Affin transzformációk az euklideszi síkon

Átírás

1 Affin transzformációk az euklideszi síkon SZAKDOLGOZAT Készítette: Lantos Dóra, Matematika BSc, tanári szakirán Témavezető: Dr. Verhóczki László egetemi docens Eötvös Loránd Tudománegetem Természettudománi Kar 0

2 Tartalomjegzék Bevezetés.... Az affin transzformációkkal kapcsolatos alapvető fogalmak Parallel vetítés két sík között Az affin transzformáció fogalma Az affin transzformációk alapvető tulajdonságai Az egbevágóságok és a hasonlóságok A tengeles affinitások..... A tengeles affinitás..... A merőleges tengeles affinitás A nírás Az affin transzformációk analitikus leírása Az affin transzformáció által indukált lineáris leképezés Az affin transzformációk analitikus leírása A tengeles affinitások analitikus leírása Az affin transzformációk meghatározása Az affin transzformációk meghatározása három ponttal A tengeles affinitás meghatározása eg egenessel és két ponttal Az affin transzformációk szorzatként való előállítása Az ellipszis affin képe Az affin transzformációk a matematika órán... 8 Irodalomjegzék... 44

3 Bevezetés Matematikai tanulmánaik során a középiskolás diákok megismerkednek az egbevágóság és a hasonlóság fogalmával. Tanulják azt is, hog a hasonlósági transzformációk egenest egenesbe képeznek és megőrzik a szögek mértékét. Íg felvetődhet bennük az a kérdés, hog vannak-e olan síkbeli transzformációk, amelek egenest egenesbe képeznek ugan, de nem szögtartóak. Egetemi tanulmánaim során számomra érdekes volt, amikor kiderült, hog bizon a síkbeli egenestartó bijekciók a hasonlósági transzformációknál eg jóval bővebb csoportot alkotnak. Ráadásul két parallel vetítés szorzataként egszerűen lehet példát mutatni olan síkbeli bijektív leképezésre, amel egenest egenesbe képez, de nem eg hasonlósági transzformáció. Ezért választottam szakdolgozatom témájául a síkbeli affin transzformációkat. A szakdolgozatot hat fejezetre osztottam fel. A dolgozat első fejezetében ismertetem a síkbeli affin transzformáció fogalmát, továbbá tárgalom az affinitások alapvető tulajdonságait. Látni fogjuk, hog az affin transzformáció uganazon tulajdonságokkal rendelkezik, mint a két sík között értelmezett parallel vetítés. A fejezet végén felidézzük az egbevágóság és a hasonlóság fogalmát is. A második fejezetben tárgaljuk a tengeles affinitásokat. Ennek kapcsán olan fogalmak kerülnek bevezetésre, mint a tengeles affinitás irána és arána, továbbá a nírás. A harmadik fejezetben analitikus eszközökkel tárgaljuk a síkbeli affinitásokat. Ehhez bevezetjük az affinitás által indukált lineáris leképezés fogalmát, amel a síkbeli vektorok terén hat. Megmutatjuk, hog rögzített Descartes-féle koordináta-rendszer alkalmazása esetén eg síkbeli affinitásnál a képpont koordinátáit lineáris alakban lehet kifejezni a kiindulási pont koordinátáiból, és ezen összefüggésekben hat független egüttható szerepel. A negedik fejezetben belátjuk, hog ha a síkban adva van két nem kollineáris ponthármas, akkor egértelműen létezik olan affinitás, amel az első ponthármast a másodikba viszi. Bebizonítjuk azt a fontos tételt is, miszerint eg affin transzformáció mindig előáll eg hasonlóság és eg tengeles affinitás szorzataként. - -

4 Az ötödik fejezetben arra a kérdésre keressük a választ, hog az affinitás milen alakzatba képezi az ellipszist. A válasz érdekében előbb megmutatjuk, hog eg olan tengeles affinitásnál, amel nem tengeles tükrözés, können ki lehet szerkeszteni az úgnevezett invariáns derékszöget. Az invariáns derékszög két olan egmásra merőleges egenest jelent, melek affin képei szintén merőlegesek egmásra. Ezen eredmén felhasználásával előbb azt igazoljuk, hog eg kör affin képe ellipszis. Ezt követően pedig azt mutatjuk meg, hog eg affin transzformáció ellipszist ellipszisbe képez. A dolgozat hatodik fejezetében a síkbeli merőleges tengeles affinitások középiskolai oktatásának a lehetőségét vizsgálom. Ennek során a merőleges tengeles affinitással kapcsolatban olan feladatokat mutatok be, ameleket véleménem szerint a középiskolás diákok is meg tudnak oldani kellő előkészítés után. Dolgozatomban egébként végig arra törekedtem, hog az affinitások tárgalásához lehetőleg az egszerűbb eszközöket alkalmazzam. Szeretném ezúton megköszönni témavezetőmnek, Verhóczki Lászlónak azt a segítséget, amelet a szakdolgozatom elkészítéséhez nújtott. - -

5 . Az affin transzformációkkal kapcsolatos alapvető fogalmak.. Parallel vetítés két sík között A középiskolások számára érdekesnek tűnhet az a kérdés, hog vajon létezik-e olan síkbeli transzformáció, amel nem hasonlóság (azaz nem őrzi meg sem a távolságokat, sem a szögeket), de egenest egenesbe képez. Erre a válaszunk természetesen igenlő, amit például eg parallel vetítés bemutatásával támaszthatunk alá. Legen és két metsző sík, amelek metszésvonala t. Legen emellett v eg olan egenes, vag más szóval irán, amel egik síkkal sem párhuzamos. Vegünk eg olan transzformációt, amel rávetíti a síkot az síkra a v -vel meghatározott iránban. Tetszőleges párhuzamos egenes -val vett metszéspontja legen P pont esetén a P -n átmenő v -vel P' P. Ekkor eg olan : bijektív leképezést kapunk (Lásd az. ábrán!), amel rendelkezik a következő tulajdonságokkal:. ábra - 4 -

6 a) egenest egenesbe képez, b) párhuzamos egeneseket párhuzamos egenesekbe képez, c) parallelogrammát parallelogrammába képez, d) megőrzi a kollineáris ponthármasok osztóviszonát, valamint e) tetszőleges t T esetén fennáll T T. Vegünk most olan v és v egeneseket, amelek nem párhuzamosak egmással és az és metsző síkokkal sem. Először vetítsük a síkot az síkra a v egenes által meghatározott iránban, íg kapunk eg : bijektív leképezést. Másodszor az síkot vetítsük rá a síkra a v egenessel meghatározott iránban. (Lásd a. ábrát!) Ezzel eg : bijektív leképezést kapunk. Ha ennek a két transzformációnak vesszük a szorzatleképezését, akkor eg olan : bijektív leképezést kapunk, amel rendelkezik az előbb felsorolt a) e) tulajdonságokkal, de általában nem ad hasonlóságot.. ábra Most ismerkedjünk meg az affin transzformáció pontos definíciójával és legfontosabb tulajdonságaival, amik közül csak néhánat tárgalunk majd részletesen

7 .. Az affin transzformáció fogalma... Definíció Vegünk eg euklideszi síkot. A síkon vett affin transzformáción eg olan : bijektív leképezést értünk, amel tetszőleges -beli egenest -beli egenesbe képez. (Eszerint a sík eg kölcsönösen egértelmű, egenestartó leképezéséről van szó.) Az affin transzformációt röviden affinitásnak is szokás mondani. A sík minden egbevágósági és hasonlósági transzformációja is affin transzformáció, hiszen ezekre is igaz, hog egenestartó bijektív leképezések. Az előző alfejezetben látott két parallel vetítés szorzataként nert leképezés is eg affin transzformáció. :.. Az affin transzformációk alapvető tulajdonságai... Tétel Az alábbi tétel az affin transzformációk definíciójának közvetlen következméne. Minden : affin transzformációra teljesül, hog a : leképezés is affin transzformáció. inverz Ha adott eg : és eg : affin transzformáció a síkon, akkor igaz, hog a két leképezés kompozíciója, azaz a : leképezés is affin transzformációt ad. A fenti tétel alapján eg sík affin transzformációi a leképezések szorzatára nézve csoportot alkotnak, aminek szokásos jele Aff.... Tétel Legen adott eg : affin transzformáció a síkon. Ekkor a leképezés rendelkezik az alábbi tulajdonságokkal: a) párhuzamos egeneseket párhuzamos egenesekbe képez, b) parallelogrammát parallelogrammába képez

8 Bizonítás és a) Párhuzamos egeneseket párhuzamos egenesekbe képez. Ha a és b egenesek párhuzamosak, azaz nincs közös pontjuk, akkor b b egeneseknek sem lehet. a a Indirekt tegük fel, hog az a és b kép egenesek mégis metszik egmást eg K a b pontban. Ebben az esetben a K pontnak mind az a és b egenesen kell, legen inverz képe. Ezen egenesek nem metszik egmást, íg két különböző pontot kellett, hog kapjunk K inverzeként. Az affin transzformációk azonban definíció alapján kölcsönösen egértelmű hozzárendelések, azaz különböző pontokhoz különböző pontokat rendelnek, íg ellentmondáshoz jutottunk, amiből következik, hog az eredeti állításunk, miszerint az affinitások megtartják az egenesek párhuzamosságát, igaz. b) Parallelogrammát parallelogrammába képez. Ez az állítás lénegében már következik a párhuzamosság megtartásából. Legenek az eredeti parallelogramma csúcsai A, B, C, D, a kép parallelogramma csúcsai pedig A A, B B, C C és D D. A parallelogramma oldalait tartalmazó egeneseket nevezzük el a következőképpen: AB b, BC c, CD d és DA a. Ebben az esetben fennáll, hog A a b, B b c, C c d és D d a. A képegenesekre és pontokra fennáll majd, hog A ab, B b c, C c d, valamint D d a. A parallelogramma definíciója szerint a és c, illetve b és d egenesek párhuzamosak. Mivel az affin transzformációk, ahog azt az előző pontban láttuk, párhuzamosságtartóak, ezért a kép egenesekre igaz lesz, hog c és d is párhuzamosak. a és b, illetve Azaz eg olan négszöget kaptunk, aminek a szemközti oldalai párhuzamosak, ez pedig megegezik a parallelogramma definíciójával. Tehát igaz, hog az affin transzformációk parallelogrammát parallelogrammába képeznek. A későbbiek során az alábbi tételre is szükségünk lesz

9 ... Tétel Ha a -beli A, B, C, D pontokra fennáll AB CD, akkor a : affin transzformációval kapott képpontokra teljesül a A B C D egenlőség. Bizonítás Ez a tétel können látható a párhuzamosság-, illetve a parallelogramma-tartásból, hiszen ha AB CD, akkor ezek A, B, C, D végpontjai parallelogrammát alkotnak. Ebben az esetben az ABCD parallelogramma képeként kapott A BCD ABCD alakzat is parallelogramma lesz, ahogan azt az előző tétel kimondja. Ebből pedig már következik, hog a A B C D (Lásd a. ábrát!) összefüggés is teljesülni fog.. ábra Tekintsük az A, B, C kollineáris pontokat, és jelöljünk ki a tartóegenesükön eg iránítást. Ez alapján az AC és CB iránított szakaszokhoz előjeles hosszat lehet - 8 -

10 rendelni, amit jelöljön AC és CB. Ekkor a három pont osztóviszonán az AC ABC előjeles számot értjük. CB Az alábbi tételt bizonítás nélkül közöljük...4. Tétel Ha adott eg : affin transzformáció a síkon, akkor a leképezés megőrzi a kollineáris ponthármasok osztóviszonát A fenti tétel alapján teljesül tetszőleges -beli kollineáris pontokra az ABC A B C összefüggés..4. Az egbevágóságok és a hasonlóságok Ahogan azt már korábban megjegeztük, minden egbevágóság és hasonlóság is eg speciális affin transzformáció, hiszen ezek is egenestartó bijektív leképezések. Ebben a részben ezt a két speciális affin transzformációt elevenítjük fel a definíciójukkal és alapvető tulajdonságaikkal..4.. Definíció A sík egbevágósági transzformációján eg olan : bijektív leképezést értünk, amelnél bármel A, B pontra fennáll, hog A, B da B d,, ahol d a sík távolságfüggvéne. Azaz az egbevágóságok távolságtartó (és ebből következően szögtartó) leképezések, amelek a kompozícióra nézve csoportot alkotnak. Ezt a csoportot val szokás jelölni. Az egbevágóságok típusai az osztálozási tétel alapján: Iso - eltolás, tengeles tükrözés, elforgatás, csúsztatva tükrözés

11 .4.. Definíció A sík hasonlóságán olan : bijektív leképezést értünk, amelre igaz, hog létezik eg 0 szám, amire teljesül, hog minden A, B esetén A, B da B d,, ahol d szintén a sík távolságfüggvéne. Ezt a számot mondjuk a : hasonlóság aránának. A hasonlóságok, az egbevágóságoktól eltérően, a távolságot ugan nem őrzik meg, de a szögek mértékét igen. A hasonlóságok is csoportot alkotnak a kompozícióra nézve, amit Sim -val jelölünk. A hasonlóságok között fontos szerepe van a középpontos hasonlóság, ezért ezt külön is definiáljuk..4.. Definíció Ha adva van a síkban eg O pont, valamint eg 0 szám, akkor az O középpontú előjeles aránú középpontos hasonlóságon azt a : leképezést értjük, amelre teljesül, hog O O, és eg -beli P O pont képét a következő feltételek határozzák meg: ) Ha 0, akkor a P P pedig 0 pont rajta van az O, P félegenesen, ha, akkor a P P ellentétes iránú félegenesre illeszkedik. pont az O kezdőpontú, O, P -vel ) A szakaszok hosszaira fennáll az OP OP egenlőség. Azt, hog miért mondható, hog a középpontos hasonlóság a legfontosabb a hasonlósági transzformációk közül, a következő tétel mutatja meg..4.. Tétel Minden : hasonlósági transzformáció előállítható alakban, ahol a : leképezés a sík eg középpontos hasonlósága, a : leképezés pedig a sík eg egbevágósági transzformációja

12 Ilen szorzatleképezések például a forgatva nújtások és tükrözve nújtások, amiket eg forgatás és eg középpontos hasonlóság, illetve eg tengeles tükrözés és eg középpontos hasonlóság szorzataként kaphatunk meg. Mind az egbevágóságok, mind a hasonlóságok esetében fontos tulajdonság, hog a transzformáció megtartja-e az iránítást Definíció Eg : transzformációt iránítástartónak nevezünk, ha megtartja a háromszögek körüljárási iránát. Ellenkező esetben a transzformációt iránításváltónak nevezzük. Az egbevágóságok közül iránítástartó az eltolás és az elforgatás, iránításváltó a tengeles tükrözés és a csúsztatva tükrözés. A középpontos hasonlóságok iránítástartó leképezések. A hasonlóságoknál az iránítástartás megállapítható a következő tétel segítségével..4.. Tétel Tetszőleges -beli transzformációk esetén igaz, hog két iránítástartó transzformáció szorzata, valamint két iránításváltó transzformáció szorzata is iránítástartó, eg iránítástartó és eg iránításváltó transzformáció szorzata pedig iránításváltó transzformációt eredménez. Eszerint a forgatva nújtás iránítástartó, a tükrözve nújtás pedig iránításváltó transzformáció. Végül pedig jegezzük meg, hog az egbevágósági, hasonlósági és affin transzformációk viszona a következő módon írható fel: Iso Sim Aff Ahol tehát az csoportját, az Iso az egbevágóságok csoportját, a Aff pedig az affinitások csoportját jelenti a síkon.. Sim a hasonlóságok - -

13 . A tengeles affinitások Az affin transzformációk között kitűntetett szerepet kapnak a tengeles affinitások, ezért ebben a fejezetben ezeket külön, részletesebben megvizsgáljuk. Először nézzük a definíciójukat és alapvető tulajdonságaikat, majd rátértünk néhán velük kapcsolatos tételre és azok bizonítására... A tengeles affinitás... Definíció Eg : affin transzformációt tengeles affinitásnak nevezünk, ha van eg olan t egenes, amelnek pontjait a fien hagja. Ekkor a t egenest az affinitás tengelének nevezzük. Az előző fejezetben tárgalt affin transzformációk, meleket parallel vetítések szorzataként kaptunk, tengeles affinitások.... Tétel Eg : tengeles affinitás esetében a pontokat a képükkel összekötő egenesek párhuzamosak egmással. Bizonítás 4. ábra - -

14 Legen t az affinitás tengele, P és Q az egenesre nem illeszkedő pontok, melek képe P P és Q Q Feltehetjük, hog Q nem illeszkedik a. (Lásd a 4. ábrán!) PP egenesre. Ha PQ eg M pontban metszi a t tengelt, akkor metszi. Ekkor a PQM PQM szelők tételéből következően P Q is uganebben a pontban osztóviszonok egenlősége miatt, a párhuzamos PP és QQ párhuzamosak. Ha PQ párhuzamos a t tengellel, tehát az M metszéspont nem létezik, akkor szükségképpen P Q is párhuzamos vele. Ekkor vegünk fel eg S pontot amel nem illeszkedik a t, illetve a PQ egenesre sem, és ennek képe legen S. (Lásd az 5.ábrát!) Mivel PS és QS egenesek nem párhuzamosak a tengellel, ezért az előbb bebizonítottak szerint párhuzamosak egmással. SS párhozamos PP-vel és QQ -vel, íg PP és QQ is 5. ábra Ezek alapján bevezethetjük a következő definíciót. - -

15 ... Definíció Legen adott eg : tengeles affinitás. Vegünk eg A pontot, amel nem illeszkedik a tengeles affinitás t tengelére. Legen A A ennek az A pontnak a képe. Ekkor az előző tételből következően az AA egenessel meghatározott irán nem függ az A pont megválasztásától. Ezt az iránt nevezzük a tengeles affinitás iránának.... Tétel Ha eg : affin transzformációnak van két fipontja, akkor az őket összekötő egenes tengel, azaz annak minden pontja fipont. Bizonítás Legenek F és F pontok fipontok, és P illeszkedjen az őket összekötő e F F egenesre. Ekkor az F F P F F P összefüggés fennállása miatt P P is teljesül, tehát az e egenes minden pontja megegezik a képével, azaz minden pontja fipont.... Tétel A : tengeles affin transzformáció esetén legenek a tengelre nem illeszkedő A és B pontok képei A A és B B. Az AA és a BB egenesek messék a t tengelt a T, illetve a Q pontokban. Ekkor a szakaszok előjeles hosszaira fennáll az AT AT BQ BQ egenlőség. Bizonítás Az A és B pontok által meghatározott egenes messe a tengeles affinitás t tengelét az M pontban. Können látható, hog az MTA és az MQB háromszögek hasonlók, hiszen a szögeik páronként egenlők. Ebből következik, hog a - 4 -

16 háromszögekben a megfelelő oldalak arána egenlő, tehát fennáll a összefüggés. (Lásd a 6. ábrán!) TA QB TM QM TA QB Mivel az TM QM MT A és az MQ B háromszögek is hasonlóak, íg adódik, hog a egenlőség is igaz. 6. ábra A két fenti egenlőségből pedig következik a TA QB TA összefüggés, amiből eg QB egszerű átrendezéssel megkapjuk a tételben szereplő egenlőséget, miszerint AT AT BQ. BQ... Definíció Legen adott a : tengeles affinitás, amelnek irána nem párhuzamos az affinitás t tengelével. Vegünk eg A pontot, amel nem illeszkedik a t tengelre - 5 -

17 és annak az A T -vel. Vegünk fel az A képét. Az AA egenes és a t tengel metszéspontját jelöljük iránított szakaszok előjeles hosszát. AA egenesen eg iránítást és ennek alapján az A T és AT AT Ekkor a hánadost a tengeles affinitás előjeles aránának nevezzük. AT Az előző tétel alapján ez az érték nem függ az A pont megválasztásától. Amenniben a tengeles affinitás arána pozitív, akkor bármel pont és a képe a t tengel egazon oldalán helezkednek el. Az ilen affinitások a háromszögek körüljárási iránát nem változtatják meg. Ha a tengeles affinitás arána negatív, akkor a pontokat és azok képeit a tengel elválasztja egmástól. Az ilen affinitások megváltoztatják a háromszögek körüljárási iránát. Két tengeles affinitás szorzata, amenniben a két tengel nem egezik meg, általában nem ad tengeles affinitást. Közös tengelű affinitások szorzata viszont tengeles affinitást ad, hiszen a közös tengel pontjai a szorzatleképezés esetében is fipontok lesznek... A merőleges tengeles affinitás.. Definíció Azon : tengeles affin transzformációkat, ameleknek irána merőleges az affinitás t tengelére, merőleges tengeles affinitásoknak nevezzük. A szakirodalomban nagon gakran merőleges affinitások néven olvashatunk róluk. Abban a speciális esetben, amikor a t tengelű merőleges tengeles affinitás aránára teljesül, hog, akkor ez az affinitás megegezik a t tengelre való tengeles tükrözéssel

18 .. A nírás... Definíció Eg : tengeles affin transzformációt nírásnak nevezünk, ha az irána párhuzamos a tengelével. pont 7. ábra Tekintsük azt a tengeles affinitást, amelnek t a tengele és eg síkbeli A A A képe az A -n átmenő, t -vel párhuzamos egenesen van. Vegünk eg ABC háromszöget és szerkesszük meg ennek AC és A BC képét a 7. ábra alapján. Az A C egenesek messék a t tengelt a D pontban. Az A, C, A, C pontokból a tengelhez húzott merőlegesek talppontjai legenek A0, C0, A 0 és C 0. Ekkor a párhuzamos szelőszakaszok tétele miatt teljesül AA AA DA 0 AA, tehát fennáll 0 DC CC0 CC CC0 számmal lehet jellemezni. és DA DC AA CC 0. Eg nírást ezen AA0 CC0 AA és CC m AA A nírások esetében az aránra definíció szerint teljesül. Ezekre az affinitásokra igaz, hog megtartják az alakzatok területét is. AA 0 Ezzel befejeztük a speciális affin transzformációk vizsgálatát

19 . Az affin transzformációk analitikus leírása Számos esetben szükségünk lehet arra, hog a transzformációkkal való munkálatokat számszerűsíteni tudjuk. Ilen esetekben segítségül hívhatjuk a koordinátageometria és a lineáris algebra eszközeit, amihez először az indukált leképezések definiálására van szükségünk... Az affin transzformáció által indukált lineáris leképezés Jelölje V a síkkal párhuzamos szabad vektorok alterét, valamint V a térbeli vektorok terét. Ekkor V V és ezen altér dimenziójára teljesül, hog dim V.... Definíció Legen adott a síkon eg : affin transzformáció. A által indukált leképezésen azt a fennáll a AB A B ˆ :V V leképezést értjük, ahol tetszőleges A, B pontokra ˆ összefüggés. Eg ilen ˆ indukált leképezés lineáris izomorfizmust ad a V vektortérben, azaz bijektív és bármel u, v V vektorokra és valós számra fennáll, hog a) ˆ u v ˆ u ˆ v, b) ˆ u ˆ u. A vektorok hosszát illetve skaláris szorzatát viszont általában nem tartja meg a ˆ :V V indukált leképezés. Most nézzük meg, hogan írhatók le analitikus eszközökkel az affin transzformációk... Az affin transzformációk analitikus leírása Első lépésként vegük fel a síkon az O, i, j, azaz az O origójú, i és j élvektorú Descartes-féle koordináta-rendszert, valamint tekintsünk eg : affin transzformációt. (Lásd a 8. ábrát!) - 8 -

20 Legenek E és E azon pontok a síkon, melekre fennáll és OE j OE i. 8. ábra Vegük az O következő összefüggések: O, E és E E ˆ i ˆ OE OE, a) képpontokat. Ekkor igazak a E Az ˆ j ˆ OE OE. b) ˆ i és a j ˆ vektorokat kifejezhetjük az i és j alapvektorok kombinációjaként a következő alakban: ˆ, a) a i a j i ˆ. b) a i a j j Az itt szereplő egütthatókból képzett A mátri írja le a ˆ indukált leképezést az i, j bázisra nézve: a A a a a Mivel ˆ eg lineáris izomorfizmus, íg az A determinánsára teljesül det 0 A

21 Ezek után vegük az OO vektort, ahol O O és írjuk fel ezt is az i és j vektorok lineáris kombinációjaként az O b i b j alakban. O Ha veszünk eg tetszőleges P pontot és annak az OP i j helvektorát, akkor a P P pont koordinátáit az OP i j kifejezés egütthatói adják. Látható, hog mivel ˆ eg lineáris leképezés a OP ˆ i j ˆ i ˆ j O P ˆ. V -n, ezért teljesül Továbbá fennáll P OO O P b i b j a i a j a i a j O a b i a a b j. a Mivel az OP vektor egértelműen áll elő az i és j vektorok lineáris kombinációjaként, ezért teljesül, hog a és a b a. a b Ez alapján eg tetszőleges P, pont P a következő mátriegenlettel: a a Ennek homogenizált alakja a következő: a a, képének koordinátái felírhatóak b b. a a 0 a a 0 b b. Ezáltal most már mátrialakban is számolhatunk az affin transzformációkkal, ami sok esetben megkönníti majd a munkánkat. Amint azt már korábban is említettük, a tengeles affinitások különleges szerepet kapnak az affinitások között, ezért vizsgáljuk meg külön a tengeles affinitások analitikus leírását is

22 .. A tengeles affinitások analitikus leírása Vegünk eg : tengeles affinitást, amelnek tengele a t egenes. A síkban válasszunk eg olan Descartes-féle koordináta-rendszert, melnek tengele azonos a t egenessel. Mivel az O pont képe önmaga, hiszen a tengelen van, ezért fennáll O O 0. (Lásd a 9. ábrát!) Evidens, hog a által indukált ˆ leképezésre teljesül OE OE ˆ i i. Tekintsük azt az E pontot amellel fennáll E E képét. Ekkor adódik, hog ˆ j ˆ OE OE. ˆ j Az E pont koordinátái legenek m, mi j. Íg a ˆ indukált leképezést az m A 0 mátri írja le. ˆ, azaz OE j, és vegük ennek. A fentiek szerint fennáll Mivel az O kezdőpont fien marad, azt kapjuk, hog tetszőleges P, képének koordinátái kifejezhetők az P, pont 0 m mátriegenlettel. 9. ábra. - -

23 Abban a speciális esetben, amikor a affinitás eg nírás, akkor az EE egenes párhuzamos az tengellel, tehát az E pont második koordinátája. Ez esetben az 0 m egenlet írja le a transzformációt. Az analitikus leírást a következő fejezetben alkalmazni is fogjuk. - -

24 4. Az affin transzformációk meghatározása Minden transzformációnál fontos és érdekes kérdés, hog milen adatok határozzák meg egértelműen. Például ha van két síkbeli zászlónk, akkor az pontosan meghatároz eg egbevágóságot, azaz pontosan eg olan egbevágóság van, amel az első zászlót a másodikba viszi. Vag ha adva vannak az A, A, B, B pontok, ahol A B A B, akkor két olan egbevágóság van, amel A -t A -be, B -et pedig B -be képezi. Ebben a fejezetben azt vizsgáljuk meg, hog miként határozhatók meg az affin transzformációk. 4.. Az affin transzformációk meghatározása három ponttal 4... Tétel Legenek adva a síkban a P, P, P és Q, Q, Q nem kollineáris ponthármasok. Ekkor egértelműen létezik eg olan : affin transzformáció, amelre fennáll, hog az adott pontokat páronként egmásba képezi, azaz teljesül P Q, P Q és P Q. A tétel igazolásához eg lemmára van szükségünk. Feltesszük, hog a síkban rögzítve van eg derékszögű koordináta-rendszer Lemma Legen adva a síkban a P, P és,, pontok, s ezek koordinátáiból képezzük a következő mátriot: P. P nem kollineáris, Ezen P kvadratikus mátri determinánsára fennáll a detp TP P P egenlőség, ahol P P T P a P P P háromszög területe. (Lásd a 0. ábrát!) - -

25 - 4 - Bizonítás 0. ábra Ismeretes, hog a vektorok vektoriális szorzata esetén teljesül, hog a szorzatvektor hosszának mértéke megegezik a vektorok által kifeszített parallelogramma területének mértékével, azaz P P P T P P P P. Jelen esetben pedig j i P P, j i P P. Jelölje k az i és j egségvektorok vektoriális szorzatát. Ennek következtében teljesül, hog k P P P P, ami szerint igaz, hog PP P T. Tekintsük most a P mátriot. Algebrából tudjuk, hog a determinánsokra fennáll 0 0 det det.

26 - 5 - A harmadik sor alapján kifejtve azt kapjuk a determinánsra, hog det det P. Ezzel pedig már igazoltuk, hog teljesül det P P P T P. Térjünk most vissza a tétel bizonítására. Bizonítás Eg j i O,, Descartes-féle koordináta-rendszer alkalmazása esetén eg affin transzformációnak egértelműen megfelel eg M mátri, amit a következőképpen írhatunk le: 0 0 b a a b a a M. Célszerű itt megjegezni, hog 0 det a a a a. Vegük a megadott pontok r r r P, és r r r Q ~, ~ ;; r koordinátáit. A pontosan akkor képezi a r P pontot a r Q pontba, ha a koordinátákra teljesül a következő mátriegenlettel leírt összefüggés: 0 0 ~ ~ r r r r b a a b a a. Készítsük el a ponthármasok koordinátáiból a következő két mátriot: P és ~ ~ ~ ~ ~ ~ Q. Látható, hog r r Q P ;; r teljesül pontosan akkor, ha fennáll a P M Q egenlőség, azaz, ha igaz a M P Q mátriegenlet.

27 Mivel az M mátri egértelműen kifejezhető a P, P, P és a Q, Q, Q pontok koordinátáiból, íg egértelműen létezik olan affinitás, amel az első ponthármast a második ponthármasba viszi. Ezek után térjünk rá a tengeles affinitások speciális esetére. 4.. A tengeles affinitás meghatározása eg egenessel és két ponttal 4... Tétel Legen adva a síkon eg t egenes és az arra nem illeszkedő A, B pontok. Ekkor pontosan eg olan tengeles affinitás van, melnek t a tengele és A B. Bizonítás.) A létezés bizonítása.. ábra Vegünk eg síkot, amel a t egenesben metszi a -t, továbbá az síkon eg C pontot, amel nincs az t metszésvonalon. (Lásd a ábrát!) Ha tekintjük a : és : parallel vetítéseket a v AC és v CB iránokkal, akkor a affinitás kielégíti a feltételeket

28 iránát. Ekkor a t metszésvonal adja az affinitás tengelét, az AB egenes pedig az.) Az egértelműség bizonítása (Lásd a ábrát!). ábra és az Az affinitás egenestartó tulajdonsága alapján be lehet látni, hog ha t a tengel A A pont azonos B -vel, akkor ez alapján eg tetszőleges P pont képe már megszerkeszthető. Tekintsük a g AB egenest. Tegük fel, hog g a T pontban metszi a t tengelt. Az A B és T T összefüggések miatt nilván igaz, hog g g. Vegük a P -n átmenő, g -vel párhuzamos h egenest, amel a Q pontban metszi t -t. Az affinitás párhuzamos egeneseket párhuzamos egenesekbe képez. Ebből következik, hog a h egenes átmeg Q -n és párhuzamos a g g egenessel, íg fennáll h h. Tekintsük az e AP egenest, amel az M pontban metszi t -t. Il módon az MA egenes adja az e képét

29 A P pont az e, h egenesek metszéspontja, tehát az P pont affin képe. e h metszéspont lesz a Ezzel beláttuk, hog a P pont szerinti affin képe már egértelműen megszerkeszthető. A következőkben nézzük meg, hogan írhatók fel az affin transzformációk szorzatleképezésekként. 4.. Az affin transzformációk szorzatként való előállítása 4... Tétel Minden : affinitás előállítható eg hasonlóság és eg tengeles affin transzformáció szorzataként. Bizonítás. ábra - 8 -

30 Korábban már beláttuk, hog ha adottak a P, P, P és a Q, Q, Q -beli nem kollineáris ponthármasok, akkor egértelműen létezik eg olan : affin transzformáció, amelre teljesül Q i,, i P i. Ebben a bizonításban ezt fogjuk felhasználni. Végigvezetjük, hog miként vihető át három adott pont másik három adott pontba. (Lásd a. ábrát!) Legenek adottak a síkon a P, P, P és a Q, Q, Q pontok által meghatározott P P és Q Q háromszögek. A feladatunk tehát az, hog P Q megmutassuk, létezik eg tengeles affinitás és eg hasonlósági transzformáció, amelek szorzata eg olan : transzformációt ad, amelre teljesül, hog P P P Q Q. Q Első lépésként toljuk el a P P háromszöget úg, hog az : eltolás P után teljesüljön P Q. Ehhez az eltolás vektora a P Q vektor kell, legen. A pontok képére az eltolás elvégzése után használjuk a következő jelöléseket: P P Q, P P és P P. A következő lépésben forgassuk el a P P P háromszöget a Q pont körül az PQ szöggel. Ezen szögű : forgatással kapott képpontokat a Q következőképpen nevezzük el: Q Q, P P és P P. Ekkor eg Q középpontú, Q Q aránú QP : középpontos hasonlósággal a P pont a Q pontba képezhető. A középpontos hasonlóság végrehajtása után a képpontok: Q Q, P Q és P P. Íg már csak a P pontot kell a Q pontba képeznünk, úg, hog a Q és Q pontok fien maradjanak. Ehhez alkalmazzunk végül eg olan tengele a Q és : tengeles affinitást, amelnek Q pontokat összekötő egenes és igaz rá, hog P Q. teljesül, hog Q Q, Q Q és P Q. Ekkor - 9 -

31 Ha vesszük a : affin transzformációt, akkor az felírható a szorzatleképezésként, ahol a leképezés valóban eg hasonlóságot ad, hiszen három hasonlóság kompozíciója is hasonlóság. Ezzel bebizonítottuk, hog minden : affin transzformáció felírható alakban, ahol eg tengeles affinitás, pedig eg hasonlóság Tétel Minden affinitás (amenniben az nem hasonlóság) előállítható két tengeles affinitás vag eg tengeles affinitás és eg eltolás szorzataként. Bizonítás Legen adott a 4. ábra : affinitás az ABC és A BC nem hasonló háromszögekkel. Válasszunk eg olan P pontot, amel rajta van az első háromszög AB oldalán és eg olan Q pontot, amel nem illeszkedik a második háromszög oldalára és emellett teljesüljön az is, hog a CP egenes nem párhuzamos a egenessel. A CP és C Q egenesek metszéspontja legen a A B C Q C pont. Az A és a B pontokból a CP oldal egenessel húzott párhuzamosok messék az A és a B - 0 -

32 pontokból (Lásd a 4. ábrát!) Az C Q egenessel húzott párhuzamosokat az A, B és P és Q pontok választása miatt a - - A illetve a B pontokban. C pontok nem eshetnek eg egenesre, mert ebben az esetben a C pontnak egrészt az pontjának kellene lennie, valamint az ABP A B C ABC A B szakasz belső összefüggés teljesülése miatt uganezen szakaszon kívül kellene elhelezkednie egszerre. Ezek szerint beszélhetünk az háromszögről. Az A, B és C pontok által meghatározott A B C A B C háromszög nem lehet egszerre egbevágó mindkét eredetileg adott háromszöggel, mert ez ellentmondana annak az eredeti feltételnek, hog a két háromszög nem is hasonló. Amenniben A B C háromszög egbevágó pl. az ABC háromszöggel és vele egező állású, akkor eg eltolással átvihető az ami pedig tengeles affinitással ABC a A B C háromszögbe, A BC háromszögbe képezhető. Azaz az ABC háromszög eg tengeles affinitás és eg eltolás szorzatával az képezhető. A másik eset, amikor az egállású. Ekkor elmondható, hog az A BC háromszögbe A B C háromszög az egik eredeti háromszöggel sem ABC és az A B C háromszögek centrálisan perspektívek, mivel a megfelelő csúcsok összekötő egenesei egmással párhuzamosak. A Desargues-tételből következik, hog ekkor a két háromszög megfelelő oldal egeneseinek metszéspontjai kollineárisak, azaz eg t egenesre illeszkednek. Vegük azt a tengeles affinitást, amelnek t a tengele és a C pontot a Ekkor belátható, hog ez a tengeles affinitás az háromszögbe viszi. ABC háromszöget az C pontba viszi. A B C Hasonló úton megtalálhatjuk azt a tengeles affinitást, aminek t ( A C AC és A B AB pontok által meghatározott egenes) a tengele és a pontot a C pontba viszi. Erre a tengeles affinitásra teljesülni fog, hog A B C ABC. Ha vesszük a két tengeles affinitás szorzat leképezését, ez a sík eg affinitását adja, amelre teljesül ABC A B C megfogalmazott állítás igaz. C. Tehát a tételben

33 5. Az ellipszis affin képe Ebben a fejezetben azt fogjuk belátni, hog az affin transzformációk eg ellipszist minden esetben ellipszisbe képeznek. Ehhez azonban először szükségünk lesz néhán definíció bevezetésére. Fontos megjegezni bevezetésként még azt is, hog ebben a fejezetben úg tekintünk a körökre, mint speciális ellipszisekre, ameleknek nagtengele és kistengele egenlő hosszú. 5.. Tétel Legen adott eg : tengeles affinitás a t tengelével és eg P t pont P képével. Ekkor egértelműen létezik eg olan P -re illeszkedő a, b egenespár, ahol az a merőleges b -re és az egenesre. a a képegenes merőleges a b b Bizonítás Először húzzuk meg a P és P pontok felezőmerőleges egenesét, amit nevezzünk f -nek. Az f egenes t tengellel vett metszéspontja körül rajzoljuk meg a P és P pontokon áthaladó k kört. Ennek a körnek a t tengellel vett metszéspontjai legenek A és B. Ekkor a k kör az AB szakaszhoz tartozó Thalész-kört adja, íg az AP a és BP b egenesek derékszögben metszik egmást a P pontban, hiszen a Thalész-tétel szerint ezek eg derékszögű háromszög befogóinak oldalegenesei. Valamint az is igaz, hog ezek képei, az AP a és a BP b egenesek, szintén Thalész tétele miatt, uganíg derékszögben metszik egmást. (Lásd a 5. ábrát!) 5.. Definíció A : tengeles affinitásnál azon a, b merőleges egenesekről, melek képei is merőlegesek egmással azt mondjuk, hog invariáns derékszöget alkotnak. - -

34 5. ábra Amenniben az affinitás irána merőleges a tengelre, akkor a P és a P pontokon átmenő, a tengellel párhuzamos és az arra merőleges egenesek adják az invariáns derékszögeket, hiszen az affinitás megtartja az egenesek párhuzamosságát. 5. Definíció Legen adva eg v 0 vektor a síkon, valamint legen a : affin transzformáció által indukált lineáris leképezés a ˆ :V V leképezés. Ekkor a v v ˆ számot a v iránhoz rendelt rövidülési aránnak nevezzük. v A tengeles affinitásoknál a pontokat a képükkel összekötő egenesek által meghatározott irán rövidülési arána megegezik a tengeles affinitás aránának abszolút értékével. 5.. Tétel a k kör Legen adott a síkon eg k kör és eg : affin transzformáció. Ekkor k képe minden esetben ellipszis lesz. - -

35 Bizonítás Az előző fejezetben beláttuk, hog minden : affin transzformáció felírható eg tengeles affinitás és eg hasonlóság szorzataként. Mivel tudjuk, hog a hasonlóságok köröket körökbe képeznek, ezért elegendő a tengeles affinitásokra belátnunk a tételt, azaz elegendő azt bizonítani, hog a tengeles affinitások a köröket ellipszisekbe képezik. 6. ábra Legen adott a síkon a k C, r C középpontú és r sugarú kör és a : t tengelű tengeles affinitás. Szerkesszük meg a C pontra illeszkedő invariáns derékszöget. Vegük fel azt a Descartes-féle koordináta rendszert, melnek origója a C pont, tengelei pedig a C pontra illeszkedő invariáns derékszög egenesei, meleket most C és jelöl. Ekkor a C r C k, kör egenlete felírható erre a koordinátarendszerre nézve az r alakban. Ezek után vegük a C r k, kör eg P P, ) pontját. Ekkor, ha vesszük a P ( P képpontot, akkor az ábrán látható p és p, az C és C egenesekkel párhuzamos, - 4 -

36 P -n átmenő szakaszok képei a p és p szakaszok, amelekre teljesül, hog párhuzamosak az C és C kép egenesekkel, hiszen korábban már beláttuk, hog a tengeles affinitások a párhuzamos egeneseket párhuzamos egenesekbe képezik. Íg ha veszünk eg másik Descartes-féle koordináta-rendszert, aminek origója a pont, tengelei pedig a C pontra illeszkedő C és lévő P pont képének koordinátái P, alakban írhatók fel erre a koordinátarendszerre nézve. (Lásd a 6. ábrát!) C C C képegenesek, akkor a körön Amenniben az invariáns derékszögek által meghatározott iránokhoz rendelt rövidülési aránokat és jelöli, akkor a P, képpont koordinátái a, alakban írhatók fel. Ebből adódik, hog és. Eszerint P fennáll valamint. Ha ezeket behelettesítjük a C r k, kör r egenletébe, akkor azt kapjuk, hog a képalakzat egenlete az r hatvánozási azonosságai alapján ez az egenlet ekvivalens az egenlettel. Tovább alakítva, r r egenletet kapjuk. alakban írható fel. A törtek r r -tel mindkét oldalt elosztva, a kép alakzatra az Tudjuk, hog a C középpontú ellipszisek kanonikus egenlete a második koordináta rendszerben a következő formában írható le: bevezetjük az kapjuk. a a b. Amenniben r és a r jelöléseket, akkor pontosan ezt az egenletet b Ezzel beláttuk, hog eg tengeles affinitás eg kört mindig ellipszisbe képez. Ebből következik, hog eg affin transzformáció a kört ellipszisbe képezi

37 Azt a speciális esetet tehát, amikor az ellipszis nagtengele és kistengele egenlő hosszú, azaz eg kör, beláttuk. Most vizsgáljuk meg, hogan működik uganez az általános ellipszisek esetében. 5.. Tétel Legen adott a síkon eg e ellipszis és eg Ekkor az e ellipszis e képe eg ellipszis lesz. : affin transzformáció. Bizonítás Ezt az állítást können beláthatjuk az előző tétel segítségével. Tudjuk, hog a körök affin képe minden esetben ellipszis. Vegünk eg k kört a síkon, amelnek a képére igaz, hog k e transzformációra. valamel : affin 7. ábra Ha vesszük a : és a : affin leképezések : szorzatleképezését, akkor ez is eg affin transzformációt ad, hiszen az affinitások csoportot alkotnak a kompozícióra nézve

38 Ezek szerint igaz, hog e k k, azaz e k tudjuk az előző tételből, hog a mindig ellipszis. (Lásd a 7. ábrát!). Azt pedig k alakzat eg ellipszis, hiszen eg kör affin képe Íg beláttuk, hog tetszőleges ellipszis affin képe ellipszis. Ezzel végére is értünk az affin transzformációk elméleti vizsgálatának. Végezetül tegünk eg kitekintést a téma középiskolai vonatkozásaira

39 6. Az affin transzformációk a matematika órán A középiskolai tananagban nagon kevés szó esik az affin transzformációkról, azt hiszem, a gakorlatban egáltalán nem kerül szóba. A Hajnal Imre által szerkesztett gimnáziumi tankönvek alapján néztem utána a középiskolai tananagnak és azt találtam, valamint az emlékezetem is megerősítette, hog a geometria elég nag részét tölti ki a matematika tananagnak. A diákok elég részletesen foglalkoznak a különböző geometriai transzformációkkal. Az egbevágóságokkal már a kilencedik, a hasonlóságokkal pedig a tízedik osztálban megismerkednek, ám a középiskolások jelentős része el sem tudja képzelni, hog létezik olan transzformáció, amelet végrehajtva például a négzetből nem négzet lesz és a kör sem marad kör, de az egenes egenes marad. Meglepődve tapasztaltam, hog az említett matematika tankönvsorozat kilencedik osztálosoknak írt kötete említi az affin transzformációt. A geometriai transzformációk bevezetésekor felhívja a diákok figelmét arra, hog vannak olan transzformációk, amelek nem rendelkeznek minden olan tulajdonsággal, amivel a hasonlósági transzformációk igen. Erre hozza példának a merőleges tengeles affinitást. Nem csak definiálja a leképezést, hanem különösebb magarázat nélkül ugan, de a legfőbb tulajdonságait is megemlíti, mint például, hog a t tengel pontjait azok a pontok, ameleket önmagukba képez, hog a t tengelre merőleges egenesek azok az alakzatok, amik képe megegezik az eredeti alakzattal. Azt is leírja, hog a merőleges affinitások általában nem tartják meg sem a szakaszok hosszát, sem a szögek mértéket. Amenniben ezeket a dolgokat a diákoknak elmondtuk és íg ismertnek feltételezhetjük, akkor feladathatóak például szorgalmi házi feladatnak a következő egszerű szerkesztési feladatok

40 . Feladat Adott eg derékszögű háromszög, eg parallelogramma és eg szabálos hatszög az ábra szerint (Lásd a 8. ábrán!). Szerkesszük meg a képeiket azon merőleges affinitás szerint, aminek a tengele a t egenes az arána pedig a háromszög esetén, a parallelogramma esetén, a hatszögnél pedig. 8. ábra Megoldás Tudjuk, hog a t tengelű és aránú merőleges affinitás esetén eg P pont P képére az teljesül, hog ha a pont illeszkedik a tengelre, akkor a képe önmaga. Ha nem illeszkedik a tengelre, akkor a képével összekötő egenes merőleges a tengelre, és a tengel és az egenes T metszéspontjára teljesül, hog PT PT. Amenniben 0, akkor a P pont a TP félegenesen van, ha 0, akkor a P és a P pontok a tengel ellentétes oldalán helezkednek el, de szintén a TP egenesen. Ezek után a feladathoz csupán merőleges egeneseket és szakaszfelező merőlegeseket kell szerkesztenünk. A megoldásokat a 9. ábra mutatja. Ha a tanulók végig csinálják ezeket a szerkesztéseket, akkor egértelműen tapasztalható lesz számukra, hog az affinitás nem tartja meg a szögek méretét, hiszen a derékszögű háromszög nem maradt derékszögű, valamint a szakaszok hosszát sem, ami - 9 -

41 például abból is látható, hog a szabálos hatszög oldalai nem maradtak egenlő hosszúak. Azt is megsejthetik, hog a párhuzamos egeneseket viszont párhuzamos egenesekbe képezi, hiszen a parallelogramma képe parallelogramma lett. 9. ábra Ha még mindig megmaradunk a tengeles affinitásoknál, beszélhetünk a körök képéről is. Azonban a kilencedik osztálosok még nem ismerik az ellipszis fogalmát, ezért a következő feladatot magasabb osztálokban lehet feladni, például tizenegedikeseknek. Mivel ez már eg elég bonolult témakör, célszerű lehet csak arról a speciális esetről beszélni, amikor a kör középpontja a tengelre esik

42 . Feladat Legen adott eg e ellipszis a tengeleivel. Tekintsünk erre úg, mint eg k kör merőleges tengeles affinitással kapott képére. Szerkesszünk két olan átmérőt az ellipszisen, ameleknek megfelelői a körön merőlegesek egmásra. Megoldás Az ellipszis nagtengele legen AB, kistengele pedig CD. Amenniben csak olan eseteket nézünk, ahol a kör középpontja a tengelre illeszkedik, akkor két különböző eset lehetséges, attól függően, hog az AB, vag a CD tengelű affinitást tekintjük. (Lásd a. ábrát!) Ebből mi most csak az első esetet vizsgáljuk, ekkor a tengeles affinitás aránára igaz, hog. (A másik esetben az aránra lenne igaz.). ábra Ebben az esetben tehát az e ellipszis annak a körnek a képe, amelnek átmérője az AB szakasz. Vegük a kör két egmásra merőleges átmérőjét, legenek ezek PQ és RS. A P, Q, R és S pontokat meg tudjuk szerkeszteni, mint a P, Q, R és S pontok képeit, íg az ellipszisben a keresett átmérőknek a felelnek meg. (Lásd a 0. ábrát!) P Q illetve az R S átmérők - 4 -

43 0. ábra Feladható még feladatnak az is, hog szerkesszenek érintőt az ellipszis bizonos pontjaiban. Az affin transzformáció nélkül nem könnű feladat, ám ha vesszük a k kört, akkor ahhoz tudunk érintőt szerkeszteni. Ennek az érintőegenesnek pedig már meg tudjuk szerkeszteni a képét, aminek egetlen közös pontja lesz az ellipszissel, íg annak érintőjét kapjuk. Emellett elmondható még az is, hog mivel a körben az átmérőhöz húzott érintő merőleges az átmérőre, ezért párhuzamos az erre az átmérőre merőleges másik átmérővel. Tudjuk, hog az affinitások megtartják az egenesek párhuzamosságát, ezért a P és a Q pontbeli érintők párhuzamosak egmással. Hasonló megfontolásból következően uganez igaz az R és az S pontbeli érintőkre is. Ebből következik, hog a P, Q, R és S pontbeli érintők parallelogrammát alkotnak, ami eg, az ellipszis köré írt parallelogrammát ad. (Lásd a. ábrát!) - 4 -

44 . ábra Azért is lehet hasznos a későbbi években feleleveníteni a merőleges affinitás fogalmát, mert ahogan én végzős gimnazisták között utánakérdeztem, nem emlékeznek rá, hog valaha hallottak volna nem egbevágósági vag hasonlósági transzformációkról. Annak ellenére, hog a tankönv szerint a merőleges tengeles affinitás fogalmának szerepelnie kellett volna. Azt hiszem, a szokásoktól függetlenül hasznos lehet az is, ha a diákok találkoznak olan affinitásokkal, amelek irána nem merőleges a tengelre, ám ezekkel a szakdolgozatomban már nem foglalkozom

45 Irodalomjegzék. Hajnal Imre Számadó László Békéss Szilvia: Matematika a gimnáziumok számára. Nemzeti Tankönvkiadó, Budapest, 00.. Hajós Görg: Bevezetés a Geometriába. Nemzeti Tankönvkiadó, Budapest, Riemann István: A geometria határterületei. Gondolat, Budapest, Strommer Gula: Geometria. Tankönvkiadó, Budapest, V. T. Baziljev K. I. Dunicsev V. P. Ivanickaja: Geometria I. Tankönvkiadó, Budapest, Vigass Lajos: Középiskolai szakköri füzetek: Geometriai transzformációk. Tankönvkiadó, Budapest,