AZ ÉPÍTÉSZEK MATEMATIKÁJA, I

Átírás

1 BARABÁS BÉLA FÜLÖP OTTÍLIA AZ ÉPÍTÉSZEK MATEMATIKÁJA, I Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Godozó Szakmai vezető Lektor Techikai szerkesztő Copyright Barabás Béla, Fülöp Ottília, BME

2 Speciálisa az építészmérök hallgatók számára felépített elméleti ayag az elmélet megértését segítő feladatokkal. A taayag az építészekek szükséges mélységbe és részletezettséggel tárgyalja a következő témaköröket: umerikus sorozatok; egyváltozós függvéyek határértéke, differeciálszámítás és alkalmazásai, itegrálszámítás és alkalmazásai, vektoralgebra, a tér aalitikus geometriája, mátrialgebra, lieáris egyeletredszerek. Kulcsszavak: umerikus sorozat, függvéy határérték, folytoosság, differeciálszámítás, differeciálszámítás alkalmazási, éritő, szélsőérték, itegrálszámítás, terület, térfogat, ívhossz, súlypot, felszí, görbület, paraméteres görbék, mátri, lieáris egyeletredszer. Barabás Béla, Fülöp Ottília, BME

3 Támogatás: Készült a TÁMOP-4..-8//A/KMR-9-8 számú, a Természettudomáyos (matematika és fizika) képzés a műszaki és iformatikai felsőoktatásba című projekt keretébe. Készült: a BME TTK Matematika Itézet godozásába Szakmai felelős vezető: Fereczi Miklós Lektorálta: Sádor Csaba Az elektroikus kiadást előkészítette: Erő Zsuzsa Címlap grafikai terve: Csépáy Gergely László, Tóth Norbert ISBN: Copyright: 6, Barabás Béla, Fülöp Ottília, BME A termiusai: A szerző evéek feltütetése mellett em kereskedelmi céllal szabado másolható, terjeszthető, megjeletethető és előadható, de em módosítható. Barabás Béla, Fülöp Ottília, BME

4

5 Tartalomjegyzék TARTALOMJEGYZÉK. Bevezetés...3. Numerikus sorozatok fogalma, határértéke Koverges és diverges sorozatok Néháy evezetes sorozat határértéke Függvéyek Elemi függvéyek Iverz elemi függvéyek Függvéyhatárérték-defiíciók Függvéyhatárértékkel kapcsolatos tételek Folytoos függvéyek Zárt itervallumo folytoos függvéyek tulajdoságai Differeciálszámítás A differeciálháyados fogalma, differeciálási szabályok Elemi függvéyek deriváltja és egyéb deriválási szabályok Középértéktételek, L Hospital-szabály A differeciálháyados alkalmazásai Szélsőértékek és ifleiós potok létezéséek szükséges és elégséges feltételei Alkalmazott optimalizációs problémák: szöveges szélsőérték-feladatok Függvéyábrázolás az eddig taultak haszálatával Egyéb alkalmazások: függvéyek éritkezése, Taylor-poliom Itegrálszámítás Rövid áttekités Primitív függvéyek Itegrálási techikák Határozott itegrál A határozott itegrál rövid geometriai iterpretációja A határozott itegrállal kapcsolatos legfotosabb tételek Az aalízis alaptétele Improprius itegrál Az itegrálszámítás alkalmazásai Vektorok Lieáris tér (vektortér) Lieáris altér Mátriok Az m -es mátriok vektortere a valós számhalmaz felett Mátriok szorzása Lieáris traszformációk (leképezések)... 6 Barabás Béla, Fülöp Ottília, BME

6 Az építészek matematikája, I 8. Determiások Másod- és harmadredű determiások A másod- és harmadredű determiások alkalmazásai, geometriai iterpretációk Az -edredű determiás és tulajdoságai Mátri iverzéek kiszámolása a determiás segítségével Koordiátageometria Egyees és sík Illeszkedési és metszési feladatok a térbe Térelemek távolsága Hajlásszögek... 7 PÉLDATÁR... 7 Barabás Béla, Fülöp Ottília, BME

7 . Bevezetés 3. Bevezetés Amikor mi, laikusok távolról közelítük meg egy építméyt, figyelmük fokozatosa terelődik át az egészről a részletekre, szem előtt tartva a teljes egységet, a kocepciót, a fizikai köryezet által meghatározott feltételeket, az aráyokat, a szimmetriát, a szíeket, fiomságot, féy és áryék kölcsöhatását és a harmóiát. Az ókori görögök, főleg Püthagorasz és követői, a püthagoreusok szerit a tökéletes harmóia (azaz kapocs) a legkisebb természetes számok aráyaival fejezhető ki. A püthagoraszi harmóiára egyik legszebb példák a következő: ha egy háromszög oldalaiak aráya 3:4:5, akkor a háromszög derékszögű. Ez éppe Püthagorasz tételéből következik, mert Az igazság kedvéért meg kell itt említeük, hogy bár a matematikatörtéet ezt Püthagoraszak tulajdoítja (hisze ő bizoyította), a babiloiak is haszálták ezt egy évezreddel Püthagorasz előtt, azzal a külöbséggel, hogy ők em tudták, hogy ez igaz valameyi derékszögű háromszögre. A Püthagorasz-tétel (másképpe írva Pitagorasz-tétel) tulajdoképpe közvetle őse a agy Fermat-sejtések (amit érdekes módo, bár 994-be boyolult matematikai módszerekkel bizoyítottak, előszeretettel továbbra is sejtések evezük). Ez a sejtés a püthagoraszi alapokat kapcsolja össze a matematika legboyolultabb elképzeléseivel, ami több mit három évszázado át leyűgözte a matematikustársadalmat. Maga a feladat olya egyszerű, hogy egy kisiskolás is megértheti. 67-be Toulouse-ba Pierre de Fermat (6 665) fracia matematikus és jogász halála utá megjelet a Diophatosz Arithmeticája Pierre Fermat megjegyzéseivel című kötet, melybe Fermat a 8. probléma tőszomszédságába széljegyzetkét kijeletette, hogy az Barabás Béla, Fülöp Ottília, BME

8 4 Az építészek matematikája, I y z egyeletek bármilye rögzített 3,4,5,... számra icse pozitív egész, yz, megoldása. Matematikusok emzedékeit őrjítette meg igerkedő megjegyzésével, amit szité ide írt be: Igazá csodálatos bizoyítást találtam erre a tételre, de ez a margó túl keskey, semhogy ideírhatám. (Lásd Simo Sigh, A agy Fermat-sejtés, Park Köyvkiadó, Budapest, 999.) Hogy miért említjük ilye részletességgel ezt az érdekes, püthagoraszi gyökerekkel redelkező, de csak a múlt évszázad végé bizoyított feladatot? Többek között azért, mert az előadáso elhagzó tételeket (legtöbbjüket itt em is bizoyítjuk) évek múltá köye elfelejthetik, ezt valószíűleg em. Míg az itt tault matematikatételek agy többségéek az utca embere hátat fordítaa, még a Fermat-sejtés bizoyítása előtti időkbe, New Yorkba, a Nyolcadik utcai metróállomás falá a következő falfirka jelet meg: y z : ics megoldás. Igazá csodálatos megoldást találtam erre a tételre, de most ics időm ideíri, mert jö a metró. Az aráy (pl. 3:4) eve görögül logosz, az aráypáré (pl. 6:8=9:) pedig aalógia. A görögök szerit világszemléletük három alapfogalma a harmóia, a logosz és a szimmetria. Adrea Palladio (58 58) észak-itáliai építész hitvallása szerit egy valamirevaló épületek hármas követelméyek kell megfelelie: kéyelem, tartósság, szépség, ha ezek közül valamelyik is hiáyzik, az épület em méltó evére. Palotáival és villáival, új aráyaival, tiszta voalvezetésével a reeszász építészet egyik legtermékeyebb mesterévé vált, megszámlálhatatla követővel. A Villa Capra La Rotoda matematikai precizitással kiszámolt aráyossággal redelkező Palladio-villa terveit a római Patheo ihlette és Viceza városá kívül, egy dombtetőre épült. Elevezése, a La Rotoda a közpoti, kör alakú kupolás hallra utal. Az épület a fet említett credo mide egyes potjáak megfelel, szimmetrikus szerkezeteit, díszítőelemeit, klasszikus formáit több mit égyszáz évig utáozták. Amikor Püthagorasz Hippaszosz evű fiatal taítváya felfedezte, hogy a (pl. az egységyi oldalú égyzet átlójáak hossza) em fejezhető ki két természetes szám háyadosakét, tehát a püthagoreus értelembe véve em szám, a püthagoreusok egész világszemlélete összeomlott. Úgyhogy ikább vízbe fojtották Hippaszoszt és továbbra sem vettek tudomást az ilye számok létezéséről. Talá ez az egyetle dicstele tett, ami a evükhöz kapcsolható. A -t és az irracioális számokat csak a mester halála utá merték újra életre keltei. Vegyük most egy és oldalú téglalapot. Megkétszerezve a rövidebbik oldalt, és oldalú téglalapot kapuk, ami ugyaolya aráyú, mert : :. Ez azt mutatja, hogy két egyforma papírlapot ügyese egymás mellé rakva olya agyobb lapot kapuk, mely hasoló az eredetihez. Ha egy egységyi hosszúságú szakaszt úgy osztuk két részre, hogy a kisebbikek és a agyobbikak az aráya egyelő legye a agyobbikak és az egészek az aráyával, azaz a agyobbik részt -szel jelölve, másodfokú egyeletet kapuk, melyek egyetle 5 pozitív megoldása az és ekkor a agyobbik és kisebbik aráya 5, az araymetszési aráy. Az araymetszésről Velecébe, 59-be Fra Luca Paccioli De Divia Proportioe címmel köyvet írt, melyet barátja, Leoardo da Vici illusztrált. Nézzük meg az araymetszés egyéb előfordulását is. Fiboacci, a középkor kiemelkedő matematikusa, körül, yulak szaporodását vizsgálva, bevezette és taulmáyozta a következő umerikus sorozatot:,,,3,5,8,3,,, azaz általáosa u u u. A Fiboacci-sorozat egymást követő tagjaiak háyadosa: ; ;,5;,666;,6;,65;,653,..., az araymetszés értékéhez tart. Barabás Béla, Fülöp Ottília, BME

9 . Bevezetés 5 A Fiboacci-számok aráyai a természetbe is megtalálhatók: a szilvafa gallyai a levelek általába félfordulatra követik egymást, a bükkél, mogyoróál ez /3, a tölgyél, sárgabarackál /5, körtefáál, yárfáál 3/8, maduláál, fűzfáál 5/3, és így tovább. Ezek az aráyok éppe a másodszomszéd Fiboacci-számok aráyai. Kepler szerit éppe az araymetszés adta az ötletet a Teremtőek, hogy bevezesse a hasoló dolgokak hasoló dolgokból való származtatását. Bevezetők em teljes, ha em teszük említést a párhuzamos egyeeseket időkét metszőkek ábrázoló perspektivitásról. A perspektív traszformáció a reeszász ideje alatt terjedt el, főkét a firezei Filippo Bruelleschiek köszöhetőe. Taítváya, Masaccio olya Szetháromság-képet festett a firezei Sata Maria Novella templom falára, hogy azt hitték, áttörték a templom falait. Ahogy a perspektivitás em a végső szó a traszformációk világába, úgy Bruelleschi sem az az építészetbe. Azóta is agyszerű megoldások, kocepciók születek, egyre újabb harmóiákat teremtük, igyekezvé miél jobba kihaszáli a redelkezésükre álló matematikai eszközöket, lehetőségeiket és képzeletüket. I am certai of othig, but the holiess of the heart s affectios ad the truth of Imagiatio What the Imagiatio seizes as Beauty must be Truth. (Joh Keats, Letter, November, 87.) Barabás Béla, Fülöp Ottília, BME

10 6 Az építészek matematikája, I. Numerikus sorozatok fogalma, határértéke.. Koverges és diverges sorozatok... Defiíció: A természetes számoko értelmezett N R valós értékű függvéyeket sorozatokak evezzük. Például: a) b),,,,..., azaz 3 4,,,,..., azaz 3 4 c),,,,..., azaz a a, ( ), d),4,9,6,..., azaz e),, 3, 4, f) 3 4,,,, , azaz a, a,, azaz a g),,,, , azaz a,, a.... Megjegyzés: A sorozat ideezését kezdhetjük -val, sőt, egy,,,... mm m R függvéyt is sorozatak evezük, ameyibe m tetszőleges természetes szám. Ekkor az jelölést haszáljuk. a m..3. Defiíció: Az a m sorozat (mooto) övekedő, ha mide N eseté szigorúa övekedő, ha mide a a, N eseté a a, a a, N eseté a a. (mooto) csökkeő, ha mide N eseté szigorúa csökkeő, ha mide..4. Megjegyzés: A feti példákba az a) és g) szigorúa csökkeő, d) és e) szigorúa övő, b), c) és f) sorozat alteráló előjelű, tehát em mooto. a..5. Defiíció: Az sorozat korlátos, ha létezik olya A és B szám, amelyekkel mide N eseté teljesül az Aa B egyelőtleség (ekkor az A-t a sorozat egy alsó korlátjáak, B-t pedig egy felső korlátjáak evezzük)...6. Megjegyzés: A feti példákba a d) sorozat em korlátos, a többi ige...7. Defiíció: A h R számot az a sorozat határértékéek (vagy limeszéek) evezzük, ha tetszőleges pozitív -hoz található mide eseté az a h egyelőtleség teljesül. N természetes szám (küszöbszám) úgy, hogy Barabás Béla, Fülöp Ottília, BME

11 . Numerikus sorozatok fogalma, határértéke Megjegyzés: A határérték előbbi defiíciója úgy is megfogalmazható, hogy mide ide eseté a sorozat tagjaiak a h, h yílt itervallumba kell esi. Ez egybe azt is jeleti, hogy eze az itervallumo kívül legfeljebb darab, azaz véges sok sorozatelem lehet. A határérték jelölésére az alábbi kifejezést haszáljuk: lim a h vagy a h. Szokás ilyekor azt modai, hogy a tart h-hoz, vagy a kovergál h-hoz...9. Megjegyzés: Ha egy sorozatak va határértéke, akkor azt modjuk, hogy koverges, ha ics, akkor divergesek evezzük. Hagsúlyozzuk, hogy a végtele em valós szám, tehát a feti defiíció értelmébe em lehet egy sorozat határértéke. Eek elleére szoktuk arról beszéli, hogy egy sorozat végtelehez tart. Ezt a következőképpe kell értei:... Defiíció: Az a bármely valós k számhoz található az a k sorozat végtelehez tart, (avagy mide határo túl övő) ha N természetes szám úgy, hogy mide eseté egyelőtleség feáll. Jelölése: lim a. Hasolóa defiiálható a mide határo túl csökkeő sorozat (azaz amikor bármely valós K számhoz található természetes szám úgy, hogy mide lim a.... Példa: Igazoljuk, hogy lim. eseté az a N K egyelőtleség feáll. Jelölése: Megoldás: Tekitsük egy tetszőleges számot. Belátjuk, hogy találuk olya N természetes számot, hogy mide eseté az (mivel ). Ameyibe az N küszöbszámot -ak választjuk, ez telje- sül, tehát lim.... Tétel: Ha az a sorozat koverges, akkor korlátos. Bizoyítás: Legye egyelőtleség teljesül. lim a h és tekitsük az számot. A határérték defiíciója értelmébe létezik N természetes szám (küszöbszám) úgy, hogy mide eseté az h a h egyelőtleség teljesül. Vezessük be a következő jelöléseket: a,..., a, h és M : ma a,...,, h m: mi a. Ekkor yilvá ma M N...3. Defiíció: A t számot a sorozat torlódási potjáak evezzük, ha va a sorozatak a t számhoz kovergáló részsorozata. A -t és -t is a sorozat torlódási potjáak tekitjük, ha va a sorozatak mide határo túl övő illetve csökkeő részsorozata...4. Következméyek:. Mide határérték egybe torlódási pot is. (Ez a defiíciók azoali következméye.) Barabás Béla, Fülöp Ottília, BME

12 8 Az építészek matematikája, I. Ha egy t szám torlódási potja az a t t sorozatak, akkor bármely eseté a, itervallumba (azaz a t szám sugarú yílt köryezetébe) végtele sok sorozatelem va. 3. Ha egy sorozatak va határértéke, akkor egyetle egy va. Bizoyítás: Tegyük fel idirekt, hogy az a sorozatak két külöböző határértéke is va, k l jelölje ezeket l és k és legye l k. Tekitsük az : számot. Ekkor yilvá az l sugarú yílt köryezete és a k sugarú yílt köryezete diszjuktak (em metszik egymást). lim a l, így az előbb rögzített -hoz létezik egy N küszöbszám, hogy mide ide eseté a sorozat tagjaiak a, l l yílt itervallumba kell esi. De k is az a sorozat határértéke, ezért ugyaahhoz az -hoz létezik egy m N küszöbszám, hogy mide m ide eseté a sorozat tagjaiak a k, k yílt itervallumba kell esi. Le- N. Ekkor mide eseté az a midkét köryezetek eleme, gye : ma, m ami elletmodás, hisze azok diszjuktak voltak. N 4. Ha egy korlátos sorozatak egyetle torlódási potja va, akkor koverges. 5. Ha egy sorozat mooto és korlátos, akkor koverges. 6. Mide a sorozatból kiválasztható mooto (övekedő vagy csökkeő) részsorozat...5. Bolzao Weierstrass-tétel: Korlátos sorozatak va koverges részsorozata. Bizoyítás: A 6. tulajdoság alapjá az adott korlátos sorozatak va mooto részsorozata. Nyilvá e mooto részsorozat is korlátos, tehát az előbbi következméyek közül az 5. miatt koverges is...6. Cauchy-féle kritérium: Az a sorozat akkor és csak akkor koverges, ha tet- N természetes szám (küszöbszám) úgy, hogy mide egyelőtleség teljesül. szőleges pozitív -hoz található m, eseté az a a m..7. Megjegyzés: Cauchy-sorozatokak evezzük azokat a sorozatokat, amelyek redelkezek a Cauchy-féle kritériumba szereplő tulajdosággal. Ezek szerit a Cauchy-kritérium azt modja ki, hogy egy sorozat akkor és csak akkor koverges, ha Cauchy-sorozat. A Cauchy-féle kritérium bizoyítását itt most em adjuk meg, bár az egyik iráy (a szükségesség) a háromszög egyelőtleség miatt rögtö adódik. Eek elleére szükségesek éreztük magát a kritériumot megemlítei, mert a szakirodalomba számos helye találkozhatak a Cauchy-sorozat elevezéssel...8. Tétel (Összeg, külöbség, szorzat, háyados határértéke): Ha az sorozat koverges és határértéke a, valamit a b lim a b lim a lim b a b, a sorozat is koverges és határértéke b, akkor: Barabás Béla, Fülöp Ottília, BME

13 . Numerikus sorozatok fogalma, határértéke 9 lim a b lim a lim b a b, lim a b lim a lim b a b. Ha még az is teljesül, hogy b, akkor a lim b lim a a. limb b Határérték-számításál először is behelyettesítük. Ameyibe kokrét szám, vagy a helyettesítés-eredméy, késze vagyuk. Legtöbbször azoba a,,,,,, alakú határozatla kifejezések (esetek) valamelyike áll fe, a feladat megoldása em ilye egy- szerű, szükségük lehet a következőkre:..9. Tétel ( redőrelv vagy szedvicstétel ): Ha mide N eseté az a u b egyelőtleség teljesül és lim a lim b u, akkor létezik az sorozat határértéke és lim u u. si... Példa: Számítsuk ki a lim határértéket. si Megoldás: Mivel si, ezért. Tudjuk, hogy lim lim, így a redőrelv miatt.. Néháy evezetes sorozat határértéke u si lim.... Tétel: A következő állítások midegyike igaz:., haq lim q, haq, diverges, egyébkét. lim k a, ha a és k N, a 3. lim, tetszőleges a R eseté,! 4. lim e. Néháy bizoyítás: Az. bizoyításához felhaszáljuk a Beroulli-egyelőtleséget: Barabás Béla, Fülöp Ottília, BME

14 Az építészek matematikája, I... Segédtétel (Beroulli-egyelőtleség): Ha N tetszőleges természetes szám, és a h R valós szám eleget tesz a h és h feltételekek, akkor h 3 Bizoyítás: A q qq q q q h. q q azoosságba a jobb oldalo álló db. zárójeles kifejezés között a q a legkisebb, akár q, akár q. Ezért midkét esetbe q q. Ie q h helyettesítéssel kapjuk a bizoyítadó állítást.. bizoyítása q eseté (a többi eset triviális). Vezessük be az h jelölést. Nyilvá q q miatt h. Továbbá Most q q. h h h h lim miatt a jobb oldal -hoz tart. Ezzel bizoyítottuk az állítást. A 4. határérték létezéséek bizoyítása 3 lépésből áll: Az. lépésbe megmutatjuk, hogy az u sorozat szigorúa övő. A. lépésbe megmutatjuk, hogy a v sorozat szigorúa csökkeő. Az u v egyelőtleségből következik, hogy midkét sorozat korlátos, tehát koverges. lim v u, azaz a két sorozatak közös határ- A 3. lépésbe megmutatjuk, hogy értéke va, ezt pedig e-vel jelöljük, tehát lim e. Az. lépésbe igazoluk kell, hogy Szorozzuk meg midkét oldalt -gyel. Ekkor kapjuk, hogy, azaz ugyaaz, mit. Ez pedig a Beroulli-egyelőtleség miatt igaz. A. lépés igazolása ugyaígy törtéhet: az állítás a következő, azaz.., ami Szorozva -el, adódik, hogy. Ez pedig azért igaz, mert ha a bal oldalra alkalmazzuk a Beroulli-egyelőtleséget, akkor Barabás Béla, Fülöp Ottília, BME

15 . Numerikus sorozatok fogalma, határértéke. Végül a 3. lépés: v u 4. Az utolsó egyelőtleségél felhaszáltuk, hogy u v v 4. Megjegyzés: Az e~,78888 szám a természetes logaritmus alapja, irracioális szám (köyű megjegyezi az első tizedesjegy utái 8888 számjegyeket, mert a Háború és béke írója, Lev Nikolajevics Tolsztoj születési éve 88). 873-ba Charles Hermite (8 9) fracia matematikus bizoyította, hogy az e szám egybe traszcedes is (azaz em gyöke egyetle racioális együtthatójú poliomak sem)...3. Megjegyzés: A. és 3. határértékeket köyebb megjegyezi (sőt újakat is felírhatuk), ha figyelembe vesszük, hogy «e «! «k...4. Példák: Számítsuk ki a b sorozat határértékét, ha. b (mid a számlálóba, mid pedig a evezőbe előforduló legmagasabb hatváyát emeltük ki, ez midkét helye volt, így egyszerűsítettük -el). Megoldás: b Számítsuk ki a 3 c sorozat határértékét, ha 3 75 c Megoldás: c (itt pedig a számlálóba is és a evezőbe is a 6 -t emeltük ki, mert aak volt abszolút értékbe legagyobb az alapja, ezzel egyszerűsítettük itt is). Barabás Béla, Fülöp Ottília, BME

16 Az építészek matematikája, I 3. Függvéyek 3.. Elemi függvéyek 3... Defiíció: Legyeek H R és K R valós számhalmazok. Redeljük hozzá mide H számhoz egyetle y K számot. Az ilye egyértelmű hozzáredelést függvéyek evezzük. ab itervallumo kove, ha bármely és ab, és f f, eseté a következő egyelőtleség áll fe: f f Defiíció: Az f függvéy az, Hasolóa defiiáljuk a kokáv függvéyt is, csak ott az egyelőtleség fordított iráyú. Szoktuk még modai, hogy kove egy függvéy, ha grafikoja megtartja a vizet, pl. az 3 csak a itervallumo kove, a, itervallumo pedig kokáv., ab, Ameyibe bármely eseté az f grafikojához létezik egyértelmű éritő egyees, az f függvéyt lokálisa koveek evezzük egy adott ab, potba, ha létezik -ak olya köryezete, melybe a függvéy grafikoja az éritő fölött helyezkedik el, lokálisa kokávak pedig abba az esetbe, ha ha létezik -ak olya köryezete, melybe a függvéy grafikoja az éritő alatt helyezkedik el Elemi függvéyek grafikojai: A most következő elemi függvéyek grafikojából következteti lehet értelmezési tartomáyukra ( D f ), értékkészletükre ( R f ), esetleg mootoitásukra, paritásukra és periodicitásukra. (Feltételezzük, hogy a függvéy fogalma a középiskolai taulmáyok alapjá mideki előtt ismert, mit ahogy az alábbi függvéytai fogalmak is: értelmezési tartomáy, értékkészlet, kölcsööse egyértelmű leképezés, páros, illetve páratla függvéy, periodikus függvéy.) k Hatváyfüggvéyek: f f f 3 f 3 4 f 4 5 f 5 6 f 6 7, ahol k pozitív egész szám Barabás Béla, Fülöp Ottília, BME

17 3. Függvéyek 3 Páratla gyökfüggvéyek: f() f() f() 3 f 4 () Páros gyökfüggvéyek: 4 4 f() f() 6 6 f() 3 Midegyik páros gyökfüggvéy kokáv az értelmezési tartomáyá. Barabás Béla, Fülöp Ottília, BME

18 4 Az építészek matematikája, I Trigoometrikus függvéyek (si, cos, ta): A si és cos függvéyek periodikusak, főperiódusuk T, míg a tg és ctg (melyek szité periodikusak) főperiódusa T. Epoeciális függvéyek: f a (a>) y y e 3 y f()=^ f()=e^ f()=(/)^ y Barabás Béla, Fülöp Ottília, BME

19 3. Függvéyek 5 Érdemes megjegyezi, hogy az epoeciális függvéy mootoitása az alaptól függ: ameyibe a függvéy alapja a, az epoeciális függvéy szigorúa övekvő, míg a a alap eseté az epoeciális függvéy szigorúa csökkeő. Értelmezési tartomáya R, értékkészlete pedig, (vigyázat, az ábráko úgy éz ki, mitha a függvéy metszeé az tegelyt, valójába csak egyre jobba közeledik hozzá). Természetes alapú epoeciális függvéy: y e, ahol az alapszám (az e) egy, az előző fejezetbe vizsgált evezetes sorozat határértéke: lim e. Hiperbolikus függvéyek e e Kosziusz hiperbolikusz függvéy: ch :, szokásos jelölés még y cosh. A grafikoja az y e és y e grafikookból következik: 3.5 y f()=cosh() f()=e^ f()=e^(-) e e Sziusz hiperbolikusz függvéy: sh :, szokásos jelölés még y sih. Barabás Béla, Fülöp Ottília, BME

20 6 Az építészek matematikája, I sh e e Tages hiperbolikusz függvéy: th :, szokásos jelölés még y tah, az ch e e alábbi közös ábrá a, értékkészletű (em metszi az y illetve y egyeeseket, csak egyre jobba közeledik hozzájuk), szigorúa mooto övekvő függvéy y f()=tah() f()=sih() f()=cosh() f()=- f()= Iverz elemi függvéyek Az f függvéy iverz függvéyéek evezzük és f -gyel jelöljük azt a függvéyt, mely mide valós b számhoz (mely az eredeti f függvéy értékkészletéhez ( Rf -hez ) tartozik), azt az a számot redeli az f értelmezési tartomáyából ( D f -ből ), melyhez az f a b -t redelte, vagyis ha b f b a. f a, akkor Ie következik, hogy f f b b és f f a a, mit ahogy az is, hogy az f értelmezési tartomáya az f értékkészlete, és f értékkészlete az f értelmezési tartomáya. Tehát csak kölcsööse egyértelmű függvéyek va iverze, hisze szükséges, hogy a egyértelmű legye. Barabás Béla, Fülöp Ottília, BME

21 3. Függvéyek Tétel: Az f függvéy ivertálhatóságáak elégséges feltétele a függvéy szigorú mootoitása. Az iverz függvéy megőrzi a mootoitást (azaz pl. szigorúa övekvő függvéy iverze is szigorúa övekvő). f függvéy és az f függvéy grafikoja egymásak az y egyeesre vett tü- Az körképei. Az ábrá az y 3 függvéy és iverze, az 3 látható. y 3 Barabás Béla, Fülöp Ottília, BME

22 8 Az építészek matematikája, I A természetes alapú logaritmusfüggvéy f R f e Az :,, (e alapú) epoeciális függvéy szigorúa övekvő, tehát midehol létezik az iverze, ezt a függvéyt evezzük természetes alapú logaritmusfüggvéyek, f :, R f l. Mivel az e alapú epoeciális függvéy szigorúa övekvő,, ezért a természetes logaritmusfüggvéy is az. (Az egyéb alapú ( a, a ) logaritmusfüggvéy mootoitása megegyezik az ugyaolya alapú epoeciális függvéy mootoitásával.) Az y si függvéy em ivertálható a, itervallumo, mert em kölcsööse egyértelmű. Ivertálható a, tartomáyo, itt szigorúa mooto ő. Az iverz függvéyét arkusz sziusz (arcus sius) függvéyek evezzük, jele arcsi. Barabás Béla, Fülöp Ottília, BME

23 3. Függvéyek 9 Az y arcsi értelmezési tartomáya a, itervallum, értékkészlete pedig,. Hasolóa ábrázolhatjuk a többi trigoometrikus és hiperbolikus függvéy iverzeit is szigorúa mooto szakaszoko: a cos függvéyt a, itervallumo ivertáljuk, így az arccos :,, a tagest a, itervallumo, így arctg :, R, R,, a kotagest a, itervallumo, így arcctg : a kosziusz hiperbolikuszt a, itervallumo, így ar ch, :,, (area kosziusz hiperbolikuszak evezzük), a sziusz hiperbolikuszt R-e, így ar sh : R R (area sziusz hiperbolikuszak modjuk),, R (area tages hiperbolikusz, szoktuk a tages hiperbolikuszt R-e, így ar th : még arta h -val jelöli), míg ch e e a kotages hiperbolikuszt az R halmazo, így sh e e,, R (area kotages hiperbolikusz). arcth : Megjegyezzük még, hogy a th és cth függvéyek iverzei redelkezek még logaritmusos alakkal is, mely a következő: arth l, arcth l Függvéyhatárérték-defiíciók Tegyük fel, hogy az potjába ( lehet kivétel). f értelmezve va valamely, az Defiíció: Az f függvéyek az R körüli yílt itervallum mide R helye létezik a határértéke és az a h R valós szám, ha bármely számhoz található szám úgy, hogy a egyelőtleséget kielégítő értékek mid bee vaak az f függvéy értelmezési tartomáyába és teljesül az f h egyelőtleség Defiíció (határérték II.): Az f függvéyek az az a h R hoz kovergáló lim f h. valós szám, ha bármely, az sorozat eseté az R helye létezik a határértéke és f függvéy értelmezési tartomáyából választott és - f függvéyérték sorozat kovergál h -hoz. Jelölés: A két defiíció ekvivales (itt em bizoyítjuk). A második defiíció olya feladatokál haszálható eredméyese, ahol várhatóa ics határérték. Barabás Béla, Fülöp Ottília, BME

24 Az építészek matematikája, I Példa: Számítsuk ki a lim si határértéket. Megoldás: Vegyük az alábbi két, ullához tartó számsorozatot:,,,,..., 5 4,,,,..., lim si, míg lim si, így a feladatba kért határérték em létezik Defiíció: Az f függvéyek az R helye létezik a jobb oldali határértéke és az a h R valós szám, ha bármely számhoz található szám úgy, hogy a egyelőtleséget kielégítő értékek bee vaak az f függvéy értelmezési tartomáyába és teljesül az f h egyelőtleség. Hasolóa értelmezzük a függvéy Defiíció: Az f függvéyek az R helye vett bal oldali határértékét: R helye létezik a bal oldali határértéke és az a h R valós szám, ha bármely számhoz található szám úgy, hogy a egyelőtleséget kielégítő értékek bee vaak az f függvéy értelmezési tartomáyába és teljesül az f h egyelőtleség. Jelölés: lim ill. lim f h f h Defiíció: Azt modjuk, hogy az f függvéyek az R helye végtele a határértéke, ha tetszőleges pozitív A számhoz létezik olya szám úgy, hogy a egyelőtleséget kielégítő értékek bee vaak az f függvéy értelmezési tartomáyába és teljesül az f > A egyelőtleség. Jelölés: lim f. (Hasolóa defiiáljuk a lim f esetet is.) Tétel: Az f függvéyek az szám, ha lim f lim f h. R helye létezik a határértéke és az a h R valós Barabás Béla, Fülöp Ottília, BME

25 3. Függvéyek Defiíció: Az f függvéy határértéke eseté a h R valós szám, ha bármely számhoz található k valós szám úgy, hogy a függvéy értelmezve va k eseté és eze értékekre teljesül az egyelőtleség. f h Jelölés: lim f h. (Hasolóa defiiáljuk a lim f h esetet is.) 3.4. Függvéyhatárértékkel kapcsolatos tételek Tétel (Összeg, külöbség, szorzat, háyados határértéke): Ha létezik lim f lim g, akkor létezik a két függvéy összegéek, külöbségéek, szorzatáak a határértéke is és a következők érvéyesek: és továbbá, ha lim f g lim f lim g lim f g lim f lim g lim f g lim f lim g lim lim g, akkor létezik az f g lim f. lim g f,,, g függvéy határértéke is, és 3.4. Tétel (Összetett függvéy határértéke): Ha lim g a b és lim f b olya szám, hogy a eseté g b, akkor lim f g c. a c, továbbá va Tétel (redőrelv vagy szedvicstétel függvéyhatárértékekre): Ha az f, g és h függvéyek értelmezve vaak az pot egy köryezetébe és itt f g h, valamit lim f lim h L lim g L., akkor Határérték-számításál először is behelyettesítük. Ameyibe kokrét szám, vagy a helyettesítés eredméye, késze vagyuk. Legtöbbször azoba a,,,,,, alakú határozatla kifejezések (esetek) valamelyike áll fe, a feladat megoldása em ilye egyszerű, szükségük lehet a következőkre: Tétel (Nevezetes függvéyhatárértékek):. Ha az szöget radiába adjuk meg, akkor igaz), si lim (természetese lim is si Barabás Béla, Fülöp Ottília, BME

26 Az építészek matematikája, I tg. ugyaakkor igaz, hogy lim (természetese lim is igaz), tg 3. lim e (természetese, lim y y... képletet, mit egy... alakot, ahol... ), y e is igaz, a léyeg, hogy úgy tekitsük a loga lim loga e, ameyibe a, a, speciális esetbe l a a e lim l a, ha a, a, speciális esetbe lim, lim, ahol R. l lim, Bizoyítai csak az. tulajdoságot fogjuk a redőrelv segítségével: Ívmértekkel mérve az szöget, a mellékelt ábra területeiből látszik, hogy si tg, ie si -szel osztva: si cos. Mivel lim, ezért a redőrelv szerit cos si lim. Ekkor lim lim. si si Néháy példa függvéyhatárérték-számításra Szimbolikusa példa ) lim lim 3. (Kiemeltük előforduló legmagasabb hatváyát (ugyaezt tettük vola, ha ), majd leegyszerűsítettük.) si si si ) lim lim lim Tétel. képletét.). (Haszáltuk a 3) ( ) lim lim 6 4, valamit 5 4 (5 4) 4 4 Barabás Béla, Fülöp Ottília, BME

27 3. Függvéyek ( ) 4) lim lim 3. (Vegyük észre, ( ) hogy ameyibe, előforduló legalacsoyabb hatváyát emeljük ki.) 5) lim lim ( ). (Haszáltuk, hogy és.) si 6) lim si lim si lim ) lim lim e Folytoos függvéyek Defiíció: Az f függvéy folytoos az helye, ha értelmezett az helye, és aak egy köryezetébe, létezik a lim f lim f f. és Defiíció: Az f függvéy folytoos az, folytoos Defiíció: Az f függvéy balról folytoos az helye, ha ab itervallumo, ha aak mide potjába értelmezett az helye, és aak egy bal oldali köryezetébe, azaz lim f és létezik a lim f f., -ba, A jobb oldali folytoosságot hasolóa defiiáljuk, csak ott jobb oldali köryezetet tekitük és -ba jobb oldali határértéket Defiíció: Az f függvéy folytoos az [a,b] itervallumo, ha folytoos az (a,b) itervallumo és az a potba jobbról, b potba pedig balról folytoos Példák: az f az, ha Q Dirichlet-függvéy sehol sem folytoos,, ha R Q f abszolút érték függvéy pedig mideütt folytoos függvéy. Barabás Béla, Fülöp Ottília, BME

28 4 Az építészek matematikája, I Tétel: Folytoos függvéyek összege, szorzata, háyadosa (ha a evező em zérus) folytoos Példa: Határozzuk meg az a valós paraméter értékét úgy, hogy az cos, ha R f aha,. Megoldás: f si lim f lim, cos a, így folytoosság csak az a esetbe lehetséges Tétel (Összetett függvéy folytoossága): Ha egy g függvéy folytoos a b potba, f pedig folytoos a gb potba és létezik az f g kompozíció (azaz f g ), akkor az f g is folytoos a b helye Tétel (Iverz függvéy folytoossága): Ha f : Df Rf függvéy szigorúa mooto és folytoos, akkor létezik az f : Rf Df iverz függvéy, ami megőrzi a mootoitást és szité folytoos Zárt itervallumo folytoos függvéyek tulajdoságai Tétel: Az ab, zárt itervallumo folytoos függvéy korlátos Weierstrass-tétel: Az ab, zárt itervallumo folytoos függvéy felveszi legagyobb és legkisebb értékét Bolzao Darbou-tétel vagy Bolzao-féle közbülsőpot-tétel: Ha az f függvéy folytoos az ab, zárt itervallumo és f a c f b, akkor létezik olya ab,, hogy f c Bolzao Weierstrass-tétel: Ha az f függvéy folytoos az, ab zárt itervallumo, akkor a miimuma és maimuma között mide értéket felvesz. Barabás Béla, Fülöp Ottília, BME

29 4. Differeciálszámítás 5 4. Differeciálszámítás 4.. A differeciálháyados fogalma, differeciálási szabályok 4... Defiíció: Ha az f függvéy értelmezve va az, f h f h eseté az F h függvéyt az : f függvéy -hoz tartozó differeciaháyadosáak evezzük. h f h f 4... Defiíció: A lim F h lim határértéket az itervallumo, akkor f függvéy h helyhez h h tartozó differeciálháyadosáak (vagy deriváltjáak) evezzük. Ha ez létezik, azt modjuk, hogy az f függvéy akkor deriválható az potba. Jelölése: ' f vagy df d Defiíció: Az f f h f ': lim függvéyt az f derivált függvéyéek evezzük. h h Példa: Számítsuk ki a derivált defiíciójával az f si függvéy deriváltját. Megoldás: ' si h si si cosh+ cos si hsi si lim lim h h h h h h cosh si si si h si h lim si cos lim si cos cos h h h h h h cos si h ahol haszáltuk a si, valamit a lim képleteket. h h Megjegyzés: A h összefüggést figyelembe vételével felírhatjuk, hogy. Egy f függvéy akkor deriválható az potba, ha ez a határér- f f f ' lim ték létezik Defiíció: Az f függvéy helyhez tartozó jobb és bal oldali differeciálháyadosát f f az f ' lim és f f f ' lim függvéyhatárértékekkel defiiáljuk. j b Barabás Béla, Fülöp Ottília, BME

30 6 Az építészek matematikája, I Tétel: Ha egy függvéy differeciálható az potba, akkor itt folytoos is Defiíció (a derivált geometriai értelmezése): Ha az f függvéy differeciálható az potba és eek köryezetébe folytoos, akkor a függvéy grafikojáak éritője az egyeletű egyees, tehát az f ' em más, mit az, f y f f ' potba a függvéy grafikojához húzott éritő iráytagese Tétel (Differeciálási szabályok): Ha az f és g függvéyek differeciálhatók az helye, akkor az f g az f g is differeciálható és is differeciálható és f g továbbá, ha g, akkor ' f f ' g f g g g ' f g ' f ' g' f g ' f ' g f g', valamit, is differeciálható és 4.. Elemi függvéyek deriváltja és egyéb deriválási szabályok. függvéy Deriváltja Feltételek y cost. y ' - y y ' N, R r y r y ' r r R, y a y ' a la R, a R, a speci. y e y ' e R y log a, a R, a, y ' l a a speci. y l y ' y si y ' cos R y cos y ' si R y tg y ' k cos y ctg k y ' si y arcsi y ' y arccos y ' y arctg R y ' Barabás Béla, Fülöp Ottília, BME

31 4. Differeciálszámítás 7 y arcctg R y ' y sh y' ch R y ch y' sh R y th R y ' c h y cth y ' sh y arsh R y ' y ar ch y ' y arth y ' y arcth R, y ' 4... Tétel (Összetett függvéy deriválása, azaz lácszabály ): Ha a g függvéy differeciálható az helye és az f függvéy differeciálható a f g öszszetett függvéy differeciálható az helye és ' g helye, akkor az ' f g f g g. ' 4... Példa: Deriváljuk az f leképezéssel megadott függvéyt (ahol lehetséges). si l Megoldás: ' ' df f ' cos l l cosl d cosl (lácszabállyal) Tétel (Iverz függvéy differeciálási szabálya): Ha az f függvéy a t Df potba és köryezetébe szigorúa mooto és differeciálható, valamit f ' t, akkor az iverz függvéye f ' is differeciálható az f t helye és f. f ' t f ' f Példa: Iverz függvéy differeciálási szabályával, felhaszálva, hogy ' meg, hogy l '. e e mutassuk Barabás Béla, Fülöp Ottília, BME

32 8 Az építészek matematikája, I Megoldás: f l, azaz f e, l ' e '. l e Defiíció: Az f függvéy másodredű deriváltja (ameyibe létezik) em más, mit ' ', az f f '' f Egyéb jelölése: d f d. -edredű deriváltja (ameyibe létezik) pedig ' f f Példa: Számítsuk ki az f si egyedredű deriváltját az potba. Megoldás: Haszáljuk a 4..-beli, elemi függvéyek deriváltját tartalmazó táblázatot, így f ' cos, '' si, f ''' cos, 4 f f si. Behelyettesítve az értéket, kapjuk, hogy 4 f si. t Paraméterese megadott függvéy deriválása: Ha az függvéyek értelmezési y y t tartomáya ugyaaz az itervallum, akkor ezek egy görbét írak le. Ilyekor azt modjuk, hogy a görbét paraméterese adtuk meg, a feti egyeleteket pedig a görbe paraméteres egyeleteiek evezzük. Ilyekor y' dt. dy dy d d dt 3 acos t Példa: Írjuk fel az asztrois (azaz, t, egyeletredszerrel megadott görbe) t paraméter értékkel meghatározott potjába a görbéhez húzott éritő egyeletét. 3 y asi t 4 a a Megoldás: a t paraméterérték a, potot jeleti az asztroiso. Az éritő egyees iráytagesét a következőképpe számoljuk ki: dy dy 3 si cos ' dt a t t y tgt, eek a t -be vett értéke. d d 3a cos t sit 4 dt a a a Így a kért éritő egyees egyelete: y 4 4, azaz y Implicit függvéy deriváltja: Ha a görbét em y f eplicit formába adjuk meg, haem G, y képlet alakba, akkor az implicit alakot haszáljuk. Ebbe az alakba, derivá- láskor figyelembe kell veük, hogy az y mideütt függvéye, tehát midkét oldalt szerit Barabás Béla, Fülöp Ottília, BME

33 4. Differeciálszámítás 9 deriváljuk (többyire lácszabályt haszálva), redezzük az pedig kifejezzük y ' -t az és y függvéyébe. y ' -t tartalmazó tagok szerit, a végé y 4... Példa: Tekitsük az egyelettel megadott, a és b féltegelyű ellipszist. Ez a b tulajdoképpe két függvéyt jelet, amit akkor látuk, ha kifejezzük az egyeletből az y -t ( függvéyekét), ez a két függvéy potosa az ellipszis alsó és felső ívét írja le. Adjuk meg az a b, potba az éritő egyees iráytagesét! yy' Megoldás: Az implicit deriválást elvégezve kapjuk, hogy, ahoa az y ' -t kifejezve a b b y ' a y, ahová behelyettesítve az, y a b, értékeket, kapjuk, hogy az éritő b egyees iráytagese. a 4.3. Középértéktételek, L Hospital-szabály ab itervallumo folytoos és az a,b iterval Rolle tétele: Ha az f függvéy az, lumo differeciálható, valamit f a f b, akkor létezik olya a,b sül, hogy f'. ( Michel Rolle 65 79, fracia matematikus.) Lagrage-középértéktétel: Ha az f függvéy az, a,b itervallumo differeciálható, akkor létezik olya a,b f b f a f' b a szám, amelyre telje- ab itervallumo folytoos és az szám, amelyre teljesül, hogy. (Joseph Louis Lagrage , fracia-olasz természettudós.) f b f a Bizoyítás: Tekitsük az b a segédfüggvéyt. Fa Fb a,b, amelyre teljesül, hogy f b f a F' f ', azaz f' F f f a a leképezési szabállyal defiiált b a miatt alkalmazhatjuk Rolle tételét, mely szerit létezik olya f b f a b a Cauchy-féle középértéktétel: Ha az f és folytoosak és az a,b itervallumo differeciálhatók, továbbá g' f' f b f a a,b szám, amelyre teljesül, hogy g' gb ga fracia matematikus.). g függvéyek az ab, itervallumo, akkor létezik olya. (Augusti Cauchy , Barabás Béla, Fülöp Ottília, BME

34 3 Az építészek matematikája, I L Hospital-szabály (Egyszerű L Hospital-szabály): Legyeek az f és g függvéyek differeciálhatók valamely, az -t tartalmazó I yílt itervallumo kivéve esetleg az potot, és legye g' az I -, ha. Legye továbbá lim f lim g vagy lim f lim g. Ha létezik f ' lim g ' f, akkor lim g, ahol (Guillaume Fracois Atoie De L Hospital 66 74, fracia matematikus.) és lehet valós szám vagy Megjegyzések: A tétel igaz akkor is, ha határérték helyett mideütt csak jobb vagy bal oldali határértéket íruk. f ' Fotos a lim g ' létezéséek megkövetelése, ellekező esetbe em haszálhatjuk az egyszerű L Hospital-szabályt. si cos Pl. a lim lim egyelőséggel azt kapák, hogy a limesz em létezik, si si másfelől lim lim, ami elletmodás lee. Ezért is fotos elleőrizi még haszálat előtt, hogy teljesülek-e a tétel feltételei Példa L Hospital-szabályra: Számítsuk ki a si cos Megoldás: lim lim. si lim függvéyhatárértéket. g függvéyek -szer differeciálhatók valamely, az -t tartalmazó I yílt itervallumo kivéve esetleg az potot és Tétel (Erős L Hospital-szabály): Legyeek az f és legye g k az I -, ha. Legye továbbá mide k,..., számra k lim f lim g vagy végig, mide f lim g k,...,, akkor számra lim f lim g k k f lim g. Ha létezik, ahol és lehet valós szám vagy A differeciálháyados alkalmazásai Tétel: Ha az f függvéy értelmezve va az potba és aak egy köryezetébe, valamit itt differeciálható is, továbbá teljesül, hogy f ', akkor f lokálisa övekvő az potba (azaz övekvő az említett köryezetbe). Barabás Béla, Fülöp Ottília, BME

35 4. Differeciálszámítás Tétel: Ha az f függvéy értelmezve va az potba és aak egy köryezetébe, valamit itt differeciálható is, továbbá teljesül, hogy f ', akkor f lokálisa csökkeő az potba (azaz csökkeő az említett köryezetbe). Fordítva: Tétel: Ha az f függvéy értelmezve va az potba és aak egy köryezetébe, valamit itt differeciálható is, továbbá teljesül, hogy f lokálisa övekvő az potba, akkor f ' Tétel: Ha az f függvéy értelmezve va az potba és aak egy köryezetébe, valamit itt differeciálható is, továbbá teljesül, hogy f lokálisa csökkeő az potba, akkor f ' Tétel: Ha az f függvéy értelmezve va az potba és aak egy köryezetébe, valamit itt differeciálható is, továbbá az f függvéyek az potba lokális szélsőértéke va (azaz létezik -ak egy köryezete, melybe az összes -re f f (vagy f f )), akkor f ' Tétel: Ha az f függvéy értelmezve va az potba és aak egy köryezetébe, valamit itt kétszer differeciálható is, továbbá teljesül, hogy f ' és f '', akkor az f függvéyek lokális miimuma va ebbe a potba Tétel: Ha az f függvéy értelmezve va az potba és aak egy köryezetébe, valamit itt kétszer differeciálható is, továbbá teljesül, hogy f ' és f '', akkor az f függvéyek lokális maimuma va ebbe a potba Tétel: Ha az f függvéy az, ha '', akkor az ha f '', akkor az f f f függvéy kove, ab itervallumo kétszer differeciálható és függvéy kokáv Tétel: Ha az f függvéy az, az f függvéy kove, akkor f az ab itervallumo kétszer differeciálható és '', f függvéy kokáv, akkor f ''. f függvéyek ifleiós potja va az eseté, ha itt a függvéy grafikojáak va éritője és ugyaitt a függvéy átvált koveből kokávba, vagy fordítva (azaz megváltozik a görbe koveitása) Defiíció: Az Tétel: Ha az függvéyek ifleiós potja va potba és aak egy köryezetébe kétszer differeciálható eseté, akkor f ''. f Barabás Béla, Fülöp Ottília, BME

36 3 Az építészek matematikája, I 4.5. Szélsőértékek és ifleiós potok létezéséek szükséges és elégséges feltételei Tétel (Szélsőérték létezéséek szükséges és elégséges feltétele): Az köryezetébe - szer differeciálható f függvéyek az helye lokális szélsőértéke va (vagy egy f ', továbbá z lokális szélsőértékhely, vagy ", ''',... f egy lokális szélsőérték) f f derivált ak közül az első el em tűő (azaz em ulla) f páros redű (azaz páros). Ameyibe az f, akkor f-ek -ba lokális miimuma, míg ha f, akkor f-ek -b a lokális maimuma va. a Tétel (Ifleiós pot létezéséek szükséges és elégséges feltétele): Az köryezetébe - szer differeciálható f függvéyek az helye ifleiós potja va (más szóval 4, '' f ''', f,... deriváltak közül f egy ifleiós pot) f, valamit az az első el em tűő (azaz em ulla) f páratla redű (azaz páratla) Megjegyz és: Az f függvéyek csak olya helyeke lehet szélsőértéke, amelyek a függvéy értelmezési tartomáyáak belső potjai, ahol f ', f ' em létezik (ics egyértelmű éritők a függvéyhez az belső potok, melyekre, f potba), az értelmezési tartomáy végpotjai. Az D f függvéy egy kritikus potja, ha f ' em létezik Defiíció: f pot az f ' vagy Tehát egy tetszőleges f függvéyek csak a kritikus potokba vagy az értelmezési tar- tomáy végpotjaiba lehet szélsőértéke M egjegyzések: A tételből következik, hogy ics mideütt ifleiós potuk, ahol 4 y''. Például, az y görbéek az helye ics ifleiós potja aak elleére, hogy y ''. Továbbá, ifleiós pot ott is lehet, ahol y'' em is értelmezett. Például, y 3 eseté az helye ifleiós potuk va, bár y '' em létezik y'' Abszolút szélsőérték véges zárt itervallumo folytoos f függvéy eseté: A következőt tesszük: kiszámoljuk f értékét a kritikus potokba és az értelmezési tartomáy végpotjaiba, megállapítjuk ezek maimumát, illetve miimumát Barabás Béla, Fülöp Ottília, BME

37 4. Differeciálszámítás Alkalmazott optimalizációs problémák: szöveges szélsőérték-feladatok Külöféle, az építészetből, az üzleti életből, a közgazdaságtaból, a fizikából, a mideapokból vett optimalizálási (miimalizálási vagy maimalizálási) feladatokat ezetúl köyedé meg tuduk oldai a differeciálszámítás alkalmazásával, ameyibe sikerül felíri a vizsgáladó függvéyt Példa: Határozzuk meg az R sugarú gömbbe írható maimális térfogatú kúp adatait. Meyi ez a maimális térfogat? Megoldás: a kúp alapkörét -szel, a magasságát pedig y R -rel jelölve, kapjuk, hogy a beíradó ( R ) kúp térfogata V y, ahoa Pitagorász tétele ( y R ) miatt a maimalizáladó 3 R y ( R y) térfogat egyváltozós függvéykét írható fel, Vkúp alakba. Ezt deriválva, 3 majd az eredméyt ullával egyelővé téve kapjuk, hogy V ' kúp yr y R y 3. R Megoldva az egyeletet, y R (ez em lehet) és y megoldást kapjuk. Ez utóbbi az 3 3 R 4R 3 R és h értékeket voja maga utá, melyekre a térfogat Vma. Ahhoz, hogy belássuk, hogy ez valóba maimum, két lehetőségük is va: vagy vizsgáljuk a térfogatfüggvéy elsőredű deriváltjáak előjelét, megkapva így a V mootoitásával kapcsolatos összes iformációt, R vagy (amit most is tei foguk) kiszámoljuk a V '' értéket. V '' y R 6 y, behelyettesítve az y értéket, V '' R R, azaz a kapott térfogat valóba ma- 3 3 R R 4R imális Függvéyábrázolás az eddig taultak haszálatával Most már bármilye függvéyt ábrázoli tuduk. A függvéyvizsgálat meete a következő: meghatározzuk a függvéy értelmezési tartomáyát, megvizsgáljuk a paritását (ez segíthet, mert a páros függvéy szimmetrikus az y tegelyre, a páratla pedig az origóra, csak legtöbb esetbe a függvéyek se em párosak, se em páratlaok), megézzük, va-e periodicitás, meghatározzuk a függvéy határértékeit a kritikus helyeke ( -be, és ahol határozatla alakot kapuk), tjuk az f ' derivált függvéyt, előállí előállítjuk az f '' meghatározzuk az f ' és az '' második derivált függvéyt, f gyökhelyeit, a kapott gyökhelyeket sorba redezzük agyság szerit, Barabás Béla, Fülöp Ottília, BME

38 34 Az építészek matematikája, I f ' és f '' felosztjuk az értelmezési tartomáyt olya szakaszokra, ahol előjele álladó. Ha f ' is és '' f is folytoos függvéyek, akkor a gyökhelyeiket sorba redezve ilye felbotást kapuk. Vigyázat, ha pé ldául valahol a derivált függvéyek a határértéke, akkor előjelet tud váltai aélkül, hogy ulla lee. Pl.: f eseté. A felbotás szakaszai, megállapítjuk a függvéy övés/fogyás és kokáv/kove vi- például ahol a te- selkedését, ezek alapjá megállapítjuk az ifleiós és a szélsőérték-potokat, felvázoljuk a függvéyt. A felvázolásál segítség a függvéy értékéek meghatározása egy-két potba, gelyeket metszi, már ha vaak ilyeek. Megállapítjuk az értékkészletet P élda: Vizsgájuk meg a következő függvéyt: f 5. Megoldás: Df R, ézzük az aszimptotikus vizsgálatot: lim 5 5. Tehát -be az y 5 vízszites aszimptoták va. Függvéyük em páros és em páratla, ám f 5 már páratla lee, ami origóra való cetrális szimmetriát jeletee. f ', 3 f '', 4 3,, f előjelét, ha vagy ha 3. Sorba redezve a gyököket és megvizsgálva ' és f '' kapjuk a következő táblázatot:, 3 3 3,,,, 3 3 3, f ma ifleió ifleió mi ifleió f f Barabás Béla, Fülöp Ottília, BME

39 4. Differeciálszámítás 35 Az ábra pedig a következő : 4 y f ()=5-(*/(^+)) f()=5 8 6 R f, Egyéb alkalmazások: függvéyek éritkezése, Taylor-poliom g az - szer differeciálható függvéyek. A két függvéy grafikoja az helye -edredbe ér itkezik, f g, f ' g',..., f g, de f g Defiíció: Legyeek f és ha helye és eek egy köryezetébe Például az f és g az helye ulladredbe éritkezek, ha a két grafiko metszi egymást az helye, de ott már ics közös éritőjük. Ha az is lee, akkor legalább elsőredbe éritkezéek. Másodredbe éritkezik az előbb említett két függvéy, ameyibe f g, f ' g', f '' g'', de f ''' g''' Defiíció: Az f függvéy helyhez ta rtozó simuló (vagy görbületi) köre egy olya kör, mely az adott függvéyt másodredbe ériti Tétel: A simuló kör sugara r f '' tartozó görbületek evezzük és G -vel jelöljük. f ' 4 3. Eek reciprokát pedig az helyhez A Taylor-poliom defiíciója és személetes bevezetése: Tekitsük egy f függvéyt, m helye és eek egy köryezetébe -szer differeciálható. Olya poliomot ely az Barabás Béla, Fülöp Ottília, BME

40 36 Az építészek matematikája, I keresük, mely az éritkezik f függvéyel (ami esetleg lehet ehezebbe kezelhető ) -edredbe az helye. Ez lesz a keresett Taylor-poliomuk. Jelöljük a keresedő poliomot f,, f,, hogy T a a a... a T -al. Mivel az gyöke a poliomak, felírhatjuk,. Felhaszálva, hogy a f,, '... T a a, a 6a... a f,, '' 3 T, 6 a... a 3 f,, ''' 3 T, T a. f,,! Behelyettesítve a fetiekbe az értéket, megkapjuk midegyik Taylor-poli om : T Defiíció: A Ez tehát a '' a i együtthatót, így a keresett f ' f f.!!! f,, f... z helye felírt Taylor-poliomot Mac Lauri-poliomak is evezzük. f ' f '' f poliom.!!! Tf,, f Néháy péld a Mac Lauri-poliomra: e... (triviális beláti, hisze az!!! e epoeciális függvéy bármilye redű deriváltjába ullát beírva -et kapuk). Ebből az helyettesítéssel kapjuk, hogy e....!!! A kettőt összeadva és -vel elosztva felírhatjuk, hogy 4 k ch....! 4! ( k )! Kivoással és -vel való osztással felírhatjuk a sh függvéy Mac Lauri-poliomját is: 3 5 k sh....! 3! 5! (k )! Köyű beláti (deriválással), hogy 3 5 k k si...! 3! 5! (k )! 4 k, míg cos....! 4! ( k)! k Barabás Béla, Fülöp Ottília, BME

41 5. Itegrálszámítás Itegrálszámítás 5.. Rövid áttekités Az itegrálszámítás a statisztikába, műszaki tudomáyokba, közgazdaságtaba egyik leggyakrabba haszált matematikai eszköz. Az előző fejezetbe tárgyalt differeciálszámítás és a mostaiba bemutatásra kerülő itegrálszámítás szoros kapcsolatba állak egymással. Eek a kapcsolatak egyik bizoyítéka a Newto Leibiz-tétel, melyek segítségével a határozott itegrált, legye az kiszámítadó terület, síkgörbe hossza, forgásfelületek felszíe, forgástest térfogata, fémhuzal vagy pálca tehetetleségi yomatéka, tömege és tömegközéppotja, változó agyságú erő által egy egyees meté végzett muka, folyadék által a belemerülő lemez egyik oldalára kifejtett erő stb. köyű kiszámoli az itegradus primitív függvéyéek segítségével, azaz a határozatla itegrállal. Épp ezért, a határozatla itegrálokkal és a leggyakrabba haszált itegrálási techikák bemutatásával kezdük, aak elleére, hogy a határozott itegrál defiíciójához, geometriai értelmezéséhez, tulajdoságaihoz igazából ics szükségük a primitív függvéyekre. 5.. Primitív függvéyek 5... Defiíció: Az F függvéyt az itervallumo, ha F ' f mide I deriváltjából atideriválásak is evezzük.) f eseté. (Emiatt az függvéy primitív függvéyéek evezzük az I F kiszámolását aak A primitív függvéyek jelölésére általába agybetűket haszáluk: FGH,,,..., míg a ekik megfelelő függvéyeket (az előbb említettek deriváltjait) f, gh,,...-val jelöljük Példa: Az f 3 függvéyek az F primitív függvéye, mert F' f mide R eseté. Számtala esetbe I R, úgyhogy ezutá midig egy alkalmasa választott I itervallum fölött számoluk. Ugyaígy, az F is primitív függvéye az 3 előbbi f függvéyek, mert bármilye kostas deriváltja. függvéy hatá Defiíció: Az f függvéy primitív függvéyeiek összességét az f rozatla itegráljáak evezzük. Jelölése: f d. f tétel: Egy függvéy primitív függvéyei csak kostasba külöbözhetek, azaz igaz a következő Tétel: Ha F ' G' f, akkor F G c, ahol c egy kostas. Barabás Béla, Fülöp Ottília, BME

42 38 Az építészek matematikája, I Bizoyítás (idirekt): Tegyük fel, hogy a H : F G olya és, hogy H H, amelyre ' H H és közé eső Ha tehát F az H összes kostas halmazát jelöli. Az függvéy em kostas. Ekkor va. De akkor a Lagrage-középértéktétel alapjá va olya '. Ez elletmod a H feltételek. f egyik primitív függvéye, akkor f f d F c, ahol c az függvéyt itegradusak is szoktuk evezi Itegrálási techikák A defiícióból következik azoal, hogy f gd f d g d és ahol c tetszőleges kostas Elemi függvéyek határozatla itegrálja: cf d c f d, f függvéy f d Feltételek y c - y c R r r y R, r R, c r l c y y a a c l a R, a R, a, a speci. y e e c R y si cos c R y cos si c R y cos tg c k y si ctg c k y arcsi c Barabás Béla, Fülöp Ottília, BME

43 5. Itegrálszámítás 39 y arsh c R y arctg c R y, arth c ha itervallumfüggő ar cth c, ha y sh ch c R y ch sh c R y c y sh h th c R cth c Elemi itegrálási szabályok: differeciálható függvéyre igazak a következők: ' d l c, r r ' d c, ahol r R r si ' dcos c, cos ' dsi c, ' d arctg c., Folytathaták még, tulajdoképpe az beli táblázat mide képletét köye átírhaták, figyelembe véve a következőt: Tétel (Helyettesítéses itegrálás módszere I.): Ha differeciálható függvéy, melyek értékkészlete az I itervallum, és eze az itervallumo az f függvéy folytoos, és f udu Fuc, akkor f ' d F c., ahol g differeciálható függvéy, amelyek értékkészlete az I itervallum, és eze az I itervallumo az f folytoos, akkor f g g ' dt f u du Tétel (Helyettesítéses itegrálás módszere II.): Ha u g Barabás Béla, Fülöp Ottília, BME

44 4 Az építészek matematikája, I Megjegyzések: Az tétel szerit ahhoz, hogy az f összetett függvéyt az F segítségével itegrálhassuk, szorzótéyezőkét szerepelie kell az itegradusba (a számlálóba) a ' -ek is. A két tétel tulajdoképpe ugyaazt modja ki azzal a kis külöbséggel, hogy míg az tételbe kokréta ki is cseréljük a változót, addig az tételbe midezt csak fejbe tesszük meg, maradvá a régi változókál. Az tételbe megtörtéik az u g változócsere, ami a voja maga utá, azaz az tétel jelöléseivel du ' külö szorzótéyezőkét a ', hogy meglegye a du. du g ' d egyelőséget d. Ott tehát azért kellett még Ameyibe itegráláskor új változót vezetük be, azt a feladat végéig ki is kell iktatuk, visszatérve az eredeti -hez. Az tétel bizoyítása: ez a tétel tulajdoképpe a lácszabály megfelelője, amit abból is látuk, hogy bizoyításakor csak az összetett függvéyek deriváltjára lesz szükségük. Rövide, deriválva a koklúzióba található jobb oldalt, azoal kapjuk, hogy ' ' F c F F'. ' f ', ami em más, mit az itegradus, tehát a tételt egy lácszabállyal és a feltétel felhaszálásával be is bizoyítottuk Példa: Határozzuk meg az f a bd itegrált, ha f d F c. Megoldás: Az előbbiek ismeretébe már köyű dolguk va. Ahhoz, hogy a helyettesítés módszerét alkalmazhassuk, szükségük va az itegradus függvéybe szorzótéyezőkét az a b deriváltjára, ami jele esetbe egy kostas. Ez igecsak megköyíti a dolgukat, mert az itegradust szorozva, míg az itegrálo kívül osztva vele semmi sem változik, ám itegrálhatjuk az előző tétel szerit a függvéyt. Kapjuk, hogy ' f a bd f a bad f a ba b d F a bc. a a a Megjegyzés: A kostassal való belül és kívül szorzást függvéyével már em tehetjük meg, ami igecsak megehezíti a dolgukat. Ezért szükségük lesz újabb és újabb trükkökre, techikákra a határozott itegrál kiszámításához. Lássuk előtte azoba még éháy példát, melyek az eddigi iformációik ismeretébe már köye kiszámíthatók: Néháy egyszerűbb példa határozatla itegrál számításhoz: ) d d c, 5 3 ) d d c c, Barabás Béla, Fülöp Ottília, BME

45 5. Itegrálszámítás 4 3) 4) 5) d d l c, d d 3d 3 c, d d d 3l c, 6) d c Példák változócsere élküli helyettesítésre (azaz az tétel alkalmazására): ' ) d d d l 5 c, itt az utolsóál haszáluk kellett a helyettesítés módszerét, azaz az itegradusba, fet a számlálóba szoroztuk -vel, majd az itegrálo kívül osztottuk is vele (hogy e változtassuk meg a feladatukat), hisze szükségük volt a 5 deriváltjára, ) cos3 3cos3 8 si3 ' d d d l 8 si 3 c, 8si3 3 8si3 3 8si3 3 3) 3 ' d d d 3 c, 4) cos si si ' si si cos d d d c. si Csak abba az esetbe érdemes helyettesítést végezi, ameyibe a feladatot ezzel léyegese leegyszerűsítettük Példák változócserés helyettesítésre (azaz az tétel alkalmazására): 6 5 u si u 6 d u du c c, du cos d ) si cos si 4 u ch 5 d chudu shu c sh 3 5 c. du 4 d ) Majd lássuk két olyat, ahol kimodotta jól járuk a változócserével: Barabás Béla, Fülöp Ottília, BME

46 4 Az építészek matematikája, I 3) Ameyibe,,... R e e d típusú itegráluk va, ahol R egy racioális törtfügg- l u u e véy, akkor az helyettesítést alkalmazzuk, azaz. Például du e d d du u l u e u d du e d du uu u u u du du du u l u c e le c. u u u 4) Ha, a R b c d dtípusú itegráluk va, ahol R szité egy racioális törtfüggvéy, akkor az a u b helyettesítést alkalmazzuk, például c d u 4 u 6 4, 6 u 4 d u du 6 4 u 3 u 3 d du u u 4du 4u c c A legtöbb esethez em elegedő az eddigieket tudi, szükségük lehet a következő módszerre Parciális itegrálás módszere: A logaritmusokat, a trigoometrikus függvéyeket és iverzeiket epoeciális függvéyeket tartalmazó függvéyek sok esetbe csak a parciális itegrálás módszerével vagy eek a módszerek többszöri egymás utái alkalmazásával itegrálhatók. Maga formula agyo egyszerű, a szorzatfüggvéy deriváltjából következik. ' f g -t kapjuk, hogy ' f g f g f g, majd midkét oldalt tagokét kiitegrálva f g f ' g f g', ahoa kifejezve ' ' ' ' ' f g d f g f g d (parciális itegrálás képlete). A parciális itegrálásál agyo fotos a szereposztás, azaz melyik függvéy játssza az melyik a g' f és szerepét. Hibás szereposztással az itegrált em tudjuk kiszámoli, ikább boyolultabb itegrálokhoz jutuk. Ezért érdemes megjegyezi, hogy parciálisa itegráluk, ameyibe: Barabás Béla, Fülöp Ottília, BME

47 5. Itegrálszámítás 43 az itegradus poliom- és epoeciális vagy trigoometrikus, esetleg hiperbolikus függvéy szorzata (ekkor a poliomfüggvéy játssza az f szerepét; az itegradus poliom- és logaritmusfüggvéy szorzata, vagy poliom- és trigoometrikus függvéy iverzéek (arkuszfüggvéyek) a szorzata, esetleg poliom- és hiperbolikus függvéy iverzéek (areafüggvéyek) a szorzata (ekkor a poliomfüggvéy játssza a g szerepét; ' az itegradus epoeciális és trigoometrikus függvéy szorzata (ekkor igazából midegy a szereposztás, csak következetese kell csiáli, mert az ilye feladatokál egymás utá kétszer kell parciálisa itegráli, és ha em vagyuk következetesek, sok számolás utá visszajutuk az eredeti itegrálukhoz Példák parciális itegrálásra: l d l d ' l d l d l c l c 3 ' l d l d l d l d l c arctgd ' arctgd arctg d arctg d arctg l( ) c arccos d ' arccos d arccos d arccos darccos d arccos c Racioális törtfüggvéyek itegrálása: bármelyik alapesetbe, ameyibe a számláló fokszáma agyobb vagy egyelő a evező fokszámáál, a legelejé midig maradékosa osztuk. (ld. pl. az feladatsor 5) feladatát, vagy az feladatsor 3) példáját a változócsere utá). Tehát igazából elég azt tekitei, amikor a evező foka agyobb a számlálóéál. Egyszerű alapesetek: A A ) ha a evező elsőfokú, ekkor az d l a b c a b a a helyes megoldás, ) A A d a b c, ha, a b a Barabás Béla, Fülöp Ottília, BME

48 44 Az építészek matematikája, I 3) kostas számláló és másodfokú evező eseté, ameyibe a evező diszkrimiása b 4ac a következő a teedő: visszavezetjük az du arctgu c itegrálra, u 4) ameyibe a másodfokú evezők diszkrimiása b 4ac, akkor a ) esetre vezetjük vissza itegrálukat, 5) ha b 4ac, akkor vagy u du alakra hozzuk, vagy parciális törtekre botjuk az itegradust, 6) Ameyibe elsőfokú a számláló, visszavezetjük a feladatot két itegrál összegére, amit az eddigiekkel köye ki tuduk számoli, éspedig: ab a b b A B A d A d, a b c a a b c Pk 7) Általáos esetbe, ha az itegráluk d, ahol a k és ideek a poliomok fokszámait jelzik, a következőket modhatjuk el: P ha k, akkor első lépés egy maradékos poliom osztás, mely szerit Pk Rl Qk, ahol l, P P ha k, akkor a evezőt szorzattá alakítjuk, majd az itegradust parciális törtekre botjuk. Ameyibe a evezőek csak egyszeres valós gyökei vaak, és ezeket,..., jelöli, felírhatjuk, hogy Pk A A d... d.... Ha a evezőek többszörös valós gyöke va, felírhatjuk, hogy Pk A A A d... d, ( ) ( ) ha pedig va fel em botható másodfokú faktor a evezőbe, akkor P k p r a b c s d A A p B Br C D C s Ds = p r a b c a b c Példák racioális törtfüggvéy itegrálására: ) Számítsuk ki az 65 d határozatla itegrált. Megoldás: Tekitve, hogy ics a evezőek valós gyöke, em lehet szorzattá alakítai. d s. Barabás Béla, Fülöp Ottília, BME

49 5. Itegrálszámítás 45 A 3) alapesetük va, így d d d d d arctg c ) Számítsuk ki az 65 d határozatla itegrált. Megoldás: Tekitve, hogy va a evezőek valós gyöke, parciális törtekre botható: d d A B A 5 B AB 5AB AB 5AB A B 4 4 d d d l l 5 c l c Határozott itegrál Az itegrálszámítás alapötlete az, hogy sok meyiséget hatékoya kiszámíthatuk úgy, hogy kis részekre botjuk, majd összegzük. Természetese felvetődik az a kérdés, hogy mi törtéik, ha egyre jobba fiomítjuk a felosztást, azaz egyre több tagból álló összegekkel számoluk, sőt, mi va akkor, ha a az összeadadók száma a végtelehez tart. A válasz egyszerű: ekkor kapjuk meg a határozott itegrál értékét. A véges közelítések határértékéek elméletét Berhard Riema émet matematikusak köszöhetjük. Tekitsük az ab, zárt itervallumo egy tetszőleges f korlátos függvéyt ( f -ek ezt a tulajdoságát többet em említjük, magától értetődőek tekitjük). Osszuk fel az ab, itervallumot em feltétleül egyelő hosszúságú részitervallumokra, legyeek az osztópotok övekvő sorredbe a következők (most az a -t és a b -t is ezek közé soroljuk): a... b. Az osztópotok halmazát P,,...,, felosztásak evezzük, a P felosztás ormája pedig em más, mit a leghosszabb részitervallum hoszsza. Jelölése: P. Barabás Béla, Fülöp Ottília, BME

50 46 Az építészek matematikája, I Defiíció: A f összeget, ahol tetszőleges közbülső értékek, i i i i i i i itegrál közelítő összegek vagy az f függvéy ab, itervallumra voatkozó Riemaösszegéek evezzük. Sok ilye összeg va, attól függőe, hogya választjuk ki a felosztást és az, részitervallumok közbülső i potjait. i i i i i i Defiíció: Az s m összeget, ahol, i i m i if i, i f, azaz az f függvéy itervallum fölötti legagyobb alsó korlátját jelöli, alsó közelítő összegek evezzük. Grafikusa: Defiíció: Az S M összeget, ahol i i i i i, i M sup f i, azaz az f függvéy, i i itervallum fölötti legkisebb felső korlátját jelöli, felső közelítő összegek evezzük. Grafikusa: Defiíció: Az f függvéy ab, itervallumo vett határozott itegrálja em más, mit a i f Riema-összegek határértéke, amikor a felosztás ormájával ullához tartuk i i i Barabás Béla, Fülöp Ottília, BME

51 5. Itegrálszámítás 47 (végtele részitervallumuk va). Jelölése: f d lim f úgy kell, hogy itegrál a-tól b-ig f b a, kimodai pedig P i i i i dé vagy f szeriti itegrálja a-tól b-ig. A feti ábra em más, mit az 3 f 3 függvéy és,9 között vett, 9 részitervallummal (téglalappal) felírt Riema-összeg geometriai iterpretációja, melybe a közbülső k értékek a megfelelő itervallumok felezőpotjai. A 9 tagú összeg 4,84699, míg a terület maga 4, Lemma: Ha az ab, itervallum egy meglévő felosztásához új osztópotokat veszük (azaz a felosztást fiomítjuk), akkor az alsó közelítő összeg mooto ő (em csökke) Lemma: Ha az ab, itervallum egy meglévő felosztásához új osztópotokat veszük, akkor a felső közelítő összeg mooto csökke (em ő) Lemma: Nics olya alsó közelítő összeg, amelyik agyobb lee, mit egy felső közelítő összeg, azaz tetszőleges m és eseté sm S Következméy: sup s if S. m ab iterval- ab iterval- Két eset lehetséges tehát: vagy sup sm if S, vagy sup sm if S. Az első esetbe, azaz ha sup sm if S lumo. A második esetbe, azaz ha sup s if S lumo és ekkor a határozott itegrál sup i, az f függvéy em itegrálható az,, az f függvéy itegrálható az, m b f d sm f S a. (Akár így is bevezethető a határozott itegrál fogalma.) Tehát bármely felosztáshoz hozzáredelt Riema-összeg em lehet agyobb a felső közelítő összegél, és em lehet kisebb az alsó közelítő összegél. Barabás Béla, Fülöp Ottília, BME

52 48 Az építészek matematikája, I Példák: a kostas függvéy az, ab itervallumo itegrálható,, ha, Q, ha, R Q em itegrálható az értelmezési tartomáyá. a, itervallumo értelmezett d Dirichlet függvéy 5.5. A határozott itegrál rövid geometriai iterpretációja A határozott itegrál geometriai szemléltetése fotos eljárás, mert megköyíti az itegrálok tulajdoságaiak felismerését, émely esetekbe akár igazolását is. A defiícióból adódik, hogy egy em egatív értékű folytoos f függvéy ab, itervallumo vett határozott itegrálja tulajdoképpe az f grafikoja, az -tegely, az a és b egyeesek által közrezárt területrészt jeleti, rövide, az f grafikoja alatti területet jeleti. Úgy is modjuk még, hogy az a és b között az f grafikoja által meghatározott görbe voalú trapéz területét méri. Ameyibe a függvéyük egatív, a határozott itegrál egyelő az f grafikoja, az - tegely, az a és b egyeesek által közrezárt terület elletettjével. Ezek szerit a határozott itegrál valójába előjeles területet jelet. Ha függvéyük (mit a legtöbb esetbe) akár többször is belemetsz az -tegelybe, tehát ab, itervallumbeli -ekre pozitív és egatív értékeket egyarát felvesz, akkor más a helyzet. Ilyekor az f függvéy ab, itervallumo vett határozott itegrálját akkor kapjuk meg, ha öszszeadjuk az -tegely feletti területrészeket (azaz a pozitív értékű grafikorészek és az -tegely közötti területeket) az -tegely alatti területrészek elletettjeivel (azaz a egatív értékű grafikorészek és az -tegely közötti területek elletettjeivel). Barabás Béla, Fülöp Ottília, BME

53 5. Itegrálszámítás A határozott itegrállal kapcsolatos legfotosabb tételek Tétel: Az ab, itervallumo folytoos függvéyek létezik határozott itegrálja (az említett ab, itervallumo) Tétel: Az ab, itervallumo mooto és korlátos f függvéyek létezik határozott itegrálja (azaz itegrálható az ab, itervallumo) Tétel: A következő szabályok érvéyesek itegrálható függvéyekre: a ulla hosszúságú itervallumo az itegrál ulla, azaz f d, b b c f dc f d, bármely c kostas eseté, a a a összeg (külöbség) itegrálja egyelő az itegrálok összegével (külöbségével), azaz b a b f g d f d g d, a b a additivitás az itegrálási itervallumra, azaz ha az f függvéy itegrálhatók az ab, és bc, itervallumoko, akkor itegrálható az ac, itervallumo is, és b c c f d f d f d, a b a domiáció, azaz ha az ab, itervallumo f g, akkor f d g d, valamit ha 5.7. Az aalízis alaptétele f az ab, itervallumo, akkor az f d. b a b a b a Ebbe a részbe csupá egyetle tételről esik szó, ez em más, mit a Newto Leibiz-tétel, az itegrálszámítás legfotosabb tétele, az aalízis alaptétele, ami valóságos forradalmat idított el a matematikába és ezzel egyidőbe az alkalmazási területeke is. Ez az a tételük, mely egybekapcsolja a differeciálszámítást az itegrálszámítással, lehetőséget adva arra, hogy e a defiíció segítségével, haem sokkal egyszerűbb techikákkal számoljuk ki határozott itegrálokat. A határozott itegrálok alkalmazásából a következő fejezet ad majd ízelítőt Newto Leibiz-tétel: Ha az f függvéy folytoos az ab, itervallumo és primitív függvéye az szoktuk még F b a b ab, -, akkor f d FbFa. Az F b Fa a F az külöbséget -vel is jelöli, mitegy jelezve, hogy az F függvéybe először b -t, majd a -t helyettesítük be és a kettőt ebbe a sorredbe kivojuk egymásból. ( Sir Isaac Newto (643 77), Gottfried Wilhelm Leibiz (646 76).) f Barabás Béla, Fülöp Ottília, BME

54 5 Az építészek matematikája, I Bizoyítás: A tétel állításáál többet is bizoyítuk, evezetese azt, hogy az I f t dt úgyevezett itegrálfüggvéy -szerit (azaz a felső határ szerit) differeciálható és deriváltja éppe az itegradus f függvéy. d I h h f t dt f t dt f t dt I h I lim lim lim. a a a a a d h h h h h h b f d sm S a h Mivel sup if (az következméy miatt), felírhatjuk, hogy: mi f t f t dt ma f t. h t, h t, h a a h eseté az f függvéy folytoossága miatt kapjuk, hogy d lim mi f t lim ma f t f, ezért I a f. h t, h h t, h d Tehát f egyik primitív függvéye, mégpedig az, amelyik az a helye zérus, mivel a I az a a I a f t a dt (az tételt haszáltuk). F Felhaszálva, hogy a primitív függvéyek csak kostasba külöbözhetek, legye egy tetszőleges primitív függvéye I F F a. Következésképpe b a f d I b F b F a. a f -ek, ekkor a 5.8. Improprius itegrál A határozott itegrál defiíciója sorá egyrészt feltételeztük, hogy az itegrációs tartomáy egy véges ab, itervallum, másrészt, hogy az itegradus eze az itervallum korlátos függvéy. Most azokra az esetekre térük rá, ahol eze a feltételek valamelyike em teljesül. Improprius itegráluk va, ameyibe: Defiíció (az itervallum, melye itegráluk, em véges): A végtele határú itegrál b lehet f d, vagy f d alakú, de akár f d alakú is. Ekkor a következőkképpe a járuk el: lim f d f d, a b a lim f d f d, b Barabás Béla, Fülöp Ottília, BME

55 5. Itegrálszámítás 5 a f d fd fd, esetleg lim a f d f d, ahol és egymástól függetleül tartaak -hez, illetve -hez Defiíció (em korlátos itegradus): Első ráézésre em is látszik, hogy az itegrál improprius. Ebbe az esetbe az f függvéy em korlátos az ab, itervallumo. Az itegrál b a f d alakú, akár egy határozott itegrál. Ameyibe a függvéy az a -ba em korlátos, az b b a b a b improprius itegrál kiszámítása az f d lim f dformulával törtéik, míg ha a függvéy b -be em korlátos, akkor f d lim f d a haszáladó képlet. a Defiíció: Ameyibe az improprius itegrál véges szám, azt modjuk, hogy koverges, míg ellekező esetbe divergesek evezzük. a Példa: Számítsuk ki az d itegrált. Megoldás: az itegradus -be em korlátos, így improprius itegráluk va. Felírhatjuk, hogy d d lim lim Az itegrálszámítás alkalmazásai f ab, itervallumo értelmezett itegrálható függ Területszámítás: Ha az véy, akkor a függvéygörbe alatti terület: b a T f d. A görbe voalú trapéz területéből kiidulva külöféle síkidomok területét tudjuk határozott iteg- f g függvéy közötti síkidom területét az a és b között: rállal kiszámítai, például két, Ha a görbe b a T g f d. t y y t, t t t t d t, paraméteres alakba adott, akkor T y t dt. A szektor- t dt t d t területet a T y t t t dt dy t dt dt képlettel határozzuk meg. Ha a görbe r r. T r d, polárkoordiátás alakba adott, akkor a szektorterület Barabás Béla, Fülöp Ottília, BME

56 5 Az építészek matematikája, I Ívhossz: Attól függőe, hogy az f itegrálható függvéyük Descartes-koordiátákkal, paraméterese vagy polárkoordiátákkal va megadva, a következő képletekkel felírhatjuk az ívhosszt: b s f ' d, a b d t dy t s dt, valamit a dt dt s dr r d. d koordiátákkal vagy paraméterese va megadva, a függvéygörbe -tegely körüli forgatásával keletkező test térfogata: b Forgástest térfogata: Attól függőe, hogy az f itegrálható függvéyük Descartes- V f d, illetve a V t y t t d t dt. dt Ameyibe az y -tegely körüli forgástest térfogatát számoljuk, függvéy ivertálásra va szükség, utáa már haszálható a feti képletek bármelyike Forgástest felszíe: Ha a függvéy Descartes-koordiátákkal va megadva, az -tegely körüli forgatással keletkező test felszíe az b F f f ' d. a Ameyibe paraméterese megadott függvéyük va, az F t t d t dy t y t dt képletet haszáljuk. dt dt tegely, az Síklap súlypotjáak koordiátái: Ha egy egyeletes tömegeloszlású síklemezt az - f függvéy görbéje és az a, valamit az b függőleges egyeesek határolak, akko r a lemez súlypotjáak koordiátáit a következő képletekkel számíthatjuk ki: Barabás Béla, Fülöp Ottília, BME

57 5. Itegrálszámítás 53 s b f a b f a d, valamit az d y s b f a b f a d. d Példa: Számítsuk ki az f függvéy, az -tegely, valamit az és egyeesek által határolt egyeletes tömegeloszlású síklemez súlypotjáak koordiátáit. Megoldás: Először kiszámoljuk a két koordiáta evezőjét, azaz Az s koordiáta számlálója f d d 5 4 f d d 5. Ezért a keresett súlypot 3 3, f d d, míg az y s koordiáta számlálója Példa: Hallgassuk meg, miről is szóltak az eddigi fejezeteik (elemi agoltudás szükséges hozzá). Barabás Béla, Fülöp Ottília, BME

58 54 Az építészek matematikája, I 6. Vektorok 6.. Lieáris tér (vektortér) 6... Defiíció: Azoos hosszúságú, azoos állású, azoos iráyítású iráyított szakaszok halmazát vektorak evezzük. A vektorokat u, u,..., u, v, v,..., v, abc,,,...-vel jelöljük, de természetese a középiskolába haszált v, v,..., v, a, b, c,... jelölések is jók, az összes vektor halmazát pedig V -vel. A továbbiakba feltételezzük, hogy ismertek a vektorműveletek (összeadás, kivoás és vektorok skalárral, azaz számmal való szorzása), valamit a vektor hosszáak fogalma és aak kiszámítási módja Megjegyzés: A geometriába defiiáltuk az u és v vektorok skaláris szorzatát, mely em más, mit uv u v cos, ahol em más, mit a két vektor által bezárt szög. Ebből azoal következik, hogy a skaláris szorzat em vektor, haem skalár és hogy két vektor potosa akkor merőleges egymásra (azaz ortogoálisak), ha skaláris szorzatuk ulla. A skaláris szorzás kommutatív, azaz uvv u bármely u és v vektorokra és disztributív az összeadásra ézve, azaz mide uv, és w vektorokra uvwuwv w áll fe A vektorműveletek tulajdoságai: ) Összeadás: Vektorok összege vektor, azaz uv, Vu v V (azaz az összeadás belső művelet), az összeadás kommutatív, azaz u v u v, u, v V, az összeadás asszociatív, azaz u v w u v w, u, v, w V, va zérusvektor, azaz V úgy, hogy u uu V, mide vektorak va elletettje, azaz u V u V u u. úgy, hogy ) Skalárral (valós számmal) való szorzás (itt em midig tesszük ki a szorzás jelet): Skalár és vektor szorzata vektor, azaz uv R u V, u u, R, u V, R úgy, hogy u uu V. 3) Disztributivitás, azaz,,, u u u Ru V,,,, u v u v Ru v V Defiíció: R-feletti lieáris térek vagy vektortérek evezük mide olya halmazt, amely redelkezik a feti tulajdoságokkal. Barabás Béla, Fülöp Ottília, BME

59 6. Vektorok Példák vektorterekre:. a legfeljebb -edfokú poliomok tere a valós számhalmaz felett, a poliomok összeadásával és valós számmal (skalárral) való szorzásával,. a folytoos függvéyek tere az R felett, a függvéyek összeadásával és valós számmal törtéő szorzásával Defiíció: A v, v,..., v vektorok lieáris kombiációja az v v... v vektor, ahol i R Defiíció: A v, v,..., v vektorok lieárisa függetleek, ha az v v... v egyeletből következik, hogy..., azaz ha a v, v,..., v vektorredszerek csak a triviális lieáris kombiációja egyelő a zérusvektorral. Ellekező esetbe a v, v,..., v vektorredszert lieárisa összefüggőek evezzük. (Ilyekor tehát a v, v,..., v vektorredszerek va olya lieáris kombiációja, amelyik egyelő a zérusvektorral, de em mide együttható zérus, azaz az v v... v egyeletbe va ullától külöböző i együttható Tétel: Ha a v, v,..., v vektorredszer összefüggő, akkor va olya vektora, amelyik előállítható a többi lieáris kombiációjakét. 6.. Lieáris altér 6... Defiíció: Az L lieáris tér egy L ' részhalmazát lieáris altérek evezzük, ha L' maga is lieáris tér az eredeti műveletekkel Példák: Tekitsük az R 3,, R, lieáris teret (az 3 R 3-dimeziós vektorteret R felett a vektorok összeadásával és a vektorok valós számokkal való szorzásával). Köyű beláti a defiíció segítségével, hogy ebbe a lieáris térbe. az X,, R lieáris alteret alkot, míg 3 3. az X,, R vagy em alkot lieáris alteret Defiíció: Ha v, v,..., v egy L lieáris tér vektorai, akkor eze vektorok összes lehetséges lieáris kombiációi az L vektortér egy alterét alkotják. Ez a v, v,..., v vektorok által geerált lieáris altér. A v, v,..., v vektorokat az altér geeráló redszeréek evezzük Megjegyzés: Ha a v, v,..., v geeráló redszer összefüggő, akkor az általuk geerált tér kevesebb vektorral is geerálható. Ha a v, v,..., v geeráló redszer függetle vektorredszer, akkor a tér kevesebb vektorral em geerálható. (Ez a legszűkebb geeráló redszer.) Defiíció: Egy legszűkebb geeráló redszert bázisak evezük. Megmutatható, hogy két külöböző bázis ugyaayi vektort tartalmaz. A vektortér dimeziója a bázisvektorok számával egyelő. Barabás Béla, Fülöp Ottília, BME

60 56 Az építészek matematikája, I Tétel: A tér mide vektora egyértelműe áll elő a bázisvektorok lieáris kombiációjakét. A bázisvektorok együtthatóit a vektor koordiátáiak evezzük Megjegyzés: Az... redezett szám -esek (ahol i R mide i,,..., eseté) teljesítik a vektortér aiómáit, így elmodhatjuk, hogy a redezett szám -esek tere vektortér. Eek egy bázisa az e, e,..., e, ebből adódóa pedig dimeziója. Az ilye bázist, mikor az e i bázisvektort úgy kapjuk meg, hogy a ullvektorba az i-edik kompoesbe a -t kicseréljük -re, kaoikus bázisak evezzük. Az -dimeziós lieáris térbe a skaláris szorzást defiiálhatjuk a következőképpe is: u v u Defiíció: Ha u ueu e... ue v és vv... ev e... v e, akkor az... u v u és v vektorok skaláris szorzata az uvuv uv... uvvalós szám Defiíció: Ha u u... u... u u e u e u e, akkor az u u skaláris szorzat em más, mit az u u... u : u, ami em más, mit az u ormájáak (azaz hosszáak) a égyzete Példák:. Tekitsük a háromdimeziós vektorok terét az R felett. Ebbe a térbe az u v w,,,,,, vektorok bázist alkotak, mert lieárisa függetleek (a lieáris függetleség defiíciójával elleőrizhetjük le). Barabás Béla, Fülöp Ottília, BME

61 6. Vektorok 57. A legfeljebb másodfokú valós együtthatós poliomok vektorterébe is köyű elleőrizi, f 4 hogy az poliomok (vektorok) bázist alkotak (elég leelleőrizi a defiícióval, hogy lieárisa függetleek, mivel a vektortér 3 dimeziós (egy bázisa lehet pl. f f3 3 az,, ) Defiíció: Az e, e,..., e bázisvektorok ortoormált redszert alkotak, ha a bázisvektorok párokét ortogoálisak ( ee i j, ha i j) és ormáltak ( ee i i, midegyik e i vektorra, azaz ormájuk ) Tétel (Vektor felbotása adott vektorral párhuzamos és rá merőleges kompoesekre): Az u vektor v vektorral párhuzamos és arra (azaz v -re) merőleges kompoesekre való botása az uv uv up um v u v vektorösszeget jeleti, ahol az összeg első tagja a v -vel párhuzamos v v kompoes (azaz az u merőleges vetületvektora a v -re), a második vektor pedig a v -re merőleges kompoes. Bizoyítás: Az u vektor v vektorra eső vetületéek hosszát (ormáját) az v u skaláris szorzattal v számoljuk ki. Ezt még be kell még szorozuk a v egységvektorával, ami v v. Ezzel már a párhuzamos kompoest kiszámoltuk. A merőleges kompoes pedig egy egyszerű vektorkivoás. Az ilye feladatokál a végé, elleőrzéskét célszerű kiszámoli a két eredméyvektor skaláris szorzatát. Ha ez ulla, akkor jó a számításuk. Barabás Béla, Fülöp Ottília, BME

62 58 Az építészek matematikája, I 7. Mátriok 7.. Az m -es mátriok vektortere a valós számhalmaz felett 7... Defiíció: m -es (valós elemű) mátriak evezük egy m sorból és oszlopból álló valós számtáblázatot. Az -es mátriokat (melyekbe a sor-és oszlopszám egyelő) -edredű égyzetes vagy kvadratikus mátriokak evezzük. Mátrioko a következő műveleteket vezetjük be: Összeadás: Legye A és B két azoos típusú ( m -es) mátri. (A mátriokat vagy két voallal aláhúzott agybetűkkel jelöljük ( A, B, stb.) vagy vastag agybetűkkel (A, B, stb.). Mi most az első jelölést haszáljuk a következőkbe.) Ameyibe a két mátriuk a a... a b b... b a a... a A =a ij i, m = b b... b és B =bij i, m = j, j, am am... am bm bm... bm (vegyük észre, hogy az első ide midig a sorszámot, míg a második az oszlopszámot jelöli), az összegmátri defiíció szerit a b a b... a b a b a b... a b A B= aij bij i, m =. j, ambm am bm... am bm 7... Tétel: A mátri-összeadásak megvaak a következő tulajdoságai:. m típusú mátriok összege m típusú marad, azaz az összeadás belső művelet az m típusú mátriok halmazá,. a mátriok összeadása kommutatív, azaz mide m típusú A és B mátri eseté A B B A, 3. a mátriok összeadása asszociatív, azaz mide m típusú A, B és C mátri eseté A BC AB C, va zérusmátri vagy ullmátri, ami em más, mit :=, ami azzal a tulajdosággal redelkezik, hogy összeadáskor változatlaul hagyja a mátriokat, azaz... A A mide m típusú A mátri eseté, Barabás Béla, Fülöp Ottília, BME

63 7. Mátriok mide m típusú A mátriak va elletett mátria, ami em más, mit a a a... a a a... a A =aij i, m = és azzal a tulajdosággal redelkezik, hogy j, am am... am A A. A Mátriok skalárral (valós számmal) való szorzása: Legye a a... a a a... a A =aij i, m = és R. Ekkor defiíció szerit j, am am... am a a... a... ij i m = a a a j, a a... a = a, m m m Tétel: A skalárral való szorzás a következő tulajdoságokkal redelkezik:.. skalár és mátri szorzata mátri, potosabba mide m típusú A mátri és mide R eseté, A m típusú mátri lesz,. kommutatív, azaz mide m típusú A mátrira és mide R skalárra A A, 3. mide m típusú A mátrira és mide, R skalárokra A A, 4. létezik R, hogy A A, mide m típusú A mátrira, 5. A és, mide m típusú A mátrira és mide R skalárra, 6. disztributivitás, azaz mide m típusú A és B mátrira és mide, R skalárra A A A és AB A B Következméy: Az m típusú mátriok lieáris teret alkotak skalárral való szorzás műveletekkel. R felett az összeadás és a 7.. Mátriok szorzása Az összeadás és a számmal való szorzás mellett defiiáljuk a mátriok szorzását. Itt fotos a szorzótéyezők típusa, em akármilye mátriszorzás végezhető el, de még csak az sem igaz, hogy ugyaolya típusú mátriok összeszorozhatók. Barabás Béla, Fülöp Ottília, BME

64 6 Az építészek matematikája, I a a... a a a... a 7... Defiíció: Legye az A =a ij i, m = j, am am... am m típusú mátri és b b... b k b b... b k B =b ij i, = j, k b b... bk k típusú mátri. A C A B szorzatmátri egy m k típusú mátri, melyet a következőképpe defiiáluk: cij aipbpj ai bj ai b j... aibj, ahol i,,..., m és j,,..., k. A legtöbbször össze sem p szorozható két mátri, mert em teljesítik a defiíció elejé megjelölt feltételeket a típusukra ézve, azaz em áll fe, hogy az első szorzótéyezőek ugyaayi az oszlopszáma, mit a második szorzótéyező sorszáma Példa: Szorozzuk össze az 3 A és B mátriokat. Megoldás: csak az AB szorzat létezik, ez pedig em más, mit az 7 AB 3 mátri Tétel: A mátriok szorzása a következő tulajdoságokkal redelkezik:. zártság csak kvadratikus mátriok eseté áll fe, azaz csak az típusú mátriok szorzata őrzi meg a szorzótéyezők típusát,. a mátriszorzás em kommutatív, azaz általába AB BA, még ha a bal és jobb oldal értelmes is, 3. asszociatív, azaz AB C ABC, mide olya A, B és C típusú mátrira, melyek ebbe a sorredbe összeszorozhatók Létezik az I = m m típusú egységmátri, melyre mide m típusú A... mátri eseté I A A (sőt, ameyibe az I és A mátriok típusúak, akkor még kommutativitás is va, azaz I A AI A Megjegyzés: Bizoyos kvadratikus A mátriok ivertálhatók, azaz létezik úgy, hogy A A AA I, de erre később térük vissza. A iverz mátri Barabás Béla, Fülöp Ottília, BME

65 7. Mátriok 6 a a... a a a... a Defiíció: Az A = m típusú mátri traszpoáltja em más mit az am am... am a a... am... = a a a T m A m típusú mátri. a a... am Defiíció: Az A égyzetes mátri ortogoális, ha T A A AA I. T Megjegyzés: Köyű beláti, hogy az A mátri ortogoális (ez egybe azt is jeleti, hogy oszlopai párokét ortogoális vektorredszert alkotak) Lieáris traszformációk (leképezések) Defiíció: Az F: R R m leképezés lieáris, ha mide u és v vektorokra az R -ből u v Fu F F v és mide u R vektorra és mide R F u F u. skalárra m Megjegyzés: Az előző defiíciót úgy is megfogalmazhattuk vola, hogy az F: R R leképezés lieáris, ha mide u és v vektorokra az R -ből és mide, R skalárra F u v F u F v Defiíció: Az -dimeziós R tér való lieáris leképezéséek evezzük. T : R R lieáris traszformációját a tér ömagára Hogya aduk meg egy lieáris leképezést? Tekitsük az R lieáris teret, egy adott m e, e,..., e bázisával együtt és az R lieáris teret, egy adott f, f,..., f bázisával. Egy tetszőleges m u u ueu e... ue R u m vektor képe FuuFe u Fe... ufe R, tehát csak a bázisvektorok képét kell megaduk, ekkor már mide ismert lesz. Legyeek Barabás Béla, Fülöp Ottília, BME

66 6 Az építészek matematikája, I u u Fe u f u f... u m f m um és így tovább, u u Fe u f u f... u m f. m um u u... u u u... u Ekkor az U mátri mide iformációt tartalmaz. Ezt a mátriot evezzük um um... um az adott lieáris traszformáció mátriáak az e, e,..., e és f, f,..., f bázisokra ézve. Egy m ilye mátri oszlopai potosa az értelmezési tartomáybeli lieáris tér bázisvektoraiak a képét tartalmazza az új bázisvektorokkal felírva. Ekkor a lieáris traszformációkat mátrios alakba is felírhatjuk, éspedig F v U v, ahol U az előbb levezetett mátri Példa: Írjuk fel a térbeli potok y -síkra való vetítéséek mátriát. 3 Megoldás: Az R -beli e, e, e 3 kaoikus bázis képei a következők: e, e,. Ezeket ebbe a sorredbe oszlopokba redezve megkapjuk az y -síkra való vetítés mátriát:. Barabás Béla, Fülöp Ottília, BME

67 8. Determiások Determiások 8.. Másod- és harmadredű determiások A determiások tulajdoképpe kvadratikus mátrioko értelmezett valós függvéyek. Jelölésük: A vagy det A. Míg a mátriok számtáblázatok, addig a determiások számok, melyeket ebbe a fejezetbe megtauluk kiszámoli. a a 8... Defiíció: A másodredű determiás em más, mit aa aa, azaz a főátló a a meti elemek szorzata míusz a mellékátló meti elemek szorzata. A harmadredű determiás a a a3 a a3 a a3 a a pedig em más, mit a a a3 a a a3, ahol a másodredű determiások értékét az előző defiícióval számítjuk a3 a33 a3 a33 a3 a3 a3 a3 a33 ki Megjegyzés: Itt em törtét más, mit kifejtettük a harmadredű determiást az első sora szerit. Kifejtésél itt egy, az első sor szeriti összeget számoluk, szem előtt tartva a következőket: sor oszlop j. az előjelet, ami azt jeleti, hogy előjelük lesz a kifejtés mide tagjába,. magát az elemet, ami azt jeleti, hogy az előbbi előjel utá beírjuk azt az elemet, ahol tartuk az első sor szeriti kifejtésbe, 3. az aldetermiást, azaz az előbbit azzal az aldetermiással kell szorozuk, melyet akkor kapuk, ha a determiásuk a j eleméek sorát (jele esetbe az első sort) és oszlopát kihúzzuk, 4. ezeket pedig az első soruk mide egyes elemére elvégezzük Megjegyzés: A harmadredű determiás első sora szeriti kifejtéssel a következő törtéik: a a a3 3 j a a a a A a a a 5. 3 j j j , ahol az A em más, mit az a j elem soráak (jele esetbe az első sorak) és oszlopáak kihúzásával kapott (másodredű) aldetermiás. Ezzel tulajdoképpe előkészítettük az -edredű determiás fogalmát Példák: j , Barabás Béla, Fülöp Ottília, BME

68 64 Az építészek matematikája, I. a harmadredű Vadermode determiást a következőképpe defiiáljuk és számítjuk ki: a a b b b b b b a a bc b cac b a c b= c c c c c c bc c b a c b c b a c b c b bc ac ab a c b b a c a. = 8.. A másod- és harmadredű determiások alkalmazásai, geometriai iterpretációk 8... Defiíció: Az a és b háromdimeziós vektorok vektoriális szorzata egy olya háromdimeziós, ab-vel jelölt vektor, melyre teljesülek a következők:. az a és b vektorok vektoriális szorzata vektor,. ab a és ab b, 3. hossza a b a b si, ahol, a két vektor által közrezárt szög, 4. a, b, a b jobbredszert (vagy jobbsodrású redszert) alkot, mely azt jeleti, hogy ameyyibe az a vektortól a b felé haladva óramutató járásával elletétes iráyba haladuk, akkor az a b vektor a két vektor síkjára merőlegese felfelé mutat, ha pedig óramutató járásával megegyező az iráy, akkor lefelé Megjegyzések: koordiátákkal kiszámolva a következő igaz: a b 3. ameyibe az a aia ja3k a 3 R és b bi b jb3k b R, akkor a a 3 b 3 i j k vektoriális szorzatuk ab a a a3. b b b. ii j j kk, 3. i j k, j k i, ki j, 3 4. abb a, mide a és b vektorokra Következméy (a vektori szorzat hosszáak geometriai kétdimeziós iterpretációja): a b Az a aia j R a és bbi b j R b síkvektorok által kifeszített paralelogram- ma területe= ab a b si, a kifeszített háromszög területe pedig ab a b si. a b c Defiíció: Az a a, b b, és c c háromdimeziós vektorok vegyes szorzata az a 3 b 3 c 3 ab c skalár, amit szoktuk még a b c-vel is jelöli. Barabás Béla, Fülöp Ottília, BME

69 8. Determiások Tétel: Az a b c vegyes szorzat em más, mit a három vektor által kifeszített paralelepipedo a a a3 előjeles térfogata, azaz Vparalelepipedo a bc = b b b3. Ugyaakkor a három vektor által kifeszített tetraéder térfogata Vtetraéder a bc = b b b c c c3 a a a3 c c c Megjegyzés: A harmadredű determiás tulajdoságaiak a megértésébe agy segítséget jelet a tétel Az -edredű determiás és tulajdoságai Defiíció: a a... a a a... a a a... a egy -edredű determiás. Egy skalárról va szó, melyet bármely sora vagy oszlopa szeriti kifejtéssel kiszámolhatuk Megjegyzések: a a... a a a... a a a... a. az j j a A j j alakba írjuk fel az első sor szeriti kifejtést, ahol A em más, mit az a j j elem soráak és oszlopáak törlése utá kapott aldetermiás.. Ameyibe az i-edik sor szerit fejtjük ki a determiást, a a... a a a... a a a... a j i j a A, ij ij ahol az A em más, mit az ij a ij elem soráak és oszlopáak törlése utá kapott aldetermiás. 3. A i j A ij kifejezést szoktuk még az elemhez tartozó előjeles aldetermiásak is evezi. A továbbiakba az egyszerűség kedvéért haszáljuk ezt a kifejezést. 4. A determiás aalóg módo kifejthető bármely oszlopa szerit is. a ij Barabás Béla, Fülöp Ottília, BME

70 66 Az építészek matematikája, I Tétel (A determiások tulajdoságai): Érvéyesek a következők: a determiás bármely két soráak felcserélése előjelváltást eredméyez, ha va két egyforma sor, akkor a determiás zérus, ha va csupa -t tartalmazó sor, akkor a determiás zérus, a traszpoálás (főátlóra tükrözés) em változtatja meg a determiás értékét, ezért bármit kijeletük sorokra, igaz oszlopokra is, ha egy sor (oszlop) számszorosát egy másik sorhoz (oszlophoz) hozzáadjuk, a determiás értéke em változik, ha a főátló fölött (vagy alatt) csak va, akkor a determiás értéke a főátlóbeli elemek szorzata Mátri iverzéek kiszámolása a determiás segítségével Defiíció: Az A típusú mátri adjugált mátriát (jel. adj A ) úgy kapjuk meg, hogy mide elem helyére beírjuk a hozzá tartozó előjeles aldetermiás értékét, majd traszpoáljuk. adj A A... A A A A A A A Tétel: Az A mátri akkor és csak akkor ivertálható, ha det A. Ha adj A A. det A A T. det A, akkor Példa: Számítsuk ki az cos A si si cos mátri iverzét, ha létezik. Megoldás: Az iverz létezik, mert det A cos si. Az adjugált mátri T cos si cos si adj A si cos si cos, ami egybe az iverz mátri is, mert -gyel kell elosztai az adjugált mátriot ahhoz, hogy megkapjuk az iverz mátriot. Köyye elleőrizhető, hogy A A AA. Barabás Béla, Fülöp Ottília, BME

71 9. Koordiátageometria Koordiátageometria Rögzítsük a háromdimeziós térbe az O origót és tekitsük az yz-koordiátaredszert. A tér mide P potja eseté az OP r i y j zk helyvektor egyértelműe meghatározza a pot térbeli elhelyezkedését. Ilyekor azt modjuk, hogy a P pot koordiátái, yz, és ezt P, y, z - vel jelöljük. Ebbe a fejezetbe az egyeesek és síkok egyeleteit és kölcsöös helyzetét vizsgáljuk. Figyelmük most csak a háromdimeziós térre korlátozódik. 9.. Egyees és sík 9... Defiíció: Ha adott az egyees egy r, y, z helyvektorú P, y, z potja és egy vv, v, v 3 iráyvektora (azaz olya vektor, mely párhuzamos az egyeessel), akkor az egyees egy tetszőleges potjához tartozó (potjába mutató),, r r vt r y z vektorra teljesül, hogy valamely t R paraméterértékre (ezt evezzük az egyees vektoregyeletéek), ami koordiátákkal vt felírva: y y vt, ahol t R. Ezt evezzük az egyees paraméteres egyeletredszeréek. z z v3t 9... Megjegyzés: Ameyibe az egyees iráyvektoráak koordiátái ullától külöbözek, az egyees paraméteres egyeletredszerét köye átírhatjuk Descartes-koordiátás alakba (ezt evezzük az egyees egyeletredszeréek): P y y zz v v v3 és fordítva, ezt t-vel egyelővé téve, majd az, y, z-t kifejezve, megkapjuk a paraméteres egyeletredszert Példa: Írjuk fel a,,3 és Q 3,5, potoko átmeő egyees vektoregyeletét, egyeletredszerét és paraméteres egyeletredszerét. Megoldás: A vektoregyelethez szükségük va a PQ Q P, yq yp, zq zp 5,5, 5 vektorra. Ie a vektori egyelet em más, mit r rp 5,5, 5t, ahol t R. Ezt átírhatjuk az, yz,,,35,5, 5t, ahoa azoal kapjuk a paraméteres egyeletredszert: 5t y 5t, ahol t R. z 35t Barabás Béla, Fülöp Ottília, BME

72 68 Az építészek matematikája, I Az egyeletredszert pedig azoal felírhatjuk, ha a t paramétert mideütt kifejezzük, majd ezeket y z3 egyelővé tesszük: Defiíció: Ameyibe adott a sík egy,,,, 3 r y z helyvektorú P, y, z potja és egy ormálvektora (azaz olya vektor, mely merőleges a síkra), akkor a sík egy tetszőleges potjához tartozó (potjába mutató) r, y, z vektora kielégíti az rr egyeletet, ami koordiátás alakba em más, mit y y z z 9.. Illeszkedési és metszési feladatok a térbe Illeszkedés A P, y, z r r r vt. P, y, z pot rajta va az r r vt egyeese, ha va olya t, amelyre A r pot rajta va az r r egyeletű síko, ha r r egyees bee va az r r síkba, ha r vt r Az r r vt Metszési feladatok vt wt Egyeesek metszéspotja: Az y y v t, egyees metszi az y y w t z z v3 t z z w3 t vt wt ha va olya t és t, hogy y vt ywt, ellekező esetbe kitérők. z v3t zw3t egyeest, Egyees és sík döféspotja: Az r r vt r r sík döféspotját az a t skalár határozza meg, amely megoldása az r vt r elsőfokú egy ismeretlees egyeletek. egyees és az Megjegyzés: Sík és egyees merőlegesek egymásra, ha az egyees iráyvektora és a sík ormálvektora párhuzamosak. Modhatjuk úgy is, hogy a sík és egyees merőlegesek egymásra, ha az egyees iráyvektora egy ormálvektora a síkak Példa: Írjuk fel aak a síkak az egyeletét, amely átmegy a P,, poto és merőleges a yz 3 és yz síkok metszésvoalára (egyeesre). Barabás Béla, Fülöp Ottília, BME

73 9. Koordiátageometria 69 Megoldás: Ha a z t paraméterezést választjuk, akkor a két sík egyelete y 3t és 4 t 3 y t, ami az y t egyeest eredméyezi. Eek egy iráyvektora az,, vektor. 3 z t Ez lesz a sík ormálvektora, úgyhogy még csak azt kell figyelembe veük, hogy a keresett sík P, poto, ezért az eredméy y z, azaz átmegy a, yz Térelemek távolsága P y z,, Két pot távolsága: a,, és P y z potok távolságát a d y y z z képlettel számoljuk ki (tulajdoképpe a két pot által meghatározott vektor hosszából jö ki). P, y, z pot és az r r vt egyees távolságáak Pot és egyees távolsága: a meghatározásához felírjuk a P poto átmeő és az egyeesre merőleges sík egyeletét, ami vrr. Kiszámítjuk a sík és egyees P döféspotját, majd a P és P potok távolságát. Pot és sík távolsága: a,, pot és az előjeles távolsága P y z y y z z d y y z z 3 3 sík 3 vt wt Két egyees távolsága: legye a két egyees az y y v t és az y y w t. z z v3 t z z w3 t Az v w ormál traszverzális iráyú vektor (midkét vektorra merőleges). Tekitsük egy P potot az első egyeese, egy Q potot pedig a másodiko. Tulajdoképpe PQ vektort vetítjük a ormál traszverzális iráyú vektorra, így a keresett v w távolság d P Q (a képletbe szerepel skaláris szorzás és vektoriális szorzás is). v w. Egyees és sík távolsága: csak párhuzamosság eseté érdekes, ekkor az egyees egy tetszőleges potjáak a síktól vett távolságát számoljuk. Síkok távolsága: csak párhuzamosság eseté érdekes, ekkor az egyik sík egy tetszőleges potjáak a másik síktól vett távolságát számoljuk Megjegyzés: Metsző egyeesek távolsága. Párhuzamos egyeesekél (mikor a két iráyvektor egymás számszorosa) elegedő egyik egyees tetszőleges potjáak a másik egyeestől vett távolságát kiszámítai. Barabás Béla, Fülöp Ottília, BME

74 7 Az építészek matematikája, I 9.4. Hajlásszögek Két vektor szögét legegyszerűbbe a skaláris szorzat segítségével számoljuk ki a cos vw, képlettel. v w v w Két egyees hajlásszöge megegyezik az iráyvektoraik szögével. Egyees és sík hajlásszöge az iráyvektor és ormálvektor pótszöge. Két sík hajlásszöge a ormálvektoraik szögével egyelő Példa: Határozzuk meg az y és yz síkok szögét. Megoldás: A két sík ormálvektora,, és,,. Eze vektorok szögéek kosziusza cos,, így a bezárt szög. 4 Barabás Béla, Fülöp Ottília, BME

75 PÉLDATÁR. Sorozatok 73. Függvéyek határértéke Folytoosság 8 4. Deriválás Éritő 9 6. Szélsőérték-feladatok Függvéyvizsgálat Határozatla itegrál, az itegrálás techikája 8 9. Az itegrálás alkalmazásai. Terület 8. Az itegrálás alkalmazásai. Térfogat. Az itegrálás alkalmazásai. Felszí. Az itegrálás alkalmazásai. Ívhossz 4 3. Az itegrálás alkalmazásai. Súlypot 6 4. Görbület, simulókör 8 5. Vektortér 9

76 7 Az építészek matematikája, I. PÉLDATÁR 6. Koordiátageometria Mátriok Lieáris egyeletredszerek 45

77 . fejezet Sorozatok Írja fel az alábbi sorozatok első éháy elemét. Vizsgálja meg, hogy az adott sorozat korlátose, mooto-e, koverges-e?. a = 3. b = ( ) 3. c = d = 5 5. e = 3 6. f = 3 7. g = 4 8. h = i = 5 + ( ). j = + + Írja fel az alábbi sorozatok -edik elemét. Vizsgálja meg, hogy az adott sorozat korlátos-e, mooto-e, koverges-e?.,, 3,...., 4, 9, 6, 5,... 3.,, 5, 8,,... 4.,9;,99;,999;,9999;... 5.,,,,,,... 6.,,,,,,,,,...

78 74 Az építészek matematikája, I. PÉLDATÁR 7.,, 3, 4, Legye a = 5+. Határozza meg azt a legkisebb természetes számot (küszöbideet), melyre teljesül, hogy > eseté az a eltérése az (a ) sorozat határértékétől kisebb mit ε =. Vizsgálja meg, hogy kovergesek-e az alábbi sorozatok. Ha ige, akkor határozza meg a határértéket. 9. a = +3. a = a = a = a = a = (4+) a = a = a = a = 3 9. a = 3 3. a = 3 3. a = a = a = a =,, a =,8 +5, a = a = a = a = ( + ) 4. a = ( + 4. a = ( + ) )

79 . Sorozatok a = ( ) a = ( ) a = ( ) 3+ ( 45. a = ( 46. a = + + ) ) ++ Megoldások Egy mitamegoldás (8. feladat megoldása): a = + = (+3) 5 = 5. Ha -et öveljük, + 3 is szigorúa mooto övekvő lesz, szigorúa mooto csökkeő, szigorúa mooto övekvő, így a is az lesz az első elemtől kezdődőe. Ezért egy jó alsó korlát az a = 3, míg az a 4 = 5 -ból +3 következik, hogy a legjobb ( felső korlátuk a. Sorozatuk koverges, mert mooto és korlátos. lim a = lim 5 ) =. + 3 Megjegyzések:. Ameyibe em haszáljuk az a = 5 átírást, tekithetjük az a +3 + a = (+)+ + = = > külöbséget, melyből következik, hogy a + > a, tehát ( sorozatuk szigorúa mooto övekvő. Ekkor a (+) (+4)(+3) limesz: + lim + 3 = lim + ր ) ) =. ( + 3 ց. Pozitív tagú sorozatok eseté (mit amilye ez is) tekithetjük az a + a háyadost is, ha mootoitást vizsgáluk. Ekkor azt kell megézük, hogy -él agyobb vagy kisebb a háyados, ettől függőe szigorúa mooto övekvő vagy csökkeő a sorozat.

80 76 Az építészek matematikája, I. PÉLDATÁR. a = 3 3, 6, 9,,... em korlátos mooto övő diverges. b = ( ),, 3, 4,... em korlátos em mooto diverges 3. c = + 4 6,, 4, 8,... em korlátos mooto övő diverges 4. d = 5 5, 5, 5 3, 5 4,... korlátos mooto csökkegál -hoz kover- 5. e = 3 3, 3 4, 3 9, 3 6,... korlátos mooto övő -hoz kovergál 6. f = 3 3, 9, 7, 8,... em korlátos mooto övő diverges 7. g = 4 3, 5, 63, 55,... korlátos mooto csökkegál -hoz kover- 8. h = , 5 5, 7 6, 9 7,... korlátos mooto övő -höz kovergál 9. i = 5 + ( ) 5, 5+, 5 3, 5+ 4,... korlátos em mooto 5-höz kover-. j = + +, 3 +, 4 3+, 5 gál 4+,... korlátos mooto övő -hez kovergál.,, 3, 4,... a = em korlátos mooto övő diverges., 4, 9, 6,... b = em korlátos mooto övő diverges 3.,, 5, 8,... c = 3 4 em korlátos mooto övő diverges 4.,9;,99; d = korlátos mooto övő -hez kovergál,999;... 5.,,,,... e = ( ) korlátos em mooto diverges, ha =3k 6.,,,,,... f =, ha =3k, korlátos em mooto diverges, ha =3k ahol k N. 7.,, 3, 4,... g = ( ) + korlátos em mooto -hoz kovergál 8. Legye a = 5+.H Határozzuk meg azt a legkisebb természetes számot (küszöbideet), melyre teljesül, hogy > eseté az a eltérése az (a ) sorozat határértékétől kisebb mit ε =.

81 . Sorozatok 77 Megoldás. Ameyibe tetszőleges ε-hoz adjuk meg a küszöbideet, a sorozat kovergeciáját bizoyítjuk a defiíció segítségével. Most viszot számoljuk ki a küszöbideet a kért ε = értékre. A sorozat határértéke lim 5 + = lim ( ր ) ) = ( ց Teljesülie kell az 5+ 5 < egyelőtleségek, ami a következőkkel ekvivales: 9 5(5+) < 78 8<(5 + ) 78<5 >. Ezért 5 = [ ] 78 5 = 35 a kért küszöbszám. 8. lim +3 =. 9. lim = 4.. lim = +, diverges.. lim =.. lim + 3 =. 3. lim (4+) 3 +3 = +, diverges. 4. lim =. 5. lim lim =. = +, diverges. 7. lim 3 = +, diverges. 8. lim 3 =. 9. lim 3 =. 3. lim =. 3. lim +4 = +, diverges lim =.

82 78 Az építészek matematikája, I. PÉLDATÁR 33. lim,,3 +5 =. 34. lim,8 +5,4 +4 = +, diverges. 35. lim + + =. 36. lim + + =. 37. lim + + =. 38. lim ( + ) =. ( 39. lim + ) = e. 4. lim ( + ) = e lim ( +) = e 3. ( 4. lim + ) =. ( 43. lim 3+ ) = +, diverges. 44. lim ( + ) =. 45. lim ( + ) ++ = e 3.

83 . fejezet Függvéyek határértéke Határozza meg az alábbi függvéyek adott helye vett határértékét!. lim lim lim lim lim lim lim lim (+3) 9 9. lim +3. lim 3. lim lim 3. lim si5 4. lim si 5 5. lim si5 tg 6. lim cos

84 8 Az építészek matematikája, I. PÉLDATÁR 7. lim cos 8. lim tg si 3 9. lim l(+5) l 5. lim (+). lim (+). lim + 3. lim lim + si ( 5. lim + 6. lim ( lim ( lim ( 3+ + ) ) ) ) + 9. lim (cos ) 3. lim (cos ) ctg Megoldások. lim 3 +3 = 4. lim 3 +3 = 3. lim + 3 = 4. lim +3 = 3 5. lim +3 = lim +3 = 5 7. lim +3 = 3 8. lim (+3) 9 = 6 9. lim +3 =. lim 3 =

85 . Függvéyek határértéke 8. lim =. lim = 3 3. lim si5 = 5 4. lim si 5 = 5. lim si5 tg = 6. lim cos = 7. lim cos = 8. lim tg si 3 = 9. lim l(+5) l 5 =. lim (+) =. lim (+) =. lim + = 3. lim 5 + = 5 4. lim + = si ( 5. lim ) = e + ( 6. lim + ) = + ( 7. lim + +3) = ( 8. lim 3+ ) + + = e Útmutatás a következő két feladathoz: a) A feladat átalakítható így: lim (cos) = lim [ + (cos )] = lim [ + (cos )] cos cos. cos Most már csak a lim határértéket kell vizsgáli. lcos b) Határozzuk meg a függvéy logaritmusáak határértékét! lim : Itt alkalmazható a L Hospital-szabály. 9. lim (cos) = e 3. lim (cos) ctg =

86 3. fejezet Folytoosság. Az a paraméter mely értékeire lesz a következő függvéy folytoos? { si5, ha, tg g () = a + 5, ha =.. Állapítsa meg, hogy folytoos-e az alábbi függvéy az = és = helye!, ha, f() = arcsi, ha <, π, ha < Állapítsa meg, hogy folytoos-e az alábbi függvéy az = és = helye!, ha, f() = arctg, ha <,, ha <. 4. Állapítsa meg, hogy folytoos-e az alábbi függvéy az = és = 3 helye! +, ha, f() = +, ha < 3,, ha 3 <. π 4 5. Állapítsa meg, hogy folytoos-e az alábbi függvéy az = és = helye! +, ha, l f() = log, ha <, + 3, ha <. l

87 3. Folytoosság Állapítsa meg, hogy folytoos-e az alábbi függvéy az = és = helye! +, ha, l f() = log 5, ha <, + 3, ha <. Megoldások l. g ()a ( π; π) \ {} potokba folytoos, egyedül az = -a kell a folytoosságot vizsgáli. ( si 5 si 5 lim tg = lim 5 ezért a = 5 = 9. ) ր ( ) ր tg = = a + 5,. = helye folytoos, = helye em folytoos. 3. = helye folytoos, = helye is folytoos. 4. = helye folytoos, = 3 helye is folytoos. 5. = helye folytoos, = helye is folytoos. 6. = helye folytoos, = helye is folytoos.

88 4. fejezet Deriválás Határozza meg az alábbi függvéyek deriváltját!. f() = f() = f() = f() = f() = f() = f() = ( + 5)(3 7 8 ) 8. f() = (5 + 7) f() = (3 7 8 ) si. f() = (3 3 8 )(si cos ). f() = 3 +. f() = f() = cos 4. f() = tg +cos

89 4. Deriválás f() = 4 ( )( 3 3 ) 6. f() = 3 +3 ( ++3)(si ) 7. f() = 4 ( ) 8. f() = arcsi +arcsi 9. f() = 3 l. f() = 3 ( ). f() = e (3 4). f() = si l 3. f() = si log 3 4. f() = si 3 5. f() = si 3 6. f() = tg(4 + ) 7. f() = si( ) 8. f() = f() = cos 5 3. f() = (3 7 8 ) 3. f() = ( + + ) 3 3. f() = tg 33. f() = si 34. f() = (5 6 8 ) tg 35. f() = si f() = cos 3 +si f() = cos ( + )

90 86 Az építészek matematikája, I. PÉLDATÁR 38. f() = si 39. f() = si 4. f() = si 4. f() = lg si 5 4. f() = tg 43. f() = e 44. f() = tg f() = sh [ 3 + l( + 8)] 46. f() = arth ( ) 47. f() = 4 +sh +th 48. f() = arcsi 49. f() = arch + 5. f() = arctg 5. f() = e arth 5. f() = e 3 sh 53. f() = l tg 54. f() = e arctg 3 +lg( ) 55. f() = l tg ( 5 + π f() = ( + ) ( ) 57. f() = (si ) 58. f() = f() = + (si ) si 6. f() = (l ) lg 6. f() = ( + )( + )(3 + ) )

91 4. Deriválás 87 Megoldások. f () =. f () = f () = 3 4. f () = f () = f () = f () = (3 7 8 ) + ( + 5)( 6 6) 8. f () = (5 + 7) f () = ( 6 6) si + (3 7 8 ) cos. f () = (9 6)(si cos ) + (3 3 8 )(cos + si ). f () = 3 (+) ( 3 ) = (+) (+). f () = 3 ( +) ( 3 +4)(+) ( +) 3. f () = (3 ++)cos +( 3 + +)si cos 4. f () = (tg + cos )(+cos )+ tg si (+cos ) 5. f () = 4( )( ) ( )( 3 3 ) + 4( ) ( )( 3 3 ) ( 9 ) 6. f () = 3 ( ++3)(si ) ( 3 +3)[(+) si +( ++3)cos ] ( ++3) (si ) 7. f () = (4 4)( ) ( 4)[ +( ) ] ( ) 8. f () = (+arcsi ) ( arcsi ) = (+arcsi ) (+arcsi ) 9. f () = 3 l + 3 = 3 l +. f () = 3 l 3( ) + 3 (8 5 6)

92 88 Az építészek matematikája, I. PÉLDATÁR. f () = e (3 4) + e (6 4) = (3 + 4)e. f () = si l + cos l + si 3. f () = l si log 3 + cos log 3 + si l 3 4. f () = 3 si cos 5. f () = (cos 3 )3 6. f () = 8 cos (4 +) 7. f () = ( + 3) cos( ) 8. f () = 3 ( 35 ) 3( 5 4 ) 9. f () = (cos 5) (si 5) 5 3. f () = (3 7 8 ) 9 ( 6 6) 3. f () = 3 ( ) + + (+) + (+ ) 3. f () = tg cos 33. f () = cos si 34. f () = (5 6 8 ) 9 (3 5 6) tg + (56 8 ) cos 35. f () = ( ) cos (+ ) (+3) (+ ) 36. f () = 3 si 3 (+si 4 ) cos 3 4si 3 cos (+si 4 ) 37. f () = si ( ) + (+) l 38. f () = si l cos 39. f () = si l si cos 4. f () = si l (cos ) 4. f () = 5cos 5 si5 l 4. f () = (tg ) cos ( )

93 4. Deriválás f () = e 44. f () = cos + + (+) ( ) (+) 45. f () = ch[ 3 + l( + 8)] ( f () = ( ) ( ) 47. f () = f () = 49. f () = ( +sh ) 3 4 +th ( ) + 5. f () = = f () = e arth 4 ) ch (+th ) (+sh ) ch (+th ) = 5. f () = 3e 3 sh + e 3 ch 53. f () = tg cos = si cos = si 54. f () = e 3 + +lg( ) arctg 3 (+lg( ) 3 ) l ( ) l ( 3 +lg( )) 55. f () = l cos (5+ π 6) f () = ( + ) [ ] ( ) l( + ) f () = (si ) [ ] si + cos si 58. f () = + [ l( + ) + ] f () = (l + ) + (si ) [ si cos l si + si cos si 6. f () = (l ) [ lg l l + lg ] l l 6. f () = ( + )( + )(3 + ) +( + )(3 + ) +( + )(3+) +( + )( + ) ]

94 5. fejezet Éritő. Írja fel az f() = cos ( 3π 4 π ) függvéy = helyhez tartozó éritőjéek egyeletét! helyhez tartozó éritőjéek egye-. Írja fel az f() = tg (arccos) függvéy = letét! 3. Írja fel aak az egyeesek az egyeletét, amely merőleges az y = si(arctg ) függvéy = helyhez tartozó éritőjére és átmegy az éritési poto! 4. Írja fel aak az egyeesek az egyeletét, amely merőleges az y = + függvéy = helyhez tartozó éritőjére és átmegy az A(6,3) poto! 5. Írja fel aak az egyeesek az egyeletét, amely merőleges az y = ++ függvéy = helyhez tartozó éritőjére és átmegy az A(,) poto! 6. Írja fel aak az egyeesek az egyeletét, amely merőleges az y = l( + + ) függvéy = helyhez tartozó éritőjére és átmegy az A(, 3) poto! 7. Határozza meg az y = görbe azo potjait, amelyhez húzott éritő párhuzamos az y = + 4 egyeessel! 8. Határozza meg az y = 8 y = + 3 egyeesre! görbe azo potjait, amelyhez húzott éritő merőleges az 9. Határozza meg az y = 6 görbe azo potjait, ahol az éritő 6 szöget zár be az -tegely pozitív felével!

95 5. Éritő 9. Állapítsa meg, hogy differeciálható-e az alábbi függvéy az = és = helye!, ha, f() = arcsi, ha <, π, ha <. 6. Állapítsa meg, hogy differeciálható-e az alábbi függvéy az = és = helye!, ha, f() = arctg, ha <,, ha <. π 4. Állapítsa meg, hogy differeciálható-e az alábbi függvéy az = és = 3 helye! +, ha, f() = +, ha < 3,, ha 3 <. 3. Állapítsa meg, hogy differeciálható-e az alábbi függvéy az = és = helye! +, ha, l f() = log, ha <, + 3, ha <. Megoldások. y = 3π 4 ( ) +. y = ( ) + 3. y = 4 ( ) + 4. y = 5 ( 6) y = 4l + l

96 9 Az építészek matematikája, I. PÉLDATÁR 6. y = ( + ) + 3 = + 7. P(; ) 8. P (4; ) és P ( 4; ) 9. P( 3 3; 6 3 6) Útmutató a következő égy feladat megoldásához: Vizsgáli kell, hogy az adott potba a jobb és baloldali határérték megegyezik-e. Ha ige, akkor vizsgáli kell, hogy a jobb és bal oldali differeciálháyados megegyezik-e.. Az = helye differeciálható, az = helye em.. Az = helye differeciálható, az = helye em.. Az = helye differeciálható, az = 3 helye em. 3. Az = és = helye is differeciálható.

97 6. fejezet Szélsőérték-feladatok. Osszuk fel -t két részre úgy, hogy a részek szorzata maimális legye!. Osszuk fel 4-et két részre úgy, hogy az egyik rész égyzetéek és a másik rész köbéek összege maimális legye! 3. Valamely körcikk területe 6 m. Mekkora a kör sugara, ha a körcikk kerülete miimális? 4. Valamely körcikk kerülete 4,8 m. Mekkora a kör sugara, ha a körcikk területe a legagyobb? 5. Egy r sugarú körbe írható derékszögű égyszögek közül melyikek a legagyobb a területe? 6. Derékszögbe hajló folyosó milye hosszú geredát lehet vízszitese átvii, ha a folyosók szélessége 4 m és,5 m? 7. Határozza meg az r sugarú gömbbe írt legagyobb térfogatú heger adatait! 8. Határozza meg az r sugarú gömbbe írt legagyobb térfogatú kúp adatait! 9. Egy egyees körkúp alapköréek sugara R, magassága M. Határozza meg a kúpba írható legagyobb térfogatú heger adatait!. Határozza meg az egy literes felül yitott legkisebb felszíű heger adatait!. Egységyi térfogatú égyzet alapú tartályt akaruk készítei a legkevesebb ayagból. Mekkorák legyeek az élek, ha a tartály felül yitott?. Az cm felületű zárt egyees körhegerek közül melyikek a legagyobb a térfogata?

98 94 Az építészek matematikája, I. PÉLDATÁR 3. Az cm felületű felül yitott egyees körhegerek közül melyikek a legagyobb a térfogata? 4. Keressük meg az y = 8 paraboláak azt a potját, amely a (6, ) pottól a legkisebb távolságra va! 5. Egyelő szélességű három deszkából csatorát készítük. Az oldalfalak milye hajlásszöge mellett lesz a csatora keresztmetszete maimális? Eredméyek. ( ) ma = 6.. (4 ) + 3 ma = 4 3 másik rész R = 4 m, ív= 8 m. 4. R =, m. 5. Négyzet a = r. 6. tg α = 3, 6, 696 l 9, m. 7. M = 3 r és alapkör sugara = 3 r. 8. Alapkör sugara = r 4r, magasság = Alapkör sugara = R 3, magasság = 3 M.. r = m = 3 π. Alapél = 3, magasság = 3. Sugár = 5 3π, 3. Sugár = magasság = 4. P(; 4) és P (; 4). 5. α = 6.. magasság = 5 3π. 3π.

99 6. Szélsőérték-feladatok 95 Mitamegoldások. feladat Jelölje az egyik részt. Ekkor a másik rész. Feladat: ( ) ma. Ez megoldható elemi úto is, de a differeciálszámítás alkalmazhatóságát is demostrálhatjuk eze a feladato. Ekkor az y = függvéy maimumát keressük. Deriválva: y =. Eek zérushelye = 6. Itt lehet szélsőérték. A második derivált: y =. Mivel ez egatív, ezért az = 6 helye maimuma va a függvéyek. 6. feladat Az alábbi ábra fölülézetből ábrázolja a folyosót. Az átvihető leghosszabb gereda hossza megegyezik a rajz szeriti legrövidebb szelő hosszával. l l α 6.. ábra. Folyosó Célszerű függetle változóak választai a gereda és a fal által bezárt szöget. A szelő hossza az α szög függvéyébe: l(α) = l si α + l cos α Az l(α) függvéy legkisebb értékét keressük. Deriválva kapjuk, hogy l (α) = l cos α si α + l si α cos α.

100 96 Az építészek matematikája, I. PÉLDATÁR Oldjuk meg az egyeletet. Átredezve adódik, hogy l (α) = l cos α si α + l si α cos α = Behelyettesítve a umerikus adatokat: tg α = 3 l l. Mivel a második derivált tg α = 3, 6. l (α) = l si α + cos α si 3 α + l cos α + si α cos 3 α pozitív, ezért az l(α) függvéyek valóba miimuma va a kapott helye. 9. feladat Jelölje r a keresett heger alapköréek sugarát és m a magasságát. M m r R Feladat a heger V = r πm térfogatáak maimumát meghatározi azo feltétel mellett, hogy a heger bee va a kúpba, azaz a derékszögű háromszögek hasolósága miatt feáll

101 6. Szélsőérték-feladatok 97 az r M m = R M összefüggés. Ebből m-et kifejezve és beírva a térfogat képletbe a ( V (r) = r π M r M ) R függvéyt kapjuk. Eek r szeriti deriváltja: V (r) = rπm 3r π R M. A rπm 3r π R M = egyelet zérustól külöböző megoldása r = R. Eze a helye a 3 V = πm 6rπ M R egatív, ezért valóba a térfogat maimumhelyét találtuk meg. Ha r = 3 R, akkor m = 3 M. 4. feladat Jelölje a parabola keresett potjáak koordiátáit (; y). Az (; y) pot távolsága a (6; ) pottól: d = ( 6) + y. A távolság akkor lesz a legkisebb, ha a égyzete a legkisebb. Haszáljuk fel továbbá, hogy y = 8. Tehát a d = ( 6) + 8 függvéy miimumát kell meghatározi. A derivált: ( 6)+8 = 4. Eek zérushelye =. Itt yilvávalóa miimum va. Tehát a parabola (; 4), illetve (; 4) koordiátájú potja va legközelebb a (6; ) pothoz és a távolság d = 4.

102 7. fejezet Függvéyvizsgálat Vizsgálja meg és ábrázolja az alábbi függvéyeket!. f() = f() = ( ) ( 3) 3. f() = ( 5) 4. f() = + 5. f() = + 6. f() = f() = + 8. f() = f() = f() = 3 9 5(+4). f() = si 3. f() = + si 3. f() = + arctg 4. f() = si + cos

103 7. Függvéyvizsgálat f() = e 6. f() = e cos 7. f() = l 8. f() = l si 9. f() =. f() = f() = Megoldások. f() = Mitamegoldás: (a) Értelmezési tartomáy: D f = R. A függvéyük em páros, em páratla és em periodikus. (b) Zérushelyek: + =, =. (c) Aszimptotikus vizsgálat: A függvéy + -be és -be ugyaoda tart, ( 5 ր + 5 ր ) lim ± + y = 5 vízszites aszimptota ± -be. Függőleges aszimptoták icse. = lim ( + ց ) = 5. (d) Elsőredű derivált és alkalmazásai (szigorúa mooto ívek, lokális szélsőértékek) f () = ( )( + ) (5 + 5) ( + ) = ( + ). f () =, = ± + f () f () ր ց ր lokális maimum lokális miimum

104 Az építészek matematikája, I. PÉLDATÁR (e) Másodredű derivált és alkalmazásai (kove-, kokáv ívek és ifleiós potok): Kiszámoljuk a másodredű deriváltat: f () = [ ] ( + ) = ( + ) ( ) ( + ) ( + ) 4 = = ( + ) [ + ( ) ] ( + )( + ) 3 = (3 ) ( + ) 3. A másodredű derivált zérushelyei: =,3 = ± f () f () kove ifleiós pot kokáv ifleiós pot kove ifleiós pot kokáv (f) értékkészlet: R f = [; ]. Megjegyzés Kicsit leegyszerűsíthetjük a megoldást, ha még az elejé figyelembe vesszük, hogy f () = 5. + f() = [(5 + 5)/( + ), {,, }] 8 6 4

105 7. Függvéyvizsgálat. f() = [( ) ( 3), {,.5,3.5}] f() = [( 5), {,, 6}] f() = [/( + ), {,, }].4...4

106 Az építészek matematikája, I. PÉLDATÁR 5. f() = [ + /, {,, }] f() = [ 3 + /(5), {,, }] f() = [ /( + ), {,, }]

107 7. Függvéyvizsgálat 3 8. f() = [( + 9)/( + + 9), {,, }] f() = [( + + )/( + ), {,, }]..5.. f() = [( 3 9)/(5( + 4)), {,, }] 5 5

108 4 Az építészek matematikája, I. PÉLDATÁR. f() = [(si ) 3, {, π,π}] f() = [ + si, {, π, π}] f() = [ + arctg, {,, }] 3 3

109 7. Függvéyvizsgálat 5 4. f() = si + cos,[{, π, π}] f() = [ep[ ], {,, }] f() = [ep[] cos, {, π/4, 3π}]

110 6 Az építészek matematikája, I. PÉLDATÁR 7. f() = [ l, {,, }] f() = [l si, {,, π}] f() = [, {,, }]

111 7. Függvéyvizsgálat 7. f() = [ 3 /6 5 / + 8 +, {,, }] f() = [, {,, }]

112 8. fejezet Határozatla itegrál, az itegrálás techikája. ( )d. d 3. + d (+)( 4. 3) d d 6. ( )d d d d d d d d d d d 7. ( )d

113 8. Határozatla itegrál 9 8. ( 5 + e 5 )d 9. (4 si 3 cos)d. tg d. tg d. si d 3. cos si +cos d 4. sh +ch d 5. e 3 sh +ch d e 6. d e + cos 3 7. d 8+si 3 8. d d 3. d (l +848) 3. cos si d 3. l d cos 7 si d 34. e d 35. d 5 (3 ) d 36. e si cos d d (6 4) 7 d 39. l d 4. si 3d 4. si cos d 4. ( ) si d 43. l d 44. l d 45. l d e d

114 Az építészek matematikája, I. PÉLDATÁR 47. arctg d 48. arctg d 49. e 3 si d 5. e 5 cos 3d 5. arccos 3 d d d 54. (+3) d d d d d d 6. + d 6. d d d d (+) ( )( 3) d ( +4) d d d e 4 d 7. e e + d 7. e e + d d d 74. d

115 8. Határozatla itegrál 75. d d d d d 8. (+) d d 8. arcsi d Néháy mitafeladat megoldása Fotosabb helyettesítések: a) R ( e, e,... ) d (R racioális törtfüggvéy) alak eseté t = e helyettesítés, ahoa = l t; d = t dt. Például: e e + d = t t + t dt = t t + t + dt = t + = t l t + + c = e l (e + ) + c dt = [ ] dt = t + b) R (, a + b c + d ) e = t = lt d = t dt d típusú itegrál esetébe t = a + b c + d helyettesítés.

116 Az építészek matematikája, I. PÉLDATÁR Például: d = t 4 3 t t 3 dt = = 9 (t 4 ) dt = [ ] t t + c = 9 (6 + 4) c = t = t = t 4 6 d = 6 t dt = t 3 dt c) (, + a ) d típusú itegrál eseté = a sh t helyettesítés (d = a ch t dt). Ilyekor haszáljuk még a ch sh = képletet, valamit sh (arch ) = ch (arch ) = + képleteket, melyek a si + cos =, si (arccos) = és cos (arcsi ) = képletek megfelelői a hiperbolikus függvéyekél. (, a ) d típusú itegrál esetébe = a ch t helyettesítés (d = a sht dt). (, a ) d típusú itegrál eseté pedig = a si t vagy = a cos t helyettesítések bármelyike alkalmazható (ekkor d = a cos t dt vagy a második helyettesítés eseté d = a si t dt). Például: 6d = 6 ( ch t ) 4sht dt =

117 8. Határozatla itegrál 3 = 6 sh t dt = 6 + ch t dt = 8t + 8 = 8t + 8 sht + c = 8arch sh ( arch 4 = 8arch ( 4 ch t dt = ) ( ch arch ) + c = 4 ) 4 + c == 8arch c = 4ch t d = 4sh t dt t = arch 4 Haszáltuk itt a sh +ch t t = liearizálás-képletet, melyek a párja: ch t = sh t = sh t ch t képletet. d Feladat. Számítsuk ki az 4 8 értékét! Megoldás: +ch t és a 4 8 = ( 9)( + 9) = ( 3)( + 3)( + 9) = A 3 + B C + D + 9 = = A ( + 3) ( + 9) + B ( 3) ( + 9) + (C + D)( 3)( + 3). 4 8 csökkeő hatváyai szerit redezve a számlálót kapjuk, hogy = (A + B + C) 3 + (3A 3B + D) + (9A + 9B 9C) + 7A 7B 9D, 4 8 ahoa a következő egyeletredszert kapjuk: A + B + C =, 3A 3B + D =, 9A + 9B 9C =, 7A 7B 9D =. Az első és harmadik egyeletből kapjuk, hogy C =, majd ezt midegyik egyeletbe behelyettesítve és megoldva a három egyeletből álló három ismeretlees egyeletredszert (két egyelet ugyaaz lesz) kapjuk, hogy A =, B =, D =. Ezért az elemi törtekre botás a következőhöz vezet: [ d 4 8 = ] 8 d = + 9 = l l arctg 3 + c,

118 4 Az építészek matematikája, I. PÉLDATÁR mert d + 9 = d ( 3) + = 3 arctg 3 + c. Gyakorló feladatok megoldásai l l l( ) ( + ) l( + 5) l( + 5) 4 9. ( 9 arctg. 3 4 l( + 5). arctg 5 ) [ 5 ] Log[5 + ] 3. ( Log[5 + ]) ( [ ]) arctg ( 5 + ) Log[5] { e /5 5 6 }

119 8. Határozatla itegrál cos 3 si. l cos. + tg. si 4 3. cos + si 4. ch + sh 5. e 6. l [ e ] 7. l[8 + si 3] ( + ) 3/ 3. l[848 + l ] 3. si 3. [l ]3/ { e 35. { 36. e si 5 3 3l 5 [cos ]/3} } (5 + ) 3/ (6 4) [l] 4. cos 3 + si cos + si cos ( + )cos + si l 44. l + l l 46. e ( ) 47. arctg l [ + ] arctg + arctg

120 6 Az építészek matematikája, I. PÉLDATÁR e3 ( cos[] + 3 si[]) e5 (5 cos[3] + 3 si[3]) arccos [ ] 3 5. l[3 + ] { } 54. 9(3+) arctg [ ] l[ ] l[5 + ] l[ ( 4 + )] l[( 3 + )] 58. l[ 3( 4 + )] l[3( 3 + )] l[ 3( 4 + )] l[3( 3 + )] [ ] arctg 3 3 l[ 3 ] l[ 3+] l[ 8( + )] + l 3 l[8( + )] l[ 7( + )] l[ + ] (+) l[ 3 + ] + l[ + ] ( l l [ ] ) 67. ( arctg + l[ + ] l[ + ]) arctg [ ] l[ 3 + ] l[3 + ] ( + l [4 4 8 e ] ) 7. e l [ + e ] 7. 4 (e l [ + e ]) 7. ( 4 + 3) { } 73. 4(3+5) 5/4 ( +5) 5 ( + arcsi ) l [ ( + + )] l[7( + )]

121 8. Határozatla itegrál ( + + arsh ) 77. ( 5 ) 3/ ( + 3 ) ( + arcsi 8. arctg [ ] 8. { 3( + ) /3 + 3( + )/3 + 3 l [ + ( + ) /3]} 8. (arcsi ) )

122 9. fejezet Az itegrálás alkalmazásai. Terület. Határozza meg az y = függvéy görbéje és az -tegely közötti területet a) a [;,6] itervallum fölött; b) az [,; 7] itervallum fölött.. Határozza meg az y = [; 3] itervallum fölött. függvéy görbéje és az -tegely közötti területet a 3. Határozza meg az y 4y + 6 = parabola és az y = + 3 egyees által határolt síkrész területét. 4. Határozza meg az y = és az y = görbék által határolt síkrész területét. 5. Válassza meg az α > számot úgy, hogy az y = α l, e görbe alatti terület legye! 6. Számítsa ki az + y = r kör területét. Oldja meg a feladatot paraméteres alakba is, majd határozza meg a területet, mit szektor területet is. 7. Határozza meg az + y = ellipszis területét. Oldja meg a feladatot paraméteres a b alakba is, majd határozza meg a területet, mit szektor területet is. 8. Határozza meg az = t, y = t 3 görbe és az -tegely által határolt területet az t 3 paramétertartomáy eseté. 9. Határozza meg az = 4(t si t), y = 4( cos t) egyeletű ciklois egy íve és az -tegely által határolt területet.. Határozza meg az = 5 cos 3 t, y = 5 si 3 t egyeletű asztois területét. Oldja meg a feladatot a szektorterület itegrálképlete alapjá is.. Határozza meg a ρ = a cos φ egyeletű lemiszkáta π 4 φ π 4 polárszögtaromáy által kijelölt darabjáak területét.. Határozza meg a ρ = ( + cosφ) egyeletű kardioid φ π 4 polárszögtaromáy által kijelölt szektoráak területét.

123 9. Az itegrálás alkalmazásai. Terület 9 Megoldások. a) T = l ; b) T = l.. T = l {( +3) [ ]}d = 3 vagy [(3 y) (y 4y+6)]dy = T = 3. e 5. Mitamegoldás. Ha e és α >, akkor az y = α l pozitív értékű, ezért és e között a görbe alatti terület T = α l d = ( ) ld = l d = l d 6. T = r π e 7. T = abπ 8. T = T = 48π. T = 5π 8. T = a. T = 3π (poliom l parciális itegrálás) = l d = l + c [ ] e [ ( e α ld = α l = α 4 e 4 )] = 4 ( e = α 4 + ) = α e α e + = = α = 4 4 e +

124 . fejezet Az itegrálás alkalmazásai. Térfogat. Határozza meg az y = parabola -tegely körüli forgatásával keletkező test térfogatát, ha az ív két végpotjáak abszciszája és 4.. Határozza meg az y = parabola y-tegely körüli forgatásával keletkező test térfogatát, ha az ív két végpotjáak ordiátája és Határozza meg az y = l görbe -tegely körüli forgatásával keletkező test térfogatát, ha az ív két végpotjáak abszciszája és Határozza meg az y = l görbe y-tegely körüli forgatásával keletkező test térfogatát, ha az ív két végpotjáak ordiátája és Határozza meg az R sugarú gömb térfogatát. Oldja meg a feladatot paraméteres alakba is. 6. Határozza meg az = a(t si t), y = a( cos t) ciklois egy ívéek -tegely körüli forgatásával keletkező test térfogatát. 7. Határozza meg az = 5 cos 3 t, y = 5 si 3 t asztrois t π körüli forgatásával keletkező test térfogatát. ívéek -tegely 8. Határozza meg a ρ = ( + cos φ) egyeletű kardioid polártegelykörüli forgatásával keletkező test térfogatát. 9. Határozza meg a ρ = a cos φ egyeletű görbe polártegelykörüli forgatásával keletkező test térfogatát.

125 . Az itegrálás alkalmazásai. Térfogat Megoldások. V = 5 5 π. V = 8π 3. V = (5 l 5 l5 + 8)π 4. V = π (e8 ) 5. V = 4 3 R3 π 6. V = 5a 3 π 7. V = 4π 8. V = 5 4 a3 π 9. V = a 3 π

126 . fejezet Az itegrálás alkalmazásai. Felszí. Határozza meg az y = parabola -tegely körüli forgatásával keletkező test felszíét, ha az ív két végpotjáak abszciszája és 8.. Határozza meg az y = parabola -tegely körüli forgatásával keletkező test felszíét, ha az ív két végpotjáak abszciszája és Határozza meg az y = 3 3 görbe -tegely körüli forgatásával keletkező test felszíét, ha az ív két végpotjáak abszciszája és Határozza meg az y = l görbe y-tegely körüli forgatásával keletkező test felszíét, ha az ív két végpotjáak ordiátája és Határozza meg az + y = r kör -tegely körüli forgatásával keletkező gömb felszíét. Oldja meg a feladatot paraméteres alakba is. 6. Határozza meg az = a(t si t), y = a( cos t) ciklois egy ívéek -tegely körüli forgatásával keletkező test felszíét. 7. Határozza meg az = 5 cos 3 t, y = 5 si 3 t asztrois t π körüli forgatásával keletkező test felszíét. ívéek -tegely Megoldások. F = 8 3 π. F = π 8 ( 3 7 arsh 4 )

127 . Az itegrálás alkalmazásai. Felszí 3 3. F = π 8 [ ] ( ) 3 4. F = π ( e 5 + e + arsh e 5 arsh ) 5. F = 4r π 6. F = 64a π 3 7. F = 3π

128 . fejezet Az itegrálás alkalmazásai. Ívhossz Határozza meg az alábbi függvéyek megadott darabjáak ívhosszát!. y = 4. y = ch 4 3. y = l 4 4. y = l si π 6 π 5. y = = 5 cost y = 5 si t t π 7. = 4(t si t) y = 4( cos t) t π 8. = 5 cos 3 t y = 5 si 3 t t π 3 9. = t y = 3t t 5. ρ = aφ φ. ρ = ( + cosφ) φ π Megoldások. L = 4 [ arsh 8 arsh ]. L = sh 4

129 . Az itegrálás alkalmazásai. Ívhossz 5 3. L = e4 + e 4 e e [l(e 4 + ) l(e 4 ) + l(e ) l(e + )] 4. L = l tg π 5. L = π 6. L = 5 π 7. L = L = L = 3 [ arsh 5 arsh 6]. L = a ( + arsh ). L = 8 4

130 3. fejezet Az itegrálás alkalmazásai. Súlypot. Mutassa meg az itegrálszámítás alkalmazásával, hogy a [ a; a] itervallum fölött az y = M M függvéy grafikojával határolt egyelőszárú háromszög súlypotja a S(; M ), ha a háromszöglemez egyeletes tömegeloszlású és M, valamit a pozitív 3 paraméterek!. Határozza meg a [ R; R] itervallum és az y = R görbe által határolt egyeletes tömegeloszlású félkör súlypotjáak koordiátáit! 3. Határozza meg a [ 3; 3] itervallum és az y = 9 görbe által határolt egyeletes tömegeloszlású síklemez súlypotjáak koordiátáit! 4. Határozza meg a y = görbe, a 5 itervallum, és az = 5 egyees által határolt homogé síklemez súlypotjáak koordiátáit! 5. Határozza meg a y = e görbe, a a itervallum, és az = a egyees által határolt homogé síklemez súlypotjáak koordiátáit! 6. Határozza meg a y = cos függvéy π itervallum, és az = π egyees által határolt homogé síklemez súlypotjáak koordiátáit! 7. Határozza meg a y = si függvéy és a π itervallum által határolt homogé síklemez súlypotjáak koordiátáit!

131 3. Az itegrálás alkalmazásai. Súlypot 7 Megoldások.. S(; 4 3π R) 3. S(; 8 5 ) 4. S(5; 5 8 ) 5. S( aea e a + e a ; ea + 4 ) 6. S( π ; π 8 ) 7. S( π ; π 8 )

132 4. fejezet Görbület, simulókör. Határozza meg az y = függvéy görbületét és simulóköréek sugarát, középpotját az = abszcisszájú potba!. Határozza meg az y = függvéy görbületét és simulóköréek sugarát, középpotját az = abszcisszájú potba! 3. Határozza meg azt a potot, ahol az y = l görbe görbületéek legagyobb az abszolút értéke! 4. Határozza meg az y = si függvéy görbületét és simulóköréek sugarát, középpotját az = π abszcisszájú potba! 5. Határozza meg az y = tg függvéy görbületét és simulóköréek sugarát, középpotját az = π abszcisszájú potba! 4 Megoldások. G =, R =, a =, b =.. G =, R =, a =, b =. 3. =. 4. G =, R =, a = π, b =. 5. G = 4 5 3, R = 5 5 4, a = π 4, b = 9 4.

133 5. fejezet Vektortér. Egy síkba vaak-e a következő vektorok: a(5, 4, ) b(, 3, 7) c(3,, 6)?. Függetleek-e a következő vektorok: a(,, ) b(,, ) c(,, )? 3. Adjuk meg olya vektort, amely felezi az a(,, 3) és b(, 3, ) vektorok szögét! 4. Adjuk meg olya vektort, amely felezi az a(3, 4) és b(5, ) vektorok szögét! 5. Adjuk meg olya vektort, amely az origóból az A(3, 4) B(5, ) szakasz felezőpotjába mutat! 6. Adjuk meg olya vektort, amely az origóból az A(3, 4, 5) B(5,, ) szakasz felezőpotjába mutat! 7. Adjuk meg olya vektort, amely az origóból az A(3, 4) B(6, 6) szakasz A-hoz közelebbi harmadoló potjába mutat! 8. Adjuk meg olya vektort, amely az origóból az A(3, 4, ) B(9, 8, 4) szakasz B-hez közelebbi egyedelő potjába mutat! 9. Merőleges-e egymásra a következő két vektor a(5, 4, ) b(, 3, )?. Mekkora szöget zár be egymással a következő két vektor a(3, 4) és b(5, )?. Mekkora szöget zár be egymással a következő két vektor a(,, 3) és b(5,, )?. Határozza meg az a( 4,, 3) vektor iráyába mutató egységvektort! 3. Mekkora szöget zár be a koordiátategelyek pozitív felével a v(4, 7, ) vektor? 4. Határozza meg az u (,, 3) vektor v (; ; ) vektor tartóegyeesére vett merőleges vetületvektorát! 5. Határozza meg az a(4, 3, ) vektor vetületét a b( 6, 3, ) vektor egyeesé!

134 3 Az építészek matematikája, I. PÉLDATÁR 6. Botsa fel az a(,, ) vektort a b( 6, 3, ) vektorral párhuzamos és rá merőleges kompoesekre! 7. Botsa fel a b( 6, 3, ) vektort a k(,, ) vektorral párhuzamos és rá merőleges kompoesekre! 8. Botsa fel a k(,, ) vektort a b( 6, 3, ) vektorral párhuzamos és rá merőleges kompoesekre! 9. Tükrözze a d(9, 7, 9) vektort az e( 7,, 4) vektor egyeesére!. Mekkora aak a háromszögek a területe, kerülete és mekkorák a szögei, amelyet az origóból iduló a(4, 3, 7) és b(5,, 6) vektorok feszíteek ki?. Számítsa ki az a(,, 3), b(4, 5, 6) és c(7, 8, ) vektorok által kifeszített tetraéder térfogatát! Legye ie kezdve a = 3i + j 5k, b = 4i 3k, c = i + 3j + 6k.. Határozza meg az 5a, a + 3b, 3a b, a + b + c, vektorokat. 3. Számítsa ki az ab, ac, a(b + c) skaláris szorzatokat. 4. Határozza meg értékét úgy, hogy a c = i + 3j + 6k vektor merőleges legye a d = i + j + k vektorra. 5. Számítsa ki az a, b és c vektorok hosszát. 6. Számítsa ki az a és b, valamit az a és c vektorok szögét. 7. Határozza meg az e = i + 6j + 3k vektorak a c = i + 3j + 6k vektorra eső merőleges vetületét. 8. Határozza meg a j vektorak a c = i + 3j + 6k vektorra eső merőleges vetületét. 9. Határozza meg a c = i + 3j + 6k vektorak az e = i + 6j + 3k vektorra eső merőleges vetületét. 3. Határozza meg az a + b vektorak a k vektorra eső merőleges vetületét. 3. Botsa fel az f = 4i + 7j + 6k vektort a c = i + 3j + 6k vektorral párhuzamos és rá merőleges kompoesekre. 3. Botsa fel az g = i j k vektort a c = i + 3j + 6k vektorral párhuzamos és rá merőleges kompoesekre. 33. Botsa fel a h = i + 4j 3k vektort az a, b, c vektorokkal párhuzamos kompoesekre. 34. Botsa fel a h = 5i + 39j 5k vektort az a, b, c vektorokkal párhuzamos kompoesekre.

135 5. Vektortér Számítsa ki az a = i + j + 3k és a = 4i j + 3k vektorok vektoriális szorzatát. 36. Határozza meg az a 3 = i j + 3k és a 4 = 5i j + 3k vektorok által kifeszített paralelogramma területét. 37. Határozza meg az a 5 = i j + k és a 6 = 4i j + 3k vektorok által kifeszített háromszög területét. 38. Határozza meg aak a háromszögek a területét, amelyek az origóból a csúcsaiba mutató vektorok az a = i + j + k, b = 3i + 4j k és c = 5i + 3k. 39. Egy háromszög csúcsaiba mutató vektorok A = 5i + j + k, B = 3i + 4j k és C = 7i + 5j + 3k. Határozza meg az AB oldal felezőpotjába mutató vektort. Határozza meg a súlypotba mutató vektort. Határozza meg a C potból iduló magasság talppotját. Határozza meg az AC oldal merőleges vetületét az AB oldalo. 4. Egy síkba vaak-e az a = 3i + j 5k, b = 4i 3k, c = i + 3j + 6k és d = 5i + 39j vektorok végpotjai? 4. Egy síkba vaak-e az a = 3i + j 5k, b = 4i 3k, c = i + 3j + 6k és d = 5i 39j + k vektorok végpotjai? Megoldások. Ige, mert a + b = c.. Ige. 3. a + b = (3; 5; 4) és a b = ( ; ; ) iráyú vektorok. 4. 3a + 5b = (64; ) és 3a 5b = (4; 8) iráyú vektorok. 5. F = A+B = (4; 8). 6. F = (4; 8; ). 7. H = A+B 3 = (4; 8). 8. N = A+3B 4 = (7, 5; 8; 3). 9. Ige, mert a b =.. cos α = cos α =

136 3 Az építészek matematikája, I. PÉLDATÁR. e = a a = ( 4 3 ; 3 ; 3 3 ). 3. cos α = Mitamegoldás. u vektor felbotása v-vel párhuzamos és arra merőleges kompoesek összegére: u = ( u u = u u ) v v v v u = [ )] (,, 3) (; 5 ; 5 v v = + (; ; ) = ( ; 5 ; 5 ). ) (; 5 ; 5 = 8 5 Elleőrzés: u u =. ( ) ; 5 ; b = (3 7 ; 5 7 ; 7 ). 6. Párhuzamos kompoes: ( 6; 3; ), merőleges kompoes: (4; 8; ). 7. Párhuzamos kompoes: (; ; ), merőleges kompoes: ( 6; 3; ). = ( ; 8; ) 6 5 5, mert 8. Párhuzamos kompoes: ( ; 6 ; 4 ), merőleges kompoes: ( ; 6 ; 45) d ( 3 3 ; 43 3 ; 49 3 ).. T = , K = , cos α = , cos β = , cos γ = 6. V = 3.. 5a = 5i + 6j 5k a + 3b = 8i + 4j 9k 3a b = i + 36j 6k a + b + c = 5i + 5j k. 3. a b = 7, a c =, a (b + c) = = a = 78, b = 5, c =

137 5. Vektortér cos(a, b) = , (a, c)szöge = e vetülete = c = 4i + 6j + k. 8. j vetülete = 3 49 c. 9. c vetülete = 98 6 e. 3. a + b = 7i + j 8k, ezért vetülete 8k. 3. Párhuzamos kompoes= c = ( ; 3; 6), merőleges kompoes:(6; 4; ). 3. Párhuzamos kompoes= c = (4; 6; ), merőleges kompoes:( 3; 4; ). 33. h = a + b. 34. h = 3a + b + c. 35. a a = i + 9j k. 36. T = T = T = AB oldal felezőpotja = (4; 3; ), S(5; ; 5), T(; 4; 7), AT = (6; 6; 6). 4. Ige. 4. Nem.

138 6. fejezet Koordiátageometria. Írja fel a P(,, 3) poto átmeő v(5, 4, 3) iráyvektorú egyees egyeletredszerét!. Írja fel a P(,, 3) és Q(4, 6, 5) potoko átmeő egyees egyeletredszerét! 3. Rajta va-e a P(,, 3) és Q(4, 6, 5) potoko átmeő egyeese az R(7, 8, 9) pot? 4. Rajta va-e a P(,, 3) és Q(4, 6, 5) potoko átmeő egyeese az S(, 4, 39) pot? 5. Milye a következő két egyees kölcsöös helyzete (párhuzamos, metsző, kitérő)? = 4 + 3t = 7 + 6t y = 6 + 4t y = 4 + 8t z = 5 + t z = + 4t 6. Milye a következő két egyees kölcsöös helyzete (párhuzamos, metsző, kitérő)? = 4 + 3t = 9 + t y = 6 + 4t y = 4 + t z = 5 + t z = t 7. Milye a következő két egyees kölcsöös helyzete (párhuzamos, metsző, kitérő)? = 4 + 3t = 7 + t y = 6 + 4t y = 4 + t z = 5 + t z = + 5t 8. Határozza meg az alábbi kitérő egyees pár egy ormál trazverzális vektorát! = 4 + 3t = 7 + t y = 6 + 4t y = 4 + t z = 5 + t z = + 5t

139 6. Koordiátageometria Írja fel a P(,, ) poto átmeő (4, 3, ) ormálvektorú sík egyeletét! = 4 + 3t. Írja fel a P(,, ) pot és az y = 6 + 4t egyees által meghatározott sík z = 5 + t egyeletét!. Írja fel a P(9, 8, ) Q(7, 4, ) és R(5,, ) potok által meghatározott sík egyeletét!. Rajta va-e a P(9, 8, ) pot a 4 + 3y z = 4 síko? 3. Rajta va-e a P(4, 6, 5) pot a 4 + 3y z = 4 síko? = 4 + 3t 4. Határozza meg a 4 + 3y z = 4 sík és az y = 6 + 4t z = 5 + t helyzetét! = 7 + t 5. Határozza meg a 4 + 3y z = 4 sík és az y = 4 + t z = + 5t helyzetét! = + 3t 6. Határozza meg a 4 + 3y z = 6 sík és az y = + t z = t helyzetét! egyees kölcsöös egyees kölcsöös egyees kölcsöös 7. Határozza meg az + y + 3z = 5 és + 4y + 6z = 5 síkok kölcsöös helyzetét! 8. Határozza meg az + y + 3z = 6 és 3 + y + z = 6 síkok kölcsöös helyzetét! 9. Határozza meg a P(, 3, 4) és Q(4,, 8) potok távolságát! = + t. Határozza meg a P(, 3, 4) pot és y = 8 + 3t egyees távolságát! z = 9 + t = + t. Határozza meg a P(, 6, 3) pot és y = 8 + 3t egyees távolságát! z = 9 + t. Határozza meg a P(4, 3, ) pot és + y + 5z = sík távolságát!

140 36 Az építészek matematikája, I. PÉLDATÁR 3. Határozza meg az + y + 5z = és + y + 5z = 3 síkok távolságát! = 4 + 3t = 7 + t 4. Határozza meg az y = 6 + 4t és y = 4 + t kitérő egyeesek tá- z = 5 + t z = + 5t volságát! kitérő egyeesek or- = 4 + 3t 5. Határozza meg az y = 6 + 4t z = 5 + t mál trazverzálisáak végpotjait! és = 7 + t y = 4 + t z = + 5t Megoldások.. 3. Nics. 4. Ige. = + 5t y = + 4t z = 3 + 3t = + 3t y = + 4t z = 3 + t 5. Párhuzamos. 6. Metsző, metszéspot (7; ; 7). 7. Kitérő. 8. ( 4; 3; ) y z = y z = y z = 6.. Nics. 3. Ige.

141 6. Koordiátageometria Az egyees bee va a síkba. 5. Az egyees párhuzamos a síkkal. 6. Döféspot (9; 8; ). 7. Párhuzamos. 8. Metsző. 9. PQ = 3.. A pot rajta va a síko.. d = 7.. d = d = d = Az A(; ; 3) és B(9; 8; ) potok.

142 7. fejezet Mátriok Legye A = [ ] és B = [ ].. Határozza meg az A + B, A B, 3A, 3A + B mátriokat! [ ] [ ] [ ] Legye C = D = és E = Határozza meg az C + D, C D, CD, DC, CDE mátriokat! 3. Végezze el az alábbi műveleteket, ha lehet! AC, AD, EA, BA, C(B + A), A(B + C), C, CC T, CA T, E, ahol A T az A mátri traszpoáltját jelöli. 3 Legye F = és G = Határozza meg az F G GF mátriot! Legye a T = [ 4 3 ]. 5. Határozza meg az a T a és aa T szorzatokat! Legye H = Számítsa ki az a T H, H a, valamit a T H a szorzatokat! Legye T = [ y z ]..

143 7. Mátriok Számítsa ki az T H szorzatot! [ ] cos α si α Legye T = si α cos α és v = [ cos α si α ]. 8. Számítsa ki a T, T, T v, v T T v, T v, v T T v szorzatokat! [ ] cos α si α Legye R =. si α cos α 9. Számítsa ki a R, R 3, R v, v T R v, R v, v T R v és v T R T R v szorzatokat!. Va-e olya ull mátritól külöböző égyzetes mátri, amelyek a égyzete ull mátri? [ ] 4 6. Mutassa meg, hogy az A = mátrihoz található olya B másodredű 6 9 égyzetes mátri, hogy AB = ull mátri.. Egy A mátri szimmetrikus, ha A = A T és atiszimmetrikus, ha A = A T. Bizoyítadó, hogy mide égyzetes mátri előállítható egy szimmetrikus és egy atiszimmetrikus mátri összegekét. 3. Igazolja, hogy ha az A és B mátriok összeszorozhatók, akkor ( AB )T = B T A T. 4. Ortogoális-e az alábbi mátri? A = Határozza meg az alábbi mátriok iverzét, ha létezik: [ ] [ ] [ ] cos α si α 7. si α cos α

144 4 Az építészek matematikája, I. PÉLDATÁR Számítsa ki a következő determiások értékét!

145 7. Mátriok y + y y + y + y y a b a c b c Megoldások [ ] A + B = 9 5 [ ] A B = [ ] A = 5 [ ] A + B = 5 [ ] 4. C + D = [ ] 5 C D = [ 7 ] CD = [ ] 9 7 DC = [ 8 ] 75 CDE = 7

146 4 Az építészek matematikája, I. PÉLDATÁR 3. AC em lehet. AD em lehet. [ ] 6 EA = 4 3 BA em lehet. [ ] C(B + A) = A(B + C) em lehet. [ ] 7 C = [ 5 ] 5 CC T = 5 CA T em lehet. [ ] 4 4 E = FG GF = a T a = aa T = a T H = [6; 3; ] 6 Ha = 3 a T Ha = y + z + y z + 4yz [ ] 8. T = = I { T ha páratla T = I ha páros Tv = v. v T Tv = T v = v v T T v = =

147 7. Mátriok 43 [ ] cos α si α 9. R = [ si α cos α ] cos 3α si 3α R 3 = [ si 3α ] cos 3α cos α Rv = si α [ ] cos 3α v T Rv = cosα R v = si 3α v T R v = cos α v T R T Rv =. [ ]. Ige, pl.:. [ ] 3 3. Pl.: B =. (. A = ) ( A + A T + ) A A T 3. Defiíció alapjá. 4. Ige, sőt ortoormált, mert AA T = I. [ ] Nem létezik. [ ] cos α si α 7. si α cos α Egy lehetséges megoldás: det A = = 7 63 = 9 tehát va iverz mátri adj A = 6 7 =

148 44 Az építészek matematikája, I. PÉLDATÁR A = deta adja = ( 3 + y 3 ) a + b + c ab ac bc. 3..

149 8. fejezet Lieáris egyeletredszerek Oldja meg az alábbi egyeletredszereket: y z = y z = 3 y + 4z = + y + z = y + z = y + 4z = 3 + y + z = 5 + 3y + z = + y + 3z = = = = = = = = 6. A t paraméter értékétől függőe vizsgálja meg az alábbi egyeletredszer megoldásaiak számát! Ahol va megoldás, ott oldja is meg az egyeletredszert! = = = t 4 = 7

150 46 Az építészek matematikája, I. PÉLDATÁR 7. Határozza meg λ értékét úgy, hogy az egyeletredszer kompátibilis legye és oldja meg az egyeletredszert! = 3 9 λ = = = = = = = = = 6 8

151 8. Lieáris egyeletredszerek = 3 = = = = A λ paraméter milye értéke mellett va megoldása az egyeletredszerek? Mi ekkor a megoldás? λ = A λ paraméter milye értéke mellett va megoldása az egyeletredszerek? Mi ekkor a megoldás? = 3 λ

152 48 Az építészek matematikája, I. PÉLDATÁR Megoldások. = 3 y = z =. = y = z = 3. = y = z = 3 4. = = 3 = 4 = 5. = = = tetszőleges 4 = tetszőleges. Egy mitamegoldás: 6. A t paraméter értékétől függőe vizsgáljuk az alábbi egyeletredszer megoldásaiak számát! Ahol va megoldás, ott oldjuk is meg az egyeletredszert! Mátrios alakba írva: Gauss-módszerrel kapjuk, hogy: t = = = t 4 = t S S S 3 S S 4 S 3 4 = t 3 5 A = b. ( S3 + S S 4 S ) t 5 ( S ( ) S 3 S 4 ) t 5.

153 8. Lieáris egyeletredszerek 49 a) Potosa egy megoldásuk akkor lee, ha ez em állhat fe. raga = rag [A b] = 4 (ismeretleek száma), b) sok megoldásuk va raga = rag [A b] < 4. Ez csak akkor lehetséges, ha a két rag = 3, azaz t. Ekkor = = (t ) 4 = 5 = 4 = 5 t = 5 t 4 3 = 5 t 4 = 5 t Ekkor a szabadságfok = 4 3 = 3 = u R = ( u 5 ) 4 t = ( 5 t u 5 4 u + 5 ) = 4 t = ( 35 4 t 9 ) 4 u 4 = 5 t. c) Nics megoldás (azaz az egyeletredszer megoldáshalmaza üres), ha rag A rag [A b]. Ez úgy lehet, hogy raga = < 3 = rag [A b], azaz t =.

154 5 Az építészek matematikája, I. PÉLDATÁR Megjegyzés Ha em kéri a feladat, hogy oldjuk is meg az egyeletredszert ott, ahol va megoldás, akkor elég csak a megoldások számát tárgyali a t paraméter függvéyébe, azaz a b) potba szereplő (,, 3, 4 ) megoldásokat em kell megadi. 7. Ha λ, akkor ics megoldás. Ha λ =, akkor végtele sok megoldás va, mégpedig: = tetszőleges, = tetszőleges, 3 = , 4 = = 3 + 4, = , 3 = tetszőleges, 4 = tetszőleges. 9. =, =, 3 =.. Nics megoldás.. = , = , 3 = tetszőleges, 4 = tetszőleges.. = 6 3, =, 3 = tetszőleges, 4 =. 3. Nics megoldás. 4. =, = 4, 3 =. 5. = tetszőleges, = tetszőleges, 3 = 3 4, 4 =. 6. Nics megoldás. 7. = 3 + 3,, 3, 4 tetszőleges, 5 = = 5 3, = 3, 3 = tetszőleges. 9. Csak akkor va megoldás, ha λ = 5, ekkor = , = 3 4, 3 és 4 tetszőleges.. Csak akkor va megoldás, ha λ =, ekkor = 8, = 3 + 4, 3 = 6 + 4, 4 tetszőleges.