Fényképek utólagos megvilágítása
|
|
- Anna Török
- 7 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Fénképek utólagos megvilágítása Vass Gegel Budapesti Műszaki és Gazdaságtudománi egetem Összefoglaló A dolgozatban eg egszeű módsze keül bemutatása, amel lehetővé teszi a fotókon látható tágak utólagos megvilágítását. A kiszámított új megvilágítás a tág minden látható pontjához tatozó nomál vekto meghatáozásán alapszik. A nomál vekto iána néhán speciális viszonok között ögzített kép segítségével töténik. 1. Bevezető Gakan felmeülő pobléma a 3D gafikusok köében, hog a különböző pogamok segítségével kiszámolt fotoealisztikus képet a képszintézis ismételt elvégzése nélkül akaják módosítani. Az egik ilen tipikus igén a képet létehozó ek utólagos módosítása. Ee a pogamok lehetőséget is adnak, hiszen nem csak a kiszámított kép eges pixeleinek színét táolják el, hanem opcionálisan az ánaláshoz szükséges egéb infomációkat is. Ezen infomációk alapján pedig aká eg képfeldolgozó pogam is ki tudja számítani a megváltozott viszonokhoz tatozó színétékeket. A számítógépes gafika ohamos fejlődésével ege nagobb igén mutatkozik a valós felvételek utólagos módosításáa is. Sajnos azonban a valós felvételekből sokkal nehezebb azokat az infomációkat kineni, melek nélkülözhetetlenek a képek utólagos módosításához. A dolgozatomban aa keesem a választ, hog mi módon lehet eg valós felvételen látható tágat utólag, számítógép segítségével tetszőleges iánból megvilágítani. Vizsgálódásaim soán töekedtem aa, hog az általam javasolt módsze können megvalósítható legen, és ne tege szükségessé speciális szoftve kifejlesztését. 2. Felületek ánalása A számítógéppel létehozott fotoealisztikus 3D gafika lénege az, hog olan képeket geneáljunk, melek a lehető legjobban hasonlítanak a valódi képekhez. Máa számos algoitmust ismeünk, melek valószeűen szimulálják a viselkedését és jól használhatóak a vituális tágak képezésée. Ezen algoitmusok alapvetően két feladatot oldanak meg: Megpóbálják kiszámítani a vituális világ viszonait. A kiszámított ek sugásűűség és a felületek anagi jellemzői alapján megadják az objektumok pontjainak színét. Mivel célunk eg felvételen látható valós tág megvilágítása azaz kiszínezése, foglalkoznunk kell a fenti két poblémával. Meg kell mondanunk, hog pontosan milen fénnel világítjuk meg a testet és azt, hog ennek hatásáa hogan változik meg a tág eg-eg pontjának színe. 2.1 Kiszámított viszonok A valószeű megvilágítás kiszámítása akko különösen nehéz feladat, ha figelembe vesszük a felületek közötti visszaveődéseket, azaz a globális illuminációs poblémát póbáljuk megoldani. Mivel vizsgálataink soán eg-eg test megvilágításával foglalkozunk felesleges ezt az igen nehéz poblémát kezelnünk. A gos számítás és az egszeű megvalósíthatóság édekében feltételeztem, hog a felhasználó iánekkel világítja meg a felületeket és nem jönnek léte visszaveődések. A viselkedésének ilen egszeűsítése azaz a diekt vag lokális illumináció használata nem jelent jelentős minőségi omlást, hiszen a eflexióknak minimális szeepe van ha csak eg tág megvilágítását számítjuk ki.
2 2.2 Színezés Ha a felhasználó meghatáozta a iánát és eősségét ki kell számítani, hog a tág éppen megjelenített pontja milen színű. Ezt alapvetően két megközelítés szeint adhatjuk meg attól függően, hog milen adatok állnak a endelkezésünke. A Paul Debevec által javasolt [3] eljáás szeint lehetőségünk van méni, hog a tág pontjai milen színűek különböző iánú megvilágítottság mellett. Ha ez az adatbázis a endelkezése áll, csak ki kell olvasni az általunk használt hatásának megfelelő színétékeket eg táblázatból. Mivel ez a módsze pecíziós műszeek használatát feltételezi, ezét nem volt alkalmazható a kutatásban. Ha nem áll endelkezése mét adat a különböző beesési iánú ek hatásáól, lehetőségünk van kiszámolni, hog milen színűek lesznek a felület pontjai adott megvilágítás esetén. Ehhez az ánalási egenlet [1] egszeűsített alakját használhatjuk, mel segítségével adott ián esetén kiszámítható a szemünkbe jutó menniség : L( ω ) = L f ( ω, ω) cosθ ahol L( x, ω) jelöli az x pontból a szem iánába eső menniséget (sugásűűség), L az ián eősségét, f ( ω, ω) az anagi jellemzőt leíó BRDF függvént (Bidiectional Radiance Distibution Function) és θ a beeső és a felület nomál vektoa által bezát szög (1. ába) (1) Lambet modell A Lambet modell a tökéletesen diffúz anagok viselkedését íja le az azonos nevű tövén alapján. Ebben az esetben a visszavet sűűség független a nézeti iántól: f ( ω, x, ω) = k (2) A Lambet illuminációs modell használata esetén a tág színének meghatáozásához a felhasználó által megadott konstansokon diffúz visszaveődési egütthatón és az ián eősségén kívül csupán a iánvektoa és a nomál vekto által bezát szög szükséges. Phong modell Mivel a spekuláis visszaveődés modellezésée alkalmatlan a Lambet modell eg másik illuminációs modellt használunk a csillanások létehozásáa. A Phong modell az egik legkönnebben számítható modell: n f ( ω, ω) = k ( R ω) / cosθ s (3) ahol k és n a csillanás eősségét és nagságát s hatáozza meg, ω a nézeti iánvekto, R pedig a iánvektoának, ω -nek a tüköképe a felületi nomálisa. A képletből látszik, hog a Phong modell kiétékeléséhez a konstansokon kívül a felületi nomális, a iánvektoa, és a nézeti vekto szükséges. 3. Szükséges adatok előállítása 1. ába: Felület színének meghatáozása A Phong és a Lambet modell kiétékeléséhez olan adatok ismeetée van szükség, melek nem feltétlenül állnak endelkezésünke. Ezen adatokat vag a felhasználónak kell meghatáoznia, vag a képanagból kell az infomációt kineni. A BRDF függvén azt adja meg, hog adott becsapódási ián esetén a mekkoa hánada veődik vissza a vizsgált iánba. A számítógépes gafikában több módsze létezik a BRDF függvén megadásáa és számításáa. A legegszeűbb és a legeltejedtebb az un. empiikus modellek használata. Ezek a modellek nem mét adatokon alapulnak, hanem egszeű matematikai összefüggésekkel közelítik a valódi anagok viselkedését. Vizsgálataim soán a kettő legismetebb modellt alkalmaztam a tágak megjelenítéséhez, a Phong és a Lambet modellt. Megvilágítás iána Mivel a lokális illuminációs modellt alkalmazom és csak iáneket használok, a megvilágítás iána eg konstans vektoal jellemezhető, melet a felhasználó hatáoz meg. Nézeti ián A nézeti ián meghatáozása sajnos nem egételmű, hiszen a endelkezése álló kép nem
3 tatalmaz a kamea pozíciójáa, látószögée vag tozításáa vonatkozó, können kinehető infomációt. A feladat az, hog a feldolgozandó kép minden eges pixeléhez meghatáozzunk eg iánvektot, mel a kameából az illető pixel középpontjába néz. A gos számítás és az egszeű implementálhatóság kedvéét feltételeztem, hog a vituális kamea tozítás nélküli pespektivikus vetítést valósít meg. A kamea pozícióját szintén önkénesen jelöltem ki, bá ez a számítások megnehezítése nélkül módosítható (2. ába). Ha valamilen módon sikeül a test geometiáját epodukálni, a paciális deiváltakból können meghatáozhatjuk a nomál vektookat. Ez a megközelítés sajnos számos poblémát vet fel. Eg daab állóképből, vag több, de uganazon kameaállásból készült felvételek alapján gakolatilag lehetetlen a modell létehozása. A ma létező összes algoitmus az un. image based modelling algoitmusok több infomációt igénelnek a geometia epodukálásához. Ez lehet pl. eg mozgó kameás kép-szekvencia, szteeo kép vag különböző iánú metszeti képek. Mivel alapvető célom, hog a gakolatban is können alkalmazható legen a módsze, ezt a megközelítést elvetettem. Ha közvetlenül a nomál vekto iánáa szeetnénk következtetni a képből, akko meg kell vizsgálunk, hog mitől is függ a kép eg pixelének intenzitása: I = f N, ω, ω, f, L, ) ( x, (5) 2. ába: Számításokhoz használt koodinátaendszeben ételmezett kamea pozíció Íg az eges pixelekhez a nézeti vekto az alábbi egszeű alakban számítható: ω = ( x,, 0 ) ( 0.5, 0.5, 1 ) (4) A fenti meglehetősen leegszeűsített egenlet szeint eg daab ián esetében is az () pixel színe minimum 5 ismeetlentől függ: az illető pontbeli nomál vekto, a beesési iána, a nézeti ián, az anagi jellemző (BRDF függvén) és a eőssége. Célunk, hog olan képet készítsünk ahol meghatáozott köülmének között teljesül, hog a pixel intenzitása csak az ismeetlen nomál vekto iántól függ: I = f N ) (6) ( úg, hog létezik A felület nomál vektoa A legnehezebb feladat a nomál vekto meghatáozása. Ha a felhasználó akaná meghatáozni minden eges pixelben a képen látható tág felületének nomál vektoát, akko kéntelen lenne a tág vituális mását (a stand in objektumot) lemodellezni (pl. eg polgon felület fomájában). Eg ilen modell ismeetében bámelik 3D szoftvecsomag képes a nomál vektookat kiíni eg külső állománba. Ez a megközelítés azonban a gakolatban a legitkábban alkalmazható. A javasolt módsze lénege az, hog a valódi tágól készített fotók alapján hatáozzuk meg a nomál vektookat. Mivel ezek a vektook szoos kapcsolatban vannak a tág felületének alakjával, alapvetően két lehetőség nílik meghatáozásuka: (7) 1 f ( I x, ) = N Ebben az esetben uganis a képpontok színei alapján meg tudjuk hatáozni minden pontban a nomál vektot. Ha ezt megtettük, akko má nincs semmi akadála, hog a Phong és a Lambet modell alapján utólag megvilágítsuk a valódi képen látható tágat. 4. Nomál vekto meghatáozása Annak édekében, hog a (6.) összefüggést elő tudjuk állítani - azaz a képpontok színe az ismet paaméteeken kívül csak a nomál vektotól függjön -
4 az (5.) összefüggés szabad paaméteeit - kivéve a nomál vektot - le kell kötni. Ez a feldolgozandó kép készítésée jelent megkötéseket. 4.1 Előfeltevések a felhasznált képekől A BRDF függvén ismeete az egik legpoblematikusabb pont, hiszen ez eg komple öt dimenziós függvén. Fénképek alapján csak úg tudjuk kiszámítani a valódi BRDF-et ha endelkezése áll az eedeti könezet geometiai modellje [4]. Vizsgálataimban nem volt módom a tágak anagi jellemzőinek pontos és egszeűen megvalósítható méésée, ezét feltételeztem, hog a vizsgált tágak diffúz anagok, azaz a Lambet tövénnek megfelelően a visszavet független a nézeti vektotól. Ezzel az egszeűsítéssel két leget ütöttünk eg csapása, hiszen íg a nézeti vektoa sincs szükség az összefüggésben. Ha a kép készítéséhez használt eket is ismejük, további két paamétet tudunk lekötni. Mivel feltételeztük, hog csak eg foás van jelen, má csak ennek iánát és eősségét kell meghatáozni. Ha a vizsgált tágtól elég messzie visszük a foást, akko iánnek tekinthető konstans eővel. Íg az (5.) összefüggés jobb oldalán csak a nomál vekto ismeetlen, a többi paamétet ismejük. Hog pontosan milen összefüggés van a nomál vekto és a képpontok között az még további vizsgálatot igénel, az viszont bizonos, hog akámilen legen ez a kapcsolat invetálhatónak kell lennie. Sajnos azonban eg, a fenti megkötésekkel készített képen sok olan azonos színű képpont lehet, melekhez más-más nomál vekto tatozik, azaz séül az invetálhatóság. Ahhoz, hog a színétékek és a nomál vekto iána között eg-egételmű hozzáendelés legen, valamilen speciális iánú megvilágítása lesz szükség. 4.2 Speciális megvilágítás Eg tébeli vekto meghatáozása visszavezethető a koodinátaendszeben ételmezett háom komponensének meghatáozásáa. Vizsgáljuk meg, hog eg-eg komponens hogan nehető ki valós fotókból. A számításaim koodinátaendszee szeint ételmezett,z iánok a hoizontális, vetikális és mélségi iánoknak felelnek meg. Tekintsük elsőként a hoizontális komponenst. A Lambet modell szeint ott lesz a tág a legesebb, ahol a nomál vekto a iánába néz. Ennek tükében úg tudjuk elkeülni, hog különböző x komponensű nomál vektookhoz azonos esség tatozzon, hog a "jobból" vag "balól" világítja meg a tágat (3. ába). Ha ez teljesül, akko jobb- és baloldali megvilágítás esetén a pozitív ill. negatív x komponenseke következtethetünk a képekből. (1) és (2) alapján ez az összefüggés: L( ω ) = L k cosθ (8) Tegük fel, hog a jobból, azaz a pozitív x iánból ékezik. Ebben az esetben a nomál vekto és a iánának egségvektoa által bezát szög megegezik a nomál vekto és az x tengel által bezát szöggel. Ennek a szögnek a koszinusza pedig - meglepő módon - pontosan a nomál vekto x komponense. Vagis: L( ω ) = L k (9) N x Ez az invetálható összefüggés pedig azt mutatja, hog a "jobból" megvilágított Lambet típusú felület essége lineáis összefüggésben van a nomál vektoának x komponensével. Hasonló módon ha "balól" világítunk a negatív x komponenseke következtethetünk. A vetikális és mélségi ián hasonlóan megkapható. Nilván a negatív z komponensű nomál vektoal endelkező felületet nem láthatjuk, íg a z komponens nagsága lineáisan függ a kamea iánából ékező hatásáa kialakuló ességgel. 3. ába: Ha tetszőleges iánból ékezik a, nem tudunk a nomál vekto iánáa következtetni a pixel színéből. Ha oldalól világítunk a nomál vekto hoizontális komponensée má tudunk következtetni.
5 4. ába: A megadott iánokból ékező hatása. Látható, hog a visszaveődések miatt kis más iánból is jön. 5. Gakolati alkalmazás A fent észletezett speciális megvilágítással 5 daab képet kell készítenünk: jobból (+x), balól (-x), felülől (+), alulól (-), szemből (z). Ezen képek segítségével meghatáozhatjuk a pixelekhez tatozó nomál vektot. Ennek ismeetében a felhasználó által megadott iánfénnel utólag megvilágíthatjuk a valódi, lefotózott tágakat Phong ill. Lambet modell segítségével. A gakolati megvalósítás nem okoz nehézséget eg általános kompozitáló vag képfeldolgozó pogam segítségével, feltéve ha a felhasználónak lehetősége van saját kifejezéseket, un. scipt-eket vag expession-öket íni. 5.2 Infomáció kineése A képeket általában elő kell készíteni a feldolgozáshoz. Gondoskodni kell aól, hog a legvilágosabb pont teljesen fehé, a legsötétebb pedig fekete legen. Ilenko lehetőség van az esetleges hibák csökkentésée, például a szinte mindig létejövő, nem kívánt iánú visszaveődések hatásának gengítése évén. Édemes a nomál vekto iánát eg képben eltáolni az egszeű kezelhetőség miatt. Mivel a képfeldolgozó pogamok nem kezelik a negatív számokat, ezét a következő módszet használtam: (, z ) = ( J +1 B F +1 L E +1,, ) (10) 5.1 Felvételek elkészítése Ha lehetőségünk van a tágat tetszőleges módon megvilágítani - vag nem megvilágítani - a következő megvilágítás melletti képeket kell elkészíteni: jobboldali, baloldali, felső, alsó és kamea iánú. Temészetesen a felhasználó tetszőleges ek mellett aká temészetes megvilágítást használva további képeket is készíthet a tágól. A módsze segítségével a speciális öt kép elegendő eg tetszőleges másik kép utólagos manipulálásához. Ha a vizsgált tágól temészetes megvilágításban készítünk képeket és nincs lehetőségünk a könezet eit eliminálni, akko sincsen pobléma. Készítenünk kell képeket a megadott 5 iánból töténő megvilágítás mellett, valamint eget az eedeti, temészetes megvilágításban. Ezek különbségét képezve megkapjuk az általunk elhelezett ek hatását, azaz az öt kívánt képet. Sajnos elkeülhetetlen, hog a megvilágított tág eges észei ánékolva legenek. Ezeken a teületeken a nomál vekto iánának koekt meghatáozása nem lehetséges a javasolt módszeel, íg a sok méledéssel endelkező, többnie konkáv felületek esetében nehézségekbe ütközhetünk. 5. ába: A 10. összefüggés segítségével kiszámított x és iánú komponensek ahol,z a kép háom színcsatonája, J és B a jobb- és baloldali megvilágítással, F és L a fenti- és lenti megvilágítással, E pedig az elölől készült megvilágítással készült kép világossága. Íg eg képben eltáoltuk a nomál vekto iánát úg, hog 0 és 1 közötti étékeket használunk. 5.3 Világítás számítása A nomál vektot ismeve má könnű a Phong és Lambet modell szeinti megvilágítás kiszámítása (1), (2) és (3) alapján. A Lambet modell megvalósítása:
6 6. ába: A tág utólagos megvilágítása különboző iánokból I = k cos θ = k ( N L) (11) Ahol k a felhasználó által megadott konstans, a koszinusz pedig a nomál vekto és a vektoának skaláis szozata. Figelni kell aa, hog a számítások soán az iánvektookat nomalizálni kell. A Phong modell számítása valamivel nehézkesebb: ( R ω) I k q ( R ω) cosθ = = (12) Ahol q a felhasználó által megadott konstans és R vekto a iánvektoának tüköképe a nomál vektoa. Ennek kiszámítása igen egszeű: R = L 2 N ( N L) (13) Két jelentős pobléma meül fel a módsze alkalmazása soán. Sajnos a mozgóképek utólagos megvilágítása nem lehetséges a fent észletezett módon. A másik jelentősebb pobléma, hog a tág azon észein, ahol jelentős önánékolás lép fel ossz eedmént kapunk. Szeencsée a tesztek tanulsága alapján ez a hiba nem szembetűnő. További fejlesztési lehetőség a képeken látható zaj hatásának csökkentése. Szintén hasznos lehet a nomál vektookból a tág geometiájának kiszámítása is. Sok alkalmazási lehetőség kínálkozik podukciós könezetben, hiszen a fotózásnak, a képek komponálásának alapvető eleme a megvilágítás. A módsze hasznos lehet például eklám- vag potéfotózás esetén, ahol a művészeti vezetők a fotózás után is belenúlhatnak utólag a kép viszonaiba. A (13) és a (4) összefüggéseket visszahelettesítve (12)-be az alábbi képletet kapjuk a Phong modell megvalósításáa, mel közvetlenül implementálható: I = q (( L 2 N ( N L)) ((,0) (0.5, 0.5,1)) 6. Összefoglalás (14) A dolgozatban bemutattam eg igen egszeű módszet, mel segítségével utólag, kizáólag a képfeldolgozás eszközeivel lehetőség nílik eg valós felvételen látható tág tetszőleges iánból töténő megvilágításáa. Az eljáás több, speciális fotó elkészítését teszi szükségessé, melek alapján a felület nomál vektoáa következtethetünk. Ez általában nem szolgál tökéletesen pontos eedménnel, de a tesztek alapján használhatónak bizonult. 7. Hivatkozások [1] Kajia, J., T.: The Rendeing Equation, In Poceedings of SIGGRAPH 86, p [2] Yu, Y.: Image Based Suface Details, Couse 16 in Couse Notes of SIGGRAPH [3] Debevec, P., Hawkins, T., Tchou, C., Duike, H., P., Saokin, W., Saga, M.: Acquiing the Reflectance Field of a Human Face, In Poceedings of SIGGRAPH 2000, p [4] Yu, Y., Debevec, P., Malik, J., Hawkins, T.: Invese Global Illumination: Recoveing Reflectance Models of Real Scenes Fom Photogaphs, In Poceedings of SIGGRAPH 99, p [5] Szima-Kalos, L.: Számítógépes gafika, Compute Books, 1999.
7 7. ába: Az eedeti kép és az utólagos megvilágítás kombinációja. 8. ába: Eg kézől készült fotók alapján ekonstuált nomál vekto komponensek. 9. ába: Az eedeti és az utólagos megvilágítás hatása. Jól látszódik, hog a Phong modell hatásáa létejönnek a csillanások a kéz felületén
1. MECHANIKA-STATIKA GYAKORLAT (kidolgozta: Triesz Péter, egy. ts.; Tarnai Gábor, mérnök tanár) Trigonometria, vektoralgebra
SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM LKLMZOTT MECHNIK TNSZÉK. MECHNIK-STTIK GYKORLT (kidolgozta: Tiesz Péte eg. ts.; Tanai Gábo ménök taná) Tigonometia vektoalgeba Tigonometiai összefoglaló c a b b a sin = cos = c
Mobilis robotok irányítása
Mobiis obotok iánítása. A gakoat céja Mobiis obotok kinematikai modeezése Matab/Simuink könezetben. Mobiis obotok Ponttó Pontig (PTP) iánításának teezése és megaósítása.. Eméeti beezet Mobiis obotok heátoztatása
Információ megjelenítés Számítógépes ábrázolás. Dr. Iványi Péter
Infomáció megjelenítés Számítógépes ábázolás D. Iványi Péte Megvilágítás, ányékolás Realisztikus képhez ányékolás kell Modellezés összetett nagy számítási igenyű Megvilágítás, ányékolás OpenGL egyszeűsített
18. előadás ÁLLANDÓ KÖLTSÉGEK ÉS A KÖLTSÉGGÖRBÉK
18. előadás ÁLLANDÓ KÖLTSÉGEK ÉS A KÖLTSÉGGÖRBÉK Kertesi Gábor Világi Balázs Varian 21. fejezete átdolgozva 18.1 Bevezető A vállalati technológiák sajátosságainak vizsgálatát eg igen fontos elemzési eszköz,
Teljes függvényvizsgálat példafeladatok
Teljes függvénvizsgálat példafeladatok Végezz teljes függvénvizsgálatot az alábbi függvéneken! Az esetenként vázlatos megoldásokat a következő oldalakon találod, de javaslom, hog először önállóan láss
KÁOSZ EGY TÁLBAN Tóthné Juhász Tünde Karinthy Frigyes Gimnázium (Budapest) Gócz Éva Lónyai Utcai Református Gimnázium
válaszolására iránuló, még folamatban lévô (a dekoherencia és a hullámcsomag kollapszusa tárgkörökbe esô) elméleti próbálkozások ismertetésétôl. Ehelett inkább a kísérletek elôfeltételét képezô kvantumhûtés
6. MECHANIKA-STATIKA GYAKORLAT Kidolgozta: Triesz Péter egy. ts. Négy erő egyensúlya, Culmann-szerkesztés, Ritter-számítás
SZÉHENYI ISTVÁN EGYETE GÉPSZERKEZETTN ÉS EHNIK TNSZÉK 6. EHNIK-STTIK GYKORLT Kidolgozta: Tiesz Péte egy. ts. Négy eő egyensúlya ulmann-szekesztés Ritte-számítás 6.. Példa Egy létát egy veembe letámasztunk
Hősugárzás. 2. Milyen kölcsönhatások lépnek fel sugárzás és anyag között?
Hősugázás. Milyen hőtejedési fomát nevezünk hőmésékleti sugázásnak? Minden test bocsát ki elektomágneses hullámok fomájában enegiát a hőméséklete által meghatáozott intenzitással ( az anyag a molekulái
Rugalmas hullámok terjedése. A hullámegyenlet és speciális megoldásai
Rugalmas hullámok tejedése. A hullámegyenlet és speciális megoldásai Milyen hullámok alakulhatnak ki ugalmas közegben? Gázokban és folyadékokban csak longitudinális hullámok tejedhetnek. Szilád közegben
10.3. A MÁSODFOKÚ EGYENLET
.. A MÁSODFOKÚ EGYENLET A másodfokú egenlet és függvén megoldások w9 a) ( ) + ; b) ( ) + ; c) ( + ) ; d) ( 6) ; e) ( + 8) 6; f) ( ) 9; g) (,),; h) ( +,),; i) ( ) + ; j) ( ) ; k) ( + ) + 7; l) ( ) + 9.
Határérték. Wettl Ferenc el adása alapján és Wettl Ferenc el adása alapján Határérték és
2015.09.28. és 2015.09.30. 2015.09.28. és 2015.09.30. 1 / Tartalom 1 A valós függvén fogalma 2 A határérték fogalma a végtelenben véges pontban Végtelen határértékek 3 A határértékek kiszámítása A rend
SZOLVENCIATŐKE MINT FIXPONT
SZÜLE BORBÁLA SZOLVENCIATŐKE MINT FIXPONT A tanulmányban a szező a fixpont-iteáció témájával foglalkozik egy elméleti modellben, a biztosítók szolvenciatőkéjének számolásával kapcsolatban. A téma aktualitását
Az alkalmazott matematika tantárgy oktatásának sokszínűsége és módszertanának modernizálása az MSc képzésében
DIMENZIÓK 35 Matematikai Közlemének III. kötet, 5 doi:.3/dim.5.5 Az alkalmazott matematika tantárg oktatásának sokszínűsége és módszertanának modernizálása az MSc képzésében Horváth-Szováti Erika NME EMK
Matematika OKTV I. kategória 2017/2018 második forduló szakgimnázium-szakközépiskola
O k t a t á s i H i v a t a l A 017/018. tanévi Országos Középiskolai Tanulmáni Versen második forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKGIMNÁZIUM, SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató 1. Adja meg
Lencsék fókusztávolságának meghatározása
Lencsék fókusztávolságának meghatáozása Elméleti összefoglaló: Két szabályos, de legalább egy göbe felület által hatáolt fénytöő közeget optikai lencsének nevezünk. Ennek speciális esetei a két gömbi felület
Kétváltozós vektor-skalár függvények
Kétáltozós ekto-skalá függények Definíció: Az olyan függényt amely az ( endezett alós számpáokhoz ( R R ( ektot endel kétáltozós ekto-skalá függénynek neezzük. : ( ( ( x( i + y( j + z( k Az ektoal együtt
Segédlet a Tengely gördülő-csapágyazása feladathoz
Segélet a Tengely göülő-csaágyazása felaathoz Összeállította: ihai Zoltán egyetemi ajunktus Tengely göülő-csaágyazása Aott az. ábán egy csaágyazott tengely kinematikai vázlata. A ajz szeint az A jelű csaágy
Elemi függvények. Nevezetes függvények. 1. A hatványfüggvény
Elemi függvének Tétel: Ha az = ϕ() függvén az = f () függvén inverze, akkor = ϕ() függvén grafikonja az = f () függvén képéből az = egenesre való tükrözéssel nerhető. Tétel: Minden szigorúan monoton függvénnek
Numerikus módszerek. A. Egyenletek gyökeinek numerikus meghatározása
Numeikus módszeek A. Egyenletek gyökeinek numeikus meghatáozása A1) Hatáozza meg az x 3 + x = egyenlet (egyik) gyökét éintı módszeel. Kezdje a számítást az x = helyen! Megoldás: x 1, Megoldás 3 A függvény
3. Lokális approximáció elve, végeselem diszkretizáció egydimenziós feladatra
SZÉCHENYI ISÁN EGYEEM AAMAZO MECHANIA ANSZÉ 6. MECHANIA-ÉGESEEM MÓDSZER EŐADÁS (kidolgozta: Szüle eronika, eg. ts.) I. előadás. okális aroimáció elve, végeselem diszkretizáció egdimenziós feladatra.. Csomóonti
Mechanika II. Szilárdságtan
echanika II. Szilárdságtan Zalka Károl / q / B Budapest, 05 Zalka Károl, 05, e-kiadás Szabad ezt a kiadvánt sokszorosítani, terjeszteni és elektronikus vag bármel formában tárolni. Tilos viszont a kiadvánt
A T38152 OTKA kutatási pályázat eredményeinek összefoglalása
T3815 OTK kutatási álázat eedméneinek összefoglalása 1. Csonkolt Gauss-nalábok fókuszálása [1] Megmutattuk, hog az otikai alkalmazásokban kiemelkedően fontos szeeet játszó Gauss-nalábok (lézenalábok) fókuszálása
Matematika szintfelmérő szeptember
Matematika szintfelmérő 015. szeptember matematika BSC MO 1. A faglaltok éjszakáján eg közvéleménkutatásban vizsgált csoport %-ának ízlett az eperfaglalt, 94%-ának pedig a citromfaglalt. A két gümölcsfaglalt
A Maxwell-féle villamos feszültségtenzor
A Maxwell-féle villamos feszültségtenzo Veszely Octobe, Rétegezett síkkondenzátoban fellépő (mechanikai) feszültségek Figue : Keesztiányban étegezett síkkondenzáto Tekintsük a. ábán látható keesztiányban
Hajder Levente 2017/2018. II. félév
Hajder Levente hajder@inf.elte.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2017/2018. II. félév Tartalom 1 A fény elektromágneses hullám Az anyagokat olyan színűnek látjuk, amilyen színű fényt visszavernek
Tartalom. Tartalom. Anyagok Fényforrás modellek. Hajder Levente Fényvisszaverési modellek. Színmodellek. 2017/2018. II.
Hajder Levente hajder@inf.elte.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2017/2018. II. félév 1 A fény elektromágneses hullám Az anyagokat olyan színűnek látjuk, amilyen színű fényt visszavernek
A pénzügyi számítások alapjai II. Az értékpapírok csoportosítása. Az értékpapírok csoportosítása. értékpapírok
A pénzügyi számítások alapjai II. étékpapíok Miskolci Egyetem Gazdaságtudományi Ka Pénzügyi Tanszék Galbács Péte doktoandusz Az étékpapíok csopotosítása Tulajdonosi jogot (észesedési viszonyt) megtestesítő
1 1 y2 =lnec x. 1 y 2 = A x2, ahol A R tetsz. y =± 1 A x 2 (A R) y = 3 3 2x+1 dx. 1 y dy = ln y = 3 2 ln 2x+1 +C. y =A 2x+1 3/2. 1+y = x.
Mat. A3 9. feladatsor 06/7, első félév. Határozzuk meg az alábbi differenciálegenletek típusát (eplicit-e vag implicit, milen rendű, illetve fokú, homogén vag inhomogén)! a) 3 (tg) +ch = 0 b) = e ln c)
Kétváltozós függvények ábrázolása síkmetszetek képzése által
Kétváltozós függvének ábrázolása síkmetszetek képzése által ) Ábrázoljuk a z + felületet! Az [,] síkkal párhuzamos síkokkal z c) képzett metszetek körök: + c, tehát a felület z tengelű forgásfelület; Az
Kalkulus II., harmadik házi feladat
Név: Neptun: Web: http://mawell.sze.hu/~ungert Kalkulus II., harmadik házi feladat.,5 pont) Határozzuk meg a következ határértékeket: ahol a) A =, ), b) A =, ), c) A =, ).,) A Az egszer bb kezelhet ség
4. Előadás A mátrixoptika elemei
4. Előadás A mátixoptika elemei Amiko optikai endszeek elemeinek pozicionálását tevezzük, a paaxiális optika eszközeie támaszkodunk. Fénysugaak esetében ez az optikai tengelyhez közeli, azzal kis (< 5º)
1. Lineáris transzformáció
Lineáris transzformáció Lineáris transzformáció mátrixának felírása eg adott bázisban: Emlékeztető: Legen B = {u,, u n } eg tetszőleges bázisa az R n -nek, Eg tetszőleges v R n vektor egértelműen felírható
MAGYARÁZAT A MATEMATIKA NULLADIK ZÁRTHELYI MINTAFELADATSOR FELADATAIHOZ 2010.
MAGYARÁZAT A MATEMATIKA NULLADIK ZÁRTHELYI MINTAFELADATSOR FELADATAIHOZ 00.. Tetszőleges, nem negatív szám esetén, Göktelenítsük a nevezőt: (B). Menni a 0 kifejezés értéke? (D) 0 0 0 0 0000 400 0. 5 Felhasznált
7.4. A programkonstrukciók és a kiszámíthatóság
H @ tj 68 7 PROGRAMKONSTRUKCIÓK 74 A programkonstrukciók és a kiszámíthatóság Ebben az alfejezetben kis kitérőt teszünk a kiszámíthatóság-elmélet felé, és megmutatjuk, hog az imént bevezetett három programkonstrukció
= és a kínálati függvény pedig p = 60
GYAKORLÓ FELADATOK 1: PIACI MECHANIZMUS 1. Adja meg a keresleti és a kínálati függvének pontos definícióját! Mikor beszélhetünk piaci egensúlról?. Eg piacon a keresletet és a kínálatot a p = 140 0, 1q
Függvények határértéke és folytonossága. pontban van határértéke és ez A, ha bármely 0 küszöbszám, hogy ha. lim
Függvének határértéke és oltonossága Deiníció: Az -hoz megadható olan üggvénnek az A. pontban van határértéke és ez A ha bármel küszöbszám hog ha A akkor. Jele: a) Függvén határértékének ogalma visszavezethető
Bevezetés a diadikus adatelemzésbe elmélet és alkalmazás
Tanulmányok Bevezetés a diadikus adatelemzésbe elmélet és alkalmazás Gelei Andea PhD, a Budapesti Covinus Egyetem egyetemi docense E-mail: andea.gelei@unicovinus.hu Dobos Ime DSc, a Budapesti Covinus Egyetem
VIII.4. PONT A RÁCSPONTOK? A feladatsor jellemzői
VIII.4. PONT A RÁCSPONTOK? Tárg, téma Geometria, algebra és számelmélet. Előzmének A feladatsor jellemzői Pontok ábrázolása koordináta-rendszerben, abszolút érték fogalma, oszthatóság fogalma, (skatula
Kidolgozott feladatok a gyökvonás témakörhöz (10.A osztály)
1. Számítsuk ki a következő szorzatok értékét! (a) 3 3 3 (b) 7 3 7 3 1 9. Számítsuk ki a következő hánadosokat! (a) (b) 1 0 1 0 3. Döntsük el, melik szám a nagobb! (a) ( 3) vag ( ) 3 (b) Mivel tudjuk,
Műszaki folyamatok közgazdasági elemzése Előadásvázlat október 17. A technológia és a költségek dualitása
Műszaki folyamatok közgazdasági elemzése Előadásvázlat 3 októbe 7 technológia és a költségek dualitása oábban beláttuk az alábbi összefüggéseket: a) Ha a munka hatáteméke nő akko a hatáköltség csökken
A kardáncsukló tengelyei szögelfordulása közötti összefüggés ábrázolása. Az 1. ábrán mutatjuk be a végeredményt, egy körülfordulásra.
A kardáncsukló tengelei szögelfordulása közötti összefüggés ábrázolása Az 1. ábrán mutatjuk be a végeredmént, eg körülfordulásra. 3 330 270 2 210 1 150 A kardáncsukló hajtott tengelének szögelfordulása
A differenciálegyenlet általános megoldása az összes megoldást tartalmazó halmaz.
Differenciálegenletek Bevezetés Differenciálegenletnek olan egenletet nevezünk, amelben az ismeretlen eg függvén és az egenlet tartalmazza az ismeretlen függvén (valahánad rendű) deriváltját. Például:
Többváltozós analízis gyakorlat, megoldások
Többváltozós analízis gakorlat, megoldások Általános iskolai matematikatanár szak 7/8. őszi félév. Differenciál- és integrálszámítás alkalmazásai. Határozzuk meg az alábbi differenciálegenletek összes,
Záró monitoring jelentés
Záró monitoring jelentés (megfeleltetés és szinopszis) 13. számú fejlesztési t ÁROP-3.A.2-2013-2013-0017 projekthez Verziószám: 3.0 verzió Budapest, 2014. október 31. 1 Tartalom 1. Vezetői összefoglaló...
2012.11.27. Maga a tématerület így nagyon nagy. A fények pontos fizikai szimulációja kimondottan számításigényes
Fények a számítógépes grafikában Dr. Mileff Péter A fények és árnyékok területe különösen frekventált terület a számítógépes vizualizációban. Az utóbbi években ez tovább fokozódott Oka a hardver folyamatos
4. STACIONÁRIUS MÁGNESES TÉR
4. STACONÁRUS MÁGNESES TÉR Az időben állandó sebességgel mozgó töltések keltette áam nemcsak elektomos, de mágneses teet is kelt. 4.1. A mágneses té jelenléte 4.1.1. A mágneses dipólus A tapasztalat azt
Bojtár Imre. Elektronikusan letölthető előadásvázlat építőmérnök hallgatók számára.
Bojtá Ime MECHANIKA - MSc Elektonikusan letölthető előadásvázlat építőménök hallgatók számáa http://wwwepitobmehu/me/htdocs/oktatas/oktatasphp Kiadó: BME Tatószekezetek Mechanikája Tanszék Budapest ISBN
Többváltozós függvények Riemann integrálja
Többváltozós üggvének Riemann integrálja Többváltozós üggvének Riemann integrálja Többváltozós üggvének Riemann integrálja Az integrál konstrukciója tetszőleges változószám esetén Deiníció: n dimenziós
SZILÁRDSÁGTAN A minimum teszt kérdései a gépészmérnöki szak egyetemi ágon tanuló hallgatói részére (2004/2005 tavaszi félév, szigorlat)
SILÁRDSÁGTAN A minimum teszt kérdései a gépészmérnöki szak egetemi ágon tanuló hallgatói részére (2004/2005 tavaszi félév, szigorlat) Szilárdságtan Pontszám 1. A másodrendű tenzor értelmezése (2) 2. A
Analízis I. jegyzet. László István. 2008. november 3.
Analízis I. jegzet László István 2008. november 3. Tartalomjegzék 1. Halmazok 5 1.1. Halmaz fogalma............................ 5 1.2. Halmaz megadása........................... 6 1.2.1. Eplicit megadás.......................
Terület- és térfogatszámítás az általános iskolától az egyetemig
EÖTVÖS LORÁND TUDOMÁNYEGYETEM TERMÉSZETTUDOMÁNYI KAR MATEMATIKAI INTÉZET MATEMATIKATANÍTÁSI ÉS MÓDSZERTANI KÖZPONT Teület- és téfogatszámítás az általános iskolától az egetemig Szakdolgozat Készítette:
5. IDŐBEN VÁLTOZÓ ELEKTROMÁGNESES TÉR
5 IDŐBEN VÁLTOZÓ ELEKTROMÁGNESES TÉR A koábbiakban külön, egymástól függetlenül vizsgáltuk a nyugvó töltések elektomos teét és az időben állandó áam elektomos és mágneses teét Az elektomágneses té pontosabb
10. elıadás: Vállalati kínálat, iparági kínálat Piaci ár. A versenyzı vállalat kínálati döntése. A vállalat korlátai
(C) htt://kgt.bme.hu/ 1 /8.1. ábra. A versenzı vállalat keresleti görbéje. A iaci árnál a vállalati kereslet vízszintes. Magasabb árakon a vállalat semmit nem ad el, a iaci ár alatt edig a teljes keresleti
1.4. Mintapéldák. Vs r. (Használhatjuk azt a közelítő egyenlőséget, hogy 8π 25.)
Elektotechnikai alapismeetek Mágneses té 14 Mintapéldák 1 feladat: Az ába szeinti homogén anyagú zát állandó keesztmetszetű köben hatáozzuk meg a Φ B és étékét! Ismet adatok: a = 11 cm A = 4 cm μ = 8 I
9. ábra. A 25B-7 feladathoz
. gyakolat.1. Feladat: (HN 5B-7) Egy d vastagságú lemezben egyenletes ρ téfogatmenti töltés van. A lemez a ±y és ±z iányokban gyakolatilag végtelen (9. ába); az x tengely zéuspontját úgy választottuk meg,
10. előadás: Vonalas létesítmény tegelyvonalának kitűzése. (Egyenes, körív, átmeneti ív) *
10. előadás: Vonalas létesítmény tegelyvonalának ktűzése. (Egyenes, köív, átmenet ív)* 10. előadás: Vonalas létesítmény tegelyvonalának ktűzése. (Egyenes, köív, átmenet ív) * 10.1. Vonalas létesítmények
Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2012/2013 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) Döntő Megoldások
Országos Középiskolai Tanulmáni Versen / Matematika I kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) Döntő Megoldások Eg papírlapra felírtuk a pozitív egész számokat n -től n -ig Azt vettük észre hog a felírt páros számok
f r homorú tükör gyűjtőlencse O F C F f
0. A fény visszaveődése és töése göbült hatáfelületeken, gömbtükö és optikai lencse. ptikai leképezés kis nyílásszögű gömbtükökkel, és vékony lencsékkel. A fő sugámenetek ismetetése. A nagyító, a mikoszkóp
Térbeli polárkoordináták alkalmazása egy pont helyének, sebességének és gyorsulásának leírására
Tébeli polákoodináták alkalmazása egy pont helyének sebességének és gyosulásának leíásáa A címbeli feladat a kinematikával foglalkozó tankönyvek egyik alapfeladata: elmagyaázni levezetni az idevágó összefüggéseket
XV. Tornyai Sándor Országos Fizikai Feladatmegoldó Verseny a református középiskolák számára Hódmezővásárhely, 2011. április 1-3. 9.
A vesenydolgozatok megíásáa 3 óa áll a diákok endelkezésée, minden tágyi segédeszköz tesztek teljes és hibátlan megoldása 20 pontot é, a tesztfeladat esetén a választást meg kell indokolni. 1. 4 db játék
A fő - másodrendű nyomatékok meghatározása feltételes szélsőérték - feladatként
A fő - másodrendű nomatékok meghatározása feltételes szélsőérték - feladatként A Keresztmetszeti jellemzők című mappa első lakója eg ritkábban látható levezetést mutat be amel talán segít helesen elrendezni
Elméleti összefoglaló a IV. éves vegyészhallgatók Poláris molekula dipólusmomentumának meghatározása című méréséhez
lméleti összefoglaló a I. éves vegyészhallgatók oláis molekula dipólusmomentumának meghatáozása című mééséhez 1.1 ipólusmomentum Sok molekula endelkezik pemanens dipólus-momentummal, ugyanis ha a molekulát
Árnyalás, env mapping. Szécsi László 3D Grafikus Rendszerek 3. labor
Árnyalás, env mapping Szécsi László 3D Grafikus Rendszerek 3. labor Egyszerű árnyaló FS legyen egy fényirány-vektor normálvektor és fényirány közötti szög koszinusza az irradiancia textúrából olvasott
Szabadsugár. A fenti feltételekkel a folyadék áramlását leíró mozgásegyenlet és a kontinuitási egyenlet az alábbi egyszerű alakú: (1) .
Szabadsugár Tekintsük az alábbi ábrán látható b magasságú résből kiáramló U sebességű sugarat. A résből kiáramló és a függőleges fal melletti térben lévő foladék azonos. A rajz síkjára merőleges iránban
Mozgás centrális erőtérben
Mozgás centális eőtében 1. A centális eő Válasszunk egy olyan potenciális enegia függvényt, amely csak az oigótól való távolságtól függ: V = V(). A tömegponta ható eő a potenciális enegiája gaiensének
Mintatesztelő szoftver fejlesztése line scan kamerás alkalmazásokhoz. Bodolai Tamás tanársegéd Miskolci Egyetem, Elektrotechnikai Elektronikai Tanszék
intatestelő softe fejlestése line scan kameás alkalmaásokho Bodolai Tamás tanásegéd iskolci Egetem, Elektotechnikai Elektonikai Tansék KÖSZÖNETNYILVÁNÍTÁS A kutató munka a TÁOP-4.2.2/B-/-2-8 jelű pojekt
Bolyai János Matematikai Társulat. Rátz László Vándorgyűlés Baja
Bolai János Matematikai Társulat Rátz László Vándorgűlés 06. Baja Záródolgozat dr. Nag Piroska Mária, Dunakeszi Dunakeszi, 06.07.. A Vándorgűlésen Erdős Gábor az általános iskolai szekcióban tartott szemináriumot
Y 10. S x. 1. ábra. A rúd keresztmetszete.
zilárdságtan mintafeladatok: tehetetlenségi tenzor meghatározása, a tehetetlenségi tenzor főtengelproblémájának megoldása két mintafeladaton keresztül Először is oldjuk meg a gakorlatokon is elhangzott
( X ) 2 összefüggés tartalmazza az induktív és a kapacitív reaktanciát, amelyek értéke a frekvenciától is függ.
5.A 5.A 5.A Szinszos mennyiségek ezgıköök Ételmezze a ezgıköök ogalmát! ajzolja el a soos és a páhzamos ezgıköök ezonanciagöbéit! Deiniálja a ezgıköök hatáekvenciáit, a ezonanciaekvenciát, és a jósági
Líneáris függvények. Definíció: Az f(x) = mx + b alakú függvényeket, ahol m 0, m, b R elsfokú függvényeknek nevezzük.
Líneáris függvének Definíció: Az f() = m + b alakú függvéneket, ahol m, m, b R elsfokú függvéneknek nevezzük. Az f() = m + b képletben - a b megmutatja, hog a függvén hol metszi az tengelt, majd - az m
5. ROBOTOK IRÁNYÍTÓ RENDSZERE. 5.1. Robotok belső adatfeldolgozásának struktúrája
TARTALOM 5. ROBOTOK IRÁNYÍTÓ RENDSZERE... 7 5.. Robotok belső adatfeldolgozásának struktúrája... 7 5.. Koordináta transzformációk... 5... Forgatás... 5... R-P-Y szögek... 5... Homogén transzformációk...
Akusztikai tervezés a geometriai akusztika módszereivel
Akusztikai tervezés a geometriai akusztika módszereivel Fürjes Andor Tamás BME Híradástechnikai Tanszék Kép- és Hangtechnikai Laborcsoport, Rezgésakusztika Laboratórium 1 Tartalom A geometriai akusztika
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Egyenletek, egyenletrendszerek
1) MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Egenletek, egenletrendszerek A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval
2.2. ELMÉLETI KÉRDÉSEK ÉS VÁLASZOK EGYETEMI MÉRNÖKHALLGATÓK SZÁMÁRA
2.2. ELMÉLETI KÉRDÉSEK ÉS VÁLSZK EGYETEMI MÉRNÖKHLLGTÓK SZÁMÁR (1) Mi a mechanika tága? nagi endseek (testek) heletváltotatással jáó mogásainak és a eeket létehoó hatásoknak (e knek) a visgálata. heletváltoást
VALÓSÁGOS ÖRVÉNYEK IDEÁLIS ÖRVÉNYEK MEGMARADÁSI ELVEI
D. Gausz Tamás VALÓSÁGOS ÖRVÉNYEK Az aeodinamikában igen gyakan találkozunk az övény fogalmával. Ez az övény a epülőgép köüli áamlásban kialakuló otációból (fogásból) számazik. Egy általában kis téész
3. MÉRETEZÉS, ELLENŐRZÉS STATIKUS TERHELÉS ESETÉN
ÉRETEZÉS ELLENŐRZÉS STATIUS TERHELÉS ESETÉN A méreteés ellenőrés célkitűése: Annak elérése hog a serkeet rendeltetésserű hasnálat esetén előírt ideig és előírt bitonsággal elviselje a adott terhelést anélkül
Analízis I. zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I okt. 19. A csoport
Analízis I. zártheli dolgozat javítókulcs, Informatika I. 0. okt. 9. Elméleti kérdések A csoport. Hogan számíthatjuk ki két trigonometrikus alakban megadott komple szám szorzatát más alakba való átváltás
A Magyar Lemezárugyár termékeinek csomagolásai a hatvanas, hetvenes években, egyéb játékdobozok tükrében
TIPOGRÁFIAI DIÁKKONFERENCIA 2009. DECEMBER ELTE BTK Művészetelméleti és Médiakutatási Intézet A Magar Lemezárugár termékeinek csomagolásai a hatvanas, hetvenes években, egéb játékdobozok tükrében Megesi
Olvassa el figyelmesen a következő kérdéseket, állításokat, s karikázza be a helyesnek vélt választ.
Feleletválasztós kédések 1. Hosszú távú modell Pénz Olvassa el figyelmesen a következő kédéseket, állításokat, s kaikázza be a helyesnek vélt választ. 1. Kédés A pénz olyan pénzügyi eszköz, amely betölti
ÖSSZEFÜGGÉSEK A LINEÁRIS REGRESSZIÓS MODELLBEN
MÓDSETANI TANULMÁNOK ÖSSEFÜGGÉSEK A LINEÁIS EGESSIÓS MODELLBEN D HAJDU OTTÓ A tanulmány a lineáis egessziós modell alavető mutatóit tágyala E mutatókat egymásból vezeti le olymódon hogy azok statisztikai
Elektromágneses hullámok
KÁLMÁN P.-TÓT.: ullámok/4 5 5..5. (kibőíe óraála) lekromágneses hullámok elekromágneses elenségek árgalásánál láuk, hog áloó mágneses erőér elekromos erőere (elekromágneses inukció), áloó elekromos erőér
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Egyenletek, egyenletrendszerek
1) MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Egenletek, egenletrendszerek A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval
Sugárzás és szórás. ahol az amplitúdófüggvény. d 3 x J(x )e ikˆxx. 1. Számoljuk ki a szórási hatáskeresztmetszetet egy
Sugázás és szóás I SZÓRÁSOK A Szóás dielektomos gömbön Számoljuk ki a szóási hatáskeesztmetszetet egy ε elatív dielektomos állandójú gömb esetén amennyiben a gömb R sugaa jóval kisebb mint a beeső fény
Modellezési transzformáció: [r lokális,1] T M = [r világ,1] Nézeti transzformáció: [r világ,1] T v = [r képernyo,1]
Inkrementális képsintéis Inkrementális 3D képsintéis Sirma-Kalos Lásló Árnalás, láthatóság nehé, különösen általános heletu objektumokra koherencia: oldjuk meg nagobb egségekre feleslegesen ne sámoljunk:
Több valószínűségi változó együttes eloszlása, korreláció
Tartalomjegzék Előszó... 6 I. Valószínűségelméleti és matematikai statisztikai alapok... 8 1. A szükséges valószínűségelméleti és matematikai statisztikai alapismeretek összefoglalása... 8 1.1. Alapfogalmak...
Statika gyakorló teszt I.
Statika gakorló teszt I. Készítette: Gönczi Dávid Témakörök: (I) közös ponton támadó erőrendszerek síkbeli és térbeli feladatai (1.1-1.6) (II) merev testre ható síkbeli és térbeli erőrendszerek (1.7-1.13)
Az f függvénynek van határértéke az x = 2 pontban és ez a határérték 3-mal egyenl½o lim f(x) = 3.
0-06, II. félév. FELADATLAP Eredmének. Van határértéke, illetve foltonos az f függvén az alábbi pontokban? (a) = Az f függvénnek van határértéke az = pontban és ez a határérték -mal egenl½o f() =.! Az
VI. Deriválható függvények tulajdonságai
1 Deriválhtó függvének tuljdonsági VI Deriválhtó függvének tuljdonsági Ebben fejezetben zt vizsgáljuk, hog deriválhtó függvének esetén derivált milen összefüggésben vn függvén más tuljdonságivl, és hogn
Néhány érdekes függvényről és alkalmazásukról
Néhán érdekes függvénről és alkalmazásukról Bevezetés Meglehet, a középiskola óta nem kedveltük az abszolútérték - függvént; most itt az ideje, hog változtassunk ezen. Erre az adhat okot, hog belátjuk:
Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2017/2018-as tanév 1. forduló Haladók III. kategória
Bolyai János Matematikai Tásulat Aany Dániel Matematikai Tanulóveseny 017/018-as tanév 1. foduló Haladók III. kategóia Megoldások és javítási útmutató 1. Anna matematika házi feladatáa áfolyt a tinta.
1) Adja meg a következő függvények legbővebb értelmezési tartományát! 2) Határozzuk meg a következő függvény értelmezési tartományát!
Függvének Feladatok Értelmezési tartomán ) Adja meg a következő függvének legbővebb értelmezési tartománát! a) 5 b) + + c) d) lg tg e) ln + ln ( ) Megoldás: a) 5 b) + + = R c) és sosem teljesül. d) tg
Az előadás vázlata:
Az előadás vázlata: I. emokémiai egyenletek. A eakcióhő temodinamikai definíciója. II. A standad állapot. Standad képződési entalpia. III. Hess-tétel. IV. Reakcióentalpia számítása képződési entalpia (képződéshő)
MEREVSZÁRNYÚ REPÜLŐGÉPEK VEZÉRSÍK-RENDSZEREINEK KIALAKÍTÁSA 3 REPÜLŐKÉPESSÉG
Dr. Óvári Gula 1 - Dr. Urbán István 2 MEREVSZÁRNYÚ REPÜLŐGÉPEK VEZÉRSÍK-RENDSZEREINEK KILKÍTÁS 3 cikk(soroatban)ben a merev sárnú repülőgépek veérsík rendserinek terveését és építését követheti nomon lépésről
2. előadás: Földmágneses alapfogalmak
. előadás: Földmágneses alapfogalmak. előadás: Földmágneses alapfogalmak Földmágneses anomáliák A súlypontján keesztül felfüggesztett mágnestű a Föld tópusi és mésékeltövi tájain megközelítőleg a földajzi
következô alakúra: ax () = 4 2 P 1 . L $ $ + $ $ 1 1 2$ elsô két tagra a számtani és mértani közép közötti egyenlôtlenséget, kapjuk hogy + cos x
Tigonoetius egenlôtlensége II ész 7 90 a) a in = ezt ao veszi fel ha = Hozzun özös nevezôe alaítsu át a övetezô alaúa: a () = sin cos sin cos + = sin + sin bin = ezt ao veszi fel ha = Mivel b ()> 0 a egadott
ELEKTROMÁGNESSÉG. (A jelen segédanyag, az előadás és a számonkérés alapja:) Hevesi Imre: Elektromosságtan, Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 2007
ELEKTROMÁGNESSÉG (A jelen segédanyag, az előadás és a számonkéés alapja:) Hevesi Ime: Elektomosságtan, Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 7 ELEKTROMOSSÁGTAN A. Elektosztatikai té vákuumban. Az elektomos
Szilárdságtan. Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR
Miskolci Egetem GÉÉMÉRNÖKI É INORMTIKI KR ilárságtan (Oktatási segélet a Gépésmérnöki és Informatikai Kar sc leveleős hallgatói résére) Késítette: Nánori riges, irbik ánor Miskolc, 2008. Een kéirat a Gépésmérnöki
Kocka perspektivikus ábrázolása. Bevezetés
1 Kocka perspektivikus ábrázolása Bevezetés Előző három dolgozatunkban ~ melyek címe: 1. Sínpár perspektivikus ábrázolása, 2. Sínpár perspektivikus ábrázolása másként, 3. Sínpár perspektivikus ábrázolása
IVÁNYI AMÁLIA HARDVEREK VILLAMOSSÁGTANI ALAPJAI
IVÁNYI AMÁLIA HARDVEREK VILLAMOSSÁGTANI ALAPJAI POLLACK PRESS, PÉCS HARDVEREK VILLAMOSSÁGTANI ALAPJAI Lektoálta D. Kuczmann Miklós, okl. villamosménök egyetemi taná Széchenyi István Egyetem, Győ A feladatokat
Bé ni. Barna 5. Benc e. Boton d
Egy asztalon háom halomban 009 db kavics van Egyet eldobok belőle, és a többit két kupacba osztom Ezután megint eldobok egyet az egyik halomból (amelyikben egynél több kavics van) és az egyik halmot ismét