Statisztika 1 előadás

Átírás

1 Statisztika 1 előadás Baran Sándor 2017/18 tanév, 1. félév Baran Sándor Statisztika 1 előadás 2017/18 tanév, 1. félév 1 / 189

2 Irodalom Hunyadi László., Vita László: Statisztika I. Aula Kiadó, Budapest, Hunyadi László, Vita László: Statisztika II. Aula Kiadó, Budapest, Keresztély Tibor, Sugár András, Szarvas Beatrix: Statisztika közgazdászoknak. Példatár és feladatgyűjtemény. Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, Fazekas István: Valószínűségszámítás. Egyetemi Kiadó, Debrecen, Denkinger Géza: Valószínűségszámítás gyakorlatok. Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, Syllabus, eredmények, információk arato.inf.unideb.hu/baran.sandor/mischu.html Baran Sándor Statisztika 1 előadás 2017/18 tanév, 1. félév 2 / 189

3 Tartalom 1 Alapfogalmak 2 Sokaság egy ismérv szerinti leírása 3 Sokaság több ismérv szerinti leírása 4 Összehasonĺıtás standardizálással és indexszámítással 5 Mintavétel 6 Pontbecslések és tulajdonságaik 7 Nagy számok törvényei 8 Intervallumbecslések 9 Hipotézisvizsgálat Baran Sándor Statisztika 1 előadás 2017/18 tanév, 1. félév 3 / 189

4 Mi a statisztika? A statisztika olyan gyakorlati tevékenység, illetve tudományos módszertan, amely arra szolgál, hogy a valóság tényeinek nagy tömegét tömören, számszerűen jellemezze. Gyakorlati tevékenység: alapadatokat gyűjt, feldolgoz, elemez, majd közzéteszi ezek eredményét. Tudományos módszertan: az elemzéshez szükséges megfontolások, eljárások megadása. A statisztika mindig a tények valamilyen nagy esetleg végtelen nagy tömegéről igyekszik tömör, számszerű képet adni. Példa Az alkalmazásban állók létszáma a nemzetgazdaságban június-július: ezer fő. Pénzügyi, biztosítási tevékenység: 62.7 ezer fő. Az alkalmazásban állók havi bruttó munkajövedelme a nemzetgazdaságban június-július: Ft. Pénzügyi, biztosítási tevékenység: Ft. Forrás: KSH Baran Sándor Statisztika 1 előadás 2017/18 tanév, 1. félév 5 / 189

5 A valóság jellemezni kívánt tényei bizonyos egységekhez köthetőek. Példa Az alkalmazásban állók. Adott időszakban Magyarországra érkező külföldiek. A vizsgálat tárgyának egyedeiről szerzett, megfelelő módon rögzített különféle információkat alapadatoknak, más néven elemi adatoknak nevezzük. Az alapadatok nem feltétlenül számszerűek. A vizsgált egységek bizonyos körét összességében jellemző számszerű információkat általánosságban adatoknak, bizonyos speciális esetekben pedig mutatószámoknak hívjuk. A mutatószám elnevezés többnyire a szabványosított tartalmú, egy-egy jelenség jellemzésére visszatérően használt számszerű információk megjelölésére szolgál. A továbbiakban adatok és mutatószámok helyett csak adatokat fogunk emlegetni. Baran Sándor Statisztika 1 előadás 2017/18 tanév, 1. félév 6 / 189

6 Példák Alapadatok Adatok A Magyarországra érkező külföldiek nemzetisége. A Magyarországra érkező külföldiek életkora. A Magyarországra érkező külföldiek itt-tartózkodási ideje. Egy adott időszak alatt Magyarországra érkező külföldiek száma (2016-ban ezer fő). Egy adott időszak alatt Magyarországra érkező külföldiek összes pénzköltése (2016-ban millió Ft). Mutatók Egy idelátogató külföldi napi átlagos pénzköltése (2016-ban 13.9 ezer Ft). Az vendégéjszakák átlagos száma (2016-ban 2.3 éjszaka). Fontosak a mértékegységek! Baran Sándor Statisztika 1 előadás 2017/18 tanév, 1. félév 7 / 189

7 Sokaságok A vizsgálat tárgyát képező egységek összességét, halmazát statisztikai sokaságnak, röviden sokaságnak (populációnak) nevezzük. A sokaság egységei különféle tulajdonságaik megadásával jellemezhetők. E tulajdonságok egy része a sokaság minden egységére nézve közös, más része azonban nem. Egy sokaság megadható: egységeinek felsorolásával; eloszlásával. Sokaságok típusai, I.: Diszkrét, pl. a magyar népesség január 1.-én ( fő); 2016-ban Magyarországra érkező külföldiek száma ( ezer fő). Folytonos, önkényesen elkülöníthető egységek, pl teljes búzatermése ( tonna); a belföldön közúton szálĺıtott áruk menynyisége 2016-ban ( tonna). Fiktív, valamilyen eloszlással megadott, pl lehetséges búzatermés eredményei. Baran Sándor Statisztika 1 előadás 2017/18 tanév, 1. félév 8 / 189

8 Sokaságok Sokaságok típusai, II.: Álló, azaz valamely időpontra vonatkozik (stock), pl. a magyar népesség január 1.-én; az IK beiratkozott hallgatói szeptember 14.-én. Mozgó, azaz valamely időtartamra értendő (flow), pl teljes búzatermése; a belföldön közúton szálĺıtott áruk mennyisége 2016-ban; az IK hallgatói által a 2016/17 tanév 2. félévének szorgalmi időszakában elfogyasztott sör mennyisége. Sokaságok típusai, III.: Véges, pl. a magyar népesség január 1.-én. Végtelen, pl lehetséges búzatermés eredményei. Baran Sándor Statisztika 1 előadás 2017/18 tanév, 1. félév 9 / 189

9 Sokaságok Aggergált sokaság: különféle dolgokból elfogyasztott/felhasznált termékek vagy szolgáltatások összértéke. Pl. Magyarország teljes exportja 2016-ban ( milliárd forint); az IK hallgatói által a 2016/17 tanév 2. félévének szorgalmi időszakában elfogyasztott alkoholtartalmú italok összértéke. Az aggregált sokaság nagysága (aggregátum): A = n q i p i = i=1 n i=1 ν i q i : az i-edik fajta egységeinek mennyisége valamilyen alkalmas mértékegységben; p i : az i-edik fajta egység egységára; ν i : az i-edik fajta egységek összértéke; n: az egységek száma. Baran Sándor Statisztika 1 előadás 2017/18 tanév, 1. félév 10 / 189

10 Ismérvek Az ismérvek olyan vizsgálati szempontok, melyek alapján a sokaság részekre bontható. A sokaság egységeinek valamely adott szempont szerint lehetséges tulajdonságait ismérvváltozatoknak nevezzük. Ha számszerűek az ismérv változatok, akkor ezeket ismérvértékeknek, magát az ismévet pedig változónak nevezzük. Az ismérvek fajtái területi, pl. lakhely, születési hely; időbeli, pl. születési idő, munkába állás időpontja; minőségi, pl. nem, foglalkozás; mennyiségi, pl. életkor, testmagasság, testtömeg, tanulmányi átlag. Baran Sándor Statisztika 1 előadás 2017/18 tanév, 1. félév 11 / 189

11 Mérési skálák Ismérvváltozatok átkódolhatóak számokká. Csak olyan műveletek megengedettek, amik az eredeti változatokkal is. Mérési szintek Nominális: csak az vizsgálható, két érték egyenlő-e, pl. név, lakhely, foglalkozás. Nincs mértékegysége. Ordinális: csak az értékek sorendje számít, távolsága nem, pl. vizsgajegyek, végzettség. Nincs mértékegysége. Különbségi: az értékek különbsége is információt hordoz, de az arányuk nem, pl. hőmérséklet. A skála kezdőpontja önkényes (Celsius, Kelvin, Fahrenheit fok), van mértékegysége. Arány: kezdőpont egyértelműen adott, az arány is értelmezhető, pl. havi jövedelem, testmagasság. Van mértékegysége. Baran Sándor Statisztika 1 előadás 2017/18 tanév, 1. félév 12 / 189

12 Példa Sokaság Egy konk- Ismérv Ismérv- Ismérvfajta Mérési rét egység változat skála állampol- megyelakó minőségi nominális A Mordor- gárság ba irányuló Zsákos tartózkodási 7 mennyiségi arány idegenfor- idő (nap) galom a Frodó életkor (év) 50 mennyiségi arány harmadkor útitársak 2 mennyiségi arány száma évében igénybe vett szabad ég minőségi nominális szállásfajta alatt faj ember minőségi nominális A Galakti- nem férfi minőségi nominális kus Biro- Luke (alternatív) dalom születési Polis Massa területi nominális népessége Skywalker hely bolygó YU 1 4-ben szül. idő YE 1 19 időbeli intervallum anyabolygó Tatuin területi nominális életkor (év) 24 mennyiségi arány foglalkozás Jedi lovag minőségi nominális 1 YE ill. YU: a yavini csata (a Halálcsillag megsemmisítése) előtt ill. után. Baran Sándor Statisztika 1 előadás 2017/18 tanév, 1. félév 13 / 189

13 Hibák A statisztikai adatok, mutatószámok célszerű megadási módja: A: közeĺıtő érték. a: abszolút hibakorlát. Relatív hibakorlát: A ± a A a valódi érték A + a α = a/a. Példa Magyarország népessége január 1.-én: ezer fő. A = 9798, a = 0.5, α = 0.5/ = 0.005%. Két közeĺıtő érték összegének vagy különbségének abszolút hibakorlátja a megfelelő abszolút hibakorlátok összege. Két közeĺıtő érték szorzatának vagy hányadosának relatív hibakorlátja nagyjából a megfelelő relatív hibakorlátok összege. Baran Sándor Statisztika 1 előadás 2017/18 tanév, 1. félév 14 / 189

14 Statisztikai alapműveletek I. A sokaság jellemzése valamely erre alkalmas adattal vagy mutatószámmal. A sokasághoz hozzárendelünk egy annak egészét jellemző adatot, pl. a nagyságát, átlagát, várható értékét. II. Összehasonĺıtás. Egy adott jelenség időbeli alakulásáról, területi eltéréseiről, vagy egymáshoz valamilyen módon kapcsolódó jelenségek viszonyáról ad számszerű információt. Fontos, hogy az adatok összehasonĺıthatóak legyenek. Az adatokból képezhetünk különbségeket vagy hányadosokat. Az alkalmazásban állók havi bruttó átlagkeresete Év Kereset (Ft) Előző év=100% Baran Sándor Statisztika 1 előadás 2017/18 tanév, 1. félév 15 / 189

15 Több sokaság adatainak összehasonĺıtása A sokaságok A sokaságok adatainak A hányados viszonya felsorolására hányadosára mértékegysége egymáshoz használt elnevezés Időben és/vagy összehasonĺıtó sor összehasonĺıtó vi-, illetve % térben különböző (idősor/területi sor) szonyszám (dinasokaságok mikus viszonyszám területi összehasonĺıtó viszonyszám) Időben és/vagy összehasonĺıtó sor index(szám), illetve % térben különböző (idősor/területi sor) (területi/időbeli) aggregált sokaságok Időben és/vagy intenzitási viszony- a két adat mértérben azonos, de szám tékegységének különböző fajta hányadosa egységekből álló sokaságok Hunyadi, Vita (2008, 1.4 táblázat) Baran Sándor Statisztika 1 előadás 2017/18 tanév, 1. félév 16 / 189

16 Példa Sor- Mérték- Dinamikus szám Megnevezés egység viszonyszám (2005=100) 1. Alkalmazottak évi átl. száma fő Ebből: fizikai foglalkozású fő Feldolgozott cukorrépa 1000 t Cukortermelés 1000 t Fizikai foglalkozásúak által 1000 h teljesített munkaórák száma Hunyadi, Vita (2008, 1.5 táblázat) Intenzitási viszonyszámok 650 ezer t Termelékenység 2005: 520 ezer h = 1.25 t/h. Egy fizikai dolgozóra eső munkaórák száma 2005 ill. 2006: 520 ezer h 261 fő = h/fő ill. Dinamikus viszonyszám 360 ezer h 208 fő = h/fő Egy fizikai dolgozó munkaóráinak változása: h/fő h/fő = = 86.87% Baran Sándor Statisztika 1 előadás 2017/18 tanév, 1. félév 17 / 189

17 Statisztikai alapműveletek III. Osztályozás. Valamely adott sokaság egy vagy több ismérv szerinti tagolása, osztályozása. A csoportok valamilyen szempontból homogénebbek, mint az egész sokaság. Osztályok: az osztályozás során kapott csoportok. Csoportképző ismérv(ek): az osztályok elhatárolására szolgáló ismérv(ek). Példa. Az évfolyam osztályozása a Mikroökonómia jegyei alapján. Elvárások egy osztályozással szemben: legyen teljes; legyen átfedésmentes; eredményezzen homogén osztályokat. Nómenklatúra: szabványosított osztályozási rendszer. Foglalkozások Egységes Osztályozási Rendszere (FEOR 08). 10 főcsoport, 42 csoport, 136 alcsoport, 632 foglalkozás. Baran Sándor Statisztika 1 előadás 2017/18 tanév, 1. félév 18 / 189

18 Csoportosító sor C i : f i : Osztály Egységek száma C 1 f 1 C 2 f 2. C i. C k Összesen az i-edik osztály azonosítója (i = 1, 2,..., k); az i-edik osztály gyakorisága; k: az osztályok száma, ált. k a legkisebb egész, melyre 2 k N; N: a sokaság nagysága. N = k i=1 f i. Osztály másik elnevezése: részsokaság. Akkor használjuk, ha az osztályokat külön is tovább akarjuk vizsgálni. Baran Sándor Statisztika 1 előadás 2017/18 tanév, 1. félév 19 / 189. f i. f k N

19 Kombinációs (kontingencia) tábla Az X ismérv sze- Az Y ismérv szerinti osztályok j rinti osztályok C1 Y C2 Y... Cj Y... Cc Y C1 x f 11 f f 1j... f 1c f 1 C2 x f 21 f f 2j... f 2c f Ci x f i1 f i2... f ij... f ic f i Cr x f r1 f r2... f rj... f rc f r i f 1 f 2... f j... f c N Ci X : az X szerinti i-edik osztály azonosítója (i = 1, 2,..., r); Cj Y : az Y szerinti j-edik osztály azonosítója (j = 1, 2,..., c); f ij : azon elemek száma, melyek mind Ci X, mind pedig Cj Y elemei; r, c: az X illetve Y szerinti osztályok száma. c f ij = f i, r f ij = f j, c r r c f j = f i = f ij = N. j=1 Baran Sándor i=1 Statisztika j=1 1 előadás i=1 2017/18 i=1 j=1 tanév, 1. félév 20 / 189

20 Viszonyszámok A viszonyszám két adat hányadosa: V : viszonyszám; A: a viszonyítás tárgya; B: a viszonyítás alapja. Típusai V = A/B. A = B V, B = A/V. Dinamikus: idősorok adataiból számított hányadosok. Intenzitási: két egymással kapcsolatban lévő, de nem feltétlenül azonos fajta egységekből álló sokaság nagyságából képzett hányadosok. Megoszlási: valamely sokaságrésznek az egészhez viszonyított nagyságát mutatja. Baran Sándor Statisztika 1 előadás 2017/18 tanév, 1. félév 21 / 189

21 Példa A magyar lakásállomány megoszlása (ezer) adott év január 1.-én Szobák száma és több Összesen Forrás: KSH Szobák Százalékos megoszlás évi évi évi álloszáma állomány (1980=100) mány (1990=100) és több Összesen Baran Sándor Statisztika 1 előadás 2017/18 tanév, 1. félév 22 / 189

22 Dinamikus viszonyszámok kettőnél több adat esetén Y 1, Y 2,..., Y t,..., Y n : az idősor adatai. Bázisviszonyszám: b t = Y t /Y b, t = 1, 2,..., n. Láncviszonyszám: l t = Y t /Y t 1, t = 2, 3,..., n. Egymást követő bázisviszonyszámok hányadosa: b t /b t 1 = ( Y t /Y b ) : ( Yt 1 /Y b ) = Yt /Y t 1 = l t. Új bázisra (pl. Y b -ről Y c -re) való áttérés: Láncviszonyszámok szorzata: l 1 l 2... l k = Y b+1 Y b b t /b c = ( Y t /Y b ) : ( Yc /Y b ) = Yt /Y c. Yb+2 Y b+k... = Y b+k = b b+k. Y b+1 Y b+k 1 Y b Két ugyanazon időegységre vonatkozó bázisviszonyszámsor hányadosa: ( At /A b ) : ( Bt /B b ) = ( At /B t ) : ( Ab /B b ) = Vt /V b. Baran Sándor Statisztika 1 előadás 2017/18 tanév, 1. félév 23 / 189

23 Példa A házi gyerekorvosi betegellátás adatai Házi gyerekorvosok Bejelentkezett lakosok Betegforgalom Év száma (fő) száma (ezer fő) (ezer eset) A házi gyerekorvosi betegellátás időbeli változása Forrás: KSH Orvosok Bejelentke- Beteg- Orvosok Bejelentke- Beteg- Év száma zettek száma forgalom száma zettek száma forgalom 2005=100 Előző év= Baran Sándor Statisztika 1 előadás 2017/18 tanév, 1. félév 24 / 189

24 Példa A házi gyerekorvosi betegellátást jellemző intenzitási viszonyszámok Egy házi gyerekorvosra jutó Százezer bejelent- Egy lakosra jutó Év bejelentkezett betegforgalom kezett lakosra jutó betegforgalom lakos (fő) (eset) házi gyerekorvos (eset) Az előző táblázatból számolt dinamikus viszonyszámok Egy házi gyerekorvosra jutó Százezer bejelent- Egy lakosra jutó bejelentkezett betegforgalom kezett lakosra jutó betegforgalom Év lakos (fő) (eset) házi gyerekorvos (eset) 2005 előző év 2005 előző év 2005 előző év 2005 előző év =100 =100 =100 =100 =100 =100 =100 = Baran Sándor Statisztika 1 előadás 2017/18 tanév, 1. félév 25 / 189

25 Grafikus ábrázolás Idősorok ábrázolása: vonaldiagram Mennyiségi ismérvek kapcsolata: pontdiagram Szerkezeti megoszlás ábrázolása: osztott kör-, oszlop- vagy szalagdiagram. Mennyiségi ismérv eloszlásának ábrázolása: hisztogram. Baran Sándor Statisztika 1 előadás 2017/18 tanév, 1. félév 26 / 189

26 Mennyiségi sorok Y : mennyiségi ismérv; N: a sokaság elemszáma; Y 1, Y 2,..., Y N : az Y ismérv változatai, amik különbségi, vagy arány skálán mért számértékek. Diszkrét: csak megszámlálható számosságú értéket vehet fel. Valamilyen számlálás eredménye, pl. háztartás nagysága, családban lévő gépjárművek száma. Megadható a pontos értéke. Folytonos: kontinuum számosságú értéket vehet fel. Valamilyen mérés eredménye, pl. a háztartás összjövedelme, a családban lévő gépjárművek összértéke. Értéke csak bizonyos pontosságra kerekítve adható meg. Ha a diszkrét ismérv nagyon sok értéket vehet fel, kezelhetjük folytonosként, pl. nagyvárosok népessége. A rangsor a megfigyelési egységekhez tartozó Y i ismérvértékeknek az Y i monoton nemcsökkenő sorrendjében történő felsorolása. A rangsor i-edik tagját Y i -gal jelöljük. Baran Sándor Statisztika 1 előadás 2017/18 tanév, 1. félév 28 / 189

27 Gyakorisági sor Az Y szerint képzett osztály Osztályközép Abszolút Relatív alsó határa felső határa gyakoriság Y 10 Y 11 Y 1 f 1 g 1 Y 20 Y 21 Y 2 f 2 g 2.. Y i0 Y i1 Y i f i g i..... Y k0 Y k1 Y k f k g k Összesen N 1 Y i0 és Y i1 : az Y ismérv szerint képzett C i osztály határai. Egybe is eshetnek. Osztályközös gyakorisági sor: f i : a C i osztály gyakorisága. g i = f i /N: Y i = ( Y i0 + Y i1 ) /2: a C i osztály relatív gyakorisága. osztályközép... Y i0 és Y i1 nem esik egybe. Baran Sándor Statisztika 1 előadás 2017/18 tanév, 1. félév 29 / 189.

28 Gyakorisági sor a) Y diszkrét és kevés értéket vesz fel. Példa 405 személygépkocsi hengerszám szerinti megoszlása. A hengerek száma A személygépkocsik (darab) száma százalékos megoszlása Y i f i g i Összesen A rangsor egyértelműen feĺırható. Baran Sándor Statisztika 1 előadás 2017/18 tanév, 1. félév 30 / 189

29 Gyakorisági sor b) Y folytonos vagy diszkrét és sok értéket vesz fel. Példa Magyarország városainak népességszám szerinti megoszlása, január 1. (Hunyadi, Vita, 2008, 2.3. táblázat). A városok A népesség Osztályköz száma számának népességének népességének száma (fő) hosszúság megoszlása száma (fő) megoszlása Összesen Osztályközhossz: h i = Y i1 Y i0 Ha Y 10 és/vagy Y k1 nem ismert, akkor értelmesen megbecsüljük. Baran Sándor Statisztika 1 előadás 2017/18 tanév, 1. félév 31 / 189

30 Értékösszegsor Az értékösszegsor az Y ismérv alapján kialakított osztályokhoz az egyes osztályokba tartozó egységeknél fellépő ismérvértékek S i -vel jelölt összegét rendeli hozzá. S i = Y, i = 1, 2,..., k. Y i0 Y Y i1 S i : tényleges értékösszeg. Ha Y i0 = Y i = Y i1, akkor S i = f i Y i. Osztályközös gyakorisági sor becsült értékösszeg. Relatív értékösszeg: S i = f i Y i, i = 1, 2,..., k. Z i = S i k i=1 S i vagy Zi = S i k i=1 S i. Baran Sándor Statisztika 1 előadás 2017/18 tanév, 1. félév 32 / 189

31 Példa Tényleges és becsült értékösszegek. Kumulálás A népesség száma f i Y i Si = f i Y i Zi S i Z i Összesen Gyakoriságok, értékösszegek: f i Hunyadi, Vita, (2008, 2.6. táblázat) = i j=1 f j, S i = i j=1 S j. Baran Sándor Statisztika 1 előadás 2017/18 tanév, 1. félév 33 / 189

32 Kvantilisek Az Y i/k i-edik k-adrendű kvantilis az a szám, amelynél az összes előforduló ismérvérték legfeljebb i/k-ad része kisebb és legfeljebb (1 i/k)-ad része nagyobb, ahol k 2, i = 1, 2,..., k 1. Az i/k helyett tetszőleges 0 < p < 1 szerepelhet. k Elnevezés Jelölés Lehetséges kvantilisek 2 medián Me Me 4 kvartilis Q i Q 1, Q 2, Q 3 5 kvintilis K i K 1, K 2, K 3, K 4 10 decilis D i D 1, D 2,..., D percentilis P i P 1, P 2,..., P 99 Y 1, Y 2,..., Y N : rangsor s p = p(n + 1). Ha s p Z: Y p = Ys p. Ha s p Z: Y p = Y[s + {s p] p} ( Y[s Y p]+1 [s p]). Baran Sándor Statisztika 1 előadás 2017/18 tanév, 1. félév 34 / 189

33 Példa Néhány alsó középkategóriás személygépkocsi vegyes fogyasztása. Kia cee d Citroën C4 Ford Focus Honda Civic 1.4 CVVT 1.4 Vti 1.6 Ti-VCT 1.4i Teljesítmény (LE) Fogyasztás (l/100km) Mazda 3 Opel Astra Renault Mégane Volkwagen Golf 1.6 MZR 1.4 Ecotec TSI Teljesítmény (LE) Fogyasztás (l/100km) Rangsor: 5.4, 5.5, 5.7, 5.9, 6.0, 6.1, 6.5, 6.7 Alsó kvartilis: p = 1/4, s p = 9/4, [s p] = 2, {s p} = Q 1 = ( ) = Medián: p = 1/2, s p = 9/2, [s p] = 4, {s p} = 0.5. Q 2 = Me = ( ) = ( )/2 = Felső kvartilis: p = 3/4, s p = 27/4, [s p] = 6, {s p} = Q 3 = ( ) = 6.4. Forrás: Az Autó, 2012/9. Baran Sándor Statisztika 1 előadás 2017/18 tanév, 1. félév 35 / 189

34 Kvantilisek Osztályközös gyakorisági sor: a kvantilis közeĺıtése adható meg. Ỹ p = Y q0 + ( pn f q 1 )h q. f q q: annak a legelső osztálynak a sorszáma, melyre f q pn (a kvantilist tartalmazó osztály). Y q0, h q, f q : gyakorisága. f q 1 : gyakoriság. a kvantilist tartalmazó osztály alsó határa, szélessége ill. a kvantilist tartalmazó osztály előtti osztállyal záródó kumulált Relatív gyakoriságokkal való megadás: Ỹ p = Y q0 + ( p g q 1 )h q, g q Ỹ p = Y q0 + ( 100p 100g q 1 ) h q. 100g q Baran Sándor Statisztika 1 előadás 2017/18 tanév, 1. félév 36 / 189

35 Példa A népesség száma h i f i 100g i f i 100g i Összesen Alsó kvartilis: p = 1/4, pn = 72, q = 2, Y q0 = 5000, h q = 5000, f q = 95, f q 1 = 56. Q 1 = (72 56) 5000/95 = Medián: p = 1/2, q = 2, Y q0 = 5000, h q = 5000, g q = , g q 1 = Q 2 = Me = ( ) 5000/ = Felső kvartilis: p = 3/4, 100p = 75.00, q = 3, Y q0 = 10000, h q = 10000, 100g q = 26.39, 100g q 1 = Q 3 = ( ) 10000/26.39 = Baran Sándor Statisztika 1 előadás 2017/18 tanév, 1. félév 37 / 189

36 Gyakorisági eloszlások grafikus ábrázolása Leveles ág ábra (stem-and-leaf). Függőleges vonal. Tőle balra az ismérvértékek legelső helyiértékű számjegyei (ágak). A vonal jobb oldalán az ismérvértékek további azonosításához szükséges számjegyek szóközzel vagy vesszővel elválasztva (levelek). Doboz ábra (box plot, box-and-whiskers plot). Vízszintes vagy függőleges tengelyen ábrázolja a kvartiliseket, ezek alkotják a dobozt, valamint a legnagyobb és a legkisebb ismérvértéket. Q 1 : a doboz alja; Q 3 : a doboz teteje; Me: a doboz osztóvonala. Hisztogram. Osztályközös gyakorisági sorban az osztályközök fölé oszlopokat emelünk, melyek területe arányos az adott osztály gyakoriságával (gyakoriság hisztogram) vagy relatív gyakoriságával (sűrűség hisztogram). Baran Sándor Statisztika 1 előadás 2017/18 tanév, 1. félév 38 / 189

37 Helyzetmutatók (középértékek). Medián A medián az az ismérvérték, amelyiknél az összes előforduló ismérvérték legfeljebb fele kisebb és legfeljebb fele nagyobb. p = 1/2-hez tartozó kvantilis. N Y i A minimumhelye A = Me. i=1 Rangsorból számolva: N = 2n + 1 : Me = Y k+1, N = 2n : Me = ( Y k + Y k+1) /2. Osztályközös gyakorisági sorból számolva: Me = Y me,0 + ( N/2 f me 1)h me f me. me: a legelső olyan osztályköz sorszáma, ahol f me N/2. Baran Sándor Statisztika 1 előadás 2017/18 tanév, 1. félév 39 / 189

38 Helyzetmutatók (középértékek). Módusz Diszkrét ismérv esetén a módusz a leggyakrabban előforduló ismérvérték, folytonos ismérv esetén pedig a sűrűségfüggvény maximumhelye. Osztályközös gyakorisági sorból számolható: Mo = Y mo,0 + d a d a + d f h mo. mo: a móduszt tartalmazó osztályköz sorszáma; d a = f mo f mo 1, d f = f mo f mo+1. Egyenlő osztályközök: d a és d f a tényleges gyakoriságok különbségei. Nem egyenlő osztályközök: d a és d f az egységesített (korrigált) gyakoriságok különbségei. Baran Sándor Statisztika 1 előadás 2017/18 tanév, 1. félév 40 / 189

39 Példa Magyar városok gyakoriságainak egységesítése. A népesség Osztályköz Eredeti Egységnyi 5000 fő száma (fő) hosszúság hosszúságú osztályközök gyakorisága Összesen 288 Hunyadi, Vita (2008, táblázat). mo = 2, f mo = 95, f mo 1 = 70, f mo+1 = 38, Y mo,0 = 5000, h mo = 5000, d a = = 25, d f = = 57. Mo = = Baran Sándor Statisztika 1 előadás 2017/18 tanév, 1. félév 41 / 189

40 Helyzetmutatók (középértékek). Számtani átlag Y 1, Y 2,..., Y n : ismérvértékek. Számtani átlag (súlyozatlan eset): S értékösszegből: Y = Y 1 + Y Y n N N i=1 Gyakorisági sorból (súlyozott eset): N i=1 = Y i = N (Y i A) 2 minimumhelye A = Y. Y = S/N. Y N. Y = k i=1 f iy i k i=1 f i = k i=1 f iy i N = fy f N = N Y f N = gy g = gy. Y i : az i-edik osztály egyedi értéke vagy osztályközepe; f i : az i-edik osztály gyakorisága. Baran Sándor Statisztika 1 előadás 2017/18 tanév, 1. félév 42 / 189

41 Szóródási mutatók. Terjedelemmutatók Terjedelem: R = YN Y 1 = Y max Y min. Osztályközös gyakorisági sor: problémás. Interkvartilis távolság: R 0.5 = Q 3 Q 1. Példa Személygépkocsik vegyes átlagfogyasztása. Rangsor: 5.4, 5.5, 5.7, 5.9, 6.0, 6.1, 6.5, 6.7 R = = 1.3 l/100km. Kvartilisek: Q 1 = 5.55, Q 3 = 6.4. R 0.5 = = 0.85 l/100km. Baran Sándor Statisztika 1 előadás 2017/18 tanév, 1. félév 43 / 189

42 Szóródási mutatók. Szórás, variancia, relatív szórás Szórás: σ = 1 N (Y i Y ) N 2 = 1 N i=1 k i=1 σ = f i(y i Y ) 2 k i=1 f = i d i = Y i Y : az átlagtól való eltérés. Variancia (szórásnégyzet): σ 2. N i=1 d 2 i k i=1 f id 2 i k i=1 f i súlyozatlan eset, súlyozott eset. N (Y i Y ) 2 = i=1 Relatív szórás: N i=1 Y 2 i NY 2, azaz σ 2 = Y 2 Y 2. V = σ Y. Baran Sándor Statisztika 1 előadás 2017/18 tanév, 1. félév 44 / 189

43 Példa Személygépkocsik vegyes átlagfogyasztása. Ismérvértékek: 6.0, 6.1, 5.9, 5.4, 6.5, 5.5, 6.7, 5.7. Y = = l/100 km. ( ) σ = 2 + ( ) ( ) 2 8 = l/100 km. V = /5.975 = Baran Sándor Statisztika 1 előadás 2017/18 tanév, 1. félév 45 / 189

44 Példa Magyar városok népessége A népesség száma f i Y i f i Y i d i = Y i Y f i di Összesen Y = /288 = σ = = V = / = Baran Sándor Statisztika 1 előadás 2017/18 tanév, 1. félév 46 / 189

45 Koncentráció A sokasághoz tartozó teljes értékösszeg jelentős részének vagy egészének kevés egységre való összpontosulását koncentrációnak nevezzük. Kicsi sokaság: abszolút koncentráció. Nagy sokaság: relatív koncentráció. Lorenz görbe Egyedi adatok: Y1, Y 2,..., Y N ( k (0, 0) és N, k i=1 Y i S rangsor, S értékösszeg. ), k = 1, 2,..., N, pontok. Osztályközök: g i, Z i osztályközös kumulált relatív gyakoriságok és relatív értékösszegek. (0, 0) és (g i, Z i ), i = 1, 2,..., k, pontok. Koncentrációs együttható: a görbe és a négyzet átlója által bezárt terület (koncentrációs terület) aránya a négyzet feléhez. Jele: L. Baran Sándor Statisztika 1 előadás 2017/18 tanév, 1. félév 47 / 189

46 Példa Magyar városok népességeinek relatív gyakoriságai és értékösszegei. A népesség száma f i g i g i S i Z i Z i Összesen Z i Koncentrációs együttható: L = Közepes koncentráció g i Baran Sándor Statisztika 1 előadás 2017/18 tanév, 1. félév 48 / 189

47 Koncentráció Herfindahl index: HI = N i=1 Z 2 i. HI = 1/N: nincs koncentráció. HI = 1: teljes koncentráció. Példa Autógyárak piaci részesedése (%) Európában 2010 és 2011 júnusában: Gyártó VW csop. PSA csop. Renault csop. GM csop. Ford Gyártó Fiat csop. BMW csop. Daimler csop. Toyota csop. Egyéb : HI = = : HI = = Forrás: Európai Autógyártók Szövetsége Baran Sándor Statisztika 1 előadás 2017/18 tanév, 1. félév 49 / 189

48 Momentumok A körüli r-edik momentum: M r (A) = 1 N N (Y i A) r = 1 N i=1 k i=1 M r (A) = f i(y i A) r k i=1 f = 1 i N N i=1 d r i (A) k i=1 f i d r i (A) súlyozatlan eset, súlyozott eset. d i (A) = Y i A: az A értéktől való eltérés. A = 0: A = Y : r-edik momentum; r-edik centrális momentum. Speciális esetek: M 1 (0) = Y, M 1 (Y ) = 0. M 2 (0) = Y 2, M 2 (Y ) = σ 2. Baran Sándor Statisztika 1 előadás 2017/18 tanév, 1. félév 50 / 189

49 Asszimetria: jobbra vagy balra elnyúló. Csúcsosság: hegyesebb vagy lapultabb, mint az ugyanolyan várható értékű és szórású normális eloszlás. Baran Sándor Statisztika 1 előadás 2017/18 tanév, 1. félév 51 / 189 Alakmutatók Csucsosabb Jobbra elnyulo Balra elnyulo Lapultabb Normalis eloszlas

50 Asszimetriamutatók Ferdeség (skewness): α 3 = M 3(Y ) σ 3. Pearson-féle mutató: P = 3(Y Me). σ Decilisek és a medián eltérésén alapuló mutató: F 0,1 = (D 9 Me) (Me D 1 ) (D 9 Me) + (Me D 1 ), 1 F 0,1 1. Mutató Jobbra elnyúló Szimmetrikus Balra elnyúló Ferdeség α 3 > 0 α 3 0 α 3 < 0 Pearson P > 0 P 0 P < 0 Decilisek F 0,1 > 0 F 0,1 0 F 0,1 < 0 Baran Sándor Statisztika 1 előadás 2017/18 tanév, 1. félév 52 / 189

51 Példa Személygépkocsik vegyes átlagfogyasztása. Ismérvértékek: 6.0, 6.1, 5.9, 5.4, 6.5, 5.5, 6.7, 5.7. Y = 5.975, σ = , Me = M 3 (Y ) = ( )3 + ( ) ( ) 3 8 = α 3 = = , Jobbra elnyúló. P = 3( ) = Baran Sándor Statisztika 1 előadás 2017/18 tanév, 1. félév 53 / 189

52 Csúcsossági mutató Lapultság (kurtosis): α 4 = M 4(Y ) σ 4 3. Normális eloszlás esetén az elméleti értéke 0. Azonos paraméterű normálishoz hasonĺıtjuk. Normálisnál csúcsosabb Megegyező Normálisnál lapultabb α 4 > 0 α 4 0 α 4 < 0 Példa Személygépkocsik vegyes átlagfogyasztása. Ismérvértékek: 6.0, 6.1, 5.9, 5.4, 6.5, 5.5, 6.7, 5.7. M 4 (Y ) = ( )4 + ( ) ( ) 4 8 α 4 = = Lapultabb, mint az várható értékű, szórású normális. = Baran Sándor Statisztika 1 előadás 2017/18 tanév, 1. félév 54 / 189

53 Heterogén sokaságok Az elemzés Y ismérve szempontjából lényegesen eltérő jellegzetességeket mutató részekre bontható sokaságokat az adott ismérv szempontjából heterogén sokaságoknak nevezzük. A fősokaságot M darab részsokaságra bontjuk valamilyen csoportképző ismérv alapján. Részviszonyszámok: Összetett viszonyszám: V j = A j /B j, j = 1, 2,..., M. V = M j=1 A j M j=1 B j = M A j=1 = B jv j B M j=1 B j = M j=1 A j M j=1. A j V j A j és B j helyett a belőlük képzett megoszlási viszonyszámok is használhatóak. Baran Sándor Statisztika 1 előadás 2017/18 tanév, 1. félév 56 / 189

54 Példa A magyar lakásállomány megoszlása (ezer) adott év január 1.-én Szobák Lakások száma Százalékos megoszlás évi álloszáma mány (1990=100) és több Összesen Utolsó oszlop első 3 sor: részviszonyszámok. Utolsó oszlop utolsó sor: összetett viszonyszám = %, = = = %, = % = % Baran Sándor Statisztika 1 előadás 2017/18 tanév, 1. félév 57 / 189

55 Rész- és főátlagok Y ij : a j-edik részsokaság (j = 1, 2,..., M) i-edik értéke (i = 1, 2,..., N j ). N = M j=1 N j: a fősokaság nagysága. A j-edik részátlag: Y j = 1 N j N j i=1 Y ij = S j N j, j = 1, 2,..., M. S j = N j i=1 Y ij: a j-edik részsokaság értékösszege. A főátlag: mivel Y = 1 N N M j Y ij = 1 N j=1 i=1 M M j=1 S j = N M jy j j=1 M j=1 N = S j j j=1 M j=1, S j Y j S j = N j Y j, azaz N j = S j Y j. Baran Sándor Statisztika 1 előadás 2017/18 tanév, 1. félév 58 / 189

56 Teljes szórás és variancia Átlagtól való eltérés: Belső eltérés: Külső eltérés: d ij = Y ij Y = B ij + K j, i = 1, 2,..., N j, j = 1, 2,..., M. Teljes szórás: σ = 1 N Teljes variancia: B ij = Y ij Y j, i = 1, 2,..., N j, j = 1, 2,..., M. σ 2 = 1 N K j = Y j Y, j = 1, 2,..., M. N M j (Y ij Y ) 2 = 1 N j=1 i=1 N M j (Y ij Y ) 2 = 1 N j=1 i=1 N M j dij 2. j=1 i=1 N M j dij 2. j=1 i=1 Baran Sándor Statisztika 1 előadás 2017/18 tanév, 1. félév 59 / 189

57 Belső szórás és variancia Részszórások vagy csoporton belüli szórások: N j σ j = 1 N (Y ij Y j ) N 2 = 1 j Bij 2, j = 1, 2,..., M. j N j i=1 Belső szórás: σ B = 1 N i=1 N M j (Y ij Y j ) 2 = 1 N j=1 i=1 N M j Bij 2. j=1 i=1 A σ B belső szórás azt mutatja, hogy a fősokaság egyes egységeihez tartozó Y ij ismérvéretékek átlagosan mennyivel térnek el a saját részátlaguktól. A belső szórás négyzete a belső variancia. Részvarianciák és belső variancia kapcsolata: σb 2 = 1 M N j σj 2. N j=1 Baran Sándor Statisztika 1 előadás 2017/18 tanév, 1. félév 60 / 189

58 Külső szórás és variancia Külső szórás: σ K = 1 N N M j (Y j Y ) 2 = 1 N j=1 i=1 M j=1 N j K 2 j. A σ K külső szórás azt mutatja, hogy a részátlagok átlagosan mennyire térnek el a főátlagtól. Kapcsolat a varianciák között: Négyzetösszegek közötti összefüggés: N M j (Y ij Y ) 2 = j=1 i=1 σ 2 = σ 2 B + σ2 K. N M j M (Y ij Y j ) 2 + N j (Y j Y ) 2. j=1 i=1 SST = SSB + SSK j=1 SST a teljes, SSB a belső, SSK a külső négyzetösszeg. Baran Sándor Statisztika 1 előadás 2017/18 tanév, 1. félév 61 / 189

59 Példa Középfölde népei évenkénti fogathajtó versenye döntőjének másodpercekben mért eredményei: j Népcsoport Eredmény Y ij N j S j Nj i=1 (Y ij Y j ) 2 1 Tündék Törpök Emberek Hobbitok Összesen Y 1 = 163.5/3 = 54.50, Y 2 = 100.2/2 = 50.10, Y 3 = 214.0/4 = 53.55, Y 4 = 146.4/3 = Y = = = Baran Sándor Statisztika 1 előadás 2017/18 tanév, 1. félév 62 / 189

60 Példa j Népcsoport Eredmény Y ij N j S j Nj i=1 (Y ij Y j ) 2 1 Tündék Törpök Emberek Hobbitok Összesen Y 1 = 54.50, Y 2 = 50.10, Y 3 = 53.55, Y 4 = 48.80, Y = SST = ( ) ( ) 2 = , SSK = 3 ( ) ( ) 2 = , SSB = SST SSK = σ = = , σ B = = , σ K = = σ 1 = 52.08/3 = , σ 2 = 48.02/2 = , σ 3 = 22.35/4 = , σ 4 = 47.12/3 = Baran Sándor Statisztika 1 előadás 2017/18 tanév, 1. félév 63 / 189

61 Az ismérvek közötti kapcsolat fajtái Lehetséges kapcsolatok két ismérv között: Az ismérvek függetlenek egymástól. Pl. hajszín, testmagasság. A két ismérv között sztochasztikus kapcsolat van, azaz pl. a sokaság egységeinek X szerinti hovatartozásából, milyenségéből következtetni lehet az Y szerinti hovatartozásra, milyenségre. Pl. hajszín, szemszín. A két ismérv között függvényszerű, azaz determinisztikus kapcsolat van. Pl. ösztöndíjátlag, tanulmányi ösztöndíj. Az ismérvek fajtái szerinti csoportosítás: Asszociáció: mindkét ismérv minőségi vagy területi (nominális skála). Vegyes kapcsolat: az egyik ismérv mennyiségi, a másik minőségi vagy területi (különbségi vagy arány és nominális skála). Korreláció: mindkét ismérv mennyiségi (különbségi vagy arány skála). Rangkorreláció: mindkét ismérvet sorrendi skálán mérjük. Baran Sándor Statisztika 1 előadás 2017/18 tanév, 1. félév 64 / 189

62 Asszociáció A kontingenciatábla általános alakja: Az X ismérv sze- Az Y ismérv szerinti osztályok j rinti osztályok C1 Y C2 Y... Cj Y... Cc Y C1 x f 11 f f 1j... f 1c f 1 C2 x f 21 f f 2j... f 2c f Ci x f i1 f i2... f ij... f ic f i Cr x f r1 f r2... f rj... f rc f r i f 1 f 2... f j... f c N Utolsó sor: Y szerinti megoszlás. Utolsó oszlop: X szerinti megoszlás. Ha a soronkénti megoszlások azonosak, akkor X és Y függetlenek. Ha a soronként legfeljebb egy nem 0 gyakoriság van, akkor X értéke egyértelműen meghatározza Y értékét, azaz függvényszerű a kapcsolat. Baran Sándor Statisztika 1 előadás 2017/18 tanév, 1. félév 65 / 189

63 Tényleges és várt gyakoriságok A C X i C Y j tényleges illetve relatív gyakorisága: f ij illetve f ij /N. Ha C X i P ( C X i és C Y j Cj Y ) f ij N, függetlenek, akkor P( Ci X ) f i N, P( Cj Y ) f j N. P ( C X i C Y j ) ( ) ( ) = P C X i P C Y f i j N f j N. C X i C Y j várt gyakorisága (ha függetlenek): NP ( C X i Cj Y ) f i f j N. Várt gyakoriságok (a függetlenség feltételezése mellett): f ij = f i f j N. Baran Sándor Statisztika 1 előadás 2017/18 tanév, 1. félév 66 / 189

64 A kapcsolat szorossága Khi-négyzet (chi-square) mutató: X 2 = r c i=1 j=1 (f ij f ij )2 f ij r = N i=1 j=1 c fij 2 1. f i f j Lehetséges értékei: O X 2 N min { (r 1), (c 1) }. X 2 = 0: X és Y függetlenek. X 2 = N min { (r 1), (c 1) } : X és Y között függvényszerű a kapcsolat. Cramér-féle asszociációs együttható (SPSS: Cramer s V): X C = 2 N min { }, 0 C 1. (r 1), (c 1) C = 0: C = 1: X és Y függetlenek. X és Y között függvényszerű a kapcsolat. Baran Sándor Statisztika 1 előadás 2017/18 tanév, 1. félév 67 / 189

65 Példa Egy kutatócsoport azt vizsgálta, milyen szoros az összefüggés egy bizonyos betegség lefolyásának súlyossága és a betegek életkora között. A vizsgálati adatok: Életkor Összesen 40 alatti fölötti enyhe Lefolyás közepes súlyos Összesen r = c = 3, N = 200. Várt gyakoriságok: X 2 ( )2 ( )2 ( )2 = = C = = Gyenge kapcsolat Baran Sándor Statisztika 1 előadás 2017/18 tanév, 1. félév 68 / 189

66 PRE eljárás a kapcsolat szorosságának mérésére Határozzuk meg annak a többletinformációnak a mennyiségét, amit a sokaság egységeinek az X szerinti hovatartozása nyújt az Y szerinti hovatartozásról. PRE eljárás: 1 Meghatározzuk, hogy összességében mekkora hibával járna, ha a sokaság egységenek Y szerinti hovatartozását kizárólag azok Y szerinti megoszlása alapján próbálnánk meg megadni. Jelölés: E 1. 2 Meghatározzuk a hibát akkor is, ha ismerjük az egységek X szerinti hovatartozását. Jelölés: E 2. 3 Meghatározzuk a relatív hibacsökkenést: 0 PRE = E 1 E 2 E 1 1. PRE = 0: PRE = 1: X és Y függetlenek. X és Y között függvényszerű a kapcsolat. Baran Sándor Statisztika 1 előadás 2017/18 tanév, 1. félév 69 / 189

67 Vegyes kapcsolat Y a mennyiségi, X a minőségi vagy területi ismérv. Y ij : a X szerint képzett j-edik részsokaság i-edik egységéhez tartozó Y ismérvérték (j = 1, 2,..., M, i = 1, 2,..., N j ). X ismerete nélkül az Y értékének becslése Y. A becslési hiba: N M j E 1 = (Y ij Y ) 2 = SST. j=1 i=1 Ha tudjuk, a vizsgált egység az X szerinti j-edik részsokaságba tartozik, akkor az Y értékének becslése Y j. A becslési hiba: PRE mutató: PRE = E 1 E 2 E 1 E 2 = = N M j (Y ij Y j ) 2 = SSB. j=1 i=1 SST SSB SST = SSK SST = 1 σ2 B σ 2 = σ2 K σ 2 = H2. Baran Sándor Statisztika 1 előadás 2017/18 tanév, 1. félév 70 / 189

68 Varianciahányados Varianciahányados: 0 H 2 = SST SSB SST = SSK SST 1. H 2 az Y ismérv szórásnégyzetének az X ismérv által megmagyarázott hányada. H 2 = 0 SSK = M N j (Y j Y ) 2 = 0 Y = Y j. j=1 Ez teljesül, ha X és Y független. H 2 = 1 SSB = N M j (Y ij Y j ) 2 = 0 Y ij = Y j. j=1 i=1 Ekkor X és Y között függvényszerű a kapcsolat. Szóráshányados: H = H 2. Baran Sándor Statisztika 1 előadás 2017/18 tanév, 1. félév 71 / 189

69 Példa Középfölde népei évenkénti fogathajtó versenye döntőjének másodpercekben mért eredményei: j Népcsoport Eredmény Y ij N j 1 Tündék Törpök Emberek Hobbitok Összesen 12 SST = , SSB = , SSK = H 2 = = (28.11%), H = A népcsoporthoz való tartozás az Y szórásnégyzetének 28.11%-át magyarázza. H = közepesen erős kapcsolatot jelez. Baran Sándor Statisztika 1 előadás 2017/18 tanév, 1. félév 72 / 189

70 Empirikus (tapasztalati) regressziófüggvény X és Y mennyiségi ismérvek (akár fel is cserélhető a szerepük). X : csoportképző ismérv. X szerinti osztályokat sorrendbe tudjuk álĺıtani X értékei szerint. Vizsgálható az X és az Y közötti kapcsolat iránya. Ha X növekedésével Y értéke is nő, az irány pozitív, ellenkező esetben negatív. Az X szerint képzett részsokaságokhoz hozzárendelt Y j részátlagok sorozatát az Y változó X változóra vonatkozó (X szerinti) empirikus regreszsziófüggvényének nevezzük. Grafikus ábrázolás: az (X i, Y i ) pontokat összekötő vonaldiagram. Y -nak X -re vonatkozó determinációs hányadosa (az X szerinti osztályokból számolt varianciahányados): η 2 Y X = σ2 K (Y ) σ 2 (Y ). σ 2 K (Y ) illetve σ2 (Y ): Y külső, illetve teljes szórásnégyzete. Baran Sándor Statisztika 1 előadás 2017/18 tanév, 1. félév 73 / 189

71 Példa A háztartások taglétszáma és átlagos egy főre jutó havi nettó jövedelme 2004-ben Budapesten és a községekben. A háztartás Az adott taglétszámú háztartásban lévő személyek tagjainak százalékos megoszlása egy főre jutó jövedelme (Ft) száma Budapesten községekben Budapesten községekben és több Összesen Forrás: KSH Legalább 6 fős háztartások átlagos létszáma Budapesten 6.55 fő, a községekben 6.74 fő. Baran Sándor Statisztika 1 előadás 2017/18 tanév, 1. félév 74 / 189

72 Empirikus regressziófüggvény Egy fore juto havi netto jovedelem (ezer Ft) Budapest kozsegek Tagletszam (fo) Az egy főre jutó havi nettó jövedelem és a háztartások taglétszáma közötti kapcsolat empirikus regressziófüggvényei. Baran Sándor Statisztika 1 előadás 2017/18 tanév, 1. félév 75 / 189

73 Analitikus regressziófüggvény X és Y mennyiségi ismérvek. Az (X i, Y i ) párokat vizsgáljuk. Kérdés: Felhasználható-e az X változó X i értéke az Y változó ugyanazon egységéhez tartozó Y i érték előrejelzésére? Az X és Y közötti sztochasztikus kapcsolat természetét egy f (X ) függvénnyel, analitikus regressziófüggvénnyel akarjuk leírni. Például: f (X ) = β 0 + β 1 X, f (X ) = β 0 β X 1, lineáris regresszió; exponenciális regresszió. Az Y változó X i -hez tartozó értékének előrejelzése f (X i ). Pontdiagram: az (X i, Y i ) párok ábrázolása a kétdimenziós tér pontjaiként. Utal az f (X ) létezésére illetve alakjára. Baran Sándor Statisztika 1 előadás 2017/18 tanév, 1. félév 76 / 189

74 Pontdiagram típusok a) b) Y Y X c) X d) Y Y X X a) X és Y független. b) X és Y között pozitív irányú (lineáris) kapcsolat. c) X és Y között negatív d) X és Y között nemlineáris irányú (lineáris) kapcsolat. kapcsolat. Baran Sándor Statisztika 1 előadás 2017/18 tanév, 1. félév 77 / 189

75 Korreláció (Lineáris) korrelációs együttható: dxi d Yi Xi Y r(x, Y ) = i NX Y = d 2 Xi d 2 ( )( Yi X 2 ) i N(X ) 2 Y 2 i N(Y ) 2 N X i Y i ( )( ) X i Yi = ( N Xi 2 ( ) )( 2 X i N Yi 2 ( ) ). 2 Y i Az 1 r(x, Y ) 1 korrelációs együttható abszolút értéke az X és Y közötti lineáris kapcsolat szorosságát méri, előjele pedig a kapcsolat irányát mutatja. r(x, Y ) = ±1: függvényszerű lineáris kapcsolat; r(x, Y ) = 0: nincs lineáris kapcsolat. Korrelálatlanok. Nem feltétlenül függetlenek! Minél nagyobb r(x, Y ), annál szorosabb a kapcsolat. Baran Sándor Statisztika 1 előadás 2017/18 tanév, 1. félév 78 / 189

76 Kovariancia X és Y kovarianciája: Kapcsolata a korrelációval: σ X, σ Y : X illetve Y szórása. C(X, Y ) = dxi d Yi N r(x, Y ) = C(X, Y ) σ X σ Y. Kapcsolata a varianciával: C(X, X ) = σ 2 X. C(X, Y ) > 0: X és Y között pozitív irányú kapcsolat; C(X, Y ) < 0: X és Y között negatív irányú kapcsolat. C(X, Y ) = 0: nincs lineáris kapcsolat. Nem feltétlenül függetlenek!. Baran Sándor Statisztika 1 előadás 2017/18 tanév, 1. félév 79 / 189

77 Determinációs együttható, súlyozott alakok Determinációs együttható: r 2. PRE mutató. 100r 2 azt mutatja, hogy az X ismerete hány százalékkal csökkenti az Y nagyságával kapcsolatos bizonytalanságot, ha X és Y között lineáris kapcsolat van. Súlyozott alakok: C(X, Y ) = fi d Xi d Yi N, r(x, Y ) = fi d Xi d Yi fi d 2 Xi fi d 2 Yi. f i : az (X i, Y i ) pár gyakorisága. N = f i : a sokaság elemszáma. Baran Sándor Statisztika 1 előadás 2017/18 tanév, 1. félév 80 / 189

78 Példa Néhány alsó középkategóriás személygépkocsi vegyes fogyasztása és CO 2 kibocsátása. Kia cee d Citroën C4 Ford Focus Honda Civic 1.4 CVVT 1.4 Vti 1.6 Ti-VCT 1.4i Teljesítmény (LE) Fogyasztás (l/100km) CO 2 (g/km) Mazda 3 Opel Astra Renault Mégane Volkwagen Golf 1.6 MZR 1.4 Ecotec TSI Teljesítmény (LE) Fogyasztás (l/100km) CO 2 (g/km) Forrás: Az Autó, 2012/9. X : 6.0, 6.1, 5.9, 5.4, 6.5, 5.5, 6.7, 5.7; X = 5.975; Y : 139, 140, 136, 128, 149, 129, 155, 134; Y = Baran Sándor Statisztika 1 előadás 2017/18 tanév, 1. félév 81 / 189

79 d x : 0.025, 0.125, 0.075, 0.575, 0.525, 0.475, 0.725, 0.275; d y : 0.25, 1.25, 2.75, 10.75, 10.25, 9.75, 16.25, d 2 x = ( 0.275) 2 = 1.455, d 2 y = ( 4.75) 2 = 611.5, dx d y = ( 0.275) ( 4.75) = dxi d Yi C(X, Y ) = N r(x, Y ) = = dxi d Yi = d 2 Xi d 2 Yi = , = Nagyon erős lineáris kapcsolat. Baran Sándor Statisztika 1 előadás 2017/18 tanév, 1. félév 82 / 189

80 Pontdiagram CO2 (Y ) Fogyasztas (X) Korreláció: r(x, Y ) = Determinációs együttható: r 2 = Az egyenes egyenlete: f (X ) = X. Baran Sándor Statisztika 1 előadás 2017/18 tanév, 1. félév 83 / 189

81 Rangkorreláció Mindkét ismérv sorrendi skálán mérhető. R X és R Y : az X és Y változó szerinti rangok. Kapcsolt rangok: az adott ismérv több értéke is megegyezik. A hozzájuk tartozó rangok átlagát kapja meg mindegyik azonos ismérvérték. Spearman-féle rangkorrelációs együttható: 1 ϱ = 1 6 (R X R Y ) 2 N(N 2 1) 1. ϱ = 1: ϱ = 1: ϱ = 0: tökéletesen egyező rangsorolás. tökéletesen ellentétes rangsorolás. nincs kapcsolat a rangsorolások között. Nincsenek kapcsolt rangok ϱ megegyezik a rangokból számolt r korrelációs együtthatóval. ϱ 2 : a kapcsolat szorosságát mérő PRE mutató. Baran Sándor Statisztika 1 előadás 2017/18 tanév, 1. félév 84 / 189

82 Példa A hazai informatikai képzőhelyek 2015-ös, a hallgatói, illetve az oktatói kiválóság szerinti rangsorai. (Forrás: eduline.hu) ϱ = 1 Intézmény Hallgatók (R X ) Oktatók (R Y ) (R X R Y ) 2 BME-VIK ELTE-IK SZTE-TTIK PE-MIK DE-IK DF OE-NIK PPKE-ITK GDF Kf-GAMFK Összesen (100 1) = 1 3 =0.3(3), ϱ2 = 1 =0.1(1), r = Gyenge kapcsolat a rangsorok között. Baran Sándor Statisztika 1 előadás 2017/18 tanév, 1. félév 85 / 189

83 Összetett intenzitási viszonyszámok összehasonĺıtása Két azonos tartalmú, de különböző összetett viszonyszámot kívánunk összehasonĺıtani. V 0i = A 0i /B 0i, V 1i = A 1i /B 1i : Összetett viszonyszámok: j V s = A sj j B = sj V 0 és V 1 eltérésének okai: részviszonyszámok. j B sjv sj j B sj = j j A sj, s = 0, 1. A sj V sj eltérőek lehetnek a két sokaság ugyanazon részeire számított V 0i és V 1i részviszonyszámok, és/vagy eltérő lehet a két sokaság szerkezete (összetétele). Baran Sándor Statisztika 1 előadás 2017/18 tanév, 1. félév 87 / 189

84 Jelölések Rész- Első sokaság Második sokaság Összehasonĺıtás sokaság szám- neve- viszony- szám- neve- viszony- különb- hányasorszáma láló ző szám láló ző szám ség dos 1 A 01 B 01 V 01 A 11 B 11 V 11 k 1 i 1 2 A 02 B 02 V 02 A 12 B 12 V 12 k 2 i j A 0j B 0j V 0j A 1j B 1j V 1j k j i j M A 0M B 0M V 0M A 1M B 1M V 1M k M i M Fősokaság A0j B0j V 0 A1j B1j V 1 K I Részviszonyszám különbségek: k j = V 1j V 0j. Részviszonyszám hányadosok: i j = V 1j /V 0j. Összetett viszonyszám különbségek: K = V 1 V 0. Összetett viszonyszám hányadosok: I = V 1 /V Baran Sándor Statisztika 1 előadás 2017/18 tanév, 1. félév 88 / 189

85 Különbségfelbontás Teljes különbség: K = V 1 V 0. K = B1 V 1 B1 B0 V 0 B0. Részhatás különbség(ek): K = K s Bs V 1 = Bs Bs V 0 Bs = Bs (V 1 V 0 ) Bs k =, s = 0, 1. Bs Bs A részviszonyszámok közötti eltérések hatását mutatja. Összetétel hatás különbség(ek): K = K s = B1 V s B1 B0 V s B0, s = 0, 1. A sokaságok eltérő összetételének a hatását mutatja. Feltétel: K = K + K. a) Ha K -ben B s = B 0, akkor K -ben V s = V 1 (K = K 0 + K 1 ). b) Ha K -ben B s = B 1, akkor K -ben V s = V 0 (K = K 1 + K 0 ). Baran Sándor Statisztika 1 előadás 2017/18 tanév, 1. félév 89 / 189