VEKTORANALÍZIS. Szerkesztette: Walter József. Kaposvári Egyetem (segédlet agrár-folyamatmérnök hallgatóknak)

Átírás

1 VEKTORNLÍZIS (segédlet agá-folamatménök hallgatóknak) Szekesztette: Walte József Kaposái Egetem 6.

2 - - Szekesztette: WLTER JÓZSEF Íták: Walte József Stettne Eleonóa (magaázatok, ábák) Walte Nobet (feladatok, megoldások) Kiadánszekesztés: Stettne Eleonóa Vöös Péte kéziatot átnézték: Klencsá Zoltán Klingné Takács nna

3 - - Tatalomjegzék BEVEZETÉS... 5 VEKTORLGEBR Vektoműeletek Vektook szozása számmal Vektook összege, különbsége Vektook szozása Vektook skaláis szozata Vektook ektoiális szozata Vektook eges szozata Koodinátákkal adott ektook Műeletek koodinátákkal adott ektookkal bszolút éték Két ekto egenlősége Összeg, különbség Skaláal aló szozás dott ekto egségektoa Skaláis szozat Vektoiális szozat Összetett ektoszozatok.... Vektoalgeba alkalmazásai..... Egenes egenlete..... sík egenlete..... Hajlásszögek meghatáozása Két egenes hajlásszöge Két sík hajlásszöge Egenes és sík szöge Vekto meőleges etülete ektoon... 8 VEKTORNLÍZIS Vekto-skalá függének Egáltozós (egpaamétees) ekto-skalá függének Deiálás..... Kétpaamétees (kétáltozós) ekto-skalá függének Kétáltozós ekto-skalá függének deiálása.... skalá-ekto függén..... skalá-ekto függén deiálása nabla opeáto.... Vekto-ekto függének (ektomezők)..... Vekto-ekto függének diffeenciálása Vektoté diegenciája Vektoté otációja Vektofüggének integálása Egpaamétees ekto-skalá függén íhossza Kétpaamétees ekto-skalá függén felszíne... 9

4 - -.. Skalá-ekto függén integálása Téfogati integál Felszín szeinti integál..... Vekto-ekto függének integálása Vonalmenti (göbe menti) skalá étékű integál ektoté skalá potenciálfüggéne Skalá étékű felületi integál Integál edukciós tételek ektoteekben...5 KOORDINÁT RENDSZEREK Descates-féle koodináta endsze Henge koodinátaendsze Gömbi koodináta endsze (gömbkoodináták, tébeli polá)...6. helettesítéses integál általánosítása...6

5 - 5 - BEVEZETÉS segédletben a dimenziós (ún. Euklideszi, ag Eukleideszi) tében ételmezhető iánított szakaszokkal (ektookkal) foglalkozunk. ektoalgeba a ektookkal égezhető műeletekkel, a ektoanalízis a ektoáltozós függénekkel foglalkozik. Ez utóbbi feltételezi az előzők ismeetét. ektookkal aló számolás a temészettudománokban és a műszaki-technikai tudománokban a ménöki munka észe. tananag elméleti onatkozásait az előadásokon tágaljuk, de ott is elsősoban szemlélete alapozott kalitatí megközelítéssel. feladatmegoldás segít az elméleti anag megétésében, a alós jelenségek, folamatok kantitatí ételmezésében és áiánítja a figelmet az alkalmazásoka. füzetben öid összefoglalót köetően a feladatmegoldása helezzük a hangsúlt, esetenként gakolatból ett (pl. fizikai) példákkal. Feltételezzük az eg- és kétáltozós alós függének analízisének alapismeeteit. füzetben előfoduló képleteket nem kell megjegezni, fontosabb azok ételmezése és az, hog tudjuk azokat alkalmazni, alamint ismejük az alkalmazások kolátait. VEKTORLGEBR temészettudománokban és a matematika bizonos teületein találkozhatunk olan menniségekkel, amelek egetlen számadattal nem jellemezhetők egételműen. Ilenek például: eő, sebesség, gosulás, impulzus (lendület) stb., ezeket ektomenniségeknek neezzük. Egetlen számadattal jellemezhetők például: hosszúság, idő, hőméséklet, ezeket skalá menniségnek neezzük. ekto iánított szakasz, amelet a dimenziós tében tudunk elhelezni. Ha a ektook mindegike uganabban a síkban an, akko dimenzióban (síkban) ábázolhatók (speciális eset). Megjegezzük, hog mi az ún. többdimenziós ( n ) ektookkal itt nem foglalkozunk. ekto ismet, ha tudjuk annak iánát és hosszát (abszolút étékét). Jele: jelölés a ektot egételműen jellemzi. nagsága (hossza). jelölés a abszolút étéke, ag Speciális esetek: Egségekto az a ekto, amelnek hossza. Pl. a egségekto, ha a. Eg ekto egségektoán a ele egiánú, de hosszúságú ektot étjük. Szokásos az a egségektoát aglagosan a e, a, e a jellel ellátni. Nullekto az a ekto, amelnek hossza, iána tetszőleges, jele. Két ekto egenlő, ha páhuzamos eltolással egmással fedésbe hozhatók. a b, a b és egiánúak. a b, ha

6 Vektoműeletek.. Vektook szozása számmal Vekto (a) szozása számmal (k skaláal) olan ektot eedménez, amel az a ektoal páhuzamos és hossza a k. z ába különböző k étékek esetén szemlélteti az eedménektot. Ha k, akko az a k, agis k a ekto egségekto. a.. Vektook összege, különbsége Ha az összeadandók a és b, akko paalelogamma módsze háomszög módsze Ha a kionandók a és b, akko Figelje meg az a b ill. b a ektook iánítottságát!.. Vektook szozása... Vektook skaláis szozata Vektook skaláis szozatának eedméne skalá. Jele ab. Ételmezése: ab a b cos, ahol a szozandó ektook által bezát szög 8. skaláis szozat, ha alamelik ekto nullekto, ag 9.

7 - 7 - fenti állítás megfodítása is igaz, ha két ekto skaláis szozata, akko a ektook meőlegesek, ag an közöttük nullekto.... Vektook ektoiális szozata Vektook ektoiális szozatának eedméne ekto. Ebből köetkezik, hog az eedménektonak úg az iánát, mint a nagságát is definiálni kell. Jele: a b. Ételmezése: a b c, ahol c a b sin az eedménekto nagsága. Iána az a, b ektook síkjáa meőleges, iánítottságát pedig az ábák szemléltetik. c ab c ba Vagis a b ( b a), uganakko a b b a c eedménekto abszolút étéke számétékben megegezik az ába szeinti paalelogamma teületéel. Miel b sin m, íg c a b sin a m T Ha, akko a b (páhuzamos ektook). Ha a b, akko legalább alamelik ekto nullekto, ag.... Vektook eges szozata Vektook eges szozatának eedméne skalá.

8 - 8 - Jele: abc Ez azt jelenti, hog eg a b ektoiális szozat eedménektoát szoozzuk c -el skaláisan. Megjegzések: ha a, b, c eg síkban an, akko eges szozatuk étéke. ( ab) c c ( ab) bizonítható, hog abc skalá szám a háom ekto által alkotott paalelepipedon (paalelogammák hatáolta hasáb) téfogatának métékszámáal egenlő.. Koodinátákkal adott ektook z előző fejezetben definiált ektoműeletek dimenziós tében szemléltethetők. Ha a ektookat eg dimenziós (tébeli) Descates-féle koodináta endszebe helezzük el úg, hog kezdőpontjuk az oigó legen (helektook), akko a ektook égpontjai db koodinátájukkal (,, z) egételműen megadhatók. Mondhatjuk, hog minden endezett számhámas (pl. a, a, a ) eg tébeli ektot definiál. koodinátatengelek iánába mutató egségektookat megállapodás szeint i, j, k-al jelöljük, és szokás ezeket bázisektooknak is neezni. (Megjegzés: más ektook is alkothatnak bázist. háomdimenziós tében db ekto bázist alkot, ha nincsenek eg síkban és nincs köztük nullekto.) ektook szozásánál tanultak alapján ezen ektook szozatai: Skaláis szozatok: ii jj kk, ij ik jk. Vektoiális szozatok: i i j j k k, i j k, k i j, j k i, j i k, i k j, k j i. Vektook koodinátás megadása: i j k

9 - 9 - ektot tulajdonképpen db egmása meőleges ekto összegeként adjuk meg, amiből számos előn számazik.,, számhámast a ekto i, j, k bázisa onatkozó koodinátáinak is neezzük. Megjegzés: az i, j, k bázisa onatkozó koodináták megegeznek az oigó kezdőpontú ekto égpontjainak koodinátáial. Más bázisektook esetében ez nem áll fenn... Műeletek koodinátákkal adott ektookkal... bszolút éték... Két ekto egenlősége Ha a b, akko és csak akko, ha a b ; a b ; a b... Összeg, különbség a b a b ) i ( a b ) j ( a ) k ( b... Skaláal aló szozás k ki kj k k Példa: a i j k b i j 5k Számítsuk ki a b étékét! a b 6i j 9k ( i j 5k) 5i 5j k ka kb ektot az a és b lineáis kombinációjának is neezzük. Vegük észe, hog az íg előállított ekto biztosan benne an az a és b által kifeszített síkban....5 dott ekto egségektoa a e a a ai aj ak a a a a a a Ellenőizzük, hog a teljesül-e? e a i Megjegzés: az oigó kezdőpontú egségektook (speciálisan ilenek az i, j, k ektook is!) égpontjai eg egségsugaú gömbfelületen annak. z egségektook koodinátáit iánkoszinuszoknak is neezzük, étékük. Példa: a i j k a e i j k i j k a a a a j a a a a k

10 - - például az a tengellel és a z tengellel bezát szögének koszinusza....6 Skaláis szozat a a a b b b ab i j k i j k ab ii ab jj abkk ab ij ab ik ab ji abjk abki abkj a b a b a b Pl.: a i j, b i j k, akko ab Visszatekinte az ab a b cos definícióa, ebből a két ekto által bezát 9 -os szöge köetkeztethetünk. Pl.: a i j k, b i j k ab cos,7, 8 a b...7 Vektoiális szozat a b ai aj ak b i b j bk a b i i ab i j... ab ab i ab ab j ab ab k ektoiális szozat kiszámítása sok számolással já, a égeedmén képlet bemagolása felesleges. z eedménből köetkeztethető, hog i j k a b a a a hamadendű detemináns kifejtése (ld. Matematika.), íg a számolás b b b menete können memoizálható. Ha a b, akko a és b páhuzamos ( ), ag legalább egik ekto nullekto....8 Összetett ektoszozatok z a bc eedméne ekto. a z a bc eedméne skalá (egesszozat), ez utóbbi szintén kiszámítható a b c detemináns kifejtéséel. egesszozat étékű, ha a szozandó ektook eg síkban annak (ui.: c-a, íg skalá szozatuk zéus). a b c a b c a b meőleges

11 - -. Vektoalgeba alkalmazásai ektoalgebát a temészettudománok számos teületén (kiemelten a fizikában és a műszaki tudománokban) alkalmazzák. Mi itt néhán matematikai alkalmazása téünk ki... Egenes egenlete Középiskolában észletesen foglalkoztunk az egenessel, mint az egik legegszeűbb síkgöbéel. z egenes a kétdimenziós tében (síkban) ábázolható és a sík azon pontjai annak ajta eg egenesen, amelek kielégítik az m b egenletet (m és b konstansok). Általánosabban, az a b c az egenes egenlete, amelet célszeűségi okokból másmás alakua lehet hozni. Tében a helzet alamiel összetettebb, de jól áttekinthető. Hogan hatáozható meg eg egenes? Leggakabban; két (nem egbeeső) pontja megadásáal; eg pontja megadásáal és iánektoáal (amellel páhuzamos). z utóbbial foglalkozunk, met az előző ee isszaezethető. dott P ; ; z pont (ag ami azzal egenétékű, az oda húzható helekto), és eg iánekto (koodinátáial: ; ; ), hossza közömbös ( ) z ába alapján PP de PP, ezét PP t, íg t az egenes ektoegenlete, ahol a t paaméte minden alós étéket felehet. Pl.: P ; ; ;; i j k i j k i j zk, íg

12 - - t egenlet koodinátás alakban az adott adatokkal; j k t i j k t j t k t i j zk i endeze i j zk i t t, amiből z t az egenes paamétees (skalá) egenletendszee. Pl.: t esetén 5 ; ; P 5;; pontba juthatunk. z, azaz a t paaméte kiküszöböléséel z egenletendszehez jutunk. Hol döfi ez az egenes a koodinátasíkokat? z, síkot z -nál döfi, azaz, amiből 7, illete, a döféspont koodinátái. z, z síkot -nál döfi, azaz z, amiből és z számítható. Uganez elégezhető az, z síkkal aló döféspont esetében is. Hatáozzuk meg a P P ; ;z. P szakaszt : aánban osztó pont koodinátáit: PP 5 5 i j zk i j k i j k 5

13 - - 6 i j zk i j k Tehát 5, 6, 5 z 5 a P pont koodinátái. Pl.: Hatáozzuk meg a P ; ; ; ;; P pontokon átmenő egenes egenletét. Válasszuk iánektonak a P P ektot, akko i 5j k. Ezzel a feladatot az előzőeke ezettük issza. Legen az adott pont P, az iánekto, akko t a keesett egenes ektoegenlete... sík egenlete síkot a tében (aglagosan) db nem eg egenese illeszkedő pont, db páhuzamos, nem egbeeső egenes; egmást metsző egenespá; db pont és a síka meőleges ekto (ún. nomálekto: n) meghatáozza. különböző esetek az adott ponton átmenő adott nomálektoú sík poblémájáa isszaezethetők, ezét ezzel foglalkozunk előszö. ; z n n ; n n. Íjuk fel a sík egenletét! dott P, ; ; PP ekto benne fekszik az S síkban (P a sík tetszőleges pontja), ezét meőleges n-a ( n) Mint koábban láttuk (ld....), két egmása meőleges ekto skaláis szozata zéus, azaz

14 - - n a sík ektoegenlete. Pl.: adott P ;; és n i j k i j zk i j k i j k, akko a sík koodinátás ektoegenlete, amel átalakítás után i j z k i j k, ahol a skaláis szozás elégzése után z, azaz z 5 a sík skalá egenlete. (Vegük észe, hog,, z egütthatói ; ; éppen az n koodinátái!) Keessük meg ezen sík koodinátasíkokkal aló metszésonalainak egenletét. z, síkot ott metszi, ahol z, tehát 5 a metszésonal egenlete. Hasonlóan számítható ki a másik két koodináta síkkal aló metszésonal egenlete is. Feladatok: Számítsa ki a metszésonalak által alkotott háomszög teületét! Számítsa ki ezen háomszög súlpontjának koodinátáit! Számítsa ki a háomszög köé iható kö sugaát! Pl.: dottak a P ;; ; P ;; ; P ; ; pontok. Ellenőizze, hog nincsenek eg egenesen, majd íjuk fel a háom ponta illeszkedő sík egenletét! Miel az n können meghatáozható, íg az n n. i k ; j k ektoegenlet alkalmazható:

15 - 5 - i j k n i k j k i j k i j k. Válasszuk adottnak a P pontot (temészetesen P, ag P is álasztható), akko i j zk j k i j k a sík koodinátás ektoegenlete, amiből i j z k i j k és z a sík skalá egenlete. Célszeű lehet ezt eplicit (z=f(,))alaka hozni, ami esetünkben z és z Általánosan z B C (ld. []..) a sík eplicit egenlete. Ha a sík metsző ag páhuzamos egenesekkel adott, akko db nem eg egenese illeszkedő tetszőleges pontot felée a feladat az előzőe isszaezethető. Feladat: dott eg egenes és eg á nem illeszkedő pont. Íjuk fel az adott ponta illeszkedő, az egenese meőleges sík egenletét. (z egenes iánektoa a sík nomálisa lesz!) Pl.: Milen messze an a ;; P pont az z egenestől. Íjuk fel a P ponton átmenő és az adott egenese meőleges S sík egenletét! sík nomálisa (n) az egenes iánektoa

16 - 6 - i j k n, amelet az n egenletbe helettesíte i j zk i j k i j k z, agis z, ebből a sík skalá egenlete D pont a síkon és az egenesen is ajta an, tehát koodinátái úg a sík, mint az egenes egenletét kielégítik, azaz z a megoldandó egenletendsze z z 6 behelettesítéséel 6 7, amiből z, 7 8 D ; ; 7 d P D Feladat: milen messze an a ;; P pont a z 5 síktól?... Útmutatás: a P és D pontokon átmenő és az S síka meőleges egenes iánektoa a sík nomálisa! megoldás toábbi lépései az előző példához hasonlók.

17 Hajlásszögek meghatáozása... Két egenes hajlásszöge Két egenes hajlásszöge: az iánektoaik által bezát szög (függetlenül attól, hog metsző ag kitéő egenesekől an-e szó). Pl.: egik egenes paamétees egenletendszee: t t z t z a másik egenes egenletű. z egik egenes iánektoa i j k. másik egenesé i j k. cos skalá szozatból cos ez tompaszög , tehát a hajlásszög... Két sík hajlásszöge Két sík hajlásszöge: a nomálektoaik által bezát szög. Ha a sík egenletét B Cz D alaka hozzuk, akko, B, C éppen a nomálekto koodinátái. Pl.: legen z z a két sík egenlete. n n i j k i j k Íg n n n cos cos. n... Egenes és sík szöge Egenes és sík szöge: a sík nomálektoa és az egenes iánektoa által bezát szög pótszöge. Pl.: z 5 a sík egenlete,

18 - 8 - z az egenes egenletendszee, n i j k n akko cos i j k n 9.. Vekto meőleges etülete ektoon Keessük eg a meőleges etületektoát eg b ektoa. dott a,b, keessük ab -t. Ennek abszolút étéke a b a b b e ab e b e (Ha, akko a a b, 9, akko ab.) ab ab a cos a ab a b e

19 - 9 - Vektoanalízis Eddigi tanulmánaink soán eg és kétáltozós alós függének analíziséel foglalkoztunk, a szóba jöhető étékek a alós számok halmazából alók oltak. Egáltozós alós függéneket f, ag f, -al jelöltük. Pl.: e, ag e. kétáltozós alós függéneket z f,, ag f,, z -al jelöltük. Pl.: z ln, ag sin z. zokat a függéneket, amelekben ekto áltozó is előfodul, ektofüggéneknek neezzük. Lehetséges esetek: skalához ektot endelünk, amelet ekto-skalá függénnek neezzük (ezen belül két esettel foglalkozunk); ektohoz skalát endelünk, amelet skalá-ekto függénnek neezünk; ektohoz ektot endelünk, amelet ekto-ekto függénnek neezünk.. Vekto-skalá függének.. Egáltozós (egpaamétees) ekto-skalá függének Általában t-el jelölt skalá áltozóhoz (fizikában ez leggakabban az idő), annak szóba jöhető étékeihez ektookat endelünk. Jele: t. Koodinátás alakban: t t i t j zt k. Pl.: ti t j t k t függén a míg a t étékhez az i j Megjegzés: az t t i t j zt k t, t, zt t skalához az i j k ektot endeli. megadás egenétékű az z egáltozós alós függének megadásáal és iszont. Ábázolás: tébeli deékszögű koodináta endszeben az t tégöbét hatáoznak meg (speciálisan lehet síkgöbe is). Pl.: ti t j t k ektot, helektook égpontjai eg t függén néhán pontját ábázolhatjuk étéktáblázat segítségéel ( t ), aminek felhasználásáal a tégöbe eg daabja közelítően felajzolható.

20 - - t z P P P P P5 P6 Megjegzés: ha t időt jelent, akko göbéjének pontjait adják. t égpontjai eg pontszeű test által beját pála Gakoi tégöbe a hengee (esetleg kúpa) csaat spiális. R cos ti Rsin tj ctk ( R, c adottak) eg egenletes menetemelkedésű spiális ektofüggéne. z t Ez t esetén t Ri étéket esz fel, tehát az tengelt az R;; P pontban metszi.

21 - - menetemelkedés (eg köülfodulása eső z iánú elmozdulás) M t t legen t, akko t M R cos i Rsin j c k R cos i Rsin j k Rj c k Rj c k ck M c Megjegzés: itt a t paaméte az szöge adiánban. t ekto, síka ett etületének tengellel bezát Édekes tégöbék alakulnak ki testek áthatásako. z ún. Viiani-féle göbe gömb és köhenge áthatásából (közös felületi pontok összessége) számaztatható. (Viiani-féle göbének neezzük az R sugaú gömbfelületnek és eg olan köhengefelületnek a metszésonalát, amelek eg alkotója áthalad a gömb középpontján, és átméője a gömb sugaáal egenlő.) z ába szeint: t R cos ti Rsin t costj Rsin tk. Ld. [5] 7. oldal Itt R a gömb sugaa, és a henge átméője. Temészetesen a két test sugaának métékétől és az egmáshoz iszonított helzetüktől függően különböző alakú tégöbék nehetők.... Deiálás Ha az (t) függénből képzett hatáétéke diffeenciálhánados t esetén, akko az t t t diffeenciahánadosnak an éges t t függén a t t helen diffeenciálható, a

22 - - lim t t t t t, jelölése t d dt t t ag t. Ha az t függén eg T halmazon diffeenciálható, akko a függént az t Bizonítható, hog t t t i t j z t k t i j sin tk t t ti j cos tk t Pl.: t lim t deiált függénének ag deiáltjának neezzük, jele (t)., és pl: t t t akko diffeenciálható, ha a koodinátái diffeenciálhatók és akko i j cosk i j,5k deiálási szabálok hasonlók a alós függéneknél megtanultakkal, de az eltééseke felhíjuk a figelmet! pl.: t tk i 6tk c c i j t k i (, ag másként ) ( ) deiált függén deiáltjait magasabbendű deiáltnak neezzük. t Legen t e i tj k, akko t e t 6 i j k e t i k. t t Pl.: Bebizonítható, hog t az t t ektofüggénhez endelhető tégöbe éintőektoa a t t -hoz tatozó P pontban. Pl.: t ti j t k éintőektoa a t t helen, azaz a P (;;) helen; t i j t k, amiől t t i j k ekto a P -hoz tatozó éintőekto. i j k 6 Ennek egségektoa e i j k

23 - - Megjegzés: szokás (elég gakoi) az éintő egségektot t -el jelölni (tangenciális, éintőleges), de esetleg összetéeszthető a t skalá paaméteel. Mi az e t jelölést jaasoljuk. z éintőekto ismeetében az éintő egenes egenlete felíható (ld...): t felhasználásáal, hiszen az éintőekto egben iánekto is. Megjegzések: itt lehet ag e t ; itt az éintő egenes (mint tégöbe ) ektofüggéne nem azonos annak a tégöbének a ektoegenletéel, amihez az éintőt leítuk (ezét célszeű más jelölést alkalmazni, pl.: R); az t tégöbe t paamétee nem azonos az éintő, mint tégöbe paaméteéel (ezét itt is célszeű más jelölést alkalmazni, pl.: ). ti j t k tégöbe éintője egenletét a t t paaméteétéknél. koábbi számolások felhasználásáal az éintő iánektoa t i j k. t () i j k Pl.: Íjuk fel az t z éintő ektoegenlete R : i j zk i j k i j k endezés után z az éintő egenes paamétees egenletendszee, ami z alakúa hozható. második deiáltját ( t z t ) az első deiált ( t ) deiálása útján számítjuk ki. Pl.: t t t e i j tk t t t t t t e i e t j t k i (t ) j t k t t e i t i j k e j t k e t i t j t k

24 - - tégöbe eg adott helén (adott t étékhez tatozó P helen) a két deiált ( (t ) és t ) hajlásszöge ( ) például a skaláis szozatuk segítségéel kiszámítható (ld. ába). t (t ) (t ) Megjegzés: a fizikában pontszeű test tébeli mozgása esetén, ha a t az időt jelenti, akko t t t pedig a gosulása. Nagon fontos, hog a test pálaegenlete, a sebessége, ez a gosulásekto felbontható eg éintőiánú ( t iánú és eg aa meőleges komponense ún. pálamenti ill. centipetális gosulása). Speciális esetben, ha, akko csak pálamenti gosulás lehet (egenesonalú mozgás), míg 9 és az esetén csak centipetális gosulás an (pl. egenletes kömozgás). z t t ektook által kifeszített síkot (ha ) a tégöbe simuló síkjának neezzük az adott helen. Ez a sík a nomálisáal jellemezhető, amelet binomális ektonak (m) neezünk. Nilán m t t, ennek egségektoa az ún. binomális egségekto (b), amelet m b alapján tudunk kiszámítani. m simuló sík (s) egenlete az adott hel s b. Megjegzés: az éintőekto P ( t ) és b (ag m) ismeetében felíható t által meghatáozott éintőegenese égtelen sok sík illeszthető. Ezen síkok köül a tégöbe a simuló síkhoz simul a legjobban az adott P helen. z éintő egségekto e (gakan t-el jelölik) és a binomális egségekto (b) az t tégöbe eg adott pontjában mindig meőleges egmása.

25 - 5 - z éintő és a binomális egségekto mellett fontos szeepe an az ún. főnomális egségektonak. Jele: n, étéke definíció szeint n b e, agis a háom egségekto egmása meőleges (hasonlóan, mint i, j, k), és tulajdonképpen eg koodináta endszet alkotnak; nee kíséő tiéde. z ábán a kíséő tiédet és az egségektook által páonként kifeszített síkok (S, N, R) elneezését is feltüntettük. síkgöbék göbületéhez hasonlóan ételmezhető a tégöbe göbülete (g) eg adott pontban (P). Ez tulajdonképpen az éintőekto iánáltozásának ( ) métékét jellemzi az íhosszhoz ( s ) iszoníta. (t) (t t) (t) (t t) definíció tehát: g lim, ahol az t és az t t ektook hajlásszöge. s s g kiszámítható a tégöbe t egenlete ismeetében is g képlet alapján.

26 - 6 - Pl.: dott k j i sin t t t t. Számítsuk ki a t helhez tatozó P pontban a kíséő tiéde egségektoait, az azoka illeszkedő síkok egenletét és a tégöbe göbületét! i k ) P(;; k j i cos t t t t k j P k j i sin t t t k i P k j k j e az éintő egségekto. k j i k j i m a binomális ekto, amelnek egségektoa k j i k j i k j i m m b főnomális egségekto k j i k j i b n e tégöbe göbülete a P helen k j i g (figelembe ettük a binomális ekto és annak egségektoa kiszámításánál kapott eedméneket). kíséő tiéde háom síkja mindegikének ismejük eg pontját ( P ) és nomálisát. Tehát bámelik sík egenletének felíása uganazon pobléma megoldása (más számokkal). Mi a simuló sík egenletét fogjuk kiszámítani. dott ;; P és a nomálisa k j i b simuló sík (S) tetszőleges pontja legen P, ahoá az k j i s z ekto mutat, akko a sík n általános egenlete esetünkben b s alakú.

27 i j z k i k z i j k i j k i j k 8 z a simuló sík skalá egenlete Rendezés után 8z 8, illete 8z 9 a simuló sík egenletének legegszeűbb alakja. Megjegzések: síkgöbék simuló köéhez hasonlóan tégöbe eg pontjához is endelhető simuló kö, amel a simuló síkban an. Ennek sugaa R, középpontja pedig a g főnomális egenesen an. tégöbe egenletét alamel kíséő tiédeben, mint koodináta endszeben is fel lehet íni (íhossz paaméteel). z íhossz kiszámításáa a későbbi fejezetben még isszatéünk. Ebből bizonos esetekben előnök számazhatnak, például bizonos számolások egszeűbbé álhatnak. Hog eg tégöbe mennie té el eg adott hel könezetében a síkgöbétől azt az ( ) ún. tozióal (T) lehet jellemezni, amelnek nagsága T, ahol a számláló egesszozat(!). Eg ekto-skalá függén szögsebességén az ába alapján az hatáétéket étjük. Ez kiszámítható az összefüggésből. lim t t.. Kétpaamétees (kétáltozós) ekto-skalá függének z előző fejezetben láttuk, hog az t egpaamétees ekto-skalá függén tébeli deékszögű koodináta endszeben tégöbét hatáoz meg. z u, ektofüggénben két skalá paaméte (u, ) szeepel. függént kétpaamétees (két skaláis áltozós) ekto-skalá függénnek neezzük. Tébeli deékszögű koodináta endszeben a u, helekto,, z koodinátái is ezen skalá paaméteek függénei, azaz

28 - 8 - u, u, i u, j zu, k. z u, helekto égpontjainak halmaza (a függén gafikonja) általában felület. (Má itt felhíjuk a figelmet aa, hog a koábbi tanulmánaik soán má találkoztak a z f, típusú kétáltozós alós függénekkel, amelek gafikonja szintén (általában) felület. Ez a kétfajta függén szoos kapcsolatáa utal. Ee még isszatéünk.) Pl.: u, ui j u k esetén u, u, u,, zu, u. z ábán néhán pontot (helekto égpontot) tüntettünk fel különböző, tetszőlegesen álasztott u, paaméteétékek esetén. u, ; j k u, u, ; i j k ; i j 5k Feletődik a kédés, hog a P, P, P pontok milen felülete illeszkednek? Általában a u, u, i u, j zu, k kétpaamétees ekto-skalá függén megadható háom kétáltozós függénnel u,, u,, z z u, alapján. Előző egszeű példánkban u,, z u, amiből iszont z köetkezik. Esetünkben tehát eg fogási paaboloida illeszkednek a u, helektook égpontjai. Ha a két paaméte alamelikét konstansnak álasztjuk, akko olan egpaamétees u, ekto-skalá függént kapunk, amelhez tatozó tégöbe ajta an az függénhez tatozó felületen. Pl.: u, u i uj u k kétpaamétees ekto-skalá függén u álasztással i j k egpaamétees ekto-skalá függént adja, amelhez tatozó tégöbe ajta an az u, függénhez tatozó felületen; álasztással u u i uj u k a kapott egpaamétees ektoskalá függén.

29 - 9 - Pl.: Íjuk fel annak a síknak a kétpaamétees ekto-skalá egenletét, amel illeszkedik a P ;; ponta és páhuzamos az a i j k ill. b i j k helektookkal. u, ua b, az adott adatokkal u, i j k ui j k i j k iu j u ku u, u u, u u, u,, z a sík (felület) paamétees skalá egenletendszee (Gauss-féle megadási mód). z első két egenletből: u u, íg z a sík kétáltozós skalá egenlete, amelből endezéssel z 5 5 adódik. Feletődik a kédés, hog a z f, alakú kétáltozós függének által meghatáozott felület megadható-e kétpaamétees ekto-skalá függénként, és ha igen hogan. Ha speciálisan az és deékszögű koodinátákat álasztjuk paaméteeknek, azaz u, z f, és ezzel, akko u,, i j f, k a keesett függén (un. Eule-féle megadási mód). Pl.: z f, (elliptikus paaboloid), akko a megfelelő (keesett) ektofüggén:

30 - -, i j k a keesett ektofüggén. pobléma fodítottja; az u, ektofüggén felíható-e z f, f,, z ) kétáltozós skalá függénként, a álasz; lehet, de nem biztos. Pl.: legen u, 5sin cosui 5sin sin uj 5cosk z cos u sin u 5sin 5sin, akko 5cos és z 5 (ag z 5 agis u,,,, z f ) (ag eg 5 sugaú oigó középpontú gömbfelület egenlete (ld. még gömbi koodináták, ahol u, paaméteek szemléletes jelentésée is fén deül). Vagis sikeült az F(u, ) függént f(,, z) alakúa hoznunk.... Kétáltozós ekto-skalá függének deiálása Két paciális deiáltat definiálunk a diffeenciahánadosok hatáétékeként (ld. Kétáltozós alós függének) u ill.. u Koodinátás alakban: u u i u j zu k és i j zk. Ezekből képezhetők a magasabbendű paciális deiáltak is. Pl.: legen u u, ue i uj k, akko u e u u i j k ue i uj k u uu k ue u i k e i j k u paciális deiáltak is kétpaamétees ekto-skalá függének. dott u, paaméteétékek esetén a hozzájuk endelt ekto behelettesítéssel kiszámítható. Legen u,, akko ; ei j ; ei j k, u k, ; k uu stb. z és u u ; u ; paciális diffeenciálhánadosok a felülete illeszkedő megfelelő tégöbék éintőjének iánektoai. Ha a paciális deiáltak foltonosak, akko a felület eg u ; helektoú pontjához tatozó összes éintője eg síkban an, amelet a felület adott ponthoz (adott helektohoz) tatozó éintősíkjának neezzük. Ezen éintősík nomálisa n, amel n u -ből kiszámolható.

31 - - Ennek ismeetében az éintősík egenlete felíható: Jelölje R az éintősík tetszőleges pontját (futópontját), akko az helektohoz tatozó éintősík egenlete R n, agis R u. Ez pedig R, az u és ektook eges szozata, amit R i j zk, z i j k felhasználásáal detemináns fomájában is felíhatunk: u u z z zu z detemináns kifejtéséel megkapjuk a sík egenletét (kétáltozós alós függénként). Megjegzés: a felület nomálisának iánítottsága az u és paaméteek soendjétől függ, ennek bizonos esetekben an jelentősége. (Feltételezzünk, hog.) u,. Keessük a felület éintősíkját az u, paaméteétékű pontban: ; 9i j P 9; ;. Pl.: Legen u u i j uk k, u ui j k u i j uk z éintősík egenlete 9 z 8 8 i j k u P P i j k u, amiből 9 5 z 7. Rendeze 5 7z 8 adódik. Pl.: Legen a felület z f, u alakban megada (pl. z 5 ) és keessük az éintősíkot. kko u, paaméteálasztással, i j f, k, i j k, esetünkben 5. dott és z f, esetünkben legen,, akko z az éintési pont koodinátái. számolás a toábbiakban az előző példáal azonos. i k P i k j k P j 6k 6 esetén

32 - - Tehát z z 6 az éintősík egenlete. kifejtést az olasóa bízzuk. Ellenőizze, hog a kétáltozós alós függéneknél tanult módon felít sík egenletéel megegező-e az eedmén?. skalá-ekto függén zokat a függéneket, amelek ektoáltozóhoz skalá függénétéket endelnek skalá-ekto függéneknek neezzük. Jele: u u Ha a ektot i j zk koodinátás alakban íjuk, akko mondhatjuk, hog az u u ekto-skalá függén megegezik az u u,, z háomáltozós skalá függénnel. Például eg tében a hőmésékletáltozás skalá-ekto függénnel jellemezhető, hiszen a té eg-eg pontjához mutató ektohoz az ottani hőmésékletet endeli. T T z ilen tulajdonságú teeket skalá teeknek neezzük. z u u,, z háomáltozós skalá függén tébeli deékszögű koodináta endszeben csak u áll. esetén ábázolható. z u,, z áll. egenlet eg felület egenlete, az adott állandóhoz tatozó níó ag szintfelület. z Pl.: ha az u és u, akko a z neegfelületet kapjuk. Példánkban u c esetén, z c agis alamenni szintfelület neegfelület ( c ). Pl.: ha az u z z z és u ende,,, akko z fogási paaboloidok a szintfelületek. z u u definíció szeint legen például, íg u, akko miel skalászozat étéke z u z a megfelelő háomdimenziós skalá függén. Ennek szintfelületei u c ( ) oigó középpontú koncentikus gömbök. c c z, ahol R a gömbsugá négzete)... skalá-ekto függén deiálása skalámezőt leíó u f,, z háomdimenziós függénhez endelhető u u u i j k ektot (feltée, hog a paciális deiáltak az ételmezési tatománban z

33 - - mindenütt léteznek) a skalámező gadiensektoának (gadiensének) neezzük, jele (Szokásos még a gad u ui u j uk jelölés is) Pl.: menni az u z z skalámező gadiense a P ;; pontban? i zj k gad u P i j u u skalámezőhöz a u gad u, amiből k gad u. Figeljük meg, hog az gad ektoteet endel. gadiensekto mindig abba az iánba mutat, amee halada a skalámező étékei a legnagobb métékben áltoznak.... nabla opeáto Definíciószeűen a szimbólum (ektoszimbólum) eg adott pocedúa szeinti utasítás elégzésée utal; i j k z (Vegük észe, hog ez önmagában nem elégezhető műeleteke utal, hiszen nincs mit deiáljunk!) nee nabla (ag Hamilton) opeáto. gadiens kifejezhető ezzel az opeátoal; u u u gad u u i j k. z ektoa uganazon szabálok alkalmazhatók, mint más ektooka. Mondhatjuk, hog a gad u és a u jelölés egenétékű! Eg édekes eset a nabla önmagáal aló skaláis szozata (négzete) i j k i j k z z z Ez eg skalá opeáto, amelet Laplace-opeátonak neezünk, jele. Vagis = u u u Pl.: u z ha u z, akko u 6z. Pl.: ételmezhető-e a ( u gad gad u? Nem, met u (ag gad u ) ektomező, és annak nincs gadiense! ) műelet, ag másként ía a. Vekto-ekto függének (ektomezők) z olan függéneket, amelek ektoáltozóhoz () ekto étéket () endelnek, ektoekto függéneknek neezzük. Jele: u z () helektook (koodinátásan i j zk ) égpontjaihoz ez a hozzáendelés egeg új ektot agis: i j k endel, ahol,, az,, z koodináták függénei,

34 - -,, z,, z,, z, zi,, zj,, zk, a ekto-ekto függén leggakoibb (koodinátás) alakja. Vekto-ekto függénekkel jellemezhetők a fizikában pl. az eőteek (gaitációs, elektomágneses), a sebességteek (áamlások) stb. Szokás az () ektook halmazát tágekto-tének, a () ektook halmazát képektonak neezni. ekto-ekto függén ábázolása az adott () ektookhoz tatozó () ektook felajzolásáal lehetséges, de ez általában nem ezet áttekinthető, ételmezhető ábához. Hatásosabb az ún. áamonalakkal töténő ábázolás. z áamonalak olan iánított göbék, amelek éintői bámelik () pontban egiánúak a ektoal. z áamonalak (általában tégöbék) egenletének meghatáozásáal nem foglalkozunk. Pl.: íjuk fel a ekto-ekto függént koodinátás alakban. i j zk, ezét z, íg i j zk z i j k z z z z Ez a függén a té minden pontjához a helektoa iánába mutató egségektot endel. Q Pl.: Pontszeű Q töltés elektomos eőteét az E k függén íja le. Ez átíható kq E alaka, amiből az z E kq( i j k) koodinátás alak adódik. z z z

35 - 5 - Megjegzések: - Kétdimenziós esetben (síkban) kimutatható a ekto-ekto függének és az ún. komple áltozós függének közötti szoos kapcsolat! z ún. komple áltozós f z f i f z függén alós és képzetes észe is függének alakúak. z eg-eg kétáltozós függén, azaz,, f z u i. Ez azt jelenti, hog eg komple áltozós függén megadása egenétékű eg kétáltozós függénendsze u, ;, megadásáal. Ebből köetkezik, hog a komple áltozós függének megfelelnek a síkbeli (kétdimenziós) ekto-ekto függéneknek. (Itt az i az imagináius egség, ( i ) ami nem téesztendő össze az i egségektoal.) fentiek miatt a komple áltozós függének z f z leképezése a síkban ábázolható, ellentétben az tébeli leképezéssel. - Homogén lineáis ektofüggénnek neezzük azokat, ameleke c c c c teljesül. Ezek a ektofüggének,, z a a a zi a a a zj a a a zk alakúak. z a számokból eg -as négzetes mátiba endezhető táblázat ij szekeszthető a a a a a a a a a z jelű ún. homogén lineáis opeátot tenzonak neezzük. öid szimbólummal leíható. Ezzel a.. Vekto-ekto függének diffeenciálása... Vektoté diegenciája,, zi,, zj,, zk függénből kiszámítható ; ; z diegenciájának neezzük. Jele: di, tehát di z Pl.: legen z,, z i j ln zk, akko paciális deiáltak összegét a ektoté P,, z ponthoz tatozó z ( ln z) z di z z Legen P ;;, akko di P Tehát a ektoté diegenciája eg háomáltozós alós függén, eg adott helen pedig annak helettesítési étékeként eg skalá számot kapunk.

36 - 6 - diegencia kifejezhető a nabla opeátoal is: di i j k i j k z z kétfajta jelölés egenétékű. Kédés: ételmezhető-e a di Igen, met a gad kifejezés? ekto-ekto függén diegenciája skalá függén (mező) annak pedig létezik a gadiense, ami pedig ekto (ektomező). Pl.: i z j k di z ( u ) z z gad di gad z z u u u i j k i j z k z z z legen P ;;, akko 7 gad di P i j k a gadiens ekto a P helen. Uganez a műeletso a nabla opeátoal alakban is felíható. diegencia étéke a ektomező ún. foásosságát (foás, ha pozití, ill. nelő, ha negatí) fejezi ki. Ha a di, akko a P pontban a ektomező foásmentes. P P di, akko a P pontban a ektomező foásos. P di, akko a P pontban a ektomezőnek nelője an. P di, minden szóba jöhető helen, akko a ektoté foásmentes.... Vektoté otációja,, zi,, zj,, zk függénből képezhető ekto függént a ektoté otációjának (öénességének) neezzük; jele: ot, azaz ot Pl.: legen i j k z,, z zi j z k z, akko

37 - 7 - ot z i i j k z z z z z z j z z z z k z z z P ; ;, akko i j z k z i z j zk legen z z ot P i 5j k Tehát eg ektoté otációja szintén ektoté, amelnek adott helen ett étéke eg ekto. Ha eg ektoté otációja minden szóba jöhető helen zéus, azaz ot, akko a ektoteet otációmentesnek (öénmentesnek) neezzük. Pl.: Ételmezhető-e a ot ot kifejezés? Igen, hiszen a ektoté otációja is ektoté, íg annak szintén képezhető a otációja, aminek eedméne ektoté. Pl.: Ételmezhető-e a di ot kifejezés? Igen, hiszen a ektoté otációja is ektoté, aminek diegenciája eg háomáltozós skaláté. Pl.: Ételmezhető-e a ot di kifejezés? álasz nem. Indokolja! Pl.: Számítsa ki a u z ot gad u étékét, ha u u u gad u u i j k z ot gad u gad u u i z j zk i j k i z z z Vagis az adott u,, z skaláté gadiense otációmentes. z z j k

38 - 8 - Ez nem életlen, hiszen a és a u. ot gad u u. Tehát ektook páhuzamosak, íg ektoi szozatuk mindig má koábban említett (Laplace) opeáto megadható di gad opeátook egmás utáni alkalmazásaként. di gad u u u. u. Vektofüggének integálása Háomféle ektofüggénől olt szó az előbbiekben: - ekto-skalá (eg és kétpaamétees) - skalá-ekto - ekto-ekto Ezen függéntípusokkal kapcsolatban is definiálhatók integálok, amelek azonban nagmétékben eltéhetnek az eg és kétáltozós függének integálásánál tanultaktól. Ebben a fejezetben összefoglaljuk a legfontosabb (a gakolatban leginkább előfoduló) integálokat és azokat példában szemléltetjük... Egpaamétees ekto-skalá függén íhossza Eg foltonos tégöbe két pontja közötti íhosszának neezzük azt a számot, melhez a göbéhez húzott töött onalak hosszai tatanak, ha az osztópontok számát minden hatáon túl nöeljük, miközben a tööttonalat alkotó húok hosszának maimuma a -hoz tat (ld. ába). n S n S k a beít húok (poligonok) hossza. tégöbe B pontok közötti íhossza a leezetés mellőzéséel: n t t s lim Sk dt z dt n ma S t k t Pl.: legen t t t i j k t i tj tk, akko

39 - 9-9 t 5 t íhosszát az t paaméteinteallumban! Keessük az 9 t 5 9 s t 5dt Ha t nem eg adott éték, hanem foltonosan áltozó paaméte, akko az integál (az íhossz) ezen t-nek lesz a függéne. s t t t dt Ha az s st függénből a t kifejezhető, akko f s t függénhez t jutunk (pl.: ha eg feladatban s adódik, akko ebből t ( f s, t s t eg ögzített pont, amitől az í hosszát méjük). Ha az íhosszat álasztjuk paamétenek, akko az t t i t j zt k függén, t f s alkalmazásáal s si sj zsk alakú lesz. z íhossz mint paaméte, sok esetben, számos előnnel já (ld....): Pl.: megszokott esszős nem pont jelölést). s g (göbület) stb. s az éintő egségekto (itt a deiálás s szeint töténik, ezét alkalmazzuk a.. Kétpaamétees ekto-skalá függén felszíne hogan az egpaamétees ekto-skalá függén íhosszát a beít poligonok (húok) összege hatáétékeként ételmeztük, a felület (kétpaamétees ekto-skalá függén)

40 - - felszínét a beít kis háomszög-lapok alkotta poliédesoozat felszínének hatáétékeként ételmezzük. n n k i lim a szükséges, de nem elégséges feltétele a felszín létezésének. z elégséges n n feltételek több elemi feltételből adódnak össze, ezek tágalásától eltekintünk. észletes számítások szeint, ha létezik a felületdaabnak felszíne, akko az T dud, ahol T tatomán a szóba jöhető u, paaméteétékek zát, kolátos, u egszeesen összefüggő tatomána. z u dud az un. skaláis felületelem (d). Megjegzés: az ( u ) dud menniséget szokás ektoiális felületelemnek is neezni ( d ), amel meőleges a felületelem éintősíkjáa. Pl.: számítsuk ki az u, u i u j u 6k síkfelület felszínét az u ; u ; paamétetatománban! i j k u i j 6k i j k 6i j 5k u u 65 6 (ebben a példában konstans ektook, általában u, függénei). u u 65ddu 65 du 65 u du u u 65 65u, felület u, daabjának felszínét! u sin u cosui cosu sin uj k sin u i cosu j Pl.: számítsuk ki az u cosu sin ui sin u cosuj u k k (ellenőizze a számolást!) u u dud d. z z, alakban adott, akko (ld. koábban) u ; Ha a felület álasztással, i j z(, ) k a megfelelő ektofüggén. i zk, j z k és i j k z iz jz k z paaméte

41 - - z z T dd a felület felszíne. Pl.: legen z, a felület, amelnek ; paamétetatománban (T) keessük a felszínét (megjegzés: a T eg négzet). k j i, k i k j k j i k j i d d dd Skalá-ekto függén integálása Koábban láthattuk, hog az u skalá-ekto függén átíható z f u,, háomáltozós függén alakúa.... Téfogati integál Ha V eg méhető kolátos tébeli tatomán, akko az z f,, függén V-e onatkozó téfogati (hámas) integálja alatt a ddz d z f V,, integált étjük. (Röiden az dv f V jelölés is szokásos.) Ha V az,, z tébeli deékszögű koodináta endszeben,, z z z alakban megadható, akko tégla(test)-tatománól beszélünk. Ebben az esetben a hámas integál háom daab, egszees integála isszaezethető és az integálás soendje is tetszőleges. Pl.: legen z z f,,

42 - - V:,, z (kocka), akko dd dd z z dzdd z d d Pl.: legen z f,, és a V tatomán az ába szeinti (O,, B, C tetaéde). z BC pontoka illeszkedő sík egenlete z íg V:,, z (eg lehetséges megadási mód), ezzel z dd dz dd z d d d 6 d Bonolultabb V tatomán esetén, azokat ún. nomál tatománoka kell bontani, és a észtatománonkénti integálok összegét kell enni. O

43 Felszín szeinti integál Legen u skalá-ekto függén, amel ételmeze an eg u, méhető felszínű felület felületdaabján. függénnel adott, lim n i i n n (n az felületdaab kis észeke osztott daabjainak száma) i i összeget az u függén u, lim u neezzük. Jele: u d. Kiszámítása: n T felülete ett felszíni integáljának u d u dud, ahol T az felületdaabokhoz tatozó (u, ) paamétetatomán. Pl.: legen u z és u, sin cosu i sin sin u j cosk és u, a T paamétetatomán. kko az u függén az u, felületen u sin cosu sin sin u cos alakú. u sin sin ui sin cosuj coscosui cossin uj sin k sin (égezze el a kijelölt műeleteket!) u Ezzel u d sin cosu sin sinu cos sin dud sin sin u sin cosu u cossin d sin cos sin d Megjegzés: a felszín szeinti integál nem azonos a felületi integállal, amel a ektomezőkkel kapcsolatos (ld. később).

44 - -.. Vekto-ekto függének integálása ektotében többféle integál ételmezhető, amelek hasonlóak ugan a skalá-analízis integál fogalmaihoz, de azoktól lénegesen el is tének, kiszámításuk általában nehezebb. Ezeke a fizika számos teületén szükség an, kiemelten az elektomosság (elektomágnesesség) teületén.... Vonalmenti (göbe menti) skalá étékű integál ektotében legen t eg tégöbe. z t tégöbe t t t paaméteinteallumáa az és B pontok közé eső íhosszát (göbehosszát) jelöljük s-sel. kko a lim n n i göbedaabon. Jelölése: összeget a ektoté onalmenti integáljának neezzük az s i i B d. Miel, zi,, zj,, zk B B, d d dz a kiszámítandó integál. d, íg a skaláis szozás elégzése után Megjegzés: az,b hatáoka onatkozó integálás, ebben a fomában nem égezhető el, hiszen az és B pontok helét a t paaméte étékei ( t ; t ) hatáozzák meg, miközben az integálandó összeg az,, z függéne! onalintegált a fentiek figelembe ételéel adott,, zi,, zj,, zk és t t i t j z t (a göbe egenlete) esetén k d d dt i j z kdt ismeetében tudjuk kiszámítani. dt ektoteet a göbe éintett szakaszán felett étékeke kell lokalizálni, azaz a függén komponenseibe az,, z helébe a göbe egenletében szeeplő t t, zt étékeket kell beínunk. Íg B t d t t dt má eg egáltozós hatáozott integál, amel kiszámítható. kiszámításhoz a tömö íásmód helett a koodinátás alakot célszeű használni: B t d t t t t t z t t dt Pl.: Számítsuk ki a i j zk ektotének az t costi sin tj tk tégöbe (csaaonal) menti onalintegálját a t paaméteinteallumban. z pont koodinátái i ;;, a B pont koodinátái B köetkezméneként i k köetkezméneként B ;;. B d d kiszámításához,

45 - 5 - az t costi sin tj tk -ból t cost, t sin t ; zt t t sin ti costj k, íg B t, míg t dt costi sin tj tk sin ti costj kdt d t t cost sin t sin t cost t dt 8 tdt 8 Pl.: számítsuk ki a, z i zj zk t t i tj t k tégöbe, ektoté göbe menti integálját az t szakaszán. ektoté a göbe mentén t ; t ; z t behelettesítéséel t t t i t t t j t t t k t t i t t t j t t t k és t i j tk. Ezekkel B d t t dt t t dt t t t t t t t t t t t t t t t t t t t dt t ,, z i j z ektoté göbe menti integálját az Pl.: Számítsuk ki a k t ti t j t k t és az t t i t j t k t tégöbéke. Vegük észe, hog ;;, B ;; étékeknél azonos! B a) d dt, ahol i tj t k, íg t t i tt j tt k i tj t kdt 5 6 6, tehát a két tégöbe kezdő és égpontja a megadott t t i t j t k i tj t k dt t t t dt,9 5 B b) d dt, Ebben a feladatban tehát uganazon ektoté onalintegáljai a különböző tégöbéken különbözők annak ellenée, hog azok kezdő és égpontja azonos! Pl.: számítsuk ki t i costj sin tk i j ;; i j zk ektoté göbe menti integálját az tégöbée t π paamétetatománban

46 - 6 - i j B ;; t costi costj sin tj costk, agis itt eg zát göbéől (esetünkben köől) an szó. sin tk costi costj sin tk sin tj costkdt cos t cost sin t sin t cost dt Látjuk, hog a ektoté zát göbée ett onalintegálja lehet zéus is, de attól eltéő is. megfodítás nem igaz. Ha a onalintegál zéus, akko abból nem köetkezik a göbe alakja, netán zátsága. zát göbée ett onalintegálját (függetlenül attól, hog az nem kö), szokás jellel jelölni és köintegálnak híni. Ee a kédésköe még isszatéünk! Pl.: számítsuk ki a,, z ektoté ába szeinti göbée (, B, C, D) onatkozó onalintegálját.,, z i z j z esetén. k Itt áható, hog a onalintegál -tól D-ig háom integál összegéből adódik és eedméne nem szám, hanem eg háomáltozós (,,z) függén lesz! D B C D d d d d B C z -B-C-D tégöbe B daabjának t ektoegenlete; ti ( t ; ; t, tehát z ) helettesítéssel B d d tégöbe BC daabjának ektoegenlete; t i tj t t j,

47 - 7 - t t i tj C d t i tjj t dt tdt B tégöbe CD daabjának ektoegenlete: t i j tk t z, t k C z z z i j k k t z d t t dt t dt t z B Összegeze a háom észintegált D z z d z z az eedmén. Megjegzés: a kapott háomáltozós függén eg skalá-ekto függénnek tekinthető: z u z Keessük ennek a gadiensét; u u u gad u u i j k i z j zk és áismeünk a z függéne. Ee az édekes eedméne még isszatéünk, eli és gakolati jelentőségée aló tekintettel.... ektoté skalá potenciálfüggéne Láttuk, hog a ektotében a onalintegálok kiszámítása eg összetett matematikai feladat, annak étéke függ a göbétől t, a paamétetatomántól ( t t t ) illete az azokhoz tatozó, B égpontoktól). Ha a onalintegál képletée gondolunk és azt a koodinátás alakban íjuk fel, akko B B d,, zd,, zd,, zdz. Ennek kiszámítása, nagon leegszeűsödik, ha az integandus speciálisan eg u u,, z skalá függén teljes diffeenciálja, azaz (öid íásmódban): u u u d d dz du d d dz, met ebben az esetben z B B B d d dz du u ub u Ebből pedig az köetkezik, hog az ilen ektotében a onalintegál étéke teljesen független a göbe alakjától, csak a kezdő () és a égpont (B) függéne! Hog az adott ektotéhez endelhető-e (található-e) ilen skalá függén, azt izsgálni fogjuk. Ha endelhető, akko azt honnan lehet felismeni? Ha létezik ilen u,, z függén, akko azt a ektoté potenciálfüggénének (potenciáljának) neezzük. Fontos köetkezmén, hog az u,, z létezése esetén a ektoté zát göbéie számított onalmenti integálja biztosan zéus, hiszen B és u( B) u( ),

48 - 8 - B tehát d d ub u. z olan ektoteet, amelnek an potenciálfüggéne (potenciálja), konzeatí ektotének neezzük. (Ilen például a gaitációs eőté, és az elektosztatikus eőté is.) kédés tehát az, hog hogan lehet megállapítani eg ektotéől, hog annak an-e potenciálfüggéne, és ha an, akko azt hogan lehet meghatáozni? Bizonítható, hog ha a ektoté otációmentes, azaz ot, akko biztosan an potenciál. Meghatáozását példán mutatjuk be. Pl.: legen z i z j z k a ektoté. Van-e potenciálja? ot i z j z k z z i z zj k tehát a ektoté otációmentes, an potenciálja. keesett potenciálfüggén legen u,, z alakú és tudjuk, hog u,, z z, amiből u,, z z d z f, z z integációs konstans most és z függéne lehet, hiszen szeinti integálásól olt szó, z f, z. tehát f, szeinti deiáltja zéus Keessük az f, z függént! u íg f, z z, ebből f, z z, f, z z d Miel,, z

49 - 9 - f, z z hz z integációs konstans most má csak a z függéne lehet, z z z hz h z u,. u Végezetül, agis z h z z z z h z (itt h ' z jelölés a célszeűbb, miel má egáltozós függénől an szó) z h ' z h z C amiből. Tehát Íg a potenciálfüggén u,, z z z C (C tetszőleges konstans, lehet zéust is álasztani) Másként fogalmaza: ha an potenciálfüggén, akko égtelen sok an (de csak a konstansban különböznek). gakolatban ez azt jelenti, hog hol tekintjük a potenciált zéusnak, az álasztás kédése, met leggakabban a két pont közötti potenciálkülönbsége an szükség. z pedig független a C étékétől. (Előfodul, hog a potenciált a égtelenben tekintjük zéusnak.) Ezek után ebben a ektotében onalintegált meghatáozni, a potenciálfüggén ismeetében, má elemi feladat (hiszen integálás nélkül kapjuk az eedmént). Számítsuk ki a B d onalintegált az ;; ; ;; B B pontok között (a göbe alakja tetszőleges!) B ;; d u,, z z z C C C d ;; 6 9 Ha a étékét keesnénk, akko az, a zát göbe alakjától teljesen függetlenül zéus, azaz d... Skalá étékű felületi integál Eg ektoté u, felületdaaba onatkozó felületi integálja alatt az d integált étjük, ahol d u dud, tehát d dud T u Megjegzés: az felületdaab az u, paaméteekkel jellemezhető T tatomán, tehát kettős integála ezet. Pl.: legen ektoté és u, u i u j u 6k az adott felület u és u éges daabja. i j zk u i u j u 6 és k u i j k, i j 6k, ezzel

50 - 5 - i j k 6i j 5k u 6 u, u 6 u u 5 u 6 7 u u d 7ddu 7 du 7 u u u du 7u 7 7 Megjegzés: a skalá étékű felületi integálhoz hasonlóan létezik a étékű felületi integál is. d ekto... Integál edukciós tételek ektoteekben a) Gauss-Osztogadszkij tétel: zát felület () által hatáolt tében (V) a ektoté diegenciájának téfogatintegálja megegezik a ektoté felületi integáljáal. di dv d V Másként monda felesleges mindkettőt kiszámítani, célszeűen az egszeűbb integálhoz ezető utat álasztjuk. Pl.: legen i j zk a ektoté, adott zát felület, melnek téfogata V ( dv dddz deékszögű koodináta endszeben). d di dddz kiszámításához V di, tehát dddz dddz V V Ha például eg R sugaú gömbfelületől an szó, akko V R d R V R, és íg Itt a felületi integált célszeű olt téfogati integála isszaezetni. Pl.: legen i j zk. Számítsuk ki ennek felületi integálját az ába szeinti henge felülete, amelnek sugaa.

51 - 5 - d helett a di dv kiszámítása egszeűbb, met di 6 ezét 6 dv 6dV, melből V V azaz a henge téfogata, tehát V dv V henge V m 9 6 5π Ezzel d 65 Pl.: az elektosztatikában szeepel a összefüggés (,, z Miel 6 dv éppen az felület által közbezát téész téfogata, V D eltolási ektomezőe a D d a tébeli töltéssűűség, egsége a Coulomb/m ). D d di D dv, íg di D V V di dv D alaka hozhatunk. V dv dv, amit V V dv z integál étéke a téésztől függetlenül csak úg lehet zéus, ha maga az integandus is zéus, azaz di D,, z, átendeze,, z di D, ag öiden di D, agis a D ektoté diegenciája alóban a foás (töltés) jelenlétée utal. b) Stokes tétel (ol. Sztoksz): a ektotében kapcsolatot teemt a ektoté onalintegálja (zát göbe menti integálja) és a göbéhez endelhető felülete onatkozó felületi integál között.

52 - 5 - tétel szeint: d ot d Ez álasztási lehetőséget ad a könnebb kiszámíthatósága. Pl.: legen, a zát felület az síkban ( z ) leő oigó középpontú egségsugaú kölap. Ezt a zát felületet az egségsugaú kö hatáolja. Számítsuk ki d étékét! i j k Miel ot, ezét z z d ot d Ha ezt nem esszük észe, akko

53 - 5 - d t t dt (a hatáoló köonal egenlete cosi sin j t, t ) sin t sin ti costj sin ti costj dt cos tdt z eedmén uganaz, de jóal többet kellett számolni! Pl.: legen zi zj z k szeinti. és eg zát göbe az ába Számítsuk ki a d étékét. Ez, háom észintegál összegeként számolható ki: a) O egenes mentén t ti j k t t i, t t i tj tk t dt t dt t b) egenes mentén: t ti t j t k t i j, t z integál: 8 t ti t t j t tk t dt c) O egenes mentén: t i tj k t

54 - 5 - t dt Tehát d. Ez feleti annak ganúját, hog ot lehet, hiszen d ot d ot i z j z k z z Vagis a ganú beigazolódott. Ennek tudatában a onalintegál kiszámítása felesleges olt, hiszen az utóbbi eedménből má köetkezik annak étéke. Megjegzés: az integáloka mutatott példák a lehető legegszeűbbek. Bonolultabb esetekben komol integálási nehézségek adódhatnak, gakan kell átténi henge, ag gömbi koodinátáka. z ún. Geen tétellel nem foglalkozunk. Koodináta endszeek Tanulmánaik soán síkbeli (kétdimenziós, ) deékszögű (Descates-féle) koodináta endszeel találkoztak a leggakabban, a gakolatban is ez a legismetebb. z un. euklideszi-tében ennek háomdimenziós áltozatát használtuk az előző fejezetekben,, z koodináta tengelekkel és utaltunk más koodináta endszee is, mint lehetősége. koodináta endsze matematikai fogalom, a tében (síkban) aló tájékozódásnak, a helmeghatáozásnak egik szemléltető eszköze. Ha tudjuk, ag feltételezhető a izsgált pobléma (té, mező, stb.) speciális tulajdonsága (pl. szimmetiája), akko célszeű a poblémához jobban illeszkedő, ezáltal a megoldandó matematikai feladatot egszeűsítő koodináta-endsze álasztása. Például: Eg pontszeű elektomos töltés elektomos eőtee a töltés heléhez iszoníta gömbszimmetikus (iánfüggetlen). Ezét ebben az eőtében célszeű un. gömbi - koodináta endsze használata, melnek kezdőpontja (oigója) éppen a töltés helée esik. Eg hosszú egenes ezetőben foló elektomos áam mágneses tee a ezetékhez (mint onalhoz) iszoníta hengeszimmetikus, ezét itt célszeű henge koodináta endsze álasztása. ( hosszú alamihez képest étendő, esetünkben a ezetőtől aló táolsághoz iszoníta.) Megjegzés: Eg adó-antenna sugázását teező ménökök különböző fomulákat alkalmaznak, az un. közel tében és az un. táol tében, met egik eset jól közelíthető henge, míg a másik gömbi koodináta endszeben.