Terület- és térfogatszámítás az általános iskolától az egyetemig

Átírás

1 EÖTVÖS LORÁND TUDOMÁNYEGYETEM TERMÉSZETTUDOMÁNYI KAR MATEMATIKAI INTÉZET MATEMATIKATANÍTÁSI ÉS MÓDSZERTANI KÖZPONT Teület- és téfogatszámítás az általános iskolától az egetemig Szakdolgozat Készítette: Takács Feenc Matematika BSc tanái szakián Témavezető: D. Szeedi Éva főiskolai docens Budapest 0

2 Tatalomjegzék Tatalomjegzék... Bevezetés.... fejezet: Teületfogalom- és számítás... 4 Általános teületfogalom, Jodan-méték... 4 Altenatív definíció a teülete, geometiai megközelítés... 8 Jodan-méhető halmazok kapcsolata az integálással... A kö teülete... 4 Teület az iskolában... 5 A téglalap teülete... 6 A paallelogamma teülete... 7 A háomszög teülete... 8 A kö teülete fejezet: Téfogatfogalom- és számítás... Téfogat az iskolában... Téglatest és kocka... További analógiák... Néhán ismet test téfogata... 4 Téfogatszámítás integállal... 6 A gömb téfogata integálással... 6 Téfogatszámítással kapcsolatos feladat megoldása kettős integállal fejezet: Veges feladatok a teület és a téfogatszámítás témaköéből. Központi felvételi-, éettségi-, KÖMAL feladatok... Téfogatszámítás a központi felvételi feladatok között... Téfogatszámítás a középszintű éettségin... Téfogatszámítás az emelt szintű éettségin... KÖMAL feladat... 5 Befejezés... 7 Iodalomjegzék... 8

3 Bevezetés A teület és a téfogat témaköe, kiszámítása má évezedek óta jelen van az embeiség és a matematika töténetében. Köztudott, hog az ókoi matematika kimagasló jelentőséggel bít. Az akko élők tudása és tudásvága meglepően sokétű volt, a tudomán legkülönbözőbb teületeie kihatott. Az ókoban az egiptomiak például má meg tudták hatáozni többek közt a deékszögű háomszög teületét, amit aa is használtak, hog földek, telkek teületét kiszámítsák. Hasonlóan voltak képletek, módszeek például csonka testek téfogatának kiszámolásáa. Szakdolgozatomban a matematika eme nag múlta visszatekintő észéől és annak tanításáól íok; az elméleti megközelítés mellett pedig szép számmal kapnak helet a gakolathoz közel álló feladatok és azok megoldásai. Az első fejezetben a teülettel foglalkozom. Előszö a teület általános fogalmát, a Jodanmétéket vezetem be, majd ee adok egetemi példákat. Ezután a teületet geometiailag közelítem meg, altenatív definíciót szolgáltatva. Végül megvizsgálom a Jodan méték és a Riemann-integálhatóság közötti összefüggést és az eedméneket felhasználva kiszámolom a kö teületét. Ezek után megnézem, hogan tanítják ezeket a fogalmakat a közép- és általános iskolában a bonolult absztakciós szintek elhagásával, szemléletesen, a fiatalok számáa können éthetően. A teület és a téfogat analóg fogalmak, engeteg közös vonásuk van. Éppen ezét a második fejezetben nem kizáólag a téfogat bemutatásával foglalkozom, hanem a teület és a téfogat közötti páhuzamoka, analógiáka teszem a hangsúlt. A téfogatszámításnak is jelentős kapcsolata van az integálszámítással, a fejezet további észében eől olvashatunk. A hamadik fejezetben kapnak helet a teület- és téfogatszámításhoz kapcsolódó központi felvételi, éettségi és KÖMAL feladatok. Mutatok aa példát, hog bizonos síkbeli feladatok kitejeszthetők tébe, lehet találni velük teljesen analóg tébeli feladatot. Uganíg tébeli feladatoknak is létezhet síkbeli megfelelője.

4 . fejezet: Teületfogalom- és számítás A szakdolgozatom első fejezetében a teülettel kapcsolatos vizsgálódásoké a főszeep. Előszö az általános teületfogalommal, a Jodan-métékkel foglalkozok, mutatok egetemi példákat, mint a Canto-halmaz, vag a Siepinski-szőneg. Ezt követően a Jodan-méhető halmazok és az integál kapcsolata következik, példaként bebizonítom a kö teületét integálással. Az általános, egetemi teületfogalom után azt veszem soa, hog az ismet sokszögek, síkidom teületét hog tanítja az általános- és a középiskola. Általános teületfogalom, Jodan-méték A következőkben a Laczkovich Miklós T. Sós Vea: Analízis című könv alapján definiálom általánosan a teület fogalmát. Definíció R d -ben téglának nevezzük az a b..., i,..., d -e., a b d d alakú halmazokat, ahol ai bi minden Speciálisan a tégla fogalma alatt étjük d esetben az d esetben az, b a b a,b nem elfajuló, kolátos, zát intevallumot, a síkbeli téglalapot,, d esetben az a, b a, b a b, tébeli téglatestet. Tetszőleges R a b... a, b p szozatot., p R p tégláa (R) t -el jelöljük a b a b p a p Definíció Ha A R p kolátos, akko A külső météke a t( R i ) számok halmazának alsó hatáa, n i ahol R,..., Rn tetszőleges olan téglák, melek egesítése lefedi A-t. Az A halmaz külső métékét k(a) -val jelöljük. 4

5 Definíció n Az A halmaz belső météke a t( R i ) számok halmazának felső hatáa, ahol R,..., Rn i tetszőleges A-ban fekvő és páonként egmásba nem núló téglák (azaz nincs közös belső pontjuk). Az A halmaz belső métékét b(a) -val jelöljük. Definíció A kolátos A halmazt Jodan-méhetőnek nevezzük, ha b( A) k( A). Ekko A Jodanmétéke t p ( A) t( A) b( A) k( A). Ha p, akko a Jodan-méték helett téfogatot, a p esetben teületet, a p esetben hosszúságot is mondhatunk. Megjegzés t (A), b (A), k (A) helett t p (A) -t, b p (A) -t, k p (A) -t is íhatunk. Nézzünk példákat! Első példa Legen az első példa a Canto-halmaz! Tekintsük a számegenes 0, intevallumát és ebből az intevallumból hagjuk el a középső nílt eghamadát, azaz az, intevallumot. Ezután a maadék két zát intevallum mindegikéből hagjuk el a középső nílt eghamadukat, és íg tovább. Az íg megmaadt pontok halmaza a Canto-halmaz, amit jelöljünk C-vel. Az ábán jól látható a fent ismetetett eljáás. A kép foása: 5

6 Az hosszúságú intevallumból előszö -ot, azután 9 -et hagunk el, stb., ez alapján: i0 i i 4... Canto-halmaz hossza 0., tehát az elhagott észek hossza, vagis a Látható, hog a konstukció k. lépésében k daab k hosszúságú zát intevallumot k kapunk, melek C-t lefedik. Mivel lim lim 0, ezét k ( C) 0. k k k A Canto-halmaz belső météke szintén 0, uganis felhasználva azt az állítást, hog tetszőleges p A R kolátos halmaza ( A) k( A) k b, tudjuk, hog 0 b ( C) k( C) 0. Ezek szeint b ( C) k( C) 0, tehát a Canto-halmaz hossza valóban 0. Második példa Tekintsük a Canto-halmaz egik síkbeli megfelelőjét, az ún. Siepinski-szőneget! Osszuk fel a, 0, 0 halmazt (zát egségnégzet) 9 egbevágó négzete, majd ezek közül hagjuk el a középső nílt négzetet, azaz az,, halmazt. Hasonlóan, a maadék 8 zát négzet mindegikéből hagjuk el a középső nílt 9 -üket, és íg tovább. A megmaadt pontok halmaza a Siepinski-szőneg, amit jelöljünk S-sel! A következő ábán jól látható a konstukció: A kép foása: 6

7 8 Az teületű négzetből tehát előszö -et, majd -et és íg tovább hagunk el. 9 8 i0 ( i i) , tehát az elhagott észek teülete, vagis a Siepinski-szőneg teülete 0. Látható, hog a konstukció k. lépésében k 8 8 teületű négzetet kapunk. Mivel lim lim 0, ezét k( S) 0 k k 9 k 9 k 9 A Siepinski-szőneg belső météke szintén 0, uganis 0 b ( S) k( S) 0. k 8 k daab Ezek szeint b ( S) k( S) 0, tehát a Siepinski-szőneg teülete valóban 0. Hamadik példa Induljunk ki ismét a, 0, 0 halmazból. Ebből a zát egségnégzetből hagjuk el a acionális és koodinátájú pontokat! Jelöljük ezt a halmazt N-nel! Az N halmaz belső météke 0, met egetlen téglát sem tudunk letenni úg, hog ne tatalmazzon elhagott (azaz acionális) pontot. Bizonítás Tegük fel indiekte, hog le tudok tenni téglát, az a b c, d, -t. Mivel bámel két valós szám között van acionális szám (tétel), ezét biztos, hog ekko a és b között találok eg, c és d között eg acionális számot, vagis találok eg (, ) pontot, melnek mindkét koodinátája acionális szám. Ez pedig ellentmondás, hiszen eg belső fedés nem tatalmazhat kidobott pontot. Ebből következik, hog minden belső fedés teülete 0, hiszen egetlen eg téglát sem tatalmaz a tekintett halmaz. Az N halmaz külső météke legalább, met ha kiválasztunk eg elhagott (azaz acionális) pontot, akko nem tudjuk lefedni a halmazunkat úg, hog az adott pont ne legen lefedve. Ezét a külső méték legalább, hiszen minden külső fedés az egész négzetet tatalmazza. 7

8 Bizonítás Válasszunk ki eg (, ) elhagott acionális pontot a halmazból. Tegük fel indiekte, hog ekko le tudjuk fedni a halmazunkat úg, hog az adott (, ) pont ne legen benne. Tekintsük a kiválasztott (, ) ponthoz legközelebbi négzetet. Ennek a négzetnek a kiválasztott (, ) ponthoz legközelebbi pontját jelöljük (, )-nal. Ha és különböző, akko a kettő között van iacionális, ami nincs lefedve. Ha egenlők, akko és között keesünk iacionális pontot. Ha ezek is egenlők, akko (, ) eleme a téglának, tehát fedett, ami ellentmondás. Vagis b( N) k( N), tehát az N halmaznak nem létezik teülete. Altenatív definíció a teülete, geometiai megközelítés A teület a geometiában eg olan függvén, amel a síkbeli alakzatok eg észéhez számokat endel bizonos feltételeknek megfelelően. Az ilen alakzatokat (Jodan) teülettel endelkező alakzatoknak nevezzük. Mielőtt áténék a pontos definícióa, azt megelőzően szükséges bevezetni fogalmakat, állításokat. Az első ilen a kolátosság. A kolátosságot többféleképpen is szokás definiálni. Például: eg alakzat kolátos, ha létezik tatalmazó téglalap vag létezik tatalmazó kö vag létezik tatalmazó sokszög. Können belátható, hog ezek ekvivalens definíciók. Mivel Hajós Gög má megmutatta, hog a sokszögeknek van teülete, ezét az általános teületfogalom felépítésénél a sokszögek teületét használja fel. 8

9 Emiatt a kolátosságot a sokszögek segítségével definiálja: Definíció Eg alakzat kolátos, ha létezik őt tatalmazó sokszög. Az általános teületfogalom definiálásához az analízistől kölcsönveszi a szupémum és az infimum fogalmát. Definíció Eg felülől kolátos és nemües A számhalmaz legkisebb felső kolátját A szupémumának nevezzük. Definíció Eg alulól kolátos és nemües A számhalmaz legnagobb, alsó kolátját A infimumának nevezzük. Legen H tetszőleges kolátos síkbeli ponthalmaz, s = { a sík sokszögei }, T : s R teületméő függvén. H kolátossága miatt létezik olan K s sokszög mel tatalmazza H-t, vagis bámel olan S sokszöget, melet H tatalmaz, K is tatalmaz: S H K T ( H) sup{ T( S) : S s, S } (ill. T ( H ) 0, ha nincs ilen S) * H * Mivel S H K T ( S) T ( K), tehát { T ( S)} felülől kolátos, ezét létezik sup{ T ( S)}. T * ( H ) inf{ T ( S) : S s, H S} Mivel T ( S) 0, ezét létezik inf{ T ( S)}. * Látható, hog T ( H ) T ( ). * H * Definíció Azt mondjuk, hog H-nak van teülete, ha T ( H ) T ( ). A közös étéket H teületének nevezzük. * H Megjegzések Ha H sokszög, akko van teülete (ilenko sup = ma = inf = min a sokszög teülete) Előfodulhat, hog T(H) = 0, ekko H például eg szakasz. Ha H-nak létezik belső pontja és van teülete, akko T(H) > 0. 9

10 A kolátos síkbeli ponthalmaz teületének definíciója (teületméő függvén): ) T pozitív ) T egbevágóság invaiáns, azaz ha H H és H -nek van teülete, akko H -nek is van és T H ) T ( ) ( H ) T additív függvén, azaz ha H H H, mindháomnak létezik teülete és H -nek, H -nek nincs közös belső pontja, akko T ( H ) T ( H) T ( H ) 4) T(egségnégzet) = Az additivitás esetében elmondható, hog ez igaz kettő helett véges sok észidoma. A teületméő függvén tulajdonságait is felhasználva belátható a téglalap teületének képlete. Tétel Eg a, b oldalú téglalap teülete a b Bizonítás Osszuk fel n egenlő észe az egségnégzet mindkét oldalát! Húzzunk az osztópontokon keesztül páhuzamosokat, íg n daab egbevágó, oldalhosszúságú négzet n keletkezik, ezek teülete a teület definíciójának )-es tulajdonsága szeint egenlő, a )-as tulajdonság miatt pedig, ha az egségnégzet teülete t, akko n t, vagis t n 0

11 Eg a és b oldalhosszúságú téglalap a oldaláa méjünk fel n oldalhosszúságot anniszo, ahánszo lehetséges. Ha ez m-sze lehetséges, akko: I. m m 0 a n n Uganezen téglalap b oldaláa méjünk fel n oldalhosszúságot anniszo, ahánszo lehetséges. Ha ez k-szo lehetséges, akko: II. k k 0 b n n Az I., II.-t összeszoozva adódik, hog: m k n ( m ) ( k ) a b n Ezen kívül fennállnak az alábbi egenlőtlenségek is: m k t T ( m ) ( k ) t m k n ( m ) ( k ) T n Ezzel beláttuk, hog m k ( m ) ( k ) a b és T is az ; n n intevallumban van. Ha meg tudjuk mutatni, hog ennek az intevallumnak a hossza 0-hoz tat, abból má következik, hog T a b Ezt az analízis eszközeivel tesszük meg.

12 Vizsgáljuk a következő hatáétéket: ( k )( m ) k m k m k lim lim lim n n n n n n n m n n k m lim lim lim n n n n n n 0 A fenti hatáéték valóban tat a 0-hoz, ha n, met: k k 0 b 0 n n n n, ha n (I. miatt) m m 0 a 0 n n n n, ha n (II. miatt) lim n n 0 pedig magától étetődik. Ezekből következik, hog T a b Összehasonlítás Itt Hajós Gög bizonításától kissé eltéő bizonítást adtam. Ennek oka elsősoban az, hog megmutassam, hog az iskolás bizonítások nagon közeli okonságban állnak a pecíz egetemi bizonítással. Az eltéés két dologban van: az iskolában csak temészetes és acionális méőszámú oldalakkal foglalkoznak, konkét számoka töténnek a levezetések, de olan gondolatmenettel, ami tetszőlegese igaz. Ezeket a didaktika pematematikai bizonításoknak nevezi.

13 Jodan-méhető halmazok kapcsolata az integálással A következő definíciók és állítások a Laczkovich Miklós T. Sós Vea Analízis II. című könvből számaznak. Definíció Az A R halmaz szekcióinak nevezzük az A R ) halmazokat minden, R -e. : (, A és A R : (, ) A A kép foása: Laczkovich Miklós T. Sós Vea Analízis II. Tétel Legen A R olan méhető halmaz, amele A a, b c, d. Ekko az k ( ) és b ( ) A Hasonlóan, az k ( A ) és b ( A ) függvének integálhatók b A b t ( A) k ( A ) d b ( A ) d a b a a, -ben és függvének integálhatóak d d t ( A) k ( A ) d b ( A ) d c d c c, -ben és

14 Állítás Legen f nemnegatív és kolátos függvén az a, b intevallumon. Az, ) : a, b A f (,0 f ( ) halmaz akko és csak akko méhető, ha f integálható, és ekko t ( A f ) fd b a A kö teülete Definíció A kö azon pontok halmaza a síkon, melek a sík eg meghatáozott pontjától (középpont) azonos távolsága (sugá) vannak. Tétel T kö Bizonítás Legen eg sugaú kö középpontja az oigó. Az I. és II. síknegedbe eső félkövonalat epezentáló függvén az f ( ). Az adott félkö teületét hatáozott integállal kiszámítjuk, mint az f () függvén gafikonja alatti teületet. T d d sin t costdt cos tdt cos t dt t sin t 4 Mivel ez csak félkö teülete, ezét a kö teülete: T kö 4

15 Teület az iskolában Az alsó tagozaton a teületfogalom tanítása teületek összehasonlításával kezdődik. Ha eg alakzat belepakolható mozgatással eg másik alakzatba, vag mozgatással és daabolással eg másik alakzat belsejébe vihető, akko a teülete kisebb, mint a másik alakzaté. Ezeknek a feladatoknak a megoldása soán a teületnek a definíció ) és ) pontjában megfogalmazott, valamint az I. és II. pontokban kifejtett tulajdonságait építjük be nonvebálisan a geekek szemléletébe. Általános iskola alsó tagozatának 4. osztálában ismekednek meg a tanulók a teület fogalmával. Temészetesen szemléletes fogalmakkal dolgoznak, nem kész definíciók alapján, mint az egetemen. Mégis a tanítási anagokat elemezve azt találtam, hog má az általános iskolai tanításban a pecíz definíciók legtöbb eleme megtalálható, sokszo szinte uganúg, mint az egetemi anagban. Nézzünk példákat: Előszö csak különböző síkidomok teületének egmáshoz való viszonát hatáozzák meg. Megvizsgálják, hog két síkidom közül melik teülete a nagobb. Például kivágott síkidomokat póbálnak egmásba helezni, íg gűjtik a tapasztalatokat. Két síkidom közül annak lesz kisebb a teülete, amelet bele bítak tenni a nagobba. Ekko a teületnek éppen azt a tulajdonságát használják, amit a II. megjegzésben fogalmaztam meg. Ha a síkidomok egmása helezve éppen fedik egmást, akko a teületük egenlő, ami az egbevágóság invaiancia tulajdonságnak felel meg. Ezt az ötletet viszont nem mindig lehet megvalósítani, két alakzat a legtöbbszö nem egmásba helezhető. Ilenko új módszet alkalmaznak, az átdaabolást. Az átdaabolásnál az additivitás tulajdonságot használják valójában, hiszen több észe daabolják az adott sokszöget, majd a észeket másképpen illesztik egmáshoz. 5

16 A téglalap teülete A 4. osztálosok a fent említett feladatban a téglalap teületét úg számolják ki, hog választanak eg egséget, majd megszámolják, hog az adott sokszögből hán található a téglalapban. Itt valójában a teületméő függvén két fontos tulajdonságát használják, az egbevágóság invaianciát és az additivitást. A cél az, hog az eddig megtapasztalt tulajdonságok beépüljenek a geekek gondolkodásába. Az eddig ismetetett feladatokban, teületek összehasonlításához nem volt szükség az egségnégzet használatáa. Ee akko van szükség, ha bizonos alakzatok teületének számításáa képleteket akaunk neni. Ekko egségnégzeteket kell használnunk. Az általános iskolában má az alsó tagozaton a tanulók megismeik a téglalap teületképletét, vagis, hog eg a és b oldalú téglalap teülete a b. Előszö olan téglalapok teületét számítják, ahol a és b egész számok. Kezdetekben olan feladatokat kapnak, hog egségnégzetekkel fedjék le a téglalapot, majd ezek megszámolásával állapítsák meg a teületet. Eg idő után ami geekenként nagon különböző lehet eljutnak ahhoz a felismeéshez, hog elég azt megszámolni, hog az egik és a másik oldal mentén hán választott egséghosszúságú négzet fé el, ezt követően ezek összeszozásából adódik a téglalap teülete. Temészetesen az állítás igaz nem csak egész egség oldalú téglalapok esetén is. Általános iskolában konkét acionális a és b esetén is bizonítják az állítást. Nézzünk ee eg példát! Eg a és b oldalú téglalap teületét úg hatáozzák meg, hog közös nevezőe 6 hozzák a töteket. Íg kapnak eg olan étéket, melnek mindkét oldal egész számszoosa, tehát ennek megfelelően a téglalapot is és az egségnégzetet is fel tudják daabolni egbevágó kis négzeteke. 6

17 Ebben a példában 6 oldalhosszúságú négzeteke bontják a téglalapot, majd meghatáozzák, hog az egségnégzetet hán 6 oldalhosszúságú négzettel lehet lefedni (hézagmentesen, egétűen). Jól látható, hog 6 daab ilen négzete van szükség, tehát eg ilen kis négzet teülete 6. A teület meghatáozásához utolsó lépés, hog az eedeti téglalapban hán ilen számaztatott egségnégzet található? Ez a szám az 5, vagis enni egségnégzet helezhető el a téglalapban. Tehát a téglalap teülete: 5, ami éppen azaz az oldalak szozata A tanulók a közoktatásban má találkoznak az iacionális számokkal, dolgoznak velük, de a definíciókat, tételeket csak az egetem teszi pecízzé. Íg van ez a téglalap teületével is, ha a és b iacionálisak. (A tetszőleges oldalhosszaka vonatkozó bizonítást koábban má ismetettem.) A további nevezetes teületek esetében olan szoos hasonlóság figelhető meg, hog teljesen páhuzamosan tágalható az általános- és középiskolás, illetve az egetemi felépítés. A paallelogamma teülete Paallelogammának nevezzük az olan négszögeket, melek szemközti oldalai páhuzamosak. Temészetesen a téglalap és a négzet is paallelogamma. A paallelogamma teületének meghatáozásához felhasználjuk a téglalapoka kapott összefüggéseket és a koábban má ismetetett átdaabolási módszet. 7

18 Az ABCD paallelogamma A és B csúcsából meőlegeseket állítunk a szemközti oldalegenese. Az íg kapott BCE háomszög és ADF háomszög egbevágó, met két oldal és a közbezát szög megegezik. Az ABCD paallelogammából a BCE háomszöget eltávolítva és áthelezve az ADF helée eg ABEF téglalapot kapunk. Jól látható, hog az ABCD paallelogamma teülete megegezik az ABEF téglalap teületével. A téglalap teülete az előzőekben tágaltak alapján a téglalap két szomszédos oldalának a szozata. Az AF szakasz hossza éppen az ABCD paallelogamma AB oldalhoz tatozó magassága, tehát a paallelogamma teülete egenlő bámelik oldalának és az ahhoz tatozó magasságnak a szozatával. A háomszög teülete Az általános háomszög teülete visszavezethető a paallelogamma teületée. Tüközzük az ABC háomszöget a BC oldal felezőpontjáa, ekko eg ABA C paallelogammát kapunk. A tüközés és az egbevágóság miatt a kapott paallelogamma teülete kétszeese a kiinduló háomszög teületének. A megismet módszeekkel az eddig nem említett sokszögek teületét is megkaphatjuk, visszavezetve az előzőeke. (Minden sokszög feldaabolható háomszögeke.) A kö teülete A kö teületének képletét a közoktatásban temészetesen nem integállal bizonítják. Előszö 7. osztálban találkoznak a diákok a kö teületével. Rávezető feladatokat oldanak meg, a négzetácsos füzetbe, illetve millimétepapía kööket ajzolnak és megpóbálják megállapítani a teületét. Hama ájönnek, hog a kö teületének pontos számaztatása nem könnű feladat az eddig tanult módszeekkel vag ismeet bitokában. 8

19 A minél pontosabb eedménhez különböző módon póbálnak eljutni, az egik ilen szemlélet a közelítés. Tekintsünk eg oigó középpontú, egségni sugaú köt a szokásos deékszögű, Descates-koodinátaendszeben. Az egszeűség kedvéét csak az I. síknegedet vizsgáljuk (a többi hasonlóan töténik). A kö első síknegedbe eső észée felső becslést kapunk, ha olan téglalap teületeinek összegét tekintjük, amelek tatalmazzák a kö megfelelő észét. Hasonlóan, a beít téglalapok teületeinek összege alsó becslést ad. Az íg kapott összegeket nevezzük felső-, ill. alsó közelítő összegnek. Minél jobban finomítjuk a beosztást, kisebb téglalapokat használunk, annál pontosabb étéket kapunk. A Sulineten található számítógépes pogam segítségével jól szemléltethető az alsó becslés, majd a kö teületének becslése. Minta: Adott (például) eg 0 cm sugaú kö, az I. síknegedet ábázolja a pogam. Az első ábán az OA szakaszt 0 egenlő észe osztottuk, míg a másodikon 00 egenlő észe. A kö teületée kapott eedmén sokkal jobban közelíti a pontos étéket, ha több észe osztjuk az adott szakaszt. A közelítéshez szoosan kapcsolódik a hatáozott integál fogalma, amivel a tanulók esetleg má a középiskolás fakultáción, az emelt szintű éettségie való felkészülés esetén vag legkésőbb az egetemen megismekednek. Hajós Gög a kö teületképletét nem integálással, hanem elemi úton igazolja. Nézzük meg ennek főbb lépéseit bizonítás nélkül: 9

20 . Előszö bebizonítja, hog a könek van teülete, s hog a növekvő oldalszámú beít és köülít szabálos sokszögek teülete a kö teületéhez tat.. Ezután eg általa koábban má bizonított állítást használ: a köülít szabálos sokszög teülete a keületének és a kösugá felének szozata. Tudjuk, hog n növekedtével ez a keület a kö keületéhez tat, a köülít szabálos sokszög teületének hatáétéke, azaz a kö teülete a kö keületének és a sugá felének szozata. Tehát, ha má tudjuk a kö keületének képletét, akko a teület ennek -szeese, azaz T A középiskolai matematika tankönvekben megtaláljuk ennek a gondolatmenetnek a megfelelőjét. Itt bemutatok eg észletet a Czapá-Gapjas szezőpáos tankönvéből: Köbe ít szabálos sokszögön olan konve sokszöget étünk, amelnek csúcsai a köe illeszkednek, az oldalai (és ezét a szögei is) egenlők. Kö köé ít szabálos sokszögön olan konve sokszöget étünk, amelnek oldalai és a szögei egenlők, az oldalak a köt (az oldalak felezőpontjainál) éintik. szabálos sokszög keületét, illetve teületét, kn -nel és t n -nel jelölve a köbe íható n oldalú K n -nel és Tn -nel jelölve a kö köé íható n oldalú szabálos sokszög keületét, illetve teületét, minden n-e igazak a következő kettős egenlőtlenségek: és k t K n K n T, n T n ahol K, T a kö keületének és a teületének méőszáma. A szemlélet alapján elfogadjuk, hog ha a beít és a köülít szabálos sokszögek oldalszámát növeljük, akko a sokszögek keületei a köök hosszához, a teületeik a kö teületéhez ege közelebb keülnek. Bebizonítható, hog a kö (K) keületének és K átméőjének () hánadosa állandó. Ezt az állandót -vel jelöljük. A kö teülete pedig T. K. 0

21 . fejezet: Téfogatfogalom- és számítás Téfogat az iskolában Az előző fejezetben a teülettel és a hozzá kapcsolódó tudnivalókkal foglalkoztam. A továbbiakban a téfogat fogalmával foglalkozom. A teület és téfogat fogalmának kiépítése nagon hasonlóan zajlik, nagon sok teületen páhuzamosan végezhető. Ebben a fejezetben nem konkétan a téfogat jellemzőit tekintem át, hanem ávilágítok a közös pontoka és összehasonlítást végzek. Ezzel azét is édemes szeintem foglalkozni, met az iskolai tanítás ezeket az analógiákat nem eléggé használja ki a fogalomépítésben. Ahog a teületnél a teületméő függvén bevezetése adta a tágalási alapot, most ez a szeep a téfogatméő függvéné lesz. Ezt a definíciót Hajós Gög a következőképpen fogalmazza meg: Definíció Minden poliédehez hozzáendelhetünk eg számot, amelet téfogatnak nevezünk, és amel a következő tulajdonságokkal endelkezik: ) Minden poliéde téfogata pozitív szám. ) Egbevágó poliédeek téfogata egenlő. ) Ha eg poliédet két poliédee bontunk, e kettő téfogatának összege az eedeti poliéde téfogatával egenlő. 4) Az egségkocka téfogata. Látható, hog a teületméő- és a téfogatméő függvén definíciója teljesen analóg. A teület és a téfogat is pozitív, mindkét helen fellép az egbevágóság invaiancia, a téfogatnál is uganúg événesül az additivitás nem csak két poliéde, hanem n poliéde esetén is. Az egségnégzet kétdimenziós síkbeli alakzat háomdimenziós tébeli megfelelője az egségkocka. Az egségkocka bevezetésével megágazunk a számításoknak, hog később képletek útján meg tudjuk állapítani poliédeek téfogatát.

22 Téglatest és kocka Általános iskolában, ahog a teület esetében a téglalappal és a négzettel ismekednek meg előszö a tanulók, a téfogattal foglalkozó óákon a téglatest és a kocka tulajdonságai keülnek előtébe. 5. osztálban a felszín bevezetése alkalmával a diákok má találkoztak a téglatesttel, a kockával. Megvizsgálták ezeket a testeket, megnézték, hog hán lapjuk, élük van, milen tulajdonságokkal endelkeznek. Kockából és téglatestből építettek különböző testeket és ez a folamat 6. osztálban is szeepet kap. Fontos páhuzamot vonni a teület- és a téfogatszámítás között. Míg a teületnél az egségnégzettel való lefedés segítségével állapítottuk meg a teületet, addig a téfogatnál az egségkockával való kiakással kapjuk szemléletesen a téfogatot. Megtanulják, hogan lehet kiszámolni a téglatest és a kocka téfogatát. Ennek bizonítása mind az iskolában, mind az egetemen a síkbeli esettel teljesen analóg módon töténik. Tétel V téglatest a b c

23 A kocka a téglatest speciális esete, uganis a kocka esetében a b c. Tétel V kocka a Összehasonlítva a téglatest és kocka téfogatáa kapott képleteket a téglalap és a négzet teületképleteivel ismét feltűnik az analógia míg két dimenzióban két oldalhosszúságot szozunk össze, háom dimenzióban hámat, két dimenzióban négzete emelünk, háom dimenzióban köbe. A képletek bizonítása is mind az iskolában, mind az egetemen a síkbeli esettel teljesen analóg módon töténik. További analógiák Póla Gög Indukció és Analógia című könvében az analógiáól a következőt állítja: Két endsze analóg, ha megfelelő észeik világosan megfogalmazható kapcsolataikban megegeznek. Az előzőekben má szó esett aól, hog a sík és a té, ezzel egütt pedig a teület és a téfogat analóg, sok hasonlóság mutatkozik. Póla Gög gondolatait követve most további analógiáka mutatok á. Vizsgáljuk meg a háomszög és a tetaéde viszonát aszeint, hog ezeket a kolátos alakzatokat legkevesebb hán elem zája be. Tudjuk, hog a síkon minimum háom egenese van szükségünk ahhoz, hog kolátos alakzatot kapjunk, kevesebb egenes esetén ee nincs esélünk. Háom általános helzetű egenes viszont má meghatáoz(hat) eg kolátos síkidomot, eg háomszöget. A tében hasonlóan lehet gondolkodni: minimum nég sík szükséges eg kolátos alakzat előállításához, kevesebb nem elegendő. Nég sík má bezáhat eg kolátos alakzatot, eg tetaédet. Eg háomszöget és eg gúlát is analógnak tekinthetünk. Vegünk eg egenes szakaszt, illetve eg sokszöget. Kössük össze a szakasz minden pontját eg, a szakasz egenesén kívül levő ponttal, íg eg háomszöget kapunk. Ha pedig a sokszög síkján kívül ögzítünk eg pontot, és az adott sokszög minden pontját összekötjük ezzel a ponttal, akko gúlát kapunk.

24 Ez az analógia a teület illetve téfogatképletben is megmutatkozik. A háomszög teülete az egik oldal és az ahhoz tatozó magasság szozatának a fele, míg a gúla téfogata az alap sokszög szoozva a gúla magasságával és ennek a hamada. m M M A tetaéde téfogatát V = a A képlettel tudjuk kiszámolni, ahol m a síkidom magasságát, M a test magasságát, A az alaplapnak választott háomszög teületét jelöli. Analóg lehet eg paallelogamma és eg hasáb, teljen hasonló megfontolással, mint az előbb a háomszög és a gúla esetében. Mozgassuk a szakaszt, ill. a sokszöget önmagával páhuzamosan, olan iánban temészetesen, hog a szakasz egeneséből, illetve a sokszög síkjából kilépjünk, íg eg paallelogammát, ill. eg hasábot kapunk. Ez az analógia is tüköződik a teület illetve téfogatképletben. A paallelogamma teülete az alap és a hozzá tatozó magasság szozata, a hasáb téfogata az alapalakzat teületének és a hasáb magasságának szozata. Az előző fejezetben láttuk, hog minden sokszög feldaabolható háomszögeke. Ezzel analóg állítás a tében: Minden poliéde tetaédeeke daabolható fel. Mivel a tetaéde téfogatát má ismejük, ezét minden poliéde téfogatát ki tudjuk számolni. Néhán ismet test téfogata A Hajós Gög által leítak szeint a poliédeek esetében használt téfogat fogalmát kitejeszthetjük. Ezt olan példákon keesztül mutatom be, melek má a közoktatásban előfodulnak, ilen például a henge, a kúp, a gömb. Ezen testek téfogata az összefoglaló táblázatban megtalálható. Mint az előbb Póla Gög megfogalmazásában láttuk, a kúp, aká a gúla, a háomszög analógja: Ha eg kö pontjait összekötöm eg, a kö síkjáa nem illeszkedő ponttal, kúpot kapok. Ezzel összhangban van az, hog a kúp és a gúla téfogatképlete teljesen megegezik. És hasonlóan a henge, aká a hasáb, a paallelogamma analógja, téfogatképleteik is egfomák. 4

25 Ezekkel az analógiákkal függ össze az is, hog a kö keülete és teülete között fennálló összefüggéssel (a kö teülete a keületének /-szeese) analóg módon, a gömb téfogata a gömb felszínéből /-mal való szozással kapható. A következő táblázat szépen mutatja a sík és a té alakzatainak, ezek teületének és téfogatának szoos analógiáját. (Jelölési konvenciók: T az alapteületet, m a síkidom magasságát, M a test magasságát, a sugaat jelöli.) Alakzatok és métékek Két dimenzió sík teület Téglalap T a b Négzet T a Háomszög m T a S sokszög teülete T Háom dimenzió té téfogat Téglatest V a b c Kocka V a Tetaéde m M V a Hasáb V T M Gúla M V T Henge V M T Kö V Kúp M Gömb 4 V 5

26 6 Téfogatszámítás integállal Tétel Ha f nemnegatív és integálható az b a, intevallumon, akko az f által meghatáozott fogástest méhető, és a téfogata b a d f ) ( A gömb téfogata integálással Fogassuk meg az köt az -tengel köül! Az ába alapján a gömböt az -tengele meőleges síkokkal elvágjuk. Ekko a és között fekvő pontot tatalmazó síkmetszet teülete: A téfogat: 4 d A kép foása: Thomas-féle Kalkulus. Megjegzés: a könv a gömb sugaáa nem az, hanem az a jelölést használja.

27 7 Feladat Számítsuk ki két egmástól d távolsága lévő sugaú gömb metszetének a téfogatát! Megoldás Az előzőekhez hasonló módon az köt fogatjuk meg az -tengel köül. Mivel csak a két gömb metszetének téfogatáa vagunk kíváncsiak, ezét d -től -ig integálunk. Az alábbi ába segíti a megétést. 8 ) ( / / d d d d d 4 d d Ekko pesze csak a metszet téfogatának a felét kaptuk meg, ezét ezt meg kell szoozni -vel. A két egmástól d távolsága lévő sugaú gömb metszetének a téfogata tehát: 6 4 d d d d V metszet

28 8 Téfogatszámítással kapcsolatos feladat megoldása kettős integállal A következő feladat észben a Thomas-féle Kalkulus. című könv feladata alapján készült. Feladat: Hatáozzuk meg annak a tébeli tatománnak a téfogatát, amelet a z paaboloid, a 0 z, az 0, az, az síkok hatáolnak. A kédéses tébeli tatománnak eg -beli síkmetszete az ábán látható. Megoldás A feladata két megoldást is adok, ami lénegében csak abban különbözik, hog más az integálás soendje, aminek azonban fontos szeepe lesz a későbbiekben.. megoldás Az első megoldásban előszö szeint, majd szeint integálok. Az ilen típusú feladatoknál első lépésként meg kell hatáozni az integálási hatáokat. Ez az ába alapján können megtehető d d d d

29 9. megoldás A második megoldás soán előszö szeint, azután szeint integálok. Itt is első lépésként a hatáokat kell megadni. 0 d d d d Kiegészítés a feladat megoldásához A kiszámolt étékeket ellenőizhetjük például a Maple pogammal, az alábbi utasítások kiadása után a pogam kiszámolja az integál étékét. Látható, hog az és szeinti integálás soendjének felcseélése ebben az esetben uganazt az integál étéket eedménezi. Eg bonolult integál kiszámítása soán sokszo kénelmes eszköznek bizonul, ha az integál soendjét felcseélhetjük. A következő tétel aól szól, hog ez miko tehető meg.

30 A T halmazon Riemann-integálható függvének halmazát jelölje R(T). Fubini tétel Legen a b c, d f : R R, b, téglalapot. a, és d ) Tegük fel, hog f RT és a, b c, kolátos és zát intevallumok, jelölje T az esetén az f (, ) szekciófüggvén Riemann-integálható c, d-n. Ekko, c, d ún. T b d f f (, ) d d a c ) Tegük fel, hog f RT és c, d esetén az f (, ) szekciófüggvén Riemann-integálható a, b-n. Ekko, a, b ún. T d b f f (, ) d d c a Az ába foása: /BSc_mattana_ea/analizis_III_jegzet00.pdf Következmén Ha f-e mind az ), mind a ) feltételei teljesülnek, akko T b d d b f f (, ) d d f (, ) d d a c c a 0

31 . fejezet: Veges feladatok a teület és a téfogatszámítás témaköéből. Központi felvételi-, éettségi-, KÖMAL feladatok A teület és a téfogat tágalása után ebben a észben feladatok és azok megoldásai következnek. Általános iskolai, teületszámításos feladatoka má mutattam példákat, itt most középiskolai, felvételi, éettségi és vesenszintű, elsősoban téfogatszámítással kapcsolatos feladatokat gűjtöttem össze. A feladatok összeállításában egészt a változatossága töekedtem, másészt megpóbáltam olan példákat válogatni, melekhez tudtam analóg feladatot készíteni. A feladatso és a közölt megoldások világosan mutatják, hog milen nag segítség lehet a tébeli feladatok megoldásában, ha képesek vagunk analóg síkbeli pobléma megfogalmazásáa. Téfogatszámítás a központi felvételi feladatok között. feladat Központi felvételi feladat, 0. januá

32 Megoldás: a) Mivel nég daab egbevágó négzetes hasából szól a feladat, ezét az adatokat tekintve mindeg, hog melik hasából beszélünk. Látható, hog a hasábok alapját eg 6 cm 6 cm alapteületű négzet adja. A kédéses a szakasz hossza lénegében nem mást, mint eg hasáb magassága. Az ábán látható módon háom téglatestet hézagmentesen és pontosan egmása illesztve pontosan akkoa az egüttes magasság, mint eg téglatest alapteületét adó négzet oldala, azaz 6 cm. Tehát a keesett a oldal cm. b) Előszö számoljuk ki eg hasáb téfogatát. Ezt úg kapjuk, hog az alapteületet megszoozzuk a magassággal, vagis esetünkben 7 cm. Mivel nég ilen hasáb alkotja az ábán látható testet és a hasábok egbevágók, ezét az összeagasztott test téfogata 88 cm. Sokféle ezzel analóg síkbeli feladat létezik, melek könnebbek lehetnek, ezáltal a gengébb télátással endelkező diákok számáa segítséget nújthatnak. Téfogatszámítás a középszintű éettségin. feladat Középszintű éettségi feladat, 00. május

33 Megoldás a) Számoljuk ki előszö a kisebb kúp téfogatát! Behelettesítünk a téfogatképletbe: V kisebb,5,6 cm. Mivel hasonló testek téfogatának aána a hasonlóság aánának a köbe, ezét 6 4, 5 5 V nagobb Vkisebb cm. Eg ilen csokoládéváz tehát V nagobb V kisebb,9 cm csokoládét tatalmaz. b) A legnagobb sugaú macipángömb a kisebb kúp beít gömbje. Az adatok alapján az ába jelöléseit használva: FC tg AF,5 68,,5 tg FK AF FK 0,68 cm A lehető legnagobb macipángömb sugaa tizede keekítve 0,7 cm. Láthatjuk, hog a tébeli feladatban a gömb sugaának kiszámítása éppen az analóg síkbeli feladat megoldásával kapható meg. Téfogatszámítás az emelt szintű éettségin. feladat Emelt szintű éettségi feladat, 0. május

34 Megoldás A tébeli feladat megoldása lénegében az analóg síkbeli feladat megoldásán alapul. a) A kúp felszínének és a téfogatának meghatáozásához a megadott adatokon kívül tudnunk kell az alapkö sugaát. Ezt az ábán látható deékszögű háomszögből ki tudjuk számolni. tg45 R 6 R 6 cm Az alkotójának hossza Pitagoasz-tétellel számolható: 6 6 a a 6 6 cm A kúp téfogata: A kúp felszíne: V cm A R ( R a) 6 (6 6 ) 7 cm b) Tudjuk, hog a kúpba íható gömb sugaát az alábbi összefüggéssel megkaphatjuk (ahol V ételemszeűen A a felszínt, V a téfogatot jelöli): g, 48 cm A A csonkakúp téfogatának meghatáozásához szükséges hiánzó adatokat az ábán látható síkmetszetet tekintve számolhatjuk ki: tg45 6 g,5 cm 4

35 A keesett csonkakúp téfogata: V csk g ( R,48 R ) (6,5,) 80 cm Az analóg síkbeli feladat íg szólhat: Eg egenlő száú háomszög csúcsszöge Számítsa ki a háomszög teületét és keületét! 90. Ehhez a csúcshoz tatozó magassága 6 cm. A háomszöget az alappal páhuzamos egenessel kettévágjuk. Mekkoa a keletkezett tapéz teülete, ha az egenes áthalad a háomszögbe ít kö középpontján? A tébeli feladat megoldásában engeteget segíthet az analóg síkbeli feladat megfogalmazása és megoldása. A tébeli feladatok megoldásának csaknem minden lépése közvetlenül az analóg síkbeli feladatok megoldásán alapul. KÖMAL feladat Ezúttal eg síkbeli feladatból indulok ki, azt póbálom tében általánosítani. 4. feladat C. 6. Eg konve négszög minden oldalát osszuk fel nolc egenlő észe, majd minden osztópontot kössünk össze az ába szeint a vele szemközti oldalon levő megfelelő osztóponttal. Az íg kapott kis négszögeket színezzük be sakktáblaszeűen fekete és fehé színűe. Igazoljuk, hog a fekete négszögek teületének összege megegezik a fehé négszögek teületének összegével. (0. mácius) Megoldás Tekintsünk eg konve négszöget és ajzoljuk be a középvonalait. Az íg nég észe osztott eedeti négszögben két-két átellenes négszög teülete egenlő. 5

36 Az ába jelöléseit használva, T AHMG T T T. MICJ GMJD HBIM Tudjuk, hog GJ középvonala az ACD háomszögnek, ezét páhuzamos és fele olan hosszú, mint az AC átló. Az is igaz, hog a GJD háomszög teülete az ACD háomszög teületének negede. Hasonlóan, HI páhuzamos és fele olan hosszú, mint AC, és HBI háomszög teülete az ABC háomszög teületének negede. Ezekből következik, hog GHIJ paallelogamma, melet a HJ és a GI átlók nég egenlő teületű háomszöge bontanak, továbbá, hog a GJD és a HBI háomszögek teületének összege az ABCD négszög teületének negede. Hasonlóan, AHG és ICJ háomszögek teületének összege az eedeti ABCD négszög teületének negede. Ebből következően a belső paallelogamma teülete a teljes négszög teületének a fele. Mivel a paallelogammát az átlói nég egenlő teületű háomszöge bontják, ezét két két szembenfekvő, egfoma színű, kis háomszög teülete szintén a négszög teületének TABCD a negede. Vagis, T AHMG +TMICJ = TGMJD +THBIM =. Können látható, hog ha az eedeti feladatban található sakktáblát -es négszögeke bontjuk, akko a megfelelő teületeket összeadva teljesül az állítás. A következőkben ezt a feladatot fogom kitejeszteni és a tébeli megfelelőjét bemutatni. Tekintsünk az S síkban eg ABCD konve négszöget, és az S síka nem illeszkedő P pontot! Az ABCD négszöget uganúg daaboljuk fel a középvonalaival, mint az előbb. A két középvonal metszéspontja M. Ekko az alábbi gúlák téfogata egenlő: V HBIMP V GMJDP V AHMGP V MICJP 6

37 Befejezés Manapság az elméleti tudás mellett szeintem kiemelkedően fontos a gakolatiasság, a poblémamegoldó készség és az önálló gondolkodás. Egészt ezek motiváltak a szakdolgozatom témaválasztásában, másészt viszont fontosnak tatottam, hog a választott téma jelentős szeepet kapjon má a közoktatásban. A tanítás szeetete nálam az elmúlt időszakban a Bevezető Iskolai Gakolat soán keült előtébe, ekko bizonosodott be egételműen, hog a tanítás az álmom, és több tanáom valamint pedagógus nagmamám véleméne szeint számoma testhez álló pálát választottam. Kééseme az előítnál jóval több tanóát és szakköt tathattam, ahol többek közt volt szeencsém a teület témaköével foglalkozni. Ez a témakö az általános iskola 5. osztálában keült elő, engeteg tapasztalattal lettem gazdagabb. Ezen a szinten sok kifejezés, definíció nem világos még a geekek számáa, ezzel ellentétben viszont meglepően tájékozottak voltak a testekkel kapcsolatban. Tapasztaltam a szakdolgozatban leít néhán tént, tanítási módszet, de néha ezekkel ellentétes felfogásokat is láttam. Például a téglalap tulajdonságainak alapos megétése nélkül előkeültek a teület kiszámításáa alkalmas képletek, ameleket feltehetően sokak ugancsak megétés nélkül használnak, ez utóbbia a saját óámon deítettem fént. Szakdolgozatomban megpóbáltam megmutatni, hog az egetemi definíciók és állítások valamilen fomában jelen vannak az általános- és középiskolai tudásanag, tanítás mögött. Ha nem is mondják ki a definíciókat, tételeket, azoknak a tulajdonságait használják, sokszo alkalmaznak főleg általános iskolában pematematikai bizonításokat. A tanulók nagon fogékonak az új ismeeteke és tapasztalatom szeint sokkal nagobb édeklődést mutatnak a tág iánt, ha endszeesen hozunk gakolati példákat, olanokat, amikkel nap mint nap ők is találkozhatnak. Ee kiváló példa, amiko eg szakköi óán a gáfokkal és azok gakolati hasznával ismetettem meg őket. Sok diák acán lehetett látni a meglepettséget; valószínűleg sokan nem sejtik, hog a matematika mennie szeteágazó, mennie köülvesz minket használjuk és hasznosítjuk a mindennapokban. A szakdolgozat megíása azon túl, hog sok új ismeethez segített hozzá, hasznos volt a leendő tanítás miatt egaánt. A teület és a téfogat fogalmát, annak tanítását sokkal világosabban étem, mint koábban, látom az összefüggéseket, hog épülnek egmása a tananag észei. Tanulság számoma hog az ilen mélségű elméledés eg témában megmutatja, hog milen sok apó észlete van a matematikának, és sokszo ami az oktatás soán, főleg a közoktatás soán előtébe keül, az csak a jégheg csúcsa. 7

38 Iodalomjegzék Hajós Gög: Bevezetés a geometiába (Nemzeti Tankönvkiadó, 006) Laczkovich Miklós T. Sós Vea: Analízis II. (Nemzeti Tankönvkiadó, 007) Póla Gög: Indukció és Analógia (A matematikai gondolkodás művészete I., Gondolat Könvkiadó, 988) Thomas-féle Kalkulus.,. (Tpote Kiadó, 006) Negedik matematikakönvem (Apáczai Kiadó, 00) Czapá Ende Gapjas Feenc: Matematika a középiskolák. évfolama számáa (Nemzeti Tankönvkiadó, 004) Johnn Ball: Matekmágusok (HVG Kiadó, 0) A 5., 7., 8., 7., 8., 6. (felső ába) oldalon található ábákat a GeoGebával, a. oldalon találhatót a Maple-lel, a., 4. (felső ába), 6. (alsó ába) oldalon találhatóakat a Cabi D szoftveel készítettem. 8