség métékegységét a nemzetközi SI métékegység-endszeben az eő N = VAs/m és a töltés C = As métékegységeinek figyelembevételével kapjuk. Ha egy Q pontszeű töltéstől távolságban lévő P pontban egy Q p = C töltésű póbatöltést helyezünk el (.8. ába), akko a Coulomb-tövény felhasználásával a P pontban fellépő elektomos téeősség a következő: QQp F Q F = e, E = = e Q. 4πε p 4πε.8. ába. A pontszeű töltés által keltett téeősség Az elektomos eőteet eővonalakkal lehet szemléltetni (.9. ába). Az elektomos eővonalak éintő vektoai az elektomos téeősség vekto iányába mutatnak, az eővonalak sűűsége pedig a téeősség nagyságával, azaz a téeőssége meőleges egységnyi felületen áthaladó eővonalak számával aányos..9. ába. Az elektomos téeősség szemléltetése

33 . STATIKUS ELEKTROMOS TÉR Ha az elektomos teet több Q, Q, L, QN töltés hozza léte, akko az eők szupepozíciója alapján a té valamely pontjában az elektomos téeősség az egyes töltések által keltett E, E, L, EN elektomos téeősség vektook vektoi összegével, szupepozíciójával hatáozható meg: N E = E + E + L+ EN = Ek. k =... Az elektomos feszültség és a potenciál Az elektomos té az elektomos töltése eőhatást gyakool. Ha a töltés az eő hatásáa elmozdul, az elektomos té munkát végez. Ha egy Q töltésű tömegpont az E elektomos tében a P pontból a P pontba egy l útvonalon mozdul el (.0. ába), akko a munkavégzés a töltése ható eőhatás alapján P P W = F dl = QE dl = Q E dl = QU, P P l ahol U a P, P pontok között fellépő feszültség. Ha a munkavégzés pozitív, akko a té végez munkát az elmozdulás soán, azaz a töltés potenciális enegiája csökken, ha viszont a munkavégzés negatív, akko az elmozdulás külső munkavégzés áán lehetséges, azaz a töltés potenciális enegiája növekszik..0. ába. A Q töltésű tömegpontnak a P pontból a P pontba való elmozdulása A fentiek alapján a P, P pontok közötti feszültség aányos az E elektomos tében az egységnyi töltésnek a pontok közötti l útvonalon való elmozdulásához szükséges munkával, P U = Ε dl = E dl, U P l [ ] = V. (.7)

34 . STATIKUS ELEKTROMOS TÉR 3 A feszültség métékegysége az V = volt. Ha a Q töltésű tömegpont a P pontból az l útvonalon mozdul el a P pontba, vagy a P pontból az l útvonalon jut el a P pontba, akko ugyanakkoa a munkavégzés (.. ába), és vegyük figyelembe, hogy az integálási hatáok felcseélése az integál előjelének megváltozását eedményezi (.5), így P P P E dl = E dl = E dl. P P P ( l ) ( l ) ( l ).. ába. A Q töltésű tömegpontnak a P - P - P zát útvonalon való elmozdulása Egy oldala endezve, az elmozdulás a P pontból a P pontba, majd vissza a P pontba töténik, azaz az E elektomos téeősségnek egy zát göbe menti integálja nulla: E dl = 0. (.8) l Ez az eedmény azt jelenti, hogy az elektosztatikus té cikulációmentes, övénymentes, azaz a két pont közötti feszültség nem függ az integálás útjától, kizáólag a P, P pontok helyzete hatáozza meg. Ha a tében az 0 helyzetvektoal adott P 0 pontot nulla enegiaszintű pontnak, efeenciapontnak tekintjük, akko a Q töltésű tömegpontnak az helyzetvektoal adott P pontból a P 0 pontig való elmozdulása (.. ába) soán végzett munka aányos a P pont Φ ( ) = Φ ( P) potenciáljával, minthogy a P 0 pont potenciálja nulla Φ 0 = Φ ( P0 ) = 0, P0 W = Q E dl = QΦ ( P), P

35 4. STATIKUS ELEKTROMOS TÉR ahonnan a té valamely helyzetvektoal adott P pontjának elektomos skalá potenciálja az elektomos téeősségnek a P ponttól a P 0 efeenciapontig való integálásával adható meg, feltéve, hogy a P 0 efeenciapont potenciálja nulla, Φ ( 0 ) = Φ ( P0 ) = 0, P 0 Φ ( ) = Φ ( P) = E dl. (.9) P.. ába. A P pont potenciálja A potenciál egysége megegyezik a feszültség egységével. A zéuspotenciálú helyet paktikus szempontok szeint szokás felvenni, ahogy az a.4.. és a.4.. pontokban látható. A.3. ába alapján, ha az egyes pontok potenciáljai P0 P0 Φ = E dl, Φ = E dl, P P.3. ába. A potenciál és a feszültség kapcsolata a P, P ponttok közötti feszültség kifejezhető a P és a P pontok potenciáljainak különbségével, ha ismételten figyelembe vesszük, hogy az integálási hatáok felcseélése előjelváltást eedményez (.5): P P0 P P0 P0 U = E dl = E dl + E dl = E dl E dl = Φ Φ. (.0) P P P0 P P

36 . STATIKUS ELEKTROMOS TÉR 5.3. A statikus elektomos té gejesztettsége Az előzőekben a töltések által létehozott elektomos teet adottnak tekintettük. Most vizsgáljuk meg, milyen kapcsolat van a töltés és az általa gejesztett elektomos té között. A kédése a választ a tapasztalati eedmények adják..3.. Az elektosztatika Gauss-tétele A kíséleti eedmények általánosításával azt kapjuk, hogy homogén közegben egy zát felületen átmenő eővonalak száma aányos a felület által bezát töltéssel (.4. ába): E da = a Q ε, ahol az elemi felület d a = n da a felülettel hatáolt téfogatból kifelé mutató n felületi nomálissal és a felület da méőszámával adható meg..4. ába. A Gauss-tétel ételmezése Ha feltételezzük, hogy a közeg ε pemittivitása nem függ a geometiai pozíciótól, illetve az elektomos téeősség étékétől, a fenti kifejezés a következő összefüggése vezet: ε E da = Q. a A teet kitöltő anyag jelenlétének figyelembevételée a As V As [ D] = [][ ε ] = D = ε E, E = (.) Vm m m összefüggéssel vezessük be az D eltolási vektot. Az eltolási vekto métékegysége megegyezik a felületi töltéssűűség métékegységével. Az eltolási vekto bevezetésével

37 6. STATIKUS ELEKTROMOS TÉR az elektosztatika Gauss-tétele a következő alakban adható meg, feltéve, hogy a zát a felülettel hatáolt v téfogatban Q = ρ dv töltés helyezkedik el, v D d a = ρ dv. (.) a v A fenti összefüggés azt fejezi ki, hogy a közegtől függetlenül a Q elektomos töltéssel a D eltolási vekto van közvetlen kapcsolatban. Az elektosztatika Gauss-tétele alapján megállapítható, hogy az elektomos té foása az elektomos töltés. Az eltolási vekto szintén eővonalakkal ábázolható, amelyek a pozitív töltésből indulnak és a negatív töltésen végződnek (.5. ába)..5. ába. Az elektomos té foása a töltés Egy a felületen átmenő D eltolási vektook számát (.6. ába) Ψ D elektomos fluxusként is szokás említeni: ΨD = D da, Q = D da, D = a a [ Ψ ] As amely valójában az a felületen elhelyezkedő Q töltést epezentálja.,.6. ába. Az a felület összes töltése, elektomos fluxusa

38 . STATIKUS ELEKTROMOS TÉR 7.4. Egyszeű töltéselendezések tee és potenciálja.4.. Pontszeű töltés tee és potenciálja Tekintsük a.7. ábán látható pontszeűnek tekinthető Q töltést és vizsgáljuk meg a töltés keltette elektomos téeősség és potenciál változását a töltéstől vett távolság függvényében. Minthogy a pontszeű töltés könyezetében nincs kitüntetett iány, a kialakuló elektomos teet gömbszimmetikusnak tekinthetjük. Vegyük köül a pontszeű töltést egy olyan sugaú gömbfelülettel, amelynek középpontjában helyezkedik el a Q pontszeű töltés..7. ába. A pontszeű töltés köül gömbszimmetikus az elektomos té Alkalmazzuk az elektosztatika Gauss-tételét az sugaú gömbfelülete és vegyük figyelembe, hogy az eltolási vekto is sugáiányú, azaz páhuzamos a gömbfelület felületi nomálisával. Minthogy a pontszeű töltéstől azonos távolságban az eltolási vekto abszolút étéke állandó, azaz a Gauss-tétel integálja alól kiemelhető D da = D da = D da = D4π = Q, a a a ahonnan az eltolási vektonak a töltéstől vett távolságtól való függése meghatáozható Q D() =, 4π míg az elektomos téeősség a töltéstől vett távolság négyzetével csökken, azaz az elektomos téeősség kifejezésée a D = εe összefüggés figyelembevételével a következő adódik (.8a ába), E () Q =. (.3) 4πε

39 8. STATIKUS ELEKTROMOS TÉR A potenciál meghatáozásához vegyük fel a nulla potenciálú P 0 efeenciapontot az 0 sugaú gömbfelületen. Az sugaú gömbfelület bámely pontjában a potenciál a téeősség integálásával előállítható, Φ () Q Q 0 = E dl = E d = d = 4 πε 4πε. Vegyük figyelembe, hogy az elektomos téeősség sugáiányú, továbbá azt, hogy az integáljának pimitív függvénye, így a potenciál kifejezésée a pontszeű töltéstől távolsága a következő adódik: Q Φ () =. 4πε 0 Az egyszeűség kedvéét vegyük fel a P 0 efeenciapontot, a nulla potenciálú helyet a végtelenben ( 0 ), ekko a potenciál a töltéstől vett távolsággal csökken, azaz a potenciál kifejezésée a következő adódik (.8b ába): Q Φ () =. (.4) 4πε a) b).8. ába. A pontszeű töltés a) téeősségének és b) potenciáljának helyfüggése.4.. A vonalmenti töltéssűűség tee és potenciálja Tekintsük a.9. ábán látható végtelen hosszú vonalszeűnek tekinthető töltéselendezést, amelynek vonalmenti töltéssűűsége q. Vizsgáljuk meg, hogyan változik az elektomos téeősség és a potenciál a vonalmenti töltéssűűség tengelyétől vett távolság függvényében.

40 . STATIKUS ELEKTROMOS TÉR 9.9. ába. A vonalszeű töltés köül hengeszimmetikus az elektomos té A vonalmenti töltéssűűség hengeszimmetikus teet hoz léte, amely egy hengefelületen azonos étéket vesz fel. Alkalmazzuk az elektosztatika Gauss-tételét egy sugaú hengefelület l hosszúságú szakaszáa. Vegyük figyelembe, hogy az eltolási vekto a hengefelület palástjáa meőleges és a henge palástja mentén állandó, továbbá vegyük figyelembe, hogy az l hosszúságú πl hengefelületen belül Q = ql töltés helyezkedik el D da = D da = D da = Dπl = ql, a a palást a palást ahonnan az eltolási vekto a vonalmenti töltéssűűségtől vett távolság függvényében a következő módon változik q D() =, π míg az elektomos téeősség D = εe összefüggés figyelembevételével a sugá függvényében csökken (.0a ába) E () q =. (.5) πε Az sugaú hengefelület potenciáleloszlásának meghatáozásához vegyük fel a zéuspotenciálú efeenciapontot az 0 sugaú hengefelületen (.9. ába). Az elektomos téeősség integálásával, figyelembe véve, hogy a téeősség sugáiányú, továbbá, hogy az függvény integáljának pimitív függvénye ln, a potenciál kifejezésée a következő adódik (.0b ába): Φ q q q. πε πε πε () = E dl = E d = d = [ ln ] 0 = ln 0

41 30. STATIKUS ELEKTROMOS TÉR a) b).0. ába. A vonalmenti töltéssűűség elektomos tee és potenciálja a sugá függvényében Gyakolati szempontok miatt a nulla potenciálú hengefelületet egységnyi távolságban ( 0 = ) szokás felvenni, ekko a potenciál eloszlása a töltéstől vett távolság függvényében a következő lesz: q Φ () = ln. (.6) πε.5. Elektomos té anyag jelenlétében.5.. Vezetők, szigetelők Az anyagok elektosztatikus tében való viselkedésük alapján vezetőke és szigetelőke oszthatók. (i) A vezető anyagok elsősoban fémek. Az ideális vezetőkben a szabad elektonok akadálymentesen elmozdulhatnak és kompenzálhatják egymást. Az ideális fémek belsejében a szabad elektonok elmozdulása nem igényel munkavégzést, dw = 0. Ha egy ideális fém elektódát, amelynek össztöltése nulla, egy E k külső elektomos tébe helyezünk, akko a vezetőben lévő töltések átendeződnek és töltésmegoszlás jön léte (.. ába). A felületen nem kompenzált töltések lesznek. Ezt influencia jelenségnek hívjuk... ába. Töltésmegoszlás a töltetlen ideális fém felületen és annak dipólus modellje A felületen elhelyezkedő, a töltésmegoszlásból számazó töltések, E b elektomos téeősséget hoznak léte az ideális fém belsejében. Ha az ideális fém belsejében az

42 . STATIKUS ELEKTROMOS TÉR 3 E k E b eedő téeősség nem nulla, akko további töltésátendeződés jön léte mindaddig, amíg az elektosztatikus egyensúly ki nem alakul, azaz az ideális fém belsejében az eedő elektosztatikus téeősség nulla lesz, E k E b = 0. A töltésmegoszlásból számazó, az ideális fémfelületen megjelenő töltések elektomos dipólussal modellezhetők (.. ába). Az elektomos dipólus két pontszeű töltésből, a Q negatív töltésből és tőle l távolsága elhelyezkedő + Q pozitív töltésből áll. Az elektomos dipólus a p = Q l, p = (.7) [ ] Cm dipólusnyomatékkal jellemezhető. Az l vekto, megállapodás szeint, a negatív töltésből a pozitív töltéshez húzott vektot jelenti. Az ideális fém felületén az elektosztatikus influenciából számazó töltések a külső teet módosítani fogják, amely az E k külső elektomos té és a felületi töltéseloszlást helyettesítő dipólus teének szupepozíciójával állítható elő. (ii) Ideális fémek esetén a töltéseloszlás egyensúlya következtében a fémfelületen az elektomos téeősségnek csak nomális iányú komponense léphet fel, E ideális fémfelületen = En. Az elektomos téeősségnek a felülettel páhuzamos komponense nulla, E τ = 0. Ekko az ideális fémfelület két pontja között az elektomos téeősség integálja nulla, azaz a két pont közötti potenciálkülönbség nulla, ami azt jelenti, hogy az ideális fémfelület ekvipotenciális felület (.. ába)... ába. Elektomos téeősség az ideális fémfelületen Meg kell azonban jegyezni, hogy mivel az ideális fém belsejében a téeősség nulla, a fém elektóda bámely pontjának a potenciálja megegyezik a fémfelület potenciáljával, ez azt jelenti, hogy elektosztatikus tében egy ideális fém elektóda minden pontja azonos potenciálú.

43 3. STATIKUS ELEKTROMOS TÉR (iii) A σ felületi töltéssűűség és a felületen fellépő D eltolási vekto nomális komponense közötti kapcsolat megadható, ha a vezető felületének d a daabját tatalmazó d magasságú hasába (.3. ába) felíjuk az elektosztatika Gauss-tételét, D da = Q. a.3. ába. A felületi töltéssűűség és az eltolási vekto kapcsolata Minthogy az ideális fém belsejében az elektomos téeősség és így az eltolási vekto étéke is nulla, továbbá, minthogy a d a felület felületi töltéssűűsége σ, így a hasáb töltése σ da, azaz D n da = σ da. Feltételezve, hogy a d magasság minden hatáon túl csökken, d 0, így a vezető felületén az eltolási vekto (amelynek csak nomális komponense van) abszolút étéke megegyezik a felületi töltéssűűség étékével, D n = σ. (.8).5.. A kapacitás, kondenzátook Szigetelőanyagban elhelyezett két vezető, elektóda, amelynek össztöltése nulla, kondenzátot képez (.4a ába). Ha az egyik vezetőn + Q, a másikon Q töltés van, a két elektóda között elektomos té alakul ki, s ekko közöttük U feszültség lép fel (.4b ába). Minthogy az elektóda töltése és az elektódák között fellépő feszültség is aányos az elektomos téeősséggel, a kettő hányadosa az elektódaelendezés kapacitása, Q C =. (.9) U

44 . STATIKUS ELEKTROMOS TÉR 33 a) b) c).4. ába. Két elektóda kapacitásának ételmezése és a kondenzáto hálózati modellje Az elektóda + Q töltése kifejezhető a Gauss-tétellel, az elektódák között fellépő feszültség pedig kiszámítható az elektomos téeősségnek a két elektódát összekötő l göbe menti integáljával, ahonnan a kapott kifejezés alapján a kapacitás csak az elendezés geometiai méeteitől és a szigetelőanyag pemittivitásától függ: C = Q U D da εe da = a = a E dl E dl l l = εk. A kondenzáto szimbolikus ajza is a.4c áán látható. A kapacitás egysége a faad, [ C ] = F = C V. A gyakolatban előfoduló esetekben az F = 06 µf = 09 nf = 0 pf egységek szokásosak. (i) A síkkondenzáto. A síkkondenzáto két, egymással páhuzamos síkfelületű elektódából áll (.5. ába). Az elektódák d távolsága elhanyagolható a páhuzamos felületek lineáis méetéhez képest. Az egyik elektódán + Q, a másikon Q töltés helyezkedik el. A két elektóda közötti, ε pemittivitású közegben az elektomos téeősség állandónak, az elektódafelületeke meőlegesnek, a külső téészen pedig a szóás elhanyagolása esetén kicsinek, zéusnak tekinthető. A + Q töltésű felülete felíva az elektosztatika Gauss-tételét a következő alakot nyejük:

45 34. STATIKUS ELEKTROMOS TÉR Q = D da = εe da = εe da = εe a, a a a vagyis az elektomos téeősség a síkkondenzáto lemezei között állandó, étéke Q E =. ε a.5. ába. Elektomos té a síkkondenzáto lemezei között Válasszuk a negatív töltésű elektódát nulla potenciálúnak, akko a potenciálfüggvény a két lemez között a távolsággal lineáisan nő, Φ 0 Q Q ( x) = E dx = ( x) = x = E x x ε a ε a. A két elektóda közötti U feszültség megegyezik a pozitív töltésű elektóda potenciáljával, Q U = Φ ( x = d ) = E d = d, ε a ahonnan a síkkondenzáto C kapacitása aányos a lemezek a felületével és a lemezek közötti teet kitöltő szigetelőanyag ε pemittivitásával, fodítottan aányos a lemezek közti d távolsággal: Q a C = = ε. U d A síkkondenzáto lemezei közötti téészen az elektomos téeősséget és a potenciálfüggvényt az elektódák közötti feszültséggel kifejezve a kapott összefüggéseket a.6. ábán vázoltuk,

46 . STATIKUS ELEKTROMOS TÉR 35 U U E =, Φ ( x) = x. d d.6. ába. Az elektomos téeősség és a potenciál változása a síkkondenzáto lemezei között (ii) A gömbkondenzáto. Két koncentikus fémgömb gömbkondenzátot alkot (.7. ába). A belső elektóda felületén elhelyezkedő Q töltést a gömb középpontjában elhelyezett pontszeű töltéssel modellezzük, hiszen a pontszeű töltés ekvipotenciális felületei gömbök. A Φ = áll felületeket fém elektódával helyettesítve az elektomos té szekezete nem változik meg..7. ába. A gömbkondenzáto Figyelembe véve, hogy a belső elektóda töltése Q, és az elektódák közötti téészen a szigetelőanyag dielektomos állandója, pemittivitása ε, akko a Gauss-tételt alkalmazva az elektódák közötti sugaú gömbfelülete, a sugáiányú elektomos téeősség a következő: E Q = 4,, πε () a potenciál változása pedig a két elektóda között a következő lesz: Q Φ () =,. 4 πε

47 36. STATIKUS ELEKTROMOS TÉR Ha az elektódák közé U feszültséget kapcsolunk, az elektódák potenciálkülönbségével megadható = 4 Q U πε. Az elektódák közé kapcsolt feszültség ismeetében a belső elektóda töltése meghatáozható = 4 U Q πε. Ezzel az elektódák közötti potenciáleloszlás és a téeősség változása megadható () (),, U E U = = Φ. Az elektódák közötti téészen a téeősség változását és a potenciáleloszlást a.8. ábán szemléltetjük..8. ába. A téeősség és a potenciál változása a gömbkondenzáto belsejében A kondenzáto kapacitása a jól ismet összefüggésből a gömbkondenzáto belső és külső sugaaival és a szigetelőanyag ε pemittivitásával a következő alakban adható meg: 4 U Q C = = πε. (iii) A hengekondenzáto. Két koaxiális köhenge felületű, l hosszúságú elektódapá hengekondenzátot alkot (.9. ába). A belső elektóda töltését a

48 . STATIKUS ELEKTROMOS TÉR 37 tengelyében elhelyezett q vonalmenti töltéssűűséggel modellezzük. Minthogy a vonalmenti töltéssűűség elektomos teében az ekvipotenciális felületek koncentikus hengeek, az elektódafelületek ekvipotenciális felületek maadnak..9. ába. A hengekondenzáto mint a végtelen hosszú koaxiális vezető hengeek l hosszúságú szakasza Az elektomos téeősség a vonalszeű töltés elektomos teével adható meg, amely az elektódák tengelyétől távolságban E q =. πε (), A külső elektóda potenciálját nullának tekintve, Φ ( ) = 0, az elektódák között a potenciáleloszlás a következő: q Φ () = ln, Φ ( ) 0 πε =. Az elektódák közötti téészen a téeősség és a potenciál eloszlását a.30. ábán vázoltuk..30. ába. A téeősség és a potenciál eloszlása a hengekondenzáto elektódái között

49 38. STATIKUS ELEKTROMOS TÉR Az elektódák közötti feszültség a belső elektóda potenciáljával egyezik meg, ha a külső elektódán vesszük fel a efeenciapotenciálú helyet: q U = Φ ( ) ( ) ln Φ =, Φ ( ) = 0. πε Az elektódáka kapcsolt feszültség ismeetében az elektódák közti potenciáleloszlás és az elektomos téeősség változása megadható: U () U Φ = ln, E() =,. ln( ) ln( ) A kondenzáto kapacitása aányos a hengekondenzáto l hosszával és a hengees elektódák közötti szigetelőanyag ε pemittivitásával, fodítottan aányos az külső és az belső elektóda, sugaai aányának logaitmusával: ql πε l C = =. U ln( ) (iv) Kondenzátook soos és páhuzamos kapcsolása. A.3. ábán látható n daab kondenzátot soba kapcsoltuk. Ha az összekapcsolt elektódaendsze két végpontja közé U feszültséget kapcsolunk, akko két végpont között ± Q töltés jelenik meg..3. ába. Soba kapcsolt kondenzátook és helyettesítésük az eedőjükkel Minthogy az egyes kondenzátook fegyvezetein az össztöltés nulla, ez csak úgy lehetséges, hogy az egyes kondenzátook fegyvezetein ± Q töltés influálódik. Az egyes kondenzátook töltése és kapacitása ismeetében azok feszültsége U k = Q Ck, k =,, L, n. A két végpont közötti feszültség az egyes kondenzátook feszültségeinek összege, n n Q n Q U = Uk = = Q =, k= k= Ck k= Ck Cs

50 . STATIKUS ELEKTROMOS TÉR 39 így a soosan kapcsolt kondenzátook helyettesíthetők egyetlen C s kapacitású kondenzátoal, ahol a helyettesítő kondenzáto kapacitásának ecipoka a soba kapcsolt kondenzátook kapacitásai ecipokainak összegével adható meg, n = Cs k= Ck. (.0) Speciálisan két kondenzáto esetén az eedő kapacitás és az egyes kondenzátookon fellépő feszültségek a következő alakban adhatók meg: C + C = + = Cs C C CC C U = U, C + C, CC Cs =, C + C C U = U. C + C A.3. ábán látható n daab kondenzátot páhuzamosan kapcsoltunk. Ha az összekapcsolt elektódaendsze két végpontja közé U feszültséget kapcsolunk, akko a k-adik kondenzáto töltése a közös feszültséggel Qk = CkU, k =,, L, n..3. ába. Páhuzamosan kapcsolt kondenzátook és helyettesítésük az eedőjükkel A kondenzátook össztöltése az egyes kondenzátook töltésének összege, n n n Q = Qk = CkU = U Ck = UCp, k= k= k= így a páhuzamosan kapcsolt kondenzátook helyettesíthetők egyetlen C p kapacitású kondenzátoal, ahol a helyettesítő kondenzáto kapacitása az egyes páhuzamosan kapcsolt kondenzátook kapacitásainak összegével adható meg, n C p = C k. (.) k=

51 40. STATIKUS ELEKTROMOS TÉR.5.3. Elektódaendszeek ön- és észkapacitása Elektódaendszeeknek olyan elendezéseket tekintünk, amelyek össztöltése nulla, és a endsze elektomos teét a endszeen kívüli töltések nem befolyásolják. Tekintsük a.33a ábán látható n ( n = ) elektódából és a nulla potenciálú elektódából (föld) álló elendezést. a) b).33. ába. Két elektóda és a föld elektóda töltései és potenciáljai n Az egyes elektódák töltése Q, Q, L, Qn, a föld elektóda töltése pedig Q0 = Q k. k = Az elektódák potenciálja Φ, Φ, L, Φn. Minthogy a k-adik elektódán a j-edik elektóda töltése p kjq j potenciált hoz léte (ahol p k, j az elendezés geometiájától és a szigetelőanyag tulajdonságaitól függő állandó), a szupepozíció elve alapján az elektódák potenciáljának kialakításában az összes töltés észt vesz, azaz az egyes elektódák potenciáljai aányosak a töltések hatásainak összegével, n Φ k = pkjq j, pkj = p jk, k =,, L, n. j= Valamennyi elektóda töltését figyelembe véve az elektódák potenciáljai: Φ = pq + pq + L + pn Qn, Φ = pq + pq + L + pnqn,... Φ n = pnq + pnq + L + pnnqn.

52 . STATIKUS ELEKTROMOS TÉR 4 A fenti egyenletendszeből a töltések kifejezhetők a potenciálokkal, ahol c jk állandó, n Q j = c jkφ k, c jk = ckj, j =,, L, n. k = Ezzel az egyes elektódák töltései a következők lesznek: Q = cφ + cφ + L + cnφ n, Q = cφ + cφ + L + cnφ n,... Qn = cnφ + cnφ + L + cnnφ n. Alakítsuk át a fenti egyenletendszet úgy, hogy a potenciálok helyett azok különbségei, az elektódák közötti feszültségek szeepeljenek. Például adjunk hozzá az első egyenlethez nullát a következő alakban: ( c Φ + c Φ + L + c Φ ) 0 m 3 n =, ekko az első egyenlet a következő lesz: Q = = cφ + c( Φ Φ + Φ) + L+ cn ( Φn Φ + Φ) ( c + c + L+ c ) Φ c ( Φ Φ ) L c ( Φ Φ ). n Hasonlóan eljáva a többi egyenlettel és bevezetve a következő jelöléseket C0 = c + c + L cn, C = c, Cn = cn, az elektódák töltése és potenciálja közötti kapcsolat a következő alakban adható meg Q = C0Φ Q = C n + C ( Φ Φ ) + L + Cn ( Φ Φ n ), ( Φ Φ ) + C Φ + L + C ( Φ Φ ), n... 0 n n Qn = Cn ( Φ Φ ) + C ( Φ Φ ) L + C Φ, n n n n0 n ahol a C0, C0, L, Cn0, és a Ckj = C jk, j, k 0 mennyiségek az ún. észkapacitások. A C k 0, k =,, L, n az egyes elektódák és a efeenciaelektóda, a

53 4. STATIKUS ELEKTROMOS TÉR föld közötti észkapacitás, míg a Ckj = C jk, j, k 0 az egyes elektódák közötti észkapacitás. A Φ k Φ j, k =,, L, n, j = 0,,, L, n mennyiség az k-adik és a j-edik elektóda közötti feszültség, figyelembe véve, hogy a föld elektóda Φ 0 = 0 potenciálja nulla. Két elektóda és a föld esetén a észkapacitások figyelembevételével az elektódák közötti Q = C0Φ + C Q = C ( Φ Φ ), ( Φ Φ ) + C Φ. 0 (.) kapcsolat ételmezését a.33b ábán ajzoltuk fel. (i) Illusztációs példa. Két elektódából és a földből álló endsze észkapacitásai C 0 = 0, µf, C 0 = 0, µf, C = µf (.34a ába). Az elektódáka feszültséget kapcsolunk, mégpedig az. elektóda és a föld közé 4 kv -ot, a. elektóda és a föld közé kv-ot (.34b ába). Ezután az elektódákat a geneátookól leválasztjuk, majd a. elektódát földeljük (.34c ába). Hatáozzuk meg ekko az. elektóda potenciálját. a) b) c).34. ába. Két elektóda és a földpotenciál viszonyai A.34b ába szeint az elektódák közé kapcsolt feszültség megegyezik az elektódák potenciáljával, Φ = 4 kv, Φ = kv. Ekko az elektódák töltése

54 . STATIKUS ELEKTROMOS TÉR 43 Q = C Φ + C ( Φ Φ ),8 mc, = C ( Φ Φ ) + C Φ =, mc 0 = Q 0. Mivel az. elektódát a geneátoól leválasztjuk, a töltése nem változik, Q ' = Q, az elektóda Φ ' potenciálja pedig (.) alapján a Q ' ( ) ' = C0 + C Φ összefüggésből ( Φ ' = 0 ) Φ ' ' = Q ( C0 + C ) = 5,5455 kv Szigetelők, dielektikumok A szigetelőanyagok anyagjellemzőjét az ε pemittivitással adjuk meg, amely az elektomos té gejesztettségét epezentáló D eltolási vekto és az elektomos té intenzitását jellemző E elektomos téeősség között teemt kapcsolatot D = εe szeint, ahol ε = ε0ε kifejezésében ε a elatív pemittivitás és ε 0 a szabad tée jellemző állandó. Vizsgáljuk meg egy kicsit közelebből a pemittivitás fogalmát. (i) Ha az anyag mikoszkopikus vizsgálatával élünk, akko az atommag pozitív töltése és a köülötte keingő elektonok külső elektomos té hiányában kiegyensúlyozott állapotot mutatnak (.35a ába). Külső elektomos té jelenlétében azonban az elektonok má nem gömbfelületen, hanem ellipszoid alakú felületen keingenek az atommag köül, amely az ellipszoid egyik gyújtópontjában helyezkedik el (.35b ába). Az így kialakult töltésmegosztás egy p = Q l = α E elektomos dipólusnyomatékkal jellemzett elektomos dipólussal modellezhető, ahol a töltésmegosztás météke függ a külső E elektomos téeősségtől és egy α kölcsönhatási együtthatótól (.35c ába). a) b) c) d).35. ába. A dielektikumok mikoszkopikus és makoszkopikus modellje (ii) A ménöki gyakolatban azonban makoszkopikus leíást alkalmazunk. Ekko feltételezzük, hogy a.35d ába dv téfogatában N számú, p i, i =,, L, N dipólusnyomatékú elektomos dipólus helyezkedik el. Ha feltételezzük, hogy az egyes

55 44. STATIKUS ELEKTROMOS TÉR dipólusok dipólusnyomatékai közel azonosak, p i p j, pi = α ie α E, i, j =,, L, N, akko az egységnyi téfogatban elhelyezkedő dipólusok dipólusnyomatékát, a dipólusnyomaték-sűűséget az elektomos polaizációs vektoal adjuk meg N N p P = lim p i N i α E = ε0κe, (.3) dv 0 dv i= dv dv ahol az egységnyi téfogatban elhelyezkedő dipólusok számát az n d = N dv dipólussűűséggel jellemezhetjük. Figyelembe véve a dipólusnyomaték és a külső té pi αe kapcsolatát, a polaizáció vektoát az κ dielektomos szuszceptabilitással fejezhetjük ki P = ε0 κe, κ > 0. A fenti összefüggést figyelembe véve a D eltolási vekto egyészt a szabad té elektomos teéből, másészt a szigetelőanyag jelenlétét epezentáló P polaizációs vektoból tevődik össze. A dielektomos szuszceptabilitást alkalmazva, D = ε0e + P = ε0( + κ ) E = ε0ε E, (.4) a elatív pemmittivitás a szuszceptabilitással kifejezhető ε = +κ, ahonnan a elatív dielektomos állandóa temészetes anyagoknál egynél nagyobb mennyiséget kapunk. (iii) A szigetelőanyagok a dielektomos állandó szempontjából nem poláos, poláos és feoelektomos anyagok szeint osztályozhatók. A nem poláos anyagokban a dipólusnyomatékok külső té hiányában egyensúlyban vannak, kifelé nulla polaizációt mutatnak, külső elektomos té hatásáa azonban a dipólusnyomatékok a té iányába endeződnek és az anyag polaizációt mutat (.36a ába). A poláos anyagokban a dipólusnyomatékok kölcsönhatása eős, külső té nélkül is polaizációt mutatnak (.36b ába). Ha a dipólusnyomatékok közötti kölcsönhatás nagyon intenzív, azaz egyes elemi téfogatokban a dipólusnyomatékok kölcsönhatása nagyon eős, akko növekvő és

56 . STATIKUS ELEKTROMOS TÉR 45 csökkenő, altenáló, külső té hatásáa a polaizáció enegiaveszteséggel és késleltetve jelenik meg. Az ilyen anyagokat feoelektomos anyagoknak nevezzük (.36c ába). a) b) c).36. ába. Nem poláos, poláos és feoelektomos anyagok polaizációja.5.5. Folytonossági feltételek Két különböző, ε és ε dielektomos állandójú homogén és izotop közeg közös hatáfelületén lévő pontban az egyes közegekben fellépő E E elektomos téeősség vektook és a D D eltolási vektook nem lesznek egyenlők, ki kell elégíteniük az elektomos té E dl = 0 övénymentessége és D da = Q l a foásossága vonatkozó feltételeket. (i) Az E elektomos téeősség közeghatáon való viselkedésének vizsgálatához tekintsük a.37. ábán látható elendezést. a) b).37. ába. Az elektomos téeősség és az eltolási vekto viselkedése közeghatáon Bontsuk fel az. közeg és a. közeg E, E elektomos téeősség vektoait a közegeket elválasztó felülettel páhuzamos és aa meőleges komponenseke (.37a ába). Vegyünk fel egy kisméetű zát göbét (itt például téglalapot) a két közeg

57 46. STATIKUS ELEKTROMOS TÉR hatáfelületén úgy, hogy a téglalap d szélessége minden hatáon túl tatson nullához, azaz a téglalap l hossza mindkét oldalól simuljon á a hatáfelülete. Alkalmazzuk az elektomos té övénymentességée vonatkozó l E dl = 0 összefüggést E τ l + Eτ l = 0, ahonnan az elektomos téeősség vekto tangenciális komponenseinek folytonosságáa kapunk előíást, E τ = Eτ. (.5) Az E = D ε összefüggésből pedig D τ Dτ = ε ε, az eltolási vekto tangenciális komponensei a pemittivitások aányában ugásszeűen változnak. (ii) A D eltolási vektook közeghatáon való viselkedésének vizsgálatához bontsuk fel az. közeg D és a. közeg D eltolási vektoait a felülettel páhuzamos és a felülete meőleges komponenseke,.37b ába. Vegyünk fel például az egyszeűség kedvéét egy hengefelületet a két közeg hatáfelületén úgy, hogy a henge m magassága minden hatáon túl csökkenjen, azaz a hengefelület alap és fedőlapja a hatáfelület két oldalához simuljon. Étékeljük ki az elektomos té foásosságáa vonatkozó a D da = Q Gauss-tételt a hengefelülete, és vegyük figyelembe, hogy a téfogatban elhelyezkedő töltés éppen a hatáfelületen felhalmozott σ felületi töltéssűűséggel adható meg, D n a + Dna = σ a. A kapott eedmény alapján D n D n = σ, a két közeg eltolási vektoának nomális komponense a hatáfelületen felhalmozott σ töltéssűűséggel ugik. Ha azonban a hatáfelületen a felületi töltéssűűség nulla, σ = 0, akko a D eltolási vektook nomális komponensei folytonosan mennek át a hatáfelületen D n = Dn. (.6) A D = εe összefüggést felhasználva az elektomos téeősség nomális komponensei a szigetelőanyag pemittivitásainak ecipok aányával ugik E n En = ε ε.

58 . STATIKUS ELEKTROMOS TÉR 47 (iii) Két szigetelő közeg hatáán az elektomos té téjellemzőie vonatkozó folytonossági feltételek alapján az elektomos téeőssége, illetve az eltolási vektoa vonatkozó töéstövények egyszeűen előállíthatók (.38a ába). a) b).38. ába. Az elektomos téeőssége és az eltolási vektoa vonatkozó töéstövények Figyelembe véve két dielektikum hatáán az elektomos té tangenciális komponensének folytonosságát, E τ = Eτ és nomális komponensének a pemittivitások aányával való kapcsolatát, ε En = εen, az elektomos téeősség vektooknak a felületi nomálistól való elhajlását epezentáló α, illetve α szögek tangenseinek aányáa a következő adódik tgα tgα Eτ E = n E = n En Eτ En D = n ε ε D n ε =, ε azaz a nagyobb pemittivitású közegben az elektomos téeősség a felületi nomálistól jobban elhajlik. Hasonló eedménye jutunk, ha a vizsgálatokat az eltolási vektoa fogalmazzuk meg (.38b ába) tgα tgα D τ D ε ε = n E = τ =. D n Dτ εeτ ε.5.6. Keeszt- és hossziányú étegezés (i) A folytonossági feltételek alapján tágyalható a étegezett dielektikummal kitöltött kondenzátook elektomos tee. Tekintsük a.39. ábán látható síkkondenzátot, amelyben kétféle dielektikum foglal helyet, elválasztó síkjuk az elektódákkal páhuzamos (keesztiányban étegezett síkkondenzáto).

59 48. STATIKUS ELEKTROMOS TÉR Ha az elektódáka U feszültséget kapcsolunk, ezzel az elektódáka Q ± töltést viszünk. A Gauss-tételt alkalmazva mindkét étegben ugyanakkoa lesz az eltolási vekto nagysága (.40a ába) E E D D a Q ε ε σ = = = = =..39. ába. Keesztiányban étegezett síkkondenzáto, az eltolási vekto és a téeősség Az egyik téeősség kifejezhető a másikkal E E ε ε =. Az elektódák közötti feszültség ( ) d d E d E d E U ε ε + = + =, és ezzel az elektomos téeősség az egyes étegekben a következő (.40b ába), d d U d d U E d d U E + = + = + = ε ε ε ε ε ε ε ε. a) b) c) d).40. ába. A keesztiányban étegezett síkkondenzátoban az eltolási vekto, a téeősség és a potenciál változása, valamint kapacitásának hálózati modellje

60 . STATIKUS ELEKTROMOS TÉR 49 A potenciál az elektódák között lineáisan változik (.40c ába) Φ ( x) Ex, = Ed + E ( x d ), 0 < x < d, d < x < d + d. Az elektódák töltése kifejezhető a feszültséggel εa Q = Eε a = U = CU, C = a, = +, d+ dε ε d ε+ d ε C C C ahonnan a kondenzáto kapacitása az egyes étegek kapacitásainak soos eedőjeként ételmezhető (.40d ába). A téeősség az ε E = εe összefüggés szeint abban a étegben nagyobb, amelyikben az ε dielektomos állandó kisebb. Ezét nem feltétlenül a kisebb átütési téeősségű (villamos sziládságú) éteg szabja meg a kitikus feszültséget, hanem az a éteg, amelyben ε Ek felületi töltéssűűség kisebb. Tételezzük fel, hogy ε > ε, de ε E k < εek, ekko az. éteg kitikus téeőssége lesz a métékadó. Ekko a folytonossági feltételből a. éteg elektomos téeőssége E = Ek ε ε, és ezzel az elektódáka kapcsolható maximális feszültség ε Uk = ( d + d) Ek. ε (ii) Ha azonban a.4a ábán látható síkkondenzáto lemezei között elhelyezkedő kétféle dielektikum elválasztó síkja az elektódáka meőleges, akko a síkkondenzáto hossziányban étegezett. Az elektódáka kapcsolt U feszültség hatásáa az egyes étegekben azonos nagyságú elektomos téeősség ébed (.4b ába és.4e ába), U E = E = E =. d Ennek megfelelően az egyes étegekben az eltolási vektook nagysága és az elektódaszakaszok felületi töltésűűsége különböző lesz (.4c ába és.4f ába) U U σ = D = εe = ε, σ = D = εe = ε. d d A hossziányban étegezett kondenzáto kapacitása az egyes étegek kapacitásainak páhuzamos eedőjeként ételmezhető (.4. ába),

61 50. STATIKUS ELEKTROMOS TÉR a) b) c) d) e) f).4. ába. A hossziányban étegezett síkkondenzáto, az elektomos téeősség és az eltolási vekto minthogy az elektódák ± Q töltése az egyes felületszakaszoka jutó töltések összege U ε ( ) a εa Q = σ a + σa = εa + εa = CU, C = + = C + C. d d d.4. ába. Hossziányban étegezett síkkondenzáto hálózati modellje.6. Enegiaviszonyok az elektomos tében.6.. Töltése ható eő, munkavégzés Az elektomos té jelenlétében a kisméetű Q töltése F = QE (.7)

62 . STATIKUS ELEKTROMOS TÉR 5 eő hat, ahol E az elektomos téeősség. Ha a töltés elektomos tében a P pontból a P pontba mozdul el, akko a té a töltésen P P W = F dl = Q E dl = QU P P munkát végez, ahol U a két pont közötti feszültség (.43. ába). Ha figyelembe vesszük, hogy statikus elektomos tében a feszültség kifejezhető a pontok Φ,Φ potenciáljaival, U = Φ Φ, akko a végzett munka W = QΦ QΦ..43. ába. A Q töltés elmozdításával végzett munka ételmezéséhez A kapott eedményt úgy foghatjuk fel, hogy a töltésnek a P pontban W = QΦ, a P pontban W = QΦ enegiája van, és a két pont közti elmozduláshoz szükséges munka a véges enegiák különbségével egyenlő. A fenti meggondolás általánosításával azt mondhatjuk, hogy ha egy pontban a többi töltés által létehozott potenciál Φ, akko egy kis méetű Q töltés potenciális enegiája a pontban W = QΦ. (.8) Ez úgy ételmezhető, hogy ha a töltés a P pontból a nulla potenciálú P 0 efeenciapontba keül, akko a té éppen W = QΦ munkát végez. Ha ez a munka negatív, akko a té ellenében kell munkát végezni..6.. Töltött elektódaendsze enegiája Tekintsük a.44. ábán látható elektódaendszet. Tételezzük fel, hogy a endsze nulla enegiaállapotú, azaz tekintsük az elektódákat töltetlennek. Kapcsoljunk most

63 5. STATIKUS ELEKTROMOS TÉR minden elektóda és a föld közé egy-egy áamfoást, amellyel az elektódákat Q, Q, L, Q n töltéssel töltjük fel, miközben potenciáljuk Φ, Φ, L, Φn lesz. A k-adik elektóda pillanatnyi teljesítménye dq p i k k = Φ k k = Φk, k =,, L, n, dt a endsze összteljesítménye n dq p = k Φ k. k = dt.44. ába. Töltések felvitel az elektódaendszee A t,t időpillanatok között a végzett munka, a endsze enegiája t t n dq n Qk W = p dt = Φ k k dt = Φkdqk, t t k= dt k= 0 ahol q k ( t ) = 0, és q k ( t ) = Qk az elektódák végső töltése. Változtassuk az áamfoások áamát úgy, hogy az elektódák töltése lineáisan változzon (.45. ába), ekko a endsze enegiája n W = Q k Φ k. (.9) k =.45. ába. Az elektóda töltésének időbeli változása

64 . STATIKUS ELEKTROMOS TÉR Elektódaendsze enegiája és a kapacitások kapcsolata Az elektódaendszeek enegiáját célszeű kifejezni a kapacitásokkal. (i) Előszö tekintsünk két elektódából és földből álló olyan endszet, amelyben a efeenciaelektóda (föld) potenciálja és töltése is nulla, azaz n =, és Q = Q, Q = Q (.46. ába)..46. ába. Két elektóda enegiájának ételmezése Ekko figyelembe véve, hogy az elektódák potenciáljainak különbsége éppen a feszültség Φ Φ = U, W = ( Q Φ + QΦ ) = Q( Φ Φ) = QU. Az elektódák Q = CU kapacitását felhasználva a fenti összefüggés figyelembevételével a kondenzáto enegiája Q W QU CU = = =. (.30) C (ii) Ha azonban két elektóda esetén a efeenciaelektóda (föld) töltése nem nulla, (.47. ába),.47. ába. Elektódaendszeek enegiájának ételmezése

65 54. STATIKUS ELEKTROMOS TÉR akko az elektódaendsze enegiája W = Qk Φk = + k = ( Q Φ Q Φ ) a észkapacitásoka vonatkozó összefüggéseket alkalmazva ( Φ ) Q = C0Φ + C Φ, ( Φ ) Q = C0Φ + C Φ, a endsze enegiája a következő W = [ Φ( C0Φ + C ( Φ Φ )) + Φ ( C0Φ + C ( Φ Φ) )] Az elektomos té enegiasűűsége, Az elektomos té enegiája kifejezhető a téjellemzőkkel is. Tekintsük a.48. ábán látható két elektódából álló elendezést, ahol a két elektóda közötti teet homogén, izotop szigetelőanyag tölti ki..48. ába. Elektomos té enegiasűűségének ételmezése A koábbiak szeint az elendezés enegiája W = QU. Az elektóda töltése és feszültsége kifejezhető az eltolási vektoal és a téeősséggel Q = a D da, U = l E dl, továbbá figyelembe véve, hogy d a dl = dv a szigetelőanyag téfogatát jelenti, így W = = D da E dl a l al ( D E)( dl da) = ( D E) v ahonnan az elektomos té egységnyi téfogatának enegiasűűsége dv,

66 . STATIKUS ELEKTROMOS TÉR 55 D W = w dv, w = D E = = ε E, v ε [ w] Ws =. (.3) m Elektomos eőhatás és a vituális munka elve Az elektomos tében fellépő eőhatással má foglalkoztunk. A jelen esetben általánosabban kívánjuk megfogalmazni a pobléma megoldását. Az elektomos té enegiaegyensúlya esetében a endszebe betáplált enegia egyészt megnöveli a té belső enegiáját, másészt munkavégzése, az elektódának egy d s úton való elmozdításáa fodítódik F s dw gen = dw belső + d. (i) Tekintsük előszö azt az esetet, amiko az elektódák töltése nem változik az elmozdulás soán. Ekko a betáplált külső enegia nem változik meg, dw gen = 0, a munkavégzés a té belső enegiájának a ovásáa töténik, amely az elektódák potenciáljainak megváltozását eedményezi. Az enegiaegyensúly alapján, minthogy + F s dwbelső d = 0, az eőnek a d s elmozdulás iányába eső vetülete az dw F = belső s, Q = áll, (.3) ds összefüggéssel számítható. (ii) Ha azonban az elektódák potenciálját tatjuk állandónak, akko az elektomos té belső enegiája nem változik az elektóda elmozdulás soán, dw belső = 0. Ekko a munkavégzéshez, vagyis az elektóda elmozdításához szükséges enegiát a külső enegiafoásból kell fedezni F s dwgen = d, ahonnan az eőnek az elmozdulás iányába eső vetülete dwgen Fs =, U = áll. (.33) ds (iii) A fenti kétféle meggondolás ugyanazt az eőhatást eedményezi valamely elektódaelendezés esetében. Tekintsünk két elektódájából álló, C kapacitású kondenzátot, ahol az elektódák töltése ± Q, az elektódák közötti feszültség pedig U. Ekko az elendezés enegiája kifejezhető a kapacitással W = CU = Q C. Ha az elektódák potenciálját tatjuk állandónak, U = áll., akko

67 56. STATIKUS ELEKTROMOS TÉR dw d dc U F U = áll, s = = C = U. ds ds ds Ha azonban az elektódák töltését tatjuk állandónak, Q = áll., akko dw d Q dc dc Q F Q = áll, s = = = = U, ds ds C C ds ds amely megoldás megegyezik az előzőekben kapott eedménnyel..7. Ellenőző kédések Mutassa be, hogyan mutatható ki az elektomos töltés jelenléte, ismetesse a töltésmodelleket. Ismetesse az elektomos téeősség fogalmát. Adja meg statikus elektomos tében a feszültség és a potenciál fogalmát és kapcsolatát. Ismetesse az elektosztatika Gauss-tételét. Ismetesse a töltésmegoszlás jelenségét. Ismetesse a kapacitás fogalmát. Mutassa meg hogyan tejeszthető ki a kapacitás fogalma kettőnél több elektóda esetée. Ismetesse a dielektomos polaizáció jelenségét és vezesse be az elektomos polaizáció vektoát. Ismetesse két szigetelőanyag hatáfelületén az elektomos té folytonosságáa vonatkozó összefüggéseket. Ismetesse a kondenzáto enegiájának kifejezését. Ismetesse az elektódaendsze töltése és enegiája közötti kapcsolatot. Adja meg az elektomos té enegiasűűségét a téjellemzőkkel. Mutassa meg hogyan hatáozható meg az eőhatás a vituális munka elve alapján..8. Gyakoló feladatok.8.. Feladat Egy 0 =0 cm sugaú gömbfelületen σ = pc/m nagyságú felületi töltéssűűség helyezkedik el egyenletes eloszlásban. Hatáozza meg, mekkoa a gömb töltése.

68 . STATIKUS ELEKTROMOS TÉR 57 Q = σ a = σ ,, π = π = C =,5080 pc..8.. Feladat Egy l =,6 m hosszú, 0 = 0,4 mm sugaú údon Q = 3 nc töltés helyezkedik el egyenletes eloszlásban. Hatáozza meg a úd egységnyi hosszúságú szakaszán a töltéssűűséget. q = Q l = 3 0 9,6 = C = 0 nc Feladat Egy = 0 cm sugaú tácsa egyik felületén egyenletes eloszlásban σ = 3 mc/m felületi töltéssűűség helyezkedik el. Hatáozza meg a tácsa felületén lévő össztöltést. Q = a σ = πσ = 0,π = 3, C = 0,3769 mc Feladat Egy = 5 cm sugaú gömb belsejében ρ = 6 mc/m3 téfogati töltéssűűség helyezkedik el egyenletes eloszlásban. Hatáozza meg a gömb össztöltést. 4 Q = ρ v = ρ 4 3 π = ,53π = 8, C 84,83 µc 3 3 = Feladat Hatáozza meg, mekkoa az a Q pontszeű töltés, amely a tőle =, cm és =,4 cm távolsága lévő pontok között U =0 kv feszültséget hoz léte levegőben.

69 58. STATIKUS ELEKTROMOS TÉR Q A pontszeű töltés feszültsége U = Φ P ΦP =, ahonnan 4πε U 4πε π Q = 0 = 4π 9 =, C = 6,667 nc., 0, Feladat Hatáozza meg, mekkoa Φ potenciált hoz léte a Q = µ C nagyságú pontszeű töltés a tőle = 5 cm távolsága lévő pontban, ha a nulla potenciálú helyet a töltéstől = 50 cm távolságban definiáljuk. A szigetelőanyag elatív pemittivitása ε =. A pontszeű töltés potenciálja, ha a nulla potenciálú, efeenciapont helye adott Q 0 6 Φ ( ) = 8000 V 8 kv 4 = = =. πε0ε π 0,5 0,5 4π Feladat Hatáozza meg, mekkoa annak a q vonalszeű töltésnek a nagysága, amely tőle = 35 cm távolságban Φ = 38 kv nagyságú potenciált hoz léte az = 60 cm távolsága elhelyezett efeenciaponthoz képest. A szigetelőanyag elatív pemittivitása ε = 3,4. A vonalszeű töltéssűűség potenciálja, ha a nulla potenciálú efeenciapont helye adott q Φ = ln, ahonnan πε0ε Φ 3,4 πε0ε π q = = 4π 9 =, C/m = 3,37 µc/m. 60 ln ln 35

70 . STATIKUS ELEKTROMOS TÉR Feladat Hatáozza meg a q = µ C/m nagyságú vonalszeű töltéstől =5 cm és = 45 cm távolságban lévő pontok között levegőben fellépő U feszültséget. A feszültség a két pont potenciáljának különbsége, q ln U ln 3, = Φ P Φ P = = = V = 39,550 kv. πε0 0 9 π 5 4π Feladat Hatáozza meg a Q = 3 µ C nagyságú töltéstől = 5 cm távolságban az E elektomos téeősség étékét, ha a szigetelőanyag levegő. A pontszeű töltés által keltett elektomos téeősség Q E 4, = = = V/m = 4,300 kv/cm. 4πε ,5 0 π 4π Feladat Hatáozza meg a q = 4 µ C/m nagyságú vonalszeű töltéstől = 5 cm távolságban az E elektomos téeősség étékét, ha a teet kitöltő szigetelőanyag levegő. A vonalszeű töltés elektomos tee q E = = = V/m = 4,4 kv/cm. πε0 0 9 π 0,05 4π Feladat Hatáozza meg, mekkoa az a Q pontszeű töltés, amely tőle = 4 cm távolságban E = 5 kv/cm elektomos téeősséget hoz léte az ε =, 4 elatív pemittivitású szigetelőanyagban.

71 60. STATIKUS ELEKTROMOS TÉR Q A pontszeű töltés elektomos tee E =, ahonnan 4πε0ε 0 9 Q = E ,4 0,4 7, πε0ε = = π C = 7,6800 µc. 4π Feladat Hatáozza meg, hogy az ε = 3, elatív pemittivitású szigetelőanyagban mekkoa q vonalszeű töltés hoz léte tőle =8 cm távolságban E = 3 kv/cm elektomos téeősséget. q A vonalszeű töltés elektomos tee E =, ahonnan πε0ε q = E 3, 0,8, πε0ε = = π C/m = 0,40 µc/m. 4π Feladat Hatáozza meg, mekkoa U feszültséget hoz léte az ε = 3 elatív pemittivitású közegben az a q vonalszeű töltés a tőle = cm és =8 cm távolságban lévő pontok között, amely az távolságban lévő pontban E = 3 kv/cm nagyságú elektomos téeősséget kelt. q Az E = elektomos téeősség ismeetében a vonalszeű töltés πε0ε töltéssűűsége kifejezhető, q = πε 0ε E. A vonalszeű töltés a két pont között q U = ln feszültséget hoz léte. A töltéssűűség kifejezését a feszültség πε0ε fomulájába helyettesítve a feszültség a következő lesz 0,8 U ln ,ln,9 05 = E = = V =,9 kv. 0,

72 . STATIKUS ELEKTROMOS TÉR Feladat Hatáozza meg, mekkoa U feszültséget kelt az ε =, 6 elatív pemittivitású közegben az a q vonalszeű töltés a tőle =8 cm és = 4 cm távolságban lévő pontok között, amely az távolságban lévő pontban E =8 kv/cm nagyságú elektomos téeősséget hoz léte. A.8.3. feladat alapján az q E = téeősségből a töltéssűűséggel aányos πε q = E kifejezhető, majd a feszültség fomulájába helyettesítve πε q 0,4 ln U ln ,4ln,48 05 = = E = = V = 4,8 kv. πε 0, Feladat Hatáozza meg, mekkoa E elektomos téeősséget hoz léte a tőle távolságban lévő pontban az a Q pontszeű töltés, amely a és távolságban lévő pontok között U = kv feszültséget geneál. =5 cm = 4 cm Q Q U Minthogy U =, ahonnan a = kifejezést az elektomos 4πε 4πε téeősség fomulájába helyettesítve, Q U 03 E = = = 3,7333 kv/m. 4πε 0,5 = 0,5 0, Feladat Hatáozza meg, mekkoa E elektomos téeősséget hoz léte az a q vonalszeű töltés a tőle = 4 cm távolsága lévő pontban, amely az és =6 cm távolsága lévő pontok között U = 6 kv feszsültséget állít elő.

73 6. STATIKUS ELEKTROMOS TÉR q A vonalszeű töltés q U U = ln feszültségéből a = πε πε ln elektomos téeősség fomulájába helyettesítve q U 6 03 E, = = = = =,678 kv/cm. πε 0,4 ln ln 0,4 0,6 kifejezést az.8.7. Feladat Hatáozza meg, mekkoa Φ P potenciált hoz léte a.49. ábán látható két pontszeű töltés a P pontban, ha az ε = 3 elatív pemittivitású szigetelőanyagban a nulla potenciálú helyet a P pontban ögzítettük, és Q = 4 µc, d = 4 cm..49. ába. A pontszeű töltések elendezése A P pont potenciálja az egyes töltések által keltett potenciálok algebai összege, Φ P = Φ P Q = 4πε d ( Q) + Φ ( Q) P 5 = V = 35 kv. Q = 4πε d 5 Q d 4πε d = π 3 0,4 4π 9 5 d Feladat Hatáozza meg, mekkoa E P elektomos téeősséget hoz léte az előző feladatban vázolt két pontszeű töltés a P pontban.

74 . STATIKUS ELEKTROMOS TÉR 63 A téeősség vektook a pozitív töltéstől a pont felé és a pontból a negatív töltés felé mutatnak, így összeadódnak és az eedő elektomos téeősség a P pontból jobba mutat, Q ( ) ( ) Q EP = E P Q + E = + P Q = + 4πε ( ) 4 d πε d 4 d = π 3 4π 9 ( 0,4) 9 = V/m = 4,6875 kv/cm Feladat Hatáozza meg, mekkoa Φ P potenciált hoz léte a.50. ábán látható két vonalszeű töltés a P pontban, ha az ε = elatív pemittivitású szigetelőanyagban a nulla potenciálú helyet a P pontban ögzítettük, és q = 5µC m, d = 8 cm..50. ába. A vonalszeű töltések elendezése A P pont potenciálja az egyes töltések által keltett potenciálok algebai összege, q d q 5d ΦP = Φ ( ) + Φ ( ) = ln ln P q P q πε d πε d q = ln 5 = πε 0 9 π 4π 9 ln 5 = 7,45 04V = 7,45 kv Feladat Hatáozza meg, mekkoa E P elektomos téeősséget hoz léte az előző feladatban vázolt két vonalszeű töltés a P pontban.

75 64. STATIKUS ELEKTROMOS TÉR A téeősség vektook a pozitív töltéstől a pont felé és a pontból a negatív töltés felé mutatnak, így kivonódnak és az eedő elektomos téeősség a P pontból bala mutat, E P = E P ( q) E ( q) P q q q = = πε d πε 5d πε d = = 00000V/m =,0000 kv/cm. 0 9 π 0,8 5 4π Feladat Hatáozza meg, mekkoa Φ P potenciált hoz léte a.5. ábán látható két pontszeű töltés a P pontban, ha az ε = 4 elatív pemittivitású szigetelőanyagban a nulla potenciálú helyet a P pontban ögzítettük, és Q = µc és d = 3 cm..5. ába. A töltéselendezés és a pontok helyzete A P pont potenciálja az egyes töltések által keltett potenciálok algebai összege, Φ = Φ Q = 4πε d ( 3Q) + Φ ( Q) 3Q Q = 4πε d 3d 4πε 3d d = 4 = 9, V = 9,3750 kv π 4 0,3 3 4π Feladat Hatáozza meg, mekkoa E P elektomos téeősséget hoz léte az előző feladatban vázolt két pontszeű töltés a P pontban.

76 . STATIKUS ELEKTROMOS TÉR 65 A téeősség vektook a pozitív töltéstől a pont felé és a pontból a negatív töltés felé mutatnak, így kivonódnak és az eedő elektomos téeősség a P pontból bala mutat, Q 3 3 ( 3 ) ( ) Q EP = E P Q E P Q = = 4πε ( ) ( 3 ) 4 πε d 4 9 d d 0 6 = π 4 4π 9 ( 0,3) 3 =, V/m = 0,8076 kv/cm Feladat Hatáozza meg, mekkoa Φ P potenciált hoz léte a.5. ábán látható két vonalszeű töltés a P pontban, ha az ε = 3 elatív pemittivitású szigetelőanyagban a nulla potenciálú helyet a P pontban ögzítettük, és q = 5 µc m, d =8 cm..5. ába. A vonalszeű töltések és a pontok helyzete A P pont potenciálja az egyes töltések által keltett potenciálok algebai összege, q 6d q d q Φ P = Φ( q) + Φ( q) = ln ln = ( ln ln ) πε 3d πε d πε = 0 9 π 3 4π 9 ( ln ) =, V = 0,794 kv Feladat Hatáozza meg, mekkoa E P elektomos téeősséget hoz léte az előző feladatban vázolt két vonalszeű töltés a P pontban.

77 66. STATIKUS ELEKTROMOS TÉR A téeősség vektook a pozitív töltéstől a pont felé és a pontból a negatív töltés felé mutatnak, így összeadódnak és az eedő elektomos téeősség a P pontból bala mutat, EP = E P ( q) + E ( q) P q q q = + = + πε 3d πε d πεd = = 3, V/m = 3,8889 kv/cm. 0 9 π 3 0,8 3 4π Feladat Hatáozza meg, mekkoa U feszültséget hoz léte az ε = elatív pemittivitású szigetelőanyagban a.53. ábán látható két pontszeű töltés a P és a P pontok között, ha Q = 3 µ C és d = 0 cm..53. ába. A pontszeű töltések és a pontok helyzete A pontok potenciálkülönbsége a feszültség Q Q Q Q U = Φ Φ = 4πε0ε d 6d 4πε0ε d 3d Q = + = + 4πε0ε d π 0, 6 3 4π 9 =,50 04V =,50 kv.

78 . STATIKUS ELEKTROMOS TÉR Feladat Hatáozza meg, mekkoa U feszültséget hoz léte az ε = 3 elatív pemittivitású szigetelőanyagban a.54. ábán látható két vonalszeű töltés a P és a P pontok között, ha q = µc/m és d = 4 cm..54. ába. A töltések és a pontok helyzete Vegyük fel a nulla potenciálú helyet a P pontban. A pontok potenciálkülönbsége a feszültség q d q d U = Φ Φ ln ln { = πε0ε πε0ε 4 0 d d q 0 6 = ln ln = ln ln πε0ε π 3 4 4π 9 = 4, V = 4,589 kv Feladat Hatáozza meg, mekkoa U feszültséget hoz léte az ε = 4 elatív pemittivitású szigetelőanyagban a.55. ábán látható két pontszeű töltés a P és a P pontok között, ha Q = 5 µc és d =5 cm..55. ába. A pontszeű töltések és a pontok helyzete

79 68. STATIKUS ELEKTROMOS TÉR A két pont közti feszültség az egyes töltések által keltett feszültségek összege: Q Q U = U( Q) + U( Q) = + 4πε 6d d 4πε 3d d Q = 4πεd = π 4 0,5 6 4π 9 + = 5000 V = 5 kv Feladat Hatáozza meg, mekkoa U feszültséget hoz léte az ε =, 5 elatív pemittivitású szigetelőanyagban a.56. ábán látható két vonalszeű töltés a P és a P pontok között, ha q = 3 µc/m és d = cm..56. ába. A vonalszeű töltések és a pontok helyzete A két pont közti feszültség az egyes töltések által keltett feszültségek összege: q 5d q d q 5 U = U( q) + U( q) = ln ln = ln πε d πε d πε = ln = 8,033 03V = 8,033 kv. 0 9 π,5 4 4π Feladat Hatáozza meg, mekkoa annak a légszigetelésű síkkondenzátonak a kapacitása, amelynek a = cm felületű lemezei d = 3, cm távolságban helyezkednek el.

80 . STATIKUS ELEKTROMOS TÉR 69 a C = ε 3, = = F = 0,335 pf. d 4π 9 3, Feladat Egy C = 3,6 nf kapacitású síkkondenzáto lemezein ±Q = 3 µ C nagyságú töltés helyezkedik el. Hatáozza meg, mekkoa a lemezek között fellépő feszültség. Q U = = = 833,3333 V. C 3, Feladat Hatáozza meg, mekkoa annak a kondenzátonak a kapacitása, amelye feszültséget kapcsolva a lemezeke Q = ±4 µ C töltést viszünk fel. Q C = = =,6 0 9F =,6 nf. U 5 03 U = 5 kv.8.3. Feladat Hatáozza meg, mekkoa töltést viszünk egy C = µ F kapacitású síkkondenzáto lemezeie, amelyet U = 6 kv feszültsége kapcsolunk. Q = CU = = C = 0,9 µ C Feladat Hatáozza meg, hányszoosáa változik a síkkondenzáto kapacitása, ha lemezeinek távolságát kétszeesée növeljük.

81 70. STATIKUS ELEKTROMOS TÉR a C = ε, d a C = ε, C C = /. d Feladat Hatáozza meg, mekkoáa változik annak a C kapacitású kondenzátonak a töltése, amelynek a feszültségét felée csökkentjük. Q = CU, Q = CU, U = U /, Q = Q / Feladat Hatáozza meg, hányszoosáa változik a síkkondenzáto töltése, ha ugyanakkoa feszültség mellett a lemezeinek a távolságát a felée csökkentjük. a a Q = C U = ε U, Q = ε U = Q. d d / Feladat Hatáozza meg, hányszoosáa változik annak a síkkondenzátonak a feszültsége, amelynek ugyanakkoa töltés mellett kétszeesée növeljük lemezeinek a távolságát. Q d Q d U = = Q, U = = Q = U. C εa C εa Feladat Hatáozza meg a légszigetelésű síkkondenzátonak d =, cm távolsága lévő lemezei között az elektomos téeősség étékét, ha a lemezeke U = kv feszültséget kapcsolunk.

82 . STATIKUS ELEKTROMOS TÉR 7 U 03 E = = = 05 V/m = kv/cm. d 0, Feladat Két elektódából és a földből álló endsze észkapacitásai C 0 = µ F, C = 5 µ F, C 0 = 3 µ F. Hatáozza meg, mekkoa lesz az elektódák Q, illetve Q töltése, ha az egyik elektóda és a föld közé U = kv, a másik elektóda és a föld közé U = 6 kv feszültséget kapcsolunk. Q = C0Φ + C ( Φ Φ ) ( + 6) 03 = 0,94 0- C = 0,94 µ C, = Q = C0Φ + C ( Φ Φ ) ( 6 ) 03 = 0,88 0- C = 0,88 µ C. = Feladat Két elektódából és a földből álló endsze észkapacitásai C 0 = µ F, C = µ F, C 0 = 5 µ F. Az egyik elektóda és a föld közé U =0 kv, a másik elektóda és a föld közé U = 6 kv feszültséget kapcsolunk. Hatáozza meg az elektódák töltését. Q = C0Φ + C ( Φ Φ ) ( 0 6) 03 = 0, C = 0,068 µ C, ( Φ Φ ) = Q = C0Φ + C ( 6 0) 03 = 0,08 0- C = 0,08 µ C. = Feladat Két ε = és ε = 3, 6 elatív pemittivitású közeg közös hatáfelületén az egyik közegben az elektomos téeősség vekto nomális komponense E n = 4,3 kv/cm.

83 7. STATIKUS ELEKTROMOS TÉR Hatáozza meg, mekkoa lesz a másik közegben az elektomos téeősség vekto nomális komponense. ε, ε D 4,3 0 n = Dn En = En = =,3889 kv/cm. ε 3,6 ε0 E n.8.4. Feladat Két ε =, és ε = 3, 6 elatív pemittivitású közeg közös hatáfelületén az egyik közegben az eltolási vekto tangenciális komponense D t = 4,3 µas/m. Hatáozza meg, mekkoa lesz a másik közegben az eltolási vekto D t tangenciális komponense. ε 3,6 ε E 0 t = Et, Dt = D t = 4,3 = 7,0364 µas/cm. ε, ε Feladat Hatáozza meg, mekkoa elektomos enegiát táol a C = 3µF kapacitású kondenzáto, ha Q = ±3 µc töltést viszünk a lemezeke. ( ) =, Ws =,5 µws Q W = = 6. C Feladat Hatáozza meg, mekkoa elektomos enegiát táol egy kondenzáto, ha elektódái U = kv feszültség hatásáa Q = ±3, µc töltéssel töltődnek fel. W = QU = 3, = 0,09 Ws 9, mws =.

84 . STATIKUS ELEKTROMOS TÉR Feladat Hatáozza meg, mekkoa F eő hat azon hosszúságú szakaszáa, amelyet F = QE = q l E = 3 0 6, 05 = 4,300 N. q = 3µC/m vonalszeű töltés l =, m E = kv/cm nagyságú elektomos tébe helyezünk Feladat Hatáozza meg, mekkoa eővel hat a Q = 3,5 µ C nagyságú pontszeű töltés a tőle =8 cm távolsága elhelyezett Q 0 = 5 µ C nagyságú póbatöltése. Q 3, F = Q0E = Q0 = =,650 N. 4πε π 0,8 4π Feladat Hatáozza meg, mekkoa az az E elektomos té, amely a Q =,4 µ C nagyságú töltése. E F 0, = = = 8, V/m = 0,83333 kv/cm Q, F = 0, N eőhatást gyakool Feladat Hatáozza meg, mekkoa az a Q pontszeű töltés, amelye elektomos tében F = 30 mn nagyságú eő hat. E = kv/cm nagyságú F Q = = =, C = 50 nc. E 05

85 74. STATIKUS ELEKTROMOS TÉR Feladat Hatáozza meg, mekkoa az a q vonalszeű töltés, amelynek l =, m hosszúságú szakaszáa az E = kv/cm nagyságú elektomos tében F = 30 mn nagyságú eő hat. Q F q = = = =, C/m = 0,8333 nc/m. l l E, Feladat Hatáozza meg, mekkoa eő hat a.57. ábán látható elendezésben a Q nagyságú töltése, ha Q = 3, µc és d = 4 cm. EQ Q E ába. Az elektomos téeősség komponensek Az eőhatás a Q póbatöltésnek a Q és a 3Q töltések keltette elektomos eőtébe helyezéseko jön léte, azaz 3 (, 3 ) ( ) Q Q F Q = Q E Q Q = Q EQ E 3Q = Q 4πε ( ) ( 5 ) d d ( 3, 0 6 ) 3 = 0,460 N. = π 0,4 4 4π Feladat Hatáozza meg, mekkoa eő hat a.58. ábán látható elendezésben a q vonalszeű töltés l =,5 m hosszú szakaszáa, ha q = 4, µc/m és d =6 cm.

86 . STATIKUS ELEKTROMOS TÉR 75 E q E q.58. ába. A téeősség komponensek Az eőhatás a q póbatöltésnek a q és a q töltések keltette elektomos eőtébe helyezéseko jön léte, azaz q ql Fq = q l E( q, q) = q l( Eq + E q ) = q l + = + πε d 3d πεd 3 ( 4, 0 6 ),5 + = 5,90 N. = 0 9 π 0,6 4π Feladat Hatáozza meg, mekkoáa kell választani a Q 0 töltést ahhoz, hogy a.59. ábán látható töltéselendezésben a Q töltése ne hasson eő, ha Q =6 µc és d = 3 cm..59. ába. A töltéselendezés ( E E ) FQ = Q Q Q0 5 Q0 = Q = 00 µc. 4 = 0, Q 4πε Q 0 ( d ) 4πε ( 5d ) = 0,

87 76. STATIKUS ELEKTROMOS TÉR.8.5. Feladat Hatáozza meg, mekkoa munkavégzés szükséges ahhoz, hogy a Q = µc nagyságú pontszeű töltést a Φ =0 kv potenciálú helyől a Φ = 3 kv potenciálú helye mozdítsuk el. ( Φ ) = 0 6( 0 3) 03 = 0,040 Ws 4,0 mws W = QU = Q Φ = Feladat Hatáozza meg, hányszoosáa változik a C = µf kapacitású kondenzátoban a táolt elektomos enegia, ha a kondenzátoa kapcsolt feszültséget U = kv -a növeljük. W = CU, W = CU, W / / 0 W = U 4, 4 U = =. U =0 kv -ól Feladat Hatáozza meg, hányszoosáa változik a C = 6 µf kapacitású kondenzátoban a táolt elektomos enegia, ha a kondenzátoa kapcsolt feszültséget U = 8 kv -a csökkentjük. W / / 8 W = U U = = 6. U = kv -ól Feladat Hatáozza meg, hányszoosáa változik a C = 6 µf kapacitású kondenzátoban a táolt elektomos enegia, ha a kondenzáto töltését felée csökkentjük. Q W =, W C ( Q ) =, / W = ( Q / ) Q / 4 C W =.

88 . STATIKUS ELEKTROMOS TÉR Feladat Hatáozza meg, hányszoosáa változik a síkkondenzáto enegiája, ha állandó feszültség mellett a lemezek távolságát felée csökkentjük. εa W = CU = U, εa W = CU = U, W W =. d d / Feladat Hatáozza meg, mekkoa elektomos enegiasűűséget táol az ε =, 8 elatív pemittivitású szigetelőanyag egységnyi téfogata E =6 kv/cm elektomos téeősség esetén. ( 6 05 ) = 3, w = εe =,8 4π 9 Ws/m.

89 3. STACIONÁRIUS ÁRAM ELEKTROMOS TERE Az előzőekben időben állandó és nyugalomban lévő töltések elektomos teét vizsgáltuk, most egyenletes sebességgel mozgó töltések, azaz a vezetőben folyó áam keltette elektomos és mágneses teet vizsgáljuk. 3.. Az áamlási té foásmennyisége, az elektomos áam Ha két ellentétes töltésű elektóda között a teet szigetelőanyag tölti ki, akko a töltések nem mozdulnak el, ha azonban a két elektódát összekötjük egy vezetővel, akko megindul a töltések áamlása, vagyis áam folyik. Az áam iánya megállapodásszeűen a pozitív töltések áamlási iánya. Sokszo az áam fogalmát a töltések mozgásától függetlenül is ételmezzük. Ha egy a felületen t idő alatt Q töltés áamlik át (3.. ába), akko a felület áama a következőképpen hatáozható meg, () Q dq t I = lim = t 0 t dt, [] I = A. (3.) 3.. ába. Az áam fogalmának ételmezése

90 3. STACIONÁRIUS ÁRAM ELEKTROMOS TERE 79 Az áam métékegysége a nemzetközi SI métékegység-endszeben az ampe, A = C s. Egy vezetőben az áam jelenlétét az áamjáta vezetők között fellépő eőhatás alapján lehet ézékelni (3.. ába), µ I I F =, π d As ahol µ = µ 0 µ anyagállandó, az ún. pemeabilitás, ahol µ = π, vagy Vm H µ =, a vákuum pemeabilitása és µ a kitöltő közeg elatív m pemeabilitása, levegőe µ =. Két áamjáta vezető között, ha azokban az áamiány megegyezik, vonzóeő, ha ellenkező, taszító eő lép fel (3.. ába). 3.. ába. Az áam jelenléte eőhatással mutatható ki 3... Áammodellek A stacionáius elektomos té tágyalása soán különböző áammodelleket alkalmazunk. (i) A felületi áamsűűség. Ha az a keesztmetszetű vezeték a elemi felületén I eősségű áam folyik át, akko a keesztmetszeten átfolyó áamsűűség a ponttá zsugoított felületelemen átlépő áam étéke lesz (3.3. ába), I A Jn( ) = lim, [ J ] =. (3.) a 0 a m Egy a felületen átfolyó I áam a di = J d a elemi áamok összegével, vagyis az a felülete vett integáljával hatáozható meg,

91 80 3. STACIONÁRIUS ÁRAM ELEKTROMOS TERE I = J( ) da. a 3.3. ába. A felületi áamsűűség ételmezése (ii) A vonalmenti áamsűűség. Ha az áam olyan felületen folyik át, amelynek egyik méete elhanyagolhatóan kicsi, akko az áam eloszlását a K ( ) vonalmenti áamsűűséggel modellezzük (3.4. ába). Az n vekto az áamsűűség és a vonaldaab által meghatáozott síkban a vonaldaaba meőleges I Kn = K n = lim, [ Kn ] = l 0 l A m. Ekko a felületen átfolyó áam a vonalmenti áamsűűségnek a vonaldaaba vett integálja, I = K ( ) n dl. l 3.4. ába. A vonalmenti áamsűűség ételmezése (iii) A vonalszeű áam. Szokásos még a kis keesztmetszetű áamvezetőn átfolyó áamot vonalszeű áamként modellezni (3.5. ába). Valamely felületen átfolyó összes áam az egyes áammodellekből számazó áamok összege, I = J a ( ) da + K ( ) n dl + l N Ik. k =

92 3. STACIONÁRIUS ÁRAM ELEKTROMOS TERE ába. A vonalszeű áam ételmezése (iv) Töltéshodozók áama. A v sebességgel mozgó töltések is áamot hoznak léte. A a felületen t idő alatt átáamló töltés a v = a v t téfogatú hasábban helyezkedik el (3.6. ába), ahonnan az áamsűűségnek a felülete meőleges komponense a I Q t ρ v ρ a vn t J n = = = = = ρ vn, a a t a t a ahol ρ a J = ρv. v téfogat töltéssűűsége, és így az áamsűűség vektoa 3.6. ába. A töltéshodozók áama Az egyes töltéshodozók sebessége általában nem egyfoma, ekko a v sebesség átlagsebességet jelent. Ha a ρ ( + ) pozitív töltések sebessége v ( + ) és a ρ ( ) negatív töltések v ( ) sebességgel áamlanak, akko a töltések mozgásából számazó elektomos áamsűűség a következő alakban adható meg J = v ρ ( + ) v ( + ) + ρ ( ) ( ). 3.. A stacionáius áamlási té gejesztettsége és intenzitása 3... A stacionáius elektomos té gejesztettsége Az áamsűűsége vonatkozó tövényszeűségeket a töltésmegmaadás elve alapján állapíthatjuk meg. Ha a töltések állandó sebességgel áamlanak, akko valamely zát

93 8 3. STACIONÁRIUS ÁRAM ELEKTROMOS TERE felülettel hatáolt téészbe ugyanannyi töltés lép be, mint amennyi kilép (3.7. ába), azaz az áamsűűség vonalak zátak ába. Stacionáius tében zát felület áama nulla Ez azt jelenti, hogy bámely időpillanatban a téészt hatáoló zát felület áama, azaz az áamsűűségnek a zát felülete vett összege, integálja nulla, J da = 0. a (3.3) Ha a felületen csak I k, k =,, L, n vonalszeű áam lép be, illetve ki, akko a töltésmegmaadás elve alapján (minthogy a töltés anyagi észecskék jellemzője, így az anyagmegmaadás elvét is epezentálja) a felületi integál helyett a vonalszeű áamok összege nullát eedményez, n I k = 0, (3.4) k= azaz a felületbe belépő és az onnan kilépő áamok algebai összege nulla. A fenti összefüggés a villamos hálózatok számításának egyik alaptövénye, a Kichhoff csomóponti tövény. Ezek szeint a hálózatszámítás Kichhoff csomóponti tövénye a töltés, illetve anyagmegmaadási tövény villamos hálózatoka általánosított alakja A stacionáius áamlási té intenzitása A vezető belsejében a töltések mozgatásához eőe van szükség. A töltése ható eőt továbba is az elektomos téeősséggel fejezhetjük ki, F = QE. Időben állandó áamlás esetén a vezető belsejében a töltésnek egy zát göbe mentén való elmozdítása továbba is nulla munkavégzést jelent, azaz az elektosztatikához hasonlóan az elektomos téeősségnek egy zát göbée vett integálja nulla,

94 3. STACIONÁRIUS ÁRAM ELEKTROMOS TERE 83 E dl = 0. (3.5) l A fenti összefüggés szeint két pont között fellépő feszültség ugyancsak független az integálási úttól, csak a végpontok helyzetétől függ, és azok potenciáljainak különbségével adható meg, B U AB = E dl = Φ A ΦB. A Valamely pont potenciálja továbba is az önkényesen megválasztott 0 efeenciaponthoz képesti potenciális munkavégzéssel aányos, Φ = 0 A E dl. A 3.3. Vezető anyag elektomos tében (i) Az anyagok fajlagos vezetőképességének modellje. Ha egy e elektont egy vezető közegbe helyezünk, ahol E elektomos té van jelen, az elekton ve = µ e E difftsebességgel mozog (3.8. ába), ahol µ e az elekton mozgékonysága ába. Az elektonok mozgásával keltett áamsűűség ételmezése Figyelembe véve, hogy a töltések mozgása elektomos áamsűűséget eedményez, J = ρ ve = ρµ ee = σe,

95 84 3. STACIONÁRIUS ÁRAM ELEKTROMOS TERE az áamsűűség aányos lesz az E külső elektomos téel és a vezető közege jellemző σ = ρµ e fajlagos vezetőképességével, ahonnan a diffeenciális Ohm-tövény egyszeűsített alakjához jutunk, A m J = σe, [ σ ] = V m Am = Vm = S m. (3.6) (ii) Az ellenállás. Egy vezető anyag l d hosszúságú szakaszán méhető du feszültségesés kifejezhető a vezető szakaszon folyó áammal, J du = E dl = dl = σ I a dl dl = I = I dr, σ σa ahonnan a vezető szakasz elemi hosszának ellenállása ahol dl dl dr = = ρ, [ ρ] = Ω m, σ a a ρ = σ az anyag fajlagos ellenállása (3.9. ába) ába. A vezető ellenállásának ételmezése Homogén közeg és állandó keesztmetszet esetén az l hosszúságú vezető ellenállása az elemi szakaszok ellenállásainak összege, integálja dl l R = =, R = Ω, l σ a σa [ ] (ohm). (3.7) Ha valamely R ellenállású vezetőn I áam folyik át, akko a vezetőn az Ohm-tövény szeint feszültség lép fel, U = RI, I = GU, G = R, (3.8) ahol G az anyag vezetése, az ellenállás ecipoka.

96 3. STACIONÁRIUS ÁRAM ELEKTROMOS TERE 85 (iii) A fajlagos ellenállás hőmésékletfüggése. A vezető anyagok ellenállása eősen függ a hőméséklettől, ui. a hőméséklet változásával megváltozik a vezető anyag méete, a vezető hossza és keesztmetszete (3.0. ába) ába. A vonalszeű áam ételmezése Közönséges, ϑ 0 szobahőmésékleten és nem nagyon nagy intevallumban a legtöbb fém fajlagos ellenállásának megváltozása aányos a hőmésékletváltozással (elsőfokú Taylo-soal közelítve), ρ dρ + dρ ( ϑ) = ρ( ϑ0 ) + ϑ = ρ0 ϑ dϑ ρ0 dϑ dρ ahol = α, és így ρ ( ϑ) = ρ0 ( + α ϑ), [ α ] =. A fenti kifejezésben ρ ρ0 dϑ Co 0 az anyag fajlagos ellenállása ϑ 0 hőmésékleten, ρ 0 = ρ( ϑ 0 ). Így valamely vezető anyag fajlagos ellenállása ϑ hőmésékleten a következő módon hatáozható meg: ρ ( ϑ) = ρ( ϑ0 )( + α( ϑ ϑ0 )), [ α ] =, Co ahol ρ ( ϑ 0 ) az anyag fajlagos vezetőképessége valamely efeenciahőmésékleten, általában szobahőmésékleten szokták tekinteni ( ϑ o 0 = 0 C ), α az ellenállás hőfoktényezője a ϑ 0 hőmésékleten (3.0. ába). Ezzel kis hőmésékleti ingadozás esetén a ϑ 0 hőmésékleten R 0 ellenállású vezeték ezisztenciája a fajlagos ellenállással aányosan változik, ( ϑ) R [ + α ( ϑ ϑ )], R R( ) R = = ϑ0. Ha azonban a hőmésékletintevallum nagy, akko a vezető anyagok hőmésékletfüggését magasabb fokú Taylo-soal szokás közelíteni,,

97 86 3. STACIONÁRIUS ÁRAM ELEKTROMOS TERE ( 3 + ), [ ] = o ( ϑ) ρ( ϑ ) + α( ϑ ϑ ) + β ( ϑ ϑ ) + γ ( ϑ ϑ ) ρ = L α C, ahol β, γ további hőméséklettényezők, ( [ ] = ( C o ) β, [ ] = ( C o ) 3 γ ) Analógia a statikus és a stacionáius elektomos té között A stacionáius áamlási té az elektomágneses té általánosabb modelljét adja, mivel ekko a töltések mozgását, állandó sebességgel való áamlását is figyelembe vesszük. Míg az elektosztatikus tében csak ideális fémek (végtelen jó fajlagos vezetőképességgel) és szigetelők szeint osztályoztuk az anyagokat, az áamlási tében a szigetelőanyagok nem ideálisak, véges fajlagos vezetőképességgel endelkeznek. Az elektódafelületeket azonban mindkét témodellnél ideálisnak tekintjük. Az áamlási tében legtöbbszö a feladat a közeg ellenállásának meghatáozása, míg a statikus elektomos tében az elektódaelendezés kapacitásának meghatáozása az elsődleges feladat. A két té, a statikus és a stacionáius elektomos té egyenleteinek hasonlósága a tészámítási feladatok analógiájához vezet (3.. ába). 3.. ába. Analógia a statikus és a stacionáius elektomos té között Analógia mutatható ki az elektosztatika eltolási vektoa és az áamlási té áamsűűség vektoa között, ui. D da = Q, J da = I, a a D J, (3.9) elektosztatikus tében az elektódát köülvevő zát felülete az eltolási vekto (összege) integálja a téfogatban lévő össztöltést adja, míg a stacionáius elektomos tében az áamsűűségnek egy zát felülete vett integálja a kilépő, illetve a belépő áamokat eedményezi. Mindkét tében a potenciál az elektomos téeősség integálja, azaz két pont között a feszültség mindét tében a pontok potenciálkülönbségével hatáozható meg,

98 3. STACIONÁRIUS ÁRAM ELEKTROMOS TERE 87 0 E dl = Φ A, U AB = Φ A ΦB. (3.0) A Az anyagjellemzők analógiája is megállapítható. A statikus elektomos tében az eltolási vekto és a téeősség kapcsolata, valamint a stacionáius áamlási tében az áamsűűség és az elektomos téeősség kapcsolata alapján D = ε E, J = σ E, ε σ. (3.) A fenti összefüggések alapján megállapítható, hogy két elektóda C kapacitása és G vezetése között homogén közeg esetén szoos kapcsolat van, ui. C = G = Q U I U = D da = ε E da, U a U a = J da = σ E da, U a U a ahonnan a statikus elektomos tében a kapacitás és a stacionáius elektomos tében a vezetés aánya megegyezik a szigetelőanyag dielektomos állandójának és a vezető közeg konduktanciájának, vezetésének aányával, C G ε =. (3.) σ A kapott eedmények lehetőséget adnak aa, hogy például elektolitikus kismintával modellezzünk elektódaendszeeket és a mét vezetések ismeetében meghatásozzuk a kapacitások étékeit. Hasonlóan elektódák közötti kapacitások ismeetében az elektódák közötti ellenállás, mint a vezetések ecipok étéke meghatáozható Folytonossági feltételek két közeg hatáfelületén Két vezető közeg hatáfelületén az E elektomos téeősség és a J áamsűűség vektook viselkedését elemezve a következőket kapjuk Az elektomos téeősség viselkedése közeghatáon Tekintsük két σ, és σ vezetőképességű közegek hatáfelületének kis könyezetét, ahol az egyik közegben az elektomos téeősség E, a másikban E. Bontsuk fel

99 88 3. STACIONÁRIUS ÁRAM ELEKTROMOS TERE mindkét elektomos téeősséget mindkét téészen a felülettel páhuzamos (tangenciális) E τ és az aa meőleges (nomális) E n komponenseke (3.. ába). Vegyünk fel a két téészen áthaladó olyan téglalap alakú zát göbét, amelynek a d magassága minden hatáon túl csökken, d 0, azaz a göbe két oldala ásimul a hatáfelület két oldaláa. Íjuk fel az elektomos té övénymentességée vonatkozó l E dl = 0 összefüggést és étékeljük ki azt a fenti zát göbée, E τ l + Eτ l = 0, az elektomos téeősség vektook tangenciális komponenseinek folytonosságáa vonatkozó feltételhez jutunk, E τ = Eτ. (3.3) 3.. ába. Az elektomos téeősség közeghatáon Figyelembe véve az áamsűűség és az elektomos téeősség közötti J = σe kapcsolatot, a fenti feltétel szeint az áamsűűség vekto tangenciális komponenseinek hányadosa a két közeg vezetőképességeinek aányában változik a közeghatáon Jτ σ = Jτ σ Az áamsűűség vekto viselkedése közeghatáon Bontsuk fel a σ vezetőképességű közegben a J áamsűűséget, valamint a σ vezetőképességű közegben a J áamsűűséget a két közeget elválasztó hatáfelülete meőleges J n, nomális és a hatáfelülettel páhuzamos J τ, tangenciális komponenseke. Vegyünk fel egy hengefelületet a két közeg hatáfelületén úgy (3.3. ába), hogy a henge m magassága minden hatáon túl tatson a nullához, m 0, ekko a hengefelület alap- és fedőlapja a hatáfelület két oldalához simul. Étékeljük ki a a J da = 0 töltésmegmaadás elvét a hengefelülete,

100 3. STACIONÁRIUS ÁRAM ELEKTROMOS TERE 89 J n a + Jna = 0. A kapott eedmény alapján az áamsűűség vektook nomális komponensei folytonosan mennek át a hatáfelületen, J n = Jn. (3.4) 3.3. ába. Az áamsűűség közeghatáon Figyelembe véve az áamsűűség és az elektomos téeősség közötti J = σe kapcsolatot, az elektomos téeősség vektook nomális komponenseinek hányadosa a vezető közegek fajlagos vezetőképességei ecipok étékeinek aányával változik E n En = σ σ Vezető közegek töéstövénye Két vezető közeg hatáán az elektomos téeősség vektook tangenciális és az áamsűűség vektook nomális komponenseinek folytonossága alapján a közeghatáon a téjellemző vektooka vonatkozó töéstövény a következő alakban is megfogalmazható (3.4. ába) ába. A töési szögek vezető közegekben

101 90 3. STACIONÁRIUS ÁRAM ELEKTROMOS TERE Például az elektomos téeősség vektook felületi nomálistól való α,α elhajlási szögeinek tangensei aányáa a következő adódóik: tgα tgα Eτ E σ σ = n E = n J = n =. En Eτ En σ Jn σ Következmények Tekintsünk egy ideális fémből készült elektódát, amely σ fajlagos vezetőképességű közegbe van ágyazva, amelyet felülől egy sík hatáol. A sík felett ideálisnak tekinthető, nulla vezetőképességű szigetelőanyag van (3.5. ába) ába. A lépésfeszültség ételmezése (Így modellezhető például a földbe süllyesztett földelő elektóda. Az ideális szigetelőanyag a levegő.) Minthogy a föld feletti ideális szigetelőéteg vezetőképessége nulla, σ = 0, ugyanakko a föld vezetőképessége véges σ 0, a töési tövény alapján σ tgα = σtgα, minthogy tgα, így α o = 90, azaz a kettes közegből nem lép ki áamvonal, hanem a felület mentén, azzal páhuzamosan folyik. Ekko a vezető közeg (föld) felületén két pont között feszültségkülönbség lép fel, amelyet lépésfeszültségként szokás megnevezni A beiktatott téeősség és a diffeenciális Ohm-tövény A beiktatott téeősség A vezetéken folyó áam létehozásához egy U s foásfeszültségű feszültségfoást iktatunk be az R ellenállásból álló hálózatba (3.6. ába).

102 3. STACIONÁRIUS ÁRAM ELEKTROMOS TERE ába. A beiktatott téeősség ételmezése Ha az áam a P pontból a P pont felé folyik az R ellenálláson, akko azon U = RI feszültséget hoz léte. Minthogy az áamlási tében két pont között fellépő feszültség csak a pontok helyzetétől függ, a feszültségfoás P, P pontja között fellépő U s foásfeszültség megegyezik az ellenállás U feszültségével, U = U s. Ilyen feszültségfoás például az akkumuláto, amely kémiai enegiát alakít át villamos enegiává. A feszültségfoás belsejében a töltéseket egy nem villamos (elektosztatikus) eedetű, beiktatott eő, F b = QEb, illetve az azt epezentáló E b beiktatott téeősség választja szét, a két pont közötti feszültséget a téeősségekkel felíva a következő összefüggéshez jutunk: P P P E dl = E dl = Eb dl, P P P ( l ) ( l ) ( l ) R s s ahol l R a P, P közötti, az R ellenálláson átmenő útszakasz, míg l s a P, P közötti, a feszültségfoáson keesztülmenő út. A fentiek alapján E = E b, (3.5) ahonnan azt kapjuk, hogy a feszültségfoás belsejében a töltéseket szétválasztó, nem villamos eedetű E b beiktatott téeősség éppen a töltések mozgásával létehozott téeősséggel ellentétes iányú.

103 9 3. STACIONÁRIUS ÁRAM ELEKTROMOS TERE A diffeenciális Ohm-tövény Ha feltételezzük, hogy a feszültségfoás nem ideális, hanem belső veszteséggel endelkezik, akko az így kapott feszültséggeneáto veszteségét egy vele soba kapcsolt R b belső ellenállással modellezhetjük (3.7. ába). Ekko az enegiaegyensúlya felít egyenlet alapján az R ellenálláson fellépő U feszültséget a feszültséggeneátonak az R b ellenálláson fellépő R b I feszültséggel csökkentett U s foásfeszültsége tatja egyensúlyban, U = Us Rb I. Az áamkö egyes elemein fellépő feszültségeket a téeősségekkel kifejezve, valamint az integálási hatáokat megcseélve P P P P P E dl = E dl E dl = Eb dl + P P P P P ( l ) ( l ) ( l ) ( l ) ( l ) R s Rb s Rb J dl, σ ahol l R b az R b ellenálláshoz tatozó útszakasz. A fenti összefüggés a diffeenciális Ohm-tövényhez vezet, ( E + ) J = σ E b. (3.6) 3.7. ába. A diffeenciális Ohm-tövény ételmezése Az enegiaegyensúlyi egyenleteket általánosítva a villamos hálózatok Kichhoff feszültség tövényéhez jutunk. Minthogy egy zát göbée az elektomos téeősség integálja nulla feltétel ekvivalens a stacionáius tében az egyes foásokon betáplált és az ellenállásokon felvett feszültségek összegével,

104 3. STACIONÁRIUS ÁRAM ELEKTROMOS TERE 93 n U k = 0, (3.7) k= azaz a villamos hálózatok Kichhoff feszültség tövénye az enegiamegmaadási tövény kitejesztése villamos hálózatok analízisée Az áamfoás A töltések egyenletes áamlását nemcsak a töltéseket szétválasztó feszültségfoással, hanem a töltéseket egyenletesen kibocsátó áamfoással is lehet biztosítani, (3.8. ába). Ilyen áamfoás például a fotocella, amely fényenegiát alakít át villamos enegiává, J = Jb. Ezzel a diffeenciális Ohm-tövény kiegészíthető, ahol a vezetőben folyó konduktív áam és a v sebességgel mozgó töltések által létehozott konvektív áam által modellezett áamsűűség a következő alakban adható meg: J = σ E + σeb + Jb + ρv ába. A feszültségfoás és az áamfoás Az áamvezető teljesítménye (i) A teljesítmény. Ha a vezető két pontja között a feszültség U, akko a átáamló Q = I t töltés W t = UI t t idő alatt munkát végez. A endsze P = W t teljesítménye ekko az R ellenálláson hővé váló teljesítmény, amely a Joule-tövény szeint [ ] W,(watt) P = UI = RI = GU, P =. (3.8) (ii) A teljesítménysűűség. Tekintsük az áamvezető kis téfogatát, amelyet áamvonalak és ekvipotenciális felületek hatáolnak (3.9. ába).

105 94 3. STACIONÁRIUS ÁRAM ELEKTROMOS TERE 3.9. ába. A teljesítménysűűség ételmezése Az elemi a d l dv = d téfogat teljesítménye dp = UI = ( E dl )( J da) = E J dv, ahonnan az elemi téfogat teljesítménysűűsége, a J ( E + ) = σ E b diffeenciális Ohmtövény felhasználásával a következő alakú: p dp dv J σ J ( ) = = J E = J Eb = J Eb σ, ahol J σ a vezető anyagban a teljesítménysűűség, míg a feszültségfoás belsejében a endszebe betáplált teljesítménysűűség, J E b. Ezzel valamely v téfogat teljesítménye egyészt az ellenálláson hővé váló teljesítmény, másészt a feszültségfoás által a endszebe betáplált teljesítmény, P = p v J v σ ( ) dv = dv J 3.7. Ellenőző kédések Ebdv. v Foglalja össze az elektomos áama és az áammodelleke vonatkozó ismeeteket. Ismetesse a stacionáius áamlási té gejesztettségée és intenzitásáa vonatkozó összefüggéseket. Foglalja össze a statikus és stacionáius elektomos té közötti analógiáa vonatkozó összefüggéseket. Ismetesse a beiktatott téeősséget és a diffeenciális Ohm-tövényt. Ismetesse a Joule-hő fogalmát.

106 3. STACIONÁRIUS ÁRAM ELEKTROMOS TERE Gyakoló feladatok Feladat Hatáozza meg, mekkoa áam folyik át azon az 0 = cm sugaú kölapon, amelyen az áamsűűség nomális komponense J = 4A/m n. I = J 4 0, n a = Jn 0 π = π =,0857 A Feladat Hatáozza meg, mekkoa az áamsűűség azon amelyből I =A áam folyik ki. 0 =8 cm sugaú gömbfelületen, I I J = = = = 9,473A/m. a 4 4 0,8π 0 π Feladat Hatáozza meg, mekkoa lesz az elektomos téeősség nomális komponense azon σ = 06 S/m fajlagos vezetőképességű fém felületén, ahol az áamsűűség nomális komponense J n = 8A/cm. E n = J n σ = = 4 0 V/m Feladat Hatáozza meg, mekkoa teljesítménysűűséget hoz léte az E = 3,6 V/cm nagyságú elektomos té a σ = 3 04 S/m fajlagos vezetőképességű közegben.

107 96 3. STACIONÁRIUS ÁRAM ELEKTROMOS TERE ( ) 9 J 3,6 0 = 3, p = σ E = m Feladat Hatáozza meg, mekkoa feszültséget hoz léte a J = 6 A/cm áamsűűség a σ = 5 06 S/m fajlagos vezetőképességű közeg l = 40 cm hosszú szakaszán. J 6 04 U = E l = l =,4 = 0,088 V. σ Feladat Hatáozza meg, mekkoa áamsűűséget geneál a ρ = µc/m3 nagyságú töltéssűűség, ha v = km/s sebességgel mozog. J = ρ v = = 4 0 3A/m = 4 ma/m Feladat Két, σ 4 06 = S/m és σ 6 06 = S/m fajlagos vezetőképességű közeg közös hatáfelületén a kettes közegben az elektomos téeősség nomális komponense E n = 8 kv/cm. Hatáozza meg, mekkoa lesz az egyes közegben az elektomos téeősség nomális komponense. A folytonossági feltételből σ 6 J, n = Jn En = En = 8 = kv/cm. σ Feladat Két, σ 5 06 = S/m és σ 3 06 = S/m fajlagos vezetőképességű közeg közös hatáfelületén az egyes közegben az áamsűűség tangenciális komponense

108 3. STACIONÁRIUS ÁRAM ELEKTROMOS TERE 97 J t = 6 ma/m. Hatáozza meg, mekkoa lesz a kettes közegben az áamsűűség tangenciális komponense. σ A folytonossági feltételből 3 E t = Et, Jt = Jt = 6 = 3,6 ma/m. σ Feladat Két különböző, σ = 0 7 S/m és σ 5 06 = S/m fajlagos vezetőképességű anyag közös hatáoló felületén a kettes közegben az áamsűűség tangenciális komponense J t = A/mm. Hatáozza meg az egyes közegben az áamsűűség J t tangenciális komponensét. σ A folytonossági feltételből 0 E t = Et, Jt = Jt = = 4A/mm. σ Feladat Két különböző, σ = 0 6 S/m és σ = 0 7 S/m fajlagos vezetőképességű anyag közös hatáoló felületén az egyes közegben az elektomos téeősség nomális komponense E n = 0 kv/cm. Hatáozza meg, mekkoa lesz a kettes közegben az elektomos téeősség E n nomális komponense. A folytonossági feltételből σ 06 J, n = Jn En = En = 0 = kv/cm. σ Feladat Hatáozza meg, mekkoa az az R ezisztenciájú ellenállás, amelyen az átfolyó áam U = 5,8 V feszültséget hoz léte. I = ma

109 98 3. STACIONÁRIUS ÁRAM ELEKTROMOS TERE R U 5,8 = = =,9 03 Ω =,9 kω I Feladat Hatáozza meg, mekkoa I áam folyik át az sakain U = 6, V méhető. U 6, I = = =, A =,0667 ma. R 3 03 R = 3 kω ezisztenciájú ellenálláson, ha Feladat Hatáozza meg, mekkoa U feszültéség lép fel az ellenálláson, ha ajta I = 4 µa áam folyik át. R = 4,6 kω ezisztenciájú U = RI = 4, = 8,4 0 3 V = 8,4 mv Feladat Hatáozza meg, mekkoa az R ezisztenciája annak az ellenállásnak, amelyen hatásáa U =,8 kv feszültség keletkezik. U,8 03 R = = = 0,9 03Ω = 900Ω. I I = A Feladat Hatáozza meg, mekkoa a hővé alakuló teljesítmény egy l = 0 m hosszúságú, a = 4 mm keesztmetszetű, σ = 5 07 S/m fajlagos vezetőképességű huzalban, ha U = 8 V feszültséget kapcsolunk á.

110 3. STACIONÁRIUS ÁRAM ELEKTROMOS TERE 99 U P = R U = = l σ a 0 8 ( ) = 06,6667 W Feladat Hatáozza meg, mekkoa a hővé alakuló teljesítmény egy l = 00 m hosszúságú, a =,5 mm keesztmetszetű, σ = 4 07 S/m fajlagos vezetőképességű huzalban, amiko benne az áamsűűség étéke J = 8 A/mm. ( ) ( 8 06 ) l J al 00 P = RI = Ja = = = 8000 W. σa σ Feladat Hatáozza meg, mekkoa U feszültséget kell egy l = 400 m hosszúságú, σ = 5 07 S/m fajlagos vezetőképességű huzal végeie kapcsolni, hogy a huzalban J = A/mm áamsűűség keletkezzen. Jl U = El = = = 6 V. σ Feladat Hatáozza meg egy l = 5 m hosszúságú, σ = 0 7 S/m fajlagos vezetőképességű huzal keesztmetszetét, ha a ajta átfolyó I = 0 ma áam U = 0, V feszültséget hoz léte a vezeték végei között. l U li R = =, a = = = 5, m = 0,5 mm. σ a I σu 07 0,

111 00 3. STACIONÁRIUS ÁRAM ELEKTROMOS TERE Feladat Hatáozza meg, mekkoa az áamsűűség egy l = 00 m hosszúságú, σ = 07 S/m fajlagos vezetőképességű huzalban, ha U = V feszültséget kapcsolunk á. σu 07 J = σ E = = = A/m =, A/mm. l Feladat Hatáozza meg, mekkoa az E elektomos téeősség egy σ = 5 06 S/m fajlagos vezetőképességű a = 5 mm keesztmetszetű homogén áamlási tében, ha I = A áam folyik. J I E = = = = 0,08 V/m. σ aσ Feladat Hatáozza meg, milyen l hosszúságú vezetőn hoz léte U = 0, V feszültséget az I = 5 ma áam, ha a homogén szekezetű huzal σ = 5 06 S/m fajlagos vezetőképességű és a keesztmetszete a = mm. U l U 0, R = =, l = σ a = = 0,4 03 = 400m. I σ a I Feladat Hatáozza meg egy l = 3 m hosszúságú, σ = 3 07 S/m fajlagos vezetőképességű, a = mm keesztmetszetű huzal végei között létejött U feszültség nagyságát, ha a vezetéken I = 5 A áam folyik.

112 3. STACIONÁRIUS ÁRAM ELEKTROMOS TERE 0 l 3 5 U = RI = I = σ a = 0,5V Feladat Hatáozza meg, mekkoa áam jön léte egy σ = 3 07 S/m fajlagos vezetőképességű a = 4 mm keesztmetszetű homogén áamlási tében, ha a téeősség E = 0, V/cm. I = Ja = σ Ea = , = 400A Feladat Hatáozza meg egy l = 5 m hosszúságú, σ = 0 6 S/m fajlagos vezetőképességű a = 5 mm keesztmetszetű huzalon átfolyó I áam nagyságát, ha az U = 0,5 V feszültséget hoz léte a vezeték végei között. I = U R Uσ a 0, = = l 5 = 0,5 A Feladat Hatáozza meg az E elektomos téeősség nagyságát a σ = 5 07 S/m fajlagos vezetőképességű, a = 0,8 mm keesztmetszetű huzalban, ha a ajta átfolyó áam I = A. J I E = = = = = 0,05 V/m. σ aσ 0,

113 0 3. STACIONÁRIUS ÁRAM ELEKTROMOS TERE Feladat Hatáozza meg a σ = 9 06 S/m fajlagos vezetőképességű, a = 0,5 mm keesztmetszetű huzalban az átfolyó I áameősség nagyságát, ha az elektomos téeősség E = 0,3 V/m. I = Ja = σ Ea = ,3 0,5 0 6 =,35 A Feladat Hatáozza meg, mekkoa az áamsűűség abban az a = 0 mm keesztmetszetű, R =,8 Ω ezisztenciájú ellenálláshuzalban, amelye U = 00 V feszültséget kapcsolunk. I U 00 J = = = = 3, A/m = 3,574 A/mm. a Ra, Feladat Hatáozza meg, milyen hosszúságú az a = 5 mm keesztmetszetű, σ = 07 S/m fajlagos vezetőképességű fémhuzal, ha I = 0 A áam hatásáa U = 0,5 V feszültség jön léte a huzal két végpontja között. U l U 0,5 R = =, l = σa = m I σa I 0 =.

114 4. STACIONÁRIUS MÁGNESES TÉR Az időben állandó sebességgel mozgó töltések keltette áam nemcsak elektomos, de mágneses teet is kelt. 4.. A mágneses té jelenléte 4... A mágneses dipólus A tapasztalat azt mutatja, hogy áamjáta vezetőe mágneses tében eő hat. Tekintsünk egy elemi köáamot, amelyben az I áamú köáam a d felületet zá köbe (4.. ába). 4.. ába. A mágneses dipólus Ez az elemi köáam egy mágneses dipólust epezentál, amely m = Ida (4.) mágneses dipólusnyomatékkal, mágneses momentummal endelkezik. A mágneses dipólus felületi nomálisa a huokban folyó elemi köáam iányával jobbcsava szabály szeint kapcsolódik.

115 04 4. STACIONÁRIUS MÁGNESES TÉR 4... A mágneses indukció Ha a fenti mágneses dipólussal endelkező elemi köáamú vezetőt egy B indukciójú mágneses tébe helyezzük (4.. ába), akko a köáama fogatónyomaték hat, amely hatásáa a köáam úgy helyezkedik el, hogy felülete meőleges legyen a mágneses indukcióa, T = m B, T = m B sinϑ = I da B sinϑ, minthogy ϑ = 0o esetén legkisebb a fogatónyomaték étéke. A fenti méésből a B mágneses indukció nagysága meghatáozható: T Nm Vs B =, [ B] = = = T ( = tesla). (4.) I da Am m 4.. ába. A mágneses dipólusa ható fogatónyomaték Mozgó töltése ható mágneses eő Külön meghatáozhatjuk a mágneses tében mozgó töltése ható eőt is. Ha egy B indukciójú mágneses tébe v sebességgel egy Q töltés lép be (4.3. ába), akko a töltést eltéítő eő F = Q v B ába. A mozgó töltése ható eő

116 4. STACIONÁRIUS MÁGNESES TÉR 05 A stacionáius mágneses té által kifejtett eő mindig meőleges a pillanatnyi sebessége, vagyis a mozgás pályájáa, így ez az eő nem végez munkát, azaz az időben állandó mágneses té az enegiaviszonyokat nem befolyásolja. Ha elektomos és mágneses té egyidejűleg van jelen, akko mind az elektomos téből, mind a mágneses téből számazó eőhatások vektoiálisan összegződnek, ezt Loentz-eőnek nevezzük, ( E + v B) F = Q. (4.3) Áamvezetőe ható mágneses eő (i) Az I áamú áamvezetőe ható eő az előző pontban tágyalt Loentz-eőből számaztatható. Ha egy elemi dq töltése ható d F eőt vizsgálunk, akko, minthogy a töltésnek v sebességgel való mozgása soán a d l útszakaszon a töltés dq dt megváltozása, éppen I áamot epezentál, azaz dl dq d F = dq v B = dq B = dl B = Idl B, dt dt amely a B indukciójú mágneses tében az I áamú áamvezető eőt eedményezi (4.4. ába). d l szakaszáa ható 4.4. ába. Az áamvezetéke ható eő mágneses tében A teljes vezető hosszáa ható eő, az egyes elemi szakaszoka ható eőkomponensek vektoi összege, azaz integálja, F = I dl B. l Ha a vezető mentén a mágneses indukció étéke nem változik, az integálból egyszeű szozás lesz, F = I l B, (4.4)

117 06 4. STACIONÁRIUS MÁGNESES TÉR ahol l a vezeték hossza. Az előző pont eedményei alapján két végtelen hosszúnak tekinthető áamvezető között eőhatás lép fel. Vizsgáljuk meg ezt az eőt. (ii) Két áamvezető, ellentétes iányú áamokkal. A 4.5a ábán vázolt esetben a két áamvezető I, I áama ellentétes iányú. a) b) 4.5. ába. Két áamvezető között fellépő eő Az. vezető I áama H mágneses teet hoz léte az I áamú. vezető helyén. Ekko az I áamú. vezető l hosszúságú szakaszáa F = I l B eő hat, amely a vektoi szozatnak megfelelően a. vezetőt az. vezetőtől eltávolítani akaja. Hasonló módon a. vezető I áama H mágneses teet gejeszt az I áamú. vezető helyén. Ekko az. áamvezető l hosszúságú szakaszáa ható eő F = I l B, amely egymástó eltávolítani akaja a két áamvezetőt, azaz a páhuzamosan futó, ellenkező iányú áamokkal átját vezetők között taszítóeő lép fel. (iii) Két áamvezető, azonos iányú áamokkal. Ha azonban a 4.5b ábán látható két áamvezetőe ható eőt vizsgáljuk, akko az előzőekhez hasonlóan az. vezető I áama H mágneses teet gejeszt az I áamú. vezető helyén. Ekko azonban, minthogy a. vezetőben az áam iánya ellentétes az előző esethez képest, így a fellépő

118 4. STACIONÁRIUS MÁGNESES TÉR 07 F = I l B eő is az előző esetben fellépő eőhöz képest ellenkező iányú lesz. Ha azonban a. vezető I áama által az. vezető helyén létehozott H mágneses teet tekintjük, az ellentétes lesz az (ii) esetben kapott mágneses té iányával, minthogy a. vezetőben az I áam iánya megfodult, F = I l B. A második esetben, a páhuzamosan futó, azonos iányú áamokkal átját vezetők között fellépő eőhatás azokat egymáshoz közelíteni akaja, azaz vonzóeő lép fel. 4.. A mágneses té intenzitása és gejesztettsége 4... A mágneses fluxus A mágneses té intenzitásáa, nagyságáa vonatkozó tájékoztatást a felületen áthaladó indukcióvonalak száma, a felület fluxusa ad. A 4.6. ába a felületének fluxusa Φ = B da = B, [ Vs] a a n da. (4.5) 4.6. ába. Az a felület fluxusa Egyszeű esetben a fluxus a felületen átmenő indukcióvonalak nomális komponenseinek és a felületnek a szozata: Φ = B n a. A gyakolatban egy vezető huok által kifeszített felület fluxusának meghatáozása a feladat. A felület nomálisa iányát a huokban folyó áam iányával a jobbcsava szabály alkalmazásával hangoljuk össze. A fluxus az indukció vekto és a felület nomálisának iányától függően lehet pozitív, illetve negatív mennyiség. Egy több, N

119 08 4. STACIONÁRIUS MÁGNESES TÉR menetből álló tekecs fluxusát az egyes menetek összege adja: Φ k, k =,, L, N fluxusainak N Ψ = Φk, k= ha azonban az egyes menetek fluxusa azonos, akko Ψ = NΦ, ahol a Ψ mennyiséget a tekecs fluxusának szokás nevezni, Φ pedig a menetfluxus, azaz egy menet fluxusa. A mágneses té szemléltetése mágneses indukcióvonalakkal töténik, ahol a mágneses indukció nagysága aányos az egységnyi felületen átmenő eővonalak sűűségével, az indukcióvekto iánya pedig az indukcióvonalak éintője iányába mutat A mágneses indukció foásmentessége Az indukcióvonalaka vonatkozó tapasztalati tény, hogy zát felületen ugyanannyi indukcióvonal lép be, mint ki. Azaz zát felület fluxusa zéus. Ha tekintünk egy l göbével hatáolt a síklap felületet és meghatáozzuk az a felület fluxusát, akko egy, ugyancsak az l göbével hatáolt a, illetve a felületeken is ugyanannyi mágneses indukcióvonal lép át, mint az a felületen (4.7. ába), azaz Φ = B da = B da = B da. a a a 4.7. ába. A mágneses té foásmentességének ételmezése Vegyük figyelembe, hogy az a, a felületek egy zát felület két észét alkotják, ahonnan egy oldala endezve azt kapjuk, hogy zát felület fluxusa nulla, azaz a mágneses indukcióvonalak foásmentesek, egyszeű esetekben az indukcióvonalak zát göbét alkotnak:

120 4. STACIONÁRIUS MÁGNESES TÉR 09 B da = 0. (4.6) a A gejesztési tövény A mágneses té, illetve az azt epezentáló mágneses indukció vekto és a teet gejesztő áam közötti kapcsolat a kíséletek általánosításával kapható meg. Homogén anyagot feltételezve integáljuk a mágneses indukció vektot egy zát göbe mentén (4.8. ába). Az integál étéke tetszőleges göbe esetén egyenlő a göbe által köülfogott áameősségek algebai összegével. Az összegezés soán pozitív előjellel veendő figyelembe annak a vezetőnek az áameőssége, amely a göbe köüljáási iányával a jobbcsava szabály szeint van összehangolva, és negatív előjellel azok, amelyek ellenkező iányúak, B d l = µ J da = µ I l a k k. Az egyenletben szeeplő 4.8. ába. A gejesztési tövény ételmezése µ = µ 0µ (4.7) tényező az anyag pemeabilitása, ahol pemeabilitása µ =, továbbá µ a elatív pemeabilitás, a vákuum elatív Vs H µ, = π = Am. (4.8) m Homogén közeg esetén, illetve a geometiai té egyes pontjaiban vezessük be az indukcióvekto és a pontbeli pemeabilitás hányadosaként a mágneses téeősség vektot:

121 0 4. STACIONÁRIUS MÁGNESES TÉR B H =, [ H ] = A/m. (4.9) µ A mágneses téeősséggel a tapasztalati tövény, a gejesztési tövény a következő alakú lesz: H dl = J da = I l a k k, (4.0) ahol a a felületet az l göbe hatáolja, és a felület nomálisa az l göbe köüljáási iányához jobbcsava szabály szeint illeszkedik. A gejesztési tövény kiétékelése akko célszeű, ha a bal oldalon álló H mágneses téeősség vekto az l göbe éintője iányába mutat, ui. ekko a két vekto skaláis szozata helyett két skalá szozatát kapjuk. Ez akko következik be, ha az l göbe egy mágneses eővonal. Ez azt jelenti, hogy a gejesztési tövényt akko célszeű alkalmazni mágneses téeősség meghatáozásáa, ha ismet az elektomos té eővonal képe, mint azt a következőkben látni fogjuk A Biot Savat-tövény Ha a mágneses eővonalak szekezete nem ismet vagy nagyon bonyolult, a mágneses téeősség meghatáozható az áamvezető alakja és a benne folyó áameősség ismeetében is. Feltételezve, hogy az egész teet homogén közeg tölti ki, azaz a pemeabilitás állandó, akko a zát vezetőben folyó I áam által a geometiai té P pontjában létehozott H mágneses téeősség (4.9. ába) a tapasztalat szeint H I dl 4π l ( P) = 0 = 4.9. ába. A Biot Savat-tövény ételmezése I dl, (4.) 4π l 3

122 4. STACIONÁRIUS MÁGNESES TÉR ahol a d l ívelem és a P pont közötti távolság, 0 = az ívelemtől a P pont felé mutató egységvekto. A d l ívelem iányítása megegyezik a zát vezetőben folyó áam iányával. A fenti összefüggést Biot Savat-tövénynek nevezik. Habá az áam csak zát vezetőben folyik, az áamvezető szakaszaia is kiétékelhető a Biot Savat-tövény, így az áamvezető d l hosszúságú szakaszán folyó I áam I dl dh = 4 π 3 mágneses teet hoz léte. A teljes áamvezető által létehozott mágneses té ezen d l elemi szakaszok d H mágneses teeinek vektoi összege, integálja H = dh = dhk. l k lk A gejesztési tövény alkalmazása (i) Egyenes vezető mágneses tee. Hatáozzuk meg egy végtelen hosszúnak tekinthető egyenes vezető köül kialakuló mágneses téeősségnek a helyfüggését, ha a vezetőben I áam folyik. Az elendezés hengeszimmetiájából következik, hogy a mágneses eővonalak koncentikus köök (4.0. ába). Az áamvezetőtől azonos távolsága a mágneses téeősség azonos nagyságú, s iánya a mágneses eővonal éintője iányába mutat. A vezetőben folyó áam iánya és a mágneses eővonalak éintő vektoa a jobbcsava szabály szeint illeszkedik ába. Egyenes vezető mágneses eővonalai Alkalmazva a gejesztési tövényt egy mágneses eővonala, H dl = I l

123 4. STACIONÁRIUS MÁGNESES TÉR és figyelembe véve, hogy a mágneses eővonalhoz tatozó l d elemi ívhossz páhuzamos a mágneses téeősség vektoal, így a két vekto skaláis szozata két skalá szozatává alakul. Vegyük figyelembe továbbá azt a tényt, hogy az áamvezetőtől azonos távolsága a mágneses téeősség állandó, így az az integál elé kiemelhető, és a mágneses té helyfüggése előállítható: () π I H =, H () I =. (4.) π A mágneses téeősség helyfüggését a 4.. ábán ajzoltuk fel. 4.. ába. Egyenes vezető mágneses tee (ii) Koaxiális kábel mágneses tee. Hatáozzuk meg egy végtelen hosszúnak tekinthető koaxiális kábel áama által keltett mágneses té helyfüggését, ha a kábel belső vezetőjében I áam folyik, a külső vezetőben, a köpenyben szintén I nagyságú az ellenkező iányban folyó áam (4.. ába). A koaxiális kábel belső vezetőjének sugaa, a külső vezető, a köpeny belső sugaa, külső sugaa ába. A koaxiális kábel áama A mágneses té hengeszimmetikus, az eővonalak koncentikus köök. A mágneses téeősséget a gejesztési tövény alapján hatáozhatjuk meg, úgy, hogy a mágneses téeősséget egy eővonal mentén integáljuk. A két vezető közötti téészen kiétékelve a gejesztési tövényt, az eővonalak I áamot vesznek köül, ahonnan

124 4. STACIONÁRIUS MÁGNESES TÉR 3 () () π π I H I H,, = = < <, a mágneses téeősség a távolsággal fodított aányban változik. A belső vezetőben egy sugaú eővonal, egyenletes áameloszlást feltételezve π π I I = áamot vesz köül, ahonnan a mágneses téeősség a sugaú hengees vezető belsejében a sugáal lineáisan nő, () () I H I H,, π π π π = = <. A hengees vezető felületén a mágneses téeősség ugás nélkül kezd el csökkenni, n H folytonos (4.3. ába). A külső vezetőben, a köpenyben valamely sugaú eővonal által közefogott áamot megkapjuk, ha a belső vezetőben folyó áamból kivonjuk a külső vezetőben visszafolyt áam étékét, azaz ( ) ( ) I I I I = = π π, ahonnan a mágneses téeősség a sugá ecipok étékénél gyosabban csökken, () ( ) () ( ) = = < < I H I H ,, π π ába. A koaxiális kábel mágneses tee

125 4 4. STACIONÁRIUS MÁGNESES TÉR Végül, minthogy a koaxiális kábel külső vezetőjén kívül nem folyik áam, a mágneses téeősség étéke nulla lesz. A mágneses téeősség helyfüggését a 4.3. ábán ajzoltuk fel Az ön- és a kölcsönös induktivitás Vezető huok önindukciós együtthatója Valamely magában álló zát vezetőben folyó áam az áamvezető által kifeszített huokban az áameősséggel aányos fluxust hoz léte, ahol az aányossági tényezőt a vezető huok önindukciós együtthatójának nevezzük (4.4. ába), Vs L = Φ, [ L] = = H = heny. (4.3) I A 4.4. ába. Az önindukciós együttható ételmezése Az L önindukciós együttható függ az áamhuok alakjától és a pemeabilitástól, de nem függ sem az áamtól, sem a fluxustól. Az önindukciós együtthatót úgy hatáozhatjuk meg, hogy a vezetőben felveszünk valamilyen I áamot, meghatáozzuk az áam által létehozott mágneses téeősséget, majd az áamvezető huok fluxusát, és végül azt a gejesztő áammal osztva megkapjuk a vezető önindukciós együtthatóját. Meg kell azonban jegyezni, hogy ekko csak az áamvezetőn kívüli fluxust vesszük figyelembe, ami azt jelenti, hogy ezzel a külső önindukciós együtthatót hatáozzuk meg Illusztációs példa Hatáozzuk meg az 0 sugaú vezetékpá l hosszúságú szakaszának külső önindukciós együtthatóját (4.5. ába), ha a vezeték 0 sugaa jóval kisebb a vezetékek tengelyeinek d távolságánál, 0 << d, és a közeg levegő.

126 4. STACIONÁRIUS MÁGNESES TÉR 5 Hatáozzuk meg az egyes vezetők által a két vezető közötti l hosszúságú téészen létehozott fluxust. A bal oldali vezető által keltett fluxus d 0 d 0 I µ I l d Φ = d l d ln 0 B a = µ = 0 π π 0 0, a jobb oldali vezető fluxusa, miután az elendezés szimmetikus, megegyezik az előző étékkel, Φ = Φ. A vezető huok fluxusa a két fluxus összege: µ I l d Φ = Φ + Φ = Φ = ln 0, π 0 ahonnan a vezetékpá külső önindukciós együtthatója, ha << 0 d Φ µ l d ln 0 µ l d L ön = = ln. I π 0 π ába. Vezetékpá fluxusa Vezetők kölcsönös indukciós együtthatója Tekintsünk két áamvezető hukot (4.6. ába), ahol az egyik áamvezetőben I áam folyik, a másik áamvezető áama azonban nulla, I = 0. Ekko az I áam által létehozott mágneses té eővonalaiból valamennyi átmegy az I = 0 áamú vezető keesztmetszetén, ahol

127 6 4. STACIONÁRIUS MÁGNESES TÉR Φ = B da (4.4) a fluxust hoz léte. Ez a fluxus aányos lesz az I áammal, és az aányossági tényező a kölcsönös indukciós együttható: Φ L = I 0 I =. (4.5) 4.6. ába. A kölcsönös indukciós együttható ételmezése A kölcsönös indukciós együtthatót a két vezető huok kölcsönös helyzete és az anyag mágneses pemeabiltása hatáozza meg, nem függ sem a vezetők áamától, sem a fluxustól. A kölcsönös indukciós együtthatónak előjelet is tulajdonítunk, a következők szeint. Mindkét huokban önkényesen vesszük fel az áamiányt, mindkét áamiányhoz a jobbcsava szabály szeint endeljük a felületi nomális iányát. Ha ekko az egyes vezető I áama a másik vezetőhöz tatozó huokban pozitív fluxust hoz léte, akko a kölcsönös indukciós együttható pozitív, ellenkező esetben negatív. Meg kell azonban jegyezni, hogy homogén, lineáis anyag esetén az egyik és a másik vezető szeepe felcseélhető, Φ L = I 0 I =, és a kétféle módon számított kölcsönös indukciós együtthatók azonosak, L = L. A fentiekből következik, hogy az önindukciós együttható mindig pozitív, míg a kölcsönös indukciós együttható pozitív, illetve negatív étékű is lehet.

128 4. STACIONÁRIUS MÁGNESES TÉR 7 Ha azonban mindkét áamvezetőben folyik áam, akko az egyes áamvezetők által képzett huokban a fluxusok a szupepozíció elvnek megfelelően algebailag összegeződnek: Φ = Φ + Φ, Φ = Φ + Φ. Az ön- és a kölcsönös indukciós együtthatókkal az egyes vezető hukok fluxusai kiszámíthatók: Φ = L I + LI, Φ = L I + LI. (4.6) Illusztációs példa Hatáozzuk meg a 4.7. ábán látható egyenes vezető és a vezető huok kölcsönös indukciós együtthatóját ába. Egyenes vezető és a vezető huok helyzete Minthogy az I áamú vezető által létehozott mágneses téeősség és az indukció I I H, B µ = =, π π a keet fluxusa a B indukciónak a keet felületée vett integálja, Φ = B da. a Vegyük azonban figyelembe, hogy a felületi nomális és az indukcióvonalak közötti szög a felület mentén az I áamú vezetőtől távolodva változik. Ha azonban a két vekto skaláis szozatának megfelelően a felületet megszoozzuk ezen változó szög koszinuszával, akko fomálisan a felületet befodítjuk az indukcióvonalak iányába.

129 8 4. STACIONÁRIUS MÁGNESES TÉR Ezzel az egyenes vezetőtől a keet közelebbi és távolabbi oldalaihoz tatozó indukcióvonalak között minden indukcióvonalat figyelembe veszünk, azaz éppen a keet fluxusát kapjuk I µ Il Φ ln = B da = µ ld =, π π = a + h, = ( a + b) + h, ahonnan a kölcsönös indukciós együttható µ l L = ln. π 4.4. Mágneses té és anyag kölcsönhatása A mágnesezettség vektoa és a pemeabilitás (i) Mikoszkopikus modell. Az anyagok mágneses tulajdonságait az atomszekezete lehet visszavezetni, ugyanis az atommag és a köülötte keingő elekton saját tengelye köüli fogó mozgásából számazó mágneses tulajdonságát spinnek nevezik. Az atommag köül keingő elekton azonban má egy köáammal, mágneses dipólussal modellezhető, amely mágneses dipólusnyomatékát az elemi köáam I áameőssége és a köáam d a felülete hatáozza meg (4.8. ába), m = I da ába. A mágneses momentum ételmezése (ii) Makoszkopikus modell. Ménöki szempontból nem az egyes dipólusok, hanem azok sokaságának a modellezésée van szükség. Tekintsünk egy dv téfogatot, amelyben N daab mágneses dipólus helyezkedik el (4.9. ába).

130 4. STACIONÁRIUS MÁGNESES TÉR ába. A mágnesezettség ételmezése Mindegyik mágneses dipólus endelkezik egy m i, i =,, L, N mágneses dipólusnyomatékkal. Az anyag statisztikai jellemzőinek meghatáozása soán az egyes dipólusnyomatékokat közel azonosnak tekintjük, m i m j. A dipólusok között fellépő kölcsönhatást egy α kölcsönhatási tényezővel és a többi dipólus által keltett H mágneses téeősséggel modellezzük, m i α i H αh. Valamely anyag mágnesezettségét az egységnyi téfogatban elhelyezkedő dipólusmomentumok sűűsége hatáozza meg, N m i M = lim i= dv 0 dv N m = dv N dv α H = nmαh = κh, ahol az egységnyi téfogatban elhelyezkedő dipólusok száma n m = N dv a dipólus sűűséget jelenti, és κ = α nm a mágneses szuszceptabilitás. Végül a mágneses dipólusmomentum sűűség adja az anyaga jellemző M mágnesezettség étékét, M = κh. (4.7) Sok esetben a µ M 0 mágneses polaizációt alkalmazzák az anyag mágneses tulajdonságainak jellemzésée. (iii) A mágneses pemeabilitás. Tekintsünk egy mágneses tulajdonsággal endelkező anyagot, amelyet H mágneses tébe helyezünk. Ha az anyag nem mutat mágneses tulajdonságokat, akko az indukcióvekto étéke B = µ 0 H, ha azonban az anyag mágneses polaizációt mutat, akko a szupepozíció elve alapján megnő a mágneses indukció étéke: ( H + M ) = µ H( + κ ) = µ µ H µ H B = µ =, (4.8)

131 0 4. STACIONÁRIUS MÁGNESES TÉR ahol az +κ = µ a elatív mágneses pemeabilitás Mágneses anyagok típusai A mágneses anyagok a µ = B µ 0H elatív mágneses pemeabilitásuk alapján alapvetően háom csopotba soolhatók. (i) A diamágneses anyagok két szabad vegyétékkel endelkeznek. Mint má koábban tágyaltuk, az anyagok atomjaiban lévő szabad elektonok mágneses dipólusként viselkednek és mágneses dipólusmomentummal endelkeznek. A Pauli-elv ételmében azonban egy enegianívón legfeljebb két elekton tatózkodhat, amelyek mágneses momentuma ellenkező beállású (4.0. ába) ába. Diamágneses anyag mágneses momentumai Külső mágneses té hiányában a két szabad elekton mágneses momentuma kompenzálja egymást. Külső mágneses tébe helyezve azonban a mágneses momentumok a keletkezett fogatónyomaték hatásáa az alkalmazott külső téel páhuzamos iányba állnak be, de úgy, hogy a téel ellentétes iányú mágneses momentum megnő a téel azonos iányú momentum ovásáa, így a diamágneses anyag az alkalmazott külső mágneses téel ellentétes iányú mágnesezettséget mutat. Ekko a κ szuszceptibilitás étéke nagyon kis negatív szám, κ 0 5 nagyságendű (4.. ába). Ebből következik, hogy a diamágneses anyagok elatív mágneses pemeabilitása egynél kisebb, µ = + κ <. 4.. ába. Diamágneses anyag szuszceptibilitása (ii) A paamágneses anyagok egy szabad vegyétékűek, ezek mágneses momentumai külső mágneses té hiányában endezetlenül helyezkednek el, így

132 4. STACIONÁRIUS MÁGNESES TÉR kompenzálják egymást, azaz kifelé nem mutatnak mágneses tulajdonságot. Külső mágneses tébe helyezve azonban a fogatónyomaték hatásáa endeződnek, és eedőjük a külső mágneses té iányába mutat (4.. ába). A diamágneses anyagok mágneses szuszceptibilitása nagyon kis étékű pozitív szám, κ 0 5, így a elatív mágneses pemeabilitás egynél nagyobb, µ = + κ > (4.3. ába). 4.. ába. Paamágneses anyag mágneses momentumai 4.3. ába. Paamágneses anyag szuszceptibilitása (iii) Feomágneses anyagokban az elemi téfogatban lévő mágneses dipólusok közötti kölcsönhatás olyan eős, hogy külső mágneses té nélkül is endeződnek a mágneses dipólusnyomatékok. Ezeket az elemi téfogatokat, ahol a mágneses dipólusok egyiányú mágnesezettséget mutatnak, mágneses doméneknek nevezzük. Ezét a feomágneses anyagok mágneses szuszceptibilitása nagyon nagy pozitív éték, κ >>. Ha az anyag még nem volt kitéve mágneses té hatásának, akko a domének kifelé nem mutatnak mágnesezettséget. Külső mágneses tébe helyezve azonban a doméneknek a mágneses té iányába való fodulása nem egyenletes, ezét a mágnes indukció és a mágneses té közötti B = µ 0 µ H = µ 0( H + M ) kapcsolat nemlineáis, hiszteézis kaakteisztikát eedményez (4.4. ába). Ha egy anyagot előszö teszünk ki mágneses té hatásának, akko az úgynevezett első mágnesezési göbe mentén töténik az anyag felmágnesezése, amelynek négy szakaszát különböztetjük meg. Az indulási A pontban, minthogy a külső gejesztés nulla, a mágneses téeősség és a mágneses indukció is nulla (4.5. ába). A külső mágneses té növelésével a B szakasza jutunk, ahol a mágnesezési folyamat még evezibilisnek tekinthető, minthogy a domének mágnesezettsége befodul a té iányába, illetve visszafodul az ellenkező iányú gejesztés hatásáa, azaz a gejesztés

133 4. STACIONÁRIUS MÁGNESES TÉR és ezzel a mágneses té étékét növelve és csökkentve a mágneses indukció visszaté kiindulási étékée ába. Feomágneses anyag doménjei az első mágnesezés soán 4.5. ába. Feomágneses anyag hiszteézise és nevezetes pontjai Tovább növelve a mágneses té étékét a C szakaszon má ievezibilis lesz a folyamat, ui. a mágneses domének nemcsak befodulnak a té iányába, hanem át is endeződnek, azaz megnő azoknak a doméneknek a téfogata, amelyek mágnesezettsége a té iányába mutat, és lecsökken az ellenkező iányúaké. Végül a mágneses té étékét tovább növelve a D telítési tatományba jutunk, ahol a domének átendeződése soán minden domén a té iányába fodul, a mágneses té étékét tovább növelve a mágnesezettség étéke nem növekedik. A mágneses indukció ezen telítési étékét szatuációs étéknek is szokás nevezni. Ezután csökkentve a mágneses té étékét nulláa, a mágneses indukció a domének átendezéséhez felhasznált enegiaveszteség

134 4. STACIONÁRIUS MÁGNESES TÉR 3 miatt az első mágnesezési göbe felett té vissza a B, emanens mágneses indukció étékéig. Ellenkező iányú mágneses té, a Hc, koecitív mágneses téeősség alkalmazásával kapunk nulla mágneses indukció étéket. Tovább növelve az ellentétes iányú mágneses gejesztést az előző maximum negatív étékéig, ugyancsak telítési étékhez jutunk. Megfodítva a gejesztés iányát, a B emanens és a H c pontokon áthaladva egy zát göbét, a hiszteézis kaakteisztikát kapjuk. A hiszteézis kaakteisztika a feomágneses anyagoka kététékű göbe, egy felmágnesezési szakaszból és egy lemágnesezési szakaszból áll. Ekko a klasszikus ételemben vett pemeabiltás elveszti ételmezését. A hiszteézis kaakteisztika szélessége, illetve a göbe alatti teülete jellemzi azt az enegiát, amit az anyag mágnesezésée, a domének nem evezibilis átendezésée kell fodítani. Azokat az anyagokat, amelyek hiszteézis kaakteisztikája keskeny, a ± Hc koecitív téeősség kicsi, lágy mágneses anyagoknak nevezzük, míg a széles hiszteézis kaakteisztikával, nagy ± Hc koecitív téeősséggel endelkező anyagokat kemény mágneses anyagoknak nevezzük A mágneses té folytonossági feltételei két közeg hatáán Két különböző, µ és µ mágneses pemeabilitású, homogén és izotop közeg közös hatáfelületén lévő közös pontban az egyes közegekben fellépő B, B indukcióvektook és a H, H mágneses mágneses téeősség vektook nem lesznek egyenlők. (i) A B mágneses indukcióvekto közeghatáon való viselkedésének vizsgálatához tekintsük a 4.6. ábán látható, két különböző µ, µ mágneses pemeabiltású közeg hatáfelületét ába. A mágneses indukcióvekto folytonossága Bontsuk fel az. közegből kilépő B, és a. közegbe belépő B mágneses indukció vektookat, a két közeget elválasztó felülettel páhuzamos B τ és az aa meőleges B n komponenseke. A két közeg hatáfelületén vegyünk fel egy olyan

135 4 4. STACIONÁRIUS MÁGNESES TÉR hengefelületet, amelynek az m 0 magassága minden hatáon túl tat a nullához, azaz a hengefelület alap- és fedőlapja két oldalól ásimul a két közeget elválasztó felülete. Étékeljük ki a mágneses té foásmentességée vonatkozó B da = 0 a összefüggést a hengefelülete, ahol a = a, B na + Bna + Bna palást = 0, és vegyük figyelembe, hogy a henge magassága nulla, m 0. A fenti összefüggés a mágneses indukció nomális komponensének folytonosságához vezet, B n = Bn. (4.9) A B = µ H összefüggés felhasználásával a két közeg hatáán a mágneses téeősség vektook nomális komponenseinek aánya a pemeabiltások ecipok étékével aányos H µ µ H = µ, n n H n =. Hn µ A fentiekből következik, hogy ha az egyik anyag feomágneses, azaz µ >> µ, akko az. téész hatáfelületén a mágneses téeősség nomális komponense nagyon kicsi, H n << Hn. (ii) A H mágneses téeősség viselkedése közeghatáon. Bontsuk fel a 4.7. ábán látható. közeg H, és a. közeg H mágneses téeősség vektoait, a két közeget elválasztó felülete meőleges H n és éintő iányú H τ komponenseke. Vegyünk fel egy zát göbét (téglalapot), amely magassága minden hatáon túl csökken, d 0, azaz a zát göbe a hatáfelület mindkét oldalán ásimul a hatáfelülete. Étékeljük ki a H dl = I = J da l a gejesztési tövényt,

136 4. STACIONÁRIUS MÁGNESES TÉR 5 H τ l + Hτ l + Hτ d = I n, ahonnan azt kapjuk, hogy a két közeg hatáán a mágneses téeősség tangenciális komponenseinek különbsége éppen a két közeg hatáfelületén a felvett zát göbe felületén átmenő felületi áamsűűséggel ugik, H τ Hτ = In l = K n ába. A mágneses téeősség vekto folytonossága Ha a hatáfelületen a felületi áamsűűség nulla, K n = 0, akko a mágneses téeősség tangenciális komponensei folytonosan mennek át a két közeg hatáfelületén, H τ = Hτ. (4.0) Figyelembe véve a B = µ H összefüggést, a mágneses indukció vektook tangenciális komponenseinek aánya a két közeg pemeabilitásainak aányában változik, B τ µ =. Bτ µ (iii) Töéstövények. Két mágneses közeg hatáán a téjellemzők folytonossági feltételeiből a téjellemzőke vonatkozó töéstövények egyszeűen előállíthatók. Tekintsük a 4.8. ábán látható két, µ, µ pemeabilitású mágneses közeget, és a téeősség vektooknak a felületi nomálistól való elhajlási α, α töési szögeit. A töési szögek tangenseinek hányadosa a mágneses téeősség vektookkal felíható. Figyelembe véve a mágneses téeősségek tangenciális komponenseinek folytonosságát, ha feltételezzük, hogy a két közeg hatáán a felületi áamsűűség nulla, K n = 0, és a nomális komponensek ugásszeű változásáa vonatkozó összefüggést, a töési szögek tangensei a mágneses anyag pemeailitásainak ismeetében megadhatók,

137 6 4. STACIONÁRIUS MÁGNESES TÉR tg tg µ µ µ µ α α τ τ = = = = n n n n n n B B H H H H H H ába. A mágneses téeősség töéstövénye Hasonló eedménye jutunk, ha a mágneses indukció vektooka vonatkozó töési tövényt fejezzük ki a pemeabilitásokkal (4.9. ába), 4.9. ába. A mágneses indukció töéstövénye tg tg µ µ µ µ α α τ τ τ τ = = = H H B B B B n n. A kapott eedmények alapján két közeg hatáán a mágneses té belépő és kilépő komponenseie a felületi nomálistól való elhajlás métékét a mágneses anyag étegeinek pemeabilitása hatáozza meg, tg tg µ µ α α =. (4.)

138 4. STACIONÁRIUS MÁGNESES TÉR 7 A töési tövény alapján vizsgáljuk meg a mágneses té viselkedését feomágneses és nem feomágneses közeg hatáfelületén. Legyen az. közeg feomágneses µ >> µ, ekko tgα >> tgα. Ez teljesül, ha α o = 90, és α = 0. Ez azt jelenti, hogy a feomágneses anyagban a mágneses eővonalak a felülettel páhuzamosak, és a mágneses közegből a hatáfelületen közel meőlegesen lépnek ki. (iv) Következmények. Tekintsünk egy egyenes tekecset, amelyben egy feomágneses magot helyezünk el a tekecs hosszának egy észében, a többi észen levegő helyezkedik el (4.30. ába) ába. Egyenes tekecs keesztiányú étegezéssel Minthogy a két közeg hatáfelülete keesztezi a mágneses eővonalakat, keesztiányú étegezésől beszélünk. A mágneses indukcióvonalak nomális komponensei folytonosan mennek át a hatáfelületen (4.3. ába), B n = Bn, 4.3. ába. Keesztiányban étegezett egyenes tekecs mágneses indukció- és téeősségvonalai a mágneses téeősség nomális komponenseie vonatkozó tövényszeűségnek megfelelően, H vnµ 0 µ v = H0nµ 0,

139 8 4. STACIONÁRIUS MÁGNESES TÉR minthogy a feomágneses közeg mágneses pemeabilitása jóval nagyobb, mint a levegőé, µ 0 µ v >> µ 0, a feomágneses közegben a mágneses téeősség kevesebb eővonallal epezentálható (4.3. ába), Hvn << H0n. Tekintsük most azt az esetet, amiko az egyenes tekecsben a keesztmetszet egy észét mágneses anyag, a másik észét levegő tölti ki (4.3. ába) ába. Egyenes tekecs hossziányú étegezéssel Minthogy a két éteg elválasztó felülete a mágneses eővonalakkal páhuzamos, az elendezést hossziányú étegezésnek nevezzük. A mágneses téeősség tangenciális komponense folytonos (4.33. ába), H v τ = H0τ, ugyanakkoa mágneses téeősség esetén a feomágneses közegben nagyobb lesz a mágneses indukció, µ 0 µ v >> µ 0, több lesz az indukcióvonalak száma, mint a levegővel kitöltött téészen, B v τ >> B0τ ába. Hossziányban étegezett egyenes tekecs mágneses indukció- és téeősségvonalai

140 4. STACIONÁRIUS MÁGNESES TÉR Mágneses köök számítása Azokat az elendezéseket, ahol az anyagból nem lépnek ki a mágneses eővonalak, azaz a mágneses eővonalak az elendezésen belül záódnak, mágneses kööknek nevezzük. A mágneses kööknél az egyes mágneses lemezdaabok egymáshoz való illesztése soán keletkezett kisméetű levegővel kitöltött ést légésnek tekintjük. A mágneses köök számítása a következő összefüggések alapján töténik. (i) A zát felület fluxusa zéus összefüggés azt jelenti, hogy a zát felületbe belépő és kilépő fluxusok egyenlők, B da = 0, azaz Φ k = 0. (4.) a k Ha a fluxus állandó keesztmetszetű, homogén feomágneses közegben lép fel, akko a mágneses indukció étékét a keesztmetszet mentén állandónak tekintjük, és a közepes indukció étékével epezentáljuk, Φ = B da = Bn a, azaz Φ k = B k ak. (4.3) a Vizsgáljuk meg két különböző keesztmetszetű feomágneses anyag csatlakozási helyét (4.34a ába). a) b) ába. A fluxusok alakulása keesztmetszet változás és elágazás esetén Felíva a ki- és a belépő fluxusok egyenlőségét a szaggatott vonallal jelölt felülete, Φ + Φ = 0, és minthogy az a, illetve az a keesztmetszetekben a mágneses indukciót állandónak tekintjük, a mágneses indukcióka a következő összefüggés íható fel:

141 30 4. STACIONÁRIUS MÁGNESES TÉR B a = B a. Ha azonban feomágneses anyagból álló elágazást vizsgálunk (4.34b ába), akko a felvett indukciók iánya esetén a belépő és kilépő fluxusok egyenlőségéből, Φ + Φ + Φ3 = 0, és az indukcióknak a keesztmetszet mentén való egyenletes eloszlását tekintve a következő tövényszeűséghez jutunk: B a = B a + B3 a3. A légésben kialakuló té vizsgálatához tekintsük a ábát. a) b) ába. A szóás elhanyagolásako a légés fluxusa megegyezik a vaséval Az indukcióvonalak a feomágneses anyag felületée meőlegesen lépnek a légésbe, és onnan a feomágneses anyagba. Ha a szóástól eltekintünk (4.35b ába), a fluxus a légésben és a feomágneses anyagban egyfoma, Φ 0 = Φ v. Ha a légés hossza a keesztmetszet méeteihez képest kicsi, akko úgy tekinthetjük, hogy a légés a 0 keesztmetszete azonos a feomágneses anyag a v keesztmetszetével, a 0 = av, azaz a szóástól eltekintünk. Ekko B 0 a0 = Bv av, B0 = Bv. (ii) A gejesztési tövény alkalmazása esetén a mágneses téeősségnek egy zát göbée vett integálja a göbe által hatáolt felületen áthaladó áamot adja, H dl = I = Θ l k k,

142 4. STACIONÁRIUS MÁGNESES TÉR 3 ahol Θ a mágneses kö gejesztése. Minthogy a mágneses köök egyes szakaszain a H mágneses téeősséget a közepes étéknek megfelelő állandónak tekintjük, a gejesztési tövényt a következő alakban íhatjuk fel: Hk lk = Θ = NI. (4.4) k Alkalmazva a fenti összefüggést előszö a ábán látható egyablakos mágneses köe, ahol a mágneses könek négy vasmag és egy légés szakasza van ába. A gejesztési tövény egyablakos vasmaga Az egyes szakaszok közepes eővonal hossza legyen l, l, l3, l4, δ, az eővonalszakaszokon a mágneses téeősség közepes étékét tekintve az óamutató jáásával megegyező köüljáási iány mellett a gejesztési tövény a következő alakú lesz: H l + H l + H3 l3 + H4 l4 + H0 δ = N I. Íjuk fel ezután a gejesztési tövényt a ábán látható kétablakos vasmaga is ába. A gejesztési tövény kétablakos vasmaga Minthogy két gejesztési tövény tatozik a endszehez, íjuk fel az egyiket az előző feladathoz hasonlóan az - eővonala, a másikat a -3 eővonala, és a köüljáási

143 3 4. STACIONÁRIUS MÁGNESES TÉR iányt válasszuk az óamutató jáásával megegyezően. Vegyük figyelembe, hogy a -3 eővonalakhoz tatozó huokban a H mágneses téeősség iánya ellentétes a köüljáás iányával, ezét negatív előjellel szeepel az egyenletben, H l + H l = N I, H l + H3 l3 = 0. (iii) A mágneses köök számításához szükséges hamadik összefüggés a B = µh (4.5) kapcsolat. Ez egy nemlineáis kapcsolatot jelent a hiszteézis kaakteisztika alapján. Ha azonban a mágnesezési kaakteisztika nagyon keskeny, azaz lágy mágneses anyagot vizsgálunk, akko az első mágnesezési göbével szokás közelíteni a hiszteézis kaakteisztikát. Sok esetben azonban a mágnesezési folyamat soán az anyag nem jut el a telítési étékig, hanem csak a lineáis szakaszon mozog, ekko az egyétékű kaakteisztikához húzott éintő egyenessel modellezzük a mágneses anyag elatív pemeabilitását (4.38. ába) ába. A mágneses kaakteisztika éintője (iv) Illusztációs példa. Tekintsük a ábán látható tooid alakú, légéssel endelkező mágneses köt, amelyen N menetszámú tekecs helyezkedik el. Hatáozzuk meg a tekecsben folyó I áam hatásáa a vasban fellépő B v indukció étékét, ha a vas µ elatív pemeabilitása állandó ába. Tooid alakú vasmag légéssel

144 4. STACIONÁRIUS MÁGNESES TÉR 33 A gejesztési tövényt alkalmazva és közepes eővonalhosszal számolva H v l k + H0 δ = N I. A szóástól eltekintve a vas = a0, a légés fluxusa megegyezik a vas fluxusával Φ vas =Φ 0, ahonnan B v = B0. A fenti összefüggéseket figyelembe véve és a gejesztési tövénybe behelyettesítve a vas mágneses indukciója és végül az N menetű tekecs indukciós együtthatója meghatáozható: Bv B l 0 k + δ = NI, µ 0µ µ 0 Bv = N I µ 0µ, lk + µ δ NΦ L = vas I N µ 0µ a =. lk + µ δ A mágneses ellenállás és a mágneses Ohm-tövény Tekintsünk egy olyan vasmagos elendezést, amelyben a mágneses pemeabilitás téészenként állandónak tekinthető. A vasmag egyes szakaszain, a fluxuscsatonákban az indukcióvonalak száma nem változik. Tekintsük a mágneses indukció eloszlását a keesztmetszet mentén egyenletesnek, Bk = Φk ak. Alkalmazzuk a gejesztési tövényt, és a jobb oldalán álló [ U ] A U mág = N I, m = (4.6) mennyiséget tekintsük a mágneses feszültségnek, Umág = N I = Hklk k B = k Φ l = k k lk k µ k k ak µ k l = Φ k k k ak µ k [ R ] = H, mág = Φk Rk, mág, k

145 34 4. STACIONÁRIUS MÁGNESES TÉR ezzel a mágneses feszültség és a fluxus kapcsolatát, a mágneses Ohm-tövényt kapjuk, U k, mág = Φk Rk, mág, (4.7) ahol a mágneses ellenállás l R k k, mág =. (4.8) akµ k (i) Illusztációs példa. Tekintsük a ábán látható mágneses köt ába. Mágneses kö modellezése mágneses ellenállással Hatáozzuk meg a mágneses indukció étékét a légésben. Ha a mágneses Ohm-tövényt alkalmazzuk, akko a vas és a légés szakaszokhoz egy-egy mágneses ellenállás endelhető, l δ R k mv =, R0 =. a mµ 0 µ v a mµ 0 Minthogy a vasmag és a légés fluxusa azonos, a két mágneses ellenállás soba kapcsolódik. A vasmag U mág = N I gejesztés ismeetében a fluxus és a légés indukció meghatáozható, Umág Φ Φ =, B0 =. Rmv + R0 a m 4.6. Ellenőző kédések Ismetesse a mágneses indukció fogalmát. Foglalja össze a mágneses tében fellépő eőhatásoka vonatkozó összefüggéseket.

146 4. STACIONÁRIUS MÁGNESES TÉR 35 Adja meg a mágneses té intenzitását és gejesztettségét meghatáozó összefüggéseket. Adja meg az ön- és a kölcsönös indukciós együttható fogalmát, szemléltesse ábán a fogalmakat. Ismetesse a mágnesezettség fogalmát és mutassa be a mágneses anyagok típusait. Ismetesse a mágneses téjellemzőke vonatkozó folytonossági feltételeket. Ismetesse a mágneses köök számítási elveit Gyakoló feladatok Feladat Hatáozza meg egy I = A áamú egyenes vezetőtől = 3 m távolságban a H mágneses téeősség étékét. A gejesztési tövény alapján H I = = = 0,6366 A/m π π Feladat Hatáozza meg, mekkoa az I áama annak az egyenes áamvezetőnek, amelytől =, m távolságban a H mágneses téeősség étéke 5 A/m. A gejesztési tövény alapján I H =, ahonnan I = H π = 5,π = 37,699A. π Feladat Két egymással páhuzamos egyenes vezető távolsága d = 60 cm. A vezetőkben azonos iányú és nagyságú I áam folyik. Hatáozza meg a két vezetőt összekötő egyenes felezőpontjában a H mágneses téeősség étékét és iányát (4.4. ába). Feltételezve, hogy az áamok a papí síkjáa meőlegesen befelé mutatnak, a bal oldali vezető keltette mágneses té a jobbkéz-szabály szeint vezető köé íható d / sugaú

147 36 4. STACIONÁRIUS MÁGNESES TÉR I kö éintője a megadott pontban, nagysága a gejesztési tövény szeint H b =. A π d jobb oldali vezető ugyanekkoa, de ellenkező iányú mágneses teet kelt H j = Hb, a jobbkéz-szabályt alkalmazva. A két vezetőt összekötő egyenes felezőpontjában a H mágneses téeősség étéke tehát nulla, H = H b H j = 0 A/m ába. A két áamvezető helyzete Feladat Két egymással páhuzamos egyenes vezető távolsága d = 60 cm. A vezetőkben ellentétes iányú, I = A nagyságú áam folyik. Hatáozza meg a két vezető síkjában a jobb oldali vezetőtől jobba d / távolságban a H mágneses téeősség étékét és iányát (4.4. ába) ába. A két áamvezető és a pont helyzete Az előző feladathoz hasonlóan, ha a bal oldali vezetőben a papí síkjáa meőlegesen befelé folyik az áam, akko a pontban a mágneses té felfelé mutató iányú, nagysága I Hb =, míg a jobb oldali vezető által keltett mágneses té felfelé mutató, π 3 d I nagysága H j = π d. A mágneses téeősség vektomennyiség, ezét vektoiálisan összegeződik, azaz a megadott pontban a mágneses téeősség nagysága

148 4. STACIONÁRIUS MÁGNESES TÉR 37 I H = H j Hb = = = 0,7074 A/m, iánya pedig a nagyobb πd / 3 π 0,6/ 3 téeősség iányába, felfelé mutat Feladat Két egymással páhuzamos egyenes vezető távolsága d = 60 cm. A vezetőkben azonos iányú, I = A nagyságú áam folyik. Hatáozza meg a két vezető síkjában a bal oldali vezetőtől jobba d / 4 távolságban a H mágneses téeősség étékét és iányát (4.43. ába) ába. A két vezető és a pont helyzete Az előzőek alapján I I H = Hb H j = = = =,447 A/m, π d / 4 3d / 4 πd / 4 3 π 0,6/ 4 3 iánya lefelé mutat Feladat Két egymással páhuzamos egyenes vezető távolsága d = 60 cm. A vezetőkben ellentétes iányú, I = A nagyságú áam folyik. Hatáozza meg a két vezető síkjában a bal oldali vezetőtől bala d / 4 távolságban a H mágneses téeősség étékét és iányát (4.44. ába) ába. A két vezető és a pont helyzete

149 38 4. STACIONÁRIUS MÁGNESES TÉR Az előzőek alapján I H = Hb H j = π d és iánya lefelé mutat. / 4 5d / 4 I = πd / 4 = 5 4 =,6977 A/m, π 0,6 / Feladat Két egymással páhuzamos egyenes vezető távolsága d = 5 cm. A vezetőkben azonos iányban folynak az áamok. A bal oldali vezetőben I = A nagyságú áam folyik, a jobb oldali vezetőben az áam étéke I. Hatáozza meg a két vezető síkjában a jobb oldali vezetőtől jobba, d / 3 távolságban a H mágneses téeősség étékét és iányát (4.45. ába) ába. A két áamvezető és a pont helyzete I A bal oldali áamvezető mágneses tee H b =, a jobb oldali áamvezető π 4d 3 I mágneses tee H j =. Az eedő mágneses té felfelé mutat és nagysága π d 3 I 7 H = H j Hb = = = 3,37 A/m. π d 3 4 π 0, Feladat A ábán látható elendezésben a háom áamvezető egy síkban helyezkedik el. Hatáozza meg a jobb oldali vezetőtől bala, d / távolságban lévő pontban a H mágneses téeősség étékét és iányát, ha d = 4 cm és I = 3, A.

150 4. STACIONÁRIUS MÁGNESES TÉR ába. Az áamvezetők és a pont helyzete A bal oldali áamvezető mágneses tee a jobbkéz-szabály szeint pontban lefelé mutat, I H b = πd, a jobb oldali áamvezető mágneses tee a pontban szintén lefelé mutat, I I H j =, míg a középső áamvezető mágneses tee felfelé mutat, H k =. Így π d πd I 3, az eedő mágneses té H = Hk Hb H j = = =,060 A/m. πd 4 π 0, Feladat Két egymással páhuzamos egyenes vezető távolsága d, d = 60 cm. A vezetőkben azonos iányú, I = A nagyságú áam folyik. Hatáozza meg a jobb oldali vezető felett, attól d távolságban a H mágneses téeősség étékét és iányát (4.47. ába) ába. A két áamvezető és a pont helyzete Az ábán látható áamvezetők keltette mágneses tének két komponense van, amelyet I vektoiálisan összegzünk. A bal oldali vezető által keltett mágneses té H b =, a π 5d I jobb oldali vezető mágneses tee H j = πd. A vektoi összegezéshez helyezzünk el

151 40 4. STACIONÁRIUS MÁGNESES TÉR egy x-y koodináta-endszet a P pontban, és bontsuk fel a vezetők keltette mágneses teet ezen koodinátakomponenseke. A bal oldali vezető mágneses tee x és y d I d I komponenseke bontható, Hbx = Hb =, Hby = Hb =, a jobb 5d π 5d 5d π 5d I oldali vezető mágneses tee x iányú, H jx = H j =, ahonnan az x, illetve y iányú πd I komponensek: H x = 6 π 5d, I H y = π 5d. Az x, illetve y iányú komponenseket összegezve az eedő mágneses té H = H x + H y = = 40 0,67A/m π 3 π 3 =, az x tengelyhez való H y hajlásszöge α = ac tg = 8,4349o. H x Feladat Két egymással páhuzamos egyenes vezető távolsága d, d = 4 cm. A vezetőkben ellentétes iányú, I = 3,8 A nagyságú áam folyik. Hatáozza meg a jobb oldali vezető felett, attól d távolságban a H mágneses téeősség étékét és iányát (4.48. ába) ába. Az áamvezetők és a pont helye Az előző feladat megoldásához hasonlóan a bal oldali vezető mágneses tee I I H b =, a jobb oldali vezető mágneses tee pedig H j π 5d = πd. Felbontva a I mágneses téeősség vektookat x-y iányú komponenseke, H bx =, π 5d 5 I I H by =, H jx π 5d 5 = πd, ahonnan az x iányú mágneses té I H x = π 5d 4, az y

152 4. STACIONÁRIUS MÁGNESES TÉR 4 I iányú mágneses té H y =. Az eedő mágneses téeősség vekto nagysága π 5d I 3,8 H = 4 + = 0,880 A/m π 5d π 5 0,4 =, az x tengelyhez való hajlásszöge H y α = actg = 63,4349 o. H x Feladat Egy a = cm oldalú négyzet háom csúcspontján háom áamvezető megy át. Két átlósan szemben lévő csúcson elhelyezkedő vezetőn az egyik iányba folyik az I áam, a hamadikon pedig visszafolyik a I áam, I = 4,6 A. Hatáozza meg a H mágneses téeősség étékét a negyedik csúcspontban (4.49. ába) ába. Az áamvezetők és a pont helyzete A két szemben lévő csúcson átmenő azonos áamiányú vezetők azonos nagyságú, I egymása meőleges H = H = nagyságú mágneses téeősség-komponenseket πa I I hoznak léte, amelyek eedője H =. A hamadik vezető H3 = πa πa nagyságú mágneses tee ellenkező iányú az előző komponensek eedőjével, így a négyzet negyedik csúcspontjában a mágneses téeősség étéke I H H3 = = 0 A/m lesz. πa

153 4 4. STACIONÁRIUS MÁGNESES TÉR Feladat Egy I = 6,4 A elemi köáam a = 6 cm felületet ölel köül. Hatáozza meg, mekkoa a köáam mágneses dipólusnyomatéka. m = Ia = 6, = 0,00 Am = 0, mam Feladat Egy µ = 500 elatív pemeabilitású feomágneses vasmag külső felületén B 0 =, T, a felülete meőleges mágneses indukciót méünk. Hatáozza meg a vasmag belsejében a mágneses téeősség nomális komponensének étékét. Minthogy a feomágneses anyagokból a mágneses indukció vekto nomális komponense megy át folytonosan, a vasmagban az indukció vekto nomális komponense megegyezik a mét étékkel, B vn = B0. Minthogy a vas mágneses pemeabilitása ismet, a mágneses téeősség meghatáozható, B H = vn vn = 636,698 A/m. µ 0µ Feladat Hatáozza meg, mekkoa mágneses indukciót hoz léte a mágneses té a µ = 00 elatív pemeabilitású közegben. H =6 A/m nagyságú B = µh = 4π = 0,04 T = 4, mt Feladat Két, µ = 400 és µ = 30 elatív pemeabilitású közeg közös hatáfelületén az egyes közegben a mágneses indukció vekto tangenciális komponense B t = 0,4 T. Hatáozza meg, mekkoa lesz a kettes közegben a mágneses indukció vekto tangenciális komponense.

154 4. STACIONÁRIUS MÁGNESES TÉR 43 A folytonossági feltételből µ 30, µ H 0,4 0 t = Ht Bt = B t = = 0,3 T = 30 mt. µ µ Feladat Két, µ = 400 és µ = 30 elatív pemeabilitású közeg közös hatáfelületén a kettes közegben a mágneses téeősség nomális komponense H n = 4 ma/cm. Hatáozza meg, mekkoa lesz az egyes közegben a mágneses téeősség nomális komponense. A mágneses indukció nomális komponensée vonatkozó folytonossági feltételből, µ 30 B, n = Bn Hn = Hn = 4 = 3, ma/cm = 0,3 A/m. µ Feladat Egy a = 5 cm keesztmetszetű, l = cm hosszúságú, N = 750 menetszámú egyenes tekecs µ = 500 elatív pemeabilitású feomágneses vasmaggal endelkezik. Feltételezve, hogy az egyenes tekecs keesztmetszete elhanyagolhatóan kicsi a hosszához viszonyítva, hatáozza meg a tekecs fluxusát, ha I =, A áammal gejesztjük. NI A gejesztési tövényt alkalmazva a mágneses téeősség meghatáozható, H, l ahonnan a tekecs fluxusa a menetfluxusok összege: N Ia 750, Ψ = NΦ = NaB = µ µ = π = 0,7775 Vs. l 0, Feladat Hatáozza meg, mekkoa annak a tekecsnek az önindukciós együtthatója, amelyen I = A eősségű áam Ψ =,8 mvs fluxust gejeszt.

155 44 4. STACIONÁRIUS MÁGNESES TÉR,8 0 3 L = Ψ = = 0, H = 0,333 mh. I Feladat Hatáozza meg az L = mh indukciós együtthatójú tekecs Ψ fluxusát, ha ajta I = 4,8 A nagyságú áam folyik át. Ψ = LI = 0 3 4,8 = 0,056 Vs Feladat Hatáozza meg, mekkoa I áam hoz léte öninduktivitású tekecsben. Ψ = 45 mvs fluxust az L = mh I = Ψ L = = 3,7500 A Feladat Két soosan kapcsolt tekecs önindukciós együtthatója L = 3, mh, L = 4,6 mh, köztük L =,4 mh a kölcsönös indukciós együttható étéke. Hatáozza meg az egyes tekecs fluxusát, ha a ajtuk átfolyó közös áam I = A. ( L + L ) = ( 3, +,4),0 mvs Ψ = LI + LI = I =.

156 5. IDŐBEN VÁLTOZÓ ELEKTROMÁGNESES TÉR A koábbiakban külön, egymástól függetlenül vizsgáltuk a nyugvó töltések elektomos teét és az időben állandó áam elektomos és mágneses teét. Az elektomágneses té pontosabb modelljét kapjuk, ha az időbeli változásokat is figyelembe vesszük. A továbbiakban az elektomos és mágneses té téjellemzői nemcsak a hely, hanem az idő szeint is változnak. 5.. Időben változó mágneses té 5... Nyugalmi indukció A kíséleti eedmények azt mutatják, hogy időben változó mágneses té elektomos teet hoz léte. A kíséleti eedmények általánosítását az indukció tövény fejezi ki. Tekintsünk egy majdnem zát vezető hukot, amely időben változó mágneses teet fog köül, ekko a tapasztalat szeint a vezető két vége között feszültség méhető (5.. ába), amely aányos a vezető huok fluxusának időegység alatti megváltozásával. Az indukált feszültség iánya a fluxus megváltozás iányához jobbcsava szabály szeint kapcsolódik, () t dψ ui = ui () t =. (5.) dt A negatív előjel azt jelenti, hogy a fluxus időbeli megváltozása és az indukált feszültség iánya a jobbcsava szabály szeinti iánnyal ellentétes.

157 46 5. IDŐBEN VÁLTOZÓ ELEKTROMÁGNESES TÉR 5.. ába. Az indukált feszültség fogalma Figyelembe véve a vezető huok keesztmetszetén átmenő indukcióvonalakat, az indukált feszültség a következő összefüggéssel állítható elő: ui () t dψ = dt ( t) = d dt db ( ) (, t) B, t da = da. (5.) a a dt Tekintsük az 5.. ábán látható háomszög szeint peiodikusan változó fluxust. Az első negyed peiódusban, amiko a fluxus lineáisan nő, az indukált feszültség negatív állandó étéket vesz fel. A második negyed peiódusban, amiko a fluxus lineáisan csökken, az indukált feszültség ugásszeűen előjelet vált és mindaddig pozitív állandó lesz az étéke, amíg a fluxus nem kezd el úja növekedni. 5.. ába. A háomszög szeint peiodikusan változó fluxus és az indukált feszültség kapcsolata Hasonló helyzet alakul ki, ha a fluxus szinuszosan változik, () t Ψ 0 sinω t Ψ =, ekko az indukált feszültség nem ugásszeűen, hanem folytonosan változik (5.3. ába), u i = Ψ 0ω cosω t = U 0 cos ω t,

158 5. IDŐBEN VÁLTOZÓ ELEKTROMÁGNESES TÉR 47 ahol U 0 = ωψ0. Mint az ábán látható, az indukált feszültség időfüggvénye késik a fluxus időfüggvényéhez képest ába. Szinuszosan változó fluxus és az indukált feszültség kapcsolata 5... Lenz-tövény Ha a majdnem zát vezető hukot bezájuk, az indukált feszültség hatásáa áam indul meg a vezetőben (5.4. ába) ába. A Lenz-tövény ételmezése Ez azzal magyaázható, hogy az indukált feszültség hatásáa töltésszétválasztás jön léte, és az áam a pozitív töltéstől a negatív töltés felé folyik. Az ábán beajzoltuk az áam iányát, amely az R ellenállású vezetőben folyik, () t i ( t) u = i. R Ez az áam azonban olyan B mágneses teet hoz léte, amely csökkenti az eedeti mágneses té étékét, azaz ellenkező iányú teet gejeszt. Ezt a tövényszeűséget,

159 48 5. IDŐBEN VÁLTOZÓ ELEKTROMÁGNESES TÉR amely az indukált feszültség tövényből következik, Lenz-tövénynek nevezzük, és azt mondja ki, hogy az indukált feszültség hatásáa a vezető huokban folyó áam olyan mágneses teet hoz léte, amely az őt létehozó hatást csökkenteni akaja Faaday-féle indukciós tövény Vegyük figyelembe a zát, R ellenállású vezetőben folyó i ( t) áamot, amely az indukált feszültség hatásáa jön léte, ui =, dl. l () t = i() t R E( t) Helyettesítsük a fenti kifejezésbe az indukált feszültsége kapott (5.) összefüggést, dψ ( ) () t db(, t) E, t dl = = da l dt a dt (5.3) az indukció tövény általánosított alakját, a Faady-féle indukciós tövényt kapjuk, amely azt mondja ki, hogy az időben változó mágneses té elektomos teet gejeszt. 5.. A mozgási indukció Ha egy időben állandó mágneses tében, aa meőlegesen egy vezető daabot mozgatunk, akko a vezető két végpontja között feszültség méhető (5.5. ába) ába. A mozgási indukció A jelenség a Loentz-eőtövény alapján magyaázható: ( E + v B) F = Q,

160 5. IDŐBEN VÁLTOZÓ ELEKTROMÁGNESES TÉR 49 ugyanis a v sebességgel mozgó vezetőben lévő szabad elektonoka az időben állandó mágneses tében eő hat, amely a töltéseket szétválasztja, ( v B) = QEi Ei = v B, F = Q. A fenti téeősséget a vezető daabjáa integálva kapjuk a mozgási indukcióból számazó feszültséget: um i () t = E dl = ( v B) l i l dl. (5.4) A jelenség úgy is magyaázható, hogy a v sebességgel mozgó vezető l hosszúságú daabja dt idő alatt da = l v dt felület d Ψ = Blvdt fluxus vonalait metszi, ahonnan az indukált feszültség d Ψ = Blv = u i. dt Habá a nyugalmi és a mozgási indukció fizikai alapja más, a két jelenség egységesen kezelhető abban az ételemben, hogy a vezető huok fluxusának megváltozása, egyészt a mágneses indukció idő szeinti megváltozása miatt, másészt a vezető keesztmetszetének megváltozása miatt jön léte, azaz ui () t dψ = dt () t = d dt B a (, t) da( t) db = a dt (, t) da a () t B(, t) ahol az egyenlet jobb oldalán az utolsó előtti tag a nyugalmi indukcióból, a második tag mozgási indukcióból számazó indukált feszültséget jelenti. da dt ( t), 5.3. Időben változó áam mágneses tee Önindukció jelensége Tekintsük az 5.6. ábán látható tekecset. Ha a tekecsben külső foás hatásáa időben változó áam folyik, az időben változó mágneses teet gejeszt, amely indukált feszültséget hoz léte a tekecs két végpontja között.

161 50 5. IDŐBEN VÁLTOZÓ ELEKTROMÁGNESES TÉR Figyelembe véve, a tekecs L önindukció együtthatóját, a tekecs fluxusa Ψ t = L i t, és így az indukció tövény ételmében az indukált feszültség () () u i dψ dt d dt () t = = Li() t = L di( t) dt. A tekecs kapcsain azonban az 5.6. ába. Az önindukció jelensége és a tekecs feszültsége ( t) di() t d u L () t = Ψ = L (5.5) dt dt tekecsfeszültséget szoktuk alkalmazni, amely éppen az indukált feszültséggel ellenkező iányú, így ul () t u ( t) = i. (5.6) A tekecsfeszültség ismeetében a tekecsfluxus meghatáozható, t t0 t t Ψ () t = ul() τ dτ = ul() τ dτ + ul() τ dτ = Ψ ( t0) + ul() τ dτ, t t 0 ahol Ψ ( t 0 ) a tekecsen a t 0 pillanat előtti fluxusváltozásból számazó fluxus, a t 0 időpillanattól kezdődő vizsgálatok kezdeti feltétele Kölcsönös indukció jelensége Koábban láttuk, hogy egy tekecs fluxusát nemcsak a saját áama, hanem a közeli tekecsben folyó áam, a kölcsönös indukciós együtthatón keesztül (5.7. ába) megváltoztatja. Két tekecsből álló endsze esetén a tekecsek fluxusa (5.8. ába) 0

162 5. IDŐBEN VÁLTOZÓ ELEKTROMÁGNESES TÉR 5 Ψ = L i + L i, Ψ = L i + L i, (5.7) ahol L, L a tekecsek önindukciós együtthatója, míg L a kölcsönös indukciós együttható ába. A szomszéd tekecs fluxusa 5.8. ába. Két tekecsből álló endsze és modellje Mint ismeetes a kölcsönös indukciós együttható a tekecsek helyzetétől és az áamok efeencia iányától függően lehet pozitív vagy negatív, amelyet az 5.8. ábán a pontokkal jelöltünk. Azaz, ha a két tekecsben az áamok a pontoktól folynak a nem pontokkal jelzett végek felé, akko a kölcsönös indukciós együttható előjele pozitív, ellenkező esetben negatív. A efeenciaiányok 5.8. ábán való ögzítése mellett a tekecsek feszültségei a következők: d di di u = Ψ = L + L, dt dt dt d di di u = Ψ = L + L. dt dt dt (5.8)

163 5 5. IDŐBEN VÁLTOZÓ ELEKTROMÁGNESES TÉR Tekecsek soos és páhuzamos kapcsolása (i) Vizsgáljunk meg két soba kapcsolt csatolt tekecset, amelyek áama közös i = i = i és önindukciós együtthatójuk L, L, kölcsönös indukciós együtthatójuk pedig M (5.9. ába) ába. Soba kapcsolt csatolt tekecsek Az eedő feszültség a két feszültség összege, azaz di u = u + u = L ± M dt di + ± M dt di di + L = dt dt ( L + L ± M ) = L, di dt di s dt ahonnan a két soba kapcsolt csatolt tekecset helyettesítő tekecs indukciós együtthatója (5.0. ába): L s = L + L ± M. A pozitív előjel a efeenciapontoknak felel meg, a negatív előjel akko lép életbe, ha az egyik pont a tekecs másik végée keül ába. A soos tekecsek helyettesítő képe (ii) Vizsgáljuk meg az 5.. ábán látható páhuzamosan kapcsolt csatolt tekecseket, amelyek feszültsége közös, u = u = u.

164 5. IDŐBEN VÁLTOZÓ ELEKTROMÁGNESES TÉR 53 Az egyes tekecsek feszültsége az áamokkal kifejezve: di di di di u L M u M L = ±, = ± +. dt dt dt dt Fejezzük ki az áamok deiváltjait: 5.. ába. Páhuzamosan kapcsolt csatolt tekecsek di L m M = u, dt L L M di dt L m M = u, L L M ahonnan a főág áama a két áam összege, i = i + i, di di di L + L m M = + = u = u. dt dt dt L L M Lp A páhuzamosan kapcsolt csatolt tekecsek a pólusoka nézve helyettesíthetők egy tekeccsel (5.. ába), amelynek indukciós együtthatója L L M L p =. L + L m M 5.. ába. A páhuzamosan kapcsolt tekecsek helyettesítő képe

165 54 5. IDŐBEN VÁLTOZÓ ELEKTROMÁGNESES TÉR 5.4. A mágneses té enegiája Tekecs enegiája Hatáozzuk meg egy L indukciós együtthatójú tekecs enegiáját, ha áama t 0 idő alatt lineáisan nulláól I étéke nő. Minthogy az áam változásával változik a tekecsben a fluxus, és a tekecs pólusain méhető feszültség is u L = dψ dt, így a tekecs dt idő alatt felvett enegiája dψ dw = ul i dt = i dt = i dψ. dt Ha a tekecs áama a t = 0 pillanatban nulla, akko a t 0 idő alatt felvett enegiája Ψ W = 0 i dψ, 0 ahol Ψ 0 a tekecs fluxusa a t 0 pillanatban. A fluxust az áammal kifejezve Ψ = L i és az előző összefüggést kiétékelve Ψ0 I W = i dψ = i Ldi = LI, (5.9) 0 0 azaz a tekecs enegiája W LI = = Ψ I = Ψ. (5.0) L Csatolt tekecsek enegiája A csatolt tekecsek enegiája az egyes tekecsek enegiájának összege. Minthogy W = ( Ψ I + ΨI), és a tekecsek fluxusai Ψ = L I + LI, Ψ = LI + LI, ahol L = L, valamint a csatolt tekecs enegiája

166 5. IDŐBEN VÁLTOZÓ ELEKTROMÁGNESES TÉR 55 W = L I + LII + LI. (5.) A mágneses té enegiasűűsége Tekintsük az 5.3. ábán látható elemi téfogatot, amelyet mágneses eővonalak és az azoka meőleges felületek hatáolnak. Az elemi téfogat enegiája dw = ΨI ába. Az elemi téfogat enegiája Az I áam a gejesztési tövényből bámely mágneses eővonala, és a fluxus az eővonalaka meőleges felülete vonatkozó egyenletek alapján meghatáozható, I = H dl, Ψ = B da, l a ahonnan az elemi téfogat enegiája, figyelembe véve, hogy a d l dv = d dw = IΨ = H dl B da = H Bda dl = H B dv. l a la v Az elemi téfogat enegiája az egységnyi téfogata vonatkoztatott w enegiasűűségnek a téfogata vett integálja, dw = v H B dv = w dv, v ahonnan az elemi téfogat mágneses enegiasűűsége

167 56 5. IDŐBEN VÁLTOZÓ ELEKTROMÁGNESES TÉR dw w = = H B W dv m 3. (5.) Belső indukciós együttható A mágneses enegia és az induktivitás kapcsolatának ismeetében meghatáozható a belső indukciós együttható, ahol W = Lb I = w dv = H µ dv, (5.3) v v µ B w = H B = H =. (5.4) µ Illusztatív példa. Alkalmazzuk a fenti összefüggést egy l hosszúságú hengees vezető belső indukciós együtthatójának meghatáozásáa (5.4. ába) ába. A hengees vezető belső önindukciós együtthatójának meghatáozása A gejesztési tövényt alkalmazva a hengees vezető belsejében egy eővonala H dl = I, I H π = π l 0 π, a mágneses téeősség a vezető belsejében a következő: I H () =, 0 < < 0. π 0

168 5. IDŐBEN VÁLTOZÓ ELEKTROMÁGNESES TÉR 57 A dv = π l d elemi téfogat és a mágneses enegiasűűség ismeetében a hengees vezető mágneses enegiája 0 4 I I l 0 W = π π l d = µ = L 4 b I, = π π 0 ahonnan a belső indukciós együttható független a hengees vezető sugaától, csak az anyag mágneses pemeabilitásától és a vezető hosszától függ, µ l L b =. (5.5) 8π A mágneses eőhatás és a vituális munka elve Az elektosztatikus téhez hasonlóan a mágneses tében fellépő eőhatások is számíthatók a vituális munka elve alapján. Habá az enegiaegyensúlyi egyenlet nem változik, F s dw gen = dw belső + d, ahol a geneáto által dt idő alatt a endszebe táplált enegia a endsze fluxusát változtatja meg, dwgen = IkdΨ k, k míg a endsze belső enegiáját az indukálás soán fellépő áam megváltozása eedményezi, azaz dwbelső = Ψ kdik. k Ha a endszebe táplált enegia nem változik, azaz a endsze fluxusa állandó, a vituális munka elve alapján a ds elmozdulás iányában fellépő eőhatás dw F belső s =, Ψ k = állandó, k =,, L,n. (5.6) ds Ha a vituális elmozdulás soán a huok áama állandó és a pemeabilitás független az indukciótól, akko

169 58 5. IDŐBEN VÁLTOZÓ ELEKTROMÁGNESES TÉR dwgen Fs =, Ik = állandó, k =,, L, n. (5.7) ds 5.5. Időben változó elektomos té A folytonossági egyenlet A töltésmegmaadás elve alapján stacionáius áamlás esetén azt tapasztaltuk, hogy egy téfogatba beáamló töltések onnan el is távoznak. Időben változó elektomágneses té esetén azonban a v téfogatba dt idő alatt beáamló dq be, és az onnan kiáamló dq ki töltések különbsége a v téfogatban ugyanazon idő alatt felhalmozódó dq töltésmennyiséggel egyenlő (5.5. ába), dqbe dq dq ki =. dt dt dt 5.5. ába. A folytonossági egyenlet ételmezése Vegyük figyelembe hogy a dq be dt = Ibe a téfogatba befolyó, dq ki dt = Iki pedig a kifolyó áam, ezzel a töltésmegmaadása vonatkozó összefüggés, az úgynevezett folytonossági egyenlet a következő: dq Ibe I ki =. dt Az egyenlet bal oldala felíható a v téfogatot hatáoló zát felületen ki és belépő áamsűűségekkel, valamint az egyenlet jobb oldalán a v téfogatban elhelyezkedő töltések összegével, azaz I be Iki = J a ρ dv. v (, t) da, Q = (, t) A fenti összefüggést alkalmazva és figyelembe véve, hogy a téfogat időben nem változik, a folytonossági egyenlet a következő alaka hozható:

170 5. IDŐBEN VÁLTOZÓ ELEKTROMÁGNESES TÉR 59 J a (, t) da = (, t) d dρ(, t) ρ dv = dv. dt v v dt Némi endezés után a folytonossági egyenlet szokásos alakjához jutunk dρ ( ) (, t) J, t da + dv = 0. (5.8) a v dt A folytonossági egyenlet a töltésmegmaadás elvét fejezi ki, és ezen keesztül minthogy a töltés anyagi észecskék tulajdonsága a fizika általános elvét, az anyagmegmaadás elvét epezentálja az elektomágneses té esetében Az eltolási áam Időben változó elektomágneses té esetén a stacionáius állapota vonatkozó gejesztési tövény és a folytonossági egyenlet ellentmondása vezet, H dl = J da l a dρ(, t), da + dv = 0. a v dt, J ( t) A folytonossági egyenletet a v téfogatot hatáoló a felülete íjuk fel. Jelöljünk ki ezen a felületen egy tetszőleges zát l göbét, amely a felületet két észe osztja (5.6. ába). Íjuk fel a gejesztési tövényt úgy, hogy a H mágneses téeősséget integáljuk az l göbée, a J áamsűűséget pedig egysze az a, majd az a felülete, a felületi nomálisok figyelembevételével: =, H dl J da H dl = J da. l a l a 5.6. ába. Gejesztési tövény stacionáius tében

171 60 5. IDŐBEN VÁLTOZÓ ELEKTROMÁGNESES TÉR Minthogy a bal oldalon álló kifejezés mindkét esetben ugyanaz, a jobb oldalak egyenlőségéből következik, hogy a J áamsűűségnek egy zát felülete vett összege, integálja zéus: J a (, t) da = 0, a folytonossági egyenlet szeint viszont nem. Továbbá, vegyük figyelembe az elektosztatika Gauss-tételét, amely szeint a téfogatban elhelyezkedő töltés az eltolási vektonak a téfogatot hatáoló felülete vett integáljával egyenlő, ρ dv = D da, így v a a folytonossági egyenlet a következő alaka hozható: d d dd ( ) ( ) ( ) (, t) J, t da = ρ, t dv = D, t da = da, a dt v dt a a dt ahonnan azt kapjuk, hogy az áamsűűség és az eltolási vekto idő szeinti deiváltjának összege zát felülete vett integálja ad nulla étéket, ( ) (, ) dd t, J t + da = 0, (5.9) a dt így az ellentmondás kiküszöbölése édekében a gejesztési tövény általános alakja a következő lesz: ( ) ( ) dd, t H dl = J, t + da, (5.0) l a dt v =,t epezentálja a vezetőben folyó vezetési áamot, ahol J J( ) Je = dd(, t) dt (5.) pedig az elektomos té időbeli megváltozásából számazó úgynevezett eltolási áamot. Nézzük meg, hogy a gejesztési tövény új alakja mit jelent. Ha dd(, t) dt = 0, a Jv = J(,t) vezetési áam mágneses teet gejeszt (5.7. ába), ha azonban az eltolási áam nem nulla, dd(, t) dt 0, az is létehoz egy mágneses teet és a két mágneses té összegeződik, szupeponálódik.

172 5. IDŐBEN VÁLTOZÓ ELEKTROMÁGNESES TÉR ába. A vezetési és az eltolási áam mágneses tee A kondenzáto áama Kapcsoljunk időben változó u ( t) feszültséget egy C kapacitású kondenzátoa. A kondenzáto elektódáin időben változó ± q( t) töltés halmozódik fel, q () t C u( t) =. Ez úgy lehetséges, hogy az egyik elektódáa i ( t) áam folyik be, a másikól ugyanakkoa i () t áam folyik el. Alkalmazzuk a kondenzátoa a folytonossági egyenletet. Vegyük köül a kondenzátot egy zát áam folyik be: a felülettel (5.8. ába), a felületen ( t) i áam folyik ki és i () t () t dq iki () t + ibe() t = 0 =, dt 5.8. ába. A kondenzáto áama azaz a kondenzáto elektódáin a töltések összege nem változik, ui. dt idő alatt az egyik elektódán + dq, a másik elektódán dq töltés halmozódik fel, ezek eedője azonban nulla.

173 6 5. IDŐBEN VÁLTOZÓ ELEKTROMÁGNESES TÉR Alkalmazzuk a folytonossági egyenletet most egy olyan felülete, amely csak az egyik elektódát tatalmazza. Az a felületen most i ( t) áam folyik be, amely aányos a kondenzáto feszültségének idő szeinti deiváltjával, () t du() t dq i () t = = C. (5.) dt dt A téfogat töltése az elektosztatika Gauss-tétele szeint kifejezhető az eltolási vektonak a felülete vett integáljával. Némi átalakítás után azt kapjuk, hogy a kondenzáto lemezei között az eltolási vekto idő szeinti deiváltjának az a felülete vett integálja, azaz az eltolási áamsűűségnek az integálja, az eltolási áam folyik () t i () t dq = dt = d dt ahol az eltolási áamsűűség Je () t dd(, t) =, dt és az eltolási áam ie () t dd = a dt (, t) dd ( ) (, t) D, t da = da = Je a a a dt a () t d = i () t da. (5.3) Tehát a kondenzáto elektódáihoz a töltéseket a vezetőben folyó i ( t) vezetési áam viszi, a kondenzáto lemezei között az időben változó elektomos té hatásáa az i e () t eltolási áamban folytatódik. A kondenzátoban fellépő eltolási áam ugyanúgy mágneses teet hoz léte, mint a vezetési áam Az elektomágneses té alapaxiómái Az elektomágneses té enegiaviszonyai Valamely v téfogatban felhalmozott W ( t) elektomágneses enegia két okból változhat az időben. Az egyik, a téfogatban fellépő P ( t) teljesítményű folyamatok, amelyek P () t > 0 esetén a téfogat elektomágneses enegiáját csökkentik, P () t < 0 esetén a téfogat elektomágneses enegiáját növelik, másészt a téfogatot hatáoló zát e,

174 5. IDŐBEN VÁLTOZÓ ELEKTROMÁGNESES TÉR 63 a felületen átáamló vagy átsugázott P s ( t) teljesítmény csökkenti a té enegiáját. Az elektomágneses té enegiamélege ezek szeint dw dt () t () + P () = 0 + P t s t. (5.4) Az egyes mennyiségek kifejezhetők az elemi téfogata, illetve felülete vonatkozó sűűség jellegű mennyiségekkel, így a téfogat W ( t) enegiája a w (,t) enegiasűűséggel W W J, = v 0 v m3 () t = w( t) dv, w(, t) = lim, [ w] v a P () t teljesítmény a p (,t) teljesítménysűűséggel, (5.5) P W, = v 0 v m3 () = p( t) dv, p(, t) = lim, [ p] P t v, (5.6) míg a felületen kisugázott P s ( t) teljesítmény az egységnyi felületen kisugázott teljesítménysűűséggel, az S Poynting-vektoal jellemezhető: Ps P W, = a 0 a m a () t = S( t) da, S(, t) = lim s, [ S]. (5.7) Az enegiaegyensúlyi egyenlet a sűűségekkel a következő alakban íható fel: dw v dt (, t) dv + p v a (, t) dv + S(, t) da = 0. (5.8) A statikus elektomos té, a stacionáius elektomos és mágneses té enegia- és teljesítménysűűségeinek ismeetében az elektomágneses té téváltozóival is felíható az enegiaegyensúlyi egyenlet. Az elektomágneses tében az elektomos és a mágneses enegia megváltozása dw (, t) dd ( ) (, t) db ( ) (, t) = E, t + H, t. dt dt dt Homogén, lineáis anyag esetén, amiko a szigetelőanyag ε pemittivitása, és a mágneses anyag µ pemeabilitása nem változik sem a geometiai té pontjaiban és nem

175 64 5. IDŐBEN VÁLTOZÓ ELEKTROMÁGNESES TÉR függ az elektomos és a mágneses té nagyságától, művelet után az elektomágneses té enegiasűűsége D = ε E, B = µ H, az invez w = D E + B H. (5.9) A téfogatban végbemenő enegiaátalakulások következtében a téfogati teljesítménysűűség p,, ( t) = J E amely a J = ( E + ) σ E i diffeenciális Ohm-tövény figyelembevételével J ( ) p, t = J Ei (5.30) σ alakban adható meg. Végül, bizonyítás nélkül megadjuk a Poynting-vektonak a téváltozóktól való függését, S,. (5.3) ( t) = E H Ezzel az enegiaegyensúlyi egyenlet a következő alaka hozható: dd db J E + H dv + dv J Eidv + v dt dt v σ v a ( E H ) da = 0, (5.3) ahol az egyenlet bal oldalán álló első tag az elektomos és a mágneses té enegiájának megváltozása, a második tag a vezető közegekben a Joule-tövény szeint hővé váló teljesítmény, a hamadik tag a nem villamos enegia betáplálásnak a figyelembe vétele, míg az utolsó tag a felületen kisugázott teljesítmény A Maxwell-egyenletek Amint azt a koábbiakban láttuk, az elektomágneses teet gejesztő mennyiségek a J,t villamos áam. Ezek azonban nem függetlenek ρ (,t) elektomos töltés és a ( ) egymástól. A köztük lévő kapcsolatot az anyag-, illetve töltésmegmaadási tétel, a folytonossági egyenlet fejezi ki:

176 5. IDŐBEN VÁLTOZÓ ELEKTROMÁGNESES TÉR 65 J a d ρ. (5.33) dt v (, t) da + (, t) dv = 0 E Az elektomágneses té téjellemzői egyészt a té intenzitását kifejező (,t) elektomos téeősség vekto és B(,t ) mágneses indukció vekto, másészt a té gejesztettségét meghatáozó D(,t ) eltolási vekto és H (,t ) mágneses téeősség vekto. Az elektomágneses té téváltozóia a tapasztalati tövények általánosításával kapott összefüggéseket Maxwell-egyenletek néven foglaljuk össze. Az I. Maxwell-egyenlet az általánosított gejesztési tövény, ( ) ( ) ( ) = dd, t H, t dl J, t + da, (5.34) l a dt amely azt mondja, hogy a mágneses téeősségnek egy zát göbée vett integálja (összege) a göbe által kifeszített felületen áthaladó áamokat adja. Meg kell jegyezni, hogy a jobb oldalon a totális áam, azaz a vezetési és az eltolási áam összege szeepel. A gejesztési tövényt úgy ételmezhetjük, hogy mind a vezetési áam, mind az eltolási áam mágneses teet hoz léte. A II. Maxwell egyenlet a Faaday-féle indukciós tövény, db ( ) (, t) E, t dl = da, (5.35) l a dt amely azt mondja, hogy az E(,t ) elektomos téeősségnek egy zát göbée vett integálja (az indukált feszültség) a göbe által köülfogott felületen átmenő B indukcióvonalak idő szeinti megváltozásával egyenlő. Az I. és a II. Maxwell-egyenletek nem függetlenek egymástól, ui. a gejesztési tövény jobb oldalán álló J (,t ) vezetési áam létehoz egy időben változó H (,t ) mágneses teet, amely mágneses té időbeli változása az indukciótövénynek megfelelően E(,t ) elektomos teet gejeszt, amely azonban az eltolási áamon keesztül módosítja a mágneses teet. A III. Maxwell-egyenlet a mágneses indukció foásmentességét fogalmazza meg, B a (, t) da = 0. (5.36)

177 66 5. IDŐBEN VÁLTOZÓ ELEKTROMÁGNESES TÉR Azt mondja, hogy zát felületen ugyanannyi mágneses eővonal lép be, mint ki, azaz nincsenek mágneses töltések, a mágneses indukcióvonalak sehol nem kezdődnek és sehol nem végződnek, egyszeű esetben zát göbét alkotnak. A IV. Maxwell-egyenlet az elektosztatika Gauss-tétele, D d a = ρ dv, (5.37) a v D amely szeint az (,t) elektomos té foása a töltés. Az eltolási vektonak egy zát felülete vett integálja a felület által hatáolt téfogatban elhelyezkedő ρ (,t) töltésekkel egyenlő. Az V. Maxwell-egyenlet a téváltozók és az anyagjellemzők kapcsolatát fogalmazza meg. Homogén, lineáis anyag esetén a szigetelőanyagokat az ε pemittivitással, a mágneses anyagokat a µ pemeabilitással, a vezető anyagokat a σ vezetőképességgel jellemezhetjük, ( E + P) B = µ H = µ ( H + M ), J = ( E + ) D = ε E = ε0, 0 σ E i, (5.38) ahol P v a szigetelőanyag-polaizáció vektoa, M a feomágneses anyagok mágnesezettségi vektoa és E i a beiktatott téeősség, amellyel a nem villamos eedetű enegiákat (töltésszétválasztó eőt) modellezzük. Végül a VI. Maxwell-egyenlet az elektomágneses té enegiaviszonyaia ad összefüggést, amely szeint az elektomágneses té egységnyi téfogatának teljesítménysűűsége p (, t) dw(, t) dd ( ) (, t) db ( ) (, t) = = E, t + H, t, dt dt dt amelyből homogén, lineáis közeg esetén az elektomágneses té enegiasűűsége w = D E + B H. (5.39) 5.7. Ellenőző kédések Ismetesse a Faaday-féle indukciós tövényt. Foglalja össze a mozgási indukció jelenségét. Ismetesse az általánosított gejesztési tövényt. Ismetesse a folytonossági egyenletet.

178 5. IDŐBEN VÁLTOZÓ ELEKTROMÁGNESES TÉR 67 Ismetesse az elektomágneses té enegiaegyensúlyáa vonatkozó összefüggéseket. Ismetesse a Poynting-vekto fogalmát. Foglalja össze az elektomágneses té alapaxiómáit.5.8. Gyakoló feladatok Feladat Egy R ellenállású gyűű alakú vezető időben változó, tében egyenletes eloszlású, a lap síkjáa meőleges, befelé mutató Ψ fluxust vesz köül (5.9. ába). Hatáozza meg, mekkoa feszültséget méünk a vezető P Q pontja között, ha a voltméőt a bal oldali ába szeint és ha a jobb oldali ába szeint kötjük be ába. A mét feszültség dψ u A vezetőben az u i = indukált feszültség hatásáa i = i áam folyik. A bal dt R α oldali ába szeint a voltméő a gyűű P Q pontjai közötti l szakaszának R = R π α ellenállásán fellépő ua = R i = ui feszültséget méi. π Ha azonban a jobb oldali elendezést vizsgáljuk, akko a voltméő az l szakasz α α ellenállásán keletkezett feszültséget méi, ub = R R i = u i. π π

179 68 5. IDŐBEN VÁLTOZÓ ELEKTROMÁGNESES TÉR Feladat Egy 0 sugaú, d vastagságú, σ vezetőképességű fémtácsa homogén mágneses tében a té iányáa meőlegesen van elhelyezve (5.0. ába). A mágneses indukció az időben B () t = B cos ( t) 0 ω függvény szeint változik. A vezető tácsát ideális szigetelő veszi köül. Hatáozzuk meg az indukció következtében fellépő áam hőteljesítményét ába. A tácsában keletkezett övényáam A tácsa sugaú észén Φ () t = πb( t) mágneses fluxus halad át Φ = B a szeint. Ennek időbeli változása az sugaú göbe keülete mentén éintő iányú E (, t) elektomos teet kelt, amely a hengeszimmetia miatt az sugá mentén állandó étékű. Az indukciótövényt alkalmazva dφ E dl = π E(, t) = = + πb0ω sin ( t) l dt ω, ahonnan az elektomos téeősség meghatáozható, E B ω =. (, t) 0 sin ( ω t) A diffeenciális Ohm-tövény ételmében az áamsűűség B J E 0 ω = σ = σ sin ( t) ω.