Statisztika 1 előadás

Átírás

1 Statisztika 1 előadás Baran Sándor 2016/17 tanév, 1. félév 1 / 189

2 Irodalom Hunyadi László., Vita László: Statisztika I. Aula Kiadó, Budapest, Hunyadi László, Vita László: Statisztika II. Aula Kiadó, Budapest, Keresztély Tibor, Sugár András, Szarvas Beatrix: Statisztika közgazdászoknak. Példatár és feladatgyűjtemény. Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, Fazekas István: Valószínűségszámítás. Egyetemi Kiadó, Debrecen, Denkinger Géza: Valószínűségszámítás gyakorlatok. Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, Syllabus, eredmények, információk arato.inf.unideb.hu/baran.sandor/mischu.html 2 / 189

3 Tartalom Alapfogalmak Sokaság egy ismérv szerinti leírása Sokaság több ismérv szerinti leírása Összehasonĺıtás standardizálással és indexszámítással Mintavétel Pontbecslések és tulajdonságaik Nagy számok törvényei Intervallumbecslések Hipotézisvizsgálat 3 / 189

4 Mi a statisztika? A statisztika olyan gyakorlati tevékenység, illetve tudományos módszertan, amely arra szolgál, hogy a valóság tényeinek nagy tömegét tömören, számszerűen jellemezze. Gyakorlati tevékenység: alapadatokat gyűjt, feldolgoz, elemez, majd közzéteszi ezek eredményét. Tudományos módszertan: az elemzéshez szükséges megfontolások, eljárások megadása. A statisztika mindig a tények valamilyen nagy esetleg végtelen nagy tömegéről igyekszik tömör, számszerű képet adni. Példa Az alkalmazásban állók létszáma a nemzetgazdaságban június-július: ezer fő. Pénzügyi, biztosítási tevékenység: 61.6 ezer fő. Az alkalmazásban állók havi bruttó munkajövedelme a nemzetgazdaságban június-július: Ft. Pénzügyi, biztosítási tevékenység: Ft. Forrás: KSH 5 / 189

5 A valóság jellemezni kívánt tényei bizonyos egységekhez köthetőek. Példa Az alkalmazásban állók. Adott időszakban Magyarországra érkező külföldiek. A vizsgálat tárgyának egyedeiről szerzett, megfelelő módon rögzített különféle információkat alapadatoknak, más néven elemi adatoknak nevezzük. Az alapadatok nem feltétlenül számszerűek. A vizsgált egységek bizonyos körét összességében jellemző számszerű információkat általánosságban adatoknak, bizonyos speciális esetekben pedig mutatószámoknak hívjuk. A mutatószám elnevezés többnyire a szabványosított tartalmú, egy-egy jelenség jellemzésére visszatérően használt számszerű információk megjelölésére szolgál. A továbbiakban adatok és mutatószámok helyett csak adatokat fogunk emlegetni. 6 / 189

6 Példák Alapadatok A Magyarországra érkező külföldiek nemzetisége. A Magyarországra érkező külföldiek életkora. A Magyarországra érkező külföldiek itt-tartózkodási ideje. Adatok Egy adott időszak alatt Magyarországra érkező külföldiek száma (2015-ben ezer fő). Egy adott időszak alatt Magyarországra érkező külföldiek összes pénzköltése (2015-ben millió Ft). Mutatók Egy idelátogató külföldi napi átlagok pénzköltése (2015-ben 13.4 ezer Ft). Az vendégéjszakák átlagos száma (2015-ben 2.5 éjszaka). Fontosak a mértékegységek! 7 / 189

7 Sokaságok A vizsgálat tárgyát képező egységek összességét, halmazát statisztikai sokaságnak, röviden sokaságnak (populációnak) nevezzük. A sokaság egységei különféle tulajdonságaik megadásával jellemezhetők. E tulajdonságok egy része a sokaság minden egységére nézve közös, más része azonban nem. Egy sokaság megadható: egységeinek felsorolásával; eloszlásával. Sokaságok típusai, I.: Diszkrét, pl. a magyar népesség január 1.-én ( fő); 2015-ben Magyarországra érkező külföldiek száma ( ezer fő). Folytonos, önkényesen elkülöníthető egységek, pl teljes búzatermése ( tonna); a belföldön közúton szálĺıtott áruk mennyisége 2015-ben ( tonna). Fiktív, valamilyen eloszlással megadott, pl lehetséges búzatermés eredményei. 8 / 189

8 Sokaságok Sokaságok típusai, II.: Álló, azaz valamely időpontra vonatkozik (stock), pl. a magyar népesség január 1.-én; az IK beiratkozott hallgatói szeptember 22.-én. Mozgó, azaz valamely időtartamra értendő (flow), pl teljes búzatermése; a belföldön közúton szálĺıtott áruk mennyisége 2015-ben; az IK hallgatói által a 2015/16 tanév 2. félévének szorgalmi időszakában elfogyasztott sör mennyisége. Sokaságok típusai, III.: Véges, pl. a magyar népesség január 1.-én. Végtelen, pl lehetséges búzatermés eredményei. 9 / 189

9 Sokaságok Aggergált sokaság: különféle dolgokból elfogyasztott/felhasznált termékek vagy szolgáltatások összértéke. Pl. Magyarország teljes exportja 2015-ben ( milliárd forint); az IK hallgatói által a 2015/16 tanév 2. félévének szorgalmi időszakában elfogyasztott alkoholtartalmú italok összértéke. Az aggregált sokaság nagysága (aggregátum): A = n q i p i = i=1 n i=1 ν i q i : az i-edik fajta egységeinek mennyisége valamilyen alkalmas mértékegységben; p i : az i-edik fajta egység egységára; ν i : az i-edik fajta egységek összértéke; n: az egységek száma. 10 / 189

10 Ismérvek Az ismérvek olyan vizsgálati szempontok, melyek alapján a sokaság részekre bontható. A sokaság egységeinek valamely adott szempont szerint lehetséges tulajdonságait ismérvváltozatoknak nevezzük. Ha számszerűek az ismérv változatok, akkor ezeket ismérvértékeknek, magát az ismévet pedig változónak nevezzük. Az ismérvek fajtái területi, pl. lakhely, születési hely; időbeli, pl. születési idő, munkába állás időpontja; minőségi, pl. nem, foglalkozás; mennyiségi, pl. életkor, testmagasság, testtömeg, tanulmányi átlag. 11 / 189

11 Mérési skálák Ismérvváltozatok átkódolhatóak számokká. Csak olyan műveletek megengedettek, amik az eredeti változatokkal is. Mérési szintek Nominális: csak az vizsgálható, két érték egyenlő-e, pl. név, lakhely, foglalkozás. Nincs mértékegysége. Ordinális: csak az értékek sorendje számít, távolsága nem, pl. vizsgajegyek, végzettség. Nincs mértékegysége. Különbségi: az értékek különbsége is információt hordoz, de az arányuk nem, pl. hőmérséklet. A skála kezdőpontja önkényes (Celsius, Kelvin, Fahrenheit fok), van mértékegysége. Arány: kezdőpont egyértelműen adott, az arány is értelmezhető, pl. havi jövedelem, testmagasság. Van mértékegysége. 12 / 189

12 Példa Sokaság Egy konk- Ismérv Ismérv- Ismérvfajta Mérési rét egység változat skála állampol- megyelakó minőségi nominális A Mordor- gárság ba irányuló Zsákos tartózkodási 7 mennyiségi arány idegenfor- idő (nap) galom a Frodó életkor (év) 50 mennyiségi arány harmadkor útitársak 2 mennyiségi arány száma évében igénybe vett szabad ég minőségi nominális szállásfajta alatt faj ember minőségi nominális A Galakti- nem férfi minőségi nominális kus Biro- Luke (alternatív) dalom születési Polis Massa területi nominális népessége Skywalker hely bolygó YU 1 4-ben szül. idő YE 1 19 időbeli intervallum anyabolygó Tatuin területi nominális életkor (év) 24 mennyiségi arány foglalkozás Jedi lovag minőségi nominális 1 YE ill. YU: a yavini csata (a Halálcsillag megsemmisítése) előtt ill. után. 13 / 189

13 Hibák A statisztikai adatok, mutatószámok célszerű megadási módja: A: közeĺıtő érték. a: abszolút hibakorlát. Relatív hibakorlát: A ± a A a valódi érték A + a α = a/a. Példa Magyarország népessége január 1.-én: ezer fő. A = 9830, a = 0.5, α = 0.5/ = 0.005%. Két közeĺıtő érték összegének vagy különbségének abszolút hibakorlátja a megfelelő abszolút hibakorlátok összege. Két közeĺıtő érték szorzatának vagy hányadosának relatív hibakorlátja nagyjából a megfelelő relatív hibakorlátok összege. 14 / 189

14 Statisztikai alapműveletek I. A sokaság jellemzése valamely erre alkalmas adattal vagy mutatószámmal. A sokasághoz hozzárendelünk egy annak egészét jellemző adatot, pl. a nagyságát, átlagát, várható értékét. II. Összehasonĺıtás. Egy adott jelenség időbeli alakulásáról, területi eltéréseiről, vagy egymáshoz valamilyen módon kapcsolódó jelenségek viszonyáról ad számszerű információt. Fontos, hogy az adatok összehasonĺıthatóak legyenek. Az adatokból képezhetünk különbségeket vagy hányadosokat. Az alkalmazásban állók havi bruttó átlagkeresete Év Kereset (Ft) Előző év=100% / 189

15 Több sokaság adatainak összehasonĺıtása A sokaságok A sokaságok adatainak A hányados viszonya felsorolására hányadosára mértékegysége egymáshoz használt elnevezés Időben és/vagy összehasonĺıtó sor összehasonĺıtó vi-, illetve % térben különböző (idősor/területi sor) szonyszám (dinasokaságok mikus viszonyszám területi összehasonĺıtó viszonyszám) Időben és/vagy összehasonĺıtó sor index(szám), illetve % térben különböző (idősor/területi sor) (területi/időbeli) aggregált sokaságok Időben és/vagy intenzitási viszony- a két adat mértérben azonos, de szám tékegységének különböző fajta hányadosa egységekből álló sokaságok Hunyadi, Vita (2008, 1.4 táblázat) 16 / 189

16 Példa Sor- Mérték- Dinamikus szám Megnevezés egység viszonyszám (2005=100) 1. Alkalmazottak évi átl. száma fő Ebből: fizikai foglalkozású fő Feldolgozott cukorrépa 1000 t Cukortermelés 1000 t Fizikai foglalkozásúak által 1000 h teljesített munkaórák száma Intenzitási viszonyszámok Termelékenység 2005: 650 ezer t 520 ezer h Hunyadi, Vita (2008, 1.5 táblázat) = 1.25 t/h. Egy fizikai dolgozóra eső munkaórák száma 2005 ill. 2006: 520 ezer h 261 fő = h/fő ill. Dinamikus viszonyszám 360 ezer h 208 fő = h/fő Egy fizikai dolgozó munkaóráinak változása: h/fő h/fő = = 86.87% 17 / 189

17 Statisztikai alapműveletek III. Osztályozás. Valamely adott sokaság egy vagy több ismérv szerinti tagolása, osztályozása. A csoportok valamilyen szempontból homogénebbek, mint az egész sokaság. Osztályok: az osztályozás során kapott csoportok. Csoportképző ismérv(ek): az osztályok elhatárolására szolgáló ismérv(ek). Példa. Az évfolyam osztályozása a Mikroökonómia jegyei alapján. Elvárások egy osztályozással szemben: legyen teljes; legyen átfedésmentes; eredményezzen homogén osztályokat. Nómenklatúra: szabványosított osztályozási rendszer. Foglalkozások Egységes Osztályozási Rendszere (FEOR 08). 10 főcsoport, 42 csoport, 136 alcsoport, 632 foglalkozás. 18 / 189

18 Csoportosító sor Osztály Egységek száma C 1 f 1 C 2 f 2. C i. C k Összesen. f i. f k N C i : f i : az i-edik osztály azonosítója (i = 1, 2,..., k); az i-edik osztály gyakorisága; k: az osztályok száma, ált. k a legkisebb egész, melyre 2 k N; N: a sokaság nagysága. N = k i=1 f i. Osztály másik elnevezése: részsokaság. Akkor használjuk, ha az osztályokat külön is tovább akarjuk vizsgálni. 19 / 189

19 Kombinációs (kontingencia) tábla Az X ismérv sze- Az Y ismérv szerinti osztályok j rinti osztályok C1 Y C2 Y... Cj Y... Cc Y C1 x f 11 f f 1j... f 1c f 1 C2 x f 21 f f 2j... f 2c f Ci x f i1 f i2... f ij... f ic f i Cr x f r1 f r2... f rj... f rc f r i f 1 f 2... f j... f c N Ci X : az X szerinti i-edik osztály azonosítója (i = 1, 2,..., r); Cj Y : az Y szerinti j-edik osztály azonosítója (j = 1, 2,..., c); f ij : azon elemek száma, melyek mind Ci X, mind pedig Cj Y elemei; r, c: az X illetve Y szerinti osztályok száma. c f ij = f i, r f ij = f j, c r r c f j = f i = f ij = N. j=1 i=1 j=1 i=1 i=1 j=1 20 / 189

20 Viszonyszámok A viszonyszám két adat hányadosa: V : viszonyszám; A: a viszonyítás tárgya; B: a viszonyítás alapja. Típusai V = A/B. A = B V, B = A/V. Dinamikus: idősorok adataiból számított hányadosok. Intenzitási: két egymással kapcsolatban lévő, de nem feltétlenül azonos fajta egységekből álló sokaság nagyságából képzett hányadosok. Megoszlási: valamely sokaságrésznek az egészhez viszonyított nagyságát mutatja. 21 / 189

21 Példa A magyar lakásállomány megoszlása (ezer) adott év január 1.-én Szobák száma és több Összesen Forrás: KSH Szobák Százalékos megoszlás évi évi évi álloszáma állomány (1980=100) mány (1990=100) és több Összesen / 189

22 Dinamikus viszonyszámok kettőnél több adat esetén Y 1, Y 2,..., Y t,..., Y n : az idősor adatai. Bázisviszonyszám: b t = Y t /Y b, t = 1, 2,..., n. Láncviszonyszám: l t = Y t /Y t 1, t = 2, 3,..., n. Egymást követő bázisviszonyszámok hányadosa: b t /b t 1 = ( ) ( ) Y t /Y b : Yt 1 /Y b = Yt /Y t 1 = l t. Új bázisra (pl. Y b -ről Y c -re) való áttérés: b t /b c = ( Y t /Y b ) : ( Yc /Y b ) = Yt /Y c. Láncviszonyszámok szorzata: l 1 l 2... l k = Y b+1 Y b Yb+2 Y b+k... = Y b+k = b b+k. Y b+1 Y b+k 1 Y b Két ugyanazon időegységre vonatkozó bázisviszonyszámsor hányadosa: ( At /A b ) : ( Bt /B b ) = ( At /B t ) : ( Ab /B b ) = Vt /V b. 23 / 189

23 Példa A házi gyerekorvosi betegellátás adatai Házi gyerekorvosok Bejelentkezett lakosok Betegforgalom Év száma (fő) száma (ezer fő) (ezer eset) A házi gyerekorvosi betegellátás időbeli változása Forrás: KSH Orvosok Bejelentke- Beteg- Orvosok Bejelentke- Beteg- Év száma zettek száma forgalom száma zettek száma forgalom 2005=100 Előző év= / 189

24 Példa A házi gyerekorvosi betegellátást jellemző intenzitási viszonyszámok Egy házi gyerekorvosra jutó Százezer bejelent- Egy lakosra jutó Év bejelentkezett betegforgalom kezett lakosra jutó betegforgalom lakos (fő) (eset) házi gyerekorvos (eset) Az előző táblázatból számolt dinamikus viszonyszámok Egy házi gyerekorvosra jutó Százezer bejelent- Egy lakosra jutó bejelentkezett betegforgalom kezett lakosra jutó betegforgalom Év lakos (fő) (eset) házi gyerekorvos (eset) 2005 előző év 2005 előző év 2005 előző év 2005 előző év =100 =100 =100 =100 =100 =100 =100 = / 189

25 Grafikus ábrázolás Idősorok ábrázolása: vonaldiagram Mennyiségi ismérvek kapcsolata: pontdiagram Szerkezeti megoszlás ábrázolása: osztott kör-, oszlop vagy szalagdiagram. Mennyiségi ismérv eloszlásának ábrázolása: hisztogram. 26 / 189

26 Mennyiségi sorok Y : mennyiségi ismérv; N: a sokaság elemszáma; Y 1, Y 2,..., Y N : az Y ismérv változatai, amik különbségi, vagy arány skálán mért számértékek. Diszkrét: csak megszámlálható számosságú értéket vehet fel. Valamilyen számlálás eredménye, pl. háztartás nagysága, családban lévő gépjárművek száma. Megadható a pontos értéke. Folytonos: kontinuum számosságú értéket vehet fel. Valamilyen mérés eredménye, pl. a háztartás összjövedelme, a családban lévő gépjárművek összértéke. Értéke csak bizonyos pontosságra kerekítve adható meg. Ha a diszkrét ismérv nagyon sok értéket vehet fel, kezelhetjük folytonosként, pl. nagyvárosok népessége. A rangsor a megfigyelési egységekhez tartozó Y i ismérvértékeknek az Y i monoton nemcsökkenő sorrendjében történő felsorolása. A rangsor i-edik tagját Y i -gal jelöljük. 28 / 189

27 Gyakorisági sor Az Y szerint képzett osztály Osztályközép Abszolút Relatív alsó határa felső határa gyakoriság Y 10 Y 11 Y 1 f 1 g 1 Y 20 Y 21 Y 2 f 2 g 2.. Y i0 Y i1 Y i f i g i..... Y k0 Y k1 Y k f k g k Összesen N 1 Y i0 és Y i1 : az Y ismérv szerint képzett C i osztály határai. Egybe is eshetnek. Osztályközös gyakorisági sor: f i : a C i osztály gyakorisága. g i = f i /N: a C i osztály relatív gyakorisága... Y i0 és Y i1 nem esik egybe. Y i = ( Y i0 + Y i1 ) /2: osztályközép. 29 / 189.

28 Gyakorisági sor a) Y diszkrét és kevés értéket vesz fel. Példa 405 személygépkocsi hengerszám szerinti megoszlása. A hengerek száma A személygépkocsik (darab) száma százalékos megoszlása Y i f i g i Összesen A rangsor egyértelműen feĺırható. 30 / 189

29 Gyakorisági sor b) Y folytonos vagy diszkrét és sok értéket vesz fel. Példa Magyarország városainak népességszám szerinti megoszlása, január 1. (Hunyadi, Vita, 2008, 2.3. táblázat). A városok A népesség Osztályköz száma számának népességének népességének száma (fő) hosszúság megoszlása száma (fő) megoszlása Összesen Osztályközhossz: h i = Y i1 Y i0 Ha Y 10 és/vagy Y k1 nem ismert, akkor értelmesen megbecsüljük. 31 / 189

30 Értékösszegsor Az értékösszegsor az Y ismérv alapján kialakított osztályokhoz az egyes osztályokba tartozó egységeknél fellépő ismérvértékek S i -vel jelölt összegét rendeli hozzá. S i = S i : tényleges értékösszeg. Y i0 Y Y i1 Y, i = 1, 2,..., k. Ha Y i0 = Y i = Y i1, akkor S i = f i Y i. Osztályközös gyakorisági sor becsült értékösszeg. Relatív értékösszeg: S i = f i Y i, i = 1, 2,..., k. Z i = S i k i=1 S i vagy Zi = S i k i=1 S i. 32 / 189

31 Példa Tényleges és becsült értékösszegek. A népesség száma f i Y i Si = f i Y i Zi S i Z i Összesen Kumulálás Gyakoriságok, értékösszegek: f i Hunyadi, Vita, (2008, 2.6. táblázat) = i j=1 f j, S i = i j=1 S j. 33 / 189

32 Kvantilisek Az Y i/k i-edik k-adrendű kvantilis az a szám, amelynél az összes előforduló ismérvérték legfeljebb i/k-ad része kisebb és legfeljebb (1 i/k)-ad része nagyobb, ahol k 2, i = 1, 2,..., k 1. Az i/k helyett tetszőleges 0 < p < 1 szerepelhet. k Elnevezés Jelölés Lehetséges kvantilisek 2 medián Me Me 4 kvartilis Q i Q 1, Q 2, Q 3 5 kvintilis K i K 1, K 2, K 3, K 4 10 decilis D i D 1, D 2,..., D percentilis P i P 1, P 2,..., P 99 Y 1, Y 2,..., Y N : rangsor s p = p(n + 1). Ha s p Z: Y p = Ys p. Ha s p Z: Y p = Y[s + {s p] p} ( Y[s Y p]+1 [s p]). 34 / 189

33 Példa Néhány alsó középkategóriás személygépkocsi vegyes fogyasztása. Kia cee d Citroën C4 Ford Focus Honda Civic 1.4 CVVT 1.4 Vti 1.6 Ti-VCT 1.4i Teljesítmény (LE) Fogyasztás (l/100km) Mazda 3 Opel Astra Renault Mégane Volkwagen Golf 1.6 MZR 1.4 Ecotec TSI Teljesítmény (LE) Fogyasztás (l/100km) Rangsor: 5.4, 5.5, 5.7, 5.9, 6.0, 6.1, 6.5, 6.7 Alsó kvartilis: p = 1/4, s p = 9/4, [s p] = 2, {s p} = Q 1 = ( ) = Medián: p = 1/2, s p = 9/2, [s p] = 4, {s p} = 0.5. Forrás: Az Autó, 2012/9. Q 2 = Me = ( ) = ( )/2 = Felső kvartilis: p = 3/4, s p = 27/4, [s p] = 6, {s p} = Q 3 = ( ) = / 189

34 Kvantilisek Osztályközös gyakorisági sor: a kvantilis közeĺıtése adható meg. Ỹ p = Y q0 + ( pn f q 1 )h q. f q q: annak a legelső osztálynak a sorszáma, melyre f q pn (a kvantilist tartalmazó osztály). Y q0, h q, f q : a kvantilist tartalmazó osztály alsó határa, szélessége ill. gyakorisága. f q 1 : a kvantilist tartalmazó osztály előtti osztállyal záródó kumulált gyakoriság. Relatív gyakoriságokkal való megadás: Ỹ p = Y q0 + ( p g q 1 )h q, g q Ỹ p = Y q0 + ( 100p 100g q 1 ) h q. 100g q 36 / 189

35 Példa A népesség száma h i f i 100g i f i 100g i Összesen Alsó kvartilis: p = 1/4, pn = 72, q = 2, Y q0 = 5000, h q = 5000, f q = 95, f q 1 = 56. Q 1 = (72 56) 5000/95 = Medián: p = 1/2, q = 2, Y q0 = 5000, h q = 5000, g q = , g q 1 = Q 2 = Me = ( ) 5000/ = Felső kvartilis: p = 3/4, 100p = 75.00, q = 3, Y q0 = 10000, h q = 10000, 100g q = 26.39, 100g q 1 = Q 3 = ( ) 10000/26.39 = / 189

36 Gyakorisági eloszlások grafikus ábrázolása Leveles ág ábra (stem-and-leaf). Függőleges vonal. Tőle balra az ismérvértékek legelső helyiértékű számjegyei (ágak). A vonal jobb oldalán az ismérvértékek további azonosításához szükséges számjegyek szóközzel vagy vesszővel elválasztva (levelek). Doboz ábra (box plot, box-and-whiskers plot). Vízszintes vagy függőleges tengelyen ábrázolja a kvartiliseket, ezek alkotják a dobozt, valamint a legnagyobb és a legkisebb ismérvértéket. Q 1 : a doboz alja; Q 3 : a doboz teteje; Me: a doboz osztóvonala. Hisztogram. Osztályközös gyakorisági sorban az osztályközök fölé oszlopokat emelünk, melyek területe arányos az adott osztály gyakoriságával (gyakoriság hisztogram) vagy relatív gyakoriságával (sűrűség hisztogram). 38 / 189

37 Helyzetmutatók (középértékek). Medián A medián az az ismérvérték, amelyiknél az összes előforduló ismérvérték legfeljebb fele kisebb és legfeljebb fele nagyobb. p = 1/2-hez tartozó kvantilis. N Y i A minimumhelye A = Me. i=1 Rangsorból számolva: N = 2n + 1 : Me = Y k+1, N = 2n : Me = ( Y k + Y k+1) /2. Osztályközös gyakorisági sorból számolva: Me = Y me,0 + ( N/2 f me 1)h me f me. me: a legelső olyan osztályköz sorszáma, ahol f me N/2. 39 / 189

38 Helyzetmutatók (középértékek). Módusz Diszkrét ismérv esetén a módusz a leggyakrabban előforduló ismérvérték, folytonos ismérv esetén pedig a sűrűségfüggvény maximumhelye. Osztályközös gyakorisági sorból számolható: Mo = Y mo,0 + d a d a + d f h mo. mo: a móduszt tartalmazó osztályköz sorszáma; d a = f mo f mo 1, d f = f mo f mo+1. Egyenlő osztályközök: d a és d f a tényleges gyakoriságok különbségei. Nem egyenlő osztályközök: d a és d f az egységesített (korrigált) gyakoriságok különbségei. 40 / 189

39 Példa Magyar városok gyakoriságainak egységesítése. A népesség Osztályköz Eredeti Egységnyi 5000 fő száma (fő) hosszúság hosszúságú osztályközök gyakorisága Összesen 288 Hunyadi, Vita (2008, táblázat). mo = 2, f mo = 95, f mo 1 = 70, f mo+1 = 38, Y mo,0 = 5000, h mo = 5000, d a = = 25, d f = = 57. Mo = = / 189

40 Helyzetmutatók (középértékek). Számtani átlag Y 1, Y 2,..., Y n : ismérvértékek. Számtani átlag (súlyozatlan eset): Y = Y 1 + Y Y n N N i=1 S értékösszegből: N i=1 = Y i = N (Y i A) 2 minimumhelye A = Y. Y = S/N. Gyakorisági sorból (súlyozott eset): Y N. Y = k i=1 f iy i k i=1 f i = k i=1 f iy i N = fy N = f N Y f N = gy g = gy. Y i : az i-edik osztály egyedi értéke vagy osztályközepe; f i : az i-edik osztály gyakorisága. 42 / 189

41 Szóródási mutatók. Terjedelemmutatók Terjedelem: R = YN Y 1 = Y max Y min. Osztályközös gyakorisági sor: problémás. Interkvartilis távolság: R 0.5 = Q 3 Q 1. Példa Személygépkocsik vegyes átlagfogyasztása. Rangsor: 5.4, 5.5, 5.7, 5.9, 6.0, 6.1, 6.5, 6.7 R = = 1.3 l/100km. Kvartilisek: Q 1 = 5.55, Q 3 = 6.4. R 0.5 = = 0.85 l/100km. 43 / 189

42 Szóródási mutatók. Szórás, variancia, relatív szórás Szórás: σ = 1 N (Y i Y ) N 2 = 1 N i=1 k i=1 σ = f i(y i Y ) 2 k i=1 f = i d i = Y i Y : az átlagtól való eltérés. Variancia (szórásnégyzet): σ 2. N i=1 d 2 i k i=1 f id 2 i k i=1 f i súlyozatlan eset, súlyozott eset. N (Y i Y ) 2 = i=1 Relatív szórás: N i=1 Y 2 i NY 2, azaz σ 2 = Y 2 Y 2. V = σ Y. 44 / 189

43 Példa Személygépkocsik vegyes átlagfogyasztása. Ismérvértékek: 6.0, 6.1, 5.9, 5.4, 6.5, 5.5, 6.7, 5.7. Y = = l/100 km. ( ) σ = 2 + ( ) ( ) 2 8 = l/100 km. V = /5.975 = / 189

44 Példa Magyar városok népessége A népesség száma f i Y i f i Y i d i = Y i Y f i di Összesen Y = /288 = σ = = V = / = / 189

45 Koncentráció A sokasághoz tartozó teljes értékösszeg jelentős részének vagy egészének kevés egységre való összpontosulását koncentrációnak nevezzük. Kicsi sokaság: abszolút koncentráció. Nagy sokaság: relatív koncentráció. Lorenz görbe Egyedi adatok: Y1, Y 2,..., Y N rangsor, S értékösszeg. ( ) k k (0, 0) és N, i=1 Y i, k = 1, 2,..., N, pontok. S Osztályközök: g i, Z i osztályközös kumulált relatív gyakoriságok és relatív értékösszegek. (0, 0) és (g i, Z i ), i = 1, 2,..., k, pontok. Koncentrációs együttható: a görbe és a négyzet átlója által bezárt terület (koncentrációs terület) aránya a négyzet feléhez. Jele: L. 47 / 189

46 Példa Magyar városok népességeinek relatív gyakoriságai és értékösszegei. A népesség száma f i g i g i S i Z i Z i Összesen Z i Koncentrációs együttható: L = Közepes koncentráció g i 48 / 189

47 Koncentráció Herfindahl index: HI = N i=1 Z 2 i. HI = 1/N: nincs koncentráció. HI = 1: teljes koncentráció. Példa Autógyárak piaci részesedése (%) Európában 2010 és 2011 júnusában: Gyártó VW csop. PSA csop. Renault csop. GM csop. Ford Gyártó Fiat csop. BMW csop. Daimler csop. Toyota csop. Egyéb Forrás: Európai Autógyártók Szövetsége 2011: HI = = : HI = = / 189

48 Momentumok A körüli r-edik momentum: M r (A) = 1 N N (Y i A) r = 1 N i=1 k i=1 M r (A) = f i(y i A) r k i=1 f = 1 i N N i=1 d r i (A) k i=1 f i d r i (A) súlyozatlan eset, súlyozott eset. d i (A) = Y i A: az A értéktől való eltérés. A = 0: A = Y : r-edik momentum; r-edik centrális momentum. Speciális esetek: M 1 (0) = Y, M 1 (Y ) = 0. M 2 (0) = Y 2, M 2 (Y ) = σ / 189

49 Alakmutatók Csucsosabb Jobbra elnyulo Balra elnyulo Lapultabb Normalis eloszlas Asszimetria: jobbra vagy balra elnyúló. Csúcsosság: hegyesebb vagy lapultabb, mint az ugyanolyan várható értékű és szórású normális eloszlás. 51 / 189

50 Asszimetriamutatók Ferdeség (skewness): α 3 = M 3(Y ) σ 3. Pearson-féle mutató: P = 3(Y Me). σ Decilisek és a medián eltérésén alapuló mutató: F 0,1 = (D 9 Me) (Me D 1 ) (D 9 Me) + (Me D 1 ), 1 F 0,1 1. Mutató Jobbra elnyúló Szimmetrikus Balra elnyúló Ferdeség α 3 > 0 α 3 0 α 3 < 0 Pearson P > 0 P 0 P < 0 Decilisek F 0,1 > 0 F 0,1 0 F 0,1 < 0 52 / 189

51 Példa Személygépkocsik vegyes átlagfogyasztása. Ismérvértékek: 6.0, 6.1, 5.9, 5.4, 6.5, 5.5, 6.7, 5.7. Y = 5.975, σ = , Me = M 3 (Y ) = ( )3 + ( ) ( ) 3 8 = α 3 = = , Jobbra elnyúló. P = 3( ) = / 189

52 Csúcsossági mutató Lapultság (kurtosis): α 4 = M 4(Y ) σ 4 3. Normális eloszlás esetén az elméleti értéke 0. Azonos paraméterű normálishoz hasonĺıtjuk. Normálisnál csúcsosabb Megegyező Normálisnál lapultabb α 4 > 0 α 4 0 α 4 < 0 Példa Személygépkocsik vegyes átlagfogyasztása. Ismérvértékek: 6.0, 6.1, 5.9, 5.4, 6.5, 5.5, 6.7, 5.7. M 4 (Y ) = ( )4 + ( ) ( ) 4 8 = α 4 = = Lapultabb, mint az várható értékű, szórású normális. 54 / 189

53 Heterogén sokaságok Az elemzés Y ismérve szempontjából lényegesen eltérő jellegzetességeket mutató részekre bontható sokaságokat az adott ismérv szempontjából heterogén sokaságoknak nevezzük. A fősokaságot M darab részsokaságra bontjuk valamilyen csoportképző ismérv alapján. Részviszonyszámok: Összetett viszonyszám: V j = A j /B j, j = 1, 2,..., M. V = M j=1 A j M j=1 B j = M A j=1 = B jv j B M j=1 B j = M j=1 A j M j=1. A j V j A j és B j helyett a belőlük képzett megoszlási viszonyszámok is használhatóak. 56 / 189

54 Példa A magyar lakásállomány megoszlása (ezer) adott év január 1.-én Szobák Lakások száma Százalékos megoszlás évi álloszáma mány (1990=100) és több Összesen Utolsó oszlop első 3 sor: részviszonyszámok. Utolsó oszlop utolsó sor: összetett viszonyszám = %, = = = %, = % = % / 189

55 Rész- és főátlagok Y ij : a j-edik részsokaság (j = 1, 2,..., M) i-edik értéke (i = 1, 2,..., N j ). N = M j=1 N j: a fősokaság nagysága. A j-edik részátlag: Y j = 1 N j N j i=1 Y ij = S j N j, j = 1, 2,..., M. S j = N j i=1 Y ij: a j-edik részsokaság értékösszege. A főátlag: mivel Y = 1 N N M j Y ij = 1 N j=1 i=1 M M j=1 S j = N M jy j j=1 M j=1 N = S j j j=1 S j = N j Y j, azaz N j = S j Y j. M j=1, S j Y j 58 / 189

56 Teljes szórás és variancia Átlagtól való eltérés: d ij = Y ij Y = B ij + K j, i = 1, 2,..., N j, j = 1, 2,..., M. Belső eltérés: Külső eltérés: B ij = Y ij Y j, i = 1, 2,..., N j, j = 1, 2,..., M. Teljes szórás: σ = 1 N Teljes variancia: σ 2 = 1 N K j = Y j Y, j = 1, 2,..., M. N M j (Y ij Y ) 2 = 1 N j=1 i=1 N M j (Y ij Y ) 2 = 1 N j=1 i=1 N M j dij 2. j=1 i=1 N M j dij 2. j=1 i=1 59 / 189

57 Belső szórás és variancia Részszórások vagy csoporton belüli szórások: N j σ j = 1 N (Y ij Y j ) N 2 = 1 j Bij 2, j = 1, 2,..., M. j N j i=1 Belső szórás: σ B = 1 N i=1 N M j (Y ij Y j ) 2 = 1 N j=1 i=1 N M j Bij 2. j=1 i=1 A σ B belső szórás azt mutatja, hogy a fősokaság egyes egységeihez tartozó Y ij ismérvéretékek átlagosan mennyivel térnek el a saját részátlaguktól. A belső szórás négyzete a belső variancia. Részvarianciák és belső variancia kapcsolata: σb 2 = 1 M N j σj 2. N j=1 60 / 189

58 Külső szórás és variancia Külső szórás: σ K = 1 N N M j (Y j Y ) 2 = 1 N j=1 i=1 M j=1 N j K 2 j. A σ K külső szórás azt mutatja, hogy a részátlagok átlagosan mennyire térnek el a főátlagtól. Kapcsolat a varianciák között: σ 2 = σb 2 + σ2 K. Négyzetösszegek közötti összefüggés: N M j N M j M (Y ij Y ) 2 = (Y ij Y j ) 2 + N j (Y j Y ) 2. j=1 i=1 j=1 i=1 j=1 SST = SSB + SSK SST a teljes, SSB a belső, SSK a külső négyzetösszeg. 61 / 189

59 Példa Középfölde népei évenkénti fogathajtó versenye döntőjének másodpercekben mért eredményei: j Népcsoport Eredmény Y ij N j S j Nj i=1 (Y ij Y j ) 2 1 Tündék Törpök Emberek Hobbitok Összesen Y 1 = 163.5/3 = 54.50, Y 2 = 100.2/2 = 50.10, Y 3 = 214.0/4 = 53.55, Y 4 = 146.4/3 = Y = = = / 189

60 Példa j Népcsoport Eredmény Y ij N j S j Nj i=1 (Y ij Y j ) 2 1 Tündék Törpök Emberek Hobbitok Összesen Y 1 = 54.50, Y 2 = 50.10, Y 3 = 53.55, Y 4 = 48.80, Y = SST = ( ) ( ) 2 = , SSK = 3 ( ) ( ) 2 = , SSB = SST SSK = σ = = , σ B = = , σ K = = σ 1 = 52.08/3 = , σ 2 = 48.02/2 = , σ 3 = 22.35/4 = , σ 4 = 47.12/3 = / 189

61 Az ismérvek közötti kapcsolat fajtái Lehetséges kapcsolatok két ismérv között: Az ismérvek függetlenek egymástól. Pl. hajszín, testmagasság. A két ismérv között sztochasztikus kapcsolat van, azaz pl. a sokaság egységeinek X szerinti hovatartozásából, milyenségéből következtetni lehet az Y szerinti hovatartozásra, milyenségre. Pl. hajszín, szemszín. A két ismérv között függvényszerű, azaz determinisztikus kapcsolat van. Pl. ösztöndíjátlag, tanulmányi ösztöndíj. Az ismérvek fajtái szerinti csoportosítás: Asszociáció: mindkét ismérv minőségi vagy területi (nominális skála). Vegyes kapcsolat: az egyik ismérv mennyiségi, a másik minőségi vagy területi (különbségi vagy arány és nominális skála). Korreláció: mindkét ismérv mennyiségi (különbségi vagy arány skála). Rangkorreláció: mindkét ismérvet sorrendi skálán mérjük. 64 / 189

62 Asszociáció A kontingenciatábla általános alakja: Az X ismérv sze- Az Y ismérv szerinti osztályok j rinti osztályok C1 Y C2 Y... Cj Y... Cc Y C1 x f 11 f f 1j... f 1c f 1 C2 x f 21 f f 2j... f 2c f Ci x f i1 f i2... f ij... f ic f i Cr x f r1 f r2... f rj... f rc f r i f 1 f 2... f j... f c N Utolsó sor: Y szerinti megoszlás. Utolsó oszlop: X szerinti megoszlás. Ha a soronkénti megoszlások azonosak, akkor X és Y függetlenek. Ha a soronként legfeljebb egy nem 0 gyakoriság van, akkor X értéke egyértelműen meghatározza Y értékét, azaz függvényszerű a kapcsolat. 65 / 189

63 Tényleges és várt gyakoriságok A C X i C Y j tényleges illetve relatív gyakorisága: f ij illetve f ij /N. Ha C X i P ( C X i és C Y j Cj Y ) f ij N, függetlenek, akkor P( Ci X ) f i N, P( Cj Y ) f j N. P ( C X i C Y j ) ( ) ( ) = P C X i P C Y f i j N f j N. C X i C Y j várt gyakorisága (ha függetlenek): NP ( C X i Cj Y ) f i f j N. Várt gyakoriságok (a függetlenség feltételezése mellett): f ij = f i f j N. 66 / 189

64 A kapcsolat szorossága Khi-négyzet (chi-square) mutató: X 2 = r c i=1 j=1 (f ij f ij )2 f ij r = N i=1 j=1 c fij 2 1. f i f j Lehetséges értékei: O X 2 N min { (r 1), (c 1) }. X 2 = 0: X és Y függetlenek. X 2 = N min { (r 1), (c 1) } : kapcsolat. X és Y között függvényszerű a Cramér-féle asszociációs együttható (SPSS: Cramer s V): X C = 2 N min { }, 0 C 1. (r 1), (c 1) C = 0: C = 1: X és Y függetlenek. X és Y között függvényszerű a kapcsolat. 67 / 189

65 Példa Egy kutatócsoport azt vizsgálta, milyen szoros az összefüggés egy bizonyos betegség lefolyásának súlyossága és a betegek életkora között. A vizsgálati adatok: Életkor Összesen 40 alatti fölötti enyhe Lefolyás közepes súlyos Összesen r = c = 3, N = 200. Várt gyakoriságok: X 2 ( )2 ( )2 ( )2 = = C = = Gyenge kapcsolat / 189

66 PRE eljárás a kapcsolat szorosságának mérésére Határozzuk meg annak a többletinformációnak a mennyiségét, amit a sokaság egységeinek az X szerinti hovatartozása nyújt az Y szerinti hovatartozásról. PRE eljárás: 1. Meghatározzuk, hogy összességében mekkora hibával járna, ha sokaság egységenek Y szerinti hovatartozását kizárólag azok Y szerinti megoszlása alapján próbálnánk meg megadni. Jelölés: E Meghatározzuk a hibát akkor is, ha ismerjük az egységek X szerinti hovatartozását. Jelölés: E Meghatározzuk a relatív hibacsökkenést: 0 PRE = E 1 E 2 E 1 1. PRE = 0: PRE = 1: X és Y függetlenek. X és Y között függvényszerű a kapcsolat. 69 / 189

67 Vegyes kapcsolat Y a mennyiségi, X a minőségi vagy területi ismérv. Y ij : a X szerint képzett j-edik részsokaság i-edik egységéhez tartozó Y ismérvérték (j = 1, 2,..., M, i = 1, 2,..., N j ). X ismerete nélkül az Y értékének becslése Y. A becslési hiba: N M j E 1 = (Y ij Y ) 2 = SST. j=1 i=1 Ha tudjuk, a vizsgált egység az X szerinti j-edik részsokaságba tartozik, akkor az Y értékének becslése Y j. A becslési hiba: PRE mutató: PRE = E 1 E 2 E 1 E 2 = = N M j (Y ij Y j ) 2 = SSB. j=1 i=1 SST SSB SST = SSK SST = 1 σ2 B σ 2 = σ2 K σ 2 = H2. 70 / 189

68 Varianciahányados Varianciahányados: 0 H 2 = SST SSB SST = SSK SST 1. H 2 az Y ismérv szórásnégyzetének az X ismérv által megmagyarázott hányada. H 2 = 0 SSK = M N j (Y j Y ) 2 = 0 Y = Y j. j=1 Ez teljesül, ha X és Y független. H 2 = 1 SSB = N M j (Y ij Y j ) 2 = 0 Y ij = Y j. j=1 i=1 Ekkor X és Y között függvényszerű a kapcsolat. Szóráshányados: H = H / 189

69 Példa Középfölde népei évenkénti fogathajtó versenye döntőjének másodpercekben mért eredményei: j Népcsoport Eredmény Y ij N j 1 Tündék Törpök Emberek Hobbitok Összesen 12 SST = , SSB = , SSK = H 2 = = (28.11%), H = A népcsoporthoz való tartozás az Y szórásnégyzetének 28.11%-át magyarázza. H = közepesen erős kapcsolatot jelez. 72 / 189

70 Empirikus (tapasztalati) regressziófüggvény X és Y mennyiségi ismérvek (akár fel is cserélhető a szerepük). X : csoportképző ismérv. X szerinti osztályokat sorrendbe tudjuk álĺıtani X értékei szerint. Vizsgálható az X és az Y közötti kapcsolat iránya. Ha X növekedésével Y értéke is nő, az irány pozitív, ellenkező esetben negatív. Az X szerint képzett részsokaságokhoz hozzárendelt Y j részátlagok sorozatát az Y változó X változóra vonatkozó (X szerinti) empirikus regressziófüggvényének nevezzük. Grafikus ábrázolás: az (X i, Y i ) pontokat összekötő vonaldiagram. Y -nak X -re vonatkozó determinációs hányadosa (az X szerinti osztályokból számolt varianciahányados): η 2 Y X = σ2 K (Y ) σ 2 (Y ). σ 2 K (Y ) illetve σ2 (Y ): Y külső, illetve teljes szórásnégyzete. 73 / 189

71 Példa A háztartások taglétszáma és átlagos egy főre jutó havi nettó jövedelme 2004-ben Budapesten és a községekben. A háztartás Az adott taglétszámú háztartásban lévő személyek tagjainak százalékos megoszlása egy főre jutó jövedelme (Ft) száma Budapesten községekben Budapesten községekben és több Összesen Forrás: KSH Legalább 6 fős háztartások átlagos létszáma Budapesten 6.55 fő, a községekben 6.74 fő. 74 / 189

72 Empirikus regressziófüggvény Egy fore juto havi netto jovedelem (ezer Ft) Budapest kozsegek Tagletszam (fo) Az egy főre jutó havi nettó jövedelem és a háztartások taglétszáma közötti kapcsolat empirikus regressziófüggvényei. 75 / 189

73 Analitikus regressziófüggvény X és Y mennyiségi ismérvek. Az (X i, Y i ) párokat vizsgáljuk. Kérdés: Felhasználható-e az X változó X i értéke az Y változó ugyanazon egységéhez tartozó Y i érték előrejelzésére? Az X és Y közötti sztochasztikus kapcsolat természetét egy f (X ) függvénnyel, analitikus regressziófüggvénnyel akarjuk leírni. Például: f (X ) = β 0 + β 1 X, f (X ) = β 0 β X 1, lineáris regresszió; exponenciális regresszió. Az Y változó X i -hez tartozó értékének előrejelzése f (X i ). Pontdiagram: az (X i, Y i ) párok ábrázolása a kétdimenziós tér pontjaiként. Utal az f (X ) létezésére illetve alakjára. 76 / 189

74 Pontdiagram típusok a) b) Y Y X c) X d) Y Y X X a) X és Y független. b) X és Y között pozitív irányú (lineáris) kapcsolat. c) X és Y között negatív d) X és Y között nemlineáris irányú (lineáris) kapcsolat. kapcsolat. 77 / 189

75 Korreláció (Lineáris) korrelációs együttható: dxi d Yi Xi Y r(x, Y ) = i NX Y = d 2 Xi d 2 ( )( Yi X 2 ) i N(X ) 2 Y 2 i N(Y ) 2 N X i Y i ( )( ) X i Yi = ( N Xi 2 ( ) )( 2 X i N Yi 2 ( ) ). 2 Y i Az 1 r(x, Y ) 1 korrelációs együttható abszolút értéke az X és Y közötti lineáris kapcsolat szorosságát méri, előjele pedig a kapcsolat irányát mutatja. r(x, Y ) = ±1: függvényszerű lineáris kapcsolat; r(x, Y ) = 0: nincs lineáris kapcsolat. Korrelálatlanok. Nem feltétlenül függetlenek! Minél nagyobb r(x, Y ), annál szorosabb a kapcsolat. 78 / 189

76 Kovariancia X és Y kovarianciája: Kapcsolata a korrelációval: σ X, σ Y : X illetve Y szórása. C(X, Y ) = dxi d Yi N r(x, Y ) = C(X, Y ) σ X σ Y. Kapcsolata a varianciával: C(X, X ) = σ 2 X. C(X, Y ) > 0: X és Y között pozitív irányú kapcsolat; C(X, Y ) < 0: X és Y között negatív irányú kapcsolat. C(X, Y ) = 0: nincs lineáris kapcsolat. Nem feltétlenül függetlenek!. 79 / 189

77 Determinációs együttható, súlyozott alakok Determinációs együttható: r 2. PRE mutató. 100r 2 azt mutatja, hogy az X ismerete hány százalékkal csökkenti az Y nagyságával kapcsolatos bizonytalanságot, ha X és Y között lineáris kapcsolat van. Súlyozott alakok: C(X, Y ) = fi d Xi d Yi N, r(x, Y ) = fi d Xi d Yi fi d 2 Xi fi d 2 Yi. f i : az (X i, Y i ) pár gyakorisága. N = f i : a sokaság elemszáma. 80 / 189

78 Példa Néhány alsó középkategóriás személygépkocsi vegyes fogyasztása és CO 2 kibocsátása. Kia cee d Citroën C4 Ford Focus Honda Civic 1.4 CVVT 1.4 Vti 1.6 Ti-VCT 1.4i Teljesítmény (LE) Fogyasztás (l/100km) CO 2 (g/km) Mazda 3 Opel Astra Renault Mégane Volkwagen Golf 1.6 MZR 1.4 Ecotec TSI Teljesítmény (LE) Fogyasztás (l/100km) CO 2 (g/km) Forrás: Az Autó, 2012/9. X : 6.0, 6.1, 5.9, 5.4, 6.5, 5.5, 6.7, 5.7; X = 5.975; Y : 139, 140, 136, 128, 149, 129, 155, 134; Y = / 189

79 d x : 0.025, 0.125, 0.075, 0.575, 0.525, 0.475, 0.725, 0.275; d y : 0.25, 1.25, 2.75, 10.75, 10.25, 9.75, 16.25, d 2 x = ( 0.275) 2 = 1.455, d 2 y = ( 4.75) 2 = 611.5, dx d y = ( 0.275) ( 4.75) = dxi d Yi C(X, Y ) = N r(x, Y ) = = dxi d Yi = d 2 Xi d 2 Yi = , = Nagyon erős lineáris kapcsolat. 82 / 189

80 Pontdiagram CO2 (Y ) Fogyasztas (X) Korreláció: r(x, Y ) = Determinációs együttható: r 2 = Az egyenes egyenlete: f (X ) = X. 83 / 189

81 Rangkorreláció Mindkét ismérv sorrendi skálán mérhető. R X és R Y : az X és Y változó szerinti rangok. Kapcsolt rangok: az adott ismérv több értéke is megegyezik. A hozzájuk tartozó rangok átlagát kapja meg mindegyik azonos ismérvérték. Spearman-féle rangkorrelációs együttható: 1 ϱ = 1 6 (R X R Y ) 2 N(N 2 1) 1. ϱ = 1: ϱ = 1: ϱ = 0: tökéletesen egyező rangsorolás. tökéletesen ellentétes rangsorolás. nincs kapcsolat a rangsorolások között. Nincsenek kapcsolt rangok ϱ megegyezik a rangokból számolt r korrelációs együtthatóval. ϱ 2 : a kapcsolat szorosságát mérő PRE mutató. 84 / 189

82 Példa A hazai informatikai képzőhelyek 2015-ös, a hallgatói, illetve az oktatói kiválóság szerinti rangsorai. (Forrás: eduline.hu) ϱ = 1 Intézmény Hallgatók (R X ) Oktatók (R Y ) (R X R Y ) 2 BME-VIK ELTE-IK SZTE-TTIK PE-MIK DE-IK DF OE-NIK PPKE-ITK GDF Kf-GAMFK Összesen (100 1) = 1 3 =0.3(3), ϱ2 = 1 =0.1(1), r = Gyenge kapcsolat a rangsorok között. 85 / 189

83 Összetett intenzitási viszonyszámok összehasonĺıtása Két azonos tartalmú, de különböző összetett viszonyszámot kívánunk összehasonĺıtani. V 0i = A 0i /B 0i, V 1i = A 1i /B 1i : Összetett viszonyszámok: j V s = A sj j j B = B sjv sj sj j B sj V 0 és V 1 eltérésének okai: részviszonyszámok. = j j A sj, s = 0, 1. A sj V sj eltérőek lehetnek a két sokaság ugyanazon részeire számított V 0i és V 1i részviszonyszámok, és/vagy eltérő lehet a két sokaság szerkezete (összetétele). 87 / 189

84 Jelölések Rész- Első sokaság Második sokaság Összehasonĺıtás sokaság szám- neve- viszony- szám- neve- viszony- különb- hányasorszáma láló ző szám láló ző szám ség dos 1 A 01 B 01 V 01 A 11 B 11 V 11 k 1 i 1 2 A 02 B 02 V 02 A 12 B 12 V 12 k 2 i j A 0j B 0j V 0j A 1j B 1j V 1j k j i j M A 0M B 0M V 0M A 1M B 1M V 1M k M i M Fősokaság A0j B0j V 0 A1j B1j V 1 K I Részviszonyszám különbségek: k j = V 1j V 0j. Részviszonyszám hányadosok: i j = V 1j /V 0j. Összetett viszonyszám különbségek: K = V 1 V 0. Összetett viszonyszám hányadosok: I = V 1 /V / 189

85 Különbségfelbontás Teljes különbség: K = V 1 V 0. K = B1 V 1 B1 B0 V 0 B0. Részhatás különbség(ek): K = K s Bs V 1 = Bs Bs V 0 Bs = Bs (V 1 V 0 ) Bs k =, s = 0, 1. Bs Bs A részviszonyszámok közötti eltérések hatását mutatja. Összetétel hatás különbség(ek): K = K s = B1 V s B1 B0 V s B0, s = 0, 1. A sokaságok eltérő összetételének a hatását mutatja. Feltétel: K = K + K. a) Ha K -ben B s = B 0, akkor K -ben V s = V 1 (K = K 0 + K 1 ). b) Ha K -ben B s = B 1, akkor K -ben V s = V 0 (K = K 1 + K 0 ). 89 / 189

86 Példa Korcso- Népesség száma Halálozások száma Halálozási arányszám port (millió fő) (fő) ( ) (év) Mexikó Svédország Mexikó Svédország Mexikó Svédország Összesen Keresztély, Sugár, Szarvas (2005, B.7 feladat, 87. old.) Korcso- Népesség megoszlása port (%) (év) Mexikó Svédország Összesen A 1 : A 0 : B 1 : B 0 : V 1 : V 0 : halálozások száma, Svédország; halálozások száma, Mexikó; népesség száma, Svédország; népesség száma, Mexikó; halálozási arány, Svédország; halálozási arány, Mexikó. K = V 1 V 0 = = / 189

87 Példa Korcso- Népesség Halálozások száma Halálozási arányszám port megoszlása (% ) (fő) ( ) (év) Mexikó Svédország Mexikó Svédország Mexikó Svédország Összesen K = 10.3 = K = 4.8 = K 1 = K K 0 = = 7.3 K 0 = K K 1 = = 9.4 K 10 = K 1 + K = = K 10 = K 1 + K 0 2 = = / 189

88 Hányadosfelbontás Összhatásindex: I = V 1 /V 0. A1 A0 I = : = B1 B0 Részhatásindex(ek): A1 A0 : B1 B1 V 1 B0 V = : 0. B0 B1 B0 I = I s = Bs V 1 Bs : Bs V 0 Bs V = 1, s = 0, 1. Bs Bs V 0 A részviszonyszámok változásának hatását mutatja. Összetételhatás index(ek): I = I s = B1 V s B1 : B0 V s B0, s = 0, 1. A sokaságok összetétele megváltozásának a hatását mutatja. Feltétel: I = I I. a) Ha I -ben B s = B 0, akkor I -ben V s = V 1 (I = I 0 I 1 ). b) Ha I -ben B s = B 1, akkor I -ben V s = V 0 (I = I 1 I 0 ). 92 / 189

89 Példa Legmaga- Létszám Havi Létszám Havi 2007= sabb iskolai bruttó bruttó 100 végzettség fő megosz- átlag- fő megosz- átlag- i = B 0 lás (% ) kereset, B 1 lás (% ) kereset, V 1 /V 0 eft V 0 eft V 1 8 ált. alatt általános Szakiskola Középisk Föiskola Egyetem Összesen Forrás: Munkaügyi adattár. 2008, I = 113.4%, I 1 = : = (109.81%), I 0 = : = (103.27%), I 0 = : = (109.89%), I 1 = : = (103.20%). 93 / 189

90 Aggregátumok összehasonĺıtása Aggregátum: A = n q i p i = i=1 n i=1 q i : az i-edik fajta egységeinek (termékeinek) mennyisége valamilyen alkalmas mértékegységben; p i : az i-edik fajta egység egységára; ν i : az i-edik fajta egységek összértéke. Ha a q i adatok: termelt mennyiségek, akkor A a termelés; eladott mennyiségek, akkor A a forgalom; fogyasztott mennyiségek, akkor A a fogyasztás. ν i q i : valamilyen időszakra értelmezhető. p i : valamilyen időpontra értelmezhető. Továbbiakban: q i termelt mennyiség; p i egységár. 94 / 189

91 Két időszak közötti összehasonĺıtás n termék két időszakra vonatkozóan: bázisidőszak, tárgyidőszak Termék Termelt Egységár Termelt Egységár sorszáma (i) mennyiség mennyiség a bázisidőszakban a tárgyidőszakban 1 q 01 p 01 q 11 p 11 2 q 02 p 02 q 12 p i q 0i p 0i q 1i p 1i..... n q 0n p 0n q 1n p 1n Rövid jelölés q 0 p 0 q 1 p 1 Kérdések egy termékkel vagy a termékek összességével kapcsolatban: a) hogyan változott a termelés értéke; b) hogyan változott a termelés mennyisége (volumene); c) hogyan változott az ár, ill. az árszinvonal. 95 / 189

92 Egyedi indexek Egy termék vizsgálata dinamikus viszonyszámok. i ν = q 1ip 1i q oi p oi = ν 1i ν 0i, i q = q 1i q oi, i p = p 1i p oi. Az egy termékre vonatkozóan meghatározott i ν, i q és i p dinamikus viszonyszámokat egyedi indexenknek nevezzük. Az egyedi indexek rendre azt mutatják meg, hogy hogyan (hány százalékkal) változott az adott termékre vonatkozó termelési érték, termelt mennyiség, egységár a bázisidőszakról a tárgyidőszakra. Összefüggés az egyedi indexek között: i ν = i q i p. 96 / 189

93 Érték- és volumenindex Értékindex: I ν = q1 p 1 ν1 =. q0 p 0 ν0 Az I ν értékindex azt mutatja, hogy hogyan (hány százalékkal) változott a teljes termelés értéke a bázisidőszakról a tárgyidőszakra. Volumenindex: I q = q1 p s q0 p s. p s : mindkét időszakra érvényesnek feltételezett egységár. Az I q volumenindex azt mutatja, hogy a termelt mennyiségek összességükben hogyan (hány százalékkal) változtak, vagyis hogyan változott a termelés volumene a bázisidőszakról a tárgyidőszakra. 97 / 189