6. Minısítéses ellenırzı kártyák

Átírás

1 6. Miısítéses elleırzı kártyák Sokszor elıfordul, hogy a termék-egyedek miıségét em tudjuk mérhetı meyiségekkel jellemezi, csak megfelelı/em megfelelı kategóriákba sorolhatjuk ıket, és a hibás darabokat, vagy az elıforduló hibákat számláljuk le. Ezt evezzük miısítéses elleırzések. Egyes esetekbe a termék jellege olya, hogy csak így kategorizálhatuk, l. va-e az alkatrésze sorja, va-e szí-elcsúszás a yomtatásál. Más esetekbe lehete ugya méri a jellemzıt, de léyegese olcsóbb csak miısítei egy idomszerrel (agyobb-e a geometriai mérete az elıírtál vagy em). Az is lehetséges, hogy egy termék többféle, egyekét mérhetı tulajdoságát szitetizáljuk miısítéssé. Ilyekor legegyszerőbb esetbe azt veszik föl adatkét, hogy a vizsgált darab közül háy volt em-megfelelı, ill. a selejt aráyát. Ebbıl készül az -kártya és a - kártya. Az is lehet, hogy a vizsgált egységbe tartozó (l. 5 darab, vagy egy doboz, vagy egy a alatt gyártott) valameyi termék-egyede elıforduló hibák száma az adat (ckártya), vagy a termék valamilye egységé (l. egységyi felülete) elıforduló hibák száma (u-kártya). A miısítéses elleırzı kártyákat evezik selejt- ill. hiba-kártyákak is. A gyártásközi elleırzés célja itt is az, hogy megállaítsuk, az eloszlás aramétere (biomiális eloszlás eseté, Poisso-eloszlás eseté λ) em változott-e meg az elôzetes adatfelvételhez kéest. Az elızetes adatfelvétel célja az, hogy az eloszlás tíusát meghatározzuk, és aramétereit becsüljük. A miısítéses elleırzı kártyák készítését és alkalmazását az MSZ 46/3-57 magyar szabváy írja elı. E köyvbe csak a Shewhart-tíusú kártyákkal foglalkozuk, de megjegyezzük, hogy a miısítéses jellemzıkre is lehet CUSUM és más elleırzı kártyákat is készítei (Motgomery, 99) kártya Itt a vizsgált jellemzı a selejtaráy, a hibás darabok száma az egész sokaság elemeiek számához viszoyítva. Ha em az összes termék-éldáyt vizsgáljuk meg, csak mitát veszük belılük, akkor becslése a mitabeli selejtaráy, vagyis a talált selejtes darabok D számáak és a mita elemszámáak háyadosa: ɵ D Azt, hogy az elemő mitába véletle kiválasztással háy selejteset találuk, a biomiális eloszlás írja le (ld. az. fejezetbe). A selejtes darabok D számáak várható értéke és variaciája: E D, 78

2 ( ) Var D. Mithogy általába em visszatevéses mitavételt végezek, a biomiális eloszlás csak akkor alkalmazható, ha a mita elemszáma léyegese kisebb a sokaság elemszámáál ( < N ). A selejtes darabok számára voatkozó Shewhart-kártya az ú. -kártya. Közévoala vagy aak becslése, a beavatkozási határokat a ±3σ koveció szerit szokás vei: CL, UCL + 3, LCL 3, m ɵ i i ahol m m i D m i (ha mide mita elemő). Ha az alsó beavatkozási határra egatív érték adódik a kéletbıl, helyette zérust veszük. Ha a biomiális eloszlású valószíőségi változót (a k selejtszámot) ormális eloszlásúval közelítjük, u k ( ), és a ±3σ kovecióval kiszámított beavatkozási határokhoz az elsıfajú hiba valószíősége.7. Ameyire a biomiális eloszlás eltér a ormális eloszlástól, ayira tér el az elsıfajú hiba téyleges α valószíősége a ormális eloszlás eseté a ±3σ határokhoz tartozó.7-tôl. Az elızetes adatfelvétel célja itt is a folyamat araméteréek (-ek) a becslése, egyúttal a folyamat stabilitásáak vizsgálata. Akkor fogadjuk el a becsült aramétert (és az eek alajá számolt beavatkozási határokat), ha a folyamat kézbetartottak (stabilak) mutatkozik. Ezt ugyaúgy, mit a méréses esetbe, elleırzı kártya felvételével elleırizzük, mert ekkor a miták egymásutáiságába rejlı iformációt is haszosítjuk. A kártyá az egyes mitákhoz tartozó értékeket, vagyis a selejtes darabok számát ábrázoljuk a mita sorszáma (vagy a mitavétel idıotja) függvéyébe. A otok meetéek vizsgálatára itt is haszálhatuk ru teszteket (3.4. ot), de a méréses esetbe megismertek közül csak azokat, amelyek em igéylik ormális eloszlás feltételezését (vagyis csak a em-araméteres róbákat), ugyais em átlag-értékeket ábrázoluk, tehát a cetrális határeloszlási tétel sem teszi adataikat közel ormális eloszlásúvá. Ha kiugró érték (vagy más redelleesség) va, az ok azoosítása utá a hozzá tartozó otokat elhagyjuk, és a aramétereket (CL, UCL, LCL ) újra kiszámoljuk. Ha em találuk okot, kétfélekée döthetük: 79

3 Kihagyjuk így is a otokat, ekkor azt kockáztatjuk, hogy az idokoltál szőkebbek leszek a beavatkozási határok. Nem hagyjuk ki a kérdéses otokat, ez azzal járhat, hogy a helyesél szélesebbek leszek a beavatkozási határok; ha elég sok otra alaozzuk a becslést, az eltérés em lesz túlságosa agy. A folyamat taulmáyozása sorá szükség lehet arra, hogy az adatfelvétel két szakaszát összehasolítsuk, vagyis azt a ullhiotézist vizsgáljuk, hogy a selejtszám (selejtaráy) a két szakaszba azoos. Ha egy-egy mita összehasolítása a feladat, a otba leírtak szerit járuk el. Ott a biomiális eloszlású valószíőségi változót ormális eloszlásúval közelítettük, a helyettesítı ormális eloszlás variaciáját az ismeretle araméter mitabeli becslésébıl számoltuk. Ha a két szakasz több mitából áll, a több mitából kiszámolható átlagos selejtaráy a cetrális határeloszlási tétel értelmébe akkor is jó közelítéssel ormális eloszlású, ha az egy mita selejtaráya még em lee elég közel a ormális eloszláshoz ( kicsi vagy agy, em elég agy). Ráadásul itt a variaciát sem kell az ismeretle araméter mitabeli becslésébıl számoluk, haem több ismétlés lévé, taasztalati szóráségyzetet haszálhatuk. Ekkor viszot em u-, haem t-róbát végzük. Jelölje az elsı szakasz átlagos selejtaráyát I, a másodikét II, ekkor a ullhiotézis és ellehiotézis: H : E E ; H : E E. I II I II A róbastatisztika: t I s I II s + II. 6-. élda Legye a miták elemszáma, az elsı szakaszba vett mita átlagos selejtaráya., a selejtaráy korrigált taasztalati szóráségyzete.; a második szakaszba vett 8 mita átlagos selejtaráya.8, a selejtaráy korrigált taasztalati szóráségyzete.85. Dötsük el.5-os szite, hogy a selejtaráy a két szakaszba azoos-e! ; H : E E H : E E t I II I II I s I II s + II

4 A szabadsági fokszámhoz és α.5 szigifikaciaszithez tartozó kritikus érték a függelék III. táblázatából.. Mivel a róbastatisztika talált értéke ez alatt va, elfogadjuk a ullhiotézist, mely szerit a két szakaszba a selejtaráy csak a véletle igadozás miatt külöbözik. 6-. élda Egy gée gyártott csaágygolyókból félórákét 5 elemő mitákat veszük. A 6-. táblázat mutatja a selejtes (em megfelelı mérető) darabok számát (): 6-. táblázat idıot 8: 8:3 9: 9:3 : :3 : : idıot : :3 3: 3:3 4: 4:3 5: 5: Készítsük -kártyát az adatokból, feltételezve, hogy elızetes adatfelvételél katuk ıket! A kártya araméterét az adatokból kell becsüli. Ez az átlagos selejtszám 4.65-ek adódik, ez lesz a közévoal helye. Az átlagos selejtaráy:. 95. A fölsı beavatkozási határ UCL Az alsó beavatkozási határra -.5 adódék, helyette zérust veszük. A kártya a 6-. ábrá látható Mita. 8

5 6-. ábra. -kártya a 6-. éldához, a STATISTICA rogrammal A gyártásközi elleırzésél az elızetes adatfelvételél kaott araméterekkel (CL, UCL, LCL ) éítjük föl az -kártyát. Ha elıírt értéke áll redelkezésre, a fötebbi kéletekbe azt helyettesítjük. Ez, mit a méréses elleırzı kártyákál, azért kockázatos, mert esetleg akkor is istabilak miısítjük a folyamatot, ha stabil, csak em az elıírt a araméter, haem aál agyobb vagy kisebb a téyleges selejtaráy. A miták elemszámát célszerőe agyra szokták választai, külöbe agyo bizoytalaok leéek a statisztikai következtetések. Pyzdek szerit ökölszabály, hogy >5 legye, így ha l..3, >5/.366.7, vagyis legalább 67 elemő mitát kell vei. Arra is törekszeek, hogy a em-megfelelı darabok elıfordulási valószíősége jeletıs legye, mert csak ekkor kauk értékelhetı iformációt a hibás darabok 4 4 aráyáról. Pl. ha.3, 4 elemő mitából aak valószíősége, hogy em fordul elı hibás darab, ugyaez 8 elemő mitáál Vagyis 4 elemő mitákál esetbıl átlagosa harmicszor fordula elı, hogy egyetle hibás sics, 8 elem eseté mitából csak kb. 9 esetbe fordul elı, hogy ics bee hibás élda 8 Miimálisa háy elemő mitákat kell veük, ha azt akarjuk, hogy 99% valószíőséggel találjuk legalább hibás darabot, vagyis P(D>).99, ameyibe.3? A biomiális eloszlás összefüggéseivel számoluk. P( D > ) P( D ) l. 5. l. 97 Tehát a szükséges mitaelemszám 5. Ameyibe a sokaságbeli selejtaráy kicsi, a ormális eloszlás közelítı összefüggésével számolva az alsó beavatkozási határra egatív szám adódik, ezt zérusra igazítjuk. Ha azt akarjuk, hogy az alsó beavatkozási határ zérus fölött legye, a következı feltételek kell teljesülie: LCL 3 >.

6 Ebbıl a szükséges mitaelemszám: ( ) 9 > élda Meyi az ahhoz szükséges miimálisa szükséges mitaelemszám az elıbbi.3 eseté, hogy az alsó beavatkozási határ zérus fölött legye? 9 > További szemot a mita agyságáak megválasztására az adott selejtaráykülöbséghez tartozó másodfajú hiba agysága. Szokás éldául vizsgáli [Duca (974), idézi Motgomery, 99,.6], mekkora miták kelleek, ha azt akarjuk, hogy 5% biztosággal észrevegyük a zavar felléése utái elsı mitavételél a agyságú változást (övekedést) -be (vagyis az ekkora eltéréshez tartozó másodfajú hiba elkövetéséek valószíősége.5 legye). A 6-. ábra szerit a fölsı beavatkozási határ ekkor meg kell, hogy egyezzék az ellehiotézis szeriti értékkel. (Vigyázat, ez az elıírás már meghatározza az elsıfajú hiba megegedett valószíőségét!) 3 ( ), ahoa ( ) 9. β.5 α ill. α 6-. ábra. A β. 5 valószíőségő másodfajú hiba szemléltetése 6-5. élda 83

7 Háy elemő mitákat kell ahhoz veük, hogy a változást követı elsı mitavételél 5%-os valószíőséggel észrevegyük, hogy a selejtaráy 5%-ról %-ra ıtt (.5 és.)? , tehát legalább 7 elemő mitákra va szükség élda Számítsuk ki az -kártya aramétereit 4 elemő mitákra és.5 selejtaráyra a ±3σ koveció szerit (vagyis a biomiális eloszlás ormális eloszlással való közelítésével)! A kártya közévoala: CL 4. 5, UCL LCL Ha egész értékre kerekítük, ezt a közévoaltól elfelé kell tei. UCL 34 azt jeleti, hogy beavatkozásra va szükség, ha x 34, de x 33-ál még em. LCL 6 azt jeleti, hogy a folyamat stabilitására voatkozó ullhiotézist akkor utasítjuk el, ha x 6 és elfogadjuk, ha x > 6. Számítsuk ki a másodfajú hiba valószíőségét és az átlagos sorozathosszt arra az esetre, ha. ill..5, vagyis aak valószíőségét, hogy e vegyük észre, ha a selejtaráy kétszeresére ıtt ill. felére csökket! β P 6 < x < 34 β UCL F u UCL F ulcl Φ Φ LCL ( ) ( ) A Φ itt most az u-eloszlás (stadardizált ormális eloszlás) eloszlásfüggvéyét jelöli. Mithogy diszkrét eloszlást (a biomiális eloszlást) helyettesítük folytoossal, az ú. folytoossági korrekciót is alkalmazi kell. A. ellehiotézisre: β Φ ( ) Φ ( )

8 A.5 ellehiotézisre: Φ Φ β Φ Φ Φ Φ Vagyis aak valószíősége, hogy e vegyük észre, ha a selejtaráy kétszeresére ıtt, csak 4%, de aak valószíősége, hogy e vegyük észre, ha a selejtaráy felére csökket, már 87%! Az átlagos sorozathossz, amely megváltozásáak észleléséhez szükséges,. eseté ARL 6., β hez ARL Számítsuk most ki a másodfajú hiba valószíőségét arra az esetre, ha.6 ill..4, vagyis aak valószíőségét, hogy e vegyük észre, ha a selejtaráy %-kal ıtt ill. csökket! β UCL F u F u UCL LCL Φ Φ A.6 ellehiotézisre: β Φ LCL ( ) ( ) ( ) Φ ( ) A.4 ellehiotézisre: β Φ Φ Φ ( ) Φ ( ) Φ Φ Vagyis aak valószíősége, hogy e vegyük észre, ha a selejtaráy %-kal ôtt, 97.7%, aak valószíősége, hogy e vegyük észre, ha a selejtaráy %- kal csökket, 99.%! Az átlagos sorozathossz, amely megváltozásáak észleléséhez szükséges, 85

9 .6 eseté ARL 43. 8, β höz ARL élda Számítsuk most ki az elsı- és másodfajú hiba valószíőségét a 6-6. éldabeli beavatkozási határokra, de a biomiális eloszlás otos kéleteivel! A 6-. táblázat (amelyet a STATISTICA rogrammal állítottuk elı) tartalmazza a 4 elemő mitára az egyes k selejtszámokhoz tartozó eloszlásfüggvéy-értékeket vagy kumulált valószíőségeket (vagyis aak valószíőségét, hogy a selejtszám k-ál kisebb, vagy azzal egyeértékő). A táblázat elıállításáak megértéséhez a.5 araméter-értékhez feltütettük az egyes k selejtaráyok elıfordulási valószíőségét, vagyis a sőrőségfüggvéy értékét. Emlékeztetıül: F ( ) P( D k) k. Például: (. 5) ; és mivel (. 5) (. 5) (. 5) (. 5), 4 F k , k (. 5) ; F k k 86