Tartalomjegyzék. 2. Probléma megfogalmazása Informatikai módszer Alkalmazás bemutatása Eredmények További célok...
|
|
- Etelka Molnárné
- 8 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Tartalomjegyzék 1. Bevezető A Fiboacci számok és az araymetszési álladó Biet-formula Az araymetszési álladó a geometriába...5. Probléma megfogalmazása Iformatikai módszer Alkalmazás bemutatása Eredméyek További célok Irodalomjegyzék
2 1. Bevezető 1.1. A Fiboacci számok és az araymetszési álladó Fiboacci, hivatalos evé Leoardo Pisao (1. ábra), a Liber Abaci című köyvébe egy olya feladatot vetett fel, amelyek megoldása egy rekurzív számsorozat. Ezt a sorozatot Fiboacci-sorozatak evezzük és mide eleme az első kettő kivételével egyelő az előző két elem összegével. A sorozat gyakra megjeleik a tudomáy külöböző területei, mit a geometria, biológia, művészet és építészet [1]. Például, azt, hogy egy övéy esetébe a száro felfelé haladva háy csavarulat meté háy levelet éritve jutuk el egy olyahoz, amely egy alsóbb levéllel függőleges iráyba fedőhelyzetbe va, a Fiboacci-sorozat mutatja meg [5]. A madulafa ágá 1. ábra: Fiboacci valamelyik levélből kiidulva és az ág vége felé haladva, egyetle levelet sem kihagyva, éppe ötször kell megkerüli az ágat, míg olya levélhez érkezük, amely a kiidulási levéllel azoos állású, és közbe éppe 13 levelet számlálhatuk meg. A körtefa ágai három-meetes e csavar és eközbe 8 levél helyezkedik el. Az égerfa ágai kétmeetes a csavar és közbe 5 levél található. A számok éppe a Fiboacci-sorozat olya elempárjai, amelyek második szomszédok. Említésre méltó a apraforgó táyérjá spirális alakba elhelyezkedő magok száma is. Az egyes spirálok pozitív, mások egatív forgásiráyba helyezkedek el a apraforgó táyérjába, és ha összeszámláljuk az egyes spirális karoko levő szemeket, a apraforgó táyérjáak agyságától függőe, újra csak Fiboacci-számokkal találkozuk: 1 és 34, 34 és 55 vagy 55 és 89 [6]. A matematikusok agyo sok érdekes összefüggést fedeztek fel a számsorozatot taulmáyozva.
3 1.1. Értelmezés. A Fiboacci-sorozat a következő képpe értelmezhető: F 0 =0, F 1 =1, F =F 1 F 1. A Fiboacci-sorozat éháy tagja: 0, 1, 1,, 3, 5, 8, 13, 1, 34, 55, 89, 144, 33, 377, 610, Fiboacci, a Liber Abaci című köyvébe, a következő feladattal vezette be a Fiboacciszámokat: Egy mező él egy pár kisyúl. Ha a kisyulak egy hóap múlva válak felőtté, és mide felőtt yúlpárak havota születik egy pár kisyula, akkor háy yúl lesz a mező hóap múlva? Megoldás. Az első hóap végé csak egy pár yúl va. Két hóap múlva két pár yúl lesz, az egyik ezek közül újszülött. A harmadik hóap végé az eredeti párak megszületik a második pár kisyula, így most már három pár va a mező (. ábra). A egyedik hóap végé a legidősebb párak újabb kicsiyei leszek, és a második hóapba született yúlpárak is megszületek az első kisyulai,. ábra: Fiboacci yulai így összese már 5 pár yuszi va. Így folytatva a godolatsort, megfigyelhető, hogy a megoldást éppe a Fiboacci-sorozat -edik tagja adja meg. Hóap Nyúlak száma F A Fiboacci-sorozat szoros kapcsolatba va az araymetszéssel. Az araymetszési álladó potosa megegyezik a sorozat egymást követő elemei háyadosáak a határértékével. Ezt az álladót a görög phi betűvel jelöljük és értéke = 1 5 =1,
4 1.. Biet-formula Jacques Philippe Marie Biet ( ) fracia matematikus volt, aki jeletős eredméyeket ért el a számelméletbe Az ő evéhez fűződik a Biet-formula, amely egy explicit előállítása a Fiboacci-számokak az araymetszés segítségével Tétel. N természetes számra F = 5[ ]. Ez a formula a Fiboacci-sorozat zárt alakja és Biet-formuláak evezzük. Bizoyítás. Adott a Fiboacci-sorozat: F =F 1 F, F 0 =0, F 1 =1. Határozzuk meg a sorozat r r 0 alakú megoldásait. Legye F =r, F 1 =r 1,,F =r, r 0. Ekkor, behelyettesítve az egyeletbe, a következőt kapjuk: r -el egyszerűsítve az r r 1=0 karakterisztikus egyeletet kapjuk, amelyek a megoldásai: r r 1 r =0. Az r 1 = 1 5 r 1 = 1 5 és r = 1 5 egyeletek, vagyis: F = Ar 1 B r., r = 1 5. megoldások lieáris kombiációja is megoldása az A kezdeti feltételekből F 0 =0, F 1 =1 meghatározhatjuk A-t és B-t: A B=0 A 1 5 B 1 5 =1 A= 5 5 B= 5 5 4
5 Ebből következik a Biet-formula: F = = 5[ ]. 1.. Tétel. Igazolható, hogy lim F 1 F = 1 5 =, ami potosa az araymetszési álladó. Bizoyítás: lim F 1 = lim F 1 5 [ [ ] ] = 1 0 = Következméy. A Biet-formulából következik, hogy az F elég agy természetes szám eseté közel va a 5 irracioális számhoz. Példa: F 10 =55 eseté Az araymetszési álladó a geometriába Az araymetszések ige agy jeletősége va a geometriába. Euklédeszi úto megszerkeszthetjük az araymetszés aráyát. Az érték megjeleik az egyelőszárú háromszög és a szabályos ötszög szerkesztéséél, és a Fiboacci-spirállal is kapcsolatos. Geometriába araymetszések evezzük egy meyiség (pl. egy szakasz) két olya részre botását, melyek közül a kisebbik úgy aráylik a agyobbhoz, mit a agyobbik az egészhez. 5
6 3. ábra: Araymetszés aráya Vegyük egy egységyi hosszúságú AB szakaszt és jelöljük P-vel az araymetszés szeriti osztópotot, x-szel pedig a rövidebb szakasz hosszát (3. ábra). Ekkor felírhatjuk: ahoa x 1 x = 1 x 1 1 x =x, azaz x 3 x 1=0., A gyökök: x 1, = 3± 5. De x 1, tehát: x= 3 5. Ie az araymetszés aráyszáma: 1 x 1 =1 x=1 3 5 = 5 1. Ez az aráyszám potosa megegyezik a Fiboacci-sorozat szomszédos elemei háyadosáak határértékével. Most vizsgáljuk meg, hogya lehet megszerkesztei euklédeszi úto az araymetszés aráyát. A 4. ábrá látható AB=a hosszúságú szakaszak azt a belső C potját szereték megszerkesztei, amely a szakaszt az araymetszés szerit osztja két részre. 4. ábra: Araymetszés szerkesztése 6
7 Első lépéskét vegyük fel egy, az A poto átmeő, az AB egyeesre merőleges egyeest, és mérjük fel erre az A potból kiidulva OA= a távolságot. Eek O végpotja, mit középpot körül rajzoljuk egy a sugarú kört. E körek az A pothoz tartozó éritője az AB egyees. Rajzoljuk meg az OB egyeest. Eek a körrel való metszéspotjai E és F. Az A potot az E és F potokkal összekötve a BAE és BAF háromszögeket kapjuk. A két háromszög hasoló, mivel a B csúcsál levő szög közös, továbbá BAE =BFA (kerületi szögek). Jelöljük a BE szakasz hosszát x-szel és rajzoljuk meg a B középpotú, x sugarú kört. Az AB szakasz és a kör metszéspotját jelöljük C-vel. A BF szakaszra érvéyes a következő összefüggés: BF=x a =x a. Felírhatjuk a következő aráypárt: x a = a x a, ahoa a = x a x, vagy másképpe a x x = x a. A kapott egyelőség éppe azt fejezi ki, hogy az AB szakaszak a C pot az araymetszés szeriti osztópotja, úgy, hogy AC az araymetszés szeriti kisebbik, BC pedig a agyobbik szakasz. 7
8 . Probléma megfogalmazása Egy olya alkalmazás, amely magába foglalja az említett geometriai szerkesztéseket yereség lee azok számára, akiket érdekel a Fiboacci-sorozat és a rejtélyes araymetszési álladó. Ebből az ötletből kiidulva sikerült elkészítei egy olya Flash-alkalmazást, amely rövide ismerteti a felhaszálóval Fiboacci életét és mukásságát, továbbá meglehet tekitei a Fiboacci-számok bevezető feladatát. Az alkalmazás egyik legértékesebb része az araymetszés aráyáak megszerkesztése és a Fiboacci-spirál létrehozása. Ezek látváyos, diamikus módo törtéek, lépésről-lépésre követhetőe. A cél egy miél több geometriai szerkesztést tartalmazó oktatóprogram, amelyet sikerrel lehesse haszáli a taításba. 3. Iformatikai módszer Az Adobe Flash multimédia techológiák halmaza. Az Adobe Systems termékcsaládba tartozik és egyre többe haszálják az alkalmazást weboldalak fejlesztésére. A Flash alkalmas aimáció és iteraktív adatok beszúrására, ezáltal érdekessé és látváyossá téve a weboldalakat, illetve újabb fejlesztések segítségével programokat is lehet bee íri. A grafikák, az aimáció, a hag és az iteraktivitás segítségével a Flash képes oktati, szórakoztati és általáos iformációkkal elláti beüket. Az Adobe Flash CS3 verziót haszálva, amit 007-be adtak ki, elkészült egy olya alkalmazás, amely a Fiboacci-számokat és az araymetszési álladót mutatja be a felhaszálóak. Az alkalmazás tartalmaz geometriai szerkesztéseket is, amelyek rámutatak az araymetszés jeletőségére és érdekességére. Az alkalmazás felépítése lehetővé teszi, hogy a felhaszáló gombyomással iráyítsa a szerkesztések folyamatát, ez a tulajdoság köyebbe követhetővé és átláthatóvá teszi a programot Alkalmazás bemutatása Az alkalmazást elidítva, a bevezető oldalo látható Fiboacci arcképe és, aimációt haszálva, 8
9 folyamatosa megjeleik az olasz matematikus életéről és mukásságáról szóló rövid ismertető szöveg (5. ábra). 5. ábra: Első oldal A Fiboacci evű oldalt követőe, a felhaszáló megtekitheti a Fiboacci yulairól szóló bevezető feladatot. A Bevezető feladat című oldal tartalmazza a feladat szövegét, megoldását és egy aimált ábrát is (6. ábra). A Tovább gombra kattitva, az ábra agyobb méretbe is megtekithető és köye követhető rajta a párhuzam a yulak szaporodása és a Fiboacci-sorozat elemei között. 6. ábra: Második oldal 9
10 Ezek utá következik az araymetszési álladó bemutatása. Az araymetszés aráyai felfedezhetők az ókori építészetbe, reeszász művészeti alkotásokba, zeeművekbe, festméyekbe, sőt, még a természetbe is előfordulak egyes csigafajták görbületeiek egymáshoz való viszoyába, bizoyos fák, övéyek leveleiek méreteibe, egyes virágfajták sziromleveleiek számába [6]. Ugyaakkor tudjuk, hogy az érték szoros kapcsolatba áll a Fiboacci-sorozattal, hisze a sorozat egymást követő elemei háyadosáak a határértéke potosa az araymetszési álladó: lim F 1 F = 1 5 =. Midez megtalálható az Araymetszési álladó evű oldalo. Az Araymetszési álladó szerkesztése evű oldal bemutatja lépésről-lépésre, hogya kell egy téglalapot az araymetszés aráyai szerit felosztai (7. ábra). A szerkesztés a Vissza és Tovább gombokkal iráyítható. 7. ábra: Negyedik oldal A szerkesztés végére érve, az ábra szemlélteti, hogy a kisebbik téglalap úgy aráylik a agyhoz, mit a agyobbik az egészhez, aimáció segítségével. Az alkalmazás egyik legérdekesebb szerkesztése a Fiboacci spirál. Eze az oldalo követhető a Fiboacci-számokak megfelelő oldalhosszúságú égyzetek egymás mellé helyezése, és azokak a körívekek a megrajzolása, amelyek alkotják a Fiboacci spirált (8. ábra). A felhaszáló itt is befolyásolhatja a szerkesztés lépéseit a Vissza és Tovább gombokkal. 10
11 8. ábra: Ötödik oldal A.fla kiterjesztés Flash aimáció. Tartalmaz fő-kulcsképeket, al-kulcsképeket, gombokat és Actioscript-et. A fő-kulcsképek filmkockakét működek, míg az al-kulcsképek az aimáció átmeeti kockái. A gombok egyszerű két fázisos gombaimációk: ha ráhelyezzük az egér mutatóját, beugraak a saját al-kulcsképjeikbe, amelybe ugyaaz a gomb található, csak aracssárga szíű felirattal. Mide gombra Actioscript va téve, segítségével avigálhatuk bizoyos témákra. A Flash lieáris, olya mit a Program Couter, midig valahol található, ezért iráyítai kell. A fő témák meglettek rajzolva, fő-kulcsképekre lettek téve, és ha aimációról volt szó, akkor az aimáció al-kulcsképek segítségével lett megvalósítva. Például, az Araymetszési álladó szerkesztése evű oldalo megrajzoljuk a szerkesztés első képét (a égyzetet), ez a főkulcsképre kerül, majd a Tovább gomb elvisz a következő kulcsképre, ahol a szerkesztés elmozdult fázisa található. 11
12 4. Eredméyek Az eredméy egy olya oktatóprogram, amely látváyos, diamikus és hatásos. Az alkalmazást haszálhatják taárok, diákok és mide olya felhaszáló, akit érdekel a Fiboaccisorozat, az araymetszési álladó, és a külöböző geometriai szerkesztések. 5. További célok További cél az alkalmazás kibővítése olya geometriai szerkesztésekkel, amelyek érdekesek, és számos felhaszálót érdekelek. Mivel az alkalmazás tartalmaz úgy az iformatika, mid pedig a matematika területé taított ayagrészt, ezért, megfelelő módosításokkal, oktatóprogramkét is kezelhető. 1
13 6. Irodalomjegyzék [1] Bege Atal, Differeciaegyeletek, Egyetemi Kiadó, Kolozsvár, 005. [] Bui Mih Phog, Perfect Numbers Cocerig Fiboacci Sequece, Eötvös Lorád Tudomáyegyetem, Budapest, [3] Fiboacci Numbers, [4] Fiboacci Spirals, [5] Fodorpataki László, Szigyártó Lídia, Bartha Csaba, Növéytai ismeretek, Scietia Kiadó, Kolozsvár, 004, [6] Gerőcs László, A Fiboacci-sorozat általáosítása, Scolar Kiadó, Budapest, [7] Jea Berstel, A Exercise o Fiboacci Represetatio, Gaspard Moge Itézet, Mare -la-vallée, 00. [8] Peter Fewick, Zeckedorf Iteger Arithmetic, The Uiversity of Aucklad, Aucklad. [9] Sai Márto, A Fiboacci-sorozattól láctörtekkel az araymetszésig, Taköyvkiadó, Budapest, 1975,
14 Köszöetyilváítás Ezúto is szereték köszöetet modai témavezetőmek: Bege Atalak, segítsége és biztatása élkül em jöhetett vola létre e dolgozat. Köszööm Fodorpataki Lászlóak a haszos segédayagot. Köszööm Keresztes Zsoltak és Negulescu Mátyásak türelmét és haszos taácsait. 14
ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198.
ALGEBRA MÁSODFOKÚ POLINOMOK. Határozzuk meg az + p + q = 0 egyelet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 98.. Határozzuk meg az összes olya pozitív egész p és q számot, amelyre az
RészletesebbenA figurális számokról (IV.)
A figurális számokról (IV.) Tuzso Zoltá, Székelyudvarhely A továbbiakba külöféle számkombiációk és összefüggések reprezetálásáról, és bizoyos összegek kiszámolásáról íruk. Sajátos összefüggések Az elekbe
Részletesebbenfestményeken és nem utolsó sorban az emberi test különböz arányaiban. A következ képek magukért beszélnek:
Az araymetszés és a Fiboacci számok mideütt Tuzso Zoltá Araymetszésrl beszélük, amikor egy meyiséget, illetve egy adott szakaszt úgy osztuk két részre, hogy a kisebbik rész úgy aráylik a agyobbikhoz, mit
RészletesebbenMATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA)
O k t a t á s i H i v a t a l A 5/6 taévi Országos Középiskolai Taulmáyi Versey első forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató A 5 olya égyjegyű szám, amelyek számjegyei
RészletesebbenVII. A határozatlan esetek kiküszöbölése
A határozatla esetek kiküszöbölése 9 VII A határozatla esetek kiküszöbölése 7 A l Hospital szabály A véges övekedések tétele alapjá egy függvéy értékét egy potba közelíthetjük az köryezetébe felvett valamely
RészletesebbenV. Deriválható függvények
Deriválható függvéyek V Deriválható függvéyek 5 A derivált fogalmához vezető feladatok A sebesség értelmezése Legye az M egy egyees voalú egyeletes mozgást végző pot Ez azt jeleti, hogy a mozgás pályája
Részletesebben2.1. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása
59. Számsorozatok.. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása.. Defiíció. Azokat az f : N R valós függvéyeket, melyek mide természetes számhoz egy a valós számot redelek hozzá, végtele számsorozatokak,
RészletesebbenSorozatok A.: Sorozatok általában
200 /2002..o. Fakt. Bp. Sorozatok A.: Sorozatok általába tam_soroz_a_sorozatok_altalaba.doc Sorozatok A.: Sorozatok általába Ad I. 2) Z/IV//a-e, g-m (CD II/IV/ Próbálj meg róluk miél többet elmodai. 2/a,
RészletesebbenDiszkrét matematika II., 3. előadás. Komplex számok
1 Diszkrét matematika II., 3. előadás Komplex számok Dr. Takách Géza NyME FMK Iformatikai Itézet takach@if.yme.hu http://if.yme.hu/ takach/ 2007. február 22. Komplex számok Szereték kibővítei a valós számtestet,
RészletesebbenKomplex számok. d) Re(z 4 ) = 0, Im(z 4 ) = 1 e) Re(z 5 ) = 0, Im(z 5 ) = 2 f) Re(z 6 ) = 1, Im(z 6 ) = 0
Komplex számok 1 Adjuk meg az alábbi komplex számok valós, illetve képzetes részét: a + i b i c z d z i e z 5 i f z 1 A z a + bi komplex szám valós része: Rez a, képzetes része Imz b Ez alapjá a megoldások
Részletesebben(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet):
A umerikus sorozatok fogalma, határértéke (A TÁMOP-4-8//A/KMR-9-8 számú projekt keretébe írt egyetemi jegyzetrészlet): Koverges és diverges sorozatok Defiíció: A természetes számoko értelmezett N R sorozatokak
Részletesebben2. fejezet. Számsorozatok, számsorok
. fejezet Számsorozatok, számsorok .. Számsorozatok és számsorok... Számsorozat megadása, határértéke Írjuk fel képlettel az alábbi sorozatok -dik elemét! mooto, korlátos, illetve koverges-e! Vizsgáljuk
Részletesebben3. SOROZATOK. ( n N) a n+1 < a n. Egy sorozatot (szigorúan) monotonnak mondunk, ha (szigorúan) monoton növekvő vagy csökkenő.
3. SOROZATOK 3. Sorozatok korlátossága, mootoitása, kovergeciája Defiíció. Egy f : N R függvéyt valós szám)sorozatak evezük. Ha A egy adott halmaz és f : N A, akkor f-et A-beli értékű) sorozatak evezzük.
RészletesebbenGyakorló feladatok II.
Gyakorló feladatok II. Valós sorozatok és sorok Közgazdász szakos hallgatókak a Matematika B című tárgyhoz 2005. október Valós sorozatok elemi tulajdoságai F. Pozitív állítás formájába fogalmazza meg azt,
RészletesebbenMőbiusz Nemzetközi Meghívásos Matematika Verseny Makó, március 26. MEGOLDÁSOK
Mőbiusz Nemzetözi Meghívásos Matematia Versey Maó, 0. március 6. MEGOLDÁSOK 5 700. Egy gép 5 óra alatt = 000 alatt 000 csavart. 000 csavart észít, így = gép észít el 5 óra 000. 5 + 6 = = 5 + 5 6 5 6 6.
RészletesebbenOptika. sin. A beeső fénysugár, a beesési merőleges és a visszavert, illetve a megtört fénysugár egy síkban van.
Optika Mi a féy? Látható elektromágeses sugárzás. Geometriai optika (modell) Féysugár: ige vékoy párhuzamos féyyaláb Ezt a modellt haszálva az optikai jeleségek széles köréek magyarázata egyszerű geometriai
RészletesebbenKomplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós
Komplex számok el adásvázlat, 008. február 1. Maróti Miklós Eek az el adásak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudi: test, test additív és multiplikatív csoportja, valós számok és tulajdoságaik.
RészletesebbenMatematika B4 I. gyakorlat
Matematika B4 I. gyakorlat 2006. február 16. 1. Egy-dimeziós adatredszerek Va valamilye adatredszer (számsorozat), amelyről szereték kiszámoli bizoyos dolgokat. Az egyes értékeket jelöljük z i -vel, a
RészletesebbenARANYMETSZÉS. - érettségi dolgozat védése analízis és algebrából - Készítette: Szénási Eszter Mentor: Dr. Péics Hajnalka június 11.
ARANYMETSZÉS - érettségi dolgozat védése analízis és algebrából - Készítette: Szénási Eszter Mentor: Dr. Péics Hajnalka 2014. június 11. Zenta TARTALMI ÁTTEKINTÉS Az aranymetszés fogalma eredete és előfordulása
RészletesebbenMatematikai statisztika
Matematikai statisztika PROGRAMTERVEZŐ INFORMATIKUS alapszak, A szakiráy Arató Miklós Valószíűségelméleti és Statisztika Taszék Természettudomáyi Kar 2019. február 18. Arató Miklós (ELTE) Matematikai statisztika
RészletesebbenVI.Kombinatorika. Permutációk, variációk, kombinációk
VI.ombiatorika. ermutációk, variációk, kombiációk VI..ermutációk ismétlés élkül és ismétléssel (sorredi kérdések) l..) Az,, számjegyekből, ismétlés élkül, háy háromjegyű szám írható? F. 6 db. va. A feti
RészletesebbenKombinatorika. Variáció, permutáció, kombináció. Binomiális tétel, szita formula.
Kombiatorika Variáció, permutáció, kombiáció Biomiális tétel, szita formula 1 Kombiatorikai alapfeladatok A kombiatorikai alapfeladatok léyege az, hogy bizoyos elemeket sorba redezük, vagy éháyat kiválasztuk
RészletesebbenXXVI. Erdélyi Magyar Matematikaverseny Zilah, február II.forduló -10. osztály
Miisterul Educaţiei Națioale și Cercetării Știițifice Subiecte petru Etapa aţioală a Cocursului de Matematică al Liceelor Maghiare di Româia XXVI. Erdélyi Magyar Matematikaversey Zilah, 016. február 11
RészletesebbenHiba! Nincs ilyen stílusú szöveg a dokumentumban.-86. ábra: A példa-feladat kódolási változatai
közzétéve a szerző egedélyével) Öfüggő szekuder-változó csoport keresése: egy bevezető példa Ez a módszer az állapothalmazo értelmezett partíció-párok elméleté alapul. E helye em lehet céluk az elmélet
Részletesebben3. MINTAFELADATSOR EMELT SZINT JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ
Oktatáskutató és Fejlesztő Itézet TÁMOP-3.1.1-11/1-01-0001 XXI. századi közoktatás (fejlesztés, koordiáció) II. szakasz MATEMATIKA 3. MINTAFELADATSOR EMELT SZINT 015 JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Oktatáskutató
RészletesebbenEGY ÚJ SZÁMHÁROMSZÖG A
BELVÁROSI ÁLTALÁNOS ISKOLA ÉS GIMNÁZIUM BÉKÉSCSABA EGY ÚJ SZÁMHÁROMSZÖG A KOMBINATORIKÁBAN 0 3 4 5 6 7 8 9 0 0 0 0 3 3 0 4 9 8 6 0 5 44 45 0 0 0 6 65 64 35 40 5 0 7 854 855 94 35 70 0 8 4833 483 740 464
RészletesebbenRudas Tamás: A hibahatár a becsült mennyiség függvényében a mért pártpreferenciák téves értelmezésének egyik forrása
Rudas Tamás: A hibahatár a becsült meyiség függvéyébe a mért ártrefereciák téves értelmezéséek egyik forrása Megjelet: Agelusz Róbert és Tardos Róbert szerk.: Mérésről mérésre. A választáskutatás módszertai
RészletesebbenI. rész. c) Az m valós paraméter értékétől függően hány megoldása van a valós számok halmazán az alábbi egyenletnek?
Fazakas Tüde, 05 ovember Emelt szitű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Fazakas Tüde; dátum: 05 ovember I rész feladat a) Egymillió forit összegű jelzálogkölcsöt veszük fel évre 5%-os
Részletesebben( a b)( c d) 2 ab2 cd 2 abcd 2 Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn
Feladatok közepek közötti egyelőtleségekre (megoldások, megoldási ötletek) A továbbiakba szmk=számtai-mértai közép közötti egyelőtleség, szhk=számtaiharmoikus közép közötti egyelőtleség, míg szk= számtai-égyzetes
RészletesebbenIV. Sorozatok. Sorozatok bevezetése
Sorozatok Sorozatok bevezetése 8 Az,,, számjegyek és tegelyes tükörképeik együtt alkotják a sorozat tagjait A folytatás lehetséges például az ábrá látható módoko Megjegyzés: A Hogya folytatható típusú
RészletesebbenMinta JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ A MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI 2. FELADATSORHOZ
JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ A MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI. FELADATSORHOZ Formai előírások: A dolgozatot a vizsgázó által haszált szíűtől eltérő szíű tollal kell javítai, és a taári gyakorlatak megfelelőe
RészletesebbenSZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo
SZÁMELMÉLET Vasile Beride, Filippo Spagolo A számelmélet a matematika egyik legrégibb ága, és az egyik legagyobb is egybe Eek a fejezetek az a célja, hogy egy elemi bevezetést yújtso az első szite lévő
RészletesebbenEGYENLETEK ÉS EGYENLETRENDSZEREK MEGOLDÁSA A Z n HALMAZON. egyenletrendszer megoldása a
Az érettségi vizsgára előkészülő taulók figyelmébe! 4. Az EGYENLETEK ÉS EGYENLETRENDSZEREK MEGOLDÁSA A Z HALMAZON a1 x + b1 y = c1 egyeletredszer megoldása a a x + b y = c Z halmazo (. rész) Ebbe a részbe
RészletesebbenMATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ
Matematika emelt szit 1611 ÉRETTSÉGI VIZSGA 017. május 9. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fotos tudivalók Formai előírások: 1. Kérjük,
Részletesebben1. Gyökvonás komplex számból
1. Gyökvoás komplex számból Gyökvoás komplex számból Ismétlés: Ha r,s > 0 valós, akkor r(cosα+isiα) = s(cosβ+isiβ) potosa akkor, ha r = s, és α β a 360 egész számszorosa. Moivre képlete: ( s(cosβ+isiβ)
RészletesebbenMatematika I. 9. előadás
Matematika I. 9. előadás Valós számsorozat kovergeciája +-hez ill. --hez divergáló sorozatok A határérték és a műveletek kapcsolata Valós számsorozatok mootoitása, korlátossága Komplex számsorozatok kovergeciája
RészletesebbenHajós György Versenyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 2011
1 Molár-Sáska Gáboré: Hajós György Verseyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 011 1. Írja fel a számokat 1-tıl 011-ig egymás utá! Határozza meg az így kapott agy szám 0-cal való osztási maradékát!. Az { }
RészletesebbenPrímszámok a Fibonacci sorozatban
www.titokta.hu D é e s T a m á s matematikus-kriptográfus e-mail: tdeest@freemail.hu Prímszámok a Fiboacci sorozatba A továbbiakba Fiboacci sorozato az alapsorozatot (u,,,3,5,...), Fiboacci számo az alapsorozat
RészletesebbenBizonyítások. 1) a) Értelmezzük a valós számok halmazán az f függvényt az képlettel! (A k paraméter valós számot jelöl).
) a) Értelmezzük a valós számok halmazá az f függvéyt az f x = x + kx + 9x képlettel! (A k paraméter valós számot jelöl) ( ) Számítsa ki, hogy k mely értéke eseté lesz x = a függvéyek lokális szélsőértékhelye
Részletesebben2. Hatványsorok. A végtelen soroknál tanultuk, hogy az. végtelen sort adja: 1 + x + x x n +...
. Függvéysorok. Bevezetés és defiíciók A végtele sorokál taultuk, hogy az + x + x + + x +... végtele összeg x < eseté koverges. A feti végtele összegre úgy is godolhatuk, hogy végtele sok függvéyt aduk
Részletesebben24. tétel A valószínűségszámítás elemei. A valószínűség kiszámításának kombinatorikus modellje.
24. tétel valószíűségszámítás elemei. valószíűség kiszámításáak kombiatorikus modellje. GYORISÁG ÉS VLÓSZÍŰSÉG meyibe az egyes adatok a sokaságo belüli részaráyát adjuk meg (törtbe vagy százalékba), akkor
Részletesebben5. Kombinatorika. 8. Legfeljebb hány pozitív egész számot adhatunk meg úgy, hogy semelyik kettő összege és különbsége se legyen osztható 2015-tel?
5. Kombiatorika I. Feladatok. Háyféleképpe olvashatók ki az alábbi ábrákról a PAPRIKAJANCSI, a FELADAT és a MATEMATIKASZAKKÖR szavak, ha midig a bal felső sarokból kell iduluk, és mide lépésük csak jobbra
RészletesebbenÁltalános taggal megadott sorozatok összegzési képletei
Általáos taggal megadott sorozatok összegzési képletei Kéri Gerzso Ferec. Bevezetés A sorozatok éháy érdekes esetét tárgyaló el adást az alábbi botásba építem fel:. képletek,. alkalmazások, 3. bizoyítás
RészletesebbenA G miatt (3tagra) Az egyenlőtlenségek két végét továbbvizsgálva, ha mindkét oldalt hatványozzuk:
Kocsis Júlia Egyelőtleségek 1. Feladat: Bizoytsuk be, hogy tetszőleges a, b, c pozitv valósakra a a b b c c (abc) a+b+c. Megoldás: Tekitsük a, b és c számok saját magukkal súlyozott harmoikus és mértai
RészletesebbenEGYENLETEK ÉS EGYENLETRENDSZEREK MEGOLDÁSA A Z n HALMAZON. egyenletrendszer megoldása a Z
Az érettségi vizsgára előkészülő taulók figyelmébe! EGYENLETEK ÉS EGYENLETRENDSZEREK MEGOLDÁSA A Z HALMAZON a x + b y c 5. Az egyeletredszer megoldása a Z halmazo (3. rész) a x + b y c A hivatkozások köyítése
RészletesebbenI. rész. Valós számok
I. rész Valós számok Feladatok 3 4 Teljes idukció Igazolja a teljes idukcióval a következ állítások helyességét!.. k 2 = k= ( + )(2 + ). 6.2. 4 + 2 7 + + (3 + ) = ( + ) 2..3. a) b) ( + ) = +. k ( ) =
Részletesebben1. A radioaktivitás statisztikus jellege
A radioaktivitás időfüggése 1. A radioaktivitás statisztikus jellege Va N darab azoos radioaktív atomuk, melyekek az atommagja spotá átalakulásra képes. tegyük fel, hogy ezek em bomlaak tovább. Ekkor a
RészletesebbenDifferenciaegyenletek aszimptotikus viselkedésének
Differeciaegyeletek aszimptotikus viselkedéséek vizsgálata Mathematica segítségével Botos Zsófia Újvidéki Egyetem TTK Újvidék Szerbia E-mail: botoszsofi@yahoo.com 1. Bevezető Tekitsük az késleltetett diszkrét
RészletesebbenKomplex számok. 6. fejezet. A komplex szám algebrai alakja. Feladatok. alábbi komplex számokat és helyvektorukat:
6 fejezet Komplex számo A omplex szám algebrai alaja D 61 Komplex száma evezü mide olya a+bi alaú ifejezést amelybe a és b valós szám i pedig az összes valós számtól ülöböz épzetes egysége evezett szimbólum
RészletesebbenNevezetes sorozat-határértékek
Nevezetes sorozat-határértékek. Mide pozitív racioális r szám eseté! / r 0 és! r +. Bizoyítás. Jelöljük p-vel, illetve q-val egy-egy olya pozitív egészt, melyekre p/q r, továbbá legye ε tetszőleges pozitív
RészletesebbenN - edik gyökvonás. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
Brósch Zoltá (Debrecei Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimáziuma) N - edik gyökvoás DEFINÍCIÓ: (Négyzetgyökvoás) Egy em egatív x valós szám égyzetgyöké azt a em egatív valós számot értjük, amelyek égyzete
RészletesebbenGAZDASÁGI MATEMATIKA 1. ANALÍZIS
SZENT ISTVÁN EGYETEM GAZDASÁGI, AGRÁR- ÉS EGÉSZSÉGTUDOMÁNYI KAR Dr. Szakács Attila GAZDASÁGI MATEMATIKA. ANALÍZIS Segédlet öálló mukához. átdolgozott, bővített kiadás Békéscsaba, Lektorálták: DR. PATAY
Részletesebben18. Differenciálszámítás
8. Differeciálszámítás I. Elméleti összefoglaló Függvéy határértéke Defiíció: Az köryezetei az ] ε, ε[ + yílt itervallumok, ahol ε > tetszőleges. Defiíció: Az f függvéyek az véges helye vett határértéke
Részletesebben3. Számelmélet. 1-nek pedig pontosan három. Hány pozitív osztója van az n számnak? OKTV 2012/2013; I. kategória, 1. forduló
. Számelmélet I. Feladatok 1. Háy égyzetszám osztója va a 7 5 5 7 számak?. Az pozitív egész számak potosa két pozitív osztója va, az + 1-ek pedig potosa három. Háy pozitív osztója va az + 01 számak? OKTV
RészletesebbenMatematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova
Matematikai játékok Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova 1. rész Matematikai tréfák A következő matematikai játékokba matematikai tréfákba a végső eredméy a játék kiidulási feltételeitől függ, és em a játékosok
RészletesebbenIngatlanfinanszírozás és befektetés
Nyugat-Magyarországi Egyetem Geoiformatikai Kar Igatlameedzser 8000 Székesfehérvár, Pirosalma u. 1-3. Szakiráyú Továbbképzési Szak Igatlafiaszírozás és befektetés 2. Gazdasági matematikai alapok Szerzı:
RészletesebbenA függvénysorozatok olyanok, mint a valós számsorozatok, csak éppen a tagjai nem valós számok,
l.ch FÜGGVÉNYSOROZATOK, FÜGGVÉNYSOROK, HATVÁNYSOROK Itt egy függvéysorozat: f( A függvéysorozatok olyaok, mit a valós számsorozatok, csak éppe a tagjai em valós számok, 5 haem függvéyek, f ( ; f ( ; f
RészletesebbenEötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar. Analízis 1. Írásbeli tételek. Készítette: Szántó Ádám Tavaszi félév
Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Iformatikai Kar Aalízis. Írásbeli tételek Készítette: Szátó Ádám 20. Tavaszi félév . Archimedes tétele. Tétel: a > 0 és b R : N : b < a. Bizoyítás: Idirekt úto tegyük fel, hogy
Részletesebben1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a racionális és a valós számok ismeretét feltételezzük:
1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a raioális és a valós számok ismeretét feltételezzük: N = f1 ::: :::g Z = f::: 3 0 1 3 :::g p Q = j p q Z és q 6= 0 : q A valós szám értelmezése végtele tizedestörtkét
RészletesebbenBevezetés az algebrába komplex számok
Bevezetés az algebrába komplex számok Wettl Ferec Algebra Taszék B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M 2015. december 6.
RészletesebbenSzámsorozatok. 1. Alapfeladatok december 22. sorozat határértékét, ha. 1. Feladat: Határozzuk meg az a n = 3n2 + 7n 5n létezik.
Számsorozatok 2015. december 22. 1. Alapfeladatok 1. Feladat: Határozzuk meg az a 2 + 7 5 2 + 4 létezik. sorozat határértékét, ha Megoldás: Mivel egy tört határértéke a kérdés, ezért vizsgáljuk meg el
RészletesebbenKAOTIKUS VAGY CSAK ÖSSZETETT? Labdák pattogása lépcsôn
A FIZIKA TANÍTÁSA KAOTIKUS VAGY CSAK ÖSSZETETT? Labdák pattogása lépcsô Griz Márto ELTE Elméleti Fizikai Taszék Meszéa Tamás Ciszterci Red Nagy Lajos Gimázima Pécs, a Fizika taítása PhD program hallgatója
RészletesebbenKardos Montágh verseny Feladatok
Krdos Motágh versey Feldtok Az ABC háromszög hozzáírt köreiek középpotji O, P, Q, beírt köréek középpotj K Melyik állítás igz z lábbik közül? K z OPQ háromszög A) súlypotj B) mgsságpotj C) szögfelezőiek
RészletesebbenI. Függelék. A valószínűségszámítás alapjai. I.1. Alapfogalamak: A valószínűség fogalma: I.2. Valószínűségi változó.
I. Függelék A valószíűségszámítás alapjai I.1. Alapfogalamak: Véletle jeleség: létrejöttét befolyásoló összes téyezőt em ismerjük. Tömegjeleség: a jeleség adott feltételek mellett akárháyszor megismételhető.
RészletesebbenIV. Trigonometria. Szögek átváltása fokról radiánra és fordítva. Hegyesszögû trigonometriai alapfeladatok
. Trigoometria Szögek átváltása fokról radiára és fordítva 456. a) ; 90 ; 60 ; 45 ;,5. b) 10 ; 150; 15 ; 40 ; 10. 457. a) 00 ; 15 ; 6 ; 70 ; 5. b). 57,96 ;. 14,9 ;. 9,794 ;. 16,7 ;. 6,6. r 458. a). 114,59
Részletesebben1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3
Dr. Tóth László, Fejezetek az elemi számelméletből és az algebrából (PTE TTK, 200) Számelméleti függvéyek Számelméleti függvéyek értékeire voatkozó becslések A τ() = d, σ() = d d és φ() (Euler-függvéy)
RészletesebbenMatematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova
Első rész Matematikai tréfák Matematikai játékok Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova A következő matematikai játékokba matematikai tréfákba a végső eredméy a játék kiidulási feltételeitől függ, és em a
RészletesebbenINJEKTIVITÁS ÉS EGYÉB TULAJDONSÁGOK MEGOLDOTT FELADATOK
Megoldott feladatok Ijektivitás és egyéb tulajdoságok 59 ) INJEKTIVITÁS ÉS EGYÉB TULAJDONSÁGOK MEGOLDOTT FELADATOK Határozd meg azt az f:r R függvéyt, amelyre f ( f ( ) x R és a g:r R g ( = x f ( függvéy
RészletesebbenFüggvénygörbe alatti terület a határozott integrál
Függvéygörbe alatt terület a határozott tegrál Tektsük az üggvéyt a ; tervallumo. Adjuk becslést a görbe az tegely és az egyees között síkdom területére! Jelöljük ezt a területet I-vel! A becslést legegyszerűbbe
RészletesebbenAZ ÖSSZETÉTEL OPTIMALIZÁLÁSA A VOLUMETRIKUS ASZFALTKEVERÉK- ELLENÕRZÉS MÓDSZERÉVEL
36 MIXCONTROL AZ ÖSSZETÉTEL OPTIMALIZÁLÁSA A VOLUMETRIKUS ASZFALTKEVERÉK- ELLENÕRZÉS MÓDSZERÉVEL Subert Istvá deformáció-elleálló keverékvázat lehet létrehozi. Kiidulási feltétel az alkalmazás helyéek
RészletesebbenFibonacci nyulai. 2. A második hónap végén születik 1 új pár, így most már 2 pár van
1 A Fiboacci- számok Leoardo di Pisa, ismertebb evé Fiboacci (1170-1250? olasz kereskedő és matematikus. Üzleti útjai lehetősége yílt megismerkedi az arab és hidu matematikával. Fiboacci legikább arról
RészletesebbenIV. A matematikai logika elemei
4 A matematikai logika elemei IV A matematikai logika elemei IV Gyakorlatok és feladatok (87 oldal) Készítsd el az alábbi kijeletések logikai értéktáblázatát: a) ( p) ; b) p q ; c) p q ; d) p ( p q) ;
RészletesebbenEseme nyalgebra e s kombinatorika feladatok, megolda sok
Eseme yalgebra e s kombiatorika feladatok, megolda sok Szűk elméleti áttekitő Kombiatorika quick-guide: - db. elemből db. sorredjeire vagyuk kívácsiak: permutáció - db. elemből m < db. háyféleképp rakható
RészletesebbenII. INTEGRÁLÁSI MÓDSZEREK
Itegrálási módszerek 5 II INTEGRÁLÁSI MÓDSZEREK A parciális itegrálás módszere Ha az f, g : D (D em degeerált itervallumok egyesítése) függvéyek deriválhatók a D halmazo, akkor tudjuk, hogy a szorzatuk
Részletesebbenmateksoft.hu ( ) 2 x 10 y 14 Nevezetes azonosságok: Hatványozás azonosságai Azonos kitevőjű hatványok: + 9 ( 2x 3y) 2 4x 2 12xy + 9y 2
Nevezetes zoosságok: mteksoft.hu ( + ) + + ( x + ) x + 6 x + 9 ( x + y) 4x + 1xy + 9y ( ) + ( x ) x 6 x + 9 ( x y) 4x 1xy + 9y ( + + c) + + c + + c + c ( x + y + ) x + y + 4 + xy + 4x + 4y Htváyozás zoossági
Részletesebben16. Az AVL-fa. (Adelszon-Velszkij és Landisz, 1962) Definíció: t kiegyensúlyozott (AVL-tulajdonságú) t minden x csúcsára: Pl.:
6. Az AVL-fa Adelszo-Velszkij és Ladisz, 96 Defiíció: t kiegyesúlyozott AVL-tulajdoságú t mide x csúcsára: bal x jobb x. Pl.: A majdem teljes biáris fa AVLtulajdoságú. Az AVL-fára, mit speciális alakú
RészletesebbenLineáris programozás
Lieáris progrmozás Lieáris progrmozás Lieáris progrmozás 2 Péld Egy üzembe 4 féle terméket állítk elő 3 féle erőforrás felhszálásávl. Ismert z erőforrásokból redelkezésre álló meyiség (kpcitás), termékek
Részletesebbenf(n) n x g(n), n x π 2 6 n, σ(n) n x
Számelméleti függvéyek extremális agyságredje Dr. Tóth László 2006 Bevezetés Ha számelméleti függvéyek, l. multilikatív vagy additív függvéyek agyságredjét vizsgáljuk, akkor először általába az adott függvéy
RészletesebbenHosszmérés finomtapintóval 2.
Mechatroika, Optika és Gépészeti Iformatika Taszék kiadva: 0.0.. Hosszmérés fiomtapitóval. A mérések helyszíe: D. épület 53-as terem. Az aktuális mérési segédletek a MOGI Taszék holapjá érhetők el, a www.mogi.bme.hu
RészletesebbenKoordinátageometria összefoglalás. d x x y y
Koordiátageometria összefoglalás Vektorok A helyvektor hossza Két pot távolsága r x y d x x y y AB A két potot összekötő vektort megkapjuk, ha a végpot koordiátáiból kivojuk a kezdőpot koordiátáit. Vektor
Részletesebben6. Számsorozat fogalma és tulajdonságai
6. Számsorozat fogalma és tulajdoságai Taulási cél: A számsorozat fogalmáak és elemi tulajdoságaiak megismerése. A mootoitás, korlátosság vizsgálatáak elsajátítása. Nevezetes sorozatok határértékéek megismerése.
Részletesebben2.2. Indukció a geometriában
.. Idukció a geometriába... Számítási feladatok... Feladat. Határozzuk meg az R sugarú körbe írt, oldalú szabályos sokszög oldalhosszát! Megoldás eseté a oldalú szabályos sokszög a égyzet; az R sugarú
RészletesebbenXXVI. Erdélyi Magyar Matematikaverseny Zilah, február
Miisterul Educaţiei Națioale și Cercetării Știițifice Subiecte petru Etapa aţioală a Cocursului de Matematică al Liceelor Maghiare di Româia XXVI. Erdélyi Magyar Matematikaversey Zilah, 06. február 4..
Részletesebben1. Gyökvonás komplex számból
1. Gyökvoás komplex számból Gyökvoás komplex számból. Ismétlés: Ha r, s > 0 valós, akkor rcos α + i siα) = scos β + i siβ) potosa akkor, ha r = s, és α β a 360 egész számszorosa. Moivre képlete scos β+i
RészletesebbenPályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov.
Pályázat címe: Új geerációs sorttudomáyi kézés és tartalomfejlesztés, hazai és emzetközi hálózatfejlesztés és társadalmasítás a Szegedi Tudomáyegyeteme Pályázati azoosító: TÁMOP-4...E-5//KONV-05-000 Sortstatisztika
RészletesebbenJAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI MATEMATIKA ÚTMUTATÓ ÉRETTSÉGI VIZSGA EMELT SZINT% ÍRÁSBELI. ÉRETTSÉGI VIZSGA 2012. október 16. MINISZTÉRIUMA EMBERI ERFORRÁSOK
Matematika emelt szit Javítási-értékelési útmutató MATEMATIKA EMELT SZINT% ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA ÉRETTSÉGI VIZSGA 0. október. Fotos tudivalók
RészletesebbenVillamos gépek tantárgy tételei
Villamos gépek tatárgy tételei 7. tétel Mi a szerepe az áram- és feszültségváltókak? Hogya kapcsolódak a hálózathoz, milye előírások voatkozak a biztoságos üzemeltetésükre, kiválasztásukál milye adatot
RészletesebbenVéges matematika 1. feladatsor megoldások
Véges matematika 1 feladatsor megoldások 1 Háy olya hosszúságú kockadobás-sorozat va, melybe a csak 1-es és 2-es va; Egymástól függetleül döthetük a külöböző dobások eredméyéről, így a taultak szerit a
RészletesebbenTaylor-sorok alkalmazása numerikus sorok vizsgálatára
Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Természettudomáyi Kar Alkalmazott Aalízis és Számításmatematikai Taszék Taylor-sorok alkalmazása umerikus sorok vizsgálatára Szakdolgozat Készítette: Témavezet : Walter Petra
RészletesebbenEseményalgebra, kombinatorika
Eseméyalgebra, kombiatorika Eseméyalgebra Defiíció. Véletle kísérletek evezük mide olya megfigyelést, melyek több kimeetele lehetséges, és a véletletől függ, (azaz az általuk figyelembevett feltételek
RészletesebbenFüggvényhatárérték-számítás
Függvéyhatárérték-számítás I Függvéyek véges helye vett véges határértéke I itervallumo, ha va olya k valós szám, melyre az I itervallumo, ha va olya K valós szám, melyre I itervallumo, ha alulról és felülről
RészletesebbenKalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8
Név, Neptu-kód:.................................................................... 1. Legyeek p, q Q tetszőlegesek. Mutassuk meg, hogy ekkor p q Q. Tegyük fel, hogy p, q Q. Ekkor létezek olya k 1, k 2,
Részletesebben1.1 Példa. Polinomok és egyenletek. Jaroslav Zhouf. Első rész. Lineáris egyenletek. 1 A lineáris egyenlet definíciója
Poliomok és egyeletek Jaroslav Zhouf Első rész Lieáris egyeletek A lieáris egyelet defiíciója A következő formájú egyeleteket: ahol a, b valós számok és a + b 0, a 0, lieáris egyeletek hívjuk, az ismeretle
RészletesebbenNumerikus sorok. Kónya Ilona. VIK, Műszaki Informatika ANALÍZIS (1) Oktatási segédanyag
VIK, Műszaki Iformatika ANALÍZIS Numerikus sorok Oktatási segédayag A Villamosméröki és Iformatikai Kar műszaki iformatikus hallgatóiak tartott előadásai alapjá összeállította: Fritz Józsefé dr. Kóya Iloa
RészletesebbenRadiális szivattyú járókerék fő méreteinek meghatározása előírt Q-H üzemi ponthoz
Radiális szivattyú járóeré fő méreteie meghatározása előírt - üzemi pothoz iret hajtás eseté szóa jövő asziromotor fordlatszámo % üzemi szlip feltételezésével: 90, 55, 970, 78 /mi Midegyi fordlatszámhoz
RészletesebbenXXVI. Erdélyi Magyar Matematikaverseny Zilah, február osztály -- I. forduló
Miisterul Educaţiei Națioale și Cercetării Știițifice Subiecte petru Etapa aţioală a Cocursului de Matematică al Liceelor Maghiare di Româia XXVI. Erdélyi Magyar Matematikaversey Zilah, 06. február 4..
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI május 5. EMELT SZINT I.
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 05. május 5. EMELT SZINT I. ) Oldja meg a valós számok halmazá az alábbi egyeleteket! a) si x cos x (6 pot) b) x x x (7 pot) a) cos x si x helyettesítése. Nullára redezve: si x si
RészletesebbenStatisztika. Eloszlásjellemzők
Statsztka Eloszlásjellemzők Statsztka adatok elemzése A sokaság jellemzése középértékekkel A sokaság jellemzéséek szempotja A sokaság jellemzéséek szempotja: A sokaság tpkus értékéek meghatározása. Az
RészletesebbenSorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága
Sorozatok, határérték fogalma. Függvéyek határértéke, folytoossága 1) Végtele valós számsorozatok Fogalma, megadása Defiíció: A természetes számok halmazá értelmezett a: N R egyváltozós valós függvéyt
RészletesebbenKétoldali hibás Monte Carlo algoritmus: mindkét válasz esetén hibázhat az algoritmus, de adott alsó korlát a hibázás valószínűségére.
Véletleített algoritmusok Tegyük fel, hogy va két doboz (A,B), amely egyike 1000 Ft-ot tartalmaz, a másik üres. 500 Ft-ért választhatuk egy dobozt, amelyek a tartalmát megkapjuk. A feladat megoldására
Részletesebben